Malmö Högskola

Gudrun Malmers Stiftelse

Utmaningar för matematikintresserade

elever

i åk 1 på Naturvetenskapliga programmet

Rapport skriven av: Handledare:

Ann-Sofie Solman Marie Skedinger-Jacobson

Tina Åkegårdh

2

1. INLEDNING

I detta arbete vill vi utveckla fem lektionsupplägg för elever på Naturvetenskapliga

programmet vid Katedralskolan i Skara.

Vårt mål är att lektionsuppläggen ska vara matematiskt utmanande och ge möjlighet för

eleverna att fördjupa och bredda sitt matematikkunnande. Lektionsuppläggen ska bygga på

att öva den kommunikativa och problemlösande förmågan. Vi har båda tidigare arbetat med

muntlig matematik och funnit att det är en bra metod för elevers lärande. I våra

lektionsupplägg vi vill utveckla den muntliga matematiken genom att arbeta med

gruppdiskussioner.

I styrdokumenten för matematikämnet finner vi stöd för att arbeta med gruppdiskussioner i

matematik:

”Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga

att:

1. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda

strategier, metoder och resultat.

2. följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

3. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.”

Egenbedömning, som en form av formativ bedömning är rankat som en viktig faktor i

professor Johan Hattie´s sammanställning Visible Learning (2009).

Vi vill i våra lektionsupplägg låta eleverna prova olika verktyg för egenbedömning. Elever

som går på en matematikintensiv utbildning kan ha svårt att se syftet med olika delmoment i

ämnet matematik. Vi tror därför att eleverna har nytta av att se sitt eget lärande och sin egen

utveckling inom ämnet.

1.1 Bakgrund

Under läsåret 2009-2010 fick vi genom Skolverket ekonomiskt stöd för utvecklingsprojektet

”Matematikutmaningen” vars syfte var att möta matematikintresserade elever i år 9. Lärare

på en av högstadieskolorna i Skara hade året innan tagit kontakt med oss och frågat om vi

kunde hjälpa dem med deras allra duktigaste elever. De kände att dessa elever ofta fick stå

tillbaka eftersom de ”klarade sig själva”.

Vårt mål med ”Matematikutmaningen” blev att utmana och stimulera dessa elever inom

områdena algebra, ekvationer och funktioner. Vi ville förbereda dem för matematikintensiva

program på gymnasiet. Vi valde att arbeta med väl valda problem, varierad undervisning och

mycket muntlig kommunikation i olika situationer. Vi utmanade dem att tänka, fundera,

diskutera, pröva, värdera och reflektera kring våra matematiska problem, men också kring

sitt eget lärande. Vi försökte att ställa bra frågor och att inte ge för snabba svar.

3

Under några år har vi byggt upp ”Matematikutmaningen” för årskurs 9 och under detta läsår

(2011/2012) har vi haft ca 50 elever från årskurs 9 som kommer till oss en gång i veckan.

Hösten 2010 började tio av eleverna från det årets ”Matematikutmaning” i samma klass på

det Naturvetenskapliga programmet. Vi bestämde oss för att fokusera på att utveckla fem

speciella lektionsupplägg för dessa elever och deras klasskamrater. Lektionerna innehåller

dels ett valt matematiskt område och dels val av metod och till det en koppling där eleverna

tränar egenbedömning och/eller kramratbedömning. Ur detta material hoppas vi att kunna

synliggöra framgångsfaktorer. Våra lektionsupplägg kanske kan utgöra en del i ett förändrat

arbetssätt som kan komma att utveckla undervisning i matematik på Katedralskolan i Skara

eller på andra gymnasieskolor.

Vid ett seminarium på Matematikbiennalen i Stockholm 2008 lyssnade vi på en föreläsning

med rubriken ”Gruppdiskussioner i matematik på gymnasiet”. Det var två tidigare Gudrun

Malmer stipendiater (Ove Johansson och Jonas Sjunnesson) som berättade om sitt arbete

med gruppdiskussioner tillsammans med gymnasieelever. Vi blev verkligen inspirerade av

dem och har använt oss av deras erfarenheter i vårt arbete

2. PROBLEM OCH SYFTE

Vi vill med detta arbete undersöka:

Kan vi arbeta fram fem lektionsupplägg som utmanar elevernas matematikintresse

och samtidigt ger dem instrument för egenbedömning?

Syftet är att planera och genomföra dessa lektioner under 2011 och att sedan tillsammans

reflektera och utvärdera lektionerna. Vi vill se om arbetet påverkar elevernas

matematikintresse och lärande. Ger lektionerna ”avtryck” i klassrummet? Vårt syfte är också

att utvecklas själva som lärare genom att arbeta tillsammans med frågeställningen ovan.

