121

V y MinA = Khi t = hay u = v =

Bài 3: (Vào l i)

S th i và th u ki n x2 + (3 x)2 nh nh t

c a bi u th c: P = x4 + (3-x)4 + 6x2.(3-x)2

Bài làm

t y = 3- x ta có: x+ y = 3 và x2 + y2

Ta có: P = [ x2 + (3 x)2]2 + 4x2(3-x)2

=[ x2 + (3 x)2]2 + {[ x + (3 x)]2 [x2 + (3-x)2]}2

=(x2+y2)2 + [(x+y)2 (x2 +y2)]2

= (x2+y2)2 + [ 9 (x2 + y2)]2

= 2.(x2 + y2)2 - 18.(x2 + y2) + 81

t t = x2 + y2 v

Ta có bài toán tr thành: Tìm Min c a P = f(t) = 2t2 - 18t + 81 v

c ta d i giá tr nh nh t t i

P = 41, ta ch i v nhân t t-5)

Ta s ch 2t2 -

Th t v y: (*) t2

(t-5)(t- i m

V y Min P = 41 khi t=5 hay x2 + (5 x)2 = 5

Hay Min P = 41 khi x= 1 hay x= 2.

Bài 4: (Chuyên Tr TP. H Chí Minh)

a mãn : 4x + y + 2z = 4 và 3x + 6y 2z = 6

Tìm giá nh nh t và l n nh t và nh nh t c a Bi u th c: A = 5x 6y + 7z

Bài làm :

T gi thi t ta có: y + 2z = 4 4x và 6y 2z = 6 3x. Gi i h c: y =

x và z = x +

x +

Ta có: A = 5x 6y + 7z = 5x 6.( x ) + 7.( x + ) = x +

V y c n tim Min và Max c a A = f(x) = x + V

A = x + . V y Min(A) = Khi x=0

A = x + . = . Max(A) = Khi x=

122

Bài 5: (Chu

Cho a, b > 0 và a + b = 1. Ch ng minh r ng: P = +

Bài làm:

Ta có: a2 + b2 =

P = + = + = + = +

t t = a2 + b2 )

Ta có bài toán tr thành:

Ch ng minh: P = f(t) = +

Th t v y: (*) 4t + 3(1 t)

14t2 (2t 1)(7t i m )

V y b ng th c ch ng minh, d y ra khi t = hay a = b =

Bài 6: (Thi h c sinh gi Cho 2 s th c không âm x, y th a mãn:

x + y = 2. Ch ng minh r ng:

+

Bài làm:

Ta có: Theo Cô

t P = +

Ta có P = + = +

= +

t xy = t. Bài toán tr thành ch ng minh:

+ v

Th t v y: *Ch ng minh v ph i +

4 t + 2 2 16t 8t2 2 + 4t + 4 9t2 -

12t + 4

(3t 2)2

* Ch ng minh v + t + 2

t t2 8t2 t(16

T c ch ng minh.

123

Bài 7: (S giáo d o Hà N i)

Cho x, y là các s th u ki nh nh t

c a bi u th c: A =

Bài làm:

A = = t t =

Bài toán tr thành tìm giá tr nh nh t c a: A = f(t) = v

c ta d nh nh t c a A là khi t =2, bi i

x - 2)

Ta ch (*)

Th t v y: (*) 2t2 2t2

(2t -1)(t - i m

V y Min (A) = khi t =2 hay x = 2y.

Bài 8: (Chuyên Phan B i Châu - Ngh An)

Cho a, b, c là các s th i th a mãn: a + b + c = 3.

