valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/eloadas_01.pdf ·...

Valószínuségszámítás és statisztika afizikában

2019. február 12.

Technikai információk

• Palla Gergely / [email protected] /ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék,Északi Tömb, 3.90. szobaFogadó óra: péntek, 16-18.

• Az eloadás fóliái letölthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/

• Az eloadás fóliái felkerülnek a kurzus moodle oldalára is.

https://pallag.web.elte.hu/valszam/

Jegyszerzés

• A tárgyból C típusú kollokviumut hírdetünk meg, ami azt jelenti,hogy az évközi munkával lehet jegyet szerezni, ami egyben agyakorlati és a vizsgajegy.

• Beadandó feladatsorok:

• Rutin feladatsorok: 5 x 20 pont.• Gyakorló feladatsorok: 2 x 50 pont.• Verseny feladatsor: 1 x 200 pont.

• Bónusz/malusz pontok:

v = x [1 + b(1 − p)] (1 − d5)

• x a feladatra kapott alappontszám• p a hallgatók adott feladatra kapott összpontszáma osztva ennek

maximálisan lehetséges értékével• b bónusz faktor, (rutin esetén b = 0, gyakorló esetén b = 1, verseny

esetén b = 2).• d a késés napokban mérve• v a végso pontszám

Jegyszerzés

• Ponthatárok:200 - jeles170 - 199 jó130 - 169 közepes100 - 129 elégséges0 - 99 elégtelen

• Utóvizsga:

• 2 beugró feladat,• egy tétel szóban,• további 4 feladat

megoldása.

• Határidok:1. rutin sor feb.26.2. rutin sor márc.12.3. rutin sor márc.26.1. gyak. sor márc.294. rutin sor ápr.9.5. rutin sor ápr.30.2. gyak. sor máj.10.verseny sor máj.10.

Jegyszerzés

• A beadandó feladatsorok elérhetosége:

• A rutin sorok letolthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/

valamint a kurzus moodle oldaláról.

• A gyakorló sorokat egy online rendszerben kell megoldani:https://hal.hu/valszam/

• A versenyfeladatok letölthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/

https://hal.hu/valszam/

valamint a kurzus moodle oldaláról.

• FONTOS! A félév végén a beadott házik alapján ellenorzo ZH-tiratunk, ahol mindenki egy véletlenszeruen összeállított kérdéssortkap a beadott megoldásai alapján. Ha nem sikerül egy feladatmegoldását legalább a beadott munka szintjén reprodukálni, akkorannak a sornak a pontszáma elvész, amiben a feladat kituzésrekerült. (Emiatt célszeru a beadott munkákról másolatot készíteni,hogy legyen mibol készülni a ZH-ra).





Tematika

• Bevezetés

• Valószínuségi mezo

• Feltételes valószínuség és függetlenség

• Valószínuségi változó és eloszlás

• Eloszlások jellemzése

• Korreláció

• Nevezetes eloszlások

• Normálisból származtatott eloszlások

• Nagy számok törvényei

• Központi határeloszlás tételek

• Statisztika sokaság

• Statisztikai becslések

• Statisztikai próbák

• Regresszió

• Sztochasztikus folyamatok

Tételek

1. Véletlen események, eseménytér, muveletek eseményekkel.Gyakoriság és valószínuség, a valószínuség axiómái. Avalószínuség mértéke és tulajdonságai, a valószínuségi mezofogalma. A valószínuség klasszikus meghatározása.

2. A valószínuség alapveto összefüggései. Teljes eseményrendszer,feltételes valószínuség. A teljes valószínuség tétele, Bayes tétele.Események függetlensége.

3. A valószínuségi változó fogalma, folytonos és diszkrét változók.Valószínuségeloszlás, eloszlásfüggvény és suruségfüggvény.Valószínuségi változók és eloszlások transzformációi.

4. Együttes eloszlás és többváltozós valószínuségeloszlások.Peremeloszlás és feltételes eloszlás. Valószínuségi változókfüggetlensége. Valószínuségi változók összegének és szorzatánakeloszlása.

5. Integrális jellemzok: várható érték, szórás, magasabbmomentumok, medián, kvantilis. Feltételes várható érték. Markov-és Csebisev- egyenlotlenség, relatív szórás.

