vectores

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008

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VECTORES

Vector fijo, AB, es un segmento orientado determinado por un punto origen A(a1, a2) y un punto extremo, B(b1, b2). Componentes de AB: (b1 – a1, b2 – a2)

Dirección: recta determinada por A y B

Sentido

Módulo: longitud del vector: |AB| = (b1 – a1)2 + (b2 – a2)2

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen la misma dirección, sentido y módulo. El conjunto de vectores equipolentes definen un vector libre v, que tiene las mismas componentes que sus equipolentes.

Módulo de v = (v1, v2) es |v| =

v12 + v2

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OPERACIONES CON VECTORES

Suma de vectores libres

v = (v1, v2) y w = (w1, w2) v + w = (v1 + w1, v2 + w2)

Multiplicación de un vector por un número real

v = (v1, v2) y k real k · v = (kv1 , kv2)

• Si k = 0 k · v = 0

• Si k > 0 k · v mismo dirección y sentido que v módulo = k|v|• Si k < 0 k · v mismo dirección que v y sentido contrario

módulo = k|v|



COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORESBase

Un conjunto de vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás.

w es combinación lineal de un conjunto de vectores, u1, u2, …, un si

w = k1·u1 + k2·u2 + ………+ knun

donde los ki son números reales

Si dos vectores en el plano son linealmente independientes, cualquier otro vector se expresa como combinación lineal suya. Estos vectores se denominan base.

Base canónica

i = (1,0)j = (0,1)

v = (v1, v2) = v1i + v2j



PRODUCTO ESCALAR (I)

Propiedades del producto escalar

• u · u ≥ 0 (u · u = 0 si y sólo si u = 0)

• Propiedad conmutativa u · v = v · u

• Propiedad asociativa mixta (au) · v = u · (av) = a(u · v)

• Propieda distributiva (u + v) · w = u · w + v · w

Producto escalar de dos vectores

u · v = |u|·|v|· cos (u, v)

• Si u o v es 0 u · v = 0

• Si (u, v) = 90° u · v = 0

• u · u = |u|·|u|· cos 0° = |u|2 |u| = u· u



PRODUCTO ESCALAR (II)

Expresión analítica del producto escalar

a · b = a1b1 + a2b2

Vector unitario u: |u| = 1

Si v = (v1, v2) no es unitario podemos obtener:

v v1 v2

|v| |v| |v|

donde u es unitario y tiene la misma dirección y sentido que v

u = = ,

Ángulo que forman dos vectores

cos (u, v) = u . v

|u| . |v|



ECUACIONES DE LA RECTA



Para determinar la posición de dos rectas, nos fijamos en sus ecuaciones y analizamos el sistema que forman:

• Si el sistema tiene una única solución, las rectas son secantes (z y t; z y r; z y s)

• Si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas (s y t)

• Si el sistema tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes (r y s)

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son. Su producto escalar tiene se ser 0.

Dos rectas son paralelas o coincidentes sus vectores directores son proporcionales

Dos rectas son secantes sus vectores directores son linealmente independientes

POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTAS



DISTANCIAS EN EL PLANO

Distancia entre dos rectas paralelas

Es la longitud del segmento perpendicular a las dos rectas que les une. Esto se reduce a calcular la distancia entre un punto cualquiera de ellas y la otra.

Distancia entre dos puntos

A(a1, a2) y B(b1, b2) d(A, B) = |AB| = (b1 - a1)2 + (b2 - a2)

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Distancia entre un punto y una recta

A(a1, a2) y la recta r d(A, r) = |AA0|

Usando la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se puede usar:

d(A, r) = |Aa1 + Ba2 + C

A2 + B2 |

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