untersuchung der einsatzmöglichkeiten von computer … · symbolische mathematik unterstützt“...

Untersuchung der Einsatzmöglichkeiten von

Computer-Algebra-Systemen (CAS) im Mathematikunterricht der Klassenstufe 11 –

Darstellung von ausgewählten Beispielen zum Einsatz des Casio ClassPad 300

Schriftliche Hausarbeit im Rahmen der Zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien

Dem Landesprüfungsamt für Lehrämter vorgelegt von Lars Kliesche

Potsdam, im April 2004

Inhaltsverzeichnis: Vorwort ...............................................................................................................

2

1. Was sind Computer Algebra Systeme (CAS)? ....................................... 3 1.1. Computer Algebra System – ein Computer im

Taschenrechnerformat? .................................................................. 3

1.2. Beispiele für CAS ............................................................................ 4

2. Einordnung von CAS in den Mathematikunterricht der Klassenstufe 11 ........................................................................................ 5

2.1. „Guter Unterricht wird durch Computeralgebrasysteme noch besser, schlechter Unterricht noch schlechter“ ..................... 5

2.2. Allgemeine Zielvorstellungen des Mathematikunterrichts .................................................................... 6

2.3. CAS im Mathematikunterricht – eine Unterstützung zur Erreichung der Lernziele ......................................................... 9

2.4. Präzisierung der Lernziele für die Klassenstufe 11 mit Hilfe der Planungsdokumente des Landes Brandenburg ................................................................................... 14

2.4.1. Rahmenplan des Landes Brandenburg .............................. 14 2.4.2. Verbindliche Curriculare Vorgaben, EPA ......................... 15 2.4.3. Erkenntnisse aus den Planungsdokumenten ...................... 16 2.5. Konkretisierung der Einsatzmöglichkeiten von

CAS im Lernumfeld der Klassenstufe 11 ....................................... 18

2.6. Einordnung der Anwendungsmöglichkeiten von CAS in die Stoffgebiete der Klassenstufe 11 ...............................................

21

3. Darstellung von Einsatzmöglichkeiten des Casio ClassPad 300 an ausgewählten Beispielen ......................................................................... 23

3.1. Erarbeitung der Ortsdefinition einer Parabel ................................. 24 3.2. Stabilisierung der relativen Häufigkeit für das Ereignis

„Augenzahl Sechs“ beim Werfen eines Würfels ............................. 26

3.3. Selbstständige Überprüfung von Ergebnissen bei Übungsaufgaben durch die Schüler ................................................ 28

4.

Schlusswort .............................................................................................. 30

Anhang ................................................................................................................ 31 A1 Arbeitsblatt zur Ortsdefinition einer Parabel ..................................... 31 A2 Programm zur Stabilisierung relativer Häufigkeiten ......................... 32

A3 Arbeitsblatt zur Stabilisierung relativer Häufigkeiten ........................ 33

Literaturverzeichnis ............................................................................................

34

Erklärung ............................................................................................................ 35

Vorwort - 2 -

Vorwort Noch vor 30 Jahren waren geläufige Hilfsmittel im Mathematikunterricht der Rechenstab und die Logarithmentafeln. Niemand dachte damals daran, dass der technische Fortschritt diese Hilfsmittel in nur 30 Jahren aus den Unterrichtsräumen der heutigen Schule verbannen wird. Taschenrechner und Personalcomputer haben Einzug gehalten und sind für jeden Schüler zur Normalität geworden, wie für viele damals der Rechenstab und die Logarithmentafeln. Taschenrechner und Personalcomputer haben in der Schule mehr verändert, als vielleicht auf den ersten Blick erkennbar ist. Sicherlich steht auch heute bei der Benutzung technischer Hilfsmittel die Entlastung von oft mühsamer und langwieriger Rechenarbeit im Vordergrund, besonders, wenn man genaue Ergebnisse benötigt, oder mit rechenintensiven Algorithmen mehrere Wiederholungen durchlaufen und lange Tabellen erstellen muss. Heute besteht aber auch die Möglichkeit, sich unbekannte Zusammenhänge grafisch veranschaulichen zu lassen, oder Berechnungen direkt an grafischen Darstellungen auszuführen. Selbst darüber hinaus gibt die heutige Technik Einblicke in Strukturen frei, die bisher ohne den Computer nicht erschließbar gewesen waren, denken wir an Stichworte wie Apfelmännchen oder Feigenbaum. Wie oft aber werden Computer heute im Unterricht wirklich eingesetzt? Wird sich der Einsatz häufen, wenn sich der Einsatz der Computer im Taschenrechnerformat in Form von grafikfähigen Taschenrechnern oder Computer Algebra Systemen im Schulklassenraum durchsetzt? Es gilt, sich der Herausforderung durch die neuen Möglichkeiten zu stellen und daraus Konsequenzen zu ziehen. Das verlangt insbesondere auch die Bereitschaft, von Vertrautem Abschied zu nehmen, wenn dies als sinnvoll oder sogar unvermeidbar erkannt wird. Mit den nachfolgenden Ausführungen möchte ich am Beispiel der Klassenstufe 11 den möglichen Einsatz von CAS im Mathematikunterricht darstellen. Mit der Einordnung von CAS in den Zielkatalog des Mathematikunterrichts, in Planungsdokumente des Landes Brandenburg, wie Vorläufiger Rahmenplan, Curriculare Vorgaben, Einheitliche Prüfungsanforderungen für die Abiturprüfung (EPA), möchte ich verdeutlichen, dass der Einsatz von CAS zur Ausbildung von heute geforderten Kompetenzen und der Schaffung notwendigen Wissens hilfreich, nützlich und teilweise sogar erforderlich ist. Dieser Teil meiner Ausführungen wird den Schwerpunkt meiner Arbeit bilden. Im Anschluss daran sollen drei einfache Beispiele verdeutlichen, dass der Einsatz von CAS im Unterricht nicht gleichzeitig stundenlanges Einrichten von Computersystemen, wochenlange Lehrerschulungen und tagelange Vorbereitung am häuslichen Schreibtisch bedeutet. Hinweis zur verwendeten Begrifflichkeit: Im nachfolgenden werden Schüler und Schülerinnen unter dem Begriff Schüler verstanden und nicht im Einzelnen getrennt aufgeführt.

Was sind Computer Algebra Systeme? - 3 -

1. Was sind Computer Algebra Systeme (CAS)?

1.1. Computer Algebra System – ein Computer im Taschenrechnerformat?

Fast alle Menschen benutzen heute einen Taschenrechner, da er ihnen das mechanische Rechnen mit Zahlen abnimmt. Viele von ihnen haben beispielsweise niemals gelernt, einen Rechenschieber zu benutzen oder den Sinus oder Logarithmus einer Zahl ohne elektronische Hilfsmittel zu berechnen. Heutige Taschenrechner können weitaus mehr, als nur mit Zahlen zu rechnen. Der heutige Taschenrechner fand seine Weiterentwicklung in der Computer-Algebra. Computer Algebra Systeme führen die Automatisierung mechanischer Rechnungen einen Schritt weiter. Eine Definition für Computer Algebra Systeme findet man in diversen Nachschlagewerken: „Ein Computer Algebra System (CAS) ist eine Software, die symbolische Mathematik unterstützt“ (aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie). CAS rechnen nicht nur mit ganzen oder rationalen Zahlen nahezu beliebiger Größe, sie berechnen nicht nur Gleitpunktapproximationen auf beliebige Genauigkeit, sie können auch formal-symbolisch mit Parametern rechnen. Dadurch werden Berechnungen möglich, wie z.B. „finde alle x mit “, oder auch komplizierte Berechnungen wie z.B. „finde alle differenzierbaren Funktionen mit

für beliebige Werte von a und b“. CAS in der heutigen Zeit sind in der Lage, mathematische Objekte in Form von Grafiken darzustellen und räumen die Möglichkeit ein, diese Darstellungen dynamisch zu verändern, daran Berechnungen anzustellen, Parameter zu ändern, zu simulieren und zu variieren.

0353 2 =−+ xx)(xy

0)()(' 2 =⋅+++ xabxyxy

Zusammenfassend könnte man die Funktionalität von CAS folgendermaßen kurz zusammenfassen - CAS können:

- mit beliebiger Genauigkeit rechnen. Es ist beispielsweise möglich, π auf 10.000 Stellen genau zu bestimmen,

- algebraische Ausdrücke vereinfachen, vergleichen, Funktionen integrieren und Gleichungen lösen,

- Diagramme und Funktionen grafisch darstellen (2D und 3D) - Lineare Gleichungssysteme lösen und Matrizenberechnung durchführen - mit einer höheren Programmiersprache Benutzern ermöglichen, ihre eigenen

Algorithmen zu implementieren Die Laufzeit der numerischen Programme, die in CAS realisiert werden, ist häufig größer als die gleichwertiger Programme, die in Systemen wie z.B. in C implementiert sind. Durch die spezielle Numerik (Berechnungen mit höherer Genauigkeit) wird zusätzliche Rechenkapazität und Zeit benötigt. Dafür werden beim Betrieb Rundungsfehler weitgehend vermieden, was wissenschaftliche Simulationen (z.B. Wetterentwicklungen) über einen langen Zeitraum möglich macht. Computer Algebra Systeme befreien den Benutzer keinesfalls von mathematischen Überlegungen, sie können mechanische Aspekte der Rechnung vereinfachen, ein nützliches Hilfsmittel beim Hantieren mit mathematischen Objekten und Modellen sein, sei es für Ingenieure, für die mathematische Forschung, oder einfach für Schüler beim Erkennen und Verstehen mathematischer Sachverhalte. CAS werden bald ebenso verständlich sein, wie es heute numerische Taschenrechner sind. Damit werden

Was sind Computer Algebra Systeme? - 4 -

Aufgaben wie „Differenziere “ ebenso leicht dem technischen Hilfsmittel übertragen werden können, wie dies heute ganz selbstverständlich etwa beim Berechnen von

)54(sin 23 +xx

)3,0cos( π⋅ oder 35,4 geschieht. Durch die heute zur Verfügung stehende Technik ist es möglich geworden, CAS im Taschenrechnerformat herzustellen und somit dem mobilen Einsatz im Unterricht den Weg zu ebnen. Das Organisieren von Computerräumen und die Einrichtung spezieller Software ist nicht mehr zwingend notwendig. Der Schüler hat in der heutigen Zeit das CAS in der Schulmappe und kann es jederzeit im Unterricht einsetzen, sei es zur Berechnung von einfachen Aufgaben, zur Darstellung von Funktionen und räumlichen Objekten, bis zum Veranschaulichen komplizierter Zusammenhänge oder Algorithmen. Das CAS übernimmt die Funktionen des Taschenrechners und leistet darüber hinaus noch vieles mehr. Möglicherweise wird dadurch in einigen Jahren der CAS-fähige Taschenrechner den Platz des heutigen Taschenrechners in der Schultasche eines Schülers einnehmen. Aber nicht nur CAS-fähige Taschenrechner sind für die Schule interessant. Saftwarepakete, elektronische Tafelwerke halten Einzug in den Klassenraum bzw. auf den Schreibtisch der Schüler. Der Computer wird immer mehr zum Gebrauchsgegenstand, der Hilfe bietet bei Recherchen, bei Übungsaufgaben oder beim Nachschlagen. Nachfolgend sind einige Beispiele von CAS aufgezählt.

1.2. Beispiele Für CAS:

- Mathematica - Maple - MuPAD - MathCad Didaktische Programmpakete auf Grundlage eines CAS

- Auf der Grundlage von MathCad stellt das Elektronische Tafelwerk von Paetec

eine interaktive Formelsammlung bereit - In den Schulen ist als CAS vorwiegend Derive vertreten. - LiveMath ist das bisher erste CAS, das mittels Plugin dynamisch in Webseiten

integriert werden kann. LiveMath ist im Leistungsumfang gegenüber anderen CAS reduziert und auf den Unterricht zugeschnitten. Besondere Stärken liegen in der interaktiven, dynamischen Verknüpfung von Thermen, Graphen und Tabellen.

