utilizarea paradoxurilor în predarea unor notiuni din...

Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor

Dr. Iulian Stoleriu

Facultatea de Matematic

Universitatea �Alexandru Ioan Cuza� din Ia³i

[email protected]; [email protected]

9 aprilie 2016

Dr. Iulian Stoleriu (Univ. �Al. I. Cuza� Ia³i)Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor9 aprilie 2016 1 / 25

Ce este un paradox?

Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev -

rului unanim recunoscut.2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot � considerate

nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals.

G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac ar � s lu m în seam aceast de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?

Paradox ≺ (gr.) paradoxon ∼ contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev -






Ce este un paradox?





G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.

Dac ar � s lu m în seam aceast de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?





G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac ar � s lu m în seam aceast de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,

Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?





G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac ar � s lu m în seam aceast de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?





G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac ar � s lu m în seam aceast de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?





G. Székely [Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]de�ne³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a � adev rat dar surprinz tor.Dac ar � s lu m în seam aceast de�niµie, atunci multe teoreme se cali�c a �paradoxuri pentru mulµi dintre . . . studenµii de la Mate. ,Reformulat ³i simpli�cat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care amajuns printr-un raµionament logic.De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a � argumente false, acesteasunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, almincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor in�nite sau a cantit µilorin�nitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.


Ce este un paradox?







Probabilitate

Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).

Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).

Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.

Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.

�Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).

Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate

Probabilitate ≺ (lat.) probabilis ∼ asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).Din dicµionarul explicativ:Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a � probabil.2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o a�rmaµie (însens subiectiv).Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician carea încercat de�nirea conceptului de probabilitate.Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierrede Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile denoroc.�Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn � (B. Russell, 1929).Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., MatematiciActuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor �nanciare (Matematici Financiare).


Probabilitate vs. intuiµie

Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes. (sindromul Monte Carlo ,)

se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentelenorocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

(family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

(meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc?(Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!



Rezultatele din teoria probabilit µilor pot � deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes. (sindromul Monte Carlo ,)se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentelenorocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

(family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

(meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul estecâ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciulse întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc?(Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, caresecvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei,secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB aparepentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!



(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torulA alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi,B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuiaapare prima. Orice secvenµ alege A, juc torul B are ³ans teoretic (probabilitate)mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist o diferenµ semni�cativ între probabilit µile p = 0.99 ³i p = 0.9999?

Presupunem c un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s �e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro-babilitatea cerut poate � orice num r real din intervalul [0, 1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelorap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?





Presupunem c un eveniment A are probabilitatea pA = 0.99 de a se realiza în �ecarezi a unui an, în mod independent, iar un eveniment B are probabilitatea pB = 0.9999de a se realiza în �ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitateaca A s se � realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iarevenimentul similar pentru B este 0.9999365 ≈ 0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s �e par?













De ce un nanogenar nu se teme de moarte? Statistic vorbind, probabilitatea ca unom s moar înainte de 90 este mai mare decât cea ca un om s moar dup 90. ,


Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan ³i putem observa ce faµ apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.



Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan ³i putem observa ce faµ apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:




Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate � precizat cuexactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuarea experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modulde calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve-niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele-mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda estede 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan ³i putem observa ce faµ apare la �ecare aruncare. Evenimentele elementare:

Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.




Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.




Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).

O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.




Ω = {SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω \ {BBB}),un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.În total, sunt 28 = 256 evenimente legate de experiment.La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236 = 68719476736 evenimente legatede acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.Not m cu Ω spaµiul evenimentelor elementare. Fie F ⊆ P(Ω).O probabilitate este o modalitate de a cuanti�ca ³ansele de realizare a tuturor eveni-mentelor din F legate de experiment.

Tripletul (Ω, F , P) se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.


Moduri de a de�ni probabilitatea

clasic (Laplace, 1812) raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii eveni-mentului ³i num rul total de cazuri posibile. (probabilitate a priori sau obiectiv )

frecvenµial (Ellis, Venn, 1866, von Mises) limita ³irului frecvenµelor relative derealizare a acestui eveniment dintr-un ³ir in�nit de încerc ri. (probabilitate empiric )

subiectiv (T. Bayes, 1763) reprezint gradul de convingere personal (subiectiv )c acel eveniment s-ar realiza. (�traducerea bunului simµ în cifre� - M. Iosifescu etal, 1985). Nu exist o formul teoretic pentru probabilitatea subiectiv , doareceaceasta re�ect opinia personal a unei persoane care evalueaz ³ansa de realizare aevenimentului, bazându-se pe �erul sau experienµa sa. (e.g., probabilitatea ca Ion s tr iasc mai mult de 90 de ani; probabilitatea ca echipa X s câ³tige meciul.)

