urfu.ru€¦ · web viewВ настоящих методических указаниях...

М.М. Белоусова, К.С. Поторочина

МАТЕМАТИКАПрограмма, методические указания и контрольные задания

для студентов заочного обучения

3 семестр

Екатеринбург

2017

ФГАОУ ВО «Уральский Федеральный Университет имени первого

Президента России Б.Н. Ельцина»

Институт радиоэлектроники и информационных технологий – РТФ

Департамент информационных технологий и автоматики

Математика

Программа, методические указания и контрольные задания III семестра

для студентов заочной формы обучения

всех специальностей, кроме радиотехнических

Составители:

Белоусова М.М., ст. преподаватель,

Поторочина К.С., доцент


2017

PAGE \* MERGEFORMAT52

Оглавление

Введение.................................................................................................................5

Программа..............................................................................................................6

Требования к оформлению контрольной работы...............................................8

Решение нулевого варианта...............................................................................10

Раздел 1. Числовые и степенные ряды...........................................................10

Задание 1.1........................................................................................................10

Задание 1.2........................................................................................................12

Задание 1.3.1.....................................................................................................15

Задание 1.3.2.....................................................................................................17

Раздел 2. Кратные и криволинейные интегралы...........................................18

Задание 2.1........................................................................................................18

Задание 2.2........................................................................................................21

Раздел 3. Теория поля......................................................................................22

Задание 3.1........................................................................................................22

Задание 3.2........................................................................................................23

Задание 3.3........................................................................................................25

Контрольные задания..........................................................................................30

Вариант 1...........................................................................................................30

Вариант 2...........................................................................................................32

Вариант 3...........................................................................................................34

Вариант 4...........................................................................................................36

Вариант 5...........................................................................................................38

Вариант 6...........................................................................................................40

Вариант 7...........................................................................................................42PAGE \* MERGEFORMAT52

Вариант 8...........................................................................................................44

Вариант 9...........................................................................................................46

Вариант 10.........................................................................................................48

Литература...........................................................................................................50

Приложение.........................................................................................................51


Введение

В настоящих методических указаниях приведена программа, контрольные

задания по математике за 3 семестр для студентов заочной формы обучения

УрФУ. Указаны требования к оформлению контрольной работы и представлено

решение нулевого варианта. Также в решении нулевого варианта приведены

минимальные теоретические сведения по рассматриваемым разделам курса

высшей математики.

В межсессионный период по субботам один раз в месяц для студентов

заочного обучения проводятся консультации по контрольным работам.

Информация о датах и времени их проведения вывешивается на кафедральном

стенде возле ауд. Р − 336 (тел. 3754878).

Во время экзаменационной сессии для студентов заочного обучения

организуются обзорные лекции и практические занятия по программе текущего

семестра, а также установочные лекции по программе следующего семестра.

Во время сдачи зачета или экзамена студент должен продемонстрировать

знание и понимание основных теоретических и практических вопросов

программы, уметь применять их при решении задач. При работе с

определениями, теоремами и правилами студент должен уметь приводить их

точную формулировку, как устную, так и письменную (использовать

символьную запись), приводить примеры для их иллюстрации.


Программа

Программа по математике за третий семестр включает в себя 3 раздела:

1) числовые и степенные ряды;

2) кратные и криволинейные интегралы;

3) теория поля.

Задания в контрольной работе пронумерованы в соответствии с

перечисленными разделами. Первая цифра определяет номер раздела, вторая

цифра – номер задачи внутри этого раздела.

Рассмотрим более подробно содержание каждого раздела.

Числовые и степенные ряды

1. Понятие числового ряда, его частичной суммы. Понятие сходящегося

ряда и его суммы, понятие расходящегося ряда. Свойства сходящихся рядов.

Необходимый признак сходимости ряда.

2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов:

признаки сравнения, признак Даламбера, интегральный и радикальный признаки

Коши. Условие сходимости рядов и

3. Понятие знакочередующегося ряда. Достаточный признак его

сходимости (признак Лейбница). Знакопеременный ряд, достаточный признак

его сходимости. Понятие абсолютно и условно сходящихся рядов.

4. Понятие функционального ряда и его области сходимости. Степенные

ряды, радиус и область сходимости степенного ряда. Интегрирование и

дифференцирование степенного ряда. Ряд Тейлора функции . Разложение

элементарных функций в степенные ряды.

