van der pol osscilator

8/17/2019 Van der Pol osscilator

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ESTUDIO

DE

L AS SI NGUL ARI DADE S E N L A E CUACION

DE VAN DE R

PO

Víctor ernan dez Suarez

Universidad de Las Palmas de

G.C.

RE SUME N

La ecuación d e Van der Pol , desde e l pun to de vista f ís ico, correspo nde

a un oscilador autoexcitado, qu e posee cierto num ero de ciclos límites y cuya

evolución depend e de los parámetros internos, m ás bien qu e de las condicio-

nes iniciales. Sirva com o justificación del tem a elegido el interés actu al en si-

mular con modelos matemáticos e l comportamiento de sis temas vivos, como

el la t ido del corazón, en do nd e se intenta representar osci laciones autoex cita-

das no l ineales. La ecuación de Van der Pol ha sido la pr imera ecuación no

lineal de verdadera import ancia f ís ica en la qu e fue encont rada u na solución

periódica. Aquí estud iaremo s especialmente los punt os singulares de dicha ecua-

ción haciendo la representación gráfica en todos los casos posibles.

ABSTRACT

In this paper we analyse the singularities of a differential equation, stud-

ying especia l ly the Van der Pol s equa tion t hat has an imp ortan t role in the

sciences. Th e Van der Pol s e qu ati on was the first non-lin ear equ atio n really

important in Physics which had a periodic solution.


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1. Preámbulo

En este trabajo se recuerdan algunas nociones generales sobre singulari-

dad es de ecuacion es diferencia les ordinar ias , q ue luego se aplican a la ecua-

ción de Van der Pol .

2. Estudio de singularidades

Dada la ecuación de Van der Pol:

x (1 ') X ' ax O

(a,

E A ) , (2.1)

si se hace el cambio:

x' y

la (2.1) se transforma en el siguiente sistema de primer orden:

y (1 2) x

dx

Y

(2.3)

cuyo único punto singular es el (O, O), única solución del sistema:

1

2 ) x

0

(2.4)

Se tra ta pues, de una singular idad a islada.

C o m o es sabido, e l estudi o de las s ingular idades de un a ecuación diferen-

cial , propo rcion a un a ser ie de dato s sobre el comportamiento de las solucio-

nes de aque l la , en un entorno de d ichos puntos .

El s is tema (2.3) se puede poner de la s iguiente forma:

siendo:

P 2 ( x , ~ ) x'

Y

H. Poincaré dem ost r ó qu e d ad a un a ecuac ión d i fe renc ia l de l t ipo:

dY a x by P' (x,y)

(2.9)

dx c x + d y + Q, x ,Y)

en la cual las constantes a , b, c, d son tales que el determinante:

y en la q u e P, (x,y) y 1 (x,y) cumplen:


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las s ingular idades en el or igen de dic ha ecua ción (2.9), son las mismas que

las de es ta otra ecuación más s imple:

y ax by

(2.13)

dx CX dy

Para el caso de la ecuación de Van de r Pol, el determin ante (2.10) se convierte en:

s iendo además:

I i m

-Ex2 y

Por consiguiente, las singularida des de la ecu ación d e Van der Po1 2 . 6 )serán

las mismas que las del sistema lineal:

dy

- a x + E y

(2.17)

dx

Adem ás, el com por ta mie nto d e las curvas in tegrales del s is tema (2.17) en

un ent orno del origen, será el mismo qu e el com por ta mie nto de las curvas in-

tegrales de la ecuación de Van der Pol , en un e nto rno de dicho punto. Por l o

tanto , bastará es tudiar las s ingular idades del s is tema (2.17), s is tema q ue pu e-

de escribirse en la forma:

y -ax y

(2.18)

x y

o bien, en forma matricial:

La ecuación característica de dicho sistema es:


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aue admite como soluciones: ,

Así, las singularida des de (2.17) se clasificarán a tendiend o al valor del discr-

minante de dicha ecuación, extiendo los tres casos siguientes:

Caso : Discriminante a>

O

lo que es 1 mismo: E > 4a

(2.22)

es decir > l a , con lo qu e las dos raices A y h. serán reales y distintas.

El com portam ientoi de las trayectorias qu e pasa n p el origen depe nderá del

signo de:

Si s pos itivo, o sea si A y A tienen el mismo signo, el origen es un NO-

O o PU NT O NO DA L y la form a de las trayectorias se muestra en las figuras

(2.1) y 2.2).

c u a n d o < >

1 ,

las trayectorias son tangentes al eje x y s i 4

1,

las trayecto-

rias serán tangentes al eje

y

en el origen.

C u a n d o h h on positivos, el punto representativo del sistema se mueve

hacia afuera desde el origen, cu and o t au m en ta, siendo el origen un n od o IN ES-

TABLE.

Si, por el contrario,

/I

y h on negativas, el punto representativo del siste-

ma se mueve hacia dentro, hacia el origen, y el origen se dice qu e es un n od o

ESTABLE.

~ u a n d o h , l tienen signos diferentes, el origen es un PUNTO DE ENSI-

LLA DU RA o PUERTO (fig. 2 .3) y representa un movimiento INESTABLE.

En este caso, los ejes de las

x

y de las y sor1 curvas integrales.

Un pu nto cualquiera represen-

tativo del sistema se mueve ha -

cia el origen

E /

7 2 a

Figura (2.1) Nodo estable, 0

>1


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Figura 2.2) Nodo estable b >l

Figura 2.3)

aso :

Discriminante

Z a

=

Ahora ocurre que:

:

4a

o

sea:

=

- 2a

Por lo tanto, existe una raíz real doble

=

e / 2.

