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Vektorraume Definition und Geometrie von Vektoren

Ubersicht Kapitel 9Vektorraume

9.1 Definition und Geometrie von Vektoren

9.2 Teilraume

9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme

9.4 Lineare Abhangigkeiten und lineare Unabhangigkeiten

9.5 Basis und Dimension

Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 293 / 669


Ubersicht Kapitel 9Vektorraume


9.2 Teilraume






Kapitel 9 Vektorraume

9.1 Definition und Geometrievon Vektoren



K -Vektorraume

Definition 4.1.1 (K -Vektorraum)

Es sei (K , +, ·) ein Korper.Ein K -Vektorraum ist eine Menge V zusammen mit Abbildungen

+ : V × V → V (~v , ~w) 7→ ~v + ~w (Addition)· : K × V → V (s, ~v) 7→ s · ~v (skalare Mult.)

fur die die folgenden Regeln gelten:



K -Vektorraume (Forts.)

Definition 4.1.1 (K -Vektorraum)

(i) (V ,+) ist kommutative Gruppe; das neutrale Element der Addition istder Nullvektor ~0. Das inverse Element zu ~v wird mit −~v bezeichnet.

(ii) 1 · ~v = ~v fur alle ~v ∈ V . (Dabei bezeichnet 1 das Einselement desKorpers K .)

(iii) (s · s ′) · ~v = s · (s ′ · ~v) fur alle s, s ′ ∈ K , ~v ∈ V .

(iv) (s + s ′) · ~v = (s · ~v) + (s ′ · ~v) fur alle s, s ′ ∈ K , ~v ∈ V .

(v) s · (~v + ~w) = (s · ~v) + (s · ~w) fur alle s ∈ K , ~v , ~w ∈ V .Die Elemente von V heißen Vektoren.

Achtung: Die Symbole “+” und “·” werden ublicherweise sowohl furAddition und Multiplikation im Korper K als auch fur Addition undSkalarmultiplikation fur den Vektorraum V verwendet !



Vektorraume und Module

Bemerkung: Ist (K ,+, ·) kein Korper, sondern nur ein Ring mit Eins, sospricht man statt von einem K -Vektorraum von einem K -Modul.



Vektorraume – Beispiel K n

Eines der wichtigsten Beispiele ist der Vektorraum Kn der n-dimensionalenSpaltenvektoren

~x =

x1

x2...xn

mit x1, . . . , xn ∈ K . Addition und Skalarmultiplikation werden hier wiefolgt definiert:

x1

x2...xn

+

y1

y2...yn

=

x1 + y1

x2 + y2...

xn + yn

, s ·

x1

x2...xn

=

s · x1

s · x2...

s · xn



Vektorraume – Beispiel K n

Beweis: z.z.: Kn ist ein Vektorraum

Wiederholung Definition K -Vektorraum

Sei (K , +, ·) ein Korper. Ein K -Vektorraum ist eine Menge V zusam-men mit Abbildungen

+ : V × V → V (~v , ~w) 7→ ~v + ~w

· : K × V → V (s, ~v) 7→ s · ~v

Fur s, s ′ ∈ K , ~v , ~w ∈ V soll gelten:

(i) (V ,+) ist eine kommutative Gruppe.

(ii) 1 · ~v = ~v

(iii) (s · s ′) · ~v = s · (s ′ · ~v)

(iv) (s + s ′) · ~v = (s · ~v) + (s ′ · ~v)

(v) s · (~v + ~w) = (s · ~v) + (s · ~w)

z.z.: (Kn,+) ist eine kommutative Gruppe:

~x + ~y = ~y + ~x

(~x + ~y) + ~z = ~x + (~y + ~z)

~0 =(0 . . . 0

)t ~x =

x1...xn

⇒ −~x =

−x1...−xn

Sei ~x ∈ Kn.

1 · ~x = 1 ·

x1...xn

=

1 · x1...

1 · xn

=

x1...xn

= ~x

Folgt aus der Assoziativitat der Multiplikation in K . Folgen aus derDistributivitat in K .



Vektorraume – Beispiele Ebene, Raum

Fur K = R und n = 2 kann man sich den Vektorraum R2 als Ebene mitublicher Vektoraddition und skalarer Multiplikation vorstellen.

Entsprechend kann man sich den Vektorraum R3 als “normalen”dreidimensionalen Raum vorstellen.



Vektorraume – Beispiele Ebene, Raum (Forts.)

x1y1 x1+y1

x2

y2

x2+y2

~x

32~x

~y

~x + ~y

Figure : Addition und Streckung von Vektoren in der Ebene.



Vektorraume – Beispiel Matrizen

Seien m, n ∈N. Ein Schema der Form

A =

a11 a12 · · · a1m

a21 a22 · · · a2m...

an1 an2 · · · anm

mit aij ∈ K heißt Matrix, genauer n×m-Matrix uber K . n ist dabei dieAnzahl der Zeilen und m die Anzahl der Spalten.

Die Menge aller n ×m-Matrizen uber K wird mit Kn×m bezeichnet.

Eine n×1-Matrix ist nichts anderes als ein n-dimensionaler Spaltenvektor.



Vektorraume – Beispiel Matrizen (Forts.)

Seien A,B ∈ Kn×m n×m-Matrizen, A = (aij),B = (bij).

Wir definieren eine Verknupfung (Addition) “+” auf Kn×m wie folgt:

A + B := (aij + bij),

d.h. Matrixelemente auf derselben Position werden addiert.

Weiterhin definieren wir die skalare Multiplikation “·” wie folgt:Fur s ∈ K und A = (aij) ∈ Kn×m sei

s · A := (s · aij),

d.h. alle Matrixelemente werden mit dem Skalar s multipliziert.

Die Menge Kn×m der n ×m Matrizen uber K ist mit der Matrixadditionund der Skalarmultiplikation ein K -Vektorraum. ♣



Vektorraume – Beispiel Funktionenraum

Es sei M eine beliebige Menge und K ein beliebiger Korper.

Dann wird die Menge KM der Abbildungen von M nach K mit derfolgenden Addition und Skalarmultiplikation zu einem Vektorraum:Fur f , g ∈ KM und s ∈ K definieren wir

(f + g)(x) := f (x) + g(x) fur alle x ∈ M,

(s · f )(x) := s · f (x) fur alle x ∈ M.

Der Nullvektor dieses Vektorraums ist die Nullabbildung, d.h. x 7→ 0 furalle x ∈ M.

Das Inverse zu f ist die Abbildung −f mit −f (x) := −(f (x)). ♣



Rechnen mit Vektoren

Lemma 4.1.2 (Rechenregeln in Vektorraumen)

Es sei (K ,+, ·) ein Korper und (V ,+, ·) ein K -Vektorraum. Dann gilt:

(i) 0 · ~v = ~0 fur alle ~v ∈ V .

(ii) s ·~0 = ~0 fur alle s ∈ K .

(iii) Fur s ∈ K und ~v ∈ V gilt: s · ~v = ~0⇐⇒ (s = 0 ∨ ~v = ~0).

(iv) (−s) · ~v = −(s · ~v) fur alle s ∈ K , ~v ∈ V .






(i) 0 · ~v = ~0 fur alle ~v ∈ V .

(ii) s ·~0 = ~0 fur alle s ∈ K .



Beweis: (i) Sei ~v ∈ V

0 · ~v = (0 + 0) · ~v= 0 · ~v + 0 · ~v | − 0 · ~v

⇒ 0 · ~v = ~0






(i) 0 · ~v = ~0 fur alle ~v ∈ V .

(ii) s ·~0 = ~0 fur alle s ∈ K .



Beweis: (ii) Sei s ∈ K .

s ·~0 = s · (~0 +~0)

= s ·~0 + s ·~0 | − s ·~0⇒ s ·~0 = ~0






(i) 0 · ~v = ~0 fur alle ~v ∈ V .

(ii) s ·~0 = ~0 fur alle s ∈ K .



Beweis: (iii) Seien s ∈ K und ~v ∈ V .

”‘⇒”’ Sei s · ~v = ~0. z.z.: s = 0 oder ~v = ~0s = 0 Xs 6= 0 ⇒ ∃s−1 ∈ K :

~0 = s · ~v | · s−1 ⇔ ~0 = s−1 · (s · ~v) = (s−1 · s) · ~v= 1 · ~v = ~v

.Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 309 / 669





(i) 0 · ~v = ~0 fur alle ~v ∈ V .

(ii) s ·~0 = ~0 fur alle s ∈ K .



Beweis: (iii) Seien s ∈ K und ~v ∈ V .

”’⇐”’ Klar wegen (i) und (ii).






(i) 0 · ~v = ~0 fur alle ~v ∈ V .

(ii) s ·~0 = ~0 fur alle s ∈ K .



Beweis: (iv) Seien s ∈ K , ~v ∈ V .z.z.: (−s) · ~v ist das (additive) Inverse zu s · ~v in K .

(−s) · ~v + s · ~v = (−s + s) · ~v= 0 · ~v= ~0



Multiplizieren von Matrizen

Definition 4.1.3 (Matrixmultiplikation)

Es seien l ,m, n ∈ N und A = (aik) ∈ Kn×m,B = (bkj) ∈ Km×l . Dann istdas Produkt A · B ∈ Kn×l wie folgt definiert:

(A · B)ij := ai1 · b1j + ai2 · b2j + · · ·+ ain · bnj =m∑

k=1

aik · bkj

Es muss also gelten

Spaltenzahl der linken Matrix = Zeilenzahl der rechten Matrix.

Wenn l = m = n ist, dann lassen sich je zwei Matrizen derselben Art (alsoaus Kn×n) miteinander multiplizieren.



Matrizenring

Satz 4.1.4 (Ring der n × n Matrizen)

Die Menge Kn×n der n × n Matrizen uber einem Korper K bildenzusammen mit der oben definierten Addition und Multiplikation einennicht-kommutativen Ring mit Einselement

En =

1 0 · · · 00 1 · · · 0

...0 0 · · · 1

.



Matrizenring


Die Menge Kn×n der n × n Matrizen uber einem Korper K bildenzusammen mit der oben definierten Addition und Multiplikation einennicht-kommutativen Ring mit Einselement En.

Beweis:

(Kn×n,+) ist eine kommutative Gruppe

die Eigenschaften der Addition von dem Korper K ubertragen sich aufdie Addition von Matrizendas neutrale Element ist die Nullmatrix



Matrizenring



Beweis:


Die Matrixmultiplikation ist assoziativ.



Matrizenring

Die Matrixmultiplikation ist assoziativ:Sei A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Kn×n.

((A · B) · C )ij=n∑

k=1

(A · B)ik · ckj =n∑

k=1

(n∑

l=1

ail · blk) · ckj

=n∑

k=1

n∑l=1

ail · blk · ckj =n∑

l=1

n∑k=1

ail · blk · ckj

=n∑

l=1

ail · (n∑

k=1

blk · ckj︸︷︷︸(B·C)lj

)=(A · (B · C ))ij



Matrizenring



Beweis:



Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.



Matrizenring

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.

Gegenbeispiel:(2 34 1

)(1 23 4

)=

(2 · 1 + 3 · 3 2 · 2 + 3 · 44 · 1 + 1 · 3 4 · 2 + 1 · 4

)=

(11 167 12

)(

1 23 4

)(2 34 1

)=

(1 · 2 + 2 · 4 1 · 3 + 2 · 13 · 2 + 4 · 4 3 · 3 + 4 · 1

)=

(10 522 13

)



Matrizenring



Beweis:



Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ

En ist das neutrale Element bzgl. der Matrixmultiplikation



Matrizenring


Sei A = (aij) ∈ Kn×n.

A · En = (aik)(ekj) = (n∑

k=1

aikekj)

= (aijejj)

= (aij).

Ebenso zeigt man, dass En · A = (eik)(akj) = (aij) ist.



Matrizenring



Beweis:



Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ


Matrizen sind im Allgemeinen nicht invertierbar (bezgl. derMatrixmultiplikation). Invertierbare Matrizen in Kn×n heißen auch regular.



Transponierte Matrizen

Manchmal benotigt man Matrizen in einer “umgedrehten” Form, d.h. mitvertauschten Zeilen und Spalten:

A =

a11 a12 · · · a1m

a21 a22 · · · a2m...


Transponierung−→ At =

a11 a21 · · · an1

a12 a22 · · · an2...

a1m a2m · · · anm

At heißt transponierte Matrix von A. Ist A ∈ Kn×m, so ist At ∈ Km×n.



Skalarprodukt

(Spalten)Vektoren aus Kn sind n × 1-Matrizen:Kn ≡ Kn×1.

Kann man Vektoren miteinander multiplizieren?Im Prinzip ja, wenn man einen von ihnen transponiert.

Sei

~x =

x1

x2...xn

, ~y =

y1

y2...yn

.

Dann ist~x • ~y := ~x t · ~y = x1y1 + . . .+ xnyn ∈ K

das Skalarprodukt auf Kn.



Skalarprodukt – Beispiele

Beispiele: Betrachte die Vektoren

~u =

(20

), ~v =

(11

), ~x =

(22

), ~y =

(02

).

Es ist~u • ~v = 2~x • ~y = 4~u • ~y = 0~v • ~x = 4



Geometrie von Vektoren im Rn

Definition 4.1.5 (Lange von Vektoren)

Die Lange eines Vektors ~v =

v1

v2...vn

∈ Rn ist definiert als

| ~v |=√v2

1 + v22 + . . .+ v2

n .

Es ist also| ~v |=

√~v • ~v .



Geometrie von Vektoren (Forts.)

Seien ~x , ~y ∈ Rn, sei ∠(~x , ~y) der Winkel zwischen diesen Vektoren.

Man kann zeigen:

Cosinus und Skalarprodukt

~x • ~y =| ~x || ~y | cos∠(~x , ~y).

1

1| ~a || ~b |

Θ

cos Θ

| ~a || ~b | cos Θ



Skalarprodukt, Cosinus und Ahnlichkeiten

Folgendes Lemma lasst sich leicht beweisen:

Lemma 4.1.6

Seien ~x , ~y ∈ Rn Vektoren.

Stehen ~x , ~y aufeinander senkrecht, so gilt ~x • ~y = 0.

cos∠(~x , ~y) =~x • ~y| ~x || ~y |

.

Wegen der Beziehung zum Cosinus wird das Skalarprodukt inAnwendungen (z.B. Information Retrieval, Suchmaschinen) oft alsAhnlichkeitsmaß verwendet.



Cosinus und Ahnlichkeit – Beispiel

Betrachte die Vektoren

~u =

(20

), ~v =

(11

), ~x =

(22

), ~y =

(02

).

Es ist | ~u |= 2, | ~v |=√

2, | ~x |= 2√

2, | ~y |= 2.

~u • ~v = 2 cos∠(~u, ~v) = 1√2

~x • ~y = 4 cos∠(~x , ~y) = 1√2

~u • ~y = 0 cos∠(~u, ~y) = 0 orthogonal~v • ~x = 4 cos∠(~v , ~x) = 1 vollkommen ahnlich!

♣


Vektorraume Teilraume

Ubersicht Kapitel 9 Vektorraume


9.2 Teilraume







9.2 Teilraume



Untervektorraume

Definition 4.2.1 (Teilraume, Untervektorraume)

Es sei (K ,+, ·) ein Korper und (V ,+, ·) ein K -Vektorraum.Sei U ⊆ V eine Teilmenge von V . U heißt Teilraum oder Untervektorraumvon V , wenn es die folgenden Bedingungen erfullt:

(i) U 6= ∅,(ii) ~v , ~w ∈ U =⇒ (~v + ~w) ∈ U,

(iii) s ∈ K , ~v ∈ U =⇒ (s · ~v) ∈ U.

Satz 4.2.2

Ein Teilraum U eines K -Vektorraumes (V ,+, ·) zusammen mit derEinschrankung der Addition +|U×U und Skalarmultiplikation ·|K×U auf Uist selbst wieder ein K -Vektorraum.



Untervektorraume


Es sei (K ,+, ·) ein Korper und (V ,+, ·) einK -Vektorraum. Sei U ⊆ V , U heißt Teil-raum von V , wenn gilt:

(i) U 6= ∅,(ii) ~v , ~w ∈ U ⇒ (~v + ~w) ∈ U,

(iii) s ∈ K , ~v ∈ U ⇒ (s · ~v) ∈ U.

Beweis: Sei U Teilraum eines K -Vektorraumes (V ,+, ·).z.z.: (U,+|U×U , ·|K×U) ist ein K -Vektorraum

Wohldefiniertheit:

+|U×U : U × U → U (~v , ~w) 7→ ~v + ~w X(ii)

·|K×U : K × U → U (s, ~v) 7→ s · ~v X(iii)



Untervektorraume



(i) U 6= ∅,(ii) ~v , ~w ∈ U ⇒ (~v + ~w) ∈ U,

(iii) s ∈ K , ~v ∈ U ⇒ (s · ~v) ∈ U.


Wohldefiniertheit(U,+) ist eine kommutative Gruppe

Kommutativitat ubertragt sich aus VAssoziativitat ubertragt sich aus Vneutrales Element:

U 6= ∅ ⇒ ∃~v ∈ U

⇒ 0 · ~v ∈ U



Untervektorraume



(i) U 6= ∅,(ii) ~v , ~w ∈ U ⇒ (~v + ~w) ∈ U,

(iii) s ∈ K , ~v ∈ U ⇒ (s · ~v) ∈ U.


Wohldefiniertheit(U,+) ist eine kommutative Gruppe

Kommutativitat ubertragt sich aus VAssoziativitat ubertragt sich aus Vneutrales Element ~0 ∈ Uinverse Elemente : Sei ~v ∈ U. Dann gilt:

−~v = −(1 · ~v) = (−1) · ~v ∈ U



Untervektorraume



(i) U 6= ∅,(ii) ~v , ~w ∈ U ⇒ (~v + ~w) ∈ U,

(iii) s ∈ K , ~v ∈ U ⇒ (s · ~v) ∈ U.


Wohldefiniertheit

(U,+) ist eine kommutative Gruppe

1 · ~v = ~v ∀~v ∈ V ubertragt sich aus V

(s · s ′) · ~v = s · (s ′ · ~v) ∀s, s ′ ∈ K , ~v ∈ V ubertragt sich aus V

(s + s ′) · ~v = (s · ~v) + (s ′ · ~v) ∀s, s ′ ∈ K , ~v ∈ V ubertragt sich aus V

s · (~v + ~w) = (s · ~v) + (s · ~w) ∀s ∈ K , ~v , ~w ∈ V ubertragt sich aus V



Charakterisierung von Teilraumen

Korollar 4.2.3 (Teilraume und Nullvektor)

Zu jedem Teilraum gehort der Nullvektor ~0.

Beweis: Sei U ein Teilraum.

⇒ U 6= ∅⇒ ∃~v ∈ U

⇒ 0 · ~v = ~0 ∈ U




Lemma 4.2.4 (Charakterisierung von Teilraumen)

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U ⊆ V istgenau dann ein Teilraum von V , wenn die folgende Bedingung erfullt ist:

s ∈ K , ~v , ~w ∈ U ⇒ ((s · ~v) + ~w) ∈ U.

Beweis: Seien (V ,+, ·) ein K -Vektorraum, U ∈ V und U ⊆ ∅.”‘⇒”’ Sei U ein Teilraum, s ∈ K und ~v , ~w ∈ U.

⇒ ((s · ~v)︸︷︷︸∈U

+~w) ∈ U




Lemma 4.2.4 (Charakterisierung von Teilraumen)

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U ⊆ V istgenau dann ein Teilraum von V , wenn die folgende Bedingung erfullt ist:

s ∈ K , ~v , ~w ∈ U ⇒ ((s · ~v) + ~w) ∈ U.