Beispiele für Taschenrechner, die CAS beherschen: - TI 98, TI Voyage 200 - Casio ClassPad 300

Einordnung von CAS in den Mathematikunterricht der Klassenstufe 11 - 5 -

2. den Mathematikunterricht der Klassenstufe 11

2.1. „Guter Unterricht wird durch Computeralgebrasysteme noch besser, schlechter Unterricht noch schlechter“ (E. Lehmann, Podiumsdiskussion 1995 in Wolfenbüttel)

Dieser Ausspruch unterstreicht deutlich die besondere Stellung des Lehrers, dessen Kompetenzen und Fähigkeiten mehr als alle technischen Hilfsmittel Voraussetzung für guten Mathematikunterricht sind. Somit werden auch in Zukunft die Fähigkeit und das Geschick des Lehrers für den Erfolg des Unterrichts maßgebend sein. Dabei stehen die Beobachtungsfähigkeit, die pädagogische Phantasie des Lehrers und die Verständlichkeit, der logische Aufbau und die Überzeugungskraft der Lehrersprache im Vordergrund. CAS können im Unterrichtsgeschehen unterstützend eingesetzt werden, um das Unterrichtsziel durch die gemeinsame Arbeit von Schüler und Lehrer auf anschauliche und alltagsbezogene Art und Weise zu erreichen. Das allerdings erfordert vom Lehrer eine „neu zu erlernende“ Planung für den Einsatz des CAS. Nur wenn der Einsatz durchdacht und strukturiert erfolgt, können Computer Algebra Systeme den Mathematikunterricht verständlicher und anschaulicher gestalten. Im Zusammenhang mit Lehren und Lernen lassen sich drei Rollen unterscheiden:1

1. Computer als Unterrichtsgegenstand 2. Computer als Lern- und Informationsmedium 3. Computer als Werkzeug

Der Computer als Unterrichtsgegenstand wird mehr dem Informatikunterricht überlassen. Aber auch im Mathematikunterricht kann es notwendig sein, sich mit dem Aufbau, den Funktionsprinzipien bzw. seiner Programmierung auseinanderzusetzen, wenn es darum geht, Berechnungen des CAS zu interpretieren und Algorithmen zu verstehen bzw. selbst zu programmieren. Diese Rolle wird aber einen geringeren Anteil im Mathematikunterricht einnehmen. Entscheidend für den Mathematikunterricht ist die Rolle des Computers als Lern- und Informationsmedium. In dieser Rolle ist der Computer ein Mittel, dessen Gebrauch Lernvorgänge anregen, fördern und kontrollieren soll, nicht anders, als wir es von herkömmlichen Medien, wie Schulbüchern, Foliensammlungen, Unterrichtsfilmen, Arbeitsblättern, usw. kennen. Dabei hat der Computer Eigenschaften, die ihn von herkömmlichen Lehrmitteln unterscheiden:

- Flexibilität hinsichtlich der materiellen, örtlichen und zeitlichen Verfügbarkeit, Manipulierbarkeit und Handhabung

- Integration bislang getrennter Welten diskreter Daten (Texte, Bilder) und kontinuierlicher Daten (Ton, Filme/ Video) auf einer gemeinsamen Plattform – Multimedia

- Interaktivität in dem Sinne, dass Computer auf Lernhandlungen reagieren und/ oder Rückmeldungen hervorbringen können

- Computer sind individualisierend, sofern sie sich selbsttätig an den Lernfortschritt jedes einzelnen Schülers anpassen

Einordnung von CAS in

1 Vgl. [10]


- Computer schaffen eine Möglichkeit der Vernetzung von Lernen an der Schulbank und Arbeiten im Internet und damit einen aktuellen Bezug des Lerninhalts zur Realität

Im private als Hilfsm dienen. Hier spielen Textverarbeitung, Speichern und Verwalten von Daten in Datenbanken, Rechnen und Erstellen von

eutsche Mathematikdidaktiker haben eine ganze Reihe von Zielkatalogen für den 971),

inter (1972), Lange (1974), Bigalke (1976). In der nachfolgenden Darstellung sollen die wes ezeigt werden2: - Fa

len Dialog“ (Aussagen genau aufnehmen,

achdenken)

Selbstständigkeit und Selbsttätigkeit

n Alltag werden Computer überwiegend als Werkzeug eingesetzt, indem sieittel zur Erledigung alltäglicher Dinge

Grafiken und Zeichnungen eine wesentliche Rolle. Auf mathematischem Gebiet benötigt man den Computer vor allem zum numerischen Rechnen, zum Visualisieren (grafischem Darstellen), zum symbolischen Rechnen, modellieren und konstruieren. Fast alle oben genannten Möglichkeiten der Nutzung eines Computers für den mathematischen Unterricht werden von heutigen CAS zur Verfügung gestellt. Damit ist dem Mathematikunterricht ein didaktisches Hilfsmittel in die Hand gegeben, um den Unterricht bildhafter, anschaulicher und realitätsnaher zu gestalten. Wie aber ordnen sich die neuen Möglichkeiten in die Zielvorstellungen des Mathematikunterrichts ein?

2.2. Allgemeine Zielvorstellungen des Mathematikunterrichts DMathematikunterricht entworfen. Die bekanntesten sind Lenné (1969), Jung (1W

entlichsten Ziele zusammenfassend aufg

chübergreifende Ziele:

o Fundamentale Denktätigkeiten und Denkhaltungen

Anschauungsvermögen • Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens • Verdeutlichen von Situationen durch Darstellungen (Skizze)

Logisches Denken • Innermathematisch (Anwenden der Regeln der formalen Logik beim

mathematischen Argumentieren) • Außermathematisch (Anwenden logischer Prinzipien auf

Alltagssprache und außermathematische Situationen ) Kommunikations- und Kooperationsfähigkeit

• Bereitschaft zum „rationaverdeutlichen, logisch anordnen, …)

Sprachförderung und Kritikfähigkeit • Verbalisieren eigener Han dlungen und Gedanken • Sprachpräzisierung (genaues und verständliches Formulieren) • Formulieren von Begriffsinhalten, Voraussetzungen und

Begründungen – Förderung der allgemeinen Kritikfähigkeit Förderung von Problemlöseverhalten und Kreativität

• aktive Haltung gegenüber neuen Problemen (Mut zum N• kombinatorisches Denken • Kombinationsfähigkeit

ich Zech, Grundkurs Mathematikdidaktik [6], S. 53ff 2 Vgl. Friedr


Geistige Grundtechniken o

Vergleichen

Genauigkeit, …

Allgemeine Ziele des Mathematikunterrichts:

(Operationen, die im täglichen Leben häufig benötigt werden, wie z.B. chriftliche Rechenverfahren, Umgang mit Zirkel und

Lineal, …)

(Zerlegen einer Operation in eine bestimmte Reihenfolge von sich n Einzelschritten)

(

in Umweltsituationen und Ausdrücken dieser in m th

Die Fähigkeit, Umwelterscheinungen mathematischer Art zu verstehen d

o f

D e rischen Seite der Mathematik:

nte Sätze

• Diese Darstellu zu erreichenden i mpetenzen.

Ordnen Abstrahieren Verallgemeinern Klassifizieren Konkretisieren und Spezialisieren Formalisieren Analogisieren

o Allgemeine Erziehungsziele

Gemeint sind z.B. Sorgfalt, Ordnung, Klarheit, Gewissenhaftigkeit,

-

o Auf Einzelinhalte bezogene Fähigkeiten und Haltungen

Beherrschung so genannter „Kulturtechniken“

das Einmaleins, s

Ein Verständnis für „Algorithmisieren“

eventuell wiederholendeDie Fähigkeit, (einfachere) Umweltsituationen zu mathematisieren d.h. Erkennen von mathematischen Beziehungen (z.B.

Rechenoperationen)a ematischer Fachsprache)

(un kritisch zu beurteilen)

instellungenAu das Fach insgesamt bezogene Einsichten und E

i Fähigkeit, Möglichkeiten und Grenzen der Mathematik zu sehen iele Die Freude an der ästhetischen und sp

• an der Eleganz logischer Ableitungen für interessa• an der fachlichen Systematik • an der Schönheit geometrischer Figuren an Denksportaufgaben

ng zeigt eine sehr ausführliche Ko

Auflistung der im Mathematikunterricht Z ele bzw. auszubildenden


Die nachfolgende Abbildung versucht, die aufgezeigten Kompetenzen in 4 Haupt e ichtlich darzustellen.3

In dieser Darsnur aus desondern in Be PeVerantwortlichkeit des Lehrers besteht demnaErziehkann man sehr gut ablesen, dass das Vermverknüpft tOrganisier Mathematikunt iim Verlauf ein Umacht den Unt ifür die Schüle n

AS offensichtlichösen von mathematischen Problemstellung

ber iche einzuteilen und übers

tellung ist sehr schön zu erkenr Vermittlung von fachlichem Wis

reiche eingreift, wie z.B. die

ung der Schüler, wenn auch nur zu e

is mit der Ausbildung von en, Strukturieren, Zuhören,

err cht ist dementsprechend soer nterrichtsstunde angesprocerr cht abwechslungsreich undr. I vielen der dargestellten

(z.B. Visualisieren, heCLKompetenzen, wie Argumentieren, Entwickkann der Einsatz von CAS einen bedeutenden

3 vgl. [16]

Personale Kompetenz(persönlich) - Selbstvertrauen - Selbstwertgefühl

Selbstbild entwickeln (kritische Selbst- wahrnehmung) - eigene Werthaltungen- eigene Motivationen - Auseinandersetzen mit Religion und Weltanschauung - moralische Urteils-

Engagement

Methodenkompetenz(methodisch-strategisch)

- Rechenfähigkeit

iertheit len

Handelns

- Strukturieren

Sachkompe z (fachlich- inha lich) - Grun - Fakten, Regeln - Gesetze - Definitionen - Begriffsver ändnis - Grundtätigkeiten

In Form

- Ope - Kritisieren - Argu en e - heuristisch Entdecken - Experimentier - Urteilen/ Beur

tenlt

- Lesefähigkeit dwissen

- Gesprächsführung - Struktur individuel

- Realistisches

st

Also:

- Darstellen - terpretieren

- alisieren rationalisieren

m

- Organisieren - Planen - Entscheiden - Gestalten - Visualisieren - Umgang mit Medien

tier n es

en teilen

fähigkeit - Entwicklung von Identifikation und

K mo petenzmodell – vier Dime

Sozialkompetenz (sozial-kommunikativ) - Selbstwahrnehmung

- Fremdwahrnehmung- solidarisches Handeln

erations- und liktfähigkeit

- Zuhören

- Integrieren ren

- Selbstverantwortung - Selbstorganisation

- Koop Konf Also:

- Argumentieren - Fragen - Diskutieren - Kooperieren

- Präsentie- Konflikte lösen

nen, dass der Mathematikunterricht nicht t,

rsönlichkeitsentwicklung der Schüler. Die ch für die Wissensvermittlung und für die

r Darstellung itteln von mathematischem Wissen eng

.B. r

etenzen und ausgebildet werden können. Das

nteressante Lernatmosphäre öglichkeiten von

ristisch-experimentelles Erarbeiten und en). Aber auch für die Ausbildung von

.

sen und notwendigen Fertigkeiten besteh

inem gewissen Teil. Aus de

verschiedenen Kompetenzen, wie zDiskutieren, Kritisieren, usw. De zu gestalten, dass mehrere Komphen schafft eine iBereiche sind Einsatzmu

eln der Kritikfähigkeit und Strukturieren Beitrag leisten

nsionen schulischen Lernens


2.3. CAS im Mathematikunterricht - eine Unterstützung zur Erreichung der Lernziele Der Mathematikunterricht ermöglicht folgende drei Grunderfahrungen, die ihn zum llgemein bildenden Unterricht machen: 4

) „Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus atur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu

erstehen, ) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen,

ormeln, pfun dedukten zu l en,

useinande Aufgabeus geh Fähig .”

euer Te für all ungfreic ist der C leistungs g

g von ungen und S ), zu durch dynamische Visualisierungen – den Aufbau adäquater ngen m r Begri e positiv beeinflus

elt ter heur -experimentelles 3).

a (1Nv(2

iv geordnete Welt Bildern und F als geistige Schö gen, als eine eigener Art kenn ernen und zu begreif (3) in der A rsetzung mit n Problemlösefähigkeiten, die über die

en, (heuristische keiten) zu erwerbenMathematik hina Der Einsatz n chnologien ist e drei Grunderfahr en gleichermaßen bedeutsam und hil h: Zum einen omputer ein fähiges Werkzeu

imulationen (→ 1 m anderen kann er zur Unterstützun Modellbild– vor allemGrundvorstellu sen (→ 2), undathematische ffschließlich beflüg der Compu istisch Arbeiten beimProblemlösen (→

Abb. Vom (Anwendungs-) Problem zur Lösung5

Betrachtet man die obige Darstellung dann wird man feststellen, dass bisher in der Schule die Behandlung und Einübung des 2. Schritts, von einem mathematischen Problem in der Modellwelt zu einer Lösung in der Modellwelt, dominierte. Dabei spielte die Einbettung des Problems und der Lösung in die Umwelt (reale Welt) nur eine

Reale elt W Modellwelt

Problemanalyse/ Problem

4 Auszug aus einer Expertise im Auftrag der KMK zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe im Juni 2000

msdiskussion Wolfenbüttel, 1995 [15] 5 vgl. Podiu

Problem

Lösung

Lösung Nutzung/ Bewertung

Mathematisierung

(übersetzen)

(übersetzen)

(rechnen)

Interpretation


untergeord che h den h“ erkennen ließ. Die Wahl der Übungsaufgaben ist oftmals eher

uf die „mechanische“ Problemlösefähigkeit gerichtet, als auf die Darstellung der ers.

am Ende das Problem lösen, aber deren innhaftigkeit und Nutzen in seine tägliche Umgebung weder einordnen, noch im

von CAS weitgehend trivialisiert. Damit bekommt die Forderung nach

on der Lösung in der Modellwelt zur

auch die Lösung in r realen Welt selbst in der Darstellung und Bewertung ihres Nutzens für die

aftigkeit einer Lösung und deren Anwendung eindringen und die upide Abarbeitung eines festen und starren Algorithmus beim Lösen von Aufgaben in en Hintergrund drängen.

