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Informe de practica
Calculo de factores de mejoramientopara mortalidad chilena
Autor:
Luis Zuniga
Supervisor:
Cristian Concha
informe de practica I,II y III
8 de mayo de 2015
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iDatos Alumno
Nombre: Luis Zuniga
Cedula de identidad : 17229166-k
Carrera : Ingeniera Matematica
Facultad: Ciencias
UNiversidad: Universidad de Santiago de Chile
Cargo de Practica: Analista actuarial
Area: Actuario
Datos Empresa
Razon Social: Metlife
Rut:99289000-2
Ubicacion: Agustinas 640,Santiago
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Indice general
Symbols III
1. Introduccion 1
1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Practica I 3
2.0.1. Obtencion y Validacion de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.0.2. Calculo de tasas de mortalidad brutas qxt . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Practica II 8
3.1. Modelo De Lee-Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1. Desarrollo del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Modelo De Cairns-Blake-Dowd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1. Desarrollo Del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Practica III 12
4.0.2. Factores de mejoramiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A. Descomposicion En Valores Singulares 14
Bibliografa 17
ii
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Symbols
t Tiempo anos
x Edad anos
qxt Probabilidad de que una persona muera de edad x en el tiempo t
xt Fuerza de mortalidad
qxt tasa bruta de mortalidad, valor observado de qxt
qxt tasa de mortalidad ajustada
Ext numero de expuestos al riesgo en el tiempo t en la edad x
Dxt Numero de muertos observados en el tiempo t en la edad x
AAx Factores de mejoramiento en el ano x
iii
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Captulo 1
Introduccion
El ingeniero matematico se especializa en el uso de tecnicas avanzadas de la matematica
para modelar y resolver problemas complejos de Ingeniera y Ciencias. Su formacion
abarca las ecuaciones diferenciales , las probabilidades, la optimizacion y la programa-
cion, entre otras. Estas herramientas le permiten traducir distintos tipos de problemas
a lenguaje matematico y resolvervelos con la ayuda de un computador.
Los estudiantes de esta carrera deben tener un acercamiento al mundo laboral, con
el objetivo de aplicar los conocimientos adquirido. Para ello se efectuan 3 practicas
profesionales.En este caso las 3 practicas fueron realizadas en el ambito de los seguros,
en la empresa METLIFE. Metlife es una empresa de seguros, la cual se encuentra en
las mejores de dicha categora. Sus seguros ocupan los primeros lugares de calidad en el
mercado, son los primeros en seguros colectivos, los primeros en seguros masivos y los
terceros en individuales. En esta practica se me encargo la tarea de calcular unos valores
muy importantes en el calculo de pensiones de las rentas vitalicias, a estos valores se les
llama Factores de mejoramiento.
1.1. Motivacion
La literatura actuarial mas reciente reconoce el hecho de que la mortalidad evolucio-
na con el tiempo. Experiencias de mortalidad que corresponden a diferentes perodos
muestran diferentes probabilidades de muerte en la misma edad. Esto es apoyado por el
hecho de que la mortalidad se ha visto declinar gradualmente con el tiempo, aun cuando
la disminucion no es necesariamente uniforme en todos los grupos de edad, esta decli-
nacion es llamada Factor De Mejoramiento. Es importante ser capaz de medir como la
mortalidad cambia con el tiempo de manera precisa,por ello nuestro objetivo principal
1
-
Introduccion 2
es el calculo de estos factores. En esta practica se usa el modelo de Lee-Carter(LC)
y Cairns-Blake-Dowd(CBD) , los cuales han sido muy difundidos en la literatura de-
mografica y actuarial, tanto teorica como aplicada. En cuanto a su aplicacion existe
evidencia emprica que muestra la efectividad de estos modelos, por ejemplo Lee-Carter
se aplico los Estados Unidos, donde se aplico en proyecciones referidas al equilibrio del
sistema de seguridad social, y en distintos pases de habla hispana como en Argenti-
na(Belliard & Williams) y Espana(Debon,2006). .
-
Captulo 2
Practica I
Para el calculo de los factores de mejoramiento se nos otorga una base de datos, esta
base debemos filtrarla con tal de aplicar los modelos y calcular las tasas de mortalidad
que ajustaremos con los modelos. Como primera parte de la practica 1 se muestra la
validacion y el calculo de las tasas de mortalidad.
