unmsm fisi-02-03-ingeniería económica - capitulo 02-03

70
INGENIERÍA ECONÓMICA

Upload: julio-pari

Post on 18-Jul-2015

422 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

INGENIERÍA ECONÓMICA

MODULO II

FORMAS DE PAGO DE UN

PRÉSTAMO

• Relación prestamista - prestatario.

• Formas de pago de un préstamo.

• Pago único.

• Serie uniforme.

• Amortización constante.

MODULO II

FORMAS DE PAGO DE UN

PRÉSTAMO

• Serie gradiente.

• Serie gradiente porcentual.

• Equivalencias para formas de pago.

RELACIÓN

PRESTAMISTA - PRESTATARIO

• Prestamista: persona natural o jurídica

que concede dinero en préstamo.

• Prestatario: persona que recibe dinero

en préstamo.

Elementos de un préstamo:

Magnitud o monto.

Valor de la tasa de interés.

Plazo.

RELACIÓN

PRESTAMISTA - PRESTATARIO

Forma de pago.

Garantía o fiador.

Requisitos de capacidad de pago.

Periodo de gracia: tiempo durante el cual se

pueden pagar únicamente los intereses o

también puede ser el tiempo durante el cual

los intereses se capitalizan, pero no hay

desembolso alguno por el prestatario.

Amortización del préstamo original: toda

cuota o pago de un préstamo la podemos

descomponer en dos partes: una

correspondiente a la disminución o abono

que hagamos al préstamo original, la otra

será el componente de interés. La

amortización nunca será negativa y cuando

no hay amortización se entenderá que toda

la cuota corresponde a intereses.

RELACIÓN

PRESTAMISTA - PRESTATARIO

FORMAS DE PAGO DE UN

PRÉSTAMO

• SERIE UNIFORME:

Se hace un préstamo a

una tasa de interés por

periodo y se paga en

cuotas exactamente

iguales.

P

A A A A A

0

1 2 3 4 n

FORMAS DE PAGO DE UN

PRÉSTAMO

• SERIE DE PAGOS DE

AMORTIZACIÓN

CONSTANTE:

El préstamo se paga en

cuotas periódicas de las

cuales el contenido de

amortización del

principal siempre es

igual.

A2

AnA3

P

1 2 3 n

A1

0

FORMAS DE PAGO DE UN

PRÉSTAMO

• SERIE GRADIENTE:

El préstamo de paga en

cuotas que pueden

aumentar o disminuir un

monto uniforme cada

periodo (sucesión

aritmética).

1 2 n

A1A2

An

P

3

A3

0

FORMAS DE PAGO DE UN

PRÉSTAMO

• SERIE GRADIENTE

PORCENTUAL:

El préstamo se paga en

cuotas que pueden

aumentar o disminuir un

porcentaje cada periodo

(sucesión geométrica).

A1 A2

An

P

1 2 n

0

PAGO ÚNICO

F = P(1+i)n

P

F

1 2 n

0

PAGO ÚNICO

Demostración de la formula de valor

futuro, donde:

P: préstamo

i: tasa de interés

n: plazo

F: pago único

SK: saldo o deuda al final de cualquier

período K

Total intereses: I = Total pagado-Total prestado

I = F-P (1)

PAGO ÚNICO

FIN DE

PERÍODOINTERESES DEL PERÍODO

SALDO AL FINAL

DEL PERÍODO

0 0 P

1 i.P P + iP = P(1. + i)

2 i.P(1+i)P(1 + i) + iP(1 + i)

= p(1 + i)2

3 IP(1 + i)2 P(1 + i)2 + iP(1 + i)2

= P(1 + i)3

-- -- --

-- -- --

-- -- --

K -- Sk = P(1 + i)k (2)

-- -- --

-- -- --

-- -- --

n -- F = P(1 + i)n (3)

PAGO ÚNICO

EJEMPLO:

Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una

entidad que reconoce el 1% efectivo mensual.

¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el

saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?

Valor futuro: F = P(1+i)n (3)

Para tablas: F = P(F/P,i,n) (3´)

Valor futuro 31/12/2003: 1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86

Saldo: Sk = P(1+i)k (2)

Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01

SERIE UNIFORME

P

A A A A A

0

1 2 3 4 n

A = P * i (1+i)n

(1+i)n -1

SERIE UNIFORME

Demostración de las fórmulas para serie

uniforme, donde:

A: cuota uniforme.

ak: abono o parte de la cuota que amortiza la

deuda.

