05/03/2020

V – Mécanique des fluides

V.2 : Ecoulements de fluides

Chapitre V.2.1 : Dynamique des fluides parfaits

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Plan du cours

1 – Outils de description des écoulements

2 – Bilan d’énergie mécanique

• Définition d’un système fermé

• TEM

• Relation de Bernoulli

3 – Application

• Vidange d’un réservoir

• Mesure du débit d’un écoulement

• Mesure d’une vitesse d’écoulement

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1. Outils de description d’un écoulement

• Exemples d’écoulements étudiés : o Rivière o Sang dans les vaisseaux o Chute d’un objet dans un fluide o Avancée de glaciers…

• Deux approches :

o Lagrange : Suivre la trajectoire d’une particule de fluide

o Euler : Se placer à un endroit et y caractériser les vecteurs vitesse des particules de fluide à l’instant t.

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Doc 1 – Deux modes de description d’une circulation automobile

• Vitesse d’une particule de fluide :

« 𝑣𝑚𝑜𝑦 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =1

𝑁∑ 𝑣𝑖⃗⃗⃗ 𝑖 »

• Si 𝑣𝑚𝑜𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0⃗ : fluide au repos

• Si 𝑣𝑚𝑜𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ≠ 0⃗ : écoulement

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• Champ de vitesse �⃗⃗� (𝑴, 𝒕) : o Vitesse dépend a priori de position et temps o Champ de vitesse.

Doc 2 – Exemple de champ de vitesse

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• Ligne de courant, tube de courant :

o Ligne : courbe tangente en tt point au chp de vitesses. o Tube : lignes s’appuyant sur contour fermé.

Doc 3 – Exemples de lignes de courant et tube de courant

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• Ecoulement unidirectionnel ? unidimensionnel ?

o Unidirectionnel : Lignes de courant parallèles entre elles et de direction fixe.

o Unidimesionnel : Les grandeurs de description de l’écoulement ne dépendent que d’une seule variable d’espace (par exemple, x ou r)

Unidirectionnel Unidirectionnel Unidimensionnel Non Unidimensionnel

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• Débit massique :

Définition Masse de fluide traversant une surface Σ par unité de temps (unité SI : kg.s-1)

Sur une surface élémentaire d’aire dS

Débit élémentaire

𝒅𝑫𝒎 = 𝝆. 𝒗. 𝒅𝑺

Sur la surface entière Σ d’aire S

Débit total 𝑫𝒎 = ∫ 𝝆. 𝒗. 𝒅𝑺𝑺

Si vitesse uniforme sur Σ Débit total 𝑫𝒎 = 𝝆. 𝒗. 𝑺

Propriétés

Bilan de masse d’un SO : 𝒅𝒎𝑺𝑶

𝒅𝒕= 𝑫𝒎𝒆 − 𝑫𝒎𝒔

Le débit massique se conserve en régime stationnaire.

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• Débit volumique :

Définition Volume de fluide traversant une surface Σ par unité de temps (unité SI : m3.s-1)

Sur une surface élémentaire d’aire dS

Débit élémentaire

𝒅𝑫𝑽 = 𝒗. 𝒅𝑺

Sur la surface entière Σ d’aire S

Débit total 𝑫𝑽 = ∫ 𝒗. 𝒅𝑺𝑺

Si vitesse uniforme sur Σ Débit total 𝑫𝑽 = 𝒗. 𝑺

Propriété Le débit volumique se conserve en régime stationnaire à condition que le fluide soit également incompressible.

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2. Bilan d’énergie mécanique

2.1. Cadre de l’étude

• But : Appliquer le TEM à un fluide en écoulement

• Hypothèses pour appliquer le TEM :

o Référentiel galiléen o Nécessité de définir un système fermé

• Hypothèses concernant l’écoulement

o Ecoulement permanent (ou quasi-stationnaire) o Fluide incompressible o Ecoulement laminaire

(absence de tourbillon : les lignes de courant ne se croisent pas).

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2.2. Bilan d’énergie mécanique

• Système fermé fictif

• Travail des forces pressantes

• Travail utile : signes possibles

o Turbine ? o Compresseur ? o Frottements (viscosité) ?

• Application TEM

o Bilan d’énergie mécanique o Formulation massique ou en puissance

• Notion de charge

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2.3. Relation de Bernoulli

• Hypothèses :

o Référentiel galiléen o Ecoulement quasi-stationnaire et laminaire o Fluide incompressible et parfait o Absence de pièces mobiles

• S’applique le long d’une ligne de courant AB

𝑃𝐴

𝜌+

1

2𝑐𝐴2 + 𝑔𝑧𝐴 =

𝑃𝐵

𝜌+

1

2𝑐𝐵2 + 𝑔𝑧𝐵

• Conservation de la charge

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3. Applications de la relation de Bernoulli

3.1. Vidange d’un réservoir

Doc 4 – Vidange d’un réservoir

o Vitesse d’éjection o Equation différentielle vérifiée par z o Durée de vidange

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3.2. Mesure de débit

• Effet Venturi

• Applications :

o Trompe à eau o Autres

Doc 5 – Trompe à eau

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Doc 6 – Exemples d’illustrations de l’effet Venturi

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• Exercice : Montrer que la mesure de la dénivellation Δh au niveau d’un tube de Venturi permet de déterminer le débit volumique de l’écoulement.

Doc 6 – Tube de Venturi

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3.3. Mesure de vitesse d’écoulement

• Tube de Pitot

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• Exercice : Montrer que la dénivellation Δh dans un tube de Pitot permet de déterminer la vitesse de l’écoulement.

Doc 7 – Tube de Pitot