utilizarea paradoxurilor în predarea unor notiuni din teoria

Utilizarea paradoxurilor n predarea unor noiuni din Teoria Probabilitilor

Dr. Iulian Stoleriu

Facultatea de Matematic

Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iai

[email protected]; [email protected]

9 aprilie 2016

Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Iai)Utilizarea paradoxurilor n predarea unor noiuni din Teoria Probabilitilor9 aprilie 2016 1 / 25

Ce este un paradox?

Paradox (gr.) paradoxon contrar ateptrilor sau a opiniei generale.

Din dicionarul explicativ: paradx, paradoxuri, s. n.1. enun contradictoriu i, n acelai timp, demonstrabil; prere (absurd) contrar adev-

rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine n contradicie cu adevrul general acceptat.3. raionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate

nici adevrate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra att c este adevrat, ct i c este fals.

G. Szkely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]denete un paradox astfel: orice enun dovedit a adevrat dar surprinztor.Dac ar s lum n seam aceast deniie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru muli dintre . . . studenii de la Mate. ,Reformulat i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv, la care amajuns printr-un raionament logic.Dei multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gndirea critic.Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul brbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.n Matematic, utilizarea fr grij a mulimilor innite sau a cantitilorinnitezimale conduc la apariia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?

Paradox (gr.) paradoxon contrar ateptrilor sau a opiniei generale.Din dicionarul explicativ: paradx, paradoxuri, s. n.1. enun contradictoriu i, n acelai timp, demonstrabil; prere (absurd) contrar adev-






Ce este un paradox?





G. Szkely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]denete un paradox astfel: orice enun dovedit a adevrat dar surprinztor.

Dac ar s lum n seam aceast deniie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru muli dintre . . . studenii de la Mate. ,Reformulat i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv, la care amajuns printr-un raionament logic.Dei multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gndirea critic.Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul brbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.n Matematic, utilizarea fr grij a mulimilor innite sau a cantitilorinnitezimale conduc la apariia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?





G. Szkely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]denete un paradox astfel: orice enun dovedit a adevrat dar surprinztor.Dac ar s lum n seam aceast deniie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru muli dintre . . . studenii de la Mate. ,

Reformulat i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv, la care amajuns printr-un raionament logic.Dei multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gndirea critic.Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul brbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.n Matematic, utilizarea fr grij a mulimilor innite sau a cantitilorinnitezimale conduc la apariia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?





G. Szkely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]denete un paradox astfel: orice enun dovedit a adevrat dar surprinztor.Dac ar s lum n seam aceast deniie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru muli dintre . . . studenii de la Mate. ,Reformulat i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv, la care amajuns printr-un raionament logic.

Dei multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gndirea critic.Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul brbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.n Matematic, utilizarea fr grij a mulimilor innite sau a cantitilorinnitezimale conduc la apariia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?





G. Szkely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]denete un paradox astfel: orice enun dovedit a adevrat dar surprinztor.Dac ar s lum n seam aceast deniie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru muli dintre . . . studenii de la Mate. ,Reformulat i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv, la care amajuns printr-un raionament logic.Dei multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gndirea critic.

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul brbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.n Matematic, utilizarea fr grij a mulimilor innite sau a cantitilorinnitezimale conduc la apariia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?





G. Szkely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]denete un paradox astfel: orice enun dovedit a adevrat dar surprinztor.Dac ar s lum n seam aceast deniie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru muli dintre . . . studenii de la Mate. ,Reformulat i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv, la care amajuns printr-un raionament logic.Dei multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gndirea critic.Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul brbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

n Matematic, utilizarea fr grij a mulimilor innite sau a cantitilorinnitezimale conduc la apariia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?







Probabilitate

Probabilitate (lat.) probabilis asemnat cu adevrul (ger. Wahrscheinlichkeit).

