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7/17/2019 Vectores

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VECTORES

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• Muchas unidades en el mundo de lafísica son expresadas por una cantidadnumérica y una unidad de medida. Poreemplo! la masa de un electr"n est#dada por$

• %stas medidas son llamadasEscalares.

Me & '.(() (*+,(-

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• Otras cantidades físicas se caracteri/an portener$

(. Punto de aplicaci"n u orien.

0. Manitud! intensidad o m"dulo. 1ndicasu 2alor y se representa por la lonitud

de la manitud de acuerdo con unaescala con2encional.

,. 3irecci"n. Se4ala la línea so5re la cual

act6a! puede ser hori/ontal! 2ertical uo5licua.

7. Sentido. 8ueda se4alado por la punta

de la 9echa e indica hacia donde act6ala ma nitud.

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• : las manitudes ;ue re6nen estas característicasse les conoce como Vectores.

•

En la <ura se o5ser2an dos 2ectores cuyadirecci"n es 2ertical! pero uno es 2ertical haciaarri5a! es decir! es positi2o= el otro es 2ertical haciaa5ao! o sea! neati2o. Tam5ién se aprecian doshori/ontales! uno hori/ontal a la derecha! es decir!positi2o= y el otro hori/ontal a la i/;uierda! o sea!neati2o.

>

> ?

?

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• En la siuiente <ura se muestran

dos 2ectores! cuya manitud ydirecci"n es la misma! sin em5aro!su sentido es diferente. @( es positi2oA>B! mientras ;ue @0 es neati2o AB.

@( & (* D @0 & (* D>

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COMO EST:FECER F: ESC:F: 3E

GD VECTOR• Para representar un 2ector necesitamos unaescala con2encional! la cual esta5leceremosse6n sean nuestras necesidades! de acuerdo

con la manitud del 2ector y el tama4o ;ue se ledesee dar.

• Por eemplo! si se desea representar un 2ector

de fuer/a en una cartulina de ,H* D direcci"nhori/ontal y sentido positi2o! podemos usar unaescala de (cm&(*D= así! con solo medir y tra/aruna línea hori/ontal de ,H cm estar#

representado.

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• Pero en una hoa com6n esta escalasería muy rande! lo recomenda5lesería usar una escala de ( cm&(**D! por lo ;ue dicho 2ector estar#

representado por una 9echa de ,.Hcm de lonitud.

•

En eneral lo recomenda5le es usarescalas de ($(! ($(*! ($(** y ($(***siempre ;ue sea posi5le.

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VECTORES COPF:D:RES! DOCOPF:D:RES! 3ESF1I:DTES J

F1RES.• Fos 2ectores son

coplanares si se

encuentran en elmismo plano! o endos ees! y no

copleares est#n endiferente plano! esdecir! en tres eesAK! J! IB

X, Y y Z no son coplanares

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• Vectores Deslizantes$Son a;uellos ;ue sepueden despla/ar o

desli/ar a lo laro de sulínea de acci"n! esdecir! en su mismadirecci"n. AaB

• Vectores Libres$ Sona;uellos ;ue no selocali/an en un solo

punto <o en el espacio!adem#s de ;ue notienen nin6n punto encom6n con otros

2ectores. A5B

aB Mientras am5os 2ectores setrasladen paralelamente!

ninuno se 2e modi<cado

5B Fos 2ectores no compartennin6n punto en com6n ni selocali/an en un solo punto.

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S1STEM:S 3E VECTORES

• Se dice ;ue setiene un

Sistema deVectoresColinealescuando dos o

m#s 2ectores seencuentran en lamisma direcci"no línea de acci"n.

F 1

F 2

F 3

F 4L

L

L

L

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• Gn sistema de2ectores esConcurrente

cuando la direcci"no línea de acci"n delos 2ectores secru/an en al6n

punto= el punto decruce constituye elpunto de aplicaci"nde los 2ectores. :

estos 2ectores se lesllama :nulares oConcurrentes por;ueforman un #nulo

entre ellos.

F 1

F 2

F 3

D1

D2

V 1

V 2

L

L

L

L

L

L

L

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PROP1E3:3ES 3E FOS VECTORES• (.+ 1ualdad de dos 2ectores

3os 2ectores son iualescuando su manitud! direcci"n

y sentido tam5ién son iuales.Esta propiedad posi5ilita eltraslado de un 2ector! siemprey cuando se haa en forma

paralela a dicho 2ector. En la<ura se o5ser2an los 2ectores

a, b y c! los cuales son iualesentre si! pero su orien no es el

mismo.

a b

c

L

L

L

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• 0.+ :dici"n

Solo se pueden sumar dos o m#s 2ectores sí tienen las

mismas unidades de medida. Por eemplo! no es posi5lesumar un 2ector fuer/a con un 2ector despla/amiento.

Fas manitudes escalares tampoco se pueden sumar si

no tienen las mismas unidades de medida. Por eemplo! nose pueden sumar el tiempo y el 2olumen.

• ,.+ Deati2o de un 2ector

El neati2o de un 2ector cual;uiera! por eemplo de un2ector a! se de<ne como a;uel 2ector ;ue sumado al 2ectora da un resultado iual a cero. Por tanto! a > A+aB & *. Enresumen! el neati2o de un 2ector tiene la misma manitudy direcci"n pero su sentido es opuesto.