Förhoppningsvis får vi med oss erfarenheter som vi kan använda i andra undervisnings-

grupper och i andra lärsituationer. Vi kanske finner något nytt, spännande

utvecklingsområde som vi vill arbeta vidare med.

4

3. LITTERATURGENOMGÅNG

Vi har fokuserat vår litteratursökning kring bedömning, gruppdiskussioner som metod, vad

s.k. kritiska faser/tröskel begrepp i matematik innebär för lärandet och hur vi hittar

kvaliteten i vårt arbete.

Återkoppling/feedback är en aktiv process i syfte att ändra förhållandet mellan faktiskt

resultat och förväntat resultat skriver Christian Lundahl i sin bok ”Bedömning för lärandet”.

Formativ bedömning - bedömning för lärande och summativ bedömning – bedömning av

lärande, är två aspekter på bedömning. I ”Lärande Bedömning” av Anders Jönsson beskriver

han olika sidor av feedback när den fungerar formativt. Utifrån Hattie och Timperley´s

undersökningar (s 77) beskriver Anders Jönsson en modell för feedback och dess fyra

nivåer: uppgiftsnivå, processnivå, metakognitiv nivå och personlig nivå.

Feedback på uppgiftsnivå är mest effektiv om den gör eleven uppmärksam på felaktiga

tolkningar. Här är det lätt att förlora sig i en specifik uppgift vid t.ex. genomgång av ett

prov eftersom det ofta är knutet till fakta- och begreppskunskaper. Sätts ett betyg på provet

understryker det den summativa bedömningen.

Feedback på processnivå, är knutet till process eller färdighetskunskaper och berör ofta

ämneskunskaper. Hur gör jag nästa gång jag får en liknande problem att lösa. Denna typ av

feedback påverkar elevernas lärande på ett djupare plan och är effektivare än feedback på

uppgiftsnivå.

Feedback på metakognitivnivå handlar om hur eleven bedömer sitt lärande och hur eleven

utnyttjar den feedback de får. Denna typ av feedback syftar till att eleven ska utveckla

strategier för sitt lärande och är starkt knutet till egenbedömning.

Egenbedömning och kamratbedömning har samma slutmål – att eleven ska lära sig bedöma

det de gör i förhållande till mål och kriterier. Kamratbedömning är ett sätt för eleven att lära

sig ge och att ta emot feedback. En typ av kamratbedömning kan vara ”two stars and a wish”

(A. Jönsson, 2010). Klasskamraterna identifierar två styrkor och ett utvecklingsområde. Vi

lär när vi interagerar med andra och med vår omgivning.

Christian Lundahl beskriver i sin bok ”Bedömning för lärande” om fem olika strategier för

att stärka bedömningens roll i lärandet. Strategi 2: ”att möjliggöra effektiva

klassrumsdiskussioner, frågor, aktiviteter och uppgifter som skapar synliga tecken på

elevernas lärande.” På sid 102 beskrivs s.k. ”exit tickets”. Han beskriver det som ett sätt, att

snabbt och kortfattat ta reda på vad eleverna fått ut av lektionen. Har eleverna svarat i linje

med det tänkta syftet då kan läraren gå vidare i sin planering nästa lektion, annars kanske

läraren måste starta med en diskussion om otydligheter kring budskapet. En nyckel till

framgångsrikt lärande är att ställa utvecklande frågor. Bra frågor synliggör elevers

kunskapsluckor.

5

I boken ”Bedömning i och av skolan” beskrivs ett projekt kallat KMPOFAP där man fann

fyra områden som var värda att uppmärksammas för ökad kvalitet i undervisningen:

1. Klassrumssamtalet

2. Respons med kvalitet

3. Själv- och kamratbedömning

4. Formativ användning av summativa prov.

I klassrumssamtalet har gymnasielärare i Borås, som ingått i lärargrupper, arbetat med att

utveckla BFL-Bedömning för lärande. De har lagt fokus på att hitta frågeställningar som är

öppna och som är tillför att utforska ett svar och inte kontrollera hur många som känner till

det rätta svaret. I entreprenöriellt lärande betonas vikten av att ställa frågor som utvecklar

elevens lärande och kreativitet.

Två gymnasielärare i Skellefteå, Gudrun Malmer-stipendiater 2006, skrev om

”Gruppdiskussioner i matematik på gymnasiet”. I deras arbete beskrivs hur de valt att arbeta

med grupper om tre elever och att de satt ihop grupperna med en blandning av både ”bra och

dåliga” elever. Eleverna har också fått olika roller ledare, kontrollant och skeptiker. De olika

rollerna beskrivs så här:

Ledarens uppgift är att leda arbetet framåt, se till att alla deltar och

hålla ett öga på tiden.