axiomatic (A.N. Kolmogorov, 1933) o m sur num rabil aditiv de�nit pe oσ−algebr .geometric (caz particular al probabilit µii de�nite axiomatic) raportul dintre m -sura mulµimii cazurilor favorabile ³i m sura mulµimii cazurilor posibile.

predispoziµie (propensity) (K. Popper, 1957) tendinµa a unei anumite situaµii �zices genereze un rezultat de un anumit tip. Folosit , de exemplu, în Mecanica Statistic .


Probabilitate clasic

• Bazat pe ideea c probabilitatea poate � determinat a priori prin examinarea spaµiuluituturor posibilit µilor.• Mulµimea Ω a tuturor cazurilor posibile este �nit .• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul. indiferenµei/ignoranµei).Probabilitatea de realizare a evenimentului A este egal cu raportul dintre num rul cazurilor

favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) =card(A)card(Ω)

.

Exemplu: Se arunc o moned ideal de dou ori. Care este probabilitatea apariµiei acel puµin unei steme?





.


* Cazuri posibile în care stema poate ap rea:1) la prima aruncare; 2) la a doua aruncare; 3) deloc.

A³adar, avem 3 cazuri posibile, dintre care doar primele dou sunt favorabile. Probabilitatea

este astfel P =23.

Unde este gre³eala?





.


Soluµie: Cazuri posibile (echiprobabile): Ω = {SS, BS, SB, BB}, |Ω| = 4.

Cazuri favorabile: A = {SS, BS, SB}, |A| = 3.

Probabilitatea este P(A) =34.


Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst este o fat . Care esteprobabilitatea ca ambii copii s �e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s �e fete?

(presupunem c pentru �ecare copil sunt ³anse egale de a � fat sau b iat, independent

de sexul celuilalt copil)


Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst este o fat . Care esteprobabilitatea ca ambii copii s �e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s �e fete?

(presupunem c pentru �ecare copil sunt ³anse egale de a � fat sau b iat, independent

de sexul celuilalt copil)

Soluµie: Pe baza informaµiilor, putem construi spaµiul de selecµie în �ecare caz.

(a) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:{FF , BF}.

P1 =12.

(b) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:{FF , FB, BF}.

P2 =13.


Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst este o fat . Care esteprobabilitatea ca ambii copii s �e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s �e fete?(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puµin unul dintre copii este o fat n scut într-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s �e fete?


Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst este o fat . Care esteprobabilitatea ca ambii copii s �e fete?(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s �e fete?(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puµin unul dintre copii este o fat n scut într-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s �e fete?

Soluµie:

Noua informaµie obµinut ne poate conducela un proces de selecµie diferit de cel anterior.

P3 =1327≈ 0.48.


Family paradox (reloaded)

Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:[1] câte doi de acela³i sex; [2] trei copii de un sex ³i unul de altul?

(presupunem ³anse egale de na³tere a unei fete sau a unui b iat)


Family paradox (reloaded)

Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:[1] câte doi de acela³i sex; [2] trei copii de un sex ³i unul de altul?

(presupunem ³anse egale de na³tere a unei fete sau a unui b iat)

Soluµie:

Spaµiul de selecµie:

{FFFF, FFFB, FFBF, FBFF, BFFF, FFBB, FBFB, BFFB,

BBFF, BFBF, FBBF, FBBB, BBFB, BFBB, BBBF, BBBB}

Probabilitatea de a avea câte doi copii de acela³i sex este

P1 =616

= 0.375 (=C 2424

)

Probabilitatea de a avea trei copii de un sex ³i unul de altul este

P2 =816

= 0.5 (=C 14 + C

34

24)


Birthday problem

Dac într-o clas sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin unuldintre ei s serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine? (ignor m anii bisecµi).


Birthday problem

Dac într-o clas sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin unuldintre ei s serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine? (ignor m anii bisecµi).

Soluµie:Calcul m mai întâi probabilitatea evenimentului contrar, B, ca niciun elev s nuserbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine. Trecând la evenimentul complementar,probabilitatea cerut este

P(B) = 1− P(B) = 1−(364365

)30= 0.0790,

adic aproximativ o ³ans din 12 (cota 1 : 11).


Birthday paradox

Dac într-o clas sunt n = 30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doidintre ei serbeaz o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).


