valuacin de instrumentos de deuda indexados al
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Valuación de Instrumentos de Deuda Indexados al
Comportamiento de otro Activo
Un Modelo con y sin Riesgo de Crédito
Trabajo de Tesis correspondiente al Doctorado en Finanzas
Marcelo F. Perillo
Universidad del CEMA
Junio 2009
Comité de Tesis
Director:
‐ Dr. Guillermo Lopez Dumrauf: ___________________
____________________________________________________________________
Miembros:
‐ Dr. Rodolfo Apreda:___________________________
‐ Dr. José P. Dapena:____________________________
‐ Dr. Ignacio Warnes: _______________________
2
Valuación de Instrumentos de Deuda Indexados al Comportamiento de
otro Activo
Un Modelo con y sin Riesgo de Crédito
Junio de 2009
Resumen
En el presente trabajo abordamos la valuación de una clase
particular de productos estructurados consistentes en
instrumentos de deuda cuya función de pagos está atada al
comportamiento de otra variable, como podría ser un índice
accionario. Su contribución consiste en la proposición de una
fórmula cerrada o “closed form solution” para la valuación de
una clase particular de tales instrumentos, bajo los supuestos
alternativos de existencia‐inexistencia de riesgo de crédito,
modelado este último apelando a la metodología propuesta
por Robert Merton.
3
1.‐ Introducción
Durante la década de los 90 los mercados asistieron a la aparición y
expansión de una clase especial de vehículos de inversión, conocidos
comúnmente con el nombre de Productos Estructurados, en adelante PE. La
definición de este tipo de productos resulta compleja, toda vez que bajo tal
nombre genérico pueden encontrarse en la actualidad una amplia gama de
activos muy diferentes entre sí. En reconocimiento de la dificultad que
implica su definición, apelaremos a una caracterización general diciendo que
un PE es el resultado de la combinación de diferentes activos, generalmente
instrumentos del mercado spot, como acciones y bonos, e instrumentos
financieros derivados.
La configuración de un activo de esta naturaleza es un trabajo de ingeniería
financiera que permite, mediante una compleja combinación de activos,
ofrecerles a los inversores productos que se adaptan a sus objetivos o
necesidades de inversión y cuya construcción estaría, en general por su
complejidad, fuera de su alcance. Las entidades financieras que los ofrecen
cuentan, en cambio, con la capacidad técnica y económica para ello.
Un tipo particular de producto estructurado que ha devenido muy negociado
en diferentes mercados, como por ejemplo el alemán, consiste en
instrumentos de deuda de descuento o cupón cero cuya función de pagos
está atada al comportamiento de una variable subyacente, comúnmente un
índice accionario. El pago del bono al vencimiento está dado en general por
su Valor Nominal si el subyacente termina por debajo de un cierto valor,
proveyendo al tenedor una protección contra un mercado bajista, y un pago
ajustable por la rentabilidad del subyacente en caso contrario. En este caso de
mercado alcista, una gran variedad de configuraciones del producto resultan
posibles, como por ejemplo que el tenedor obtenga una proporción de la
4
apreciación del subyacente durante el período de vida del bono o el total de
la misma. El inversor tiene acceso, de esta forma, a la inversión en el activo
subyacente con una protección frente a un mercado bajista.
Instrumentos como el descripto podrían resultar atractivos para inversores
que por su grado de aversión al riesgo no califiquen para la inversión directa
en el subyacente, inversores próximos a su retiro y que por lo tanto no
pueden exponerse al riesgo del subyacente y la pérdida de capital o
simplemente especuladores.
El objetivo del presente trabajo consiste en proponer una solución analítica o
“closed form solution” para la valuación de un tipo particular de PE, cuya
extensión a diferentes estructuras que se observan en los mercados resultaría
en general simple. El PE tomado como benchmark para el trabajo consiste en
un instrumento bastante común en la banca de inversión, cuya función de
pagos está dada por:
Valor Nominal si el subyacente termina por debajo de un cierto
valor, normalmente el valor existente al momento de la emisión, definido
como valor mínimo.
Valor Nominal más la rentabilidad del subyacente si este termina
por encima del valor mínimo pero por debajo de cierto valor, definido como
valor máximo.
Valor Nominal más un interés establecido en las condiciones de
emisión si al vencimiento del bono el subyacente se encontrara por encima
del valor máximo.
Las características de la función de pagos de tal instrumento, esto es su pago
condicional al comportamiento de otro activo subyacente, hacen que se
5
entienda pertinente la aplicación de la teoría estándar de valuación de
derivados.
No obstante ello, una característica adicional de estos instrumentos nos
previene de una simple extensión de aquella teoría tal como se aplica en las
opciones estándar. Dicha característica es que los mismos son negociados
generalmente en mercados desregulados (over the counter), situación que nos
plantea la necesidad de contemplar especialmente la existencia de riesgo de
crédito, esto es el riesgo de que el emisor, que en muchos casos suele ser un
banco de inversión, no pueda cumplir con las obligaciones derivadas del
instrumento. La metodología estándar de valuación de instrumentos
financieros derivados no asume la existencia de riesgo de crédito, pudiéndose
juzgar ello razonable para la valuación de productos que son negociados en
un ámbito bursátil en el cual operan garantías y resguardos que no están
presentes en general en los mercados desregulados, y particularmente en los
mercados de productos como el aquí analizado. La aplicación de tales
modelos nos conduciría en general a una sobrevaluación de activos como los
aquí analizados. Tal situación representaría para el emisor un incentivo para
la financiación mediante estos instrumentos de deuda, en tanto que de tal
forma podría evitar la prima de riesgo de crédito que les demanda el
mercado de deuda estándar. Cabe esperar, de ser así, que tales
imperfecciones no se sostendrán en el tiempo y que ambos mercados
valorarán de la misma forma el riesgo de crédito del emisor.