5. Применения степенных рядов для приближенного вычисления значения

функции, для вычисления определенного интеграла, для решения

дифференциального уравнения.


Кратные и криволинейные интегралы

1. Понятие интеграла по фигуре, его свойства. Механические приложения:

отыскание массы, координат центра тяжести и моментов инерции фигуры.

Конкретные виды интегралов по фигуре: двойной интеграл, тройной интеграл,

криволинейный интеграл 1−го рода, поверхностный интеграл 1−го рода. Их

геометрические приложения (длина линии, площадь фигуры, площадь

поверхности, объем тела).

2. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной и полярной системах

координат.

3. Вычисление тройного интеграла в прямоугольной системе координат.

Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.

4. Вычисление криволинейного интеграла 1−го рода.

5. Вычисление поверхностного интеграла 1−го рода.

Теория поля

1. Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня скалярного поля.

Понятие производной скалярного поля по направлению, формула для ее

вычисления. Определение градиента скалярного поля, свойства градиента.

2. Понятие векторного поля. Векторные линии и их дифференциальные

уравнения. Вычисление потока жидкости. Поток произвольного векторного поля

и его вычисление. Формула Остроградского для вычисления потока поля через

замкнутую поверхность. Понятие дивергенции, ее инвариантное определение и

физический смысл.

3. Вычисление работы силового поля. Линейный интеграл и циркуляция

векторного поля. Векторная и координатная форма записи линейного интеграла

поля и его вычисление. Формула Грина и формула Стокса для вычисления

циркуляции. Понятие ротора и его физический смысл в поле линейных

скоростей вращающегося тела.

4. Условия независимости линейного интеграла поля от формы пути

интегрирования. Потенциальное поле и его свойства. Отыскание потенциала.


Требования к оформлению контрольной работы

В процессе изучения курса математики студент должен выполнить в

каждом семестре одну контрольную работу. Контрольная работа № 3 состоит из

8 заданий (11 задач) для каждого варианта. Студент решает один из десяти

вариантов. Номер варианта определяется по последней цифре номера

студенческого билета или зачетной книжки (если последняя цифра 0, то

необходимо решить задачи 10 варианта).

При выполнении контрольных работ нужно придерживаться следующих

правил.

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тонкой

тетради в клетку (не более 24 листов), оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради необходимо указать: а) свою фамилию и инициалы;

б) институт; в) номер группы; г) номер зачетной книжки; д) номер контрольной

работы; е) название дисциплины (см. приложение).

Помимо общих данных на титульном листе печатается матрица учета задач.

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2. 3.3.а б а б в

Отметку о правильном выполнении задачи (+) ставит преподаватель.

ВНИМАНИЕ!!! При отсутствии правильно оформленного титульного

листа (особенно, если помимо ФИО студента не указаны номера его группы и

зачетной книжки) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА НЕ ПРОВЕРЯЕТСЯ!

3. В контрольную работу должны быть включены все задачи, указанные в

задании, и в строгом соответствии с номером своего варианта.

4. Решения задач в каждой контрольной работе следует располагать

обязательно в порядке номеров, указанных в задании (см. матрицу учета задач).

5. Оформление решения каждой задачи должно обязательно включать в

себя запись условия задачи в начале и ответ (отдельно выделенной строкой) в

конце.


6. Решения задач должны содержать подробные пояснения и необходимые

рисунки. Все решения и рисунки выполняются от руки. Использование онлайн-

калькуляторов разрешается только для проверки правильности Вашего решения.

В случае прямого копирования работы онлайн-калькулятора решение задачи не

засчитывается.

7. После получения прорецензированной работы студент должен исправить

все отмеченные рецензентом замечания и недочеты, а также выполнить все его

рекомендации. Исправления нужно записывать в этой же тетради после всех

решенных задач контрольной работы. Вносить исправления в тексты решения

задач после рецензирования запрещается.

Незачтенную контрольную работу с последующими соответствующими

исправлениями следует направить на повторную рецензию.

8. Контрольная работа в каждом семестре должна быть представлена для

рецензирования не позднее, чем за 2 недели до начала экзаменационной сессии.

Рецензирование контрольных работ, переданных на проверку позже

указанного срока, переносится на начало следующего семестра.

Контрольная работа считается зачтенной при наличии всех правильно

выполненных задач (на титульном листе ставится соответствующая отметка).