Tìm giá tr nh nh t c a: A = a2 + b2 + c2 +

Bài làm:

Ta ch ng minh: X = a2 + b2 + c2 2b + bc2 + c2a (1)

Th t v y: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)( a2 + b2 + c2)

= (a3 + b3 + c3) + (a2b + b2c + c2a) + (ab2 + bc2 + ca2)

Áp d ng Cô si: a3 + ac2 = 2a2c

: b3 + bc2 2c ; c3 + ca2 2a

Nên: 3(a2 + b2 + c2 2b + bc2 + c2

A = a2 + b2 + c2 + 2 + b2 + c2 +

2 + b2 + c2 + = X +

X = a2 + b2 + c2 = 3

Bài toán tr thành tìm Min c a: f(X) = X + v

124

y l c d i 4 khi X = 3, Bi i

X 3)

Ta ch ng X +

i m

V y Min(A) = 5 khi X =3 hay a = b = c =1

Bài 9: (Chuyên KHTN i)

V i x, y là các s th

Tìm giá tr nh nh t c a P = ( + )

Bài làm:

P = ( + ) = =

P = =

=

v

c ta d u b ng t i m mút t = 1)

Ta s ch ) (*)

Th t v y: (*) t2 +

Qua các 9 ví d v i l i gi i c th trên ch c ch n các b m v c n i

g pháp gi p cho các b n

luy n t p.

1) (Chuyên Quang Trung c)

Cho a, b là hai s a

F = (a3 + b3)2 + a2 + b2 + ab

2) (Chuyên Tr n Phú H i Phòng)

Cho các s th a, b, c th

125

Ch ng minh r ng: +

3) Thanh Hóa)

Bi u th c: P = a2 + b2 + c2 + d2 bc = 1

Ch

4) (Chuyên t nh H

Cho a, b, c là các s th c i th a mãn: a + b + c = 1. Tìm giá

tr nh nh t c a bi u th c:

Q = 14(a2 + b2 + c2) +

5) ( Chuyên T

Cho x, y, z là các s th c th a mãn: (x y)(x ng

minh: + +

6) (Chuyên t

Cho a, b, c th u ki n: ab + bc +ca = 3. Tìm giá tr nh nh t c a

bi u th c:

P = a2 + b2 + c2 6(a+b+c) + 2017

.

Thí d 6. 2 m m, n th a

l n nh t c a bi u th c P = .

L i gi i. T gi thi m2 2 2 -2mn

(m + n)2 nhh lý Vi-et ta có:

m + n = ; mn = =

= 3.

ng th c x y ra khi ho c m = n = 1 t c là ho c 2c = - b = 2a

V y MaxP = 3 khi ho c 2c = - b = 2a

Nh n xét. ng hay s d n hay dùng

- c các tính ch t c

cùng v i vi c v n d nh lý Vi- et m t cách nhu n nhuy n s giúp chúng ta

c l i gi i bài toán ng n g c .

126

B NG TH C AM GM (CÔ SI)

V I CÁC S T NHIÊN

NG (GV.THCS L

thi h c sinh gi i l p 9 và thi vào l p 10 THPT chuyên bài

c tr gi ng s d ng

si

B ng th c AM GM ( Cô si): V i các s th c x1, x2, x3 n ta có:

Ngoài s d ng AM GM v i các bi n s là các s th c không âm, ta còn g p

các bài toán bi n s là các s t nhiên. Bài vi t này giúp các b ki n

th c v GM v i s t nhiên.

Bài toán 1. Cho x, y, z là các s t nhiên th a mãn x + y + z = 2010. Tìm giá tr

n nh t c a bi u th c P = xyz.

L i gi i. Áp d GM cho các s th c không âm ta có:

= 6703 ng th c x y ra khi x = y = z = 670.

V y MaxP = 6703 khi x = y = z = 670.

Bài toán 2. Cho các s t nhiên x, y, z th a mãn x + y + z = 2008. Tìm giá tr

l n nh t c a bi u th c P = xyz

Bài làm. Nh n xét không th s d

= y = z = không là s t nhiên.

