upravljanje rizikom hanic

8/17/2019 Upravljanje rizikom Hanic

1/63

University of Business and Finance Switzerland

Belgrade Banking Academy – Union University of Belgrade

Mathematical-Statistical Basis of RiskManagement

Matematičko-statističke osnove

upravljanja rizikom

Prof. dr Hasan Hanić


2/63

Risk Management

Ciljevi

• Savladati osnovne matematičkostatističke !o"move ikonce!te ko"i se koriste u analizi rizika

• Razumeti su#tinu dve kl"učne karakteristike svake$arti"e od vrednosti% očekivani !rinos i rizik

• &aučiti kako se statistički meri rizik "edne $arti"e odvrednosti te razni$ kom'inaci"a $arti"a od vrednosti

• Razumeti dve osnovne strategi"e sman"ivan"a rizika

(ulagan"a u $arti"e od vrednosti)% !ove*avan"e 'ro"a+o, i kom'inovan"e +o, sa inverznom korelaci"om-


3/63

Risk Management

Slučajni dogadjaj

• Pod slučajnim dogadjajempodrazumevamo takav dogadjaj koji se pododredjenim okolnostima može, ali i nemora ostvariti.

• Primer 1: »pojava grba« na novčiću u igri»bacanje novčića«.

• igri »bacanje novčića« postoje dvamoguća dogadjaja: »pojava grba« i»pojava pisma«.


4/63

Risk Management

!čekivani "slučajni# dogadjaj može da seostvari ili ne ostvari.

$ko se očekivani dogadjaj nije ostvaro,kažemo da se ostvario njegov suprotan

dogadjaj . primeru bacanja novčića, gde je očekivani

dogadjaj »pojava grba«, »pojava pisma«

predstavlja suprotan dogadjaj .%ogadjaj koji se sigurno ostvaruje naziva sesiguran (izvestan ili neslučajni)dogadjaj .


5/63

Risk Management

Primer 2: &aca se idealna kocka čije su sve straneobeležene brojevima od ' do ( i registruje brojkoji je pao "na gornjoj strani#.

!vde postoji ( mogući) dogadjaja: »pojava jedinice«, »pojava dvojke«,..., »pojava *estice«.!ve dogadjaje nazivamo elementarnimdogadjajima ili ishodima igre.

$ko moguće is)ode "elementarne dogadjaje#bacanja kocke označimo brojevima ', +, , -, ,( tada skup E / 0', +, , -, , (1 predstavlja skupelementarni) dogadjaja, tj. skup mogući) is)odaigre ili eksperimenta »bacanje kocke«.


6/63

Risk Management

2a skupu elementarni) dogadjaja E mogu se de3inisati i složenidogadjaji .

2eki primeri složenih dogadjaja u igri 4bacanja kocke5: A: »Pojavljivanje parnog broja« na gornjoj strani kocke. !vaj dogadjaj

"$# ostvariće se ako se ostvari jedan od elementarni) dogadjaja:»pojava dvojke«

»pojava četvorke«»pojava *estice«Primetimo da od ukupno ( elementarni) dogadjaja 0', +, , -, , (1, elementarna dogadjaja 0+, -, (1 realizuju složeni dogadjaj A.

B: »Pojavljivanje parnog broja većeg od +«. !vaj dogadjaj ostvariće seostvarivanjem ma kojeg od sledeći) elementarni) dogadjaja:

»pojavljivanje četvorke«,»pojavljivanje *estice«.Primetimo da od ukupno ( elementarni) dogadjaja 0', +, , -, , (1,samo + elementarna dogadjaja 0-, (1 realizuju dogadjaj B.


7/63

Risk Management

Primer 3: 46stovremeno bacamo dve kocke5. 7ezultat "is)od

ili elementarni dogadjaj# svakog bacanja dveju kocki jepar brojeva " x ', x +# gde je x ' broj koji se pojavio nagornjoj strani prve, a x + broj koji se pojavio na gornjojstrani druge kocke.

8kup svi) parova " x ', x +#, tj. skup E / 0"', '#, "', +#, "', #,

"', -#, "', #, "', (# ,..., "(, '#, "(, +#, "(, #, "(, -#, "(, #,"(, (#1 predstavlja skup elementarni) dogadjaja.&roj elementarni) dogadjaja iznosi (.2a ovom skupu elementarni) dogadjaja možemo de3inisati

razne složene dogadjaje.

C: 4 9bir brojeva na obe kocke iznosi 5.8kup elementarni) dogadjaja koji realizuju dogadjaj C jeste

skup 0"', -#, "+, #, ", +#, "-, '#1 koji se sastoji od -elementarna dogadjaja.


8/63

Risk Management

Primer 4: 6stovremeno se baca "pravilan# novčić i"idealna# kocka.