Din dicionarul explicativ:Probabilitate, probabiliti, s. f. 1. Calitatea de a probabil.2. O msur a ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguran, bazat pe dovezi clare i concludente, n a face o armaie (nsens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jrme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea ncercat denirea conceptului de probabilitate.Noiunea de probabilitate a aprut pentru prima oar n corespondena dintre Pierrede Fermat i Blaise Pascal (1654), n discuii legate de ansele de ctig la jocurile denoroc.Probabilitatea este cea mai important noiune a tiinelor moderne, mai ales cnimeni nu are cea mai vag idee despre ce nseamn (B. Russell, 1929).Teoria probabilitilor este aplicat ndeosebi n evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) i n tranzacionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate (lat.) probabilis asemnat cu adevrul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicionarul explicativ:Probabilitate, probabiliti, s. f. 1. Calitatea de a probabil.2. O msur a ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguran, bazat pe dovezi clare i concludente, n a face o armaie (nsens subiectiv).

Girolamo Cardano (aka Jrme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea ncercat denirea conceptului de probabilitate.Noiunea de probabilitate a aprut pentru prima oar n corespondena dintre Pierrede Fermat i Blaise Pascal (1654), n discuii legate de ansele de ctig la jocurile denoroc.Probabilitatea este cea mai important noiune a tiinelor moderne, mai ales cnimeni nu are cea mai vag idee despre ce nseamn (B. Russell, 1929).Teoria probabilitilor este aplicat ndeosebi n evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) i n tranzacionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate (lat.) probabilis asemnat cu adevrul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicionarul explicativ:Probabilitate, probabiliti, s. f. 1. Calitatea de a probabil.2. O msur a ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguran, bazat pe dovezi clare i concludente, n a face o armaie (nsens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jrme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea ncercat denirea conceptului de probabilitate.

Noiunea de probabilitate a aprut pentru prima oar n corespondena dintre Pierrede Fermat i Blaise Pascal (1654), n discuii legate de ansele de ctig la jocurile denoroc.Probabilitatea este cea mai important noiune a tiinelor moderne, mai ales cnimeni nu are cea mai vag idee despre ce nseamn (B. Russell, 1929).Teoria probabilitilor este aplicat ndeosebi n evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) i n tranzacionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate (lat.) probabilis asemnat cu adevrul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicionarul explicativ:Probabilitate, probabiliti, s. f. 1. Calitatea de a probabil.2. O msur a ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguran, bazat pe dovezi clare i concludente, n a face o armaie (nsens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jrme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea ncercat denirea conceptului de probabilitate.Noiunea de probabilitate a aprut pentru prima oar n corespondena dintre Pierrede Fermat i Blaise Pascal (1654), n discuii legate de ansele de ctig la jocurile denoroc.

Probabilitatea este cea mai important noiune a tiinelor moderne, mai ales cnimeni nu are cea mai vag idee despre ce nseamn (B. Russell, 1929).Teoria probabilitilor este aplicat ndeosebi n evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) i n tranzacionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate (lat.) probabilis asemnat cu adevrul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicionarul explicativ:Probabilitate, probabiliti, s. f. 1. Calitatea de a probabil.2. O msur a ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguran, bazat pe dovezi clare i concludente, n a face o armaie (nsens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jrme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea ncercat denirea conceptului de probabilitate.Noiunea de probabilitate a aprut pentru prima oar n corespondena dintre Pierrede Fermat i Blaise Pascal (1654), n discuii legate de ansele de ctig la jocurile denoroc.Probabilitatea este cea mai important noiune a tiinelor moderne, mai ales cnimeni nu are cea mai vag idee despre ce nseamn (B. Russell, 1929).

Teoria probabilitilor este aplicat ndeosebi n evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) i n tranzacionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate (lat.) probabilis asemnat cu adevrul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicionarul explicativ:Probabilitate, probabiliti, s. f. 1. Calitatea de a probabil.2. O msur a ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguran, bazat pe dovezi clare i concludente, n a face o armaie (nsens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jrme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea ncercat denirea conceptului de probabilitate.Noiunea de probabilitate a aprut pentru prima oar n corespondena dintre Pierrede Fermat i Blaise Pascal (1654), n discuii legate de ansele de ctig la jocurile denoroc.Probabilitatea este cea mai important noiune a tiinelor moderne, mai ales cnimeni nu are cea mai vag idee despre ce nseamn (B. Russell, 1929).Teoria probabilitilor este aplicat ndeosebi n evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) i n tranzacionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate vs. intuiie

Rezultatele din teoria probabilitilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendina de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes. (sindromul Monte Carlo ,)

se spune c trsnetul nu lovete de dou ori n acelai loc, dar se crede c momentelenorocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (i, implicit, nici ghinion!)

