Vektorová algebra

Súradnice bodu na priamke a v rovine

0-2

B

-6 -4 1 32 4 5 76 8

A C D

Xy1

x10

y

x

X[x1,y1]

X[x1]

Sústava súradníc v priestorez

M [x1,y1,z1]

y

M´

M

z1

0

x1

x

y1

Vzdialenosť dvoch bodov

Vzdialenosť dvoch bodov A, B sa rovná veľkosti úsečky AB.

Vzdialenosť dvoch bodov na priamke

12 xxAB

0

x1 x2

BA

Vzdialenosť dvoch bodov

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine – odvodíme

z Pytagorovej vety

212

2

12

2

12

2

12

2

2

12

2

12

2

12

12

yyxxAB

yyxxAB

yyxxAB

yyBC

xxAC

A

x1 x2 x

y1

y2

y

C

B

0

Vzdialenosť dvoch bodov

Vzdialenosť dvoch bodov v priestore

212

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

zzyyxxAB

zzyyxxAB

y

A´

A

z1

0

x1

x

y1

B

B´

x2

y2

z2

z

Stred úsečky

A

x1 x2 x

y1

y2

y

C

B

0

SAB

xS

yS

𝑆𝐴𝐵 =𝐴 + 𝐵

2

Vektory

Vektory

A

B

Veľkosť vektora

𝑢 = 𝑢12 + 𝑢2

2

𝑢 = 𝑢1

Vektory

𝑢

Príklad: A[5;-8], B[-7;-3].

Pre súradnice opačného vektora platí: −𝑢 = −𝑢1; −𝑢2

−𝑢

Súčet vektorov

𝑢 𝑣

𝑢 + 𝑣

Súradnice súčtu dvoch vektorov:𝑢 ; 𝑣; 𝑤 = 𝑢 + 𝑣• na priamke: 𝑤 = (u1 + v1)• v rovine: 𝑤 = (u1 + v1, u2 + v2)• v priestore: 𝑤 = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

Rozdiel vektorov

𝑢 – 𝑣 = 𝑢 + − 𝑣

Súradnice rozdielu dvoch vektorov:

𝑢 ; 𝑣; 𝑤 = 𝑢 – 𝑣

• na priamke: 𝑤 = (u1 – v1)

• v rovine: 𝑤 = (u1 – v1, u2 – v2)

• v priestore: 𝑤 = (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3)

𝑢

𝑣

− 𝑣

𝑢 − 𝑣

Súčin vektora a čísla

Súčin vektora 𝑢 a čísla k R je vektor 𝑤 rovnobežný s vektorom 𝑢, o ktorom platí:

1. Jeho veľkosť je |k|-krát väčšia ako veľkosť vektora 𝑢.

2. Jeho súradnice sú:◦ Ak 𝑢 je vektor na priamke: 𝑤 = (k.u1)

◦ Ak 𝑢 je vektor v rovine: 𝑤 = (k.u1; k.u2)

◦ Ak 𝑢 je vektor v priestore: 𝑤 = (k.u1; k.u2 ; k.u3)

𝑤 = 𝑘 ∙ 𝑢

Uhol dvoch vektorov

𝑢

Nech sú dané dva vektory 𝑢 a 𝑣. Uhlom týchto dvoch vektorov nazývame uhol, ktorý zvierajú orientované úsečky týchto vektorov umiestnené do jedného bodu.

Veľkosť uhla vektorov 𝑢 a 𝑣vypočítame podľa vzorca:

cos𝜑 =𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2

𝑢 ∙ 𝑣

𝑣

Skalárny súčin dvoch vektorov

Skalárny súčin dvoch vektorov 𝑢, 𝑣 je reálne číslo 𝑢 ∙ 𝑣, ktoré vypočítame:

𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ cos𝜑

Nech 𝑢 = (u1, u2), 𝑣 = (v1, v2) sú vektory v rovine. Potom skalárny súčin vyjadríme v tvare:

𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2

Platí, že dva vektory sú na seba kolmé práve vtedy, ak sa ich skalárny súčin rovná nule.

Teda: 𝑢 𝑣 ⇔ 𝑢 ∙ 𝑣

Vektorový súčin dvoch vektorov

sa dá vyjadriť a počítať iba v trojrozmernom priestore,

výsledkom vektorového súčinu je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu) a vypočítame ho:

𝑢 × 𝑣 = (u2v3 – v2 u3; u3v1 – v3u1; u1v2 – v1u2)

Nech 𝑢 × 𝑣 = 𝑤. Potom:

1. 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣

2. |𝑢 × 𝑣| =|𝑢| . | 𝑣| . sin φ

3. vektory 𝑢; 𝑣;𝑤 tvoria pravotočivú sústavu