variaveis bidimensionais
DESCRIPTION
ProbabilidadeTRANSCRIPT
1
4. Variáveis Aleatórias Bidimensionais Em muitos experimentos, as observações são expressas, não como uma única quantidade, mas como um conjunto de quantidades. Por exemplo, observar o peso e a altura de pessoas em uma comunidade ou a chegada de pessoas em uma fila de banco e o tempo de permanência. Para se descrever tais eventos há necessidade de se considerar v.a.’s bidimensionais. Sejam X e Y duas v.a.’s associadas a um dado modelo probabilístico (Ω, F, P). Então ( ) ∫=−=≤<
2
1
,)()()( 1221x
xXXX dxxfxFxFxXxP
( ) .)()()(2
11221 ∫=−=≤<
y
yYYY dyyfyFyFyYyP
2
O que dizer a respeito da probabilidade do par de v.a.‘s (X,Y) em uma dada região D? Em outras palavras, como estimar a probabilidade,
Define-se então a função distribuição de probabilidade conjunta de X e Y como:
onde x e y são números reais arbitrários.
Propriedades
(i) Como,
[ ]?)()( 2121 yYyxXxP ≤<∩≤<
[ ] ,0),( )()(),( ≥≤≤=≤∩≤= yYxXPyYxXPyxFXY
.1),( ,0),(),( =+∞+∞=−∞=−∞ XYXYXY FxFyF
( ) ( ), , −∞≤⊂≤−∞≤ XyYX ( ) .0),( =−∞≤≤−∞ XPyFXY
( ) ,, Ω=+∞≤+∞≤ YX .1)(),( =Ω=∞∞ PFXY
3
(ii)
Prova: Se x2 > x1,
Como os eventos são mutuamente exclusivos:
iii)
( ) ).,(),(, 1221 yxFyxFyYxXxP XYXY −=≤≤<
( ) ).,(),(, 1221 yxFyxFyYyxXP XYXY −=≤<≤
( ) ( ) ( )yYxXxyYxXyYxX ≤≤<∪≤≤=≤≤ ,,, 2112
( ) ( ) ( )yYxXxPyYxXPyYxXP ≤≤<+≤≤=≤≤ ,,, 2112
( )).,(),(
),(),(,
1121
12222121
yxFyxFyxFyxFyYyxXxP
XYXY
XYXY
+−
−=≤<≤<
1y
2y
1x 2x
X
Y
0R
( ) ( ) ( ).,,, 2121121221 yYyxXxyYxXxyYxXx ≤<≤<∪≤≤<=≤≤<
( ) ( ) ( )2121121221 ,,, yYyxXxPyYxXxPyYxXxP ≤<≤<+≤≤<=≤≤<
4
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Por definição a função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:
Então
Para encontrar a probabilidade de (X,Y) ser encontrada em uma região arbitrária D, é dada por:
.
),(),(2
yxyxFyxf XY
XY ∂∂∂
=
. ),(),(
dudvvufyxF
x y
XYXY ∫ ∫∞− ∞−=
.1 ),(
=∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞−dxdyyxfXY
( )
.),(),(
),(),( ),( ),(,
yxyxfdudvvuf
yxFyxxFyyxFyyxxFyyYyxxXxP
XYxx
x
yy
yXY
XYXYXY
XY
ΔΔ==
+Δ+−Δ+−
Δ+Δ+=Δ+≤<Δ+≤<
∫ ∫Δ+ Δ+
5
Assim a probabilidade de que (X,Y) seja encontrado em um retângulo diferencial Δx Δy é igual a e repetindo este procedimento sobre a união de todos os retângulos diferenciais que não se sobrepõem em D, resulta em
xΔ
X
Y
yΔD
,),( yxyxfXY ΔΔ⋅
( ) ∫ ∫ ∈=∈
Dyx XY dxdyyxfDYXP),(
.),(),(
iv) Distribuições marginais No contexto de v.a.’s n-dimensionais a distribuição individual de cada uma é chamada de distribuição marginal. Assim é a f.d.p marginal de X, e é a F.D.P. marginal de X. É interessante notar que as distribuições marginais podem ser obtidas da distribuição conjunta
)(xFX )(xfX
6
Para provar usa-se a identidade
.),()( ),,()( yFyFxFxF XYYXYX +∞=+∞=
.),()( ,),()( ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−== dxyxfyfdyyxfxf XYYXYX
)()()( +∞≤∩≤=≤ YxXxX
( ) ( ) ).,(,)( +∞=∞≤≤=≤= xFYxXPxXPxF XYX
dudyyufxFxFx
XYXYX ),(),()(
∫ ∫∞−∞+
∞−=+∞=
Derivando ambos os lados em relação a x, tem-se:
.),()(
∫∞+
∞−= dyyxfxf XYX
Lembrando que, se .),()()(
)( ∫=xb
xadyyxhxH
.