6. Generátorfüggvény és Karakterisztikus függvény. Kovariancia,korrelációs együttható.

Tételek

7. Nevezetes eloszlások: geometriai eloszlás és egyéb urna modellek,egyenletes-, binomiális-, exponenciális és Poisson–eloszlás.

8. Normális eloszlás és a normálisból származtatott eloszlások:lognormális eloszlás, χ2- és χ-eloszlás, Student- ésCauchy–eloszlás.

9. Nagy számok törvényei. Konvergencia fogalmak. A nagy számokgyenge törvényei. A Bernoulli–tétel és általánosítása. A nagyszámok eros törvényei.

10. Határeloszlás tételek: De Moivre-Laplace–tétel, a centrálishatáreloszlás tétel. Lèvi-stabil eloszlások.

11. Statisztikus sokaság, minta. Torzítatlan becslés, hatásos becslésfogalma. Empirikus eloszlás- és suruségfüggvény. Empirikusvárható érték és szórásnégyzet, korrigált empirikus szórásnégyzet.Maximum likelihood módszer.

12. Paraméterek intervallum becslései (konfidencia–intervallum,konfidencia–szint). Statisztikai próbák: u-próba, t-próba, χ2-próba,függetlenség vizsgálat. Regresszió, fokomponens analízis.

13. Sztochasztikus folyamatok. Markov-tulajdonság. Wiener-folyamat,fehér zaj. Véletlenszám generálás. A Monte-Carlo-módszer alapjai.Markov folyamatok, Fokker-Planck-egyenlet.

Ajánlott irodalom

• Prékopa András: Valószínuségelmélet

• Prékopa András: Valószínuségszámítás muszaki alkalmazásokkal,Muszaki Könyvkiadó, 1962

• Bognár J., Mogyoródi J., Prékopa A., Rényi A., Szász D.,Valószínuségszámítási feladatgyujtemény, Typotex, 2001

• Rényi Alfréd: Valószínuségszámítás, Tankönyvkiadó, 1968

• B. V. Gnedenko: The Theory of Probability, Mir Piblishers, 1976

• Paul R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat 1984

• B. V. Gnedenko, A. N. Kolmogorov: Független valószínuségiváltozók összegeinek határeloszlásai, Akadémiai kiadó, 1951

• Solt György: Valószínuségszámítás példatár

• Lovász László: Kombinatorikai problémák és feladatokhttps://edu.interkonyv.hu/book/2771-lovasz_laszlo_kombinatorikai_problemak_es_feladatok

• Veiter András: Probability theory with simulationshttps://edu.interkonyv.hu/book/2822-vetier_probability_theory_with_simulations

• Jaglom: Nem elemi feladatok elemi tárgyalásbanhttps://edu.interkonyv.hu/book/2713-jaglom_nem_elemi_feladatok_elemi_targyalasban

Bevezetés

Történelmiáttekintés

Példák

Jelölések

Bevezetés

2019. február 12.

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

TÖRTÉNELMI ÁTTEKINTÉS

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Gerolamo Cardano (1526)

Liber de ludo aleae(Könyv a szerencsejátékokról)

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Blaise Pascal és Pierre de Fermat (1654)

Blaise Pascal Pierre de Fermat

Levelezésükben tárgyalták a következo nyereményelosztási problémát:

• Tegyük fel, hogy két játékos egyforma tétet tett be a játék elején, ésegyforma eséllyel gyujtik a pontokat a játék során. A játék végén agyoztes mindent visz.

• Hogyan kell igazságosan elosztani a nyereményt (a mármegszerzett pontok függvényében), ha valamiért nem tudjákbefejezni a játékot?

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

de Méré lovag feladványa

Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, francia író,szerencsejátékos kedvenc fogadásai:

I. 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os.

II. 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-ospár.

A II. fogadáson nagy összegeket veszített, ezért Pascalhoz fordultsegítségért. Muveiben késobb leírta az imént tárgyalt nyereményelosztási problémát is:L’honnête homme (A becsületes ember)Discours de la vraie honnêteté (Értekezés az igazi becsületességrol)

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Andrej Nyikolájevics Kolmogorov (1932)

A valószínuségszámítás axiomatikusmegalapozása.(Valószínuségi mezo, valószínuségi mérték, stb.)

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

PÉLDÁK A VALÓSZÍNUSÉGSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSITERÜLETEIRE

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Szerencsejáték

Rulett, póker, lottó, kocka, stb.

