uvjeti korištenja prezentacije:
DESCRIPTION
Uvjeti korištenja prezentacije:. Autorica: Sonja Banić, prof. Ovu prezentaciju dozvoljeno je koristiti za rad s učenicima. U tu svrhu dozvoljeno ju je i izmijeniti prema svojim potrebama. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/1.jpg)
Uvjeti korištenja prezentacije: Autorica: Sonja Banić, prof.
Ovu prezentaciju dozvoljeno je koristiti za rad s učenicima. U tu svrhu dozvoljeno ju je i izmijeniti prema svojim potrebama.
Nije dozvoljeno koristiti i prikazivati ovu prezentaciju na predavanjima, u člancima, knjigama ili objavljivati na CD-u ili internetu. Za te i slične namjene potrebno je tražiti i dobiti pristanak autorice.
![Page 2: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/2.jpg)
SKUPOVISKUPOVI
Skupovi i neka njihova svojstva
Sonja Banić, prof.
![Page 3: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/3.jpg)
Ova prezentacija pomoći će vam da steknete neka osnovna znanja o skupovima.
Podatke koji vam se čine važni možete, ako želite, zapisati u bilježnicu.
Ako želite ići dalje, kliknite na lijevu tipku miša.
Zadatke rješavajte u bilježnicu. Nakon što ste riješilizadatke, možete klikom na lijevu tipku miša provjeritirješenja.
Želim vam ugodan i uspješan rad!
![Page 4: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/4.jpg)
Skup je osnovni matematički pojam koji ne definiramo.
Često smo spominjali skupove brojeva...
skup prirodnih brojeva:N={1,2,3,4,....}
skup parnih brojeva:A={2k : k je cijeli broj}
ili skupove točaka u ravnini:
Kružnica je skup točaka ravnine jednako udaljenih od čvrste točke, središta kružnice.
Skup čine njegovi elementi.
Element skupa je osnovni matematički pojam koji ne definiramo.
![Page 5: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/5.jpg)
Skupove obično označavamo velikim slovima A, B, C,..., a njihove elemente malim a, b, c, d,....
Da je a element skupa A kraće zapisujemo koristeći znak aA (čitamo: a je element skupa A)
Da b nije element skupa A kraće zapisujemo koristećiznak bA (čitamo: b nije element skupa A)
![Page 6: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/6.jpg)
Skup je zadan kada je točno određeno koji elementi čine taj skup.
Skup možemo zadati tako da nabrojimo sve njegove elemente:
A={a, e, i, o, u }
B={2,4,6,8}
Ili možemo odrediti koji elementi pripadaju skupupomoću njihovih svojstava:
B={x | x je paran broj manji od 10}
A={samoglasnik u hrvatskoj abecedi}
![Page 7: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/7.jpg)
ZADATAK1:
a) Zapiši navođenjem elemenata skup A višekratnika broja 3 manjih od 30b) Koje su od sljedećih tvrdnji istinite:
1) 3A 2) 14A 3) 2A 4) 21A
RJEŠENJE:a) A={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}b) 1) da 2) ne 3) da 4) ne
![Page 8: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/8.jpg)
Broj elemenata nekog skupa nazivamo kardinalni broj tog skupa.
Kardinalni broj skupa S označavamo sa|S| ili kS
PRIMJER: A={a, e, i, o, u }, |A| = 5 ili kA = 5
A koliko elemenata ima skup prirodnih brojeva?
B={2,4,6,8}, |B| = 4 ili kB = 4
![Page 9: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/9.jpg)
Za skupove koji imaju beskonačno mnogo elemenataKažemo da su beskonačni skupovi.
Ako je kardinalni broj skupa S prirodan broj kažemoda je skup S konačan skup ili da ima konačno mnogo elemenata.
Takvi su skupovi N, Z, Q, R i CSvi oni imaju beskonačno mnogo elemenata (ali ne i jednako mnogo elemenata).
![Page 10: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/10.jpg)
Skup koji ne sadrži niti jednan element nazivamoprazan skup i označavamo s Ø . Očito vrijedi: kØ=0
ZADATAK:Odredi kardinalne brojeve sljedećih skupova:1) A={x | x je prirodan broj manji od 10}2) B={x | x je cijeli broj manji od od 10}3) C={x | x je prirodan broj manji od 0}4) D={x | x je cijeli broj veći od -5 i manji od 5}
RJEŠENJE:1) kA=92) Beskonačan skup3) kC=04) kD=9
![Page 11: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/11.jpg)
Da bismo lakše stvorili predodžbu o odnosima među skupovima koje promatramo, prikazujemo ih crtežima.Takav način prikazivanja skupova naziva se Venn-Eulerovi dijagrami.
A
B
u
A
B
u
![Page 12: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/12.jpg)
Za skup A kažemo da je podskup skupa B ako je svaki element skupa A također i element skupa B.
To označavamo s A B.
B
A
Na primjer, skup prirodnihbrojeva je podskup skupacijelih brojeva, N Z.
Primijetimo, svaki skup je podskup samog sebe.
A APrazan skup je podskupsvakog skupa.
