vektor - ilkomadri.com · sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. dalam...
TRANSCRIPT
![Page 1: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/1.jpg)
VEKTOR
Adri Priadana
ilkomadri.com
![Page 2: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/2.jpg)
Pengertian
Dalam Fisika dikenal dua buah
besaran, yaitu
1. Besaran Skalar
2. Besaran Vektor
![Page 3: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/3.jpg)
Pengertian
• Besaran Skalar adalah suatu besaran
yang hanya mempunyai nilai dan
dinyatakan dengan suatu bilangan tunggal
disertai dengan sistem satuan yang
digunakan.
Contoh :
• Massa mobil 500 kg
• Tinggi menara 20 m
![Page 4: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/4.jpg)
Pengertian
• Besaran Vektor adalah suatu besaran
yang mempunyai nilai dan arah.
• Contoh: sebuah mobil bergerak dengan
kecepatan 20 meter/detik ke selatan.
![Page 5: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/5.jpg)
Pengertian
= notasi untuk vektor
• Titik pangkal di A
• Titik ujung di B
• Arah vektor dari A menuju B
• Besar vektor ditunjukan oleh panjang garis AB = |AB|
A
BA B
A B
![Page 6: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/6.jpg)
Pengertian
Notasi Vektor
• Huruf kapital, A atau
• Vektor juga dapat ditulis dalam huruf kecil
tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar
ditulis dengan huruf kecil miring ( a, k, v,
w, dan x)
• huruf kecil diberi tanda garis di atas huruf
, huruf kecil diberi tanda garis di bawah
huruf
a
a
![Page 7: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/7.jpg)
Vektor Di Ruang R2
• Vektor di dalam dimensi dua (R2)
• Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2)
21 a,aOAa
2
1
a
aa
Vektor posisi dari A
X
A
a1
a2
O
Y
![Page 8: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/8.jpg)
Vektor Di Ruang R2
Vektor basis di ruang R2 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j
X
j = (0,1)
Y
i = (1,0)
Contoh Vektor a = 2i + 5j artinya sama dengan
a = = [2, 5] = 2 (1,0) + 5(0,1) = 2 + 5
5
2
0
1
1
0
![Page 9: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/9.jpg)
Vektor Di Ruang R3
• Vektor di dalam dimensi tiga (R3)
• Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2,a3)
321 a,a,aOAa
3
2
1
a
a
a
a
Vektor posisi dari A
Y
Z
A
a1
a3
X
a2O
![Page 10: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/10.jpg)
Vektor Di Ruang R3
Vektor basis di ruang R3 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j, sedangkan vektor dalam sumbu Z dinyatakan dgn kY
k = (0,0,1)
Z
j = (0,1,0)
Xi = (1,0,0)
Contoh Vektor a = 2i + 5j + 3k artinya sama dengan
a = = [2,5,3] = 2 (1,0,0) + 5 (0,1,0) + 3(0,0,1) = 2 + 5 + 3
352
001
010
100
![Page 11: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/11.jpg)
Vektor Di Ruang Rn
• Vektor a di ruang Rn dinyatakan sebagai
a = [a1, a2, a3, ....., an]
• Panjang sebuah vektor a disebut norma a dinyatakan dgn
• Vektor satuan dalam arah a adalah
22
3
2
2
2
1 .... naaaaa
a
aaaae
na
],....,,,[ 321
![Page 12: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/12.jpg)
Vektor Di Ruang Rn
• Contoh
Tentukan panjang vektor a = i + 2j – 3k dan vektor satuan dalam arah a !
14)3(21 222 a
14
3,
14
2,
14
1
14
]3,2,1[ae
![Page 13: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/13.jpg)
Jarak Euclidean
Antara Dua Vektor
• Jarak vektor a = [a1,a2,a3,...,an] dan
vektor b = [b1,b2,b3,....,bn] dinyatakan
sebagai
22
33
2
22
2
11 ..... nn babababaab
![Page 14: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh
Jarak Euclideannya vektor a = i + 2j - 3k dan
vektor b = 2i + 5j - 4k adalah
Jarak Euclidean
Antara Dua Vektor
11191)4(35221222
ab
![Page 15: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/15.jpg)
Operasi – Operasi pada Vektor
• Kesamaan Dua Buah Vektor
Dua buah vektor a dan b dikatakan sama jika
keduanya memiliki besar dan arah yang sama, dan ditulis a = b
a b
![Page 16: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/16.jpg)
Operasi – Operasi pada Vektor
• Negatif Sebuah Vektor
Vektor (-a) adalah vektor yang mempunyai
arah berlawanan dengan vektor a tetapi
panjangnya sama dengan panjang vektor a.
