vektor kalkulus
DESCRIPTION
Vektor kalkulus. Del-operator Definisjon og anvendelse. GradientRetningsderivert DivergensFluks CurlSirkulasjon / Rotasjon. Del-operator. Gradient. Divergens. Curl. Curl Sammenheng mellom c url og rotasjon. Posisjon. Hastighet. Konservativt vektorfelt Vei-uavhengighet. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Vektor kalkulusVektor kalkulusVektor kalkulusVektor kalkulus
Del-operatorDefinisjon og anvendelse
zyx
,,Del-operator
z
F
y
F
x
FF,F,F
z,
y,
xFF div 321
321
z
f
y
f
x
ff
zyxffgrad ,,,,
y
F
x
F,
x
F
z
F,
z
F
y
F
FFFzyx
kji
F,F,Fz
,y
,x
FF curl 123123
321
321
Gradient
Divergens
Curl
zyx
,,
Gradient RetningsderivertDivergens FluksCurl Sirkulasjon /
Rotasjon
Curl Sammenheng mellom curl og rotasjon
xyzxyz
zyx
kji
rv 211332321 ,,
2,,22,2,2,,
)()(),()(),()(
curl
321321332211
321321321321
211332
yzy
zxx
xyx
yzz
zxz
xyy
xyzxyzzyx
kji
vv
zyxr ,,
2 curl v
rv
Posisjon
Hastighet
zyx
,,
FF
curl
zyxr ,,
rv
Konservativt vektorfeltVei-uavhengighet
B
A
rdF
La
Vi sier da at integralet er vei-uavhengig.
Vi sier videre at F er konservativ og at vektorfeltet er konservativt.
være uavhengig av alle veiermellom A og B for alle A,B D.
F definert i et åpent område D i rommet.
A
B
Potensial-funksjon
Hvis det finnes en skalar-funksjon fsom er slik at
F = f F er gradienten til f
så kalles f for en potensial-funksjon til F
og vektorfeltet kalles for et gradientfelt.
F definert i et åpent område D i rommet.
Gradientfelt og vei-uavhengighet
)A(f)B(ffdfdf
dtdt
df
dtdt
dz
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dtdt
dz,
dt
dy,
dt
dx
z
f,
y
f,
x
f
dtdt
rdfrdF
B
A
B
AC
C
C
C
CC
F definert i et åpent område D i rommet. Bevis del 1:
Anta at det finnes en f slik at F = f.
dvs, integralet er vei-uavhengig,kun avhengig av endepunktene.
Det finnes en f slik at F = f
C
rdF
vei-uavhengig
Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver
uavhengigVei rdFrdF
rdFrdF
rdFrdF
0rdFrdF
0rdF
21
21
21
21
C Langs
B
A
C Langs
B
A
CC
CC
CC
C
F definert i et åpent område D i rommet. Bevis:
D i C lukkede 0rdF
C
F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig)
A
B
C1
C2
Gradientfelt og curl
0y
F
x
F,
x
F
z
F,
z
F
y
FF curl
y
F
x
f
yyx
f
y
f
xx
F
x
F
x
f
zxz
f
x
f
zz
F
z
F
y
f
zzy
f
z
f
yy
F
z
f,
y
f,
x
ffF
F,F,FF
123123
12
2
32
1
22
3
321
F definert i et åpent område D i rommet. Bevis 1:
0F curl
fF
F gradientfelt curl F = 0
0F curl 0F curl
Gradientfelt og eksakt differentialform
F = [ F1, F2, F3] definert i et åpent område D i rommet.
eksakter dzFdyFdxF
fF
321
Uttrykket F1dx + F2dy + F3dzer en differential form.Differentialformen kalles eksakthvis det finnes en skalar funksjon f slik at
dfdzz
fdy
y
fdx
x
fdzFdyFdxF 321
Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt
F definert i et åpent område D i rommet.
eksakter dzFdyFdxF
0F curl
D i C lukkede 0rdF
uavhengig)(vei vkonservati F
fF
321
C
Konservativt vektorfeltEks 1 - Oppgave
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig)
2. Bestem en potensialfunksjon til F
3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)
Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [1/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0
00,0,0)sin()sin(,,,,
1)sin(cos sinsin1sin
01 10cos
01sin 01
,, ,,
123123
12
31
23
123123
321
321
yezyezyyxxy
F
x
F
z
F
z
F
z
F
y
FFcurl
ezzyeyzyeyy
Fyezyezyexz
xx
F
yyzxyxx
Fyyyzye
zz
F
xxyexzzz
Fxxzxy
yy
F
y
F
x
F
x
F
z
F
z
F
y
F
FFFxxx
kji
FFcurlFFFF
xx
xxxxxx
x
x
Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [2/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
2. Bestem en potensialfunksjon til F
z
f,
y
f,
x
ffF
zxy,ysinexz,yzycoseF
fFat slik
funksjon potensialfen finnes
v,konservatier FSiden
xx
cz2
1xyzycose)z,y,x(f cz
2
1h z
dz
dh
zxy
dz
dhxy0
z
f
)z(hxyzycose)z,y,x(f )z(hg 0y
g
ysinexz
y
gxzysine
y
f
)z,y(gxyzycose)z,y,x(f yzycosex
f
2x2
!
x
x
!
x
xx
Konservativt vektorfeltEks 1 - Løsning [3/3]
F = [ excosy + yz, xz – exsiny, xy + z ]
3. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)
.F lunksjon tipotensialfen er fhvor og
veienav sluttpunkt ogstart shenholdsvier B ogA hvor
f(A)f(B)n differanselik og
uavhengig vei væreF tilintegralet veivil
,uavhengig)- vei(dvs vkonservatier FSiden
)10071.1( 732cos9cos
)32
13212cos(
))1(2
1)1(979cos(
)3,2,1()1,9,7(
)()(
2
1cos),,(
37
21
27
)1,9,7(
)3,2,1(
2
ee
ce
ce
ffrdF
AfBfrdF
czxyzyezyxf
fF
B
A
x
Konservativt vektorfeltEks 2 - Oppgave
1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt
2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene:
)1,3,2(
)1,1,1(
4dzxdyydx
A (1,1,1)
B (2,3,-1)
Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [1/4]
1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0
00,0,011,00,00
y
F
x
F,
z
F
z
F,
z
F
y
FF curl
1yyy
F 1x
xx
F
04xx
F 0y
zz
F
0xzz
F 04
yy
F
y
F
x
F,
x
F
z
F,
z
F
y
FF curl F,F,FF
123123
12
31
23
123123321
C
C
321
C
321
dz4xdyydx
dzFdyFdxFrdF
4,x,yF,F,FF
Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt
Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [2/4]
C
C
321
C
321
dz4xdyydx
dzFdyFdxFrdF
4,x,yF,F,FF
z
f
y
f
x
ffF
xyF
fF
y
,,
4,,
at slik
funksjon potensialfen finnes
eksakt,er 4dzxdydxSiden
czxyzyxfczhdz
dhdz
dh
z
f
zhxyzyxfzhgy
g
xy
gx
y
f
zygxyzyxfyx
f
4),,( 4 4
4 0
)(),,( )( 0
),(),,(
!