Birthday paradox


Soluµie:Calcul m mai întâi probabilitatea evenimentului contrar, A, ca oricare doi elevi s nu serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi. Trecând la evenimentul complementar.

Ω = {E = (e1, e2, . . . , en), ek ∈ {1, 2, . . . , 365}}, |Ω| = 365n

A = {E ∈ Ω, ei 6= ej}, |A| = An365Obtinem ca:

P(A) = 1− P(A) = 1− A30365

36523= 1− A

30365

36530= 0.7063.


Birthday paradox



Joc întrerupt (division paradox)

(Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri.Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumitemotive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de1000 RON pus în joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)


Joc întrerupt (division paradox)

(Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri.Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumitemotive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de1000 RON pus în joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

Soluµie:

Miza ar trebui s �e împ rµit proporµional cu ³ansele �ec rui sportiv de aajunge primul la 6 jocuri câ³tigate.

Meciul ar mai � putut continua cu maximum 3 jocuri.

Exist 8 rezultate teoretice (unele super�ue) pentru cele 3 jocuri r mase.

Convenµie: 1 / 0 − succes / insucces pentru primul juc tor.Spaµiul de selecµie asociat:

{111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000}

Probabilitatea ca primul sportiv s câ³tige este78.

Miza ar trebui împ rµit astfel în raport de 7 : 1, i.e. 875 RON : 125 RON.


Paradoxul po³ta³ului

Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este1n.

Probabilitatea evenimentului contrar este 1− 1n. Probabilitatea ca nicio

persoan s nu primeasc plicul potrivit este

P =(1− 1

n

)n(≈ 1

epentru n� 1).

Dac n = 2, avem doar doi destinatari (A ³i B). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic 50% ³anse s gre³easc .

Totu³i, pentru n = 2 în formul , avem P = 0.25, adic 25% ³anse.

Ce se întâmpl , doctore?


Paradoxul po³ta³ului

Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform) n scrisori pentru n persoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este1n.

Probabilitatea evenimentului contrar este 1− 1n. Probabilitatea ca nicio

persoan s nu primeasc plicul potrivit este

P =(1− 1

n

)n(≈ 1

epentru n� 1).

Dac n = 2, avem doar doi destinatari (A ³i B). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A, B) sau (B, A), adic 50% ³anse s gre³easc .

Totu³i, pentru n = 2 în formul , avem P = 0.25, adic 25% ³anse.

Ce se întâmpl , doctore?

De fapt, probabilitatea exact este:

P =!n

n!=

n∑k=0

(−1)k

k!(≈ 1

epentru n� 1).


Paradoxul independenµei

Evenimentele A ³i B sunt independente d.n.d. P(A ∩ B) = P(A) · P(B).Se arunc dou monede corecte. Consider m evenimentele:

A − �faµa ce apare la prima moned este stema�;B − �faµa ce apare la a doua moned este stema� ;C − �doar la o moned din cele dou a ap rut faµa cu stema�.

Se observ c oricare dou dintre evenimentele A, B ³i C sunt independente:

P(A ∩ C) = P(A) · P(C) = 14

; P(B ∩ C) = P(B) · P(C) = 14

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 14

Totodat , oricare dou dintre ele determina în mod unic pe al treilea.

Sunt sau nu sunt A, B, C independente???






P(A ∩ C) = P(A) · P(C) = 14

; P(B ∩ C) = P(B) · P(C) = 14

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 14



Morala: Independenµa dou câte dou a evenimentelor nu implic independenµa înansamblu. Într-adev r, 0 = P(A ∩ B ∩ C) 6= P(A) · P(B) · P(C) = 1

8.






P(A ∩ C) = P(A) · P(C) = 14

; P(B ∩ C) = P(B) · P(C) = 14

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 14



Morala: Independenµa dou câte dou a evenimentelor nu implic independenµa înansamblu. Într-adev r, 0 = P(A ∩ B ∩ C) 6= P(A) · P(B) · P(C) = 1

8.

În general, evenimentele {Ai}i∈I ⊂ F , (I ⊂ N), se numesc independente (în ansamblu)dac evenimentele din orice submulµime �nit sunt independente.


Paradoxul monedei

Se arunc o moned corect de mai multe ori, pân apare una dintre secvenµeleSS sau SB. În medie, SB apare înaintea secvenµei SS, de³i, la aruncarea de dou ori a unei monede corecte, ambele secvenµe au probabilitatea 1/4 de a ap rea.