Прорецензированную и зачтенную контрольную работу студент должен

предъявлять экзаменатору перед сдачей зачета или экзамена.


Решение нулевого варианта

Раздел 1. Числовые и степенные ряды

Задание 1.1.

Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых

рядов, доказать, что

Теоретический минимум

_____________________________________________

Выражение вида называется числовым рядом.

Сумма первых n слагаемых называется n-ной частичной суммой числового

ряда и обозначается .

При этом − действительные или комплексные числа,

называемые членами ряда, где

− общий член ряда.

Если предел последовательности частичных сумм ряда равен

конечному числу , то ряд называют сходящимся , где сумма

ряда, если нет – то ряд расходящийся, он не имеет конечной суммы.

Необходимый признак сходимости числового ряда: если числовой ряд

сходится, то предел общего члена ряда равен нулю


Необходимый признак сходимости не верен в обратную сторону, то есть из

стремления общего члена ряда к нулю не следует его сходимость!

Для проверки сходимости знакоположительных рядов (рядов с общим

членом ) используют достаточные признаки сходимости:

1. Первый признак сравнения. Пусть ряды -

знакоположительные и Если сходится ряд с большим общим

членом ряда то сходится и с меньшим Если расходится ряд

с меньшим общим членом ряда то расходится и с большим

2. Второй (предельный) признак сравнения. Пусть ряды -

знакоположительные и если с – конечное число, отличное от

нуля, то ряды сходятся и расходятся одновременно.

3. Признак Даламбера. Пусть ряд - знакоположительный и

- конечное число. Если то ряд сходится; если

то ряд расходится; если то признак Даламбера не дает ответа на

вопрос о сходимости ряда.

4. Радикальный признак Коши. Пусть ряд - знакоположительный и

- конечное число. Если то ряд сходится; если

то ряд расходится; если то признак Коши не дает ответа на вопрос

о сходимости ряда.


5. Интегральный признак Коши. Пусть члены знакоположительного ряда

являются значениями некоторой монотонно убывающей функции

на промежутке функции так, что …,

Тогда

1) если сходится, то сходится и ряд

2) если расходится, то расходится и ряд

Для признаков сравнения используют ряды вида

1) который сходится при и расходится при

2) который сходится при и расходится при

_______________________________________________________________

Решение:

Условие является необходимым признаком для

сходимости ряда Для доказательства его сходимости применим

радикальный признак Коши: ряд

сходится.

Из сходимости ряда

следует, что


Что и требовалось доказать.

Задание 1.2. Найти область сходимости степенного ряда

Теоретический минимум_______________________________________________________________________________

Ряд, общим членом которого является функция, называется

функциональным. Частным случаем функционального ряда является степенной

ряд вида Заменой ряд можно свести к

ряду

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором

значении отличном от нуля, то он сходится на множестве

Существует такое число называемое радиусом сходимости ряда, что

ряд сходится при и расходится при

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам:

и

Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание: интервал сходимости ряда имеет вид


На границах интервала необходимо исследовать ряд на сходимость,

подставив значения и .

При подстановке вместо х конкретных значений степенной ряд

превращается в числовой (в общем случае - знакопеременный),

для которого можно определить: сходится он или нет.

Члены знакопеременного ряда могут быть как положительными, так и

отрицательными. Ряд вида называется знакочередующимся.

Если для ряда абсолютный ряд (ряд по модулю)

сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Признак Лейбница. Если для ряда ряд расходится,

но выполняются условия:

1) - бесконечно убывающая последовательность;

2)

то ряд сходится условно.

________________________________________________________________

Решение:

Найдем область сходимости данного степенного ряда. Для этого

рассмотрим ряд по модулю

Найдем радиус сходимости ряда:


Так как радиус сходимости ряда равен 2, то область сходимости ряда имеет

вид

- область сходимости степенного ряда, - радиус сходимости.

Исследуем сходимость ряда на границах интервала сходимости. Сначала

исследуем правую границу интервала.

При

По предельному признаку сравнения для рядов и из

условия и расходимости ряда следует расходимость ряда

.

При

Ряд знакопеременный. Соответствующий ему ряд по модулю

расходится, но по признаку Лейбница и

значит, сходится условно.

Таким образом, область сходимости степенного ряда - Радиус

сходимости равен 2.