Câu h t ra: Ph áp d AM GM cho 3 s th c

không âm vào bài toán này? N u áp d GM thì áp d

th tr c câu h i này m i các b n theo dõi cách làm sau:

B ng suy lu n ta th t giá tr l n nh t khi các giá tr x, y, z g n b ng nhau

(b ng nhau ho ). Ta có l i gi i sau:

Bài làm. ng c a x, y, z ta có th gi i s

nên không th x y ra kh + 1 = 670

127

)2= x. (do áp d GM v i hai s

th c không âm)

= .( ). .{ [ ) + ]}3

= .[ .(2008 - )]3 .[ .(2008 - )]3 = 670.6692

ng th c x y ra khi:

x = 670 và y = z = 669

V y MaxP = 670.6692 c khi (x, y, z) =(670, 669, 669) và các hoán v

Bài toán 3. Cho x, y, z là các s t nhiên th a mãn x + y + z = 2009. Tìm giá tr

l n nh t c a P = xyz

Nh n xét. B ng suy lu bài toán hai ta có l i gi i bà

Bài làm. ng c a x, y, z ta có th gi s

= 2009 nên

)2.z = ( )2.z = . ( ).

( ).

[ .( )]3 = [ (2009 + )]3 [ (2009 + )]3=

669.6702

ng th c x y ra khi z = 669 và x = y = 670

V y MaxP = 669.6702 khi z = 669 và x = y = 670

Nh n xét. B các b n gi i bài toán sau.

Bài toán. Cho s s x, y, z là các s t i

th a mãn x + y + z = n. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

P = xyz

XUNG QUANH BÀI B NG TH C

THI H C SINH GI I QU

KI

)

Trong kì thi h c sinh gi i Qu c

Bài toán 1. Cho x, y, z là s th t khác nhau. Ch ng minh

128

r ng: + +

Bài toán trên là m c n dùng ki n th gi i.

Trãi qua th i gian, nhi u bài l ng t bài toán trên v n xu t

hi n trong các kì thi h c sinh gi i. Trong quá trình gi ng d t

g p nh n bài toán này và chân tr ng gi i thi u cùng b n

n phuong pháp tham s gi i bài

toán trên.

L i gi i. t tính t ng gi s

t x = a + z , y = b + z (a > b > 0). B ng th c c n ch ng

i: ( + + )[(a + z)(b + z) + (b

( + + )(3z2

Ta có: ( + + )(3z2 + + )

= + + = + + 2 = 4

ng th c x y ra khi:

Bài 2. Cho x, y, z là các s th t khác nhau. Ch ng minh r ng :

(x2 + y2 + z2 xy yz zx)( + + .

thi ch i tuy n Phú Th

L i gi i. t x = y + a , y = z + b ( a , b > 0) thì b ng th thành:

(a + b)2( + ) + + +

Ta có: (a + b)2( + 2. ( + )2 2.8. = 8;

; +

Suy ra: (a + b)2( + ) + + + + 2 + 3 =

ng th c x y ra khi: a = b z + x = 2y.

Bài t p rèn luy n.

Bài 1. Cho x, y, z là các s th t khác nhau. Ch ng minh r ng :

+ +

129

Bài 2. Cho x, y, z là các s th t khác nhau. Ch ng minh r ng :

+ + .

Bài 3. Cho x, y, z là các s th t khác nhau. Tìm giá tr nh nh t c a

bi u th c :

A = (x + y + z)( + + ) .

Bài 4. Cho x, y, z là các s th t khác nhau. Ch ng minh r ng :

( )2 + ( )2 + ( )2

TÌM C C TR U KI N

THÁI H U HU (GV. THCS Quang L c, Can L

Có r t nhi i m t bài toán b ng th

chúng ta c i ng n g n nh c bi t chúng ta c n t

u v n th y có m t s

bi n thì c các bi n s

l p ra m i t n ch ng

minh.

Bài toán 1. Cho các s th c x, y, z [-1; 2] th u ki n x + y + z = 0

Ch ng minh r ng: x2 + y2 + z2 6.