Beweis: Seien (V ,+, ·) ein K -Vektorraum, U ⊆ V und U 6= ∅.”‘⇐”’ Sei U ∈ V , U 6= ∅ mit ((s · ~v) + ~w) ∈ U ∀s ∈ K , ~v , ~w ∈ U.z.z.: U ist ein Teilraum von V

U 6= ∅ XSei ~v , ~w ∈ U ⇒ (~v + ~w) = ((1 · ~v) + ~w) ∈ U

Sei s ∈ K , ~v ∈ U ⇒ (s · ~v) = (s · ~v) +~0 ∈ U



Untervektorraume - Beispiele Geraden/Ebenen

Beispiel (Geraden im R2/R3): Jede durch den Ursprung verlaufendeGerade im R2/R3 ist ein Untervektorraum des (R2/R3,+, ·). ♣

Beispiel (Ebenen im R3): Alle Ebenen des R3, die durch den Ursprungverlaufen, sind Untervektorraume des (R3,+, ·). ♣

Beispiel (Ebene im R3): Es sei M ⊆ R3 die Menge

M = { (x , y , z) ∈ R3 | z = x + y }

M ist ein Untervektorraum des (R3,+, ·). ♣



Untervektorraume - Beispiel

Sei A ∈ Kn×m eine n ×m-Matrix.

Sei N(A) ⊆ Km die Menge

N(A) = { ~x ∈ Km | A~x = ~0 }.

N(A) ist ein Teilvektorraum von (Km,+, ·).



Triviale Untervektorraume

Satz 4.2.5

Jeder Vektorraum V enthalt auf jeden Fall die trivialen UntervektorraumeV (also sich selbst) und den Nullvektorraum {~0}.



Weitere wichtige Teilraume

Wir diskutieren als nachstes Teilraume, die aus anderen Teilraumen durchSchnittbildung und Addition entstehen.

Lemma 4.2.6

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum und U1,U2 zwei Teilraume von V . Dannsind auch

U1 ∩ U2 und

U1 + U2 := {~u1 + ~u2 | ~u1 ∈ U1 und ~u2 ∈ U2}Teilraume von V .

Bemerkung: Ist I eine beliebige Indexmenge und ist fur alle i ∈ I dieMenge Ui ein Teilraum von V , so ist auch

⋂i∈I Ui ein Teilraum von V .




Beweis: Seien U1, U2 Teilraume von V .

z.z.: U1 ∩ U2 ist ein Teilraum von V~0 ∈ U1 ∩ U2 6= ∅Sei s ∈ K , ~v , ~w ∈ U1 ∩ U2.

⇒ ~v , ~w ∈ U1 ∧ ~v , ~w ∈ U2

⇒ ((s · ~v) + ~w) ∈ U1 ∧ ((s · ~v) + ~w) ∈ U2

⇒ ((s · ~v) + ~w) ∈ U1 ∩ U2




Beweis: Seien U1, U2 Teilraume von V .

z.z.: U1 ∩ U2 ist ein Teilraum von V Xz.z.: U1 + U2 ist ein Teilraum von V

~0 = ~0 +~0 ∈ U1 + U2 6= ∅Sei s ∈ K , ~v , ~w ∈ U1 + U2.⇒ ~v = ~v1 + ~v2, ~w = ~w1 + ~w2 mit ~v1, ~w1 ∈ U1, ~v2, ~w2 ∈ U2

⇒ ((s · ~v) + ~w) = (s · (~v1 + ~v2)) + ( ~w1 + ~w2)

= ((s · ~v1) + (s · ~v2)) + ( ~w1 + ~w2)

= ((s · ~v1) + ~w1)︸︷︷︸∈U1

+ ((s · ~v2) + ~w2)︸︷︷︸∈U2

∈ U1 + U2



Erzeugte Teilraume

Es sei V ein K -Vektorraum. Fur ~v ∈ V definieren wir

〈~v〉 := {s · ~v | s ∈ K}.

Dann ist 〈~v〉 ein Teilraum von V . Man nennt ihn den von ~v erzeugtenTeilraum.

Beispiel (Geraden im R2): Im R-Vektorraum R2 kann man sich den voneinem Vektor

(xy

)6= ~0 erzeugten Teilraum als die Punkte auf der

eindeutigen Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt(xy

)vorstellen.

♣



Erzeugte Teilraume (Forts.)

Sind ~v1 und ~v2 zwei Vektoren in V , so ist (nach Lemma 4.2.6)

〈~v1〉+ 〈~v2〉 = {s1 ~v1 + s2 ~v2 | s1, s2 ∈ K}

auch ein Teilraum.

Solche Teilraume wollen wir uns im Folgenden naher anschauen.


Vektorraume Linearkombinationen und Erzeugendensysteme



9.2 Teilraume







9.3 Linearkombinationen undErzeugendensysteme



Erzeugung von Vektorraumen durch Linearkombinationen

Eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit Vektor- und Teilraumen spielenLinearkombinationen von Vektoren. Das sind neue Vektoren, die durchSkalarmultiplikation und Vektoraddition aus gegebenen Vektorenentstehen.

Wir hatten gerade gesehen, dass solche Linearkombinationen bei derErzeugung von Teilraumen auftreten. Mit Hilfe von Linearkombinationenkann man einen Teilraum also “von innen heraus” erzeugen.



Linearkombinationen und Erzeugnisse

Definition 4.3.1 (Linearkombinationen , Erzeugnisse)

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum mit Vektoren ~v1, . . . , ~vn ∈ V .Dann heißt der Vektor ~v ∈ V eine Linearkombinationen der Vektoren{~v1, . . . , ~vn}, wenn es s1, . . . , sn ∈ K gibt mit

~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn.

Ist M ⊆ V eine Teilmenge von V , so definieren wir das Erzeugnis von Mals

〈M〉 :=

{n∑

i=1

si · ~vi∣∣∣∣ n ∈ N, si ∈ K und ~vi ∈ M fur i = 1, . . . , n

},

wobei der leeren Summe der Nullvektor entspricht:∑∅

= ~0



Erzeugte Teilraume

Lemma 4.3.2

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum und M ⊆ V eine beliebige Teilmengevon V . Dann ist das Erzeugnis 〈M〉 von M ein Teilraum von V .

Beweis: Sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum und sei M ⊆ V .~0 =

∑∅ ∈ 〈M〉 ⇒ 〈M〉 6= ∅.

Seien s ∈ K , ~v , ~w ∈ 〈M〉 ⇒ ∃~v1, . . . ~vn, ~w1 . . . ~wn ∈ M, n,m ∈ N:

~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn,~w = t1 · ~w1 + · · ·+ tn · ~wn,

Daraus folgt:

s · ~v + ~w = s · (s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn) + t1 · ~w1 + · · ·+ tn · ~wn

= (s · s1)~v1 + · · ·+ (s · sn)~vn + t1 · ~w1 + · · ·+ tn · ~wn

∈< M >



Erzeugte Teilraume

〈M〉 heißt auch der von M erzeugte Teilraum von V . Die Menge M heißtErzeugendensystem von 〈M〉.

Lemma 4.3.3

〈M〉 ist der kleinste Teilraum (bezuglich Mengeninklusion) von V , der Menthalt.

Beweis: Sei M ⊆ V , U ein Teilraum von V mit M ⊆ U.

z.z.: 〈M〉 ⊆ U

Sei ~v ∈ 〈M〉 ⇒ ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vnfur einige ~v1, . . . , ~vn ∈ M, s1, . . . , sn ∈ K

⇒ ~v1, . . . , ~vn ∈ U, da M ⊆ U

⇒ ~v ∈ U



Erzeugte Teilraume

〈M〉 heißt auch der von M erzeugte Teilraum von V . Die Menge M heißtErzeugendensystem von 〈M〉.

Lemma 4.3.3

〈M〉 ist der kleinste Teilraum (bezuglich Mengeninklusion) von V , der Menthalt.

Demnach macht es Sinn, als Erzeugnis der leeren Menge den trivialenTeilraum von V , der nur aus dem Nullvektor besteht, zu definieren, also

〈∅〉 := {~0}.



Endliche Erzeugendensysteme

Definition 4.3.4 (Endlich erzeugten (Unter)Vektorraum)

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum.Gibt es eine endliche Menge M ⊆ V , also M = {~v1, . . . ~vn} mit n ∈ N, sodass U = 〈M〉, so sagen wir, dass U endlich erzeugt ist. Wir schreibenauch

〈M〉 = 〈{~v1, . . . , ~vn}〉 = 〈~v1, . . . , ~vn〉

=

{n∑

i=1

si · ~vi∣∣∣∣ si ∈ K fur i = 1, . . . , n

}

Die Schreibweise〈~v〉 = {s · ~v | s ∈ K}

fur ~v ∈ V haben wir schon am Ende des letzten Unterabschnittesverwendet.



Beispiel – erzeugter Teilraum in R2

Es sei V = R2 und

M =

{(1

1

),

(−1

1

),

(1

0

)}.

Dann ist〈M〉 = R2,

denn ein beliebiger Vektor(xy

)∈ R2 kann wie folgt als Linearkombination

der Elemente von M geschrieben werden:(x

y

)= x ·

(1

1

)+ (y − x) ·

(−1

1

)+ (y − x) ·

(1

0

).

Damit ist{(1

1

),(−1

1

),(1

0

)}also ein Erzeugendensystem des Vektorraums

R2 und R2 ist folglich endlich erzeugt.



Beispiel – erzeugter Teilraum in R2 (Forts.)

Bereits die Teilmenge{(1

1

),(1

0

)}von M ist ein Erzeugendensystem von

R2, da ein beliebiger Vektor(xy

)∈ R2 geschrieben werden kann als(

x

y

)= y ·

(1

1

)+ (x − y) ·

(1

0

)♣



Beispiel – K n und Einheitsvektoren

Wir betrachten den K -Vektorraum Kn. Fur i = 1, . . . , n sei ~e i der Vektor,dessen i-ter Eintrag 1 ist und alle anderen Eintrage 0, d.h.

~ei =

0...010...0

← i (~ei )j =

{1 falls j = i ,

0 sonst.



Beispiel – K n und Einheitsvektoren (Forts.)

Der Vektor ~e i heißt i-ter Einheitsvektor. Dann ist {~e1, . . . , ~en} einErzeugendensystem von Kn, also Kn = 〈~e1, . . . , ~en〉, dennx1

...xn

= x1 · ~e1 + · · ·+ xn · ~en fur alle x1, . . . , xn ∈ K .

Folglich ist der Vektorraum Kn endlich erzeugt. ♣



Idee der Vektorraumbasis

Idee der Basis: Mit Hilfe von Erzeugendensysteme lassen sich(Unter)Vektorraume leicht kompakt reprasentieren, sie enthalten offenbaralle wichtigen Informationen uber den Vektorraum.

Wie kann man diese Art der Reprasentation von Vektorraumen optimieren?

Minimalitat: Kein Vektor in dem optimalen Erzeugendensystem istuberflussig.

Unabhangigkeit: Die Vektoren im optimalen Erzeugendensystem sind(irgendwie) unabhangig voneinander.

Eindeutigkeit: Jeder Vektor des erzeugten Vektorraumes hat genaueine Darstellung als Linearkombination der Vektoren desErzeugendensystems.



Vektorraumbasis

Definition 4.3.5 (Basis)

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum.

Eine Teilmenge M ⊆ V heißt Basis von V , wenn sich jedes ~v ∈ Veindeutig als Linearkombination von paarweise verschiedenen Vektoren ausM schreiben lasst.

Außerdem definieren wir, dass die leere Menge ∅ eine Basis des trivialenK -Vektorraums {~0} ist.

Insbesondere ist jede Basis von V auch ein Erzeugendensystem von V .



Endliche Basen

Zunachst einmal charakterisieren wir endliche Basen, die fur viele Beispieleund Anwendungen wichtig sind:

Satz 4.3.6

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum. Die endliche Teilmenge

{~v1, . . . , ~vn} ⊆ V

ist Basis von V genau dann, wenn ~v1, . . . , ~vn paarweise verschieden sindund es zu jedem ~u ∈ V genau ein n-Tupel (x1, . . . , xn) ∈ Kn gibt mit

~u = x1 · ~v1 + ·+ xn · ~vn

Beispiel (Einheitsvektoren im Kn): Die Menge der Einheitsvektoren{~e1, . . . , ~en} ist eine Basis des K -Vektorraums Kn. ♣



Endliche Basen


Sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum. M ⊆ V heißt Basis von V:⇔ jedes ~v ∈ V sich eindeutig als Linearkombination von paarw. verschiedenen Vektorenaus M schreiben lasst.

Beweis: Sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum.z.z.: {~v1, . . . , ~vn} ⊆ V ist Basis von V ⇔

(i) ~v1, . . . , ~vn sind paarweise verschieden

(ii) zu jedem ~u ∈ V existiert genau ein (x1, . . . , xn) ∈ Kn mit

~u = x1 · ~v1 + ·+ xn · ~vn

”‘⇒”’ Sei {~v1, . . . , ~vn} eine Basis von V.

(i) Ann.: ~vi = ~vj , fur 1 ≤ i 6= j ≤ n ⇒ ~vi = 1 · ~vi = 1 · ~vj (ii) Sei ~u ∈ V . ⇒ ~u lasst sich eindeutig als Linearkombination von{~v1, . . . , ~vn} schreiben X



Endliche Basen


Sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum. M ⊆ V heißt Basis von V:⇔ jedes ~v ∈ V sich eindeutig als Linearkombination von paarw. verschiedenen Vektorenaus M schreiben lasst.

Beweis: Sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum.z.z.: {~v1, . . . , ~vn} ⊆ V ist Basis von V ⇔

(i) ~v1, . . . , ~vn sind paarweise verschieden

(ii) zu jedem ~u ∈ V existiert genau ein (x1, . . . , xn) ∈ Kn mit

~u = x1 · ~v1 + ·+ xn · ~vn

”‘⇐”’ Folgt aus der Definition.



Vektorraumbasis – Beispiele

Negatives Beispiel 1: Wie wir weiter oben beobachtet haben, gilt⟨(11

),(−1

1

),(1

0

)⟩= R2. Die Menge

{(11

),(−1

1

),(1

0

)}ist jedoch keine Basis

von R2, denn (−11

)= 0 ·

(11

)+ 1 ·

(−11

)+ 0 ·

(10

)und andererseits(

−11

)= 1 ·

(11

)+ 0 ·

(−11

)− 2 ·

(10

)♣

Negatives Beispiel 2: Der Nullvektor ~0 kann nie Element einer Basis sein,denn

0 · ~0 = 1 · ~0 = ~0 ,

so dass also die Koeffizienten der Darstellung nicht eindeutig sind. ♣Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 364 / 669


Vektorraumbasis – Beispiele

Beispiel: Die Menge{(1

1

),(1

0

)}ist Basis von R2, denn fur

(xy

)∈ R2 gilt(

xy

)= y ·

(11

)+ (x − y) ·

(10

).

Gilt auch (xy

)= a ·

(11

)+ b ·

(10

)fur a, b ∈ R, so muss x = a + b und y = a gelten. Daraus folgt aber a = yund b = x − y , so dass die Koeffizienten also eindeutig sind. ♣

Beispiel (Rn): Der R-Vektorraum R2 hat unendlich viele Basen: ZumBeispiel ist die Menge {~e1, c · ~e2} fur alle c ∈ R\{0} eine Basis von R2. ♣


Vektorraume Lineare Abhangigkeiten und lineare Unabhangigkeiten



9.2 Teilraume







9.4 Lineare Abhangigkeiten und lineareUnabhangigkeiten



Lineare Unabhangigkeit

Bei der Idee eines optimalen Erzeugendensystems (also einer Basis) sollteauch die Idee der Unabhangigkeit umgesetzt werden. Das wollen wir nunkonkretisieren.

Definition 4.4.1 (Lineare Unabhangigkeit)

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum.

Eine Teilmenge M ⊆ V heißt linear unabhangig, wenn fur jedes ~v ∈ M

gilt, dass⟨M \ ~{v}

⟩6= 〈M〉.

Die Teilmenge M heißt linear abhangig, wenn M nicht linear unabhangigist, das heißt

M ist linear abhangig ⇐⇒ ∃~v ∈ M : 〈M \ {~v}〉 = 〈M〉.



Lineare Unabhangigkeit – Beispiele

Beispiel: Die leere Menge ∅ ist linear unabhangig. ♣

Beispiel: Ist ~0 ∈ M, so ist M linear abhangig, da 〈M \ {~0}〉 = 〈M〉. ♣

Beispiel: Die Menge{(1

1

),(−1

1

),(1

0

)}ist linear abhangig, weil 〈M〉 = R2

aber auch schon⟨M \

{(−11

)}⟩= R2. ♣



Ein einfaches Lemma

Lemma 4.4.2

Es sei V ein K -Vektorraum und M ⊆ V . Die folgenden Aussagen sindaquivalent:

(i) M ist linear abhangig.

(ii) Es gibt ein ~v ∈ M mit ~v ∈ 〈M \ {~v}〉.

Das Lemma sagt also aus, dass es in einer linear abhangigen Teilmenge Mein Element gibt, das als Linearkombination der anderen Elemente aus Mgeschrieben werden kann.

In einer linear abhangigen Menge gibt es also “uberflussige” Elemente.



Ein einfaches Lemma

Lemma 4.4.2




Beweis: (i)⇒ (ii) Sei M ⊆ V eine linear abhangige Teilmenge von V .

⇒ ∃~v ∈ M mit 〈M \ {~v}〉 = 〈M〉⇒ ~v ∈ M ⊆ 〈M〉 = 〈M \ {~v}〉.



Ein einfaches Lemma

Lemma 4.4.3




Beweis: (ii)⇒ (i) Sei ~v ∈ M mit ~v ∈ 〈M \ {~v}〉. Dann ist

~v =n∑

i=1

si · ~vi fur si ∈ K , ~vi ∈ M \ {~v}

z.z.: 〈M \ {~v}〉 = 〈M〉



Ein einfaches Lemma


~v =n∑

i=1

si · ~vi fur si ∈ K , ~vi ∈ M \ {~v}

z.z.: 〈M \ {~v}〉 = 〈M〉

”‘⊆”’ M \ {~v} ⊆ M ⇒ 〈M \ {~v}〉 ⊆ 〈M〉



Ein einfaches Lemma


~v =n∑

i=1

si · ~vi fur si ∈ K , ~vi ∈ M \ {~v}

z.z.: 〈M \ {~v}〉 = 〈M〉

”‘⊇”’ Sei ~w ∈ 〈M〉. z.z.: ~w ∈ 〈M \ {~v}〉

~w =m∑j=1

tj · ~wj fur tj ∈ K , ~wj ∈ M

1. Fall: ~v 6= ~wj ∀1 ≤ j ≤ m ⇒ ~w ∈ 〈M \ {~v}〉



Ein einfaches Lemma


~v =n∑

i=1

si · ~vi fur si ∈ K , ~vi ∈ M \ {~v}

z.z.: 〈M \ {~v}〉 = 〈M〉

”‘⊇”’ Sei ~w ∈ 〈M〉. z.z.: ~w ∈ 〈M \ {~v}〉

~w =m∑j=1

tj · ~wj fur tj ∈ K , ~wj ∈ M

2. Fall: ~v = ~wj fur ein j , o.B.d.A. ~v = ~w1. Dann gilt:

~w = t1 · ~v +m∑j=2

tj · ~wj = t1(n∑

i=1

si · ~vi ) +m∑j=2

tj · ~wj

=n∑

i=1

(t1 · si ) · ~vi +m∑j=2

tj · ~wj ∈ 〈M \ {~v}〉



Lineare Abhangigkeit – Beispiel

Es sei V = R3 und

M :=

1

10

,

100

,

010

,

001

.

