uvod u matemati^ku logikuenastava.matf.bg.ac.rs/~ikodinovic/uml_2020_21.pdfuvod u matemati^ku logiku...
TRANSCRIPT
UVOD U MATEMATI^KU LOGIKU
Neboj{a Ikodinovi}
� Bele{ke, 2020/21 �
ISPITNA PITAWA 2020/21
1. Logi~ki veznici (str. 2); Iskazne formule (3); Istinitosna
vrednost iskazne formule (5)
2. Tautologije i zadovoqive formule (str. 7); Ekvivalentne for-
mule (9)
3. Princip matemati~ke indukcije (str. 12); Induktivno zadati
nizovi (16)
4. Formalne gramatike (str. 19); Formalne teorije (23)
5. Iskazni ra~un Ł (str. 25)
6. Prirodna dedukcija u iskaznoj logici (str. 32)
7. Predikatske formule (str. 38); Pravila prirodne dedukcije
za kvantifikatore (41)
8. Aksiome ekstenzionalnosti, praznog skupa, para, izdvajawa,
partitivnog skupa i unije (str. 50)
9. Bulove operacije. Dekartov proizvod (str. 57)
10. Relacije. Funkcije (str. 63)
11. Aksiome zamene, regularnosti, beskona~nosti (str. 78)
12. Ure|ewe i aritmeti~ke operacije skupa N (str. 80)
13. Kona~ni skupovi. Osnovni kombinatorni principi (str. 88)
14. Beskona~ni skupovi. Kantor-Bern{tajnova teorema (str. 92)
15. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi (str. 95)
16. Strukture i wihov vokabular (str. 99)
17. Razli~ite interpretacije vokabulara. Teorije. Grupe; Bulove
algebre; Ure|ewa (str. 104)
18. Semanti~ka i sintaksna posledica (str. 108); Jednakosna
logika (112); Teorema potpunosti (113)
19. Aksioma izbora (str. 116)
2 UML
1. Iskazna algebra
H Logi~ki veznici
PRIMER 1. O~igledno je da re~enice:
1. Zemqa se okre}e oko Sunca ili se Zemqa ne okre}e oko Sunca.
2. Broj 1, 41 jeste re{ewe jedna~ine x2 = 2 ili 1, 41 nije re{ewe
jedna~ine x2 = 2.
imaju istu strukturu �· · · ili ne · · · �, i da ih upravo zbog toga smatramota~nim bez obzira na to da li je iskaz koji se nalazi na mestu ta~kica
ta~an ili neta~an. Odavde se jasno vidi zna~aj veznika ili i ne u
strukturi navedenih re~enica. Naravno, jo{ mnogo analognih primera
mo`emo sastaviti. Analizirajmo daqe i slede}a dva zakqu~ivawa.
Ako nekome ka`emo Ako si ti u pravu, onda sam ja lud.
i dodamo Ja nisam lud.
sagovornik }e znati da smo rekli Ti nisi u pravu.
Znamo da va`i Ako je ~etvorougao ABCD kvadrat, onda je ABCD pravougaonik.
i ako uo~imo da ^etvorougao ABCD nije pravougaonik.
zakqu~ujemo da ^etvorougao ABCD nije kvadrat.
Ova dva zakqu~ivawa, iako se odnose na potpuno razli~ite situacije,
su{tinski se ne razlikuju.
PRETPOSTAVKE: Ako · · · , onda ∗ ∗ ∗.Ne ∗ ∗ ∗.
ZAKQU^AK: Ne · · · .Iovogaputa, ispravnostnavedenih zakqu~ivawaopravdavamoveznicima
�Ako · · · , onda ∗ ∗ ∗� i �Ne ∗ ∗ ∗� ne obaziru}i se mnogo na smisao
re~enica koje stoje umesto · · · i ∗ ∗ ∗.
U iskaznoj logici centralno mesto zauzimaju tzv. logi~ki
veznici: i, ili, ne, ako . . . , onda . . . , ako i samo ako. Pomo}u
wih gradimo slo`ene iskaze polaze}i od nekih jednostavnih ~iji
smisao nas ne zanima, ve} je jedino va`no da li su oni ta~ni ili
neta~ni. Istinitost slo`enijih iskaza odre|ujemo na osnovu tzv.
istinitosnih tablica pridru`enih veznicima. Ovo na~elo, koje
je u osnovi definicije iskaznih veznika, poznato je kao princip
istinitosne funkcionalnosti: postoji funkcija koja istinos-
nim vrednostima prostijih iskaza, kao argumentima, pripisuje,
dodequje, ta~no jednu istinosnu vrednost slo`enog iskaza, kao
vrednost:
¬0 11 0
∧ 0 10 0 01 0 1
∨ 0 10 0 11 1 1
⇒ 0 10 1 11 0 1
⇔ 0 10 1 01 0 1
UML 3
U tablicama su navedene standardne oznake za veznike:
negacija: ¬ � ne (unarni veznik),
konjunkcija1: ∧ � i (binarni veznik), 1 Savremeni pravopis tra`i, u neskladu
sa vukovskim na~elima, da se konjunkcija
ne pi{e sa w nego sa nj, kao i konjunktiv,
konjunktivitis i injekcija.disjunkcija: ∨ � ili (binarni veznik),
implikacija: ⇒ � ako . . . , onda . . . (binarni veznik),
ekvivalencija: ⇔ � ako i samo ako (akko) (binarni veznik).
Ako neke jednostavne iskaze ozna~imo slovima p, q, r, ondaje (p ∧ q) ⇒ r primer slo`enog iskaza (koji ~itamo ako p i q,onda r). Drugi primer slo`enog iskaza je p ∨ ¬p sa kojim smo
se sreli u prethodnom primeru. Neformalno, slova p, q i r se
mogu zami{qati kao neki jednostavni iskazi, ~iji nam smisao tih
iskaza nije va`an ve} samo to da li su ta~ni ili neta~ni. Slo`ene
iskaze shvatamo kao algebarske izraze prilago|ene tzv. iskaznoj
algebri ({0, 1},∨,∧,¬,⇒,⇔, 0, 1). Ove algebarske izraze nazi-
vamo iskaznim formulama i defini{emo ih kao i bilo koju drugu
vrstu izraza tzv. induktivnim definicijama2. 2 Induktivnim definicijama se odre|u-
ju matemati~ki objekti sagra|eni poste-
peno po~ev{i od najjednostavnijih, os-
novnih, baznih objekata, a slo`eniji ob-
jekti se grade nekim utvr|enim pravili-
ma primenqivimna ve} sagra|ene, jednos-
tavnije objekte.
H Iskazne formule (odn. logi~ki izrazi)
Najpre preciziramo koje simbole koristimo pri gra|ewu iskaz-
nih formula. Iskazne formule gradimo od:
� iskaznih slova (iliiskaznihpromenqivih) a, b, c, . . . , p, q, r, . . . ,p1, q1, . . ., pri ~emu pretpostavqamo da ih ima neograni~eno
mnogo,
� logi~kih konstanti > i ⊥,
� logi~kih veznika ¬, ∧, ∨,⇒,⇔,
upotrebom zagrada na uobi~ajeni na~in.
Logi~ku konstantu> zami{qamo kao oznaku nekog iskaza koji
je ta~an, a ⊥ kao oznaku iskaza koji je neta~an.
Induktivna definicija iskaznih formula:
� Iskazna slova i logi~ke konstante su iskazne formule. Nazi-
vamo ih i atomskim iskaznim formulama.
� ako je α iskazna formula, onda je i ¬α iskazna formula;
� ako su α i β iskazne formule, onda su i (α∧ β), (α∨ β), (α⇒ β),
(α⇔ β) iskazne formule.
Navedenom (induktivnom) definicijom najpre su uvedene naj-
jednostavnije iskazne formule: svako iskazno slovo i svaka lo-
gi~ka konstanta predstavqa jednu iskaznu formulu. Zatim je
4 UML
precizirano kako se formiraju slo`enije iskazne formule: po-
laze}i od najjednostavnijih iskaznih formula, pomo}u navedenih
pravila gradimo nove formule, koje daqe koristimo za izgradwu
jo{ slo`enijih formula. Podrazumeva se da se iskazne formule
mogu graditi samo na ovaj na~in.
Pretpostavqamoda supoznate uobi~ajene konvencije o brisawu
zagrada, pa ih ovde ne}emo sve navoditi. Isti~emo samo dogovor
o prioritetu logi~kih veznika: ¬ je veznik najve}eg prioriteta,
za wim slede ∨ i ∧ koji su podjednakog prioriteta, a za wima⇒i⇔, tako|e jednakog prioriteta.
Postepena izgradwa svake iskazne formule slikovito se pri-
kazuje tzv. drvetom formule.
PRIMER 2. Nacrtajmo drvo formule (p ∨ q) ∧ (¬(¬p⇒ ⊥) ∨ r):
(p ∨ q) ∧ (¬(¬p⇒ ⊥) ∨ r)
p ∨ q
p q
¬(¬p⇒ ⊥) ∨ r
¬(¬p⇒ ⊥)
¬p⇒ ⊥
¬p
p
⊥
r
Drvo jasno pokazuje induktivne korake izgradwe formule. Naravno,
da bismo pojednostavili zapis, izostavqamo zagrade kada god to ne
dovodi do zabune.
Potformule neke formule su weni delovi koji su i sami for-
mule, pri ~emu se smatra da je i svaka formula potformula
same sebe. Potformule neke iskazne formule su iskazne formule
sagra|ene prilikom induktivnog gra|ewa neke iskazne formule.
Potformule neke iskazne formule su prirodno ure|ene u jednu
strukturu koja je kao drvo � ra~va se samo na jednu stranu. Mesta
jednog drveta gde stoje potformule zovu se ~vorovima. Svaki
~vor ima nula ili jednog neposrednog prethodnika, a neposred-
nih naslednika mo`e da ima nula, jedan, ili vi{e. Kada ~vor
nema prethodnika zove se koren, a kada nema naslednika zove se
list. Koren }e biti samo jedan, i od wega do svakog drugog ~vora
u drvetu mo}i }e da se stigne prelaze}i sa ~vora na ~vor koji mu
je neposredan naslednik; tj. svi drugi ~vorovi, ako ih ima, bi}e
naslednici korena. U korenu drveta neke formule nalazi se
sama formula, dok su listovi zapravo
atomske formule.Svakoj formuli ϕ pridru`ujemo jedinstveno drvo D(ϕ). Ovo
pridru`ivawe precizno uvodimo induktivnom definicijom:
� ako je α atomska formula (tj. iskazno slovo ili logi~ka kon-
UML 5
stanta), onda D(α) sadr`i samo jedan ~vor u kome se nalazi
α;
� ako je D(α) drvo formule α, onda je D(¬α) drvo oblika:
¬α
D(α)
� ako je D(α) drvo formule α i D(β) drvo formule β, onda je
D(α ∗ β), ∗ ∈ {∧,∨,⇒,⇔}, drvo oblika:α ∗ β
D(α) D(β)
Svaki ~vor drveta formule, koji nije list, odre|uje jedan lo-
gi~ki veznik. Glavni veznik formule jeste logi~ki veznik koji je
posledwi uveden prilikom wenog gra|ewa. Npr. izraz (a + b) · (a − b) nazivamo
proizvodom, jer je · 'glavna' operacija.Sli~no tome, formulu p ∨ q ⇒ p ∧q nazivamo 'implikacijom', jer je ⇒glavni veznik. Primetimo da je for-
mula p ∨ (q ⇒ p ∧ q) 'disjunkcija', a daje (p ∨ q⇒ p) ∧ q 'konjunkcija'.
H Istinitosna vrednost iskazne formule. Bulov prostor
Drvo formule mo`emo posmatramo i kao tzv. logi~ko kolo, pri
~emu u ~vorovima koji nisu listovi isti~emo samo odgovaraju}i
logi~ki veznik. Logi~ka kola igraju osnovnu ulogu u konstruk-
ciji digitalnih ra~unara. Listove drveta formule posmatramo
kao ulaze logi~kog kola, dok ostali ~vorovi drveta predstavqaju
prolaze5 u kojima se realizuju logi~ke operacije ∧,∨,¬. Koren
5
drveta predstavqa izlaz logi~kog kola. Ulazi i izlazi se mogu
nalaziti u dva stawa, ozna~ena sa 0 i 1. Za date vrednosti ulaza
logi~ko kolo daje izlaz koji je u skladu sa logi~kom funkcijom
koju predstavqa.
PRIMER 3. Na slikama ispod, drvo formule ¬(p ∧ q) ∧ (¬r ∧ s) pre-ra|eno je u odgovaraju}e logi~ko kolo.
Iskazna slova p, q, r, s odre|uju ulaze, dok izlaz odre|uje polazna
formula koju mo`emo ozna~iti α(p, q, r, s) da bismo istakli da wena
istinitosna vrednost zavisi od istinitosnih vrednosti slova p, q, r,s. Npr. ako je p = 1, q = 0, r = 0, s = 1, onda je
α(1, 0, 0, 1) = ¬(1∧ 0) ∧ (¬0∧ 1) = · · · = 1.
Svaka iskazna formula odre|uje (logi~ku) funkciju koja istinitosnim
vrednostima iskaznih slova (ulaza, argumenata) dodequje ta~no jednu
istinitosnu vrednost posmatrane formule.
6 UML
Ako su iskaznim slovima dodelimo konkretne istinitosne
vrednosti iz {0, 1}, onda se mo`e izra~unati i istinitosna vred-nost bilo koje iskazne formule. Dodeqivawe istinitosnih vred- Uop{te, ako je algebarski izraz sastavl-
jen od promenqivih i konstanti i op-
eracija koje se pojavquju u nekoj konkret-
noj algebarskoj strukturi, onda se vred-
nost tog izraza mo`e izra~unati kada
se promenqivama dodele konkretne vred-
nosti iz domena te strukture. Sve ovo
va`i i za iskazne formule, tj. algebarske
izraze koji odgovaraju iskaznoj algebri.
nosti (0 ili 1) iskaznim slovima naziva se valuacija iskaznih
slova. Podrazumeva se da je istinitostna vrednost formule ⊥jednaka 0, a istinitostna vrednost formule > jednaka 1.
PRIMER 4. Istinitosnu vrednost formule (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), za
p = 1, q = 0, ra~unamo koriste}i slede}i sa`eti zapis:
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
1 0 0 10 1
0
ili jednostavnije
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
1 0 0 0 0 1 1
Ispod iskaznih slova zapisujemo istinitosne vrednosti odre|ene va-
luacijom, a ispod logi~kih veznika vrednosti odre|ene odgovaraju}om
tablicom.
Za n iskaznih slova, postoji ukupno 2n razli~itih valuacija.
Odre|ivawe istinitosnih vrednosti neke formule za sve mogu}e
valuacije wenih iskaznih slova prikazujemo u obliku tablice
poznate pod nazivom istinitosna tablica.
PRIMER 5. Istinitosnu tablicu iskazne formule mo`emo formi-
rati i u slede}em jednostavnijem obliku.
p q0 00 11 01 1
p q r0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
p q r s0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
(p ⇒ q) ∧ (¬ q ∨ ¬ p)
0 1 0 1 1 0 1 1 00 1 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 0 11 1 1 0 0 1 0 0 1
Iz prakti~nih razloga, sve valuacije za n sikaznih slova uglavnom
nabrajamo na slede}i sistemati~an na~in: Ispod svod svakog pojavqi-
vawa prvog slova navodimo 2n−1 puta vrednost 0, pa 2n−1 puta vrednost
1; zatim ispod svakog pojavqivawa drugog slova prvo navodimo 2n−2
puta 0, pa zatim 2n−2 puta 1, pa 2n−2 puta ponovo 0, i najzad u jo{ 2n−2
puta 1, i tako daqe, do n-tog slova ispod koga naizmeni~no upisujemo 0i 1.
Skup svih valuacijaniskaznih slovanaziva se in-dimenzionalniBulov prostor i predstavqa se n-dimenzionalnom kockom.
UML 7
H Tautologije i zadovoqive formule
Definicija 1. Iskazna formula α je:
� zadovoqiva akopostoji valuacija iskaznih slova za koju je vred-
nost formule α jednaka 1;
� tautologija ako je za svaku valuaciju iskaznih slova vrednost
formule α jednaka 1. Da je α tautologija ozna~avamo sa |= α.
PRIMER 6. Formula p ∧ ¬(q⇒ r) je zadovoqiva.
p ∧ ¬ (q ⇒ r)0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 10 0 1 1 0 00 0 0 1 1 11 0 0 0 1 01 0 0 0 1 11 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1
Iz tablice vidimo da je data formula ta~na za valuaciju p = 1, q = 1,r = 0.
Formule p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q i (p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬p su tautologije (a
samim tim i zadovoqive):
p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q0 0 0 1 0 1 00 0 0 1 1 1 11 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1
(p ⇒ q) ∧ ¬ q ⇒ ¬ p0 1 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 0 11 1 1 0 0 1 1 0 1
O zna~aju tautologija, pre svega pri opisivawu zakona mi{qewa, bi}e
re~i kasnije. Za sada, isti~emo samo da se tautologija modus ponens
p ∧ (p⇒ q)⇒ q prepoznaje u slede}em svakodnevnom zakqu~ivawu:
p p⇒ qq
(MP)
1. Aca `ivi u Beogradu.
2. Ako Aca `ivi u Beogradu, onda Aca `ivi u Srbiji.
Dakle, Aca `ivi u Srbiji.
8 UML
Tako|e, i tautologiju modus tolens (p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬p svakodnevno
koristimo prilikom zakqu~ivawa:
p⇒ q ¬q¬p
(MT)
1. Ako Aca `ivi u Beogradu, onda Aca `ivi u Srbiji.
2. Aca ne `ivi u Srbiji.
Dakle, Aca ne `ivi u Beogradu.
Slobodno govore}i, tautologije su (matemati~ki ) izrazi kojima se
opisuju osnovni {abloni mi{qewa.
U nastavku navodimo spisak nekih va`nih tautologija (~ita-
ocima prepu{tamo proveru da su ove formule zaista tautologije).
Navedene formule se lak{e pamte, ako se uo~i da logi~ke op-
eracije mo`emo opisati i na slede}i na~in ukoliko 0 i 1 shva-
timo kao brojeve. Naime, za x, y ∈ {0, 1}, va`i x∨ y = max{x, y},x ∧ y = min{x, y}, (pri ~emu se oslawamo na uobi~ajeni poredak0 < 1), kao i da je ¬x = 1− x (�−� je znak za oduzimawe). Tako|e,
vaqa primetiti da implikacija x ⇒ y ima vrednost 1 ako i samoako je x 6 y.
SPISAK VA@NIH TAUTOLOGIJA:
Svojstva implikacije:
|= p⇒ p|= ⊥ ⇒ p |= p⇒ >|= (p⇒ q)⇒ ((q⇒ r)⇒ (p⇒ r)) tranzitivnost implikacije
|= (p⇒ q) ∨ (q⇒ p) linearnost implikacije
Svojstva konjunkcije:
|= p ∧ q⇒ p |= p ∧ q⇒ q|= (r ⇒ p)⇒ ((r ⇒ q)⇒ (r ⇒ p ∧ q)) formula p ∧ q je najve}e dowe ograni~ewe za p i q
Svojstva disjunkcije:
|= p⇒ p ∨ q |= q⇒ p ∨ q|= (p⇒ r)⇒ ((q⇒ r)⇒ (p ∨ q⇒ r)) formula p ∨ q je najmawe gorwe ograni~ewe za p i q
Svojstva konjunkcije i disjunkcije:
|= p ∧ p⇔ p |= p ∨ p⇔ p zakoni idempotentnosti
|= p ∧ (p ∨ q)⇔ p |= p ∨ (p ∧ q)⇔ p zakoni apsorpcije
|= p ∧ q⇔ q ∧ p |= p ∨ q⇔ q ∨ p zakoni komutativnosti
|= p ∧ (q ∧ r)⇔ (p ∧ q) ∧ r |= p ∨ (q ∨ r)⇔ (p ∨ q) ∨ r zakoni asocijativnosti
|= p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) zakoni distributivnosti ∧ prema ∨|= p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) zakoni distributivnosti ∨ prema ∧
Svojstva negacije:
|= p ∧ ¬p⇒ q ex f also quodibet � iz la`ne pretpostavke sledi sve ({to `eli{)|= (p⇒ q)⇒ ((p⇒ ¬q)⇒ ¬p) reduction ad absurdum � svo|ewe na protivre~nost
|= ¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) De Morganov zakon
|= ¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q) De Morganov zakon
|= (p⇒ q)⇔ (¬q⇒ ¬p) zakon kontrapozicije
|= p⇔ ¬¬p zakon dvojne negacije
|= p ∨ ¬p zakon iskqu~ewa tre}eg
Iskazna slova se zovu jo{ i iskazne promenqive. Promenqiva
UML 9
uop{te u matematici je simbol vezan za supstituciju, tj. zamenu,
bez izuzetka, svih javqawa tog simbola istim jezi~kim izrazom.
Rezultat supstitucije se zove supstituciona instanca, ili prosto
instanca. Umesto promenqivih u nekoj iskaznoj formuli mogu da
se supstitui{u proizvoqne iskazne formule, i dobijene instance
su onda opet iskazne formule. Koristimo slede}e oznake:
� [p/ϕ] ozna~ava istovremenu zamenu slova p formulom ϕ;
� α[p/ϕ] ozna~ava rezultat zamene slova p formulom ϕ u nekoj
formuli α.
PRIMER 7. Ako je α formula ¬(p⇒ q)⇒ p ∧ ¬q, onda je:
� α[p/p ∨ r] formula ¬(p ∨ r ⇒ q)⇒ (p ∨ r) ∧ ¬q;
� α[q/r ⇒ ¬s∧ t] formula ¬(p⇒ (r ⇒ ¬s∧ t))⇒ p∧¬(r ⇒ ¬s∧ t);
� α[s/p⇒ ¬r] formula α, tj. ¬(p⇒ q)⇒ p ∧ ¬q, jer se s ne pojavqujeu α.
Primetimo da je formula α, tj. ¬(p ⇒ q) ⇒ p ∧ ¬q tautologija.
¬ (p ⇒ q) ⇒ p ∧ ¬ q0 0 1 0 1 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0 11 1 0 0 1 1 1 1 00 1 1 1 1 1 0 0 1
Da li su formule α[p/p ∨ r], α[q/r ⇒ ¬s ∧ t] i α[s/p ⇒ ¬r] tako|etautologije?
Posebno isti~emo jednu o~iglednu ~iwenicu: svaka instanca
tautologije je tako|e tautologija.
Teorema 1. Ako je α tautologija, onda je i α[p/ϕ] tako|e tau-
tologija, za bilo koju formulu ϕ.
PRIMER 8. Znamo da su formule
p ∧ (p⇒ q)⇒ q i (p⇒ q) ∧ ¬q⇒ ¬p
tautologije. Primenom prethodne teoreme zakqu~ujemo da su i wihove
instance
ϕ ∧ (ϕ⇒ ψ)⇒ ψ i (ϕ⇒ ψ) ∧ ¬ψ⇒ ¬ϕ,
tako|e tautologije, za bilo koje formule ϕ i ψ.
H Ekvivalentne formule
Mnoge od tautologija navedenih u prethodnom spisku jesu ek-
vivalencije neke dve formule.
Definicija 2. Formule α i β su ekvivalentne, u oznaci α ≡ β,
ako α i β imaju iste istinitosne vrednosti za svaku valuaciju, tj.
ako je je |= α⇔ β.
10 UML
Primetimo da je α ≡ β samo drugi zapis ~iwenice |= α⇔ β.
Dve ekvivalentne formule uvek imaju iste istinitosne vred-
nosti, pa je jasno da svako pojavqivawe jedne u tih formula,
u nekoj formuli, mo`emo zameniti drugom, woj ekvivalentnom
formulom. Ovo zapa`awe je poznato kao teorema o zameni ekvi-
valenata9. Da bismo je preciznije formulisali uvodimo slede}e 9 Zamena ekvivalenata je u osnovi tzv. eki-
valentnih transformacija bilo kakvih
algebarskih izraza. Na primer, znamo
da je x2 − y2 = (x − y)(x + y), tj.
da su izrazi x2 − y2 i (x − y)(x + y)ekvivalentni (imaju iste vrednosti za
sve vrednosti promenqivih x i y), paako pojavqivawe izraza x2 − y2 u nekom
slo`enom izrazu zamenimo izrazom (x−y)(x + y), dobijamo izraz ekvivalenatanpolaznom slo`enom izrazu, i obratno
oznake:
� [θ/ϕ] ozna~ava zamenu svih pojavqivawa formule θ formulom
ϕ;
� α[θ/ϕ] ozna~ava formulu dobijenu zamenom svih pojavqivawa
potformule θ u formuli α formulom ϕ.
Teorema 2. [Teorema o zameni ekvivalenata] Ako je θ ≡ ϕ, onda je
α ≡ α[θ/ϕ], za bilo koju formulu α.
Tvr|ewe o zameni ekvivalenata je zasnovano na istinosnoj
funkcionalnosti. Po istinosnoj funkcionalnosti, svejedno je
za izra~unavawe istinosne vrednosti sa kojom smo od dveju ekvi-
valentnih iskaznih formula imali posla. Va`na je samo isti-
nosna vrednost, a ona se kod ekvivalentnih iskaznih formula ne
razlikuje.10 Tvr|ewe o zameni ekvivalenata nam ka`e da se ek- 10 Tvr|ewe o zameni ekvivalenata se pre-
cizno dokazuje matemati~kom indukci-
jom, koja prati induktivnu definiciju
iskaznih formula (o ~emu }e kasnije biti
re~i). Ovde se radi o indukciji po
slo`enosti formule α. Matemati~kom
indukcijom se ina~e dokazuju sli~na
tvr|ewa koja ne{to tvrde o svim formu-
lama.
vivalentne formule, mada nisu jednake, pona{aju isto ako nas
zanima samo istinosna vrednost. Po{to uvek imaju istu isti-
nosnu vrednost, one na isti na~in uti~u na istinosnu vrednost
konteksta.
Primenu tvr|ewa o zameni ekvivalenata prate i slede}a o~i-
gledna svojstva.
Teorema 3. Neka su α, β, γ proizvoqne iskazne formule.
(R) α ≡ α, tj. |= α⇔ α;
(S) ako je α ≡ β, onda je i β ≡ α (iz |= α⇔ β sledi |= β⇔ α);
(T) ako je α ≡ β i β ≡ γ, onda je i α ≡ γ (iz |= α⇔ β i |= β⇔ γ,
sledi |= α⇔ γ).
Izdvajamo neke osnovne parove ekvivalentnih formula. Za
bilo koje formule α, β, γ va`i:
A∨ α ∨ (β ∨ γ) ≡ (α ∨ β) ∨ γ A∧ α ∧ (β ∧ γ) ≡ (α ∧ β) ∧ γ
K∨ α ∨ β ≡ β ∨ α K∧ α ∧ β ≡ β ∧ α
D∨∧ α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) D∧∨ α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
C∨ α ∨ ¬α ≡ > C∧ α ∧ ¬α ≡ ⊥N∨ α ∨⊥ ≡ α N∧ α ∧> ≡ α
UML 11
PRIMER 9. Primenom navedenih ekvivalencija, dokaza}emo da je for-
mula (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) tautologija:
(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ ((p ∨ q) ∨ ¬p) ∧ ((p ∨ q) ∨ ¬q)d [D∨∧]
≡ ((q ∨ p) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ (q ∨ ¬q)) [A∨, K∨]
≡ (q ∨ (p ∨ ¬p)) ∧ (p ∨>) [A∨, C∨]
≡ (q ∨>) ∧> [C∨, o~igledno α ∨> ≡ >]
≡ >∧> [ o~igledno >∨> ≡ >]
≡ >
Sli~no se mo`e pokazati da iskazna formula (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) nije(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) ≡ · · · ≡ ⊥zadovoqiva.
12 UML
2. Matemati~ka indukcija
H Princip matemati~ke indukcije
Jedno od najzna~ajnijh proizvoda qudske misli ~ini totalitet
svih prirodnih brojeva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Brojawe je jedna
od najzna~ajnijih ve{tina koju je ~ovek stekao zahvaquju}i svom
~istom mi{qewu, a ne fizi~kom radu. Kada aritmetiku nazivam samo jednim
delom logike, time ve} iskazujem da po-
jam broja smatram sasvim nezavisnim
od predstava ili intuicija prostora
i vremena, da ga, naprotiv smatram
neposrednim proizvodom ~istih zakona
mi{qewa.
Dedekind (1831�1916), Was sind und
was sollen die Zahlen, 1888.
Brojawe je bazi~ni pojam aritmetike. Predmet aritmetike
nisu brojevi ve} brojawe. Brojawe je su{tinski povezano sa pra-
davnim na~inom bele`ewa rezultata brojawa koji se`e do samih
za~etaka qudske civilizacije. Re~ je o tzv. recka-sistemu: za-
pisi rezultata brojawa nastaju tako {to polaze}i od 0 (po~etnog
rezultata koji prethodi brojawu) uzastopno dopisujemo (jednu po
jednu) crticu: 0, 0′, 0′′, 0′′′, 0′′′′, . . . ili
0, 0, 0, 0, 0, . . .
Unastavku, koristimo ovaj drugi zapis. Da bismo pojednostavili
~itawe, koristi}emo i arapske cifre, da kra}e zapi{emo brojeve:
0, 1 = 0, 2 = 0, 3 = 0, 4 = 0, . . .
Klu~ni korak brojawa jeste 'dodavawe nove crtice na teku}i
rezultat brojawa'. Na taj na~in kreiramo sledbenika svakog
broja. Nema nikakvog ograni~ewa: svaki broj ima svog sled-
benika.
Sabirawe je operacija koja se prirodno nadovezuje na brojawe:
zbir m + n dobijamo kada po~ev od broja m izbrojimo jo{ nbrojeva. Drugim re~ima, zbir m + n je n-ti sledbenik broja m. 2+3=5
Sabirawe se precizno opisuje dvema jednakostima:
m + 0 = m [Kada se broju m doda 0 rezultat je m.]m + n = m + n [Ako je m + n = k, onda je m + n = k.]
Navedene jednakosti opisuju kako se (bilo komizabranom) brojumdodaju prirodni brojevi, tj. defini{u funkciju kojom se prirod-
nom broju x dodequje jedinstven prirodan broj m + x, tu funkcijukra}e ozna~avamo x 7→ m + x. Sabirawe je brojawe po~ev od nekog
zadatog broja. Npr. zbir 2 + 3 (tj. 0 + 0) je tre}i sledbenik broja2:
0 + 0 = 0 + 0
= 0 + 0
= 0 + 0
= 0
UML 13
Koriste}i navedene jednakosti izvodimo op{ta svojstva sabi-
rawa. Na primer, mo`emo li dokazati jednakost 0 + n = n, zabilo koji prirodan broj n? Jednostavno je proveriti jednakost ubilo kom konkretnom slu~aju:
0 + 0 = 0 je posledica jednakosti m + 0 = m koja je ta~na za bilo koji broj m;
0 + 0 = 0 + 0 = 0, jer je u prethodnom koraku pokazano 0 + 0 = 0;
0 + 0 = 0 + 0 = 0, jer je u prethodnom koraku pokazano 0 + 0 = 0;
0 + 0 = 0 + 0 = 0, jer je u prethodnom koraku pokazano 0 + 0 = 0;...
Uop{te, treba primetiti da, osim za prvu jednakost 0 + 0 = 0,pri dokazivawu svake jednakosti koristimo jednakost koja joj
prethodi. Kada za neko n doka`emo da je 0 + n = n, onda jednos-tavno izvodimo i slede}u jednakost
0 + n = 0 + n = n.
Prethodna zapa`awa isti~u su{tinu tzv. principa matemati~ke
indukcije. S(0), S(0)⇒ S(1), S(1)⇒ S(2), S(2)⇒ S(3), . . .S(0), S(1), S(2), S(3), . . .
Principmatemati~ke indukcije: Neka jeSoznaka za neko svojstvo
prirodnih brojeva, i S(n) oznaka da broj n ima svojstvo S. Iz
slede}a dva uslova: Induktivni korak zapravo predstavqa
dokaz da operacija sledbenik ~uva uo~eno
svojstvo.BI (Baza indukcije)
0 ima svojstvo S, tj. S(0);
IK (Induktivni korak)
za svako n, ako n ima svojstvo S, onda i n ima svojstvo S, tj.
S(n)⇒ S(n);
zakqu~ujemo da svaki prirodni broj ima svojstvo S.
Teorema 4. Za svaki prirodan broj n, 0 + n = n.
DOKAZ. Sabirawe je definisano dvema jednakostima:
(Rec1) m + 0 = m(Rec2) m + n = m + n
Jednakost0 + n = nposmatramokaoS(n)izprincipamatemati~ke
indukcije.
(BI) Da li va`i S(0), tj. 0 + 0 = 0? Ova jednakost direktno slediiz (Rec1).
(IK) Da li, za proizvoqno n va`i S(n)⇒ S(n)? Drugim re~ima,
da li iz pretpostavke da je 0 + n = n mo`emo izvesti jednakost
0 + n = n?
14 UML
Uvodimo tzv. induktivnu pretpostavku: Neka je n prirodan
broj takav da je 0 + n = n. Primenom ove pretpostavke i (Rec2)
dolazimo do `eqene jednakosti:
0 + n = 0 + n prema (Rec2)
= n prema induktivnoj pretpostavci
Dakle, prema principumatemati~ke indukcije, za svaki priro-
dan broj n ta~na je jednakost 0 + n = n.
Teorema 5. Za sve prirodne brojeve m, n, k va`e jednakosti:
(1) m + n = m + n;
(2) m + n = n + m;
(3) m + (n + k) = (m + n) + k
DOKAZ. (1) Indukcijom po n:(BI) m + 0 = m [prema (Rec1)]
= m + 0 [prema (Rec1)]
= m + 0 [prema (Rec2)](IP) m + n = m + n
m + n = m + n [prema (Rec2)]
= m + n [prema IP]
= m + n [prema (Rec2)](2) Indukcijom po n:(BI) Iz m + 0 = m i 0 + m = m sledi da je m + 0 = 0 + m.
(IP) m + n = n + mm + n = m + n [prema (Rec2)]
= n + m [prema IP]
= n + m [prema (Rec2)]
= n + m [prema (1)](3) Indukcijom po k:(BI) Jednostavno se dokazuje jednakost (m + n) + 0 = m + (n + 0).
(IP) (m + n) + k = m + (n + k)
(m + n) + k = (m + n) + k [prema (Rec2)]
= m + (n + k) [prema IP]
= m + n + k [prema (Rec2)]
= m + (n + k) [prema (Rec2)]
^uveni francuski matemati~ar Anri
Poenkare (1854�1912) svoju kwigu La
Science l’Hypothese po~iwe dokazima
osnovnih svojstava sabirawa i isti~e:
Navedeni dokazi aritmeti~kih tvr|ewa
ilustruju matemati~ko rezonovawe parexcellence, i moramo ga bli`e prou~iti.
Zbog asocijativnosti sabirawa, m + (n + k) = (m + n) + k,kratko pi{emo m + n + k ostavqaju}i mogu}nost da se po potrebidodaju zagrade koje obuhvataju prvi i drugi sabirak, ili zagrade
koje obuhvataju drugi i tre}i sabirak.
Na sli~an na~in, kao sabirawe, uvodimo i mno`ewe, pre-
ciziraju}i poznatu 'intuitivnu' jednakost: m · n = m + · · ·+ m︸ ︷︷ ︸n puta
.
UML 15
Mno`ewe opisujemo slede}im dvema jednakostima:
m · 0 = 0m · n = (m · n) + m
Prema znanom dogovoru da je mno`ewe prioritetnije od sabi-
rawa, umesto (m · n) + m, kra}e pi{emo m · n + m.
Teorema 6. Za sve prirodne brojeve m, n, k va`e jednakosti:
(1) k · (m + n) = k ·m + k · n
(2) (k ·m) · n = k · (m · n)
(3) m · n = m · n + n
(4) m · n = n ·m
DOKAZ. (1) Indukcijom po n:(BI) Iz k · (m + 0) = k ·m i k ·m + k · 0 = k ·m + 0 = k ·m sledi
da je k · (m + 0) = k ·m + k · 0.(IP) k · (m + n) = k ·m + k · n
k · (m + n) = k ·m + n= k · (m + n) + k= (k ·m + k · n) + k [prema IP]
= k ·m + (k · n + k)
= k ·m + k · n(3) Indukcijom po n:(BI) Jednostavno se uo~ava da je jednakost m · 0 = m · 0 + 0 ta~na.(IP) m · n = m · n + n
m · n = m · n + m= (m · n + n) + m [prema IP]
= m · n + (n + m)
= m · n + (n + m)
= m · n + (m + n)
= (m · n + m) + n= m · n + n
Jednakosti (2) i (4) ostavqamo za ve`bu.
Na~in na koji smo uveli sabirawe i mno`ewe nazivamo in-
duktivnim, odn. rekurzivnim ili rekurentnim definicijama. Re~ rekurzija poti~e od latinske re~i
recurrere koja zna~i vratiti se od [ recur-rence = koji se vra}a]. Dedekind je u svomradu iz 1888. koristio termin definisan
indukcijom, dok jeHilbert (1904) upotre-
bio re~ rekurrent(e), a kasnije (1923) i
re~ Rekursion.
Induktivnim definicijama uvodimo veoma bogatu klasu arit-
meti~kih operacija. U nastavku, prelazimo na ozna~awe koje je
obi~ajeno u literaturi, i umesto n pi{emo n + 1. (Primetite daje n + 1 = n + 0 = n + 0 = n.)Stepenovawe:18 18 mn = m · . . . ·m︸ ︷︷ ︸
n puta
∣∣∣∣∣ m0 = 1mn+1 = mn · n
16 UML
Faktorijel:19 19 m! = 1 · 2 · . . . ·m∣∣∣∣∣ 0! = 1(m + 1)! = m! · (m + 1)
Binomni koeficijenti ( ·2):∣∣∣∣∣ (02) = 1
(m+12 ) = (m
2 ) + m
H Induktivno (rekurzivno) zadati nizovi
Princip matemati~ke indukcije smo koristili kao metod da
doka`emo niz tvrdwewa S(0), S(1), S(2), S(3), . . . tako {to:(BI) doka`emo S(0);
(IK) doka`emo S(n + 1) koriste}i pretpostavku S(n), za svako n.Istovetnuideju koristimodainduktivno (rekurzivno) defini{emo
niz (brojeva, ili nekih drugih objekata) S0, S1, S2, S3, . . . tako{to:
(BI) defini{emo S0;
(IK) defini{emo Sn+1 koriste}i vrednost Sn, za svako n.
Osobine induktivno zadatih nizova veoma ~esto dokazujemo
primenom principa matemati~ke indukcije, {to }emo ~initi
dosta puta u ovoj kwizi. U nastavku navodimo nekoliko tipi~nih
primera.
PRIMER 10. Nije te{ko uo~iti pravilo koje odre|uje niz brojeva:
b0 = 1007, b1 = 10017, b2 = 100117, . . . , bn = 100 11 · · · 1︸ ︷︷ ︸n puta
7, . . .
Ipak nije sasvim �ocigledno da je svaki ~lan ovog niza deqiv sa 53.Direktno, deqewem se uveravamo da to va`i za prvih nekoliko ~lanova
1007 : 53 = 19, 10017 : 53 = 189, 100117 : 53 = 1889, 1001117 : 53 = 18889, . . .