2.0.1. Obtencion y Validacion de Datos
Los datos que se usaran provienen de la informacion enviada por las companas de
seguros del segundo grupo, que operan o han operado con los seguros previsionales
establecidos en el D.L. N3.500, de 1980, segun lo instruido por la Circular N 1194. Esta
informacion paso la validacion fsica y de consistencia logica o presentan una excepcion
a alguna regla de validacion logica, de todas las companas de vida, ya sean aseguradoras
o reaseguradoras, es de acceso publico y se puede encontrar en el portal de la SVS. La
informacion de causantes y beneficiarios se separa en tres tipos:
De control(Registro tipo 1): Contiene informacion que permite identificar el
perodo hasta el cual se informaron las polizas y el total de registros, tanto de
polizas como de beneficiarios, que se grabo en el archivo. Cabe senalar que solo se
informa un registro de este tipo y corresponde al primer registro del archivo.
De detalle por poliza(registro tipo 2):Contiene informacion acerca de cada
poliza, entendiendo por poliza el siniestro de invalidez o de sobrevivencia o la poliza
de renta vitalicia, asociada a un mismo afiliado causante.
De detalle por afiliado y beneficiario (registro tipo 3):Contiene informacion
acerca del afiliado causante y de cada beneficiario en lo que respecta a los datos
propios de cada uno.
3
-
Practica 1 4
La base original cuenta con un total de 1291455 registros y abarca un perodo del 01 de
enero de 1981 hasta el 31 de diciembre del ano 2013.
Para llevar a cabo el calculo de los factores, hemos considerado un perodo de 13 anos,
considerando una experiencia de mortalidad del 01 de Enero del 2000 hasta el 31 de
Diciembre del 2013. La eleccion del perodo de observacion fue hecha pensando en que
nuestro perodo de observacion refleje la actualidad del pas de la ultima decada. No
consideraremos invalidos de ningun tipo, debido a que estos reflejan una porcion muy
pequena de la data. En el siguiente cuadro podemos resumir el grupo de observacion
elegido:
Sanos Invalidos TotalHombres 561829 19250 581079Mujeres 662712 47664 710376
Total 1224541 66914 1291455
Finalmente podemos resumir los antecedentes del estudio como:
Fuente de informacion: Circular N1194 al 30 de Junio de 2014.
Periodo de observacion de la Base : 01 de Enero de 1981 hasta el 31 de Diciembre
del 2013
Periodo de observacion analizado: 01 de Enero de 2000 hasta el 31 de Diciembre
del 2013
Grupos de Observacion:
- Causantes y beneficiarios hombres sanos
- Causantes y beneficiarias mujeres sanas
Agrupacion de Edades: Expuestos y siniestros fueron agrupados para la determi-
nacion de tasas de mortalidad en perodos de 5 anos de edad.
Ano Base del Estudio: 2011
2.0.2. Calculo de tasas de mortalidad brutas qxt
Para calcular las tasas de mortalidad brutas, debemos hallar la exposicion al riesgo de
los individuos. La exposicion al riesgo central, Ec corresponde a la exposicion exacta al
riesgo, es decir la diferencia entre la edad de inicio de estudio y la edad de salida del
estudio. La edad de inicio se obtiene restando la fecha de inicio del estudio con la edad
de nacimiento del individuo.En caso de que el individuo contrate una poliza despues de
la fecha de inicio de estudio, entonces su edad de inicio de estudio correspondera a la
-
Practica 1 5
fecha de vigencia de la poliza. En cambio la edad de salida del individuo corresponde a
la diferencia entre la fecha de termino del estudio y la edad de nacimiento. Si el indivi-
duo fallece en el transcurso del estudio, entonces su fecha de salida es su fecha de muerte.