Dann ist M linear abhangig, da110

∈ ⟨1

00

,

010

,

001

⟩.



Lineare Abhangigkeit – Beispiel (Forts.)

Es gilt auch 100

∈ ⟨1

10

,

010

,

001

⟩

und 010

∈ ⟨1

10

,

100

,

001

⟩.

Man beachte jedoch, dass001

/∈

⟨ 110

,

100

,

010

⟩.

♣



Folgerung Lineare Abhangigkeit

Welche Folgerung konnen wir aus dem letzten Beispiel ziehen?

Bemerkung: Bei einer linear abhangigen Menge M muss nicht jedesElement ~v ∈ M in dem von den ubrigen erzeugten Teilraum liegen.



Ein wichtiges Lemma

Lemma 4.4.4



(ii) Es gibt paarweise verschiedene Vektoren ~v1, . . . , ~vn ∈ M mitzugehorigen Skalaren s1, . . . , sn ∈ K , die nicht alle Null sind, mit

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0.



Ein wichtiges Lemma

Lemma 4.4.4

Es sei V ein K -Vektorraum und M ⊆ V . Die folgenden Aussagen sind aquivalent:


(ii) Es gibt paarweise verschiedene Vektoren ~v1, . . . , ~vn ∈ M mit zugehorigen Skalarens1, . . . , sn ∈ K , die nicht alle Null sind, mit

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0.

Beweis: (i)⇒ (ii) Sei M linear abhangig. ⇒ ∃~v1 ∈ M : ~v1 ∈ 〈M \ {~v1}〉1. Fall: M \ {~v1} = ∅.

⇒ ~v1 ∈ 〈∅〉 ={~0}

⇒ ~v1 = ~0, s1 := 1 ∈ K

⇒ s1 · ~v1 = 1 ·~0 = ~0



Ein wichtiges Lemma

Lemma 4.4.4




s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0.

Beweis: (i)⇒ (ii) Sei M linear abhangig. ⇒ ∃~v1 ∈ M : ~v1 ∈ 〈M \ {~v1}〉2. Fall: M \ {~v1} 6= ∅.⇒ ∃ paarw. verschiedene ~v2, . . . , ~vn ∈ 〈M \ {~v1}〉 und s2, . . . , sn ∈ K :

~v1 = s2 · ~v2 + · · ·+ sn · ~vn⇔ ~0 = −~v1 + s2 · ~v2 + · · ·+ sn · ~vn

mit s1 = −1 6= 0.



Ein wichtiges Lemma

Lemma 4.4.4




s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0.

Beweis: (ii)⇒ (i) Seien ~v1, . . . , ~vn ∈ M paarweise verschieden unds1, . . . , sn ∈ K , mit s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0. Mindestens ein si ist 6= 0, seidies o.B.d.A. s1. Dann ist

s1 · ~v1 = −s2 · ~v2 − · · · − sn · ~vn | · s−1

⇔ ~v1 = −s−11 (s2 · ~v2)− · · · − s−1

1 (sn · ~vn)

= −(s−11 s2) · ~v2 − · · · − (s−1

1 sn) · ~vn⇒ ~v1 ∈ 〈~v2, . . . , ~vn〉 ⊆ 〈M \ {~v1}〉 .



Ein wichtiges Korollar

Als unmittelbare Folgerung aus Lemma 9.4.4 erhalten wir das nachsteKorollar.

Korollar 4.4.5


(i) M ist linear unabhangig.

(ii) Fur beliebige paarweise verschiedene Vektoren ~v1, . . . , ~vn ∈ M undbeliebige Skalare s1, . . . , sn ∈ K , gilt:

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 =⇒ s1 = · · · = sn = 0.

Bemerkung: Die Implikation in Teil (ii) des obigen Korollars ist eigentlicheine Aquivalenz.




Lemma 4.4.4


(i) M ist linear abhangig. =: A

(ii) ∃ paarweise verschiedene Vektoren ~v1, . . . , ~vn ∈ M mit s1, . . . , sn ∈ K :

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 ∧ ¬(s1 = · · · = sn = 0).=: B

Korollar 4.4.5


(i) M ist linear unabhangig. z.z.: = ¬A(ii) ∀ paarweise verschiedene Vektoren ~v1, . . . , ~vn ∈ M und s1, . . . , sn ∈ K , gilt:

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 =⇒ s1 = · · · = sn = 0. z.z.: = ¬B

Beweis: Es gilt: (A⇔ B)⇔ (¬A⇔ ¬B).Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 384 / 669



Korollar 4.4.5


(i) M ist linear unabhangig. z.z.: = ¬A X

(ii) ∀ paarweise verschiedene Vektoren ~v1, . . . , ~vn ∈ M und s1, . . . , sn ∈ K , gilt:

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 =⇒ s1 = · · · = sn = 0. z.z.: = ¬B

Beweis: Sei V ein K -Vektorraum und M ⊆ V .A := M ist linear abhangigB := ∃ paarw. verschiedene ~v1, . . . , ~vn ∈ M, s1, . . . , sn ∈ K

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 ∧ ¬(s1 = · · · = sn = 0)

¬B ≡ ∀ paarw. verschiedene ~v1, . . . , ~vn ∈ M, s1, . . . , sn ∈ K

¬(s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 ∧ ¬(s1 = · · · = sn = 0))




Korollar 4.4.5


(i) M ist linear unabhangig. z.z.: = ¬A X

(ii) ∀ paarweise verschiedene Vektoren ~v1, . . . , ~vn ∈ M und s1, . . . , sn ∈ K , gilt:

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 =⇒ s1 = · · · = sn = 0. z.z.: = ¬BX

Beweis:

¬B ≡∀ paarw. verschiedene ~v1, . . . , ~vn ∈ M, s1, . . . , sn ∈ K :

¬(s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 ∧ ¬(s1 = · · · = sn = 0))

≡∀ paarw. verschiedene ~v1, . . . , ~vn ∈ M, s1, . . . , sn ∈ K :

¬(s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0) ∨ s1 = · · · = sn = 0

≡∀ paarw. verschiedene ~v1, . . . , ~vn ∈ M, s1, . . . , sn ∈ K :

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0⇒ s1 = · · · = sn = 0



Teilmengen linear unabhangiger Mengen

Ein Korollar zum Korollar . . .

Korollar 4.4.6

Teilmengen linear unabhangiger Mengen sind selbst wieder linearunabhangig sind.

Gilt dieses Korollar auch fur linear abhangige Mengen ?

Nein! Gegenbeispiel?



Lineare Abhangigkeit - Beispiel

Es sei V = R3 und

M =

1

11

,

123

,

135

Um festzustellen, ob M linear abhangig ist, mussen wir nach Lemma 9.4.4uberprufen, ob es Skalare x1, x2, x3 ∈ R gibt mit (x1, x2, x3) 6= (0, 0, 0), sodass

x1 ·

111

+ x2 ·

123

+ x3 ·

135

=

000

gilt.Dies ist z.B. fur (x1, x2, x3) = (1,−2, 1) der Fall.Also ist M linear abhangig.


Vektorraume Basen



10.2 Teilraume





Vektorraume Basen




Vektorraume Basen

Charakterisierung von Basen - Voruberlegungen

Wir bringen nun die Begriffe “Vektorraumbasis” und “lineareUnabhangigkeit” zusammen und verbinden diese außerdem mit demBegriff der “Minimalitat”.

Wir werden auch sehen, dass eine Vektorraumbasis optimal ist in Bezugauf “maximale Ausschopfung”.


Vektorraume Basen

Charakterisierung von Basen

Satz 4.5.1 (Charakterisierung von Basen)

Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum und M ⊆ V . Dann sind die folgendenAussagen aquivalent:

(i) M ist Basis von V .

(ii) M ist linear unabhangiges Erzeugendensystem von V .

(iii) M ist inklusionsminimales Erzeugendensystem von V , d.h.

〈M〉 = V und 〈M \ {~u}〉 6= V fur alle ~u ∈ M.

(iv) M ist eine inklusionsmaximale linear unabhangige Teilmenge von V ,d.h. M ist linear unabhangig, aber M ∪ {~v} ist fur jedes ~v ∈ V \Mlinear abhangig.

Beweis: Mittels Ringschluss: (i)⇒ (ii)⇒ (iii)⇒ (iv)⇒ (i)


Vektorraume Basen



Es sei (V ,+, ·) ein K -Vektorraum und M ⊆ V . Dann sind die folgenden Aussagenaquivalent:





(iv) M ist eine inklusionsmaximale linear unabhangige Teilmenge von V , d.h. M istlinear unabhangig, aber M ∪ {~v} ist fur jedes ~v ∈ V \M linear abhangig.

Beweis: (i)⇒ (ii) Sei M eine Basis von V .

z.z.: M ist linear unabhangiges Erzeugendensystem von V


Vektorraume Basen


Beweis: (i)⇒ (ii) Sei M eine Basis von V .

z.z.: M ist linear unabhangiges Erzeugendensystem von V

Jedes ~v ∈ V lasst sich eindeutig als Linearkombination von paarw.verschiedenen Vektoren aus M schreiben. (Defn Basis)⇒ M ist Erzeugendensystem von V

z.z.: M ist linear unabhangig

Seien ~v1, . . . , ~vn ∈ M, paarweise verschieden, mit s1, . . . , sn ∈ K , so dass

s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn = ~0 = 0 · ~v1 + · · ·+ 0 · ~vn.

Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung ist dann s1 = · · · = sn = 0.


Vektorraume Basen









Beweis: (ii)⇒ (iii) Sei M ein linear unabhangiges Erzeugendensystemvon V .

z.z.: 〈M〉 = V und 〈M \ {~u}〉 6= V fur alle ~u ∈ M.


Vektorraume Basen


Beweis: (ii)⇒ (iii) Sei M ein linear unabhangiges Erzeugendensystemvon V .

z.z.: 〈M〉 = V und 〈M \ {~u}〉 6= V fur alle ~u ∈ M.

M ist Erzeugendensystem ⇒ 〈M〉 = V

M ist linear unabhangig ⇒ ∀~u ∈ M : 〈M \ ~u〉 6= 〈M〉= V


Vektorraume Basen









Beweis: (iii)⇒ (iv) Sei 〈M〉 = V und 〈M \ {~u}〉 6= V fur alle ~u ∈ M⇒ M ist linear unabhangig

z.z.: M ∪ {~v} ist fur alle ~v ∈ V \M linear abhangig.


Vektorraume Basen


Beweis: (iii)⇒ (iv) Sei 〈M〉 = V und 〈M \ {~u}〉 6= V fur alle ~u ∈ M⇒ M ist linear unabhangig

z.z.: M ∪ {~v} ist fur alle ~v ∈ V \M linear abhangig.

Sei ~v ∈ V \M. Dann ist

V = 〈M〉 ⊆ 〈M ∪ {~v}〉 ⊆ V

Damit gilt

〈M ∪ {~v}〉 = V und 〈(M ∪ {~v}) \ ~v〉 = 〈M〉 = V

und damit ist M ∪ {~v} linear abhangig.


Vektorraume Basen









Beweis: (iv)⇒ (i) Sei M inklusionsmaximale linear unabhangigeTeilmenge von V.

z.z.: Jedes ~v ∈ V lasst sich eindeutig als Linearkombination von Vektorenaus M schreiben


Vektorraume Basen




〈M〉 = V~v ∈ M X~v /∈ M ⇒ M ∪ {v} ist linear abhangigAlso gibt es ~v1, . . . , ~vn ∈ M und s, s1, . . . , sn ∈ K , nicht alle gleich 0:

s · ~v + s1 · ~v1 + · · ·+ sn~vn = ~0.

Da M linear unabhangig ist, muss s 6= 0 sein. Also gilt

−s · ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn⇒ ~v = (−s)−1s1 · ~v1 + · · ·+ (−s)−1sn · ~vn


Vektorraume Basen




〈M〉 = V

Eindeutigkeit: Sei ~v ∈ V .Ann.: ∃s1, . . . , sn, t1, . . . , tm ∈ K , ~v1, . . . , ~vn, ~w1, . . . , ~wm ∈ M

~v = s1~v1 + · · ·+ sn~vn

= t1~w1 + · · ·+ tm ~wm

Dann ist fur ein q ≤ n + m

{~v1, . . . , ~vn, ~w1, . . . , ~wm} = {~u1, . . . , ~uq} ⊆ M


Vektorraume Basen



~v = s1~v1 + · · ·+ sn~vn

= t1~w1 + · · ·+ tm ~wm


{~v1, . . . , ~vn, ~w1, . . . , ~wm} = {~u1, . . . , ~uq} ⊆ M

Fur bestimmte s ′1, . . . , s′n, t′1, . . . , t

′m ∈ K gilt dann:

~v = s ′1~u1 + · · ·+ s ′q~uq

~v = t ′1~u1 + · · ·+ t ′q~uq


Vektorraume Basen



~v = s1~v1 + · · ·+ sn~vn

= t1~w1 + · · ·+ tm ~wm


{~v1, . . . , ~vn, ~w1, . . . , ~wm} = {~u1, . . . , ~uq} ⊆ M

Fur bestimmte s ′1, . . . , s′n, t′1, . . . , t


~v = s ′1~u1 + · · ·+ s ′q~uq

− ~v = t ′1~u1 + · · ·+ t ′q~uq

~0 = (s ′1 − t ′1)~u1 + · · ·+ (s ′q − t ′q)~uq


Vektorraume Basen




〈M〉 = V

Eindeutigkeit: Sei ~v ∈ V .Fur bestimmte s ′1, . . . , s

′n, t′1, . . . , t


~0 = (s ′1 − t ′1)~u1 + · · ·+ (s ′q − t ′q)~uq

Da {~u1, . . . , ~uq} ⊆ M und M linear unabhangig ist, gilt s ′i = t ′i fur allei , 1 ≤ i ≤ q.


Vektorraume Basen

Endliche Erzeugendensysteme und Basen

Wir haben bislang nur an speziellen Beispielen gesehen, dass Basen vonVektorraumen tatsachlich existieren konnen. Der folgende Satz belegt,dass das kein Zufall ist.

Satz 4.5.2 (Existenz von Basen)

Jeder endlich erzeugte K -Vektorraum besitzt eine Basis.

Beweis: Sei M ein endliches Erzeugendensystem von V . Solange es(rekursiv) einen Vektor ~v ∈ M gibt, so dass 〈M \ ~v〉 = 〈V 〉 ist, entfernediesen. Da M endlich ist, sind wir in endlich vielen Schritten fertig underhalten ein inklusionsminimales Erzeugendensystem von V , also eineBasis.

Korollar 4.5.3

Jedes endliche Erzeugendensystem eines Vektorraums enthalt eine Basis.


Vektorraume Basen

Konstruktion von Basen

Wir wenden uns jetzt dem Problem zu, fur einen endlich erzeugtenVektorraum aus einem Erzeugendensystem eine Basis zu konstruieren. DasVerfahren beruht auf dem folgenden Lemma.

Lemma 4.5.4

Es sei V ein K -Vektorraum und ~v1, . . . , ~vn ∈ V .

(i) Fur i 6= j und s ∈ K gilt

〈~v1, . . . , ~vj , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vj + s~vi , . . . , ~vn〉.

(ii) Fur i ∈ {1, . . . , n} und t ∈ K\{0} gilt

〈~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , t~vi , . . . , ~vn〉

(iii) 〈~v1, . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vn,~0〉.


Vektorraume Basen


Lemma 4.5.4



〈~v1, . . . , ~vj , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vj + s~vi , . . . , ~vn〉.


〈~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , t~vi , . . . , ~vn〉

(iii) 〈~v1, . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vn,~0〉.

Beweis: (i) Sei s ∈ K .”‘⊆”’

~vj = (~vj + s~vi )− s~vi ∈ 〈~v1, . . . , ~vj + s~vi , . . . , ~vn〉


Vektorraume Basen


Lemma 4.5.4



〈~v1, . . . , ~vj , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vj + s~vi , . . . , ~vn〉.


〈~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , t~vi , . . . , ~vn〉

(iii) 〈~v1, . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vn,~0〉.

Beweis: (i) Sei s ∈ K .”‘⊇”’

~vj + s~vi ∈ 〈~v1, . . . , ~vj , . . . , ~vn〉


Vektorraume Basen


Lemma 4.5.4



〈~v1, . . . , ~vj , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vj + s~vi , . . . , ~vn〉.


〈~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , t~vi , . . . , ~vn〉

(iii) 〈~v1, . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vn,~0〉.

Beweis: (ii) Sei t ∈ K \ {0}.”‘⊆”’

~vi = t−1 · t~vi”‘⊇”’ X


Vektorraume Basen


Lemma 4.5.4



〈~v1, . . . , ~vj , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vj + s~vi , . . . , ~vn〉.


〈~v1, . . . , ~vi , . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , t~vi , . . . , ~vn〉

(iii) 〈~v1, . . . , ~vn〉 = 〈~v1, . . . , ~vn,~0〉.

Beweis: (iii)”‘⊆”’ X”‘⊇”’

~0 = 0 · ~v1 ∈ 〈~v1, . . . , ~vn〉


Vektorraume Basen

Konstruktion von Basen – Vorgehensweise

Wir wenden Lemma 4.5.4 an, um Erzeugendensysteme so zu modifizieren,dass linear abhangige Teile auf Nullvektoren reduziert werden, so dass dieBasisvektoren (als Nicht-Nullvektoren) direkt abgelesen werden konnen.


Vektorraume Basen

Konstruktionen von Basen - Beispiel

Es sei K = R und

V :=

⟨~v1 =

111

, ~v2 =

135

, ~v3 =

16

11

⟩ .Wegen Lemma 4.5.4 ist dann

V = 〈~v1, ~v2 − ~v1, ~v3〉= 〈~v1, ~v2 − ~v1, ~v3 − ~v1〉

=

⟨111

=: ~v ′1,

024

=: ~v ′2,

05

10

=: ~v ′3

⟩


Vektorraume Basen

Konstruktionen von Basen - Beispiel

Wir halten jetzt ~v ′1 fest und machen mit ~v ′2,~v ′3 nach Lemma 4.5.4 weiter:

V =

⟨~v ′1,

1

2~v ′2,

~v ′3 −5

2~v ′2

⟩

=

⟨111

,

012

,

000

⟩

=

⟨111

,

012

⟩ (wegen Lemma 4.5.4 (iii))

Da die letzten beiden Vektoren linear unabhangig sind, bilden sie also eineBasis von V .


Vektorraume Basen

Basiserganzung – Voruberlegungen

Vektorraumbasen haben zwei charakteristische Eigenschaften:

sie sind linear unabhangig, und

sie bilden ein Erzeugendensystem.

Wir haben oben gezeigt, dass man mit Hilfe von Lemma 4.5.4 aus jedemendlichen Erzeugendensystem eines Vektorraums V eine Basis von Verhalten kann.

Der folgende Satz stellt die umgekehrte Vorgehensweise zur Findung einerBasis dar – linear unabhangige Teilmengen lassen sich zur Basis erganzen.


Vektorraume Basen

Basiserganzung

Satz 4.5.5 (Basiserganzungssatz)

Es sei V ein endlich erzeugter K -Vektorraum mit endlichemErzeugendensystem E ⊆ V , also V = 〈E 〉. Weiterhin sei M ⊆ V linearunabhangig. Dann gibt es eine Teilmenge E ′ ⊆ E , so dass M ∪ E ′ eineBasis von V ist.