Da bismo pokazali da su i svi ostali ~lanovi niza deqivi sa 53, naj-jednostavnije je uo~iti kako se svaki ~lan niza, po~ev od drugog, dobija
iz prethodnog, tj. opisati vezu izme|u bn i bn+1:
bn+1 = (bn − 6) · 10 + 7 = 10bn − 53.
Oslawaju}i se na induktivnu definiciju niza∣∣∣∣∣ b0 = 1007bn+1 = 10bn − 53
tvr|ewe da 53 | bn (53 deli bn), za svako n dokazujemo matemati~kom
indukcijom.
(BI) 53 | 1007, jer je 1007 : 53 = 19;(IP) Pretpostavimo da 53 | bn.
Iz jednakosti bn+1 = 10bn − 53 i (induktivne) pretpostavke 53 | bn
sledi da 53 | bn+1.
UML 17
PRIMER 11. Jednakost 1 + 2 + · · · + n =n · (n + 1)
2, za bilo koje
n > 1, bila je poznata i starogr~kim matemati~arima. Pitagorejci
(sledbenici Pitagore) su zbirove prvih n prirodnih prirodnih bro-
jeva nazivali trougaonim brojevima.
Na osnovu slike iznad jednostavno
uo~avamo jednakosti:
Tn + (n + 1) + Tn = (n + 1)2, tj.
Tn = 1 + 2 + · · ·+ n =n(n + 1)
2.
Ako Tn ozna~ava n-ti trougaoni broj, posmatrawem prethodne slike,
jasno se uo~ava:
� prvi trougaoni broj je 1, tj. T1 = 1
� kadanan-ti trougaonibroj dodamon + 1dobijamo (n + 1)-i trougaoni
broj, tj. Tn+1 = Tn + n + 1.
Niz trougaonih brojeva se rekurzivno defini{e slede}im jednakos- Za rekurentno zadate nizove, ~esto je
veoma korisno odrediti jednakost kojom
se odre|uju ~lanove niza u zavisnosti
samo od pozicija na kojima nalaze; nar-
avno, n-ti ~lanniza se nalazinapozicijin.
tima: ∣∣∣∣∣ T1 = 1Tn+1 = Tn + n + 1
Ostavqamo za ve`budokazmatemati~komindukcijomda jeTn =n · (n + 1)
2,
za svako n > 1.
PRIMER 12. U ravni je konstruisano n pravih tako da nikoje dve nisu
paralelne, niti se neke tri seku u jednoj ta~ki. Na koliko oblasti je
podeqena ravan konstruisanim pravama?
Neka je An broj oblasti na koje n konstruisanih pravih dele ravan.
Nije te{ko uo~iti da je: A0 = 1, A1 = 2, A2 = 4, A3 = 7, . . .
Izvodimo nekoliko op{tih zakqu~aka:
� Ako je nacrtano n pravih, nova prava (kon-
struisana tako da budu ispuweni uslovi
zadatka) se~e datih n pravih u n ta~aka.
� Nova prava je ovim ta~kama podeqena na
n + 1 delova i svaki od tih delova se nalaziu jednoj od oblasti na koje n pravih dele
ravan.
� Svaka od tih n + 1 oblasti novom pravom
je podeqena na dve oblasti.
18 UML
Dakle, ako je nacrtano n pravih, crtawem nove prave broj oblasti se
pove}ava za n + 1: An+1 = An + (n + 1).
An = An−1 + n
= An−2 + (n− 1) + n...
= A1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n
= A0 + 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n
= 1 + 1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n
= 1 +n(n + 1)
2=
n2 + n + 22
UML 19
3. Formalne gramatike.
Formalne teorijeHFormalne gramatike - osnovni pojmovi i primeri
Princip induktivnog (rekurzivnog) definisawa (i dokazivawa)
~uveni ameri~ki lingvista Noam ^omski je prepoznao i kao uni-
verzalni princip na kome po~ivaju govorni jezici. Ispostavqa
se da je princip rekurzije temeqni princip i jezi~ke strukture.
Ova ~iwenica le`i u osnovi razvoja ve{ta~kih (formalnih)
jezika me|u kojima se posebno zna~ajno mesto zauzimaju program-
ski jezici. U nastavku izdvajamo osnovne ideje.
Polazi{te u razvoju bilo kog formalnog jezika predstavqa
izbor alfabeta. Uop{teno, pod alfabetom Σ podrazumevamo
bilo koji neprazan kona~an skup ~ije elemente nazivamo sim-
bolima. Svaki alfabet koristimo da bismo napisali neki tekst. Ra~unari rade sa tekstovima koje
mo`emo posmatrati kao nizove simbola
nad nekim zadatim alfabetom (koji ~ine
svi znaci koji se mogu otkucati na tas-
taturi). Programi su tekstovi nad al-
fabetom tastature, ulazi i izlazi su
tako|e neki tekstovi nad istim alfa-
betom, pri ~emu program transformi{e
ulazni tekst u izlazni.
Navodimo nekoliko poznatih alfabeta:
� ΣU = {1} � unarni alfabet, koji sadr`i samo jedan simbol;
� Σ2 = {0, 1} � binarni alfabet, veoma va`an za ra~unarstvo;
� Σlat = {a, b, c, . . . , z} � mala slova latinica;
� Σkeyboard = {A, a, B, b, . . . , Z, z,t,>,<, (, ), . . . , !} je alfabet svihsimbola tastature, pri ~emu t ozna~ava blanko znak;
Ako je Σ alfabet, za m > 2, Σm je skup svih kona~nih nizova Σ02 = {ε}, Σ1
2 = {0, 1},Σ2
2 = {00, 01, 10, 11},...
Σ∗2 = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . .}Σ+
2 = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . .}
du`ine m. Kona~an niz a1, . . . , am du`ine m, nazivamo i
� re~ nad Σ du`ine m i tada pi{emo a1 · · · am (izostavqamo za-
pete), ili
� ure|ena m-torka i tada pi{emo (a1, · · · , am).
Skup Σ1, tj. skup svih re~i nad Σ du`ine 1, identifikujemosa skupom Σ. Skup Σ0 je jedno~lani skup ~iji }emo element
ozna~avati sa ε i pri tome }emo smatrati da je i ε re~ nad Σi to prazna re~. Skup svih re~i nad alfabetom Σ ozna~avamo
Σ∗. Ako w ∈ Σ∗, tada jedinstveni m takav da w ∈ Σm nazivamo
du`inom re~i w i pi{emo |w| = m. Primetimo da ako alfabet
Σ sadr`i k simbola, onda skup Σm sadr`i km re~i.
Razvojra~una sa re~ima danas zauzima zna~ajnomesto u algebri,
logici, geometriji, ra~unarstvu. Osnovu svih tih ra~una ~ine
pravila za transformaciju re~i.
Svaki par re~i u iw, nad nekim alfabetomΣ, odre|uje pravilokoje se ozna~ava u→ w (ili [u/w]). Svako pravilo ~ine dve re~i:
20 UML
re~ sa leve strane nazivamo prethodnikom, a re~ sa desne strane
sledbenikom. Pravilo u → w mo`emo primeniti na svaku re~
v koja kao podre~ sadr`i u, tj. na re~ v koja je oblika v1uv2, za
neke (mo`da prazne) re~i v1 i v2. Primena pravila podrazumeva
da podre~ u zamenimo re~ju w; pi{emo:
v1uv2 → v1wv2.
Kada je zadat neki kona~an skup pravila, ka`emo da se iz v izvodire~ v′, ako postoji kona~an niz re~i
v = v0 → v1 → v2 → · · · → v′
takav da je svaka re~, po~ev{i od druge, dobijena primenom nekog
od pravila na re~ koja joj prethodi. Dozvoqena su i pravila
slede}eg oblika:
� u→ ε, tj. brisawe podre~i u;
� ε→ v, tj. umetawe re~i v na bilo kom mestu.
PRIMER 13. Za alfabet Σ = {a, b} posmatramo dva pravila ab → aai ba→ bb. Evo jednog izvo|ewa re~i aaa iz aba: U svakoj re~i, podre~ ab mo`emo za-
meniti sa aa, a podre~ ba mo`emo za-
meniti sa bb.aba→ abb→ aab→ aaa
Mo`e li se, primenom datih pravila, iz aaabb izvesti aaaaa? Mo`e li
se iz aaabb izvesti bbbbb?
PRIMER 14. Tzv. L-sistemi (Lindermajerov sistemi) zasnovani su
na formalnim gramatikama kojima se opisuje morfologija i rast or-
ganizama. Svaki L-sistem odre|en je spiskom pravila koja sa leve
strane sadr`e samo jedan simbol. Osnovna karakteristika L-sistemajeste na~in generisawa re~i: jedna re~ se bira za po~etku (i ponekada
se naziva aksiomom), a zatim se u svakom koraku generi{e nova re~
tako {to se na prethodnu re~ istovremeno primene sva mogu}a pravila.
Ukratko prikazujemo nekoliko poznatih L-sistema.1) Lindermajerov izvorni L-sistem za modelovawe rasta algi:
alfabet: A, Baksioma: Apravila: A→ AB, B→ A
n = 0: An = 1: ABn = 2: ABAn = 3: ABAABn = 4: ABAABABAn = 5: ABAABABAABAAB
UML 21
n = 6: ABAABABAABAABABAABABAn = 7: ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB
Polaze}i od A, generi{emo niz re~i: u svakoj dobijenoj re~i redom
slovo A mewamo sa AB, a slovo B slovom A. Re~i ovog niza nazi-
vamoFibona~ijevim re~ima. Primetimo da du`ina ovih re~i odre|uje
~uveni Fibona~ijev niz: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .2) Naraedni L-sistem odre|uje tzv. Kantorov fraktalni skup realne
prave.
alfabet: A, Baksioma: Apravila: A→ ABA, B→ BBB
n = 0: An = 1: ABAn = 2: ABABBBABAn = 3: ABABBBABABBBBBBBBBABABBBABA...
Ako A zna~i 'crtaj', a B zna~i 'presko~i', dobijamo slede}u sliku:
3) Opi{imo i L-sistem koji generi{e Kohovu krivu:alfabet: F, +, −aksioma: Fpravila: F → F + F− F− F + F
n = 0: Fn = 1: F + F− F− F + Fn = 2: F + F − F − F + F + F + F − F − F + F − F + F −F− F + F− F + F− F− F + F + F + F− F− F + Fn = 3: F + F − F − F + F + F + F − F − F + F − F + F −F− F + F− F + F− F− F + F + F + F− F− F + F + F +
F− F− F + F + F + F− F− F + F− F + F− F− F + F−F + F− F− F + F + F + F− F− F + F− F + F− F− F +
F + F + F− F− F + F− F + F− F− F + F− F + F− F−F + F + F + F− F− F + F− F + F− F− F + F + F + F−F− F + F− F + F− F− F + F− F + F− F− F + F + F +
F− F− F + F + F + F− F− F + F + F + F− F− F + F−F + F− F− F + F− F + F− F− F + F + F + F− F− F + F
Ako uvedemo slede}a zna~ewa simbola alfabeta:
F zna~i 'crtaj pravo',
+ zna~i 'skreni levo za 90◦',− zna~i 'skreni desno za 90◦'
dobijene re~i opisuju prikazane Kohove krive.
Definicija 3. Formalna gramatika je odre|enapravilimanad al-
fabetima ~iji su simboli razdvojeni na tzv. promenqive i termi-
22 UML
nale; pri ~emu je jedna promenqiva izdvojena kao polazni simbol.
Jezik odre|en formalnom gramatikom jeste skup svih re~i nad al-
fabetom terminala koje se mogu izvesti iz polaznog simbola.
Navodimo nekoliko primera formalnih gramatika.
PRIMER 15. 1) Palindrom je re~ koja se jednako ~ita i sleva nadesno i
zdesna nalevo. Palindromi nad {0, 1} su: 0, 010, 010010, itd. Naravno,i prazna re~ je palindrom. Skup P svih palindroma (ukqu~uju}i i
praznu re~) nad {0, 1} induktivno defini{emo na slede}i na~in:
� ε, 0 i 1 su palindromi (ε, 0, 1 ∈ P); Podse}amo, ε je prazna re~.
� ako je w palindrom, onda su to i 0w0 i 1w1 (ako w ∈ P, onda0w0, 1w1 ∈ P).
Ovoj induktivnoj definiciji, u potpunosti odgovaraju slede}a pravila
nad alfabetom {P, 0, 1}, gde je P promenqiva, a 0 i 1 terminali:
P→ ε P→ 0 P→ 1 P→ 0P0 P→ 1P1
Polaze}i od simbola P mo`emo izvesti bilo koji palindrom. Izvedi-
mo, na primer 0010100:P → 0P0 [primenom P→ 0P0]
→ 00P00 [primenom P→ 0P0]
→ 001P100 [primenom P→ 1P1]
→ 0010100 [primenom P→ 0]2) Posmatrajmo slede}a pravila nad alfabetom {I, +,−, x, y, z, (, )},
gde je I promenqiva, a ostali simboli su terminali: Spisak navedenih pravila prati slede}u
induktivnu definiciju skupa I svih
izraza navedenog oblika:
� promenqive x, y, z, i simboli 0 i 1 suizrazi (x, y, z, 0, 1 ∈ I);
� ako je α izraz, onda je i −α izraz (tj.
ako α ∈ I, onda i −α ∈ I);
� ako su α i β izrazi, onda je (α + β)izraz (tj. ako α, β ∈ I, onda i (α +β) ∈ I).
I → x I → y I → z I → 0 I → 1 I → −I I → (I + I)
Budu}i da sva pravila sa leve strane imaju isti simbol I, sve zajedno ihkra}e zapisujemo na slede}i na~in:
(∗) I → x | y | z | 0 | 1 | −I | (I + I).
Nije te{ko uo~iti da iz simbola I mo`emo izvesti bilo koji izraz
u kome se pojavquju promenqive x, y ili z, konstante 0 ili 1, znakza sabirawe, i znak za suprotni broj, uz uobi~ajenu upotrebu zagrada.
Izvedimo, na primer izraz −(1 + x):
I → −I [primenom I → −I]→ −(I + I) [primenom I → (I + I)]→ −(1 + I) [primenom I → 1]
→ −(1 + x) [primenom I → x]3)Nadalfabetom {F,⇒,¬,>,⊥, p, q, r, (, )}posmatramo slede}aprav-
ila:
F → > F → ⊥ F → p F → q F → r F → ¬F F → (F ⇒ F)
Nije te{ko uo~iti da iz simbola F mo`emo izvesti bilo koja iskazna
formula sa slovima p, q ili r, logi~kim konstantama > i ⊥, i u kojoj
UML 23
se od veznika pojavquju samo negacija i implikacija. Izvedimo, na
primer formulu ¬(q⇒ p):
F → ¬F [primenom F → ¬F]
→ ¬(F ⇒ F) [primenom F → (F ⇒ F)]
→ ¬(q⇒ F) [primenom F → q]
→ ¬(q⇒ r) [primenom F → r]^esto se promenqive ozna~avaju nekom karakteristi~nom skra}eni-
com (ili ~tiavom re~ju) umesto jednim slovom. Na primer, umesto Fpogodnije je pisati skra}enicu For. Uz ovo zna~avawe, pravila
For→ > | ⊥ | p | q | r | ¬For | (For⇒ For)
odslikavaju induktivnu definiciju skupa For iskaznih formula nave-denog oblika.
4)27 Navodimo gramatiku koja generi{e jedan fragment Engleske gra- 27 Gramatika je preuzeta sa takmi~wa
NACLO - North American Computa-tional Linguistics Olympiad
matike. Primetimo da alfabet ove gramatike ~ine ~itave re~i zajedno
sa razmakom.
(1) Sentence→ NounPhrase Verb NounPhrase
(2) NounPhrase→ Noun
(3) NounPhrase→ Adjective NounPhrase
(4) Noun→ people (5) Verb→ love(6) Adjective→ good (7) Adjective→ charming(8) Adjective→ happy (9) Adjective→ bad(10) Adjective→ obnoxious (11) Adjective→ unhappy[ta ozna~avaju navedena pravila? Na primer, pravilo (1) opisuje
kako sastavqamo Sentence: najpre navodimo NounPhrase, zatim razmak,
pa Verb, jo{ jedan razmak i najzad NounPhrase. Pravila (2) i (3) opisuju
dve mogu}nosti da se sastavi NounPhrase: to mo`e biti samo Noun,
ili se sastavqa tako {to se na Adjective nadove`e razmak i neka druga
NounPhrase. Pravila (4�11) predstavqaju re~nik, koji sadr`i jednu
imenicu Noun (4), jedan glagol Verb (5) i {est prideva Adjectives (6�11).
Izvedimo re~enicu:
happy people love charming bad people
Sentence → NounPhrase Verb NounPhrase
→ Adjective NounPhrase Verb NounPhrase
→ Adjective Noun Verb NounPhrase
→ Adjective Noun Verb Adjective NounPhrase
→ Adjective Noun Verb Adjective Adjective NounPhrase
→ Adjective Noun Verb Adjective Adjective Noun
→...
→ happy people love bad charming people
HFormalne teorije
Prethodna razmatrawa nas dovode do centralnog koncepta ove
lekcije. Formalnu teoriju ~ine:
� alfabet Σ (skup simbola, koji ne mora biti kona~an);
24 UML
� skup formula For ⊆ Σ∗ (koji je uglavnom odre|en nekom gra-
matikom);
� skupom aksioma Ax ⊆ For (iz skupa svih formula izdvajamo
neke formule koje }emo smatrati aksiomama);
� skupom pravila izvo|ewa P oblika:
(P) :α1 · · · αn
α,
gde α1, . . . , αn, α ozna~avaju neke formule iz For; formuleα1, . . . , αn nazivaju se premise (pretpostavke), a formula α
zakqu~ak pravila.
Prilikom zadavawanekeformalne teorijeF, navodimo sva ~etiri
skupa koja odre|uju tu teoriju i pi{emo F = (Σ, For, Ax,P).
Definicija 4. Kona~annizformula ϕ1, . . . , ϕk je izvo|ewe (dokaz)
uformalnoj teoriji ako svakaformula ϕi, i = 1, n, ispuwava jedanod uslova:
1. ϕi je aksioma, ili
2. ϕi semo`edobitiiznekihodprethodnihformulaniza ϕ1, . . . , ϕi−1
primenom nekog od pravila izvo|ewa iz P.
Formula ϕ je teorema formalne teorije F, u oznaci `F ϕ ako
postoji izvo|ewe u toj teoriji ~iji je posledwi ~lan formula ϕ.
Ako je iz konteksta jasno o kojoj formalnoj teoriji je re~,
umesto `F ϕ kra}e pi{emo ` ϕ. Uop{teno govore}i, formalne
sisteme posmatramo kao ma{ine za proizvodwu teorema.
PRIMER 16. Formalna teorija F odre|ena je na slede}i na~in:
� alfabet: {|, +, =};
� formule su sve re~i oblika x + y = z, gde su x, y, z re~i zapisane
samo simbolom |;
� jedina aksioma je | + |=||;
� pravila izvo|ewa su:
(R1)x + y = z
x|+ y = z| (R2)x + y = zy + x = z
Doka`imo `F ||+ ||| = |||||:1. |+ | = || aksioma
2. ||+ | = ||| primenom pravila (R1) na formulu 1.
3. |||+ | = |||| primenom pravila (R1) na formulu 2.
4. |+ ||| = |||| primenom pravila (R2) na formulu 3.
5. ||+ ||| = ||||| primenom pravila (R1) na formulu 4.
UML 25
H Iskazni ra~un ŁPosebnoizdvajamoformalnu teoriju poznatu kao (Luka{ijevi~ev)
iskazni ra~un Ł:
� alfabet ~ine logi~ki veznici⇒,¬, zagrade (, ) i iskazna slova
p, q, r, . . . , pn, qn, rn, . . .;
� formule su sve iskazne formule izgra|ene na uobi~ejni na~in
(u kojima se pojavquju samo simboli uvdeneog afabeta);
� aksiome su slede}eg oblika:
A1 α⇒ (β⇒ α)
A2 (α⇒ (β⇒ γ))⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))
A3 (¬β⇒ ¬α)⇒ (α⇒ β)
gde su α, β, γ proizvoqne formule;
� jedino pravilo izvo|ewa je modus ponens:
α α⇒ β
β(MP)
gde su α, β proizvoqne formule.
Lema 1. `Ł α⇒ α, za bilo koju formulu α.
DOKAZ.
1. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) aksioma A2
2. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) aksioma A1
3. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) MP(1, 2)
4. α⇒ (α⇒ α) aksioma A1
5. α⇒ α MP(3, 4)Navedeni niz formula je izvo|ewe formule α⇒ α u ra~unu Ł.
Prirodno se name}e problem �opisati sve teoreme ra~una Ł�.Ispostavqa se da je iskazna formula ϕ (nad alfabetom ra~una Ł)teorema, tj. `Ł ϕ akko je ϕ tautologija. Poznato je da se iskazni
veznici ∨, ∧,⇔ mogu izraziti pomo}u⇒ i ¬: Skup {⇒,¬} je potpun sistem veznika.
α ∨ β ≡ ¬α⇒ β
α ∧ β ≡ ¬α ∨ ¬β
α⇔ β ≡ (α⇒ β) ∧ (β⇒ α)
Samim tim, ra~un Ł je 'ma{ina' za proizvodwu tautologija.
Teorema 7. [Teorema saglasnosti] Ako je `Ł ϕ, onda je ϕ tau-
tologija.
DOKAZ. Dovoqno je dokazati:
� Aksiome A1, A2 i A3 jesu tautologije;
26 UML
� Pravilo izvo|ewa (MP) ~uva tautologije, tj. ako su α i α⇒ β
tautologije, onda je i β tautologija.
Pokaza}emo samo ovo drugo. Ako su α i α⇒ β, ne mo`e posto-
jati valuacija za koju bi formula β bila neta~na. Ukoliko bi za
neku valuaciju β bilo neta~no, za tu valuaciju bi α bilo ta~no
(jer je α tautologija), pa bi implikacija α⇒ β bila neta~na {to
je nemogu}e, jer je α⇒ β tautologija.
Va`i i obrat prethodne teoreme: u formalnoj teorijiŁmogu se
izvesti samo tautologije. Da bismo to dokazali uvodimo koncept
izvo|ewa iz hipoteza i dokazujemo jedno veoma va`no tvr|ewe.
Definicija 5. Neka je F = (Σ, For, Ax,P) formalna teorija i
Γ ⊆ For. Kona~an niz formula ϕ1, . . . , ϕk je izvo|ewe iz hipoteza
Γ u formalnoj teoriji F ako svaka formula ϕi, i = 1, n, ispuwavajedan od uslova:
1. ϕi je aksioma, ili
2. ϕi je hipoteza (tj. formula iz Γ), ili
3. ϕi semo`edobitiiznekihodprethodnihformulaniza ϕ1, . . . , ϕi−1
primenom nekog od pravila izvo|ewa iz P.
Formula ϕ je posledica hipoteza Γ, u oznaci Γ `F ϕ akopostoji
izvo|ewe iz Γ ~iji je posledwi ~lan formula ϕ.
Lema 2. 1) Ako je Γ `Ł ϕ, onda Γ, θ `Ł ϕ, za bilo koju formulu θ.
2) Ako je Γ `Ł θ i θ `Ł ϕ, onda Γ `Ł ϕ.
DOKAZ. Tvr|ewe 1) je o~igledno. 2) Nadovezivawem izvo|ewa
Γ `Ł θ i izvo|ewa θ `Ł ϕ, dobijamo izvo|ewe Γ `Ł ϕ.
Teorema 8. [Stav dedukcije] Ako je Γ neki skup formula i neka su
α, β proizvoqne formule.
Γ, α `Ł β akko Γ `Ł α⇒ β
DOKAZ. (←) Dokazujemo prvo jednostavniji deo, da iz Γ `Ł α⇒ β
sledi Γ, α `Ł β.
Pretpostavimo da Γ `Ł α ⇒ β. Neka je ϕ1, . . . , ϕm izvo|ewe
formule α ⇒ β iz Γ (pri ~emu je, naravno, ϕm formula α ⇒ β).
Tada je slede}i niz formula izvo|ewe formule β iz Γ, α:
1. ϕ1...
m. α⇒ β
(m + 1). α hipoteza
(m + 2). β MP(m + 1, m)
UML 27
(→) Pretpostavimo Γ, α `Ł β. Treba da doka`emo da Γ `Ł α⇒ β. Vode}a zamisao u dokazu ovog dela jeste
kako izvo|ewe Γ, α `Ł β preraditi u
izvo|ewe Γ `Ł α ⇒ β. Tu preradu odre-|ujemo indukcijom po du`ini izvo|ewa
Γ, α `Ł β.
Dokaz sprovodimo indukcijom po du`ini izvo|ewa formule β
iz hipoteza Γ, α.
(BI) Pretpostavimo da se izvo|ewa formule β iz hipoteza Γ, α
sastoji iz samo jedne formule. Tada ta jedina formula u izvo|ewu
mora biti upravo formula β. Samim tim β je aksioma ili je β
hipoteza, tj. β ∈ Γ ∪ {α}. Dakle, mogu} je jedan od slede}a tri
slu~aja:
� β je aksioma � tada je slede}i niz formula izvo|ewe formule
α⇒ β iz Γ:1. β aksioma
2. β⇒ (α⇒ β) aksioma A1
3. α⇒ β MP(1, 2)
� β pripada Γ � sli~no kao u prethodnom slu~aju dobijamo izvo-
|ewe formule α⇒ β iz Γ:1. β hipoteza
2. β⇒ (α⇒ β) aksioma A1
3. α⇒ β MP(1, 2)
� β je zapravo formula α � onda, prema prethodnoj lemi`Ł α⇒ α,
a samim tim i Γ `Ł α⇒ α.
(IP) Pretpostavimo da za svako k < n, ako postoji izvo|ewe
formule β du`ine k iz Γ, α, onda postoji izvo|ewe formule α⇒ β
iz Γ.Neka je ϕ1, . . . , ϕn izvo|ewe du`ine n formule β iz Γ, α; dakle
ϕn je formula β. Tada, prema prethodnoj definiciji: (1◦) β je
aksioma, ili (2◦) β pripada Γ, ili (3◦) β je formula α, ili
(4◦) β je dobijena primenom (MP) neke formule ϕi i ϕj, za neke
i, j < n, pri ~emu je formula ϕj zapravo ϕi ⇒ β.
U slu~ajevima (1◦), (2◦), (3◦) zakqu~ujemo kao u bazi indukcije.
Preostaje da razmotrimo slu~aj (4◦). Tada izvo|ewe ima slede}ioblik:1. ϕ1
...
i. ϕi...
j. ϕi ⇒ β...
n. β MP(i, j)Prvih i formula predstavqaju izvo|ewe za ϕi iz Γ, α, dok prvih
j formula ~ine izvo|ewe za ϕi ⇒ β iz Γ, α. Prema induktivnoj
hipotezi (i, j < n) postoje izvo|ewa i za α⇒ ϕi i za α⇒ (ϕi ⇒ β)
28 UML
iz skupa hipoteza Γ:ψ1, . . . , ψ`, pri ~emu je ψ` formula α⇒ ϕi
θ1, . . . , θk, pri ~emu je θk formula α ⇒ (ϕi ⇒ β). Slede}i niz
formula ~ini izvo|ewe formule α⇒ β iz Γ:1. ψ1
...
`. α⇒ ϕi
(` + 1). θ1...
(` + k). α⇒ (ϕi ⇒ β)
(` + k + 1). (α⇒ (ϕi ⇒ β))⇒ ((α⇒ ϕi)⇒ (α⇒ β)) aksioma A2
(` + k + 2). (α⇒ ϕi)⇒ (α⇒ β) MP(` + k, ` + k + 1)
(` + k + 3). α⇒ β MP(`, ` + k + 2)Dakle, za svako izvo|ewe formule β iz Γ, α, postoji izvo|ewe for-
mule α⇒ β iz Γ.
Lema 3. U iskaznom ra~unu Ł dokazati: Koristiti stav dedukcije kada god je to
pogodno.(i) α⇒ β, β⇒ γ `Ł α⇒ γ
(ii) `Ł α⇒ β⇒ ((β⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))
(iii) α,¬α `Ł β
(iv) `Ł ¬¬α⇒ α
(v) ` α⇒ ¬¬α
(vi) `Ł (α⇒ β)⇒ (¬β⇒ ¬α)
(vii) α⇒ β,¬α⇒ β `Ł β
(viii) α, β `Ł α⇒ β
(ix) α,¬β `Ł ¬(α⇒ β)
(x) ¬α, β `Ł α⇒ β
(xi) ¬α,¬β `Ł α⇒ β
DOKAZ.
(i) Dovoqno je dokazati α ⇒ β, β ⇒ γ, α `Ł γ (prema stavu
dedukcije):
1. α⇒ β hipoteza
2. α hipoteza
3. β MP(1, 2)
4. β⇒ γ hipoteza
5. γ MP(3, 4)Upravo dokazano tvr|ewe dozvoqava da u izvo|ewima koristimo
pravilo:
α⇒ β β⇒ γ
α⇒ γ(T)
koje obele`amo (T) i nazivamo tranzitivnost implikacije.
(iii)Dokazujemo da 'iz protivre~nih tvrdwimo`emo izvesti bilokoji zakqu~ak':
UML 29
1. ¬α hipoteza
2. α hipoteza
3. ¬α⇒ (¬β⇒ ¬α) A1
4. ¬β⇒ ¬α MP(2, 3)
5. (¬β⇒ ¬α)⇒ (α⇒ β) A3
6. α⇒ β MP(4, 5)
7. β MP(1, 6)Primetimo da prema stavu dedukcije: va`i i `Ł ¬α⇒ (α⇒ β).
(iv) Doka`imo ¬¬α `Ł α
1. ¬¬α hipoteza
2. ¬¬α⇒ (¬α⇒ ¬¬¬α) posledica tvr|ewa (iii) i stava dedukcije3. ¬α⇒ ¬¬¬α MP(1, 2)
4. (¬α⇒ ¬¬¬α)⇒ (¬¬α⇒ α) A3
5. (¬β⇒ ¬α)⇒ (α⇒ β) A3
6. ¬¬α⇒ α MP(4, 5)
7. α MP(1, 6)(vi) Dokazujemo α⇒ β `Ł ¬β⇒ ¬α
1. α⇒ β hipoteza
2. (¬¬α⇒ ¬¬β)⇒ (¬β⇒ ¬α) A3
3. ¬¬α⇒ α prema (iv)
4. ¬¬α⇒ β prema (i); T(3, 1)
5. β⇒ ¬¬β prema (v)
6. ¬¬α⇒ ¬¬β prema (i); T(4, 5)
7. ¬β⇒ ¬α MP(6, 2)(vii) Dokazujemo α⇒ β,¬α⇒ β `Ł β
1. α⇒ β hipoteza
2. ¬α⇒ β hipoteza
3. ¬β⇒ ¬α prema (vi)4. ¬β⇒ β prema (i); T(3, 2)
5. ¬β⇒ (β⇒ ¬(β⇒ β)) prema (iii) i stavu dedukcije (dva puta)6. ¬β⇒ (β⇒ ¬(β⇒ β))⇒ ((¬β⇒ β)⇒ (¬β⇒ ¬(β⇒ β))) A2
7. (¬β⇒ β)⇒ (¬β⇒ ¬(β⇒ β)) MP(5, 6)
8. ¬β⇒ ¬(β⇒ β) MP(4, 7)
9. (¬β⇒ ¬(β⇒ β))⇒ ((β⇒ β)⇒ β) A3
10. (β⇒ β)⇒ β MP(8, 9)
11. β⇒ β Lema 1
12. β MP(11, 10)(viii)1. α hipoteza
2. β hipoteza
3. β⇒ (α⇒ β) A1
4. α⇒ β MP(2, 3)
5. β MP(1, 4)
30 UML
(ix)
1. α hipoteza
2. ¬β hipoteza
3. α⇒ ((α⇒ β)⇒ β) iz α, α⇒ β `Ł β i stavu dedukcije
4. (α⇒ β)⇒ β MP(1, 3)
4. ¬β⇒ ¬(α⇒ β) prema (vi)5. ¬(α⇒ β) MP(2, 5)
(x)-(xi) Prema (iii) va`i ¬α `Ł α ⇒ β, pa samim tim va`i i
¬α, β `Ł α⇒ β i ¬α,¬β `Ł α⇒ β.
Posebno isti~emo tvr|ewa (viii)-(xi) prethodne leme.
(viii) α, β ` α⇒ β
(ix) α, ¬β ` ¬(α⇒ β)
(x) ¬α, β ` α⇒ β
(xi) ¬α, ¬β ` α⇒ β
α β α⇒ β
1 1 11 0 00 1 10 0 1
Ako je v neka valuacija iskaznih slova i ϕ proizvoqna for-
mula, neka je v(ϕ) istinitosna vrednost formule ϕ pri valuaciji
v i
ϕv =
{ϕ, ako je v(ϕ) = 1,¬ϕ, ako je v(ϕ) = 0.
Uz ove oznake, tvr|ewa (viii)-(xi) sa`eto iskazujemo u slede}oj
posledici.
Posledica 1. Ako je v valuacija, α, β iskazne formule, onda
αv, βv `Ł (α⇒ β)v.
Posledica 2. Neka je ϕ neka formula u kojoj se pojavquju samo
(ne nu`no sva) slova p1, . . . , pk. Tada za svaku valuaciju v va`i:
pv1, . . . , pv
k `Ł ϕv.
DOKAZ. Indukcijom po slo`enosti formule.
(BI) Tvr|ewe o~igledno va`i ako je ϕ iskazno slovo.
(IP)Pretpostavimo da tvr|ewe va`i za sve formule koje su mawe
slo`enosti od ϕ.
Neka je ϕ oblika ¬α. Prema (IP): pv1, . . . , pv
k `Ł αv. Razliku-
jemo dva slu~aja.
1. slu~aj: Ako je v(α) = 0, onda je αv = ¬α i v(ϕ) = 1, pa jeϕv = ϕ = ¬α, i tvr|ewe je dokazano.
2. slu~aj: Ako je v(α) = 1, onda je αv = α i v(ϕ) = 0, pa je
ϕv = ¬ϕ. Iz pv1, . . . , pv
k `Ł α dobijamo pv1, . . . , pv
k `Ł ¬¬α, odnosno
pv1, . . . , pv
k `Ł ¬ϕ (tj. pv1, . . . , pv
k ` ϕv)
Neka je ϕ oblika α ⇒ β. Prema induktivnoj pretpostavci je
pv1, . . . , pv
k `Ł αv i pv1, . . . , pv
k `Ł βv. Kada primenimo posledicu 1
dobijamo pv1, . . . , pv
k `Ł (α⇒ β)v, tj. pv1, . . . , pv
k `Ł ϕv.
Teorema 9. [Teorema potpunosti] Ako je ϕ tautologija, onda `Ł ϕ.
UML 31
DOKAZ. Neka su p1, . . . , pk slova koja se pojavquju u ϕ. Za bilo
koju valuaciju v slova p1, . . . , pk va`i ϕv = ϕ, kao i (posledica
2) pv1, . . . , pv
k ` ϕ.
Neka je w proizvoqna valuacija. Tada
pw1 , . . . , pw
k−1, pk ` ϕ i pw1 , . . . , pw
k−1,¬pk ` ϕ,
odnosno Tvr|ewe (vii) prethodne leme opravdavaupotrebu pravila
α⇒ β ¬α⇒ β
β
pw1 , . . . , pw
k−1 ` pk ⇒ ϕ i pw1 , . . . , pw
k−1 ` ¬pk ⇒ ϕ,
odakle sledi pw1 , . . . , pw
k−1 ` ϕ. Nastavqaju}i ovaj postupak, do-
bijamo pw1 , . . . , pw
k−2 ` ϕ itd., do ` ϕ.
32 UML
H Prirodna dedukcija u iskaznoj logici
U iskaznom ra~unu Ł glavnu ulogu u generisawu izvo|ewa imaju:
� pravilo modus ponensα α⇒ β
β, koje odre|uje kako u izvo|e-
wima da koristimo implikacije, tj. formule ~iji je glavni
znak⇒ i
� stav dedukcije � Γ, α ` β akko Γ ` α ⇒ β; Stav dedukcije
utvr|uje kako da dokazujemo implikacije: da bismo dokazali
Γ ` α⇒ β, dovoqno je dokazati Γ, α ` β.
Ova zapa`awa veoma su bliska idejama na kojima je zasnovan jedan
od najpoznatijih formalnih teorija koje karakteri{u iskaznu
logiku � prirodna dedukcija32. Skup aksioma ovog formalnog 32 Ra~un prirodne dedukcije uveo je,
1935. godine, Gerhard Gencen s namerom
da prirodnije opi{e uobi~ajeno za-
kqu~ivawe matemati~ara
sistema je prazan dok su pravila izvo|ewa data slede}im shemama
(u smislu da α, β i γ mogu biti proizvoqne formule):
α β
α ∧ β(∧U)
Uvo|ewe konjunkcije (∧U): iz pretpostavki α, β (direktno) zakqu~ujemo
α∧ β. Mo`emo razmi{qati i ovako: da bismo dokazali α∧ β potrebno
je da doka`emo svaki konjunkt pojedina~no, i α i β. Drugim re~ima
dokaz za α ∧ β dobijamo spajawem dokaza za α i dokaza za β.α ∧ β
α(∧L
E)
α ∧ β
β(∧D
E )
Eliminacija konjunkcije: iz pretpostavke α ∧ β zakqu~ujemo α (odn. β)
primenom pravila (∧LE) (odn. (∧D
E )).
PRIMER 17. Doka`imo sekvent (p ∧ q) ∧ s, r ∧ t ` t ∧ q. Navedeni dokaz mo`emo prikazati i na
slede}i na~in.
r ∧ tt∧D
E
(p ∧ q) ∧ sp ∧ q
∧LE
q∧D
E
t ∧ q∧U
1. (p ∧ q) ∧ s pretpostavka
2. r ∧ t pretpostavka
3. p ∧ q ∧LE, 1 [formula p ∧ q je dobijena primenom pravila ∧L
E na 1.]
4. q ∧DE , 3
5. t ∧DE , 2
6. t ∧ q ∧U, 5, 4
Uvodna razmatrawa najavquju pravila uvo|ewa i eliminacije
implikacije.
α⇒ β α
β(⇒E)
Eliminacija implikacije (odn. modus ponens) (⇒E) opisuje kako se u dokazima
koriste tvrdwe formulisane u obliku imlikacije.
α...
β
α⇒ β(⇒U)
Uvo|ewe implikacije (⇒U): da bismo dokazali implikaciju α ⇒ β treba
uvesti dodatnu (privremenu) pretpostavku α i dokazati β, pri ~emu je u tom
dokazu dozvoqeno koristiti α, sve ostale pretpostavke ime|uzakqu~ke koje smo
ve} izveli. Dokaz formule β nakon uvo|ewa dodatne pretpostavke α isti~emo
vertikalnom crtom i nazivamo poddokazom. Neposredno ispod zavr{etka
vertikalne linije navodimo zakqu~ak α ⇒ β, oznaku pravila (⇒U) i brojeve
kojima su numerisani koraci poddokaza.
UML 33
PRIMER 18. Doka`imo p⇒ q, p⇒ r ` p⇒ q ∧ r1. p⇒ q pretpostavka
2. p⇒ r pretpostavka
3. p dodatna pretpostavka
4. q ⇒E, 1, 3
5. r ⇒E, 2, 3
6. q ∧ r ∧U, 4, 5
7. p⇒ q ∧ r ⇒U, 3-6
... Kada `elimo da doka`emo α⇒ β:
j. α uvodimo dodatnu pretpostavku α...
