vectori În plan

Verifică dacă ai înţeles! Grupa 1. Sarcina 1.

Găseşte coordonatele vectorilor, AB, BC şi AC dacă A(-1,2),B(0,-3),C(2,-1)

Grupa 2. Sarcina 1. Fie (O, i, j)un reper cartezian în plan. Figuraţi punctele A,B,C,D astfel încât OA=2 i+3 j,

OB=2 i-3 j, OC=-2 i-3 j, OD=-2 i+3 j

Grupa 3. Sarcina 1.Se dă vectorul AB=- i-2 j Determinaţi coordonatele punctului B, dacă A are coordonatele A(1,3).

Grupa 4. Sarcina 1.

Se consideră vectorii a=(m+1)i+4j şi b=2i+(m-1)j.Să se determine m astfel încât a=b.

MN=(xN-xM).i+(yN-yM).j=( ) +( )

G1.S1. Răspuns: 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=1∙𝑖Ԧ− 5∙𝑗Ԧ , 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=2∙𝑖Ԧ+2∙𝑗Ԧ , 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=3∙𝑖Ԧ− 3∙𝑗Ԧ G2.S1.Răspuns: G3.S1. Răspuns: 𝑥𝐵 = 0 ş𝑖 𝑦𝐵 = 1 G4.S1. Răspuns: 𝑚+ 1 = 2: şi 𝑚− 1 = 4 , 𝑚= 1: şi 𝑚= 5 deci nu există.

Verifică dacă ai înţeles! Grupa 1. Sarcina 2. Determinaţi modulul următorului vector: a(1,2). Grupa 2. Sarcina 2. Determinaţi modulul următorului vector: a=2.i + j Grupa 3. Sarcina 2. Determinaţi modulul următorului vector: AB , dacă A(1,3),B(-2,0) Grupa 4. Sarcina 2. Determinaţi modulul următorului vector: -a(1,2)

Dacă sau atunci | |=

G1.S2. Răspuns: dacă |𝑎Ԧ|=ඥ𝑥𝑎2 + 𝑦𝑎2=ξ12 + 22=ξ5

G2.S2. Răspuns: dacă |𝑎Ԧ|=ඥ𝑥𝑎2 + 𝑦𝑎2=ξ22 + 12=ξ5

G3.S2. Răspuns: dacă |𝐴𝐵|ሬሬሬሬሬሬሬԦ= ඥ( −2− 1)2 +( 0− 3)2 = 3ξ2

G4.S2. Răspuns: |−𝑎Ԧ|=|𝑎Ԧ|=ඥ𝑥𝑎2 + 𝑦𝑎2 = ξ12 + 22 = ξ5

VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLANVerifică dacă ai înţeles!

Grupa 1. Sarcina 3. Stabiliţi dacă următorii vectori sunt coliniari: u(1,2) şi v(-2,-4) Grupa 2. Sarcina 3. Stabiliţi dacă următorii vectori sunt coliniari: u= i+2. j şi v=-2. i-4. j

Grupa 3. Sarcina 3. Fie A(8,-2),B(3,4),C(11,7),D(-21,19). Stabiuliţi dacă vectorii AB , CD sunt

coliniari. Grupa 4. Sarcina 3. Fie A(8,-2),B(3,4),C(11,7). Stabiliţi dacă punctele A,B,C sunt coliniare.

(adică dacă vectorii AB, BC sunt coliniari)

= şi doi vectori sunt coliniari dacă pentru

VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLAN

G1.S3. Răspuns: 𝑥𝑢𝑥𝑣 = 𝑦𝑢𝑦𝑣 adică

1−2 = 2−4 coliniari.

G2.S3. Răspuns: 𝑥𝑢𝑥𝑣 = 𝑦𝑢𝑦𝑣 adică

1−2 = 2−4 coliniari

G3.S3. Răspuns: 𝑢ሬԦሺ𝑥𝑢,𝑦𝑢ሻ= 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=−5∙𝑖Ԧ + 6∙𝑗Ԧ , 𝑣Ԧሺ𝑥𝑣,𝑦𝑣ሻ= 𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ= −32∙𝑖Ԧ + 12∙𝑗Ԧ

𝑥𝑢𝑥𝑣 = 𝑦𝑢𝑦𝑣 adică −5−32 = 612 nu sunt coliniari.

G4.S3. Răspuns: 𝑥𝐵−𝑥𝐴𝑥𝐶−𝑥𝐴 = 𝑦𝐵−𝑦𝐴𝑦𝐶−𝑦𝐴 adică

−5−32 = 612 nu sunt coliniari.