Beweis: Seien V = 〈E 〉, E endlich und M ⊆ V linear unabhangig.Sei E ′ ⊆ E eine inklusionsminimale Menge mit 〈E ′ ∪M〉 = V , also

〈(E ′ \ {~v}) ∪M〉 6= V fur alle ~v ∈ E ′

z.z.: E ′ ∪M ist eine Basis von V


Vektorraume Basen

Basiserganzung


〈(E ′ \ {~v}) ∪M〉 6= V fur alle ~v ∈ E ′


Erzeugendensystem XLineare Unabhangigkeit: Seien ~v1, . . . , ~vm ∈ E ′, ~w1, . . . , ~wn ∈ M :

s1~v1 + · · ·+ sm~vm + t1~w1 + · · ·+ tn ~wn = ~0.

z.z.: s1 = · · · = sm = t1 = · · · = tn = 0Ann.: si 6= 0 fur ein i , o.B.d.A s1 6= 0

⇒ ~v1 =− (s−11 s2)~v2 − · · · − (s−1

1 sm)~vm

− (s−11 t1)~w1 − · · · − (s−1

1 tn)~wn

∈〈E ′ \ {~v1} ∪M〉


Vektorraume Basen

Basiserganzung


〈(E ′ \ {~v}) ∪M〉 6= V fur alle ~v ∈ E ′


Erzeugendensystem X

Lineare Unabhangigkeit: Seien ~v1, . . . , ~vm ∈ E ′, ~w1, . . . , ~wn ∈ M :

s1~v1 + · · ·+ sm~vm + t1~w1 + · · ·+ tn ~wn = ~0.

z.z.: t1 = · · · = tn = 0

⇒ t1~w1 + · · ·+ tn ~wn = ~0

⇒ t1 = . . . tn = 0


Vektorraume Basen

Beispiel zu Satz 4.5.5

Wir betrachten das Erzeugendensystem

E :=

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}des R-Vektorraums R2×2 (Raum der reellen 2× 2-Matrizen). Die Menge

M :=

{(1 00 1

),

(0 11 0

)}ist linear unabhangig. Wir kombinieren nun M mit E und bilden die Menge

B :=

(

1 00 1

),

(0 11 0

)︸︷︷︸

M

,

(1 00 0

),

(0 10 0

) ,

die M und Teile von E enthalt. B ist eine Basis von R2×2.Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 418 / 669

Vektorraume Basen

Beispiel zu Satz 4.5.5 (Forts.)

Man beachte jedoch, dass die Menge

B ′ :=

{(1 00 1

),

(0 11 0

),

(1 00 0

),

(0 00 1

)}zwar M enthalt, aber keine Basis von R2×2 ist, da diese Menge linearabhangig ist (der erste Vektor ist die Summe der beiden letzten Vektoren).

♣


Vektorraume Basen

Basen als Schlusselinformation fur Vektorraume

Wir fassen noch einmal die Ergebnisse bisher zusammen:

Korollar 4.5.6

1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

2 In jedem Erzeugendensystem eines Vektorraumes ist eine Basisenthalten.

3 Jede linear unabhangige Menge lasst sich zu einer Basis erganzen.


Vektorraume Basen

Basen als Schlusselinformation fur Vektorraume (Forts.)

Das folgende Korollar verdeutlicht noch einmal die Optimalitat von Basen:

Korollar 4.5.7

Die folgenden Aussagen fur eine Teilmenge B eines Vektorraumes V sindaquivalent:

1 B ist eine Basis von V .

2 B ist eine minimale Erzeugendenmenge.

3 B ist eine maximal linear unabhangige Menge.


Vektorraume Basen

Was ist die Dimension eines Vektorraumes?

Wir haben gesehen, dass

Basen als minimale Erzeugendensysteme optimale (und platzsparende)Darstellungen der Information in einem Vektorraum sind.

Wir wollen nun diese Minimalitat zahlenmaßig erfassen:Wie “groß” ist eine Basis?

Ziel des Folgenden ist es zu zeigen, dass

alle Basen eines Vektorraums dieselbe Kardinalitat besitzen, die danndie Dimension des Vektorraums genannt wird.

Dazu mussen wir unsere vorherigen Uberlegungen noch starker prazisieren.


Vektorraume Basen

Der Austauschsatz von Steinitz

Satz 4.5.8 (Austauschsatz von Steinitz)

Es sei V ein K -Vektorraum und {~v1, . . . , ~vn} Basis von V . Ferner sei Ieine beliebige Indexmenge und {~ui | i ∈ I} eine weitere Basis von V . Danngibt es zu jedem i ∈ {1, . . . , n} ein ji ∈ I , so dass

{~v1, . . . , ~vi−1, ~uji , ~vi+1, . . . , ~vn}

eine Basis von V ist.

D.h., jedes Element einer Basis lasst sich durch ein geeignetes Elementeiner anderen Basis ersetzen.


Vektorraume Basen


Satz 4.5.8 (Austauschsatz von Steinitz)

Es sei V ein K -Vektorraum und {~v1, . . . , ~vn} Basis von V . Ferner sei I eine beliebigeIndexmenge und {~ui | i ∈ I} eine weitere Basis von V . Dann gibt es zu jedemi ∈ {1, . . . , n} ein ji ∈ I , so dass

{~v1, . . . , ~vi−1, ~uji , ~vi+1, . . . , ~vn}

eine Basis von V ist.

Beweis: Seien B = {~v1, . . . , ~vn} und {~ui |i ∈ I} Basen von V .Sei i ∈ {1, . . . , n} und B = B \ {~vi}. Dann gilt

〈B〉 = 〈{~v1, . . . .~vi−1, ~vi+1. . . . , ~vn}〉 ( V = 〈{~ui |i ∈ I}〉

⇒ es gibt ein ji ∈ I mit ~uji /∈ 〈B〉

z.z.: B ′ = (B \ {~vi}) ∪ ~uji = {~v1, . . . , ~vi−1, ~uji , ~vi+1, . . . , ~vn}ist eine Basis von V


Vektorraume Basen



〈B〉 = 〈{~v1, . . . .~vi−1, ~vi+1. . . . , ~vn}〉 ( V = 〈{~ui |i ∈ I}〉



Lineare Unabhangigkeit: Seien s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn, t ∈ K mit

s1~v1 + · · ·+ si−1~vi−1 + t~uji + si+1~vi+1 + · · ·+ sn~vn = ~0

~uji /∈ 〈~v1, . . . , ~vi−1, ~vi+1, . . . , ~vn〉 ⇒ t = 0{~v1, . . . , ~vi−1, ~vi+1, . . . , ~vn} sind linear unabhangig

⇒ s1 = · · · = si−1 = si+1 = sn = 0


Vektorraume Basen



〈B〉 = 〈{~v1, . . . .~vi−1, ~vi+1. . . . , ~vn}〉 ( V = 〈{~ui |i ∈ I}〉



Lineare Unabhangigkeit XErzeugendensystem: Basiserganzungssatz ⇒ ∃E ′ ⊆ B, so dassB ′ ∪ E ′ eine Basis von V ist.

1. Fall: ~vi /∈ E ′ : ⇒ B ′ ∪ E ′ = B ′ ist eine Basis von V .2. Fall: ~vi ∈ E ′ : ⇒ B ′ ∪ E ′ = B ∪ {~uji} ist eine Basis von V .

B ist inklusionsmaximal linear unabhangig ⇒ ~uji ∈ {~v1, . . . , ~vn}(insbesondere ~uji = ~vi ), d.h. B ′ = B.


Vektorraume Basen

“Große” einer Vektorraumbasis

Der folgende Satz enthalt das wichtigste Resultat zum Begriff derDimension:

Satz 4.5.9

Es sei V ein K -Vektorraum und B = {~v1, . . . , ~vn} eine Basis von V mit npaarweise verschiedenen Elementen, d.h. |B| = n. Dann gilt:

(i) Ist B ′ eine beliebige Basis von V , so ist |B ′| = n.

(ii) Ist M ⊆ V linear unabhangig, so ist |M| ≤ n.

(iii) Ist M ⊆ V linear unabhangig und |M| = n, so ist M Basis von V .


Vektorraume Basen


Satz 4.5.9





Beweis: Sei B = {~vj1, . . . , ~vn} eine Basis von V , |B| = n.

(i) Sei B ′ eine beliebige Basis von V . z.z.: |B ′| = n


Vektorraume Basen



(i) Sei B ′ eine beliebige Basis von V . z.z.: |B ′| = nNach dem Austauschsatz von Steinitz folgt:

zu ~v1 ∈ B ∃~uj1 ∈ B ′ : {~uj1 , ~v2, . . . , ~vn}︸︷︷︸=:B1

ist eine Basis von V .

zu ~v2 ∈ B1 ∃~uj2 ∈ B ′ : {~uj1 , ~uj2 , ~v3, . . . , ~vn}︸︷︷︸=:B2


...

zu ~vn ∈ Bn−1 ∃~ujn ∈ B ′ : {~uj1 , . . . , ~ujn}︸︷︷︸=:Bn


Bn ⊆ B ′ und B ′ ist inklusionsminimal (bzgl. Erzeugendensystem)⇒ Bn = B ′ und damit |B ′| = n.


Vektorraume Basen


Satz 4.5.9






(ii) Sei M ⊆ V linear unabhangig. Nach dem Basiserganzungssatz kannman M zu einer Basis B ′ erganzen. Damit folgt

|M| ≤∣∣B ′∣∣ (i)

= n.

(iii) Argumentation wie im Beweis zu (ii).


Vektorraume Basen

Der Begriff der Dimension

Definition 4.5.10 (Dimension eines Vektorraums)

Wenn der Vektorraum V eine endliche Basis besitzt, so wird die Anzahl nder Vektoren der Basis die Dimension von V genannt: dimV = n.Besitzt ein Vektorraum V keine endliche Basis, so ist seine Dimensionunendlich, also dimV =∞. Man sagt auch, dass V unendlich dimensionalist.

Bemerkung: Es folgt aus Korollar 4.5.3, dass jeder endlich erzeugteVektorraum auch endlich dimensional ist.


Vektorraume Basen

Beispiele zur Dimension

Beispiel (Kn): Die Dimension des K -Vektorraums Kn ist n, dabeispielsweise die Menge der Einheitsvektoren {~e1, . . . , ~en} eine Basis vonKn bildet. ♣

Beispiel (im R3): Es sei K = R und

V :=

⟨111

,

135

,

16

11

⟩ .Wie weiter oben 1 schon gezeigt wurde, ist

V =

⟨111

,

012

⟩ mit dimV = 2.

♣1s. Beispiel zur Konstruktion von BasenProf. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 432 / 669

Vektorraume Basen

Beispiele zur Dimension (Forts.)

Beispiel (Matrizen): Die Dimension des K -Vektorraums aller m × nMatrizen Km×n ist m · n. Eine Basis von Km×n ist die Menge

{Eij | 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n},

wobei Eij die m× n Matrix bezeichnet, deren Eintrag in der i-ten Zeile undj-ten Spalte eine Eins ist und die sonst nur Null-Eintrage hat. ♣


Vektorraume Basen

Dimension von Teilraumen

Korollar 4.5.11

Ist V ein endlich dimensionaler K -Vektorraum und U ein Teilraum von V ,dann ist auch U endlich dimensional, und es gilt

dimU ≤ dimV .

Ist dimU = dimV , so ist U = V .


Vektorraume Basen

Dimensionsformel fur Teilraume

Satz 4.5.12 (Dimensionsformel fur Teilraume)

Es sei V ein endlich dimensionaler K -Vektorraum und U1,U2 seienTeilraume von V . Dann ist

dim U1 + dim U2 = dim (U1 + U2) + dim (U1 ∩ U2).

Beweis: Sei V ein endlich dimensionaler K -Vektorraum, und seien U1,U2

Teilraume von V . ⇒ U1 und U2 sind endlich dimensional.

z.z.: dim U1 + dim U2 = dim (U1 + U2) + dim (U1 ∩ U2).


Vektorraume Basen


Beweis: Sei V ein endlich dimensionaler K -Vektorraum, und seien U1,U2

Teilraume von V . ⇒ U1 und U2 sind endlich dimensional.

z.z.: dim U1 + dim U2 = dim (U1 + U2) + dim (U1 ∩ U2).

Sei B = {~u1, . . . , ~ud} eine Basis von U1 ∩ U2. (dimU1 ∩ U2 = d)B lasst sich zu Basen B1 von U1 bzw. B2 von U2 erweitern:

B1 = {~u1, . . . , ~ud , ~v1, . . . , ~vm} ⇒ dimU1 = d + m

B2 = {~u1, . . . , ~ud , ~w1, . . . , ~wn} ⇒ dimU2 = d + n

⇒ dimU1 + dimU2 = d + m + d + n

= dim(U1 ∩ U2) + m + n + d .

z.z.: dim(U1 + U2) = m + n + d


Vektorraume Basen


Beweis: Fur zwei Teilraume U1,U2 eines K -Vektorraums V gelte

B = {~u1, . . . , ~ud} eine Basis von U1 ∩ U2,B1 = {~u1, . . . , ~ud , ~v1, . . . , ~vm} eine Basis von U1,B2 = {~u1, . . . , ~ud , ~w1, . . . , ~wn} eine Basis von U2.

z.z.: dim(U1 + U2) = m + n + d

Wir zeigen:C = {~u1, . . . , ~ud , ~v1, . . . , ~vm, ~w1, . . . , ~wn}

ist eine Basis von U1 + U2. Da die Elemente von C paarweise verschiedensind, folgt dann

dimU1 + U2 = |C | = d + m + n.


Vektorraume Basen


Beweis: Seien U1,U2 zwei Teilraume eines K -Vektorraums V .

z.z.: C = {B1 Basis von U1︷︸︸︷

~v1, . . . , ~vm, ~u1, . . . , ~ud ,︸︷︷︸B Basis von U1∩U2

~w1, . . . , ~wn

︸︷︷︸B2 Basis von U2

} ist Basis von U1 + U2.

〈C 〉 = U1 + U2, d.h. C erzeugt U1 + U2:⊆ X, da da jedes Element aus C in U1 oder U2 liegt.


Vektorraume Basen





~w1, . . . , ~wn



〈C 〉 = U1 + U2, d.h. C erzeugt U1 + U2:⊇ Sei ~x ∈ U1 + U2 ⇒ ~x = ~x1 + ~x2, mit ~x1 ∈ U1, ~x2 ∈ U2.

⇒ ~x1 =d∑

i=1

si ~ui +m∑j=1

rj~vj , ~x2 =d∑

i=1

s ′i ~ui +m∑

k=1

tk~vj

⇒ ~x1 + ~x2 =d∑

i=1

(si + s ′i )~ui +m∑j=1

rj~vj +n∑

k=1

tk ~wk

∈ 〈C 〉Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 439 / 669

Vektorraume Basen





~w1, . . . , ~wn



〈C 〉 = U1 + U2, d.h. C erzeugt U1 + U2

C ist linear unabhangig. Seien si , rj , tk ∈ K mit

d∑i=1

si ~ui +m∑j=1

rj~vj +n∑

k=1

tk ~wk = ~0

n∑k=1

tk ~wk︸︷︷︸∈U2

= −d∑

i=1

si ~ui −m∑j=1

rj~vj︸︷︷︸∈U1

∈ U1 ∩ U2


Vektorraume Basen





~w1, . . . , ~wn



〈C 〉 = U1 + U2, d.h. C erzeugt U1 + U2

C ist linear unabhangig. Seien si , rj , tk ∈ K mit

n∑k=1

tk ~wk︸︷︷︸∈U2

= −d∑

i=1

si ~ui −m∑j=1


∈ U1 ∩ U2

⇒ ∃s ′i ∈ K :n∑

k=1

tk ~wk =d∑

i=1

s ′i ~ui ⇔n∑

k=1

tk ~wk −d∑

i=1

s ′i ~ui = ~0


Vektorraume Basen





~w1, . . . , ~wn



〈C 〉 = U1 + U2, d.h. C erzeugt U1 + U2:C ist linear unabhangig. Seien si , rj , tk ∈ K mit

n∑k=1

tk ~wk︸︷︷︸∈U2

= −d∑

i=1

si ~ui −m∑j=1


∈ U1 ∩ U2

⇒ ∃s ′i ∈ K :n∑

k=1

tk ~wk −d∑

i=1

s ′i ~ui = ~0 ⇒ s ′i = tk = 0


Vektorraume Basen





~w1, . . . , ~wn



〈C 〉 = U1 + U2, d.h. C erzeugt U1 + U2:C ist linear unabhangig. Seien si , rj , tk ∈ K mit

n∑k=1

tk ~wk︸︷︷︸=~0

= −d∑

i=1

si ~ui −m∑j=1


∈ U1 ∩ U2

⇒ ∃s ′i ∈ K :n∑

k=1

tk ~wk −d∑

i=1

s ′i ~ui = ~0 ⇒ s ′i = tk = 0 = rj = si


Vektorraume Basen

Beispiel – Dimensionsformel fur Teilraume

Es sei V ein dreidimensionaler K -Vektorraum, und U1 6= U2 seien zweiverschiedene Teilraume von V mit dim U1 = dim U2 = 2.Dann muss

dim (U1 ∩ U2) = 1

gelten, denn:

Fur dim (U1 + U2) kommen nur 2 oder 3 in Betracht.

Ware dim (U1 + U2) = 2 = dim Ui , i = 1, 2, dann wareU1 = U1 + U2 = U2. im Widerspruch zur Voraussetzung U1 6= U2. Alsomuss dim (U1 + U2) = 3 sein. Mit der Dimensionsformel folgt dieBehauptung. ♣


Lineare Gleichungssysteme und Invertieren von Matrizen Definitionen und Beispiele

Ubersicht Kapitel 10Lineare Gleichungssysteme und Invertieren von Matrizen

10.1 Definitionen und Beispiele

10.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren

10.3 Invertieren von Matrizen



Kapitel 10Lineare Gleichungssysteme und Invertieren von Matrizen




Lineare Gleichungssysteme

Es sei im Folgenden immer (K ,+, ·) ein Korper (z.B. Q,R,C,Z2,Z3. . . ),d.h., man kann “normal rechnen”.

Definition 5.1.1 (Lineares Gleichungssystem)

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und m Variablen hat dieForm:

a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,mxm = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,mxm = b2...

an,1x1 + an,2x2 + · · · + an,mxm = bn

(5.1)

Die aij heißen Koeffizienten und die bi heißen rechte Seiten, mitaij , bi ∈ K .



Lineare Gleichungssysteme – Losungsmenge

Gesucht sind dann Werte x1, x2, . . . , xm ∈ K , die (5.1) erfullen.

Die Losungsmenge des linearen Gleichungssystems (5.1) ist die Menge

L :={

(x1, x2, . . . , xm)t ∈ Km | x1, x2, . . . , xm erfullen 5.1}



Koeffizientenmatrix

Definition 5.1.2 (Koeffizientenmatrix)

Die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (5.1) uber K istdie Matrix

A =

a11 a12 · · · a1m

a21 a22 · · · a2m...


∈ Kn×m.

Mit ~x = (x1, x2, . . . , xm)t ∈ Km und ~b = (b1, . . . , bn)t ∈ Kn konnen wirdann (5.1) auch in der Form

A~x = ~b

schreiben, mit Losungsmenge

L ={

(x1, x2, . . . , xm)t ∈ Km | A~x = ~b}.



