vasikes gnoseis ipourgio
TRANSCRIPT
Σελίδα 1 από 18
Β α σ ι κ έ ς κ α ι π ρ ο α π α ι τ ο ύ μ ε ν ε ς γ ν ώ σ ε ι ς θ ε ω ρ ί α ς
Στοιχεία άλγεβρας 1. Αριθμοί Σύνολο Φυσικών αριθμών: 0,1,2,3,...
Σύνολο Ακέραιων αριθμών: ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...
Σύνολο Ρητών αριθμών: α
/α,β ακέραιοι με β 0β
Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. 33, 7, 2,... Το σύνολο Πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Τα σύνολα 0 , 0 , 0 , 0 τα συμβολίζουμε * * * *, , , αντίστοιχα.
2. Αντίθετοι – Αντίστροφοι (ιδιότητες στο ) Αν α τότε υπάρχει ο α που ονομάζεται αντίθετος του α και ισχύει α α 0 .
Αν *α τότε υπάρχει ένας νέος αριθμός *1α που ονομάζεται αντίστροφος του α και ισχύει
1α 1
α , α 0 .
3. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) παραστάσεων Όταν έχουμε δύο ή περισσότερες παραστάσεις, ονομάζουμε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) αυτών την ελάχιστη παράσταση που διαιρείται από καθεμία των προηγουμένων. Το ΕΚΠ σχη-ματίζεται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες γραμμένους μια φορά ο καθένας με το μεγαλύτερο εκθέτη. 4. Διάταξη στην ευθεία των πραγματικών αριθμών Ορίζουμε: α β α β 0 Ιδιότητες:
Αν α 0 και β 0 τότε α β 0 , αν α 0 και β 0 τότε α β 0 Αν α β και γ 0 τότε α γ β γ Αν α β και γ 0 τότε α γ β γ Αν α β και γ δ τότε α γ β δ Αν α β και γ δ και α,β,γ,δ θετικοί τότε α γ β δ
Αν α β 0 τότε ν να β , ν
Αν α β και α,β ομόσημοι αβ 0 τότε 1 1α β
Αν α β και β γ τότε α γ Αν α β α γ β γ
Αν α
0β αβ 0 (ομόσημοι), β 0
Σελίδα 2 από 18
Αν α
0β αβ 0 (ετερόσημοι), β 0
5. Απόλυτη τιμή Η απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται α και ορίζεται ως εξής:
α, αν α 0α
α, αν α 0
Γεωμετρικά η απόλυτη τιμή α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν, πάνω
στον άξονα x ' x . Επίσης, η απόλυτη τιμή του α β α β παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β πάνω
στον άξονα x ' x . Ιδιότητες Απολύτων: 1. α 0 , α α , α α
2. 2 2α α
3. 2α α
4. α α
5. α β α β
6. αα
β β , *β
7. α β β α
8. α β α β α β (τριγωνική ανισότητα)
9. o ο οx x δ χ δ χ χ δ , δ 0
10. α) Αν θ 0 τότε x θ χ θ ή χ θ
β) χ α χ α ή χ α
γ) Αν θ 0 τότε x θ θ x θ
δ) Αν θ 0 τότε x θ x θ ή x θ
6. Ταυτότητες
2 2α β α β α β
2 22 2 2 2α β α 2αβ β α β α β 2αβ
2 2 2α β α 2αβ β
3 33 2 2 3 3 3α β α 3α β 3αβ β α β α β 3αβ α β
3 3 2 3 3α β α 3α β 3αβ β
3 3 2 2α β α β α αβ β
3 3 2 2α β α β α αβ β
2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα
2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα
7. Τριώνυμο Κάθε παράσταση της μορφής 2f x αx βx γ , α,β,γ , α 0 ονομάζεται τριώνυμο.