Ответ. Область сходимости данного степенного ряда -

Замечание 1: если общий член степенного ряда представляет собой

выражение в степени n или кратной n, то вместо признака Даламбера удобно

применить радикальный признак Коши.

- условие сходимости ряда, позволяющее найти

интервал и радиус сходимости степенного ряда

Замечание 2: Возможны случаи и , например, для ряда

область сходимости состоит из точки ( ); а для ряда область

сходимости соответственно .

Задание 1.3.1. Вычислить с погрешностью

Теоретический минимум

_____________________________________________________

Теорема о представлении функции степенным рядом: Пусть для ,

, . Если

1) существуют все производные функции до n-го порядка включительно,

2) они ограничены на ,

тогда ряд Тейлора функции по степеням разности

сходится к функции на , т.е.


Рассмотрим разложения некоторых элементарных функций в степенные

ряды:

.

,

.

область сходимости биномиального ряда:

При приближенном вычислении суммы сходящихся рядов сумма ряда

заменяется на его частичную сумму n слагаемых . Тогда возникает вопрос о

погрешности вычисления – оценке суммы отбрасываемых слагаемых (это

остаток ряда ).

Теорема об оценке остатка ряда. Ошибка при приближенном вычислении

суммы сходящегося знакочередующегося ряда по модулю не

превышает абсолютной величины первого отброшенного члена ряда:

Таким образом, чтобы вычислить приближенно сумму знакочередующегося

ряда с заданной погрешностью, нужно:

1) найти первый член ряда по модулю не превышающий заданную

погрешность;

2) отбросить при вычислении суммы ряда все его члены, начиная с

найденного.PAGE \* MERGEFORMAT52

__________________________________________________

Решение:

Возьмем разложение в степенной ряд функции

Преобразуем числовое выражение к виду, позволяющему использовать

биномиальный ряд:

.

При , имеем

Получили знакочередующийся ряд, третье слагаемое которого

не превышает погрешности

Таким образом, начиная с этого слагаемого, остаток ряда также не превышает

заданной погрешности и его можно отбросить.

Ответ. с погрешностью .

Задание 1.3.2. Вычислить приближенно значение интеграла с

погрешностью

Решение. Имеем

.

После интегрирования получаемPAGE \* MERGEFORMAT52

.

Поскольку ряд знакочередующийся, то Потребуем

подберем , удовлетворяющее

неравенству . Итак,

отсюда с

.

Раздел 2. Кратные и криволинейные интегралы

Задание 2.1.

Пластина задана неравенствами в декартовой системе координат:

– плотность материала, из которого изготовлена

пластина. Найти массу пластины.

Теоретический минимум_______________________________________________________________________

Масса плоской фигуры определяются по формуле: где

- функция плотности, D – область интегрирования.

Двойной интеграл вычисляют сведением его к повторному интегралу:

Пределы интегрирования внешнего интеграла

– всегда числа. Неравенство задает вертикальную полосу, в которой


располагается фигура D. Графики функций - это границы фигуры D

соответственно слева и справа.

В первую очередь вычисляется внутренний интеграл, при этом

интегрирование идет по переменной y, а x считается константой:

Результаты вычисления подставляют в первый интеграл, зависящий теперь

только от переменной : и

вычисляют полученный определенный интеграл.

Замечание 1: иногда удобно менять пределы интегрирования, тогда

внутреннее интегрирование идет по переменной х, и двойной интеграл сведется

к определенному интегралу от переменной у:

Замечание 2: если область интегрирования D представляет собой круг или

его часть, то при вычислении интеграла рационально перейти от декартовой

системы координат к полярной:

Для этого перехода уравнение границы области записывают в полярной

системе координат и производят замену:

Замечание 3: если область интегрирования состоит из нескольких частей, то

двойной интеграл представляют суммой интегралов по каждой из них.


_________________________________________________________

Решение:

Построим область интегрирования (D):

Рис. 1 К задаче 2.1.

Так как областью интегрирования является частью круга, то при

вычислении двойного интеграла используем формулы перехода к полярным

координатам: при этом .

Уравнения линий, ограничивающих фигуру (D) в полярной системе

координат имеют вид:

Тогда (D):

Вычисляем массу пластины:


Ответ. Масса пластины равна

Задание 2.2.

C помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного

поверхностями: . Сделать чертежи данного тела

и его проекции на координатную плоскость Oxy.


