151Objetivos de aprendizajeAnalizar el papel del valor deltiempo en las finanzas, el uso deherramientas computacionales y lospatrones bsicos del flujo deefectivo.Entender los conceptos de valorfuturo y valor presente, su clculopara montos nicos y la relacinentre ellos.Calcular el valor futuro y el valor presente tanto de unaanualidad ordinaria como de una anualidad anticipada, ycalcular el valor presente de una perpetuidad.Calcular tanto el valor futuro comoel valor presente de un ingresomixto de flujos de efectivo.Comprender el efecto que producela capitalizacin de los intereses,con una frecuencia mayor que laanual, sobre el valor futuro y sobrela tasa de inters efectiva anual.Describir los procedimientosimplicados en: 1. la determinacinde los depsitos necesarios paraacumular una suma futura, 2. laamortizacin de prstamos, 3. elclculo de tasas de inters ocrecimiento, y 4. el clculo de unnmero desconocido de periodos.OA6OA5OA4OA3OA2OA15Valor del dinero en el tiempoPor qu debe interesarle este captuloEn su vida profesionalCONTABILIDAD Usted debe comprender los clculos del valor deldinero en el tiempo para tomarlos en cuenta en ciertas transacciones,como la amortizacin de prstamos, los pagos de arrendamiento y lastasas de inters de bonos.SISTEMAS DE INFORMACIN Usted debe comprender los clculosdel valor del dinero en el tiempo para disear sistemas que midan yvaloren con exactitud los flujos de efectivo de la empresa.ADMINISTRACIN Usted debe comprender los clculos del valor deldinero en el tiempo, de tal manera que sea capaz de administrar lasentradas y los desembolsos de efectivo para que la empresa obtengael mayor valor de sus flujos de efectivo.MARKETING Usted debe comprender el valor del dinero en el tiempoporque el financiamiento de nuevos programas y productos debe justi-ficarse financieramente usando tcnicas del valor del dinero en eltiempo.OPERACIONES Usted debe comprender el valor del dinero en eltiempo porque este afectar el valor de las inversiones en equipo, pro-cesos nuevos e inventario.Las tcnicas del valor del dinero en el tiempo se usan ampliamenteen la planeacin de las finanzas personales. Usted puede usarlas para calcular el valor de los ahorros en fechas futuras determinadas y calcular el monto que usted necesita hoy para tener una cantidadespecfica en una fecha posterior. Tambin le servirn para analizarlas sumas globales o los ingresos de flujos de efectivo peridicos y latasa de inters o el tiempo necesario para lograr una meta financiera.En su vida personal152 PARTE 2 Herramientas financieras5.1 El papel del valor del tiempo en las finanzasEl valor del dinero en el tiempo se refiere al hecho de que es mejor recibir dineroahora que despus. El dinero que usted tiene ahora en la mano se puede invertir paraobtener un rendimiento positivo, generando ms dinero para maana. Por esta razn,un dlar ahora es ms valioso que un dlar en el futuro. En las empresas, los adminis-tradores enfrentan constantemente situaciones donde las acciones que hoy requierensalidas de efectivo generarn entradas de efectivo posteriormente. Como el efectivoque se obtendr en el futuro es menos valioso que el efectivo que la empresa gasta poradelantado, los administradores necesitan un conjunto de herramientas que les ayudena comparar las entradas y salidas de efectivo que ocurren en diferentes momentos. Estecaptulo examina esas herramientas.VALOR FUTURO VERSUS VALOR PRESENTESuponga que una empresa tiene ahora la oportunidad de gastar $15,000 en algunainversin que le producir $17,000 distribuidos durante los siguientes 5 aos, comose indica a continuacin:Ao 1 $3,000Ao 2 $5,000Ao 3 $4,000Ao 4 $3,000Ao 5 $2,000Es esto una buena inversin? La respuesta evidente podra ser s porque la empresagasta $15,000 y recibe $17,000. Recuerde, sin embargo, que el valor de los dlares quela empresa recibe en el futuro es menor que el valor de los dlares que gasta hoy. Demodo que no est claro si la entrada de los $17,000 es suficiente para justificar lainversin inicial.El anlisis del valor del dinero en el tiempo ayuda a los gerentes a contestar pre-guntas como esta. La idea bsica es que los administradores necesitan un modo de com-parar el efectivo de hoy con el efectivo del futuro. Existen dos maneras de hacer esto.Unaespreguntar:Qucantidaddedineroenelfuturoesequivalentea$15,000actuales? En otras palabras, cul es el valor futuro de $15,000? El otro enfoque con-siste en preguntar: Qu importe actual es equivalente a los $17,000 pagaderos durantelos prximos 5 aos como se plante anteriormente? En otras palabras, cul es el valorpresente de la serie de flujos de efectivo que vendrn en los prximos 5 aos?Se usa una lnea de tiempo para representar los flujos de efectivo relacionados conuna inversin determinada. Es una lnea horizontal en la que el tiempo cero aparece enelextremoizquierdo,ylosperiodosfuturossemarcandeizquierdaaderecha.Lafigura5.1muestraunalneadetiempoqueilustranuestroproblemadeinversinhipottica. Los flujos de efectivo que ocurren en el tiempo cero (ahora) y al final deOA1Para profundizarSi quiere saber acerca deltratamiento de las regalas,visite el sitiowww.myfinancelab.com$15,000 $3,000 $5,000 $4,000 $3,000 $2,0000 1 2 3Fin de ao4 5FI GURA5. 1Lnea de tiempoLnea de tiempo querepresenta los flujos deefectivo de una inversinlnea de tiempoUna lnea horizontal sobre laque aparece el tiempo cero enel extremo izquierdo, y losperiodos futuros se marcan deizquierda a derecha; se usapara representar flujos deefectivo de inversiones.CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 153cada ao se registran sobre la lnea; los valores negativos representan las salidas deefectivo ($15,000 invertidos hoy en el tiempo cero), y los valores positivos representanentradas de efectivo ($3,000 entran en un ao, $5,000 entran en dos aos, y as suce-sivamente).Para tomar la decisin de inversin correcta, los administradores necesitan com-parar los flujos de efectivo representados en la figura 5.1 en el mismo momento en eltiempo. Por lo general, ese momento se encuentra al final o al inicio de la vida de lainversin. La tcnica del valor futuro utiliza la capitalizacin para calcular el valorfuturo de cada flujo de efectivo al final de la vida de la inversin, y despus suma estosvalores para calcular el valor futuro de la inversin. Este mtodo se representa sobrela lnea de tiempo en la figura 5.2. La figura muestra que el valor futuro de cada flujode efectivo se mide al final de la vida de la inversin de 5 aos. Por otro lado, la tc-nica del valor presente usa el descuento para calcular el valor presente de cada flujode efectivo en el tiempo cero, y despus suma estos valores para calcular el valor que tie-ne hoy la inversin. La aplicacin de este mtodo se representa debajo de la lnea detiempoenlafigura5.2.Enlaprctica,cuandosetomandecisionesdeinversin,losadministradores, por lo general, adoptan el enfoque del valor presente.HERRAMIENTAS COMPUTACIONALESLa obtencin de los valores presentes y futuros implica efectuar clculos que con-sumen mucho tiempo. Aunque es necesario conocer los conceptos y las matemticasque fundamentan estos clculos, las calculadoras financieras y las hojas de clculosimplifican la aplicacin de las tcnicas del valor en el tiempo.Calculadoras financierasLascalculadorasfinancieras contienennumerosasrutinasfinancieraspreprogra-madas. Aprender a usar estas rutinas puede hacer del clculo de los valores presentesy futuros una labor muy sencilla.Nos centraremos principalmente en las teclas representadas en la figura 5.3. Porloregular,usamoscuatrodelascincoprimerasquesemuestranenlacolumnaizquierda, junto con la tecla de clculo (CPT). Una de las cuatro teclas representa elvalor desconocido que se est calculando. Las calculadoras ms complejas controlan$15,000 $3,000 $5,000 $4,000 $3,000 $2,0000 1 2 3CapitalizacinDescuento4 5ValorfuturoValorpresenteFin de aoFI GURA5. 2Capitalizacin y descuentoLnea de tiempo quemuestra la capitalizacinpara calcular el valorfuturo y el descuento paracalcular el valor presente154 PARTE 2 Herramientas financieraslos clculos a travs de un men: despus de que usted selecciona la rutina apropiada, lacalculadora le solicita que ingrese cada valor. No obstante, cualquier calculadora conlas funciones bsicas de valor futuro y valor presente simplifica los clculos del valordel dinero en el tiempo. La operacin de las calculadoras financieras se explica en losinstructivos que las acompaan.Una vez que usted comprenda los conceptos bsicos, es probable que desee uti-lizar una calculadora para simplificar los clculos. Con un poco de prctica, podraumentar tanto la velocidad como la exactitud de sus clculos financieros. Recuerdeque el objetivo es la comprensin conceptual del tema. La capacidad de resolver proble-mas con la ayuda de una calculadora no necesariamente refleja esa comprensin, asque no se conforme solo con las respuestas. Trabaje sobre la materia hasta que tengala seguridad de que tambin entiende los conceptos.Hojas electrnicas de clculoDel mismo modo que las calculadoras financieras, las hojas electrnicas de clculotienen rutinas integradas que simplifican los clculos del valor del dinero en el tiempo.Enellibrosepresentanvariassolucionesdehojadeclculoqueidentificanlasentradas de las celdas para calcular los valores del dinero en el tiempo. El valor de cadavariable se registra en una celda de la hoja de clculo, y el clculo se programa usandouna ecuacin que relaciona las celdas individuales. Si los valores de las variables cam-bian, la solucin se modifica automticamente debido a la aplicacin de la ecuacinque relaciona las celdas.PATRONES BSICOS DE FLUJOS DE EFECTIVOEl flujo de efectivo (entradas y salidas) de una empresa se describe por medio de supatrn general. Se define como un monto nico, una anualidad o un ingreso mixto.Monto nico: Un monto global que se posee hoy o se espera tener en alguna fechafutura. Como ejemplo tenemos $1,000 actuales y $650 que se recibirn al cabo de10 aos.Anualidad: Uningresodeflujosdeefectivoperidicoseiguales.Paracumplir nuestros objetivos, trabajaremos principalmente con los flujos de efectivo anuales.Un ejemplo es pagar o recibir $800 al final de cada uno de los 7 aos siguientes.Ingresomixto: Uningresodeflujosdeefectivoqueno esunaanualidad;uningreso de flujos de efectivo peridicos y desiguales que no reflejan algn patrnespecfico. Como ejemplo tenemos los dos siguientes flujos de efectivo A y B.NNmero de periodosITasa de inters por periodoPVValor presentePMTMonto del pago (solo se usa para anualidades)FVValor futuroCPTTecla para iniciar el clculo financiero una vez que se han introducido todos los valoresNIPMTFVPVCPTFI GURA5. 