... i nastojimo da doka`emo β.
k. β Kada uspemo,
k + 1. α⇒ β ⇒U, j-k izvodimo `eqeni zakqu~ak.
α ¬α
⊥ (¬E)Eliminacija negacije (¬E): iz pretpostavki α,¬α izvodimo kontradik-
ciju.
α...
⊥¬α
(¬U)
Uvo|ewe negacije (¬U): ako iz α doka`emo kontradikciju, onda za-
kqu~ujemo ¬α.
⊥α
(⊥E)Pravilo (⊥E): iz kontradikcije mo`e se zakqu~iti bilo {ta, tj. mo`e
se izvesti bilo koja formula.
¬¬α
α(¬¬E)
Pravilo (¬¬E): pravilo (¬¬E) nam dozvoqava da obri{emo dva znaka
negacije.
α
α ∨ β(∨L
U)β
α ∨ β(∨D
U)
Uvo|ewe disjunkcije: iz α (ako smo dokazali α) izvodimo zakqu~ak α ∨β), za bilo koju formulu β, primenom pravila (∨L
U); na isti na~in, iz
β izvodimo zakqu~ak α ∨ β, za bilo koju formulu α, primenom pravila
(∨DU).
α ∨ β
α...
γ
β...
γ
γ(∨E)
Eliminacija disjunkcije (∨E) opisuje na koji na~in u dokazima ko-
ristimo formule oblika α ∨ β? Zamislimo da `elimo da doka`emo γ
pretpostavqaju}i α ∨ β. Budu}i da ne znamo koja je od formula α, β
ta~na (a jedna mora biti), moramo sprovesti dva odvojena dokaza:
- Najpre, pretpostavqamo da je α ta~no i dokazujemo γ.
- Zatim, pretpostavqamo da je β ta~no i dokazujemo γ.
Na osnovu ova dva dokaza i pretpostavke α ∨ β zakqu~ujemo γ, jer dva
poddokaza pokrivaju obe mogu}nosti.
Ekvivalencija dva iskaza α ⇔ β jeste zapravo konjunkcija dve
obratne implikacije (α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α), pa se pravila uvo|ewa
i eliminacije ekvivalencije sama name}u.
α⇒ β β⇒ α
α⇔ β(⇔U)
α⇔ β
α⇒ β(⇔LD
E )α⇔ β
β⇒ α(⇔DL
E )
Navedena pravila karakteri{u dokazivost tzv. sekvenata
ϕ1, . . . , ϕk ` ψ
(tj. dokazivost da iz pretpostavki ϕ1, . . . , ϕk sledi ψ). Sekvente
dokazujemo tako{toformiramoniz koji ~inepretpostavke ϕ1, . . . , ϕk
34 UML
i (me|u)zakqu~ci dobijeni primenom pravila dedukcije na ve}
navedene formule. Postupak zavr{avamo kada dobijemo `eqeni
zakqu~ak ψ, a formirani niz nazivamo dokazom formule ψ iz
pretpostavki ϕ1, . . . , ϕk, odn. dokazom odgovaraju}eg sekventa.
PRIMER 19. Dokazati ` (p⇒ q) ∨ (p⇒ r)⇒ (p⇒ q ∨ r).1. (p⇒ q) ∨ (p⇒ r) dodatna pretpostavka
2. p⇒ q dodatna pretpostavka
3. p dodatna pretpostavka
4. q ⇒E, 2, 3
5. q ∨ r ∨LU, 4
6. p⇒ (q ∨ r) ⇒U, 3-5
7. p⇒ r dodatna pretpostavka
8. p dodatna pretpostavka
9. r ⇒E, 7, 8
10. q ∨ r ∨DU, 9
11. p⇒ (q ∨ r) ⇒U, 7-10
12. p⇒ (q ∨ r) ∨E, 1, 2-6, 7-11
13. (p⇒ q) ∨ (p⇒ r)⇒ (p⇒ q ∨ r) ⇒U, 1-12
Teorema 10. Γ `Ł ϕ akko Γ ` ϕ (je dokaziv sekvent primenom
pravila prirodne dedukcije).
Specijalno, formula ϕ je teorema u ra~unu prirodne dedkucije,
ako je dokaziv sekvent ` ϕ (sa praznim skupom pretpostavki).
Iz prethodne teoreme i teoreme potpunosti zakqu~ujemo da se
pravilima prirodne dedukcije mogu dokazati sve tautologije, i
samo tautologije.
Da bismo pojednostavili dokazivawe sekvanata, spisak prav-
ilapro{irujemo jo{nekimizvedenimpravilima, ~ija se upotreba,
naravno, jednostavno mo`e eliminisati iz svakog dokaza.
α⇒ β ¬β
¬α(MT)
Pravilo modus tolens (MT) mo`e biti veoma korisno pri
upotrebi tvrdwi u obliku implikacije.
1. α⇒ β pretpostavka
2. ¬β pretpostavka
3. α dodatna pret.
4. β ⇒E, 1, 3
5. ⊥ ¬E, 2, 4
6. ¬α ¬U, 3-5
α
¬¬α(¬¬U)
Pravilo (¬¬U) dozvoqava da se ispred svake formule dopi{u
dva znaka negacije.
UML 35
1. α pretpostavka
2. ¬α dodatna pret.
3. ⊥ ¬E, 1, 2
4. ¬¬α ¬U, 2-3
PRIMER 20. Primenu izvedenih pravila jednostavno mo`emo elim-
inisati iz svakog dokaza. To ilustrujemo dokazom sekventa p⇒ ¬q, q `¬p.1. p⇒ ¬q pretpostavka
2. q pretpostavka
3. ¬¬q ¬¬U, 2
4. ¬p MT, 1, 3Bez pravila¬¬U iMT dati sekvent bismo dokazali na slede}i na~in.
1. p⇒ ¬q pretpostavka
2. q pretpostavka
3. ¬q dodatna pretpostavka
4. ⊥ ¬E, 2, 3
5. ¬¬q ¬U, 3-4
6. p dodatna pretpostavka
7. ¬q ⇒E, 1, 6
8. ⊥ ¬E, 2, 7
9. ¬p ¬U, 6-8
Disjunktivni silogizmiα ∨ β ¬α
β(DS)
α ∨ β ¬β
α(DS)
Oba pravila ozna~avamo na isti na~in
jer }e uvek biti o~igledno koje od ova
dva pravila koristimo.
1. α ∨ β pretpostavka
2. ¬α pretpostavka
3. α dodatna pretpostavka
4. ⊥ ¬E, 2, 3
5. β ⊥E, 4
6. β dodatna pretpostavka
7. β ∨E, 1, 3-5, 6
Analogno se dokazuje i sekvent α ∨ β,¬β ` α, za bilo koje
formule α, β.
Tranzitivnost implikacije Zakoni kontrapozicijeα⇒ β β⇒ γ
α⇒ γ(T)
α⇒ β
¬β⇒ ¬α(K)
¬α⇒ ¬β
β⇒ α(K)
1. α⇒ β pretpostavka 1. α⇒ β pretpostavka
2. β⇒ γ pretpostavka 2. ¬β dodatna pret.
3. α dodatna pret. 3. ¬α MT, 1, 24. β ⇒E, 1, 3 4. ¬β⇒ ¬α ⇒U, 2-3
5. γ ⇒E, 2, 4
6. α⇒ γ ⇒U, 3-5
36 UML
Zakon iskqu~ewa tre}eg
( tertium non datur)
α ∨ ¬α(TND)
Prema zakonu iskqu~ewa tre}eg, u dokaz-
ima mo`emo koristiti kao pretpostavku
α ∨ ¬α, za bilo koju formulu α.
1. ¬(α ∨ ¬α) dodatna pretpostavka
2. α dodatna pretpostavka
3. α ∨ ¬α ∨LU, 2
4. ⊥ ¬E, 1, 3
5. ¬α ¬U, 2-4
6. α ∨ ¬α ∨DU, 5
7. ⊥ ¬E, 1, 6
8. ¬¬(α ∨ ¬α) ¬U, 1-7
9. α ∨ ¬α ¬¬E, 8
De Morganovi zakoni
¬α ∨ ¬β
¬(α ∧ β)(DM)
¬α ∧ ¬β
¬(α ∨ β)(DM)
¬(α ∨ β)
¬α ∧ ¬β(DM)
¬(α ∧ β)
¬α ∨ ¬β(DM)
Svako od ova ~etiri pravila nazva}emo De Morganovim za-
konom, jer prilikom primene ne}e biti zabune.
1. ¬α ∨ ¬β pretpostavka 1. ¬α ∧ ¬β pretpostavka
2. α ∧ β dodatna pret. 2. ¬α ∧LE, 1
3. α ∧LE, 2 3. ¬β ∧D
E , 1
4. ¬¬α ¬¬U, 4. α ∨ β dodatna pret.
5. ¬β DS, 1, 4 5. β DS, 2, 46. β ∧D
E , 2 6. ⊥ ¬E, 3, 5
7. ⊥ ¬E, 5, 6 7. ¬(α ∨ β) ¬U, 2-6
8. ¬(α ∧ β) ¬U, 2-7
1. ¬(α ∨ β) pretpostavka 1. ¬(α ∧ β) pretpostavka
2. α dodatna pret. 2. α dodatna pret.
3. α ∨ β ∨LU, 2 3. β dodatna pret.
4. ⊥ ¬E, 1, 3 4. α ∧ β ∧U, 2, 3
5. ¬α ¬U, 2-4 5. ⊥ ¬E, 1, 4
6. β dodatna pret. 6. ¬β ¬U, 3-5
7. α ∨ β ∨DU, 6 7. ¬α ∨ ¬β ∨D
U, 6
8. ⊥ ¬E, 1, 7
9. ¬β ¬U, 6-8 8. ¬α dodatna pret.
10. ¬α ∧ ¬β ∧U, 5, 9 9. ¬α ∨ ¬β ∨LU, 8
10. α ∨ ¬α TND11. ¬α ∨ ¬β ∨E, 10, 2-7, 8-9
UML 37
3. ^istapredikatska logika
Neformalno govore}i, iskazna logika se bavi strukturomre~enica
uzimaju}i u obzir samo na~in na koji su neki jednostavni iskazi
povezani logi~kim veznicima, dok je zna~ewe tih polaznih iskaza
potpuno neva`no. Tako, iskazna logika nije dovoqno izra`ajna
da bi se u woj razmotralo slede}e ~uveno zakqu~ivawe:
Svaki ~ovek je smrtan.
Sokrat je ~ovek.
Dakle, Sokrat je smrtan.
Predikatska logika omogu}ava da razmatramo i smisao po-
laznih iskaza. Pre nego {to detaqno opi{emo pomenutu logiku,
navodimo jedan primer u kome }emo objasniti neke polazne ideje
u razvoju predikatske logike.
PRIMER 21. Prirodni jezici nisu pogodni za precizno izra`avawe
smisla iskaza. Da li re~enica Svaki momak voli jednu devojku zna~i
(1)Postoji jedna devojka koju voli svaki momak ili (2) Za svakog momka
se mo`e prona}i jedna devojka koju on voli?
Potreba da se elimini{u dvosmislenosti prirodnog jezika dovela
je, izme|u ostalog, do uvo|ewa tzv. formalnih jezika ~ije se re~enice
formiraju prema unapred utvr|enim pravilima. Re~enice (1) i (2)
formalno }emo izraziti koriste}i:
� logi~ke veznike (∨, ∧, ¬,⇒,⇔),
� kvantifikatore ∀ � svaki i ∃ � neki,
� promenqive x, y, z, x1, y1, z1, x2, . . . (kojima }emo ozna~avati �proiz-
voqno�, �neodre|eno� qudsko bi}e) i
� pomo}ne znake: zarez i zagrade.
Pored toga, potrebno je da nekim simbolima ozna~imo i osobine biti
momak ibitidevojka, kaoiodnos voleti. Izjavu �x je momak� ozna~avamoM(x), �x je devojka� ozna~avamo D(x), dok V(x, y) zna~i �x voli y�.
Re~enicama (1) i (2) redom odgovaraju slede}e formule:
∃x(D(x) ∧ ∀y(M(y)⇒ V(y, x))) i ∀x(M(x)⇒ ∃y(D(y) ∧V(x, y))),
Navodimo formalizacije jo{ nekoliko re~enica prirodnog jezika.
� Svako voli nekoga � ∀x∃yV(x, y)
� Neko voli svakoga � ∃x∀yV(x, y)
� Neko ne voli nikoga � ∃x∀y¬V(x, y)
38 UML
H Predikatske formule
Jezikpredkatske logike razvijen je u jednomodnajva`nijih logi~kih
dela � u kwi`ici Begriffsschrift (Pojmovno pismo) od stotinak
stranica koje je napisao Gotlob Frege i objavio 1879. godine34. 34 Fregea je, po sopstvenom priznawu,
vodila Lajbnicova ideja o univerzalnom
jeziku, lingua charactera, ~iji je us-
peh le`ao u razboritom izboru simbola.
Fregeov jezik je ve{ta~ki jezik odred-
jen preciznim gramati~kim pravilima,
odnosno sintaksom. Slobodno se mo`e
smatrati da je Begriffsschrift prete~a
svih programskih jezika.
Ovo delo je imalo podnaslov
formalni jezik za ~isto mi{qewe, po uzoru na jezik aritmetike.
Uop{teno govore}i, jezik predikatske logike se odnosi na:
� izvesne objekte o kojima `elimo da govorimo, kao i
� {ta `elimo o wima da govorimo � koja svojstva (osobine) ob-
jekata su nam va`na, i koje veze me|u objektima posmatramo;
svojstva i veze nazivamo predikatima.
Univerzum (univerzum govora) ~ine svi objekti o kojima govo-
rimo. (U prethodnom primeru, univerzum ~ine svi qudi.) Pro-
menqive x, y, z, x1, . . . koristimo da ozna~imo proizvoqne, neo-
dre|ene objekte univerzuma. Pojedine, konkretne, odre|ene objek-
te univerzuma naziva}emo konstantama. (Svaka konkretna osoba
predstavqa neku konstantu univerzuma koji ~ine qudi.)
Pri formirawu predikatskih formula koristimo i unapred
izabrane simbole za osobine objekata i veze me|u wima. Ove sim-
bole nazivamo predikatskim simbolima. Podrazumeva se i da je
svakom predikatskom simbolu pridru`ena tzv. du`ina, tj. broj
objekata na koje se odnosi. (U prethodnom primeru, predikatski
simboli su M, D, V, pri ~emu su wihove du`ine redom 1, 1, 2.)
Naravno, broj i vrsta predikata mogu biti i druga~iji u zavis-
nosti od situacije koju opisujemo. Predikatske simbole du`ine
1 naziva}emo unarnim, a predikatske simbole du`ine 2 nazivamobinarnim.
Simbole konstanti i predikatske simbole sa pridru`enim
du`inama nazivamo nelogi~kim simbolima i biramo ih u skladu
sa kontekstom. U svim slu~ajevima koristimo tzv. logi~ke sim-
bole:
� beskona~an skup promenqivih x, y, z, x1, y1, z1, . . .;
� logi~ke veznike: ∧, ∨, ¬,⇒ i⇔;
� logi~ke konstante: ⊥, >;
� kvantifikatore: ∀ (univerzalni) i ∃ (egzistencijalni);
� pomo}ne znake, tj. uobi~ajeni simboli za zarez i zagrade.
Ovako izabran alfabet odre|uje tzv. ~ist predikatski jezik.
UML 39
Atomske (elementarne)formule gradimotako{topredikatskim
simbolom pove`emo odgovaraju}i broj simbola koji se odnose na
objekte univerzuma (konstante i/ili promenqive).
PRIMER 22. Koriste}i predikatske simbole iz prethodnog primera,
M, D, V i dve konstante Mika i Ana, zapi{imo neke atomske formule:
M(x), M(y), M(Mika), D(x), D(Ana), V(x, Ana), V(x, x1), . . .
Polaze}i od atomskih formula, upotrebom veznika (¬, ∧, ∨,⇒,⇔), na uobi~ajeni na~in, i kvantifikatora (∀, ∃) formiramopredikatske formule. Kvantifikatore koristimo tako {to is-
pred ve} formirane predikatske formule, postavqamo jedan od
kvantifikatora zajedno sa nekom promenqivom.
Definicija 6. Predikatske formule gradimo slede}im pravili-
ma:
� logi~ke konstante ⊥ i >, kao i sve atomske formule jesu for-
mule;
� ako je α formula, onda je i ¬α formula;
� ako su α, β formule i ∗ ∈ {∨,∧,⇒,⇔}, onda je i (α ∗ β) for-
mula;
� ako je α formula i x promenqiva, onda su ∀xα i ∃xα formule.
Kada kvantifikator sa nekom promenqivom postavimo ispred
formule, tada sva pojavqivawa te promenqive u pomenutoj for-
muli postaju vezana i ka`emo da su pod dejstvom postavqenog
kvantifikatora. Ukoliko neko pojavqivawe promenqive u for-
muli nije pod dejstvom nijednog kvantifikatora, ka`emo da je
slobodno.
PRIMER 23. Odredimo vezana i slobodna pojavqivawa promenqivih
u formuli ∃x(V(x, y) ⇒ M(x) ∨ D(y)) ∧ ¬∀yV(y, y). Strelice na
narednoj slici pokazuju na slobodna pojavqivawa promenqivih.
Pojavqivawa ostalih promenqivih su vezana.
Promenqiva je slobodna u nekoj formuli ako ima slobodno po-
javqivawe u toj formuli. Kada`elimo da istaknemo da su sve slo-
bodne promenqive formule α neke (ne nu`no sve) od promenqivih
x1, . . . , xn, onda pi{emo α(x1, . . . , xn).
PRIMER 24. Ako sa α ozna~imo formulu
∃x(V(x, y)⇒ M(x) ∨ D(y)) ∧ ¬∀yV(y, y)
40 UML
(iz prethodnog primera), onda bismo je, radi isticawa slobodnih pro-
menqivih, mogli ozna~iti α(y), ali i α(y, z), α(y, x1, . . . , xn) i sli~no
� va`no je samo da se promenqiva y pojavi na spisku promenqivih u
zagradi.
Svakaformula sa slobodnimpromenqivama na izabranom uni-
verzumu defini{e jednu istinitosnu funkciju ~iji su argumenti
objekti univerzuma (a vrednosti su 0 ili 1). Pored istinitosnih Svaka iskazna formula odre|uje istini-
tosnu funkciju ~iji su argumenti istini-
tosne vrednosti.tablica koje odre|uju logi~ke veznike, koristimo i slede}a prav-
ila za kvantifikatore:
� Ako su slobodnim promenqivama formule ∀xα dodeqeni neki
objekti univerzuma, onda je ∀xα ta~na za te vrednosti promen-
qivih, ako je za svaki (bilo koji) objekat univerzuma dodeqen
promenqivoj x formula α ta~na;
� Ako su slobodnim promenqivama formule ∃xα dodeqeni neki
objekti univerzuma, onda je ∃xα ta~na za te vrednosti promen-
qivih, ako je za neki (bar jedan) objekat univerzuma dodeqen
promenqivoj x formula α ta~na;
PRIMER 25. Posmatrajmo:
� univerzum koji sadr`i pet objekata a, b, c, d i e i
� tri svojstva ovih objekata, P, Q i R, pri ~emu svojstvo P imaju samo
objekti a i b, svojstvo Q imaju samo d i e, a svojstvo R samo b, c i d.Ove ~iwenice mo`emo zapisati, P = {a, b}, Q = {d, e}, R = {b, c, d}i prikazati slikom dole levo, i tabelom dole desno.
iskaz 0/1 iskaz 0/1 iskaz 0/1P(a) 1 Q(a) 0 R(a) 0P(b) 1 Q(b) 0 R(b) 1P(c) 0 Q(c) 0 R(c) 1P(d) 0 Q(d) 1 R(d) 1P(e) 0 Q(e) 1 R(e) 0
Polaze}i od atomskih formula P(x), Q(x), R(x), gradimo slo`enije
formule, ~ija istinitosna vrednost zavisi od x; npr.
x (P(x) ∨Q(x)) ∧ ¬R(x) P(x) ∧Q(x) ¬R(x)⇒ P(x) ∨Q(x)
a 1 0 1b 0 0 1c 0 0 1d 0 0 1e 1 0 1
Iz prethodne tabele zakqu~ujemo da su ta~ne slede}e formule bez slo-
bodnih promenqivih:
� ∃x(P(x) ∨Q(x)) ∧ ¬R(x)
UML 41
� ¬∃x(P(x) ∧Q(x))
� ∀x(¬R(x)⇒ P(x) ∨Q(x)) . . .
Istinitosna vrednost formule P(x)∨Q(y)⇒ ¬P(y)∨Q(x) zavisi
od vrednosti dve promenqive x i y; npr.
x y P(x) ∨Q(y)⇒ ¬P(y) ∨Q(x)
a b 0c a 1
· · ·
PRIMER 26. Neka
� univerzum ~ine tri objekta a, b i c;
� jedan binarni predikat R zadat slikom dole levo, odn. tabelom dole
desno.
B a b ca 0 1 0b 0 1 1c 1 1 0
Ispitajmo istinitosne vrednosti formula ∀y B(x, y) i ∀y B(y, x), za
razne vrednosti slobodne promenqive x. Naravno, za izabrano x treba
za sve vrednosti promenqive y ispitati istintosne vrednosti formulaB(x, y), odn. B(y, x).
x y B(x, y) ∀y B(x, y) B(y, x) ∀y B(y, x)
a 0 0a b 1 0 0 0
c 0 1a 0 1
b b 1 0 1 1c 1 1a 1 0
c b 1 0 1 0c 0 0
Zakqu~ujemoda su ta~nei slede}eformulebez slobodnihpromenqivih:
� ¬∃x∀y R(x, y) (ne postoji ta~ka iz koje polaze strelica ka svim
ta~kama univerzuma);
� ∃x∀y R(y, x) (postoji ta~ka u koju dolaze strelice iz svih ta~aka
univerzuma)
H Pravila dedukcije za kvantifikatore
Pored pravila dedukcije za iskaznu logiku koja, naravno primen-
jujemo i na predikatske formule, koristimo i pravila za kvan-
tifikatore.
42 UML
Va`no mesto u pravilima dedukcije koja se odnose na kvan-
tifikatore zauzima tzv. supstitucija slobodnih promenqivih
simbolima konstanti ili nekim drugim promenqivama.
Ako je α neka formula, x promenqiva i c simbol konstante,
onda sa α[x/c] ozna~avamo formulu dobijenu zamenom svih slo-
bodnih pojavqivawa promenqive x simbolom konstantom c. Nar-avno, ako x nije slobodno u α, onda je formula α[x/c] istovetna
formuli α.
Prilikom zamene slobodne promenqive nekom drugom promen-
qivom moramo biti obazriviji. Naime, kada u α svako slo-
bodno pojavqivawe promenqive x zamewujemo promenqivom y,nijedno pojavqivawe promenqive y nakon zamene x sa y, ne sme dapostane vezano. U narednom primeru, ilustrujemo razloge ovog
ograni~ewa.
PRIMER 27. Ako se oslonimo na interpretaciju iz primera 21, onda
se formula
α(y) : ∀x V(x, y) � svaka osoba voli osobu y
bitno ne razlikuje od formule
α(y)[y/z] : ∀x V(x, z) � svaka osoba voli osobu z;
u oba slu~aja istinitost dobijenih formula zavisi od vrednosti koje
dodelimo promewlivoj y, odn. z. Isto va`i ako y zamenimo bilo Nema mnogo razlike da li kvadratnu
funkciju opi{emo jednako{}u f (y) = y2
ili f (z) = z2.kojom drugom promenqivom, osim promenqivom x, jer bi to izazvalo
drasti~nu promenu zna~ewa:
α(y)[y/x] : ∀x V(x, x) � svaka osoba voli sebe.
Va`no. Ka`emo da je promenqiva x slobodna za y u formuli
α ako nijedno pojavqivawe promenqive y nastalo zamenom x sa
y ne postaje vezano, a sa α[x/y] ozna~avamo formulu dobijenu
nakon opisane zamene. U nastavku, kada god napi{emo α[x/y]
podrazumeva}emo da je promenqiva x slobodna za y u formuli
α. Kada je jasno da je u formuli α promenqiva x zamewena Primetimo da je x uvek slobodno za x i daje formula α[x/x] istovetna formuli α.Primetimoi da ukoliko se promenqiva xne pojavquje slobodno u formuli α, tadaje formula α[x/y] identi~na formuli α.
promenqivom y, umesto α[x/y] kra}e pi{emo α(y).
Pravila ∀xE i ∃xU
Pre nego {to navedemo naslovqena pravila, motivisa}emo ih
nekim intuitivnim argumentima. Neka je P unarni predikatski
simbol. Ako zamislimo da su nizom c1, c2, c3, . . . nabrojani svi
objekti univerzuma, tada formula ∀xP(x) �tvrdi�:
(1) P(c1) ∧ P(c2) ∧ P(c3) ∧ · · · ,
UML 43
a ∃xP(x) �tvrdi�:
(2) P(c1) ∨ P(c2) ∨ P(c3) ∨ · · · .
Ova zapa`awa nas navode da pravila dedukcije o kvantifika-
torima pove`emo sa odgovaraju}im pravilima za konjunkciju i
disjunkciju.
Pravilo �(∧E)�
P(c1) ∧ P(c2) ∧ P(c3) ∧ · · ·P(ci)
(∧E)
tesno je povezano sa slede}im razmi{qawem: ako je ta~no ∀xα,
tada }e biti ta~na i formula dobijena kada se u α promenqiva xzameni bilo kojim objektom.
∀xα
α[x/v](∀E)
Iz ∀xα zakqu~ujemo α[x/v], pri ~emu je v simbol konstante ili
promenqiva za koju je x slobodno u α.
Budu}i da na raspolagawu imamo negrani~eno mnogo promen-
qivih, za svaku formulu α mo`emo prona}i promenqivu v tako
da nakon zamene x sa v u α, nijedno pojavqivawe promenqive v ne
postaje vezano.
PRIMER 28.
∀x(Covek(x)⇒ Smrtan(x)), Covek(Sokrat) ` Smrtan(Sokrat)
1. ∀x(Covek(x)⇒ Smrtan(x)) pretpostavka
2. Covek(Sokrat) pretpostavka
3. Covek(Sokrat)⇒ Smrtan(Sokrat) ∀xE, 1 [x/Sokrat]
4. Smrtan(Sokrat) ⇒E, 3, 2
Pravilo �(∨U)�
R(ci)
R(c1) ∨ R(c2) ∨ R(c3) ∨ · · · (∨U)
tesno je povezano sa slede}im razmi{qawem: ako je ta~no α[x/v]
za neki objekat v, onda je ta~na i formula ∃xα.
α[x/v]
∃xα(∃U)
Iz α[x/v], za neki simbol konstante ili promenqivu v, za-
kqu~ujemo ∃xα.
PRIMER 29.
∀x(Covek(x)⇒ Smrtan(x)), Covek(Sokrat) ` ∃xSmrtan(x)
1. ∀x(Covek(x)⇒ Smrtan(x)) pretpostavka
2. Covek(Sokrat) pretpostavka
3. Covek(Sokrat)⇒ Smrtan(Sokrat) ∀xE, 1 [x/Sokrat]
4. Smrtan(Sokrat) ⇒E, 3, 2
5. ∃xSmrtan(x) ∃xU, 4
44 UML
Pravila ∀xU i ∃xE
Uvo|ewe univerzalnog i eliminacija egzistencijalnog kvan-
tifikatora su donekle komplikovanija pravila.
Neformalno, kada treba da doka`emotvrdwuoblika∀xα, dokaz
zapo~iwemo re~ima �neka je x proizvoqan objekat ...�, pri ~emu
vodimo ra~una da je jedino {to znamo o x-u to da pripada odgo-
varaju}em univerzumu; ukoliko se desi da je oznaka x ve} rezer-
visana, onda uzimamo neku drugu, sve`u promenqivu v i ka`emo
�neka je v proizvoqan objekat ...� Sli~no tome, kada znamo da
je ta~no ∃xα, onda }emo odgovaraju}i element ozna~iti nekim
�sve`im� slovom koje nije ve} rezervisano.
U oba pravila se pojavquju poddokazi snabdeveni tzv. sve`om
promenqivom koja se u formulama van poddokaza ne pojavquje
slobodno.
v...
α[x/v]
∀xα(∀xU)
Ako se kori{}ewem sve`e promenqive mo`e dokazati
α[x/v], onda se mo`e zakqu~iti ∀xα.
Kqu~na ~iwenica za prethodno pravilo jeste da je v sve`a
promenqiva, tj. da se ne pojavquje nigde van odgovaraju}eg pod-
dokaza, pa po{to ni{ta ne pretpostavqamo o v, svaki objekat
}e �pro}i� na wegovom mestu. Slede}a {ema ilustruje upotrebu
pravila (∀xU).... Kada `elimo da doka`emo ∀xα,
j. v uvodimo sve`u promenqivu v misle}i na �neka je vproizvoqan objekat univerzuma�.
...... Iz svega ostalog nastojimo da doka`emo α[x/v].
k. α[x/v] Kada uspemo,
k + 1. ∀xα (∀xU), j-k izvodimo `eqeni zakqu~ak.
PRIMER 30. Doka`imo sekvent
∀x(A(x)⇒ B(x)), ∀x(B(x)⇒ C(x)) ` ∀x(A(x)⇒ C(x)).
1. ∀x(A(x)⇒ B(x)) pretpostavka
2. ∀x(B(x)⇒ C(x)) pretpostavka
3. v uvodimo sve`u promenqivu
4. A(v)⇒ B(v) ∀xE, 1
5. B(v)⇒ C(v) ∀xE, 2
6. A(v)⇒ C(v) tranzitivnost implikacije, 4, 5
7. ∀x(A(x)⇒ C(x)) ∀xU, 3-6
ZADATAK 1. Dokazati sekvente:
(1) ` ∀x(A(x)⇒ A(x))
(2) ∀x(A(x)⇒ B(x)), ∀x(B(x)⇒ A(x)) ` ∀x(A(x)⇔ B(x))
UML 45
(3) ` ∀x(A(x)⇔ A(x))
(4) ∀x(A(x)⇔ B(x)) ` ∀x(B(x)⇔ A(x))
(5) ∀x(A(x)⇔ B(x)), ∀x(B(x)⇔ C(x)) ` ∀x(A(x)⇔ C(x))
PRIMER 31. Doka`imo sekvent ∀x¬P(x) ` ∀x(P(x)⇒ Q(x)).
1. ∀x¬P(x) pretpostavka
2. v uvodimo sve`u promenqivu
3. P(v) dodatna pretpostvka
4. ¬P(v) ∀xE, 1
5. ⊥ ¬E, 3, 4
6. Q(v) ⊥E, 5
7. P(v)⇒ Q(v) ⇒U, 3-6
8. ∀x(P(x)⇒ Q(x)) ∀xU, 2-7
ZADATAK 2. Dokazati ∀x¬P(x), ∀x¬Q(x) ` ∀x(P(x)⇔ Q(x)).
Uvedimo najzad pravilo (∃xE). Grubo re~eno: ako znamo da je
∃xα ta~no, onda je α ta~no za bar jednu �vrednost� x, pa bi trebaloobaviti zakqu~ivawe po slu~ajevima za sve mogu}e vrednosti,
{to posti`emo koriste}i sve`u promenqivu v kao �generi~ku�
vrednost koja reprezentuje sve mogu}e vrednosti.
∃xα
v α[x/v]...
γ
γ(∃xE)
Ako iz α[x/v] doka`emo formulu γ u kojoj se ne po-
javquje v, onda γ mora biti ta~no bez obzira na �vred-
nost� v. I ovoga puta, od su{tinske va`nosti je da
se v ne pojavquje slobodno nigde van odgovaraju}eg
poddokaza, pa samim tim ni u γ.
Slede}a {ema ilustruje kori{}ewe pravila (∃xE).
...
i. ∃xα... Kada `elimo da iskoristimo ∃xα,
j. v α[x/v] dod. pret. uvodimo oznaku v za objekat koji zadovoqava α....
... Iz α[x/v] i svega ostalog nastojimo da doka`emo γ u kome
se v ne pojavquje slobodno.
k. γ Kada uspemo,
k + 1. γ (∃xE), i, j-k izvodimo `eqeni zakqu~ak.
PRIMER 32. Doka`imo sekvent:
∃x(D(x) ∧ ∀y(M(y)⇒ V(y, x))), M(Mile) ` ∃zV(Mile, z)
Neformalno
Da bismo {to jasnije obrazlo`ili navedeni sekvent, osloni}emo se
na interpretaciju navedenu u primeru 21. Iz pretpostavke da postoji
devojka koju voli svaki momak i pretpostavke da je Mile momak, jasno je
da postoji devojka koju Mile voli, jer to potvr|uje upravo devojka koju
svi vole, pa i Mile.
46 UML
Formalno
1. ∃x(D(x) ∧ ∀y(M(y)⇒ V(y, x))) pretpostavka
2. M(Mile) pretpostavka
3. c D(c) ∧ ∀y(M(y)⇒ V(y, c)) dodatna pretpostavka
4. ∀y(M(y)⇒ V(y, c)) ∧DE , 3
5. M(Mile)⇒ V(Mile, c) ∀xE, 4
6. V(Mile, c) ⇒E, 5, 2
7. ∃zV(Mile, z) ∃zU, 6
8. ∃zV(Mile, z) ∃xE, 1, 3-7
PRIMER 33. Neka je B binarni predikatski simbol. Doka`imo
sekvent ∀xB(x, x) ` ∀x∃yB(x, y).
1. ∀xB(x, x) pretpostavka
2. v uvodimo sve`u promenqivu
3. B(v, v) ∀xE, 1
4. ∃yB(v, y) ∃yU, 3 (B(v, v) je istovetna formuli B(v, y)[v/y])
5. ∀x∃yB(x, y) ∀xU, 2-4
U naredna dva primera posebnu pa`wu posve}ujemo nefor-
malnim dokazima. U matematici je uobi~ajeno da se dokazi
navode u neformalnom obliku, {to }emo i mi ~initi u nared-
nim poglavqima. Naravno, u neformalnim dokazima uglavnom
ne navodimo pravila dedukcije koja koristimo, ali ih svakako
imamo na umu, jer na osnovu wih i sastavqamo neformalni dokaz.
PRIMER 34. Neka univerzum ~ine sve ta~ke neke ravni. Da bismo
opisali raspored me|u ta~kama koristi}emo ternarni (du`ine tri)
predikatski simbol O: O(x, y, z) zna~i �ta~ka y je izme|u ta~aka x i z�.Dokazati da iz �o~igledne istine�
∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ O(z, y, x) ∧ ¬O(y, z, x))
(Ako je y izme|u x i z, onda je y izme|u z i x i nije z izme|u y i x.)sledi ∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ ¬O(z, x, y)).
Neformalno
Pretpostavimoda je∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ O(z, y, x)∧¬O(y, z, x)) · · · (∗).
Neka su a, b, c proizvoqne ta~ke.Da bismo dokazali implikaciju O(a, b, c)⇒ ¬O(c, a, b),
pretpostavimo da je O(a, b, c). (Treba dokazati ¬O(c, a, b).)
Pretpostavimo (suprotno), da je O(c, a, b).
Iz (∗) i O(c, a, b) sledi O(b, a, c) i ¬O(a, b, c)
(Na (∗) smo primenili [x/c], [y/b], [z/a].)
O(a, b, c) i ¬O(a, b, c) daju kontradikciju.
Dakle, ¬O(c, a, b).
Dakle, O(a, b, c)⇒ ¬O(c, a, b).
Dakle, ∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ ¬O(z, x, y)).
UML 47
Formalno
1. ∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ O(z, y, x) ∧ ¬O(y, z, x)) pretpostavka
2. a, b, c3. O(a, b, c) dodatna pretpostavka
4. O(c, a, b) dodatna pretpostavka
5. O(c, a, b)⇒ O(b, a, c) ∧ ¬O(a, b, c) ∀xyzE, 1
6. O(b, a, c) ∧ ¬O(a, b, c) ⇒E, 5, 4
7. ¬O(a, b, c) ∧DE , 6
8. ⊥ ¬E, 3, 7
9. ¬O(c, a, b) ¬U, 4-8
10. O(a, b, c)⇒ ¬O(c, a, b) ⇒U, 3-9
11. ∀x∀y∀z(O(x, y, z)⇒ ¬O(z, x, y)) (∀xyzU), 2-10
Formula α je teorema predikatske logike ako je dokaziv sekvent
` α. Navodimo nekoliko va`nih teorema predikatske logike.
Dva susedna kvantifikatora iste vrste mogu zameniti mesta
` ∀x∀yα⇔ ∀y∀xα ` ∃x∃yα⇔ ∃y∃xα
` ∃x∀yα⇒ ∀y∃xα
De Morganovi zakoni za kvantifikatore
` ¬∃xα⇔ ∀x¬α ` ¬∀xα⇔ ∃x¬α
�∀ prolazi kroz ∧, a ∃ kroz ∨�` ∀x(α ∧ β)⇔ ∀xα ∧ ∀xβ ` ∃x(α ∨ β)⇔ ∃xα ∨ ∃xβ
` ∀xα ∨ ∀xβ⇒ ∀x(α ∨ β) ` ∃x(α ∧ β)⇒ ∃xα ∧ ∃xβ
Ako x nema slobodno pojavqivawe u β!
` ∀x(α ∨ β)⇔ ∀xα ∨ β ` ∃x(α ∧ β)⇔ ∃xα ∧ β
Doka`imo De Morganov zakon ` ¬∃xα ⇔ ∀x¬α. Navodimo
samo dokaze sekvenata ¬∃xα ` ∀x¬α i ∀x¬α ` ¬∃xα.De Morganovi zakon ` ¬∃xα⇔ ∀x¬α
1. ¬∃xα pretpostavka 1. ∀x¬α pretpostavka
2. v 2. ∃xα dodatna pret.
3. α[v/x] dodatna pret. 3. v α[v/x] dodatna pret.
4. ∃xα ∃xU, 3 4. ¬α[v/x] ∀xE, 1
5. ⊥ ¬E, 4, 1 5. ⊥ ¬E, 4, 3
6. ¬α[v/x] ¬U, 3-5 6. ⊥ ∃xE, 2, 3-5
7. ∀x¬α ∀xU, 2-6 7. ¬∃xα ¬U, 2-6
ZADATAK 3. Dokazati sekvente:
(a) ` ∀x∀yα⇔ ∀y∀xα
(b) ` ∃x∃yα⇔ ∃y∃xα
48 UML
(v) ` ∃x∀yα⇒ ∀y∃xα
De Morganov zakon ` ¬∀xα ⇔ ∃x¬α jednostavno izvodimo iz
prethodnog. Dokaz navodimo u obliku ekvivalencijskog lanca:
¬∀xα⇔ ¬∀x¬¬α⇔ ¬¬∃x¬α⇔ ∃x¬α
ZADATAK 4. U obliku ekvivalencijskog lanca navesti dokaze
sekvenata ` ∃xα⇔ ¬∀x¬α i ` ∀xα⇔ ¬∃x¬α.
Da bismo dokazali da �∀ prolazi kroz ∧� dokaza}emo sekvente
∀x(α ∧ β) ` ∀xα ∧ ∀xβ i ∀xα ∧ ∀xβ ` ∀x(α ∧ β).