8kup svi) elementarni) dogadjaja E sastoji se od'+ parova "rezultat na novčiću, rezultat na kocki#:

0"G, '#,...,"G, (#, "P , '#,..., "P, (#1.2eka je D složen dogadjaj koji označava

pojavljivanje grba na novčiću i broja »« nakocki.

ada od ukupno '+ elementarni) dogadjaja postojisamo jedan, "G, #, koji realizuje dogadjaj D.

k


9/63

Risk Management

Verovatnoa

9amislimo neki eksperiment koji se izvodiu odredjenim uslovima.!značimo sa n ukupan broj»jednakomogući)« elementarni) dogadjajaili is)oda eksperimenta, a sa k "k ; n# brojelementarni) dogadjaja čijim seostvarenjem ostvaruje i neki dogadjaj A.

Verovatnoća ostvarenja očekivanogdogadjaja klasično se deini!e kao odnosbrojeva k i n:

n

k =π


10/63

n

k =π


11/63

Risk Management

Primeri!

'.


12/63

Risk Management

6majući u vidu značenje brojeva k i n kao i to da je k ; n

sledi da je? ; " ; '

• $ko je očekivani dogadjaj tako de3inisan da ni jedanelementarni dogadjaj ne realizuje taj dogadjaj, tada je k /

? i, sledstveno, " / ?. o znači da je verovatnoćaostvarenja nemogućeg dogadjaja jedna"a nuli.• $ko je k / n, tj. ako svaki elementarni dogadjaj realizuje

očekivani dogadjaj, tada je " / '. 9nači, verovatnoćaostvarenja sigurnog dogadjaja jedna"a je jedini#i.

• $ko sa A označimo očekivani dogadjaj, a sa A& njemusuprotan dogadjaj, tada je, na osnovu de3inicijesuprotnog dogadjaja i de3inicije verovatnoće, sledi da je

" " A& # / ' @ " " A# odnosno " " A# / ' A " " A& # / '

13111


13/63

Risk Management

$ko se dva "elementarna ili složena# dogadjaja A' i A+ nemogu istovremeno ostvariti, za dogadjaje kažemo da sumedjusobno isključivi $in"ompati%ilni&.

!značimo sa A dogadjaj koji se ostvari ako se ostvari ilidogadjaj A' ili dogadjaj A+. >erovatnoća ostvarenjasloženog dogadjaja A jednaka je '(iru verovatnoća"komponentni)# dogadjaja A' i A+, tj.

" " A# / " " A'# A " " A+#

$ko kod bacanja kocke sa A' označimo pojavljivanje

broja »+«, sa A+ pojavljivanje broja »-«, sa Apojavljivanje broja »(«, a sa A pojavljivanje parnog broja,tada je:

2

1

6

3

6

1

6

1

6

1)()()()( 321 ==++=++= A A A A π π π π


14/63

2

1

6

3

6

1

6

1

6

1)()()()( 321 ==++=++= A A A A π π π π


15/63

Risk Management

Pretpostavimo da se dva dogadjaja D' i D+ medjusobno ne

isključuju, tj. da se mogu simultano ostvariti.Pretpostavimo, takodje, da su oba dogadjaja medjusobom nezavisna, *to znači da ostvarenje ilineostvarenje jednog dogadjaja ne utiče na ostvarenjedrugog dogadjaja.

!značimo sa D dogadjaj koji se ostvari ako se"istovremeno# ostvari i dogadjaj D' i dogadjaj D+.>erovatnoća ostvarenja kompleksnog dogadjaja D "komponovanog od dva medju sobom nezavisna

dogadjaja# jednaka je proizvodu verovatoća "komponenti)# dogadjaja D' i D+, tj." "D# / " "D'# " "D+#.


16/63

$ko, u primeru istovremenog bacanjanovčića i kocke, sa D' označimopojavljivanje grba na novčiću, sa D+pojavljivanje broja »« na kocki, a saD istovremeno pojavljivanje grba nanovčiću i broja »« na kocki, tada je:


17/63


18/63

Risk Management

ri koncepta verovatnoće:

1. Klasična (matematička) de'ini#ija verovtnoće, koja sezasniva na pretpostavci da su svi elementarni dogadjaji»jednakoverovatni« i da je broj elementarni) dogadjaja @is)oda eksperimenta konačan, "koncept koji je upravoizložen#.

+. >erovatnoća dogadjaja A statistički se de3ini*e naosnovu empirijski) "statistički)# podataka o učestalosti"3rekvenciji# pojavljivanja dogadjaja A u dovoljno velikombroju eksperimenata realizovani) pri nepromenjenimuslovima.

$ko se u "dovoljno velikom broju# n izvr*eni)eksperimenata dogadjaj A pojavio k puta, verovatnoćuostvarenja dogadjaja A statistički ocenjujemo "a posteriori # njegovom relativnom 3rekvencijom: "#A$ %k#A$)n.