Ik: parte de la cuota que cubre intereses.

Pk: valor presente equivalente a la cuota del

periodo k.

SERIE UNIFORME

P será equivalente a los pagos efectuados

considerando la tasa i, ello implica que P será

igual a la suma de los valores presentes de las

cuotas.

Pk = A * (1+i)-k según formula (3)

P = Pk por principio N°2

P = A * (1+i)-k

P = A * (1+i)-k

P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ... +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n} (1*)

P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1} (2*)

SERIE UNIFORME

Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja

A.

A = P * i (1+i)n (4)(1+i)n -1

El factor de P en la formula (4) para uso de

tablas se identificará así: (A/P,i,n)

Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n) (4’)

SERIE UNIFORME

Despejando P de (4) tendremos:

Para las tablas:

P = A * (P/A,i,n) (4’’’)

(1+i)n - 1

i (1+i)nP = A * (4’’)

P

1 2

........ ...

3 4

SK

k+1 n

K PAGADAS

(n-k)

PENDIENTES

0

k

A A AA A A A A

SERIE UNIFORME

Saldo o deuda:

SERIE UNIFORME

Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk

será el valor presente de las (n-k) restantes.

Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)

Sk = A (1+i)n-k -1

i (1+i)n-k (5)

SERIE UNIFORME

En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y

que parte corresponde a intereses?

ak = Sk-1 - Sk (6)

Ik = i S(k-1) (7)

Ik= A- ak

Comportamiento del saldo (Sk) para

la forma de pago serie uniforme

0 1 2 3 4 . . . nk

Sk

P

En una serie uniforme el comportamiento del

saldo es decreciente siendo cero en el periodo

n.

SERIE UNIFORME

Ejemplo:

Se hace un préstamo de un millón de

pesos al 0.5% de interés mensual

efectivo para pagarlo en cuotas iguales de

fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota

mensual?

Solución:P

A A A A A

0

1 2 3 24

SERIE UNIFORME

A =10000000.005 (1+0.005)24

(1+0.005)24 -1= $44.320,61

•Resolver el ejemplo anterior si el trabajador

paga a principio de mes.

Solución:

Se debe transladar el préstamo a un periodo

antes con la formula de pago único y luego

aplicamos la formula de A.

SERIE UNIFORME

P

0

0´ 1 2 3 4 23 24

A A A A A

F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87

A = 10000000.005 (1+0.005)23

(1+0.005)23 -1= $ 44.100

SERIE UNIFORME

•Cuál es la deuda del trabajador en el

ejemplo después de haber pagado la cuota

19.

Solución:

S19

$1000.000

1 2 3

.......

24

19 PAGADAS

(24-19)

0

19

A A A A A A A A

i:0.5%

SERIE UNIFORME

S19 = 44.320,61(1+0.005)24-19 -1

0.005 (1+0.005)5 =$218.317,399

• En la cuota 19 ¿qué parte es abono al

capiltal y que parte es interés?

Solución:

a19 = S18 – S19

S18 = 44.320,61(1+0.005)24-18 -1

0.005 (1+0.005)6= $261.331,35

a19=$43.013,9

I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66

•Para ese trabajador ¿cuál es el total de

intereses pagados?

Solución:

I = total de intereses pagados – total pagado

I= n A-P = $63.644,40

SERIE UNIFORME

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

A: Ahorro

A A A A......

F = ?

0 1 2 3 n Periodos

Interés = i

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

Dados A, i y n se deberá calcular F.

F: será el valor futuro en n equivalente al valor

presente de la serie uniforme.

F = P (1+i)n aplicando (3)

Pero:

(1+i)n - 1

i (1+i)nP = A aplicando (4’’)

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

(1+i)n - 1

i (1+i)nF = A * (1+i)n

Entonces:

(1+i)n - 1

iF = A * (8)

Para el uso de tablas:

F = A * (F/A, i, n) (8´)

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

Ejemplo:

Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al

principio de mes en una entidad que le

reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace

durante 5 años.

¿ Cual es el valor acumulado al final del

ultimo mes?