Ορίζουμε τη διακρίνουσα 2Δ β 4αγ Ρίζες τριωνύμου
Σελίδα 3 από 18
Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες 1 2ρ ,ρ με 1
β Δρ
2α
, 2
β Δρ
2α
Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο έχει μια διπλή ρίζα την 1 2
βρ ρ
2α
Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες στο , δηλαδή η εξίσωση είναι αδύνατη στο Παραγοντοποίηση τριωνύμου
Αν Δ 0 τότε 21 2αx βx γ α x ρ x ρ
Αν Δ 0 τότε 2
2 βαx βx γ α x
2α
Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται Τύποι του VIETA
1 2
βS ρ ρ
α
1 2
γP ρ ρ
α
2 2αx βx γ 0 x Sx P 0 Πρόσημο τριωνύμου 2f x αx βx γ
Αν Δ 0
Αν Δ 0
Αν Δ 0
Γραφική παράσταση τριωνύμου
Σελίδα 4 από 18
8. Πολυώνυμο – Παραγοντοποίηση πολυωνύμου Πολυώνυμα ν ν 1
ν ν 1 1 οP x α x α x ... α x α , ν ν 1 1 οα ,α ,...,α ,α και ν .
Κάθε πολυώνυμο έχει το πολύ τόσες ρίζες όσος είναι ο βαθμός του. Πιθανές ακέραιες ρίζες της ν ν 1
ν ν 1 1α x α x ... α x α 0 με ν ν 1 1 οα ,α ,...,α ,α , είναι
οι διαιρέτες του σταθερού όρου α. Ένα πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το x ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P x ,
δηλαδή αν και μόνο αν P ρ 0 .
Παραγοντοποίηση πολυωνύμου γίνεται ποιο γρήγορα με το σχήμα Horner.
Σελίδα 5 από 18
9. Εξισώσεις – Ανισώσεις που μετατρέπονται σε πολυωνυμικές
Ανισώσεις της μορφής
A x0
B x ή
A x0
B x
A x0
B x A x B x 0 με B x 0
A x0
B x A x B x 0 με B x 0
A x0
B x A x B x 0 με B x 0
A x0
B x A x B x 0 με B x 0
Στις ρητές και στις άρρητες εξισώσεις ή ανισώσεις προσέχουμε τους περιορισμούς. Δηλαδή:
A x0
B x πρέπει B x 0
A x κ πρέπει A x 0
A xλ
B x πρέπει B x 0
10. Δυνάμεις – Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορίζουμε ν *α α α ... α ν φορές , ν και ν 2
Ιδιότητες δυνάμεων κ λ κ λα α α
κ
κ λλ
αα
α
κκ κα β α β
κκ
κ
α αβ β
, β 0
Αν α 0 , 0α 1 , νν
1α
α
Αν ν περιττός τότε ν νx α x α
Αν ν άρτιος τότε ν νx α x α ή x α
Ρίζες πραγματικών αριθμών Αν α 0 , η α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης 2x α και ονομάζεται τε-
τραγωνική ρίζα του α . Αν α 0 , η ν α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης νx α και ονομάζεται νι-
οστή ρίζα του α . Ιδιότητες ριζών
2α α
α β α β με α 0 και β 0
α α
ββ με α 0 και β 0
Αν α 0 τότε νν α α και νν α α
ν ν να β α β με α 0 και β 0
ν
νν
α αββ
με α 0 και β 0
Σελίδα 6 από 18
μ μ νν α α με α 0
ν ρ μ ρ μνα α με α 0 , *ν
κκν να α με α 0 , *ν,κ
νν να β α β με α 0 και β 0 , *ν
Αν α,β μη αρνητικοί αριθμοί τότε ισχύει ν να β α β
Η εξίσωση νx α , α 0 και ν περιττός , έχει ακριβώς μία λύση, την ν α
Η εξίσωση νx α , α 0 και ν άρτιος , έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις ν α και ν α 11. Μετατροπή κλάσματος με άρρητο παρονομαστή σε ρητό παρανομαστή
α β α βα
ββ β β
με β 0
2 2 23 3 3
2 33 3 33
α β α β α βαββ β β β
με β 0
α γ δ α γ δαγ δγ δ γ δ γ δ
με γ δ και γ,δ 0
α γ δ α γ δαγ δγ δ γ δ γ δ
με γ δ και γ,δ 0
Τριγωνομετρία 1. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθογώνιο τρίγωνο και σε τριγωνομετρικό
κύκλο.