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Tozsde, gazdaság

Árfolyam, tozsdeindex, kamat, stb.

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Biztosítás

Balesetbiztosítás, lakásbiztosítás, életbiztosítás, stb.

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Meteorológia

Idojárás elorejelzés, viharok, stb.

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Tömegtermelés

Minoségellenorzés, mintavételezés, stb.

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Sorbanállás

Várakozási ido, sorhossz, torlódás, stb.(Internet, call center, közlekedés, stb.)

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Info-kommunikáció

Kódolás, zajszurés, kódfejtés, stb.

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

AZ ELOADÁSON HASZNÁLT JELÖLÉSEK

¼

Bevezetés


Példák

Jelölések

Az eloadás fóliákon használt jelölések

Definíció

A fontosabb definíciók ilyen színu keretet kapnak.

Állítás, tétel

A fontosabb állítások, tételek ilyen színu keretet kapnak.

Példa

A fontosabb példák ilyen színu keretet kapnak.

Kitenkités, érdekesség, máshonnan vett állítás

Ilyen színu keretet kap:

• kitekintés más tárgyak anyaga felé, illetve más tárgyak anyagábólvett definíció, tétel, állítás,

• az itt tárgyalt anyaghoz kapcsolódó érdekesség.

Ezek a részek semmilyen formában nem kerülnek számonkérésre.¼

Valószínuségimezo

EseménytérVéletlen kísérlet

Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek

Teljeseseményrendszer

Eseményalgebra

ValószínuségRelatív gyakoriság

Klasszikusvalószínuség

Valószínuségi mezo

Geometriaivalószínuség

AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége

Unió valószínusége

Határértékek

ESEMÉNYTÉR

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Véletlen kísérlet

Véletlen kísérlet

Definíció: A véletlen kísérlet olyan kísérlet, (folyamat), melynekkimenetelét az általunk figyelembe vett feltételek nem határozzák megegyértelmuen.

Példák

• Kockadobás, kártyahúzás, stb.

• Folyó vízállása délben, lájkolók száma a weblapon éjfélkor, stb.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Hiányzó okok elve

/... Be van fejezve a nagy mu, igen.A gép forog, az alkotó pihen.Évmilliókig eljár tengelyén,Míg egy kerékfogát ujítni kell. .../

(Madách Imre, Az ember tragédiája, Elso szín)

• Klasszikusan: mindennek oka van, csak nem ismerjük ezeket azokokat elég pontosan, ezért tunik egy kísérlet kimenetelevéletlennek.

• Kvantumosan: nincsenek hiányzó okok, bizonyos folyamatokvéletlenszeruek és kész.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Elemi esemény

Elemi esemény

Definíció: Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetségeskimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.

Példák

• Kockadobásnál 6 kimenetel lehetséges, kártyahúzásnál 32 (vagy52).

• Folyó vízállása cm-ben, lájkok száma. (Elvileg végtelen sokkimenetel lehetséges).

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Eseménytér

Eseménytér

Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .

Esemény

Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.

• Biztos esemény: A = Ω.

• Lehetetlen esemény: A = ∅.

Példák

• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.

• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Muveletek eseményekkel


A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:

• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.

• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.

• A nem következik be (neg.): A, Ac.

• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.

• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.

ω 1

ω 9

ω 8

ω 6

ω 5

ω 2

ω 3

ω 7

ω 4

Ω

ω 0

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek









ω 1

ω 9

ω 8

ω 6

ω 5

ω 2

ω 3

ω 7

ω 4

Ω

ω 0

A¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek









ω 1

ω 9

ω 8

ω 6

ω 5

ω 2

ω 3

ω 7

ω 4

Ω

ω 0

B

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek









ω 1

ω 9

ω 8

ω 6

ω 5

ω 2

ω 3

ω 7

ω 4

Ω

ω 0

A

B

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek









ω 1

ω 9

ω 8

ω 6

ω 5

ω 2

ω 3

ω 7

ω 4

Ω

ω 0

A

B

AB

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek









Ω

ω 0

ω 1

ω 2

ω 5

ω 6

ω 4

ω 3

ω 7ω 9

ω 8

A

A¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek









ω 1

ω 9

ω 8

ω 6

ω 5

ω 2

ω 3

ω 7

ω 4

Ω

ω 0

A¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek









ω 9

ω 8

ω 6

ω 5

ω 2

ω 3

ω 7

ω 4

ω 1

Ω

ω 0

C¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek









ω 1

ω 9

ω 8

ω 6

ω 5

ω 2

ω 3

ω 7

ω 4

Ω

ω 0

A B

B

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Muveleti azonosságok

Muveleti azonosságok„ÉS”