Fie NSS (resp. NSB) num rul mediu de arunc ri pân obµinem SS (resp. SB) pentruprima oar . Atunci:

NSS =14· (2 + NSS) +

14· (2 + NSS) +

14· 2 + 1

4· 12

(3 + 3 + NSS)

NSB =14· 2 + 1

4· (2 + NSB) +

14· (2 + 2) + 1

4· (2 + 2)

de unde NSS = 6 ³i NSB = 4.


Probabilitate clasic (a priori). Critici

Probabilitatea clasic este o probabilitate teoretic (a priori), calculabil înaintea efectu riiexperimentului sau chiar în absenµa efectu rii acestuia.Critici:

nu acoper cazul în care Ω este in�nit (e.g. Alegem aleator un num r în [−1, 1]. Careeste probabilitatea s �e pozitiv? Care este probabilitatea ca, alegând aleator unpunct în plan, acesta s aparµin primului cadran?)

de�niµia este valabil doar daca evenimentele elementare sunt echiprobabile, adic noµiunea de probabilitate se bazeaz pe cea de. . . echiprobabilitate − cerc vicios.exist situaµii în care evenimentele elementare nu sunt echiprobabile.

echiprobabilitatea se veri�c prin observare sau pe considerente de simetrie. Are sensdoar în cazul �nit. Exist situaµii în care nu se pot determina evenimentele elementare,sau nu se poate veri�ca echiprobabilitatea acestora.

este complet determinat de evaluarea a priori a evenimentelor elementare. În general,este greu sau chiar imposibil de determinat.

în unele cazuri, fenomenul aleator nu este de�nit precis, ceea ce duce la confuzii.

Exemple: • probabilitatea ca o pionez s cad cu vârful în sus;• probabilitatea ca mâine s plou . • probabilitatea ca soarele s r sar ³i mâine• exist viaµ pe Marte?• probabilitatea ca un num r real ales aleator s �e pozitiv.


Probabilitate clasic (a priori). Critici

Probabilitatea clasic este o probabilitate teoretic (a priori), calculabil înaintea efectu riiexperimentului sau chiar în absenµa efectu rii acestuia.Critici:

nu acoper cazul în care Ω este in�nit (e.g. Alegem aleator un num r în [−1, 1]. Careeste probabilitatea s �e pozitiv? Care este probabilitatea ca, alegând aleator unpunct în plan, acesta s aparµin primului cadran?)

de�niµia este valabil doar daca evenimentele elementare sunt echiprobabile, adic noµiunea de probabilitate se bazeaz pe cea de. . . echiprobabilitate − cerc vicios.exist situaµii în care evenimentele elementare nu sunt echiprobabile.

echiprobabilitatea se veri�c prin observare sau pe considerente de simetrie. Are sensdoar în cazul �nit. Exist situaµii în care nu se pot determina evenimentele elementare,sau nu se poate veri�ca echiprobabilitatea acestora.

este complet determinat de evaluarea a priori a evenimentelor elementare. În general,este greu sau chiar imposibil de determinat.

în unele cazuri, fenomenul aleator nu este de�nit precis, ceea ce duce la confuzii.

Exemple: • probabilitatea ca o pionez s cad cu vârful în sus;• probabilitatea ca mâine s plou . • probabilitatea ca soarele s r sar ³i mâine• exist viaµ pe Marte? (p = 1/2 ?. . . cazuri posibile: exist sau nu exist );• probabilitatea ca un num r real ales aleator s �e pozitiv.


Paradoxul lui Bertrand

Alegem la întâmplare o coard a unui cerc. Care este probabilitatea ca lungimea acesteicoarde s �e mai mare decât latura triunghiului echilateral înscris în cerc?Bertrand a dat 3 soluµii:

[1] (alegem la întâmplare mijlocul coardei)

Cazuri probabile:

Ω1 = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ R2}.

Cazuri favorabile:

F1 =§

(x , y) ∈ Ω1; x2 + y2 ≤(R

2

)2ª.

Atunci,

P =Aria [F1]Aria [Ω1]

=π R

2

4

R2=

14.



[2] (aleg aleator dou puncte pe cerc ³i observ lungimea arcului mic determinat de ele)

Alegem aleator A ³i M pe cercul de raz R. Ne imagin m un triunghi echilateral pentrucare un vârf al s u coincide cu A.

Cazuri probabile: punctele cercului de raz R.

Cazuri favorabile: punctele din interiorul arculuiöBC .A³adar, probabilitatea va �:

P =lungimea [öBC ]lungimea [Cerc] =

13.



[3] (se alege aleator un diametru al cercului ³i o coard perpendicular pe diametru)

Cazuri probabile: punctele segmentului AB, adic

Ω3 = {r ∈ R; r ∈ [−R, R]}.