γ
συνΒα
β
ημΒα
β
εφΒγ
γ
σφΒβ
Ορισμοί στον τριγωνομετρικό κύκλο συνω x τετμημένη τουΜ
ημω y τεταγμένη τουΜ
Eεφω y τεταγμένη του Ε
Eσφω x τετμημένη του Σ
Σελίδα 7 από 18
χχ ' άξονας συνημιτόνων
yy ' άξονας ημιτόνων
ε ευθεία εφαπτομένων
δ ευθεία συνεφαπτομένων
1 συνω 1 1 ημω 1
Μοίρες – ακτίνια
Ο τύπος που μετατρέπει τις μοίρες μ σε ακτίνια α (rad) και αντίστροφα είναι ο εξής: ο
α μπ 180
2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων και γωνιών
Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε rad ημω συνω εφω σφω
o0 0 0 1 0 -
o30 π6
12
32
33
3
o45 π4
22
22
1 1
o60 π3
32
12
3 33
o90 π2
1 0 - 0
3. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
2 2ημ ω συν ω 1
ημω
εφωσυνω
συνω
σφωημω
εφω σφω 1
22
1συν ω
1 εφ ω
2
22
εφ ωημ ω
1 εφ ω
4. Σημαντικοί τριγωνομετρικοί τύποι συν α β συνα συνβ ημα ημβ
συν α β συνα συνβ ημα ημβ
ημ α β ημα συνβ ημβ συνα
ημ α β ημα συνβ ημβ συνα
2 2 2 2συν2α συν α ημ α 1 2ημ α 2συν α 1
2 2 2α α ασυνα συν ημ 1 2 ημ 2 συ
2 2 2
εφα εφβεφ α β
1 εφα εφβ
Σελίδα 8 από 18
εφα εφβεφ α β
1 εφα εφβ
σφα σφβ 1σφ α β
σφβ σφα
σφα σφβ 1σφ α β
σφβ σφα
ημ2α 2 ημα συνα
2
2 εφαεφ2α
1 εφ α
2σφ α 1
σφ2α2 σφα
2 1 συν2ασυν α
2
2 1 συν2αημ α
2
2 1 συν2αεφ α
1 συν2α
2
2 εφαημ2α
1 εφ α
2
2
1 εφ ασυν2α
1 εφ α
5. Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο – Τριγωνομετρικοί αριθμοί γύρω από τις θέσεις
π2
και 3π2
οσυν 180 θ συνθ
οημ 180 θ ημθ
οεφ 180 θ εφθ
οσφ 180 θ σφθ
συν θ συνθ
ημ θ ημθ
εφ θ εφθ
σφ θ σφθ
οσυν 180 θ συνθ
οημ 180 θ ημθ
οεφ 180 θ εφθ
οσφ 180 θ σφθ
οσυν 90 θ ημθ
οημ 90 θ συνθ
οεφ 90 θ σφθ
οσφ 90 θ εφθ
οσυν 90 θ ημθ
οημ 90 θ συνθ
οεφ 90 θ σφθ
οσφ 90 θ εφθ
οσυν 270 θ ημθ
οημ 270 θ συνθ
οεφ 270 θ σφθ
οσφ 270 θ εφθ
οσυν 270 θ ημθ
οημ 270 θ συνθ
οεφ 270 θ σφθ
οσφ 270 θ εφθ
6. Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων Αν συνx συνθ τότε x 2κπ θ ή x 2κπ θ , κ Αν ημx ημθ τότε x 2κπ θ ή x 2κπ π θ , κ Αν εφx εφθ τότε x κπ θ , κ Αν σφx σφθ τότε x κπ θ , κ
7. Βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (περιοδική-άρτια-περιττή συνάρτηση, μονο-
τονία-ακρότατα συνάρτησης) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός α-
ριθμός T 0 τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύει: o x T A, x T A
Σελίδα 9 από 18
o f x T f x T f x
o Ο πραγματικός αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της f π.χ. Περιοδικές συναρτήσεις είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις: f x συνx ,
f x ημx , f x εφx , f x σφx
Μια συνάρτηση f : A λέγεται άρτια αν:
o Για κάθε x A ισχύει x A o f x f x για κάθε x A
Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy '.