(family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) cte doi de acelai sex; (b) trei copii de un sex i unul de altul?

(meci ntrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estectigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri ctigate. Din anumite motive, meciulse ntrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie mprit miza de 1000 RON pus n joc?(Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte n mod repetat, caresecven este mai probabil s apar prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceeai probabilitate de apariie, 1/4. Totui, n aruncri succesive ale monedei,secvena SS apare pentru prima oar, n medie, n 6 aruncri, iar secvena SB aparepentru prima oar, n medie, n 4 aruncri!



Rezultatele din teoria probabilitilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendina de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes. (sindromul Monte Carlo ,)se spune c trsnetul nu lovete de dou ori n acelai loc, dar se crede c momentelenorocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (i, implicit, nici ghinion!)

(family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) cte doi de acelai sex; (b) trei copii de un sex i unul de altul?

(meci ntrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estectigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri ctigate. Din anumite motive, meciulse ntrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie mprit miza de 1000 RON pus n joc?(Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte n mod repetat, caresecven este mai probabil s apar prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceeai probabilitate de apariie, 1/4. Totui, n aruncri succesive ale monedei,secvena SS apare pentru prima oar, n medie, n 6 aruncri, iar secvena SB aparepentru prima oar, n medie, n 4 aruncri!



(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect n mod repetat. JuctorulA alege primul o secven de lungime 3 (e.g., SBS) i o arat juctorului B. Apoi,B alege o alt secven de lungime 3. Moneda este aruncat pn secvena unuiaapare prima. Orice secven alege A, juctorul B are ans teoretic (probabilitate)mai mare de a ctiga jocul.

Chiar exist o diferen semnicativ ntre probabilitile p = 0.99 i p = 0.9999?

Presupunem c un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza n ecarezi a unui an, n mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza n ecare zi a aceluiai an, n mod independent. Atunci probabilitateaca A s se realizat n toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 0.964!Alegem aleator un numr natural. Care este probabilitatea ca el s e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut poate orice numr real din intervalul [0, 1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

Aruncm dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma puncteloraprute este 9 sau suma punctelor aprute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?





Presupunem c un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza n ecarezi a unui an, n mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza n ecare zi a aceluiai an, n mod independent. Atunci probabilitateaca A s se realizat n toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 0.964!

Alegem aleator un numr natural. Care este probabilitatea ca el s e par?













De ce un nanogenar nu se teme de moarte? Statistic vorbind, probabilitatea ca unom s moar nainte de 90 este mai mare dect cea ca un om s moar dup 90. ,


Experiment aleator. Spaiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al crui rezultat nu poate precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit: regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaiul de selecie), modulde calcul al probabilitii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur variant de realizare ntr-o prob. Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile i exhaustive.Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafa plani putem observa ce fa apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:

= {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: mcar o stem ( \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un numr par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.n total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Notm cu spaiul evenimentelor elementare. Fie F P().O probabilitate este o modalitate de a cuantica ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (, F , P) se numete spaiu/cmp de probabilitate.



Un experiment aleator este un experiment al crui rezultat nu poate precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit: regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaiul de selecie), modulde calcul al probabilitii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur variant de realizare ntr-o prob. Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile i exhaustive.

Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafa plani putem observa ce fa apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:




Un experiment aleator este un experiment al crui rezultat nu poate precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit: regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaiul de selecie), modulde calcul al probabilitii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur variant de realizare ntr-o prob. Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile i exhaustive.Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafa plani putem observa ce fa apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:

= {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: mcar o stem ( \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un numr par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.n total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Notm cu spaiul evenimentelor elementare. Fie F P().O probabilitate este o modalitate de a cuantica ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (, F , P) se numete spaiu/cmp de probabilitate.




