1

MITEN VALO KULKEE?

Minkowskin avaruus:

0222222

dzdydxdtcds

ctx

valo kulkee pitkin geodeettia eli siten, että 4-ulotteinen pituus2 on

minimissään:

00 22

dxdxgdsds

”suoraviivaisuus” riippuu käyristymisestä

- tärkeää tietää, sillä lähes kaikki havaintomme tehdään valon

(sähkömagneettisen säteilyn) avulla

2

pallosymmetrinen, staattinen tähti ???g

pallosymetria käytetään pallokoordinaatteja

SCHWARZSCHILDIN METRIIKKA

3

cos

sinsin

cossin

rx

ry

rx

2222222222 sin drdrdrdrdrdl

3d pallon metriikka 2d metriikka pallon pinnalla

22

2

sin00

00

001

r

rgij

ji

ij dxdxg

r

x i

tilavuuselementti = (det gij)1/2 pallon pinta-ala = 2-ulotteinen tilavuus

2

2

0 0

22 4sinsin rddrdrrddrA

OK

4

käyristymätön (=tasainen) avaruus )sin( 222222 ddrdrdl

riippuu vain r:stä

)sin()( 2222222 ddrdrrBdl

tehdään oletus: staattisen pallosymmetrisen tähden

metriikassa neliulotteinen pituus on muotoa

)sin()()( 2222222222 ddrdrrBdtrFcds

kun r kaareva avaruus Minkowski

rrBrF kun1)(,1)(

ei gravitaatiovoimaa äärettömän kaukana

5

sijoitetaan oletus Einsteinin yhtälöihin ja ratkaistaan tuntemattomat funktiot B ja F:

...8

21

4 RgRT

c

GG

rc

GMrFrB

rc

GMrF

2

22

2

2

21

1)(/1)(

21)(

M = tähden massa, G gravitaatiovakio

pöly laskeutuu ...

6

Scwarzschildin metriikka

22

2

22

2

22

21

21

dr

rc

GM

drdt

rc

GMcds

s

s

s

rr

rr

c

GMr

2

2Schwarzschildin säde

t aika, r paikka

?????

222222 '''' drdrdtcds

paikallisesti/hetkellisesti:

aika/paikka vaihtaneet paikkaa?

(1916)

7

Kuinka suuri Schwarzschildin säde on?

G=6.6726 10-11 m3kg-1s-2

Aurinko:

Maur = 1.9889 1030 kg

Raur=6.96 108 m

rs(aur)=2.953 km << Raur

Maa

Mmaa = 5.9737 1024 kg

rs(maa)=0.89 cm

tavallisten tähtien Schwarzschildin säde

paljon pienempi kuin tähden säde

ratkaisu ei validi tähden sisällä (massaa

ei voi pitää pistemäisenä)

jotta rs > R, vaaditaan todella tiheää

ainetta

jos rs > R musta aukko

8

Schwarzschildin säteen ulkopuolella

miten valo käyttäytyy?

radiaalisessa suunnassa

02

1

21

2

22

2

22

rc

GM

drdt

rc

GMcds

02 ds

0d : ei muutosta kulmasuunnassa

)(

0)(

)(

1

1

2

2

2222

2222

rcFdt

dr

rF

drdtrFc

r

r

drdt

r

rcds

s

s

aika riippuu koordinaatista r – mutta paikallinen aika (itseisaika) on aina

Minkowskin aikaa

dtrFd

dtr

rcdc s

)(

1 2222

9

r1 r2

d1 d2

r =

dt1= dt2

1

jos etäisyydeltä r lähetään valonsäde, valon frekvenssi mitataan paikallisessa ajassa