Kontrollanten ser till att alla i gruppen har förstått och är överens om

det man gör, innan man går vidare till nästa uppgift.

Skeptikerns uppgift är att ifrågasätta och se till att alla möjligheter

beaktas.

Inför varje gruppdiskussion har de plockat ut 4-6 problem. Den första uppgiften var av

beskrivande karaktär. Övriga uppgifter formulerades utifrån vilka problem eleverna stött på

under avsnittet. De betonar vikten av att formulera uppgifterna på ett tilltalande sätt. En

annan metod de ofta använder är att ”vända på vanliga uppgifter”. Det tvingar eleven att

tänka efter och inte rutinmässigt lösa en uppgift. Öppna uppgifter lämpar sig bra vid

gruppdiskussioner. Gruppdiskussionerna avslutades ofta med en gemensam diskussion av

någon eller några uppgifter. I vissa fall får tre grupper redovisa sina olika lösningsmetoder

för övriga grupper.

”Förstå och använda tal – en handbok” är en bibel för den som vill sätta fingret på

tröskelbegrepp inom taluppfattning. Till varje kapitel hör ett avsnitt som heter ”Kända

svårigheter och missuppfattningar”. Detta sätt att tydligt markera vad och vilka fel elever

kan göra inom olika områden är ett pedagogiskt inspirerande sätt att tänka. Kritiska faser

och/eller tröskelbegrepp finns på alla stadier och inom alla områden i matematiken. Det är

dessa som särskilt lämpar sig för gruppdiskussioner eftersom de är avgörande betydelse för

elevens fortsatta lärande.

6

I ”Det värderande ögat” beskrivs olika sätt att värdera och utvärdera undervisningen.

Avsnittet om observation - ”uppmärksam iakttagelse”, beskrivs olika frågeställningar som

är viktiga att ta ställning till. Vem ska observeras, hur ska observatören förhålla sig till de

som ska observeras, vilken information ska de som observeras få om observationen, hur

dokumenteras det som observeras, vilka felkällor finns. Intervjuer och enkäter är två andra

metoder som kan användas som det ”värderande ögat”. Beroende på hur de utformas har de

olika grad av struktur. Samtals intervju har låg grad av struktur medan däremot en

standardiserad intervju med fasta svarsalternativ har hög grad av struktur. Jan Troste skriver

i ”Kvalitativa intervjuer” att vill man förstå eller hitta mönster ska man göra en kvalitativ

studie. Han beskriver vikten av att ställa frågor som ger information t e x kan frågan

”Varför?” leda till att den intervjuade kan uppleva sig som ifrågasatt. Bättre är då att fråga

t. ex. ”Hur menar du då?”, ”Vad betyder det att…?” som kan få den intervjuade att utrycka

sig tydligare och tro inte att du som intervjuare förstår förrän du vet att du förstår

4. METOD

Vi har i vårt projekt valt att arbeta med några olika metoder för att inhämta data. Vi har

använt oss av skriftliga utvärderingar och så kallade ”exit tickets” (Lundahl, 2011). Detta är

exempel på kvantitativa metoder. Eleverna har efter lektionerna skrivit sina reflektioner på

dessa ”exit tickets”. Eftersom vi även valt att arbeta med egenbedömning och

kamratbedömning har eleverna fått flera ”exit tickets” att arbeta med, så att de både har

reflekterat kring sin egen insats och sitt eget lärande, samt sina kamraters lärande och insats.

För att ytterligare träna och stärka elevernas egenbedömning har vi under senare delen av

projekttiden introducerat eleverna till att arbeta med en ”matematik-loggbok”. Data från

dessa ”matematik-loggar” är svåra att sammanställa och dra slutsatser från, eftersom vi

endast introducerat eleverna i arbetssättet. Detta är något som vi tänker arbeta vidare med.

Vi har också provat på att under en lektion ha en observatör i klassrummet, vilket är

exempel på en kvalitativ metod.

Vi har kontinuerligt dokumenterat det insamlade materialet. Efter varje lektion har vi två

lärare haft en gemensam muntlig utvärdering/diskussion om vad vi upplevt och om vad vi

sett och hört. Vi anser att det har bidragit en hel del till vår egen utveckling som lärare i

klassrummet.

Vi har, som sagts ovan, valt att arbeta med olika metoder för insamling av data. Detta har vi

gjort, dels för att vi har varit nyfikna på att testa de olika metoderna och dels för att se om vi

får samma resultat oberoende av metod. Vi har också valt de olika metoderna för att lära oss.

Vi vill kunna använda oss av de erfarenheter vi får av detta arbete framöver i vår lärarroll.