• Grupa 1. Sarcina 4.• Să se arate că triunghiul ABC, unde A(0,3),B(2,6),C(5,4) este dreptunghic în B.• (Indicaţie: se arată că vectorii AB şi BC sunt perpendiculari)• • Grupa 2. Sarcina 4.• Într-un reper cartezian xOy să se reprezinte punctele A,B şi C pentru care OA=3. i , OB=-2. j, OC=3. i -2. j• şi să se arate că patrulaterul OBCA este un dreptunghi.• (Indicaţie: se arata că două laturi opuse sunt vectori paraleli si egali şi doua laturi alăturate sunt doi vectori

perpendiculari). • • Grupa 3. Sarcina 4.• Fie A(0,3),B(2,6),C(5,4). Să se verifice dacă perechile de vectori AB şi BC , BC şi AC sunt perpendiculari.• (Indicaţie: se scriu vectorii in funcţie de coordonate şi se verifică condiţia de mai jos din chenar)• • Grupa 4. Sarcina 4.• Fie triunghiul ABC unde A(1,2),B(3,0),C(5,2). Să se determine coordonata piciorului D(x,4) al înălţimii duse din A.• (Indicaţie: din condiţia de perpendicularitate a vectorilor AD şi BC se obţine x)

Doi vectori = şi sunt perpendiculari


G1.S4. Răspuns: 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ= (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝑖Ԧ+ (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝑗Ԧ= ሺ2− 0ሻ𝑖Ԧ+ (6− 3)𝑗Ԧ= 2𝑖Ԧ+ 3𝑗Ԧ , 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ= (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵)𝑖Ԧ+ (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵)𝑗Ԧ= ሺ5− 2ሻ𝑖Ԧ+ሺ4− 6ሻ𝑗Ԧ= 3𝑖Ԧ− 2𝑗Ԧ , Verificăm condiţia (P2) x1 ∙x2 + y1 ∙y2 = 0 adică ……….

G2.S4. Răspuns: se aleg 𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ şi 𝐴𝐶 ሬሬሬሬሬሬԦopuşi. Modulele sunt |𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ|=2 şi 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=𝐴𝑂ሬሬሬሬሬԦ+ 𝑂𝐶ሬሬሬሬሬԦ= −3𝑖Ԧ+ 3𝑖Ԧ− 2𝑗Ԧ= −2𝑗Ԧ, |𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ|=2 Fiind şi egali vectorii atunci sunt paraleli, deci figura este paralelogram. Mai arătăm că 2 vectori concurenţi sunt perpendiculari:

Fie 𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ şi 𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ sunt perpendiculari fiind pe cele două axe.

G3.S4. Răspuns: 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ= 2𝑖Ԧ+3𝑗Ԧ , 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ= 3𝑖Ԧ− 2𝑗Ԧ şi 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ= 5𝑖Ԧ+𝑗Ԧ Verificăm pentru 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ şi 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ condiţia (P2): 𝑥1 ∙𝑥2 + 𝑦1 ∙𝑦2 = 0, adică 2∙3+3∙(-2)=0 sunt perpendiculari

Verificăm pentru 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ şi 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ condiţia (P2): 𝑥1 ∙𝑥2 + 𝑦1 ∙𝑦2 = 0, adică 3∙5-2∙1=13 nu sunt perpendiculari

G4.S4. Răspuns: alegem 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ= ሺ5− 3ሻ𝑖Ԧ+ሺ2− 0ሻ𝑗Ԧ= 2𝑖Ԧ+2𝑗Ԧ şi 𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ= ሺ𝑥− 1ሻ𝑖Ԧ+ሺ4− 2ሻ𝑗Ԧ= (𝑥− 1)𝑖Ԧ+2𝑗Ԧ din condiţia de perpendicularitate se obţine 2∙ሺ𝑥− 1ሻ+ 2∙2 = 0 rezultă 2x-2+4=0 adică x=-1


Grupa 1. Sarcina 5.Cercetaţi dacă patrulaterul ABCD, unde A(1,3), B(4,7), C(2,8), D(-1,4), este paralelogram.(Indicaţie: se arata că diagonalele au acelaşi mijloc cu formula (2))

Grupa 2. Sarcina 5.Fie A(2,-3), B(4,-2), C(-4,6) . Calculaţi coordonatele punctului D astfel încât ABCD să fie paralelogram.(Indicaţie: se pune condiţia ca diagonalele să aibă acelaşi mijloc cu formula (2))

Grupa 3. Sarcina 5.Determinati mijlocul medianei AM a triunghiului ABC, unde A(1,2), B(3,0), C(5,2).(Indicaţie: se calculează coordonatele lui M şi apoi coordonatele mijlocului lui AM cu formula (2))

Grupa 4. Sarcina 5.Determinaţi mijlocul segmentului AB, unde A(1,2), B(4,3).(Indicaţie: se foloseşte formula (2))

M mijlocul segmentului


G1.S5. Răspuns:.