Gi i. Vì x [-1; 2] nên (x + 1)(x 2) 0 x2 x + 2.

: y2 y + 2 ; z2 ng theo v c:

x2 + y2 + z2

ng th c x y ra khi và ch khi x + y + z = 0 và x, y, z {-1; 2}

3 s x, y, z có 2 s b ng 1 và 1 s còn l i b ng 2.

Bài toán 2. Cho các s th c x, y, z [0; 2] th u ki n x + y + z = 3.

Ch ng minh r ng: x2 + y2 + z2 5.

Gi i. Vì x, y, z [0; 2] nên (x 2)(y 2)(z 2)

xyz 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z)

xyz + (x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 + 4(x + y + z)

Mà x + y + z = 3 (gi thi t) (1) xyz + (x2 + y2 + z2) 9 + 12

x2 + y2 + z2 xyz

x, y, z [0; 2]) xyz 0 - xyz 0

Suy ra: x2 + y2 + z2

130

D y ra khi: (x 2)(y 2)(z 2) = 0, xyz = 0 và x + y + z = 3

(x, y, z) = (2; 1; 0) và các hoán v .

Bài toán 3. Cho các s th c a, b, c [-2; 5] th u ki

Ch ng minh r Ch ng minh r ng: a2 + 2b2 + 3c2

thi tuy n sinh l c 2009 2010 S giáo d

Gi i. bài toán 1, t (a + 2)(a 2 t

qu b2 2

Suy ra: a2 + b2 + c2

ng th c x y ra khi và ch khi a= -2; b = - 5; c = - 2.

Bài toán 4. Cho các s th c a, b, c [0 ; 1].

Ch ng minh r ng a2 + b2 + c2 2 b + b2c + c2a

Gi i. Vì a, b, c [0 ; 1] nên a(1 2(1 b).

t : b(1 2(1 c) ; c(1 2(1 a).

C ng theo v

(a + b + c) 2 + b2 + c2) (a2 b + bc2 + c2a)

1 (1 a)(1 b)(1 c) 2 + b2 + c2) (a2 b + bc2 + c2a)

(1 a)(1 b)(1

Bài toán 5. Cho 2010 s th c a1, a2, a3 2010 [0 ; 1].

Ch ng minh r ng: (1 + a1 + a2 2010)2 + )2

Gi i. V i s th c x, y b t kì ta có: (x y)2 (x + y)2

Áp d ng v i x = 1, y = a1 + a2 2010 ta có:

(1 + a1 + a2 2010)2

1 + a2 2010)2

Mà v i m i i (vì theo gi thi t [0 ; 1]).

T

ng th c x y ra khi trong 2010 s b ng 0 và s còn l i

b ng 1.

Bài t p luy n t p.

Bài t p 1. Cho các s th c a, b, c [0 ; 1]. Ch ng minh r ng: 3 + b3 + c3 a2 b + b2c + c2a.

Bài 2. Cho các s th c a, b, c [0 ; 1]. Ch ng minh r ng:

+ +

131

Bài 3. Cho v i a1, a2 2010 và b1, b2 2010 là các s th

Ch ng minh r ng:

T NH NG TH P

C THU N (GV. THPT Thái Phiên, H i Phòng)

NGUY C (GV. HS

Trong quá trình gi i toán, h n các b p nh ng th c hay, là

gi i các bài toán khác. Bài vi t này tôi mu n chia s v i các b n

m t s ng th y.

ng th c 1. Cho 3 s x, y, z th a mãn xyz = 1 Ch ng minh r ng:

A = + + = 1. (1)

thi vào l c 1997-1998)

Ch ng minh. Vì xyz = 1 nên: = =

= = . t

Nh n xét. T ng th c sau

+ + = 1 (2)

v i x, y, z là ba s th c th a mãn xyz = 1.