La estructura del presente trabajo se desarrolla de acuerdo con el siguiente
esquema. Luego del repaso de la literatura relacionada, en la sección 2,
proponemos, en la sección 3, una solución analítica o “closed form solution”
para la valuación del instrumento en cuestión bajo los supuestos estándar de
6
la teoría de valuación de instrumentos financieros derivados, representados
inicialmente en el modelo de Black, Merton & Scholes.
En la sección 4 incorporamos al modelo anterior el riesgo de crédito,
derivando este desarrollo en el segundo modelo de valuación propuesto.
Para ello apelamos a la metodología propuesta por Robert Merton, conocida
como Approach Estructural, y a la literatura sobre valuación de opciones
vulnerables, esto es opciones expuestas al riesgo de crédito del emisor.
Finalmente, en la sección 5 del presente documento desarrollamos dos
ejemplos numéricos cuyo objetivo es ilustrar el funcionamiento de ambos
modelos, apelando para ello a un código desarrollado al efecto en VBA, en
tanto que la sección 6 la destinamos a las conclusiones del trabajo.
2.‐ Revisión de la Literatura
La primera parte de nuestro trabajo hace uso de la teoría estándar de
valuación de opciones, que encuentra su origen en el trabajo de Black, Merton
y Scholes (1973) y su representación bajo la forma que aquí utilizamos,
conocida como Approach Probabilístico, en los trabajos de Harrison y Kreps
(1979) y Harrison y Pliska (1981). Los resultados de tales trabajos resultan hoy
día suficientemente conocidos, motivo por el cual no nos extenderemos sobre
los mismos.
Por su parte, y para el tratamiento del riesgo de crédito, la literatura nos
provee diversas metodologías, que, a fines de una representación
simplificada, clasificaremos en tres grupos. Una de ellas es la conocida como
“Approach Estructural” cuya idea central consiste en vincular el default con
la relación entre el valor del activo y el valor de la deuda, o con un cierto
valor de referencia. El evento de default en este modelo se presenta cuando el
valor del activo cae por debajo del valor de la deuda o de dicho valor de
7
referencia. En un segundo grupo podríamos incluir a los Modelos Empíricos,
cuya característica distintiva es la utilización de una metodología de scoring,
donde el score de una firma es comparado con el score de default
determinado por la evidencia histórica de firmas que han incurrido en un
evento de default. Finalmente, la metodología conocida como “Reduced
Form Approach”, a diferencia de los dos anteriores, no descansa en un
modelo sobre la firma ni sobre su score, sino que asume que el evento de
default está simplemente determinado por una variable o factor externo.
Una variedad de alternativas para la valuación de opciones vulnerables
pueden encontrarse también en la literatura, atendiendo al modelo de riesgo
de crédito utilizado, la consideración del momento de default (antes o al
vencimiento), la existencia de una barrera de default variable o fija, la
configuración de la estructura de capital, la modelización del
comportamiento de la tasa de interés (determinística o constante) y la
existencia de correlación o no entre las variables involucradas. La posibilidad
de arribar a una solución cerrada depende, como ha quedado demostrado en
la literatura y en trabajos que se citan a continuación, de los supuestos del
modelo considerado.
La valuación de opciones vulnerables apelando al approach estructural fue
propuesta originalmente por Johnson y Stulz (1987), quienes asumen que el
evento de default puede ocurrir sólo al vencimiento de la opción y que la
estructura de capital del emisor está compuesta únicamente por la opción en
cuestión. Klein (1996) extiende el trabajo anterior, incorporando a la
estructura de capital del emisor de la opción otras deudas, bajo el supuesto
que la opción no integra o determina la barrera de default. Klein e Inglis
(1999) proponen un modelo de opciones vulnerables con tasa de interés
estocástica modelada a la Vasicek (1977), y extienden, posteriormente (2001),
8
el modelo de Klein (1996), incorporando a la barrera de default a la deuda
potencial resultante de la opción emitida. Como lo expresan los autores, no
resulta posible, en este último caso, obtener una solución cerrada para la
valuación de la opción debiéndose recurrir a métodos numéricos para tal
propósito.
La característica común de todos los modelos citados anteriormente es que el
default puede ocurrir sólo al vencimiento de la opción. Cao y Wei (2001)
levantan este supuesto, proponiendo un modelo de valuación de opciones
vulnerables, donde la estructura de capital de la firma está compuesta por la
opción y otras deudas, el default puede ocurrir antes del vencimiento y la
tasa de interés evoluciona de acuerdo con el proceso atribuido por Vasicek.
La valuación de la opción la realizan mediante simulación de Monte Carlo,
no pudiendo arribar a una solución analítica para el precio del instrumento.
Por su parte, Leland y Toft (1996) afirman que introducir una tasa de interés
estocástica tiene un efecto de menor orden en el valor de la deuda,
complicando significativamente el análisis.
La aplicación del Reduced Form Approach a la valuación de opciones
vulnerables ha sido explorada entre otros por Hull y White (1995) y Jarrow y
Turnbull (1995). Ambos trabajos asumen que el default puede ocurrir antes
del vencimiento.
El supuesto de independencia entre el valor del activo de la firma y el valor
del subyacente de la opción fue explorado por Hull y White (1995) y Jarrow y
Turnbull (1995), entre otros. Tal supuesto simplifica considerablemente la
valuación del instrumento, pero como ha sido observado por Hull y White
(1995) sólo es apropiado cuando el emisor es una institución bien
diversificada.