Dokaz za ∀x(α ∧ β) ` ∀xα ∧ ∀xβ
1. ∀x(α ∧ β) pretpostavka
2 x Doka`imo najpre ∀xα.
3. α ∧ β ∀xE, 1
4. α ∧LE, 3
5. ∀xα ∀xU, 2-4
6. x Doka`imo daqe ∀xβ.
7. α ∧ β ∀xE, 1
8. β ∧DE , 7
9. ∀xβ ∀xU, 6-8
10. ∀xα ∧ ∀xβ ∧U, 5, 9
Dokaz za ∀xα ∧ ∀xβ ` ∀x(α ∧ β)
1. ∀xα ∧ ∀xβ pretpostavka
2. ∀xα ∧LE, 1
3. ∀xβ ∧DE , 1
4. x5. α ∀xE, 2
6. β ∀xE, 3
7. α ∧ β ∧U, 5, 6
8. ∀x(α ∧ β) ∀xU, 4-7
Dokaz da �∃ prolazi kroz ∨� navodimo u obliku ekvivalenci-
jskog lanca.
∃x(α ∨ β) ⇔ ¬¬∃x(α ∨ β)
⇔ ¬∀x¬(α ∨ β)
⇔ ¬∀x(¬α ∧ ¬β)
⇔ ¬(∀x¬α ∧ ∀x¬β)
⇔ ¬∀x¬α ∨ ¬∀x¬β
⇔ ∃x¬¬α ∨ ∃x¬¬β
⇔ ∃xα ∨ ∃xβ
Podpretpostavkomda x nema slobodnopojavqivawe u β, dokaza}emo
∃x(α ∧ β) ` ∃xα ∧ β i ∃xα ∧ β ` ∃x(α ∧ β).
Dokaz za ∃x(α ∧ β) ` ∃xα ∧ β, kada x nije slobodno u β.
1. ∃x(α ∧ β) pretpostavka
2 v α[v/x] ∧ β dodatna pret. (β[v/x] je istovetno formuli β)
3. α[v/x] ∧LE, 2
4. β ∧DE , 3
5. ∃xα ∃xU, 3
6. ∃xα ∧ β ∧U, 5, 4
7. ∃xα ∧ β ∃xE, 1, 2-6
UML 49
Dokaz za ∃xα ∧ β ` ∃x(α ∧ β), kada x nije slobodno u β.
1. ∃xα ∧ β pretpostavka
2. ∃xα ∧LE, 1
3. β ∧DE , 1
4 v α[v/x] dodatna pret.
5. α[v/x] ∧ β ∧U, 4, 3
6. ∃x(α ∧ β) ∧DE , 5 (β[v/x] je istovetno formuli β)
7. ∃x(α ∧ β) ∃xE, 2, 4-6
ZADATAK 5. U obliku ekvivalencijskog lanca navesti dokaze
sekvenata:
(1) ` ∀x(α ⇒ β) ⇔ (∃xα ⇒ β), pod pretpostavkom da se xne pojavquje slobodno u formuli β.
(2) ` ∀x(α ⇒ β) ⇔ (α ⇒ ∀xβ), pod pretpostavkom da se xne pojavquje slobodno u formuli α.
50 UML
4. ZF teorija skupova - I deoPojam skupa je jedan od najva`nijih pojmova savremene matem-
atike. Pravila gra|ewa skupova i osnovna svojstva preciziramo
aksiomama univerzuma ~iji su objekti skupovi. Velike zasluge u
razvoju tih aksioma imali su Cermelo38 iFrenkel39, pa se spisak 38 Ernest Cermelo (1871-1953)
(Ernst Zermelo)39 Abraham Frenkel (1891-1965)
(Abraham Fraenkel)
aksioma koji u nastavku izla`emo zove i Cermelo-Frenkelova
teorija skupova i ozna~ava ZF.Univerzum skupovaopisujemokoriste}idvabinarnapredikata
∈ (pripadawe) i = (jednakost). Promenqive }emo ozna~avati
malim i velikim slovima latinice sa ili bez indeksa. Umesto
∈ (·, ·) i = (·, ·) koristi}emo tzv. infiksnu notaciju · ∈ · i · = ·.Za negacije atomskih formula koristimo kra}e oznake: umesto
¬x ∈ y i ¬x = y redom pi{emo x 6∈ y i x 6= y.Osnovna, unapred pretpostavqena, svojstva univerzuma nazi-
vamo aksiomama teorije skupova. Sve deduktivne posledice koje
izvodimo iz aksioma nazivamo teoremama teorije skupova. Pri
dokazivawu teorema koristimo pravila dedukcije i primewujemo
ih na aksiome i teoreme koje smo ve} dokazali. Iako su aksiome i
teoreme zapravo formule izabranog predikatskog jezika, mi }emo
ih formulisati i na govornom (srpskom) jeziku, jer to zna~ajno
olak{ava razumevawe onoga {to se wima tvrdi. Ipak, formu-
lacije }e pratiti i odgovaraju}e formule, osim u slu~ajevima
kada su one veoma komplikovane i te{ko ~itqive. Dokaze teo-
rema uglavnom }emo navoditi u neformalnom obliku, pri ~emu
}emo za one jednostavnije (u prvim odeqcima ove glave) navoditi
i formalne varijante.
H Aksiome ekstenzionalnosti, praznog skupa, para,
izdvajawa, partitivnog skupa i unije
Aksioma ekstenzionalnosti
Prva aksioma koju navodimo opisuje vezu izme|u ∈ i =.
AKSIOMA EKSTENZIONALNOSTI
Dva skupa su jednaka akko i samo ako imaju iste elemente.
∀a∀b(a = b⇔ ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b))
Najpre dokazujemo neke o~ekivane osobine jednakosti.
Teorema 11. (1) Za svaki skup a va`i a = a.(2) Za sve skupove a i b, iz a = b sledi b = a.(3) Za sve skupove a, b, c, iz a = b i b = c sledi a = c.
DOKAZ . (1) Neka je a proizvoqan skup. Jednostavno se mo`e
dokazati formula ∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ a) (videti poddokaz 5-9
UML 51
dokaza navedenog u narednoj napomeni), iz koje prema aksiomi
ekstenzionalnosti dobijamo a = a.Navedeni dokaz je neformalna varijanta formalnog dokaza sekventa
∀a∀b(a = b⇔ ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b)) ` ∀a (a = a):
1. ∀a∀b(a = b⇔ ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b)) aksioma ekstenzionalnosti (Ax1)2. a (@elimo da doka`emo ∀a(a = a).)
3. a = a⇔ ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ a) ∀aE∀bE, 1
4. ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ a)⇒ a = a ⇔DLE , 3
5. x (@elimo da doka`emo ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ a).)
6. x ∈ a7. x ∈ a⇒ x ∈ a ⇒U, 6
8. x ∈ a⇔ x ∈ a ⇔U, 7
9. ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ a) ∀xU, 5-8
10. a = a ⇒E, 4, 9
11. ∀a(a = a) ∀aU, 2, 10
(2) Neka su a i b proizvoqni skupovi. Iz a = b, prema aksiomiekstenzionalnosti sledi ∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ b), odakle se jednos-
tavno mo`e izvesti ∀x(x ∈ b ⇔ x ∈ a). Iz posledwe formule,
prema navedenoj aksiomi, dobijamo b = a.(3) Neka su a, b i c proizvoqni skupovi. Pretpostavimo da
va`i a = b i b = c. Prema aksiomi ekstenzionalnosti imamo
∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ b) i ∀x(x ∈ b ⇔ x ∈ c), odakle izvodimo
∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ c). Najzad, iz posledwe formule, primenom
aksiome ekstenzionalnosti, dobijamo a = c.
Napomena 1. Formalni dokazi sekvenata koji se pomiwu u dokazima
tvrdwi (2) i (3) prethodne leme:
(2) ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b) ` ∀x(x ∈ b⇔ x ∈ a)
(3) ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b), ∀x(x ∈ b⇔ x ∈ c) ` ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ c)
potpuno su analogni dokazima sekvenata iz zadatka 1.1 pod (4) i (5).
Inkluzija
Neformalno, ukoliko su svi elementi skupa a ujedno i elementi
skupa b, ka`emo da je a podskup od b, odn. b je nadskup od a,i pi{emo a ⊆ b, odn. b ⊇ a. Odnos me|u skupovima ozna~en
simbolom ⊆ naziva se inkluzija. Tako|e, ka`emo da je a strogi
podskup od b (b je strogi nadskup od a) ako je a ⊆ b (b ⊇ a) i a 6= b,i pi{emo a ⊂ b (b ⊃ a).
Definicija 7. Formula a ⊆ b (kao i b ⊇ a) je skra}eni zapis
formule ∀x(x ∈ a ⇒ x ∈ b). Formula a ⊂ b je skra}eni zapis
formule a ⊆ b ∧ a 6= b.
Teorema 12. (1) Za svaki skup a va`i a ⊆ a.(2) Za sve skupove a i b, iz a ⊆ b i b ⊆ a sledi a = b.(3) Za sve skupove a, b, c, iz a ⊆ b i b ⊆ c sledi a ⊆ c.
52 UML
DOKAZ. Slede}e sekvente nije te{ko dokazati (dokazi su potpuno
analogni dokazima sekvenata iz primera 1.30 i zadatka 1.1 pod (1)
i (2)):
(1) ∀x(x ∈ a⇒ x ∈ a)
(2) ∀x(x ∈ a⇒ x ∈ b), ∀x(x ∈ b⇒ x ∈ a) ` ∀x(x ∈ a⇔ x ∈ b)
(3) ∀x(x ∈ a⇒ x ∈ b), ∀x(x ∈ b⇒ x ∈ c) ` ∀x(x ∈ a⇒ x ∈ c)
odakle neposredno (uz primenu aksiome ekstenzionalnosti za
tvr|ewe (2)) slede tvr|ewa navedena u lemi.
Aksioma praznog skupa
AKSIOMA PRAZNOG SKUPA
Postoji skup koji nema elemenata.
∃y∀x(x 6∈ y)
Skup ~ije postojawe tvrdi aksioma praznog skupa mora, prema
aksiomi ekstenzionalnosti, biti jedinstven. Zaista, ozna~imo
sa y1 i y2 skupove za koje va`i
∀x(¬x ∈ y1) i ∀x(¬x ∈ y2).
Iz ove dve formule jednostavno izvodimo ∀x(x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2),
odakle, koriste}i aksiomu ekstenzionalnosti, zakqu~ujemo da je
y1 = y2.
Navodimo i formalni dokaz sekventa
∀x(¬x ∈ y1), ∀x(¬x ∈ y2) ` ∀x(x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2).
1. ∀x(¬x ∈ y1)
2. ∀x(¬x ∈ y2)
3. x4. x ∈ y1
5. ¬x ∈ y1 ∀xE, 1
6. ⊥ ¬E, 4, 5
7. x ∈ y2 ⊥E, 6
8. x ∈ y1 ⇒ x ∈ y2 ⇒U, 4-7
9. x ∈ y2
10. ¬x ∈ y2 ∀xE, 2
11. ⊥ ¬E, 9, 10
12. x ∈ y1 ⊥E, 11
13. x ∈ y2 ⇒ x ∈ y1 ⇒U, 9-12
14. x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2 ⇔U, 8, 13
15. ∀x(x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2) ∀xU, 3-14
Primetimo da je ovo izvo|ewe potpuno analogno izvo|ewu sekventa iz
zadatka 1.2.Jedinstveni skup koji nema elemenata ozna~avamo sa ∅ i nazi-
vamo ga praznim skupom. Dakle, ∀x (x 6∈ ∅). U nastavku, oznaku
∅ koristimo kao simbol konstante univerzuma skupova.
UML 53
Postojawe i jedinstvenost praznog skupa tvrdi slede}a for-
mula, koja je, kao {to smo pokazali posledica uvedenih aksioma:
∃y ∀x(x 6∈ y)︸ ︷︷ ︸ϕ(y)
∧∀y1∀y2(∀x(x 6∈ y1)︸ ︷︷ ︸ϕ[y1/y]
∧∀x(x 6∈ y2)︸ ︷︷ ︸ϕ[y2/y]
⇒ y1 = y2).
Uop{te, formule oblika
(∗) ∃yϕ(y) ∧ ∀y1∀y2(ϕ[y1/y] ∧ ϕ[y2/y]⇒ y1 = y2),
koje kra}e ozna~avamo ∃!yϕ(y), tvrde da postoji jedinstveni ob-
jekat y koji zadovoqava izvesnu formulu ϕ.
Teorema 13. Za svaki skup a va`i ∅ ⊆ a.
DOKAZ. Treba dokazati formulu ∀x(x ∈ ∅⇒ x ∈ a).
1. ∀x(¬x ∈ ∅)
2. x3. x ∈ ∅4. ¬x ∈ ∅ ∀xE, 1
5. ⊥ ¬E, 3, 4
6. x ∈ a ⊥E, 5
7. x ∈ ∅⇒ x ∈ a ⇒U, 3-6
8. ∀x(x ∈ ∅⇒ x ∈ a) ∀xU, 2-7
Aksiome para, izdvajawa, unije i partitivnog skupa
Sve naslovqene aksiome, koje navodimo u ovom odeqku, jesu
oblika
(α∗) ∀a1 · · · ∀an∃y∀x(x ∈ y⇔ α(x, a1, . . . , an)),
gde }e α(x, a1, . . . , an) biti neka formula specijalnog oblika, u
kojoj se y ne pojavquje slobodno i svaka promenqiva koja se slo-
bodno pojavquje u ovoj formuli jeste neka (ne nu`no i svaka) od
promenqivih x, a1, . . . , an. Intuitivno, navedeni oblik razumemo
na slede}i na~in: ako su a1, . . . , an proizvoqni skupovi, tada pos-
toji skup y koji sadr`i samo one x za koje se mo`e utvrditi veza
α(x, a1, . . . , an). Za svaku formulu α, skup y ~ije postojawe tvrdi
formula (α∗) mora biti jedinstven prema aksiomi ekstenzional-
nosti. Zaista, ako za proizvoqno izabrane a1, . . . , an, sa y1 i y2
ozna~imo skupove takve da je
∀x(x ∈ y1 ⇔ α(x, a1, . . . , an)) i ∀x(x ∈ y2 ⇔ α(x, a1, . . . , an)),
onda se jednostavno mo`e izvesti ∀x(x ∈ y1 ⇔ x ∈ y2), a zbog
aksiome ekstenzionalnosti i y1 = y2.
Postavqa se pitawe, mo`emo li za svako α, formulu (α∗) pri-
hvatiti kao aksiomu. Odgovor je negativan, kao {to pokazuje
~uveni Raselov paradoks.
54 UML
Raselovparadoks. Neka je α(x, a1, . . . , an)formula x 6∈ x. Ozna~imoovu formulu sa ρ(x). Tada (ρ∗) postaje: ∃y∀x(x ∈ y ⇔ x 6∈ x).
Me|utim, iz ove formule jednostavno izvodimo kontradikciju:
1. ∃y∀x(x ∈ y⇔ x 6∈ x)
2. v ∀x(x ∈ v⇔ x 6∈ x)
3. v ∈ v⇔ v 6∈ v ∀xE, 2...
i. ⊥i + 1. ⊥ ∃xE, 1, 2-iKontradikcija je svakakone{to{tone smemodozvoliti. Dakle,
{ema (α∗) je neprihvatqiva u op{tem slu~aju. Smemo je koristiti
samo za formule α(x, a1, . . . , an) specijalnog oblika:
� x = a1 ∨ x = a2,
� x ∈ a∧ ϕ(x, a, a1, . . . , an), za bilokojuformulu ϕ(x, a, a1, . . . , an),
� ∀t(t ∈ x ⇒ t ∈ a),
� ∃t(t ∈ a ∧ x ∈ t).
AKSIOMA PARA ∀a1∀a2∃y∀x(x ∈ y⇔ x = a1 ∨ x = a2)
Aksioma para tvrdi da za svaka dva skupa a1 i a2 postoji skup y~iji su jedini elementi a1 i a2. Ve} smo istakli da se mo`e izvesti
∀a1∀a2∃!y∀x(x ∈ y ⇔ x = a1 ∨ x = a2). Jedinstveni skup koji
sadr`i a1 i a2 kao jedine elemente ozna~avamo {a1, a2}. Speci-
jalno, za proizvoqan a1, skup {a1, a1} ozna~avamo {a1} i nazivamoga singltonom (ili jedno~lanim skupom). Uvedene oznake koris-
titimo pri zapisivawu formula, pri ~emu imamo na umu da ove
oznake mo`emo eleminisati pomo}u slede}ih ekvivalencija:
x ∈ {a1, a2} ⇔ x ∈ a1∨ x = a2 i x ∈ {a1} ⇔ x ∈ a1∨ x = a1 ⇔ x = a1.
AKSIOMA IZDVAJAWA ∀a∀a1 · · · ∀an∃y∀x(x ∈ y⇔ x ∈ a ∧ ϕ(x, a, a1, . . . , an))
Da bismo jednostavnije objasnili zna~ewe aksiome izdvajawa,
posmatra}emo wen specijalan slu~aj
∀a∃y∀x(x ∈ y⇔ x ∈ a ∧ ϕ(x, a)).
Ovim oblikom aksiome se tvrdi da za svaki skup a i bilo koju
formulu ϕ(x, a) mo`emo formirati skup (izdvojiti podskup od
a) koji }e sadr`avati samo one elemente x iz a za koje se mo`e
utvrditi ϕ(x, a). Po{to takav skupmorabiti jedinstven, uvodimo
posebnu oznaku za wega {x | x ∈ a∧ ϕ(x, a)} ili {x ∈ a | ϕ(x, a)}.Primetimo da je {x | x ∈ a ∧ ϕ(x, a)} ⊆ a. Isti~emo i slede}u
ekvivalenciju:
t ∈ {x | x ∈ a ∧ ϕ(x, a)} ⇔ t ∈ a ∧ ϕ(t, a).
UML 55
AKSIOMA PARTITIVNOG SKUPA ∀a∃y∀x(x ∈ y⇔ ∀t(t ∈ x ⇒ t ∈ a))
Podse}amo da je x ⊆ a skra}ewe za ∀t(t ∈ x ⇒ t ∈ a), pa
aksiomu partitivnog skupa mo`emo zapisati i u slede}em obliku:
∀a∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ⊆ a). Dakle, ova aksioma tvrdi da za svaki
skup a postoji skup koji sadr`i sve podskupove skupa a i drugih
elemenata nema. Taj jedinstveni skup ozna~avamoP(a) i nazivamo
partitivni skup od a. Posebno isti~emo ekvivalenciju koju }emokoristiti pri radu sa partitivnim skupovima:
x ∈ P(a)⇔ x ⊆ a.
AKSIOMA UNIJE ∀a∃y∀x(x ∈ y⇔ ∃t(t ∈ a ∧ x ∈ t))
Aksiomom unije se tvrdi da za svaki skup a postoji skup koji
sadr`i sve elemente elemenata skupa a i drugih elemenata nema.
Taj jedinstveni skup ozna~avamo⋃
a ili⋃
t∈at i nazivamo unijom
skupa a.x ∈
⋃a⇔ ∃t(t ∈ a ∧ x ∈ t)
Korisno je imati na umu slede}e:
� na primer, ako {a, b, c} ∈ X, ondaa, b, c ∈ ⋃X;
� na primer, ako a, b, c ∈ X, onda
{a, b, c} ∈ P(X).
PRIMER 35. Polaze}i od praznog skupa ∅, navodimo neke od skupova
koje mo`emo izgraditi primenom navedenih aksioma.
Koriste}i aksiomu para dobijamo skupove:
{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, {∅, {∅}}, {∅, {{∅}}}, {{∅}, {{∅}}} itd.
Koriste}i aksiomu partitivnog skupa:
P(∅) = {∅}, P({∅}) = {∅, {∅}}, P({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}} itd.
Koriste}i aksiomu izdvajawa, na primer, iz skupaP({∅, {∅}}) for-mulom ∅ ∈ x ∨ {∅} ∈ x mo`emo �izdvojiti� skup
{x | x ∈ P({∅, {∅}})∧ (∅ ∈ x∨{∅} ∈ x)} = {{∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}.
Primenomaksiome unijemo`emoformirati, naprimer, skup {∅, {∅}, {{∅}}}.Zaista, formirajmo singlton {∅} i par {{∅}, {{∅}}}, a zatim od ovih
skupova novi par {{∅}, {{∅}, {{∅}}}}. Tada je⋃{{∅}, {{∅}, {{∅}}}} = {∅, {∅}, {{∅}}}.
Slobodnije re~eno, ako su skupovi zadati navo|ewem elemenata unutar
viti~astih zagrada, onda⋃
a dobijamo brisawem viti~atih zagrada koje
se odnose na elemente skupa a (i izbacivawem praznog skupa ukoliko je
on element od a):
ako je a = {{∅}, {{∅}, {{∅}}}}, onda je⋃
a = {6 {∅ 6 }, 6 { {∅}, {{∅}} 6 } }
56 UML
Do sada smo navedene aksiome koristili da bismo dokazali
postojawe izvesnih skupova. U nastavku }emo dokazati ne{to
druga~iji rezultat: da ne postoji skup koji sadr`i sve skupove.
Teorema 14. Ne postoji skup koji sadr`i sve skupove.
DOKAZ. Potrebno je da iz navedenih aksioma izvedemo formulu
¬∃y∀x(x ∈ y). Umesto formalnog izvo|ewa, navodimo samo os-
novne korake dokaza.
Pretpostavimo suprotno onome {to treba dokazati, tj. da
postoji skup svih skupova, ∃y∀x(x ∈ y). Ozna~imo sa v takav
skup, ∀x(x ∈ v). (Nije te{ko pokazati da ovakav skup v mora
biti jedinstven.) Prema aksiomi izdvajawa mo`emo formirati
skup u = {x | x ∈ v ∧ x 6∈ x}. Iz ∀x(x ∈ u ⇔ x ∈ v ∧ x 6∈ x),
izvodimo
(∗) u ∈ u⇔ u ∈ v ∧ u 6∈ u.
Prema zakonu iskqu~ewa tre}eg, u ∈ u ili u 6∈ u.Ako u ∈ u, koriste}i implikaciju u ∈ u⇒ u ∈ v ∧ u 6∈ u, do-
bijenu iz (∗), izvodimo u ∈ v ∧ u 6∈ u, tj. u 6∈ u. Kontradikcija.Neka u 6∈ u. Iz ∀x(x ∈ v) zakqu~ujemo da u ∈ v (v sadr`i
sve skupove, pa samim tim sadr`i i u), pa imamo u ∈ v ∧ u 6∈ u.Koriste}i implikaciju u ∈ v ∧ u 6∈ u ⇒ u ∈ u, dobijenu iz (∗),izvodimo u ∈ u. Kontradikcija.
Izvedene kontradikcije obaraju polaznu pretpostavku da pos-
toji skup svih skupova. Dakle, ¬∃y∀x(x ∈ y).
Posledica 1. Za svaki skup postoji skup koji mu ne pripada.
DOKAZ. Tvr|ewe sledi iz prethodne teoreme i De Morganovih
zakona za kvantifikatore: ¬∃y∀x(x ∈ y)⇔ ∀y∃x(x 6∈ y).
Za bilo koji skup a, unija⋃
a sadr`i samo one elemente koji
pripadaju bar jednom elementu iz a. Ako je a neprazan skup, ondaiz jednog elementa skupa a mo`emo izdvojiti samo one elemente
koji pripadaju svim elementima iz a:
(∗) x ∈⋂
a ⇔ ∀t(t ∈ a⇒ x ∈ t).
Ovako odre|en skup⋂
a je jedinstven i nazivamo ga presekom skupaa. Umesto
⋂a ponekada se pi{e i
⋂t∈a
t. Va`no je imati na umu da je
definisan samo presek nepraznih skupova. Presek praznog skupa
nije definisan, jer bi se u tom slu~aju ekvivalencijom (∗) tvrdiloda je
⋂∅ zapravo skup svih skupova (jednostavno je dokazati for-
mulu ∀t(t ∈ ∅⇒ x ∈ t)).
UML 57
H Bulove operacije. Dekartov proizvod
Ve} smo naglasili da }emo kao promenqive koristiti i velika
slova latinice, {to je u matemati~koj literaturi uobi~ajeno, pa
}emo u nastavku sve ~e{}e tako postupati. Koriste}i navedene
aksiome, uvodimo tzv. Bulove (skupovne) operacije.
Presek skupova A i B jeste skup A ∩ B koji sadr`i samo one
elemente koji pripadaju i skupu A i skupu B, i drugih elemenataosim ovih nema.
Formalno, iz uvedenih aksioma se dokazuje:
∀A∀B∃!Y∀x(x ∈ Y ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B︸ ︷︷ ︸x∈A∧α(x,A,B)
).
Presek skupova A i B ozna~avamo A ∩ B:
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Skupovi A i B su disjunktni ako je A ∩ B = ∅.
Razlika skupova A i B jeste skup koji sadr`i samo one elemente
koji pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B, i drugih elemenataosim ovih nema.
Iz uvedenih aksioma se dokazuje:
∀A∀B∃!Y∀x(x ∈ Y ⇒ x ∈ A ∧ x 6∈ B)
Razliku skupova A i B ozna~avamo A \ B:
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Specijalno, ako je B ⊆ A, razliku A \ B nazivamo komplemen-
tom skupa B u odnosu na A. Kada je u nekom kontekstu jasno u
odnosu na koji skup A se odre|uju komplementi, onda umesto A \ Bpi{emo B{.Unija skupova A i B jeste skup A∪ B koji sadr`i samo one ele-
mente koji pripadaju skupu A ili skupu B (bar jednom od skupova
A, B), i drugih elemenata osim ovih nema.
Formalno, unija dva skupa se uvodi na slede}i na~in: A∪ B =⋃{A, B}. Za bilo koje x imamo:
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈⋃{A, B}
⇔ ∃t(t ∈ {A, B} ∧ x ∈ t)
⇔ ∃t((t = A ∨ t = B) ∧ x ∈ t)
⇔ ∃t((t = A ∧ x ∈ t) ∨ (t = B ∧ x ∈ t))
⇔ ∃t(t = A ∧ x ∈ t) ∨ ∃t(t = B ∧ x ∈ t)
⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B,
Navedenim ekvivalencijskim lancem opravdan je uobi~ajeni za-
pis A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
58 UML
Napomena 2. U prethodnom ekvivalencijskom lancu koristili smo ek-
vivalenciju ∃t(t = A ∧ x ∈ t) ⇔ x ∈ A koju nije te{ko dokazati.
Navodimo skra}eni dokaz implikacije ∃t(t = A ∧ x ∈ t)⇒ x ∈ A.1. ∃t(t = A ∧ x ∈ t) pretpostavka
2. t t = A ∧ x ∈ t3. t = A ∧L
E, 2
4. x ∈ t ∧DE , 2
5. t = A⇔ ∀u(u ∈ t⇔ u ∈ A) aksioma
· · · i. x ∈ t⇔ x ∈ A iz 3 i 5 primenom⇔LDE ,⇒E, ∀uE
i + 1. x ∈ A iz 4 i i primenom⇔LDE ,⇒E
i + 2. x ∈ A ∃xE, 1, 2-i + 1Obratnu implikaciju x ∈ A⇒ ∃t(t = A∧ x ∈ t) je jo{lak{e dokazati.
1. x ∈ A· · · i. A = Ai + 1. A = A ∧ x ∈ A [Ova formula je zapravo (t = A ∧ x ∈ t)[A/t]] ∧U, 1, ii + 2. ∃t(t = A ∧ x ∈ t) ∃tU, i + 1
Teorema 15. Za proizvoqne skupove A, B, C va`i:
1. A ∩ A = A 2. A ∪ A = A3. A ∩ B = B ∩ A 4. A ∪ B = B ∪ A5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
9. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) 10. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
DOKAZ. Sve navedene jednakosti jednostavno dokazujemo formi-
rawem ekvivalencijskih lanaca u kojima koristimo odgovaraju}e
teoreme predikatske logike. Navodimo samo nekoliko dokaza, a
ostale prepu{tamo ~itaocima.
Jednakost (1) A ∩ A = A potvr|uje lanac
x ∈ A ∩ A⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A⇔ x ∈ A,
u kome je druga ekvivalenicija poznata teorema iskazne logike
α ∧ α⇔ α.
Jednakost (8) A∪ (B∩C) = (A∪ B)∩ (A∪C) potvr|uje lanac
x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∩ C ⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)
[` α ∨ (β ∧ γ)⇔ (α ∨ β) ∧ (α ∨ β)]
⇔ x ∈ A ∪ B ∧ x ∈ A ∪ C
⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
UML 59
Jednakost (10) A \ (B∪C) = (A \ B)∩ (A \C) potvr|uje lanac
x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ ¬x ∈ B ∪ C ⇔ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C)
⇔ x ∈ A ∧ (¬x ∈ B ∧ ¬x ∈ C)
[` ¬(α ∨ β)⇔ ¬α ∧ ¬β]
⇔ (x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ ¬x ∈ C)
[` α ∧ (β ∧ γ)⇔ (α ∧ β) ∧ (α ∧ γ)]
⇔ x ∈ A \ B ∧ x ∈ A \ C
⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C).
Teorema 16. Za proizvoqne skupove A, B, C va`i:
1. A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B, 2. A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B,3. Ako je C ⊆ A i C ⊆ B, onda je C ⊆ A ∩ B,4. Ako je A ⊆ C i B ⊆ C, onda je A ∪ B ⊆ C,5. Ako je B ⊆ C, onda je A \ C ⊆ A \ B.
DOKAZ. Tvrdwe (1) i (2) direktno slede iz definicija inkluzije,
preseka i unije, i slede}ih teorema predikatske logike:
(1) x ∈ A ∧ x ∈ B⇒ x ∈ A, x ∈ A ∧ x ∈ B⇒ x ∈ B,(2) x ∈ A⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B, x ∈ B⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B.(3) Iz C ⊆ A i C ⊆ B, tj. ∀x(x ∈ C ⇒ x ∈ A) i ∀x(x ∈C ⇒ x ∈ B), zakqu~ujemo ∀x(x ∈ C ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B), tj.
∀x(x ∈ C ⇒ x ∈ A ∩ B), pa je C ⊆ A ∩ B.(4) Iz A ⊆ C i B ⊆ C, tj. ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ C) i ∀x(x ∈B ⇒ x ∈ C), zakqu~ujemo ∀x(x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ C), tj.
∀x(x ∈ A ∪ B⇒ x ∈ C), pa je A ∪ B ⊆ C.(5) Iz B ⊆ C, tj. ∀x(x ∈ B ⇒ x ∈ C), prema zakonu kontrapozi-
cije imamo ∀x(x 6∈ C ⇒ x 6∈ B), a odatle i ∀x(x ∈ A ∧ x 6∈ C ⇒x ∈ A ∧ x 6∈ B), pa je A \ C ⊆ A \ B.
Posledica 2. Ako je B ⊆ A i C ⊆ A, onda je:
(1) (B ∩ C){ = B{ ∪ C{ i (B ∪ C){ = B{ ∩ C{,(2) iz B ⊆ C sledi C{ ⊆ B{.
PRIMER 36. Doka`imo da je P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).
Treba dokazati ekvivalenciju:
X ∈ P(A ∩ B)⇔ X ∈ P(A) ∧ X ∈ P(B),
odnosno, prema definicije partitivnog skupa,
X ⊆ A ∩ B⇔ X ⊆ A ∧ X ⊆ B.
Implikaciju X ⊆ A ∩ B ⇒ X ⊆ A ∧ X ⊆ B, dokazujemo uz pomo}
leme 16 (1) i leme 12 (3): ako je X ⊆ A ∩ B, onda, zbog A ∩ B ⊆ A
60 UML
i A ∩ B ⊆ B, mora biti i X ⊆ A i X ⊆ B. Obratna implikacija,
X ⊆ A ∧ X ⊆ B⇒ X ⊆ A ∩ B, jeste zapravo tvrdwa teoreme 16 (3).Ispitajmo da li upravo dokazana jednakost va`i ukoliko presek
zamenimo unijom. Implikaciju X ⊆ A ∨ X ⊆ B ⇒ X ⊆ A ∪ B nije
te{ko dokazati: ako je X ⊆ A, onda, zbog A ⊆ A ∪ B, dobijamo X ⊆A ∪ B, a ako je X ⊆ B, onda, zbog B ⊆ A ∪ B, opet dobijamo X ⊆ A ∪ B.Dakle, za bilo koje skupove va`i A i B va`i P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B).
Me|utim, ako je X ⊆ A∪ B, skup X ne mora biti podskup nijednog od
skupova A, B. Naprimer, ako je A = {0, 1}, B = {1, 2} iX = {0, 2}, bi}eX ⊆ A∪ B, aliX 6⊆ A iX 6⊆ B. Druga~ije zapisano, X ∈ P(A∪ B), X 6∈P(A) i X 6∈ P(B). Primetimo da smo navedenim izborom skupova A, B,X zapravo dokazali prvu formulu slede}eg ekvivalencijskog lanca:
∃A∃B∃X(X ∈ P(A ∪ B) ∧ X 6∈ P(A) ∧ X 6∈ P(B))
⇔ ∃A∃B∃X¬(¬X ∈ P(A ∪ B) ∨ (X ∈ P(A) ∨ X ∈ P(B))
⇔ ∃A∃B¬∀X(X ∈ P(A ∪ B)⇒ (X ∈ P(A) ∨ X ∈ P(B))
⇔ ∃A∃B¬(P(A ∪ B) ⊆ P(A) ∪ P(B))
⇔ ¬∀A∀B(P(A ∪ B) ⊆ P(A) ∪ P(B))
Ure|en par skupova a i b, u oznaci (a, b), zami{qamo kao celinu
koju ~ine a i b navedeni odre|enim redosledom � jasno se zna koji
objekat je prvi (levi) ~lan celine, a koji je drugi (desni) ~lan
celine. Kqu~na osobina ure|enih parova jeste da iz (a, b) = (c, d)
sledi a = c i b = d.
Definicija 8. Ure|en par skupova a i b je skup {{a}, {a, b}}, tj.(a, b)
def= {{a}, {a, b}}, pri ~emu je a prva koordinata i b druga
koordinata.
Primetimo da ure|en par (a, b) nije isto {to i par {a, b}.Doka`imo da za ovako uvedene ure|ene parove va`i navedena os-
obina.
Teorema 17. Neka su a, b, c i d bilo koji skupovi. Tada:
(a, b) = (c, d)⇔ a = c ∧ b = d.
DOKAZ. Posebno dokazujemo svaku implikaciju.
(⇐) Ako je a = c i b = d, onda je {a} = {c} i {a, b} = {c, d}, paje i {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}, tj. (a, b) = (c, d).
(⇒) Neka je (a, b) = (c, d), tj. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.Znamo da su dva skupa jednaka ako imaju iste elemente, pa iz pret-
postavqene jednakosti zakqu~ujemo da va`e jednakosti navedene u
svakom od slede}a dva slu~aja. Dokaza}emo da u oba slu~aja mora
biti a = c ∧ b = d.
UML 61
1. slu~aj: {a} = {c}, {a, b} = {c, d}. Iz {a} = {c} sledi da je
a = c, a odatle i {a, b} = {c, d}, pa je i b = d.2. slu~aj: {a} = {c, d}, {a, b} = {c}. Iz {a} = {c, d} sledia = c = d, a iz {a, b} = {c} da je a = b = c. Samim tim, svakako
va`i a = c i b = d.
Dekartov proizvod skupova A i B jeste skup ure|enih parova
~ije prve koordinate pripadaju skupu A, a druge skupu B. Da bismoopravdali postojawe jednog ovakvog skupa, najpre }emo odrediti
skup u kome se (izme|u ostalog) nalaze svi ure|eni parovi nave-
denog oblika, a zatim }emo iz tog skupa izdvojiti samo `eqene
ure|ene parove.
Ako a ∈ A i b ∈ B, tada a, b ∈ A ∪ B,odakle sledi {a}, {a, b} ⊆ A ∪ B,tj. {a}, {a, b} ∈ P(A ∪ B).
Daqe imamo {{a}, {a, b}} ⊆ P(A ∪ B),
odnosno (a, b) = {{a}, {a, b}} ∈ P(P(A ∪ B)).Naravno, skup P(P(A ∪ B)) sadr`i i svakakve druge skupove
(koji nisu ure|eni parovi, kao i ure|ene parove ~ije koordinate
ne ispuwavaju postavqeni uslov), ali primenom aksiome izdva-
jawa mo`emo formirati najavqeni Dekartov proizvod koji }emo
ozna~avati A× B:
A× B = {x | x ∈ P(P(A∪B))∧∃a∃b(a ∈ A∧ b ∈ B∧ x = (a, b))}.
U literaturi vrlo ~esto se Dekartov proizvod A× B zadaje kao
skup {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}, {to je opravdano jer znamo da su
svi elementi skupa A × B ure|eni parovi i to upravo oni ~ija
prva koordinata dolazi iz A, a druga iz B. Kada `elimo da
doka`emo da izvesni ure|eni par (x, y) pripada A× B, dovoqnoje da doka`emo x ∈ A i y ∈ B.
(x, y) ∈ A× B⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B
PRIMER 37. Dekartov proizvod skupova A = {0, 1, 2} i B = {0, 1}jeste skup A× B = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}. Primetimoda jeB×A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}, kaoida je A× B 6=B× A.
Mo`emo formirati i slede}e Dekartove proizvode:
A× A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)},B× B = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
Budu}i da prazan skup nema elemente, ne mo`emo formirati
ure|ene parove ~ija jedna koordinata dolazi iz praznog skupa.
Odavde sledi da za svaki skup A va`e jednakosti
A×∅ = ∅ = ∅× A.
62 UML
Lema 4. Za sve skupove A, B, C va`e jednakosti:
(1) A× (B ∪ C) = (A× B) ∪ (A× C),
(2) A× (B ∩ C) = (A× B) ∩ (A× C),
(3) A× (B \ C) = (A× B) \ (A× C).
DOKAZ. (1) Dokaz navodimo u obliku slede}eg ekvivalencijskog
lanca:
(x, y) ∈ A× (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B ∪ C
⇔ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C)
⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C)
⇔ (x, y) ∈ A× B ∨ (x, y) ∈ A× C
⇔ (x, y) ∈ (A× B) ∪ (A× C)
Za proizvoqne a, b, c, ure|eni par ((a, b), c) kra}e ozna~avamo
(a, b, c) i nazivamo ure|enom trojkom, i a, b, c redom nazivamo pr-
vom, drugom, tre}om koordinatom ure|ene trojke (a, b, c). Slede}i
ekvivalencijski lanac dokazuje osnovnu osobinu ure|enih trojki:
(a, b, c) = (a1, b1, c1) ⇔ (a, b) = (a1, b1) ∧ c = c1
⇔ a = a1 ∧ b = b1 ∧ c = c1.
Skup svih ure|enih trojki ~ija prva koordinata pripada skupu
A, druga skupu B, i tre}a skupu C jeste skup (A× B)× C, koji sekra}e ozna~ava A× B× C. Sli~no kao za Dekartove proizvode
dva skupa, pi{emo
A× B× C = {(a, b, c) | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}.
Potpuno analogno uvodimo ure|ene ~etvorke, petorke itd:
(a, b, c, d)def= ((a, b, c), d), (a, b, c, d, e) def
= ((a, b, c, d), e), . . . ,
i Dekartove proizvode vi{e od tri skupa:
A× B×C×D = {(a, b, c, d) | a ∈ A∧ b ∈ B∧ c ∈ C∧ d ∈ D}, . . .