3Teclas de la calculadoraTeclas financierasimportantes en unacalculadora tpicaCAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 155Observequeningningresodeflujosdeefectivotieneflujosdeefectivoperidi-cos iguales, y que A es un ingreso mixto de 6 aos y B es un ingreso mixto de 4 aos.En las tres siguientes secciones de este captulo, desarrollaremos los conceptos ylas tcnicas para calcular los valores futuros y presentes de montos nicos, anuali-dades e ingresos mixtos, respectivamente. Se incluyen demostraciones detalladas deestos patrones de flujos de efectivo.uPREGUNTAS DE REPASO5.1 Cul es la diferencia entre valor futuro y valor presente? Qu mtodo pre-fieren generalmente los gerentes financieros? Por qu?5.2 Defina y explique las diferencias de los tres patrones bsicos del flujo deefectivo: 1. monto nico, 2. anualidad y 3. ingreso mixto.Ingreso mixto de flujos de efectivoFin de ao A B1 $ 100 -$ 502 800 1003 1,200 804 1,200 - 605 1,4006 3005.2 Montos nicosImagine que a la edad de 25 aos usted comienza a destinar $2,000 anuales a unainversin que gana el 5% de inters. Despus de 40 aos, a la edad de 65, habr inver-tido un total de $80,000 (40 aos $2,000 al ao). Cunto habra acumulado alfinal del cuadragsimo ao? $100,000? $150,000? $200,000? No, sus $80,000 sehabrn convertido en $242,000! Por qu? Porque el valor del dinero en el tiempopermiti que sus inversiones generaran rendimientos que se sumaron unos sobre otrosdurante los 40 aos.VALOR FUTURO DE UN MONTO NICOLos conceptos y clculos bsicos del valor futuro y valor presente tienen que ver conmontos nicos, ya sea montos presentes o futuros. Iniciaremos considerando problemasque implican la obtencin del valor futuro del efectivo que tenemos hoy en la mano.Luego, usaremos los conceptos subyacentes para obtener el valor presente del efectivoque recibiremos o pagaremos en el futuro.Confrecuencianecesitamosconocerelvalorenunafechafuturadeunmontoespecfico de dinero depositado el da de hoy. Por ejemplo, si usted deposita hoy $500 enuna cuenta que paga el 5% de inters anual, cunto tendra en la cuenta exactamente altrmino de 10 aos? El valor futuro es el valor en una fecha futura especfica de unmonto colocado en depsito el da de hoy y que gana un inters a una tasa determinada.El valor futuro depende de la tasa de inters ganada y del periodo en que el monto per-manece en depsito. Aqu analizaremos el valor futuro de un monto nico.OA2valor futuroValor en una fecha futuraespecfica de un montocolocado en depsito el da de hoy y que gana un inters a una tasa determinada. Secalcula aplicando un interscompuesto durante un periodoespecfico.156 PARTE 2 Herramientas financierasConcepto de valor futuroHablamos de inters compuesto para indicar que el monto del inters ganado en undepsito especfico se vuelve parte del principal al final de un periodo determinado. Eltrmino principal se refiere al monto de dinero sobre el que se pagan intereses. Lacapitalizacin anual es el tipo ms comn.El valor futuro de un monto presente se calcula aplicando un inters compuestodurante un periodo determinado. Las instituciones de ahorro anuncian rendimientosde inters compuesto a una tasa de x%, o x% de inters compuesto anual, semestral,trimestral, mensual, semanal, diario o incluso continuo. El concepto de valor futurocon una capitalizacin anual se ilustra con un ejemplo sencillo.Si Fred Moreno deposita $100 en una cuenta de ahorros que pagael 8% de inters compuesto anualmente, al final de un ao tendr$108 en la cuenta, es decir, el principal inicial de $100 ms 8% ($8) de inters. Elvalor futuro al final del primer ao se calcula mediante la ecuacin 5.1:Valor futuro al final del ao(5.1)Si Fred mantuviera este dinero en la cuenta durante otro ao, recibira un intersa la tasa del 8% sobre el nuevo principal de $108. Al final de este segundo ao, habra$116.64 en la cuenta. Este monto representara el principal al inicio del ao 2 ($108)ms el 8% de inters de los $108 ($8.64). El valor futuro al final del segundo ao secalcula mediante la ecuacin 5.2:Valor futuro al final del ao (5.2)Sisustituimoslacifrade$108delaecuacin5.2conlaexpresinqueseencuentra entre signos de igual en la ecuacin 5.1, obtenemos la ecuacin 5.3:Valor futuro al final del ao (5.3)Las ecuaciones del ejemplo anterior conducen a una frmula ms general paracalcular el valor futuro.Ecuacin para calcular el valor futuroLa relacin bsica en la ecuacin 5.3 puede generalizarse para calcular el valor futuroal trmino de cualquier nmero de periodos. Usamos la siguiente notacin para lasdiferentes entradas.VFn valor futuro al final del periodo nVP principal inicial o valor presentei tasa anual de inters pagada. (Nota: En las calculadoras financieras, se usanormalmente I para identificar esta tasa).n nmero de periodos (generalmente aos) que el dinero se mantiene endepsito= $116.64= $100* (1+ 0.08)22= $100* (1+ 0.08)* (1+ 0.08)= $116.642= $108* (1+ 0.08)1= $100* (1+ 0.08)= $108Ejemplo 5.1 Finanzas personales cinters compuestoInters ganado en un depsitoespecfico y que se vuelveparte del principal al final deun periodo determinado.principalMonto de dinero sobre el quese pagan intereses.CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 157La ecuacin general para el valor futuro al final del periodo n esVFn VP (1 i)n(5.4)Un ejemplo sencillo ilustrar cmo aplicar la ecuacin 5.4.Jane Farber deposita $800 en una cuenta de ahorros que paga el6% de inters compuesto anual. Desea saber cunto dinero tendren la cuenta al trmino de 5 aos. Sustituyendo VP $800, i 0.06, y n 5 en laecuacin 5.4, obtenemos el monto final en el ao 5.Este anlisis se representa en una lnea de tiempo de la siguiente manera:VF5= $800* (1+ 0.06)5= $800* (1.33823)= $1,070.58Ejemplo 5.2 Finanzas personales cVP = $8000 1 2 3 4 5VF5 = $1,070.58Fin de aoLnea de tiempo para el valorfuturo de un monto nico(principal inicial de $800,ganando el 6% al trmino de5 aos)Para profundizarSi quiere saber en qu consistela regla de 72, visite el sitiowww.myfinancelab.comLasolucindelaecuacindelejemploanteriorimplicaelevar1.06alaquintapotencia. El uso de una calculadora financiera o de una hoja de clculo electrnicasimplifica el clculo.En el ejemplo 5.2 de finanzas personales, Jane Farber deposit $800en su cuenta de ahorros al 6% de inters compuesto anual y deseasaber cunto tendr en la cuenta al cabo de 5 aos.Uso de la calculadora1Se puede usar la calculadora financiera para obtener el valorfuturo directamente. Primero registre $800 y presione PV (valor presente); despus,registre 5 y presione N; a continuacin, registre 6 y presione I (que equivale a i ennuestra notacin); por ltimo, calcule el valor futuro, presionando CPT y despus FV.El valor futuro de $1,070.58 debe aparecer en la pantalla de la calculadora como semuestra en la figura del margen izquierdo. En muchas calculadoras, este valor estprecedidoporunsignonegativo(1,070.58).Siapareceunsignonegativoensu calculadora, ignrelo tanto en este como en todos los dems ejemplos de Uso de laEjemplo 5.3 Finanzas personales c1Muchas calculadoras permiten al usuario establecer el nmero de pagos al ao. La mayora de estas calculadoras estnprogramadas para pagos mensuales, es decir, 12 pagos al ao. Como trabajamos principalmente con pagos anuales (unpago al ao), es importante que se asegure de que su calculadora est programada para pagos anuales. Y, aunque la ma-yora de las calculadoras estn programadas para reconocer que todos los pagos ocurran al final del periodo, es impor-tante que se asegure de que su calculadora est correctamente configurada en el modo de FINAL. Para eliminar lainclusin de datos anteriores en los clculos actuales, borre siempre todas las cifras registradas en la calculadora antes deintroducirnuevosvaloreseiniciarlosclculos.Losvaloresconocidospuedenregistrarseenlacalculadoraencualquier orden; el orden especificado en esta y otras demostraciones del uso de la calculadora incluidas en este libro tansolo refleja la conveniencia y preferencia personal.1,070.58800 PVNCPTFVI56SolucinEntrada Funcin158 PARTE 2 Herramientas financierascalculadora de este libro.2(Nota: En ejemplos futuros del uso de la calculadora, uti-lizaremos siempre una pantalla similar a la presentada en este ejemplo. Si usted nece-sita un recordatorio de los procedimientos requeridos, revise este prrafo).Usodelahojadeclculoelectrnica Excelofreceunafuncinmatemticaquerealizafcilmentelosclculosdelvalorfuturo.ElformatodeestafuncinesFV(rate,nper,pmt,pv,type). Los trminos dentro del parntesis son entradas que Excelrequiere para calcular el valor futuro. Los trminos rate y nper se refieren a la tasa deinters y al nmero de periodos, respectivamente. El trmino pv representa la sumaglobal(ovalorpresente)queustedestinvirtiendoahora.Porelmomento,igno-raremos las otras dos entradas, pmt y type, y las introduciremos con un valor igual acero. El valor futuro del monto nico tambin se puede calcular como se muestra enla siguiente hoja de clculo de Excel.2La calculadora distingue las entradas de las salidas colocando un signo negativo delante de las salidas. Por ejemplo,en el problema que acabamos de mostrar, como el valor presente (VP) de $800 se registr como un nmero positivo, seconsidera una entrada de efectivo. Por lo tanto, el valor futuro calculado (VF) de 1,070.58 va precedido por un sig-no negativo para indicar que es la salida resultante. Si el valor presente de los $800 se hubiera registrado como unnmero negativo (800), el valor futuro de $1,070.58 habra aparecido como un nmero positivo (1,070.58). En pocaspalabras, los flujos de efectivo, es decir, el valor presente (VP) y el valor futuro (VF), tendrn signos opuestos.VALOR FUTURO DE UN MONTO NICOValor presenteTasa de inters, % de inters compuesto anualNmero de aosValor futuro12345$8006%5$1,070.58La entrada de la celda B5 es: =FV(B3,B4,0,B2,0)El signo negativo aparece antes de B2 porque el valor presente esun flujo de salida (es decir, un depsito realizado por Jane Farber).A BEl cambio en cualquiera de los valores en las celdas B2, B3 o B4 automticamentemodifica el resultado mostrado en la celda B5 porque la frmula en esa celda est rela-cionada con las otras celdas. Al igual que sucede con la calculadora, Excel reporta lasentradas de efectivo como nmeros positivos y las salidas de efectivo como nmerosnegativos. En el ejemplo utilizado aqu se registraron los $800 del valor presente comounnmeronegativo,locualprovocaqueExcelreporteelvalorfuturocomounnmero positivo. Lgicamente, Excel trata los $800 del valor presente como una salidade efectivo, como si usted estuviera pagando por la inversin que realiza, y considerael valor futuro como una entrada de efectivo cuando usted cosecha los beneficios de suinversin 5 aos ms tarde.Enfoque grfico del valor futuroRecuerde que medimos el valor futuro al final del periodo especfico. La figura 5.4ilustra cmo el valor futuro depende de la tasa de inters y el nmero de periodos enque el dinero permanece invertido. La figura muestra que: 1. cuanto mayor es la tasade inters, mayor es el valor futuro, y 2. cuanto mayor es el periodo, mayor es el valorfuturo. Observe que, para una tasa de inters del 0%, el valor futuro siempre es igualal valor presente ($1.00). Pero, para cualquier tasa de inters mayor que cero, el valorfuturo es mayor que el valor presente de $1.00.CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 159VALOR PRESENTE DE UN MONTO NICOCon frecuencia es til determinar el valor actual de un monto futuro de dinero. Porejemplo, cunto tendra que depositar hoy en una cuenta que paga el 7% de intersanual para acumular $3,000 al trmino de 5 aos? El valor presente es el valor actualen dlares de un monto futuro; es decir, la cantidad de dinero que debera invertirsehoy a una tasa de inters determinada, durante un periodo especfico, para igualar elmonto futuro. Al igual que el valor futuro, el valor presente depende en gran medidade la tasa de inters y del momento en que se recibir el monto. Esta seccin analizael valor presente de un monto nico.Concepto de valor presenteEl proceso para calcular los valores presentes se conoce como descuento de flujos de efec-tivo.Intentaresponderlasiguientepregunta:sipuedoganari%sobremidinero,cunto es lo mximo que estara dispuesto a pagar ahora por la oportunidad de recibirun VFnen dlares en n periodos a partir de hoy?En realidad, este proceso es lo contrario de la capitalizacin de intereses. En vezde calcular el valor futuro de dlares actuales invertidos a una tasa especfica, el des-cuento determina el valor presente de un monto futuro, suponiendo una oportunidadde ganar cierto rendimiento sobre el dinero. Esta tasa de rendimiento o retorno anualrecibe diversos nombres, como tasa de descuento, rendimiento requerido, costo decapital y costo de oportunidad. Estos trminos se usarn indistintamente en este libro.Paul Shorter tiene la oportunidad de recibir $300 dentro de un aoa partir de hoy. Si puede ganar el 6% sobre sus inversiones en elcurso normal de los acontecimientos, cunto es lo mximo que debera pagar ahorapor esa oportunidad? Para responder a esta pregunta, Paul debe determinar cuntosdlares tendra que invertir hoy al 6% para tener $300 dentro de un ao. Si el VPequivale a este monto desconocido y usamos la misma notacin que en el anlisis delvalor futuro, tenemos(5.5) VP* (1+ 0.06)= $300Ejemplo 5.4 Finanzas personales cvalor presenteValor actual en dlares de un monto futuro; es decir, lacantidad de dinero quedebera invertirse hoy a unatasa de inters determinada,durante un periodo especfico,para igualar el monto futuro.90807060304050102012 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24PeriodosValor futuro de un dlar ($)20%15%10%5%0%FI GURA5. 