),(),()(),()()( )(
)( ∫+−=xb
xady
dxyxdhaxh
dxxdabxh
dxxdb
dxxdH
7
Se X e Y são v.a.'s discretas, então representa a f.d.p. conjunta de X e Y e as suas respectivas f.d.p.’s marginais são dadas por:
Supondo que é escrito como um arranjo retangular, como mostrado abaixo,
∑ ∑=====j j
ijjii pyYxXPxXP ),()(
∑ ∑=====i i
ijjij pyYxXPyYP ),()(
),( ji yYxXP ==
mnmjmm
inijii
nj
nj
pppp
pppp
pppppppp
!!""""""
!!""""""
!!!!
21
21
222221
111211
∑j
ijp
∑i
ijp
),( jiij yYxXPp ===Δ
8
Exemplo 4.1: Dado que
Obtenha as f.d.p.’s marginais e Solução: A f.d.p. conjunta de X e Y é uma constante na região cheia. Em primeiro lugar determina-se o valor da constante c, usando
⎩⎨⎧ <<<
= valores.outros0,
,10c,),(
yxyxf XY
),( yxfXY
)(xfX ).( yfY
2122
),(
1
0
21
0
1
0
0
=====
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=
∫
∫ ∫ ∫ ∫
=
∞+
∞−
∞+
∞− = =
cccycydy
dydxcdxdyyxf
y
y
y
xXY
0 1
1
X
Y
y
,10 ),1(22),()(1
∫∫ =
∞+
∞−<<−===
xyXYX xxdydyyxfxf
.10 ,22),()(
0
∫∫ =
∞+
∞−<<===
y
xXYY yydxdxyxfyf
9
Y
X 1 2 3 4 1 1/8 1/16 1/32 1/32 2 1/16 1/8 1/32 1/32 3 1/16 1/16 1/16 1/16 4 1/4 0 0 0
• Determine: • As fdp’s marginais de X e Y : fX(x) = [ P(X=1) P(X=2) P(X=3)
P(X=4) ] fX(x) = [(1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/32) (1 /16 + 1/8 + 1/32 + 1/32) (1/16 + 1/16 +
1/16 + 1/16) (1/4 ) ] = [ 8/32 8/32 8/32 1/4 ] = [ 1/4 1/4 1/4 1/4 ] fY (y) = [8/16 4/16 4/32 4/32 ] = [ 1/2 1/4 1/8 1/8 ]
Exercício 4.2: Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, cuja função densidade de probabilidade conjunta é dada por:
10
b) P(X>2), P(Y< 2), P(Y≤2/X>2 ), P(Y>2/X=1), P(X = Y) fX(x) = [ 1/4 1/4 1/4 1/4 ] fY(y) = [ 1/2 1/4 1/8 1/8 ]
Y
X 1 2 3 4 1 1/8 1/16 1/32 1/32 2 1/16 1/8 1/32 1/32 3 1/16 1/16 1/16 1/16 4 1/4 0 0 0
1. P(X > 2) = 1/2 2. P(Y <2) = 1/2 = 1 – P(Y ≥ 2) 3. P(Y≤2 / X>2 ) = P(Y≤2, X>2 ) / P(X>2) = (3/8) / (1/2) = 6/8 4. P(Y>2 / X=1 ) = P(Y>2, X=1 ) / P(X=1) = (1/16) / (1/4) = 1/4 5. P(X = Y) = (1/8 + 1/8 + 1/16 + 0) = 5/16
11
Exemplo 4.3: X e Y são denominadas de v.a’s conjuntamente Gaussianas se a f.d.p conjunta, tem a seguinte forma:
.1|| , ,
,12
1),(2
2
2
2
2)( ))((2 )(
)1(21
2
<+∞<<∞−+∞<<∞−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−−−
−
−
−
ρ
ρσπσσµ
σσµµρ
σµ
ρ
yx
eyxf Y
Y
YX
YX
X
X yyxx
YXXY
Determine e . Solução: Tomando-se o expoente e completando-se o quadrado
2
22
2
22
2
2
2
2
22
121
Y
Y
Y
Y
Y
Y
YX
YX
X
X
σ)µ(yρ
σ)µ(yρ
σ)µ(y
σσ)µ)(yµρ(x
σ)µ(x
)ρ( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−−
−+
−−−
−
−
−
2
22
2
2
2
2
2 121
121
Y
Y
Y
Y
Y
Y
X
X
σ)µ(yρ
σ)µ(y
)ρ(σ)µρ(y
σ)µ(x
)ρ( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−
−
−
( )
2
2
2
22
22 121
121
Y
YY
Y
XX
X σ)µ(y
)ρ()ρ(µy
σρµx
)σρ( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
−
− σ
)(xfX )( yfY
12
2
22
22 21][
121
Y
YY
Y
XX
X σ)µ(y )µ(y
σρσµx
)σρ( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
−
−
eσσ)ρ(
yxfYσ
)Yµ(y )Yµ(yYσXσXµx
X)ρ(
YXXY
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
−
−
−=
2
2
212
)(2212
1
212
1),(
ρ
σ
π
Integrando-se fXY(x,y), em relação a x obtem-se fY(y)
),,( 2
1),()( 22/)(
2
22
XXx
XXYX Nedyyxfxf XX σµ
πσσµ−−∞+
∞−== ∫
),,( 2
1),()( 22/)(
2
22
YYy
YXYY Nedxyxfyf YY σµ
πσσµ−−∞+
∞−== ∫
Seguindo o mesmo procedimento obtém-se fX(x).