Ako je A bilo koji skup, Dekartove proizvode A× A, A× A×A, A× A× A itd. nazivamo Dekartovim stepenima i kra}e ih
ozna~avamo A2, A3, A4 itd.
� Skupovi (A× B)×C i A× (B×C) nisu jednaki, pa zato u
zapisu A× B× C ne izostavqamo zagrade zbog asocijativnosti,
ve} po dogovoru. Prema op{tem dogovoru o izostavqawu zagrada
u ozna~avawu Dekartovog proizvoda podrazumeva se da je A1 ×A2 × A3 × A4 × · · · × An kra}i zapis za
(· · · (((A1 × A2)× A3)× A4)× · · · )× An,
a ne da se zagrade mogu postavqati proizvoqno.
UML 63
H Relacije. Funkcije
Da bismo pojednostavili zapisivawe formula, usvajamo slede}e
dogovore: za bilo koju formulu α
� (∀x ∈ X) α ozna~ava ∀x(x ∈ X ⇒ α);
� (∃x ∈ X) α ozna~ava ∃x(x ∈ X ∧ α);
� (∃!x ∈ X) α ozna~ava ∃!x(x ∈ X ∧ α).
Nije te{ko dokazati slede}u ekvivalenciju
(∃!x ∈ X) α⇔ (∃x ∈ X) α∧ (∀x1 ∈ X)(∀x1 ∈ X)(α(x1/x)∧ α(x2/x)⇒ x1 = x2).
Sli~ne dogovore primewujemo u obi~nom tekstu:
�za svaki x ∈ X� zna~i �za svaki x koji pripada X�;
�za postoji x ∈ X� zna~i �za postoji x koji pripada X�;
�skup X ⊆ A� zna~i �skup X koji je podskup skupa A�.
Definicija 9. Svaki podskup odX×Y naziva se binarna relacija
izme|u X i Y. Specijalno, podskup od X × X naziva se binarna
relacija skupa X.
Dakle, P(A× B) je skup svih relacija izme|u A i B.
PRIMER 38. Ako je A = {0, 1, 2}iB = {0, 1}, onda jeR = {(0, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}binarna relacija izme|u A i B. U jednostavnim slu~ajevima, kao {to
je ovaj, pogodno je relaciju R prikazati grafi~ki kao {to u~iweno na
narednim slikama.
Navodimo jo{ nekoliko relacija iz A u B: P = {(1, 2)}, Q =
{(0, 0), (0, 1)}, S = {(0, 1), (1, 1), (2, 1)} itd. Primetimo i da su ∅ i
A× B tako|e dve binarne relacije izme|u A i B; ∅ nazivamo praznom
relacijom, a A× B punom relacijom.
PRIMER 39. Neka je R neka relacija skupa A, R ⊆ A × A. Da
bismo grafi~ki prikazali R ne moramo dva puta �crtati� skup A.Na primer, relaciju R = {(0, 0), (0, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 2)} skupaA = {0, 1, 2, 3, 4} grafi~kimo`emoprikazati kao na narednim slikama,pri ~emu je o~igledno kako je slika desno nastala.
64 UML
Relacija ∆A = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ⊆ A × A je va`an
primer relacije skupa A � naziva se dijagonala skupa A.
Definicija 10. Dijagonala skupa X je skup
∆X = {(x, y) | (x, y) ∈ X× X ∧ x = y} = {(x, x) | x ∈ X}.
Napomena 3. Nije te{ko aksiomama opravdati postojawe skupa
∆X. Iz skupa X × X izdvajamo (oslawaju}i se, naravno, na ak-
siomu izdvajawa) ure|ene parove ~ije su koordinate iste.
∆X = {z ∈ X× X | (∃x ∈ X) z = (x, x)}
Svaki skup R ~iji su elementi ure|eni parovi jeste zapravo
binarna relacija skupa⋃⋃
R. Zaista, koordinate bilo kog para(a, b) iz R pripadaju skupu
⋃⋃R: ako (a, b) = {{a}, {a, b}} ∈ R,
onda {a}, {a, b} ∈ ⋃R, pa a, b ∈ ⋃⋃
R. Dakle, svaki skup Rure|enih parova mo`emo smatrati binarnom relacijom: R ⊆(⋃⋃
R)× (⋃⋃
R). Skup svih prvih koordinata ure|enih parova
iz R naziva se domen relacije R i obele`ava se dom(R), a skup
svih drugih koordinata naziva se kodomen relacije R i obele`ava
codom(R) ili ran(R).
dom(R) = {a ∈⋃⋃
R | ∃b (b ∈⋃⋃
R ∧ (a, b) ∈ R)}
ran(R) = {b ∈⋃⋃
R | ∃a (a ∈⋃⋃
R ∧ (a, b) ∈ R)}
Definicija 11. Relacija F izme|u skupova X i Y, F ⊆ X × Yje funkcija iz X u Y, u oznaci F : X → Y, ako za svako x iz
X postoji jedinstveno y iz Y tako da (x, y) ∈ F, {to mo`emo
izraziti i slede}im uslovima:
(F1) dom(F) = X, tj. za svako x ∈ X postoji y ∈ Y tako da
(x, y) ∈ F,
(F2) za svako x ∈ X i sve y1, y2 ∈ Y, iz (x, y1) ∈ F i (x, y2) ∈ Fsledi y1 = y2.
UML 65
PRIMER 40. Na narednim slikama predstavqeno je nekoliko relacija
izme|u skupova A = {0, 1, 2, 3} i B = {a, b, c, d}.Relacije P, Q i R nisu funkcije iz A u B. Relacija P ne ispuwava
uslov (F2), prema kome element domena ne mo`e biti po~etak vi{e od
jedne strelice: (0, b) ∈ P, (0, c) ∈ P i b 6= c. Relacija Q ne ispuwava
uslov (F1), prema kome svaki element domena mora biti po~etak neke
strelice: element 1 nije prva koordinata nijednog ure|enog para iz Q.
Relacija R ne zadovoqava ni uslov (F1) ni (F2).
Relacije F, G i H, prikazane na slikama ispod jesu funkcije iz A u
B.
Ove funkcionalne relacije kra}e opisujemo slede}im �tabelama�:
F =
(0 1 2 3b c a b
), G =
(0 1 2 3c d a b
), H =
(0 1 2 3b b b b
).
Isti~emo da je zapis F : X → Y skra}ewe za formulu
(∀x ∈ X)(∃!y ∈ Y)(x, y) ∈ F,
odnosno za konjunkciju slede}e dve formule:
(F1) (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y)(x, y) ∈ F,
(F2) (∀x ∈ X)(∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)((x, y1) ∈ F ∧ (x, y2) ∈ F ⇒ y1 = y2).
Ako F : X → Y, onda umesto (x, y) ∈ F pi{emo F(x) = yili x F7→ y. Elementi skupa X nazivaju se originali ili argu-
menti funkcije F. Za svaki x iz X, element y iz Y takav da je
F(x) = y nazivamo F-slikom argumenta x, pri ~emu }emo prefiksF izostavqati kada je iz konteksta jasno o kojoj funkciji F je re~.
Za x iz X, zapis F(x) mo`emo koristiti i samostalno kao oznaku
odgovaraju}eg elementa iz Y � oznaku F-slike elementa x.
Kompozicija relacija. Kompozicija funkcija
Definicija 12. Neka je R ⊆ X × Y i Q ⊆ Y × Z. Relacija
Q ◦ R ⊆ X× Z data sa
Q ◦ R = {(x, z) ∈ X× Z | ∃y ∈ Y((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q)}
66 UML
naziva se kompozicija relacija R i Q.
Napomena 4. Aksiomom izdvajawa jednostavno se mo`e opravdati
postojawe skupa koji je kompozicija relacija R ⊆ X × Y i Q ⊆Y× Z:
Q ◦R = {u ∈ X×Y | (∃x ∈ X)(∃y ∈ Y)(∃z ∈ Z)(u = (x, z)∧ (x, y) ∈ R∧ (y, z) ∈ Q)}.
PRIMER 41. Na slici dole levo prikazane su dve relacije P ⊆ A× Bi Q ⊆ B× C. Odredimo kompoziciju Q ◦ P.
Oslawaju}i se na date grafove relacija uo~avamo da (x, z) pripada
relaciji Q ◦ P ako postoji strelica iz x u neki element skupa Y i
strelica iz tog istog elementa u z, tj. ako su x i z povezani dvema
nadovezanim strelicama (kraj jedne strelice poklapa se sa po~etkom
druge strelice).
Teorema 18. Neka je R ⊆ X×Y, Q ⊆ Y× Z i P ⊆ Z×U. Tada je:
(1) R ◦ ∆X = R = ∆Y ◦ R,(2) P ◦ (Q ◦ R) = (P ◦Q) ◦ R
DOKAZ. (1) O~igledno su R ◦ ∆X i ∆Y ◦ R podskupovi od X × Y.Dokaze `eqenih jednakosti navodimo u obliku slede}ih ekviva-
lencijskih lanaca:
(x, y) ∈ R ◦ ∆X ⇔ (∃t ∈ X)((x, t) ∈ ∆X ∧ (t, y) ∈ R)
⇔ (∃t ∈ X)(x = t ∧ (t, y) ∈ R)
⇔ (x, y) ∈ R
(x, y) ∈ ∆Y ◦ R ⇔ (∃t ∈ Y)((x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ ∆Y)
⇔ (∃t ∈ Y)((x, t) ∈ R ∧ t = y)
⇔ (x, y) ∈ R
Opravdaweposledwih ekvivalencija u navedenimlancima sasvim
je analogno onom koje je navedeno u napomeni 2 na strani 58.
(2) Neka je R ⊆ X × Y, Q ⊆ Y× Z i P ⊆ Z×U. Tada je Q ◦ R ⊆X × Z, pa je P ◦ (Q ◦ R) ⊆ X ×U. Tako|e, P ◦ Q ⊆ Y ◦U, pa je
(P ◦Q) ◦ R ⊆ X×U. Ostaje jo{ da za svaki ure|eni par (x, u) iz
X ×U doka`emo ekvivalenciju (x, u) ∈ P ◦ (Q ◦ R) ⇔ (x, u) ∈
UML 67
(P ◦Q) ◦ R:
(x, u) ∈ P ◦ (Q ◦ R) ⇔ (∃z ∈ Z)((x, z) ∈ Q ◦ R ∧ (z, u) ∈ P)
⇔ (∃z ∈ Z)((x, z) ∈ Q ◦ R ∧ (z, u) ∈ P)
⇔ (∃z ∈ Z)((∃y ∈ Y)((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q) ∧ (z, u) ∈ P)
⇔ (∃z ∈ Z)(∃y ∈ Y)((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q ∧ (z, u) ∈ P)
⇔ (∃y ∈ Y)(∃z ∈ Z)((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ Q ∧ (z, u) ∈ P)
⇔ (∃y ∈ Y)((x, y) ∈ R ∧ ∃z(z ∈ Z ∧ (y, z) ∈ Q ∧ (z, u) ∈ P))
⇔ (∃y ∈ Y)((x, y) ∈ R ∧ (y, u) ∈ P ◦Q)
⇔ (x, u) ∈ (P ◦Q) ◦ R
Napomena 5. Kada se promenqiva v ne pojavquje slobodno u for-
muli α, tada je
` ∃v(α ∧ β)⇔ α ∧ ∃vβ,
{to smo koristili u dokazu tvr|ewa (4). Pored toga, koristili
smo i
` ∃v1∃v2ϕ⇔ ∃v2∃v3ϕ,
kao i asocijativnost konjunkcije.
ZADATAK 6. Neka je R, R1 ⊆ X×Y i Q, Q1 ⊆ Y× Z.(1) Ako je R ⊆ R1, onda je Q ◦ R ⊆ Q ◦ R1.
(2) Ako je Q ⊆ Q1, onda je Q ◦ R ⊆ Q1 ◦ R.
Kompozicija dve funkcije, tako|e je funkcija.
Teorema 19. Neka je F : X → Y i G : Y → Z. Tada G ◦ F : X → Z.
DOKAZ. Jasno je da mora biti G ◦ F ⊆ X × Z. Proverimo uslove(F1) i (F2).
(F1) Neka je x ∈ X proizvoqno izabran element. Budu}i da
F : X → Y, postoji element y ∈ Y takav da je (x, y) ∈ F. Daqe,po{to G : Y → Z, postoji element z ∈ Z takav da je (y, z) ∈ G.Odavde, sledi da (x, z) ∈ G ◦ F.(F2) Neka su x ∈ X, z1, z2 ∈ Z proizvoqno izabrani elementi,
takvi da je (x, z1) ∈ G ◦ F i (x, z2) ∈ G ◦ F.Iz (x, z1) ∈ G ◦ F sledi da postoji y1 ∈ Y takav da (x, y1) ∈ F
i (y1, z1) ∈ G.Iz (x, z2) ∈ G ◦ F sledi da postoji y2 ∈ Y takav da (x, y2) ∈ F
i (y2, z2) ∈ G.Po{to F : X → Y, iz (x, y1) ∈ F i (x, y2) ∈ F, zakqu~ujemo
da y1 = y2. Najzad, po{to G : Y → Z, iz y1 = y2, (y1, z1) ∈ G i
(y2, z2) ∈ G, zakqu~ujemo da z1 = z2.
68 UML
Ako F : X → Y i G : Y → Z, tada za x iz X, element (G ◦ F)(x),
tj. G ◦ F-sliku elementa x ozna~avamo i sa G(F(x)).
Inverzna relacija. 1-1 funkcija, na-funkcija, bijekcija
Definicija 13. Neka je R ⊆ X×Y. Relacija R−1 ⊆ Y×X data sa
R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R} naziva se inverzna relacija relacijeR.
Napomena 6. Nije te{ko aksiomama opravdati postojawe skupa
koji je inverzna relacija neke date delacije R ⊆ X×Y:
R−1 = {z ∈ Y× X | (∃x ∈ X)(∃y ∈ Y)(z = (y, x) ∧ (x, y) ∈ R)}.
PRIMER 42. Neka je A = {0, 1, 2} i B = {0, 1}.Ako je R ⊆ A× B i R = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1)}, onda je R−1 ⊆
B× A i R−1 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 2)}. Grafi~ki prikaz relacije
R−1 dobijamo promenom smera svih strelica relacije R.
PRIMER 43. Inverzna relacija funkcije ne mora biti funkcija. In-
verzna relacija funkcije F : A→ B (prikazane na narednoj slici levo),
F−1 ⊆ B× A, nije funkcija iz B u A.
Inverzna relacija funkcije G : A → B (slika dole levo), G−1 ⊆B× A, jeste funkcija iz B u A.
Ako F : X → Y, relacija F−1 ⊆ Y× X je funkcija iz Y u X ako
va`i:
(∀y ∈ Y)(∃!x ∈ X)(y, x) ∈ F−1, tj. (∀y ∈ Y)(∃!x ∈ X)(x, y) ∈ F.
UML 69
Posledwa formula zapravo predstavqa uslov koji mora da zado-
voqifunkcija F dabiwoj inverznarelacija tako|e bilafunkcija.Taj uslov ekvivalentan je konjunkciji slede}a dva uslova:
(S) (∀y ∈ Y)(∃x ∈ X)(x, y) ∈ F, tj. za svako y iz Y postoji x iz X takav da (x, y) ∈ F (svaki y iz Yjeste slika nekog elementa iz X);
(I) (∀y ∈ Y)(∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)((x1, y) ∈ F ∧ (x2, y) ∈ F ⇒ x1 = x2), tj. ako x1 i x2 iz X imaju
iste slike, onda su oni jednaki.
Uslov (I) mo`emo formulisati i u slede}em obliku:
(I) (∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)(F(x1) = F(x2)⇒ x1 = x2),
odnosno, oslawaju}i se na zakon kontrapozicije,
(I) (∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)(x1 6= x2 ⇒ F(x1) 6= F(x2)).
Uglavnom }emo koristiti jednu od ove posledwe dve formulacije.
Definicija 14. Neka F : X → Y.
1. F je na-funkcija ili surjekcija, u oznaci F : X na→ Y, akozadovoqava uslov (S).
2. F je 1-1 funkcija ili injekcija, u oznaci F : X 1−1→ Y, akozadovoqava uslov (I).
3. F je bijekcija ili obostrano-jednozna~na korespodencija, u oz-
naci F : X1−1−→na Y, ako F : X 1−1→ Y i F : X na→ Y.
Ako F : X na→ Y, ka`emo da je F funkcija iz skupa X na skup Y.ZADATAK 7. Neka f : X → Y i g : Y → Z.
(1) Ako f : X 1−1→ Y i g : Y 1−1→ Z, onda g ◦ f : X 1−1→ Z.(2) Ako f : X na→ Y i g : Y na→ Z, onda g ◦ f : X na→ Z.
(3) Ako f : X1−1−→na Y i g : Y
1−1−→na Z, onda g ◦ f : X1−1−→na Z.
Na osnovu prethodnih razmatrawa izvodimo slede}u zna~ajnu
posledicu.
Posledica 3. Neka F : X → Y.
1. Inverzna relacija funkcije F je funkcija akko je F bijekcija.
2. Ako je F bijekcija, onda je i F−1 bijekcija.
Napomena 7. Ako F : X → Y, za y iz Y smemo koristiti zapis
F−1(y) samo ako znamo da je F bijekcija, jer samo tada to ima
smisla.
VA@NI PRIMERI FUNKCIJA
Funkcije zauzimaju veoma zna~ajno mesto u svim matemati~kim
oblastima {to donekle potvr|uje veliki broj sinonima koji se
70 UML
koriste: preslikavawa, transformacije, operatori itd. U nas-
tavku }emo izdvojiti neke najva`nije primere funkcija.
Restrikcije
Ako f : X → Y, tada je za svaki neprazan podskup A od X(∅ 6= A ⊆ X), skup f ∩ (A×Y) funkcija iz A u Y. Ova funkcijase obele`ava f |A i naziva restrikcija funkcije f na (podskup
domena) A. Dakle, f | A : A→ Y. Za x ∈ A va`i f |A (x) = f (x),
dok za x ∈ X \ A, zapis f |A (x) nema smisla.
PRIMER 44. Neka f : {0, 1, 2, 3} → {a, b, c}:
f =
(0 1 2 3b c a b
).
Tada je f |{0,1,2}=
(0 1 2b c a
), f |{1,3}=
(1 3c b
), itd.
Lema 5. Ako f : X → Y i ∅ 6= B ⊆ A ⊆ X, onda je ( f |A) |B= f |B.
DOKAZ. Iz f |A= f ∩ (A× X) i ( f |A) |B= f |A ∩(B× X) sledi
da je
( f |A) |B= f |A ∩(B× X) = f ∩ (A× X) ∩ (B× X).
Kako je B ⊆ A, zakqu~ujemo da je B× X ⊆ A× X, tj. (A× X) ∩(B× X) = B× X. Dakle, ( f |A) |B= f ∩ (B× X) = f |B.
Identi~ko preslikavawe
O~igledno je ∆X jedna funcija iz X u X, ∆X : X → X. Ova
funkcija je veoma zastupqena u matematici i u literaturi se
sre}e dosta wenih oznaka idX, IX, IdX, 1X itd, pri ~emu se indeks
X izostavqa kada je jasno na koji skup X se odnosi. Mi }emo
koristiti oznaku idX : X → X. Primetimo da je idX(x) = x,za svako x ∈ X. O~igledno, funkcija idX je bijekcija. Posebno
isti~emo slede}e svojstvo.
Teorema 20. Ako f : X → Y i g : Y → X i va`i g ◦ f = idX i
f ◦ g = idY, onda su f i g bijekcije, jedna drugoj inverzne.
Projekcije
Za bilo koje skupove A i B, funkcije πA : A × B → A,πA(x, y) = x i πB : A× B → B, πB(x, y) = y, nazivaju se projek-cije. Projekcije su uvek na funkcije.
Binarne operacije
Ako je S neki skup, svakafunkcija iz S× S u S naziva se binarnaoperacija skupa S.
UML 71
PRIMER 45. Binarnu operaciju ∗ : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2}skupa {0, 1, 2} datu sa
∗ =
((0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2)
0 0 1 1 2 0 0 2 1
)predstavqamo i tzv. Kejlijevom tablicom.
∗ 0 1 20 0 0 21 1 2 02 0 2 0
Uobi~ajeno je da se umesto ∗(x, y) pi{e x ∗ y. Kada god je zadata neka
binarna operacija na skupu,
• ra~unamo vrednosti izraza: na primer, (0 ∗ 1) ∗ ((2 ∗ 2) ∗ 1) = 0 ∗ (0 ∗1) = 0 ∗ 0 = 0;
• re{avamo jedna~ine: na primer, re{ewa jedna~ine x ∗ 1 = 2 su 1 i 2(x = 1 ili x = 2);
• tragamo za zakonima koje zadovoqava data operacija: na prime, za
svaki x ∈ {0, 1, 2} va`i: (x ∗ x) ∗ x = ((x ∗ x) ∗ x) ∗ x.
Uobi~ajeno je da se binarne operacije ozna~avaju raznim speci-
jalnim simbolima +, ·, ∗, ?, ⊕ itd, kao i da se koristi tzv. in-
fiksna notacija � oznaku operacije navodimo izme|u argumenata
(za razliku od prefiksne notacije gde se oznaka operacije navodi
ispred argumenata).
Definicija 15. Operacija ∗ : S× S→ S je:
� komutativna ako za sve x, y ∈ S va`i x ∗ y = y ∗ x;
� asocijativna ako za sve x, y, z ∈ S va`i x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
Grobo govore}i, komutativnost neke operacije zna~i da bilo
koja dva argumenta smeju da zamene mesta, a da se rezultat ne
promeni. Asocijativnost dozvoqavaizostavqawe zagrada: umesto
x ∗ (y ∗ z) i (x ∗ y) ∗ z pi{emo x ∗ y ∗ z, jer je svejedno kako su za-grade postavqene. Naravno, zapis x ∗ y ∗ z je nedopustiv ukolikooperacija ∗ nije asocijativna.
PRIMER 46. Operacija ∗ : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2} definisanau prethodnom primeru nije komutativna, jer je, na primer, 0 ∗ 1 = 0 i
1 ∗ 0 = 1. Nije ni asocijativna, jer je, na primer, 1 ∗ (1 ∗ 2) = 1 ∗ 0 = 1i (1 ∗ 1) ∗ 2 = 2 ∗ 2 = 0.
Operacija ? : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2} data Kejlijevom tabli-
com:
? 0 1 20 0 1 11 1 2 22 1 2 2
72 UML
jeste komutativna ({to se jednostavno uo~ava, jer je tablica simetri~na
u odnosu na glavnu dijagonalu), ali nije asocijativna: 0 ? (1 ? 2) =
0 ? 2 = 1 i (0 ? 1) ? 2 = 1 ? 2 = 2.
PRIMER 47. Narednim tablicama uvodimo dve va`ne binarne op-
eracije skupa {0, 1}:
+2 0 10 0 11 1 0
· 0 10 0 01 0 1
Operacija +2 se naziva sabirawe po modulu 2, a · mno`ewe (po mod-
ulu 2). Obe operacije su komutatvne i obe su asocijativne. U aso-
cijativnost se jednostavno mo`emo uveriti direktnom proverom svih
mogu}ih slu~ajeva. Na primer, asocijativnost operacije +2 potvr|uju
rezultati prikazani u narednoj tabeli:
x y z y +2 z x +2 (y +2 z) x +2 y (x +2 y) +2 z0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 10 1 0 1 1 1 10 1 1 0 0 1 01 0 0 0 1 1 11 0 1 1 0 1 01 1 0 1 0 0 01 1 1 0 1 0 1
PRIMER 48. Ako je S bilo koji skup, na skupuP(S) prirodno je posma-
trati operacije preseka, unije i razlike, jer za sve X, Y ∈ P(S), skupovi
X∩Y, X∪Y i X \Y tako|e pripadajuP(S). Zato uniju, presek i razliku
mo`emo posmatrati i kao operacije (bilo kog) partitivnog skupa P(S),
i pisati ∪,∩, \ : P(S)× P(S) → P(S). Sli~no tome, i komplement u
odnosu na skup S jeste funkcija iz P(S) u sebe { : P(S)→ P(S).
Skup svih funkcija iz A u B, u oznaci BA dobijamo izdvajawem
iz skupa P(A× B) onih relacija izme|u A i B koje su funkcije.
PRIMER 49. Ako je S bilo koji skup, kompozicija dve funkcije iz SS
tako|e je funkcija iz SS, pa samim tim kompozicija predstavqa jednu
binarnu relaciju skupa SS, tj. ◦ : SS × SS → SS.
Specijalno, za S = {0, 1}, skup SS sadr`i slede}e elemente:
idS =
(0 10 1
)f =
(0 10 0
)g =
(0 11 0
)h =
(0 11 1
),
UML 73
a operaciji kompozicije odgovara slede}a Kejlijeva tablica:
◦ idS f g hidS idS f g h
f f f f fg g h idS fh h h h h
Za bilo koji skup S, operacija ◦ na SS je asocijativna, {to direktno
sledi iz teoreme 18 (3). Da kompozicija, u op{tem slu~aju, nije komu-
tativna, jednostavno uo~avamo iz prethodne tablice ( f ◦ g 6= g ◦ f ).
Karakteristi~ne funkcije
Ako je S bilo koji skup, funkcije iz S u dvo~lani skup {0, 1}predstavqaju svojevrsne reprezentacije podskupova od S. Naime,bilo koji podskup A ⊆ S reprezentuje wegova karakteristi~na
funkcija χA : S→ {0, 1},
χA(x) =
{1, x ∈ A,0, x 6∈ A.
Ako 1 shvatimo kao �da� i 0 kao �ne�, onda vrednost χA(x) pred-
stavqa odgovor na pitawe da li x pripada A.
PRIMER 50. Ako je S = {0, 1, 2, 3, 4}, onda je:
χ{0,2,4} =
(0 1 2 3 41 0 1 0 1
), χ∅ =
(0 1 2 3 40 0 0 0 0
)itd.
Svaka funkcija f : S → {0, 1} odre|uje jedan podskup skupa
S ~ija je karakteristi~na funkcija upravo f ; re~ je o podskupu
{x ∈ S | f (x) = 1}.Kako za svaki A ⊆ S va`i (∀x ∈ S)(x ∈ A ⇔ χA(x) = 1),
zakqu~ujemo da su podskupovi A1, A2 ⊆ S jednaki ako i samo ako
(∀x ∈ S)(χA1(x) = χA2(x)). Ovo zapa`awe mo`e biti veoma ko-
risno prilikom dokazivawa skupovnih identiteta, {to je ilus-
trovano u slede}em primeru.
PRIMER 51. Simetri~na razlika skupova A i B jeste skup A4B =
(A \ B) ∪ (B \ A). Doka`imo da za bilo koja tri skupa A, B, C va`i
A4(B4C) = (A4B)4C.Neka je S = A ∪ B ∪ C. Nije te{ko uo~iti da za bilo koje X, Y ⊆ S,
i sve x ∈ S va`i χX4Y(x) = χX(x) +2 χY(x). Kako je A, B, C ⊆ S i +2
74 UML
asocijativna operacija imamo da za sve x ∈ S va`i:
χA4(B4C)(x) = χA(x) +2 χB4C(x)
= χA(x) +2 (χB(x) +2 χC(x))
= (χA(x) +2 χB(x)) +2 χC(x)
= χA4B(x) +2 χC(x)
= χ(A4B)4C(x),
odakle sledi `eqena jednakost.
Funkcije iz praznog i u prazan skup
O~igledno je da ne postoje funkcije iz (bilo kog) nepraznog
skupa u prazan skup. Zaista, ako je f ⊆ X × ∅, iz X × ∅ = ∅zakqu~ujemo da je i f = ∅, a jednostavnomo`emo pokazati¬(∀x ∈X)(∃!y ∈ ∅) (x, y) ∈ ∅. Da li postoje funkcije iz praznog skupa
u neki neprazan skup? Ako je X bilo koji skup, tada je ∅×X = ∅,
i jedini podskup od ∅× X jeste prazan skup. Kako je ∅ ⊆ ∅× X,
pitamo se da li ∅ mo`emo smatrati funkcijom iz ∅ u X. Odgovor
je potvrdan ukoliko mo`emo da doka`emo
(∗) (∀x ∈ ∅)(∃!y ∈ X) (x, y) ∈ ∅ tj. ∀x(x ∈ ∅⇒ (∃!y ∈ X) (x, y) ∈ ∅).
Iz ∀x (x 6∈ ∅) sledi da se (∗) mo`e dokazati, tj. ∅ jeste, i
to jedina, funkcija iz ∅ u X. [tavi{e, ∅ : ∅ 1−1→ X, {to se
jednostavno mo`e dokazati kori{}ewem istih argumenata kao
ranije. Me|utim, ako je X 6= ∅, onda �prazna funkcija� ∅ nije
na funkcija, jer se za (bilo koji) element y iz X ne mo`e prona}i
element x u ∅ (jer prazan skup uop{te nema elemenata) takav da
(x, y) ∈ ∅. Ali, ako je X = ∅, onda trivijalno sledi da je �prazna
funkcija� i na funkcija, tj. ∅ : ∅1−1−→na ∅.
Direktne i indirektne slike
Neka f : X → Y. Direktna slika skupa A ⊆ X jeste podskup
od Y koji sadr`i samo one elemente koji su f -slike elemenata izA. Taj skup ozna~avamo f [A] i znamo da postoji prema aksiomi
izdvajawa:
f [A] = {y ∈ Y | (∃a ∈ A) f (a) = y} ⊆ Y.
Budu}i da su svi elementi skupa f [A] oblika f (a), a ∈ A, pi{emoi f [A] = { f (a) | a ∈ A}. Indirektna slika skupa B ⊆ Y jeste
podskup od X koji sadr`i samo one elemente iz X ~ije f -slikepripadaju skupu B. Ovaj skup ozna~avamo f−1[B]. Dakle,
f−1[B] = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊆ X.
Primetite da upotreba oznake f−1 u navedenom kontekstu nema
nikakve veze sa pojmom inverzne funkcije.
UML 75
PRIMER 52. Neka f : {0, 1, 2} → {a, b, c}:
f =
(0 1 2b a a
).
Odredimo direktne slike svih podskupova domena:
f [∅] = ∅, f [{0}] = {b}, f [{1}] = {a}, f [{2}] = {a},f [{0, 1}] = {a, b}, f [{1, 2}] = {a}, f [{0, 2}] = {a, b}, f [{0, 1, 2}] =
{a, b}. Odredimo i indirektne slike svih podskupova kodomena:f−1[∅] = ∅, f−1[{a}] = {1, 2}, f−1[{b}] = {0}, f−1[{c}] = ∅,f−1[{a, b}] = {0, 1, 2}, f−1[{a, c}] = {1, 2}, f−1[{b, c}] = {0},f−1[{a, b, c}] = {0, 1, 2}.Posebno nagla{avamo da se, na primer, f−1[{a}] bitno razlikuje od
zapisa f−1(a), koji u ovom slu~aju nema smisla jer f nije bijekcija.
Teorema 21. Neka f : X → Y. Tada za proizvoqne skupove
A, A1, A2 ⊆ X i B, B1, B2 ⊆ Y va`i:
(1) A ⊆ f−1[ f [A]]; (2) f [ f−1[B]] ⊆ B;(3) A1 ⊆ A2 ⇒ f [A1] ⊆ f [A2]; (4) B1 ⊆ B2 ⇒ f−1[B1] ⊆ f−1[B2];
(5) f [A1 ∩ A2] ⊆ f [A1] ∩ f [A2]; (6) f−1[B1 ∩ B2] = f−1[B1] ∩ f−1[B2];
(7) f [A1 ∪ A2] = f [A1] ∪ f [A2]; (8) f−1[B1 ∪ B2] = f−1[B1] ∪ f−1[B2].
DOKAZ. (1) Ako x ∈ A, onda je o~igledno f (x) ∈ f [A]. Kako je
f (x) ∈ f [A] ekvivalentno sa x ∈ f−1[ f [A]], neposredno izvodimo
`eqeni zakqu~ak.
(2)Ako y ∈ f [ f−1[B]], onda je y = f (x), za neko x ∈ f−1[B]. Kako je
x ∈ f−1[B] ekvivalentno sa f (x) ∈ B, zakqu~ujemo y = f (x) ∈ B.(3) Neka je A1 ⊆ A2. Pretpostavimo da y ∈ f [A1]. Tada je
y = f (x), za neko x ∈ A1. Budu}i da je A1 ⊆ A2, iz y = f (x) i
x ∈ A1 ⊆ A2 zakqu~ujemo da y ∈ f [A2].
(4) Neka je B1 ⊆ B2. Pretpostavimo da x ∈ f−1[B1], odn. f (x) ∈B1. Iz f (x) ∈ B1 ⊆ B2, zakqu~ujemo da x ∈ f−1[B2].
(5) Ova inkluzija direktno sledi iz (3). Kako je A1 ∩ A2 ⊆ A1 i
A1 ∩ A2 ⊆ A2, prema (3) sledi f [A1 ∩ A2] ⊆ f [A1] i f [A1 ∩ A2] ⊆f [A2], a odavde i f [A1 ∩ A2] ⊆ f [A1] ∩ f [A2].
(6) Inkluziju f−1[B1 ∩ B2] ⊆ f−1[B1] ∩ f−1[B2] direktno dobi-
jamo iz (4). Doka`imo da je i f−1[B1 ∩ B2] ⊇ f−1[B1] ∩ f−1[B2].
Ako x ∈ f−1[B1] ∩ f−1[B2], onda x ∈ f−1[B1] i x ∈ f−1[B2], odn.
f (x) ∈ B1 i f (x) ∈ B2. Dakle, f (x) ∈ B1 ∩ B2, {to je ekviva-
lentno sa x ∈ f−1[B1 ∩ B2].
(7) Nave{}emo formalan dokaz navedene jednakosti, jer verujemo
76 UML
da }e on jasnije ista}i su{tinu dokaza.
y ∈ f [A1 ∪ A2] ⇔ ∃x(x ∈ A1 ∪ A2 ∧ y = f (x))
⇔ ∃x((x ∈ A1 ∨ x ∈ A2) ∧ y = f (x))
⇔ ∃x((x ∈ A1 ∧ y = f (x)) ∨ (x ∈ A2 ∧ y = f (x))
⇔ ∃x(x ∈ A1 ∧ y = f (x)) ∨ ∃x(x ∈ A2 ∧ y = f (x))
⇔ y ∈ f [A1] ∨ y ∈ f [A2]
⇔ y ∈ f [A1] ∪ f [A2]
(8) Jednakost dokazuje slede}i ekvivalencijski lanac:
x ∈ f−1[B1 ∪ B2] ⇔ f (x) ∈ B1 ∪ B2
⇔ f (x) ∈ B1 ∨ f (x) ∈ B2
⇔ x ∈ f−1[B1] ∨ x ∈ f−1[B2]
⇔ x ∈ f−1[B1] ∪ f−1[B2].
NEKOLIKO ZAPA@AWA (?)
U narednoj lemi navodimo jednu korisnu reformulaciju uslova
(F1) i (F2).
Lema 6. Neka je F ⊆ X×Y (i F−1 ⊆ Y×X odgovaraju}a inverzna
relacija). F : X → Y akko ∆X ⊆ F−1 ◦ F i F ◦ F−1 ⊆ ∆Y.
DOKAZ. (⇒) Pretpostavimo da F : X → Y. Treba dokazati: (1)
∆X ⊆ F−1 ◦ F i (2) F ◦ F−1 ⊆ ∆Y.
(1) Primetimo najpre da je F−1 ◦ F ⊆ X× X. Da bismo dokazali
(1), biramo proizvoqno x iz X, i nastojimo da doka`emo (x, x) ∈F−1 ◦ F. Po{to je F funkcija, prema uslovu (F1), za svako x ∈ Xpostoji y ∈ Y takav da (x, y) ∈ F. Tada je (y, x) ∈ F−1, odakle
sledi da (x, x) ∈ F−1 ◦ F.(2) Primetimo da je F ◦ F−1 ⊆ Y×Y. Neka su y1 i y2 proizvoqni
elementi iz Y takvi da (y1, y2) ∈ F ◦ F−1. Treba dokazati da je
y1 = y2.
Iz (y1, y2) ∈ F ◦ F−1 sledi da postoji x ∈ X takav da (y1, x) ∈F−1 i (x, y2) ∈ F. Tada je i (x, y1) ∈ F. Iz uslova (F2) za-
kqu~ujemo da mora biti y1 = y2.
(⇐) Pretpostavimo da je ∆X ⊆ F−1 ◦ F i F ◦ F−1 ⊆ ∆Y. Treba
pokazati uslove (F1) i (F2).
(F1) Neka je x proizvoqan element iz X. Kako je ∆X ⊆ F−1 ◦ F,zakqu~ujemo da (x, x) ∈ F−1 ◦ F, odakle sledi da postoji y iz Ytakav da (x, y) ∈ F i (y, x) ∈ F−1.
(F2) Neka su x ∈ X i y1, y2 ∈ Y proizvoqni takvi da (x, y1) ∈ Fi (x, y2) ∈ F. Iz (x, y1) ∈ F sledi da (y1, x) ∈ F−1, pa (y1, y2) ∈F ◦ F−1. Kako je F ◦ F−1 ⊆ ∆Y, zakqu~ujemo da (y1, y2) ∈ ∆Y, tj.
y1 = y2.
UML 77
Napomena 8. Iz dokaza prethodne leme vidimo da uslovu (F1)odgovara inkluzija ∆X ⊆ F−1 ◦ F, a uslovu (F2) inkluzija F ◦F−1 ⊆ ∆Y. Ovo mo`emo veoma jednostavno i formalno izvesti:
∆X ⊆ F−1 ◦ F ⇔ (∀x ∈ X) (x, x) ∈ F−1 ◦ F
⇔ (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y) ((x, y) ∈ F ∧ (y, x) ∈ F−1)
⇔ (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y) ((x, y) ∈ F ∧ (x, y) ∈ F)
⇔ (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y) (x, y) ∈ F (F1)
F ◦ F−1 ⊆ ∆Y ⇔ (∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)((y1, y2) ∈ F ◦ F−1 ⇒ (y1, y2) ∈ ∆Y)
⇔ (∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)((∃x ∈ X)(
(y1, x) ∈ F−1 ∧ (x, y2) ∈ F)⇒ y1 = y2)
⇔ (∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)((∃x ∈ X) ((x, y1) ∈ F ∧ (x, y2) ∈ F)⇒ y1 = y2)
⇔ (∀y1 ∈ Y)(∀y2 ∈ Y)(∀x ∈ X)((x, y1) ∈ F ∧ (x, y2) ∈ F ⇒ y1 = y2) (F2)
Uposledwoj ekvivalenciji drugog lanca iskoristili smo slede}u
~iwenicu (videti zadatak 1.5): ako se x ne pojavquje slobodno u
formuli β, onda je formula (∃xα ⇒ β) ⇔ ∀x(α ⇒ β) teorema
predikatske logike.
Lema 7. Neka F : X → Y.
1. F : X 1−1→ Y akko ∆X = F−1 ◦ F.
2. F : X na→ Y akko ∆Y = F ◦ F−1.
DOKAZ. Ako F : X → Y, onda prema lemi 6 va`i ∆X ⊆ F−1 ◦ F i
F ◦ F−1 ⊆ ∆Y.