4Relaciones del valor futuroTasas de inters, periodos yvalor futuro de un dlardescuento de flujos deefectivoProceso para calcular losvalores presentes; es locontrario de la capitalizacinde intereses.160 PARTE 2 Herramientas financierasAl despejar VP en la ecuacin 5.5, obtenemos la ecuacin 5.6:(5.6)El valor actual (valor presente) de $300 recibidos dentro de un ao a partir dehoy,considerandounatasadeintersdel6%,esde$283.02.Esdecir,invertir$283.02 hoy al 6% generar $300 al trmino de un ao.Ecuacin para calcular el valor presenteEl valor presente de un monto futuro se calcula matemticamente despejando el VPde la ecuacin 5.4. En otras palabras, el valor presente, VP, de cierto monto futuro,VFn, que se recibir en n periodos a partir de ahora, suponiendo una tasa de inters (ocosto de oportunidad) de i, se calcula de la siguiente manera:(5.7)Observe la similitud entre esta ecuacin general para calcular el valor presente y laecuacin del ejemplo anterior (ecuacin 5.6). Usemos esta ecuacin en un ejemplo.PamValentideseacalcularelvalorpresentede$1,700querecibir dentro de 8 aos. El costo de oportunidad de Pam es del8%. Sustituyendo VF8= $1,700, n = 8, e i = 0.08 en la ecuacin 5.7 obtenemos laecuacin 5.8:(5.8)La siguiente lnea de tiempo muestra este anlisis.VP=$1,700(1+ 0.08)8=$1,7001.85093= $918.46Ejemplo 5.5 Finanzas personales cVP=VFn(1+ i)n= $283.02VP=$300(1+ 0.06)VP = $918.460 1 2 3 4 5 6 7 8Fin de aoVF8 = $1,700Lnea de tiempo para el valorpresente de un monto nico($1,700, descontados al 8%,al cabo de 8 aos)918.461700 FVNCPTPVI88SolucinEntrada FuncinUsodelacalculadora Usandolasfuncionesfinancierasdelacalculadoraylasentradas que se muestran en el margen izquierdo, el valor presente calculado es de$918.46.Uso de la hoja de clculo El formato de la funcin de valor presente de Excel es muysimilar al de la funcin de valor futuro analizada anteriormente. La sintaxis apropiadaes PV(rate,nper,pmt,fv,type). La lista dentro del parntesis es la misma que la de la fun-cin de valor futuro de Excel con una excepcin. La funcin de valor presente contieneCAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 161Enfoque grfico del valor presenteRecuerde que los clculos del valor presente suponen que los valores futuros se midenal final del periodo especfico. La figura 5.5 muestra las relaciones entre los factoresde un clculo del valor presente. La cifra muestra claramente que, siempre que todo lodems permanezca igual, 1. cuanto mayor sea la tasa de descuento, menor ser elvalor presente y 2. cuanto mayor sea el periodo, menor ser el valor presente. Observetambin que considerando una tasa de descuento del 0%, el valor presente siempre esigual al valor futuro ($1.00). Pero para cualquier tasa de descuento mayor que cero,el valor presente es menor que el valor futuro de $1.00.uPREGUNTAS DE REPASO5.3 Cmoserelacionaelprocesodecapitalizacin conelpagodeinteresessobre los ahorros? Cul es la ecuacin general para calcular el valor futuro?5.4 Quefectoproduciraunadisminucindelatasadeintersenelvalorfuturo de un depsito? Qu efecto producira en el valor futuro un aumentoen el periodo que se mantiene un depsito?5.5 Qu significa valor presente de un monto futuro? Cul es la ecuacingeneral para calcular el valor presente?VALOR PRESENTE DE UN MONTO NICOValor futuroTasa de inters, % por ao de capitalizacin anualNmero de aosValor presente12345$1,7008%8$918.46La entrada de la celda B5 es: =PV(B3,B4,0,B2)El signo negativo aparece antes de PV paracambiar el valor presente a un monto positivo.A Bel trmino fv, el cual representa la suma global de pagos futuros (o entradas) cuyovalor presente estamos tratando de calcular. El valor presente del monto futuro nicotambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo electrnicade Excel.Periodos0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 241.000.750.500.25Valor presente de un dlar ($)5%0%15%10%20%FI GURA5. 5Relaciones del valorpresenteTasas de descuento,periodos y valor presentede un dlar162 PARTE 2 Herramientas financieras5.6 Qu efecto produce el aumento del rendimiento requerido en el valor pre-sente de un monto futuro? Por qu?5.7 Cmo se relacionan los clculos del valor presente y el valor futuro?5.3 AnualidadesCunto pagara hoy, considerando que puede ganar el 7% en inversiones de bajoriesgo, para recibir $3,000 garantizados al final de cada uno de los prximos 20 aos?Cunto tendr al trmino de 5 aos si su empleador retiene e invierte $1,000 de subonoalfinaldecada uno delosprximos5aos,garantizndoleunatasaderendimiento anual del 9%? Para contestar estas preguntas, usted necesita entender elefecto del valor del dinero en el tiempo sobre las anualidades.Una anualidad es un conjunto de flujos de efectivo peridicos e iguales duranteunperiodoespecfico.Generalmente,estosflujosdeefectivosonanuales,peropueden ocurrir en otros periodos, tales como la renta mensual o el pago mensual delautomvil (en tal caso se llamarn mensualidades). Los flujos de efectivo de una anua-lidad pueden ser entradas (los $3,000 recibidos al final de cada uno de los prximos 20 aos) o salidas (los $1,000 invertidos al final de cada uno de los prximos 5 aos).TIPOS DE ANUALIDADESExisten dos tipos bsicos de anualidades. En una anualidad ordinaria, el flujo de efec-tivo ocurre al final de cada periodo. En una anualidad anticipada, el flujo de efectivoocurre al inicio de cada periodo.FranAbramsesttratandodedecidirculdedosanualidadesrecibir. Ambas son anualidades de $1,000 durante 5 aos; la anua-lidad A es una anualidad ordinaria y la anualidad B es una anualidad anticipada. Paraentender mejor la diferencia entre estas anualidades, Fran hizo una lista de los flujos deefectivo, la cual se presenta en la tabla 5.1. Observe que, en ambos casos, las anuali-dades suman un total de $5,000. Los dos planes de anualidades difieren nicamente enel momento en que ocurren sus flujos de efectivo: los flujos de efectivo se reciben msrpidamente con la anualidad anticipada que con la anualidad ordinaria.Ejemplo 5.6 Finanzas personales cOA3anualidadConjunto de flujos de efectivoperidicos e iguales duranteun periodo determinado. Estosflujos de efectivo pueden serentradas de rendimientosobtenidos por inversiones osalidas de fondos invertidospara obtener rendimientosfuturos.anualidad ordinariaAnualidad en la que el flujo deefectivo ocurre al final de cadaperiodo.anualidad anticipadaAnualidad en la que el flujo de efectivo ocurre al inicio decada periodo.Comparacin de los flujos de efectivo entre una anualidadordinaria y una anualidad anticipada ($1,000, 5 aos)Flujos de efectivo anualesAo Anualidad A (ordinaria) Anualidad B (anticipada)0 $ 0 $1,0001 1,000 1,0002 1,000 1,0003 1,000 1,0004 1,000 1,0005Total $5,000 $5,0000 1,000TABLA5. 1CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 163Aunque los flujos de efectivo de ambas anualidades de la tabla 5.1 suman un totalde $5,000, la anualidad anticipada tendra un valor futuro ms alto que la anualidadordinaria porque cada uno de sus cinco flujos de efectivo anuales puede ganar interesesdurante un ao ms que cada uno de los flujos de efectivo de la anualidad ordinaria.En general, como se demostrar ms adelante en este captulo, tanto el valor futurocomo el valor presente de una anualidad anticipada son siempre mayores que el valorfuturo y el valor presente, respectivamente, de una anualidad ordinaria idntica.Debido a que en finanzas se usan con ms frecuencia las anualidades ordinarias, amenos que se especifique otra cosa, en este libro el trmino anualidad se refiere a lasanualidades ordinarias.CLCULO DEL VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDADORDINARIAUna manera de obtener el valor futuro de una anualidad ordinaria es calcular el valorfuturo de cada uno de los flujos de efectivo individuales y luego sumarlos. Por fortuna,existen varios atajos para obtener la respuesta. Usted puede calcular el valor futuro deuna anualidad ordinaria que paga un flujo de efectivo anual FE, usando la ecuacin 5.9:(5.9)Como antes, i en esta ecuacin representa la tasa de inters, y n representa el nmerode pagos en la anualidad (o de manera equivalente, el nmero de aos que dura laanualidad). Los clculos requeridos para obtener el valor futuro de una anualidadordinaria se ilustran en el siguiente ejemplo.Fran Abrams desea determinar cunto dinero tendr al cabo de 5aossieligelaanualidadA,esdecir,laanualidadordinaria.Elladepositar$1,000anualmente,alfinaldecadaunodelosprximos5aos,enunacuenta de ahorros que paga el 7% de inters anual. Esta situacin se ilustra en la siguientelnea de tiempo:Ejemplo 5.7 Finanzas personales cVFn= FE* e 3(1+ i)n- 14if$1,000 $1,000 $1,000 $1,000 $1,0000 1 2 3 4 5$1,310.801,225.041,144.901,070.001,000.00$5,750.74 Valor futuroFin de aoLnea de tiempo para el valorfuturo de una anualidadordinaria (depsito de$1,000 cada fin de ao,ganando el 7% anual altrmino de 5 aos)Como muestra la figura, al trmino de 5 aos, Fran tendr $5,750.74 en su cuenta.Observe que como los depsitos se realizan a fin de ao, el primer depsito ganar164 PARTE 2 Herramientas financierasintereses durante 4 aos, el segundo durante 3 aos, y as sucesivamente. Sustituyen-do los valores relevantes en la ecuacin 5.9 obtenemos(5.10)Uso de la calculadora Usando las entradas de la calculadora que se muestran en elmargenizquierdo,confirmarqueelvalorfuturodelaanualidadordinariaesde$5,750.74.Uso de la hoja de clculo Para calcular el valor futuro de una anualidad en Excel,usamos la misma funcin de valor futuro que usamos para calcular el valor futuro deuna suma global, pero agregamos dos nuevos valores de entrada. Recuerde que la sin-taxis de la funcin del valor futuro es FV(rate,nper,pmt,pv,type). Ya hemos explicadolos trminos rate, nper