Erweiterte Koeffizientenmatrix

Definition 5.1.3 (Erweiterte Koeffizientenmatrix)

Die erweiterte Matrix des linearen Gleichungssystems (5.1) ist die Matrix

(A, ~b) :=

a11 a12 · · · a1m b1

a21 a22 · · · a2m b2...

an1 an2 · · · amm bn

∈ Kn×(m+1).



Beispiele

Beispiel (mit genau einer Losung): Das lineare Gleichungssystem

2x + 2y = −2y + z = 4

x + z = 1

uber Q hat genau eine Losung, namlich x = −2, y = 1, z = 3.In Matrix-Schreibweise hat dieses Gleichungssystem die Form2 2 0

0 1 11 0 1

︸︷︷︸

A

xyz

︸︷︷︸

~x

=

−241

︸︷︷︸

~b

,

und es istL = {(−2, 1, 3)t} ⊂ Q3.



Beispiele (Forts.)

Beispiel (mit keiner Losung): Das lineare Gleichungssystem uber Q

x1 + x2 + x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 1

besitzt offensichtlich keine Losung: L = ∅. ♣



Beispiele (Forts.)

Beispiel (mit mehreren Losungen): Das lineare Gleichungssystem uber R

x1 + 2x2 + x4 = 1x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 5

2x1 + 4x2 + 3x4 = 53x3 + 2x4 = 3

besitzt mehrere Losungen, z.B.:

x1 = −2, x2 = 0, x3 = −1, x4 = 3 oder

x1 = 0, x2 = −1, x3 = −1, x4 = 3.

♣



Anwendungen

Lineare Gleichungssysteme gehoren zu den einfachsten Formen, umZusammenhange in Systemen zu beschreiben. Man findet sie z.B. in derlinearen Optimierung (→ wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen).

Beispiel aus Informatikvorlesung Eingebettete Systeme (Prof. Marwedel):

Sog. Petri-Netze zur Modellierung der Bewegungen von Thalys-Zugenzwischen Koln, Amsterdam, Brussel und Paris.

Matrix zur Abbildung der Transitionen zwischen den Stationen(Knoten).

Belegung der Stationen mit Zugen liefert fur jede Transition einelineare Gleichung mit konstantem Ergebnis (0) (Invariante!).

Insgesamt entsteht ein lineares Gleichungssystem, wobei Losungen in{0, 1}(!) gesucht werden.


Lineare Gleichungssysteme und Invertieren von Matrizen Das Gauß’sche Eliminationsverfahren







Umformungen von Gleichungssystemen

Grundlegend fur die systematische Losung linearer Gleichungssysteme istdas folgende einfache Lemma.

Lemma 5.2.1

Die Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems uber K andert sichnicht, wenn man

(i) zwei Gleichungen vertauscht,

(ii) das c-fache einer Gleichung zu einer anderen addiert (c ∈ K )

(iii) eine Gleichung mit c ∈ K \ {0} multipliziert.




Lemma 5.2.1

Die Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems uber K andert sich nicht, wenn man


(ii) das c-fache einer Gleichung zu einer anderen addiert (c ∈ K)


Beweis: (i) Sei A~x = ~b ein lineares Gleichungssystem:~at1...~atn

~x =

b1...bn

⇔~at1~x = b1

...~atn~x = bn

Das Vertauschen zweier Gleichungen andert die Bedingung also nicht.




Lemma 5.2.1





Beweis: (ii) Sei A~x = ~b ein lineares Gleichungssystem:

~at1~x = b1...~ati ~x = bi...~atj ~x = bj...~atn~x = bn

⇒⇔

~at1~x = b1...~ati ~x + c~atj ~x = bi + cbj...

~atj ~x = bj...~atn~x = bn

·ceinsetzen




Lemma 5.2.1





Beweis: (iii) Sei A~x = ~b ein lineares Gleichungssystem, c ∈ K \ {0}:

~ati ~x = bi | · c ⇒ ⇔ c~ati ~x = cbi | · c−1



Umformungen in lin. Gleichungssystemen

Wir wollen uns diese Umformungen an einem Beispiel veranschaulichen:Beispiel:

3x3+2x4 = 3

x1+2x2+2x3+3x4 = 5

2x1+4x2 +3x4 = 5

x1+2x2 + x4 = 1




Beispiel (Forts.):

3x3+2x4 = 3

x1+2x2+2x3+3x4 = 5

2x1+4x2 +3x4 = 5

x1+2x2 + x4 = 1




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x1+2x2+2x3+3x4 = 5

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x1+2x2+2x3+3x4 = 5

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3

(−1) (−2)




Beispiel (Forts.):

−x1−2x2 − x4 =−1

x1+2x2+2x3+3x4 = 5

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3

(−2)




Beispiel (Forts.):

x1−2x2 − x4 =−1

0+2x2+2x3+3x4 = 5

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3

(−2)




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 − x4 =−1

0+ 0+2x3+3x4 = 5

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3

(−2)




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 =−1

0+ 0+2x3+2x4 = 5

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3

(−2)




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

0+ 0+2x3+2x4 = 4

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3

(−2)




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

2x3+2x4 = 4

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3

(−2)




Beispiel (Forts.):

−2x1−4x2 −2x4 =−2

2x3+2x4 = 4

2x1+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1−4x2 −2x4 =−2

2x3+2x4 = 4

0+4x2 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 −2x4 =−2

2x3+2x4 = 4

0+ 0 +3x4 = 5

3x3+2x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 =−2

2x3+2x4 = 4

0+ 0 + x4 = 5

3x3+2x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

2x3+2x4 = 4

0+ 0 + x4 = 3

3x3+2x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

2x3+2x4 = 4

x4 = 3

3x3+2x4 = 3

| · 1/2




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3+ x4 = 2

x4 = 3

3x3+2x4 = 3

| · 1/2




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3+ x4 = 2

x4 = 3

3x3+2x4 = 3

| · 1/2(−3)




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

−3x3−3x4 =−6

x4 = 3

3x3+2x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3−3x4 =−6

x4 = 3

0+2x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3+ x4 =−6

x4 = 3

0− x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3+ x4 = 2

x4 = 3

0− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3+ x4 = 2

x4 = 3

− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3+ x4 = 2

0 = 0

− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3+ 0 =−1

0 = 0

− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + x4 = 1

x3 =−1

0 = 0

− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 + 0 =−2

x3 =−1

0 = 0

− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 =−2

x3 =−1

0 = 0

− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 =−2⇒ x1 = −2− 2x2

x3 =−1

0 = 0

− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 =−2⇒ x1 = −2− 2x2

x3 =−1⇒ x3 = −1

0 = 0

− x4 =−3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 =−2⇒ x1 = −2− 2x2

x3 =−1⇒ x3 = −1

0 = 0

− x4 =−3⇒ x4 = 3




Beispiel (Forts.):

x1+2x2 =−2⇒ x1 = −2− 2x2

x3 =−1⇒ x3 = −1

0 = 0

− x4 =−3⇒ x4 = 3

Somit ergibt sich als Losungsmenge des linearen Gleichungssystems:

L = {(−2− 2x2, x2,−1, 3)|x2 ∈ R}

♣



Gauß’scher Algorithmus

Der Gauß’sche Algorithmus (auch Gauß’sches Eliminationsverfahrengenannt) benutzt die Operationen aus Lemma 5.2.1 sukzessive, um eingegebenes lineares Gleichungssystem in ein anderes mit derselbenLosungsmenge(!) zu uberfuhren, bei dem man die Losung direkt ablesenkann.

Definition 5.2.2 (Aquivalenz von lin. Gleichungssystemen)

Zwei lineare Gleichungssysteme heißen aquivalent, wenn ihreLosungsmengen identisch sind.

Man nutzt also wieder eine Invarianten-Eigenschaft aus, um ein Problemzu vereinfachen.



Elementare Zeilenumformungen bei Matrizen

Die in Lemma 5.2.1 genannten System-Umformungen wirken sich auch aufdie Matrizen A bzw. (A, ~b) des Gleichungssystems aus bzw. lassen sichdurch Matrix-Umformungen realisieren:

Definition 5.2.3 (Elementare Zeilenumformungen)

Elementare Zeilenumformungen auf Matrizen aus Kn×m sind Abbildungender folgenden Form (fur 1 ≤ k , l ≤ n):

(i) Vk,l : Kn×m → Kn×m: “Vertausche k-te und l-te Zeile einer Matrix.”

(ii) Ak,l(c) : Kn×m → Kn×m fur c ∈ K :“Addiere das c-fache der k-ten Zeile zur l-ten Zeile einer Matrix.”

(iii) Mk(c) : Kn×m → Kn×m fur c ∈ K \ {0}:“Multipliziere die k-te Zeile einer Matrix mit c .”



Matrixumformungen – Beispiel

Wir wollen auch diese Umformungen an dem Beispiel von obenveranschaulichen.

Beispiel: 0 0 3 2 31 2 2 3 52 4 0 3 51 2 0 1 1




Beispiel (Forts.): 0 0 3 2 31 2 2 3 52 4 0 3 51 2 0 1 1




Beispiel (Forts.): 1 2 0 1 11 2 2 3 52 4 0 3 50 0 3 2 3




Beispiel (Forts.): 1 2 0 1 11 2 2 3 52 4 0 3 50 0 3 2 3

(−1) (−2)




Beispiel (Forts.):1 2 0 1 11 2 2 3 52 4 0 3 50 0 3 2 3

⇔

1 2 0 1 10 0 2 2 40 0 0 1 30 0 3 2 3

(−1) (−2)




Beispiel (Forts.):1 2 0 1 10 0 2 2 40 0 0 1 30 0 3 2 3

⇔

1 2 0 1 10 0 1 1 20 0 0 1 30 0 0 − 1 − 3

| · 1/2 (−3)




Beispiel (Forts.):1 2 0 1 10 0 1 1 20 0 0 1 30 0 0 −1 −3

⇔

1 2 0 0 − 20 0 1 0 − 10 0 0 0 00 0 0 −1 −3




Beispiel (Forts.):1 2 0 0 −20 0 1 0 −10 0 0 0 00 0 0 −1 −3

⇔

1 2 0 0 −20 0 1 0 −10 0 0 1 30 0 0 0 0

| · (−1)




Beispiel (Forts.):Die entstandene Matrix ist in Stufenform:

1 2 0 0 −20 0 1 0 −10 0 0 1 30 0 0 0 0

♣



Umformungen durch Matrixmultiplikation

Satz 5.2.4

Jede elementare Zeilenumformung (und damit jede Folge von elementarenZeilenumformungen) an einer Matrix A ∈ Kn×m ist Ergebnis einerMultiplikation von links mit einer regularen Matrix U ∈ Kn×n.

Beweis: Fur jeden Typ der elementaren Zeilenumformungen wollen wirdie entsprechende regulare Matrix U ∈ Kn×n angeben.

Definition 5.2.3 (Elementare Zeilenumformungen)

Elementare Zeilenumformungen auf Matrizen aus K n×m sind Abbildungen der folgendenForm (fur 1 ≤ k, l ≤ n):

(i) Vk,l : K n×m → K n×m: “Vertausche k-te und l-te Zeile einer Matrix.”

(ii) Ak,l(c) : K n×m → K n×m fur c ∈ K :“Addiere das c-fache der k-ten Zeile zur l-ten Zeile einer Matrix.”

(iii) Mk(c) : K n×m → K n×m fur c ∈ K \ {0}:“Multipliziere die k-te Zeile einer Matrix mit c.”



Umformungen durch Matrixmultiplikation (Forts.)

Beweis: Sei Eij diejenige Matrix aus Kn×n, die uberall mit Nullen besetztist bis auf die Position (i , j), an der sie eine 1 hat:

Eij =

0 . . . 0. . .

... 1...

. . .

0 . . . 0

Die elementaren Zeilenumformungen entsprechen dann einer Multiplikationvon links mit den folgenden Matrizen U:




Beweis: (i) Vk,l : Kn×m → Kn×m:”‘Vertausche k-te und l-te Zeile einer Matrix.”’

U ist regular, da U · U = En.




Beweis: (ii) Ak,l(c) : Kn×m → Kn×m fur c ∈ K :”‘Addiere das c-fache der k-ten Zeile zur l-ten Zeile einer Matrix.”’

U ′ ist regular, da

U ′ = En + c · Elk und

(U ′)−1 = En − c · Elk




Beweis: (iii) Mk(c) : Kn×m → Kn×m fur c ∈ K \ {0}:”‘Multipliziere die k-te Zeile einer Matrix mit c.”’

U ′′ ist regular, da

U ′′ = En + (c − 1) · Ekk und

(U ′′)−1 = En + (c−1 − 1) · Ekk



Definition der Stufenform

Durch elementare Zeilenumformungen kann man eine beliebige n ×mMatrix auf sogenannte Stufenform bringen.

Definition 5.2.5 (Stufenform)

Eine Matrix A ∈ Kn×m hat Stufenform, wenn sie wie folgt aussieht:



Reduktion auf Stufenform

Satz 5.2.6 (Stufenform)

Jede Matrix A ∈ Kn×m kann man durch elementare Zeilenumformungenauf Stufenform bringen.

Beweis: Induktion uber die Zahl n der Zeilen.

n = 1 : A = (a11, a12, . . . , a1m).

1. Fall: alle a1j = 0 ⇒ A ist in Stufenform2. Fall: es gibt ein j1 = min{j | a1j 6= 0}.

⇒ A = (0, . . . , 0, a1j1 , ∗ · · · ∗)M1(a−1

1j1)

→ (0, . . . , 0, 1, ∗ · · · ∗)

ist in Stufenform.

I. V.: Alle Matrizen des Kn×m lassen sich auf Stufenform bringen.





I. V.: Alle Matrizen des Kn×m lassen sich auf Stufenform bringen.

n → n + 1 : Sei A ∈ K (n+1)×m eine Matrix mit n + 1 Zeilen.

1. Fall: alle aij = 0 ⇒ A ist in Stufenform2. Fall: es gibt ein j1 = min{j | ∃i : aij 6= 0} und ein i1 = min{i | aij1 6= 0},

A =

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗...

......

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗0 . . . 0 ai1j1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 ∗ ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 ∗ ∗ . . . ∗





I. V.: Alle Matrizen aus Kn×m lassen sich auf Stufenform bringen.


1. Fall alle aij = 0⇒ A ist in Stufenform2. Fall es gibt j1 = min{j | ∃i : aij 6= 0} und i1 = min{i | aij1 6= 0}.

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗...

......

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗0 . . . 0 ai1j1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 ∗ ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 ∗ ∗ . . . ∗

Mi1

(a−1i1 j1

)

→

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗...

......

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 ∗ ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 ∗ ∗ . . . ∗








0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗...

......

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 ∗ ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 ∗ ∗ . . . ∗

Ai1,k

(−akj1 ),k 6=i1→

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗...

......

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗








0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗...

......

0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗

Vi1,1→

0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗








0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗








0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗

......

...0 . . . 0 0 ∗ . . . ∗

Sei B ∈ K n×m die Matrix, die aus den Zeilen 2 bis n + 1 besteht.

I.V.: B lasst sich auf Stufenform bringen.Die Eintrage in der ersten Zeile oberhalb der Stufen konnen schließlichmithilfe von Ak,1(c)- Operationen auf 0 gebracht werden.




Satz 5.2.6 (Stufenform)

Jede Matrix A ∈ Kn×m kann man durch elementare Zeilenumformungenauf Stufenform bringen.

Wir wenden den Satz auf die erweiterte Matrix (A, ~b) eines linearenGleichungssystems an und nehmen an, dass die Stufen in den Spaltenj1 ≤ j2 ≤ · · · ≤ jr ≤ m + 1 auftreten.

Die Spalte ji , i = 1, . . . , r , ist also die Spalte, in der die i-te Zeile denersten Eintrag ungleich Null (bzw. gleich 1) enthalt.



Behandlung der Stufenform

Wir unterscheiden nun zwei Falle.

1. Fall: jr = m + 1, d.h., die r -te Gleichung des umgeformten linearenGleichungssystems lautet

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1,

so dass das Gleichungssystem offenbar keine Losung besitzt. Indiesem Fall ist also L = ∅.



Behandlung der Stufenform (Forts.)

2. Fall: jr ≤ m Das umgeformte Gleichungssystem lautet also:

xj1 +n∑

j=j1+1j 6=j2,...,jr

a′1jxj = a′1,n+1

xj2 +n∑

j=j2+1j 6=j3,...,jr

a′2jxj = a′2,n+1

...

xjr +n∑

j=jr+1

a′rj xj = a′r ,n+1

0 = 0...

0 = 0



Behandlung der Stufenform (Forts.)

Alle xi außer den xj1 , . . . , xjr sind frei wahlbar; aus der Wahl dieser anderenxi ergeben sich dann die restlichen xj1 , . . . , xjr wie folgt:

xj1 := a′1,n+1 −n∑

j=j1+1j 6=j2,...,jr

a′1j xj

xj2 := a′2,n+1 −n∑

j=j2+1j 6=j3,...,jr

a′2j xj

...

xjr := a′r ,n+1 −n∑

j=jr+1

a′rj xj

Damit haben wir also eine vollstandige Beschreibung der Losungsmengedes linearen Gleichungssystems.



Eindeutige Losbarkeit

Aus der konstruktiven Beschreibung der Losungsmenge sehen wir sofort,dass das Gleichungssystem genau dann eindeutig losbar ist, wenn keine ximehr frei wahlbar sind, sondern die Losungen durch die (umgeformten)rechten Seiten eindeutig bestimmt werden.

Das ist genau dann der Fall, wenn {j1, . . . , jr} = {1, . . . ,m} ist.Insbesondere ist dann r = m.

Da es hochstens so viele Stufen wie Zeilen gibt, erhalten wir also dasfolgende Korollar:



Eindeutige Losbarkeit

Wdh. Definition 5.1.1

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und m Variablen hat die Form:

a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,mxm = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,mxm = b2

...an,1x1 + an,2x2 + · · · + an,mxm = bn

Die aij heißen Koeffizienten und die bi heißen rechte Seiten, mit aij , bi ∈ K .

Korollar 5.2.7

Falls das lineare Gleichungssystem (s.o.) eine eindeutige Losung besitzt, sogilt m ≤ n.

Beweis: Falls das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Losung besitzt,gilt {j1, . . . , jr} = {1, . . . ,m}.

⇒ r = m, r ≤ n ⇒ m ≤ nProf. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 532 / 669


Homogene lineare Gleichungssysteme

Wdh. Definition 5.1.1

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und m Variablen hat die Form:

a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,mxm = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,mxm = b2

...an,1x1 + an,2x2 + · · · + an,mxm = bn

Die aij heißen Koeffizienten und die bi heißen rechte Seiten, mit aij , bi ∈ K .

Definition 5.2.8 (Homogene lineare Gleichungssysteme)

Das lineare Gleichungssystem (5.1) heißt homogen, wennb1 = b2 = . . . = bm = 0.Ein homogen lineares Gleichungssystem hat immer eine Losung, namlichx1 = x2 = . . . = xn = 0.Diese Losung (x1, . . . , xn)t = ~0 heißt triviale Losung.



Homogene Systeme und eindeutige Losbarkeit

Satz 5.2.9

Ist n = m und hat das homogene lineare Gleichungssystem

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

nur die triviale Losung, so hat (5.1) fur jede rechte Seite b1, . . . , bm eineeindeutig bestimmte Losung.