Si el fecha de inicio de estudio es el 01/02/1993 y la fecha de termino de estudio es el
02/02/1996, podemos calcular la exposicion al riesgo central de un individuo nacido en
el 11/10/1973 con poliza vigente al 05/10/1988 y que ademas se mantiene vivo todo
el estudio. Para calcular la edad de inicio y la edad de termino debemos dividir los
meses por 12(numero de meses que tiene un ano) y los das por 365.25 (numero de das
promedio que tiene un ano), en efecto
Edad de inicio = 01/02/1993 11/10/1973= 1993 1973 + (2 10)/12 + (1 11)/365,25= 19,30595Edad de termino = 02/02/1996 11/10/1973= 1996 1973 + (2 10)/12 + (2 11)/365,25= 22,30869
Ec = Edad de termino Edad de inicio= 22,30869 19,30595= 3,00274Tambien podemos calcular la exposicion al riesgo por ano, como el perodo de estudio
tiene una duracion de 3 anos, entonces podemos calcular la exposicion central en x =0,1,2,3 usando la siguiente funcion
Ecx =
[Edad de inicio] + 1 Edad de inicio si x = 01 si [Edad de termino] [Edad Inicial] > x > 0Edad de termino [Edad de termino] si [Edad de termino] [Edad Inicial] = x > 00 si 0 < [Edad de termino] [Edad Inicial] < x
-
Practica 1 6
Donde [] denota la parte entera de un numero.Procedemos a calcular las exposiciones por ano
Ec0 = [Edad de inicio] + 1 Edad de inicio = [19,3059] + 1 19,3059 = 0,6941Ec1 = 1Ec2 = 1Ec3 = [Edad de termino] Edad de termino = 22,30869 [22,30869] = 0,30869
Para corroborar los calculos,verificamos que Ec =Ecx en efecto,Ec0 +Ec1 +Ec2 +Ec3 = 0,6941 + 1 + 1 + 0,30869 = 3,00274 = Ec
Otra manera de estimar las tasas de mortalidad es usar las exposicion al riesgo inicial,
esta difiere de la exposicion central en las personas que fallecen antes del termino del
estudio, ya que contara toda la exposicion del ano de la muerte, la exposicion central
cuenta hasta el da del fallecimiento. Si pensamos en el mismo individuo anterior agre-
gando el hecho de que fallecera el 05/06/1995, entonces podemos repetir los calculos
anteriores
Edad de inicio = 01/02/1993 11/10/1973= 1993 1973 + (2 10)/12 + (1 11)/365,25= 19,30595Edad de termino = 05/06/1995 11/10/1973= 1995 1973 + (6 10)/12 + (5 11)/365,25= 21,65023956
Ec = Edad de termino Edad de inicio= 21,65023956 19,30595= 2,34428956calculamos las exposiciones por ano,
Ec0 = [Edad de inicio] + 1 Edad de inicio = [19,3059] + 1 19,3059 = 0,6941Ec1 = 1Ec2 = [Edad de termino] Edad de termino = 21,65023956 [21,65023956] = 0,6502Ec3 = 0
Ec0 +Ec1 +Ec2 +Ec3 = 0,6941 + 1 + 0,6502 + 0 = 2,3443 = Ec
-
Practica 1 7
Y podemos usar esto para calcular las exposiciones iniciales por ano, notando que el ano
de muerte x = 2 sera contado en su totalidad, o seaEi0 = [Edad de inicio] + 1 Edad de inicio = [19,3059] + 1 19,3059 = 0,6941Ei1 = 1Ei2 = 1Ei3 = 0
Ei0 +Ei1 +Ei2 +Ei3 = 0,6941 + 1 + 1 + 0 = 2,6941 = EiDe lo anterior podemos deducir lo siguiente,
Eix =
[Edad de inicio] + 1 Edad de inicio si x = 01 si [Edad de termino] [Edad Inicial] x > 00 si 0 < [Edad de termino] [Edad Inicial] < x
Estas dos formas de medir la exposicion al riesgo son consistentes con las dos diferentes
hipotesis acerca del proceso de mortalidad y conducen a calcular dos tipos alternativos
de tasas de mortalidad:
1. la fuerza de mortalidad2. q : la probabilidad de muerte
Para una edad determinada, la division del numero de fallecimientos observados en el
estudio por la exposicion al riesgo central entrega un estimador de , o de la tasa central
de muerte, m, y al dividir el numero de fallecimientos por la exposicion al riego inicial
se obtiene un estimador de q.
Si se denota el numero observado de muertes de edad x por Ax o por A cuando no
existen problemas de confusion. Para la misma edad x, se denota por Ecx a la exposicion
central de individuos de esa edad y por Eix, a la exposicion inicial, entonces se tienen los
siguientes estimadores:
q = AEi
= AEc
-
Captulo 3
Practica II
En esta etapa nos encontramos con algo mas conocido por los ingenieros matematicos,
los modelos matematicos. Como segunda practica se realiza la comprension y la aplica-
cion de los modelos de mortalidad. Estos modelos fueron programados en R,matlab y
Excel.