(1) (⇒) Neka F : X 1−1→ Y. Treba dokazati da je ∆X ⊇ F−1 ◦ F.Primetimo da je F−1 ◦ F ⊆ X × X. Pretpostavimo da (x1, x2) ∈F−1 ◦ F. Tada postoji y iz Y takav da (x1, y) ∈ F i (y, x2) ∈ F−1,
tj. (x2, y) ∈ F. Kako je F 1-1 funkcija, zakqu~ujemo da je x1 = x2,
odnosno (x1, x2) ∈ ∆X.
(⇐) Neka je ∆X = F−1 ◦ F. Da bismo dokazali da je F 1-1
funkcija, pretpostavimo da (x1, y) ∈ F i (x2, y) ∈ F. Tada imamo(x1, y) ∈ F i (y, x2) ∈ F−1, pa (x1, x2) ∈ F−1 ◦ F = ∆X, odakle
izvodimo `eqeni zakqu~ak: x1 = x2.
(2) (⇒) Neka F : X na→ Y. Treba dokazati da je F ◦ F−1 ⊇ ∆Y,
tj. da za bilo koji y iz Y va`i (y, y) ∈ F ◦ F−1. Neka je yiz Y proizvoqan. Kako je F na funkcija, postoji x iz X takav
da (x, y) ∈ F, a samim tim je i (y, x) ∈ F−1, odakle sledi da
(y, y) ∈ F ◦ F−1.
(⇐) Neka je F ◦ F−1 ⊇ ∆Y. Tada za bilo koji y iz Y va`i
(y, y) ∈ F ◦ F−1, {to zna~i da postoji x iz X da je (y, x) ∈ F−1
i (x, y) ∈ F. Dakle, F : X na→ Y.
Posledica 4. F : X1−1−→na Y akko ∆X = F−1 ◦ F i ∆Y = F ◦ F−1.
78 UML
5. ZF teorija - II deoH Aksiome zamene, regularnosti, beskona~nosti
Aksioma zamene
Va`an metod definisawa funkcija omogu}ava nam nova aksioma
�aksioma zamene. Pre nego {to je navedemo, opisa}emo situacije
u kojima je koristimo. Pretpostavimo da smo, za neku formulu
ϕ(x, y), dokazali ∀x∃!yϕ(x, y). Ako je A bilo koji skup, tada
mora da va`i i ∀x ∈ A∃!yϕ(x, y), {to zna~i da za svaki x iz
A postoji jedinstven y za koji je ϕ(x, y). Sve ovo ukazuje na
mogu}nost da se formulom ϕ defini{e jedna funkcija sa domenom
A. Me|utim, da bi na ovaj na~in bila definisana funkcija,
neophodno je da znamo u kom skupu se nalaze te jedinstvene �slike�
elemenata iz A. Aksioma zamene nas osloba|a svake brige po
ovom pitawu, jer tvrdi da za svaku formulu ϕ(x, y) za koju se
mo`e utvrditi ∀x∃!yϕ(x, y) i svaki skup A postoji skup koji
sadr`i samo one skupove y za koje ∃x ∈ Aϕ(x, y).
AKSIOMA ZAMENE
∀x∃!yϕ(x, y)⇒ ∀A∃B∀y(y ∈ B⇔ ∃x(x ∈ A ∧ ϕ(x, y)))
Aksioma regularnosti
Aksiomom regularnosti se tvrdi da svaki neprazan skup sadr`i
element sa kojim nema zajedni~kih elemenata.
AKSIOMA REGULARNOSTI
∀X(X 6= ∅⇒ ∃x(x ∈ X ∧ x ∩ X = ∅))
Teorema 22. (1) Ne postoji skup x takav da x ∈ x.(2) Ne postoje skupovi x i y takvi da x ∈ y ∈ x.
DOKAZ. (1) Ako bi postojao skup x takav da x ∈ x, onda skup {x}ne bi sadr`ao element sa kojim nema zajedni~kih elemenata, jer
x ∈ x ∩ {x}, {to je suprotno aksiomi regularnosti.(2) Pretpostavimo da postoje skupovi x i y takvi da je x ∈ y ∈ x,tj. x ∈ y i y ∈ x. Tada, suprotno aksiomi regularnosti, skup
{x, y} ne sadr`i element sa kojim nema zajedni~kih elemenata:
x ∩ {x, y} 6= ∅, jer y ∈ x ∩ {x, y}, i y ∩ {x, y} 6= ∅, jer x ∈y ∩ {x, y}.
Teorema 23. Za bilo koje skupove x i y, iz x∪ {x} = y∪ {y} sledix = y.
DOKAZ . Neka je x ∪ {x} = y ∪ {y}. Pretpostavimo suprotno
onome {to treba dokazati da je x 6= y. Kako x ∈ y ∪ {y} i x 6= y,
UML 79
zakqu~ujemo da x ∈ y. Sli~no tome, iz y ∈ x ∪ {x} i x 6= y sledi
y ∈ x. Me|utim, nije mogu}e da x ∈ y i y ∈ x, prema prethodnojteoremi (2). Dakle, x = y.
Skup x ∪ {x} nazivamo sledbenikom skupa x i obele`avamo ga
x′. Polaze }i od praznog skupa, sledbenikom generi{emo nove
skupove koje iz razumqivih razloga mo`emo identifikovati sa
prirodnim brojevima:
0 = ∅ 1 = 0′ = ∅ ∪ {∅} = {0}2 = 1′ = 1∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1}3 = 2′ = 2∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2}4 = 3′ = 3∪ {3} = {0, 1, 2} ∪ {3} = {0, 1, 2, 3}· · ·
Intuitivno je jasno da generisawe novih skupova na opisani
na~in neograni~eno mo`emo produ`avati � za svaki dobijeni
skup, postupak mo`emo nastaviti uvo|ewem wegovog sledbenika.
Naredna aksioma zapravo tvrdi da postoji skup u kome }e se na}i
svi skupovi koji se mogu dobiti na opisani na~in. Budu}i da je
opisani postupak veoma blizak brojawu, naredna aksioma }e biti
kqu~na za uvo|ewe skupa prirodnih brojeva.
Aksioma beskona~nosti. Skup prirodnih brojeva Prema aksiomi zamene, za svaki skup
A postoji skup B koji sadr`i sve sled-
benike elemenata iz A, pa se prirodno
defini{e funkcija ′ : A → B, koja je
zapravo 1-1 funkcija prema prethodnoj
teoremi ({to je posledica aksiome regu-
larnosti). Skup B mo`emo ozna~iti i sa
[A]′, gde je [A]′ = {a′ | a ∈ A}. Aksiomabeskona~nosti zapravo tvrdi da postoji
bar jedan skup I koji sadr`i 0 i va`i
[I]′ ⊆ I.
AKSIOMA BESKONA^NOSTI
Postoji skup koji sadr`i 0 i sledbenika svakog svog elementa.
∃I(0 ∈ I ∧ ∀x(x ∈ I ⇒ x ∪ {x} ∈ I))
Svaki skup koji sadr`i 0 i sledbenika svakog svog elementa
nazivamoinduktivnim skupom. Aksiomombeskona~nosti se tvrdi
da postoji bar jedan induktivan skup. Ne mo`emo tvrditi da pos-
toji jedinstven induktivan skup, ali koliko god da ih ima svi
sadr`e kao podskup jedan isti induktivan skup, tzv. najmawi
induktivan skup.
Ako je I neki induktivan skup, ozna~imo sa I(I) skup svih
induktivnih podskupova od I:
I(I) = {X | X ⊆ I ∧ �X je induktivan�}= {X | X ⊆ I ∧ 0 ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X ⇒ x′ ∈ X)}.
Neka je ωdef=⋂I(I). Dokaza}emo da je ω induktivan skup i to
najmawi u slede}em smislu: ako je S induktivan i S ⊆ ω, onda je
S = ω, odnosnonepostoji strogipodskupodω koji je induktivan,
{to }emo u nastavku pokazati.
Teorema 24. (1) ω je induktivan skup.
(2) Ako je S ⊆ ω i va`i:
80 UML
(BI) 0 ∈ S,
(IK) ako x ∈ S, onda x′ ∈ S,
onda je S = ω
DOKAZ. (1) Budu}i da 0 ∈ X, za svaki X ∈ I(I), sledi da 0 ∈⋂I(I) = ω.
Ostaje jo{ da se poka`e da ω sadr`i sledbenika svakog svog
elementa. Neka je x ∈ ω proizvoqan. Iz x ∈ ω =⋂I(I), sledi
da x ∈ X, za svaki X ∈ I(I). Kako je svaki X ∈ I(I) induktivan,svaki sadr`i i x′. Dakle, x ∈ ⋂ I(I) = ω.
(2) Neka je S ⊆ ω takav da va`e uslovi (BI) i (IK) � zna~i S je
induktivan podskup od ω. Kako je ω ⊆ I, skup S je i induktivan
podskup od I, tj. S ∈ I(I), pa je⋂I(I) ⊆ S, tj. ω ⊆ S, odakle
sledi da je S = ω.
Ostaje jo{ da poka`emo da za bilo koji (drugi) induktivan
skup I1 va`i ω ⊆ I1, ili ekvivalentno ω ∩ I1 = ω. O~igledno je
ω ∩ I1 ⊆ ω. Jednostavno je uveriti se da skup ω ∩ I1 zadovoqava
uslove (BI) i (IK), pa prema prethodnoj teoremi (2) mora va`iti
ω ∩ I1 = ω. Odavde neposredno zakqu~ujemo i da je ω =⋂I(I1).
Skup ω zauzima veoma zna~ajno mesto u matematici � skup ω
nazivamo skupomprirodnihbrojevaiobele`avamo gaiN. Budu}i
da je ova druga oznaka mnogo uobi~ajenija, uglavnom }emo wu
koristiti u nastavku. Znamo da N sadr`i 0, 1, 2, 3, 4, itd. i da
funkcija sledbenik ′ : N→N ima slede}e osobine:
� za svako n ∈N, n′ 6= 0 (sledbenik nije na funkcija);
� za sve m, n ∈ N, iz m′ = n′ sledi m = n (sledbenik jeste 1-1
funkcija).
H Ure|ewe i aritmeti~ke operacije skupa N
Osnovno svojstvo skupa prirodnih brojeva izra`eno je osobi-
nom (2) teoreme 24 � principom matemati~ke indukcije. Neko- Princip matemati~ke indukcije koris-
timo za dokazivawe formula oblika
(∀n ∈ N) ϕ(n). Dokaz izvodimo tako
{to formiramo skup S = {n ∈ N |ϕ(n)} i nastojimo da doka`emo:(BI) bazu indukcije, tj. da 0 ∈ S i
(IK) induktivni korak, tj. da iz n ∈ Ssledi n′ ∈ S. Po{to u induktivnom
koraku treba dokazati implikaciju,
pretpostavqamo n ∈ S, {to se nazivainduktivna pretpostavka i nastojimo
da doka`emo n′ ∈ S.
liko na~ina primene ovog principa ilustrujemo dokazivawem
slede}ih va`nih tvr|ewa.
Teorema 25. (1) Za sve prirodne brojevem, n va`im ∈ n⇒ m ⊆ n.(2) Za sve prirodne brojeve m, n va`i m ∈ n⇔ m ⊂ n.(3) Za sve prirodne brojeve m, n va`i m ∈ n ∨m = n ∨ n ∈ m.
DOKAZ. (?) (1) Da bismo dokazali
(∀n ∈N)(∀m ∈N)(m ∈ n⇒ m ⊆ n),
formiramo skup
S = {n ∈N | (∀m ∈N)(m ∈ n⇒ m ⊆ n)}
UML 81
i dokazujemo da je S = N, primenom principa matemati~ke in-
dukcije. Dokaz primenom principa matemati~ke
indukcije mo`emo skratiti tako {to ne
formiramo skup S ve} dokazujemo for-
mule:
(BI) ϕ(n/0)
(IK) (∀n ∈N)(ϕ(n)⇒ ϕ(n/n′)).
(BI) Doka`imo da 0 ∈ S, tj. (∀m ∈N)(m ∈ 0⇒ m ⊆ 0). Kako je
0 = ∅ i znamo da za svako m va`i m 6∈ 0, onda se iz pretpostavkem ∈ 0 izvodi bilo {ta (⊥E), pa i m ⊆ 0. Dakle, 0 ∈ S.(IK) Pretpostavimo da n ∈ S, tj.
(IP) (∀m ∈N)(m ∈ n⇒ m ⊆ n).
Treba da doka`emo n′ ∈ S, tj. (∀m ∈ N)(m ∈ n′ ⇒ m ⊆ n′).Iz m ∈ n′ = n ∪ {n} sledi da m ∈ n ili m = n. U slu~aju da je
m ∈ n, prema (IP) zakqu~ujemo m ⊆ n, pa je m ⊆ n ∪ {n} = n′. Uslu~aju m = n, neposredno zakqu~ujemo da m = n ⊆ n′.
Dakle, S = N.
(2) I u ovom slu~aju koristimo princip matemati~ke indukcije,
ali }emo postupitu malo druga~ije u odnosu na dokaz tvr|ewa (1). Ukoliko treba dokazati formulu oblika
(Φ) (∀m ∈N)(∀n ∈N)ϕ(m, n),
zbog ekvivalentnosti ove formule sa
(∀n ∈N)(∀m ∈N)ϕ(m, n), mo`emo pos-tupiti dvojako:
1) Za proizvoqno izabran m ∈N, for-
miramo skup Sm = {n ∈ N | ϕ(m, n)}i indukcijom dokazujemo Sm = N. Kada
uspemo, zakqu~ujemo (∀m ∈N) Sm = N.
2) Za proizvoqno izabran n ∈ N, for-
miramo skup Sn = {m ∈ N | ϕ(m, n)}i indukcijom dokazujemo Sn = N. Kada
uspemo, zakqu~ujemo (∀n ∈N) Sn = N.
U svakom od navedenih slu~ajeva
neposredno sledi (Φ). U prvom slu~aju
(Φ) dokazujemo indukcijom po n pri fik-
siranomm, a u drugom slu~ajuindukcijom
po m pri fiksiranom n.
Neka je m proizvoqan prirodan broj i
Sm = {n ∈N | m ∈ n⇔ m ⊂ n}.
Dokaza}emo da je Sm = N.
(BI) Znamo dam 6∈ 0 im 6⊂ 0 (prazan skup nema prave podskupove),odakle jednostavno izvodimo m ∈ 0⇔ m ⊂ 0. Dakle, 0 ∈ Sm.
(IK) Pretpostavimo da n ∈ Sm, tj. (IP) m ∈ n⇔ m ⊂ n.Doka`imo m ∈ n′ ⇔ m ⊂ n′.Ako m ∈ n′ = n ∪ {n}, onda m ∈ n ili m = n. U slu~aju da
m ∈ n, prema (IP) sledi m ⊂ n, a time i m ⊂ n′, jer je n ⊂ n′. Uslu~aju da je m = n, onda je o~igledno m ⊂ n′.
Neka je m ⊂ n′ = n ∪ {n}. Doka`imo najpre da n 6∈ m. Ako bi
bilo n ∈ m, imali bismo {n} ⊆ m i, prema (1), n ⊆ m, odakle
sledi n′ = n ∪ {n} ⊆ m ⊂ n′, {to je nemogu}e. Dakle, n 6∈ m, pa
iz m ⊂ n ∪ {n}, sledi m ⊆ n, tj. m ⊂ n ili m = n. U slu~aju da
je m ⊂ n, prema (IP) zakqu~ujemo da m ∈ n, a samim tim i m ∈ n′.U slu~aju da je m = n, direktno dobijamo m = n ∈ n′.
Dakle, Sm = N za svaki prirodan broj m, odakle sledi `eqeno
tvr|ewe.
(3) Neka je S = {m ∈N | (∀n ∈N)(m ∈ n ∨m = n ∨ n ∈ m)}. Ukoliko treba dokazati formulu oblika
(Φ) (∀m ∈N)(∀n ∈N)ϕ(m, n),
zbog ekvivalentnosti ove formule sa
(∀n ∈ N)(∀m ∈ N)ϕ(m, n), mo`emo
formirati skup:
1) S = {n ∈N | (∀m ∈N)ϕ(m, n)} ili2) S = {m ∈N | (∀n ∈N)ϕ(m, n)}i dokazati S = N. Ako S defini{emo
na prvi (odn. drugi) na~in, ka`e se da
formulu Φ dokazujemo indukcijom po m(odn. indukcijom po n). Na koji na~in
}emo postupiti uglavnom se opredequ-
jemo prema formuli ϕ(m, n).
(BI) Doka`imo (∀n ∈N)(0 ∈ n ∨ 0 = n ∨ n ∈ 0).
O~igledno je da za bilo koje n ∈ N va`i n = 0 ili n 6= 0. Uslu~aju da je n = 0, direktno izvodimo 0 ∈ n ∨ 0 = n ∨ n ∈ 0.Ukoliko je n 6= 0, tada je ∅ = 0 ⊂ n, pa prema tvr|ewu (2)
zakqu~ujemo 0 ∈ n, a time i 0 ∈ n ∨ 0 = n ∨ n ∈ 0. Dakle, 0 ∈ S.(IK) Pretpostavimo da m ∈ S, tj. (IP) (∀n ∈ N)(m ∈ n ∨m =
n ∨ n ∈ m).
Da bismo dokazali
(∗) (∀n ∈N)(m′ ∈ n ∨m′ = n ∨ n ∈ m′),
82 UML
izaberimo proizvoqan n ∈ N. Tada prema (IP) va`i m ∈ n ∨m = n ∨ n ∈ m. Razlikujemo tri slu~aja.
1. slu~aj: m ∈ n. Tada je, prema (2), m ⊂ n, pa je m′ = m ∪ {m} ⊆n. Ukoliko je m′ ⊂ n, onda, ponovo prema (2), va`i m′ ∈ n,pa samim tim va`i (∗). Formula (∗) svakako va`i i ukoliko je
m′ = n.2. slu~aj: m = n. Tvr|ewe (∗) va`i jer n ∈ n′ = m′.3. slu~aj: n ∈ m. Neposredno dobijamo n ∈ m′, pa va`i (∗).
Prethodna teorema pokazuje da pripadawe (∈), odnosno strogainkluzija (⊂) na uobi~ajeni na~in ure|uje skup prirodnih bro-
jeva: Skup koji sadr`i elemente svih svojih
elemenata naziva se tranzitivan skup.
Drugim re~ima T je trazitivan ako va`i
(∀x ∈ T)∀t(t ∈ x ⇒ t ∈ T). Ova for-
mula je ekvivalentna formuli ∀x(x ∈T ⇒ x ⊆ T), odnosno (∀x ∈ T) x ⊆ Tili
⋃T ⊆ T. Prema prethodnoj teoremi
(1), svaki prirodan broj je tranzitivan.
O~igledno je i N tranzitivan skup.
0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ 4 ∈ 5 · · · , odnosno 0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ 4 ⊂ 5 · · ·
Zaista, znamo da:
� za svaki prirodan broj n va`i n 6∈ n (ovo je posledica aksiome
regularnosti � teorema 22 (1), ali se mo`e izvesti i bez ove
aksiome, kao posledica prethodne teoreme (2));
� za sve prirodne brojeve k, m, n, ako k ∈ m i m ∈ n, onda k ∈ n(ovo je direktna posledica prethodne teoreme (2)).
Dakle, binarna relacija {(m, n) ∈ N×N | m ∈ n} jeste strogoure|ewe skupa prirodnih brojeva i obele`ava se <. Relaciju 6,tzv. ure|ewe skupa N uvodimo na slede}i na~in:
m 6 n def⇔ m < n ∨m = n.
Posledica 5. Za sve prirodne brojeve m, n va`i
(1) m 6 n⇔ m ⊆ n;(2) m 6 n ∨ n 6 m; (poredak 6 je linearan)
(3) m < n⇔ m′ 6 n;(4) m < n′ ⇔ m 6 n;(5) m < n⇔ m′ < n′ (funkcija sledbenik je monotona).
DOKAZ. (1) Prema prethodnoj teoremi (2) imao da je:
m 6 n ⇔ m < n ∨m = n ⇔ m ⊂ n ∧m = n ⇔ m ⊆ n.
(2) Direktno iz tvr|ewa (3) prethodne teoreme.
(3) Ako je m < n, tj. m ∈ n, onda je {m} ⊆ n i, prema teoremi 25
(1), m ⊆ n, pa je m′ = m ∪ {m} ⊆ n, tj. m′ 6 n.Iz m′ 6 n sledi m′ < n ili m′ = n, i u oba slu~aja, budu}i da
je m < m′, zakqu~ujemo m < n.(4) i (5) Dokaze ostavqamo za ve`bu.
Uvezi sa ure|ewemprirodnihbrojeva je i slede}e veoma zna~ajno
tvr|ewe.
UML 83
Teorema 26. [Princip potpune indukcije] Neka je S ⊆ N. Ako
va`i
(∀n ∈N)((∀k < n) k ∈ S⇒ n ∈ S),
onda je S = N.
DOKAZ. Formulu (∀k < n) k ∈ S mo`emo zapisati i na slede}i
na~in: (∀k ∈ n) k ∈ S.Primetimo najpre da va`i
(BI) (∀k < 0) k ∈ S.
Ova formula je zapravo skra}ewe za ∀k (k ∈ 0 ⇒ k ∈ S), {to se
jednostavno dokazuje, jer znamo da za svako k va`i k 6∈ 0.Nije te{ko uo~iti, a ni formalno dokazati, da je formula
(∀k < n) k ∈ S⇒ n ∈ S
ekvivalentna formuli
(IK) (∀k < n) k ∈ S⇒ (∀k < n′) k ∈ S.
Iz (BI) i (IK), prema principu matemati~ke indukcije, sledi
(∀n ∈N)(∀k < n) k ∈ S.
Najzad, iz posledwe formule i pretpostavke S ⊆ N zakqu~ujemo
S = N.
Teorema 27. Svakineprazan podskup skupa prirodnih brojeva ima
najmawi element.
DOKAZ . Neka je X podskup od N koji nema najmawi element.
Dokaza}emo da X mora biti prazan, tj. da je N \ X = N. Ovu
jednakost dokazujemo primenom principa potpune indukcije.
Neka je n prirodan broj takav da je (∀k < n) k ∈ N \ X. Ako
bi broj n pripadao X, onda bi on bio najmawi element skupa
X, jer svaki k mawi od n pripada N \ X. Dakle, n ∈ N \ X.
Prema principu potpune indukcije zakqu~ujemo da jeN \X = N,
odnosno X = ∅.
Napomena 9. Princip potpune indukcije zapravo tvrdi da za
svaki S ⊆N va`i:
(∀n ∈N)((∀k < n) k ∈ S⇒ n ∈ S)⇒ (∀n ∈N) n ∈ S.
Naravno, za svaki S ⊆N va`i
(∀n ∈N)((∀k < n) k ∈ S{ ⇒ n ∈ S{)⇒ (∀n ∈N) n ∈ S{,
odn. primenom zakona kontrapozicije:
¬(∀n ∈N) n ∈ S{ ⇒ ¬(∀n ∈N)((∀k < n) k ∈ S{ ⇒ n ∈ S{).
84 UML
Posledwa formula se jednostavno trasformi{e u ekvivalentnu
formulu
(∃n ∈N) n ∈ S︸ ︷︷ ︸S je neprazan
⇒ (∃n ∈N)((∀k < n) k 6∈ S ∧ n ∈ S)︸ ︷︷ ︸S ima najmawi element
,
kojom se tvrdi da svaki neprazan podskup od N ima najmawi
element.
Definicija 16. Ure|ewe 6 nekog skupa X je dobro ako svaki
neprazan podskup od X ima najmawi element u odnosu na 6.
Dakle, skup prirodnih brojeva je dobro ure|en skup.
Teorema rekurzije. Osnovne aritmeti~ke operacije
Teorema rekurzije omogu}ava da defini{emo funkcije ~iji je
domen N, na na~in koji potpuno odgovara �prirodi� skupa N.
Teorema 28. [Princip rekurzije] Neka je X neki skup, g ∈ X i
f (0) = gf ◦ ′(n) = h ◦ f (n)
h : X → X. Tada postoji jedinstvena funkcija f : N → X takva
da je
(Rec)
∣∣∣∣∣ f (0) = g,f (n′) = h( f (n)), n ∈N.
DOKAZ. (?) Egzistencija.
Skup F ⊆ N× X nazva}emo (g, h)-skupom ako su zadovoqeni
slede}i uslovi:
1) (0, g) ∈ F i
2) za sve n ∈N i x ∈ X, ako (n, x) ∈ F, onda i (n′, h(x)) ∈ F.
O~igledno je N× X jedan (g, h)-skup, pa je neprazna kolekcija
F svih (g, h)-skupova. Neka je f =⋂F. Tada je f ⊆ N × X.
Dokaza}emo da je f zapravo tra`ena funkcija. Dokaz ove ~iwe- Podse}amo na pojam funkcije: skup f jefunkcija iz A u B, u oznaci f : A → B,ako je f ⊆ A× B i za svako a ∈ A postoji
jedinstveno b ∈ B tako da je (a, b) ∈ f .Ako f : A→ B, umesto (a, b) ∈ f pi{emof (a) = b.
nice je duga~ak samo zato {to }emo nekoliko puta proveravati
uslove 1) i 2), tj. dokazivati da je neki skup zaista (g, h)-skup.
Da bismo olak{ali ~itawe, ove provere su navedene sitnijim
slovima i izdvojene iz ostatka dokaza.
Doka`imo najpre da je f =⋂F jedan (g, h)-skup.
1) Za svako F ∈ F va`i (0, g) ∈ F, odakle sledi da (0, g) ∈ ⋂F = f .2) Pretpostavimo da (n, x) ∈ f =
⋂F. Tada za svako F ∈ F, (n, x) ∈ F,
pa i (n′, h(x)) ∈ F (jer F (g, h)-skup). Dakle, (n′, h(x)) ∈ ⋂F = f .
Daqe, dokazujemo da je f funkcija iz N u X, odn. da za svako
k ∈N postoji jedinstveno y ∈ X tako da (k, y) ∈ f .(BI) Dokazujemo bazu indukcije (k = 0). Kako je f jedan (g, h)-
skup, znamo da (0, g) ∈ f . Pretpostavimo da postoji jo{ jedno
g1 ∈ X takvo da (0, g1) ∈ f i g 6= g1. Neka je f1 = f \ {(0, g1)}.Doka`imo da je f1 jedan (g, h)-skup.
UML 85
1) (0, g) ∈ f1, jer je iz f izba~en samo element (0, g1) i g1 6= g.2) Pretpostavimo da za neke n ∈N i x ∈ X, (n, x) ∈ f1. Budu}i da tada
(n, x) ∈ f imamo i da (n′, h(x)) ∈ f . Kako je (n′, h(x)) 6= (0, g1), jer je
0 6= n′, sledi da (n′, h(x)) ∈ f1.
Dakle, f ′ ∈ F, pa je f =⋂F $ f1, {to je kontradikcija.
(IK) Dokazujemo induktivni korak.
IP Pretpostavimo da za k ∈N postoji ta~no jedan y ∈ X takav
da je (k, y) ∈ f .Po{to je f jedan (g, h)-skup, imamo da (k′, h(y)) ∈ f . Pret-
postavimo da postoji i y1 ∈ X takav da (k′, y1) ∈ f i y1 6= h(y).
Neka je f1 = f \ {(k′, y1)}. Doka`imo da je f1 jedan (g, h)-skup.1) (0, g) ∈ f ′, jer je iz f izba~en samo element (k′, y1) koji je sigurno
razli~it od (0, g), budu}i da je 0 6= k′.2) Pretpostavimo da za n ∈ N i x ∈ X, (n, x) ∈ f1. Iz (n, x) ∈ fsledi (n′, h(x)) ∈ f . Doka`imo da je (n′, h(x)) 6= (k′, y1). Nejednakost je
o~igledno ta~na ako je n′ 6= k′. Ako je n′ = k′, onda je i n = k, pa je x = y(jer je y jedini element iz X takav da (k, y) ∈ f ). Prema izboru elementay1 imamo da je y1 6= h(y) = h(x), odakle sledi (n′, h(x)) 6= (k′, y1).
Dakle, f =⋂F $ f ′, {to je kontradikcija.
Dokaz matemati~kom indukcijom je zavr{en; dokazali smo da je
f funkcija iz N u X. Ova funkcija zadovoqava jednakosti (Rec),
jer je f (g, h)-skup:
Iz uslova 1) proizlazi f (0) = g;
Prema uslovu 2), iz f (n) = x sledi da je f (n′) = h(x), tj.
f (n′) = h( f (n)).
Jedinstvenost.
Pretpostavimo da funkcije f1, f2 : N → X zadovoqavaju jed-
nakosti (Rec). Dokaza}emo da su one jednake, tj. da za svako n ∈N
va`i f1(n) = f2(n). Dokaz izvodimo matemati~kom indukcijom.
(BI) f1(0) = g = f2(0)
(IK) Pretpostavimo da za neko n ∈ N va`i f1(n) = f2(n). Tada
je f1(n′) = h( f1(n)) = h( f2(n)) = f2(n′).
Skup prirodnih brojevaN je su{tinski odre|en svojim (po~et-
nim) elementom 0 i funkcijom (sledbenik) ′ : N → N. Teorema
rekurzije tvrdi da za bilo koji skup X, izabrani element a ∈ Xi funkciju h : X → X, jednakosti (Rec) odre|uju jedinstvenu
funkciju f : N→ X.
f (0) = af (n′) = h( f (n)), tj. f ◦ ′ (n) = h ◦ f (n)
Ukoliko je X neki skup, svaka funkcija izN u X naziva se i niz
u skupu X. Nizovi su veoma va`ni u svim oblastima matematike,
86 UML
pa se usvajaju razni dogovori o oznakama. Argument funkcije
(niza) f : N → X ~esto se zapisuje kao indeks slova kojim je
funkcija ozna~ena: umesto f (n) pi{e se fn. U skladu sa tim,
umesto � f : N → X � pi{e se �( fn)n∈N�. Pored toga, sledbenik
elementa n ∈ N, umesto n′ ozna~ava se n + 1. Uz ove dogovore,
teorema rekurzije tvrdi da za izabrane a ∈ X i h : X → X,
postoji jedinstveni niz ( fn)n∈N odre|en jednakostima:
(Rec)
{f0 = a,fn+1 = h( fn), n ∈N.
Za niz odre|en jednakostima (Rec) ka`emo da je rekurzivno (reku-
rentno, induktivno) definisan.
Iz prethodne teoreme izvodimo i slede}u varijantu principa
rekurzije.
Teorema 29. [Princip rekurzije � II] Neka g : S → X i h : S×X → X. Tada postoji jedinstvena funkcija f : S×N→ X takva
da za svako s ∈ S:
(Rec)
∣∣∣∣∣ f (s, 0) = g(s),f (s, n′) = h(s, f (s, n)), n ∈N.
DOKAZ. Druga varijanta principa rekurzije blisko je povezana
sa prvom. Zaista, ako g : S → X i h : S× X → X, tada za svako
Prva varijanta se mo`e smatrati speci-
jalnim slu~ajem druge ako izaberemo da Sbude singlton. Neka je S = {0}. Funkci-jom g : {0} → X zapravo biramo jedan
element iz X; neka je g(0) = g. Funkcijuh : {0} × X → X mo`emo poistovetiti
sa prirodno definisanom funkcijom iz
X u X: x 7→ h(0, x), x ∈ X.
s ∈ S:
� funkcija g 'bira' jedan element iz X � bira g(s) koji }emo
ozna~iti gs, i
� h odre|uje funkciju hs : X → X, hs(x)def= h(s, x), x ∈ X.
Premaprvoj varijanti principa rekurzije, za svako s ∈ S, postojijedinstvena funkcija fs : N→ X takva da:∣∣∣∣∣ fs(0) = gs,
fs(n′) = hs( fs(n)), n ∈N.
Sve funkcije fs, s ∈ S, odre|uju ('podizawem indeksa u argument')
jedinstvenu funkciju f : S×N → X, f (s, n)def= fs(n) koja zado-
voqava uslove (Rec).
Osnovne ra~unske operacije uvodimoprimenomdruge varijante
teoreme rekurzije, uzimaju}i da je S = X = N.
Sabirawe. Neka je h : N ×N → N funkcija definisana sa
h(x, y) = y′. Prema drugoj varijanti principa rekurzije, pos- h je kompozicija sledbenika ′ : N → N
i druge projekcije π2 : N ×N → N,
π2(x, y) = y: h = ′ ◦ π2.toji jedinstvena funkcija + : N ×N → N koja zadovoqava
jednakosti: idN : N → N je identi~ka funkcija,
idN(n) = n.
UML 87
∣∣∣∣∣ +(m, 0) = idN(m),+(m, n′)) = h(m, +(m, n)),
odnosno
∣∣∣∣∣ +(m, 0) = m,+(m, n′) = s(+(m, n)).
Ako umesto +(m, n) pi{emo m + n, prethodne jednakosti postaju:
(Rec+)
∣∣∣∣∣ m + 0 = m,m + n′ = (m + n)′.
Nije te{ko uo~iti da je n′ = n + 1, za svaki prirodan broj n.Mno`ewe. Pomo}u konstantne funkcije 0 : N→ N, 0(n) = 0, isabirawa + : N×N → N, uvodimo mno`ewe · : N×N → N
slede}im jednakostima:
(Rec·)∣∣∣∣∣ ·(m, 0) = 0(m),·(m, n′) = +(m, ·(m, n)),
odnosno
∣∣∣∣∣ m · 0 = 0,m · n′ = m + (m · n).
Stepenovawe exp : N+ ×N → N, pri ~emu je N+ = N \ {0}i umesto exp(m, n) pi{emo mn, defini{emo slede}im jednakos-
tima: ∣∣∣∣∣ m0 = 1,mn+1 = m ·mn.
Sva poznata svojstva ovih operacija i wihove veze sa ure|ewem
dokazujemo matemati~kom indukcijom.
Teorema 30. Za bilo koje prirodne brojeve k, m, n va`i:
(1) m + n = n + m (sabirawe je komutativno);
(2) k + (m + n) = (k + m) + n (sabirawe je asocijativno);
(3) m · 1 = m (neutral za mno`ewe je 1);(4) m · n = n ·m (mno`ewe je komutativno);
(5) k · (m · n) = (k ·m) · n (mno`ewe je asocijativno);
(6) k · (m + n) = k ·m + k · n (levi zakon distributivnosti);
(7) 1m = 1;(8) m1 = m, pod uslovom m 6= 0;(9) km+n = km · kn, pod uslovom k 6= 0;(10) (k ·m)n = kn ·mn, pod uslovom k, m 6= 0;(11) (km)n = km·n, pod uslovom k 6= 0.
Teorema 31. Za sve k, m, n ∈N va`i:
(1) k < m⇔ k + n < m + n(2) k = m⇔ k + n = m + n(3) m + n = 0⇔ m = n = 0(4) 0 < n ∧ k < m⇒ k · n < m · n(5) 0 < n ∧ k · n = m · n⇒ k = m(6) 0 < n ∧ k · n < m · n⇒ k < m(7) m · n = 0⇔ m = 0∨ n = 0(8) m · n = 1⇔ m = 1∧ n = 1
88 UML
H Kona~ni skupovi. Osnovni kombinatorni principi
Teorema 32. [Dirihleov princip] Za svaka dva prirodna broja mi n, ako je m > n, onda ne postoji 1-1 funkcija iz m u n.
DOKAZ. Dokaz izvodimo indukcijom po n.(BI) Ako je m > 0, tada uop{te ne postoji funkcija iz m u 0(m 6= ∅ i 0 = ∅), pa tvr|ewe trivijalno va`i.
(IK) (IP) Neka je n prirodan broj takav da za bilo koje m > nne postoji 1-1 funkcija iz m u n. Dokaza}emo da tada za svako
m > n′, tako|e ne postoji 1-1 funkcija iz m u n′.Pretpostavimo suprotno: neka je m > n′ i f : m 1−1→ n′. Odavde
sledi da n (n ∈ n′) mora biti f -slika nekog elementa iz m, jer
bi u suprotnom postojala 1-1 funkcija iz m u n, {to nije mogu}e.Tako|e, iz m > n′, sledi da postoji prirodan broj k takav da je
m = k′; f : k ∪ {k} 1−1→ n ∪ {n}. Kako je k′ > n′, prema posledici5 (5) imamo da je k > n , pa ne postoji 1-1 funkcija iz k u n.Razlikujemo dva slu~aja: f (k) = n i f (k) 6= n.
1. slu~aj: f (k) = n. Tada f |k: k 1−1→ n, {to je nemogu}e prema (IP).2. slu~aj: f (k) 6= n. Tada je f (`) = n, za neko ` ∈ k, tj. ` < k.Defini{imo funkciju h : k′ → n′ na slede}i na~in:
h(x) =
f (x), x ∈ k ∧ x 6= `
f (k), x = `,n, x = k.
Nije te{ko uo~iti da h : k′ 1−1→ n′ i da je h(k) = n. Me|utim, tada
h |k: k 1−1→ n, {to nije mogu}e prema (IP).
Posledica 6. Neka su m i n proizvoqni prirodni brojevi.
(1) Postoji 1-1 funkcija iz m u n ako i samo ako je m 6 n.(2) Postoji bijekcija izme|u m i n ako i samo ako je m = n.
Kao {to je dobro poznato, prirodnim brojevima izra`avamo
�broj� (�koli~inu�) elemenata kona~nih skupova.
Definicija 17. Skup X je kona~an ako postoji bijekcija izme|u
X i nekog prirodnog broja n, i u tom slu~aju pi{emo |X| = n.
Prema posledici 6 (2), za svaki kona~an skup X postoji jedin-
stven prirodan broj n takav da je |X| = n i tada ka`emo da je nbroj elemenata skupa X, odn. kardinalnost skupa X jednaka je n.O~igledno je |n| = n za bilo koji prirodan broj n.
Teorema 33. Neka su X i Y neki kona~ni skupovi. Tada va`i:
(1) |X| = 0⇔ X = ∅;
(2) |X| = |Y| ako i samo ako postoji bijekcija izme|u X i Y.(3) |X| 6 |Y| ako samo ako postoji 1-1 funkcija iz X u Y.
UML 89
DOKAZ. (1) Tvr|ewe direktno sledi iz razmatrawa o funkcijama
iz praznog i u prazan skup sa strane 74.
(2) Budu}i da su X iY kona~ni skupovi, postoje prirodni brojevi
m i n i bijekcije f : X1−1−→na m i g : Y
1−1−→na n.(⇒) Pretpostavimo da je m = n. Treba da defini{emo bijek-
ciju izme|u X i Y. Na narednoj slici, znakom ∼ iznad strelice
ozna~avamo da je odgovaraju}a funkcija bijekcija.
Funkcija h : X → Y, data sa h(x) = g−1 ◦ f (x), jeste bijekcija.
(⇐) Neka je h : X1−1−→na Y neka bijekcija izme|u X i Y. Tada se,
analogno prethodnom slu~aju, defini{e bijekcija izme|u m i n,{to prema posledici 6 (2) zna~i da je m = n, tj. |X| = |Y|.
(3) Dokaz ostavqamo za ve`bu.
Teorema 34. Neka je n bilo koji prirodan broj.
(1) Svaki podskup a od n je kona~an i va`i |a| 6 n.(2) Za svaki a ⊂ n ne postoji bijekcija izme|u n i a.(3) Za svaku funkciju f iz n u n va`i: f : n 1−1→ n akko f : n na→ n.
DOKAZ. (1) (BI) Jedini podskup od 0, tj. od ∅, jeste ∅ pa tvr|ewe
o~igledno va`i.