Beweis: Wir betrachten die erweiterte Matrix (A,~0) des homogenenGleichungssystems. Da dieses eindeutig losbar ist, muss sich (A,~0) durchelementare Zeilenumformungen in die folgende Stufenform bringen lassen:




Beweis: Wir betrachten die erweiterte Matrix (A,~0) des homogenenGleichungssystems. Da dieses eindeutig losbar ist, muss sich (A,~0) durchelementare Zeilenumformungen in die folgende Stufenform bringen lassen:

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 1 0

(⇒ n = m). Wendet man dieselben Zeilenumformungen auf die Matrix(A, ~b) fur ein beliebiges ~b ∈ Kn an, so erhalt man die Matrix

1 0 . . . 0 b′10 1 . . . 0 b′2...

.... . .

......

0 0 . . . 1 b′n




Beweis:Wendet man dieselben Zeilenumformungen auf die Matrix (A, ~b)fur ein beliebiges ~b ∈ Kn an, so erhalt man die Matrix

1 0 . . . 0 b′10 1 . . . 0 b′2...

.... . .

......

0 0 . . . 1 b′n

Die eindeutige Losung des zugehorigen Gleichungssystems lasst sich darausablesen.

x1 = b′1, x2 = b′2, . . . , xn = b′n


Lineare Gleichungssysteme und Invertieren von Matrizen Invertierung von Matrizen







Erweiterung des Gauß-Algorithmus

Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, wie man lineareGleichungssysteme A~x = ~b algorithmisch lost und dabei gleichzeitigAussagen uber die allgemeine Losbarkeit solcher Gleichungssysteme erhalt.

Von zentraler Bedeutung waren dabei elementare Zeilenumformungen, dieman auch durch Multiplikation (von links) mit regularen, d.h.invertierbaren Matrizen realisieren kann.

Die Losbarkeit homogener Gleichungssysteme ist fundamental fur dieLosbarkeit ganzer Klassen von Gleichungssystemen.



Erweiterung des Gauß-Algorithmus (Forts.)

In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, wie man durch eine Erweiterung derAnwendung des Gauß-Algorithmus

gleichzeitig Losungen fur beliebige rechte Seiten erhalten (bzw.vorbereiten) und

das Inverse einer regularen Matrix berechnen kann.



Eine allgemeine Gleichungssystem-Matrix

Um ein Gleichungssystem A~x = ~b, A ∈ Kn×m zu losen, haben wir denGauß-Algorithmus auf die Matrix (A, ~b) angewendet.

Wollen wir danach ein System A~x = ~c losen, mussen wir den Algorithmusmit der Matrix (A, ~c) wiederholen.

Um diesen Aufwand zu reduzieren, losen wir nun Gleichungssysteme miteiner generischen rechten Seite –wir wenden den Gauß-Algorithmus auf die Matrix (A,En) ∈ Kn×(m+n) an.

Die Matrix En nimmt bei der Modifizierung die Informationen derZeilenumformungen auf.



Identifikation der Umformungsinformationen

Konkret passiert bei den Zeilenumformungen der Matrix (A,En) folgendes:

Wir formen A und damit (A,En) auf Stufenform um und erhalten eineMatrix (B,C );

dies entspricht einer Multiplikation von links mit einer (regularen)Umformungsmatrix U, also

B = U · A und C = U · En = U.

B hat Stufenform und C ist die Umformungsmatrix.



Losung beliebiger Gleichungssysteme A~x = ∗

Fur beliebige rechte Seiten ~b des Gleichungssystems A~x = ~b kann mannun die Informationen zur Stufenform wie folgt ausnutzen:

Stufenform wird erreicht durch B~x = U · A~x = U · ~b;

Wegen U · A~x = U · ~b genau dann, wenn A~x = ~b (U invertierbar!) istjede Losung von U ·A~x = U · ~b (die sich in der Regel leicht berechnenlasst) auch eine Losung von A~x = ~b.



Invertieren von Matrizen

Dieselbe Idee – namlich die Betrachtung der Matrix (A,En) anstelle von A– kann man auch benutzen, um das Inverse von (regularen) Matrizenauszurechnen.

Sei A~x = ~b ein Gleichungssystem mit regularer Matrix A ∈ Kn×n. Dannist A~x = ~b genau dann, wenn ~x = A−1~b, das Gleichungssystem ist alsoeindeutig losbar. Durch Anwendung des Gauß-Algorithmus erhalten wiraus der Matrix (A,En) die Matrix (En,U) mit En = B = U · A, also istU = A−1. Wir konnen daher mit Hilfe des Gauß-Algorithmus zu regularenMatrizen das (multiplikative) Inverse bestimmen.



Invertieren von Matrizen (Forts.)

Satz 5.3.1

Sei A ∈ Kn×n eine regulare quadratische Matrix. Dann ist A~x = ~beindeutig losbar, und man erhalt das Inverse A−1, indem man dieselbenZeilenumformungen auf die Einheitsmatrix in derselben Reihenfolgeanwendet.


Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen

Ubersicht Kapitel 11Lineare Abbildungen und Matrizen

11.1 Lineare Abbildungen und Isomorphismen

11.2 Matrizen linearer Abbildungen

11.3 Dimensionssatz und Homomorphiesatz

11.4 Hauptsatz uber lineare Gleichungssysteme

11.5 Algebra der linearen Abbildungen



Kapitel 11Lineare Abbildungen und Matrizen

11.1 Lineare Abbildungen undIsomorphismen



Lineare Abbildungen

Homomorphismen sind strukturerhaltende Abbildungen, d.h. Abbildungen,die mit den Verknupfungen auf Mengen vertraglich sind.Vektorraumhomomorphismen werden auch lineare Abbildungen genannt;sie sind mit der Addition von Vektoren und mit der Skalarmultiplikationvertraglich.

Definition 6.1.1 (Lineare Abbildungen, Vektorraumhomomorphismus)

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine Abbildung.Dann heißt ϕ linear oder Vektorraumhomomorphismus, falls

ϕ(~v + ~v ′) = ϕ(~v) + ϕ(~v ′) fur alle ~v , ~v ′ ∈ V

und

ϕ(s · ~v) = s · ϕ(~v) fur alle s ∈ K und ~v ∈ V .



Eigenschaften linearer Abbildungen

Nullvektoren werden unter Vektorraumhomomorphismen wieder aufNullvektoren abgebildet:

Satz 6.1.2

Sind V und W zwei K -Vektorraume und ist ϕ : V →W eine lineareAbbildung, so ist ϕ(~0) = ~0.

Beweis:ϕ(~0) = ϕ(0 ·~0) = 0 · ϕ(~0) = ~0.



Eigenschaften linearer Abbildungen (Forts.)

Vektorraumhomomorphismen/Lineare Abbildungen lassen sich auch durcheine Bedingung charaktierisieren:

Satz 6.1.3 (Charakterisierung linearer Abbildungen)

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine Abbildung.Die Abbildung ϕ ist genau dann linear, wenn

ϕ(s · ~v + ~v ′) = s · ϕ(~v) + ϕ(~v ′) fur alle s ∈ K und ~v , ~v ′ ∈ V . (6.1)

Beweis: Seien ~v , ~v ′ ∈ V , s ∈ K .”‘⇒”’ Sei ϕ linear. Dann ist

ϕ(s · ~v + ~v ′) = ϕ(s · ~v) + ϕ(~v ′) (Additivitat)

= s · ϕ(~v) + ϕ(~v ′). (Homogenitat)






ϕ(s · ~v + ~v ′) = s · ϕ(~v) + ϕ(~v ′) fur alle s ∈ K und ~v , ~v ′ ∈ V .

Beweis: Seien ~v , ~v ′ ∈ V , s ∈ K .”‘⇐”’ Sei ϕ(s · ~v + ~v ′) = s · ϕ(~v) + ϕ(~v ′) fur alle s ∈ K und ~v , ~v ′ ∈ V .

Additivitat:

ϕ(~v + ~v ′) = ϕ(1 · ~v + ~v ′)

= 1 · ϕ(~v) + ϕ(~v ′)

= ϕ(~v) + ϕ(~v ′)






ϕ(s · ~v + ~v ′) = s · ϕ(~v) + ϕ(~v ′) fur alle s ∈ K und ~v , ~v ′ ∈ V .

Beweis: Seien ~v , ~v ′ ∈ V , s ∈ K .”‘⇐”’ Sei ϕ(s · ~v + ~v ′) = s · ϕ(~v) + ϕ(~v ′) fur alle s ∈ K und ~v , ~v ′ ∈ V .

Additivitat

Homogenitat:

ϕ(s · ~v) = ϕ(s · ~v +~0)

= s · ϕ(~v) + ϕ(~0)

= s · ϕ(~v)



Lineare Abbildungen – Beispiele

Beispiel: Es sei V ein K -Vektorraum und c ∈ K ein Skalar. Dann ist dieAbbildung

ϕc : V → V

~v 7→ c · ~v

linear. Denn

ϕc(s · ~v + ~v ′) = c · (s · ~v + ~v ′)

= s · (c · ~v) + c · ~v ′

= s · ϕc(~v) + ϕc(~v ′)

fur alle s ∈ K und ~v , ~v ′ ∈ V . ♣



Lineare Abbildungen – Beispiele (Forts.)

Beispiel (Nullabbildung): Sind V und W zwei K -Vektorraume, dann istdie Abbildung

ϕ : V →W

~v 7→ ~0

fur alle ~v ∈ V linear, also ein Vektorraumhomomorphismus. ♣



Lineare Abbildungen – Beispiele (Forts.)

Beispiel (Differenzierbare Funktionen): Es sei V der R-Vektorraum allerdifferenzierbarer Funktionen von R nach R, also

V := { f : R→ R | f ist differenzierbar } ⊂ RR,

und f ′ bezeichne die Ableitung der Funktion f ∈ V .

Dann ist die durchf 7→ f ′

definierte Abbildung von V nach RR linear.Dies folgt sofort aus den bekannten Ableitungsregeln fur Funktionen. ♣



Lineare Abbildung einer Matrix

Ein besonders wichtiges Beispiel fur eine lineare Abbildung wird durch denfolgenden Satz gegeben:

Satz 6.1.4

Sei A ∈ Km×n eine Matrix. Definiere ϕA durch

ϕA : Kn → Km,

~x 7→ A · ~x .

Jede solche Abbildung ϕA ist linear.

Beweis: Folgt sofort aus den Rechenregeln fur Matrizen.

Wir werden spater sehen, dass alle linearen Abbildungen zwischenVektorraumen Km und Kn diese Form haben, also durch Matrizendarstellbar sind.



Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen

Schaltet man zwei lineare Abbildungen (geeignet) hintereinander, so erhaltman wieder eine lineare Abbildung:

Lemma 6.1.5

Es seien U,V und W drei K -Vektorraume. Sind ϕ : U → V undψ : V →W lineare Abbildungen, so ist die Hintereinanderausfuhrung

ψ ◦ ϕ : U →W

~v 7→ ψ(ϕ(~v))

ebenfalls eine lineare Abbildung.



Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen

Lemma 6.1.5

Es seien U,V und W drei K -Vektorraume. Sind ϕ : U → V und ψ : V →W lineareAbbildungen, so ist die Hintereinanderausfuhrung

ψ ◦ ϕ : U →W

~v 7→ ψ(ϕ(~v))

ebenfalls eine lineare Abbildung.

Beweis: Seien ~v , ~w ∈ V und s ∈ K .

z.z.: ψ ◦ ϕ (s · ~v + ~w) = s · ψ ◦ ϕ(~v) + ψ ◦ ϕ(~w)

ψ ◦ ϕ (s · ~v + ~w) = ψ(ϕ(s · ~v + ~w))

= ψ(s · ϕ(~v) + ϕ(~w))

= s · ψ(ϕ(~v)) + ψ(ϕ(~w))

= s · ψ ◦ ϕ(~v) + ψ ◦ ϕ(~w)



Basen und lineare Abbildungen

Satz 6.1.6

Es seien V und W zwei K -Vektorraume, {~v1, . . . , ~vn} ⊂ V sei eine Basisvon V , und ~w1, . . . , ~wn ∈W seien n Vektoren in W .Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

ϕ : V →W

mitϕ(~vi ) = ~wi fur i = 1, · · · , n. (6.2)

Lineare Abbildungen auf V sind also durch die Bilder auf einer Basis vonV eindeutig bestimmt.




Satz 6.1.6

Es seien V und W zwei K -Vektorraume, {~v1, . . . , ~vn} ⊂ V sei eine Basis von V , und~w1, . . . , ~wn ∈W seien n Vektoren in W . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

ϕ : V →W

mitϕ(~vi ) = ~wi fur i = 1, · · · , n. (6.3)

Beweis: Sei ~v ∈ V , ϕ : V →W linear mit ϕ(~vi ) = ~wi fur i = 1, · · · , n.

⇒ ϕ(~v) = ϕ(s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn)

= s1ϕ(~v1) + · · ·+ snϕ(~vn)

= s1 · ~w1 + · · ·+ sn · ~wn

Eindeutigkeit der Darstellung als Linearkombination von Basisvektoren⇒ ϕ ist unter den Annahmen eindeutig bestimmt





⇒ ϕ(~v) = ϕ(s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn)

= s1 · ~w1 + · · ·+ sn · ~wn

⇒ ϕ ist unter den Annahmen eindeutig bestimmt

z.z.: Die Annahmen treffen auf ϕ zu

Linearitat: Seien ~u, ~v ∈ V .

⇒ ϕ(r · ~u + ~v) = ϕ(r · (s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn) + t1 · ~v1 + · · ·+ tn · ~vn)

= ϕ((rs1 + t1) · ~v1 + · · ·+ (rsn + tn) · ~vn)

= (rs1 + t1) · ~w1 + · · ·+ (rsn + tn) · ~wn

= r(s1 · ~w1 + · · ·+ sn · ~wn) + t1 · ~w1 + · · ·+ tn · ~wn

= rϕ(~u) + ϕ(~v).





⇒ ϕ(~v) = ϕ(s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn)

= s1 · ~w1 + · · ·+ sn · ~wn

⇒ ϕ ist unter den Annahmen eindeutig bestimmt

z.z.: Die Annahmen treffen auf ϕ zu

Linearitat

ϕ(~vi ) = ~wi fur i = 1, · · · , n : Sei i ∈ {1, · · · , n}

⇒ ϕ(~vi ) = ϕ(1 · ~vi ) = 1~wi




Beispiel (im R2): Wir betrachten den R-Vektorraum R2 mit der Basis{~e1, ~e2}.

Eine lineare Abbildung ϕ : R2 → R2 ist dann eindeutig durch die Bilder~w1 := ϕ(~e1) und ~w2 := ϕ(~e2) gegeben (z.B. ~w1 =

(11

)und ~w2 =

(02

)).

Fur einen beliebigen Vektor ~v =(s1s2

)∈ R2 gilt dann

ϕ(~v) = s1 · ~w1 + s2 · ~w2.

Fur ~w1 =(1

1

)und ~w2 =

(02

)ist dann ϕ(~v) =

( s1s1+2s2

). ♣



Darstellende Matrix einer linearen Abbildung

Korollar 6.1.7

Jede lineare Abbildung ϕ : Kn → Km ist von der Form ϕ = ϕA fur eineMatrix A ∈ Km×n, wobei

ϕA : Kn → Km,

~x 7→ A · ~x .

Die Matrix A heißt auch darstellende Matrix von ϕ.

Beweis: Sei ϕ : Kn → Km eine lineare Abbildung

z.z.: Es gibt ein A ∈ Km×n mit ϕ(~x) = A · ~x ∀~x ∈ Kn




Beweis: Sei ϕ : Kn → Km eine lineare Abbildung.


Sei {~e1, . . . , ~en} die Standardbasis des Kn und

ϕ(~ei ) =

a1i...

ami

∈ Km, 1 ≤ i ≤ n.

Definiere

A =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

∈ Km×n.




Beweis: Sei ϕ : Kn → Km eine lineare Abbildung.


Sei {~e1, . . . , ~en} die Standardbasis des Kn und

ϕ(~ei ) =

a1i...

ami

, A =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

∈ Km×n.

⇒ ϕ(~ei ) =

a1i...

ami

= A · ~ei

⇒ ϕ(~x) = A · ~x ∀~x ∈ Kn



Charakterisierung linearer Abbildungen – Idee

Damit kennen wir alle linearen Abbildungen zwischen Kn und Km. Wirwollen diese Erkenntnis im nachsten Unterkapitel auch fur lineareAbbildungen zwischen beliebigen Vektorraumen V und W nutzen.

Idee: Wir “zerlegen” eine lineare Abbildung ϕ : V →W durchHintereinanderschaltung linearer Abbildungen

ϕ : Vϕ1−→ Kn ϕ2−→ Km ϕ3−→W (n,m geeignet).

ϕ2 muss dann ein Homomorphismus ϕA sein, ϕ1 und ϕ3 “klassifizieren” Vbzw. W .

Zu diesem Zweck sind die Eigenschaften der Injektivitat und Surjektivitatnutzlich.



Isomorphismen & Co.

Lineare Abbildungen konnen injektiv, surjektiv und auch bijektiv sein:

Definition 6.1.8 (Monomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus)

(i) Ein injektiver Vektorraumhomomorphismus heißt (Vektorraum-)Monomorphismus.

(ii) Ein surjektiver Vektorraumhomomorphismus heißt (Vektorraum-)Epimorphismus.

(iii) Ein bijektiver Vektorraumhomomorphismus heißt (Vektorraum-)Isomorphismus.



Isomorphe Vektorraume

Definition 6.1.9 (Isomorphie)

Zwei K -Vektorraume V und W heißen isomorph (in Zeichen V ∼= W ),falls es einen Vektorraumisomorphismus ϕ : V →W gibt.



Eigenschaften von Isomorphismen

Satz 6.1.10 (Eigenschaften von Isomorphismen)

Es seien U,V und W drei K -Vektorraume.

(i) Ist ϕ : U → V ein Isomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildungϕ−1 : V → U ein Isomorphismus.

(ii) Sind ϕ : U → V und ψ : V →W Isomorphismen, so ist auch dieHintereinanderausfuhrung ψ ◦ ϕ : U →W ein Isomorphismus.

(iii) Die Isomorphie “ ∼= “ ist eine Aquivalenzrelation auf der Menge derK -Vektorraume.

Beweis: (i) Sei ϕ : U → V ein Isomorphismus (linear und bijektiv).⇒ ϕ−1 : V → U ist definiert und bijektiv.

z.z.: ϕ−1 ist linear




Beweis: (i) Sei ϕ : U → V ein Isomorphismus (linear und bijektiv).⇒ ϕ−1 : V → U ist definiert und bijektiv.

z.z.: ϕ−1 ist linear

ϕ−1(s · ~v1 + ~v2) = ϕ−1(s · ϕ(~u1) + ϕ(~u2))

= ϕ−1(ϕ(s · ~u1) + ϕ(~u2))

= ϕ−1(ϕ(s · ~u1 + ~u2))

= s · ~u1 + ~u2

= s · ϕ−1(~v1) + ϕ−1(~v2)









Beweis: (ii) Folgt aus der Bijektivitat von Hintereinanderausfuhrungenbijektiver Abbildungen.









Beweis: (iii) V ∼= W ⇔ ∃ Isomorphismus ϕ : V →W

Reflexivitat: idV : V → V , ~v 7→ ~v ist ein Isomorphismus⇒ V ∼= V










Reflexivitat

Symmetrie: (i)⇒ aus V ∼= W folgt W ∼= V










Reflexivitat

Symmetrie

Transitivitat: (ii)⇒ aus U ∼= V und V ∼= W folgt U ∼= W



Die Abbildung cB

Sei V ein K -Vektorraum der Dimension n, sei B = {~v1, . . . , ~vn} ⊂ V eineBasis von V . Wir wollen im Folgenden immer voraussetzen, dass durch dieNummerierung i = 1, . . . , n eine Reihenfolge der Basiselemente ~v1, . . . , ~vnvon B festgelegt ist.