19/63

Risk Management

. %obar broj investicioni) odluka ima elemente jedinstvenosti odnosno neuporedivosti sapret)odnim odlukama, usled čega severovatnoće ne mogu empirijski "statistički#odrediti. Besto nije ispunjen ni uslov da su svi

elementarni dogadjaji "is)odi# podjednakoverovatni.ada se koristi koncept tzv. subjektivneverovatnoće, prema kojem verovatnoća "#A$

izražava uverenje pojedinca "investitora# upogledu toga koliko je verovatno da se dogadjaj

A "u datim, odnosno očekivanim uslovima#ostvari.


20/63

Risk Management

Slučajna varija%la

>arijalbu * nazivamo slučajnom "aleatornom# varijablom prekidnogtipa ako na slučaj može uzimati jednu od vrednosti niza x ', x +,..., x nsa odgovarajućim verovatnoćama " ', " +,...,"n, pri čemu je" ', " + A ... A "n / 'gde "i predstavlja verovatnoću da će slučajna varijabla * uzeti

vrednost xi , tj. verovatnoću ostvarenja slučajnog dogadjaja " * / xi #.(a primer , kod bacanja kocke, »broj koji je pao« predstavlja jednu

slučajnu varijablu koja na slučaj može uzimati vrednosti: ', +, , -, ,( sa jednakim verovatnoćama '=(. !vde *est dogadjaja " * / '#,..., " * / (# čini skup svi) mogući) elementarni) dogadjaja, a zbir nji)ovi)verovatnoća jednak je jedinici.

Primer 2:


21/63

Risk Management

)a"on verovatnoe

>rednosti xi slučajne varijable * i nji)oveverovtnoće "i zajedno čine zakon"3unkciju, raspored ili distribuciju#verovatnoće prekidne slučajne varija(le * .9akon verovatnoće slučajne varijable * tj.

* : x ', x + ,..., x n

" ', " + ,..., "n

kratko označavamo sa 0D xi+ "i E1.


22/63

Ri k M654321:X 654321:X


23/63

Risk Management

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1:

:

π

X

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1:

:

π

X

6

1

6

6

1

5

6

1

4

6

1

3

6

1

2

6

1

1

:

:

π

X

Ri k M


24/63

Risk Management

Zakon verovatnoće neprekidne slučajne

varijable

Pri de3inisanju 'akona verovatnoćeneprekidne slučajne varija(le polazimo odverovatnoće ostvarenja dogodjaja da * uzme vrednost u proizvoljno malomintervalu " x , x A F x #, tj. od verovatnoće " " x

D * ; x A F x #, a sam zakon verovatnoćede3ini*emo kao 3unkciju:


25/63

x

)( 0)(

lim

∆

∆+≤〈→∆=

x x x x P x x f


26/63

∫

∝+

∝=≥

-

dx x f i x f .1)(0)(


27/63


28/63


29/63


30/63

∫ =〈〈=〈≤=≤〈=≤≤b

a

dx x f b X ab X ab X ab X a .)()()()()( π π π π


31/63

Cunkcija " x # / "+=H# x , za ? ; x ; ,predstavlja primer zakona

verovatnoće neprekidne slučajnevarijable * , jer je:


32/63

∫ =≤≤≥

3

0.1)9/2(300)9/2( xdx i x za x

Risk Management


33/63

Risk Management

*un"#ija rasporeda

>erovatnoća da će slučajna varijabla * uzeti vrednost koja je jednaka ili manja od neke unapred date vrednosti x , tj.

" " * ; x # je 3unkcija " # tačke x

" " * ; x # / " x #i naziva se 3unkcijom rasporeda ili 3unkcijom distribucije

slučajne varijable * .!na je monotono neopadajuća 3unkcija po x , tj. ako je x ' D

x + tada je " x '# ; " x +#.Po*to predstavlja verovatnoću, vrednost 3unkcije rasporedauvek je izmedju ? i ',pri čemu je "GI# / ? i "AI# / '.

Risk Management


34/63

Risk Management

$ko je slučajna varijabla * prekidna,čije su vrednosti x ', x + ,..., x n uredjene poveličini, 3unkcija rasporeda

" xk # / " " * ; xk # / " ' A " + A ... A " k

imaće dijagram stepenastog oblika saprekidima u tačkama xi i skokovima "i utim tačkama "v. sl.#.