!
2. Bestemmelse av potensialfunksjon f
Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [3/4]
F = [ y, x, 4]
2. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1)
.F lunksjon tipotensialfen er fhvor og
veienav sluttpunkt ogstart shenholdsvier B ogA hvor
f(A)f(B)n differanselik og
uavhengig vei væreF tilintegralet veivil
,uavhengig)- vei(dvs vkonservatier FSiden
3)1411())1(432(
)1,1,1()1,3,2(
)()(
4),,(
)1,3,2(
)1,1,1(
cc
ffrdF
AfBfrdF
czxyzyxf
fF
B
A
A (1,1,1)
B (2,3,-1)
F
Konservativt vektorfeltEks 2 - Løsning [4/4]
dtdztz
dtdyty
dtdxtx
ttt
t
vt
v
2 21
2 21
1
21,21,1
3,2,11,1,1
r(t)r
:ABlinjen av gremstillinparameterfGlatt
3,2,111,13,12
:vektorRetnings
0
352)54(
)2(42)1(1)21(
4
1
0
21
0
1
0
)1,3,2(
)1,1,1(
t
t
t
t
t
t
ttdtt
dttt
dzxdyydx
A
B
2. Integralet kan også løses direkte
A (1,1,1)
B (2,3,-1)
F
Divergens (Flukstetthet)
Curl (Sirkulasjonstetthet)
limlim00 dA
dsnF
A
dsnF
AdA
dFFdiv dCC
AA
dA
dsTF
A
dsTF
A
C
dA
dCkFkFcurl dCC
AA
00limlim)() (
k
n
T
C
F
C
21
C
dxFdyFdsnF
Fluks
C
21
C
dyFdxFdsTFS
Strømning
k
n
T
C
F
Divergens
Curl
lim0 A
dsnF
dA
dFFdiv C
A
A
dsnF
dA
dCkFkFcurl C
A
0lim)() (
A
dA dC
Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [1/3]
C
21
C
dxFdyFdsnF
),( yx
),( yyxx
),(1 yxFF
),(2 yxxFF
),(4 yxFF
),(3 yyxFF
xjF )(11
yiF
22
xjF
33
yiF )(44
)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21
i
i
j
j
yiyxFxjyyxFyiyxxFxjyxF
yiFxjFyiFxjF
)(),(),(),()(),(
)()(
rektanglet avut fluks Netto
4321
4321
xy
x
y
Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [2/3]
Fy
F
x
F
x
F
y
F
x
yxFyxxF
y
yxFyyxF
yxdA
d
x
yxFyxxF
y
yxFyyxF
yx
yxx
yxFyxxF
y
yxFyyxF
yyxFyxxFxyxFyyxF
yyxFxyyxFyyxxFxyxF
yiyxFxjyyxFyiyxxFxjyxF
yiFxjFyiFxjF
yxyx
21121122
0,0,
1122
1122
1122
1212
4321
4321
),(),(),(),(limlim
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),( ),( ),( ),(
)(),(),(),()(),(
)()(
trektangele avut fluks Netto
y
F
x
FF,F
y,
xFF div 21
21
C
21
C
dxFdyFdsnF
)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21
Divergens (Flukstetthet)Def - 2D [3/3]
FFFyxy
F
x
F
dydxy
Fdxdy
x
F
dxdydxdy
y
Fdydx
x
F
dxdy
dydxy
Fdxdy
x
F
dxdydxFFdyFF
dxdy
dxFdxFdyFdyFdxdy
dyFdxFdyFdxFdxdy
dyFdxFdyFdxFdxdy
dsnFdsnFdsnFdsnFdxdy
dxdy
dsnF
yx
dsnF
yxdA
dFdiv
dxdy
thorisontalvertikaltthorisontal
bunntopp
vertikalt
venstrehøyre
bunntoppvenstrehøyrevenstretopphøyrebunn
venstretopphøyrebunnvenstretopphøyrebunn
dCC
yxyx
2121
2121
212211
22111212
1212
0,0,
,,
1
1
1)()(
1
1
1
)()(1
1
limlim
F
dxdy
dsnF
yx
dsnF
yxdA
dFdiv dCC
yxyx
limlim0,0,
A B
F
n
CD
dAdy
dx
Divergens (Flukstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D
y
F
x
FF,F
y,
xFF div
dA
d 2121
Ekspanderende gassi punktet (x0,y0)
Komprimerende gassi punktet (x0,y0)
0),( 00 yxFdiv
0),( 00 yxFdiv
Divergens (Flukstetthet)Eks 2 - 2D
y2x3
y2xx2
)yxy(y
)yx(x
y
F
x
F F,F
y,
xFF div
22
2121
Finn divergensen av F(x,y) = [ F1, F2] = [ x2 – y, xy – y2 ]
y
F
x
FF,F
y,
xFF div 21
21
Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [1/3]
CC
NdyMdxdsTFC
),( yx
),( yyxx
),(1 yxFF
),(2 yxxFF
),(4 yxFF
),(3 yyxFF
xiFC
11
yjFC
22
xiFC )(33
yjFC )(44
)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21
i
i
j
yjyxFxiyyxFyjyxxFxiyxF
yjFxiFyjFxiF
CCCCC
)(),()(),(),(),(
)()(
:klokka)mot (retning rektangletrundt n Sirkulasjo
4321
4321
j
CC
dyFdxFdsTFS 21
xy
x
y
Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [2/3]
kFy
F
x
F
y
yxFyxxF
x
yxFyyxF
yx
C
dA
dC
y
yxFyyxF
x
yxFyxxF
yx
C
yxx
yxFyxxF
y
yxFyyxF
yyxFyxxFxyxFyyxF
yyxFxyyxFyyxxFxyxF
yjyxFxiyyxFyjyxxFxiyxF
yjFxiFyjFxiF
CCCCC
yxyx
)(
),(),(),(),(limlim
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),(),(),(),(
),( ),( ),( ),(
)(),()(),(),(),(
)()(
trektangelerundt n Sirkulasjo
121122
0,0,
1122
2211
2211
2121
4321
4321
y
F
x
F,0,0F,F
y,
xFF curl 12
21
)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21
CC
dyFdxFdsTFS 21
Curl (Sirkulasjonstetthet)Def - 2D [3/3]
kFy
F
x
F
dydxy
Fdxdy
x
F
dxdydxdy
y
Fdydx
x
F
dxdy
dydxy
Fdxdy
x
F
dxdydxFFdyFF
dxdy
dxFdxFdyFdyFdxdy
dyFdxFdyFdxFdxdy
dyFdxFdyFdxFdxdy
dsTFdsTFdsTFdsTFdxdy
dxdy
dsTF
yx
dsTF
yx
C
dA
dC
dxdy
thorisontalvertikaltthorisontal
bunntopp
vertikalt
venstrehøyre
bunntoppvenstrehøyrevenstretopphøyrebunn
venstretopphøyrebunnvenstretopphøyrebunn