Aus der Definition von Basen folgt, dass es zu jedem Vektor ~v ∈ Veindeutige Koeffizienten s1, . . . , sn ∈ K gibt mit

~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn.

Wegen der Festlegung der Reihenfolge konnen wir dem Vektor ~v ∈ V dieseKoeffizienten eindeutig zuordnen und erhalten eine Abbildung

cB : V → Kn, ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn 7→

s1...sn

. (6.4)



Die Abbildung cB (Forts.)

Satz 6.1.11

Die in (6.4) definierte Abbildung cB : V → Kn ist ein Isomorphismus mitUmkehrabbildung

c−1B : Kn → V ,

s1...sn

7→ ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn.




Satz 6.1.11

Die in (6.4) definierte Abbildung cB : V → K n ist ein Isomorphismus mitUmkehrabbildung

c−1B : K n → V ,

s1

...sn

7→ ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn.

Beweis: Seien ~v , ~w ∈ V , s ∈ K , und

~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn~w = t1 · ~v1 + · · ·+ tn · ~wn.

cB ist linear:





~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn~w = t1 · ~v1 + · · ·+ tn · ~wn.

cB ist linear:

s · ~v + ~w = (ss1 + t1) · ~v1 + · · ·+ (ssn + tn) · ~vn

⇒ cB(s · ~v + ~w) =

ss1 + t1...

ssn + tn

= s

s1...sn

+

t1...tn

= s · cB(~v) + cB(~w)




Satz 6.1.11


c−1B : K n → V ,

s1

...sn

7→ ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn.


~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn~w = t1 · ~v1 + · · ·+ tn · ~wn.

cB ist linear

cB ist injektiv:





~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn~w = t1 · ~v1 + · · ·+ tn · ~wn.

cB ist linear

cB ist injektiv: Sei cB(~v) = cB(~w), d.h.s1...sn

=

t1...tn

⇒ s1 = t1, . . . , sn = tn ⇒ ~v = ~w




Satz 6.1.11


c−1B : K n → V ,

s1

...sn

7→ ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn.


~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn~w = t1 · ~v1 + · · ·+ tn · ~wn.

cB ist linear

cB ist injektiv

cB ist surjektiv:





~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn~w = t1 · ~v1 + · · ·+ tn · ~wn.

cB ist linear

cB ist injektiv

cB ist surjektiv: Sei

s1...sn

∈ Kn

⇒ ∃~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn ∈ V , cB(~v) =

s1...sn

∈ Kn




Satz 6.1.11


c−1B : K n → V ,

s1

...sn

7→ ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn.


~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn~w = t1 · ~v1 + · · ·+ tn · ~wn.

cB ist linear

cB ist injektiv

cB ist surjektiv

Die Umkehrabbildung ist wie angegeben XProf. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 585 / 669



Satz 6.1.11


c−1B : K n → V ,

s1

...sn

7→ ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn.

Korollar 6.1.12

Jeder n-dimensionale Vektorraum ist isomorph zu Kn.



K n als Prototyp eines n-dimensionalen Vektorraumes

Daraus ergibt sich sofort der folgende Satz:

Satz 6.1.13

Je zwei endlich dimensionale K -Vektorraume derselben Dimension n sindisomorph.

Die K -Vektorraume der Dimension n bilden also eineIsomorphie-Aquivalenzklasse mit dem bekanntesten Vertreter Kn.



K n als Prototyp eines n-dimensionalen Vektorraumes

Satz 6.1.13

Je zwei endlich dimensionale K -Vektorraume derselben Dimension n sindisomorph.

Beweis: Seien V1,V2 zwei K -Vektorr”aume mit dimV1 = dimV2 = n undB1,B2 Basen von V1 bzw V2 mit festgelegter Reihenfolge.

⇒ cB1 : V1 → Kn

c−1B2

: Kn → V2

sind Isomorphismen.⇒ cB1 ◦ c

−1B2

: V1 → V2

ist ein Isomorphismus. ⇒ V1∼= V2,


Lineare Abbildungen und Matrizen Matrix einer linearen Abbildung









Charakterisierung linearer Abbildungen

Wir setzen unsere Uberlegungen zur Charakterisierung beliebiger linearerAbbildungen ϕ : V →W (V , W endlich dimensionale K -Vektorraume)fort.

Nach Satz 6.1.6 ist ϕ eindeutig bestimmt durch die Bilder auf einer Basisvon V . Ganz ahnlich wie im Beweis von Korollar 6.1.7 kann ϕ durch eineMatrix beschrieben werden.

Dies wollen wir uns im Folgenden genauer anschauen.

Sei dim V = n mit Basis B = (~v1, . . . , ~vn),dim W = m mit Basis B ′ = (~w1, . . . , ~wm),

wobei wir – wie ublich – sowohl fur B als auch fur B ′ die Reihenfolge derElemente festlegen (sonst muss man alle Permutationen der Reihenfolgebetrachten).



Festlegung linearer Abbildungen durch Basen

Dann ist nach Satz 6.1.6 ϕ durch die Angabe von

ϕ(~vj) ∈W fur j = 1, . . . , n

vollstandig bestimmt.

Der Vektor ϕ(~vj) ∈W lasst sich eindeutig in der Basis B ′ ausdrucken:

ϕ(~vj) =m∑i=1

aij · ~wi fur j = 1, . . . , n,

wobei aij ∈ K fur i = 1, . . . ,m und j = 1, . . . , n, d.h. (aij) ∈ Km×n.



Festlegung linearer Abbildungen durch Basen (Forts.)

Definition 6.2.1 (Matrix einer linearen Abbildung)

Seien V , W endlich dimensionale K -Vektorraume, dim V = n mit BasisB = (~v1, . . . , ~vn) und dim W = m mit Basis B ′ = (~w1, . . . , ~wm), seiϕ : V →W eine lineare Abbildung.

Die durch

ϕ(~vj) =m∑i=1

aij · ~wi fur i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, (6.5)

definierte Matrix (aij) ∈ Km×n heißt Matrix von ϕ bezuglich der Basen Bund B’, in Zeichen

B′ [ϕ]B = (aij) ∈ Km×n.



Matrix bzgl. B und B ′ – Beispiel 1

Es sei A ∈ Km×n und ϕA : Kn → Km die zugehorige lineare Abbildung mitϕA(~x) = A · ~x .

Es seien B = (~e1, . . . , ~en) die Standardbasis von Kn undB ′ = (~e ′1, . . . , ~e ′m) die Standardbasis von Km.

Dann ist

ϕA(~ej) = A · ~ej =

a1j...

amj

=m∑i=1

aij · ~e ′i fur j = 1, . . . , n.

Folglich ist also

B′ [ϕA]B = A.

♣



Matrix bzgl. B und B ′ – Beispiel 2

Sei V = R3,W = R2 mit den Basen

B =

~v1 =

110

, ~v2 =

101

, ~v3 =

011

,

Basis von V

B ′ =

{~w1 =

(10

), ~w2 =

(01

),

}Basis von W .



Matrix bzgl. B und B ′ – Beispiel 2 (Forts.)

Sei ϕ : V →W definiert durch

ϕ(~v1) =

(11

)= 1 · ~w1 + 1 · ~w2

ϕ(~v2) =

(10

)= 1 · ~w1 + 0 · ~w2

ϕ(~v3) =

(01

)= 0 · ~w1 + 1 · ~w2

Dann ist

B′ [ϕ]B =

(1 1 01 0 1

).



Die Isomorphismen cB

Es gilt V ∼= Kn und W ∼= Km dank der Isomorphismen

cB : V → Kn, ~v = s1 · ~v1 + · · ·+ sn · ~vn 7→

s1...sn

cB′ : W → Km, ~w = t1 · ~w1 + · · ·+ tm · ~wm 7→

t1...tm

(s. (6.4)). Ist also ϕ : V →W eine lineare Abbildung von V nach W , soist

cB′ ◦ ϕ : V → Km

eine lineare Abbildung von V nach Km. Wir wollen im Folgenden cB′ ◦ ϕmit Hilfe der Matrix B′ [ϕA]B beschreiben.



Kombinationen mit cB

Satz 6.2.2

Es seien V und W zwei K -Vektorraume, B = {~v1, . . . , ~vn} eine Basis vonV und B ′ = {~w1, . . . , ~wm} eine Basis von W . Sei weiterhin ϕ : V →Weine lineare Abbildung, und sei A := B′ [ϕ]B .Dann gilt

cB′ ◦ ϕ = ϕA ◦ cB .




Satz 6.2.2

Es seien V und W zwei K -Vektorraume, B = {~v1, . . . , ~vn} eine Basis von V undB ′ = {~w1, . . . , ~wm} eine Basis von W . Sei weiterhin ϕ : V →W eine lineare Abbildung,und sei A := B′ [ϕ]B .Dann gilt

cB′ ◦ ϕ = ϕA ◦ cB .

Beweis: Sei 1 ≤ i ≤ n.

z.z.:cB′ ◦ ϕ(~vi ) = ϕA ◦ cB(~vi )

Sei ϕ(~vi ) = a1i ~w1 + · · ·+ ami ~wm, dann gilt

cB′ ◦ ϕ(~vi ) = cB′(ϕ(~vi )) =

( a1i

...ami

)ϕA ◦ cB(~vi ) = ϕA(~ei ) = A · ~ei




Satz 6.2.2


cB′ ◦ ϕ = ϕA ◦ cB .


z.z.:cB′ ◦ ϕ(~vi ) = ϕA ◦ cB(~vi )


A =

a11 . . . a1i . . . a1n...

......

am1 . . . ami . . . amn

⇒ A · ~ei =

a1i...

ami




Satz 6.2.2


cB′ ◦ ϕ = ϕA ◦ cB .


z.z.:cB′ ◦ ϕ(~vi ) = ϕA ◦ cB(~vi )


cB′ ◦ ϕ(~vi ) = cB′(ϕ(~vi )) =

( a1i

...ami

)ϕA ◦ cB(~vi ) = ϕA(~ei ) = A · ~ei =

( a1i

...ami

)Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 601 / 669


Ein kommutatives Abbildungsdiagramm

Das folgende Abbildungsdiagramm ist also kommutativ:

ϕA

cB′

ϕ

cB

Kn Km

WV

cB′ ◦ ϕ = ϕA ◦ cB



Motivation der Matrixmultiplikation

Das folgende Korollar zeigt, dass die Matrixmultiplikation durch dieKompatibilitat mit der Hintereinanderschaltung linearer Abbildungenmotiviert ist:

Korollar 6.2.3

Es seien U, V und W drei endlich-dimensionale K -Vektorraume undϕ : U → V und ψ : V →W lineare Abbildungen. Ist B Basis von U, B ′

Basis von V und B ′′ Basis von W , so gilt

B′′ [ψ ◦ ϕ]B = B′′ [ψ]B′ · B′ [ϕ]B .




Korollar 6.2.3

Es seien U, V und W drei endlich-dimensionale K -Vektorraume und ϕ : U → V undψ : V →W lineare Abbildungen. Ist B Basis von U, B ′ Basis von V und B ′′ Basis vonW , so gilt

B′′ [ψ ◦ ϕ]B = B′′ [ψ]B′ · B′ [ϕ]B .

Beweis: Sei B = {~u1, . . . , ~un}, 1 ≤ i ≤ n.

z.z.: B′′ [ψ ◦ ϕ]B︸︷︷︸D

·~ei = B′′ [ψ]B′︸︷︷︸C

· B′ [ϕ]B︸︷︷︸A

·~ei

B′′ [ψ ◦ ϕ]B · ~ei = ϕD ◦ cB(~ui )

= cB′′ ◦ (ψ ◦ ϕ)(~ui )

= (cB′′ ◦ ψ) ◦ ϕ(~ui )

= (ϕC ◦ cB′) ◦ ϕ(~ui )

= ϕC ◦ (cB′ ◦ ϕ)(~ui )




Korollar 6.2.3

Es seien U, V und W drei endlich-dimensionale K -Vektorraume und ϕ : U → V undψ : V →W lineare Abbildungen. Ist B Basis von U, B ′ Basis von V und B ′′ Basis vonW , so gilt

B′′ [ψ ◦ ϕ]B = B′′ [ψ]B′ · B′ [ϕ]B .

Beweis: Sei B = {~u1, . . . , ~un}, 1 ≤ i ≤ n.

z.z.: B′′ [ψ ◦ ϕ]B︸︷︷︸D

·~ei = B′′ [ψ]B′︸︷︷︸C

· B′ [ϕ]B︸︷︷︸A

·~ei

B′′ [ψ ◦ ϕ]B · ~ei = ϕC ◦ (cB′ ◦ ϕ)(~ui )

= ϕC ◦ (ϕA ◦ cB)(~ui )

= ϕC (ϕA(cB(~ui )))

= ϕC (ϕA(~ei ))

= ϕC (B′ [ϕ]B · ~ei ) =B′′ [ψ]B′ ·B′ [ϕ]B · ~eiProf. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 605 / 669


Assoziativitat der Matrixmultiplikation

Man kann die Assoziativitat der Matrixmultiplikation durch Ausrechnenzeigen, eleganter folgt das mit diesem Korollar:

Korollar 6.2.4

Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, d.h. fur A ∈ Km×n,B ∈ Kn×p undC ∈ Kp×q gilt

(A · B) · C = A · (B · C ).

Dies folgt leicht durch Betrachtung der zugehorigen linearen AbbildungenϕA, ϕB , ϕC aus Satz 6.2.3, da die Hintereinanderschaltung vonAbbildungen assoziativ ist.



Basiswechsel

Im Folgenden wollen wir uns nicht auf die lineare Abbildung selbstkonzentrieren, sondern die Darstellung von Vektoren bezgl.unterschiedlicher Basen (desselben Vektorraums) untersuchen.

Sei also V ein K -Vektorraum mit dim V = n und idV : V → V dieidentische Abbildung.

Definition 6.2.5 (Basiswechselmatrix)

Sei V ein K -Vektorraum mit Basen B = (~v1, . . . , ~vn) undB ′ = (~w1, . . . , ~wn). Dann heißt die Matrix Q = (qij) := B′ [idV ]BBasiswechselmatrix.



Basiswechsel (Forts.)

Jeder Vektor ~v ∈ V lasst sich sowohl bzgl. B als auch bzgl. B ′ eindeutigdarstellen:

~v =n∑

i=1

si~vi und ~v =n∑

i=1

s ′i ~wi ,

das heißt

cB(~v) =

s1...sn

und cB′(~v) =

s ′1...s ′n

.

Mit Hilfe der Basiswechselmatrix Q = (qij) lasst sich die eine Darstellungleicht aus der anderen gewinnen:



Basiswechsel (Forts.)

Lemma 6.2.6

Die Voraussetzungen und Notationen seien wie in Definition 6.2.5. Furjeden Vektor ~v ∈ V gilt dann

cB′(~v) = Q · cB(~v),

und insbesondere erhalt man fur jeden Basisvektor ~vj die folgendeDarstellung:

~vj =n∑

i=1

qij ~wi .



Iterierter Basiswechsel

Wir konnen nun die Abbildung idV auch bezgl. iterierter Basiswechselbetrachten:

B → B ′ → BB ′ → B → B ′

Mit Satz 6.2.3 gilt dann (wegen idV ◦ idV = idV )

B′ [idV ]B · B [idV ]B′ = B′ [idV ]B′ = En

und

B [idV ]B′ · B′ [idV ]B = B [idV ]B = En,

wobei En ∈ Kn×n die n× n Einheitsmatrix ist. Folglich ist B [idV ]B′ = Q−1

die zu Q := B′ [idV ]B inverse Matrix.



Invertierbarkeit der Basiswechselmatrix

Satz 6.2.7

Sei V ein K -Vektorraum der Dimension n, seien B,B ′ Basen von V . Dannist die Basiswechselmatrix Q =B′ [idV ]B invertierbar, die inverse Matrix istQ−1 =B [idV ]B′ .



Basiswechsel bei linearen Abbildungen

Wir untersuchen nun, wie sich Basiswechsel auf die Matrizen linearerAbbildungen auswirken:

Satz 6.2.8

Es seien V und W zwei endlich-dimensionale K -Vektorraume undϕ : V →W eine lineare Abbildung. Weiter seien B und B ′ Basen von Vund C und C ′ Basen von W . Dann ist

C ′ [ϕ]B′ = C ′ [idW ]C · C [ϕ]B · B [idV ]B′ .



Basiswechsel – Beispiel

Wir betrachten den Vektorraum V = R2 mit den Basen

B = {~e1, ~e2} =

{(10

),

(01

)}und B ′ = {~w1, ~w2} =

{(12

),

(1−1

)}Es sei ϕ : V → V die durch

ϕ(~e1) =

(−1

343

)und ϕ(~e2) =

(2313

)

definierte lineare Abbildung. Dann ist fur beliebige Vektoren

ϕ

(x1

x2

)= x1ϕ(~e1) + x2ϕ(~e2) =

(−1

3x1 + 23x2

43x1 + 1

3x2

).



Basiswechsel – Beispiel (Forts.)

Wegen

ϕ(~e1) =

(−1

343

)= −1

3~e1 +

4

3~e2

und

ϕ(~e2) =

(2313

)=

2

3~e1 +

1

3~e2

ist

B [ϕ]B =

(−1

323

43

13

)Mit Satz 6.2.8 ist dann

B′ [ϕ]B′ = B′ [idV ]B · B [ϕ]B · B [idV ]B′

mit B′ [idV ]B = (B [idV ]B′)−1.




Man sieht sofort, dass

B [idV ]B′ =

(1 1

2 −1

)

ist, daraus erhalt man durch Invertieren

B′ [idV ]B =

(13

13

23 −1

3

).




Insgesamt ist also

B′ [ϕ]B′ =

(13

13

23 −1

3

)·

(−1

323

43

13

)·

(1 1

2 −1

)

=

(13

13

−23

13

)·

(1 1

2 −1

)

=

(1 0

0 −1

).

♣


Lineare Abbildungen und Matrizen Dimensionssatz und Homomorphiesatz










11.3 Dimensionssatz undHomomorphiesatz



Kern und Bild

Auch bei Vektorraumhomomorphismen sind Kern und Bild besondersinteressant:

Definition 6.3.1 (Kern und Bild einer linearen Abbildung)

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine lineareAbbildung. Dann ist

Kern(ϕ) := { ~v ∈ V | ϕ(~v) = ~0 } ⊆ V

Bild(ϕ) := {ϕ(~v) | ~v ∈ V } = ϕ(V ) ⊆W



Kern und Bild – Beispiel

Wir betrachten den R-Vektorraum V = W = R2 und die lineareAbbildung ϕ : V →W mit

ϕ

(xy

):=

(x − yy − x

)=

(1 −1−1 1

)·(xy

).

Dann ist

Kern(ϕ) =

{(xy

)∈ R2

∣∣∣∣ x − y = 0 ∧ y − x = 0

}=

⟨(11

)⟩und

Bild(ϕ) =

{(ab

)∈ R2

∣∣∣∣b = −a}

=

⟨(1−1

)⟩



Kern und Bild – Beispiel (Forts.)

