uvod u godelove dokaze nepotpunosti

7/25/2019 Uvod u Godelove dokaze nepotpunosti

http://slidepdf.com/reader/full/uvod-u-godelove-dokaze-nepotpunosti 1/72

Uvod Konzistentnost i teorija modela Paradoksi i Frege Hilbertovi sustavi Godelovi dokazi

Uvod u Godelove dokaze nepotpunosti

Ines Skelac

Logika, doktorski studij

14. i 20. ozujka 2013.

Uvod u Godelove dokaze nepotpunosti Logika, doktorski studij

http://find/




Kontekst

Godelov se clanak bavi problemom utemeljenja matematike, amatematicke su teorije deduktivne teorije.

Organizacija svih matematickih teorija zasniva se na

nekim zajednickim polaznim principima.Odredeni se sudovi teorije proglasavaju aksiomima i oni sene dokazuju. Zasto?

Nije moguce sve dokazati, pa se nesto mora ostavitinedokazanim

Mora se od necega poceti dokazivati Svaki pokusaj da se sve dokaze doveo bi do pojave

zacaranoga kruga ili beskonacnog regresa


http://find/




Aksiomatska metoda

Dakle, aksiomatska se metoda sastoji u prihvacanjuodredenih sudova kao aksioma ili postulata bez dokaza, azatim u izvodenju iz tih aksioma svih drugih sudova kaoteorema, primjenom nekih logickih pravila.

Aksiomatska se metoda prvo koristila u geometriji(Euklid, Elementi )


http://find/




Aksiomatska metoda

Dakle, aksiomatska se metoda sastoji u prihvacanjuodredenih sudova kao aksioma ili postulata bez dokaza, azatim u izvodenju iz tih aksioma svih drugih sudova kaoteorema, primjenom nekih logickih pravila.

Aksiomatska se metoda prvo koristila u geometriji(Euklid, Elementi )

... a u posljednja se dva stoljeca tezilo aksiomatskumetodu primjenjivati i u ostalim podrucjima matematike

jer se smatralo da se svaki dio matematike moze opremitiskupom aksioma dostatnih za sustavno razvijanjekonacnoga broja istinitih sudova o danome podrucjuistrazivanja.

Godel je dokazao da to nece ici, ali o tome vise kasnije!


http://find/




Geometrija

vratimo se Euklidu

jedan od njegovih postulata kaze (parafraza) da se kroz jednu tocku izvan danoga pravca moze povuci samo jedanparalelni pravac

ni njemu, a ni kasnije, taj postulat nije izgledaosamoevidentan...


U d K i i ij d l P d k i i F Hilb i i G¨d l i d k i

http://find/

http://goback/




Geometrija

vratimo se Euklidu



... pa su ga stoljecima pokusavali izvesti iz preostala cetiripostulata...


U d K i t t t i t ij d l P d k i i F Hilb t i t i G¨d l i d k i

http://find/




Geometrija

vratimo se Euklidu



... pa su ga stoljecima pokusavali izvesti iz preostala cetiripostulata...

... a u 19.st. konacno dokazali da se ne moze izvesti, ali ida se moze zamijeniti nekom varijantom svoje negacije(Lobacevski, Gauss)



http://find/




postalo je jasno da je posao matematicara da izvedeteoreme iz danih aksioma, a ne da brine o tome jesu liaksiomi istiniti

preciznije, doslo se do cinjenice da valjanostmatematickoga izvodenja ne ovisi o posebnom znacenju

koje se moze pripisati pojmovima ili izrazima sadrzanim u

aksiomima...



http://find/




postalo je jasno da je posao matematicara da izvedeteoreme iz danih aksioma, a ne da brine o tome jesu liaksiomi istiniti

preciznije, doslo se do cinjenice da valjanostmatematickoga izvodenja ne ovisi o posebnom znacenju

koje se moze pripisati pojmovima ili izrazima sadrzanim u

aksiomima...

nego samo o tome jesu li zakljucci doista nuzne logickeposljedice polaznoga skupa sudova

→ matematika je mnogo formalnija i apstraktnija nego

sto se mislilo! matematicki se iskazi mogu konstruirati o bilo cemu valjanost matematickih dokaza proizlazi iz forme

dokaza, a ne iz naravi predmeta o kojemu je rijec



http://find/




Konzistentnost

Pojavilo se pitanje je li dani skup aksioma konzistentan,tj. vrijedi li da se iz njega ne mogu izvesti neka formula injezina negacija