7

4.1 Undersökningsgrupp

De elever som har deltagit i detta projekt går på naturvetenskapliga- eller tekniska

programmet. Antalet elever har varierat under projektets gång. Tre elever avbröt sina studier

under årskurs 1 och en elev tillkom till NV-klassen i årskurs 2. Samtidigt valde sex TE-

elever inför årskurs 2 att läsa matematik i ett högre tempo tillsammans med NV-klassen. Av

dessa sex TE-elever hade tre deltagit i ”matematik-utmaningen” när de gick i årskurs 9.

Sammanlagt var 19 elever med under årskurs 1 (vt 2011) och 23 elever var med under

årskurs 2 (ht 2012). 16 elever har deltagit under hela projektiden.

4.2 Genomförande

De tre första lektionerna som planerats för detta projekt genomfördes under vårterminen

2011 och de två andra genomfördes under ht 2012. Nedan följer en kort beskrivning av

lektionernas upplägg samt hur vi samlat in data för den aktuella lektionen (utvärderat):

1. Gruppuppgifter: geometri, trigonometri, algebra. Utvärdering: ”exit-tickets”

2. Gruppuppgifter: algebra, ekvationer, funktioner, geometri. Utvärdering: ”exit-

tickets”

3. Gruppuppgifter: trigonometri, funktioner, geometri, algebra. Utvärdering:

observatör i klassrummet samt enkät.

4. Uppgifter från Högskoleprov. Utvärdering: ”exit-tickets”

5. Strävorna 5E: Memory med funktioner. Utvärdering: ”Ma-logg”.

Lektion 1, 2, 3: Gruppuppgifter

Inför lektionerna med gruppuppgifter delade vi in eleverna i grupper om tre och tre. Varje

elev fick en roll: ledare, kontrollant eller skeptiker. Vi försökte att få kunskapsmässigt

heterogena grupper samt att variera grupperna så att eleverna fick arbeta med olika kamrater

varje gång. Vi försökte också så att varje elev fick prova på olika roller.

Det vi vill med gruppuppgifterna är att få eleverna att tänka ett steg längre och få en djupare

förståelse för den aktuella matematiken. Vi vill skapa en situation där de ”pratar matematik”

tillsammans och hittar olika lösningar på problemen. Vi vill också att de ska förstå vilka

insikter de kommer till, vad de lär sig.

Vi har lagt ner mycket tid på att välja ut eller konstruera bra uppgifter. Vi har noga planerat

vad vi vill få ut av varje uppgift.

Vi har haft några grundprinciper som vi följt när vi formulerat uppgifter:

vi har försökt att involvera eleverna i några av uppgifterna genom att t.ex. skriva:

Tycker du att han väljer rätt? Hur tror du att hon tänker? Kan du förklara?

uppgifterna har varit konstruerade så att de ”lockar” eleverna till att börja diskutera

och argumentera med varandra (ex. Rätt eller fel?, Vad är skillnaden? Kan du

motivera?)

vi har anpassat antalet uppgifter för att inte skapa någon stress, uppgifterna måste få

ta tid

8

Våra uppgifter kan delas in i följande kategorier:

uppgift som behandlar viktiga ”tröskelbegrepp”

uppgift som ”vänder på en standarduppgift”

uppgift som behandlar ”vanliga missuppfattningar” och påvisar dem

uppgift som repeterar viktiga begrepp

svårare problemuppgift

uppgift som leder fram till ”något nytt” för eleverna

uppgift som tränar begrepp

En uppgift kan givetvis tillhöra flera kategorier.

Se bilaga 1-6 för att se gruppuppgifterna som har använts vid lektionerna 1-3.

I slutet av varje lektion har vi gemensamt gått igenom och diskuterat någon eller några av

uppgifterna. Ibland har några elever redovisat någon ”snygg lösning” på tavlan.

Lektion 4: Högskoleprovet

Högskoleverket har ändrat i Högskoleprovet och de matematiskt betonade delarna har blivit

viktigare i bedömningen än de har varit tidigare. Många elever gör högskoleproven flera

gånger för att ”lära sig” hur de fungerar. Uppgifterna är bra och vi ville testa om dessa

uppgifter gav ett fördjupat lärande.

På Katedralskolan har vi programdagar vid några tillfällen under läsåret. Dessa dagar styr

programmen själva över innehållet och vi beslöt att utnyttja en halvdag (8-11) för att

tillsammans arbeta med uppgifter från högskoleprovet.

Det finns ett övningsprov utgivet som innehåller totalt 40 uppgifter fördelade på de fyra

proven XYZ-Matematik, KVA-Kvantitativa jämförelser, NOG-Kvantitativa resonemang,

DTK-Diagram, tabeller och kartor. Provet innehåller också en rekommenderad provtid som

vi förlängde t.ex. från 12 min till ca 20 min.