Risk Management


35/63

Risk Management


36/63

Risk Management


37/63

Risk Management

%ogadjaj " x ; xk #, za xi ; xi A ', ostvari seako se ostvari ili dogadjaj " * / x '# ilidogadjaj " * / x +#, itd., ili " * / xk #. 9bogtoga je

" " * ; xk # / " "J / x '# A " " * / x +# A ... A " * / xk #

$ko je slučajna varijabla * neprekidnog tipa

sa zakonom verovatnoće #x$, tada je3unkcija rasporeda


38/63

( ) ∫ ∝

=≤= x

-

dx x f x X F(x) )(π


39/63


40/63

nn x x x X E π π π +++= 2211)(

Risk Management


41/63

Risk Management

!čekivana vrednost slučajnevarijable * koja označava»broj koji je pao« kod bacanjakocke, biće:


42/63

5,3616

615

614

613

612

611)( =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= X E


43/63


44/63


45/63

b X aE baX E +=+

)()()()()( Y E X E Y X E +=+

)()()( Y E X E XY E =

[ ] 0)( =− X E X E

ako su * i - nezavisneslučajne varijable


46/63


47/63

Varijansa

!čekivana vrednost kvadrata

odstupanja slučajne varijable * odsvoje očekivane vrednosti:


48/63

[ ] )()()( 22

X X Var X E X E σ ==−


49/63

22 )()( x X E X −=σ

i

n

i

i x x X π σ ∑=

−=1

22 )()(

.)()()( 22

dx x f x x X ∫

∝+

∝−−=σ


50/63

>arijansa slučajne varijable koja označava »broj koji jepao« kod bacanja kocke, na primer, biće

2

1

2

1

22 )()( x x x x X i

n

i

ii

n

i

i −=−= ∑∑==

π π σ

63,4)5,3(6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11 2222222 =−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=


51/63

)()( 22 X b X σ σ =+

)()( 22 X aaX σ σ =

)()( 222

X abaX σ σ =+)()()( 222 Y X Y X σ σ σ +=+ ako su * i - medju sobom

nezavisne slučajne

varijable.


52/63


53/63

Risk Management5,3616

615

614

613

612

611)( =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= X E


54/63

g

Standardna devija#ija

2enegativna vrednost

kvadratnog korena varijanse nazivase standardna devijaija slučajnevarijable * i obeležava sa K#*$. !na

ima istu dimenziju kao i slučajnavarijabla.

Risk Management


55/63

%ok očekivana vrednost E#*$, koja predstavljasrednju ili centralnu vrednost varijable * ,predstavlja meru lokacije odnosno entralnetendenije, dotle varijansa $odnosnostandardna devija#ija&, koja pokazuje u kojojmeri * odstupa od svoje srednje vrednosti, meridisperziju $rasejavanje& odnosno"on#entra#iju slučajne varija%le "pojamkoncentracije je suprotan pojmu disperzije#.

Risk Management


56/63

-oe'i#ijent varija#ije


57/63

.100)( x

X V σ =


58/63

-ovarijansa

>arijansa dvodimenzionalne slučajne varijable

" *,- #

[ ] [ ])()()(2 Y E Y X E X E XY −−=σ


59/63

-oe'i#ijent "orela#ije

!dnos izmedju kovarijanse slučajni) varijabli * i - iproizvoda nji)ovi) standardni) devijacija:

)()()(),(Y X

XY Y X σ σ

σ ρ =

Risk Management


60/63

2so'ine koefici"enta korelaci"e%

3- Mera linearne zavisnosti-4- ,rednost koefici"enta varira od 3 do 53-6- Ako su 7 i 8 linearno nezavisne1 tada "e koefici"ent

korelaci"e "ednak nuli-9- Ako "e a!solutna vrednost koefic"enta "ednaka

"edinici1 tada !osto"i !ot!una zavisnost izmed"u 7 i 8-Ako "e vrednost koefici"enta izmed"u nula i "edan1tada !osto"i delimična zavisnost izmed"u 7 i 8-Ako "e vrednost koefici"enta !ozitivna1 tada !osto"i!ozitivna (direktna) zavisnost% sa povećavanjem

vrednosti jedna varijable povećavaju se vrednosti drugevarijable : ako "e vrednost koefici"enta negativna1 tada!osto"i negativna(inverzna) zavisnost% sapovećavanjem vrednosti jedne slučajne varijablesmanjuju se vrednosti druge slučajne varijable.


61/63


62/63

Risk Management


63/63

;ored"en"em rezultata iz ova dva !rimera1

zakl"uču"emo da "e u drugom !rimeru(gde !osto"i negativna korelaci"a) rizik zaoko 3< !uta man"i nego u !rvom

o!rimeru1 gde izmed"u !rinosa $arti"a odvrednosti !oto"i !ozitivna korelaci"a-

.'og toga "e "edna od strategi"asman"ivan"a uku!nog rizika !ortfoli"a –

strategi"a zasnovana na iz'oru $arti"a odvrednosti izmed"u ko"i$ (t"- =zmed"u či"i$!rinosa) !osto"i negativna korelaci"a-

upravljanje rizikom hanic

Documents