Ideja za rjesenje dolazi iz teorije modela

Uobicajeno se matematicka logika dijeli na teoriju dokaza, teoriju modela, teoriju rekurzije i teoriju skupova.



http://find/




Teorija modela

Teorija modela u sirem smislu proucava interpretacije bilokojega jezika, prirodnoga ili formalnoga, sredstvimastruktura teorije skupova, polazeci od definicije istineAlfreda Tarskog:

‘S’ je istinita ako i samo ako S.



http://find/



j g

Teorija modela

Nekad napisemo ili izgovorimo recenicu S koja ne izrazavanista istinito ili neistinito zato sto nedostaje nekapresudna informacija o znacenju rijeci. Ako dodamo tuinformaciju pa S pocne izrazavati istinitu ili neistinitu

tvrdnju, kaze se da interpretiramo S, a dodana seinformacija naziva interpretacijom S-a.

Ako informacija I cini S istinitom, kazemo da je I modelS-a, ili da I zadovoljava S, I |= S .

Ideja je da se za aksiome pronade model takav da se svakiaksiom prevede u odgovarajuci istiniti iskaz o modelu.

U slucaju euklidske geometrije, model je obican prostor,ali tu se radi o nasem ogranicenom iskustvu prostora.



http://find/



Jezik vs. metajezik

Izrazi koji govore nesto o samom formaliziranom sustavusami ne pripadaju tom sustavu, nego pripadaju sustavukoji govori o Hilbertovu sustavu.

Jezik koji govori o nekom jeziku naziva se metajezikom, uovom slucaju o matematickome sustavu govorimetamatematika.

primjer: 2+3=5 - matematicki iskaz

’2+3=5’ je formula - metamatematicki iskazparadoks lazljivca (primjer (ne)razlikovanja jezika imetajezika)



http://find/



Paradoks lazljivca

Lazljiva recenicaOva je recenica neistinita.



http://www.youtube.com/watch?v=EzVxsYzXI_Y

http://find/



Paradoks lazljivca

Lazljiva recenicaOva je recenica neistinita.

paradoks samo-odnosenja, semanticki paradoks


http://www.youtube.com/watch?v=EzVxsYzXI_Y

http://find/



Tarskijeva formulacija paradoksa lazljivca

Neka je c pokrata za izraz ’recenica ispisana u redu n naovome slajdu’.



http://find/





c nije istinita recenica. [red n]



http://find/

http://goback/






Jasno je da:



http://find/






Jasno je da:(1) c = ’c nije istinita recenica’,

(2) ’c nije istinita recenica’ istinita je akko c nije istinitarecenica.



http://find/

http://goback/






Jasno je da:(1) c = ’c nije istinita recenica’,

(2) ’c nije istinita recenica’ istinita je akko c nije istinitarecenica.

Koristeci zakone klasicne logike, dobivamo kontradikciju iz (1)i (2):

(3) c je istinita akko c nije istinita.



http://find/



Tarskijevo rjesenje paradoksa lazljivcaSto je izvor paradoksa?



http://find/

http://goback/




Jedno posebno svojstvo c -a jest njegovo izricanje svojstvakoje ukljucuje istinitost samoga sebe (samo-odnosenja),odredivanja vlastite istinosne vrijednosti. Tarski tvrdi da

je upravo to svojstvo odgovorno za nastanak paradoksa.



http://find/






semanticki zatvoreni jezik: sadrzi vlastite istinosnepredikate i imena svih svojih izraza



http://find/







semanticki zatvoreni jezici su inkonzistentni, tj. onigeneriraju recenice kojima se ne moze konzistentno

dodijeliti istinosna vrijednost istina ili neistina, pa pojam’istine’ ne moze biti konzistentno definiran za takve jezike.



http://find/









Kakvi su prirodni jezici?



http://find/









Kakvi su prirodni jezici?