y pv en esta funcin. El trmino pmt se refiere al pago anual queofrece la anualidad. El trmino type es una entrada que permite a Excel saber si la anua-lidad que se est valuando es una anualidad ordinaria (en ese caso, el valor de entradapara type es 0, o se omite) o una anualidad anticipada (en tal caso, el valor correcto deentrada para type es 1). En este problema particular, el valor de entrada para pv es 0 ose omite, porque no se recibi dinero por adelantado. Los nicos flujos de efectivo sonaquellos que forman parte de la anualidad. El valor futuro de una anualidad ordinariase puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo de Excel.VF5= $1,000* e 3(1+ 0.07)5- 140.07f= $5,750.745,750.741000 PMTNCPTFVI57SolucinEntrada FuncinVALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIAPago anualTasa de inters anual, compuesta anualmenteNmero de aosValor futuro de una anualidad ordinaria12345$1,0007%5$5,750.74La entrada de la celda B5 es: =FV(B3,B4,B2)El signo negativo aparece antes de B2porque el pago anual es una salida de efectivo.A BCLCULO DEL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDADORDINARIAEn finanzas, con mucha frecuencia, existe la necesidad de calcular el valor presente de unconjunto de flujos de efectivo que se recibirn en periodos futuros. Por supuesto, las anua-lidades son conjuntos de flujos de efectivo peridicos e iguales. El mtodo para calcularelvalorpresentedeunaanualidadordinariaessimilaralmtodoqueacabamosdeanalizar. Un enfoque sera calcular el valor presente de cada flujo de efectivo en la anua-lidad y luego sumar esos valores presentes. Alternativamente, el atajo algebraico paraobtener el valor presente de una anualidad ordinaria que hace un pago anual de FE en naos es el siguiente:(5.11)Desde luego, el enfoque ms sencillo consiste en resolver problemas como este conuna calculadora financiera o un programa de hoja de clculo.VPn= aFEi b* c 1-1(1+ i)n dCAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 165BradenCompany,unapequeaempresafabricantedejuguetesdeplstico,deseadeterminar el monto mximo que debera pagar para obtener una anualidad ordi-naria determinada. La anualidad consiste en flujos de efectivo de $700 al final decadaaodurantecincoaos.Laempresarequierequelaanualidadbrindeunrendimientomnimodel8%.Estasituacinserepresentaenlasiguientelneadetiempo:Ejemplo 5.8cLa tabla 5.2 muestra una manera de calcular el valor presente de la anualidad: sim-plemente se calculan los valores presentes de todos los pagos en efectivo, usando laecuacin de valor presente (ecuacin 5.7), y se suman. Este procedimiento da comoresultado un valor presente de $2,794.90. Las calculadoras y hojas de clculo ofrecenmtodos directos para obtener esta cifra.Uso de la calculadora Usando las entradas de la calculadora que se ilustran en el margenizquierdo, encontrar que el valor presente de la anualidad ordinaria es de $2,794.90.Uso de la hoja de clculo El valor presente de la anualidad ordinaria tambin puedecalcularse como se muestra en la siguiente hoja de clculo de Excel.0 1 2 3 4 5Valor presente$700648.15600.14555.68514.52476.41$2,794.90$Fin de ao$700 $700 $700 $700Lnea de tiempo para el valorpresente de una anualidadordinaria (flujos de efectivo de$700 a fin de ao,descontados al 8%, durante 5 aos)Mtodo largo para calcular el valor presente de una anualidad ordinariaAo (n) Flujo de efectivo Clculo del valor presente Valor presente1 $700 $ 648.152 700 600.143 700 555.684 700 514.525 700Valor presente de la anualidad $2,794.90476.41700(1+ 0.08)5=700(1+ 0.08)4=700(1+ 0.08)3=700(1+ 0.08)2=700(1+ 0.08)1=TABLA5. 2 2,794.90700 PMTNCPTPVI58SolucinEntrada Funcin166 PARTE 2 Herramientas financierasCLCULO DEL VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDADANTICIPADAAhora pondremos atencin a las anualidades anticipadas. Recuerde que los flujos deefectivo de una anualidad anticipada ocurren al inicio del periodo. En otras palabras, siestamos manejando pagos anuales, cada pago de una anualidad anticipada ocurre unao antes de lo que se produce en una anualidad ordinaria. Esto, a la vez, significa quecada pago puede tener una ganancia extra de inters, lo cual se debe a que el valor futurode una anualidad anticipada excede el valor futuro de una anualidad ordinaria idntica.El atajo algebraico para calcular el valor futuro de una anualidad anticipada quehace pagos anuales de FE por n aos es la siguiente ecuacin:(5.12)Compare esto con la ecuacin 5.9, la cual muestra cmo calcular el valor futurode una anualidad ordinaria. Las dos ecuaciones son casi idnticas, pero la ecuacin5.12 tiene al final un trmino adicional, (1 i). En otras palabras, el valor que seobtiene con la ecuacin 5.12 es (1 i) veces ms grande que el valor de la ecuacin 5.9si las otras entradas (FE y n) se mantienen iguales, y esto tiene sentido porque todos lospagos de la anualidad anticipada tienen una ganancia de inters de un ao adicional encomparacin con la anualidad ordinaria.Recuerde que en el ejemplo anterior, ilustrado en la tabla 5.1, FranAbrams quera elegir entre una anualidad ordinaria y una anualidadanticipada;ambasofrecencondicionessimilaresexceptoporelmomentoenquesepagan los flujos de efectivo. En el ejemplo 5.7 se calcul el valor futuro de la anualidadordinaria. Ahora calcularemos el valor futuro de la anualidad anticipadaUso de la calculadora Antes de usar su calculadora para determinar el valor futuro deuna anualidad anticipada, dependiendo de la calculadora especfica, usted debe acti-varlaenelmodoBEGINousarlateclaDUE.Luego,usandolasentradasqueseindican en la figura de la izquierda, calcular el valor futuro de la anualidad antici-pada como $6,153.29. (Nota: Como casi siempre consideramos flujos de efectivo alfinal del periodo, asegrese de que su calculadora regrese al modo END cuando hayaterminado sus clculos de la anualidad anticipada).Uso de la hoja de clculoEl valor futuro de la anualidad anticipada tambin se puedecalcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo de Excel. Recuerde que parauna anualidad anticipada el valor de la entrada, type, debe ser 1, y que tambin debe-mos especificar el valor de la entrada pv como 0, puesto que las entradas estn enseries ordenadas.Ejemplo 5.9 Finanzas personales cVFn= FE* e 3(1+ i)n- 14if* (1+ i)VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ORDINARIAPago anualTasa de inters anual, compuesta anualmenteNmero de aosValor presente de una anualidad ordinaria12345$7008%5$2,794.90La entrada de la celda B5 es: =PV(B3,B4,B2)El signo negativo aparece antes de B2 porqueel pago anual es una salida de efectivo.A B6,153.291000 PMTNCPTFVI57SolucinEntrada FuncinNota: Active la calculadoraen el modo BEGIN.CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 167Comparacin de los valores futuros de anualidades anticipadas y ordinariasEl valor futuro de una anualidad anticipada siempre es mayor que el valor futuro deuna anualidad ordinaria idntica. Podemos comprobar esto comparando los valoresfuturos al final del ao 5 de las dos anualidades de Fran Abrams:Anualidad ordinaria = $5,750.74 contra Anualidad anticipada = $6,153.29.Debido a que el flujo de efectivo de la anualidad anticipada ocurre al principio delperiodo y no al final (es decir, cada pago se hace un ao antes en la anualidad antici-pada), su valor futuro es mayor. Qu tanto? Es interesante calcular la diferencia por-centual entre el valor de la anualidad ordinaria y el valor de la anualidad anticipada:Recuerde que la tasa de inters en este ejemplo es del 7%. No es coincidencia quela anualidad anticipada tenga un valor 7% mayor que la anualidad. El inters de unao extra en cada uno de los pagos de la anualidad anticipada hace que esta ltima re-base en un 7% a la anualidad ordinaria.OBTENCIN DEL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDADANTICIPADATambin se puede calcular el valor presente de una anualidad anticipada. Este clculose realiza fcilmente ajustando el clculo de la anualidad ordinaria. Como los flujosde efectivo de una anualidad anticipada ocurren al principio y no al final del periodo,para calcular el valor presente, a cada flujo de efectivo de la anualidad anticipada sele descuenta un ao menos que a la anualidad ordinaria. La frmula algebraica parael clculo del valor presente de una anualidad anticipada es la siguiente:(5.13)Advierta la similitud entre esta frmula y la ecuacin 5.11. Las dos ecuaciones seranidnticas si no fuera por que la ecuacin 5.13 tiene un trmino adicional al final, (1 i).La razn de este trmino adicional es la misma que cuando se calcul el valor futurode la anualidad anticipada. En la anualidad anticipada, cada pago llega un ao antes(en comparacin con la anualidad ordinaria), de modo que cada pago genera un pocoms de ganancia (un ao ms de inters).VPn= aFEi b* c 1-1(1+ i)n d * (1+ i)($6,153.29- $5,750.74), $5,750.74= 0.07= 7%VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADAPago anualTasa de inters anual, compuesta anualmenteNmero de aosValor futuro de la anualidad anticipada12345$1,0007%5$6,153.29La entrada de la celda B5 es: =FV(B3,B4,B2,0,1)El signo negativo aparece antes de B2 porqueel pago anual es una salida de efectivo.A B168 PARTE 2 Herramientas financierasEn el ejemplo 5.8 de Braden Company, calculamos que el valor presente de la anuali-dad ordinaria de $700 de Braden a 5 aos, descontada al 8%, era de $2,794.90. Siahora suponemos que el flujo de efectivo anual de $700 de Braden ocurre al inicio decada ao y es, por lo tanto, una anualidad anticipada, podemos calcular su valor pre-sente usando una calculadora o una hoja de clculo.Uso de la calculadora Antes de usar su calculadora para obtener el valor presente deuna anualidad anticipada, dependiendo de las caractersticas de su calculadora, usteddebeactivarlaenmodoBEGIN,obien,usarlateclaDUE.Luego,realizandolasentradas mostradas en la figura de la izquierda, ver que el valor presente de la anua-lidad anticipada es de $3,018.49. (Nota: Como casi siempre suponemos flujos de efec-tivo al final del periodo, asegrese de activar su calculadora de regreso al modo ENDcuando haya terminado los clculos de la anualidad anticipada).Uso de la hoja de clculo El valor presente de la anualidad anticipada tambin se puedecalcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo de Excel.Ejemplo 5.10cLos hechos hablanUn conductor de camiones de Kansas, Donald Damon, se llev la sorpresa de su vida cuandose dio cuenta de que tena el boleto ganador de la lotera Powerball del sorteo realizado el11 de noviembre de 2009. El premio mayor anunciado era de $96.6 millones. Damon podaelegir que le entregaran su premio en 30 pagos anuales de $3,220,000 (es decir, 30 $3.22millones = $96.6 millones); sin embargo, en vez de ello, eligi aceptar un pago global de$48,367,329.08, aproximadamente la mitad del premio mayor.Es mejor una anualidad anticipada? 