9
Diferencias entre el seniority de la opción y la deuda que integra la estructura
de capital de la firma constituye también un tema explorado en la literatura.
Hull y White (1995), Klein (1996), Klein e Inglis (2001), Cao y Wei asumen
que ambas deudas tienen el mismo seniority. De acuerdo a Hull (2000) un
derivado es usualmente equiparado a un bono senior desprotegido frente a
un evento de default, cobrando importancia en tal caso la consideración de
este punto en la valuación de la opción.
De lo expuesto puede apreciarse la variedad de elecciones posibles en la
problemática de la valuación de opciones vulnerables, alternativas que se
derivan de las diferentes combinaciones que puede formular el autor respecto
al modelo de riesgo de crédito utilizado, el momento de default, la existencia
de una barrera de default fija o variable, la composición de la estructura de
capital, el carácter determinístico o estocástico de la tasa de interés y la
independencia o correlación entre las variables involucradas.
3.‐ Modelo sin Riesgo de Crédito.
Esta primera parte del trabajo se desarrolla en línea con los supuestos
estándar del modelo de Black, Merton y Scholes, a saber:
a.‐ Mercados perfectos, sin fricciones (ausencia de impuestos, costos de transacción,
restricciones para short sales, agentes tomadores de precios).
b.‐ La negociación de activos es continua.
c.‐ Mercados completos.
d.‐ Ausencia de oportunidades de arbitraje.
e.‐ Posibilidad de prestar y tomar prestado a la tasa de interés libre de riesgo.
f.‐ Volatilidad constante.
10
g.‐ El comportamiento del precio del subyacente del instrumento satisface la siguiente
ecuación diferencial estocástica, bajo la medida de probabilidad “real”, P.
(t)QσS(t)dWq)S(t)dt-(µdS(t) += (1)
donde:
μ := rentabilidad esperada del activo
q:= tasa de dividendo
y W(t) representa un movimiento browniano estándar.
h.‐ Inexistencia de riesgo de crédito.
Bajo los supuestos planteados de inexistencia de oportunidades de arbitraje y
mercados completos se ha demostrado en la literatura que existe una medida
de martingala equivalente, esto es existe una medida de probabilidad Q,
equivalente a la medida de probabilidad “real”, P, tal que el precio
descontado de los activos bajo Q es una martingala, y que tal medida es única,
representando esto último que existirá un único precio para el derivado
consistente con la inexistencia de oportunidades de arbitraje. Cuando el
numerario utilizado está determinado por el activo libre de riesgo, tal medida
de probabilidad recibe el nombre de Probabilidad Neutral al Riesgo.
Bajo esta medida de martingala equivalente el precio del subyacente satisface
la siguiente ecuación diferencial estocástica:
(t)σS(t)dWq)S(t)dt-(rdS(t) Q+= (2)
en tanto que el precio de un derivado sobre dicho activo, S, cuyo payoff
ocurre en T, debe satisfacer en ausencia de oportunidades de arbitraje:
11
[ ][ ])()(
)()()-(- TfEetf
TfeEetfQtTr
rTQrt
=
= −−
(3)
donde f(T) representa la función de pagos del instrumento derivado y f(t) su
precio en t.
La función de pagos del instrumento utilizado como benchmark para el
presente trabajo presenta las siguientes características:
VN si S(T) ≤ Xi
f(T):= VN(S(T)/S(0)) si Xi < S(T) ≤ Xs (4)
VNeiT si S(T) > Xs
donde
Xi:= límite inferior establecido para el valor del subyacente al vencimiento del
bono.
Xs:= límite superior establecido para el valor del subyacente al vencimiento
del bono.
i:= tasa de interés que pagará el bono al tenedor si al vencimiento el valor del
subyacente termina por encima del límite superior.
Como puede observarse de la definición de la función de pagos, si al
vencimiento del instrumento el precio del subyacente se encontrara por
debajo del límite inferior establecido en las condiciones de emisión el tenedor
del instrumento percibiría sólo el Valor Nominal. Para cualquier valor entre
ambos límites el tenedor percibirá el VN más la rentabilidad del subyacente
en el período de vida del instrumento de deuda. Para valores de S por encima
12
del límite superior el tenedor recibirá simplemente el VN capitalizado a una
tasa de interés especificada en las condiciones de emisión.
A continuación proporcionamos una representación gráfica de la función de
pagos del instrumento al vencimiento:
fT
Xi XS ST
A efectos de nuestro propósito de valuación, incorporamos ahora (4) en (3),
obteniendo la expresión que debe satisfacer el precio del instrumento en
ausencia de oportunidades de arbitraje:
( ) ( )[ ]ssii XTS
iTXTSXXTS
Qr VNeSTSVNVNEetf >≤<≤ ++= )()()( 11)0()(1τ-(5)
donde por 1 estamos representando a la función indicador.
13
Utilizando las propiedades del operador valor esperado, podemos
descomponer a la expresión obtenida anteriormente, (5), de la siguiente
forma:
321)( ffftf ++= (6)
con:
[ ]XiSQtTr
TVNEef ≤
−−= 1)(1 (7)
( )[ ]XsSXQtTr
TiSTSVNEef ≤<
−−= 1)0(/)()(2 (8)
[ ]sT XS
iTQtTr VNeEef >−−= 1)(
3 (9)
Lo que sigue es la evaluación de las expresiones (7), (8) y (9), esto es el cálculo
de tales valores esperados.
