HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Nguyễn Chí Công

Ngày 5 tháng 6 năm 2014

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình mặt cầu– Mặt cầu tâm tại điểm I(a, b, c) vàbán kính R có phương trình dạngchính tắc

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

– Mặt cầu có phương trình tổng quátdạng

x2 +y2 +z2 +2ax+2by+2cz+d = 0

với a2 + b2 + c2 − d > 0, dưới dạngnày mặt cầu có tâm I(−a,−b,−c) vàbán kính của nó là

R =√a2 + b2 + c2 − d

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặtphẳngCho hình cầu (S) : (x − a)2 + (y −b)2 +(z−c)2 = R2 và mặt phẳng (P )phương trình Ax+By+Cz+D = 0.Khi đó, h = |Aa+Bb+Cc+D|√

A2+B2+C2 là khoảng

cách từ tâm I của (S) đến mặt phẳng(P ).– Nếu h > R thì (S) và (P ) khôngcắt nhau.– Nếu h = R thì (S) và (P ) tiếp xúcvới nhau.– Nếu h < R thì (S) và (P ) cắt nhautheo một giao tuyến là một đườngtròn có bán kính r =

√R2 − h2.

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

B-1. (KD–2004) Cho ba điểm A(2, 0, 1),B(1, 0, 0), C(1, 1, 1) và mặt phẳng (P )phương trình x+y+z−2 = 0. Viết phươngtrình mặt cầu đi qua A,B,C và có tâmthuộc (P ).

B-2. Lập phương trình mặt cầu (S) cótâm thuộc đường thẳng d phương trìnhx = t

y = 2

z = 1− t

và cắt mặt phẳng (P )

phương trình y − z = 0 theo thiết diệnlà một đường tròn lớn có bán kính bằng4.

B-3. (KD–2008) Trong không gian tọa độOxyz, viết phương trình mặt cầu đi quabốn điểm A(3, 3, 0), B(3, 0, 3), C(0, 3, 3),D(3, 3, 3).

B-4. (KB–2005) Trong không gian chohình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1

với A(0,−3, 0), B(4, 0, 0), C(0, 3, 0),B1(4, 0, 4). Viết phương trình mặt cầutâm A và tiếp xúc với mặt phẳng(BCC1B1).

B-5. Trong không gian cho bốn điểm S(2, 2, 6),A(4, 0, 0), B(4, 4, 0), C(0, 4, 0).

(a) Chứng minh rằng S.ABCO là hìnhchóp tứ giác đều.

(b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếphình chóp S.ABCO.

B-6. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng(P ) phương trình 2x + y − z + 5 = 0 vàcác điểm A(0, 04), B(2, 0, 0). Viết phươngtrình mặt cầu đi qua A,B.O và tiếp xúcvới (P ).

B-7. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâmnằm trên đường thẳng d phương trình{x + y + z + 1 = 0

x− y + z − 1 = 0và tiếp xúc với hai

mặt phẳng (P ) phương trình x+2y+2z+3 = 0, (Q) phương trình x+2y+2z+7 = 0

1

B-8. Viết phương trình mặt cầu có tâm tạiđiểm I(2, 3,−1) và cắt đường thẳng d

phương trình

{5x− 4y + 3z + 20 = 0

3x− 4y + z − 8 = 0

tại hai điểm A,B sao cho AB = 16.

B-9. Tìm điểm A trên mặt cầu (S) phươngtrình x2 + y2 + z2 − 2x + 2z − 2 = 0 saocho khoảng cách từ A đến (P ) là lớn nhất,nhỏ nhất.

B-10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz chomặt cầu (S) phương trình x2 + y2 + z2 +2x−4y−4 = 0 và mặt phẳng (P ) phươngtrình x+z−3 = 0. Viết phương trình mặtphẳng (Q) đi qua điểm M(3, 1,−1) vuônggóc với (P ) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

B-11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho hai đường thẳng d1 phương trìnhx−43

= y−1−1 = z+5

−2 và d2 phương trìnhx−21

= y+33

= z1. Viết phương trình mặt

cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cảhai đường thẳng d1 và d2.

B-12. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặtphẳng (P ) phương trình 2x−y−2z−2 =0 và đường thẳng d phương trình x

−1 =y+12

= z−21. Viết phương trình mặt cầu (S)

có tâm I ∈ d, I cách (P ) một khoảng bằng2 và (P ) cắt (S) theo một đường tròn cóbán kính bằng 3.

B-13. Trong không gian tọa độ Oxyz cho haiđiểm A(0, 0, 4), B(2, 0, 0) và mặt phẳng(P ) phương trình 2x+ y− z + 5 = 0. Lậpphương trình mặt cầu (S) đi qua A,B,Ovà khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đếnmặt phẳng (P ) bằng 5√

6.

B-14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho ba điểm A(3, 1, 1), B(0, 1, 4),C(−1,−3, 1). Lập phương trình mặtcầu (S) đi qua A,B,C và có tâmnằm trên mặt phẳng (P ) phương trìnhx + y − 2z + 4 = 0.

B-15. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặtphẳng (P ) phương trình 2x−2y−z−4 = 0và mặt cầu (S) phương trình x2+y2+z2−2x− 4y − 6z − 11 = 0. Chứng minh rằng

mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giaotuyến một đường tròn. Xác định tâm vàbán kính của đường tròn đó.

B-16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz chomặt cầu (S) phương trình x2 + y2 + z2 +4x− 6y +m = 0 và đường thẳng d là giaotuyến của hai mặt phẳng 2x−2y−z+1 = 0và x+ 2y−2z−4 = 0. Tìm m để mặt cầu(S) cắt d tại hai điểm M,N sao cho độdài MN = 8.

B-17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho hai điểm A(1, 5, 0), B(3, 3, 6) và đườngthẳng ∆ phương trình x+

2= y−1−1 = z

2. Viết

phương trình đường thẳng d đi qua B vàcắt đường thẳng ∆ tại điểm C sao cho diệntích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.

B-18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz chođường thẳng d phương trình x−3

2= y+2

1=

z+1−1 và mặt phẳng (P ) phương trình x +

y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm củad và (P ), viết phương trình đường thẳng∆ ∈ (P ) vuông góc với d đồng thời khoảngcách từ M đến ∆ bằng

√42.

B-19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viếtphương trình đường thẳng d đi qua điểmM(−4,−5, 3) và cắt cả hai đường thẳng

d1 phương trình

{2x + 3y + 11 = 0

y − 2z + 7 = 0, d2

phương trình x−22

= y+13

= z−1−5 .

B-20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chomặt phẳng (P ) phương trình 2x−y+2z−3 = 0 và hai đường thẳng d1, d2 lần lượtcó phương trình x−4

2= y−1

2= z−1 và x+3

2=

y+53

= z−7−2 . Viết phương trình đường thẳng

∆ song song với (P ) đồng thời cắt d1 tạiA, cắt d2 tại B sao cho AB = 3.

B-21. Trong không gian Oxyz cho hai đườngthẳng d1, d2 và mặt phẳng (P ) lần lượt cóphương trình x+1

1= y+2

2= z

1, x−2

2= y−1

1=

z−11

và x+y−2z+5 = 0. Lập phương trình

đường thẳng d song song với mặt phẳng(P ) và cắt d1, d2 lần lượt tại A,B sao choAB có độ dài nhỏ nhất.

The End

2