Ví d 1. Cho ba s th a mãn xyz = 1. Ch ng minh r ng:

i B = + +

L i gi i. Vì (x y)2 + (x 1)2 2 2xy + y2 + x2

2x2 + y2

: ;

C ng theo v c:

( + + ) = (theo (1)). T

ng th c x y ra khi x = y = z = 1

Ví d 2. Cho ba s th x, y, z th a mãn xyz = 1. Tìm giá tr l n nh t c a

bi u th c: C = + +

132

L i gi i. Ta có: (x + 1)2 + y2 + 1 = x2 + 2x + 1 + y2 + 1 = (x2 2xy + y2) + 2(xy +

x + 1) = (x y)2 + 2(xy + x + 1) 2(xy + x + 1). Suy ra: .

: ; .

C ng theo v c:

C = + +

( + + ) = (theo (1)). T

ng th c x y ra khi x = y = z = 1.

Ví d 3. Cho 3 s th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng:

i D = + + .

L i gi i. Vì abc = 1 nên = =

(do áp d si v i hai s 2 và b2c2)

: ;

C c:

D = + + + + = 1

(theo (2)). T

ng th c x y ra khi x = y = z = 1

Nh n xét. Qua các ví d trên, chúng ta th m m u ch gi c các bài

toán trên là nh ng th c (1) và (2)

ng th c 2. Cho 3 s th a mãn xyz = 2. Ch ng minh r ng:

M = + + = 1 (3)

thi vào l c 2009-2010)

L i gi i. Vì xyz = 2 nên:

= = ; =

C ng theo v c:

M = + + = + +

Ví d 4. Cho ba s th ng x, y, z th a mãn xyz = 2. Ch ng minh r ng:

+ +

L i gi i. ví d 1 ta có: ;

133

= ; = .

C ng theo v t h p v

ng th c x y ra khi và ch khi x = y = 1; z = 2.

ng th c 3. Cho a, b, c là các s th ng th i b t

M = + + ; N = + +

Th thì M = N

Ch ng minh. Ta có: M N = + +

= (a b) + (b c) + (c

Bài toán 1. Cho a, b, c là các s th ng minh r ng:

M = + +

ng th c x y ra khi nào?

L i gi i. Vì M = N nên 2M = M + N = + +

= + +

V i x, y là s th t kì, ta ch ng minh: (1)

Th t v y, ta có: (1) 3x2 3xy + 3y2 2 + xy + y2 2(x y)2

ng th c x y ra (1) khi và ch khi x = y. Áp d ng (1) ta suy ra:

+ +

ng th c x y ra khi a = b = c.

Nh n xét. 1) Ta vi t o ra bi u th i x ng v i a, b, c.

2) Phân th c: có t th c và m u th i x ng v i

các bi th c này có cùng b c 2 v i m c là t ng

c cùng b c.

Nh so sánh phân th c này v i m t s th c.

a khi x = y thì =

Ho c . Bi ng th c ta th y (1)

ng th c 4. Cho a, b, c là các s th t:

134

P = + + . Th thì P = 0.

Ch ng minh. Ta có: P =

Bài toán 2. Cho a, b, c là các s th t khác nhau. Ch ng

minh r ng: + + . (2)

ng th c x y ra khi nào ?

L i gi i. t v trái c a (2) là Q. Vì P = 0 nên

Q = 2P + Q = ( + + )2

ng c a a, b, c trong bi u th c nên ta có th t a = min(a, b, c)

V i x, y là các s th c b t kì ta có: (x y)2 (x + y)2

ng th c x y ra khi và ch khi x = y.