M mijlocul lui AC: 𝒙𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑨+𝒙𝑪ሻ= 𝟑𝟐 ş𝒊 𝒚𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑨+𝒚𝑪ሻ= 𝟏𝟏𝟐

N mijlocul lui BD: 𝒙𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑩+ 𝒙𝑫ሻ= 𝟑𝟐 ş𝒊 𝒚𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑩+ 𝒚𝑫ሻ= 𝟏𝟏𝟐

G2.S5. Răspuns:Fie D(x,y) , diagonalele sunt AC şi BC

M mijlocul lui AC: 𝒙𝑴= −𝟏 ş𝒊 𝒚𝑴= 𝟑𝟐 N mijlocul lui BD: 𝒙𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝟒+𝒙ሻ ş𝒊 𝒚𝑵= 𝟏𝟐ሺ−𝟐+ 𝒚ሻ, 𝑥=-6 şi y=5

G3.S5. Răspuns: 𝒙𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝟑+ 𝟓ሻ= 𝟒 ş𝒊 𝒚𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝟎+𝟐ሻ= 𝟏

N mijloculul lui AM: 𝒙𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑨+ 𝒙𝑴ሻ= 𝟏𝟐ሺ𝟏 +𝟒ሻ= 𝟓𝟐 ş𝒊 𝒚𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑨+ 𝒚𝑴ሻ= 𝟏𝟐ሺ𝟐+ 𝟏ሻ= 𝟑𝟐

G4.S5. Răspuns: 𝒙𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑨+𝒙𝑩ሻ= 𝟏𝟐ሺ𝟏 +𝟒ሻ= 𝟓𝟐 ş𝒊 𝒚𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑨+ 𝒚𝑩ሻ= 𝟏𝟐ሺ𝟐+ 𝟑ሻ= 𝟓𝟐


Grupa 1. Sarcina 6.Centrul de greutate al unui triunghi ABC se află pe axa Ox , A(2,-3), B(-5,1), iar C este situat pe axa Oy. Să se determine coordonatele punctelor G şi C.(Indicaţie: Considerăm C(0,y) şi G(x,0). Scrieţi coordonatele lui G în funcţie de coordonatele lui A,B,C şi aflaţi pe x şi y)

Grupa 2. Sarcina 6.Să se determine capetele A, B ale unui segment care este împărţit de punctele M(2,2), N(1,5) în trei părţi egale.

(Indicaţie: M este mijlocul lui [AN] şi N este mijlocul lui [MB]).

Grupa 3. Sarcina 6.Se dă un triunghi ABC cu A(4,3), B(8,5). Dacă G(10,7) este centrul de greutate al triunghiului să se afle coordonatele lui C.(Indicaţie: se alege C(x,y) şi se aplică formula (3)

Grupa 4. Sarcina 6.Fie A(-2,0),B(4,0), C(0,6) vârfurile unui triunghi. Să se determine coordonatele centrului de greutate G.(Indicaţie: Fie G(x,y) şi aplicaţi formula (3) ).

G centrul de greutate al triunghiului ABC ,


Grupa 1. Sarcina 7.Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6). I punctul de intersecţie al bisectoarelor interioare triunghiului. Să se determine coordonatele lui I.(Indicaţie:se calculează lungimile segmentelor [AB], [AC], [BC] cu formulele |AB|=c,|AC|=b, |BC|=a şi se aplică formula (5).

Grupa 2. Sarcina 7.Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6). .Dacă [CD este bisectoarea unghiului să se determine coordonatele lui D.(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AC], [BC] cu formulele |AC|=b, |BC|=a şi se aplică formula (4) .)

Grupa 3. Sarcina 7.Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6).. Dacă [BD este bisectoarea unghiului ABC să se determine coordonatele lui D.(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AB],[BC]cu formulele |AB|=c,|BC|=a şi se aplică formula (4) .

Grupa 4. Sarcina 7.Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6).. Dacă [AD este bisectoarea unghiului BAC să se determine coordonatele lui D.(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AB],[AC]cu formulele |AB|=c ,|AC|=a şi se aplică formula (4) ).

G1.S6. Răspuns:.

Coordonatele lui G sunt 𝑥= 2−5+03 =−33 şi 0 = −3+1+𝑦3 şi y=2

G2.S6. Răspuns:

M este mijlocul lui [AN], 𝟐 = 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑨+ 𝟏ሻ ş𝒊 𝟐 = 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑨+ 𝟓ሻ deci 𝒙𝑨=3 şi 𝒚𝑨=-1

N este mijlocul lui [MB], 𝟏 = 𝟏𝟐ሺ𝟐+ 𝒙𝑩ሻ ş𝒊 𝟓 = 𝟏𝟐ሺ𝟐+ 𝒚𝑩ሻ deci 𝒙𝑩=0 şi 𝒚𝑩= 8

G3.S6. Răspuns: 10 = 4+8+𝑥3 . , 7=

3+5+𝑦3 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑎𝑓𝑙ă 𝑥= 18 ş𝑖 𝑦= 13

G4.S6. Răspuns: 𝑥= −2+ 4+ 03 = 23 𝑦= 0+ 0+ 63 = 2

VĂ MULŢUMIM !

SUCCES!CLASA a IX-a

matematică-informatică

vectori În plan

Documents