a -a
![Page 17: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/17.jpg)
Operasi – Operasi pada Vektor
• Penjumlahan atau Resultan VektorJumlah atau resultan dari dua vektor a dan b adalah
sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan
titik awal dari b pada titik terminal dari a dan kemudian
menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal
dari b
Maka resultan dari a + b = c
a ab
b
a + b = c
![Page 18: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/18.jpg)
Operasi – Operasi pada Vektor
• Pengurangan Vektor
Selisih dari dua vektor a dan b ditulis a – b adalah
vektor c yang apabila ditambahkan pada bmenghasilkan vektor a. Secara ekuivalen dapat
ditulis a – b = a + (- b)
a b
- ba – b
![Page 19: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/19.jpg)
Operasi – Operasi pada Vektor
• Perkalian Vektor dgn Skalar
Hasil kali vektor a dengan skalar m adalah sebuah
vektor ma yang besarnya |m| kali besar vektor a dan
arahnya
– searah dengan a jika m > 0
– berlawanan arah dengan a jika m < 0
– tak tentu jika m = 0
![Page 20: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/20.jpg)
Sifat pada Operasi Vektor
1. a + b = b + a (komutatif)
2. (a + b) + c = a + (b + c) (asosiatif)
3. k(a + b) = ka + kb (distributif)
4. a + 0 = a
5. a +(- a) = 0
![Page 21: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/21.jpg)
Dot Product / Inner Product
• Dot Product atau Perkalian Titik antara dua
vektor menghasilkan skalar.
• Bila dan adalah vektor-vektor
di Rn, θ adalah sudut antara a dan b (0 ≤ θ ≤ )
na
aa
a:2
1
nb
bb
b:2
1
π
na
aa
a:2
1
nb
bb
b:2
1
θ
ba
![Page 22: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/22.jpg)
Dot Product / Inner Product
maka dot product/inner product dari a dan b, disajikan sebagai a ● b adalah suatu skalar yg didefinisikan sbg berikut:
a ● b = a1b1 + a2b2 + ..... +anbn
dimana sudut antara dua vektor tersebut :
Dengan merupakan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor
• bila tumpul
• bila lancip
• bila saling tegak lurus
ba
ba cos
0ba
0ba
0ba
![Page 23: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/23.jpg)
Dot Product / Inner Product
Contoh:
Diketehui : vektor a = [2,-2,1] dan b = [1,3,5],
berapa cosinus sudut antara kedua vektor tsb?
391)2(2 222 a
35531 222 b 353
1 cos
ba
ba
Jawab
a ● b = 2.1 + (-2).3 + 1.5 = 1
![Page 24: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/24.jpg)
Cross Product (Perkalian Silang)
Jika a = (a1 , a2 ,a3)
dan b = (b1 , b2 , b3) adalah vektor di
ruang R3, maka hasil kali silang a x b adalah vektor c yang tegak lurus
terhadap a dan b yg didefinisikan
θ
a
b
c
oleh determinan berikut
a x b = =
a x b = (a2 b3 – a3 b2 , -a1 b3 – a3 b1 , a1 b2 – a2 b1 )
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
21
21
31
31
32
32,,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
![Page 25: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/25.jpg)
Cross Product (Perkalian Silang)
i j k
1 2 -2
3 0 1
Contoh
Carilah a x b di mana a = [1, 2, -2] dan
b = [3, 0, 1]
03
21,
13
21,
10
22Jawab
maka a x b =
= [2, -7, -6]
![Page 26: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/26.jpg)
Proyeksi
Jika a dan b adalah vektor-vektor ruang-2 atau ruang-3,
dan jika ≠ 0, maka proyeksi vektor a sepanjang b adalah
(komponen vektor a sepanjang b )
b
bb
baa
2b
![Page 27: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/27.jpg)
Proyeksi
Contoh
a = (2, -1, 3) b = (4, -1, 2)
Carilah komponen vektor a sepanjang b !
212)1(4 2222b
)7
10,
7
5,
7
20()2,1,4(
21
15
2b
b
b
baa
Jawab
a ● b = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15
![Page 28: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/28.jpg)
Vektor Orthogonal
dan Orthonormal
Vektor a dan b dikatakan orthogonal jika kedua
vektor tersebut saling tegak lurus. Ini berlaku
persamaan berikut
a ● b = 0
Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika
besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku
persamaan berikut
1a
![Page 29: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/29.jpg)
Vektor Orthogonal
dan Orthonormal
Contoh
Berikut adalah contoh himpunan vektor yang
saling tegak lurus (orthogonal)
karena dan dan
Ketiga vektor di atas hanya saja yg orthonormal,
karena panjangnya 1
300
020
001
0020
.001
0300
.001
0020
.300
001
![Page 30: VEKTOR - ilkomadri.com · Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku persamaan berikut a 1. Vektor Orthogonal dan Orthonormal Contoh](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022052216/5c7999a609d3f2a9708b8704/html5/thumbnails/30.jpg)
Matur Nuwun