Trotzdem wird die Ausbildung der Rechenkompetenz im Mathematikunterricht seine vorrangige Bedeutung beibehalten. Das verlan dass Grundrechenfertigkeiten der Schüler unabhängig von technischen Rechenhilfen ausgebildet werden müssen, ohne durch den Einsatz von Taschenrechnern immer mehr in den Hintergrund gedrängt zu werden. Durch den Einsatz von CAS wird die Gefahr jedoch noch größer, Rechenoperatio nischen Ma überlassen und sich ganz auf die Interpretation und E n Lösungen und Umwelt zu beschränken. Die Verm mpetenz stellt in weiten Bereichen erforderliches Wi notwendige Fähigkeiten zur Verfügung, um weitere Kompetenzen im Mathematikunterricht ausbilden und nutzen zu können. Das wären beispielsweise:

• die Kompetenz, u finden• die Strukturerkennungskompetenz • die Testkom• die Visualisierungskompetenz • die Kompetenz, Technologie passend einzusetzen • ie Ko peten Rech tieren.

etrachtet man den Mathematikunterricht ohne und mit Einsatz von CAS, dann kann

Rechenoperationen durch den Einsatz des CAS trivialisiert und beschleunigt, was die enzen

tage aus Zeitgründen nicht in dem Maße vermittelbar sind.

nete Rolle, was sich deutlich an Fragen der Schüler nach dem „wozu brauic n das eigentlicaBeziehung zwischen Problem/ Lösung und Alltag und Umwelt des SchülResultierend daraus kann der Schüler Stäglichen Umgang anwenden. Der Schritt vom Problem in der mathematischen Sphäre (Modellwelt) zu einer Lösung in der mathematischen Sphäre (Modellwelt) wird durch den Einsatzanwendungsorientiertem Unterricht eine größere Bedeutung. Der Begriff der Lösung wird im Unterricht zukünftig vermehrt den Weg vom Problem in der realen Welt zum Problem in der Modellwelt bzw. den Weg vLösung in der realen Welt, d.h. die mathematische Modellierung und die Interpretation der Lösung in ihrem lebensweltlichen Bezug umfassen. Dabei spielt deAnwendung im Alltag eine größere Rolle. Die Kompetenz der Schüler wird sich demnach durch den Einsatz von CAS in Zukunft immer mehr vom kalkülhaften Arbeiten zum Erfassen mathematischer Problemstellungen, zum Interpretieren, Bewerten und Nutzen mathematischer Lösungen verschieben. Der Schüler wird dabei erkennen, dass in der Mathematik ein Problem auf vielfältige Weise betrachtet, interpretiert und gelöst werden kann. Er wird dadurch mehr und mehr in die Sinnhstd

gt aber auch,

nen der „techinordnung vo

schine“ zu in Alltag

ittlung der Rechenkossen und

Terme z

petenz

d m z, nerarbeit passend zur Aufgabenstellung zu dokumen

Bman erkennen, dass sich beide Unterrichtstypen so stark nicht unterscheiden. Die auszubildenden Kompetenzen und die zu vermittelnden Inhalte sind grundlegend gleich geblieben. Was neu ist, ist eine gewisse Verschiebung der Schwerpunkte hin zur Modellierung, Anwendung, Einordnung in die Umwelt. Dabei werden formale

Grundlage bildet, um das Augenmerk verstärkt auf die Ausbildung von Kompetzu richten, die heutzu


Wie entwickelte sich das heute bekannte mathematische Wissen und wie entsteht neues mathematisches Wissen? Wesentliche Schritte dieser Entwicklung lassen sich wie folgt beschreiben. Bekannte Algorithmen werden angewandt und erzeugen Beispiele, die beobachtet werden. Durch das Beobachten von Beispielen entstehen Vermutungen, deren Richtigkeit bewiesen werden muss. Durch den erfolgreich geführten Beweis wird aus der Vermutung ein neues Theorem. Dieses neu entstandene, anwendbare Wissen wird in einen neuen Algorithmus implementiert, der angewandt wieder zu neuen Beispielen führt, die beobachtet Vermutungen zulassen, die bewiesen zu einem Theorem führen, das implementiert … usw. Dieses Bild der spiralförmigen Entwicklung von (mathematischem) Wissen wurde von Bruno Buchberger gezeichnet. Eine ausführliche Beschreibung der Buchberger`schen Kreativitätsspirale und die Nennung der verwandten Modelle findet sich in dem Buch [Heugl/Klinger/Lechner 1996]6

Der Erkenntnisweg der Schüler ist demnach durch drei Phasen gekennzeichnet, der Experimentierphase, der Exaktifizierungsphase und der Anwendungsphase. In der Experimentierphase werden durch Anwenden bekannter Algorithmen Beispiele erzeugt und durch Beobachtungen Vermutungen aufgestellt. In der nächsten Phase, der Exaktifizierungsphase, wird die Vermutung bewiesen und damit neues Wissen ber g d das im Theorem enthaltene algorithmisch bra b . Die Anwendungsphase ist gekennzeichnet dur d ekannten Algorithmen auf Problemstellungen, realer oder fiktiver Art, wobei die Anwendung auf reale Problemstellungen immer mehr in den Vor r ntnisgewinnung geschieht in der pProblemstellungen bzw. Sachverhalte stoßen, deren Beobachtung und mathematische

eit estellt. Durch Implementieren wiruch are Wissen zu einem Algorithmusch ie Anwendung der b

de grund rückt. Ein wesentlicher Bestandteil der Erken Ex erimentierphase, in der die Schüler durch Anwenden bekannter Algorithmen auf

Analyse Vermutungen zur Lösung zulassen und den Schüler animieren, durch weiteres Experimentieren einer möglichen Lösung oder Erkenntnis auf die Spur zu kommen. Dabei sollen solche Experimentierphasen den Mathematikunterricht ergänzen, nicht den traditionellen Mathematikunterricht ersetzen. Allerdings ist diese Art der Erkenntnisgewinnung besonders in der Experimentierphase sehr zeitaufwendig, was dazu führt, dass nur wenige Beispiele betrachtet werden können, wodurch Vermutungen

6 vgl. B. Kutzler [11]


nur eingeschränkt oder gar nicht möglich werden, was durch mögliche Rechenfehler noch unterstützt wird. Deshalb wird das Experimentieren im Mathematikunterricht nur

chen Taschencomputern könnten wir im Mathematikunterricht inen großen Schritt in diese Richtung vorangehen. Bleibt zu überlegen, wie CAS den athematikunterricht verändern können. Dazu eine Aufstellung aus: "Eine Fortbildung

m Colegio Alemán Lomas Verdes vom 06.11.–10.11.2000 mit StD. Heiko Knechtel "; rschienen in " Der deutsche Lehrer im Ausland" 48. Jg. Mai 2001:

Was wird weniger wichtig? Verschiedene Arten von Hand- und Kopfarbeit ohne Hilfsmittel wie beispielsweise: - formales Lösen von Gleichungen - quantitativ richtiges Zeichnen von Funktionsgraphen - formales Berechnen von Ableitungen, Ableitungsformeln auswendig lernen - formales Berechnen von Integralen und Stammfunktionen, Integrationstechnik - formales Lösen von Differenzialgleichungen

s Grundverständnis für die Schlüsselbegriffe ausbilden - den Verlauf von Funktionsgraphen qualitativ richtig skizzieren, aber mit dem

- Modellbildung an die neuen Werkzeuge anpassen, verbesserte Modelle numerisch oder formal bearbeiten. Formale Rechnung und Numerik

selten durchgeführt. Durch den Einsatz von CAS könnte sich das ändern, denn der Anzahl von Rechenexperimenten sind hier praktische keine Grenzen gesetzt. Weiterhin garantiert der „elektronische Rechenknecht“ die Richtigkeit der Rechnungen. Übrigens haben selbst die großen Mathematiker, wie z.B. Karl Friedrich Gauß, Rechenknechte für sich arbeiten lassen, nur waren es damals menschliche Rechenknechte, die den Weg zu zahlreichen Erkenntnissen ebneten. Selbst Goethe forderte zu seiner Zeit, das „Lernen durch Tun und Beobachten“ zu gestalten. Mit algebraiseMaE „

Was wird bleiben?

- Begriffsbildung: ein gute

Computer quantitativ richtig zeichnen. - Lösungsstrategien entwickeln und ausbilden, Werkzeuge und Methoden flexibel

einsetzen: formale oder numerische Ableitung, Integration, Lösung von Differenzialgleichungen

- Lösungen interpretieren - Lösungen kontrollieren, insbesondere auch auf Plausibilität - Stärken und Schwächen der eigenen Werkzeuge einschätzen, in kritischen Fällen

die verwendeten Methoden rechtfertigen - mathematische Modelle aufstellen und untersuchen

Was bleibt zu tun?

- neue Aufgaben entwickeln, die prinzipiell wichtige Erfahrungen im Umgang mit den aktuellen Werkzeugen vermitteln und den neuen Akzentsetzungen gerecht werden

- Begriffsschulung intensivieren die Methodendiskussion fördern, verschiedene Lösungswege suchen und miteinander vergleichen


kombinieren und die statistischen Eigenschaften der Ausgangsdaten in die Überlegungen einbeziehen. Die verwendeten mathematischen Methoden auf die Qualität der Ausgangsdaten abstimmen. (Theoretische Verbesserungen vereinfachter Modelle bringen nichts, wenn nicht alle benötigten Daten mit hin-reichender Genauigkeit bestimmbar sind.)

- einfache aber nichttriviale Beispiele zur Anwendung des CAS mit Mustercharakter vermitteln.“

Computer bieten besondere Möglichkeiten zur Reduktion und Transformation von Lerninhalten. Mit Hilfe von Simulationen können Begriff und Anschauung von Gegenständen besonders gut vermittelt werden. Die Stärke von Computerunterricht liegt in der Simulation und Demonstration. Dem computerunterstützten Lernen sind aber auch Grenzen gesetzt. Grenzen liegen im

erhaltensbereich, in der Vermittlung von Interaktions- und Kommunikationsfähigkeit wie in der Vermittlung sozialer und affektiver Lernziele.

Die nsatiris eise, wohin der Einsatz von Computern im Mathematikunterricht nicht

Vso

achfolgende Abbildung (Früchte des computerunterstützten Lernens) zeigt in cher Art und Wführen sollte:


„Der LWalterbeschri

1. s ein. Der Mensch flüchtet in die

Dingen zurückzukehren. 2. Die Welt „jenseits der Welt“ ist von glasklarer Rationalität geprägt. All ihre

Komplexität lässt sich durch das Befolgen eindeutiger und starrer Regeln

formalisierten Problemlösungsprozeduren

Herr über die Maschine, mit der er jedoch ständig im Zweikampf liegt

4. Der vielleicht auffälligste Aspekt des Syndroms ist eine emotionale Verarmung

nen nur sehr grob und undifferenziert ausgedrückt werden. Eine personale Begegnung mit gefühlsmäßiger Wärme und Zuwendung ist nur noch schwer möglich. Rechner und Bildschirm werden Partnerersatz“ 7

ie Gefahren, die bei einem Einsatz von Computern, gerade auch in der Schule usgehen können sollte man nicht ignorieren. Der Einsatz von Computern kann das ernen in vielen Bereichen erheblich erleichtern, Lerninhalte anschaulich untermalen nd somit den Unterricht insgesamt attraktiver machen. Dies kann er allerdings nur, enn er sinnvoll, d.h. unter Vermeidung negativer Folgen eingesetzt wird.