Μια συνάρτηση f : A λέγεται περιττή αν: o Για κάθε x A ισχύει x A o f x f x για κάθε x A
Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων O 0,0 .
Μονοτονία συνάρτησης: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της,
όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x Δ ισχύει:
Αν 1 2x x τότε 1 2f x f x
Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της,
όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x Δ ισχύει:
Αν 1 2x x τότε 1 2f x f x
Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότο-
νη. Ακρότατα: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ελάχιστο στο ox A όταν
of x f x , για κάθε x A . Η τιμή of x λέγεται ελάχιστο της συνάρτησης f .
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει μέγιστο στο ox A όταν of x f x ,
για κάθε x A . Η τιμή of x λέγεται μέγιστο της συνάρτησης f .
Μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων f x ημx , x , 1 ημx 1
Σελίδα 10 από 18
Η f είναι περιοδική με περίοδο 2π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους 2π π.χ. 0,2π
Η συνάρτηση f x ημx είναι περιττή γιατί f x ημ x ημx f x και έτσι η γραφι-
κή παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O 0,0 των αξόνων. Ακόμα έχει μέγιστο στο
o
πx
2 με
πf 1
2
και ελάχιστο στο 1
3πx
2 με
3πf 1
2
.
f x συνx , x , 1 συνx 1
Η f είναι περιοδική με περίοδο 2π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους 2π π.χ. 0,2π
Η συνάρτηση f x συνx είναι άρτια γιατί f x συν x συνx f x και έτσι η γραφική
παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy '. Ακόμα έχει μέγιστο στα 1x 0 , 2x 2π με
f 0 1 , f 2π 1 και ελάχιστο στο 3x π με f π 1 .
f x εφx , π
x κπ όπου κ2
Σελίδα 11 από 18
Η f είναι περιοδική με περίοδο π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους π π.χ.
π π,
2 2
Η συνάρτηση f είναι περιττή γιατί f x εφ x εφx f x και έτσι η γραφική παρά-
σταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O 0,0 των αξόνων. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο
π π,
2 2
. Οι ευθείες π
x2
, π
x2
είναι κατακόρυφοι ασύμπτωτοι της γραφικής παράστασης
της f . f x σφx , x κπ όπου κ
Η f είναι περιοδική με περίοδο π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους π π.χ. 0,π
Η συνάρτηση είναι περιττή γιατί f x σφ x σφx f x και έτσι η γραφική παράστα-
ση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O 0,0 των αξόνων. Η ευθεία x π και ο άξονας yy ' εί-
ναι κατακόρυφοι ασύμπτωτοι της γραφικής παράστασης της f . Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,π .
Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση 1. Εκθετική συνάρτηση (Μελέτη και μονοτονία) – Επίλυση εκθετικών εξισώσεων – α-
νισώσεων
Σελίδα 12 από 18
Εκθετική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f : 0, με χf x α , α 0 και α 1 , δη-
λαδή α 0,1 1,
Αν α 1 τότε για την xf x α ισχύουν:
o έχει πεδίο ορισμού το o έχει σύνολο τιμών το διάστημα
0,
o είναι γνησίως αύξουσα στο δηλα-δή για κάθε 1 2x ,x , αν 1 2x x
τότε 21 xxα α o η γραφική της παράσταση τέμνει τον
άξονα yy ' στο σημείο Α 0,1 και
έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιά-ξονα των x .