Sto mislite, jesu li svi jezici semanticki zatvoreni?



http://find/



Semanticki otvoreni jezici

semanticki otvoreni jezici: vecina matematickih iznanstvenih jezika ⇒ umjetni jezici!



http://find/





Tarskijevo je rjesenje paradoksa lazljivca ograniceno nadefiniciju istine u otvorenim jezicima.



http://find/






To rjesenje zahtijeva uvodenje hijerarhije jezika: kakobismo definirali istinu za dani otvoreni jezik L, moramo touciniti u jeziku vise razine (ML) koji ima mogucnostodnosenja na sve izraze (tj. recenice) jezika L, iformuliramo definiciju istinitosti za L unutar ML.



http://find/







hijerarhijsko rjesenje: paradoks je nemoguc jer se urecenici jezika razine n moze referirati samo na istinitostrecenice jezika razine n-1 i nize.



http://find/







hijerarhijsko rjesenje: paradoks je nemoguc jer se urecenici jezika razine n moze referirati samo na istinitostrecenice jezika razine n-1 i nize.Je li vam Tarskijevo rjesenje prihvatljivo? Imate li drugu ideju?



http://find/



Frege, logicizam

logicizam: pokusaj redukcije matematike na logiku (kodFregea vec prije Russella i Whiteheada)

Frege je uspio izvesti principe Peanove aritmetike iz

osnovnih zakona sustava logike drugoga reda.Ipak, jedan od zakona koji je upotrijebio nije logickiprincip, i cak je neodrziv.

Fregeov osnovni zakon VSkup svih F-ova identican je skupu svih G-ova akko su F-ovi tocno G-ovi.



http://find/



Russellov paradoks

U pismu Fregeu, Russell je 1902. pokazao da Fregeov osnovni zakon Vsadrzi kontradikciju. Taj je argument poznat kao Russellov paradoks .

Skica paradoksa

Klase mogu sadrzavati same sebe (npr. klasa svih zamislivih stvari) ili ne

sadrzavati same sebe kao svoje clanove (npr. klasa zena u ovoj prostoriji).Klase koje ne sadrze same sebe nazivaju se normalnim klasama. Nekaklasa ‘N’ prema definiciji oznacava klasu svih normalnih klasa.Je li N i sama normalna klasa?Ako jest, onda je clan sebe same (jer po definiciji sadrzi sve normalne

klase), ali onda nije normalna klasa, jer normalne klase po definiciji nesadrze same sebe.Dakle, klasa N je normalna klasa akko nije normalna klasa.



http://find/



Russellov paradoksDobiveno proturjecje proizlazi iz nekriticke uporabenaizgled jasnoga pojma klase.

Kasnije se pokazalo da sporni Fregeov zakon i nijepotreban da bi se izveo tzv. Humeov princip, koji jest biopotreban (“Za bilo koje pojmove F i G, broj F-ova jednak

je broju G-ova akko postoji 1-na-1 korespondencijaizmedu F-ova i G-ova.”)

Ako je Humeov princip logicki princip, onda je Peanovaaritmetika drugoga reda svodiva na logiku (neologicizam),

iako danas mnogi u to sumnjaju.Kako bilo, kasnije su otkriveni i drugi paradoksi, od kojih je svaki konstruiran pomocu poznatih i prividno uvjerljivihnacina zakljucivanja, a popularna verzija Russellovaparadoksa poznata je kao paradoks brijaca.



http://find/



Paradoks brijaca

U nekom selu, u kojemu su svi muskarci redovito obrijani, nekise briju sami, a neke brije brijac. U tom selu zivi tocno jedanbrijac, i on brije one i samo one koji ne briju sami sebe. Tko

brije brijaca?

Ako se brije sam, onda ga ne brije brijac, ali on je brijac pa ga ondabrije brijac.

Ako se ne brije sam, onda ga brije brijac, ali kako je on brijac, ondase brije sam.

Dakle, brijac brije sam sebe akko ne brije sam sebe.



http://find/



Hilbertov program

Bez obzira na otkrice paradoksa i dalje se smatra(Russell) da se utemeljenje matematike moze izvesti bezparadoksa, ali aritmetika je najpozeljniji kandidat za takvoutemeljenje

Pritom se mora dokazati unutar aritmetike da jearitmetika sigurna od paradoksa i slicnih nepozeljnihpojava poput inkonzistentnosti, odnosno trivijalnosti(teorija je trivijalna ako je u njoj dokaziva svaka pravilno

sastavljena formula). (Hilbertov drugi problem, 1900.)

Dakle, aritmetika treba dokazati svoju konzistentnost



http://find/



Hilbertovi sustavi

Hilbert je nastojao konstruirati apsolutni dokazkonzistentnosti sustava (bez pretpostavljanjakonzistentnosti nekoga drugog sustava)...