• A ∩ B = B ∩ A

• A ∩ A = A

• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

• A ∩ A = ∅• A ∩ ∅ = ∅• A ∩Ω = A

„VAGY”

• A ∪ B = B ∪ A

• A ∪ A = A

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

• A ∪ A = Ω

• A ∪ ∅ = A

• A ∪Ω = Ω

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)• A ∪ (A ∩ B) = A

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)• A ∩ B = A ∪ B

• A ∪ B = A ∩ B

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Muveleti azonosságokGyakorló példa

Ha adott egy tetszoleges A és B esemény, akkor milyen X eseményreteljesül az alábbi összefüggés?

X ∪ A ∪ X ∪ A = (A ∩ B) ∪ B

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Muveleti azonosságokGyakorló példa

Ha adott egy tetszoleges A és B esemény, akkor milyen X eseményreteljesül az alábbi összefüggés?

X ∪ A ∪ X ∪ A = (A ∩ B) ∪ B

→ Használva a muveleti azonosságokat:

(X ∪ A) ∩ (X ∪ A) = (A ∩ B) ∩ B

X ∪ (X ∩ A) ∪ (A ∩ X)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

X∩(A∪A)

∪(A ∩ A) = (A ∪ B) ∩ B

X ∪ X ∩ (A ∪ A)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

Ω

∪∅ = (A ∩ B) ∪ (B ∩ B)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

∅

X ∪ X = X = A ∩ B

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Teljes eseményrendszer

Egymást kizáró események

Definíció: A és B egymást kizáró események ha A ∩ B = ∅


Definíció: A1,A2, ...,An teljes eseményrendszert alkotnak, ha mindenk = 1, ..., n-re

a) Ak ≠ ∅,

b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,

c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek






a) Ak ≠ ∅,

b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,

c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.

Szemléltetés:Ω

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek






a) Ak ≠ ∅,

b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,

c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.

Szemléltetés:

A2

A3

A4A5 A6

A1

Ω

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Események és halmazok

• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).

• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:

„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac

„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek






-Mi az összes események halmaza?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek






-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma? 2n

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek








-Vajon P(Ω) zárt a fenti muveletekre nézve?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek








-Vajon P(Ω) zárt a fenti muveletekre nézve?Igen, szerencsére egy σ-algebrát alkot.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Halmazgyuru

Halmazgyuru

R halmazgyuru, ha minden E,F ∈R esetén

a) E ∪ F ∈R,

b) E ∖ F ∈R, azaz az unió és különbség muveletekre nézve zárt.

Következmény:

• Mivel E ∩ F = F ∖ (F ∖ E), a metszetre nézve is zárt.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Halmazalgebra

Halmazalgebra

A halmazalgebra, ha

a) E,F ∈ A esetén E ∪ F ∈ A,

b) E ∈ A esetén Ec ∈ A,

azaz az unió és komplementer muveletekre nézve zárt.

Következmény:

• Mivel E ∖ F = E ∩ Fc = (Ec ∪ F)c, a különbségre nézve is zárt.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

σ-gyuru, σ-algebra

σ-gyuru

R σ-gyuru, ha

a) E,F ∈R esetén E ∖ F ∈R,

b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞

⋃i=1

Ei ∈R,

σ-algebra

A σ-algebra, ha

a) E ∈ A esetén Ec ∈ A,

b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞

⋃i=1

Ei ∈ A,

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

EseménytérÖsszefoglalás

• A véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei az elemi események,ezek halmaza az Ω eseménytér.

• Az összes esemény halmaza az Ω hatványhalmaza, P(Ω).

• A P(Ω) egy σ-algebrát alkot, azaz zárt a „VAGY” (unió), „ÉS”(metszet), „NEM” (komplementer) és „DE NEM” (különbség)muveletekre.