Áp d ng ta có: Q = ( + + )2 .( ) =

. T

D u b ng x y ra khi 1 trong trong 3 s b ng 0. Hai s còn, ch ng h n b, c th a

mãn = + b2 3bc + c2 = 0 b = .c

ng th c 5. Cho a, b, c là các s th t

R = + + thì R = - 1

Ch ng minh. Ta có: R =

Vì ab(a b) + bc(b c) + ca(c a) = ab(a b) + bc(b c) ca(a b) ca(b c) =

a(a b)(b c) + c(b c)(b a) = - (a b)(b c)(c a) nên R = -

Bài toán 3. Cho a, b, c là các s th t khác nhau. Ch ng minh r ng:

+ +

L i gi i. Vì R = - 1. Nên (3) + +

-2[ + + ]

( + + )2

Nh n xét. B c th u ki x ng th c (3).

Cu i cùng b c hãy th ch ng minh m t s ng th c và th u tìm ng d ng

c ng th c này.

135

1) ab + bc + ca + ad = (a + c)(b + d).

2) (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) abc .

3) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab bc ca)

4) (a2 + b2 + c2)2 2(a4 + b4 + c4) = (a + b + c)(a + b c)(a + c - b)(b + c a).

5) + + = 0.

6) + + = 1.

Chúc các b c nhi ng th c khác n a cùng ng d ng c a nó.

B NG TH C VÀ TIM GIÁ TR NH R T L N NH T

NG THÀNH NAM

I) N I DUNG KI N TH C

1. B ng th c Cô si.

Cho 2 s không âm ta có:

D y ra khi a = b

Cho 3 s không âm ta có:

D y ra khi a = b = c

2. B ng th c BunhiaCopsky

Cho x, y, a, b là các s th c ta luôn có: (x2 + y2)(a2 + b2) (ax + by)2

D y ra khi ( k R)

M t s bi n d ng c

+ ) 4 +

Ch ng minh: Theo B si: (a + b)( + ) 4

M r cho 3 s + +

Cho x, y, a, b là các s th c ta luôn có: ( + )(x2 + y2) (a + b)2

+ .

t u = x2 , v = y2 +

M r : + +

136

II) BÀI T P V N D NG.

Ví d 1. Cho x, y > 0 th a mãn x2 + y2 = 2. Ch ng minh: + 4

L i gi i. Ta có: + ( + 3y)2

M t khác: + 3y = + 3y = 4

Ta có: x + x + 2y = 2(x + y) = 4

+ = 4. D x y ra khi x = y = 1.

Cách 2 x3(x + 2y) + 9y4 4y2(x + 2y)

Cách 3: 2y y2 + 1 = 3 x2

+ + = + 4,

Ví d 2. (*) B ng th c ph : + ,

Áp d ng: Cho x, y, z 0 th a mãn x2 + y2 + z2 3y. Tìm GTNN c a bi u th c:

P = + +

L i gi i , ta có: + . M t khác: ab

+ y ra khi a = b

P = + + +

Ta có: (x2 + 1) + (y2 + 4) + (z2 + 1) 2x + 4y + 2z 2x + 4y + 2z 3y + 6

2x + y + 2z 6 x + + z 3. V y P = 1

V y MinP = 1 khi x = 1, y = 2, z = 1.

Cách 2: Ta có: (x + 1)2 2(x2 + 1); (z + 3)2 4(z2 + 3)

P + + = + + +

+ +

Ví d : Bài toán ph , cho x, y th

+ . V i 1< xy 1 b ng th i chi u.

L i gi

137

(2 + x2 + y2)(1 + xy) 2)(1 + y2)

x2 + y2 + xy(x2 + y2 2 + y2) + 2x2y2

(x y)2(xy )

Ch i chi .

Ví d . ng minh: + + .

L i gi i. Ta có: + ; +

th c b

VT + + .