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

0´ 0 1 2 5960 meses

200.000

F = ?

i = 2% ef. mensual

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

Solución:

F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el

mes 59.

F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60)

F59 = 200.000 (114.051539)

F59 = 22’810.307,8

F = F59 (1.02)1

F = (22’810.307,8) (1.02)

F = 23’266.513,96

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

1 2 3 n

A2

AnA3

P

A1

0

Ak= i P + 1 - (k - 1) P

n n

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

Demostración de la formulas para

amortización constante, donde:

Ak: cuota al final del periodo k.

Sk: saldo después de pagar la cuota Ak.

Como su nombre lo indica, en esta forma de

pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto:

a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n (9)

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

A1 = i P + (P/n)

Si se abonó (P/n), entonces S1 = P - (P/n)

S1 = P 1 - 1

n

A2 = i S1 + (P/n) i P 1 - +1

n

P

n

S2 = P - = P 1 - 2

n

2P

n

Entonces:

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

Ak = i P 1 - +(k-1)

n

P

n

Sk = P 1 - k

n

Ik = i P 1 - (k-1)

n

(10)

(11)

(12)

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de un millón de

pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se

paga en 10 cuotas mensuales de

amortización constante,¿cuál es el valor

de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es

el saldo una vez pagada la tercera cuota?

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

A3= 0.031000000 1 - + (3 - 1) 1000000

10 10

A3=124.000

S3 = 1000000 1 - = 70000003

10

A1=0.031000000 1 - +(1- 1) 1000000

10 10

A1=130.000

Solución:

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

1 2 3 n

A1A2

An

P

A3

0

AK = A1 + (K - 1)*g

1)1(

1

1)1(

)1(1 nn

n

i

n

ig

i

iiPA

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Esta forma de pago se compone por la suma de dos

series, una que se comporta de manera uniforme y otra

que sufre un cambio aritmético para cada periodo.

Demostración de la formula para serie

gradiente, donde:

g : aumento aritmético de la cuota.Ak seria:A1 = A1

A2 = A1 + gA3 = A2 + g = A1 + g + g = A1 + 2g

AK = A1 + (k - 1) g (en funciòn de A1) (13)

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

La parte gradiente

se transforma en una

serie equivalente

uniforme que se

llama Ag, entonces,

la serie gradiente

original será

equivalente a la

suma de las dos

series uniformes.

At=A1+Ag (14)

A1:serie parte uniforme.

Ag:serie uniforme equivalente a parte

gradiente.

At :serie uniforme total equivalente a la serie

gradiente original.

P

1 2 3 n-1 n

. . .

. . .

0 A1

+

Ag

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Ag se halla llevando cada uno de los

aumentos (g, 2g, 3g,...) al presente y

sumandolos, después esta sumatoria se

distribuye en una serie uniforme y se

obtendría:

1)1(

1ng

i

n

igA

Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n) (15’)

(15)

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

De (14) tenemos: A1= At - Ag

Por tabla seria:

A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n) (16’)

(16)

1)1(

1

1)1(

)1(1 nn

n

i

n

ig

i

iiPA

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Para uso de tablas:

P(A/P,i,n) = A1 + g(A/g,i,n) (17’)

1)1(

1

1)1(

)1(1 nn

n

i

n

igA

i

iiP (17)

Partiendo de (16) se obtiene:

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k

cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en

An. Sk será el valor presente en k de esas

cuotas pendientes.

P Sk = ?n - k

Pendiente

s1 2 3 4 k k-1

k pagados Ak

0

Ak + 1

An

..

..

..

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Utilizando (17) con "A1" = Ak+1

Y remplazando en (13) tenemos:

Ak + 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde

"A1" = A1 + kg

De lo anterior:

),,/(

),,/(1

kniPA

knigAggkASk

(18)

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una

tasa de interés anual del 30% para pagarlo

en 5 cuotas anuales que se incrementan

200 pesos . Cuàl es el valor de la primera

y la ùltima cuota?

Solución:

A1 = 1000(A/P,30%,n) - 200(A/g,305,5)

A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031)

A1 =112.519

A5 = A1 + (5 - 1)*$200

A5 =112.519+ 4*$200

A5 = 912.519

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

•Para los datos del ejemplo, calcular el

saldo despuès de pagada la tercera cuota.