Syftet med lektionen var dels att öva eleverna inför ett högskoleprov och dels att utveckla

deras egenbedömning.

Varje delprov kopierades upp i ett häfte på färgat papper, olika för varje delprov. Eleverna

fick först arbeta med uppgifterna på ett av delproven själva. Därefter fick de diskutera sina

svar med en kamrat. Vi delade inte in grupperna utan sa att de skulle diskutera två och två

med den som satt närmast. Därefter diskuterade vi i helklass de uppgifter som eleverna

funderat extra mycket kring. Om frågan varit svår att förstå, om det var något i uppgiften

som man inte kunnat lösa, eventuellt jämföra hur man kommit fram till svaret osv. Därefter

fick eleverna en post-it lapp i samma färg som räknehäftet och fick kort skriva ned något de

tänkt på när det gällde att lösa just det delprovets uppgifter.

Vi genomförde alla fyra delproven på samma sätt. När denna runda var klar hade eleverna

fyra post-it lappar framför sig i olika färg (blå-gul-grön-orange) med personliga

kommentarer över något som de reflekterat kring i samband med varje delprov. Färgkodning

gjorde att eleverna hade lätt att skilja delproven och dess olika karaktär åt.

9

Därefter fick varje elev fundera på vad de skrivit på sina post-it lappar och formulera ett tips

till de andra i klassen. Detta gjorde vi muntligt. Alla elever framförde sitt viktigaste tips till

varandra. Vi avslutade förmiddagen med att var och en skrev ned några tips till sig själv

inför högskoleprovet och utvärderade sedan dagen med ”two stars and a wish” (A. Jönsson,

2010).

Lektion 5: Memory med funktioner

Denna lektion arbetade vi med en uppgift från NCM:s Strävor (se bilaga 9-11). Uppgiften

ska ge eleverna större insikt i funktions- och derivatabegreppen. De får öva sig i att tolka

grafer samt att se innebörden av egenskaper kring funktioner och dess derivator.

Vi delade in eleverna i grupper om två och två och sedan fick varje grupp en uppsättning

med 28 kort. Dessa kort innehåller:

7 funktionsgrafer

7 beskrivningar av en funktion

7 derivatagrafer

7 beskrivningar av en derivata

Elevernas uppgift var att para ihop dessa kort 4 och 4, dvs. med en funktion, en

funktionsbeskrivning, en derivata samt en derivatabeskrivning. Eleverna fick här träna på

olika representationsfomer av matematiska begrepp (McIntosh, 2008). Eleverna fick i

gruppen argumentera för sina synpunkter och till slut enas om ett gemensamt resultat. En

elevgrupp redovisade sina svar och tankegångar på tavlan och vi tog upp vissa gemensamma

frågeställningar.

5. RESULTAT OCH ANALYS AV RESULTAT

5.1 Gruppdiskussioner (lektion 1, 2 och 3)

Eleverna har verkligen tagit till sig arbetssättet med gruppuppgifter. De efterfrågar numera

gruppuppgifter själva och tycker bl.a. att det är ett bra sätt att repetera inför prov.

Lektion 1: Den första lektionen utvärderades genom att eleverna fick varsin post-it-lapp att använda

som så kallad ”exit-tickets”. De uppmanades att skriva ner sina tankar om hur lektionen varit

(alltså ingen speciell styrd fråga från oss). Här nedan följer några exempel på vad eleverna

skrev:

”Det var bra man fick lära sig av varandra genom att diskutera och få flera sätt att tänka

och kunna lösa en uppgift eftersom alla inte tänker samma”

”Lärorikt”

”Problemlösning i grupp är superbra då man får olika teorier om tillvägagångssätt”

”Man har verkligen lärt sig av varandra. Alla visar respekt för varandra”

”Jag tycker att kontrollanten var ett bra sätt att se till att alla var med. Ledaren var inte lika

nödvändig, och alla agerade skeptiker mer eller mindre”

”Det var så bra att vi jobbade tillsammans. Jag har lärt mig att lösa uppgifter på många

sätt! Jag har lärt mig att prata matematik.”

”Bra uppgifter och gott sällskap”

10

Lektion 2: Även efter denna lektion använde vi ”exit-tickets” för elevernas utvärdering. Denna gång

fick de tre stycken ”exit-tickets” var. Nu styrde vi dem mer och bad dem skriva med

rubrikerna:

1 Jag har gjort bra/lärt mig

2 Jag behöver träna på

3 Kompisar har gjort bra (en ”exit-tickets” till varje kompis)

Här nedan följer några exempel på vad eleverna skrev på de olika lapparna.