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SGM: 3E VECTORES

• Cuando necesitamos sumar dos o m#smanitudes de la misma especie! lohacemos aritméticamente. Sin em5aro!para sumar manitudes 2ectorialesde5emos utili/ar métodos diferentes auna simple suma aritmética. Estos

métodos pueden ser gráfcos oanalíticos! pero en am5os casos seconsideran! adem#s de la manitud! su

direcci"n y sentido.

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• El método r#<co suiere usar un diaramapara así tra/ar los 2ectores con una escala encom6n! y así poder encontrar los 2alores

resultantes uniendo el principio y el <nal delos 2ectores y midiendo este tra/o con lamisma escala. Ca5e mencionar ;ue al usar elmétodo r#<co puede ha5er errores ;ue se

cometen al es5o/ar los tra/os de los 2ectores.

• El método analítico supone el uso deoperaciones matem#ticas para llear al

resultado exacto y real de los 2ectores. Enéste método se utili/an como 5ase lasfunciones trionométricas Seno! Coseno yCotanente! así como el teorema de

pit#oras.

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• Por eemplo$

Gn inete y su ca5allo ca5alan , -m al norte ydespués 7 -m al oeste.

Calcular$ Cu#l es la distancia total ;ue recorrenN

Cu#l fue su despla/amientoN• Soluci"n$

aB Como la distancia es una manitud escalar!

encontramos la distancia total recorrida al sumararitméticamente las dos distancias$

dt & d( > d0 & , -m > 7 -m & -m

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• Para encontrar el despla/amiento!;ue es una manitud 2ectorial! se

de5e reali/ar un diarama 2ectorial.Para ello di5uamos primero elprimer despla/amiento de , -m

reali/ado al norte Ad(B! y después elseundo despla/amiento de 7 -m aloeste Ad0B. Posteriormente unimos el

orien del 2ector d( con el <nal del2ector d0 a <n de encontrar el 2ectorresultante R e;ui2alente a la suma2ectorial de los despla/amientos.

l

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• Para encontrar eldespla/amientopodremos usar el

método analítico o elmétodo r#<co.

• El método r#<codice ;ue! al teneruna escalaespecí<ca! podemos

medir el 2ectorresultante R con lasmismas unidades;ue los 2ectoresiniciales.

d1

d2

7 -m,-

mR & H -m

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• : <n de determinar el 2alor de lascomponentes en forma analítica

o5ser2amos ;ue se forma un tri#nulorect#nulo al proyectar la línearesultante. Con el teorema depit#oras podemos determinar el 2alor

de R e incluso podremos determinar su#nulo.

R & A,0 > 70B -m

R & A' > (QB -mR & 0H & H -m

& cot,7& ,Q. al noroeste

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• Eemplo 0$

• Mediante una cuerda! un ni4o ala un carro con unafuer/a de * D! la cual forma un #nulo de 7* con elee hori/ontal como se 2e en la <ura. Calcular aB el2alor de la fuer/a ;ue ala al carro hori/ontalmente y 5Bel 2alor de la fuer/a ;ue tiende a le2antar el carro.

@ & * D aB Fa fuer/a ;ue ala al carrohori/ontalmente es la componentehori/ontal AF x B de la fuer/a de * D!cuyo 2alor es$

F x & F cos 7*

F x & * D ) *.QQ*

F x & Q(.0 D5B Fa fuer/a ;ue tiende a le2antar el carro es la componente2ertical A@yB de la fuer/a de * D! cuyo 2alor es$

F y & F sen 7* F y & * D ) *.Q70 F y & H(.70 D

F x

F y

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• El Método delparaleloramo pertenece al

tipo de suma de 2ectorespor el método r#<co!aun;ue para este métodose necesita tra/ar dos2ectores para formar! comosu nom5re lo indica! unparaleloramo.

• Siendo a y 5 los 2ectores asumar! se unen por sus

oríenes.

• G id l t

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• Gna 2e/ unidos los 2ectores porel orien! se tra/an dos2ectores m#s! pero esta 2e/! el

2ector aU se tra/ar#paralelamente a este se unir#con el <nal del 2ector 5U y sehar# el mismo proceso para el

2ector 5U.

• Gna 2e/ formado elparaleloramo! el orien de aU

y 5U se unir#n con el <nal delos dos 2ectores nue2os yformar#n un ;uinto 2ector! elcual representa la suma deam5os 2ectores.

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REST: 3E VECTORES

• Fa resta de 2ectores supone la suma de

el primer 2ector y el in2erso delseundo.

• Por eemplo$ la resta del 2ector a & (7m al noresteW y el 2ector 5 & H m alnoresteW

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• Por el método analítico sa5emos ;ue

mediante la f"rmula$

R & a > A+5BR & (7 m > A+ H mBR & ' m

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• Por el método r#<co propone tra/arlos 2ectores! pero en el seundo

2ector usaremos su in2erso! es decir!la misma manitud en la mismalínea de acci"n! pero en sentido

opuesto y o5tendremos el siuientesistema$Se une el oriendel primer 2ectorcon el <nal del

seundo 2ectorEsta uni"nrepresenta eldespla/amiento<nal! y por tanto!

la resta det

( 7 m

+ H

m

' m

a

5

a > A + 5 B

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