(IP) Neka je n prirodan broj za koji va`i tvr|ewe.
Pretpostavimoda je a ⊆ n′ = n∪{n}. Razlikujemo dva slu~aja.1. slu~aj: n 6∈ a. Tada je a ⊆ n, pa prema (IP) skup a je kona~an i|a| 6 n < n′.2. slu~aj: n ∈ a. Tada je a1 = a \ {n} ⊆ n, pa iz (IP) sledi da je
a1 kona~an skup i |a1| 6 n. Neka je |a1| = m, za neko m 6 n, i
f : a11−1−→na m. Defini{imo funkciju h : a→ m′:
h(x) =
{f (x), x ∈ a1,m, x = n.
Nije te{ko uo~iti da je h bijekcija, pa je |a| = m′ 6 n′.(2) (BI) Ne postoje pravi podskupovi od 0, pa tvr|ewe trivijalnova`i.
(IP) Neka je n prirodan broj za koji va`i tvr|ewe.
Pretpostavimo da je a ⊂ n′ = n ∪ {n} i f : a1−1−→na n′. Razliku-
jemo dva slu~aja.
90 UML
1. slu~aj: n 6∈ a. Tada je a ⊆ n, a1 = a \ { f−1(n)} ⊂ a ⊆ n i
f |a1 : a11−1−→na n, {to je nemogu}e prema (IP).
2. slu~aj: n ∈ a. Razlikujemo dva podslu~aja.
2.1. slu~aj: f (n) = n. Tada je a1 = a \ {n} ⊂ n i f |a1 : a11−1−→na n,
pa ponovo dolazimo do kontradikcije sa (IP).2.2. slu~aj: f (n) 6= n. Tada f (n) = k, za neko k ∈ n. Tako|e,
postoji ` ∈ n takav da je f (`) = n. Neka je h : a → n funkcija
definisana sa
h(x) =
f (x), x ∈ a \ {`, n},
n, x = n,k, x = `.
Jednostavno se uo~ava da h : a1−1−→na n′ i da je h(n) = n, pa se ponovo
izvodi kontradikcija kao u prethodnom slu~aju.
(3) Ako je n = 0 tvr|ewe trivijalno va`i. Pretpostavimo zato
da je n 6= 0.(⇒) Neka f : n 1−1→ n. O~igledno je f [n] ⊆ n. Ne mo`e biti
f [n] ⊂ n, jer bi tada bilo f : n1−1−→na f [n], {to je nemogu}e prema
tvr|ewu (2). Dakle, f [n] = n, tj. f je na funkcija.(⇐) Pretpostavimo f : n na→ n. Tada je za svako k ∈ n, skupf−1[{k}] neprazan podskup od n, pa ima (jedinstven) najmawi el-ement, koji }emo ozna~iti min f−1[{k}]. Lako se proverava da
je funkcija g : n → n, g(k) = min f−1[{k}], k ∈ n, zapravo 1-
1 funkcija: ako je k1 6= k2, onda je f−1[{k1}] ∩ f−1[{k2}] = ∅,
pa mora biti min f−1[{k1}] 6= min f−1[{k2}], tj. g(k1) 6= g(k2).
Samim tim, prema delu dokaza (⇒), funkcija g mora biti i na
funkcija, odnosno g : n1−1−→na n. Primetimo da je f ◦ g = idn, tj.
f (g(k)) = k, za svako k ∈ n.Na osnovu izvedenih zakqu~aka, dokazujemo da je f 1-1 funkcija.
Neka je f (k1) = f (k2). Tada postoje jedinstveni `1 i `2 takvi da
je g(`1) = k1 i g(`2) = k2. Iz f (g(`1)) = f (g(`2)), sledi da je
`1 = `2, pa mora biti i k1 = k2.
Posledica 7. Neka je X kona~an skup.
(1) Svaki podskup A od X je kona~an i va`i |A| 6 |X|.(2) Za svaki A ⊂ X ne postoji bijekcija izme|u X i A.
(3) Za svaku funkciju f iz X u X va`i: f : X 1−1→ X akko f : X na→ X.
DOKAZ. Sva tvr|ewa su jednostavne posledice prethodne teoreme.
Ukratko }emo opisati samo dokaz tvr|ewa (1). Ostala dva ostav-
qamo za ve`bu.
(1) Neka je n prirodan broj i f : X1−1−→na n. Tada je f [A] ⊆ n, pa je
f [A] kona~an skup i | f [A]| 6 n = |X|. Odavde izvodimo `eqeni
UML 91
zakqu~ak, jer su skupovi f [A] i A iste kardinalnosti (funkcija
f odre|uje jednu bijekciju izme|u A i f [A]).
Teorema 35. Neka su X i Y proizvoqni kona~ni skupovi.
(1) [Princip zbira] Ako je X ∩Y = ∅, onda je |X ∪Y| = |X|+ |Y|.(2) [Princip proizvoda] X×Y = |X| · |Y|.
DOKAZ . Navedena tvr|ewa mo`emo formulisati i na slede}i
na~in: za svaka dva prirodna broja m i n, i svaka dva skupa
X i Y,(1) ako je |X| = m, |Y| = n i X ∩Y = ∅, onda je |X ∪Y| = m + n;(2) ako je |X| = m i |Y| = n, onda je |X×Y| = m · n.
Na osnovu ovih reformulacija tvr|ewa uo~avamo da dokaze
mo`emo sprovesti i indukcijom po n (pri fiksiranom m).
Neka je m proizvoqan prirodan broj.
(1) (BI) Neka je |X| = m, |Y| = 0 i X ∩ Y = ∅. Iz |Y| = 0 sledi
da je Y = ∅ (teorema 33 (1)), pa je X ∪ Y = X i |X ∪ Y| = |X| =
m = m + 0.(IP) Neka je n prirodan broj takav da za sve skupove X i Y, iz
|X| = m, |Y| = n i X ∩Y = ∅ sledi |X ∪Y| = m + n.Pretpostavimo da je |X| = m, |Y| = n′ i X ∩ Y = ∅. Tada
postoji bijekcija f : Y → n′. Neka je Y1 = Y \ { f−1(n)}.Koriste}i bijekciju f neposredno mo`emo definisati bijekcijuizme|u Y1 i n, odakle sledi da je |Y1| = n. Kako je X ∩ Y1 = ∅,
prema (IP) zakqu~ujemo da postoji bijekcija g : X ∪Y11−1−→na m + n.
Defini{imo, najzad, funkciju h : X ∪Y → (m + n)′:
h(x) =
{g(x), x ∈ X ∪Y1,
m + n, x = f−1(n).
O~igledno je h bijekcija, a kako je (m + n)′ = m + n′, tvr|ewe jedokazano.
(2) (BI) Neka je |X| = m, |Y| = 0. Iz |Y| = 0 sledi da je Y = ∅,
pa je X×Y = ∅ i |X×Y| = 0 = m · 0.(IP) Neka je n prirodan broj takav da za sve skupove X i Y, iz
|X| = m i |Y| = n sledi |X×Y| = m · n.Pretpostavimo da je |X| = m i |Y| = n′. Tada postoji bijekcija
f : Y → n′. Neka je y = f−1(n) i Y1 = Y \ {y}. Kako je |Y1| = n,prema (IP) zakqu~ujemo da je |X × Y1| = m · n. Jednostavno je
uo~iti da je |X × {y}| = |X| = m (na primer, h : X × {y}1−1−→na X,
h(x, y) = x, x ∈ X). Kako je Y = {y} ∪ Y1 (i y 6∈ Y1), to je
X × Y = (X × {y}) ∪ (X × Y1) i (X × {y}) ∩ (X × Y1) = ∅, pa
prema (1) dobijamo
|X×Y| = |X× {y}|+ |X×Y1| = m + m · n = m · n′.
92 UML
Posledica 8. (1) Ako su X i Y kona~ni skupovi, onda je
|X ∪Y|+ |X ∩Y| = |X|+ |Y|.
(2) Unija dva kona~na skupa je kona~an skup.
(3) Dekartov proizvod dva kona~na skupa je kona~an skup.
H Beskona~ni skupovi. Kantor-Bern{tajnova teorema
Nisu svi skupovi kona~ni. Na primer, da skup N nije kona~an
mo`emo se uveriti na vi{e na~ina. Navodimo samo dva.
� Skup N+ = N \ {0} je pravi podskup od N i postoji bijekcija
izme|u N i N+; na primer, funkcija f : N→ N+, f (n) = n′,n ∈N, jeste bijekcija. Prema posledici 7 (2), skup N ne mo`e
biti kona~an.
� Funkcija sledbenik ′ : N → N je 1-1 funkcija, ali nije na
funkcija (0 nije sledbenik nijednog prirodnog broja), pa premaposledici 7 (3) zakqu~ujemo da N nije kona~an.
Definicija 18. Skup je beskona~an ako nije kona~an.
Upore|ivawebeskona~nih skupovapo �broju� elemenata defini{emo
po uzoru na tvrdwe (2) i (3) teoreme 33, koje se odnose na kona~ne
skupove.
Definicija 19. (1) Skupovi A i B su iste kardinalnosti (imaju
isti broj elemenata), u oznaci |A| = |B| ako postoji bijekcija
izme|u A i B.(2) Kardinalnost skupa A je mawa od ili jednaka kardinalnosti
skupa B, u oznaci |A| 6 |B| ako postoji 1-1 funkcija iz A u B.
Teorema 36. Za proizvoqne skupove A, B, C va`i:
(1) |A| = |A|;(2) ako je |A| = |B|, onda je |B| = |A|;(3) ako je |A| = |B| i |B| = |C|, onda je |A| = |C|.
DOKAZ. (1) idA : A1−1−→na A.
(2) Ako f : A1−1−→na B, onda f−1 : B
1−1−→na A.
(3) Ako f : A1−1−→na B i g : B
1−1−→na C, onda g ◦ f : A1−1−→na C.
Teorema 37. Za proizvoqne skupove A, B, C va`i:
(1) |A| 6 |A|;(2) ako je |A| 6 |B| i |B| 6 |C|, onda je |A| 6 |C|.
DOKAZ. Tvr|ewe (1) direktno sledi iz prethodne teoreme. Tvrd-
jewe (2) va`i jer iz f : A 1−1→ B i g : B 1−1→ C sledi g ◦ f : A 1−1→C.
UML 93
Teorema 38. [Kantor-Bern{tajnova teorema] Neka su A i B bilo
koji skupovi. Ako je |A| 6 |B| i |B| 6 |A|, onda je |A| = |B|.
Najpre dokazujemo jednu korisnu lemu.
Lema 8. Neka je A bilo koji skup i F : P(A) → P(A) funkcija
koja zadovoqava slede}i uslov:
(∗) (∀X, Y ∈ P(A)) X ⊆ Y ⇒ F(X) ⊆ F(Y).
Tada postoji E ⊆ A takav da je F(E) = E.
DOKAZ . Neka je E = {X | X ⊆ A ∧ X ⊆ F(X)} i E =⋃E.
Dokaza}emo da je E fiksna ta~ka funkcije F, tj. F(E) = E.Primetimo najpre da va`i:
E =⋃
X∈EX ⊆
⋃X∈E
F(X)(!)⊆F(
⋃X∈E
X) = F(E).
Inkluzija ozna~ena znakom uzvika va`i jer za svako X ∈ E, X ⊆⋃X i F(X) ⊆ F(
⋃X), prema (∗). Iz uslova (∗) dobijamo i da je
F(E) ⊆ F(F(E)), odakle sledi da F(E) ∈ E, pa je F(E) ⊆ ⋃E = E.Dakle, F(E) = E.
DOKAZ. [Kantor-Bern{tajnova teorema] Neka f : A 1−1→ B i g :
B 1−1→ A. O~igledno je da se pomo}u funkcije f mo`e definisatibijekcija izme|u skupova A i f [A], a pomo}u funkcije g bijekcijame|u skupovima B i g[B]. Me|utim, mogu}e je da skupovi f [A] i
g[B] budu pravi podskupovi, redom od B i A.
Naravno, sli~no zapa`awe va`i i za podskupove od A, odn.B: ako je X ⊆ A, onda je f odre|uje jednu bijekciju izme|u X i
f [X], a ako je Y ⊆ B, onda g odre|uje bijekciju izme|u Y i g[Y].
Kqu~no pitawe je da li postoji podskup E ⊆ A takav da g odre|ujebijekciju izme|u B \ f [E] i A \ E, tj. da va`i
g[B \ f [E]] = A \ E, odn. E = A \ g[B \ f [E]].
94 UML
Drugim re~ima, treba ispitati da li postoji fiksna ta~ka
funkcije F : P(A) → P(A), F(X) = A \ g[B \ f [X]], X ∈ P(A).
Prema prethodnoj lemi, dovoqno je proveriti da li va`i uslov
(∗). Za bilo koje X1, X2 ⊆ A va`i:
X1 ⊆ X2 ⇒ f [X1] ⊆ F[X2]
⇒ B \ f [X1] ⊇ B \ F[X2]
⇒ g[B \ f [X1]] ⊇ g[B \ F[X2]]
⇒ A \ g[B \ f [X1]] ⊆ A \ g[B \ F[X2]]
⇔ F(X1) ⊆ F(X2).
Dakle, prema pomenutoj lemi, postoji skup E takav da je F(E) = E,tj. g[B \ f [E]] = A \ E. Primetimo da za svako x ∈ A \ E, postojijedinstveni (jer je g 1-1 funkcija) element iz B ~ija je g-slikajednaka x; taj jedinstveni element iz B ozna~i}emo sa g−1(x).
Sada nije te{ko definisati `eqenu bijekciju. Neka je h : A→ Bfunkcija data sa:
h(x) =
{f (x), x ∈ E,
g−1(x), x ∈ A \ E
Dokaz da je h bijekcija ostavqamo za ve`bu.
Upore|ivawe beskona~nih skupova po kardinalnosti (po broju
elemenata) ima smisla, jer se ispostavqa da postoje razne �vrste
beskona~nosti� i da od svakog beskona~nog skupa postoji neki
�beskona~niji�, tj. ve}e kardinalnosti.
Definicija 20. Kadrinalnost skupa A je mawa od kardinalnosti
skupa B, u oznaci |A| < |B|, ako je |A| 6 |B| i |A| 6= |B|.
Teorema 39. Za svaki skup A, |A| < |P(A)|.
DOKAZ. Nije te{ko uo~iti da je |A| 6 |P(A)|. Zaista, funkcijaf : A→ P(A), f (x) = {x}, x ∈ A, jeste 1-1 funkcija.Ostaje jo{ da poka`emo da ne postoji bijekcija izme|u A i
P(A). Pretpostavimo suprotno, da h : A1−1−→na P(A). Defini{imo
skup
K = {x ∈ A | x 6∈ h(x)}.
O~igledno K ∈ P(A), pa po{to je h na funkcija, postoji k ∈ Atakav da je h(k) = K. Da li k pripada ili ne pripada skupu K?1. mogu}nost: k ∈ K. Iz h(k) = K sledi k ∈ h(k), {to prema
definiciji skupa K, zna~i da k 6∈ K. Kontradikcija.1. mogu}nost: k 6∈ K. Iz h(k) = K sledi k 6∈ h(k), {to prema
definiciji skupa K, zna~i da k ∈ K. Kontradikcija.Iz dobijenih kontradikcija zakqu~ujemo da ne postoji bijek-
cija izme|u A i P(A).
UML 95
Napomena 10. Dokaz posledwe teoreme je star preko sto godina.
Va`na neposredna posledica ovog tvr|ewa je da ne postoji skup
svih skupova. Ako bi postojao takav skup V, tada bismo imali
da je P(V) ⊆ V (jer je svaki podskup od V istovremeno i element
V) pa i |P(V)| 6 |V|. Tako|e, svi jedno~lani skupovi ne obrazujuskup, jer ako bi K bio skup svih jedno~lanih skupova, tada bi
za svaki skup x bilo x ∈ {x} ∈ K, tj. x ∈ ∪K, pa bi skup ∪Ksadr`avao sve skupove. Interesantno je, tako|e, razmotriti kakve
posledice ima nejednakost |x| < |P(x)|, ukoliko je x beskona~an
skup.
Upore|ivawe skupova brojeva po kardinalnosti je glavni �kri-
vac� nastanka teorije skupova jer se wenim prvim rezultatima
smatraju Kantorove teoreme |N| = |Q| i |N| < |R|. Slobodnijere~eno, posledwa nejednakost nam govori da postoji neka vrsta
beskona~nosti vi{eg reda, tj. da i od beskona~nih skupova ima
strogo �brojnijih�, budu}i da je skupN beskona~an. [tavi{e, ko-
riste}i dokazanu nejednakost |x| < |P(x)|, mo`emo konstruisatibeskona~an, strogo rastu}i po kardinalnosti, niz beskona~nih
skupova.
|N| < |P(N)| < |P(P(N))| < · · · < |P(· · ·P(P︸ ︷︷ ︸n
(N)) · · · )| < · · ·
H Prebrojivi i neprebrojivi skupovi
Definicija 21. Skup X je prebrojiv ako je |X| = |N|.
Da je X prebrojiv ozna~ava se i |X| = ℵ0.
Teorema 40. Svaki podskup prebrojivog skupa je kona~an ili pre-
brojiv.
DOKAZ. Dokaza}emo da je svaki beskona~an podskup od N prebro-
jiv. Iz toga jednostavno zakqu~ujemo da navedeno tvr|ewe va`i.
Neka je A beskona~an podskup od N. Budu}i da je |A| 6 |N|(funkcija f : A → N, f (a) = a, a ∈ A, jeste 1-1 funkcija),
prema Kantor-Bern{tajnovoj teoremi treba jo{ pokazati da je
|N| 6 |A|.Defini{imo najpre jedan niz podskupova od A. Primenom
teoreme rekurzije defini{emo E : N→ P(A):{E0 = ∅,En+1 = En ∪ {min(A \ En)}.
Jednostavno se dokazuju slede}e ~iwenice:
� za svako n ∈N, En je kona~an podskup od A, pa je i A \ En 6= ∅;
96 UML
� E je strogo rastu}i (u odnosu na inkluziju) niz, tj. za sve
m, n ∈N, iz m < n sledi Em ⊂ En;
� za svako n ∈N i svako m > n, min(A \ En) ∈ Em.
Neka je h : N → A, h(n) = min(A \ En). Doka`imo da je h 1-1
funkcija. Pretpostavimo da je n1 6= n2. Bez gubqewa op{tosti
mo`emo uzeti da je n1 < n2. Iz h(n1) = min(A \ En1) ∈ En2 ,
zakqu~ujemo da mora biti h(n1) 6= h(n2).
Definicija 22. Skup je najvi{e prebrojiv ako je kona~an ili pre-
brojiv. Beskona~an skup je neprebrojiv ako nije najvi{e prebro-
jiv.
Iz prethodne teoreme sledi da je svaki podskup prebrojivog
skupa najvi{e prebrojiv.
Teorema 41. Skup A je najvi{e prebrojiv akko je |A| 6 |N|.
Teorema 42. Ako postoji funkcija iz N na skup A, f : Nna→ A,
onda je A najvi{e prebrojiv.
DOKAZ. Neka f : Nna→ A. Tada je za svako a ∈ A, skup
f−1[{a}] = {n ∈N | f (n) = a}
neprazan podskup od N, pa samim tim ima najmawi element. Neka
je g : A → N funkcija definisana sa: g(a) = min f−1[{a}],a ∈ A. Funkcija g je 1-1 funkcija, jer ako je a1 6= a2, onda je
f−1[{a1}] ∩ f−1[{a2}] = ∅, pa mora biti g(a1) 6= g(a2). Dakle,
|A| 6 |N|.
U nastavku }emo dokazati neke ~iwenice u vezi sa prebro-
jivim skupovima koje se ~esto koriste (podrazumevaju) u mnogim
matemati~kim oblastima.
Teorema 43. (1) Skup N ×N je prebrojiv. Uop{te, Dekartov
proizvod dva prebrojiva skupa je prebrojiv.
(2) Za svako n > 3, skup Nn je prebrojiv.
(3) Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup.
(4) Skup kona~nih nizova prebrojivog skupa je prebrojiv.
(5) Skup kona~nih podskupova prebrojivog skupa je prebrojiv.
DOKAZ. (1) Nije te{ko pokazati da su funkcije:
� f : N→N×N, f (n) = (n, 0),
� g : N×N→N, g(m, n) = 2m · 3n,
1-1 funkcije, pa je |N×N| = |N|, prema Kantor-Bern{tajnovojteoremi.
UML 97
(2) Jednostavno se dokazuje indukcijom.
(3) Prebrojiva familijom prebrojivih skupova jeste zapravo niz
skupova (An)n∈N, od kojih je svaki prebrojiv, |An| = |N|, zasvako n ∈ N. Treba dokazati da je skup A =
⋃n∈N An tako|e
prebrojiv.
Za svako n ∈ N, skup An je prebrojiv, pa postoji bijekcija
fn : N1−1−→na An. Defini{imo funkciju f : N×N→ A na slede}i
na~in:
f (m, n) = fm(n), (m, n) ∈N×N.
Funkcija f je na funkcija: za svako a ∈ A =⋃
n∈N An, postoji
m ∈N takav da a ∈ Am. Kako je fm bijekcija izme|uN i Am, daqe
sledi da postoji n ∈ N takav da je fm(n) = a, pa je f (m, n) = a.Prema teoremi 42 zakqu~ujemo da je A najvi{e prebrojiv skup,
odnosno prebrojiv, jer o~igledno nije kona~an.
(4) Tvr|ewe direktno sledi iz (2) i (3):⋃
n∈N Nn je prebrojiv.
(5)Svakomkona~nomnizunaprirodanna~inpridu`ujemokona~an
skup (~iji su elementi ~lanovi niza): Npr:
(1, 2) 7→ {1, 2}(1, 2, 1, 1) 7→ {1, 2}(0, 0, 0) 7→ {0} . . .(x1, . . . , xk) 7→ {x1, . . . , xk}
pri ~emu, praznom nizu pridru`ujemo prazan skup. Na ovaj na~in,
definisana je funkcija iz skupa svih kona~nih nizova prirodnih
brojeva na skup svih kona~nih podskupova prirodnih brojeva.
Prema (4) i Teoremi 42 izvodimo `eqeni zakqu~ak.
98 UML
6. Operacijsko-relacijske strukturePojam matemati~ke strukture zauzima centralno mesto u savre-
menoj matematici. Uop{teno govore}i, matemati~ku strukturu Iako se ideja strukture, u izvesnom
smislu, sre}e i u radovima Lajbnica,
veruje se da je [reder 1895. godine prvi
put definisao pojam apstraktne struk-
ture.
~ini neki skup, takozvani domen, nosa~ ili univerzum strukture,
zajedno sa nekim drugim skupovima (funkcijama, relacijama, . . . )
unapred odre|enog tipa koji su na izvestan na~in povezani sa
domenom.
Definicija 23. Neka je S proizvoqan neprazan skup i n > 1.(1) Svaka funkcija iz Sn u S, naziva se n-arna operacija skupa
S. Posebno, funkcije iz S u S nazivamo unarnim operacijama; Sn = S× · · · × S︸ ︷︷ ︸n puta
je skup svih ure|enih
n-torki elemenata iz S.funkcije iz S× S u S nazivamo binarnim operacijama.
(2) Svaki podskup od Sn, naziva se n-arna relacija skupa S.Posebno, podskupove od S nazivamo unarnim relacijama; pod-
skupove od S× S nazivamo binarnim relacijama. Ako je R ⊆ Sn
i a1, . . . , an ∈ S, umesto (a1, . . . , an) ∈ R pi{emo R(a1, . . . , an)
i ~itamo �elementi a1, . . . , an su u relaciji R�. Svaku n-arnurelaciju mo`emo posmatrati kao funkciju iz Sn u dvo~lani skup
{0, 1} isnitosnih vrednosti (0 za 'neta~no', 1 za 'ta~no'), i samimtim iskaze
'R(a1, . . . , an) je ta~no' i 'R(a1, . . . , an) je neta~no'
zapisati kao jednakosti
R(a1, . . . , an) = 1 i R(a1, . . . , an) = 0.
PRIMER 53. Binarnu operaciju ∗ : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2}skupa {0, 1, 2} datu sa
∗ =
((0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2)
0 0 1 1 2 0 0 2 1
)
predstavqamo i tzv. Kejlijevom tablicom.
∗ 0 1 20 0 0 21 1 2 02 0 2 0
Uobi~ajeno je da se umesto ∗(x, y) pi{e x ∗ y.Binarne relacije tako|e mo`emo zadati tablicama. Relaciju ρ ⊆
{0, 1, 2} × {0, 1, 2},
ρ = {(0, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 0)}
UML 99
mo`emo posmatrati i kao funkciju ρ : {0, 1, 2} × {0, 1, 2} → {0, 1} izadati je u obliku tablice:
ρ 0 1 20 1 1 01 0 0 12 1 0 0
Uobi~ajeno je da se binarne operacije ozna~avaju raznim speci-
jalnim simbolima +, ·, ∗, ?, ⊕ itd, kao i da se koristi tzv.
infiksna notacija � oznaku operacije navodimo izme|u argume-
nata (za razliku od prefiksne notacije gde se oznaka operacije
navodi ispred argumenata). Sli~no tome, za binarne relacije
tako|e koristimo infiksnu notaciju � oznaku relacije koris-
timoizme|u koordinata para koji ta relacija sadr`i. Naprimer,
za ∗ : S× S→ S i ρ ⊆ S× S i proizvoqne a, b ∈ S:
� umesto ∗(a, b) pi{emo a ∗ b; isti~emo da a ∗ b odre|uje jedan
element skupa S � rezultat primene operacije ∗ na argumente ai b;
� umesto (a, b) ∈ ρ, tj. ρ(a, b) pi{emo a ρ b; isti~emo da aρbpredstavqa iskaz koji mo`e biti ta~an ili neta~an.
H Strukture i wihov vokabular
Operacisjko-relacijske strukture
Operacijsko-relacijsku strukturu ~ini skup zajedno sa nekim
svojimoperacijama, relacijamai elementima (konstantama). Ovak- Pojam n-arne operacije mo`emo
uop{titi i u slu~aju kada je n = 0.Za bilo koji skup S, skup Sn mo`emo
posmatrati kao skup svih n-to~lanihnizova elemenata iz S; shodno tome, skupS0 mo`emo posmatrati kao skup svih
nizova du`ine 0. Budu}i da postoji
samo jedan niz du`ine 0, skup S0 je
jedno~lan, pa neku funkciju iz S0 u Sodre|uje izbor samo jednog elementa iz
S (u koji preslikavamo jedini element
skupa S0). Zato elemente (konstante) iz Sposmatramo i kao 0-arne operacije skupaS.
ve strukture zadajemo tako {to navedemo, u obliku niza, sve ono
{to je ~ini.
PRIMER 54. Standardnu strukturu prirodnih brojeva ~ini skup pri-
rodnih brojevaN, zajedno sa relacijom ure|ewa6, unarnom operacijom
sledbenik ′ : N→N, (binarnim operacijama) sabiarwem i mno`ewem
+, · : N×N→N, i konstantom 0: (N,6, ′, +, ·, 0).
Strukture ~esto ozna~avamo masnim slovima A, B, C, . . . , popotrebi sa indeksima, pri ~emu uglavnom koristimo slova kojima
su ozna~eni domeni (nosa~i) tih struktura, A, B, C, . . . , sa odgo-varaju}im indeksima. Na primer, pi{emo N = (N,6, ′, +, ·, 0).
Kardinalnost strukture je kardinalnostwegovog domena: ka`emo
da je neka struktura kona~na (prebrojiva, neprebrojiva) ako jewen
domen kona~an (prebrojiv, neprebrojiv). Na primer, N je primer
prebrojive strukture.
100 UML
Vokabular strukture
Simboli kojima ozna~avamo relacije, operacije i konstante
neke strukture nazivamo vokabularom te strukture. Vokabular Na primer, vokabular strukture N ~ine
simboli: 6, ′, +, ·, 0zajedno sa logi~kim simbolima ~ine alfabet tzv. jezika prvog
reda koji koristimo za opisivawe strukture:
LOGI^KI SIMBOLI VOKABULAR STRUKTURE
promenqive: simboli konstanti;
x, y, z, x1, y1, z1, . . . simboli operacija, pri ~emu je za svaki
simbol odre|ena wegova du`ina;
znak jednakosti: = simboli relacija, pri ~emu je za svaki
logi~ke konstante: ⊥, > simbol odre|ena wegova du`ina.
logi~ki veznici: (unarni) ¬,(binarni) ∧, ∨,⇒,⇔kvantifikatori: ∀, ∃pomo}ni znaci: leva i desna zagrada, zapeta
Logi~ki simboli su nepromenqivi deo jezika prvog reda, dok
simbole vokabulara odre|uje tip struktura koje posmatramo.
Izrazi
Izraze gradimo induktivno, na uobi~ajen na~in, koriste}i
promenqive, simbole konstanti, simbole operacija i pomo}ne
znake:
� Promenqive i simboli konstanti su izrazi;
� Ako je F simbol operacije du`ine n i ako su t1, . . . , tn izrazi,
onda je F(t1, . . . , tn) izraz. Specijalno, ako je F simbol binarne op-
eracije, i t1, t2 izrazi, onda je umesto
F(t1, t2) uglavnom pi{emo t1Ft2.Ako je t neki izraz, saV(t) ozna~i}emo skup onih promenqivihkoje u~estvuju u gra|ewu izraza t. Naravno, za svaki izraz t, skupV(t) je kona~an: Primeri izraza nad vokabularom struk-
ture N: 0, (x + 0)′, (0′ · (x + 0′)) itd.
� V(v) = {v}, za promenqivu v; V(c) = ∅, za simbol konstante
c;
� V(F(t1, . . . , tn)) = V(t1) ∪ · · · ∪ V(tn), za simbol operacije Fdu`ine n i izraze t1, . . . , tn.
Atomske formule. Formule
Logi~ke konstante smatramo atomskim formulama. Slo`enije
atomske formule dobijamo povezivawem dva izraza znakom jed-
nakosti, odn. povezivawem odgovaraju}eg broja izraza simbolom
relacije. Primeri atomskih formula nad vokab-
ularom strukture N: 0 = 0, 0 6 0′,(x · 0) 6 (x + 0), x + y = y + x itd.
� Logi~ke konstante ⊥ i > su atomske formule;
� Ako si t1 i t2 izrazi, onda je t1 = t2 atomska formula;
UML 101
� Ako je R simbol relacije du`ine n i ako su t1, . . . , tn izrazi,
onda je R(t1, . . . , tn) atomska formula.
Formule defini{emo induktivno, polaze}i od atomskih for-
mula i povezuju}i ih logi~kim veznicima, odn. postavqawem
kvantifikatora sa promenqivom. Primeri formula nad vokabularom
strukture N: 0 = x, 0 = 0 ∧ ¬0′ 6 0,0′ 6 x ⇒ x 6 (x · x), ¬∃x(x + 0′) = 0,∀x∀y(x + y = y + x) itd.
� Atomske formule su formule;
� Ako je α formula, onda je ¬α tako|e formula;
� Ako su α i β formule i ∗ ∈ {∨,∧,⇒,⇔}, onda je (α ∗ β)
formula;
� Ako je α formula, v neka promenqiva, onda su ∀vα i ∃vα for-
mule.
Slobodna i vezana pojavqivawa promenqivih
Pojavqivawe promenqive u formuli mo`e biti slobodno ili
vezano. Svako pojavqivawe promenqive koje nije pod dejstvom
kvantifikatora naziva se slobodnim, a ona pojavqivawa koja
jesu pod dejstvom kvantifikatora nazivaju se vezanim.
Sve promenqive koje imaju slobodna pojavqivawa u nekoj for-
muli nazivaju se slobodne promenqive te formule. Skup svih
slobodnih promenqivih formule α ozna~avamo Fr(α) i precizno
defini{emo indukcijom po slo`enosti formule:
� Fr(⊥) = Fr(>) = ∅;
� Fr(t1 = t2) = V(t1) ∪V(t2);
� Fr(R(t1, . . . , tn)) = V(t1) ∪ · · · ∪V(tn);
� Fr(¬α) = Fr(α);
� Fr(α ∗ β) = Fr(α) ∪ Fr(β), ∗ ∈ {∨,∧,⇒,⇔};
� Fr(∀xα) = Fr(∃xα) = Fr(α) \ {x}.
Za svaku formulu α, skup Fr(α) je kona~an.
Vrednost izraza
Izrazima, nad vokabularomneke struktureS, defini{u se novefunkcije, zapravo operacije nad S, na sasvim prirodan na~in.
Ako je V(t) ⊆ {x1, . . . , xn}, onda izraz t ozna~avamo t(x1, . . . , xn)
kada `elimo da istaknemo su sve promenqive koje u~estvuju u
gra|ewu izraza t neke od promenqivih x1, . . . , xn. Dodequju}i
promenqivama x1, . . . , xn redom neke vrednosti a1, . . . , an iz S,dobijamo jedinstvenu vrednost t(a1, . . . , an) ∈ S:
Sn 3 (a1, . . . , an) 7→ t(a1, . . . , an) ∈ S;
102 UML
na ovaj na~in je definisana jedna funkcija (zapravo n-arna op-eracija) iz Sn u S. Najjednostavnije funkcije definisane izraz-ima jesu projekcije i konstante funkcije (tj. funkcije odre|ene
najjednostavnijim izrazima):
(x1, . . . , xn) 7→ xi, (1 6 i 6 n) i (x1, . . . , xn) 7→ c.
Slo`enije funkcije odre|uju neki izrazi t1, . . . , tm, takvi da je
V(t1), . . . , V(tm) ⊆ {x1, . . . , xn} ineki simboloperacije F du`inem:
(x1, . . . , xn) 7→ F(t1, . . . , tm).
Funkcije definisane izrazima mo`emo opisati i na slede}i
na~in: polaze}i od projekcija i konstantnih funkcija,
(x1, . . . , xn) 7→ xi, (1 6 i 6 n) i (x1, . . . , xn) 7→ c,
slo`enije funkcije generi{emo tzv. supstitucijama � postav-
qawem ve} definisanih funkcija kao argumenata nekog simbola
operacije.
PRIMER 55. Navodimo nekoliko funkcija definisanih izrazima nad Koristimo uobi~ajene konvencije o
brisawu zagrada.vokabularom strukture N:
t1(x) = 0 � konstantna funkcija (jednog argumenta);
t2(x, y) = 0′ � konstantna funkcija (dva argumenta);t3(x1, x2, x3) = x2 � projekcija (na drugu koordinatu);
t4(x, y) = x′ · (y + 0′)t5(x1, x2, x3) = x′1 · (x2 + 0′)itd. Izra~unajmo vrednosti izraza t5 za neke valuacije promenqivih:
t5(2, 1, 4) = 2′ · (1 + 0′) = 6t5(3, 3, 3) = 3′ · (3 + 0′) = 16t5(7, 13, 31) = 7′ · (13 + 0′) = 112itd.
Ta~nost formule
Ako je Fr(α) ⊆ {x1, . . . , xn}, onda formulu α ozna~avamo i sa
α(x1, x2, . . . , xn) kada`elimo da istaknemo ~iwenicu da su sve slo-
bodne promenqive formule α neke od promenqivih x1, x2, . . . , xn.
Dodequju}ipromenqivama x1, . . . , xn redomneke vrednosti a1, . . . , an
iz M, dobijamo jedinstvenu istinitosnu vrednost α(a1, . . . , an):
Sn 3 (a1, . . . , an) 7→ α(a1, . . . , an) ∈ {0, 1};
na ovaj na~in je definisana jedna funkcija iz Sn u {0, 1}, tj.jedna n-arna relacija skupa S. Polaze}i od osnovih relacija kojeodre|uju atomske formule, slo`enije relacije gradimo koriste}i
iskazne veznike i kvantifikatore zajedno sa promenqivama:
UML 103
� ako je α(x1, . . . , xn) formula oblika ¬θ(x1, . . . , xn), onda je za
a1, . . . , an ∈ S,
α(a1, . . . , an) = ¬θ(a1, . . . , an);
� ako je α(x1, . . . , xn)formulaoblika θ1(x1, . . . , xn) ∗ θ2(x1, . . . , xn),
∗ ∈ {∧,∨,⇒,⇔}, onda je za a1, . . . , an ∈ S,
α(a1, . . . , an) = θ1(a1, . . . , an) ∗ θ2(a1, . . . , an);
� ako je α(x1, . . . , xn) formula oblika ∀xθ(x, x1, . . . , xn), onda je
za a1, . . . , an ∈ S,
α(a1, . . . , an) = mina∈S
θ(a, a1, . . . , an);
� ako je α(x1, . . . , xn) formula oblika ∃xθ(x, x1, . . . , xn), onda je
za a1, . . . , an ∈ S,
α(a1, . . . , an) = maxa∈S
θ(a, a1, . . . , an).
PRIMER 56. Navodimo nekoliko relacija definisanih izrazima nad Koristimo uobi~ajene konvencije o
brisawu zagrada.vokabularom strukture N:
� α1(x) je formula 0′′ 6 xnpr. α1(0) je neta~no (α1(0) = 0), a α1(4) je ta~no (α1(4) = 1) itd.
� α2(x, y) je formula x′ = ynpr. α2(3, 2) je neta~no (α2(3, 2) = 0), a α2(2, 3) je ta~no (α2(2, 3) = 1)itd.
� α3(x1, x2) je formula x1 6 x′2 ⇒ x′1 6 x2
npr. α2(2, 1) je neta~no, α2(2, 5) je ta~no, α2(5, 2) je ta~no, itd.
� α4(x1, x2) je formula x′1 6 x2 ⇒ x1 6 x′2npr. α4(0, 0), α4(0, 1), α4(1, 0), α4(0, 2), α4(2, 0) su ta~ni iskazi;
� α5(x, y) je formula ∃z (x + z = y)
npr. α5(3, 0) je neta~no, α5(0, 3) je ta~no, itd.
� α6(x) je formula ∀y (x · y = x)
npr. α5(0) je ta~no, α5(1) je neta~no, itd.
ZADATAK 8. Na vokabularu strukture N date su formule:
� α(x, y) je ¬x = 0∧ ¬y = 0∧ ∃z (x · z = y)
� β(x) je 0′′ 6 x ∧ ∃y∃z (x = y · z⇒ y = 1∨ y = 1)
� γ(x, y) je ∃z(x + (z + z) = y ∨ y + (z + z) = x).
104 UML
Odredi, ako postoje, jednu valuaciju promenqivih za koju je for-
mula ta~na, i jednu valuaciju promenqivih za koju je formula
neta~na.
Ta~nost re~enice
Formula σ je re~enica ako nema slobodnih promenqivih, tj.
ako je Fr(α) = ∅. Na (ne)istinitost re~enice u nekoj strukturi
ne uti~u valuacije promenqivih. Da je re~enica σ ta~na u nekoj
strukturi S, zapisujemo S |= σ i ka`emo da je struktura S model
re~eniceσ. Akore~enicaσ nije ta~na uS pi{emoS 6|= σ ika`emo
da je S kontramodel re~enice σ. Primetimo da ako S 6|= σ, onda
S |= ¬σ.
PRIMER 57. (N,6, ′, +, ·, 0) |= ∀x∀y∀z(x · (y + z) = (x · y) + (x · z))
(N,6, ′, +, ·, 0) |= ∀x∀y(x + y = 0⇒ x = 0∧ y = 0)
(N,6, ′, +, ·, 0) |= ∀x(¬x = 0⇒ ∃y(x = y′))(N,6, ′, +, ·, 0) |= ∃y∀x(x · y = x)
(N,6, ′, +, ·, 0) |= ¬∃x(x · x = 0′′)(N,6, ′, +, ·, 0) |= ∃x(x · x = 0′′′′)itd.