Si ocurre que

>O

se t ra ta de un nodo INESTABLE, DEGENERADO.

Si por el contrario, < O , se t rata de un nodo ESTABLE, DEG ENER ADO .

Cualquier trayectoria permane ce totalm ente o ne el semiplan o superior, o en

el semiplano inferior. Las que están situadas en el semiplano inferior se apro-

ximarán al origen desde la izquierda, mientras que las que estas si tuadas en

el semiplano superior se apro xim arán al origen des de la derecha. Esto se mu estra

en la figura 2.4).


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Figura 2.4)

Nodo estable

aso : Discriminante E

a < O

Se tiene entonces que:

E 2 < 4 a

y por lo tanto

f

2 a

Nodo degenerado

Se ve claramente qu e a > O ya qu e si no, el discrim inante de la ecuación

sería positivo. En este caso, las dos raices son complejas conjug adas: m ni,

m-ni. Si m

O

el pun to s ingular es un foco o PUNTO FOC AL

y

las curvas

integrales serán espirales logarítmicas desarrollándose en torno al origen.

Si

m

<

O

todas las características se aproximan al origen, pero no entran en

él, cu an do t tiende a infinito. Se trata d e un foco estable. Si, por el contrario ,

m > O

todas las espirales se desenroscan desde el origen hacia el infinito,

y

entonc es el origen es un foc o INE STA BL E, véase fig. 2.5).

Foco Estable

a > O

< 2 a

Las dos raíces son complejas

conjugadas

Figura 2.5)

Finalmente, si E O se trata de un centro, para lo cual debe ocurrir que

O caso desechable en la ecuación de Van der Pol, en la que siempre se

supone que

E

0

En general un cen tro es un singu lar en cuyo ento rno tod a característica es ce-

rrada y envuelve a la singularidad. En la figura siguiente se muestra un centro.

Las dos raíces son imaginarias

Centro puras

E

Figura 2.6)


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3

I>istribución

de

puntos singulares de la ecuación

de

Van der

Pol

De la discusión precedente se deduce que el carácter del s is tema de pend e

de los parámetros a

y

qu e comparecen en la ecuación de Van der Pol . Así ,

se piicde dividir el plano

1

en regiones que caractericen a los diversos tipos

de puntos singulares.

C u a n d o a

O

A y son complejos o reales teniendo el mism o s igno de-

pendier ido de s i e l d iscminante es posi t ivo o negat ivo.

~ u a n d o d O y

)

corresponde a focos inestables , mientras que A <

O

y

< O corresp onde a focos estables. Por otra parte, y O correspon-

de a nodos inestables.

La curca:

E

4a

(3.1)

que coi.respondc al caso en que hay una raíz doble, separa los nodos de los

focos, mientras qu e el eje a positivo. qu e separa los focos estables de los ines-

tables, corresponde a los centros.

Puntos de Ensi l ladura

Estables

Figura (2.7)

Puntos singulares de la ecuación de Van der Pol.

Si las t rayectorias pasan por un pu nto s ingular, com o en el caso del pun to d e

ensi l ladura, una cant ida d inf ini ta de t iempo se requiere para q ue el es tad o al-

cance el pu nto s ingular desde cualquier punto. Esto es lógico, ya qu e el s iste-

m a es un p un to s ingular se encuentra en reposo y en equi libr io . E n otr as pala-

bras , si las condiciones in iciales ponen en m arch a el movimiento en un p un to

singular , e l es tado del s is tema nun ca cambia. Pero s i lo ponen en ma rcha, en

una t rayectoria que se dir ige hacia el pun to s i rigular, pero n o en el mismo pu n-

to s ingular , e l es tado del s is tema cambia cont inuamente pero nunca alcanza

aquel punto s ingular .

Una t rayecto no t r iv ial corresponde a un m ovimiento per iódico s i , y solo

si , no pasa por un punto s ingular y es cer rada.

Esto se infiere del hech o de que el pun to representat ivo, h abie ndo ya c o-

menzad o su movim iento en un pu nto arb i t rar io de la t rayector ia cer r ada, vol-


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verá a su posición inicial en un perío do finito de tiempo el perío do d e la osci-

lación), debido a que la velocidad del estado es distinta de cero en cualquier

punto de la trayectoria.

Luego, se puede obtener una buena representación cualitativa del movi-

mie nto en to do el plan o, si se conoce el carácter del movimiento en los entor-

nos de los puntos singulares.

Cuando el punto singular es de ensilladura, el índice de dicha singulari-

da d es -1. Si po r el con trario, el pu nto sing ular es un nod o o un foco, el pun-

to singular tiene de índice 1.

Esto sigu e de un teorema d e la teoría de Po incaré para singularidades sim-

ples.

i b l i o g r a f í a

1) HAYEK CALIL,

N.:

Apu ntes de ecuaciories diferenciales, La La guna, 1975.

2) H U R E W I C Z , W.: Sob re ec~ia cjone s iferenciales ordinarias, R ialp S.A., Ma drid. 1978.

3)

PO NT RIA GU I, L.S.: Ecuaciones diferenciales ordinarias, Colección Ciencia y técnica,

Editorial Aguilar, Madrid. 1973.

4) VAN

D E R

P O L , B.: Relaitation o~cilla tionan ,Phil. Mag. Vol. 2, 1926.

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