...pa je pokusao doci do cilja drugim putem u odnosu na

Fregea: u njegovoj su interpretaciji Euklidovi postulatitransformirani u algebarske istine.

npr. ‘tocka’ se prevodi tako da oznacava par brojeva,‘ravna crta’ kao odnos izmedu brojeva izrazen

jednadzbom prvoga stupnja s dvije nepoznanice, itd.Konzistentnost euklidskih postupata utvrdena je tako stose pokazalo da su zadovoljeni algebarskim modelom.



http://find/



Formalizacija deduktivnog sustava

prvi korak: potpuna formalizacija deduktivnog sustava →lisavanje znacenja svih izraza koji se pojavljuju unutarsustava - treba ih uzimati kao prazne znakove, a nacin

njihova kombiniranja i postupanja s njima treba bitipostavljen u skupu tocno odredenih pravila

konstruiranje sustava znakova (racuna) koji u sebi ne krijenista osim onoga sto je eksplicitno stavljeno unutra

na taj je nacin izbjegnuta opasnost da se upotrijebi bilokoje presuceno nacelo zakljucivanja



http://find/



Hilbertov program

Hilbert svoj apsolutni dokaz konzistentnosti gradi narazlici izmedu formalnoga racuna i njegova opisa

Analiza se sastoji u biljezenju razlicitih tipova znakovakoji se pojavljuju u racunu, pokazivanju kako se mogukombinirati u formule, propisivanju kako se formule mogudobiti iz drugih formula i odredivanju mogu li se formule

jedne vrste izvesti iz drugih pomocu eksplicitno

postavljenih pravila postupanja.



http://find/



Hilbertov program

Bitan je zahtjev Hilbertova programa da dokazikonzistentnosti ukljucuju samo postupke koji ne upucujuna beskonacan broj strukturalnih svojstava formula ni nabeskonacan broj operacija s formulama.

Takvi se postupci nazivaju finitistickim.

→ Ako bi se mogao konstruirati apsolutni dokazkonzistentnosti aritmetike, pokazao bi finitistickimmetamatematickim postupkom da se dvije proturjecne

formule kao sto su “0 = 0” i “¬0 = 0” postavljenimpravilima zakljucivanja ne mogu obje izvesti iz aksioma ilipocetnih formula.



http://find/



Znacaj Principia Mathematica i Hilbertovih sustavaU Principia Mathematica problem konzistentnosti

matematike svodi se na problem konzistentnosti logike, aliPM donosi obuhvatan notacijski sustav kojim se nastandardan nacin mogu kodificirati svi iskazi cistematematike i cini eksplicitnima vecinu pravila formalnog

izvodenja sto se upotrebljavaju u matematickimdokazivanjima.



http://find/






I Hilbert je problem iz jednoga podrucja premjestio udrugo. Ako je algebra konzistentna, onda je konzistentani geometrijski sustav, pa to nije apsolutni dokaz.



http://find/






I Hilbert je problem iz jednoga podrucja premjestio udrugo. Ako je algebra konzistentna, onda je konzistentani geometrijski sustav, pa to nije apsolutni dokaz.

Daljnji je problem u tome sto se aksiomi interpretirajupomocu modela koji su sastavljeni od beskonacnoga brojaelemenata, pa je nemoguce obuhvatiti modele u konacanbroj opazanja i sama je istinitost aksioma dvo jbena.



http://find/



Formalizacija

Cetiri koraka:1. potpun popis znakova koji ce se koristiti u racunu

(vokabular, rjecnik)

2. formacijska pravila (sto je pravilno sastavljena formula)

3. transformacijska pravila (pravila zakljucivanja)

4. aksiomi

FORMALNI DOKAZ je konacan niz formula od kojih je svakaili aksiom ili izvedena iz prethodnih formula u nizu primjenom

transformacijskih pravila.Dajemo primjer Frege- Lukasiewiczevoga aksiomatskog sustava,a ne onoga iz PM .



http://find/



1. Vokabular

Vokabular jezika L aksiomatskoga sustava cine:

iskazna slova p , q , r , p 1, q 1, r 1, p 2, q 2, r 2...

vanjske zagrade ‘(’ i ‘)’

veznici ¬ i →

Ostali se veznici mogu definirati na temelju postojecih ako jepotrebno, npr.

p ∨ q =def . ¬p → q


http://find/




3 T f k l



3. Transformacijska pravila

2. pravilo modus ponens

Iz dviju formula oblika φ i (φ → ψ) uvijek je dopusteno izvestiformulu ψ.