1 ”Jag har lärt mig samarbeta bättre samt att bemästra andragradsekvationer”

”Har blivit säker på kvadreringsreglerna”

”Att konstruera andragradsekvationer som saknar reell lösning”

”Skriva andragradsekvationer då vi vet lösningen/lösningarna”

”Fick veta vad faktorisera verkligen betyder”

”Matematiska språket”

”Jag är bra på att faktorisera och att ifrågasätta”

”Jag har lärt mig om andragradsekvationer och nollställen”

”Jag har lärt mig om nya tankar för att lösa uppgifter på olika sätt”

”Att förklara hur jag löser uppgifter”

2 ”Jag behöver träna på de geometriska formlerna”

”Geometri”

”Yttervinkelsatsen och faktorisera”

”Jag måste bli bättre på att vara noggrann i mina lösningar”

”Öva på allt!”

”Jag ska träna mer på att konstruera andragradsekvationer”

”Uppgifter med vinklar”

”Använda p-q-formeln i ”riktiga” sammanhang”

3 ”Du har tagit kommandot och agerat som en riktig ledare”

”Du såg till att alla hängde med och arbetade som ett team”

”Du har tagit bra initiativ och förklarade mycket bra på 5:an när jag inte hängde

med”

”Du hade bra ideér”

”Du räknade 5d som en mästare!”

”Du försöker fast det är svårt”

”Bra förklaringar och bra samarbete”

”Du agerar bra när gruppen fastnar”

”Du är jättebra på att hitta nya tankar för att lösa uppgifter”

”Bra och enkla förklaringar på olika lösningar”

”Hitta mer än en lösning på en uppgift”

11

Lektion 3: Under denna lektionen agerade Ann-Sofie som en observatör i klassrummet. Detta

talade vi om för eleverna vid lektionens start. Eftersom de är vana vid att vi är två i

klassrummet kändes det inte som om de tyckte att situationen var konstig eller

besvärande. Skillnaden var nu bara att de inte fick fråga Ann-Sofie om hjälp. Efter

denna lektion fick eleverna också fylla i en sammanfattande enkät om lektionerna med

gruppuppgifter (se bilaga 7-8).

Observation:

Under observationen av lektionen fördes anteckningar som omfattade följande: elevers

kommentarer, förhållningssätt och ljudnivån. Ljudnivån speglar elevernas arbetssätt. I

början av lektionen, när de läste in sig på uppgiften, var det ganska tyst. Allt eftersom

de kom in i arbetet ökade ljudvolymen. Eleverna började lösa uppgifter tillsammans.

Efter ca 30-40 minuter märktes en fas där eleverna började bli lite trötta och inte lika

fokuserade. Denna fas varade under ca 5 minuter. Därefter återgick eleverna igen till

intensivt arbete med fokus på uppgifterna.

Eleverna uppfattade instruktionerna snabbt. De är vana vid vad som förväntas av dem i

arbetet med de styrda grupperna och vad de olika rollerna innebär. Innan de startade

arbetet med att lösa problemen, läste de igenom uppgifterna och kontrollerade att alla

hade förstått frågan. De använde anteckningsböcker, läromedel och miniräknare för att

söka fakta och för att kunna lösa uppgifterna. Några bad Tina om hjälp men i de flesta

fall löste de uppgifterna i gruppen med hjälp av varandra och hjälpmedlen.

Kommentarerna präglades av ett fokus på uppgifterna, samtidigt som de både innehöll

fakta och fantasi. Eleverna var trygga i sina grupper. De tillät sig både att fantisera kring

en lösning men också att be om hjälp för att förstå. Samtalen präglades av en vilja att

lära och respekt för varandra. Gruppstorleken och rollerna gav aktiva grupper och

effektiv lektion.

Utvärdering av gruppuppgifter lektion 1-3:

Vi har här valt att bearbeta några av frågorna från vår enkät. För att se den fullständiga

enkäten, se bilaga 7-8.

Fråga 1: Beskriv något som du lärt under de tre tillfällen vi gjort gruppuppgifter:

Vid sammanfattning av elevsvaren kan vi se att följande svar återkommer:

Prata matematik, använda matematiskt språk

Tänka på olika sätt, se olika lösningar

Samarbete

Säkrare på det matematiska innehållet

Några elevcitat:

”Se hur anda löser uppgifter”

”Prata matematik på ett bra sätt”

”Jag blev säkrare på inverser och trigonometri efter gruppuppgifterna”

”Att arbeta tillsammans med andra och se flera lösningar”

”Förklara hur man själv tänker bättre”

”Att bli mer fundersam. Har också lärt mig att uttrycka mig med matematiskt språk.”

12

Fråga 2: Har det påverkat ditt arbete på ”vanliga lektioner”. Beskriv hur.