OK, de mi az események VALÓSZÍNUSÉGE?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







HatárértékekVALÓSZÍNUSÉG

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Relatív gyakoriság

• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:

• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.

→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA

és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.

• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Nagy számok törvénye

kn

n

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 10 100 1000 10000 100000

• A relatív gyakoriság n függvényében egy ingadozó függvény.

• Az ingadozások mértéke azonban csökken n-el, és elég nagy n-re afüggvény „ráhúzódik” egy jól meghatározott értékre.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Mi a valószínuség?(Klasszikusan)

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Mi a valószínuség?(Klasszikusan)

„A valószínuség az eseményekhez rendelt szám, amely körül az adottesemény bekövetkezésének relatív gyakorisága ingadozik.”

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Klasszikus valószínuség

A valószínuség klasszikus definíciója

• Véges eseménytér.

• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.

• Adott A esemény valószínusége:

P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma

,

(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)

Példa

• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:

P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =

36= 1

2.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek


• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek



• Összes eset: 64.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek




• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





• Ezért P = 64−54

64 ≃ 0.5177.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





• Ezért P = 64−54

64 ≃ 0.5177.

• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





• Ezért P = 64−54

64 ≃ 0.5177.


• Összes eset: 3624

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





• Ezért P = 64−54

64 ≃ 0.5177.



• Azon esetek, amikor nincs 6-os pár: 3524.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





• Ezért P = 64−54

64 ≃ 0.5177.



• Azon esetek, amikor nincs 6-os pár: 3524.

• Ezért P = 3624−3524

3624 ≃ 0.4914.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan

Bolyongás számegyenesen:

−3 −2 3210−1

Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek



−3 −2 3210−1


• pk = p−k; legyen k ⩾ 0

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek



−3 −2 3210−1



• k + n−k2 = n+k

2 jobbra, n−k2 balra n közül,

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek



−3 −2 3210−1



• k + n−k2 = n+k

2 jobbra, n−k2 balra n közül,

• ( nn−k

2) féle módon választható ki. Ezért pk = 1

2n ( nn−k

2)

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek


Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:

• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).

a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?

b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek






Ha a golyók megkülönböztethetoek:

1 2 3 4 n

0 1 2 3 N

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







1 2 3 4 n

0 1 2 3 N

a) összes eset: Nn, egy leosztás: n!k1!k2!⋯kN !

, tehátP(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kN) = n!

k1!k2!⋯kN !1

Nn (Maxwell-Boltzmann).

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







1 2 3 4 n

0 1 2 3 N

a) összes eset: Nn, egy leosztás: n!k1!k2!⋯kN !

, tehátP(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kN) = n!

k1!k2!⋯kN !1

Nn (Maxwell-Boltzmann).

b) P(ni = k) = 1Nk (1 − 1

N )n−k (nk)

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek






És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







0 N

n

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







0 N

n

a) összes eset: (N+n−1n ), ezért

P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1(

N+n−1n )

= n!(N−1)!(n+N−1)! (Bose-Einstein).

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







0 N

n

a) összes eset: (N+n−1n ), ezért

P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1(

N+n−1n )

= n!(N−1)!(n+N−1)! (Bose-Einstein).

b) N − 1 cellába kell n − k-t szétosztani: P(ni = k) = (N+n−k−2

n−k )

(N+n−1

n ).

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek






És ha a golyók megkülönbözhetetlenek és 1 cellában egyszerremax. csak 1 lehet?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







a) összes eset (Nn), tehát P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1

(Nn)

(Fermi-Dirac).

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek







a) összes eset (Nn), tehát P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1

(Nn)

(Fermi-Dirac).

b) P(ni = 0) = 1 − nN , P(ni = 1) = n

N .

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Mi a helyzet, ha az eseménytér nem véges?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Mi a helyzet, ha az eseménytér nem véges?

→ Relatív gyakoriságokat ilyenkor is lehet mérni.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

A relatív gyakoriság tulajdonságai

• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1

• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.

• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.

A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

A valószínuség axiómái (Kolmogorov)

A valószínuség axiómái

Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha

K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,

K2 P(Ω) = 1,

K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor

P(⋃k

Ak) =∑k

P(Ak).

• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.

• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek



Definíció: Az (Ω,A,P) hármas Kolmogorov-féle valószínuségi mezo, ha

• Ω az elemi események halmaza,

• A az események σ-algebrája Ω felett,

• P az A-n értelmezett (valószínuségi) mérték, melyre P(Ω) = 1.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel

Ω geometriai alakzat (egyenes,görbe, sík, tér egy tartománya) minthalmaz egy A részhalmazánakvéletlen kiválasztása.

P(A) = µ(A)µ(Ω) .

Pl. Tegyük fel, hogy véletlenszeruen választunk két pontot a [0, d]intervallumban. Mi a valószínusége, hogy a kapott három szakaszbólháromszög szerkesztheto?

0 d

x y

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek


• Ha x < y: x, y − x, d − y

x + (y − x) > d − y ⇒ y > d/2x + (d − y) > y − x ⇒ y < x + d/2

(y − x) + (d − y) > x ⇒ x < d/2

• Ha y < x: y, x − y, d − x

y + (x − y) > d − x ⇒ x > d/2y + (d − x) > x − y ⇒ x < y + d/2

(x − y) + (d − x) > y ⇒ y < d/2

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek


• Ha x < y: x, y − x, d − y

x + (y − x) > d − y ⇒ y > d/2x + (d − y) > y − x ⇒ y < x + d/2

(y − x) + (d − y) > x ⇒ x < d/2

• Ha y < x: y, x − y, d − x

y + (x − y) > d − x ⇒ x > d/2y + (d − x) > x − y ⇒ x < y + d/2

(x − y) + (d − x) > y ⇒ y < d/2

d/2

d/2

d

d

x

y

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

A VALÓSZÍNUSÉG ALAPVETO ÖSSZEFÜGGÉSEI

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

A lehetetlen esemény

Mi a lehetetlen esemény valószínusége?

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

A lehetetlen esemény

Mi a lehetetlen esemény valószínusége?

A lehetetlen esemény valószínusége 0.

A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅P(A) = P(A ∪ ∅) =

K3P(A) + P(∅)

P(∅) = 0

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek


Egy A1,A2, ...,An teljes eseményrendszerre ⋃i P(Ai) = 1.

• Ha teljes eseményrendszert alkotnak, akkor Ai ∩Ak = ∅, és ⋃i Ai = Ω.

• Mivel P(Ω) = 1, a (K3) miatt ∑i P(Ai) = 1.

Következmény a komplementer esemény valószínuségére vonatkozóan:

Az A valószínusége P(A) = 1 − P(A).

(A és A együtt egy teljes eseményrendszert alkotnak)

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Események uniójának (összegének)valószínusége

Részhalmaz valószínusége

Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).

• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).

• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).

Események uniójának valószínusége

Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].

• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek


Szemléltetés:

A B

A B

A B

A B

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek


• Fontos következmény:

Tetszoleges A1,A2, ...,An eseményre P(n⋃i=1

Ai) ≤n∑i=1

P(Ai).

Bizonyítás: indukcióval.

• 2 eseményre igaz. Tegyük fel, hogy n-re igaz.

P(n+1

⋃i=1

Ai) = P([n

⋃i=1

Ai] ∪ An+1) ≤

P(n

⋃i=1

Ai) + P(An+1) ≤

n

∑i=1

P(Ai) + P(An+1).

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Három esemény uniójának valószínusége

Három esemény uniójának valószínusége

Bármely tetszoleges A,B,C eseményekre

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C).

Bizonyítás:Alkalmazva a 2 esemény összegére vonatkozó állítást:

P(A ∪ B ∪ C) = P((A ∪ B) ∪ C) =P(A ∪ B) + P(C) − P((A ∪ B) ∩ C) =P(A) + P(B) − P(A ∩ B) + P(C) − P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] =P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P((A ∩ C) ∩ (B ∩ C)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶A∩B∩C

).