3,018.49700 PMTNCPTPVI58SolucinEntrada FuncinNota: Active la calculadoraen el modo BEGIN.VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADAPago anualTasa de inters anual, compuesta anualmenteNmero de aosValor presente de la anualidad anticipada12345$7008%5$3,018.49La entrada de la celda B5 es: =PV(B3,B4,B2,0,1)El signo negativo aparece antes de B2 porqueel pago anual es una salida de efectivo.A BComparacin del valor presente de una anualidad anticipada con el de una anualidad ordinariaEl valor presente de una anualidad anticipada siempre es mayor que el valor presentede una anualidad ordinaria idntica. Esto lo comprobamos comparando los valorespresentes de las dos anualidades de Braden Company.Anualidad ordinaria $2,794.90 contra Anualidad anticipada $3,018.49Como el flujo de efectivo de la anualidad anticipada ocurre al inicio del periodo y no alfinal, su valor presente es mayor. Si calculamos la diferencia porcentual de los valores deestas dos anualidades, veremos que la anualidad anticipada rebasa en un 8% a la anua-lidad ordinaria:($3,018.49- $2,794.90), $2,794.90= 0.08= 8%CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 169CLCULO DEL VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDADUna perpetuidad es una anualidad con una vida infinita, en otras palabras, es una anua-lidad que nunca termina, garantizando a su tenedor un flujo de efectivo al final de cadaao (por ejemplo, el derecho a recibir $500 al final de cada ao para siempre).En ocasiones es necesario calcular el valor presente de una perpetuidad. Por for-tuna, el clculo del valor presente de una perpetuidad es uno de los ms fciles enfinanzas. Si una perpetuidad paga un flujo de efectivo anual de FE, iniciando un ao apartir de ahora, el valor presente del conjunto de los flujos de efectivo es(5.14)Ross Clark desea fundar una ctedra de finanzas en su universidad.Lainstitucinleindicquerequierede$200,000anualesparamantener la ctedra; la donacin ganara el 10% anual. Para determinar el monto queRoss debe donar a la universidad para fundar la ctedra, debemos determinar el valorpresente de una perpetuidad de $200,000 descontada al 10%. Utilizando la ecuacin5.14, podemos determinar que el valor presente del pago anual de $200,000 de la per-petuidad es de $2,000,000 cuando la tasa de inters es del 10%:En otras palabras, para generar $200,000 cada ao por un periodo indefinido, serequieren $2,000,000 actuales si la universidad de Ross Clark puede ganar el 10%sobresusinversiones.Silauniversidadganael10%anualdeinterssobrelos$2,000,000, podr retirar $200,000 anuales por tiempo indefinido.uPREGUNTAS DE REPASO5.8 Cul es la diferencia entre una anualidad ordinaria y una anualidad antici-pada? Cul es ms rentable? Por qu?5.9 Cules son las formas ms eficientes de calcular el valor presente de unaanualidad ordinaria?5.10 Cmo se puede modificar la frmula del valor futuro de una anualidadpara calcular el valor futuro de una anualidad anticipada?5.11 Cmo se puede modificar la frmula del valor presente de una anualidadordinaria para calcular el valor presente de una anualidad anticipada?5.12 Qu es una perpetuidad? Por qu el valor presente de una perpetuidad esigual a un pago anual de efectivo dividido entre la tasa de inters?VP= $200,000, 0.10= $2,000,000Ejemplo 5.11 Finanzas personales cVP=FE,iperpetuidadAnualidad con una vidainfinita que garantiza un flujode efectivo anual continuo.5.4 Ingresos mixtosExisten dos tipos bsicos de ingresos de flujos de efectivo: la anualidad y el ingresomixto. Mientras que una anualidad es un patrn de flujos de efectivo peridicos eiguales, un ingreso mixto es un conjunto de flujos de efectivo peridicos y desigualesque no reflejan un patrn en particular. Los gerentes financieros deben evaluar confrecuencia las oportunidades que se espera que brinden los ingresos mixtos de flujos deefectivo.Aquconsideraremostantoelvalorfuturocomoelvalorpresentedelosingresos mixtos.OA4ingreso mixtoConjunto de flujos de efectivoperidicos y desiguales que noreflejan un patrn enparticular.170 PARTE 2 Herramientas financierasVALOR FUTURO DE UN INGRESO MIXTOEs fcil determinar el valor futuro de un ingreso mixto de flujos de efectivo. Deter-minamos el valor futuro de cada flujo de efectivo en la fecha futura especificada y des-pus sumamos todos los valores futuros individuales para calcular el valor futuro total.Shrell Industries, un fabricante de armarios, espera recibir los siguientes flujos de efec-tivo de ingresos mixtos durante los prximos 5 aos de uno de sus clientes menores.Ejemplo 5.12cFin de ao Flujo de efectivo1 $11,5002 14,0003 12,9004 16,0005 18,000$11,500 $14,000 $12,900 $16,000 $18,0000 1 2 3 4 5$15,645.6217,635.9715,046.5617,280.0018,000.00$83,608.15 Valor futuroFin de aoLnea de tiempo para el valorfuturo de un ingreso mixto(flujos de efectivo a fin deao, compuestos al 8% altrmino de 5 aos)Si Shrell espera ganar el 8% sobre sus inversiones, cunto acumular al trmino de 5 aos si invierte esos flujos de efectivo tan pronto como los recibe? La situacin se re-presenta en la siguiente lnea de tiempo:Uso de la calculadora Usted puede usar su calculadora para determinar el valor futurode cada flujo de efectivo individual, como se mostr anteriormente (en el ejemplo 5.3 deFinanzas personales), y luego sumar los valores futuros para obtener el valor futuro delingreso. Por desgracia, a menos que usted pueda programar su calculadora, la mayorade las calculadoras no cuentan con una funcin que le permita introducir todos losflujos de efectivo, especificar la tasa de inters y calcular directamente el valor futuro de todo el ingreso de los flujos de efectivo. Si utiliza su calculadora para determi-nar los valores futuros de flujos de efectivo individuales y despus los suma, el valorfuturo del ingreso de flujos de efectivo de Shrell Industries al trmino de 5 aos sera de$83,608.15.Uso de la hoja de clculo Un modo relativamente sencillo de usar Excel para calcularel valor futuro de un ingreso mixto es usar la funcin de valor futuro de Excel (FV), quevimos en el ejemplo 5.3 de Finanzas personales, combinada con la funcin de valor pre-sente neto (NPV) (la cual se estudiar en el ejemplo 5.13). El truco es usar la funcinNPV para obtener primero el valor presente del ingreso mixto y luego calcular el montodel valor futuro de ese valor presente. La siguiente hoja de clculo ilustra este mtodo:CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 171VALOR PRESENTE DE UN INGRESO MIXTOEl clculo del valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo es similar al clculodel valor futuro de un ingreso mixto. Determinamos el valor presente de cada montofuturo y despus sumamos todos los valores presentes individuales para obtener el valorpresente total.Frey Company, una fbrica de calzado, tiene la oportunidad de recibir el siguienteingreso mixto de flujos de efectivo durante los prximos 5 aos:Ejemplo 5.13cVALOR FUTURO DE UNINGRESO MIXTOTasa de inters, % anualAo12345Valor futuro1234567898%Flujo de efectivoal final del ao$11,500$14,000$12,900$16,000$18,000$83,608.15La entrada de la celda B9 es:=FV(B2,A8,0,NPV(B2,B4:B8)).El signo negativo aparece antes de valor futuropara convertir este ltimo en un monto positivo.A BFin de ao Flujo de efectivo1 $4002 8003 5004 4005 3000 1 2 3 4 5Fin de ao$400366.97673.34386.09283.37194.98$1,904.75$Valor presente$800 $500 $400 $300Lnea de tiempo para el valorpresente de un ingreso mixto(flujos de efectivo a fin deao, descontados al 9%durante el nmerocorrespondiente de aos)Si la empresa debe ganar por lo menos el 9% sobre sus inversiones, cunto es lomximo que debera pagar por esa oportunidad? La situacin se representa en la si-guiente lnea de tiempo:172 PARTE 2 Herramientas financierasUso de la calculadora Usted puede utilizar la calculadora para determinar el valorpresente de cada flujo de efectivo individual, como se mostr anteriormente (ejemplo5.5 de Finanzas personales), y despus sumar los valores presentes para obtener elvalor presente del ingreso. Sin embargo, la mayora de las calculadoras financierastienen una funcin que permite registrar todos los flujos de efectivo, especificar la tasade descuento y despus calcular directamente el valor presente de todo el ingreso deflujos de efectivo. El valor presente del ingreso de flujos de efectivo de Frey Company,determinado mediante una calculadora, es de $1,904.75.Uso de la hoja de clculo Para calcular el valor presente del ingreso mixto de flujos deefectivoenExcel,usaremosunanuevafuncin.LasintaxisdeesafuncinesNPV(rate,value1,value2,value3,). El argumento rate es la tasa de inters, y value1,value2, value3,representa el ingreso de los flujos de efectivo. La funcin NPV suponeque el primer pago del ingreso ocurre un ao en el futuro, y todos los pagos subsi-guientes ocurren en intervalos de un ao. El valor presente del ingreso mixto de flujosde efectivo futuros se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clcu-lo de Excel:VALOR PRESENTE DE UN INGRESOMIXTO DE FLUJOS DE EFECTIVOTasa de inters, % anualAo12345Valor presente1234567899%Flujo de efectivoa fin de ao$400$800$500$400$300$1,904.75La entrada de la celda B9 es:=NPV(B2,B4:B8).A BuPREGUNTA DE REPASO513 Cmosecalculaelvalorfuturodeuningresomixtodeflujosdeefecti-vo? Cmo se calcula el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efec-tivo?5.5 Capitalizacin de intereses con unafrecuencia mayor que la anualCon cierta frecuencia, el inters se capitaliza ms de una vez al ao. Las instituciones deahorrocapitalizanlosinteresesdemanerasemestral,trimestral,mensual,semanal,diariaoinclusocontinua.Estaseccinanalizadiversascuestionesytcnicasrela-cionadas con estos intervalos de capitalizacin ms frecuentes.CAPITALIZACIN SEMESTRALLa capitalizacin semestral de los intereses incluye dos periodos de capitalizacin alao. En vez de que la tasa de inters pactada se pague una vez al ao, la mitad de latasa de inters establecida se paga dos veces al ao.OA5capitalizacin semestralCapitalizacin de los interesesdurante dos periodos al ao.CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 173Fred Moreno ha decidido invertir $100 en una cuenta de ahorrosque paga el 8% de inters capitalizable semestralmente. Si mantienesu dinero en la cuenta durante 24 meses (esto es, 2 aos), recibir el 4% de inters ca-pitalizado durante 4 periodos, cada uno de los cuales tiene una duracin de 6 meses.La tabla 5.3 indica que al final de 12 meses (un ao), con el 8% de capitalizacinsemestral, Fred tendr $108.16; al final de 24 meses (2 aos), tendr $116.99.Ejemplo 5.14 Finanzas personales ccapitalizacin trimestralCapitalizacin del intersdurante 4 periodos al ao.TABLA5. 3Valor futuro de una inversin de $100 al 8% de inters capitalizadosemestralmente durante 24 meses (2 aos)Periodo Principal inicial Clculo del valor futuro Valor futuro al final del periodo6 meses $100.00 $104.0012 meses 104.00 108.1618 meses 108.16 112.4924 meses 112.49 116.99 112.49* (1+ 0.04)=108.16* (1+ 0.04)=104.00* (1+ 0.04)=100.00* (1+ 0.04)=CAPITALIZACIN TRIMESTRALLa capitalizacin trimestral del inters incluye 4 periodos de capitalizacin al ao.Una cuarta parte de la tasa de inters establecida se paga 4 veces al ao.FredMorenoencontrunainstitucinquelepagarel8%deinters capitalizable trimestralmente. Si mantiene su dinero en estacuentadurante24meses(esdecir,2aos),recibirel2%deinterscompuestodurante 8 periodos, cada uno de los cuales tiene una duracin de tres meses. La tabla5.4 indica el monto que tendr Fred al final de cada periodo. Al trmino de 12 meses(un ao), con 8% de capitalizacin trimestral, Fred tendr $108.24; al trmino de 24 meses (2 aos), tendr $117.17.Ejemplo 5.15 Finanzas personales cTABLA5. 