= {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: mcar o stem ( \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un numr par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.n total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Notm cu spaiul evenimentelor elementare. Fie F P().O probabilitate este o modalitate de a cuantica ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (, F , P) se numete spaiu/cmp de probabilitate.




= {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: mcar o stem ( \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un numr par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.n total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Notm cu spaiul evenimentelor elementare. Fie F P().

O probabilitate este o modalitate de a cuantica ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (, F , P) se numete spaiu/cmp de probabilitate.




= {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: mcar o stem ( \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un numr par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.n total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Notm cu spaiul evenimentelor elementare. Fie F P().O probabilitate este o modalitate de a cuantica ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.

Tripletul (, F , P) se numete spaiu/cmp de probabilitate.


Moduri de a deni probabilitatea

clasic (Laplace, 1812) raportul dintre numrul cazurilor favorabile realizrii eveni-mentului i numrul total de cazuri posibile. (probabilitate a priori sau obiectiv)

frecvenial (Ellis, Venn, 1866, von Mises) limita irului frecvenelor relative derealizare a acestui eveniment dintr-un ir innit de ncercri. (probabilitate empiric)

subiectiv (T. Bayes, 1763) reprezint gradul de convingere personal (subiectiv)c acel eveniment s-ar realiza. (traducerea bunului sim n cifre - M. Iosifescu etal, 1985). Nu exist o formul teoretic pentru probabilitatea subiectiv, doareceaceasta reect opinia personal a unei persoane care evalueaz ansa de realizare aevenimentului, bazndu-se pe erul sau experiena sa. (e.g., probabilitatea ca Ion striasc mai mult de 90 de ani; probabilitatea ca echipa X s ctige meciul.)

axiomatic (A.N. Kolmogorov, 1933) o msur numrabil aditiv denit pe oalgebr.geometric (caz particular al probabilitii denite axiomatic) raportul dintre m-sura mulimii cazurilor favorabile i msura mulimii cazurilor posibile.

predispoziie (propensity) (K. Popper, 1957) tendina a unei anumite situaii zices genereze un rezultat de un anumit tip. Folosit, de exemplu, n Mecanica Statistic.


Probabilitate clasic

Bazat pe ideea c probabilitatea poate determinat a priori prin examinarea spaiuluituturor posibilitilor. Mulimea a tuturor cazurilor posibile este nit. Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile i echiprobabile (principiul. indiferenei/ignoranei).Probabilitatea de realizare a evenimentului A este egal cu raportul dintre numrul cazurilor

favorabile realizrii sale i numrul cazurilor posibile, i.e., P(A) =card(A)card()

.

Exemplu: Se arunc o moned ideal de dou ori. Care este probabilitatea apariiei acel puin unei steme?





.


* Cazuri posibile n care stema poate aprea:1) la prima aruncare; 2) la a doua aruncare; 3) deloc.

Aadar, avem 3 cazuri posibile, dintre care doar primele dou sunt favorabile. Probabilitatea

este astfel P =23.

Unde este greeala?





.


Soluie: Cazuri posibile (echiprobabile): = {SS, BS, SB, BB}, || = 4.

Cazuri favorabile: A = {SS, BS, SB}, |A| = 3.

Probabilitatea este P(A) =34.


Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai n vrst este o fat. Care esteprobabilitatea ca ambii copii s e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la ua lor. Unul dintre copii rspunde;este o fat. Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?

(presupunem c pentru ecare copil sunt anse egale de a fat sau biat, independent

de sexul celuilalt copil)


Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai n vrst este o fat. Care esteprobabilitatea ca ambii copii s e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la ua lor. Unul dintre copii rspunde;este o fat. Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?

(presupunem c pentru ecare copil sunt anse egale de a fat sau biat, independent

de sexul celuilalt copil)

Soluie: Pe baza informaiilor, putem construi spaiul de selecie n ecare caz.

(a) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:{FF , BF}.

P1 =12.

(b) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:{FF , FB, BF}.

P2 =13.


Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai n vrst este o fat. Care esteprobabilitatea ca ambii copii s e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la ua lor. Unul dintre copii rspunde;este o fat. Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puin unul dintre copii este o fat nscutntr-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?


Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai n vrst este o fat. Care esteprobabilitatea ca ambii copii s e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la ua lor. Unul dintre copii rspunde;este o fat. Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puin unul dintre copii este o fat nscutntr-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?

Soluie:

Noua informaie obinut ne poate conducela un proces de selecie diferit de cel anterior.

P3 =1327 0.48.


Family paradox (reloaded)

Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:[1] cte doi de acelai sex; [2] trei copii de un sex i unul de altul?

(presupunem anse egale de natere a unei fete sau a unui biat)


Family paradox (reloaded)

Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:[1] cte doi de acelai sex; [2] trei copii de un sex i unul de altul?

(presupunem anse egale de natere a unei fete sau a unui biat)

Soluie:

Spaiul de selecie:

{FFFF, FFFB, FFBF, FBFF, BFFF, FFBB, FBFB, BFFB,

BBFF, BFBF, FBBF, FBBB, BBFB, BFBB, BBBF, BBBB}

Probabilitatea de a avea cte doi copii de acelai sex este

P1 =616

= 0.375 (=C 2424

)

Probabilitatea de a avea trei copii de un sex i unul de altul este

P2 =816

= 0.5 (=C 14 + C

34

24)


Birthday problem

Dac ntr-o clas sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puin unuldintre ei s serbeze ziua de natere n aceeai zi cu tine? (ignorm anii biseci).


Birthday problem

Dac ntr-o clas sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puin unuldintre ei s serbeze ziua de natere n aceeai zi cu tine? (ignorm anii biseci).

Soluie:Calculm mai nti probabilitatea evenimentului contrar, B, ca niciun elev s nuserbeze ziua de natere n aceeai zi cu tine. Trecnd la evenimentul complementar,probabilitatea cerut este

P(B) = 1 P(B) = 1(364365

)30= 0.0790,

adic aproximativ o ans din 12 (cota 1 : 11).


Birthday paradox

Dac ntr-o clas sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puin doidintre ei serbeaz o aceeai zi de natere? (ignorm anii biseci).


Birthday paradox


Soluie:Calculm mai nti probabilitatea evenimentului contrar, A, ca oricare doi elevi snu serbeze ziua de natere n aceeai zi. Trecnd la evenimentul complementar.

= {E = (e1, e2, . . . , en), ek {1, 2, . . . , 365}}, || = 365n

A = {E , ei 6= ej}, |A| = An365Obtinem ca:

P(A) = 1 P(A) = 1 A30365

36523= 1 A

30365

36530= 0.7063.


Birthday paradox



Joc ntrerupt (division paradox)

(Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri.Meciul este ctigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri ctigate. Din anumitemotive, meciul se ntrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie mprit miza de1000 RON pus n joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)


Joc ntrerupt (division paradox)

(Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri.Meciul este ctigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri ctigate. Din anumitemotive, meciul se ntrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie mprit miza de1000 RON pus n joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

Soluie:

Miza ar trebui s e mprit proporional cu ansele ecrui sportiv de aajunge primul la 6 jocuri ctigate.

Meciul ar mai putut continua cu maximum 3 jocuri.

Exist 8 rezultate teoretice (unele superue) pentru cele 3 jocuri rmase.

Convenie: 1 / 0 succes / insucces pentru primul juctor.Spaiul de selecie asociat:

{111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000}

Probabilitatea ca primul sportiv s ctige este78.

Miza ar trebui mprit astfel n raport de 7 : 1, i.e. 875 RON : 125 RON.


Paradoxul potaului

Un pota distribuie la ntmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este1n.

Probabilitatea evenimentului contrar este 1 1n. Probabilitatea ca nicio

persoan s nu primeasc plicul potrivit este

P =(1 1

n

)n( 1

epentru n 1).

Dac n = 2, avem doar doi destinatari (A i B). Atunci avem doar doucazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic 50% anse s greeasc.

Totui, pentru n = 2 n formul, avem P = 0.25, adic 25% anse.

Ce se ntmpl, doctore?


Paradoxul potaului

Un pota distribuie la ntmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este1n.