gravitaatiopunasiirtymä

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

)(

)(

r

r

r

r

rF

rF

d

d

s

s

äärettömyydessä nähdään punasiirtymä )(rF

aallonpituus kasvaa frekvenssi pienenee

10

esimerkki

etäisyydeltä r = 3rs/2 lähetetään valonsäde, jonka frekvenssi on

etäisyydellä r = 2rs oleva havaitsija näkee frekvenssin

)2/3()2/3(

21

2/31

)2/3()2(

)2/3()2(

32

ss

s

s

s

s

s

s

ss rr

r

r

r

r

rrF

rFrr

äärettömyydessä oleva havaitsija näkee frekvenssin

)2/3()2/3(

1

2/31

)2/3()(

)2/3()(

31

sss

s

s

ss rr

r

r

r

rF

rFr

11

kvanttifysiikka: fotonin energia on hE

fotoni menettää energiaa kavutessaan gravitaatiopotentiaalista

1

2

1

2

2

1

2

1

1

1

)(

)(

)(

)(

r

r

r

r

rF

rF

h

h

rE

rE

s

s

äärettömyydessä etäisyydeltä r lähetetyn fotonin energia on

0)(1)(

)()(

rE

r

r

F

rFE s

kun srr

Schwarzschildin säteeltä pois kapuamiseksi on aina käytettävä kaikki energia!

ääretön punasiirtymä

12

kuinka kauan valolta kuluu kavuta etäisyydelle r?

Crrrrrr

rdrct

drrr

r

rr

rdr

r

r

drcdt

r

r

drdt

r

rcds

ss

s

s

s

s

ss

s

s

)ln(1

1

1

0

1

12

222

)ln()ln(00 000 ssss rrrrCCrrrrrrt

s

ss

rr

rrrrrct

0

0 ln

”normaali”

srr

0ln)ln( 00 ss rrrr

Schwarzschildin säteeltä pois kapuaminen kestää äärettömän kauan

13

Mitä tapahtuu valolle Schwarzschildin säteen sisäpuolella?

1

01

11

1 2

0

222

222

r

r

drcdt

dtr

rc

r

r

dr

r

r

drdt

r

rcds

s

s

ss

s

s

r s

rr

r

r

drct

0

0

0 1

rs r0

dt äärellinen

ct

valo putoaa origoon

14

jos valo putoaa origoon, ja valo kulkee nopeammin kuin massiiviset

kappaleet, kaikki kappaleet putoavat origoon

massiivisten kappaleiden liikeyhtälö monimutkaisempi kuin fotoneilla,

mutta suhteellisuusteoria antaa saman loppupäätelmän:

kaikki Schwarzschildin säteen sisäpuolella oleva aine putoaa origoon

ja vieläpä mukana putoavan kellon mukaan äärellisessä ajassa

esim. luhistuva tähti: jokainen atomi, jolle r < rs, putoaa keskustaan eli

yhteen matemaattiseen pisteeseen

singulariteetti: pisteessä tilavuus on nolla,

joten tiheys=M/V on ääretön

= MUSTA AUKKO

15

r = rs on tapahtumahorisontti: ulkopuolinen havaitsija

ei näe Schwarzschildin säteen sisäpuolelle

r < rs on ikään kuin leikattu pois näkyvästä avaruudesta,

mutta sinne voi kuitenkin mennä

paluuta ei enää ole putoaminen singulariteettiin

”reikä” avaruudessa

tapahtumahorisontin ylittäminen tapahtuu vailla dramatiikkaa!

tapahtumahorisontti ei ole mustan aukon ”pinta” vaan laskennallinen

etäisyys varsinaisesta mustasta aukosta eli singulariteetista

16

vapaalle putoajalle kaikki on paikallisesti Minkowskia:

dt

dr

r

r

dt

dr

drr

rdr

dtr

rdt

s

putoaa

putoaa

sputoaa

sputoaa

1

2

1

2

22

1

1

1

voidaan osoittaa (jos osaisimme hieman enemmän yleistä suhteellisuusteoriaa),

että kaukaisen tarkkailijan mielestä tapahtumahorisonttia kohti putoavan objektin

nopeus on 2/12/1

1

r

r

dt

dr

r

r

r

r

dt

dr s

putoaa

putoaass = äärellinen tapahtumahorisontissa

tapahtumahorisontti ylitetään mukana putoavan kellon mukaan

äärellisessä ajassa

tapahtumahorisontin sisäpuolella singulariteettiin ajaudutaan äärellisessä

ajassa mukana putoavan kellon mukaan

17

vuorovesi-ilmiö tapahtumahorisontissa

pääF

jalatFnewtonilaisittain:

2

0

0

2

0

2

0

)(

4

)()(

r

rGMr

mgrr

GM

rr

GMF

vastaa m-massaista painoa

jaloissa Maan gravitaatio-

kentässä

mr

msg

kgmm jalatpää

1

10

5

2

olet.

kgM

M

M

kgm

mrcGM

GMmg

aur

pää

2

10

2

370

32

10104

)()/(

4

(check!