Cazuri favorabile: punctele segmentului CD, adic

F3 = {r ∈ Ω3; −R

2≤ r ≤ R

2}.

Probabilitatea va �:

P =m s [F3]m s [Ω3]

=R

2R=

12.



[3] (se alege aleator un diametru al cercului ³i o coard perpendicular pe diametru)

Cazuri probabile: punctele segmentului AB, adic

Ω3 = {r ∈ R; r ∈ [−R, R]}.

Cazuri favorabile: punctele segmentului CD, adic

F3 = {r ∈ Ω3; −R

2≤ r ≤ R

2}.

Probabilitatea va �:

P =m s [F3]m s [Ω3]

=R

2R=

12.

Morala: De �ecare dat când se alege ceva aleator, trebuie precizat în mod clar regula(legea de probabilitate) dup care s-a face alegerea.


Probabilitate frecvenµial (a posteriori). De�niµie ³i critici

exprim probabilitatea cu ajutorul frecvenµelor de realizare a unui eveniment într-unnum r mare de experimente aleatoare realizate în acelea³i condiµii;

evenimentul aleator care se poate repeta la nesfâr³it în acelea³i condiµii;

probele sunt independente;

pentru un eveniment A, consider mνN(A)

N− frecvenµa relativ de realizare a lui A

în N probe independente. Probabilitatea de realizare a lui A este de�nit prin

P(A) = limN→∞

νN(A)

N

d.p.d.v. teoretic, ar trebui s dea acela³i rezultat cu probabilitatea clasic , atuncicând o putem calcula. În practic , d rezultate diferite.

Critici:− nu este exact (ofer un estimator pentru probabilitate). Cât de mare ar trebuis �e N pentru o aproximare f bun ?− unele experimente nu pot � repetate la in�nit în condiµii similare sau chiar deloc!

Exemple: • probabilitatea s plou mâine;• probabilitatea ca un asteroid s ajung pe P mânt.

Atenµie la interpretarea frecvenµelor!


Probabilitate frecvenµial (a posteriori). De�niµie ³i critici

exprim probabilitatea cu ajutorul frecvenµelor de realizare a unui eveniment într-unnum r mare de experimente aleatoare realizate în acelea³i condiµii;

evenimentul aleator care se poate repeta la nesfâr³it

utilizarea paradoxurilor în predarea unor notiuni din...

Documents

Predarea stiintelor prin investigatie

Predarea Care Schimba Vieti 2

Predarea educației civice în România

predarea -invatare diferentiata

GHID METODOLOGIC PENTRU PREDAREA FIZICII

Program P8: Utilizarea TIC în predarea Religie

Sub Semnul Paradoxurilor

Competente in Predarea Geografiei

Diversifică-ţi predarea - Calendar multicultural

Predarea care schimbă vieți

Predarea numarului 5

predarea moderna vs traditionala

Predarea Umorului in Engleza

Predarea simultana

Predarea unei poezii

Predarea centrata pe elev

Predarea Inovativa

Predarea pe baza de proiecte

Utilizarea paradoxurilor în predarea unor notiuni din Teoria

Predarea Integrată Suport de Curs

Invatarea predarea interactiva

PREDAREA ISTORIEI ŞI EDUCAŢIA CIVICĂ - hiphi.ubbcluj.rohiphi.ubbcluj.ro/studii/Public/File/cursuri/suporturi_conversie/Predarea-istoriei.pdf · Predarea istoriei şi educaţia

RECOMANDĂRI PRIVIND PREDAREA ŞI ÎNVĂȚAREA

predarea care schimba vieti

An2 Predarea Limbii Marinescu

0 Predarea La Grupele Combinate

Metode Folosite În Predarea Substantivului

Material Didactic Predarea Notiunilor

3 Emil Bartos - Poti Fi Altfel Cu Ajutorul Paradoxurilor

Predarea în Diversitate: Manual despre Predarea în Diversitate · Predarea în Diversitate: Manual despre Predarea în Diversitate Ghid practic care cuprinde instrumentele și resursele

Un scriitor al paradoxurilor – Florentin Smarandache

TIC in Predarea Limbii Engleze

Predarea Verbului in Invatamantul Primar

Progrese in predarea Bazelor electrotehnicii

Aplicații privind utilizarea resurselor on-line în predarea - învățarea …isj.gl.edu.ro/RED 2020/BIO 2020/Aplicatii online_c.pdf · 2020. 5. 29. · Prezentare realizată de