Объем тела вычисляется через тройной интеграл по замкнутой области от

функции, равной единице:

Тройной интеграл вычисляют сведением его к повторному интегралу:

где - проекция тела V на плоскость Oхy.

При вычислении объема тела _________________________________________________________________________________

Решение:

Построим область интегрирования, ее границы: координатные плоскости

Oхy (уравнение z = 0) и Oхz (уравнение y = 0), плоскость у = 3х, проходящая

через точки (3, 0, 0) и (0, 3, 0) параллельно оси Oz, параболический цилиндр с

направляющей z = 1 x2 и образующими, параллельными осиOу.


Рис. 2 К задаче 2.2.

Область (V) в направлении оси Oz ограничена снизу плоскостью z = 0, а

сверху поверхностью z = 1 x2. Проекция области (V) на плоскость Oxy –

трапеция ABСD. Стороны АВ и СD образованы пересечением параболического

цилиндра с плоскостью z = 0, сторона ВС образована пересечением плоскости

у = 3 х с плоскостью z = 0, сторона АD образована пересечением координатных

плоскостей Oхy и Oхz.

Тогда объем равен:

Последовательно вычисляем интегралы, начиная с внутреннего, причем при

интегрировании по z переменные x и y фиксированы, а при интегрировании по y

фиксирована переменная x.

Ответ. Объем V = 4.


Раздел 3. Теория поля

Задание 3.1.

Даны скалярное поле точка и вектор

Найти: а) скорость изменения скалярного поля U в точке А по

направлению вектора б) наибольшую скорость возрастания U в точке А.


Скалярное поле – это область пространства, на которой определена

скалярная (числовая) функция называемая функцией поля. Примеры

скалярного поля: поле температур, поле давлений и т.п.

Поверхность где функция поля принимает одинаковые

значения, называется поверхностью уровня (в двумерном пространстве

уравнение задает линию уровня).

Вектор из частных производных функции поля называют градиентом поля

- оператор Гамильтона (читается, как «набла»).

Градиент поля направлен в направлении, перпендикулярном поверхности

уровня.

Для характеристики скорости изменения поля по

направлению вектора вычисляют производную скалярного поля по

направлению этого вектора, обозначаемую

Производная по направлению вычисляется по формуле:

где


Поле в точке М возрастает тогда и только тогда, когда

При этом наибольшая скорость возрастания поля соответствует

направлению градиента и равна

Поле в точке М убывает тогда и только тогда, когда

При этом наибольшая скорость убывания поля соответствует направлению

противоположном вектору градиента и равна _________________________________________________________________________________

Решение:

а) скорость изменения скалярного поля U в точке А по направлению

Вычисляем частные производные для функции U:

Следовательно,

Находим единичный вектор направления

Тогда

б) наибольшая скорость возрастания Uв точке А равна

Находим длину градиента:

Ответ. а) б)


Задание 3.2

Доказать, что векторное поле потенциально,

найти его потенциал. Выяснить, является ли поле соленоидальным.

Теоретический минимум______________________________________________________________________________

Векторное поле – область пространства, в каждой точке которой задан

вектор Примеры векторных полей: силовое поле, поле скоростей и т.п.

Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и

дивергенция.

1. Ротором векторного поля

называют вектор

Ротор, вычисленный в точке, характеризует вращательную способность

векторного поля в этой точке.

Векторное поле называют потенциальным, если оно является полем

градиента некоторой скалярной функции U. Функцию

называют потенциалом поля.

Односвязное поле потенциально тогда и только тогда, когда его ротор равен

нулю.

2. Дивергенцией векторного поля называют сумму частных производных

координат вектор-функции задающей

векторное поле:


Дивергенция, вычисленная в точке, характеризует мощность источника

(если ) или стока (если ) в этой точке.

Если то векторное поле называют соленоидальным._____________________________________________________________________________________

Решение:

Поле является потенциальным, если

Вычисляем ротор :

Значит, поле потенциально и его потенциал U удовлетворяет условию

или в координатной форме:

Найдем потенциал U.

1 способ. Проинтегрируем первое из этих равенств по x:

и подставим получившуюся функцию U(x, y, z)во второе равенство (*):

отсюда Тогда и


Теперь подставим функцию U в третье равенство (*):

Следовательно, где С константа. Поэтому

2 способ. Найдем потенциал по формуле

где в качестве начальной точки М0(х0, y0, z0) выберем точку с координатами

(0, 1, 0). Получим

Замечание. При решении контрольной работы достаточно использовать

только один способ для определения потенциала.