4Valor futuro de una inversin de $100 al 8% de inters capitalizadotrimestralmente durante 24 meses (2 aos)Periodo Principal inicial Clculo del valor futuro Valor futuro al final del periodo3 meses $100.00 $102.006 meses 102.00 104.049 meses 104.04 106.1212 meses 106.12 108.2415 meses 108.24 110.4118 meses 110.41 112.6221 meses 112.62 114.8724 meses 114.87 117.17 114.87* (1+ 0.02)=112.62* (1+ 0.02)=110.41* (1+ 0.02)=108.24* (1+ 0.02)=106.12* (1+ 0.02)=104.04* (1+ 0.02)=102.00* (1+ 0.02)=100.00* (1+ 0.02)=174 PARTE 2 Herramientas financierasLa tabla 5.5 compara los valores para los $100 de Fred Moreno al trmino de losaos 1 y 2, con periodos de capitalizacin anual, semestral y trimestral a una tasa del 8%.Como se observa, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalizacin del inters, mayor es elmontodedineroacumulado.Estoesciertoparacualquiertasadeinters durantecualquier periodo.ECUACIN GENERAL PARA LA CAPITALIZACIN CON UNAFRECUENCIA MAYOR QUE LA ANUALLa frmula del valor futuro (ecuacin 5.4) se puede replantear para usarla cuando lacapitalizacin ocurre con mayor frecuencia. Si mes igual al nmero de veces al ao enque se capitaliza el inters, la frmula del valor futuro de una suma global se con-vierte en(5.15)Si m 1, la ecuacin 5.15 se reduce a la ecuacin 5.4. De esta forma, si el interscompuesto es anual, la ecuacin 5.15 dar el mismo resultado que la ecuacin 5.4. Eluso general de la ecuacin 5.15 se ilustra con un ejemplo.LosejemplosanteriorescalcularonelmontoqueFredMorenotendra al trmino de 2 aos si depositara $100 al 8% de interscapitalizable semestral y trimestralmente. Para la capitalizacin semestral, m seraiguala2enlaecuacin5.15;paralacapitalizacintrimestral,m seraiguala4.Sustituyendo los valores adecuados para la capitalizacin semestral y trimestral en laecuacin 5.15, tenemos que1. Para la capitalizacin semestral:2. Para la capitalizacin trimestral:Estos resultados concuerdan con los valores de VF2de las tablas 5.4 y 5.5.Si el inters se capitaliza mensual, semanal o diariamente, m sera igual a 12, 52 o365, respectivamente.VF2= $100* a1+0.084 b4*2= $100* (1+ 0.02)8= $117.17VF2= $100* a1+0.082 b2*2= $100* (1+ 0.04)4= $116.99Ejemplo 5.16 Finanzas personales cVFn= VP* a1+imbm*nTABLA5. 5Valor futuro de los aos 1 y 2 de una inversin de $100 al8% de inters, con diversos periodos de capitalizacinPeriodo de capitalizacinFin de ao Anual Semestral Trimestral1 $108.00 $108.16 $108.242 116.64 116.99 117.17CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 175USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA LACAPITALIZACIN CON UNA FRECUENCIA MAYOR QUE LA ANUALComo antes, podemos simplificar el proceso de clculo usando una calculadora o unprograma de hoja de clculo.Fred Moreno deseaba calcular el valor futuro de $100 invertidosal8%deinterscapitalizable,tantosemestralcomotrimestral-mente, durante 2 aos.Uso de la calculadora Si se usa la calculadora para realizar el clculo de la capita-lizacin semestral, el nmero de periodos sera de 4 y la tasa de inters sera del 4%.Elvalorfuturode$116.99aparecerenlapantalladelacalculadoracomosemuestra en la figura superior del margen izquierdo.En el caso de la capitalizacin trimestral, el nmero de periodos sera de 8 y la tasade inters sera del 2%. El valor futuro de $117.17 aparecera en la pantalla de la calcu-ladora, como se muestra en la figura inferior del margen izquierdo.Uso de la hoja de clculoEl valor futuro del monto nico con una capitalizacinsemestral y trimestral tambin puede calcularse como se muestra en la siguiente hojade clculo de Excel:Ejemplo 5.17 Finanzas personales c116.99100 PVNCPTFVI44SolucinEntrada Funcin117.17100 PVNCPTFVI82SolucinEntrada Funcincapitalizacin continuaCapitalizacin del inters enun nmero infinito de veces alao a intervalos demicrosegundos.VALOR FUTURO DE UN MONTO NICO CONCAPITALIZACIN SEMESTRAL Y TRIMESTRALValor presenteTasa de inters, % anual compuesto semestralmenteNmero de aosValor futuro con una capitalizacin semestralValor presenteTasa de inters, % anual compuesto trimestralmenteNmero de aosValor futuro con una capitalizacin trimestral123456789$1008%2$116.99$1008%2$117.17La entrada de la celda B5 es: =FV(B3/2,B4*2,0,B2,0).La entrada de la celda B9 es: =FV(B7/4,B8*4,0,B2,0).El signo negativo aparece antes de B2 porque el valor presente esuna salida de efectivo (esto es, un depsito que realiz Fred Moreno).A BCAPITALIZACIN CONTINUAEn un caso extremo, el inters puede capitalizarse continuamente. La capitalizacincontinua implica una capitalizacin a intervalos de microsegundos, es decir, el periodoms pequeo que se pueda imaginar. En este caso, men la ecuacin 5.15 se aproximaraal infinito. Por medio del clculo, sabemos que a medida que mse aproxima al infinito,la ecuacin 5.15 tiende a(5.16)donde e es la funcin exponencial,3que tiene un valor de aproximadamente 2.7183.VFn= (VP)* (ei *n)3 La mayora de las calculadoras tienen integrada la funcin exponencial, denominada generalmente ex. El uso deesta tecla es muy til para calcular el valor futuro cuando el inters se capitaliza continuamente.176 PARTE 2 Herramientas financierasPara calcular el valor al trmino de 2 aos (n 2) del depsito de$100 de Fred Moreno (VP = $100) en una cuenta que paga el 8%de inters anual (i 0.08) capitalizable continuamente, sustituimos las cifras en laecuacin 5.16:Uso de la calculadora Para determinar este valor usando la calculadora, primero sedebe obtener el valor de e0.16registrando 0.16 y oprimiendo despus 2nd y luego expara obtener 1.1735. Despus, se multiplica este valor por $100 para obtener el valorfuturo de $117.35, como se muestra en el margen izquierdo. (Nota: En algunas calcu-ladoras no es necesario presionar 2nd antes de presionar ex).Uso de la hoja de clculoEl valor futuro del monto nico con capitalizacin con-tinua del depsito de Fred tambin se puede calcular como se muestra en la siguientehoja de clculo de Excel:= $100* 1.1735= $117.35= $100* 2.71830.16VF2 (capitalizacin continua)= $100*e0.08*2Ejemplo 5.18 Finanzas personales c117.350.16100ex1.1735SolucinEntrada Funcin2ndVALOR FUTURO DE UN MONTO NICOCON CAPITALIZACIN CONTINUAValor presenteTasa de inters anual, compuesta continuamenteNmero de aosValor futuro con capitalizacin continua12345$1008%2$117.35La entrada de la celda B5 es: =B2*EXP(B3*B4).A BPor lo tanto, el valor futuro con una capitalizacin continua es igual a $117.35.Como es de esperarse, el valor capitalizado de forma continua es mayor que el valorfuturo del inters capitalizado semestralmente ($116.99) o trimestralmente ($117.17).Dehecho,lacapitalizacincontinuageneraunvalorfuturoquerebasaelqueseobtiene con cualquier otra frecuencia de capitalizacin.TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS DE INTERS ANUALTanto las empresas como los inversionistas deben realizar comparaciones objetivas deloscostosdeprstamosodelosrendimientosdeinversinendiferentesperiodos de capitalizacin. Para colocar las tasas de inters en una base comn, de manera quesea posible compararlas, se distingue entre tasa nominal anual y tasa efectiva anual.La tasa nominal anual, o establecida, es la tasa de inters contractual anual que cobraun prestamista o promete pagar un prestatario. La tasa efectiva anual (TEA), o ver-dadera,eslatasadeintersanualpagadaoganadaenrealidad.Latasaefectivaanual, a diferencia de la tasa nominal, refleja los efectos de la frecuencia de la capitali-zacin.Si usamos la notacin presentada anteriormente, podemos calcular la tasa efec-tiva anual, TEA, sustituyendo los valores para la tasa nominal anual, i, y la frecuenciade la capitalizacin, m, en la ecuacin 5.17:(5.17) TEA= a1+imbm- 1tasa nominal anual(establecida)Tasa de inters anualcontractual que cobra unprestamista o promete pagarun prestatario.tasa efectiva anual(verdadera) (TEA)Tasa de inters anual pagadao ganada en realidad.CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 177Podemos aplicar esta ecuacin usando los datos de los ejemplos anteriores.Fred Moreno desea calcular la tasa efectiva anual relacionada conuna tasa nominal anual del 8% (i 0.08) cuando el inters se capi-taliza: 1. anualmente (m1); 2. semestralmente (m2); y 3. trimestralmente (m4).Sustituyendo estos valores en la ecuacin 5.17, obtenemos1. Para una capitalizacin anual:2. Para una capitalizacin semestral:3. Para una capitalizacin trimestral:Estos valores demuestran dos aspectos importantes: el primero es que las tasasanuales nominal y efectiva son equivalentes para la capitalizacin anual. El segundoes que la tasa efectiva anual se incrementa al aumentar la frecuencia de la capitali-zacin, hasta un lmite que se alcanza con la capitalizacin continua.4A nivel del consumidor, las leyes de veracidad en los prstamos exigen que sed a conocer la tasa de porcentaje anual (TPA) en los contratos de tarjetas de crditoy prstamos. La TPA es la tasa nominal anual que se obtiene multiplicando la tasaperidica por el nmero de periodos en un ao. Por ejemplo, una tarjeta de crditobancaria que cobra el 1.5% mensual (la tasa peridica) tendra una TPA del 18%(1.5% mensual 12 meses del ao).Por otro lado, las leyes de veracidad en los ahorros exigen a los bancos cotizarel rendimiento porcentual anual (RPA) sobre sus productos de ahorro. El RPA es latasaefectivaanualquepagaunproductodeahorro.Porejemplo,unacuentadeahorros que paga el 0.5% mensual tendra un RPA de 6.17% [(1.005)12 1].Cotizar las tasas de inters de prstamos a su tasa nominal anual (la TPA) msbaja y las tasas de inters de ahorros a la tasa efectiva anual (la RPA) ms alta ofrecedos ventajas: tiende a estandarizar la revelacin a los consumidores y permite a lasinstituciones financieras cotizar las tasas de inters ms atractivas, esto es, tasas deprstamos bajas y tasas de ahorro altas.TEA = a1 +0.084 b4- 1 = (1 + 0.02)4- 1 = 1.0824 - 1 = 0.0824 = 8.24%TEA = a1 +0.082 b2- 1 = (1 + 0.04)2- 1 = 1.0816 - 1 = 0.0816 = 8.16%TEA = a1 +0.081 b1- 1 = (1 + 0.08)1- 1 = 1 + 0.08 - 1 = 0.08 = 8%Ejemplo 5.19 Finanzas personales c4 La tasa efectiva anual para este caso extremo se calcula usando la siguiente ecuacin:TEA (capitalizacin continua) ei 1 (5.17a)Para la tasa nominal anual del 8% (i 0.08), la sustitucin en la ecuacin 5.17a genera una tasa efectiva anual dele0.08 1 1.0833 1 0.0833 8.33%en el caso de la capitalizacin continua. Esta es la tasa efectiva anual ms alta posible para la tasa nominal del 8%.tasa de porcentaje anual(TPA)Tasa nominal anual de intersque se obtiene multiplicando latasa peridica por el nmerode periodos en un ao, y quedebe informarse a losconsumidores de tarjetas decrdito y prstamos comoresultado de las leyes deveracidad en los prstamos.rendimiento porcentualanual (RPA)Tasa efectiva anual de intersque los bancos deben revelar a los consumidores de susproductos de ahorro comoresultado de las leyes deveracidad en los ahorros.178 PARTE 2 Herramientas financierasuPREGUNTAS DE REPASO5.14 Qu efecto produce el inters compuesto a una frecuencia mayor que laanual en a) el valor futuro y b) la tasa efectiva anual (TEA)? Por qu?5.15 Cmosecomparaelvalorfuturodeundepsitosujetoaunacapita-lizacincontinuaconelvalorobtenidopormediodeunacapitalizacinanual?5.16 Distingaentreunatasanominalanual yunatasaefectivaanual(TEA).Defina la tasa de porcentaje anual (TPA) y el rendimiento porcentual anual(RPA).5.6 Aplicaciones especiales del valor del dineroen el tiempoLastcnicasdelosvaloresfuturoypresentetienendiversaseimportantesaplica-ciones en finanzas. En esta seccin estudiaremos cuatro de ellas: 1. la determinacinde los depsitos necesarios para acumular