ZADATAK 9. Koje od slede}ih re~enica su ta~ne u (N,6, ′, +, ·, 0)?
1. ∀x∀y∀z(x · y = x · z⇒ y = z)
2. ∃x (x · x = x′′)
3. ∀x∀y∃z(x = y ∨ x + z = y ∨ y + z = x)
H Razli~ite interpretacije vokabulara. Teorije.
Grupe; Bulove algebre; Ure|ewa
Najjednostavnija klasifikacija (operacijsko-relacijskih) stru-
ktura vr{iseprema vokabularu, tj. premabroju i du`inirelacija
ioperacija, kaoibroju konstantikoje u~estvuju uwihovoj defini-
ciji. Za strukture koje imaju isti vokabular ka`emo da su istog
tipa.
PRIMER 58. Posmatrajmo strukturu (N+, +, ·, ↑, 1) koju ~ine:
� skup N+ = {1, 2, 3, 4, . . .},
� binarne operacije: sabirawe (+), mno`ewe (·), stepenovawe (↑), pri~emu }emo umesto m ↑ n kra}e pisati mn, i
� konstanta 1.
Osnovne zakonitostikoje va`e uovoj strukturinazivamo sredwo{kolskim
identitetima: HSI � High School Identities
UML 105
(HSI)
∀x∀y(x + y = y + x)
∀x∀y∀z(x + (y + z) = (x + y) + z)
∀x(x · 1 = x)
∀x∀y(x · y = y · x)
∀x∀y∀z(x · (y · z) = (x · y) · z)
∀x∀y∀z(x · (y + z) = x · y + x · z)
∀x(x1 = x)
∀x(1x = 1)
∀x∀y∀z(xy+z = xy · xz)
∀x∀y∀z((x · y)z = xz · yz)
∀x∀y∀z((xy)z = xy·z)
Posmatrajmo jo{ jednu strukturu nad istim vokabularom. Strukturu
({0, 1}, +, ·, ↑, 1) nad domenom {0, 1} odre|uju tri binarne operacije
(definisane narednim tablicama) i konstanta 1:
+ 0 10 0 11 1 1
· 0 10 0 01 0 1
↑ 0 10 1 01 1 1
Nije te{ko uo~iti da operacije + i · zapravo predstavqaju redom
konjunkciju i disjunkciju nad {0, 1}, a da x ↑ y, tj. xy zapravo odgovara
iskaznoj formuli y ⇒ x. Jednostavno je proverovati da u strukturi
({0, 1}, +, ·, ↑, 1) va`e sve HSI zakonitosti. Podse}amo na slede}e parove ek-
vivalentnih iskaznih formula:
x ∨ y ≡ y ∨ xx ∨ (y ∨ z) ≡ (x ∨ y) ∨ zx ∧ 1 ≡ xx ∧ y ≡ y ∧ xx ∧ (y ∧ z) ≡ (x ∧ y) ∧ zx ∧ (y ∨ z) ≡ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)1⇒ x ≡ xx ⇒ 1 ≡ 1y ∨ z⇒ x ≡ (y⇒ x) ∧ (z⇒ x)z⇒ x ∧ y ≡ (z⇒ x) ∧ (z⇒ y)z⇒ (y⇒ x) ≡ z ∧ y⇒ x
PRIMER 59. 1. Posmatrajmo strukturu
({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},⊕,, 12)
koja karakteri{e tzv. aritmetiku ~asovnika:
⊕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2345 9678 391011 1012
Popuwavawe tabele prepu{tamo ~itaocima. Nije te{ko proveriti da
je ⊕ asocijativna operacija,
(A) ∀x∀y∀z (x⊕ (y⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z),
106 UML
da je 12 neutralni element za ⊕,
(N) ∀x (x⊕ 12 = x),
i da svaki element ima 'dopunu' do neutralnog, tj. inverzni odre|en
tabelom:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12
,
pri ~emu je
(I) ∀x (x⊕ (x) = 12).
2. Navedimo jo{ jednu strukturu istog tipa. Za bilo koji skup X,
• kompozicija dve bijekcije f : X1−1−→na X i g : X
1−1−→na X tako|e jedna bijekcija f ◦ g : X → X,
• identi~ko preslikavawe je bijekcija, idX : X1−1−→na X, i
• za svaku bijekciju f : X1−1−→na X postoji inverzna bijekcija f−1 : X
1−1−→na X.
Ako sa SX ozna~imo skup svih bijekcija (permutacija) skupa X, onda
je kompozicija ◦ odre|uje jednu binarnu operaciju skupa SX , inverz−1
odre|uje jednu unarnu operaciju na SX i idX je jedan element (skupa) SX .
U strukturi (SX , ◦,−1, idX) ta~ne su slede}e re~enice:
(A) ∀ f∀g∀h ( f ◦ (g ◦ h) = ( f ◦ g) ◦ h)
(N) ∀ f ( f ◦ idX = f )
(I) ∀ f ( f ◦ f−1 = idX)
3. Najzad, neka je S bilo koji skup. Na skupu P(S) posmatrajmo
tzv. simetri~nu razliku: X4Y = (X \ Y) ∪ (Y \ X) i neka je I unarnaoperacija na P(S) definisana sa I(A) = A. U strukturi (P(S),4, I, ∅)
ta~ne su slede}e re~enice:
(A) ∀X∀Y∀Z (X4(Y4Z) = (X4Y)4Z)
(N) ∀X (X4∅ = X)
(I) ∀X (X4I(X) = ∅)
U prethodnim primerima ilustrovan je veoma va`an na~in
uvo|ewa operacijsko-relacijskih struktura. Me|u strukturama
istog tipa (tj. strukturama koje imaju isti tip vokabulara) izdva-
jamo one koje zadovoqavaju neke izdvojene osobine � tzv. teorije.
Definicija 24. Teorija nekog vokabulara jeste bilo koji skup
re~enica tog vokabulara.
Navodimo neke va`ne primere teorija.
Teorija grupa. Vokabular grupa ~ini simbol jedne binarne op-
eracije, simbol jedne unarne operacije i simbol jedne konstante;
~esto se u op{tem slu~aju koriste slede}i simboli: ∗, −1, e.Teoriju grupa ~ine slede}e re~enice:
UML 107
(A) ∀x∀y∀z (x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z)
(N) ∀x (x ∗ e = x)
(I) ∀x (x ∗ x−1 = e)
Grupa je svaka struktura (G, ∗,−1, e) koja zadovoqava navedene
aksiome. U prethodnom primeru navedeno je nekoliko primera
grupa.
Teorija Bulovih algebri. Vokabular ~ine simboli dve binarne
operacije g i f, simbol jedne unarne operacije c i dva sim-
bola konstante 0 i 1. Teorija Bulovih algebri sadr`i slede}e
re~enice:
Ag ∀x∀y∀z(xg (yg z) = (xg y)g z) Af ∀x∀y∀z(xf (yf z) = (xf y)f z)
Kg ∀x∀y(xg y = yg x) Kf ∀x∀y(xf y = yf x)
Dgf ∀x∀y∀z(xg (yf z) = (xg y)f (xg z)) Dfg ∀x∀y∀z(xf (yg z) = (xf y)g (xf z))
Cg ∀x(xg xc = 1) Cf ∀x(xf xc = 0)
Ng ∀x(xg 0 = x) Nf ∀x(xf 1 = x)
Bulova algebra je svaka struktura (B,g,f,′ , 0, 1) u kojoj su
ta~ne navedene re~enice.
PRIMER 60. Ako je S bilo koji skup, (P(S),∪,∩, {, ∅, S) jeste Bulova
algebra, jer za sve X, Y, Z ∈ P(S) va`i:
A∪ X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪Y) ∪ Z A∩ X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩Y) ∩ ZK∪ X ∪Y = Y ∪ X K∩ X ∩Y = Y ∩ XD∪∩ X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪Y) ∩ (X ∪ Z) D∩∪ X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩Y) ∪ (X ∩ Z)
N∪ X ∪∅ = X N∩ X ∩ S = XC∪ X ∪ X{ = S C∩ X ∩ X{ = ∅Algebra ({0, 1},∨,∧,¬, 0, 1), sa uobi~ajenim logi~kim veznicima,
tako|e je jedna Bulova algebra, jer za sve p, q, r ∈ {0, 1} va`i:
A∨ p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r A∧ p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ rK∨ p ∨ q = q ∨ p K∧ p ∧ q = q ∧ pD∨∧ p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) D∧∨ p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)N∨ p ∨ 0 = p N∧ p ∧ 1 = pC∨ p ∨ ¬p = 1 C∧ p ∧ ¬p = 0Zanimqiv primer Bulove algebre dobijamo razmatraju}i skup Dn
svih prirodnih delilaca nekog prirodnog broja n koji je proizvod
razli~itih prostih brojeva (dakle, n nije deqiv kvadratom nekog pros-
tog broja). Nije te{ko pokazati, koriste}i elementarna svojstva naj-
maweg zajedni~kog sadr`aoca i najve}eg zajedni~kog delioca, da je
Dn = (Dn, nzs, nzd, n/, 1, n) jedna Bulova algebra (komplement ele-
menta x ∈ Dn je n/x), tj. da za bilo koje x, y, z va`e slede}e jednakosti:
108 UML
Ag nzs(x, nzs(y, z)) = nzs(nzs(x, y), z) Af nzd(x, nzd(y, z)) = nzd(nzd(x, y), z)
Kg nzs(x, y) = nzs(y, x) Kf nzd(x, y) = nzd(y, x)
Dgf nzs(x, nzd(y, z)) = nzd(nzs(x, y), nzs(x, z)) Dfg nzd(x, nzs(y, z)) = nzs(nzd(x, y), nzd(x, z))
Cg nzs(
x,nx
)= n Cf nzd
(x,
nx
)= 1
Ng nzs(x, 1) = x Nf nzd(x, n) = x
Teorija ure|ewa. Vokabular ~ini simbol jedne binarne relacije
6. Teoriju ure|ewa ~ine slede}e re~enice:
(R) ∀x (x 6 x)
(AS) ∀x∀y (x 6 y ∧ y 6 x ⇒ x = y)
(T) ∀x∀y∀z (x 6 y ∧ y 6 z⇒ x 6 z)
Ure|ewe je struktura (P,6) koja zadovoqava navedene aksiome.
Primeri ure|ewa su (N,6) i (P(S),⊆), za bilo koji skup S.Teorija linearnih ure|ewa. Vokabular ~ini simbol jedne bina-
rne relacije6. Teoriju linearnih ure|ewa~ine slede}e re~enice:
(R) ∀x (x 6 x)
(AS) ∀x∀y (x 6 y ∧ y 6 x ⇒ x = y)
(T) ∀x∀y∀z (x 6 y ∧ y 6 z⇒ x 6 z)
(L) ∀x∀y (x 6 y ∨ y 6 x)
Ure|ewe je struktura (P,6) koja zadovoqava navedene aksiome.
Struktura (N,6) je primer linearnog ure|ewa, dok (P(S),⊆),
kada je |S| > 2, nije linearno ure|ewe.
H Semanti~ka i sintaksna posledica
Definicija 25. Ako je Γ neka teorija (skup re~enica). Re~enica
α je semanti~ka posledica teorije Γ, u oznaci Γ |= α, ako za svaku
strukturu S,
iz S |= γ, za svako γ ∈ Γ, sledi da S |= α.
Umesto ∅ |= α pi{emo |= α.
Ako je |= α, tj. α je ta~no u svim strukturama odgovaraju}eg
vokabulara, ka`emo da je α vaqana re~enica.
Posebno isti~emo da znak |= koristimo dvojako:
� kao oznaku odnosa izme|u strukture i re~enice; S |= α zna~i
da je α ta~no u strukturi S;
� kao oznaku odnosa izme|u skupa re~enica i jedne re~enice; Γ |=α zna~i da je α semanti~ka posledica skupa formula Γ.
UML 109
PRIMER 61. Setimo se da je grupa svaka struktura G = (G, ∗,−1, e)koja zadovoqava re~enice teorije grupa. Neka ΓGR ozna~ava teoriju
grupa. Posmatrajmo tvr|ewe
U svakoj grupi va`i desni zakon kancelacije (skra}ivawa).
Desni zakon kancelacije, na jeziku teorije grupa, mo`emo izraziti
slede}om re~enicom ∀x∀y∀z(x ∗ z = y ∗ z⇒ x = y), koju }emo ozna~itisa σ. Uz ove oznake, ΓGR |= σ ka`e isto {to i navedeno tvr|ewe.
Uobi~ajen dokaz te~e ovako.
Neka je (G, ∗,−1, e) proizvoqna grupa (model za ΓGR).
1. Izaberimo proizvoqne elemente x, y, z iz G, takve da je x ∗ z = y ∗ z.
Tada je
2. (x ∗ z) ∗ z−1 = (y ∗ z) ∗ z−1,
3. x ∗ (z ∗ z−1) = y ∗ (z ∗ z−1), [iz prethodnog prema zakonu asocijativnosti]
4. x ∗ e = y ∗ e, [iz prethodnog jer je z ∗ z−1 = e]
5. x = y, [iz prethodnog jer je x ∗ e = x i y ∗ e = y]
6. ∀x∀y∀z(x ∗ z = y ∗ z⇒ x = y). [jer su x, y, z proizvoqni elementi]
Pojam sintaksne posledice pru`a veoma dobar uvid u to kako
sprovodimo dokaze u matematici. Osvrnimo se malo detaqnije na
dokaz dat u primeru 61 da desni zakon kancelacije va`i u svakoj
grupi. Iako smo tokom dokaza zami{qali da radimo sa nekom
konkretnom (proizvoqno izabranom) grupom, nijednog trenutka
nismo imali potrebu da preciziramo o kojoj je zaista grupi re~,
ve} smo iskqu~ivo koristili zakonitosti koje grupa zadovoqava
po definiciji, kao i dobro poznata svojstva jednakosti i op-
eracija (funkcija). Drugim re~ima, zna~ajne su samo aksiome
teorije grupa, dok je semantika u ovom slu~aju samo psiholo{ka
podr{ka za onoga ko sprovodi dokaz.
Spisak pravila prirodne dedukcije koja koristimo za izvo|e-
we u iskaznoj logici, pro{rujemo pravilima za kvantifikatore,
koja smo koristili u ~istoj predikatskoj logici (strana 41), pri
~emu u slu~aju vokabulara prvog reda imamo bogatiji skup izraza,
i pravilima za jednakosti.
VA@NO! Formula α[x/t] ozna~ava formulu koja je dobija is-
tovremenom zamenom svih slobodnih pojavqivawa promenqive xu formuli α izrazom t, pri ~emu se nijedna promenqiva izraza tnije vezana.
Formula α je sintaksna posledica skupa formula Γ, ako se
sekvent Γ ` α mo`e dobiti primenom pravila iskazne logike
(strana 32) i slede}ih pravila za kvantifikatora i jednakosti,
kona~an broj puta:∀xα
α[x/t](∀xE)
α[x/t]∃xα
(∃xU)
110 UML
v...
α[x/v]
∀xα(∀xU)
∃xα
v α[x/v]...
γ
γ(∃xE)
VA@NO! U poddokazima pravila (∀xU) i (∃xE), pojavquje se
tzv. sve`a promenqiva v koja se u formulama van poddokaza ne
pojavquje slobodno.
t = t(=U) α[x/t] t = u
α[x/u](=E)
Lema 9. 1. ` ∀x1∀x2(x1 = x2 ⇒ x2 = x1)
2. ` ∀x1∀x2∀x3(x1 = x2 ∧ x2 = x3 ⇒ x1 = x3)
DOKAZ.
Izvo|ewe sekventa ` ∀x1∀x2(x1 = x2 ⇒ x2 = x1)
1. x1, x2 Uvodimo sve`e promenqive da bismo dokazali ∀x1∀x2 · · · ;2. x1 = x2 dodatna pretpostavka;
Neka je α(x) formula x = x1;
3. x1 = x1 (=U); jednakost x1 = x1 je zapravo formula α[x/x1];
4. x2 = x1 (=E), 2, 3; jednakost x2 = x1 je zapravo formula α[x/x2];
5. x1 = x2 ⇒ x2 = x1 (⇒U), 2-4;
6. ∀x1∀x2(x1 = x2 ⇒ x2 = x1) ∀x1U, ∀x2U 1-5
Izvo|ewe sekventa ∀x1∀x2∀x3(x1 = x2 ∧ x2 = x3 ⇒ x1 = x3)
1. x1, x2, x3 Uvodimo sve`e promenqive;
2. x1 = x2 ∧ x2 = x3 dodatna pretpostavka;
Neka je α(x) formula x1 = x;3. x1 = x2 (∧L
E); jednakost x1 = x2 je formula α[x/x2];
4. x2 = x3 (∧DE );
5. x1 = x3 (=E), 3, 4; jednakost x1 = x3 je formula α[x/x3];
6. x1 = x2 ∧ x2 = x3 ⇒ x1 = x3 (⇒U), 2-5;
7. ∀x1∀x2∀x3(x1 = x2 ∧ x2 = x3 ⇒ x1 = x3) ∀x1U, ∀x2U, ∀x3U 1-6
Izvedena pravila mogu znatno da olak{aju dokazivawe sekve-
nata. U narednoj lemi dajemo nekoliko izvedenih pravila koja se
odnose na jednakosti.
Lema 10.
t1 = t2
t2 = t1(=S)
t1 = t2 t2 = t3
t1 = t3(=T)
t1 = t2
t[x/t1] = t[x/t2](=sup)
DOKAZ. Navodimo samo dokaz pravila (=sup). Naravno, t[x/t1] je
izraz dobijenistovremenom zamenomsvihpojavqivawapromenqive
x u t izrazom t1.
UML 111
Neka je α(y) formula t[x/t1] = t[x/y].
1. t1 = t2 pretpostavka;
2. t[x/t1] = t[x/t1] (=U); jednakost t[x/t1] = t[x/t1] je formula α[y/t1];
3. t[x/t1] = t[x/t2] (=E), 1, 2; jednakost t[x/t1] = t[x/t2] je zapravo formula α[y/t2].
PRIMER 62. Neka je f unarni operacijski simbol i neka je:� Inj f formula ∀x∀y( f (x) = f (y)⇒ x = y) (koja zna~i: f je 1-1 funkcija);
� Sur f formula ∀y∃x( f (x) = y) (koja zna~i: f je na funkcija);
� Bij f formula Inj f ∧ Sur f (koja zna~i: f je bijekcija);
� Inv f formula ∀x( f ( f (x)) = x) (koja zna~i: f je involucija).Doka`imo Inv f ` Bij f .
1. ∀x( f ( f (x)) = x) pretpostavka;
2. ( f ( f (y)) = y) iz 1 prema (∀E), odnosno ( f (x) = y)[x/ f (y)];
3. ∃x( f (x) = y) iz 2 prema (∃U);
4. ∀y∃x( f (x) = y) iz 3 prema (∀U); dokazali smo Sur f ;
5. x, y uvodimo sve`e promenqive;
6. f (x) = f (y) dodatna pretpostavka;
7. f ( f (x)) = f ( f (y)) iz 6 primenom (=c);
8. f ( f (x)) = x iz 1 prema (∀E);
9. x = f ( f (x)) iz 1 prema (∀E);
10. f ( f (y)) = y iz 1 prema (∀E);
11. x = y iz 9, 7, 10 prema 2× (=T);
12. f (x) = f (y)⇒ x = y iz 6-11 prema (⇒U);
13. ∀x∀y( f (x) = f (y)⇒ x = y) ∀xU, ∀yU; dokazali smo Inj f
14. Bij f iz 4, 13 prema (∧U)
Dato izvo|ewe u potpunosti odgovara uobi~ajenom dokazu da involu-
cija mora biti bijekcija. U nastavku navodimo uobi~ajeni neformalni
dokaz.
Pretpostavimo da je f involutivna funkcija. Dokaza}emo da je bi-
jekcija. Potrebno je dokazati da je 1-1 i na-funkcija (∧U).
f je 1-1 funkcija? Neka su x i y proizvoqni (∀U). Pretpostavimo da je
f (x) = f (y), i doka`imo da je x = y (⇒U). Ovo je posledica slede}e
tri jednakosti (2× =E):
(i) f ( f (x)) = x,(ii) f ( f (y)) = y,(iii) f ( f (x)) = f ( f (y)).
Jednakosti (i) i (ii) va`e jer je f involucija (∃E), (ax). Jednakost (iii)je posledica pretpostavke f (x) = f (y) (=c).
f je na-funkcija? Ako je y proizvoqno, dokaza}emo da postoji x tako
da je f (x) = y (∀U). Neka je x = f (y) (∃U). Po{to je f involucija,
dobijamo da je f ( f (y)) = y, (∃E), (ax).
PRIMER 63. Pretpostavimo da vokabular sadr`i jedan binarni op-
eracijski znak, koji }emo ozna~avati dvema vertikalnim crtama | |(izme|u kojih dolaze argumenti), i dva ternarna znaka koje }emoozna~avati
112 UML
sa ∠ i 4 (i koji o~ekuju tri argumenta sa desne strane). Neka je Tcong
teorija ~ije su aksiome univerzalna zatvorewa slede}ih formula: Univerzalno zatvorewe for-
mule α(x1, . . . , xk) jeste re~enica
∀x1 . . . ∀xkα(x1, . . . , xk).γ1 |xy| = |yx|,
γ2 ∠xyz = ∠zyx,
γ3 4xyz = 4uvw⇒ |xy| = |uv| ∧ |yz| = |vw| ∧ |zx| = |wu|,
γ4 4xyz = 4uvw⇒ ∠xyz = ∠uvw∧∠yzx = ∠vwu∧∠zxy = ∠wuv,
γ5 |xy| = |uv| ∧∠xyz = ∠uvw ∧ |yz| = |vw| ⇒ 4xyz = 4uvw.
Dokaza}emo
Tcong ` |ab| = |ac| ⇒ ∠abc = ∠acb.
Prema pravilu (⇒U), dokazivawe `eqenog sekventa svodimo na
Tcong, |ab| = |ac| ` ∠abc = ∠acb.
Dakle, skup pretpostavki Γ sadr`i γ1, γ2, γ3, γ4, γ5 i |ab| = |ac|.1. |ab| = |ac| pretpostavka, tj. (ax)
2. |ac| = |ab| iz 1 prema (=S)
3. |ab| = |ba| aktivirawem γ1 pravilom (∀E) pri [x/a], [y/b]
4. |ba| = |ab| iz 3 prema (=S)
5. |ba| = |ac| iz 4, 1 prema (=T)
6. |ac| = |ca| aktivirawem γ1 pravilom (∀E) pri [x/a], [y/c]
7. |ba| = |ca| iz 5, 6 prema (=T)
8. ∠bac = ∠cab aktivirawem γ2 pravilom (∀E) pri [x/b], [y/a], [z/c]
9. |ba| = |ca| ∧∠bac = ∠cab ∧ |ac| = |ab| iz 7, 8, 2 primenom (∧U) dva puta
10. |ba| = |ca| ∧∠bac = ∠cab ∧ |ac| = |ab| ⇒ 4bac = 4cabaktivirawem γ5 pravilom (∀E) pri [x/b], [y/a], [z/c], [u/c], [v/a], [z/b]
11. 4bac = 4cab iz 9, 10 prema (⇒E)
12. 4cab = 4bac iz 11 prema (=S)
13. 4cab = 4bac⇒ ∠cab = ∠bac ∧∠abc = ∠acb ∧∠bca = ∠cba,aktivirawem γ4 pravilom (∀E) pri [x/c], [y/a], [z/b], [u/b], [v/a], [w/c]
14. ∠cab = ∠bac ∧∠abc = ∠acb ∧∠bca = ∠cba iz 12, 13 prema (⇒E)
15. ∠abc = ∠acb iz 14 prema (∧lE) i (∧d
E).
Jednakosna logika
Zna~ajnu vrstu teorija predstavqaju one kojima se uvode va`ne
algebarske strukture, kao grupe na primer. Re~ je o teorijama nad
vokabularom koji ne sadr`i relacijske simbole i ~ije su aksiome
univerzalna zatvorewa atomskih formula oblika t1 = t2, gde Univerzalno zatvorewe for-
mule α(x1, . . . , xk) jeste re~enica
∀x1 . . . ∀xkα(x1, . . . , xk).su t1 i t2 neki izrazi odgovaraju}eg jezika. Ovakve re~enice se
nazivaju algebarskim zakonima, pa se shodno tome teorije koje
sadr`e samo algebarske zakone nazivaju algebarskim teorijama.
Algebarski zakoni ~esto se navode bez navo|ewa univerzalnih
UML 113
kvantifikatora (koji se, naravno, implicitno podrazumevaju).
Dokaz da je neki algebarski zakon sintaksna posledica algebarske
teorije Γ sprovodimo koriste}i pravila tzv. jednakosne logike:
t = t(=R)
t1 = t2
t2 = t1(=S)
t1 = t2 t2 = t3
t1 = t3(=T)
t1 = t2
t[x/t1] = t[x/t2](=sup).
Ka`emoda je algebarski zakonu = vposledica algebarske teorijeΓ, u oznaci Γ `J u = v, ako postoji kona~an niz jednakosti
u1 = v1, . . . , un = vn, u = v (koji se zavr{ava jednako{}u u = v)takav da svaka jednakost u nizu ili pripada Γ ili se mo`e dobiti
primenom nekog od pravila jednakosne logike, direktno (prema
pravilu (=R)) ili na jednakosti koje joj prethode u nizu. Nije
te{ko dokazati da se mo`e koristiti i slede}e izvedeno pravilo: Indeks DD mo`emo shvatiti kao
skra}enicu za �dobra definisanost�.u1 = v1 u2 = v2 · · · un = vn
F(u1, . . . , un) = F(v1, . . . , vn)(=DD),
gde je F neki n-arni operacijski znak.
PRIMER 64. Doka`imo da je
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, x ∗ e = x, x ∗ x−1 = e `J (x ∗ y) ∗ y−1 = x.
Primetimoda univerzalna zatvorewa jednakosti x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z,x ∗ e = x, x ∗ x−1 = e predstavqaju teoriju grupa TGR.
1. x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z pretpostavka (aksioma)
2. (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) iz 1 prema (=S)
3. (x ∗ y) ∗ y−1 = x ∗ (y ∗ y−1) iz 2 prema (=sup), [z/y−1]
4. x ∗ x−1 = e pretpostavka (aksioma)
5. y ∗ y−1 = e iz 4 prema (=sup), [x/y]
6. x = x pretpostavka (aksioma)
7. x ∗ (y ∗ y−1) = x ∗ e iz 6, 5 prema (=DD)
8. x ∗ e = x pretpostavka (aksioma)
9. x ∗ (y ∗ y−1) = x iz 7, 8 prema (=T)
Primetimo da sve ove korake podrazumevamo (ukqu~uju}i i odgo-
varaju}a obja{wewa) i kada navodimo isti dokaz u najsa`etijem obliku:
(x ∗ y) ∗ y−1 = x ∗ (y ∗ y−1) = x ∗ e = x.
Nije te{ko uo~iti da se navedeni (�jednakosni�) dokaz jednostavno
mo`e preraditi u dokaz sekventa TGR ` ∀x∀y((x ∗ y) ∗ y−1 = x).
Teorema potpunosti
Udosada{wim razmatrawima nije bilo te{ko uo~iti da relacija
semati~ke posledice (|=) i relacija sintaksne posledice (`) pose-duju niz zajedni~kih osobina, bez obzira na to {to su definisane
na potpuno razli~ite na~ine. Naredna teorema, koju navodimo
bez dokaza, zauzima veoma va`no mesto u matemati~koj logici i
ima veoma va`ne posledice.
114 UML
Teorema 44. [Teorema potpunosti] Γ ` α akko Γ |= α
Specijalno, ako je α formula ⊥, onda: Γ ` ⊥ akko Γ |= ⊥,odnosno:
(?) Γ 6` ⊥ akko Γ 6|= ⊥.
Ako Γ 6` ⊥, ka`emo da je Γ neprotivre~an skup formula. Prime-
timo i da Γ |= ⊥ zna~i da Γ nema model, tj. ne postoji struktura
u kojoj su ta~ne sve formule iz Γ; samim tim, Γ 6|= ⊥ zna~i da Γima model, tj. postoji struktura u kojoj su ta~ne sve formule iz Γ.U skladu sa ovim zapa`awima, tvr|ewe (?) mo`emo formulisati
i na slede}i na~in:
(?) Γ je neprotivre~an skup formula akko Γ ima model.
U narednom primeru ilustrujemo uobi~ajenu primenu teoreme
potpunosti.
PRIMER 65. Primenom navedene teoreme jednostavno se dokazuje da
odre|ena formula nije posledica nekog skupa pretpostavki. To }emo
ilustrovati jednim primerom. Posmatrajmo teoriju grupa TGR i do-
ka`imo da se zakon komutativnosti, tj. formula ∀x∀y(x ∗ y = y ∗ x)
ne mo`e izvesti iz TGR. Da bismo dokazali da TGR 6` ∀x∀y(x ∗ y = y ∗x), dovoqno je dokazati da TGR 6|= ∀x∀y(x ∗ y = y ∗ x), za{ta je dovoqno
da konstrui{emo grupu ~ija binarna operacija nije komutativna. Ko je
bar malo upoznat sa teorijom grupa, odmah }e se setiti primera takve
grupe. Jedna odwih je grupa (S3, ◦,−1, σ1), gde je S3 skup svih permutacija
(bijekcija) skupa {1, 2, 3} ~iju su elementi:
σ1 =
(1 2 31 2 3
), τ1 =
(1 2 31 3 2
), τ2 =
(1 2 32 1 3
),
σ2 =
(1 2 32 3 1
), σ3 =
(1 2 33 1 2
), τ3 =
(1 2 33 2 1
).
Da grupa nije komutativna pokazuju jednakosti:
τ3 ◦ τ2 =
(1 2 32 3 1
)= σ2, τ2 ◦ τ3 =
(1 2 33 1 2
)= σ3.
Analogno se pokazuje da se ~uveni peti postulat (tj. aksioma par-
alelnosti) ne mo`e dokazati iz ostalih aksioma euklidske geometrije.
Odeqak zavr{avamo napomenom koja se odnosi na HSI-algebrepomenute u Primeru 58. Tarski je krajem 60-ih godina pro{log
(HSI)
∀x∀y(x + y = y + x)∀x∀y∀z(x + (y + z) = (x + y) + z)∀x(x · 1 = x)∀x∀y(x · y = y · x)∀x∀y∀z(x · (y · z) = (x · y) · z)∀x∀y∀z(x · (y + z) = x · y + x · z)∀x(x1 = x)∀x(1x = 1)∀x∀y∀z(xy+z = xy · xz)∀x∀y∀z((x · y)z = xz · yz)∀x∀y∀z((xy)z = xy·z)
veka postavio problem koji je danas poznat kao Tarskijev sred-
wo{kolski problem: Da li se iz HSI teorije mo`e izvesti svakiidentitet koji je ta~an u (N+, +, ·, ↑, 1)? Vilki je 1980. godine
dao negativan odgovor tako {to je pokazao da je identitet
UML 115
((1 + x)y + (1 + x + x2)y)x ·
((1 + x3)x + (1 + x2 + x4)x)y
=((1 + x)x + (1 + x + x2)x)y ·
((1 + x3)y + (1 + x2 + x4)y)x
ta~an u (N+, +, ·, ↑, 1), ali nije posledica HSI teorije. Tarski-jev problem i Vilkijevo re{ewe pokrenuli su razne, jo{ uvek
aktuelne pravce istra`ivawa HSI algebri.
116 UML
7. Aksioma izbora
ZFC je teorijeZFpro{irenaAksiomomizbora (Axiom of choice),
kra}e (AC). ZFC = ZF + AC
AKSIOMA IZBORA
Ako je A skup ~iji su svi elementi neprazni, onda postoji (tzv.
izborna) funkcija f : A→ ∪A takva da za sve X ∈ A, f (X) ∈ X.
Jednostavna posledica Aksiome izbora jeste slede}e tvr|ewe:
(AC∗) za svaki skup A postoji funkcija f : P(A) \ {∅} → A,takva da za sve X, ∅ 6= X ⊆ A, va`i f (X) ∈ X.
Nije te{ko uo~iti da iz (AC∗) sledi Aksioma izbora. Zaista,neka je A proizvoqan skup ~iji su elementi neprazni skupovi.
Neka je A = ∪A. Tada, prema (AC∗) postoji funkcija f : P(A) \{∅} → A, takva da za sve X, ∅ 6= X ⊆ A, va`i f (X) ∈ X. Kako
je A ⊆ P(A) \ {∅}, direktno sledi da je f � A izborna funkcija
za A.
Lema 11. Ako g : X na→ Y, onda je |Y| ≤ |X|.
DOKAZ. Treba na}i funkciju h : Y 1−1→ X. Za svako y ∈ Y neka je
Gy = g−1[{y}]. Budu}i da je g na-funkcija, sledi da je Gy 6= ∅ za
svako y ∈ Y. Neka je G = {Gy | y ∈ Y} i f izborna funkcija za G,tj. f : G → ∪G i f (Gy) ∈ Gy. Funkciju h : Y → X defini{emo
na slede}i na~in: h(y) = f (Gy), y ∈ Y. Jednostavno zakqu~ujemoda je h 1-1 funkcija: ako su y1 i y2 dva razli~ita elementa iz Y,onda su Gy1 i Gy2 disjunktni, pa je h(y1) 6= h(y2).
Primetimo da je lema 42 specijalan slu~aj prethodne leme.
Me|utim, za razliku od prethodnog dokaza u kojem se koristi
(AC), lema 42 je dokazana zahvaquju}i dobrom ure|ewu ≤ skupa
N. Analogan dokaz, bez pozivawa na (AC), mo`e se sprovesti za
bilo koji skup Y koji je dobro ure|en nekom relacijom.
Definicija 26. Ure|ewe � nekog skupa X je dobro ako svaki
neprazan podskup od X ima najmawi element u odnosu na �.
Lema 12. [bez (AC)] Neke je � dobro ure|ewe skupa Y. Tada za
svaki skup X, ako postoji f : X na→ Y, onda je |Y| ≤ |X|.
Prirodno je postaviti pitawe da li se svaki skupYmo`e dobro
urediti, odn. da li sa na svakom skupu Y mo`e definisati neka
binarna relacija koja je dobro ure|ewe.
Teorema 45. [Cermelova lema (WO)] Svaki skup se mo`e dobro
urediti.
UML 117
Cermelova lemao~iglednova`i zanajvi{eprebrojive (kona~ne
i prebrojive) skupove, i to mo`emo pokazati bez Aksiome izb-
ora. Me|utim, da bismo dobro uredili neki neprebrojiv skup,
neophodno je pozivawe na Aksiomu izbora.
Nije te{ko uo~iti da je Aksioma izbora posledica Cermelove
leme. Zapravo, Cermelova lema je ekvivalentna Aksiomi izbora.
(WO)⇒ (AC) ^iwenica da je ≤ dobro ure|ewe skupa Y zna~i da
svaki neprazan podskup ima najmawi element, pa postojifunkcija
min : P(Y) \ {∅} → Y takva da za sve X, ∅ 6= X ⊆ Y,min(X) ∈ Xi min(X) ≤ x, za svako x ∈ X.
Aksioma izbora ima jo{ dosta ekvivalentnih formulacija.
Jedna od najpoznatijih je svakako Cornova lema.
Definicija 27. Neka je (P,≤) ure|ewe (tj. ≤ je relacija poretka
na skupu P).(1) Skup L ⊆ P je lanac ako su svaka dva elementa iz L uporediva
u odnosu na ≤, tj. za sve x, y ∈ L va`i x ≤ y ili y ≤ x.(2) Skup X ⊆ P je odozgo ograni~en ako postoji element a ∈ P
takav da za sve x ∈ X va`i x ≤ a.(3) Element a ∈ P je maksimalan ako ne postoji element x ∈ P
takav da je a ≤ x i a 6= x.
Teorema 46. [Cornova lema (ZL)] Neka je (P,≤) ure|ewe. Ako je
svaki lanac u P odozgo ograni~en, onda u (P,≤) postoji maksi-
malan element.
Ispostavqa se da je i ovo tvr|ewe ekvivalentno Aksiomi izb-
ora. Tu ~iwenicu }emo detaqno dokazati pre svega da bismo
ilustrovali primenu Cornove leme. Aksioma izbora se u drugim
oblastima matematike naj~e{}e koristi u formi Cornove leme.
(ZL)⇒ (AC) (?) Neka je A proizvoqan neprebrojiv skup.
Neka je F skup svih funkcija izbora f takvih da je dom( f ) ⊆P(A) \ {∅} i f (x) ∈ x, za sve x ∈ dom( f ). Skup F je neprazan, jer
za svaki kona~an podskup odP(A) \ {∅} postoji funkcija izbora.Defini{imo na skupu F relaciju � na slede}i na~in:
f � g def⇔ dom( f ) ⊆ dom(g) ∧ ∀x ∈ dom( f ) ( f (x) = g(x)).
Nije te{ko proveriti da je � ure|ewe skupa D. Doka`imo da
je svaki lanac L, ure|ewa (D,�), ograni~en odozgo.
Neka je L lanac u (D,�) i L =⋃
`∈L dom(`). O~igledno
je L ⊆ P(A) \ {∅}. Za svako x ∈ L, postoji ` ∈ L takva da
x ∈ dom(`). [tavi{e, ako x ∈ dom(`1) i x ∈ dom(`2), za neke
`1, `2 ∈ L, tada mora biti `1(x) = `2(x), jer je L lanac pa va`i
`1 � `2 ili `2 � `1, a samim tim:
1. dom(`1) ⊆ dom(`2) i `1(t) = `2(t), za sve t ∈ dom(`1), ili
118 UML
2. dom(`2) ⊆ dom(`1) i `1(t) = `2(t), za sve t ∈ dom(`2).
Drugim re~ima, za svako x ∈ L postoji jedinstveni element y ∈ Atakav da je `(x) = y, za svako ` ∈ L ~iji domen sadr`i x. Neka jeh : L → A odgovaraju}a funkcija: ako za x ∈ L izaberemo neko
(bilo koje) ` ∈ L takvo da x ∈ dom(`), onda je h(x) = `(x) ∈ x.Prema tome, h ∈ D. O~igledno, za svako ` ∈ L va`i ` � h, jer jedom(`) ⊆ L = dom(h) i h(x) = `(x), za sve x ∈ dom(`).
Dokazali smo da svaki lanac u (D,�) ima gorwe ograni~ewe.
PremaCornovoj lemi, postoji maksimalan element u (D,�): neka
je to funkcija F. Tada je dom(F) ⊆ P(A) \ {∅} i F(x) ∈ x, zasvako x ∈ dom(F). Ako bi bilo dom(F) ⊂ P(A), postojao bi
x0 ∈ P(A) \ {∅} takav da x0 6∈ dom(F). Budu}i da je x0 6= ∅, neka
je t proizvoqan element iz x0. Tada je funkcija F+ : dom(F) ∪{x0} → A definisana sa:
F+(x) =
{F(x), x ∈ dom(F),
t, x = x0,
tako|e funkcija izbora, tj. F+ ∈ D, {to je nemogu}e jer je F � F+,
a F je maksimalan element. Dakle, dom(F) = P(A) \ {∅}.