2.4. Präzisierung der Lernziele für die Klassenstufe 11 mit Hilfe der Planungsdokumente des Landes Brandenburg

2.4.1. Rahmenplan des Landes Brandenburg8

Vorläufigen Rahmenplan für die Gymnasiale Oberstufe wird das Ausbilden der tudierfähigkeit als allgemeines Ziel der SEK II genannt. Dabei geht es nicht darum, haltliche Teile des Hochschulstudiums zu unterrichten, sondern vielmehr um die ermittlung, Anwendung und Festigung grundlegender Voraussetzungen des issenschaftlichen Arbeitens:

- die Förderung von selbstständigem Arbeiten - die Erschließung von Informationsquellen - das Anwenden heuristischer Vorgehensweisen beim Lösen mathematischer

Sachverhalte - die selbstkritische Überprüfung und kritische Diskussion von Ergebnissen mit

anderen - die sorgfältige Dokumentation von Arbeitsschritten.

eiter des Institus für Humanwissenschaften in Arbeit und Ausbildung, Berlin, VOLPERT, hat vier Hauptmerkmale von typischen Verhaltensstörungen eben, die im Umgang mit Computern besonders leicht entstehen:

Es tritt ein Verlust des Realitätsbezugerationale, synthetische und phantastische Landschaft auf dem Bildschirm. Er hat Schwierigkeiten, zu den realen

bewältigen. Es tritt eine Ritualisierung und Formalisierung des Denkens ein und gleichzeitig eine Ablehnung des täglichen „Durcheinanders“, das im Kontrast zu jener Welt des Formalen nur noch als reines Chaos erscheint. Es wird versucht, auch die realen Lebensprobleme mitin den Griff zu bekommen

3. Es finden sich bei dieser Neurosenform die Gefühle oder Phantasien der Allmacht. Der Bildschirmsüchtige ist sozusagen der

und soziale Isolierung der Betroffenen. Die Sprache wird zum Mitteilen von Fakten und zum Aussprechen knapper Kommandos verkürzt. Affekte und Gefühle kön

DaLuw

ImSinVw

7 vgl. C. Seidel, A. Lipsmeier: „Computerunterstütztes Lernen“ [2] S. 134/ 135 8 vgl. Rahmenplan des Land Brandenburg GOST [3]


Folgende grundsätzlichen Ziele stehen dabei im Vordergrund: - Vermitteln und Festigen grundlegender mathematischer Begriffe, Sätze und

Verfahren, die zur Bewältigung alltäglicher Anforderungen notwendig sind; - Weiterentwicklung der Fähigkeit, mathematische Vermutungen zu formulieren

-

-

- - - das eigene Denken und Können

Durch dargestOberstu en folgende

ompetenzen erwerben:

thematischer Probleme

- Mathematisches Modellieren zur Lösung realitätsnaher Probleme

o Lösen in dem gewählten Modell Inte ontext

o Kritisches Reflektieren der Ergebnisse und der Vorgehensweise

nd Begründen bei mathematischen Sachverhalten

tzen unter Verwendung der jeweils

s Ordnen mathematischer Sätze, Erkennen von Analogien,

- über eine sichere Raumanschauung enbereichen

und mit mathematischen Mitteln zu argumentieren Anregung zum kritischen Denken, abwägendem Prüfen und konstruktivem Gedankenaustausch

- Anleiten zum wissenschaftspropädeutischen Arbeiten, allein und in der Gruppe Ausbauen der Fähigkeit, Sachverhalte mathematisch zu erfassen, darzustellen und ausgewählte mathematische Problemstellungen mit mathematischen Mitteln zu lösen Ausbau der Fähigkeit, mathematische Formulierungen inhaltlich zu deuten Entfalten von Fantasie und Kreativität im Umgang mit Mathematik Aufbauen von Vertrauen in

- Gewähren von Einsichten in die Mathematik als Kulturschöpfung, ihre historische Genese und Bedeutung für die Entwicklung unserer Zivilisation

2.4.2. Verbindliche Curriculare Vorgaben9, EPA10

die verbindlichen Curricularen Vorgaben werden die Ziele und Aufgaben ellt, durch den Vorläufigen Rahmenplan Mathematik für die gymnasiale fe im Land Brandenburg konkretisiert. Die Schüler soll

K

- angemessenes Verwenden der mathematischen Fachsprache - Veranschaulichen und Beschreiben mathematischer Sachverhalte mit Hilfe von

Bildern, Texten und Symbolen - Sachgerechtes, flexibles und kritisches Umgehen mit grundlegenden Begriffen,

Sätzen, Verfahren und Algorithmen, auch zur Lösung innerma

o Beschreiben der Ausgangssituation und der Modellannahme o Mathematisieren

o rpretieren der Ergebnisse im Ausgangsk

- Beherrschen grundlegender Vorgehensweisen zur Gewinnung, Darstellung und Sicherung mathematischer Erkenntnisse, insbesondere

o Konkretisieren mathematischer Aussagen an Beispielen o Nutzen heuristischer Strategien und Verfahren o Argumentieren uo Erläutern von Regeln und Verfahren o Beweisen von mathematischen Sä

geeigneten Beweisverfahren o Lokale

Verallgemeinern, Spezialisieren Verfügen

- Verknüpfen von Inhalten aus verschiedenen mathematischen Them

ung Mathematik [5] 9 vgl. Verbindliche Curriculare Vorgaben des Landes Brandenburg [4] 10 vgl. Einheitliche Prüfungsanforderungen Abiturprüf


- Selbstständiges Auswählen, Nutzen und Bewerten von Informationen

ren der Ergebnisse

- en von Hilfsmitteln, wie zum Beispiel Tafelwerke,

Auszug„Die Vereinbarung zur Gestaltung der gymnasialen Oberstufe in der Sekundarstufe II (Be h 000) bes re athematisch-natu„Im afür den it in infachen Kalkülen, Einsicht in die Mathematisierung von Sachverhalten, in die esonderheiten naturwissenschaftlicher Methoden, in die Entwicklung von

Modell ung unbelebte Natur und in ie Funktion naturwissenschaftlicher Theorien vermittelt werden.““

Curricularen Vorgaben aufgeführt.

Fol nÜbe c

- ng eines konkreten Ergebnisses gefordert wird

- ng vorgegebener mathematischer Objekte auf ihre Eigenschaften, hängen,

- Kon u- Pro m eine sachgerechte Verwendung von Hilfsmitteln

erfo- Aus- Her t

- Daten, Ergebnissen, Lös g

- Übe a inen anderen Sachverhalt im n

2.4.3. ungsdokumenten

Vergleicht ma plan, Curriculare Vorgaben und EPA einm Darstellung der Kompetenzen im Ma m Grundkompetenzen wieder finden lassen. Forderungen wie z.B. Förderung von

ationsquellen, Anwenden

o Erschließen von Informationsquellen o Heuristisches und systematisches Bearbeiten von Problemen o Sorgfältiges Dokumentieren der Arbeitsschritte o Verständliches und übersichtliches Präsentieo Kritisches Reflektieren des eigenen Handelns

Sachgerechtes NutzTaschenrechner, Computersoftware, Internet

aus der EPA des Landes Brandenburg i.d.F. vom 24.05.2002:

sc luss der Kultusministerkonferenz vom 07.07.1972 i.d.F. vom 16.06.2ch ibt die grundlegenden Anforderungen an den Unterricht im mrwissenschaftlich-technischen Aufgabenfeld: m thematisch-naturwissenschaftlich-technischen Aufgabenfeld sollen Verständnis

Vorgang der Abstraktion, die Fähigkeit zu logischem Schließen, SicherheeB

vorstell en und deren Anwendung auf die belebte undd Abzufordernde Kompetenzen in der schriftlichen und mündlichen Prüfung sowie für alternative Prüfungskomponenten werden im Wesentlichen durch die Darstellung der Kernkompetenzen in den

ge de Arten von Aufgaben können lt. EPA u. a. vorkommen, wobei teilweise rs hneidungen möglich sind:

Aufgaben, in denen die Ermittlu- Darstellung, Erläuterung und sachgerechte Anwendung von mathematischen

Begriffen und Verfahren, Untersuchu

- Visualisierung von Sachverhalten und mathematischen Zusammenstr ktionen,

ble stellungen, die rdern, wertung von Informationen, lei ungen, Begründungen, Beweise,

- Modellierung von Sachverhalten, Interpretation, Vergleich und Bewertung von

un swegen oder Verfahren, rtr gung der Ergebnisse einer Untersuchung auf e

Sin e der Vernetzung verschiedener Teilgebiete.

Erkenntnisse aus den Plan

n die Forderungen aus Rahmenal mit der am Anfang dieser Arbeit vorgestellten

the atikunterricht, dann kann man feststellen, dass sich die Forderungen in diesen 4

selbstständigem Arbeiten, Erschließen von Inform


heuristi haltliches Deuten ma von Kreativität und Fantasie im Umgang m lieren und Visualisier ösungswegen, Verfahren und Algorithm sse einer Untersuchu rnetzung unterschiedlicher Tei bwieder entwickeln, wenn er im Unterricht

lten gezwungen ist, kreativ zu sein? Wie soll ein Schüler verschiedene Verfahren und nstellungen nur

alle diese Fragen in Form von

errichtsformen, die en neuen Anforderungen an den Mathematikunterricht gerecht werden treten stärker in

abei wird versucht, die orgehensweise beim Problemlösen und bei der mathematischen Begriffs- und

tierten Unterricht sollen die Schüler an Hand von Pro m

•

e Verfahren Lösungsideen zu generieren,

• truktiv zu nutzen, end genauer zu entwickeln

ergleichen und zu bewerten.

Um dabei ein ausgewogenes Bild von mathematischer Theoriebildung und Anwendung zu rProblem schriebenen Tätigkeiten ist

er Computer, insbesondere der persönlich durchgängig einsetzbare Taschencomputer it CAS nicht auszuklammern, im Gegenteil, der Computer ist geeignet, mehrere der

angesp

scher Vorgehensweisen beim Lösen mathematischer Sachverhalte, inthematischer Formulierungen, Entfalten it Mathematik, Verallgemeinern und Spezialisieren, Model

en, Interpretieren, Vergleichen und Bewerten von Len, Ergebnissen und Daten bzw. die Übertragung der Ergebni

ng auf einen anderen Sachverhalt im Sinne der Velge iete kann man in den Planungsdokumenten an verschiedenen Stellen immer

finden. Wie aber soll ein Schüler Kreativität seAlgorithmen miteinander vergleichen und bewerten, wenn Aufgabeeinen Lösungsweg zulassen? Wie kann ein Schüler mathematische Formulierungen inhaltlich deuten und visualisieren, wenn ihm Vorstellungskraft und Erfahrungen fehlen? Man könnte an dieser Stelle viele weitere Fragen aufwerfen, was nicht heißen soll, dass der heutige Mathematikunterricht Problemstellungen in sich vereint. Im Gegenteil, schaut man sich in Schulen um, dann ist eindeutig zu erkennen, dass der Mathematikunterricht den Anforderungen immer besser gerecht wird. Unterricht wird heute offener gestaltet, mehrere Kompetenzen werden in einer Unterrichtsstunde angesprochen, Stichworte wie offene Aufgabenstellungen, sinnstiftende Kontexte, sind längst keine Fremdworte mehr und werden zunehmend stärker im Unterrichtsgeschehen eingesetzt. Untdden Vordergrund. Eine dieser Unterrichtsformen, ist der „tätige Mathematikunterricht“ oder „handlungsorientierte Unterricht“. Diese Unterrichtsform legt den Schwerpunkt auf das Entstehen von mathematischen Ergebnissen. DVTheoriebildung in einem schöpferischen Prozess zu vermitteln. In einem solchen handlungsorien

ble kontexten lernen,

neugierig zu sein, • Probleme zu erkennen, • sie als Fragen zu formulieren, zu präzisieren, zu variieren, • durch heuristisch• die Ideen auszuformulieren und zu überprüfen,

Fehler kons• ihre Lösungen sprachlich zunehm• Verschiedene Lösungen miteinander zu v

ve mitteln sollten sowohl anwendungsorientierte als auch innermathematische felder ausgewählt werden. Bei vielen der oben be

dm

rochenen Tätigkeiten zu unterstützen:

• bequemes Schreiben beim Formulieren und beim Planen und Organisieren, sowie das Kommentieren von Rechnungen,

• die graphische Veranschaulichung von Größen, Funktionen, räumlichen Vorstellungen,


• bequemes Zahlenrechnen für Beispiele, Aufstellen von Tabellen zum Entdecken von Zusammenhängen, umfangreiches Zahlenrechen bei realitätsnahen Problemen,

• bequemes symbolisches Manipulieren von Formeln.