Probabilitatea evenimentului contrar este 1 1n. Probabilitatea ca nicio

persoan s nu primeasc plicul potrivit este

P =(1 1

n

)n( 1

epentru n 1).

Dac n = 2, avem doar doi destinatari (A i B). Atunci avem doar doucazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic 50% anse s greeasc.

Totui, pentru n = 2 n formul, avem P = 0.25, adic 25% anse.

Ce se ntmpl, doctore?

De fapt, probabilitatea exact este:

P =!n

n!=

nk=0

(1)k

k!( 1

epentru n 1).


Paradoxul independenei

Evenimentele A i B sunt independente d.n.d. P(A B) = P(A) P(B).Se arunc dou monede corecte. Considerm evenimentele:

A faa ce apare la prima moned este stema;B faa ce apare la a doua moned este stema ;C doar la o moned din cele dou a aprut faa cu stema.

Se observ c oricare dou dintre evenimentele A, B i C sunt independente:

P(A C) = P(A) P(C) = 14

; P(B C) = P(B) P(C) = 14

P(A B) = P(A) P(B) = 14

Totodat, oricare dou dintre ele determina n mod unic pe al treilea.

Sunt sau nu sunt A, B, C independente???






P(A C) = P(A) P(C) = 14

; P(B C) = P(B) P(C) = 14

P(A B) = P(A) P(B) = 14



Morala: Independena dou cte dou a evenimentelor nu implic independena nansamblu. ntr-adevr, 0 = P(A B C) 6= P(A) P(B) P(C) = 1

8.






P(A C) = P(A) P(C) = 14

; P(B C) = P(B) P(C) = 14

P(A B) = P(A) P(B) = 14



Morala: Independena dou cte dou a evenimentelor nu implic independena nansamblu. ntr-adevr, 0 = P(A B C) 6= P(A) P(B) P(C) = 1

8.

n general, evenimentele {Ai}iI F , (I N), se numesc independente (n ansamblu)dac evenimentele din orice submulime nit sunt independente.


Paradoxul monedei

Se arunc o moned corect de mai multe ori, pn apare una dintre secveneleSS sau SB. n medie, SB apare naintea secvenei SS, dei, la aruncarea de douori a unei monede corecte, ambele secvene au probabilitatea 1/4 de a aprea.

Fie NSS (resp. NSB) numrul mediu de aruncri pn obinem SS (resp. SB) pentruprima oar. Atunci:

NSS =14 (2 + NSS) +

14 (2 + NSS) +

14 2 + 1

4 12

(3 + 3 + NSS)

NSB =14 2 + 1

4 (2 + NSB) +

14 (2 + 2) + 1

4 (2 + 2)

de unde NSS = 6 i NSB = 4.


Probabilitate clasic (a priori). Critici

Probabilitatea clasic este o probabilitate teoretic (a priori), calculabil naintea efecturiiexperimentului sau chiar n absena efecturii acestuia.Critici:

nu acoper cazul n care este innit (e.g. Alegem aleator un numr n [1, 1]. Careeste probabilitatea s e pozitiv? Care este probabilitatea ca, alegnd aleator unpunct n plan, acesta s aparin primului cadran?)

deniia este valabil doar daca evenimentele elementare sunt echiprobabile, adicnoiunea de probabilitate se bazeaz pe cea de. . . echiprobabilitate cerc vicios.exist situaii n care evenimentele elementare nu sunt echiprobabile.

echiprobabilitatea se veric prin observare sau pe considerente de simetrie. Are sensdoar n cazul nit. Exist situaii n care nu se pot determina evenimentele elementare,sau nu se poate verica echiprobabilitatea acestora.

este complet determinat de evaluarea a priori a evenimentelor elementare. n general,este greu sau chiar imposibil de determinat.

n unele cazuri, fenomenul aleator nu este denit precis, ceea ce duce la confuzii.

Exemple: probabilitatea ca o pionez s cad cu vrful n sus; probabilitatea ca mine s plou. probabilitatea ca soarele s rsar i mine exist via pe Marte? probabilitatea ca un numr real ales aleator s e pozitiv.