dCC
yxyx
)(
1
1
1)()(
1
)(1
1
)()(1
1
limlim
12
1212
121122
11222121
2121
0,0,
A B
F
T
CD
dAdy
dx
)y,x(F),y,x(F)y,x(F 21
CC
dyFdxFdsTFS 21
y
F
x
F,0,0F,F
y,
xFF curl 12
21
Curl (Sirkulalsjonstetthet)Eks 1 - Fortegn - 2D
Rotasjon mot klokkai punktet (x0,y0)
Rotasjon med klokkai punktet (x0,y0)
0),( url 00 kyxFc
0),( 00 kyxFcurl
k
k
y
F
x
F,0,0F,F
y,
xFF curl 12
21
Divergens (FlukstetthetCurl (Sirkulasjonstetthet)
dsnFA
1limFF div
C0A
dsTFA
1limk)F(k)F (curl
C0A
n
C
F
T
C
F
A
A
Divergens
Curl
Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 2 - 2D
0
0,0,0
00,0,0
)x(y
)y(x
,0,0
y
F
x
F,0,0
0FF
0yx
kji
F,Fy
,x
F F curl
12
21
21
Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x, y ]
Ingen rotasjons-tendens
y
F
x
F,0,0F,F
y,
xFF curl 12
21
Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 3 - 2D
1
)()(
0
0,,) (
22
y
yxy
yxyx
y
M
x
N
NMyx
kji
NMyx
FkFcurl
Finn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x2 – y, xy – y2 ]
k22,0,0
11,0,0
)y(y
)x(x
,0,0
y
F
x
F,0,0
0FF
0yx
kji
F,Fy
,x
F F curl
12
21
21
Finn curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ -y, x ]
Rotasjons-tendens
y
F
x
F,0,0F,F
y,
xFF curl 12
21
Curl (Sirkulasjonstetthet)Eks 4 - 2D
1y
)yx(y
)yxy(x
y
F
x
F
1,0,0y
F
x
F,0,0 k
0FF
0yx
kji
kF,Fy
,x
k)F( k)F curl(
22
12
12
21
21
Finn k-komponenten av curl F til F(x,y) = [ F1, F2 ] = [ x2 – y, xy – y2 ]
y
F
x
F,0,0F,F
y,
xFF curl 12
21
Curl (Sirkulasjonstetthet)Fysisk tolkning av curl - 2D
R avArealet
Wk)F(curl
Rd)(c,kd))(c,F (curl
ningen)elverdiset(iflg.midd
benytt ogliten væreR La
:curlkonstant Ikke ktor konstantveF curl
dAk)F curl(dsTFCW
y
F
x
Fk
y
F
x
F,0,0kF,F
y,
xk)F(k)F curl(
dA
dC
RC
121221
curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjon rundt randen til R.curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt.curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt.
y
F
x
F,0,0F,F
y,
xFF curl 12
21
k
T
C
F
R
Greens teoremDef - 2D
RRR
21
C
21
C
dAFdAFdivdxdyy
F
x
FdxFdyFdsnF
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
RRR
12
C
21
C
dAk)F(dAk)Fcurl(dxdyy
F
x
FdyFdxFdsTFC
Fluks - Divergens - Normalform
Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
Greens teoremDef - 2D - Fig
RRR
CC
dAFdAFdivdxdyy
F
x
F
dxFdyFdsnF
2 1
21
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
n
C
F
T
C
F
R
R
RRR
CC
dAkFdAkFcurldxdyy
F
x
F
dyFdxFdsTFC
)()( 12
21
Greens teoremDef - 2DNormalform
RRR
CC
dAFdAFdivdxdyy
F
x
F
dxFdyFdsnF
2 1
21
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
n
C
F
R
Normalformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C,dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av divergensen til F over det indre området R av kurven C,dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.
Greens teoremDef - 2DTangentiellform
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C,dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C,dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R.
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
T
C
F
R
RRR
CC
dAkFdAkFcurldxdyy
F
x
F
dyFdxFdsTFC
)()( 12
21
Greens teoremDef - 2D - Part
RRR
CC
dAFdAFdivdxdyy
F
x
F
dxFdyFdsnF
2 1
21
F1, F2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D R2.C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning.Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D.
Green - Fluks - Divergens - Normalform
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
RRR
CC
dAkFdAkFcurldxdyy
F
x
F
dyFdxFdsTFC
)()( 12
21
n
C
F
T
C
F
R
R
Greens teoremBevis-skisse - Curl / Div - 2D
x
yC
Ci,j
Ci,j+1
Ci+1,j
Ci+1,j+1
Ri,j
Ri,j
I
II
III
IV
i j CP
RP
C jiP
dsTFdsTFdsTFC,
00limlim
RP
1jj1i
1iij
j1ji
i1i1j
y til x fra y y,x)y(rr IV
x til x fra x y,x)x(rr III
yyy y,x)y(rr II
xxx y,x)x(rr I
i j CP
RP
C jiP
dsnFdsnFdsnF,
00limlim
Greens teoremBevis-skisse - Curl - 2D
ij
j
j
i
i
i
i
j
j
j
j
i
i
j
j
i
i
j
j
i
i
jiji
R
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
ii
x
x
jj
y
y
i
x
x
j
y
y
i
x
x
j
IVIIIIII
CC
dAy
F
x
F
dydxx
Fdxdy
y
F
dyyxFyxFdxyxFyxF
dyyxFdxyxFdyyxFdxyxF
dyFdxFdyFdxF
dyFdxFdsTF
12
21
122111
121211
2121
21
),(),(),(),(
),(),(),(),(
1 11 1
11
11
11
,,
R
12
i j C0P
C
i j R
12
i j C
dAy
F
x
FdsTFlimdsTF
dAy
F
x
FdsTF
j,i