Αν 0 α 1 τότε για την xf x α ι-
σχύουν: o έχει πεδίο ορισμού το o έχει σύνολο τιμών το διάστημα
0,
o είναι γνησίως φθίνουσα στο δηλα-δή για κάθε 1 2x ,x , αν 1 2x x
τότε 21 xxα α o η γραφική της παράσταση τέμνει τον
άξονα yy ' στο σημείο Α 0,1 και
έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα των x .
Σχόλιο χρήσιμο για ασκήσεις με εκθετικές εξισώσεις Αν 1 2x x τότε 21 xχα α (λόγω μονοτονίας της xf x α ) οπότε με απαγωγή σε άτοπο
έχουμε 21 xx1 2α α x x
Για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων εφαρμόζουμε τη μονοτονία της xf x α , προσέ-
χοντας αν α 1 ή 0 α 1 Στη διαδικασία επίλυσης εκθετικών εξισώσεων ή ανισώσεων μπορούμε να εφαρμόζουμε
τις ιδιότητες των δυνάμεων. 2. Έννοια λογαρίθμου (Ορισμός – Ιδιότητες) – Λογαριθμική συνάρτηση και μελέτη αυ-
τής Λογαριθμική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f : 0, με αf x log x , α 0 και
α 1 , x 0 . Ισχύει: θ
αlog x θ α x
Σελίδα 13 από 18
Όταν α e γράφουμε ln x και έχουμε φυσικό λογάριθμο του x Όταν α 10 γράφουμε log x
Για τη συνάρτηση αf x log x ισχύουν:
x 0,
y Αν 0 α 1 , η f είναι γνησίως φθίνουσα δηλαδή αν 1 2x x τότε α 1 α 2log x log x
Αν α 1 , η f είναι γνησίων αύξουσα δηλαδή αν 1 2x x τότε α 1 α 2log x log x
Έτσι η f x ln x , όπου α e , είναι γνησίως αύξουσα.
Ιδιότητες λογαρίθμων α 1 2 α 1 α 2log x x log x log x
1α α 1 α 2
2
xlog log x log x
x
κα 1 α 1log x κ log x
αlog α 1 και αlog 1 0
xαlog α x και αlog xα x
Αν: o α 1 τότε α 1 α 2 1 2log x log x x x
o 0 α 1 τότε α 1 α 2 1 2log x log x x x
x x lnαα e , αφού lnαα e
αβ
α
log θlog θ
log β , θ 0 , α,β 0 και α,β 1
β
lnθlog θ
lnβ
β
log θlog θ
logβ
Αν: o α 1 και 0 x 1 τότε αlog x 0
o α 1 και x 1 τότε αlog x 0 Αν: o 0 α 1 και x 1 τότε αlog x 0
o 0 α 1 και 0 x 1 τότε αlog x 0 3. Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων – ανισώσεων Από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει:
Αν 1 2x x , τότε α 1 α 2log x log x , έτσι με απαγωγή σε άτοπο έχουμε ότι ισχύει:
α 1 α 2 1 2log x log x x x Εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογαρίθμου και τις ιδιότητες. Για την επίλυση των λογαριθμικών ανισώσεων εφαρμόζουμε:
o τον ορισμό του λογαρίθμου και τις ιδιότητες
Σελίδα 14 από 18
o τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης 4. Λογάριθμοι στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων – ανισώσεων Εφαρμόζοντας τους ορισμούς και τις ιδιότητες της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης προσπαθούμε να μετατρέψουμε την εκθετική εξίσωση – ανίσωση σε λογαριθμική ή το αντί-στροφο ανάλογα με το πιο είναι πιο εύκολο.
Στοιχεία αναλυτικής γεωμετρίας 1. Διανύσματα Α1. Βασικές γνώσεις στα διανύσματα Έστω διάνυσμα ΑΒ
με άκρα 1 1Α x , y ,
2 2Β x , y
o ΟΑ ΑΒ ΟΒ
o 2 1 2 1ΑΒ x x ,y y
(συντεταγμένες του
ΑΒ
) o Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ
είναι
1 2 1 2x x y yΜ ,
2 2
Έστω το διάνυσμα α x, y
, x 0 . Τότε καλού-
με συντελεστή διεύθυνσης λ εφω όπου ω είναι
η γωνία του α
. Είναι y
λx
, x 0 .