Kern(ϕ)

Bild(ϕ)



Kern, Bild und Homomorphismen

Satz 6.3.2

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine lineareAbbildung. Dann gilt:

(i) Kern(ϕ) ist Teilraum von V und

Kern(ϕ) = {~0} ⇔ ϕ injektiv (Monomorphismus).

(ii) Bild(ϕ) ist Teilraum von W und

Bild(ϕ) = W ⇔ ϕ surjektiv (Epimorphismus).

Ist V = 〈~v1, . . . , ~vn〉, so ist Bild(ϕ) = 〈ϕ(~v1), . . . , ϕ(~vn)〉



Der Dimensionssatz

Satz 6.3.3 (Dimensionssatz fur Homomorphismen)

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine lineareAbbildung. Ist V endlich-dimensional, so ist

dimV = dimKern(ϕ) + dimBild(ϕ)



Rang einer linearen Abbildung

Definition 6.3.4

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine lineareAbbildung. Der Rang von ϕ ist die Dimension von Bild(ϕ), also

Rang(ϕ) := dimBild(ϕ).



Eigenschaften des Rangs

Satz 6.3.5

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine lineareAbbildung. Ist V endlich dimensional, so gilt:

(i) ϕ surjektiv ⇔ Rang(ϕ) = dimW

(ii) ϕ injektiv ⇔ Rang(ϕ) = dimV

(iii) Ist dimV = dimW , so gilt: ϕ surjektiv ⇔ ϕ injektiv.



Kern, Bild und Gleichungssysteme

Es sei A eine m × n Matrix uber dem Korper K , also A ∈ Km×n, und

ϕA : Kn → Km,

~x 7→ A · ~x .

Dann ist Kern(ϕA) = { ~x ∈ Kn |A · ~x = ~0 } die Losungsmenge des duch dieMatrix A gegebenen homogenen linearen Gleichungssystems A · ~x = ~0.Nach dem Dimensionssatz 6.3.3 gilt

dim Kern(ϕA) = n − Rang(ϕA).

Fur ~b ∈ Km ist die Losungsmenge { ~x ∈ Kn |A · ~x = ~b } des(inhomogenen) linearen Gleichungssystems A · ~x = ~b das Urbild desVektors ~b unter der Abbildung ϕA, also

{ ~x ∈ Kn | A · ~x = ~b } = ϕ−1A (~b).



Rang und Isomorphismen

Kombiniert man eine lineare Abbildung mit Isomorphismen, so andert sichihr Rang nicht.

Satz 6.3.6

Seien U,V ,W ,Y K -Vektorraume, sei ϕ : V →W eine lineare Abbildung,seien ϕ1 : U → V und ϕ2 : W → Y Isomorphismen. Dann ist

Rang(ϕ) = Rang(ϕ ◦ ϕ1)

= Rang(ϕ2 ◦ ϕ)



Nebenklassen von Teilraumen

Bei Gruppen haben wir Restklassen und Faktorgruppen kennengelernt,solche Strukturen gibt es auch bei Vektorraumen:

Definition 6.3.7

Ist U ein Teilraum des K -Vektorraums V und ~v0 ∈ V , dann sei

~v0 + U := { ~v0 + ~u | ~u ∈ U }.

Man nennt ~v0 + U auch die Nebenklasse oder Restklasse von ~v0 nach U.



Nebenklassen – Beispiel

V = R2, U =

{s ·(

12

)∣∣∣∣s ∈ R}, ~v0 =

(20

)

⇒ ~v0 + U =

{(20

)+ s ·

(12

)∣∣∣∣s ∈ R}

x

y

1 2 3

1

2

3

U

~v0

~v0 + U



Nebenklassen und lineare Abbildungen

Nebenklassen entstehen z.B. durch Bildung von Urbildern linearerAbbildungen:

Satz 6.3.8

Es seien V und W zwei K -Vektorraume, ϕ : V →W eine lineareAbbildungWeiter seien ~v0 ∈ V und ~w ∈W mit ϕ(~v0) = ~w . Dann ist

ϕ−1(~w) = ~v0 + Kern(ϕ).



Nebenklassen – Beispiel

A =

(2 −6−1 3

)∈ K 2×2, ϕA : R2 → R2, ~x 7→ A · ~x

⇒ Kern(ϕ) = 〈(

31

)〉, Bild(ϕ) = 〈

(2−1

)〉

x

y

−1−2 1 2 3

1

2

3

Kern(ϕ)Bild(ϕ)

ϕ−1(~w)

Sei ~w =(

4−2

).

Dann ist ( 20 ) ∈ ϕ−1(~w), und damit

gilt

ϕ−1(

4−2

)= {( 2

0 ) + s · ( 31 )|s ∈ R} .



Partitionierung durch Nebenklassen

Lemma 6.3.9

Die Menge der Nebenklassen eines Teilraums U des K -Vektorraums Vbildet eine Partitionierung der Menge V .



Partitionierung durch Nebenklassen – Beispiel

V = R2 =⋃

~v0∈R2

(~v0 + U), U = Kern(ϕ)

=

{~v0 + s ·

(31

)∣∣∣∣~v0 ∈ R2, s ∈ R}

x

y

−1−2 1 2

1

2

U

V lasst sich in Nebenklassen nach U zer-legen.




V = R2 =⋃

~v0∈R2

(~v0 + U), U = Kern(ϕ)

=

{~v0 + s ·

(31

)∣∣∣∣~v0 ∈ R2, s ∈ R}

x

y

−1−2 1 2

1

2

U

V lasst sich in Nebenklassen nach U zer-legen.




V = R2 =⋃

~v0∈R2

(~v0 + U), U = Kern(ϕ)

=

{~v0 + s ·

(31

)∣∣∣∣~v0 ∈ R2, s ∈ R}

x

y

−1−2 1 2

1

2

U~w

~w + U

Die Nebenklasse zu einem Punkt in V isteindeutig bestimmt. Sei ~w ∈ V

⇒ Es gibt genau eine Nebenklasse die~w enthalt.



Faktorraum

Satz 6.3.10 (Restklassenraum, Faktorraum, Quotientenraum)

Es seien V ein K -Vektorraum und U ein Teilraum von V . Weiter sei

V /U := { ~v + U | ~v ∈ V }

die Menge der Nebenklassen nach U. Fur ~v , ~w ∈ V und s ∈ K definiertman

(~v + U) + (~w + U) := (~v + ~w) + U

unds · (~v + U) := (s · ~v) + U,

damit wird V /U ein K -Vektorraum. V /U wird Restklassenraum,Quotientenraum oder Faktorraum von V nach U genannt.



Die Abbildung π : V → V /U

Lemma 6.3.11

Es seien V ein K -Vektorraum, U ein Teilraum von V und V /U derFaktorraum von V nach U.Die Abbildung π : V → V /U mit π(~v) := ~v + U ist ein Epimorphismusmit Kern(π) = U.



Der Homomorphiesatz

Satz 6.3.12 (Homomorphiesatz fur Vektorraume)

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine lineareAbbildung. Dann ist die Abbildung Φ : V /Kern(ϕ)→ Bild(ϕ) mit

Φ(~v + Kern(ϕ)) := ϕ(~v)

ein Isomorphismus.

Daraus folgt sofort:

Korollar 6.3.13

Es seien V und W zwei K -Vektorraume und ϕ : V →W eine lineareAbbildung. Dann ist

V /Kern(ϕ) ∼= Bild(ϕ).


Lineare Abbildungen und Matrizen Hauptsatz /”uber lineare Gleichungssysteme



11.2 Matrizen linearer Abbildunge







11.4 Hauptsatz uber lineareGleichungssysteme



Rang einer Matrix

Um den Rang einer Matrix zu definieren, nutzen wir die Verbindungzwischen Matrizen und linearen Abbildungen.

Definition 6.4.1 (Rang einer Matrix)

Zu einer n ×m Matrix A uber dem Korper K , also A ∈ Kn×m, betrachtenwir die zugehorige lineare Abbildung

ϕA : Km → Kn,

~x 7→ A · ~x .

Dann ist der Rang der Matrix A definiert als

Rang(A) := Rang(ϕA) = dim Bild(ϕA).



Range von linearen Abbildungen und Matrizen

Die Rangbegriffe von Matrizen und linearen Abbildungen sind vollmiteinander kompatibel.

Satz 6.4.2

Es seien V und W zwei K -Vektorraume, B = {~v1, . . . , ~vn} eine Basis vonV und B ′ = {~w1, . . . , ~wm} eine Basis von W . Fur eine lineare Abbildungϕ : V →W gilt dann

Rang(ϕ) = Rang(B′ [ϕ]B).

Insbesondere ist der Rang der Matrizen B′ [ϕ]B unabhangig von der Wahlder speziellen B,B ′.



Spaltenraum einer Matrix

Im Folgenden sei A eine n ×m Matrix uber dem Korper K , also

A =

a11 · · · a1m...

...an1 · · · anm

∈ Kn×m.

Definition 6.4.3 (Spaltenraum)

Der Spaltenraum SR(A) ist der Teilvektorraum von Kn, der durch dieSpalten von A erzeugt wird, also

SR(A) :=

⟨a11...

an1

,

a12...

an2

, . . . ,

a1m...

anm

⟩ .Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 643 / 669


Zeilenraum einer Matrix

Definition 6.4.4 (Zeilenraum)

Der Zeilenraum ZR(A) ist der Teilvektorraum von K 1×m, der durch dieZeilen von A erzeugt wird, also

ZR(A) := 〈(a11, . . . , a1m), (a21, . . . , a2m), . . . , (an1, . . . , anm)〉



Rang(A) als Invariante

Elementare Spaltenumformungen lassen sich analog zu elementarenZeilenumformungen definieren (vgl. Kapitel 11.2).

Satz 6.4.5 (Charakterisierung des Rangs einer Matrix)

Es sei A eine n ×m Matrix uber dem Korper K . Dann gilt:

(i) Rang(A) = dim SR(A), d.h., der Rang von A ist die Dimension ihresSpaltenraumes.

(ii) Der Rang von A andert sich durch elementare Spaltenumformungennicht.

(iii) Der Rang von A andert sich durch elementare Zeilenumformungennicht.



Zeilenrang = Rang = Spaltenrang

Satz 6.4.6

Es sei A eine n ×m Matrix uber dem Korper K . Dann gilt:

(i) Man kann A durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen aufdie Form

1 0 · · · 0 0 · · · 0

0 1. . .

......

......

. . .. . . 0 0 · · · 0

0 · · · 0 1 0 · · · 00 · · · 0 0 0 · · · 0...

......

......

0 · · · 0 0 0 · · · 0

(6.6)

mit r Einsen auf der Hauptdiagonalen bringen. Insbesondere erhaltman dadurch Rang(A) = r .

(ii) Rang(A) = dim(SR(A)) = dim(ZR(A)).



Berechnung des Rangs einer Matrix

rang

1 2 3 4 −1 4 3 52 4 7 8 13 14 5 03 6 9 12 2 10 4 −5

=rang

1 2 3 4 −1 4 3 50 0 1 0 15 6 − 1 − 100 0 0 0 5 − 2 − 5 − 20

(−2) (−3)




rang

1 2 3 4 −1 4 3 50 0 1 0 15 6 −1 −100 0 0 0 5 −2 −5 −20

=rang

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 15 6 − 1 − 100 0 0 0 5 − 2 − 5 − 20




rang

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 15 6 −1 −100 0 0 0 5 −2 −5 −20

=rang

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 5 − 2 − 5 − 20




rang

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 5 −2 −5 −20

=rang

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 − 2

5 − 1 − 4

| · 1

5




rang

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 −2

5 −1 −4

=rang

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0




rang

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0

=rang

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0




rang

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0

=rang

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0

=3



Hauptsatz uber lineare Gleichungssysteme I

Damit konnen wir nun direkt Aussagen uber Losbarkeit und Losungsmengelinearer Gleichungssysteme machen.

Satz 6.4.7 (Hauptsatz uber homogene lineare Gleichungssysteme)

Es sei A ∈ Kn×m.

(i) Die Losungsmenge L := {~x ∈ Km |A · ~x = ~0} des homogenen linearenGleichungssystems A · ~x = ~0 ist ein Teilraum von Km mit

dim L = m − Rang(A).

(ii) Insbesondere ist A · ~x = ~0 genau dann eindeutig losbar, wennRang(A) = m ist.



Hauptsatz uber lineare Gleichungssysteme II

Satz 6.4.8 (Hauptsatz uber inhomogene lin. Gleichungssysteme)

Es sei A ∈ K n×m, sei ~b ∈ Km.

(i) Das inhomogene lineare Gleichungssystem A · ~x = ~b ist genau dann losbar,

wenn Rang(A) = Rang([A, ~b]), wobei [A, ~b] die erweiterte Matrix des

linearen Gleichungssystems A · ~x = ~b ist.

(ii) Ist ~v0 ∈ Km mit A · ~v0 = ~b eine Losung des Gleichungssystems, so kann dieLosungsmenge

L~b := {~x ∈ Km |A · ~x = ~b}

geschrieben werden als (L wie in Satz 6.4.7)

L~b = ~v0 + L = {~v0 + ~w ∈ Km | ~w ∈ L}.

Insbesondere ist das inhomogene lin. Gleichungssystem A · ~x = ~b genau danneindeutig losbar, wenn Rang(A) = m und L~b 6= 0 ist.


Lineare Abbildungen und Matrizen Algebra der linearen Abbildungen









Der Raum Hom(V ,W ) der Homomorphismen

Definition 6.5.1 (Hom(V ,W ), Endomorphismen)

Es seien V und W zwei K -Vektorraume. Dann bezeichnen wir die Mengeder linearen Abbildungen von V nach W mit

Hom(V ,W ) := {ϕ : V →W | ϕ linear}.

Im Spezialfall V = W bezeichnen wir eine lineare Abbildung von V nachV auch als Endomorphismus und setzen

End(V ) := {ϕ : V → V | ϕ linear}.



Der Raum Hom(V ,W ) der Homomorphismen (Forts.)

Satz 6.5.2

Es seien V und W zwei K -Vektorraume.

(i) Die Menge Hom(V ,W ) bildet einen Teilraum des K -VektorraumsAbb(V ,W ) aller Abbildungen von V nach W .

(ii) Ist dim(V ) = n und dim(W ) = m, so ist Hom(V ,W ) ∼= Km×n.Insbesondere ist dim(Hom(V ,W )) = m · n.



Der Ring der Endomorphismen

Satz 6.5.3

Es sei V ein K -Vektorraum. Die Menge der Endomorphismen End(V )bildet mit der Addition

(ϕ+ ψ)(~v) := ϕ(~v) + ψ(~v) fur ϕ,ψ ∈ End(V ), ~v ∈ V

und der Multiplikation

(ϕ ◦ ψ)(~v) := ϕ(ψ(~v)) fur ϕ,ψ ∈ End(V ), ~v ∈ V

einen Ring mit Eins.



Matrix ≡ Endomorphismus

Satz 6.5.4

Ist dim(V ) = n und B eine Basis von V , dann ist

µB : End(V ) → Kn×n

ϕ 7→ B [ϕ]B

ein Ring-Isomorphismus, d.h., µB ist bijektiv mit

µB(ϕ+ ψ) = µB(ϕ) + µB(ψ) und µB(ϕ ◦ ψ) = µB(ϕ) · µB(ψ)

fur ϕ,ψ ∈ End(V ).



K-Algebren

Definition 6.5.5 (K -Algebra)

Es sei K ein Korper. Ein Ring R mit Eins, der gleichzeitig einK -Vektorraum ist (mit derselben Addition wie im Ring), so dass außerdemnoch

s · (a · b) = (s · a) · b = a · (s · b) fur alle s ∈ K , a, b ∈ R (6.7)

gilt, heißt eine K -Algebra (mit Eins).

Endomorphismenringe und Matrizenringe sind also K -Algebren.



Automorphismen

Satz 6.5.6 (Automorphismen, volle lineare Gruppe)

(i) Ist V ein K -Vektorraum, so ist

GL(V ) := {ϕ ∈ End(V ) | ϕ ist bijektiv}

zusammen mit der Verknupfung von Abbildungen “ ◦ “ eine Gruppe,genannt die volle lineare Gruppe. Die Elemente von GL(V ) heißenauch Automorphismen.

(ii) Fur n ∈ N ist

GL(n,K ) := {A ∈ Kn×n | A invertierbar},

mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe, die Gruppe der regularenn × n Matrizen.



GL(V ) ∼= GL(n,K )

Lemma 6.5.7

Sind V ein K -Vektorraum mit dimV = n und B eine Basis von V , so ist

µB : GL(V ) → GL(n,K )

ϕ 7→ B [ϕ]B

ein Isomorphismus von Gruppen, das heißt µB ist bijektiv und

µB(ϕ ◦ ψ) = µB(ϕ) · µB(ψ) fur ϕ,ψ ∈ GL(V ). (6.8)



Charakterisierung von GL(V ) und GL(n,K )

Korollar 6.5.8

Es sei V ein K -Vektorraum mit dimV = n, ϕ ∈ End(V ) und A ∈ Kn×n.Dann gilt

ϕ ∈ GL(V ) ⇐⇒ Rang(ϕ) = n

undA ∈ GL(n,K ) ⇐⇒ Rang(A) = n.

Mit Satz 6.4.8 folgt dann:

Korollar 6.5.9

Es sei A ∈ Kn×n, sei ~b ∈ Kn. Das lineare Gleichungssystem A · ~x = ~b istgenau dann eindeutig losbar, wenn A invertierbar, also A ∈ GL(n,K ) ist.



GL(V ) ist (i.Allg.) nicht kommutativ

Bemerkung:Ist V ein K -Vektorraum mit dimV > 1, so ist GL(V ) nicht kommutativ.



Zeilenumformungen und Invertierbarkeit von Matrizen

Aus Kapitel 10.2 wissen wir:

Es sei A ∈ GL(n,K ). Bringt man die n × 2n Matrix (A,En) durchelementare Zeilenoperationen auf Stufenform, so erhalt man einen × 2n Matrix der Form (En,U), wobei U = A−1 ist.

Ist A nicht regular, so lasst sich die Matrix (A,En) durch elementareZeilenoperationen nicht in diese Form bringen.

Jede elementare Zeilenoperation entspricht der Multiplikation miteiner regularen Matrix von links (Satz 10.2.4). Diese Matrizen werdenauch Elementarmatrizen genannt.



Elementarmatrizen

Definition 6.5.10 (Elementarmatrizen)

Es sei n ∈ N, i , j ∈ {1, . . . , n} mit i 6= j und s ∈ K\{0}.(i) Die Elementarmatrix Vi ,j ∈ GL(n,K ) entsteht aus der Einheitsmatrix

En durch Vertauschen der i-ten und j-ten Zeile.

(ii) Die Elementarmatrix Mi (s) ∈ GL(n,K ) entsteht aus derEinheitsmatrix En durch Multiplikation der i-ten Zeile mit s.

(iii) Die Elementarmatrix Ai ,j(s) ∈ GL(n,K ) entsteht aus derEinheitsmatrix En durch Addition des s-fachen der i-ten Zeile zurj-ten Zeile.

Diese Matrizen sind gerade die im Zusammenhang mit Satz 10.2.4behandelten Matrizen.



Matrizen aus GL(n,K )

Lemma 6.5.11

Die inverse Matrix einer Elementarmatrix ist selbst eine Elementarmatrix.

Da die Umformungsmatrix einer regularen Matrix das Inverse der Matrixist und diese Umformungsmatrix als Produkt von Elementarmatrizenentsteht, folgt sofort:

Satz 6.5.12

Jede Matrix A ∈ GL(n,K ) ist ein Produkt von Elementarmatrizen.


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