18

MITEN ULKOPUOLINEN HAVAITSIJA NÄKEE PUTOAMISEN?

help! help!

etäisyys R>>rs

r

rcrcF

dt

dr s1)(2

fotonille

avaruus täällä Minkowski, kelloaika = t

19

drrr

r

r

r

drcdt

s

s

s

1

1lasketaan:

etäisyydeltä r1 lähetetty viesti tulee perille ajassa t1:

s

ss

R

r s

s

rr

rRrrRdr

rr

rct

1

11 ln1

1

etäisyydeltä r2 ja etäisyydeltä r1 lähetettyjen viestien aikaero äärettömyydessä on

s

ss

rr

rrrrrttctc

2

11212 ln)( kun srr 2

tapahtumahorisontin läpi putoaminen näyttää ulkopuolelta

katsoen vievän äärettömän kauan!

20

kun srr 20)( r

Lisäksi:

lähetetyn valon aallonpituus punasiirtyy äärettömiin tapahtumahorisontissa

kaikki tapahtumahorisontin sisään pudonnut tavara on ”jäätynyt”

tapahtumahorisontin pinnalle (äärettömiin punasiirtyneenä)

elokuva putoamisesta

kestää äärettömän kauan

... mutta putoajan kellon mukaan mustaan aukkoon päädytään

äärellisessä ajassa

21

tapahtumahorisontin lähellä avaruus on käyristynyt niin, että fotoneilla

on stabiili rata = photon sphere

photon sphere R=3rs/2

tapahtumahorisontti r = rs

”black holes have no hair”

havaittavat ominaisuudet vain

- massa M

- impulssimomentti L

- sähkövaraus Q

Schwarzschild

Kerr

Reissner-Nordström

Gunnar Nordström

12. 3 1881 – 24. 12 1923

22

REAALIMAAILMA: mustat aukot syntyvät tähtien romahtaessa

mustilla aukoilla pyörimisliikettä

Kerrin musta aukko http://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric

astro.physics.sc.edu

ergosphere = alue, jonka sisällä ei

voi olla paikoillaan (mutta ei välttämättä

joudu singulariteettiin)

kaksi horisonttia

kaksi fotosfääriä (ulompi ”counterrotating”,

sisempi ”corotating”)

singulariteetti on rengas!

pyöriminen vetää avaruutta mukaansa = ”frame dragging”

23

tähden romahtaminen

gravitaatio vetää säteilypaine työntää

hydrostaattinen tasapaino

alue jossa ydinreaktiot tapahtuvat: auringolle r ~ 105 km, Raur ~106 km

ydinreaktiot loppuvat säteilypaine ei enää kompensoi gravitaatiota

tähti romahtaa

Aurinko valkoinen kääpiö

tähti, jonka massa M > n. 10 Maur neutronitähti

tähti, jonka massa M > n. 50 Maur musta aukko

24

MUSTIEN AUKKOJEN HAVAITSEMINEN

epäsuorasti: kaasun pudotessa mustaan aukkoon se kasaantuu kertymäkiekoksi.

jonka sähkömagneettiset kentät toimivat eräänlaisena hiukkaskiihdyttimenä;

kaasu kuumenee voidaan nähdä

galaksien keskustoissa uskotaan

olevan miljoonien auringon massojen

suuruisia mustia aukkoja

25

kvanttifysiikka musta aukko höyrystyy

Hawkingin säteily

musta aukko säteilee, lämpötila GM

hcTT H

4

3

virtuaalisia hiukkaspareja

mustaan aukkoon kumppaninsa menettänyt

nähdään äärettömyydessä säteilynä

2

2

2 244

c

GMrA sBH

säteilyteho = vakio säteilevän pinnan ala T4

tapahtumahorisontin pinta-ala

säteilyteho

232

242

10563.3

42

WkgK

KMTAvakioMcdt

d

dt

dEP

M

H

M

BHBH

26

mustan aukon massa käyttäytyy ajassa kuten

22cM

K

dt

dM

)0(, 0

0

2

0

2

2

2

0

tMMdtc

KdMMdt

c

KdMM

M

mustan aukon elinaika on

vM

MM

K

c

aur

3

0663

0

2

103

1

erittäin pitkä!