4 Ak i i

http://find/



4. Aksiomi

A1 : p → (q → p )A2 : (p → (q → r )) → ((p → q ) → (p → r ))A3 : (¬q → ¬p ) → (p → q )

gdje su p , q i r proizvoljni iskazi.Na temelju aksioma i primjenom pravila zakljucivanja modus

ponens i supstitucije mogu se valjanim zakljucivanjem dokazatisvi valjani iskazi iskazne logike, koji se nazivaju teoremima,

stoga su aksiomi “potpuni”.



K i

http://find/



Konzistentnost

Cilj nam je pokazati da skup aksioma nije proturjecan, tj. dase iz aksioma A1-A3 ne moze izvesti neka formula i njezinanegacija.Jedan je od teorema koji su dokazivi u sustavu sljedeci:

T 1: p → (¬p → q )

Pretpostavimo da se neka formula S i njezina negacija ¬S

mogu izvesti iz aksioma. Tada bi, nakon supstitucije S

umjesto p u T 1 i dvaput primijenjenog pravila modus ponens

bila izvedena formula q . Ako se moze dokazati formula koja sesastoji samo od jednoga iskaznog slova, a znamo da to iskaznoslovo mozemo supstituirati bilo cim, tada u sustavu postajedokaziva svaka psf.



K i t t t

http://find/



Konzistentnost

Dakle, ako racun nije konzistentan, onda je svaka formulateorem. Vrijedi i obrnuto: ako nije svaka formula teorem, onda

je racun konzistentan. Stoga trebamo pokazati da postojibarem jedna formula koja nije teorem u sustavu. Trebamo naci

svojstvo koje imaju svi aksiomi, koje je nasljedno podtransformacijskim pravilima (tj. moraju ga imati i teoremi), alikoje nemaju sve psf.Izaberimo svojstvo “biti tautologija”. Svi su aksiomi

tautologije (dokaz izostavljamo), tautologicnost je nasljedna(dokaz ponovno izostavljamo), a lako mozemo pronaci psf kojane zadovoljava to svojstvo. Npr. formula p → q .



U k k d k i t ki t i i i d

http://find/



U kakvom su odnosu aksiomatski sustavi i prirodna

dedukcija?

Oboje su formalni sustavi dokazivanja.

U dokazu u prirodnoj dedukciji krece se od pretpostavki,

iz kojih se primjenom desetak pravila (uvodenja,iskljucenja veznika, itd.) dokazuju tautologije.Pretpostavke ne moraju biti tautoloske.

U aksiomatskim se sustavima uvijek u dokazivanju krece

od aksioma, koji su tautoloski, i svaki je redak u dokazutakoder tautoloski jer je tautologicnost nasljedna. Pravilasu dokazivanja samo dva, modus ponens i supstitucija.



Ak i t ki t i i i d d d k ij

http://find/



Aksiomatski sustavi i prirodna dedukcija

Ti su sustavi medusobno usporedivi, tj. sve sto se mozedokazati u aksiomatskim sustavima, moze se dokaziti iprirodnom dedukcijom.

Oni se mogu “prevesti” jedan u drugi, tako da se pravilaizvodenja iz prirodne dedukcije dokazu kao teoremi uaksiomatskim sustavima, a aksiomi i pravila dokazivanjaiz aksiomatskih sustava da se dokazu u sustavu prirodne

dedukcije.



Prirodna dedukcija

http://find/



Prirodna dedukcija

Prirodna se dedukcija smatra prirodnijim nacinomzakljucivanja od aksiomatskih sustava. Uveo ju je Gentzen usvojoj doktorskoj disertaciji 1935. godine, gdje je napisao:

First I wished to construct a formalism that comes as close aspossible to actual reasoning. Thus arose a ”calculus of natural

deduction”.(Gentzen (1935): Investigations into Logical Deduction)



Principia Mathematica i Godel

http://find/



Principia Mathematica i GodelRussell i Whitehead su smatrali da su u Principia

Mathematica uspjeli postaviti temelje zasnivanjamatematike na logici, no Godel je postavio pitanje je lisve sto je u sustavu Principia Mathematica istinito,ujedno i dokazivo.