Solución:

P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519

)35%,30,/(

)35%,30,/(2002003519.1123

PA

gAS

S3 = 1.088,05

SERIE GRADIENTE

(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

PARA LA SERIE GRADIENTE

DECRECIENTE SE UTILIZAN

LAS MISMAS FÓRMULAS QUE

EN LA CRECIENTE, PERO SE

REEMPLAZA g POR -g.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Ak = A1 (1+ ig)k-1

A1 A2

An

P

1 2 n-1 n

0

An-1

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Demostración de la formula para serie

gradiente porcentual, donde:

ig :incremento porcentual en las cuotas.

A1 = A1

A2 = A1 + A1 * ig = A1(1+ ig)

A3 = A2+A2*ig = A2(1+ig) = A1 (1+ ig)2

A4 = A3 + A3*ig = A3 (1+ ig) = A1 (1+ ig)3

Ak = A1 (1+ ig)k-1 (en función de A1) (19)

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Al reemplazar en la fórmula (19), obtenemos:

Pk = A1(1+ig)k-1 (1+i)-k

nk

k

kPP1

pero Pk = Ak (1+i)-k

nk

k

kk

g iiAP1

1

1 )1()1(

Para obtener Al se debe llevar el valor de cada

cuota al presente (Pk) y después realizar la

sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Expandiendo la sumatoria:

P=A1(1+ig)0(1+i)-1+(1+ig)

1 (1+i)-2 +...+(1+ig)(n-1)-1 (1+i)-(n-1)

+ (1+iG)n-1 (1+i)-n (1*)

Multiplicando a ambos lados por: (1+ig)1 (1+i)-1

tendremos:

P(1+ig)(1+i)-1=A1(1+ig)1 (1+i)-2 + (1+ig)

2 (1+i)-3 +...+

(1+ig)(n-1) (1+i)-n + (1+ig)

n (1+i)-n-1 (2*)

nk

k

kk

g iiAP1

1

1 )1()1(

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

El factor del corchete solo será válido para

iig, pues el denominador no puede ser cero.

n

g

g

i

i

iiPA

1

11

1 (20)

Restar de (1*) a (2*), simplificar y despejar

para obtener:

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

g

n

g

ii

i

i

AP1

11

1

(20’)

iig

De la fórmula (20) podemos despejar P:

Partiendo de esta fórmula se puede hallar

Sk.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

P

A1A2 Ak Ak+1

An

Sk = ?

Pendientesn-k cuotas

1 2 k k+1 n0

k Pagadas

El saldo (Sk) será el valor presente en k de

las cuotas pendientes (n-k).

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando

en (19) tenemos:

Ak + 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde

"A1" = A1(1+ig)k

De lo anterior:

g

kn

g

k

gkii

i

i

iAS1

11

)1(1 (18)

iig

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5

años para pagarlo en 5 cuotas que se van

incrementando el 20% anual. Si la tasa

de interés anual es del 30%, ¿cuál es el

valor de la primera y ultima cuota?.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Solución:

19.303$

3.01

2.011

2.03.0000.1

51

A

A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL

(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

•Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una

vez pagada la tercera cuota?

Solución:

ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19

018,775$2.03.0

3.01

2.011

)2.01(19,303

35

3

3

S

Comportamiento del saldo (SK) para las formas

de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Análisis de los tres intervalos.

Intervalo I:

El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P

No hay amortización: ak = 0

La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik

La cuota es inferior a los intereses generados

en el período: Ak = Ik < i. Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas

de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Intervalo II:

El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1

No hay amortización: ak = 0

La cuota es intereses: Ik = Ak

La cuota paga intereses acumulados e

intereses del período: Ak = Ik > i Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas

de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Intervalo III:

El saldo es decreciente pero inferior a P:

P > Sk-1 > Sk

Hay amortización: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk

Los intereses contenidos en la cuota son:

Ik = Ak - ak

Como no se pagan intereses acumulados,

entonces: Ik = i Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas

de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Cuando eventualmente se pase del intervalo

II al intervalo III:

Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortización

contenida en Ak será: ak = P - Sk

Recordemos que se amortiza sólo lo que

abonamos al principal. Así que: Ik = Ak - ak

No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik

Comportamiento del saldo (SK) para las formas

de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE

PAGO