Ch n d3 = d = VT +

Áp d ng. Cho x, y, z > 2, th a mãn: + + = 1

Ch ng minh: (x 1)(y 1)(z

L i gi i. Ta có: + +

(x 1)(y 1)(z

Ví d : Cho x, y > 0 th a mãn 2(x2 + y2) + = 5

Tìm GTLN c a P = + -

L i gi i. 5 = 2(x2 + y2) + + 4xy 4x2y2

(xy 1)(4xy

Áp d ng: - .

t t = xy, t [ ; 1] P = -

+ = < 0 t [ ; 1]

V y MaxP = f( )

Ví d 1. Cho x, y, z [ ; 3]. Tìm GTNN c a bi u th c:

P = + +

L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s : z = max{x, y, z}.

138

Ta có: P = + + +

t t = + = +

.

DÙNG THAM S TRONG BÀI TOÁN C C TR

H KHÁNH DUY (HS. 11A1, THPT Qu An)

Khi gi i bài toán c c tr c a bi u th c, ta c p

x ng th c. S d ng tham s , k t h p gi i thi xét d ng th c ,

ta có th có l i gi i c a d ng toán này.

Bài toán 1. l n nh t c a bi u th c:

P = + 2 .

Suy + )

= 2

a = b =

max = y =

Bài toán 2. -

= . 2 . (ax + x 1)

1 x =

1 1

- ).x + - = 0

7 = 2 .(a + 1) 49a = 12(a + 1)2 12a2 25a + 12 = 0

a = x = 4

min = =

Bài toán 3.

139

R = 9x + 13x

R = .2 +

a có:

2 2 + x2 + 1 ; 2 + 1 x2

2 = x2 + 1 và bx2 = 1 x2 Suy ra x2 = = (a > 1)

2 (a > 2). M (ax2 + x2 + 1) + (bx2 + 1 x2)

= ( + ).x2 + + .

+ = 0 + = 0 (do b = a 2)

9(a + 1) = 13(3 - a) 81(a + 1)2(a 2) = 169(3 a)2

44a3 507a2 + 882a + 81 = 0 (4a 9)(11a2 102a 9) = 0

b = ; x = max

Bài toán 4.

S =

. Xét a > 0. Ta có: = 6

= . 2 .(x2 + 1 + ax 2a)

2 + 1 = ax 2a x2 ax + 2a + 1 = 0 (1)

=

= 1 : 3 : (- 4).

= 1 : 3 Suy ra: = ( )2 - 2 3 = 0

= 3 x2 9x + 19 = 0 x =

S = 3 x = max = 3 khi x =

140

Bài toán 5. 2 + y2 = 1. Tim GTLN và GTNN

L i gi i. Ta có: x2 + y2 = 1 nên 1 + 2xy + 2y2 = x2 + 2xy + 3y2

= (x + y)2 + 2y2 > 0 (do (x ; y) (0 ; 0).

Khi y = 0 thì x2 = 1 và T = 2.

Xét y t t = . V i a R, ta có: T a = a =

ta tìm a t s là m c là

(6 a)2 + 3a(2 a) = 0 a2 + 3a 18 = 0 a = 3 ho c a = - 6

V i a = 3 ta có: T 3 = = 0.

Suy ra T 3. Khi T = 3 thì t = 3 10y2 = 1 y2 =

Có hai c p s (x; y) th a mãn là: ( ; ) ; ( ; )

V i t = -6 ta có: t = - y2 =

Có hai c p s (x ; y) th a mãn là: ( ; ) , ( ; ).

V y Tmin = - 6 và Tmax = 3.

Bài t p luy n t p.

Bài 1. Cho x, y, z 0 th a mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u

th c: A = 2x2 + y2 + z2.

Bài 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: B = x(2010 + ).

Bài 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: C = + 4 , v i x 2.

M T S I BI N

TR N BÁ DUY LINH i h c kinh t TP. H Chí Minh)

141

T nh u ki u c a bài toán, b ng m t s phép bi i ta có

th làm cho bài toán c n gi i quy t tr t này s m

l i m t s i bi n t n l .

D ng 1. u ki n bài toán là x1, x2 n và x1.x2 n = 1 thì phép bi i

ng t t x1 = ; x2 = n =

V i a1, a2 n , > 0.