Godel je u svojoj disertaciji 1929. uspio dokazatisemanticku potpunost logike prvoga reda (svaka je logickivaljana formula dokaziva u sustavu)1931. je u clanku “O formalno neodlucivim stavcimaPrincipia Mathematica i srodnih sustava” rijesio Hilbertovdrugi problem...



Principia Mathematica i Godel

http://find/



Principia Mathematica i GodelRussell i Whitehead su smatrali da su u Principia

Mathematica uspjeli postaviti temelje zasnivanjamatematike na logici, no Godel je postavio pitanje je lisve sto je u sustavu Principia Mathematica istinito,ujedno i dokazivo.

Godel je u svojoj disertaciji 1929. uspio dokazatisemanticku potpunost logike prvoga reda (svaka je logickivaljana formula dokaziva u sustavu)1931. je u clanku “O formalno neodlucivim stavcimaPrincipia Mathematica i srodnih sustava” rijesio Hilbertovdrugi problem......ali na neocekivan nacin!umjesto dokaza konzistentnosti aritmetike (sto je biloocekivano), Godel je dokazao:



Godelovi teoremi nepotpunosti

http://find/



Godelovi teoremi nepotpunosti

Godelov prvi teorem nepotpunosti

Za svaku konzistentnu, formalnu, rekurzivno prebrojivu teoriju kojadokazuje osnovne aritmeticke cinjenice, moze se konstruirati aritmeticka

tvrdnja koja je tocna, ali ne i dokaziva po toj teoriji. To znaci da ni jednaefektivno stvorena teorija, sposobna za opisivanje osnovne aritmetike, ne

moze istovremeno biti i potpuna i konzistentna.

Godelov drugi teorem nepotpunosti

Za svaku formalnu, rekurzivno prebrojivu (tj. efektivno stvorenu) teoriju,

koja ukljucuje osnovne aritmeticke cinjenice, a takoder i odredenecinjenice vezane uz formalnu dokazivnost, teorija sadrzi i tvrdnju ovlastitoj konzistentnosti ako i samo ako je ona sama nekonzistentna.



Tarski o Godelovim dokazima

http://find/



Tarski o Godelovim dokazima

Godelov dokaz nepotpunosti deduktivnoga sustava Peanovearitmetike pokazao je da:

“U svakoj deduktivnoj teoriji (osim odredenih teorija narocito jednostavne

naravi) koliko god da dopunjavamo uobicajena pravila zakljucivanja novimposve strukturalnim pravilima, moguce je konstruirati recenice koje bislijedile u uobicajenome smislu iz teorema te teorije, ali koje ipak ne mogubiti dokazane u toj teoriji na osnovi prihvacenih pravila dokazivanja.”(Tarski (1936): The Concept of Logical Consequence, 420-421)

Dakle, ne postoji takav aksiomatski sustav u kojemu bi mogle biti

dokazane sve matematicke istine, ali nijedna lazna tvrdnja.


http://find/




Znacaj Godelovih dokaza




Godel je pokazao da je nemoguce dati metamatematicki dokazkonzistentnosti sustava koji je dovoljno obuhvatan da sadrzi citavuaritmetiku osim ako se sam dokaz ne sluzi pravilima izvodenja kojasu bitno razlicita od transformacijskih pravila koja se koriste uizvodenju teorema unutar sustava.

Ako se zakljucivanje u mogucem dokazu zasniva na pravilimaizvodenja mnogo mocnijima od pravila aritmetickoga racuna, tada

je konzistentnost pretpostavki u zakljucivanju jednako tako predmetdvojbe kao sto je to konzistentnost aritmetike.

Nadalje, ako dokaz nije finitisticki, tada on ne ispunjava ciljeve

Hilbertova programa...

...a Godelov dokaz pokazuje kako nije vjerojatno da se moze datifinitisticki dokaz konzistentnosti aritmetike.




http://find/




Drugi Godelov zakljucak pokazuje temeljno ogranicenje mociaksiomatske metode: pokazao je da su PM ili bilo koji drugi sustavunutar kojega se moze razviti aritmetika nepotpuni, tj. podpretpostavkom bilo kojega konzistentnoga skupa aritmetickihaksioma, postoje istiniti aritmeticki iskazi koji se iz skupa ne moguizvesti.

npr. Golbachov teorem: svaki je paran broj zbroj dvaju primbrojeva.- primjer aritmetickoga iskaza koji moze biti istinit, ali se mozda nemoze izvesti iz aksioma matematike.