Mit einem gleichzeitigen Einsatz sinnstiftender Kontexte in den Aufgabenstellungen, wie sie derzeit gerade nach PISA und TIMSS gefordert werden, würde man erreichen, dass der handlungsorientierte Unterricht die Schüler beim Lösen von Problemstellungen näher an die Anwendung im Alltag heranbringt. Der Einsatz von CAS würde in diesem Zusammenhang nicht nur eine Unterstützung in der Ausbildung handlungsorientierter Kompetenzen bedeuten. Er könnte gleichzeitig im Kontext der Anwendungsbezogenheit helfen, reale Sachverhalte mathematisch zu beschreiben und zu visualisieren. Durch Modellierungen wären die Schüler in der Lage, mathematische Objekte an die Realität anzupassen und somit einen Bezug zu Algorithmen und Lösungsstrategien zu entwickeln, diese zu verstehen und weiterzuentwickeln. Die Schüler könnten ihre Lösungswege untereinander vergleichen und ihre Lösungen überprüfen, selbstständig und kritisch Lösungswege und Ergebnisse betrachten und diskutieren.

2.5. Konkretisierung der Einsatzmöglichkeiten von CAS im Lernumfeld der Klassenstufe 11

Im nachfolgenden wird der Einsatz des CAS in der Schule in 4 große Themenbereiche eingeordnet und deren Inhalt näher erklärt. - Einsatz zum Überprüfen Mit dem Einsatz von CAS im Unterricht ist eine Selbstkontrolle gelöster Aufgaben durch den Schüler selbstständig und einfach zu realisieren. Durch die Möglichkeit der einfachen Selbstkontrolle reduzieren sich zeitaufwendige gemeinsame Kontrollen mit der ganzen Klasse. Weiterhin haben die Schüler die Möglichkeit, bei komplexen Aufgaben Zwischenergebnisse zu vergleichen, um zu verhindern, dass Lösungswege auf n iese Vorgehensweise bein lwie u nnen, dass sie bis zu einem bes m t haben. Weiterhin wird den Schülern die Mö c wärts zu verfolgen und b richtiges Zwischenergebnis lieferte. Die Zeit der Suche nach dem Fehler wird dabei eingegrenzt nd die Konzentration der Schülerarbeit auf die Fehlerbeseitigung erhöht. Somit kann

en. CAS lassen eine ganz andere Aufgabenstruktur beim Üben und Festigen zu, wenn es darum d zu stellen. schen CAS dabei eine wesentlich grö re ch dem Wissenstand der Schüler anpassen, die erkennen, wann Übungsaufgaben stärker geübt werden müssen, könnten und würden individuell auf den einzelnen Schüler eingehen.

gru d kleiner Rechenfehler auf falsche Endergebnisse führen. Dha tet nicht nur die Kontrolle eigener Ergebnisse, sondern motiviert leistungsstarke

a ch leistungsschwache Schüler, wenn sie erketim ten Punkt richtig gerechnegli hkeit gegeben, ihre Rechenwege bis zum Fehlerpunkt rück ei dem Punkt wieder neu zu beginnen, der als letzter ein

uder Lehrer stärker und gezielter auf einzelne Schüler bzw. Schülergruppen bzw. Problemstellungen eingehen. Weiterhin wird den Schülern durch eine schnelle Selbstkontrolle ermöglicht, ihr eigenes Lerntempo zu bestimmen. Durch eine Vielzahl von Aufgaben kann damit den Schülern die Möglichkeit gegeben werden, sich mehr auf schwierige oder leichtere Aufgaben zu stürzen, je nachdem, wie viele richtige Lösungen sie bis zu diesem Zeitpunkt schon erreicht hab

geht, vielschichtige Aufgabenstellungen mit wachsendem Schwierigkeitsgra Zusätzlich könnte der Einsatz von dynami

ße Rolle spielen, als wir es bis jetzt betrachtet haben. Systeme, die si


Zei d tworten eindeutig, dass er noch Übung benötig reich weitere Übungs inen Schritt weiter geh k der damit eine weitere, im Anforderungsniveau höhere Stufe erreichen kann, wird durch das CAS auf eine neue

formuliert nicht Lehrbuch der Schüler stehen? Um die Vielfalt des Alltags in die Schule zu bringen,

ie Flexibilität der Schüler beim Anwenden eines Algorithmus auf verschiedenste Auf nb n, muss m u bietet sich der Einsatz von CAS im Mathematikunterricht

rmlich an. Durch die Veränderung von Parametern kann der Schüler mit Hilfe von

erkennen, wie man Parameter ändern muss, m bestimmte Situationen zu simulieren, er kann durch Anwendungen demonstrieren,

unterschiedlichen Herangehensweisen interpretiert,

rückt ein Stückchen näher in den

gt er Schüler mit der Anzahl der falschen Ant wird das CAS dem Schüler in diesem Anforderungsbeaufgaben stellen. Der Schüler auf der anderen Seite, der e

en ann, da seine Lernvoraussetzungen gefestigt sind und

Ebene von Übungsaufgaben geleitet und dort wiederum individuell betreut. Das bedeutet keineswegs, dass der Lehrer in dieser Zeit überflüssig wird. Er steht als Berater und Helfer den Schülern jederzeit zur Verfügung. Solche dynamischen Systeme ermöglichen eine hohe individuelle Leistungsdifferenzierung gerade in Übungs- und Festigungsphasen im Unterricht. - Einsatz zum Modellieren Betrachtet man immer nur gleichartige Beispiele zu einem mathematischen Sachverhalt, verleitet es die Schüler dazu, Algorithmen zum Lösen der Aufgaben stur auswendig zu lernen. Das führt dazu, dass ein Schüler gleichartige Aufgabentypen immer wieder mit diesem Algorithmus lösen kann und wird. Was aber passiert, wenn Parameter von dem vorherigen Beispiel abweichen, wenn der Alltag Fragen aufwirft, die soimd

gabe estellung und Anforderungen aus dem Umfeld der Schüler zu gewährleistean modellieren. Daz

föCAS erkennen, wie sich der Einfluss eines Parameters auf konkrete mathematische Sachverhalte und Objekte auswirkt, er kannuwie Aufgabenstellungen mit analysiert und gelöst werden können. Das Zusammenspiel von mathematischer Veränderung von Parametern und dem visuellen Erkennen der Veränderung in der resultierenden mathematischen Darstellung, in der Funktion oder im Lösungsalgorithmus verbindet die mathematische Theorie im Kopf des Schülers mit der daraus resultierenden Vorstellung über die Veränderung im Ergebnis. Die Schüler entwickeln ein Gefühl für Modellierungen und Parametereinstellungen. Diese Art der Modellierung ist durch den Einsatz von CAS auf einfache Weise gegeben. Der Schüler kann sich durch eigenständige logische Modellierung einer Lösung nähern, oder versuchen, Alltagsereignisse anzugleichen, der Lehrer kann mit Hilfe vorgegebener Modellierungen Gesetzmäßigkeiten anschaulich darstellen und vermitteln, oder durch eine geschickte Vorgehensweise mit Hilfe von Modellierungen den heuristischen Erkenntnisweg der Schüler initiieren und unterstützen. - Einsatz zum Veranschaulichen/ Visualisieren Durch die Funktionalität eines CAS 2D und 3D Grafiken zu erzeugen, ist allein hier schon die Möglichkeit gegeben, das Vorstellungsvermögen der Schüler in der Geometrie unterstützend auszubilden. Durch dynamische Geometriesysteme können Körper dargestellt werden und zu betrachtende Elemente herausgearbeitet und visualisiert werden. Kurz gesagt, die reale WeltKlassenraum. Geometrische Modelle aus dem Mathematikunterricht, Kegel, Quader, Zylinder, … können am Computer simuliert werden. Das schult nicht nur das räumliche Vorstellungsvermögen der Schüler, es eröffnet gleichzeitig die Möglichkeit, sich Körper unter bestimmten Bedingungen anzuschauen. Aber nicht nur in der Geometrie ist Anschaulichkeit sehr wichtig. Anschaulichkeit meint auch die Darstellung möglicher Rechenschritte an vielfältigen Beispielen. Jeder Schüler ist froh, wenn der Lehrer die


einzelnen Schritte zum Lösen einer Aufgabe an die Tafel schreibt. Beim eigenständigen Lösen, fangen dann die Probleme meistens wieder an. Das CAS könnte helfen, weiterhin beim eigenen Lösen, Zwischenschritte deutlich zu machen und somit dem Schüler bewusst zu machen, hier fehlt noch etwas, damit ich weiterrechnen kann, oder zu sagen, okay, hier können wir jetzt weitergehen. - Einsatz zum Analysieren Viele Aufgaben im Mathematikunterricht beginnen mit: Gegeben sind, … Ein Reihe mathematischer Ausdrücke schließen sich an. Wichtig für die Herangehensweise des Schülers an ein Problem ist die Analyse der Aufgabenstellung, die Voraussetzungen

hafft, damit der Schüler den Inhalt versteht und für die Lösung entscheidende mpo . Durch den Einsatz des CAS ist der Schüler in der

en“ zu generieren, indem die chüler für sich bestätigen, richtige Lösungen gefunden bzw. richtige Vermutungen und

scKo nenten herausfiltern kannLage mit geringem Aufwand mathematische Sachverhalte zu visualisieren, möglicherweise Funktionsgrafen darzustellen und sich somit der Problemstellung zu nähern. Weiterhin kann der Schüler Vermutungen äußern und diese grundlegend mit Hilfe des CAS überprüfen, was den Schüler durch systematisches und überlegtes Probieren und Modellieren an die Problemstellung und Lösung der Aufgabenstellung heranbringt. Analysieren kann aber auch anders betrachtet werden. Fehleranalysen sind ein wichtiger Bestandteil der Arbeit bei Schülern, gerade wenn es um komplexe Aufgabenstellungen geht, in denen mit Zwischenergebnissen weitergerechnet werden muss. Übt man mit den Schülern das Aufspüren von Fehlern werden den Schülern nicht nur häufige Fehlerursachen bewusst, sondern auch Lösungswege und Vorgehensweisen verdeutlicht und gefestigt. Weiterhin entwickelt der Schüler sein logisches Denkvermögen weiter. Das CAS kann in solchen Analysen, bei denen es weniger darum geht, Rechenkompetenz auszubilden, langwierige Rechenoperationen abnehmen und unterstützend mit Hilfe von Modellierung und Visualisierung an die Fehlerursache heranführen, bzw. verdeutlichen, wie sich dieser Fehler auf den Fortgang der Aufgabenlösung auswirkt.

Generell gibt es zwei ganz wichtige Komponenten, die das Lernen beim Schüler unterstützen:

Lernen am Erfolg

Handlungsweisen, denen eine Belohnung folgt, erfahren also eine Verstärkung oder Bekräftigung. Durch den Einsatz von CAS ist es möglich, während der Bearbeitung von Aufgaben durch die Kontrolle von Zwischenergebnissen, durch die Visualisierung von vermuteten grafischen Objekten solche „BelohnungSStrategien aufgestellt zu haben.

Lernen durch Einsicht Durch die Möglichkeit der Modellierung kann dem Schüler eine Vielfalt von Lösungsansätzen dargestellt werden. Ideenreichtum und Kreativität des Schülers werden als Ergebnis gefördert. Durch die Darstellung der Aufgabenlösungen und deren schrittweise Darstellung wird bei den Schülern auf einfache Weise ein selbstgesteuerter Erkenntnisprozess eingeleitet. Geführt durch das CAS gelangt der Schüler schrittweise zur Lösung des Problems. Verständnis für Algorithmen und Gesetzmäßigkeiten bzw. deren Nutzungsmöglichkeiten werden dem Schüler deutlich gemacht. Das führt zu


einem schnelleren Erkenntnisprozess, vergleichbar mit einem Einfall bzw. „Aha-Erlebnis“ beim Schüler. Wie ordnen sich diese Möglichkeiten in die Stoffgebiete in der Klassenstufe 11 ein?