Probabilitate clasic (a priori). Critici

Probabilitatea clasic este o probabilitate teoretic (a priori), calculabil naintea efecturiiexperimentului sau chiar n absena efecturii acestuia.Critici:

nu acoper cazul n care este innit (e.g. Alegem aleator un numr n [1, 1]. Careeste probabilitatea s e pozitiv? Care este probabilitatea ca, alegnd aleator unpunct n plan, acesta s aparin primului cadran?)

deniia este valabil doar daca evenimentele elementare sunt echiprobabile, adicnoiunea de probabilitate se bazeaz pe cea de. . . echiprobabilitate cerc vicios.exist situaii n care evenimentele elementare nu sunt echiprobabile.

echiprobabilitatea se veric prin observare sau pe considerente de simetrie. Are sensdoar n cazul nit. Exist situaii n care nu se pot determina evenimentele elementare,sau nu se poate verica echiprobabilitatea acestora.

este complet determinat de evaluarea a priori a evenimentelor elementare. n general,este greu sau chiar imposibil de determinat.

n unele cazuri, fenomenul aleator nu este denit precis, ceea ce duce la confuzii.

Exemple: probabilitatea ca o pionez s cad cu vrful n sus; probabilitatea ca mine s plou. probabilitatea ca soarele s rsar i mine exist via pe Marte? (p = 1/2 ?. . . cazuri posibile: exist sau nu exist); probabilitatea ca un numr real ales aleator s e pozitiv.


Paradoxul lui Bertrand

Alegem la ntmplare o coard a unui cerc. Care este probabilitatea ca lungimea acesteicoarde s e mai mare dect latura triunghiului echilateral nscris n cerc?Bertrand a dat 3 soluii:

[1] (alegem la ntmplare mijlocul coardei)

Cazuri probabile:

1 = {(x , y) R2; x2 + y2 R2}.

Cazuri favorabile:

F1 =

(x , y) 1; x2 + y2 (R

2

)2.

Atunci,

P =Aria [F1]Aria [1]

= R

2

4

R2=

14.



[2] (aleg aleator dou puncte pe cerc i observ lungimea arcului mic determinat de ele)

Alegem aleator A i M pe cercul de raz R. Ne imaginm un triunghi echilateral pentrucare un vrf al su coincide cu A.

Cazuri probabile: punctele cercului de raz R.

Cazuri favorabile: punctele din interiorul arculuiBC .Aadar, probabilitatea va :

P =lungimea [BC ]lungimea [Cerc] =

13.



[3] (se alege aleator un diametru al cercului i o coard perpendicular pe diametru)

Cazuri probabile: punctele segmentului AB, adic

3 = {r R; r [R, R]}.

Cazuri favorabile: punctele segmentului CD, adic

F3 = {r 3; R

2 r R

2}.

Probabilitatea va :

P =ms [F3]ms [3]

=R

2R=

12.



[3] (se alege aleator un diametru al cercului i o coard perpendicular pe diametru)

Cazuri probabile: punctele segmentului AB, adic

3 = {r R; r [R, R]}.

Cazuri favorabile: punctele segmentului CD, adic

F3 = {r 3; R

2 r R

2}.

Probabilitatea va :

P =ms [F3]ms [3]

=R

2R=

12.

Morala: De ecare dat cnd se alege ceva aleator, trebuie precizat n mod clar regula(legea de probabilitate) dup care s-a face alegerea.


Probabilitate frecvenial (a posteriori). Deniie i critici

exprim probabilitatea cu ajutorul frecvenelor de realizare a unui eveniment ntr-unnumr mare de experimente aleatoare realizate n aceleai condiii;

evenimentul aleator care se poate repeta la nesfrit n aceleai condiii;

probele sunt independente;

pentru un eveniment A, considermN(A)

N frecvena relativ de realizare a lui A

n N probe independente. Probabilitatea de realizare a lui A este denit prin

P(A) = limN

N(A)

N

d.p.d.v. teoretic, ar trebui s dea acelai rezultat cu probabilitatea clasic, atuncicnd o putem calcula. n practic, d rezultate diferite.

Critici: nu este exact (ofer un estimator pentru probabilitate). Ct de mare ar trebuis e N pentru o aproximare f bun? unele experimente nu pot repetate la innit n condiii similare sau chiar deloc!