ijj,i
R
12
C
dAy
F
x
FdsTF
R
12
C
dAy
F
x
FdsTF
x
yC
F
T
Ri,j
I
II
III
IV
1jj1i
1iij
j1ji
i1i1j
y til x fra y y,x)y(rr IV
x til x fra x y,x)x(rr III
yyy y,x)y(rr II
xxx y,x)x(rr I
Greens teoremBevis-skisse - Div - 2D
ij
i
1i
j
1j
j
1j
i
1i
i
1i
j
1j
1j
j
1i
i
j
1j
i
1i
j,ij,i
R
21
x
x
y
y
2
y
y
x
x
1
x
x
1j2j2
y
y
1i1i1
y
y
1i1
x
x
j2
y
y
i1
x
x
1j2
IV
1
III
2
II
1
I
2
C
21
C
dAy
F
x
F
dxdyy
Fdydx
x
F
dx)y,x(F)y,x(Fdy)y,x(F)y,x(F
dy)y,x(Fdx)y,x(Fdy)y,x(Fdx)y,x(F
dyFdxFdyFdxF
dxFdyFdsnF
R
21
i j C0P
C
i j R
21
i j C
dAy
F
x
FdsnFlimdsnF
dAy
F
x
FdsnF
j,i
ijj,i
R
21
C
dAy
F
x
FdsnF
R
21
C
dAy
F
x
FdsnF
x
yC
F n
Ri,j
I
II
III
IV
1jj1i
1iij
j1ji
i1i1j
y til x fra y y,x)y(rr IV
x til x fra x y,x)x(rr III
yyy y,x)y(rr II
xxx y,x)x(rr I
Greens teoremFysisk tolkning - Uten hull
RRR
CC
dAFdAFdivdxdyy
F
x
F
dxFdyFdsnF
2 1
21
Green - Fluks - Divergens - Normalform
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
C
R
RRR
CC
dAkFdAkFcurldxdyy
F
x
F
dyFdxFdsTFC
)()( 12
21
C
R
n hull
RC
RC
dAy
F
x
FdsTF
dAy
F
x
FdsnF
12
21
Positiv og negativ fluksDef - 2D - Fig
RRR
CC
dAFdAFdivdxdyy
F
x
F
dxFdyFdsnF
2 1
21
Green - Fluks - Divergens - Normalform
FlomPositiv fluks
Uttapping av vannNegativ fluks
E
Elektrisk feltPositiv fluks / Negativ fluks
Elektrisk feltNull fluks
Greens teoremEks 1 - 2D
0 1 cos
1 1 sincos
cos sin
sin cos
222
111
y
F
x
FtxF
y
F
x
FttyxF
tdtdyty
tdtdxtx
221
2
0
2
0
22
0
21
1)01(
2
2cos1cos)sin)((cos))(cossin(cos
RRRRR
CC
dxdydxdydAy
F
x
FdAFdAFdiv
dtt
tdtdttttttdxFdyFdsnF
Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ]over området R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0 t 2
RRR
12
C
21
C
RRR
21
C
21
C
dAk)F(dAk)Fcurl(dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAFdAFdivdAy
F
x
FdxFdyFdsnF
212dxdy2dxdy))1(1(dAy
F
x
FdAk)F(dAk)Fcurl(
2tcos2
1tdt)tcostsin1(dt)t)(cost(cos)tsin)(tsint(cosdyFdxFdsTF
2
RRR
12
RR
2
0
22
0
2
0C
21
C
NormalformFluks
TangentialformSirkulasjon
Greens teoremOmråder med hull - 2D [1/2]
x
yC1
R ?1
C
x
yC11
R1
C1
C2
C22
C21
R2
J1J2
C12
21
21
22211211
22211212121121
CC
CC
CCCC
JCJCJCJCRRR
A B
Greens teoremOmråder med hull - 2D [2/2]
x
yC11
R1
C1
C2
C22
C21
R2
J1J2
C12
RCC
RCC
dAy
F
x
FdsTFdsTF
dAy
F
x
FdsnFdsnF
12
21
21
21
x
yC
R
Ri CC
Ri CC
dAy
F
x
FdsTFdsTF
dAy
F
x
FdsnFdsnF
i
i
12
21
C1
C2
C3
1 hull
n hull
Greens teoremFysisk tolkning - Med hull
RRR
i CC
dAFdAFdivdxdyy
F
x
F
dsnFdsnFi
2 1
Green - Fluks - Divergens - Normalform
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
C
R
RRR
i CC
dAkFdAkFcurldxdyy
F
x
F
dsTFdsTFCi
)()( 12
C
R
n hull
Ri CC
Ri CC
dAy
F
x
FdsTFdsTF
dAy
F
x
FdsnFdsnF
i
i
12
21
Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [1/3]
.retning positiv i origorundt går som
planet) (i kurveglatt lukket, enkel,en er Cnår
Bestem
hull )0,0(),( ,1
),( rfeltet Gitt vekto22
C
dsTF
yxxyyx
yxF
origo. om a radius med sirkelen væreC la å velger Vi
(0,0).punktet om klokka) med(rotasjon kurvelukket en er Chvor
dAy
F
x
FdsTFdsTF
:får vi hull,et er (0,0)Siden
a
a
R
12
CC a
x
yC
Ca
Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [2/3]
hull )0,0(),( ,1
),(22
yxxyyx
yxF
R
12
CC
dAy
F
x
FdsTFdsTF
a
x
yC
Ca
0yx
xy
yx
xy
x
F
x
F
)symmetri( yx
xy
yx
yx
yx
y
yyx
y
yy
F
yx
xy
yx
x2
yx
yx
yx
x2
yx
1
x2yx)1(xyx1yxxxyx
x
xx
F
yx
xF
yx
yF
222
22
222
2212
222
22
222
22
22221
222
22
222
2
222
22
222
2
22
22212212222
2
222221
Greens teoremOmråder med hull - Eks - 2D [3/3]
hull )0,0(),( ,1
),(22
yxxyyx
yxF
2dtdttcostsin
dttcosa,tsinatcosa,tsinaa
1
rdF
dsTFdsTFdsTF
0dAy
F
x
FdsTFdsTF
2
0C
22
C2
C
CCC
R
12
CC
a
a
a
aa
a
x
yC
Ca
2,0t tsina,tcosa)t(r
Greens teoremEks - 2D [1/4]Uten Greens teorem
C
2dxyxydy : teoremGreensuten og med bådeBeregn
2
31
2
1
2
1
0 )1( 0
: teoremGreensUten
1
0
1
0
21
0
1
0
0
2
0
2
1010
2
10
2
00
2
x
x
y
y
x
x
y
y
IIIII
IVIIIIIIC
xydxydy
dxydy
dxyydyxdxydyyxdxyydyxdxydyyxdxyxydy
x
y C
1
1
I
II
III
IV
RCC
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAy
F
x
FdxFdyFdsnF
1221
2121
Greens teoremEks - 2D [2/4]Med Greens teorem (normal/tangential)
C
2dxyxydyBeregn
x
y C
1
1
I
II
III
IV
Fluks Sirkulasjon
I tillegg til direkte beregning,kan integralet beregnesvha Greens teorem,enten vha fluks- ellersirkulasjons-betraktninger.