La evaluación de (7) resulta en:
( )
tT
tTqrtSX
d
dNVNef
i
tTr
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
= −−
σ
σ2)(
ln
)(2
1
1)(
1
(10)
Por su parte de la manipulación de (8) obtenemos:
14
( ) ( )[ ]
tT
tTqrtSX
d
tT
tTqrtSX
d
dNdNeStSVNf
i
s
tTq
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−= −−
σ
σσ
σ
)(2)(
ln
)(2)(
ln
)0()(
2
3
2
2
32)(
2
(11)
Finalmente, el tercer término de la fórmula propuesta para la valuación del
PE está representado por la siguiente expresión:
( )
tT
tTqrX)t(Sln
d
)d(NVNef
s
)tT(riT
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
= −−
σ
σ2
2
4
43
(12)
La expresión final para la valuación del instrumento bajo análisis es entonces
la siguiente:
15
[ ]
( )
( )tTd
tT
tTqrX)t(Sln
d
tTdtT
)tT(qr)t(S
Xln
d
tT
)tT(qr)t(S
Xlnd
tT
tTqr)t(S
Xlnd
)d(NVNe)d(N)d(Ne)(S)t(SVN)d(NVNe)t(f
s
i
s
i
)tT(riT)tT(q)tT(r
−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
+−+= −−−−−−
σσ
σ
σσ
σσ
σσ
σ
2
2
4
1
2
3
2
2
2
1
4321
2
2
2
2
0
(13)
Verificaciones estándar de (13) conducen a resultados consistentes con las
condiciones de frontera del instrumento y con lo que cabría esperar dada su
función de pagos. Analizaremos a continuación algunas de esas condiciones,
cuya verificación en general procede simplemente:
a) lim St—›∞
En este caso puede comprobarse fácilmente que d1=d2=d3= ‐∞ y por lo tanto se
sigue que N(d1) = N(d2) = N(d2) = 0. Por su parte se verifica que d4=+∞ y N(d4)=1.
El valor que arroja en este caso nuestra fórmula para el PE estará dado
entonces por:
[ ]iTrt VNeef τ−=
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resultado que era esperable, pues en tal caso el valor del subyacente
terminaría, con probabilidad 1 por encima del límite superior y
consecuentemente el instrumento pagaría en tal caso el VN capitalizado a la
tasa de interés i. Consecuentemente, en ausencia de oportunidades de
arbitraje el instrumento debería negociarse al valor presente de dicho flujo de
fondos cierto, descontando a tal efecto el flujo de fondos a la tasa de interés
libre de riesgo.
b) St —› 0
En este caso d1=d2=d3—›+∞ y por lo tanto se sigue que N(d1) = N(d2) = N(d2) —›
1. Por su parte se verifica que d4—›‐∞ y N(d4) —›0. El valor que arroja nuestra
fórmula para el PE estará dado entonces por:
VNef tTrt
)( −−=
La explicación del resultado procede conforme a la proporcionada en el
punto anterior. Para valores pequeños del subyacente la probabilidad que
este termine por debajo del límite inferior converge a uno y por lo tanto la
probabilidad que al vencimiento pague el VN también converge a ese valor.
En tal caso el instrumento debería negociarse a su valor presente.
c) σ = 0
La fórmula nos proporciona diferentes respuestas en esta situación, según la
relación existente entre S, Xs y Xi, Ello puede explicarse por el
comportamiento que exhibiría el subyacente bajo los supuestos del modelo y
sin volatilidad. Puede apreciarse que bajo la medida de probabilidad Q su
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precio crecería determinísticamente bajo la situación planteada a la tasa (r‐q).
En tal caso el pago del bono dependerá de la posición relativa del precio
actual del subyacente con respecto a los valores de ambos límites. Más
precisamente, la distancia entre el precio actual del subyacente y los límites,
conjuntamente con la tasa de crecimiento mencionada, pueden derivar en las
diferentes situaciones que analizamos a continuación:
( )i
tTqrt XeS <−− )(
En este escenario se verificará que d1=d2=d3=+∞ y por lo tanto se sigue que
N(d1) = N(d2) = N(d2) = 1. Por su parte se verifica que d4=‐∞ y N(d4)=0. La
fórmula se reduce en tal caso a la siguiente expresión:
VNef ttrt
)( −−=
Ello se explica en el hecho que creciendo determinísticamente el precio del
subyacente a la tasa r – q no podrá alcanzar y superar el límite inferior al
vencimiento del instrumento, consecuentemente este ofrecerá un pago cierto
igual a su VN.
( )s
tTqrti XeSX << −− )(
En esta situación se verificará que d1=d3=d4=‐∞ y por lo tanto se sigue que
N(d1) = N(d3) = N(d4) = 0. Por su parte se verifica que d2=+∞ y N(d2)=1. La
fórmula se reduce en tal caso a la siguiente expresión:
0
)())(()(
SeSVN
SeSVNef
tTqt
o
tTqrttTr
t
−−−−−− =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
18
El resultado es también aquí intuitivo, reconociendo que el valor del
subyacente terminará entre ambos límites y que en tal caso la función de
pagos establece que el tenedor recibirá el valor nominal capitalizado a la tasa
de rentabilidad del subyacente. La primera expresión de la derecha nos está
indicando precisamente ello, el precio del instrumento debería ser igual al
valor actual (descontado a la tasa de interés libre de riesgo) del valor nominal
capitalizado a la tasa de rendimiento del activo entre el momento inicial, t=0,
y su vencimiento en T, rendimiento representado por r‐q.