una suma futura, 2. la amortizacin deprstamos, 3. el clculo de tasas de inters o crecimiento, y 4. el clculo de un nmerodesconocido de periodos.DETERMINACIN DE LOS DEPSITOS NECESARIOS PARAACUMULAR UNA SUMA FUTURASupongaqueusteddeseacomprarunacasadentrode5aosycalculaqueparaentoncesserequerirunpagoinicialde$30,000.Parareunirlos$30,000,desearealizardepsitosanualesigualesafindeaoenunacuentaquepagaunintersanual del 6%. La solucin a este problema se relaciona muy de cerca con el procesode calcular el valor futuro de una anualidad. Usted debe determinar el monto de laanualidad que generar un monto nico igual a $30,000 al trmino de 5 aos.En una seccin anterior del captulo se present la ecuacin 5.9 para calcular elvalor futuro de una anualidad ordinaria que paga un FE cada ao. En el problemaactual, sabemos que el valor futuro que queremos obtener es de $30,000, pero quere-mosconocerelpagodeefectivoanualquetendramosqueahorrarparalograresameta. Al despejar FE en la ecuacin 5.9 se obtiene lo siguiente:(5.18)Paraefectosprcticos,alresolverproblemascomoestos,losanalistascasisiempre usan una calculadora o Excel, como se muestra en el siguiente ejemplo.Como hemos dicho, usted desea determinar los depsitos anualesiguales que se deben hacer a fin de ao para acumular $30,000 altrmino de 5 aos, a una tasa de inters del 6%.Uso de la calculadora Al usar las entradas de la calculadora que se muestran en lafigura de la izquierda, encontrar que el monto del depsito anual es de $5,321.89.De modo que, si deposita $5,321.89 al final de cada ao durante cinco aos al 6% deinters, habr $30,000 en la cuenta al cabo de 5 aos.Uso de la hoja de clculo En Excel, para determinar el flujo de efectivo anual que lepermitareunirlos$30,000requieredelusodelafuncindepago.LasintaxisesPMT(rate,nper,pv,fv,type). Todas las entradas de esta funcin se analizaron anterior-mente. La siguiente hoja de clculo Excel ilustra cmo usar esta funcin para obtenerel pago anual que permita ahorrar $30,000.Ejemplo 5.20 Finanzas personales cFE= VFn, e 3(1+ i)n- 14ifOA 65,321.8930000 FVNCPTPMTI56SolucinEntrada FuncinCAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 179DEPSITO ANUAL NECESARIO PARAACUMULAR UNA SUMA FUTURAValor futuroNmero de aosTasa de inters anualDepsito anual12345$30,00056%$5,321.89La entrada de la celda B5 es: =PMT(B4,B3,0,B2).El signo negativo aparece antes de PMT porquelos depsitos anuales son salidas de efectivo.A BAMORTIZACIN DE PRSTAMOSEl trmino amortizacin del prstamo se refiere a la determinacin de los pagos igualesy peridicos del prstamo. Estos pagos brindan a un prestamista un rendimiento deinteresesespecficoypermitenreembolsarelprincipaldelprstamoenunperiododeterminado. El proceso de amortizacin del prstamo implica efectuar el clculo delos pagos futuros durante el plazo del prstamo, cuyo valor presente a la tasa de intersestipulada equivale al monto del principal inicial prestado. Los prestamistas usan unprograma de amortizacin del prstamo para determinar los montos de estos pagos yla distribucin de cada pago al inters y al principal. En el caso de las hipotecas, estastablas se usan para calcular los pagos mensuales iguales necesarios para amortizar oreembolsarlahipotecaaunatasadeintersespecficaduranteperiodosde15a 30 aos.Amortizar un prstamo implica realmente crear la anualidad de un monto actual.Porejemplo,digamosqueustedsolicitunprstamode$6,000al10%yaceptarealizar pagos anuales e iguales a fin de ao durante 4 aos. Para calcular el monto delos pagos, el prestamista determina el monto de una anualidad de 4 aos descontadaal 10% que tiene un valor presente de $6,000. Este proceso en realidad es lo contrariode calcular el valor presente de una anualidad.Anteriormente en este captulo, con la ecuacin 5.11, mostramos cmo calcularel valor presente de una anualidad ordinaria conociendo la informacin del nmerodeperiodos,latasadeintersyelpagoperidicodelaanualidad.Podemosreplantear esa ecuacin para despejar el pago, lo cual es el objetivo de este problema:(5.19)Como hemos mencionado, usted desea determinar los pagos anualesde fin de ao necesarios para amortizar totalmente un prstamo de$6,000 al 10% durante 4 aos.Usodelacalculadora Usandolasentradasdecalculadoraquesemuestranalaizquierda, encontrar que el monto del pago anual es de $1,892.82. De modo quepara pagar el inters y el principal de un prstamo de $6,000 al 10% durante 4 aos,habr que hacer pagos anuales de $1,892.82 cada fin de ao.La distribucin de cada pago del prstamo al inters y al principal se muestra en lascolumnas 3 y 4 del programa de amortizacin de prstamos presentado en la tabla 5.6.La parte de cada pago que representa el inters (columna 3) disminuye con el periodo dereembolso, y la parte que corresponde al reembolso del principal (columna 4) aumenta.Ejemplo 5.21 Finanzas personales cFC= (VP* i), c 1-1(1+ i)n damortizacin del prstamoDeterminacin de los pagosiguales y peridicos delprstamo que son necesariospara brindar a un prestamistaun rendimiento de intersespecfico y para reembolsar elprincipal del prstamo en unperiodo determinado.programa de amortizacindel prstamoPrograma de pagos igualespara reembolsar un prstamo.Muestra la distribucin decada pago del prstamo alinters y al principal.1,892.826000 PVNCPTPMTI410SolucinEntrada FuncinEste patrn es caracterstico de los prstamos amortizados; a medida que el saldo delprincipal se reduce, el componente de inters disminuye, quedando una porcin mayorde cada pago subsiguiente que se aplica al principal.Uso de la hoja de clculo El pago anual para reembolsar el prstamo tambin sepuede calcular como se muestra en la primera hoja de clculo de Excel de esta pgina.180 PARTE 2 Herramientas financierasPAGO ANUAL PARA REEMBOLSAR UN PRSTAMOPrincipal del prstamo (valor presente)Tasa de inters anualNmero de aosPago anual12345$6,00010%4$1,892.82La entrada de la celda B5 es: =PMT(B3,B4,B2).El signo negativo aparece antes de PMT porquelos pagos anuales son salidas de efectivo.A BPROGRAMA DE AMORTIZACIN DEL PRSTAMOAo01234Datos: Principal del prstamoTasa de inters anualNmero de aosPagos anuales$6,00010%41234567891011Entradas de celdas claveCelda B8: =PMT($D$3,$D$4,$D$2), copiar a B9:B11Celda C8: =CUMIPMT($D$3,$D$4,$D$2,A8,A8,0), copiar a C9:C11Celda D8: =CUMPRINC($D$3,$D$4,$D$2,A8,A8,0), copiar a D9:D11Celda E8: =E7D8, copiar a E9:E11El signo negativo aparece antes de las entradas de las celdasB8, C8 y D8 porque se trata de salidas de efectivo.ATotal$1,892.82$1,892.82$1,892.82$1,892.82BAl inters$600.00$470.72$328.51$172.07CAl principal$1,292.82$1,422.11$1,564.32$1,720.75DPrincipal alfin de ao$6,000.004,707.183,285.071,720.750.00ETABLA5. 6Programa de amortizacin del prstamo ($6,000 de principal, 10% de inters, periodo de reembolso de 4 aos)PagosPrincipal Principal alal inicio Pago del Inters Principal final del aode ao prstamoFin de ao (1) (2) (3) (4) (5)1 $6,000.00 $1,892.82 $600.00 $1,292.82 $4,707.182 4,707.18 1,892.82 470.72 1,422.10 3,285.083 3,285.08 1,892.82 328.51 1,564.31 1,721.774 1,720.77 1,892.82 172.08 1,720.74 aaDebido al redondeo, existe una ligera diferencia ($0.03) entre el principal al inicio del ao 4 (en la columna 1)y el pago del principal en el ao 4 (en la columna 4).[(1) (4)] [(2) (3)] [0.10: (1)]CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 181El programa de amortizacin, representado en la tabla 5.6, que distribuye cada pagodel prstamo al inters y al principal puede calcularse con precisin como se muestraen la segunda hoja de clculo de la pgina 180.Para atraer a los compradores que no pueden hacer frente inmediatamente a lospagos anuales iguales de prstamos hipotecarios de 15 a 30 aos, los prestamistasofrecen crditos cuyas tasas de inters se ajustan en ciertos momentos. En el recuadroEnfoque en la prctica se comenta cmo se pueden manejar tales prstamos hipote-carios para algunos prestatarios de mayor riesgo.CLCULO DE LAS TASAS DE INTERS O CRECIMIENTOCon frecuencia es necesario calcular el inters anual compuesto o la tasa de crecimien-to (es decir, la tasa anual de cambio de los valores) de una serie de flujos de efectivo.Como ejemplos tenemos el clculo de la tasa de inters de un prstamo, la tasa de creci-miento de las ventas y la tasa de crecimiento de las ganancias. Para hacer esto, usamosde nuevo la ecuacin 5.4. En este caso, queremos obtener la tasa de inters (o tasa decrecimiento) que representa el incremento del valor de algunas inversiones entre dosperiodos. Despejando i de la ecuacin 5.4 obtenemos(5.20)La situacin ms sencilla es aquella en la que el valor de la inversin se ha incremen-tado con el tiempo, y usted quiere conocer la tasa anual de crecimiento (es decir, deinters) que est representada por el incremento en la inversin.Ray Noble realiz una inversin de $1,250 hace 4 aos. Ahoratiene $1,520. Qu tasa de inters anual compuesto de rendimientoEjemplo 5.22 Finanzas personales ci = aVFnVP b1/n- 1Conforme inici elauge en el mer-cado inmobiliario en Estados Unidos afinales del siglo XX y principios del XXI,la participacin en el mercado de prsta-mos realizados a clientes de mayorriesgo se dispar de casi 0% en 1997hasta el 20% de los crditos hipotecariosen 2006. La combinacin de varios fac-tores favoreci el rpido crecimiento enel otorgamiento de prstamos dudosos,incluyendo un ambiente de tasas deinters bajas, relajamiento de las normasde garanta de recuperacin, e innova-ciones en el financiamiento, tales comoprogramas de accesibilidad para incre-mentar las tasas en propiedades deprestatarios de bajos ingresos.Para los nuevos compradores resultparticularmente atractiva la tasa hipote-enfoque en la PRCTICAen la prcticaEl nuevo siglo complic las hipotecas para clientes de mayor riesgoproblemas intentaron convencer a susacreedores de que les permitieran unaventa de oportunidad, en la cual elcliente venda la casa a cualquier precioque el mercado determinara, y el acree-dor estara de acuerdo en aceptar elpago de esa venta como liquidacin de la hipoteca. Tanto para los acree-dores como para los deudores, la ejecu-cin hipotecaria es la ltima y peoropcin.c Como una reaccin a los proble-mas en el segmento de mayorriesgo, los prestamistas aplicaron alpie de la letra la normatividad delotorgamiento del crdito. Quefecto cree usted que tuvo esto enel mercado inmobiliario?caria ajustable (adjustable rate mort-gage, ARM), la cual se caracterizabapor una baja tasa de inters al inicio,que se incrementaba despus de unperiodo preestablecido. Las tasas deinters iniciaron una tendencia a la alzaa finales de 2004. En 2006 unos$300 mil millones de tasas hipotecariasse ajustaron hacia arriba. En un mer-cado con valores de las casas a laalza, un prestatario tena la opcin derefinanciar la hipoteca, usando algo de la plusvala creada por el incrementoen el valor de la casa, para reducir elpago de la hipoteca. Pero despus de2006, los precios de las casas decli-naron durante tres aos, de modo que el refinanciamiento ya no fue una opcin para muchos clientes de bajosrecursos. En vez de ello, los clientes enganRayconestainversin?Alintroducirlosvaloresapropiadosenlaecuacin5.20, tenemosanualUso de la calculadora Usando la calculadora para obtener la tasa de inters o tasa decrecimiento, tratamos el primer valor como el valor presente, VP, y el ltimo valorcomo el valor futuro, VFn. (Nota: La mayora de las calculadoras requiere que el va-lor VP o el