2.6. dungsmöglichkeiten von CAS in die Stoffgebiete der

Einordnung der Anwen Klassenstufe 11

2 h Wiederholung

Funktionsbegriff

Definition des Funktionsbegriffs, Beispiele und Gegenbeispiele für Funktionen Gleichung einer linearen Funktion; Bedeutung von m und n. Berechnung von m aus dem gegebenen Grafen

4 h

Normalform, Punktrichtungsgleichung und Zweipunktegleichung

Herleitung der beiden Gleichungen, Umwandlung in die Normalform, Übungen

4 h

Lage von Geraden und speziell: zueinander orthogonale Geraden

Schnittpunkte von zwei Geraden, Achsenschnittpunkte und Schnittwinkel Herleitung der Beziehung m1 = -1 / m2

5 h

Geometrie der Parabel - Wiederholung quadratischer Funktionen

Gleichungen einer quadratischen Funktion: Normalform und Scheitelpunktsform, Ortsdefinition der Parabel, Konstruktion von Parabeln, grafische Darstellung

5 h Lagebeziehungen von Gerade

und Parabel

Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel und speziell Achsenschnittpunkte

7 h Kreise in der Ebene

Kreisgleichungen und deren Umwandlungen: Ursprungsform, Mittelpunktsform, allgemeine Form. Bestimmung der Kreisgleichung aus 3 Punkten

kurs

Kla

ssen

stuf

e 11

7 h Kreise und Geraden Berechnen der jeweiligen Lage von Kreis und Gerade. Tangentengleichung (Ursprungskreis)

Passante, Tangente, Sekante als Lagebeziehungen zwischen Kreis und Gerade.

Einführung in die beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Auswerten von Urlisten: Mittelwert, Median, Modalwert, grafische Darstellung, Standardabweichung, Varianz Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace, Kombinatorik, Baumdiagramme, mehrstufige Zufallsexperimente

15 h

Stof

fgeb

iete

Lei

stun

gs

12h Zahlenfolgen

Definition, Bildungsvorschriften, Monotonie, Schranken, Grenzen, Grenzwerte

3h Ergänzung: vollständige Induktion Beweisen mittels vollständiger Induktion

20h

Funktionen

Funktionsarten: Rationale, einfache gebrochen-rationale Funktionen und deren Eigenschaften: NS, Pole,

renzwerte von Funktionen

Monotonie, Symmetrie, Extrema, Graf, Stetigkeit Grenzwertbegriff Asymptoten

G

18h Einführung in die Differenzialrechnung

Ableitung, Bedeutung der Ableitung in Anwendungen, Ableitungsfunktion, -regeln (Summen-, Faktor- und Potenzregel) Zusätzlich Produkt- und Quotientenregel, Erweiterung der Potenzregel auf rationale Zahlen

Differenzenquotient, Differenzialquotient, Tangente, 1.

18h Funktionsuntersuchungen

Monotonie-Kriterium, höhere Ableitungen von ganzrationalen Funktionen, Bestimmung von Extremstellen, Wendestellen und Grafen aus sämtlichen Eigenschaften ableiten

10h Extremwertaufgaben Anwendung der Funktionsuntersuchungen


Betrachtet man die Stoffgebiete der Klassenstufe 11 bieten sich eine Fülle von Anwendungsmöglichkeiten für CAS. Einige möchte ich nachfolgend kurz aufzählen zw. beschreiben.

AS inzusetzen. Ob beim Wiederholen vom Funktionsbegriff oder allgemein von unktionen am Anfang des 1. Halbjahres durch Darstellung verschiedener

Fun sgBetrachtung von Grenzwerten im 2. Halbjahr. Darstellungen von Lagebeziehungen zwischen Kreisen, Geraden und anderen geometrischen Objekten helfen, das Vorstellungsvermögen der Schüler zu entwickeln und die Aufgabenstellungen anschaulicher zu gestalten. Weiterhin bietet sich der Einsatz von CAS zur Erarbeitung von neuen Inhalten an. Beispielsweise bei Einführung der Parabel kann die Ortsdefinition unter Benutzung des Geometrie den.

arabelkonstruk onen k h Erkennen von Zusammenhängen mit Hilfe des CAS entwicke w dekon ruieren. Gerad be arabeln bietet es sich weiterhin an, durch Modellierung die Einflüsse von Parametern Koordinatensystem zu untersuchen und math beschreiben. In der Beschreibenden Statistik können grafische Darstellungen das Verständnis für Häufigkeitsverteilungen nd für das Einführen von Streumaßen ein setzt w n durstat tische Versuch u ei das Auftreten von Augenzahlen beim W atz es CAS bietet ab e c werden können,

fordert. Damit könnte der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Stabilisieru Auftreten möglicher Ereignisse gezeigt werden. von m matischen Gleichungen aus vorgegebenen Anfangsbedingungen und andererseits das Aufstellen von Wertetabellen bei vorgegeben Abschnitt Zahlenfolgen können dadurch Werte von Zahlenfolgen einfach bestimmt, andererseits aber auch aus rekursiven ZuordnungsvorsZ nu gsvors hrift be . Das ermw seln e Aufga t it Hilfe des CAS durch die Schüler b eit nd kontrolliert t das CAS in allen Bereichen eingesetzt werden. Grenzwertberechnungen, Verhalten von Funktionen im Unendlichen, Bestimmen von Asymptoten, Lagebeziehungen, E tlu g von ch tp rsuch em CAS überprüfen und diskutieren. Für Ausblicke in höhMotivation und Begriffsbildung unterstützend ein kann durch Bilden von Ober- und Untersummen auf nde gleichzeitige Visualisierung die Heranführung an lbegriff auf heuristische Weise u terstützt werde d n anschaulichen Zugang zur esamten Them reihe, was gleichzeitig auch einensgesamt kann man feststellen, dass der Ein lassenstufe 11 m e Gründe gibt, den Einsatz des CAS im nterricht zu unterstüt errundvoraussetzung für den sinnvollen Einsatz e arstellt. Es soll vorweg genau überlegt werden, tz des AS und in welch fwachülern zueinander. Weiterhin muss sichergestellt werden, dass die Schüler mit dem AS umgehen können, um Vo g durch

bSämtliche Stoffgebiete bieten die Möglichkeit, die Visualisierungsfunktion des CeF

ktion rafen, oder als Unterstützung bei Kurvendiskussionen bzw. bei der

moduls analytisch ermittelt werP ti

lt önnen durcn, bevor die Schüler im Stoffgebiet P

ere

üben, Parabeln mit der Hand zu st

auf die Lage von Parabeln imematisch zu

unterstützen und motivierege erden. Das CAS kan

simulieren. Beispielsw Werfen von

ch seine Programmierfunktion helfen, se können somit Statistiken über is e zürfeln simuliert werden. Der Einshungen durchgeführtd d ei d n Vorteil, dass Untersu

iederholungen erdie eine große Anzahl von W möglicherweise in ng von relativen Häufigkeiten beim

CAS ermöglichen das Aufstellenathe

uordechearb

rmit

en mathematischen Gleichungen. Im

chriften die explizite öglicht Kontrollfunktionen, aber auch n c stimmt werden

ellungen, die jeweils m werden können. In Fes

d bensu igungs- und Übungsphasen kann

n S nit unkten, Kurvenunte ungen, … lassen sich mit dere Klassenstufen kann das CAS zur gesetzt werden. Beispielsweise dem CAS und eine entspreche den Integra

n n. Die Schüler erhalten amit eineg en motivierende Wirkung beinhaltet.

satz in allen Stoffgebieten in derIK öglich ist und es unzähligU zen. Dabei sollte ab auch beachtet werden, dass die

e gut durchdachte Aufgabenstellung G ind te welchen Zielen dient der Einsa

nd und Kompetenzzuwachs bei den C em Verhältnis stehen AuSC ein Verpuffen der rteile des CAS im Schulallta


Auftreten von unzähligen Bedienungs- und Verständnisproblemen zu verhindern. Das erfordert eine Einarbeitungsphase in das CAS und einen regelmäßigen Umgang damit. Gerade hier bieten die Taschenrechner mit CAS ihre Vorteile, da der Schüler im täglichen Umgang mit diesen Geräten die Scheu vor diesem hochtechnisierten Gerät verliert und der Umgang alltäglich und gewohnt wird und somit der Einsatz im Unterricht ohne Mehraufwand für Erklärungen in Hinblick auf Bedienung und Umgang mit dem Gerät erfolgen kann. 3. Darstellung von Einsatzmöglichkeiten des Casio ClassPad 300 an ausgewählten

Beispielen Im nachfolgenden Teil der Arbeit möchte ich versuchen, ausgehend von den aufgezeigten Einsatzmöglichkeiten von CAS in der Klassenstufe 11 einige Einsatzmöglichkeiten konkret darzustellen. Dabei werde ich mich auf ein spezielles CAS beziehen, den Casio ClassPad 300. Dieses Casio-Gerät ist ein CAS im Taschenrechnerformat. Es handelt sich damit um ein Gerät, das die Funktionen eines gewöhnlichen Taschenrechners und eines CAS vereint und welches bequem in der Schultasche der Schüler seinen Platz finden kann. Vorteil: Der Casio ClassPad 300 und seine Funktions- und Bedienfunktionen sind dem Schüler bekannt, er kann ihn stets einsetzen, so wie er seinen alt bekannten Taschenrechner auch einsetzen würde. 3 Beispiele möchte ich herausgreifen:

1. Erarbeitung der Ortsdefinition einer Parabel 2. Stabilisierung der Relativen Häufigkeit für das Ereignis „Augenzahl sechs“ beim

Werfen eines Würfels 3. Selbstständige Überprüfung von Ergebnissen bei Übungsaufgaben durch die

Schüler (Verhalten von Funktionen mit ±∞→x , Bestimmen von Asymptoten) Dabei werde ich im nachfolgenden kurz auf didaktische Ziele und die Beschreibung des Einsatzes des Casio ClassPad 300 eingehen. Die dabei benutzten Screenshots sind Darstellungen, wie sie der Casio auf seinem Display beim Ausführen der dargestellten Aufgabenstellungen ausgibt. Arbeitsblätter, wie sie in den dargestellten Stunden möglich wären, sind im Anhang aufgeführt. Die den nachfolgend dargestellten Einsatzmöglichkeiten zugrunde liegenden didaktischen Zielstellungen kann man folgendermaßen zusammenfassen:

• Nutzung moderner, fachübergreifender Arbeits- und Kommunikationstechniken (Medienkompetenz)

• Verbesserung der Modellierungs-, Algorithmisierungs- und Analysefähigkeit der Schüler

• Analysen, Interpretationen und Vergleiche von Lösungsstrategien (Methodenkompetenz)

• Ausprägung von individueller Arbeit und Teamarbeit • Erhöhung der Selbständigkeit und Kreativität ("Lernen" lernen,

Lernkompetenz) • Visualisierung der Lehrplaninhalte, Vergleich von geometrischen und

analytischen Lösungen

Darstellung ausgewählter Beispiele mit dem Casio ClassPad 300 - 24 -

3.1. Erarbeitung der Ortsdefinition einer Parabel Ortsdefinition einer Parabel: Die Menge aller Punkte P einer Ebene sind Punkte der Parabel p wenn gilt, alle Punkte P haben vom Brennpunkt F und von der Leitlinie l den gleichen Abstand.

PLPF = Die Schüler erkennen diesen Zusammenhang durch Ausführung und Analyse von Konstruktionsschritten mit dem Casio ClassPad 300: Stundenthema: Betrachtung der Reflexion an einem Hohlspiegel – Ableiten der

Ortsdefinition einer Parabel

- Konstruktion mit Hilfe des Casio ClassPad 300 - Ziel: Finden einer Ortsdefinition zur Beschreibung von Parabeln in allgemeiner

Lage (Voraussetzung: Schüler können mit den Begriff „Ortsdefinition“ umgehen und wissen, was sich hinter diesem Begriff verbirgt)

Die Konstruktionsschritte sind imeinzeln aufgeführt. In den nachfo

Anhang A1 als Arbeitsblatt für die Schüler lgenden Darstellungen sind die grundlegenden

300 aufgezeigt. Da die einzelnen

Zeichengeräten durch Schüler nicht geschult. Wichtiger ist hier das Erkennen der

ei die Sch es Casio umgehen können, und auch die Konstruktionen verschiedenener Elemente

io und einem OH-Projektor für alle Schüler sichtbar gemacht werden. Jeder Schüler sollte möglichst viele der aufgezeigten

en. Um diese Schritte auf de etrisches Beg fs über geometrische Grundk tische Aufgabe, wob d g zwischen den Para l sie ihre Ver t einzelne Konstruktionsschritte für andere Para Abs d ennpunkt zu bestimm amt sollten die S h rabel find , um fortführend Parabelkonstruktionen selbstständig ausführen und verstehen zu können.