( )s
tTqrt XeS <−− )(
Notar que d1=d2=d3=‐∞ y por lo tanto se sigue que N(d1) = N(d2) = N(d3) = 0. Por
su parte se verifica que d4=+∞ y N(d4)=1. La fórmula se reduce en tal caso a la
siguiente expresión:
[ ]iTtTrt VNeef )( −−=
y su explicación procede simplemente como en los casos anteriores.
d) T‐t —› 0
En este último caso que analizamos a continuación cabe formular similares
consideraciones a las realizadas en el punto anterior. La respuesta del modelo
será diferente según cuál haya sido el valor final del subyacente. Si se
verificara que ST < Xi la respuesta que obtenemos analizando el
comportamiento de d1, d2, d3, d4, N(d1), N(d2), N(d3) y N(d4) es que el valor del
instrumento debería estar dado por su VN. Similar análisis para el escenario
Xi < ST < Xs nos conduce a la siguiente respuesta: fT=VN(ST/S0). Finalmente de
19
terminar el subyacente por encima del límite superior, ST>Xs la fórmula
arrojaría que fT=VNeiT.
Del análisis formulado se concluye que la expresión obtenida satisface las
condiciones de frontera que caracterizan la función de pagos del instrumento
analizado, brindándonos respuestas coincidentes con las que podrían
derivarse mediante un simple análisis intuitivo de dicha función.
4.‐ Modelo con Riesgo de Crédito.
Si bien la metodología estándar de valuación de instrumentos derivados
resulta apropiada para capturar la característica de opcionalidad presente en
este tipo de instrumentos, debemos reconocer que dicha metodología ignora
el riesgo de crédito del emisor del activo, omisión que no representa un
sacrificio significativo cuando tales instrumentos derivados son negociados
en mercados regulados en los cuales operan garantías que minimizan los
riesgos de default o cuando el emisor cuenta con una solvencia patrimonial
que justifica tal tratamiento.
No es sin embargo éste el caso general de los productos a los que hacemos
referencia en el presente trabajo y por ello cabe esperar la existencia de un
spread entre el precio de mercado y el valor que arroja nuestro modelo,
spread que podría servir también, en un ejercicio de ingeniería inversa, para
apreciar el riesgo de crédito del emisor del PE.
El propósito de esta sección del documento es obtener una expresión que nos
permita incorporar la valuación de spread en el modelo propuesto en la
sección anterior.
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La modelización del riesgo de crédito requiere la elección del modelo a
aplicar. Como explicamos anteriormente optamos en este punto por la
aplicación del conocido “Approach Estructural” propuesto por R. Merton
(1974).
Para la incorporación del riesgo de crédito de emisor reformularemos el
supuesto h) del modelo anterior e incorporaremos un supuesto adicional,
relacionado con el comportamiento atribuido al valor de la firma emisora del
instrumento de deuda:
h.‐ El evento de default ocurre si al vencimiento el valor del activo del emisor se
encuentra por debajo de un cierto nivel de deuda, que identificaremos como D, el cual
se asume determinístico.
La formulación de este supuesto implica asumir que el límite de default no se
ve afectado por el valor del instrumento bajo consideración, o que su
participación en la estructura de capital de la firma es insignificante, tal como
se asume en el trabajo de Klein (1996). Como mencionamos anteriormente,
Klein e Inglis (2001) han demostrado que la incorporación de la deuda
resultante de la opción al límite de default no permite obtener una solución
cerrada.
i.‐ El valor del activo de emisor, que identificaremos como V, satisface, bajo la medida
de probabilidad Q, la siguiente ecuación diferencial estocástica:
QVVVdWrVdtdV σ+=
con:
21
dtdWdWE QV
Qs ρ=)(
Con respecto a la notación que utilizaremos en adelante cabe observar que la
incorporación de otro activo en nuestro modelo nos obliga a incorporar
notación adicional para distinguir mediante subíndices las volatilidades y
movimientos brownianos que afectan a cada uno de los dos activos, S y V.
En este caso la función de pagos del instrumento se verá modificada de la
siguiente forma:
VN si S(T) ≤ Xi y V(T) ≥ D
δT VN si S(T) ≤ Xi y V(T) < D
VN(S(T)/S(0)) si Xi < S(T) ≤ Xs y V(T) ≥ D
f(T):= δT VN(S(T)/S(0)) si Xi < S(T) ≤ Xs y V(T) < D
VNeiT si S(T) > Xs y V(T) ≥ D
δT VNeiT si S(T) > Xs y V(T) < D
donde:
DTV
T)(
=δ
representa la tasa de recupero en caso de default, la cual se determina a partir
de la relación entre el valor de la firma al vencimiento de la deuda en T y el
valor de ésta.