valor VF se registre como un nmero negativo para calcular una tasa deinters o crecimiento desconocida. Ese mtodo se utiliza aqu). Usando las entradas quese muestran a la izquierda, encontrar que la tasa de inters o crecimiento es del 5.01%.Uso de la hoja de clculo La tasa de inters o crecimiento de la serie de flujos de efec-tivo tambin puede calcularse como se muestra en la siguiente hoja de clculo de Excel:i = ($1,520, $1,250)(1/4)- 1= 0.0501= 5.01%182 PARTE 2 Herramientas financieras5.011250 PVFVCPTIN15204SolucinEntrada FuncinTASA DE INTERS O CRECIMIENTO:SERIE DE FLUJOS DE EFECTIVOAo20082012Tasa de crecimiento anualFlujo de efectivo $1,250 $1,520 5.01%12345La entrada de la celda B5 es: =RATE(A4A3,0,B3,B4,0).La expresin A4A3 de la entrada calcula el nmero de aos de crecimiento. El signo negativo apareceantes de B3 porque la inversin en 2008 se trata como una salida de efectivo.A BOtro tipo de problema de las tasas de inters implica la obtencin de la tasa deinters asociada con la anualidad o el pago equivalente del prstamo.Jan Jacobs puede solicitar en prstamo $2,000 que reembolsar enmontos anuales iguales, a fin de ao, de $514.14 durante los prxi-mos 5 aos. Desea calcular la tasa de inters sobre este prstamo.Uso de la calculadora (Nota: La mayora de las calculadoras requieren que el valorPMTo elVP seintroduzcacomounnmeronegativoparacalcularunatasadeinters desconocida sobre un prstamo de pagos iguales. Ese enfoque se usa aqu).Usando las entradas que se indican en la figura de la izquierda, encontrar que la tasade inters es del 9.00%.Uso de la hoja de clculo La tasa de inters o de crecimiento de la anualidad tam-bin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo de Excel:Ejemplo 5.23 Finanzas personales cTASA DE INTERS O CRECIMIENTO:ANUALIDADValor presente (principal del prstamo)Nmero de aosPagos anualesTasa de inters anual12345$2,0005$514.149.00%La entrada de la celda B5 es: =RATE(B3,B4,B2).El signo negativo aparece antes de B2 porque el principaldel prstamo se maneja como una salida de efectivo.A B9.00514.14 PMTPVCPTIN20005SolucinEntrada FuncinCAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 183CLCULO DE UN NMERO DESCONOCIDO DE PERIODOSEnocasiones,esnecesariocalcularelnmerodeperiodosqueserequierenparagenerar un monto determinado de flujo de efectivo a partir de un monto inicial. Aquconsideramos brevemente este clculo tanto para montos nicos como para anuali-dades. El caso ms sencillo es cuando una persona desea determinar el nmero deperiodos, n, que se requerirn para que un depsito inicial, VP, crezca hasta conver-tirse en un monto especfico en el futuro, VFn, con una tasa de inters establecida, i.Ann Bates desea determinar el nmero de aos que requerir sudepsito inicial de $1,000, con el 8% de inters anual, para quecrezca hasta alcanzar $2,500. En pocas palabras, a una tasa de inters anual del 8%,cuntos aos, n, requerirn los $1,000 de Ann, VP, para llegar a $2,500, VFn?Uso de la calculadoraUsando la calculadora, manejamos el valor inicial como elvalor presente, VP, y el valor final como el valor futuro, VFn. (Nota: La mayora delas calculadoras requieren que se registre el valor VP o VF como un nmero negativoparacalcularunnmerodesconocidodeperiodos.Estemtodoseutilizaaqu).Usando las entradas que se indican en la figura de la izquierda, encontramos que elnmero de periodos es de 11.91 aos.Uso de la hoja de clculo El nmero de aos para que el valor presente crezca a unvalor futuro especfico tambin puede calcularse como se muestra en la siguiente hojade clculo de Excel:Ejemplo 5.24 Finanzas personales cAOS PARA QUE UN VALOR PRESENTECREZCA A UN VALOR FUTURO ESPECFICOValor presente (depsito)Tasa de inters anual, compuesta anualmenteValor futuroNmero de aos12345$1,0008%$2,50011.91La entrada de la celda B5 es: =NPER(B3,0,B2,B4).El signo negativo aparece antes de B4 porque elvalor futuro se maneja como una salida de efectivo.A B11.911000 PVFVCPTNI25008SolucinEntrada FuncinOtro tipo de problema del nmero de periodos consiste en calcular el nmero deperiodos relacionados con una anualidad. En ocasiones, queremos calcular la vidadesconocida, n, de una anualidad que tiene la intencin de lograr un objetivo espec-fico, como reembolsar un prstamo de un monto determinado.BillSmartpuedesolicitarunprstamode$25,000aunatasa deintersanualdel11%;serequierenpagosanualesigualesde$4,800 cada fin de ao. Bill desea determinar cunto tiempo se requerir para reem-bolsar el prstamo por completo. En otras palabras, desea determinar cuntos aos,n, se requerirn para reembolsar el prstamo de $25,000 a una tasa del 11%, VPn, silos pagos de $4,800 se realizan al final de cada ao.Uso de la calculadora (Nota: La mayora de las calculadoras requieren que el valor PMTo el VP se registre como un nmero negativo para calcular un nmero desconocido deperiodos. Ese mtodo se utiliza aqu). Usando las entradas que se muestran en la figura de la izquierda, encontrar que el nmero de periodos es de 8.15 aos. Esto significa que des-pus de realizar ocho pagos de $4,800, Bill todava tiene un pequeo saldo pendiente.Uso de la hoja de clculo El nmero de aos para reembolsar el prstamo puede calcu-larse como se muestra en la siguiente hoja de clculo de Excel:Ejemplo 5.25 Finanzas personales c8.154800 PMTPVCPTNI2500011SolucinEntrada Funcin184 PARTE 2 Herramientas financierasAOS PARA REEMBOLSAR UN PRSTAMOPago anualTasa de inters anual, compuesta anualmenteValor presente (principal del prstamo)Nmero de aos para reembolsar el prstamo12345$4,80011%$25,0008.15La entrada de la celda B5 es: =NPER(B3,B2,B4).El signo negativo aparece antes de B2 porquelos pagos se manejan como salidas de efectivo.A BuPREGUNTAS DE REPASO5.17 Cmo se determina el monto de los depsitos anuales e iguales, de final deperiodo, que se requiere para acumular cierta suma al trmino de un periodoespecfico, a una tasa de inters anual determinada?5.18 Describaelprocedimientoutilizadoparaamortizarunprstamoenunaserie de pagos peridicos e iguales.5.19 Cmo se determina el nmero de periodos desconocidos cuando se conocenlos valores presente y futuro, de un monto nico o una anualidad, y la tasade inters aplicable?ResumenENFOQUE EN EL VALOREl valor del dinero en el tiempo es una herramienta importante que los gerentesfinancieros y otros participantes del mercado usan para evaluar los efectos deacciones propuestas. Como las empresas tienen vidas largas y algunas decisionesafectan sus flujos de efectivo a largo plazo, es vital la aplicacin eficaz de las tcnicas para conocer el valor del dinero en el tiempo. Dichas tcnicas permiten a los gerentes financieros evaluar los flujos de efectivo que ocurren en diferentesmomentos, as como combinarlos, compararlos, evaluarlos y relacionarlos con lameta general de la empresa de maximizar el precio de las acciones. En los captulos 6 y 7 se har evidente que la aplicacin de las tcnicas para calcular el valor deldinero en el tiempo es una parte clave del proceso de determinacin del valor que seusa para tomar decisiones inteligentes de creacin de valor.REVISIN DE LOS OBJETIVOS DE APRENDIZAJEAnalizar el papel del valor del tiempo en las finanzas, el uso de herramientascomputacionales y los patrones bsicos del flujo de efectivo. Los gerentes financierosy los inversionistas usan las tcnicas del valor del dinero en el tiempo para deter-minar el valor de los ingresos esperados de flujo de efectivo. Las alternativas seevalan usando la capitalizacin para calcular el valor futuro, o el descuento paracalcular el valor presente. Los gerentes financieros se basan principalmente en lastcnicas del valor presente. Las calculadoras financieras, las hojas electrnicas declculo y las tablas financieras simplifican la aplicacin de las tcnicas del valor deldinero en el tiempo. El flujo de efectivo de una empresa se puede describir por supatrn: monto nico, anualidad o ingreso mixto.OA1CAPTULO 5 Valor del dinero en el tiempo 185Entender los conceptos de valor futuro y valor presente, su clculo paramontos nicos y la relacin entre ellos. El valor futuro (VF) se basa en el interscompuesto para medir montos futuros: el principal inicial o depsito de un periodo,junto con el inters ganado a partir de este, se convierte en el principal inicial delsiguiente periodo.El valor presente (VP) de un monto futuro es la cantidad de dinero que equivalehoy al monto futuro determinado, considerando el rendimiento que se obtendr. Elvalor presente es lo contrario del valor futuro.Calcular el valor futuro y el valor presente tanto de una anualidad ordinariacomo de una anualidad anticipada, y calcular el valor presente de una perpetuidad.Una anualidad es un patrn de flujos de efectivo peridicos e iguales. En una anua-lidad ordinaria, los flujos de efectivo ocurren al final del periodo. En una anualidadanticipada, los flujos de efectivo ocurren al principio del periodo.El valor futuro o presente de una anualidad ordinaria se puede calcular usandoecuaciones algebraicas, una calculadora financiera o un programa de hoja de clcu-lo. El valor de una anualidad anticipada siempre es i% mayor que el valor de unaanualidad ordinaria idntica. El valor presente de una perpetuidad (una anualidadcon una vida infinita) es igual al pago anual de efectivo dividido entre la tasa de descuento.Calcular el valor futuro y el valor presente de un ingreso mixto de flujos deefectivo. Un ingreso mixto de flujos de efectivo es una serie de flujos de efectivo pe-ridicos y desiguales que no reflejan ningn patrn especfico. El valor futuro de uningreso mixto de flujos de efectivo es la suma de los valores futuros de cada flujo de efectivo individual. De manera similar, el valor presente de un ingreso mixto deflujos de efectivo es la suma de los valores presentes de los flujos de efectivo indivi-duales.Comprender el efecto que produce la capitalizacin de los intereses, con unafrecuencia mayor que la anual, sobre el valor futuro y sobre la tasa de inters efec-tiva anual. El inters se puede capitalizar en intervalos que van de una frecuenciaanual a una diaria e incluso continua. Cuanto mayor sea la frecuencia de capita-lizacin del inters, mayores sern el monto futuro acumulado y la tasa efectivaanual (TEA) o verdadera.La tasa de porcentaje anual (TPA), una tasa nominal anual, se aplica sobre lastarjetas de crdito y los prstamos. El rendimiento porcentual anual (RPA), una tasaefectiva anual, se aplica sobre los productos del ahorro.Describir los procedimientos implicados en: 1. la determinacin de losdepsitos necesarios para acumular una suma futura, 2. la amortizacin de prs-tamos, 3. el clculo de las tasas de inters o crecimiento, y 4. el clculo de unnmero desconocido de periodos. 1. El depsito peridico para acumular una sumafutura especfica, se determina resolviendo la ecuacin del valor futuro de una anua-lidad para conocer el pago anual. 2. Un prstamo se amortiza en pagos peridicos eiguales resolviendo la ecuacin para obtener el valor presente de una anualidad paraconocer el pago peridico. 3. Las tasas de inters o crecimiento se calculan determi-nando la tasa de inters desconocida en la ecuacin del valor presente de un montonico o una anualidad. 4. El nmero de periodos se puede obtener calculando elnmero de periodos desconocidos usando la ecuacin del valor presente de unmonto nico o una anualidad.OA6OA5OA4OA3OA2186 PARTE 2 Herramientas finan