Поле является соленоидальным, если Вычисляем дивергенцию:

.

Следовательно, поле не является соленоидальным.

Ответ. Поле потенциально, но не является соленоидальным; потенциал

Задание 3.3

Даны векторное поле поверхность S: и

плоскость P: z = 3.Найти: а) поток поля через внешнюю сторону замкнутой

поверхности , образованной поверхностью и плоскостью Р; б) поток поля

через внешнюю сторону части поверхности отсекаемой плоскостью Р;


в) циркуляцию поля вдоль контура, образованного пересечением поверхности

и плоскости Р (направление обхода контура − положительное).

Решение:

Теоретический минимум_______________________________________________________________________________________

Поток векторного поля a⃗ через ориентированную поверхность σ с

единичным вектором нормали n⃗ это поверхностный интеграл первого рода от

скалярного произведения ( a⃗ , n⃗ ) по поверхности σ :

Пσ=∫( σ )

( a⃗ , n⃗ ) dσ.

В формуле присутствуют следующие элементы:

1. a⃗= {P , Q ,R }, P ,Q , R функции от x , y , z .

2. n⃗ единичный вектор нормали к поверхности способ его

вычисления:

3. dσ элемент площади поверхности: способ его вычисления при

проецировании поверхности на плоскость Оху :

Тогда

Если поверхность - замкнутая, то удобно вычислять поток поля по

теореме Остроградского-Гаусса: поток поля через замкнутую поверхность

равен тройному интегралу от дивергенции поля по замкнутому объему:

___________________________________________________________

а) поток через замкнутую поверхность вычисляем по формуле

Остроградского-Гаусса:


Тело V снизу ограничено плоскостью Р, сверху параболоидом S.

Рис. 3 к задаче 3.3.

При вычислении интеграла перейдем к цилиндрическим координатам:

б) 1 способ.

По определению поток вектора через поверхность σ равен

где нормаль поверхности σ. Если поверхность σ определятся уравнением

F(x, y, z) = 0, то

Находим нормаль поверхности σ = S:

Поток направлен во внешнюю сторону, поэтому (см.рис.) образует острый


угол с осью Oz (третья координата вектора положительна). Тогда

и интеграл равен

Получили поверхностный интеграл 2го рода. Сведем его к двойному

интегралу. Из уравнения поверхности находим:

проекция σ на плоскость Оху.

Получим

2 способ. Найдем поток через поверхность параболоида как разность

между потоком через полную поверхность и потоком через плоскость

основания.

. Поверхность σ часть плоскости Р, вырезаемая

поверхностью . Нормаль поверхности: .

По формуле Остроградского поток через замкнутую поверхность направлен

во внешнюю сторону, т.к. σ – нижнее основание замкнутой поверхности, то

поток противоположно направлен оси Oz. Поэтому

где PAGE \* MERGEFORMAT52

Интеграл определяет площадь круга с радиусом R = 3.

Тогда

Находим поток через поверхность параболоида:

в) Поверхность и плоскость Р пересекаются по окружности

Циркуляция вектора вдоль кривой (l) вычисляется по формуле:

В нашем случае получили криволинейный интеграл

2го рода. Сведем этот интеграл к определенному интегралу с помощью

параметрического задания окружности: где 0 t 2.

Вычисляем циркуляцию:

Замечание. При вычислении криволинейного интеграла необходимо

учитывать направление обхода контура. По условию: направление

положительное, т.е. против часовой стрелки, поэтому t изменяется от 0 до 2.

Ответ. а) б) в)


Контрольные задания

Вариант 1

1. Задания на тему «Числовые и степенные ряды»

1.1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов,

доказать, что .

1.2. Найти область сходимости степенного ряда

1.3. Вычислить приближенно с точностью до

2. Задания на тему «Кратные и криволинейные интегралы»

2.1. Пластина задана неравенствами в декартовой системе координат



2.2. C помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного

поверхностями Сделать чертежи данного тела и его

проекции на координатную плоскость Oxy.

3. Задания на тему «Теория поля»

3.1. Даны скалярное поле точка и вектор



3.2. Доказать, что векторное поле

потенциально, найти его потенциал. Выяснить, является ли поле

соленоидальным.