Schritte als Abbilder des Casio ClassPad Konstruktionsschritte der Casio-Rechner ausführt, wird hier der Umgang mit

Vorgehensweise und der Gesetzmäßigkeiten die dahinterstecken. Voraussetzung für ne solche Konstruktion ist natürlich, dass üler mit dem Geometriemenü d

nichts Unbekanntes für die Schüler sind. Durch den Taschenrechner wird es dem Lehrer ermöglicht, auf einzelne Konstruktionschritte besonders einzugehen, um deren Notwendigkeit darzustellen, oder einfach um Zusammenhänge deutlicher herauszuarbeiten. Dabei kann die Darstellung einzelner Konstruktionsschritte mit Hilfe einer Durchlichteinheit für den Cas

Konstruktionsschritte selbstständig ausführen und durch eigene Schlussfolgerungen auf die Formulierung der Ortsdefinition kommen. Dabei sind die einzelnen Konstruktionsschritte im Wesentlichen bis zum Punkt 7 vorgegeb

m Casio ausführen zu können, sind geomrif verständnis und anwendungsbereites Wissen

onstruktionen notwendig. Der Punkt 8 beinhaltet eine analyei en Schülern selbst überlassen ist, wie sie den Zusammenhanbe punkten und Brennpunkt bzw. Leitlinie finden bzw. wie

mu ungen an weiteren Punkten überprüfen. Dabei können die Schülerbelpunkte wiederholen oder auch die

tan sfunktion des Casio benutzen, um Abstände zu Leitline und Bren. Die Vorgehensweise obliegt den einzelnen Schülern. Insges

c üler über diese Konstruktion einen Zugang zur Ortsdefinition einer Paen und sich nebenbei einen gewissen geometrischen Vorlauf erarbeiten


Kon ti

2.) Tangentenkonstruktion 3.) Konstruktion der Einfallslote

4./ 5.) Br

DurundmehAnweinzdursichKreMit6 ErkAbeSchbenErkderen anschließende Überprüfung werden dadurch nicht nur wichtige grundlegende

struk onsschritte: 1.) Parabelkonstruktion

ennpunktbestimmung 6.) Konstruktion der Leitlinie 7.) Kennzeichnung der Leitlinie

ch den Einsatz des CAS wird aber nicht jede Konstruktion automatisch einfacher leichter, aufgrund dessen, dass der Schüler einzelne Konstruktionsschritte nicht r selbstständig ausführen muss. Gerade weil der Schüler „nur noch“ die eisungen für die Konstruktionsschritte geben muss, die Konstruktionen aber

eln nicht mehr selbst ausführt, geht die Anschaulichkeit und der Erkenntniseffekt ch das eigene tätige Konstruieren ein Stück weit verloren. Für den Schüler ist es erlich einsichtig, dass jeder Punkt auf einem Kreisbogen zum Mittelpunkt des isbogens den gleichen Abstand hat, wenn er den Kreisbogen einmal um den telpunkt gezeichnet hat. Aufgrund dessen, dass die Schüler im Konstruktionsschritt den Zirkelbogen nicht selbstständig konstruieren, wird der Prozess der enntnisgewinnung über den gewünschten Zusammenhang für den Schüler schwerer. r gerade das macht die analytische Herangehensweise an dieser Stelle aus. Die üler untersuchen die Abbildung auf Gemeinsamkeiten von Parabelpunkten und utzen dabei ihre Kenntnisse über die ausgeführten Konstruktionsschritte. Mit dem ennen der gewünschten Zusammenhänge bzw. das Aufstellen von Vermutungen und


Eigenschaften der einzelnen Konstruktionsschritte verinnerlicht, sondern auch in der rafischen Abbildung nachfolgend wieder erkannt und somit in zweifachem Maße

ermöglic ise die enkvermögen, fördert die Beobachtungsfähigkeit und schult die selbstkritische etrachtung und Analyse eigener gewonnener Ergebnisse.

3.2. Stabilisierung der Relativen Häufigkeit für das Ereignis „Augenzahl Sechs“ beim Werfen eines Würfels

urch ein kurzes Programm können wir den Casio ClassPad 300 dazu befähigen, für ine beliebige einzugebende Anzahl von Wiederholungen das Werfen eines Würfels zu imulieren und die gewürfelten Ereignisse zusammengefasst und übersichtlich auf dem isplay anzuzeigen. Der Lehrer erhält damit die Möglichkeit, im Unterricht ürfelexperimente durchzuführen, bei denen die Anzahl der Würfe die Möglichkeiten

es manuellen Ausführens bei weitem übersteigen kann. Besonders für die xperimentelle Untersuchung der Stabilisierung der relativen Häufigkeiten ist dieses

eh Häu irklich auf 1/6 einstellt. Dabei sollen die Schüler durch ein Experiment die erbindung zur realen Welt behalten und selbst durch eigenes Tun und Überlegungen

uf diese Erkenntnis kommen, bzw. ihre Vermutung zum Ergebnis des Experiments estätigen. m Anhang A2 ist das Programm zum Erzeugen der absoluten Häufigkeiten mit Hilfe es Zufallszahlengenerators des Casio dargestellt. In einem Leistungskurs ist es urchaus möglich, auch das Programm mit den dort benutzten Algorithmen zu etrachten. Das ermöglicht den Schülern hinter das „Geheimnis des Entstehens der erte“ zu gelangen und bewirkt gleichzeitig eine Auffrischung und Weiterbildung von

ogik- und Algorithmusverständnis. ässt man den Taschenrechner würfeln, entstehen beispielsweise folgende Werte, die bellarisch in einer Tabelle aufzunehmen und zu bearbeiten sind (Arbeitsblatt für die chüler im Anhang A3).

rgebnis lesen wir ab: Beispiel für die Ausgabe des

ggefestigt. Weiterhin ht diese Vorgehenswe Ausbildung von logischemDB

DesDWdeHilfsmittel sehr nützlich. Die Schüleines Würfels sich nach m

r sollen experimentell emaligen Versuchen, die

rkennen, dass beim Werfen igkeit des Auftretens der 6e r f

wVabIddbWLLtaS Als E

Casio ClassPad 300: n )(Eha nEhEh a

r)()( =

1 0 0 2 0 0 5 2 0,4 7 2 0,28 10 1 0,1 15 1 0,067 25 5 0,2 50 8 0,16 75 8 0,107 100 19 0,19 125 24 0,192 150 26 0,173 175 32 0,183 200 35 0,175 225 39 0,173 250 42 0,168


Sind alle Werte aufgenommen, besteht die Aufgabe der Schüler darin, die erhaltenen Werte grafisch mit Hilfe des Programms „Spreadsheet“ auf dem Casio darzustellen, um grundlegende Aussagen über die Häufigkeitsverteilung erkennen und treffen zu können. Spreadsheet ist ein Tabellenkalkulationsprogramm, das den Schülern ähnliche Möglichkeiten bietet, wie z.B. Excel, ein Programm, welches die Schüler aus der

ekundarstufe I kennen. Die Schüler sind dadurch grundlegend in der Lage, grafische arstellungen aus experimentell ermittelten Ergebnissen zu entwickeln und

ents emöglich mitteln können. Das erfordert von jedem Schüler ine gewisse Übersicht über mögliche Ergebnisse und dazu günstige

de Abbildungen zeigen zwei mögliche Darstellungsvarianten aus den oben

Weiterführende Aufgabe: Alle Schüler der Klasse stellen Ihre Ergebnisse in einem gemeinsamen Diagramm dar, z.B. auf Folie, oder an der Tafel, d.h. Darstellung von möglicherweise 20 experimentell erm ten Auf mereihen b chülern in der Klasse.

SD

prech nd ihrer Vorstellungen anzupassen, sodass die Schüler aus der Darstellung e Erkenntnisse ableiten bzw. er

eDarstellungsformen. Auch hier wird dem Schüler überlassen, welche Darstellungsart er wählt und wie er die Ergebnisse umformatiert, um eine günstige Darstellung zu erhalten. Das fördert wiederum Kreativität und erfordert einen hohen Grad an mathematischem Verständnis, Vorstellungsvermögen, Kenntnisse über Anwendung und Ergebnissen von Modellierungen in den Daten und Darstellungen. Diese Vorgehensweise erfordert vom Schüler also einen großen Anteil an Analysetätigkeiten, die selbstständig und in Eigenverantwortung zu erbringen sind. Durch die Auswahl verschiedener Möglichkeiten sind auch hier Vergleichsmöglichkeiten mit anderen Schülern gegeben, wobei Kritikfähigkeit und Selbstvertrauen sowie die die Darstellung eigener Ideen und Ergebnisse eine große Rolle spielen. Nachfolgenaufgelisteten Ergebnissen, die das Einpegeln der relativen Häufigkeit im Bereich 1/6 deutlich aufzeigt:

ittel nah ei 20 S


Die Darstellung könnte beispielsweise folgendermaßen aussehen:

Beispielabbildung für 20 Versuchsreihen bis n = 600 11

Mit Hilfe des Computers ist es in diesem Beispiel möglich, Versuchsreihen mit einer großen Anzahl von Würfen zu starten, was zeitlich per Hand nicht möglich wäre. Um dem Schüler den Zusammenhang zur Realität erkennen zu lassen, und nicht nur den Rechenknecht“ würfeln zu lassen, sollten die ersten W„ ürfe von den Schülern per Hand usgeführt werden. Wird das Würfeln per Hand zu aufwendig, sollte der Schüler nahtlos

h e

0,17 liegt, sich also bei 1/6 einstellen wird.

3.3. Selbstständige Überprüfung von Ergebnissen bei Übungsaufgaben durch die Schüler (Verhalten von Funktionen mit

aauf den elektronischen Würfelknecht umsteigen und diesen weiterarbeiten lassen. Durcdie Verkettung der Ergebnisse aller Schüler kann so innerhalb einer Unterrichtsstundgezeigt werden, dass sich bei einer großen Anzahl von Würfen die relative Häufigkeit wischen 0,16 undz

±∞→x , Bestimmen von Asymptoten)

ufgabenstellung:

ptoten folgender Funktionen durch Polynomdivision. Erklären Sie, was Sie über das Verhalten der Funktion für

A

1. Bestimmen Sie die Asym+∞→x und

−∞→x aus Ihrer Berechnung ableiten können? Begründen Sie Ihre Aussage.

it dem Casio ClassPad 300 jeweils die Funktion und Ihre berechnete Asymptote im selben Grafikfenster grafisch dar. Erläutern Sie, was sich aus der erhaltenen Darstellung über die Richtigkeit Ihrer Berechnung und Ihrer Aussage über das Verhalten der Funktion für

2. Stellen Sie m

+∞→x und −∞→x aussagen lässt?

as Verhalten der Funktion für +∞→x und −∞→x3. Überprüfen Sie d durch Grenzwerberechnung mit dem Casio ClassPad 300.