Vid sammanfattning av elevsvaren kan vi se att följande svar återkommer:

Bättre samarbete, enklare att be kompisar om hjälp att förklara

Utvecklat sina lösningsmetoder, gör bättre lösningar och på flera olika sätt

Några elevcitat:

”Ja, på det viset att jag skriver vad jag gör. Använder det matematiska språket mer. Jag

frågar också klasskompisar mer om hjälp.”

”Det har inte påverkat mig i så stor utsträckning”

”Man har blivit säkrare på matte. Man märker vad man är bra på och inte lika bra på.

Man kan se lösningar snabbare”

”Jag tänker på flera olika sätt hur jag kan lösa en uppgift”

”Det känns som om jag klarar uppgifter på ett bättre sätt nu eftersom jag enklare kan

förklara hur jag går tillväga.”

Fråga 3: Nämn någon uppgiftstyp som du tycker varit speciellt lärorik under

gruppdiskussionerna.

Vid sammanfattning av elevsvaren kan vi se att följande svar återkommer:

Sant/Falskt-uppgifter

Uppgifter som kräver generell lösning

Uppgifter som kräver motivering och reflektion

Några elevcitat:

”Sant eller falskt”

”De som ser lätta ut, men som man förhoppningsvis ser att de har ”lurat en” t.ex. 05x ”

”Mer invecklade uppgifter som kan leda till att någon eller några gör fel.”

”Uppgifterna som kräver en generell lösning, då måste man tänka till”

”De svårare uppgifterna i slutet då man ska få fram något bevis, då blir det mer

diskussioner”

Fråga 4: Finns det några speciella tillfällen när det är extra bra att göra

gruppuppgifter?

Vid sammanfattning av elevsvaren kan vi se att följande svar återkommer:

I slutet av ett arbetsområde, som repetition inför prov

Några elevcitat:

”När man känner att man förstår principerna och är redo för att jämföra dem”

”Det är skönt inför prov, det blir en bra repetition.”

”I slutet av ett arbetsområde, helst innan prov!”

”När många har svårt att förstå något specifikt och kan utveckla förståelsen

tillsammans”

13

5.2 Högskoleprovet (lektion 4)

Eleverna uppskattade upplägget och upplevde att färgkodningen och arbetsordningen hade

varit ”mycket pedagogisk”. På de färgkodade lapparna fanns kommentarer som ”det gäller

att läsa uppgifterna noga och snabbt”, ”svårt att tolka frågorna”, ”lätta tal”, ”tiden är en

faktor”, ”vrid på geometriska figurer”. Tips från dem var t.ex. ”fastna inte på någon

uppgift”, se till att du sover bra och äter frukost innan”, ”använd linjal”.

I utvärderingen ”two stars and a wish” skrev eleverna bland annat följande ”bra att diskutera

uppgifterna med varandra”, ”vi kunde haft större tidspress”, bra att vi fokuserade på hur man

skulle gå tillväga”, ”reflektionen inklusive diskussionen i klassen var givande”, ”vi kunde

haft mer tid att diskutera med kompisen”.

5.3 Memory med funktioner (lektion 5)

Denna uppgift fungerade väldigt bra. Den tydliggör sambanden mellan en funktion och dess

derivata i olika representationsformer. Flera elever påpekade själva att de fick ”aha-

upplevelser”. Det blev många bra diskussioner i grupperna, det ”pratades matematik”

intensivt i alla grupper.

Eleverna hade som uppgift att utvärdera denna lektion med hjälp av något som vi valt att

kalla ”ma-logg”. Med ”ma-loggen” vill vi att eleverna ska se sin egen utveckling, dvs. ”ma-

loggen” ska vara ett verktyg för elevernas egenbedömning, men också ett underlag för den

formativa bedömningen. Det har varit svårt för oss att utvärdera arbetet med ”ma-loggen”

för en enda lektion, men det är något vi arbetar vidare med och vi ska utvärdera det längre

fram. Vi beskriver här hur vi tänkt oss upplägget kring ”ma-logg” för våra elever:

Eleverna skriver sin ”ma-logg” i slutet av veckan

”Ma-loggen” består av fyra rubriker (markerade med +, ?, ! och -) som eleverna ska

kommentera:

”+”: här skriver eleverna om sådant som fungerat bra under veckan, vad de har

lärt sig.

”?”: här skriver eleverna om det är något som fortfarande känns oklart och svårt

inom den matematik som de arbetat med under veckan.

”!”: har eleverna fått en härlig ”aha-upplevelse” skrivs det här.

”-”: här skriver eleverna om det är något som inte fungerat bra under veckan,

något som de eller läraren behöver förändra.

Vår tanke med ”ma-loggen” är att eleverna ska upptäcka sitt eget lärande, sin egen

utvecklingskorridor. Detta är ju enligt Hattie (2009) en högt rankad faktor för

lärande.