F = [ xy, y2 ] F = [ -y2,xy ]
RCC
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAy
F
x
FdxFdyFdsnF
1221
2121
C
2dxyxydy C
2dxyxydy
Greens teoremEks - 2D [3/4]Normalform
C
2dxyxydy : teoremGreensuten og med bådeBeregn
2
3y
2
13ydy3dyxy3dyydx3ydA3
dAy2y
y,xyF dAy
F
x
FdxFdyF
dxyxydy
:(fluks) Normalform - teoremGreens Med
1y
0y
21y
0y
1y
0y
1x
0x
1y
0y
1x
0xR
R
2
R
21
C
21
C
2
x
y C
1
1
I
II
III
IV
RCC
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAy
F
x
FdxFdyFdsnF
1221
2121
Greens teoremEks - 2D [4/4]Tangentiellform
C
2dxyxydy : teoremGreensuten og med bådeBeregn
2
3
2
133333
2
,
:on)(sirkulasj lformTangentiel - teoremGreens Med
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
1
0
21221
2
y
y
y
y
y
y
x
x
y
y
x
xR
R
RC
C
yydydyxydyydxydA
dAyy
xyyFdAy
F
x
FdyFdxF
dxyxydy
x
y C
1
1
I
II
III
IV
RCC
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAy
F
x
FdxFdyFdsnF
1221
2121
Greens teoremEks - Kurve C [1/4]Tangentiellform
C
dxyxyxdyxxy )23()24( 22
RCC
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAy
F
x
FdxFdyFdsnF
1221
2121
Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planetsom gir minimumsverdi av følgende integral:
C1
C2
C3
Greens teoremEks - Kurve C [2/4]Tangentialform
C
dxyxyxdyxxy )23()24( 22
44 )2()24(
)23()24(
24),23(,
:on)(sirkulasj lformTangentiel - teoremGreens Med
222212
2122
2221
RRR
CC
dAyxdAxydAy
F
x
F
dyFdxFdxyxyxdyxxy
xxyyxyxFFF
RCC
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAy
F
x
FdxFdyFdsnF
1221
2121
44)23()24( 2222 RC
dAyxdxyxyxdyxxy
C1
C2
C3
R1
R2
R3
Greens teoremEks - Kurve C [3/4]Tangentialform
RCC
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAy
F
x
FdxFdyFdsnF
1221
2121
44)23()24( 2222 RC
dAyxdxyxyxdyxxy
C1
C2
C3
R1
R2
R3
112
44
044
2
2
2
2
22
22
yx
yx
yx
044 22 yx
044 22 yx
044 22 yx
C
R
Siden integranden i dobbeltintegralet over Rer null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen Cog negativ innenfor ellipsen C,så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdinår området R er området innenfor den gitte ellipsen C.
Ellipsen C
Greens teoremEks - Kurve C [4/4]Tangentialform
RCC
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF
dAy
F
x
FdxFdyFdsnF
1221
2121
44)23()24( 2222 RC
dAyxdxyxyxdyxxy
112
044
2
2
2
2
22
yx
yx
Ellipsen C 24),23(, 2221 xxyyxyxFFF
CC
Greens teoremAreal som sirkel-integral - Innledning
R
dAA
Arealet av et område R i planet er gitt ved:
Vi skal se hvordan vi vha Greens teoremkan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integrallangs konturen av området.Det finnes uendelig mange slike formler.
x
y
C
R
Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt områdetnår vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.
Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF 12
21
Arealet av området R:
Greens teorem (tangentiell form)beregner arealet av R hvis:
x
y
C
RR
dAA
Greens teorem (tangentiell form):
1y
F
x
F 12
Mulig løsning:
CCRR
12
12
xdyxdydx0dA01dAA
0F xF
0y
F 1
x
F
CR
xdydAA
CR
xdydAA
Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF 12
21
Arealet av området R:
Greens teorem (tangentiell form)beregner arealet av R hvis:
x
y
C
RR
dAA
Greens teorem (tangentiell form):
1y
F
x
F 12
Mulig løsning:
CCRR
ydxdydxydAdAA
yFF
y
F
x
F
0)1(0
0
1 0
12
12
CR
ydxdAA
CR
ydxdAA
Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3
RCC
dAy
F
x
FdyFdxFdsTF 12
21
Arealet av området R:
Greens teorem (tangentiell form)beregner arealet av R hvis:
x
y
C
RR
dAA
Greens teorem (tangentiell form):
1y
F
x
F 12
Mulig løsning:
CRR
12
12
dxyxdy2
1dA
2
1
2
1dAA
y2
1F x
2
1F
2
1
y
F
2
1
x
F
CR
ydxxdy2
1dAA
CR
ydxxdydAA2
1
Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1
CCCR
ydxxdy2
1ydxxdydAA
ab
ya
dya
00ady0
dyxdyxdyxdyx
xdyA
by
0y
by
0y
II
IV 0III 0II aI 0
C
x
y C
a
b
I
II
III
IV
Beregn arealet av et rektangelmed sider a og b
Greens teoremAreal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2
CCCR
ydxxdy2
1ydxxdydAA
Beregn arealet av en sirkel med radius a
x
y
C
a
222t
0t
2
2t
0t
2
2t
0t
222
2t
0t
2222
2t
0t
C
a2a2
1ta
2
1
dta2
1
dttsintcosa2
1
dttsinatcosa2
1
dt)tsina(tsinatcosatcosa2
1
ydx-xdy2
1A
tdtcosady tsinay
tdtsinadx tcosax
2,0t asintacost,(t)r
Flate-integralAreal - Def
RS
dApf
fdSAreal
S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c
Planområdet R er projeksjonen av S (på figuren projeksjonen ned i xy-planet)
p enhetsnormalvektor på planområdet R
RS
dApf
fdSAreal
Arealet av S er gitt ved:
y
x
z
S
R
p
f
Flate-integralAreal - Bevis [1/2]
P
A
p
Q
R
S
PQRS parallellogramp enhetsnormalvektor på flaten A
p)vu(A
u
v
ps'uPP'QQ''uQQ'PP''uQQ'PP''u
QQ' 'uPP'
QQ'Q'P'PP'u
P’
Q’ R’
S’
pt'vPP'SS''uSS'PP''uSS'PP''v
SS' 'vPP'
SS'S'P'PP'v
0pp
ppstp'ut'vps'v'u)pt'v()ps'u(vu
A
'v'ucosp'v'up)'v'u(p)vu(
p)'v'u(p)vu(
1
'u 'v
RS
dApf
fdSAreal
Flate-integralAreal - Bevis [2/2]
RS
dApf
fdSA
S
Ak
p
fPk
Ak
R
kk
k
kkk
k
kkkkkkkkkk
dApf
fAreal ΔA
pf
f
fpf
ΔAΔP
f
pfcosγ cosγfcosγpfpf
cosγ
ΔAΔP cosγΔPcosγpvup)vu(ΔA
ku
kv
kk vup
RS
dApf
fdSAreal
R
Flate-integralAreal - Eks
Finn arealet av paraboloideflaten x2 + y2 – z = 0når paraboloiden kuttes av planet z = 4.
RS
dApf
fdSAreal
4
S
R
0,0,1p
222 2x y
La f(x,y,z) = x2 + y2 – z.Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0.