22
En ausencia de oportunidades de arbitraje el precio del instrumento debe
satisfacer la siguiente expresión:
( ) ( ){ ( )( ) ( )} )(
)()()()()(
)()()()(
11111
.1)0()(111tTr
DTVTDTVXTSiT
DTVTDTV
XTSXiDTVTDTVXiTSQ
eVNe
STSVNVNEtf
s
s
−−<≥><≥
≤<<≥≤
+++
++=
δδ
δ(14)
La expresión anterior puede representarse de la siguiente forma:
654321)( fffffftf +++++= (15)
con:
( )D)T(VX)T(SQ)tT(r
iVNEef ≥≤
−−= 111
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ≥≤<
−−D)T(VX)T(SX
Q)tT(rsiS
TSVNEef 1103
( )D)T(VXi)T(STQ)tT(r VNEef <≤
−−= 11δ2
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= <≤<
−−DTVXTSX
QtTrsiS
TSVNEef )()(T)(
4 110δ
( )DTVXTSiTQtTr
sVNeEef ≥>
−−= )()()(
5 11
( )DTVXTSiTQtTr
sVNeEef <>
−−= )()(T)(
6 11δ
La manipulación de (15) nos conduce a los siguientes resultados para f1, f2, f3,
f4, f5, f6 y consecuentemente el valor del instrumento en t:
( ρ−= −− ,, 212)(
1 ddNVNef tTr ) (16)
23
con:
( )
( )
tT
tTrDtV
d
tT
tTqrtSX
d
V
V
S
Si
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
σ
σ
σ
σ
2)(ln
2)(ln
2
2
2
1
( ρ,,)(4322 ddN
DtVVNf = ) (17)
( )
( )tTd
tT
tTrtVD
d
tTdtT
tTqrtSX
d
VV
V
VS
VSSi
−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
σσ
σ
ρσσ
σρσσ
2
2
4
1
2
3
2)(ln
2)(ln
( ) ( ) ([ ]ρρ −−−= −− ,,,,)0()(
7627523 ddNddNeStSVNf tTq ) (18)
donde:
24
( )
( )
( )tTd
tT
tTrDtV
d
tTdtT
tTqrtSX
d
tT
tTqrtSX
d
SV
VSV
SS
Si
S
Ss
−+=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
ρσσ
σρσσ
σσ
σ
σ
σ
2
2
7
1
2
6
2
5
2)(ln
2)(ln
2)(ln
( )( ) ( ) ([ ]ρρσρσ ,,,,)()0()(
109210824 ddNddNeDtV
StSVNf tTqr VS −= −+− ) (19)
con:
( )
( )
( )tTtTd
tT
tTrtVD
d
tTtTdtT
tTqrtSX
d
tTdtT
tTqrtSX
d
SVV
VSV
VSS
VSSi
VS
VSSs
−−−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
ρσσσ
σρσσ
ρσσσ
σρσσ
ρσσ
σρσσ
2
2
10
1
2
9
5
2
8
2)(ln
2)(ln
2)(ln
( ρ,, 2112)(
5 ddNVNef tTriT −−= ) (20)
con:
25
( )tTd
tT
tTqrXtS
d SS
S
s −−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= σσ
σ
5
2
11
2)(ln
( ρ−= ,d,dND)t(VVNef iT
41226 ) (21)
con:
( )tTtTd
tT
tTqrX)t(Sln
d VSS
VSS
s −+−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= ρσσσ
σρσσ
5
2
12
2
donde por N2 estamos representando a la probabilidad acumulada de una
distribución normal bivariada.
La expresión final para el instrumento con el supuesto de la existencia de
riesgo de crédito es:
{ [] [
( ) }ρρ
ρρρ
ρρρσρσ
-
--
---
41222112--
10921082--
0762
7520--
432212--
,d,dNe)D/V(),d,d(Ne
),d,d(N),d,d(Ne)D/)t(V)(S/)t(S(),d,d(N
),d,d(N)S/e)t(S(),d,d(N)D/)t(V(),d,d(NeVNf
iTt
)tT(riT
)tT)(qr(
)tT(q)tT(rt
VS
+
++
++=+ ]
con
26
( )
( )
tT
tTrDtV
d
tT
tTqrtSX
d
V
V
S
Si
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
σ
σ
σ
σ
2)(ln
2)(ln
2
2
2
1
( )
( )tTd
tT
tTrtVD
d
tTdtT
tTqrtSX
d
VV
V
VS
VSSi
−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
σσ
σ
ρσσ
σρσσ
2
2
4
1
2
3
2)(ln
2)(ln
( )
( )
( )tTd
tT
tTrDtV
d
tTdtT
tTqrtSX
d
tT
tTqrtSX
d
SV
VSV
SS
Si
S
Ss
−+=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
ρσσ
σρσσ
σσ
σ
σ
σ
2
2
7
1
2
6
2
5
2)(ln
2)(ln
2)(ln
( )
( )
( )tTtTd
tT
tTrtVD
d
tTtTdtT
tTqrtSX
d
tTdtT
tTqrtSX
d
SVV
VSV
VSS
VSSi
VS
VSSs
−−−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
ρσσσ
σρσσ
ρσσσ
σρσσ
ρσσ
σρσσ
2
2
10
1
2
9
5
2
8
2)(ln
2)(ln
2)(ln
27
( )tTd
tT
tTqrXtS
d SS
S
s −−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= σσ
σ
5
2
11
2)(ln
( )tTtTd
tT
tTqrXtS
d VSS
VSS
s −+−−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= ρσσσ
σρσσ
5
2
12
2)(ln
5.‐ Ejemplos Numéricos
5.1.‐ Ejemplo N°1: Aplicación del Modelo sin Riesgo de Crédito
Para la implementación del modelo en cuestión desarrollamos el siguiente
código en VBA, el cual no tiene pretensiones de elegancia ni de eficiencia sino
la mera satisfacción del propósito de aplicación del modelo teórico
desarrollado
Function N(x)
N = Application.NormSDist(x)
End Function
Function BonoSinCreditRisk(St, So, VN, xi, xs, r, q, i, T,T‐t , sigmas)
D1 = (Log(xi / St) ‐ (r ‐ q ‐ 0.5 * sigmas ^ 2) * (T‐t) / (sigmas * (T‐t) ^ 0.5)
D2 = (Log(xs / St) ‐ (r ‐ q + 0.5 * sigmas ^ 2) *( T‐t)) / (sigmas * (T‐t) ^ 0.5)
D3 = D1 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5
D4 = ‐D2 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5
BonoSinCreditRisk = VN * Exp(‐r * (T‐t)) * N(D1) + VN * St * Exp(‐q * (T‐t)) *
(N(D2) ‐ N(D3)) / So + VN * Exp(i * T ‐ r * (T‐t)) * N(D4)
End Function
28
Para la aplicación del código utilizamos los siguientes valores para el
subyacente y las restantes variables y parámetros del modelo que han sido
extraídos del prospecto del instrumento utilizado como benchmark para el
desarrollo del trabajo:
So 1484,00
St 1484,00
Xi 1484,00
Xs 1795,64
T‐t 2
T 2
r 0,04
Sigmas 0,40
VN 100,00
q 0,02
i 0,05
Para un plazo al vencimiento de 2 años, esto es asumiendo que el bono ha
sido recientemente emitido y que el valor corriente del subyacente es igual al
valor mínimo Xi, característica más frecuente, el modelo arroja para el
instrumento un valor de $96,99 por cada 100 de valor nominal.