Δηλαδή για το ΑΒ
ισχύει 2 1ΑΒ
2 1
y yλ
x x
, 1 2x x
Μέτρο του διανύσματος α x, y
: 2 2α x y
Έτσι για το ΑΒ
είναι
2 2
2 1 2 1ΑΒ x x y y
δηλαδή η ευκλεί-
δεια απόσταση μεταξύ των σημείων Α, Β. Δύο διανύσματα 1 1α x , y
και 2 2β x , y
είναι παράλληλα δηλαδή α β
, εάν και μό-
νο εάν η ορίζουσα det των συντεταγμένων τους είναι μηδέν δηλαδή:
1 11 2 2 1
2 2
x yx y x y 0
x y
Σελίδα 15 από 18
Α2. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Έστω 1 1α x , y
, 2 2β x , y
Καλούμε εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων
τον αριθμό α β συνω
.
Άρα α β α β συνω
ή 1 2 1 2α β x x y y
Ισχύει 1 2 1 2
2 2 2 21 1 2 2
x x y yσυνω
x y x y
2. Ευθεία Β1. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας, εξίσωση ευθείας, παράλληλες και κάθετες ευθείες, γωνία τεμνόμενων ευθειών Μια ευθεία δ καθορίζεται από τη διεύθυνση της. Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης
αυτής λ εφω όπου ω η γωνία της δ με τον άξονα Οx . Ισχύει: 0 ω π
Εξίσωση ευθεία: o o oε : y y λ x x , αν ο συντελεστής διεύθυνσης της λ και η ευθεία περνάει από
το σημείο o oΑ x , y . Αν π
ω2
δεν υπάρχει λ και τότε ox x .
Αν δίνεται σημείο Α με παραμετρική έκφραση για να ορίσουμε την ευθεία πάνω στην οποία κινείται το Α εργαζόμαστε ως εξής: Έστω A 2λ 1,λ 2 . Θέτουμε x 2λ 1 και y λ 2 και απαλείφουμε την παρά-
μετρο λ δηλαδή λ y 2 άρα x 2 y 2 1 x 3y 4 1 x 2y 5 0 .
o ε : Αx By Γ 0 με A B 0 αν B 0 τότε ε
Αλ
Β
Αν 1 2δ δ τότε 1 2λ λ
Αν 1 2δ δ τότε 1 2λ λ 1
Για να βρούμε τη γωνία δύο ευθειών 1 2δ , δ εργαζόμαστε ως εξής:
Λαμβάνουμε διάνυσμα 1α δ
και 2β δ
Βρίσκουμε τη γωνία των διανυσμάτων α,β.
Β2. Απόσταση σημείου από ευθεία
Απόσταση d σημείου o oA x , y από την ευθεία ε : Αχ Βy Γ 0 : o o
2 2
Ax By Γd
Α Β
Β3. Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ)
Σελίδα 16 από 18
Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ) όπου 1 2A x , y , 2 2B x , y , 3 3Γ x , y :
1E det AB,AΓ
2
, όπου det AB,AΓ
είναι η ορίζουσα των
συντεταγμένων ΑΒ
, ΑΓ
. 3. Κωνικές τομές Γ1. Κύκλος – Εξισώσεις κύκλου
2 2 2ο ox x y y ρ , όπου o oK x , y είναι το κέντρο του και ρ ακτίνα του
Όταν το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων η εξίσωση γίνεται: 2 2 2x y ρ και η εξίσωση της εφαπτομένης ε σε ένα σημείο του 1 1Α x , y είναι
21 1ε : xx yy ρ
2 2x y Ax By Γ 0 όταν 2 2Α Β 4Γ 0
Ο κύκλος τότε έχει κέντρο Α Β
Κ ,2 2
και ακτίνα 2 2Α Β 4Γ
ρ2
Γ2. Μέγιστη – Ελάχιστη απόσταση σημείου του κύκλου από την αρχή των αξόνων ΟΑ ελάχιστη απόσταση από το Ο 0,0
ΟΜ μέγιστη απόσταση από το Ο 0,0
Γ3. Παραβολή
Η εξίσωση παραβολής C με εστία p
Ε ,02
και διευθετούσα p
δ : x2
είναι 2y 2px
Η εφαπτομένη της παραβολής 2y 2px στο σημείο 1 1Μ x , y έχει εξίσωση:
1 1yy p x x
Εξίσωση παραβολής C με εστία p
Ε 0,2
και διευθετούσα p
δ : y2
είναι 2x 2py