11pf
111)(02y02x0,0,112x,2y,pf
14y4x1)((2y)(2x)f
12x,2y,z
f,
y
f,
x
ff
zyxz)y,f(x,
22222
22
1)17(176
π1)dθ(17
12
1dθ1)(4r
12
1rdrdθ14r
dxdy14y4xdA1
14y4xdA
pf
fA
2π
0
2
32π
0
2
0
2
32
2π
0
2
0
2
R
22
R
22
R
Flate-integralAreal - Spesialtilfeller
Flate z = f(x,y)
La F(x,y,z) = z – f(x,y)S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0
4
S
R
0,0,1p
222 2x y
11pF
1110)f(0)f(0,0,1,1f,fpF
ff11)f()f(F
,1f,f,1y
f,
x
f
z
F,
y
F,
x
FF
y)f(x,zz)y,F(x,
yxyx
2y
2x
22y
2x
yx
R
2y
2x
R
2y
2x
R
dxdyff1dA1
ff1dA
pF
FA
y)f(x,z
R
2z
2x
R
2z
2y
R
2y
2x
dxdzff1A z)f(x,y
dydzff1A z)f(y,x
dxdyff1A y)f(x,z
RS
dApf
fdSAreal
Flate-integralDef
S Flate gitt ved f(x,y,z) = cg Kontinuerlig funksjon på SR Projeksjonen av Sp Enhetsnormal på R
RS
dApf
fgSgdSover g av integral-Flate
S
dA
f
p
dS
R
dApf
fSd dA
pf
fg Sgd
Sover g av integralFlate
RS
Fluks3D - Def
S Flate gitt ved f(x,y,z) = cF 3-dim vektorfeltR Projeksjonen av Sp Enhetsnormal på R
RS
dApf
fnFSdnF
S
dA
f
p
dS
R
dApf
fSd dA
pf
fnF SdnF
n retning i S flateorientert en over
Ft vektorfeldim-3et av Fluks
RS
n F
Fluks3D - Eks
Finn fluksen av F = [ 0, yz, z2 ]ut av flaten Savkuttet fra sylinderen y2 + z2 = 1, z 0og planene x = 0 og x = 1.
RS
dApf
fnFSdnF
y
x
z
nF
212dAdAz2
2zdA
pf
fnFdSnF
2z2zpf
2z0,0,10,2y,2zpf
z1z)zz(yzzyzy,0,zyz,0,nF
zy,0,2
0,2y,2z
f
fn
212zy24z4y(2z)(2y)0f
0,2y,2zz
f,
y
f,
x
ff
1z)y,f(x, nivåflaten S zyz)y,f(x,
RRRS
22322
2222222
22
Masse, moment og massesenter til tynne skallDef
M
M z
M
M y
M
M x
dSzδM dSxδM dSxδM
δdSdm M
xyxzyz
S
xy
S
xz
S
yz
SS
M
IR
δdSrI dS)yx(I dS)zx(I dS)zy(I
LL
S
2L
S
22z
S
22y
S
22x
Treghetsmoment
Masse
Moment
Massesenter
Gyrasjonsradius
Massesenter til tynne skallEks
Finn massesenteret til et tynt halvkuleskallmed radius a og konstant massetetthet .
y
x
2
a
δ2πa
δπa
M
Mz
δπaaaδdAaδdA2z
2azδdA
pf
fzδzdSδdSzδM
δ2πaa42
1δdSδδdSM
2z2zpf
2z0,0,12x,2y,2zpf
2azyx24z4y4x(2z)(2y)(2x)f
2x,2y,2zz
f,
y
f,
x
ff
az)y,f(x, nivåflaten S zyxz)y,f(x,
Symmetri 0yx
2
3xy
32
R avArealet
SRRSS
xy
22
S avArealet
SS
222222222
2222
z
S
R
S
S
S
Sxy
dApf
fδ
dApf
fzδ
δdS
dSzδ
M
Mz
Parameteriserte flaterDef
x
y
z
a
b
r(t)
C
(t)rr
y
x
z
S
[ ]t
u
v
r(u,v)
v)(u,rr
(t)rr
v)(u,rr
Kurve
Flate
Parameteriserte flaterAreal
S
A
p
f
S
A
ΔuΔvrrΔvrΔurΔS
Δvrv)(u,rΔv)v(u,r Δv
v)(u,rΔv)v(u,rr
Δu rv)(u,rv)Δu,(ur Δu
v)(u,rv)Δu,(urr
vuvu
vv
uu
v)u,(r
vvr
vu rrp
S
u
v
(u,v) u
v uur
v)u,(r
D
vu
RS
dudvrrdApf
fdSAreal
D
R
D
vu
RS
dudvrrdApf
fdSAreal
f
Parameteriserte flaterFlate-integral
S
A
p
f
S
A
ΔuΔvrrΔvrΔurΔS
Δvrv)(u,rΔv)v(u,r Δv
v)(u,rΔv)v(u,rr
Δu rv)(u,rv)Δu,(ur Δu
v)(u,rv)Δu,(urr
vuvu
vv
uu
v)u,(r
vvr
vu rrp
S
u
v
(u,v) u
v uur
v)u,(r
D
vu
RS
dudvrrgdApf
fggdS
D
R
D
vu
RS
dudvrrgdApf
fggdS
integralFlate
f
Parameteriserte flaterFlate-integral - Spesialtilfeller - Def
)y,x(fz
dxdyff1dxdyrrdS
1,f,ff,1,0f,0,1rr
f,1,0r f,0,1r )y,x(f,y,x)y,x(rr
2y
2xyx
yxyxyx
yyxx
Kartesiske koordinater
Sylinder-koordinater
Kule-koordinater
),r(fz
),(f
rdrdfr
1f1drdrrdS
rfrfrr
r,sinrfcosf,cosrf,sinfrr
),r(f,sinr,cosr),r(rr
2
2
2rr
22r
22r
rrr
dfdsin)ff(fddrrdS
sinffsinfffrr
r,sinrfcosf,cosrf,sinfr
cos),(f,sinsin),(f,cossin),(f),(rr
2222
2222422
rr
D
vu
RS
dudvrrgdApf
fggdS
integralFlate
Parameteriserte flaterEks 1 - Kjegle
0,1z yxz 22
r,sinr,cosr),r(rr
2,0 1,0r
r)sinr()cosr(yxz
sinry
cosrx
2222
x
y
z
r(t)
1
S
Kjegle
D
vu
RS
dudvrrgdApf
fggdS
integralFlate
Parameteriserte flaterEks 2 - Kule
2222 azyx
cosa,sinsina,cossina),(rr
,0 2,0
cosaz
sinsinay
cossinax
x
z
y
x
y
z
Kule
r(t)S
D
vu
RS
dudvrrgdApf
fggdS
integralFlate
Parameteriserte flaterEks 3 - Sylinder
5,0z 9)3y(x 22
z,sin6,2sin3
z,sinsin6,cossin6)z,(rr2
sin6r
0sin6r0r
0)sin6r(r
0sinr6r
0y6yx
99y6yx
9)3y(x
zz
sinry
cosrx
2
22
22
22
Sylinder
x
z
y
r(t) S
x
z
y
r(t) S
D
vu
RS
dudvrrgdApf
fggdS
integralFlate
3
Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [1/4]
0,1z yxz 22
r,sinr,cosr),r(rr
2,0 1,0rx
y
z
r(t)
1
S
Kjegle
D