Si hacemos T‐t pequeño, por ejemplo 0,01 años, podemos comprobar cómo la
función de pagos converge a la anteriormente representada, como mostramos
en la Figura 1 a continuación.
29
95
100
105
110
115
900 1.100 1.300 1.500 1.700 1.900 2.100 2.300
Valor del Subyacente
Val
or d
el B
ono
Figura 1. Valor del bono sin riesgo de crédito
5.2.‐ Ejemplo N°2: Aplicación del Modelo con Riesgo de Crédito
Para la aplicación del modelo con riesgo de crédito desarrollamos el siguiente
código:
Function CBND2(A As Double, b As Double, rho As Double) As Double
Dim g As Double, P As Double, x, y, sum As Double
Dim i As Integer
x = Array(0.018854042, 0.038088059, 0.0452707394, 0.038088059, 0.018854042)
y = Array(0.04691008, 0.23076534, 0.5, 0.76923466, 0.95308992)
sum = 0
For i = 0 To 4
P = y(i) * rho
30
g = 1 ‐ P ^ 2
sum = sum + x(i) * Exp((2 * A * b * P ‐ A ^ 2 ‐ b ^ 2) / g / 2) / Sqr(g)
Next
CBND2 = rho * sum + CND(A) * CND(b)
End Function
Function BonoConCreditRisk(VN, St, So, V, D, xd, xu, r, T‐t, i, q, T, sigmas,
sigmav, rho As Double)
Dim D1 As Double, D2 As Double, D3 As Double, D4 As Double, D5 As Double,
D6 As Double, D7 As Double, D8 As Double
Dim D9 As Double, D10 As Double, D11 As Double, D12 As Double, D13 As
Double, D14 As Double
D1 = (Log(xi / St) ‐ (r ‐ q ‐ 0.5 * sigmas ^ 2) * (T‐t)) / (sigmas * (T‐t) ^ 0.5)
D2 = (Log(V / D) + (r ‐ 0.5 * sigmav ^ 2) * (T‐t)) / (sigmav * (T‐t) ^ 0.5)
D3 = D1 ‐ rho * sigmav * (T‐t) ^ 0.5
D4 = ‐D2 ‐ sigmav * (T‐t) ^ 0.5
D5 = (Log(xs / St) ‐ (r ‐ q + 0.5 * sigmas ^ 2) * (T‐t) / (sigmas *( T‐t) ^ 0.5)
D6 = D1 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5
D7 = D2 + rho * sigmas * (T‐t) ^ 0.5
D8 = D5 ‐ rho * sigmav * (T‐t) ^ 0.5
D9 = D1 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5 ‐ rho * sigmav * (T‐t) ^ 0.5
D10 = ‐D2 ‐ sigmav * (T‐t) ^ 0.5 ‐ rho * sigmas * (T‐t) ^ 0.5
D11 = ‐D5 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5
D12 = D2
D13 = ‐D5 ‐ sigmas * (T‐t) ^ 0.5 + rho * sigmav * (T‐t) ^ 0.5
D14 = D4
31
BonoConCreditRisk = VN * Exp(‐r * (T‐t)) * CBND2(D1, D2, ‐rho) + VN * V *
CBND2(D3, D4, rho) / D + VN * St * Exp(‐q * (T‐t)) _
* (CBND2(D5, D7, ‐rho) ‐ CBND2(D6, D7, ‐rho)) / So + VN * St * V * Exp((r ‐ q +
rho * sigmas * sigmav) * (T‐t)) _
* (CBND2(D8, D10, rho) ‐ CBND2(D9, D10, rho)) / (So * D) + VN * Exp(i * T ‐ r *
(T‐t)) * CBND2(D11, D12, rho) _
+ VN * Exp(i * T) * V * CBND2(D13, D14, ‐rho) / D
End Function
En la primera parte del código implementamos el algoritmo simple de
Drezner‐Wesolowsky (1990) que es utilizado por la segunda función, de
valuación del instrumento, para el cálculo de las probabilidades acumuladas
de la normal bivariada.
Para los mismos valores del ejemplo anterior, una relación V/D=2, una
volatilidad del valor de la firma del 40% y una correlación de 0.4, el modelo
arroja un valor de $93,99, esto es una diferencia de $3 con el valor sin riesgo
de crédito.
Una verificación que resulta pertinente formular en este caso es si el modelo
converge a su versión sin riesgo de crédito cuando el valor de la firma, V, es
considerablemente superior al valor de la deuda, esto es la probabilidad de
default es muy pequeña o cercana a cero.