Godel je pokazao da ni uvecavanje broja aksioma ili njihova

modifikacija ne bi rijesili taj problem, tj. i da se aksiomi aritmetikeuvecaju za neodreden broj drugih istinitih aksioma, uvijek ce biti josaritmetickih iskaza koji se formalno ne mogu izvesti iz uvecanogaskupa aksioma.



Richardov paradoks

http://find/



Richardov paradoks

Struktura Godelova argumenta otprilike slijedi strukturuzakljucivanja u Richardovu paradoksu.Promotrimo aritmeticke osobine (nekih) prirodnih brojeva isvaku osobinu pridruzimo jednome prirodnom broju, npr:

1. broj je djeljiv s 22. broj je prost

3. broj je jednak 5

4. broj je kvadrat prostoga broja

5. ...Mozemo primijetiti da neki brojevi imaju svojstva koja su impridruzena, a neki nemaju.



Richardov paradoks

http://find/



Richardov paradoks

Neka se svojstvo ‘biti richardovski’ odnosi na broj koji nema

svojstvo koje kodira. U nasem su primjeru richardovski brojevitada 1 i 3.Svojstvo ‘biti richardovski’ takoder je svojstvo nekih prirodnih

brojeva, pa ce se i on naci negdje na nasem popisu, npr. podrednim brojem m. Je li m richarovski broj ili nije? Ako jest,onda nema svojstvo koje kodira, a to znaci da nije richardovskibroj, sto je paradoks. Ako broj nije richardovski, onda nema

svojstvo koje kodira, sto po definiciji znaci da jest richardovski,pa je i to nemoguce.



Richardov paradoks

http://find/



Richardov paradoks

Ipak, u slucaju Richardova paradoksa nije bio u pitanju fair play .Dogovoreno je da se uzmu u obzir aritmeticke osobine prirodnihbrojeva, a kad je na popis dodano svojstvo ’biti richardovski’, tada

je to zanemareno, jer ‘biti richardovski’ nije aritmeticka osobinaprirodnih brojeva, nego se odnosi na metamatematicke pojmove kojise pojavljuju u izrazima, stoga se Richardov paradoks moze izbjecipazljivim razlikovanjem jezika i metajezika (slicno je rjesenjeponudio i Tarski u slucaju paradoksa Lazljivca).

No konstrukcija Richardova paradoksa sugerira da bi semetamatematicke iskaze o dostatno obuhvatnome formalnom

sustavu mozda moglo “preslikati” u samome sustavu. Idejapreslikavanja dobro je poznata, a spomenuli smo i da je Hilbertkoristio preslikavanje geometrije u algebru kako bi utvrdiokonzistentnost aksioma za geometriju).



Godelova uporaba preslikavanja

http://find/



p p s j

Osnovno je obiljezje preslikavanja u tome da se zaapstraktnu strukturu odnosa sadrzanu u jednoj domeniobjekata moze pokazati da vrijedi izmedu objekata (kojisu obicno razliciti od objekata prvoga skupa) u drugoj

domeni. To je obiljezje posluzilo Godelu u konstrukcijinjegovih dokaza.

Slijedeci stil Richardova paradoksa, ali izbjegavsi pogreskuu njegovoj konstrukciji, Godel je pokazao da se

metamatematicki iskazi o formaliziranom aritmetickomracunu uistinu mogu prikazati aritmetickim formulamaunutar racuna.


http://find/




Poslije Godela



j

1936. Tarskijev teorem o nedefinabilnosti: definicijaistinitosti za neki formalni sustav ne moze izraziti unutartoga sustava, nego u jacem sustavu.



Poslije Godela

http://find/



j


Je li ljudski um ekvivalentan Turingovu stroju ili bilokojemu konacnom stroju? Ako jest, i ako je strojkonzistentan, onda ce Godelov teorem biti primjenjiv nanjega.



Poslije Godela

http://find/



j


Je li ljudski um ekvivalentan Turingovu stroju ili bilokojemu konacnom stroju? Ako jest, i ako je strojkonzistentan, onda ce Godelov teorem biti primjenjiv nanjega.

...



http://find/



Kraj!


http://find/

uvod u godelove dokaze nepotpunosti

Documents