Abbildung aus W. Kuypers: „Mathematik Sekundarstufe II Stochastik“, Cornelsen Verlag, Berlin,

1993, Seite 51 11


2

)1(1

)(1

21)1(:)1(

2

2

−−+

−−−

++=−+

xx

xxx

xxx

Beispielfunktion: 11)(

2

−+

=xxxf :

Schülerrechnung:

Schlussfolgerung des Schülers: - Asymptote: 1+= xy Verhalten im Unendlichen: - wenn +∞→x , dann +∞→+1x

−∞→x , dann −∞→+1x - wenn Überprüfung mit Hilfe des Casio ClassPad 300:

ie AuErgebnDarstelVermutungen übe

D fgabenstellungen sind extra so gewählt, dass der Schüler erkennt, dass er seine

isse auf verschiedenen Wegen überprüfen kann und auch aus verschiedenen lungen gleiche Schlussfolgerungen gezogen werden können chüler . Der S kann

r das Verhalten der Funktion für +∞→x und −∞→x aus der Berechnung der Asymgleichz Fall ausgefü ehrere Wege zur Herang ie mathem ber hinaus ält der er durc ige Überprüfung der Ergebnisse die Möglichkeit, seine eigene Leistungsfähigkeit einzuschätzen und kann eigenständig entsche en Schw keitsstu lösen m itestgehend selbstständig. Grundvoraussetzung dafür ist natürlich eine große Anzahl aufgestellter Übungsfunktionen und eine klare Abgrenzung der Schwierigkeitsstufen. Solche Aufgabenstellungen bieten sich in Übungs- und Festigungsstunden an. Gleichzeitig können sie aber auch immer dann eingesetzt werden, wenn Zusammenhänge zwischen

n.

ptoten bzw. aus der grafischen Darstellung ableiten und erkennt eitig den Zusammenhang zur Berechnung von Grenzwerten, in diesemhrt durch den Taschenrechner. Dadurch werden dem Schüler mehensweise an solche Problemstellungen aufgezeigt und gleichzeitig datische Vielfalt an Lösungsmöglichkeiten anschaulich verdeutlicht. Darüerh Schül h die selbstständ

iden, wie viele Übungsaufgaben er in bestimmt ierig fen nochuss. Dadurch bestimmt der Schüler sein Lerntempo we

einzelnen Lösungsmöglichkeiten oder Betrachtungsweisen verdeutlicht werden solle

Schlusswort - 30 -

4. Schlusswort

er Einsatz von Computern im Unterricht wird in einigen Jahren ganz selbstverständlich sein. Wir befinden uns heute in der Phase, die den Weg für den

mdenken bei den Lehrern bewirkt. Viele Schritte üssen bis zu dem Zeitpunkt noch gegangen werden, bis der Computer als normaler nterrichtsgegenstand von Schülern wie auch von Lehrern akzeptiert und genutzt wird. it dieser Arbeit wollte ich versuchen, ein wenig Einblick in die Möglichkeiten der utzung eines CAS und deren Sinnhaftigkeit zu zeigen. Dabei ging es nicht darum, eine ollständiges Aufzeigen von Einsatzmöglichkeiten oder eine didaktische Rechfertigung ber den verstärkten Einsatz von Computern im Unterricht allgemein zu führen.

en der E satz von CAS möglich und ützlich ist. Mit einfachen Beispielen sollte aufgezeigt werden, dass der Einsatz in

ßen M and und hne spezielles en ka

enn wir uns überlegen, wir behalten

30% von dem, was wir sehen, 80% von dem, was wir selber formulieren können 90% von dem, was wir selber tun,

ann müsste unser Ziel daraus bestehen, den Schüler zum stetigen sinnvollen Tun zu ewegen. Der Einsatz von CAS bewirkt genau dieses, ein stetiges sinnvolles Tun des chülers und gibt während dessen dem Lehrer die Möglichkeit, gezielt und differenziert

en oder auf mögliche Problemfelder einzugehen. einmal zurückblicken und erkennen, dass

iele Dinge, die heute im Schulalltag neu und ungewohnt sind und für dessen inführung viel Kraft und Verständnis erforderlich ist, jüngeren Lehrern ganz lbstverständlich erscheint. Vielleicht so, wie uns der Einsatz und das Vorhandensein

on Taschenrechnern, die aus dem Schulalltag in allen naturwissenschaftlichen ereichen des Unterrichts kaum noch wegzudenken sind, als ganz selbstverständlich

D

Einsatz im Unterricht ebnet und ein UmUMNvüVielmehr wollte ich darstellen, dass an vielen Stell innvielen Phasen des Unterrichts ohne gro ehraufw o

pu rwiss reali ert we dCom te en si r nn. W

20% von dem, was wir hören, dbSauf die Schüler, Schülergrupp

ielleicht werden wir in 10 oder 20 JahrenVvEsevBerscheint. Vielleicht werden wir in einigen Jahren wieder die Einführung einer technischen Neuerung erleben, und ihr genauso erwartungsvoll gegenüberstehen, wie dem heutigen Einzug von CAS in den Unterricht. Sollte in Zukunft, wie im nebenstehenden Bild dargestellt, die Hauptnutzung des Computers allerdings darin bestehen, allein dem Lehrer die Möglichkeit zu geben, Schülerantworten zu überprüfen, dann sollten wir uns fragen, was wir im heutigen Einführungsschritt von Computer Algebra Systemen in den Unterricht nicht bedacht haben.

Anhang - 31 -

A1 Arbeitsblatt zur Ortsdefinition einer Parabel

Taschenrechners und schalten Sie die Anzeig wischen

einheit betragen) .

2. arabel in den Punkten A(1|0,2) und B(4|3,2).

Betrachtung der Reflexion an einem Hohlspiegel (Bsp.: Parabolantenne, Autoscheinwerfer)

- Konstruktion mit Hilfe des Casio ClassPad 300 (Beachten Sie, dass die im Arbeitsblatt gewählte Bezeichnung der Punkte nicht mit der Bezeichnung der Punkte in Ihrer Konstruktion übereinstimmen muss.)

- Ziel: Finden einer Ortsdefinition zur Beschreibung von Parabeln in allgemeiner Lage

Konstruktionsschritte: 1. Öffnen Sie das Geometriemenü Ihres

e des ganzzahligen Gitters ein. Beachten Sie, dass die Abstände zden Gitterpunkten jeweils eine Längen

22,0 xZeichnen Sie eine Parabel mit der Funktionsgleichung: y =Konstruieren Sie die Tangenten an die P

3. Betrachten Sie die Tangenten als Spiegelebenen und zeichnen Sie die Einfallslote ein.

4. Konstruieren Sie die Reflexionsstrahlen der Parallelstrahlen in den Punkten A und B. Löschen Sie Tangenten und Einfallslote zur besseren Übersicht.

5. Bestimmen Sie den Schnittpunkt P der Reflexionsstrahlen (Brennpunkt) und stellen Sie eine Vermutung zum Brennpunkt P auf.

6. Verlängern Sie jeweils den Parallelstrahl über den Spiegel hinaus. Tragen Sie den Abstand AP von A und BP von B aus auf die Verlängerung ab. Sie erhalten die Punkte V und W.

7. Konstruieren Sie eine Verbindungsgerade durch die Punkte V und W. Diese Gerade wird Leitlinie der Parabel genannt. Analysieren Sie die Lage der Punkte auf der Parabel zur Leitlinie und zum ermittelten Brennpunkt P.

8. Formulieren Sie aus Ihren Erkenntnissen eine allgemeine Ortsdefinition für eine

Parabel. inem einfachen mathematischen

9. Versuchen Sie, Ihre Formulierung in eZusammenhang darzustellen.

Anhang - 32 -

A2 Programm zur Stabilisierung relativer Häufigkeiten

rogramm: „wuerfeln“:

1. 2. Zeil 3. Zeile: 0=>b 4. Zeile: 0=>c

e: If w=1 e: Then

12. Zeile: a+1=>a 13. Zeile: IfEnd

If w=2 15. Zeile: Then

IfEnd

Print "Anzahl 4:"

45. Zeile: Print "Anzahl 6:" 46. Zeile: Print f 47. Zeile: Print " " 48. Zeile: Print "Anzahl der Wuerfe:" 49. Zeile: Print n 50. Zeile: Print " " 51. Zeile: Print "--------------"

P

Zeile: Input n e: 0=>a

5. Zeile: 0=>d 6. Zeile: 0=>e 7. Zeile: 0=>f 8. Zeile: For 1=>k To n 9. Zeile: rand(1,6)=>w 10. Zeil11. Zeil

14. Zeile:

16. Zeile: b+1=>b 17. Zeile: IfEnd 18. Zeile: If w=3 19. Zeile: Then 20. Zeile: c+1=>c 21. Zeile: IfEnd 22. Zeile: If w=4 23. Zeile: Then 24. Zeile: d+1=>d 25. Zeile: 26. Zeile: If w=5 27. Zeile: Then 28. Zeile: e+1=>e 29. Zeile: IfEnd 30. Zeile: If w=6 31. Zeile: Then 32. Zeile: f+1=>f 33. Zeile: IfEnd 34. Zeile: Next 35. Zeile: Print "Anzahl 1:" 36. Zeile: Print a 37. Zeile: Print "Anzahl 2:" 38. Zeile: Print b 39. Zeile: Print "Anzahl 3:" 40. Zeile: Print c 41. Zeile: 42. Zeile: Print d 43. Zeile: Print "Anzahl 5:" 44. Zeile: Print e

Anhang - 33 -

A3 Arbeitsblatt zur Stabilisierung relativer Häufigkeiten

Untersuchung zur Relativen Häufigkeit für das Werfen der eln mit einem Laplace-Würfel

1. iben Sie in kurzen Sätzen, was einen Laplace-Würfel kennzeichnet. 2. ng über die Wahrscheinlichkeit für das Werfen der

ahl 6 it ein ap ce-Würfel an. 3. ln Si im Exper ent die absolute Häufigkeit des

ns d Auge n-maligen Werfen eines Würfels. Beginnen benutzen Sie bei größeren

m Programm „wuerfeln“. Notieren gewü felten keiten in nachfolgender Tabelle und berechnen Sie

4. Sie die rela Häufigkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl der mit H lfe de ClassPad 300 grafisch dar. Beschreiben Sie die nisse die s der grafischen Darstellung gewinnen können.

ntnisse mit Ihrer aufgestellten Vermutung.

Zahl 6 beim Würf

Beschre Stellen Sie eine Vermutu

Augenz m em L la Ermitte e nachfolgenden im

Auftrete er nzahl 6 beimSie zunächst das Werfen mit einem Würfel undWurfan aschen

gzahlen den T rechner mit de

Sie die r Häufidie relativen Häufigkeiten.

Stellen tiven Würfe i s CasioErkennt , Sie au

nVergleichen Sie Ihre Erke

n )(Eha nEhEh a

r)()( =

1 2 5 7 10 15 25 50 75 100 125 150 175 200

225 250

Zusatz rtigen Sie g schülern ein Diagramm an, das die ersuchsreihe tellt. Vergleichen Sie Ihre arstel ng m einsam erstellten Darstellung. Formulieren Sie re Er enntni .

: Fe emeinsam mit Ihren Mit Mitschüler grafisch darsV n aller

D lu it der gemIh k s in kurzen Sätzen

Literaturverzeichnis - 34 -

Literaturverzeichnis: [1] H. Malle: „Mathematik - ganz anders erleben: wie der Computer die Mathematik

C. S –

[3]

B [4] V in

[5] E

(

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6] http://w .de/org/risse/did1/komptenz.pdf

verändert“; Thun; Frankfurt am Main: Deutsch, 1995

eidel, A. Lipsmeier: „Computerunterstütztes Lernen: Entwicklung [2] Möglichkeiten – Perspektiven“; Verlag für Angewandte Psychologie, Stuttgart, 1989

V urg für die Gymnasiale Oberstufe Nr. 4002.92, Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes

randenburg, Postfach 900 161, 14437 Potsdam, 1992

erbindliche curriculare Vorgaben für den Unterricht in der Qualifikationsphase der gymnasialen Oberstufe Mathematik (Januar 2003, VcV 8-2003, ädagogisches Landesinstitut Brand

orläufiger Rahmenplan des Landes Brandenb

P enburg, 14974 Ludwigsfelde-Struveshof)

inheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung Mathematik Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 01.12.1989 i.d.F. vom 24.05.2002)

[6

is n

bH, Braunschweig/ W

men is

/ww

h ww e-

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di.cs.uni-potsdam.de/didaktik/Forschung/Schriften/wolfenbuettel95.pdf

ww-didaktik.mathematik.hu-berlin[1

Erklärung - 35 -

ERKLÄRUNG Ich versichere, dass ich die schriftliche Hausarbeit einschließlich evtl. beigefügter Zeichn dig angefertigt und keine nderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt habe. Alle Stellen, die dem Wortlaut

en Fall unter g

ungen, Kartenskizzen, Darstellungen u.a.m. selbststänaoder dem Sinn nach anderen Werken entnommen sind, habe ich in jedem einzeln

enauer Angabe der Quelle deutlich als Entlehnung kenntlich gemacht.

------------------------------------- ----------------------------------- (Unterschrift) (Ort, Datum)

untersuchung der einsatzmöglichkeiten von computer … · symbolische mathematik unterstützt“...

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