3.1. Modelo De Lee-Carter
Lee y Carter en el ano 1992 propusieron un modelo que describe los cambios en la
mortalidad en funcion del tiempo y la edad. La primera suposicion que haremos es que
las fuerzas de mortalidad cumplen la siguiente condicion
qxt = qx+1,t+2 0 < 1 < 1,0 < 2 < 1,Esto se puede interpretar como que las tasas de mortalidad son constantes en un rango
de tiempo y de edad. Bajo esta suposicion, la fuerza de mortalidad xt y el ndice de
mortalidad mxt coinciden. Lee y Carter especificaron que las fuerzas de mortalidad xt
siguen una distribucion log-bilineal, esto es
ln(xt) = x + xt (3.1)La interpretacion de los parametros se puede ver de la siguiente manera: ex es la forma
general de la mortalidad y las tasas de mortalidad cambia acorde al parametro t, con lo
que se deduce que t implica el comportamiento tendencial(o nivel) de la mortalidad en
8
-
Practica II 9
el tiempo, x da una medida de la fuerza con la que t afecta a cada grupo especifco de
una edad determinada.Otra condicion para los parametros con tal obtener una solucion
una solucion unica es que
x
x = 1,t
t = 0 (3.2)3.1.1. Desarrollo del Modelo
El modelo clasico usado para estimar x, x y t es
ln(xt) = x + xt + xt (3.3)para x = x1, x2, ..., xm y t = t1, t2, ..., tn, donde xt denota las fuerzas de mortalidadbrutas. xt es un termino de error con media 0 y varianza
2 que refleja las influencias
historicas no capturadas en el modelo. Para estimar los parametros vamos a mnimizar
el error, la funcion objetivo que corresponde a mnimos cuadrados es
S = xmx=x1
tnt=t1(ln(xt) x xt)2 (3.4)
Para efectuar la minimizacion vamos a derivar con respecto a x y igualar a 0
tnt=t1 ln(xt) = (tn t1 + 1)x + x
tnt=t1 t
luego podemos usar las condiciones planteadas anteriormente, obteniendo la siguiente
condicion
x = 1tn t1 + 1 tmt=t1 ln(xt)
As podemos partir deduciendo que x se puede estimar usando la media de los logarit-
mos.
Otra manera de ver esto, es la siguiente: si sumamos con respecto al tiempo todos los
valores entregados por (2,3), tenemos quet
ln(xt) =t
x +t
tx +t
ext
=t
x = xT
-
Practica II 10
Donde T es la cantidad de anos.
Para deducir los valores de t y x , estos salen del primer termino de una descomposicion
de valores singulares(ver apendice A) de la matriz ln xt x. Especificamente, las tasasde mortalidad pueden ser agrupadas en la siguiente matriz de dimensiones (xm x1 +1) (tn t1 + 1):
=x1t1 x1tn xmt1 xmtn
Ahora vamos a crear la matriz ln xt x, en efecto
Z = ln() =
ln(x1t1) x1 ln(x1t1) x1 ln(xmt1) xm ln(xmtn) xm
Donde cada uno de los elementos de la matriz los denotaremos como zxt. Luego vamos
a obtener x y t son los resultados de la minimizacion de
S = xmx=x1
tnt=t1(zxt xt)2 (3.5)
La solucion esta dada por los valores descomposicion en valores singulares de Z. Mas
precisamente, vamos a definir la matriz cuadrada ZtZ de dimension (tnt1+1)(tnt1+1)y ZZt de dimension (xm x1 +1) (xn x1 +1). Sea u1 el vector propio correspondientea el mayor valor propio de ZtZ. Sea v1 el vector propio asociado al mayor valor de ZZ
t.
La mejor aproximacion de Z es
Z 1v1ut1As se deduce que tx = 1v1ut1, de lo cual se deduce que
= v1xmx1+1j=1 v1j y =1
xmx1+1j=1 v1ju1 (3.6)siempre que xmx1+1j=1 v1j 0. Las condiciones impuestas en (2,2) son satisfechas por losparametros x y t.