∫∫∞
∞−
∞
∞−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
−
−−−
−= dxe
σ)ρ(e
σdxyxf
)Yµρ(yYσXσXµx
X)ρ(Yσ
)Yµ(y
XYXY
2(2212
122
2
212
121),(
σ
ππ
13
A notação, será usada para representar duas variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas ou normais.
Conclusão:
Pode-se concluir, que o conhecimento isolado das funções densidade de probabilidade marginais não diz nada a respeito da função densidade de probabilidade conjunta.
A única situação em que o conhecimento das funções densidade de probabilidade marginais, pode ser usada para determinar a função densidade de probabilidade conjunta é quando as variáveis aleatórias são independentes, como será mostrado em seguida.
),,,,( 22 ρσσµµ YXYXN
14
Variáveis Aleatórias Independentes
Definição: As variáveis aleatórias X e Y são denominadas de estatisticamente independentes, se os eventos e são eventos independentes para quaisquer subconjuntos mapeados no eixo x e y, respectivamente.
Portanto, se os eventos e são independentes, então pode-se escrever
isto é:
ou equivalentemente, se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então
{ }AX ∈)(ξ})({ BY ∈ξ
{ }xX ≤)(ξ { }, )( yY ≤ξ
( ) )()()()( yYPxXPyYxXP ≤≤=≤∩≤
)()(),( yFxFyxF YXXY =
).()(),( yfxfyxf YXXY =
15
Se X e Y são v.a. do tipo discreta, então a Independência implica em
Dado obtém-se as f.d.p.‘s marginais e verifica-se a relação de Independência, isto é:
Se as v.a. X e Y são independentes
Se as v.a. X e Y não são independentes
No caso de duas variáveis aleatórias conjuntamente normais, como visto no exemplo 4.3, elas serão independentes, se somente se
., todopara )()(),( jiyYPxXPyYxXP jiji =====)(xfX )( yfY),,( yxfXY
)()(),( yfxfyxf YXXY =
.0=ρ
)()(),( yfxfyxf YXXY ≠
),,,,( 22 ρσσµµ YXYXN
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−−
=2
2
2
2 )( )(21
21),( Y
Y
X
X yx
YXXY eyxf σ
µ
σ
µ
σπσ
16
,12
1),(2
2
2
2
2)( ))((2 )(
)1(21
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−−−
−
−
−
−= Y
Y
YX
YX
X
X yyxx
YXXY eyxf σ
µσσ
µµρ
σ
µ
ρ
ρσπσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−−
=2
2
2
2 )( )(21
21),( Y
Y
X
X yx
YXXY eyxf σ
µ
σ
µ
σπσ
2
)( 2
)( 2
)(2
2
2
2
2
2
21
21
21),()( X
X
Y
Y
X
X x
X
y
Y
x
XXYX edyeedyyxfxf σ
µ
σ
µ
σ
µ
σπσπσπ
−−∞
∞−
−−
−−∞
∞−
=== ∫∫
2)(
2)(
2)(
2
2
2
2
2
2
21
21
21),()( Y
Y
X
X
Y
Y y
Y
x
X
y
YXYy edxeedxyxfyf σ
µ
σ
µ
σ
µ
σπσπσπ
−−∞
∞−
−−
−−∞
∞−
=== ∫∫
Variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas
Se .0=ρ
Determinação das f.d.p.’s marginais
Como conclui-se que X e Y são independentes obs. fXY(x,y) apresenta simetria circular quando
)()(),( yfxfyxf YXXY =.0=ρ
17
Exemplo 4.4: Dado
Determine se X e Y são independentes. Solução:
Similarmente: Neste caso e então X e Y são variáveis aleatórias independentes.
valores.outros,0
,10 ,0,),(2
⎪⎩
⎪⎨⎧ <<∞<<
=− xyexyyxfy
XY
.10 ,2 22
),()(
0 0
0
2
0
<<=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−=
==
∫
∫∫∞ −∞−
∞ −∞+
xxdyyeyex
dyeyxdyyxfxf
yy
yXYX
.0 ,2
),()(21
0 ∞<<== −∫ yeydxyxfyf y
XYY
),()(),( yfxfyxf YXXY =