Exemple: probabilitatea s plou mine; probabilitatea ca un asteroid s ajung pe Pmnt.

Atenie la interpretarea frecvenelor!


Simpson's paradox

Statistica studenilor admii la o anumit universitate n 2015

Pentru ecare disciplin, fetele au un procentaj de succes mai bun, ns per totalprocentajul bieilor este mai bun.

Inversarea procentelor poate justicat de prezena unei variabile ascunse (lurkingvariable) i de faptul c sunt numere diferite de candidai pentru ecare disciplin.

Astfel, deciziile luate pentru grupuri individuale pot n conict cu deciziile la carese ajunge cnd lum n considerare combinarea grupurilor.


Paradoxul celor dou plicuri

Fiecare dintre cele dou plicuri identice conine o sum de bani. Avem informaiac unul dintre plicuri conine dublul sumei aate n cellalt plic. Alegei un plici avei posibilitatea s pstrai suma ce se a n el. Dup ce ai fcut alegerea,nainte de a vedea ce se a nuntru, ai dispui s schimbai alegerea?


Paradoxul celor dou plicuri

Fiecare dintre cele dou plicuri identice conine o sum de bani. Avem informaiac unul dintre plicuri conine dublul sumei aate n cellalt plic. Alegei un plici avei posibilitatea s pstrai suma ce se a n el. Dup ce ai fcut alegerea,nainte de a vedea ce se a nuntru, ai dispui s schimbai alegerea?

Soluie:

Alegem un plic la ntmplare. Fie X suma coninut n el. Cellalt plic va conineX

2sau 2X , cu probabiliti egale. Aadar, suma ateptat n cellalt plic este

Y =X

2 12

+ 2X 12

=54X

Acest fapt ne ndeamn s schimbm opiunea iniial.

Totui, putem relua acelai raionament, plecnd cu Y drept sum iniial, deunde deducem c n cellalt plic s-ar aa, n medie,

utilizarea paradoxurilor în predarea unor notiuni din teoria

Documents

notiuni tribologice

Predarea unei poezii

PREDAREA-INVATAREA INTEGRATA

Predarea numarului 5

predarea fizicii

Notiuni de

Predarea centrata pe elev

Predarea simultana

CENTRULCULTURALC224-20170420110214centrulculturalbucovina.ro/wp-content/uploads/2017/... · Petre Horvat, Teoria Muzicii — notiuni elementare pentru predarea în 9coala de arte,

Diversifica Ti Predarea

Predarea Limbii Engleze, notiuni de practica

Predarea Inovativa

Membru in consiliul Facultatii... · Asis¿urari comerciale. Pregätirea predarea seminariilor de Microeconomie Pregätirea predarea seminariilor de . *Macroeconomie Pregätirea predarea

Predarea Umorului in Engleza

NOTIUNI DESCARCERARE

Notiuni Geodezie

Predarea în Diversitate: Manual despre Predarea în Diversitate · Predarea în Diversitate: Manual despre Predarea în Diversitate Ghid practic care cuprinde instrumentele și resursele

Notiuni Management

Invatarea predarea interactiva

1.Notiuni Introductive1.Notiuni introductive.pdf

An2 Predarea Limbii Marinescu

Utilizarea paradoxurilor în predarea unor notiuni din ...stoleriu/Probability_paradoxes(2016).pdf · Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din eoTria Probabilit µilor

Sub Semnul Paradoxurilor

NOTIUNI EUS

predarea -invatare diferentiata

Predarea Slide

PREDAREA ISTORIEI ŞI EDUCAŢIA CIVICĂ - hiphi.ubbcluj.rohiphi.ubbcluj.ro/studii/Public/File/cursuri/suporturi_conversie/Predarea-istoriei.pdf · Predarea istoriei şi educaţia

Un scriitor al paradoxurilor – Florentin Smarandache

predarea moderna vs traditionala

Predarea desenului

Competente in Predarea Geografiei

notiuni cadastru

Notiuni Ortodontie

3 Emil Bartos - Poti Fi Altfel Cu Ajutorul Paradoxurilor

Notiuni teoretice