-
Practica II 11
3.2. Modelo De Cairns-Blake-Dowd
El analisis emprico suguiere que ln (qxt/pxt) se puede aproximar mediante una regresionlineal en un tiempo t fijo, excepto en edades menores. Usando este argumento Cairns en
el ano 2006 asumio lo siguiente
ln( qxt1 qxt ) = [1]t + [2]t x
donde [1]t y
[1]t definen un proceso estocastico. Esta formulacion no presenta problemas
de definicion, por ello no necesita restricciones. El modelo de Cairns-Blake-Dowd tambien
se puede ajustar en fuerzas de mortalidad asumiendo que estas son independientes y
Poisson distribuidas, con una media igual al producto de la exposicion al riesgo central
y la cantidad de muertos, es decir, xt poisson(Ext qxt)3.2.1. Desarrollo Del Modelo
Asumiendo que tenemos informacion de las tasas brutas para un conjunto de anos t =t1, t2, ..., tn y un conjunto de edades x = x1, x2, ..., xm. En base a estas observaciones,vamos a estimar el intercepto 1t y la pendiente
2t .Esto puede ser realizado por mnimos
cuadrados, mediante el siguiente modelo de regresion
ln( qxt1 qxt ) = [1]t + [2]t x + xt (3.7)
Donde xt es termino de error independiente y normalmente distribuida, con media 0 y
varianza 2 . La funcion objetivo correspondiente es
S = xmx=x1
tnt=t1( qxt1 qxt [1]t [2]t x)2 (3.8)
esta debe ser minimizada para cada ano calendario t, entregandonos los parametros [1]t
y [2]t . Notar que en el caso de Lee-Carter, donde los ndices t dependen del perodo
de obserbacion, los ndices del modelo de Cairns-Blake-Dowd se estiman de manera
separada para cada ano calendario t.
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Captulo 4
Practica III
La tercera y ultima practica consiste en calcular los factores de mejoramiento, para dicha
tarea debemos estimar los valores futuros de las tasas de mortalidad.Para el modelo de
Lee-carter usaremos una serie de tiempo autorregresiva de media movil (ARIMA) sobre
el parametro t.
Un modelo autorregresivo integrado de media movil o ARIMA es un modelo estadstico
que utiliza variaciones y regresiones de datos estadsticos con el fin de encontrar patrones
para una prediccion hacia el futuro.El modelo ARIMA(p, d, q) tiene 3 parametros p, d, q,que nos indican el orden de la parte autoregresiva, integrada y de media movil del modelo.
El modelo ARIMA(p, d, q) puede expresarse comokt = (dkt kt) + 0 + p
i=1idkti qi=1 iti + t
Para el modelo de Cairns-Blake-Dowd se proyectan los ndices 1t y 2t usando regresiones
lineales, o sea
1t =m1t + b12t =m2t + b2
A continuacion se calculan los factores de mejoramiento.
4.0.2. Factores de mejoramiento
Los factores de reduccion son una herramienta ampliamente utilizada en la practica
actuarial para proyectar la mortalidad. En este enfoque, la probabilidad de muerte a la
12
-
Practica III 13
edad x en un ano calendario generico t esta relacionada con la probabilidad de muerte
a la edad x en un ano base t0(t > t0) mediante la siguiente expresion,qxt = qxt0RFx(t t0)
donde el factor RFx(t t0), llamado factor de reduccion, captura la mejora de la mor-talidad a la edad x para el perodo (t0, t). En su forma mas simple la extrapolacionmediante factores de reduccion supone que la probabilidad de muerte es una funcion
exponencial del ano calendario. Esto es, qxt = qxt0rtt0x . En el contexto de pensiones losfactores de reduccion son normalmente estimados a partir de informacion historica de
mortalidad poblacional, y luego ajustados para reflejar las diferencias entre la poblacion
general y la poblacion de pensionados. Las probabilidades de muerte proyectadas son
calculadas haciendo rx = 1 AAx100 , obteniendo la expresionqx,t = qxt0 (1 AAx100 )
tt0(4.1)
Donde AAx denota el factor de mejoramiento anual(en porcentajes) para la edad x y
finalmente despejando en la expresion (1,1) tenemos queAAx = 1001 ( qx,tqxt0 )
1tt0 (4.2)
que es la expresion que usaremos para hacer el calculo de factores de mejoramiento.
Usando como ano base el 2011 y las tasas de mortalidad futuras en el ano t=2073
procedemos a calcular los factores de mejoramiento usando la expresion
AAx = 1001 ( qx,2073qx,2011)1
t62 (4.3)Se omite el colocar cifras, debido a que los factores de mejoramiento calculados en este
proyecto pertenecen a la empresa metlife.
-
Apendice A
Descomposicion En Valores
Singulares
En algebra lineal, la descomposicion en valores singulares(Singular Value Descompo-
sition) de una matriz real o compleja es una factorizacion de la misma con muchas
aplicaciones en estadstica y otras disciplinas. Recordemos un poco de nuestro curso
de algebra Lineal, sea una matriz A Rnn diagonalizable, esto nos dice que podemosreescribir la matriz como A = PDP1,con D matriz diagonal conformada por los valorespropios ed A. La idea es generalizar esto a matrices no cuadradas para eso vamos a
dar algunas definiciones y teoremas omitiendo su demostracion, el siguiente teorema le
dara sentido a la descomposicion,
ex+xtTeorema A.0.1. Sea A Rmn, los valores propios de la matriz cuadrada AAT Rnnsiempre son reales y positivos,y sus vectores propios asociados son ortogonales.