3.3. Даны векторное поле поверхность

и плоскость Найти: а) поток поля через

внешнюю сторону замкнутой поверхности , образованной поверхностью и

плоскостью Р; б) поток поля через внешнюю сторону части поверхности ,

отсекаемой плоскостью Р; в) циркуляцию поля вдоль контура, образованного

пересечением поверхности и плоскости Р (направление обхода контура −

положительное).


Вариант 2





1.3. Вычислить приближенно

с точностью






поверхностями Сделать чертежи данного

тела и его проекции на координатную плоскость Oxy.









и плоскость Найти: а) поток поля через внешнюю сторону замкнутой PAGE \* MERGEFORMAT52

поверхности , образованной поверхностью и плоскостью Р; б) поток поля

через внешнюю сторону части поверхности , отсекаемой плоскостью Р;

в) циркуляцию поля вдоль контура, образованного пересечением поверхности

и плоскости Р (направление обхода контура − положительное).


Вариант 3



доказать, что


1.3. Вычислить приближенно с точностью
















Вариант 4












поверхностями Сделать чертежи данного тела и

его проекции на координатную плоскость Oxy.









и плоскость Найти: а) поток поля через внешнюю сторону PAGE \* MERGEFORMAT52

замкнутой поверхности , образованной поверхностью и плоскостью Р;

б) поток поля через внешнюю сторону части поверхности , отсекаемой

плоскостью Р; в) циркуляцию поля вдоль контура, образованного




Вариант 5





1.3. Вычислить приближенно с точностью










Найти: а) скорость изменения скалярного поля U в точке А по направлению

вектора б) наибольшую скорость возрастания U в точке А.





Вариант 6









– плотность материала, из которого

изготовлена пластина. Найти массу пластины.









потенциально, найти его потенциал.

Выяснить, является ли поле соленоидальным.


Вариант 7
















Найти: а) скорость изменения скалярного поля U в точке А по направлению

вектора б) наибольшую скорость возрастания U в точке А.


потенциально, найти его

потенциал. Выяснить, является ли поле соленоидальным.


Вариант 8










пластина. Найти координаты центра тяжести пластины.


поверхностями Сделать чертежи данного тела











и плоскость Найти: а) поток поля через внешнюю

сторону замкнутой поверхности , образованной поверхностью и плоскостью

Р; б) поток поля через внешнюю сторону части поверхности , отсекаемой





Вариант 9










изготовлена пластина. Найти массу пластины.












Вариант 10






при с точностью




изготовлена пластина. Найти координаты центра тяжести пластины.


поверхностями Сделать чертежи данного тела










Литература

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н.

Берман. М.: Наука, 2005. 443 с.

2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому

анализу: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович. - М.: АСТ: Астрель, 2009.

558 с.

3. Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев,

Г.И. Макаренко. Т.3. М., 2012. 249 с.

4. Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев,

Г.И. Макаренко. Т.4. М.: Эдиториал УРСС, 2012. 352 с.

5. Минькова Р.М. Векторный анализ: учебное пособие / Р.М. Минькова.

Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2013. 119 с.

(http://www.fizteh.org/elibrary).

6. Минькова Р.М., Чуксина Н.В. Векторный анализ в примерах и задачах /

Р.М. Минькова, Н.В. Чуксина. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ- УПИ, 2013. 94

с. (http://www.fizteh.org/elibrary).

7. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т.

Письменный. М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.

8. Табуева В.А. Математика. Математический анализ. Специальные

разделы: Учебное пособие. Изд. 2-е (стереотип) / В. А. Табуева. Екатеринбург.

УГТУ-УПИ, 2004. 495 с.

9. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 1,2,3: Учебное

пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. –4-е изд.

перераб. и доп. М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2003. 288 с.


http://www.fizteh.org/elibrary

http://www.fizteh.org/elibrary

Приложение

Образец титульного листа

ФГАОУ ВО «Уральский Федеральный Университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Институт радиоэлектроники и информационных технологий – РТФ

Департамент информационных технологий и автоматики

Контрольная работа № 3

по математике

Вариант № 0

студент Иванов И.И.

институт ИРИТ-РтФ

группа РИЗ-170000

зачетная книжка № 00000000

1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2. 3.3.а б а б в


2017


urfu.ru€¦ · web viewВ настоящих методических указаниях...

Documents