Ø A
![Page 13: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/13.jpg)
ZADACI:
1. Je li skup S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} podskup skupa prirodnih brojeva?
2. Neka je A={4, 6, 8, 10}. Jesu li istinite sljedeće tvrdnje: a) {6} A b) {4,5,6} A c) A S d) Ø A
Ne, jer 0 nije prirodan broj.
a) DA b) NE c) NE d) DA
![Page 14: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/14.jpg)
Za bilo koji skup S možemo promatrati skup svih njegovihpodskupova. Taj skup zove se partitivni skup skupa S i
označava se s P (S).
Ispiši sve članove skupa P (S) ako je S={2,3}.
P (S)={Ø, {2}, {3}, {2,3}}
U matematici često promatramo samo podskupove nekogodređenog skupa. Za skup čije podskupove promatramo
kažemo da je univerzalni skup i označavamo ga s u.
![Page 15: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/15.jpg)
Unija skupova A i B je skup A B kojeg čine oni i samooni elementi koji pripadaju ili skupu A ili skupu B ili i skupu A i skupu B.
A B = {x | x A ili x B}
A B
A
B
u
B
u A
Iz definicije se jednostavno vidi da unija skupova ima ova svojstva:
1) A B= B A2) A A B i B A B3) A Ø = A
4) A u = u
![Page 16: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/16.jpg)
ZADATAK:Neka je: A={1,2,3,4}, B={3,4,a,b} i C={a,b,c,d}
Ispiši skupove: 1) A B 2) A C 3) A B CJesu li neki od ovih skupova jednaki?Prikaži ove skupove pomoću Venn - Eulerovih dijagrama.
RJEŠENJE:1) A B = {1,2,3,4,a,b} 2) A C = {1,2,3,4,a,b,c,d}3) A B C ={ 1,2,3,4,a,b,c,d}Jednaki su skupovi A C i A B C
AB
°1
°2
°3
°4
°a
°b°d
C
A B C
°c
![Page 17: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/17.jpg)
A
B
u
Presjek skupova A i B je skup A B kojeg čine oni i samo oni elementi koji su i elementi skupa A i elementi skupa B.
A B = {x | x A i x B}
A
B
u
A B
A B
Iz definicije se jednostavno vidi da presjek skupova ima ova svojstva: 1) A B = B A
2) A B A i A B B3) A Ø = Ø
4) A u = A
A B
![Page 18: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/18.jpg)
ZADATAK:Neka je: A={1,2,3,4}, B={3, 4, a, b} i C={a, b, c, d}Ispiši skupove: 1) A B 2) B C 3) A C
RJEŠENJE:1) A B = {3, 4} 2) B C= {a, b} 3) A C = Ø
Ako skupovi A i B nemaju zajedničkih elemenata tadaje njihov presjek prazan skup.
Za skupove čiji je presjek prazan skup kažemo da Su disjunktni skupovi.Skupovi A i C iz prethodnog zadatka su disjunktni.
A
C
u
![Page 19: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/19.jpg)
ZADATAK: Zadani su skupovi:A={1,2,3,4,5} B={1,3,5,7}
C={x | x je prirodan broj manji od 7}D={x | x je rješenje jednadžbe x2 - 8x + 15 = 0}
Ispiši i nacrtaj skupove:1) A C 2) B D 3) A B C D 4) A B C D
RJEŠENJE:1) A C={1,2,3,4,5}2) B D={3,5}3) A B C D={3,5}4) A B C D={1,2,3,4,5,6,7}
°3°5
°1°7
°2
°4
°6
D
B
A
C
![Page 20: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/20.jpg)
Razlika skupova A i B je skup A\ B kojeg čine oni i samo oni elementi koji su elementi skupa A i koji nisu elementi skupa B.
A\ B = {x | x A i x B}
BA
uA\ B
BA
uB\A
Uočimo: A\ B B \ A
Kakvi su skupovi A\ B , B \ A i A B međusobno?
Disjunktni!
![Page 21: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/21.jpg)
ZADATAK: Zadani su skupovi:A={1,2,3,4,5} B={1,3,5,7}C={x | x je prirodan broj manji od 7}D={x | x je rješenje jednadžbe x2 - 8x + 15 = 0}Nađi razliku skupova: 1) A\ B 2) B \ A 3) A\ C
4) C \ A 5) (A B) \ D
Rješenja:1) A\ B={2,4} 2) B \ A={7} 3) A\ C= Ø 4) C \ A ={6}5) (A B) \ D={1}
°3°5
°1°7
°2
°4
°6
D
B
A
C
![Page 22: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/22.jpg)
Komplement skupa A je skup AC kojeg čine oni i samo oni
elementi univerzalnog skupa u koji nisu elementi skupa A
AC= u \ A
AC={x | x u i x A} u
A
AC
Uočimo da vrijedi:
1) A AC= u2) A AC= Ø3) (AC)C = A
4) ØC = u5) uC = Ø
![Page 23: Uvjeti korištenja prezentacije:](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062304/56814313550346895daf6563/html5/thumbnails/23.jpg)
ZADATAK:Neka je u ={x | x je prirodan broj manji od 50} i neka su
A = {x | x je prirodan broj manji od 40} i B = {x | x je višekratnik broja 5 manji od 50}Odredi skupove:1) AC
2) A B3) AC \ B4) AC B5) (A B)C
Rješenja:1) {40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49}2) {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}3) {41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49}4) {40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49,
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}5) {41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49}