vu
R
2y
2x
RS
dudvrrdxdyff1dApf
fdS
Areal
RS
dApf
fdSA
D
vu
S
dudvrrdSA
Beregn arealet av kjegleflaten
1Nivåflate
22 yxz)z,y,x(f
R
2y
2x
S
dxdyff1dSA2Spesialtilfelle )y,x(fz
3Parameterisering
Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [2/4]
2,0 1,0rx
y
z
r(t)
1
S
Kjegle
D
vu
R
2y
2x
RS
dudvrrdxdyff1dApf
fdS
Areal
212dA2dA1
2dA
pf
fdSA
11pf
11,0,01,yx
y,
yx
xpf
2111yx
yx1
yx
y
yx
xf
1,yx
y,
yx
x
1,y2)yx(2
1,x2)yx(
2
1
z
f,
y
f,
x
ff
2
RR RS
2222
22
222
22
2
22
2222
2222 21
21
1 Nivåflate 0z)y,f(x, :S )y(xzyxzz)y,f(x, 2
12222
0,1z yxz 22
Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [3/4]
2,0 1,0rx
y
z
r(t)
1
S
Kjegle
D
vu
R
2y
2x
RS
dudvrrdxdyff1dApf
fdS
Areal
2π1π2dA2
dxdyyx
yx1
dxdyyx
y
yx
x1
dxdy2y)y(x2
12x)y(x
2
11
dxdyff1dSA
)y(xyxf(x,.y)z
2
R
R22
22
R22
2
22
2
R
2
1222
122
R
2y
2x
S
2
12222
)y,x(fz
0,1z yxz 22
2 Spesialtilfelle
Parameteriserte flaterEks 4Areal av kjegleflate [4/4]
π,θ,r θ,rθ,rr(r,θrr 20 10sincos)
2,0 1,0rx
y
z
r(t)
1
S
Kjegle
D
vu
R
2y
2x
RS
dudvrrdxdyff1dApf
fdS
Areal
2ππ22
2dθ
2
2dθr
2
12dθrdr2
rdrdθ2
drdθrrdSA
2rr2r2rrrθ)sinr(θ)cosr(rr
θ,rsinrθ,cosr
0θcosrθsin-r
1θsinθcos
kji
rr
0θ,cosθ,rsin-rθ
rr 1θ,sinθ,cos
r
rr θ,rsinθ,rcosrr
π2θ
0θ
π2θ
0θ
1r
0r
1r
0r
2π2
0
1
0
D
D
θr
S
222222θr
θr
θr
3 Parameterisering
0,1z yxz 22
Parameteriserte flaterEks 5 - Flate-integral over kjegleflate
2,0 1,0rx
y
z
r(t)
1
S
Kjegle
4
22sin
4
1
2
1
4
2
2
2cos1
4
2
cos4
2
4
12cos2
cos22cos)cos(
222sincos
sincos
0cossin
1sincos
0cossin1sincossincos
2
0
2
0
2
0
22
0
1
0
1
0
42
0
1
0
23
232222
222222
πθ
θ
πθ
θ
πθ
θ
r
r
r
r
πθ
θ
r
r
DDD
θr
S
θr
θr
θr
dθ
dθdθrdθdrr
drdθrdrdθrrdrdθrrrdSx
rrrrrrθ)r(θ)r(rr
θ,rrθ,r
θrθ-r
θθ
kji
rr
θ,θ,r-rθ
rr θ,θ,
r
rr θ,rθ,rrr
Bestem integralet av G(x,y,z) = x2 over kjeglen 0,1z yxz 22
D
vu
RS
dudvrrgdApf
fggdS
integralFlate
Greens teoremDef - 2D
RRR
CC
dAFdAFdivdxdyy
F
x
F
dxFdyFdsnF
2 1
21
Green - Fluks - Divergens - Normalform
Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form
n
C
F
T
C
F
R
R
RRR
CC
dAkFdAkFcurldxdyy
F
x
F
dyFdxFdsTFC
)()( 12
21
RC
dAFdsnF
RC
dAkFdsTF
)(
Green - Div
Green - Curl
Gauss / Stokes teoremDef - 3D
DD
D
321
S
321
S
dVFdVFdiv
dxdydzz
F
y
F
x
F
dxdyFdzdxFdydzFdSnF
Gauss - Divergens
Stokes - Curl
SS
S
CCC
dSnFdSnFcurl
dxdyy
F
x
Fdzdx
x
F
z
Fdydz
z
F
y
F
dzFdyFdxFrdFdsTF
)(
123123
321
yx
z
S
CT
F
yx
z
S
n
FD
n
DS
dVFdSnF
SC
dSnFdsTF
)(
Gauss - Div
Stokes - Curl
Gauss / Stokes teoremBevis-skisse Gauss - 3D
yx
z
S
n
FD
DD
DS
V
S
zz
z
S
SS
SSSS
dVFdVFdiv
dxdydzz
F
y
F
x
FdSnF
dVz
F
dSdzz
F
dSzyxFzzyxF
dSFdSF
dSkFdSkFdSnFdSnF
xy
xy
bt
btbt
),,(),,(
)(
321
3
3
33
33
St
Sb
DS
dVFdSnF
SC
dSnFdsTF
)(
Gauss - Div
Stokes - Curl
Gauss / Stokes teoremBevis-skisse Stokes - 3D
SC
ABCDE
CDEBCEEABGreen
CDEBCEEABEABCDE
dSnFdsTF
dSnF
dSnFdSnFdSnF
dsTFdsTFdsTFdsTF
)(
)(
)()()(
A
B C
D
E
yx
z
S
CT
F
DS
dVFdSnF
SC
dSnFdsTF
)(
Gauss - Div
Stokes - Curl
n
Green - 2DGauss / Stoke - 3D
2D
Green - Normalform
3D
R
R
R
CC
dAF
dAFdiv
dxdyy
F
x
F
dxFdyFdsnF
21
21
Green - Tangensialform
R
R
R
C
CC
dAkF
dAkFcurl
dxdyy
F
x
F
dyFdxF
rdFdsTF
12
21
D
D
D
SS
dVF
dVFdiv
dxdydzz
F
y
F
x
F
dxdyFdzdxFdydzFdSnF
321
321
S
S
S
C
CC
dSnF
dSnFcurl
dxdyy
F
x
Fdzdx
x
F
z
Fdydz
z
F
y
F
dzFdyFdxF
rdFdsTF
123123
321
GaussDivergens
Stoke
Green’s teorem - Stoke’s teorem
ArealFluks
etFlukstetthDivergens
ArealnSirkulasjo
nstetthetSirkulasjoC
url
StokesCurl
DS
dVFdSnF
SC
dSnFdsTF
)(
RC
dAFdsnF
RC
dAkFdsTF
)(
Green / Gauss / StokesDef - 2D - 3D
DS
dVFdSnF
Gauss - Divergens
Stokes - Curl SC
dSn)F(dsTFC
RC
dAFdsnF
RC
dAk)F(dsTFC
Green - Divergens
Green - Curl
2D
3D
StokesMaksimal sirkulasjon
Stokes - Curl SC
dSn)F(dsTFC
Vektorfelt
FF curl
Maksimal sirkulasjoni dette planet
Maksimal sirkulasjonnår n er parallell med curl F
Stokes teoremEks 1 - Verifisering
Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ]Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9 z 0Rand : C : x2 + y2 = 9