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Általánosítás

n esemény uniójának valószínusége

A1,A2, ...,An tetszoleges esemény uniójának valószínusége:

S1 ∶=n

∑i=1

P(Ai)

S2 ∶= ∑1≤i<j≤n

P(Ai ∩ Aj)

S3 ∶= ∑1≤i<j<k≤n

P(Ai ∩ Aj ∩ Ak)

⋮Sn ∶= P(A1 ∩ A2⋯∩ An)

→ P(n

⋃i=1

Ai) = S1 − S2 + S3 − ... + (−1)n−1Sn.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Általánosítás

Bizonyítás: indukcióval

• Tegyük fel, hogy n-re igaz. Ilyenkor

P(A1 ∪ . . .An ∪ An+1) = P(A1 ∪ . . .An) + P(An+1)−P[(A1 ∩ An+1) ∪ ... ∪ (An ∩ An+1)]

• A jobb oldalon a II. és III. kifejezésekre alkalmazva az indukciósfeltevést a tagok összevonhatók:

SII1 + P(An+1) = SI

1

SII2 + SIII

1 = SI2

SII3 + SIII

2 = SI3

⋮SIII

n = SIn+1

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Általánosítás

Bizonyítás: indukcióval

• Tegyük fel, hogy n-re igaz. Ilyenkor

P(A1 ∪ . . .An ∪ An+1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

I

= P(A1 ∪ . . .An)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

II

+P(An+1)

−P[(A1 ∩ An+1) ∪ ... ∪ (An ∩ An+1)]´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

III

• A jobb oldalon a II. és III. kifejezésekre alkalmazva az indukciósfeltevést a tagok összevonhatók:

SII1 + P(An+1) = SI

1

SII2 + SIII

1 = SI2

SII3 + SIII

2 = SI3

⋮SIII

n = SIn+1

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Általánosítás

Példa

Tegyük fel, hogy n számozott golyót húzunk ki egy urnából. Mi avalószínusége, hogy a golyók sorrendjében egyik golyó sem a rajta lévoszámnak megfelelo helyen van?

• Ha Ai az az esemény, hogy az i-vel számozott golyó az i-edik helyenvan, akkor mi az 1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) valószínuséget keressük.→ Az iménti általános szabállyal lehet P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An)-tmeghatározni!

• Határozzuk meg S1-et:Összesen n! féle sorrend lehetséges, ha az i golyó az i. helyen van,az (n − 1)! módon történhet, így

P(Ai) =(n − 1)!

n!= 1

n, → S1 = n ⋅ 1

n= 1.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Általánosítás

Példa

• Határozzuk meg S2-t:Az, hogy pont i és j van a helyén:

P(Ai ∩ Aj) =(n − 2)!

n!= 1

n(n − 1) .

Mivel összesen (n2) féle pár van,

S2 = (n2) 1

n(n − 1) = 12!.

• Hasonló módon, a 3-as metszetekre

P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) = (n − 3)!n!

= 1n(n − 1)(n − 2) ,

S3 = (n3) 1

n(n − 1)(n − 2) = 13!.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Általánosítás

Példa

• Ez alapján

P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 − 12!+ 1

3!−⋯ + (−1)n−1 1

n!=

n

∑k=1

(−1)k−1 1k!,

és a keresett valószínuség

1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 −n

∑k=1

(−1)k−1 1k!

=n

∑k=0

(−1)k 1k!Ð→n→∞

e−1.

¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek

Határértéktételek


H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1

minden n-re, valamint∞

⋂i=1

Ai = A, akkor limn→∞

P(An) = P(A).

H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1


⋃i=1


P(An) = P(A).

Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:

Eloszlásfüggvény ¼



Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





⋂i=1


P(An) = P(A).



⋃i=1


P(An) = P(A).


Ak−1




Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





⋂i=1


P(An) = P(A).



⋃i=1


P(An) = P(A).


Ak




Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





⋂i=1


P(An) = P(A).



⋃i=1


P(An) = P(A).


Ak+1




Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek





⋂i=1


P(An) = P(A).



⋃i=1


P(An) = P(A).


Ak+1

Ak+1Ak \

Ak−1 Ak\




Véletlen esemény

Eseménytér

Muveletek


Eseményalgebra







Határértékek


Ez alapján

A1 = A ∪ [∞

⋃k=1

Bk] .

A K3 miatt

P(A1) = P(A) +∞

∑k=1

P(Bk) = P(A) + limn→∞

n−1

∑k=1

P(Bk).

Kihasználva, hogy P(Bk) = P(Ak) − P(Ak+1) ezt kapjuk:

P(A1) = P(A) + limn→∞

(P(A1) − P(An)) = P(A) + P(A1) − limn→∞

P(An).

Egyszerusítve P(A1)-el az állítást kapjuk vissza.

¼

valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/eloadas_01.pdf ·...

Documents