Tal verificación puede realizarse analíticamente haciendo Vt>>>>>D o
equivalentemente que D/Vt converja a cero. En tal caso podemos comprobar
analizando el comportamiento de d1,………..d12 y de las correspondientes
probabilidades acumuladas que aparecen en la expresión final que la misma
converge a (13), que es la expresión correspondiente al primer modelo sin
riesgo de crédito.
32
Tal comprobación puede también realizarse numéricamente mediante la
implementación del código anteriormente descripto.
En la Figura 2 a continuación representamos la valuación que arrojan ambos
modelos para diferentes valores del subyacente, asumiendo una relación
V/D=2 y un plazo al vencimiento igual a 0,01 años, esto es un escenario donde
la probabilidad de default es prácticamente cero:
959799
101103105107109111113115
900 1.100 1.300 1.500 1.700 1.900 2.100 2.300
Valor del Subyacente
Val
or d
el B
ono
Valor del Bono sin Credit Risk Valor del Bono con Credit Risk
Figura 2. Valor del bono con y sin riesgo de crédito
Analítica o numéricamente puede comprobarse que el resultado esperado se
satisface, convergiendo el segundo modelo al resultado del primero cuando
hacemos que la probabilidad de default sea cercana a cero. Puede
interpretarse así al primer modelo como un caso especial del modelo general
presentado en la segunda parte de nuestro trabajo.
33
6.‐ Conclusiones
En el presente trabajo proponemos una solución analítica o “closed form
solution” para la valuación de productos estructurados consistentes en
instrumentos de deuda cuyo pago está atado al comportamiento de una
variable subyacente, como podría ser un índice accionario.
En la primera parte del documento derivamos una fórmula para valuar tales
instrumentos bajo los supuestos estándar de la teoría de valuación de
opciones. Entre tales supuestos cabe mencionar a la inexistencia de riesgo de
crédito por parte del emisor de la opción.
Reconociendo que los productos estructurados, como los analizados en el
trabajo, son negociados principalmente en mercados desregulados y no
gozan de las garantías de las opciones negociadas en el ámbito bursátil,
extendemos posteriormente el modelo anterior para contemplar la existencia
de riesgo de crédito, apelando para tal fin al Approach Estructural propuesto
originalmente por Robert Merton. Obtenemos, bajo estos nuevos supuestos,
una expresión analítica para la valuación del instrumento, solución que
puede entenderse como una representación general del modelo de valuación
del PE. En otros términos, puede interpretarse al modelo sin riesgo de crédito,
como queda demostrado en el trabajo, como un caso especial del último
modelo propuesto.
La implementación de ambos modelos en la última parte del trabajo sirve a
propósito de ilustrar la sobrevaluación resultante de utilizar modelos
familiares como el de Black, Merton y Scholes o métodos numéricos que
operan bajo supuestos similares, para la valuación de instrumentos
negociados en forma privada y expuestos al riesgo de crédito del emisor.
Las expresiones analíticas obtenidas permiten evaluar la sensibilidad del
precio del instrumento a las diferentes variables y parámetros que lo
34
determinan, objetivo que no satisfacemos en el presente trabajo. Mostramos
también explícita o implícitamente a partir de la revisión de la literatura
relacionada, posibles direcciones a explorar en futuros trabajos de
investigación.
7.‐ Referencias
[1] Amman, M., (2001), Credit risk valuation: methods, models, and
applications, Springer‐Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
[2] Black, F., Scholes, M., (1973), The pricing of options and corporate
liabilities, Journal of Political Economy, 81, 637‐654.
[3] Cao, M., Wei, J., (2001), Vulnerable options, risky corporate bond, and
credit spread, Journal of Futures Markets, 21, 301‐327.
[4] Harrison, J. M., Kreps, D. M., (1979), Martingales and arbitrage in
multiperiod securities markets, Journal of Economic Theory, 20, 381‐408.
[5] Harrison, J. M., Pliska, S. R., (1981), Martingales and stochastic integrals in
the theory of continuous trading, Stochastc Processes and Their Aplications, 11,
215‐260.
[6] Hull, J., White, A., (1995), The impact of default risk on the prices of
options and other derivative securities, Journal of Banking and Finance, 19, 299‐
322‐
[7] Jarrow, R.A., Turnbull, S. M., (1995), Pricing derivatives on financial
securities subject to credit risk, Journal of Finance, 50, 53‐85.
[8] Johnson, H., Stulz, R., (1987), The pricing of options with default risk,
Journal of Finance, 42, 267‐280.
[9] Klein, P., (1996), Pricing Black‐Scholes options with correlated credit risk,
Journal of Banking and Finance, 20, 1111‐1129.
35
[10] Klein, P., Inglis, M., (1999), Valuation of European options subject to
financial distress and interest rate risk, Journal of Derivatives, 6, 44‐56.
[11] Klein, P., Inglis, M., (2001), Pricing vulnerable European option when the
option´s payoff can increase the risk of financial distress, Journal of Banking
and Finance, 25, 993‐1012.
[12] Leland, H., Toft, K., (1996), Optimal capital structure, endogenous
bankruptcy, and the term structure of credit spreads, Journal of Finance, 51,
987‐1019.
[13] Merton, R. C., (1973), The theory of rational option pricing, Bell Journal of
Economics and Management Science, 4, 141‐183.
[14] Merton, R. C., (1974), On the pricing of corporate debt: the risk structures
of interest rates, Journal of Finance, 29, 449‐470.
[15] Vasicek, O., (1977), An equilibrium characterization of the term structure,
Journal of Financial Economics, 5, 177‐188.
36