14

6. DISKUSSION

Vårt mål med detta arbete var att vi ville utveckla fem lektionsupplägg för elever på

Naturvetenskapliga programmet. Lektionsuppläggen skulle vara matematiskt utmanande och

ge möjlighet för eleverna att fördjupa och bredda sitt matematikkunnande. Viktigt för oss

var också att lektionsuppläggen skulle öva den kommunikativa och problemlösande

förmågan. I styrdokumenten för ämnets karaktär står det:

Matematiken kräver uthållighet i tankeverksamheten och förståelse för att problemlösning

är en process som kräver tid. Denna process skall kunna utvecklas i grupp, men även

individuellt.

Vi har i vårt arbete beskrivit hur vi under lektionerna arbetat med gruppdiskussioner, som

berört olika delar av matematiken. Dessa lektionsupplägg har fått positiv respons från

eleverna och vi känner att de har tagit till sig arbetssättet. Numera efterfrågar de alltid

gruppdiskussioner när vi närmar oss slutet på ett avsnitt. De uttrycker att dessa uppgifter

förstärker lärandet på aktuellt område och ger en djupare förståelse. De uppskattar också att

arbeta tillsammans med varandra. Detta gör att vår övertygelse, att arbeta med muntlig

kommunikation och problemlösning, har stärkts.

I vår litteraturstudie har vi fördjupad oss i egenbedömning och kamratbedömning. Vi har,

som vi tidigare nämnt, arbetat med ”exit-tickets” (Lundahl, 2011) samt enkäter. Vi ser en

progression i elevernas egenbedömning. Deras reflektioner är på metakognitiv- och

personlig nivå (Jönsson, 2010). Eleverna har på kort tid tränats till att göra egenbedömning

och kamratbedömning. Detta är något som vi absolut tar med oss i utvecklingen av vår

yrkesroll.

I arbetet med att utforma och genomföra våra lektioner har vi kunnat utläsa flera oväntade,

positiva effekter som vi inte förutsåg till fullo:

Eleverna lägger mer tid på att läsa och förstå uppgifter. Förberedelsefasen får ta tid.

Eleverna har lärt känna varandra bättre och vågar ta initiativ på ett annat sätt i

klassrummet.

Att många elever påpekar att de tar med sig arbetssättet från gruppdiskussionerna.

De försöker hitta fler lösningar, de försöker uttrycka sig matematiskt m.m.

Vår egen kompetensutveckling. Självklart har alla våra samtal, all förberedelsetid

och allt efterarbete utvecklat oss i vår yrkesroll. Många av våra ideér som vi testat

tar vi med oss till andra elever i andra klassrum.

Vi är medvetna om att vår elevgrupp har varit en bra grupp att arbeta med. De har givit oss

bra förutsättningar för att ägna oss åt matematiken och de har varit positiva till att testa våra

ideér (ex. ma-loggen). De har givit oss en möjlighet att pröva olika metoder för att få kvalité

i en varierad undervisning. Vår fasta övertygelse är att varierad undervisning är den

viktigaste framgångsfaktorn för att nå alla elever. Vårt arbete har också bekräftat för oss hur

viktigt det är att arbeta med muntlig kommunikation och väl valda problem i

matematikundervisningen.

15

Litteratur

Cato, R. & Björndal, P. (2005) Det värderande ögat. Liber AB

Gennow,S. & Wallby, K.(2010) Geometri och Rumsuppfattning – med Känguruproblem.

NCM, Göteborgs universitet.

Hagland, Hedrén & Taflin. Rika matematiska problem- inspiration till variation. Liber.

Hattie, J. (2009)Visible learning. Routledge

Hodgen, J & Wiliam, D. Mathematics inside the black box. Bedömning för lärande I

matematikklassrummet. (2011) Översättning Oscarsson, M. Stockholms universitets förslag

Hult, A & Olofsson, A. (2011). Utvärdering och bedömning i skolan. Natur och Kultur.

Håkansson,J. (2011) Synligt lärande. Sveriges kommuner och Landsting.

Högskoleverket Högskoleprovet

Johansson, O. & Sjunnesson, J. (2007) Gruppdiskussioner i matematik på gymnasiet.

Uppsats Gudrun Malmer Stiftelse Malmö Högskola.

Jönsson, A. (2010). Lärande bedömning. Gleerups.

Lundahl, C. (2011). Bedömning för lärande. Norstedts.

Larsson, M.(2007) 32 rika problem i matematik. Liber AB.

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal – en handbok.NCM,Göteborgs universitet.

Skolverket Styrdokument för gymnasieskolan

Troste, J. (1997). Kvalitativa intervjuer. Studentlitteratur