Η εφαπτομένη της παραβολής 2x 2py στο σημείο της 1 1Μ x , y έχει εξίσωση:
1 1xx p y y
Γ4. Έλλειψη Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία Ε ' γ,0 , Ε γ,0 και σταθερό άθροισμα
2α είναι: 2 2
2 2
x y1
α β όπου 2 2β α γ
Σελίδα 17 από 18
Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο της 1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 12 2
xx yy1
α β
Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται ως γ
ε 1α
ή 2 2α β
εα
, άρα 2β1 ε
α
Αν 1Μ , 2Μ είναι δύο οποιαδήποτε σημεία της έλλειψης συμμετρικά ως προς Ο τότε το
ευθύγραμμο τμήμα 1 2ΜΜ λέγεται διάμετρος της έλλειψης και ισχύει 1 22β Μ Μ 2α
2α μήκος μεγάλου άξονα 2β μήκος μικρού άξονα
Γ5. Υπερβολή Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία Ε ' γ,0 , Ε γ,0 και σταθερή διαφορά
2α είναι: 2 2
2 2
x y1
α β όπου 2 2β γ α
Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο της 1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 12 2
xx yy1
α β
Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία Ε ' 0, γ , Ε 0,γ και σταθερή διαφορά
2α είναι: 2 2
2 2
y x1
α β όπου 2 2β γ α
Αν α β τότε έχουμε 2 2 2x y α που λέγεται ισοσκελής υπερβολή
Οι ασύμπτωτες της υπερβολής 2 2
2 2
x y1
α β είναι
βy x
α ,
βy x
α
Οι ασύμπτωτες της υπερβολής 2 2
2 2
y x1
α β είναι
αy x
β ,
αy x
β
Η εκκεντρότητα της υπερβολής ορίζεται ως γ
ε 1α
ή 2βε 1
α
Η εφαπτομένη της υπερβολής C στο σημείο της 1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 12 2
yy xx1
α β
Αριθμητική – Γεωμετρική πρόοδος 1. Αριθμητική πρόοδος
Σελίδα 18 από 18
Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) λέγεται μια ακολουθία να , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον
προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, τον οποίο ονομάζουμε διαφορά της προόδου και συμβολίζουμε με ω. Δηλαδή ν 1 να α ω ν 1 να α ω
Οι όροι της Α.Π. είναι 1 1 1 1α ,α ω,α 2ω,...,α ν 1 ω
Άρα ν 1α α ν 1 ω , *ν
Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. αν και μόνο αν ισχύει α γ
β2
ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου να , με διαφορά ω είναι:
ν 1 ν
νS α α
2 ή ν 1
νS 2α ν 1 ω
2
2. Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.) λέγεται μια ακολουθία να , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον
προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό, τον οποίο ονο-μάζουμε λόγο της προόδου και τον συμβολίζουμε με λ.
Αν λ 0 ισχύει ν 1 να α λ ή ν 1
ν
αλ
α
Οι όροι της Γ.Π. είναι: 2 ν 11 1 1 1α ,α λ,α λ ,...,α λ
Έτσι ν 1ν 1α α λ , *ν
Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π., αν και μόνο αν ισχύει 2β α γ
Ο β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου να με λόγο λ 1 είναι
ν
ν 1
λ 1S α
λ 1
Αν λ 1 τότε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου είναι: 1αS1 λ