Ví d 1. Cho a, b, c là các s th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng:

+ + . (1)

L i gi i. t a = , b = , c = (v i x, y, z > 0).

Bi c: (1) + +

t u = xy + yz , v = yz + zx, t = zx + xy.

u, 2yz = t + u v, 2zx = u + v t

+ + 3.

( + ) + ( + ) + ( + ) si.

Ví d 2. Cho các s th a mãn abcd = 1. CMR:

+ + + 2. (2)

L i gi i. t a = , b = , c = , d = (v i x, y, z, t > 0). Bi c:

(2) + + + + + +

Ta có: [(xy + yz) + (zx + tx) + (yz + zt) + (xt + yt)]( + + +

t)2

+ + +

Ta ch ng minh:

Th t v y, bi i (a) thành: x2 + y2 + z2 + t2

(x t)2 + (y z)2

Ví d 2. Cho ba s th a mãn xyz = 1.CMR:

C = + +

142

L i gi i. Ta có: (x + 1)2 + y2 + 1 = x2 + 2x + 1 + y2 + 1 = (x2 2xy + y2) + 2(xy +

x + 1) = (x y)2 + 2(xy + x + 1) 2(xy + x + 1).

Suy ra: .

: ; .

V y C + +

t x = , y = , z = c:

+ + =

Ví d 4. Cho a, b, c là các s th a mãn abc = 1. CMR:

a(b2 - ) + b(c2 - ) + c(a2 - ) 0. (4)

L i gi i. t a = , b = , c = (v i x, y, z > 0)

Bi i, nhân hai v c i x2y2z2 c:

+ + + + ( - )2 + ( - )2 + ( - )2

D ng 2. u ki n x, y, z > 0 và x + y + z + 2 = xyz, ta bi i

thành: + + = 1 r t a = , b = , c = .

= ; y = = ; z = =

Ví d 5. Cho x, y, z là các s th a mãn xy + yz + xz + 2xyz = 1

Ch ng minh r ng + +

L i gi i. T gi thi t suy ra: + + + 2 = .

t x = , y = , z = , v i a, b, c >

thành: + + + + ).

Vì (b + c)2 + Suy ra: +

Vi r i c ng theo v

Ví d 6. Cho x, y, z là các s th a mãn x + y + z + 2 = xyz. CMR:

2( + +

L i gi i.V i chú ý: 2( + + )2 (x + y + z) (6)

d ng:

143

t n ph

+ +

Ví d 7. Cho x, y, z là các s th a mãn xy + yz + zx + xyz = 4.

CMR: x + y

L i gi i. Bi i gi thi t tr thành: . + . + . + 2. . . = 1

T t x = , y = , z = v

(7) tr thành: + + + +

Bi c: a(a b)(a c) + b(b a)(b c) + c(c a)(c

Bài t p t luy n.

Bài 1. 1.x2 n = 1.

CMR: +

Bài 2. Cho x, y, z là các s th a mãn: x + y + z + 2 = xyz. CMR:

b) + + . .

Bài 3. Cho x, y, z là các s th c d a mãn: xy + yz + zx + 2xyz = 1.

.

Bài 4. Cho a, b, c là các s th

+ + + + + .

144

Bài 1

Bài 2.

L i gi i.

145

Câu 3.

L i gi i.

146

Bài 10.

L i gi i.

Bài 11.

L i gi i.

147

Bài 12.

L i gi i.

Câu 13.

148

L i gi i.

Câu 14.

L i gi i.

149

Bài 15.

L i gi i.

Bài 16.

150

L i gi i.

Áp d

Bài 17.

L i gi i.

Bài 18.

151

L i gi i.

Bài 19.

L i gi i.

Bài 20.

L i gi i.

Bài 21.

152

L i gi i.

Bài 22.

L i gi i.

153

Bài 23.

L i gi i.

Bài 24.

L i gi i.

154

155