SC
dSnFdsTF
)(
C y
x
z
S
RF
SC
dSnFdsTF
)(
Stokes teoremEks 1 - Sirkulasjon
18299)9(
9)cos(sin9)cos9sin9(
0,cos3,sin30,cos3,sin3
0,cos3,sin30,,
0,cos3,sin3 0,sin3,cos3)(
2
0
2222
ddrdFdsTF
ddd
drdF
xyF
drdr
rdFdsTF
CCC
CC
Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data:Vektorfelt : F = [ y, -x, 0 ]Kuleflate : S : x2 + y2 + z2 = 9 z 0Rand : C : x2 + y2 = 9
SC
dSnFdsTF
)(
C y
x
z
S
RF
Stokes teoremEks 1 - Flateintegral 1
183222
6)
3
2(
2
6,,
3
12,0,0
)()(
2,0,0
0
,,3
1
6
2,2,2 221,0,02,2,2
632922)2()2()2( 2,2,2,,
9),,( Nivåflaten: ),,( )(
2
222222
222
RR
R
RS
S
dAdAz
z
dAz
zyx
dApf
fnFdSnF
xyzyx
kji
F
zyxzyx
f
fnzzzyxkfpf
zyxzyxfzyxz
f
y
f
x
ff
zyxfSzyxzyxfdApf
fdSdSnF
SC
dSnFdsTF
)(
C y
x
z
S
RF
fn
kp
Stokes teoremEks 1 - Flateintegral 2
18322
)2(
1,0,02,0,0
)()(
2
2
R
R
R
RS
dS
dS
dS
dSnFdSnF
SC
dSnFdsTF
)(
C y
x
z
S
RF
kn
S2
Velger S2: x2 + y2 9 som ny flate.Også denne flaten har C som rand.
Stokes teoremEks 2 - Sirkulasjon
4tsin16t2sint2tcos3
8
dt)tcos16tsin4tcostsin8(rdFdsTF
dt)tcos16tsin4tcostsin8(
dt0,tcos2,tsin2tcos4,8,tsin2tcos4rdF
)tcos2(,24,tsin2)tcos2(x,z4,yxF
dt0,tcos2,tsin2rd 2,tsin2,tcos2)t(r
rdFdsTF
2t
0t
3
2
02
t2cos1
22
CC
22
22
2222
CC
Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x2-y, 4z, x2 ]langs (mot klokka) kurven Cfremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z = x2 + y2
SC
dSnFdsTF
)(
F
2,0 1,0rx
y
z
2C
Stokes teoremEks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate
4ddr)rcossinr2cosr4(
ddr2rr,sinr,cosr2r
11,cosr2,4dSn)F(
drd2rdrdrrdS
r,sinr,cosr2r
1
rr
rrn
1,cosr2,41,x2,4
xz4yxzyx
kji
F
2rrr r,sinr,cosrrr 0,cosr,sinrr
1,sin,cosr
2,0 2,0r r,sinr,cosr),r(rr
2
0
2r
0r
2
2
0
2r
0rS
r
r
r
22
rr
r
SC
dSnFdsTF
)(
F
2,0 2,0rx
y
z
n
2
S
Stokes teoremEks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate
SC
dSnFdsTF
)(
F
2,0 2,0rx
y
z n = [0,0,1]
2S
42dSdS1dS1,0,01,x2,4dSn)F(
1,x2,4
xz4yxzyx
kji
F
2
S avArealet
SSSS
22
Stokes teoremEks 3 - Oppgave
Bruk Stokes teorem til å beregne
for F = [ xz, xy, 3xz ]
hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z = 2som befinner seg i første oktantog C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra.
SC
dSnFdsTF
)(
C
rdF
F
xy
z
C
(1,0,0)
(0,2,0)
(0,0,2)
Stokes teoremEks 3 - Løsning
1)647()647(61,1,26
1,637,0)(
61
6
,637,0),22(3,0,3,0
3
11 11111021,0,01,1,2
1,1,26
1
6
1,1,2
6112 1,1,2,,
2),,( : 2),,(
)(
1
0
22
0
222
x
x
xy
yRRS
SC
dxdyyxdAyxdAyyxdSnF
dAdAdApf
fdS
yyxyyxxyzx
xzxyxzzyx
kji
F
pfkfpf
f
fn
fz
f
y
f
x
ff
zyxfNivåflatenSzyxzyxf
dApf
fdSdSnFrdF
SC
dSnFdsTF
)(
F
xy
z
C
(1,0,0)
(0,2,0)
(0,0,2)
n
Gauss teoremEks 1
Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet)for F = [ x, y, z ] over kula x2 + y2 + z2 = a2.
DDS
dVFdVFdivdSnF
x
z
y
F
Sa
n
33
kula av Volum
DDDD
a4a3
43dV3dV)111(dVz,y,x
z,
y,
xdVF
32
S av Overflaten
SS
222
SS
222222
2222
a4a4adSadS)zyx(a
1dSz,y,x
a
1z,y,xdSnF
z,y,xa
1
a2
z2,y2,x2
f
fn
a2zyx2)z2()y2()x2(f z2,y2,x2z
f,
y
f,
x
ff
a)z,y,x(f Nivåflate:S zyx)z,y,x(f
Gauss teoremEks 2
Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]ut av kubus-flaten i første oktantbegrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.
DDS
dVFdVFdivdSnF
2
3
2
1
2
1
2
1z
2
1z
2
1z
2
1dz)z
2
1
2
1(dzyzy
2
1y
2
1
dzdy)zy2
1(dzdyxzxyx
2
1dzdydx)zyx(
dVz
)xz(
y
)yz(
x
)xy(dVxz,yz,xy
z,
y,
x
dVFdSnF
1z
0z
21z
0z
1z
0z
1y
0y
2
1z
0z
1y
0y
1z
0z
1y
0y
1x
0x
21z
0z
1y
0y
1x
0x
DD
integralDivergens
D
fluks Utgående
S
y
x
z
S
n
F
D
Gauss teoremEks 2 - Alternativ: Symmetri
Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ]ut av kubus-flaten i første oktantbegrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1.
DDS
dVFdVFdivdSnF
2
3
2
13
2
133)(
)()()(,,,,
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
integralDivergensfluks Utgående
x
x
x
x
z
z
y
y
x
x
DD
DS
xxdxdzdydxzyx
dVz
xz
y
yz
x
xydVxzyzxy
zyx
dVFdSnF
yx
z
S
n
F
D
Symmetriegenskaper
ENDENDENDEND