Al ser los valores propios reales y positivos tenemos orden y las races estaran bien
definidas, ahora tiene sentido dar la siguiente definicion,
Definicion 1. Sean 1, 2, . . . , n 0 los valores propios de AAT , es decir los primerosvalores propios no nulos de la matriz, ordenados de mayor a menor. Entonces i = ies el i-esimo valor singular de la matriz AAt
Teorema A.0.2. Una SVD de A es una factorizacion del tipo A = UV T con U Rmm,V Rnn y Rmn una matriz formada con los valores singulares de A en su diagonalprincipal ordenados de mayor a menor.
Antes de pasar a explicar la construccion del SVD, vamos a dar un ultimo teorema,
14
-
Apendice A. Descomposicion En Valores 15
Teorema A.0.3. Sea A Rnm, entonces existe una SVD de A.La descomposicion se realiza de la siguiente manera, sean v1, v2, . . . vr una base ortonor-
mal formada por los vectores propios asociados a los valores singulares no nulos de AAT .
Luego definimos los vectores ui de la siguiente manera
u1 = Av11
, u2 = Av22
, . . . , ur = Avrr
Con lo que definimos las componentes de la descomposicion de la siguiente manera
U = [u1 ur]TV = [v1 vr]T
=
1 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 r 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Donde a ui y vi se le llaman vectores singulares por la izquierda y por la derecha,
respectivamente.
Ejemplo 1.
.Si A =
0 0
0 9
3 0
, entonces ATA =
9 0
0 81
cuyos autovalores son 1 = 81 y 2 = 9asociados a los autovectores v1 = [0 1]T v2 = [1 0]T , respectivamente. Como la ma-triz es simetrica, estos vectores son ortogonales,luego los Valores Singulares de A son
1 = 81 = 9 2 = 9 = 3. Observamos que, efectivamente, la cantidad de ValoresSingulares no nulos coincide con el rango de la matriz. Ahora buscamos los vectores{u1, u2, u3} con ui R3, que deberan cumplirAv1 = 1u1Av2 = 2u2Av3 = 0R3
-
Apendice A. Descomposicion En Valores 16
Esto es u1 = Av11 = 19[0 9 0]T = [0 1 0]T y u2 = Av22 = 13[0 0 3]T = [0 0 1]T .Entonces completamos una base ortonormal de R3 con {[0 1 0]T , [0 0 1]T , [1 0 0]T}.As nuestras Matrices ortogonales son: U =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
, V =
0 1
1 0
Y la matrizcompuesta por los Valores Singulares ordenados es,
=
9 0
0 3
0 0
Por lo tanto la DVS de A es:
A =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
9 0
0 3
0 0
0 1
1 0
= 9
0
1
0
[0 1] + 3
0
0
1
[1 0] =
0 0
0 9
3 0
Y la DVS Reducida es
A =
0 0
1 0
0 1
9 0
0 3
0 1
1 0
Observacion: No siempre ocurre que V = V T como en este caso.
-
Bibliografa
[1] A. Debon,F. Montes y F. Puig, Modeling and forecasting mortality in Spain ,
2006.
[2] R.D. Lee, R. Rofman Modeling and forecasting mortality in Chile , 1002.
[3] M. Belliard, I. Williams, Proyeccion estocastica de la mortalidad. Una aplicacion
de Lee-Carter en Argentina ,2013.
[4] E. Pitacco, M. Denuit, S. Haberman, A. Olvieri , Modelling Longevity Dyna-
mics for Pensions and Annuity Business, Oxford, 2009.
[5] SVS website : http://www.svs.cl/
[6] Monika Turyna, Thomas Hrdina, Calculating Interval Forecasts http://
homepage.univie.ac.at/robert.kunst/pres09_prog_turyna_hrdina.pdf
17
Symbols1 Introduccin1.1 Motivacin
2 Prctica I2.0.1 Obtencin y Validacin de Datos2.0.2 Clculo de tasas de mortalidad brutas
3 Prctica II3.1 Modelo De Lee-Carter3.1.1 Desarrollo del Modelo
3.2 Modelo De Cairns-Blake-Dowd3.2.1 Desarrollo Del Modelo
4 Prctica III4.0.2 Factores de mejoramiento
A Descomposicin En Valores Singulares Bibliografa