vektorski prostor -...
TRANSCRIPT
Vektorski prostor
Pojam vektorskog prostora cemo motivirati primjerom prostora radijvektora u ravnini.
E2 skup svih tocaka u ravnini
O ishodiste ravnine
Svakoj tocki A ∈ E2 mozemo pridruziti radijvektor ~OA s pocetkom u tocki O i
zavrsetkom u tocki A.
V 2(O) ={~OA | A ∈ E2
}skup svih radijvektora u ravnini E2 (1)
Nulvektor ~OO ima pocetak i zavrsetak u tocki O ∈ E2.
Nulvektor oznacavamo sa ~0.
Radijvektore mozemo opisati sljedecim svojstvima.
Definicija
Smjer radijvektora ~OA 6= ~0 je pravac OA.
Definicija
Kazemo da su radijvektori ~OA i ~OB kolinearni ako tocke O, A i B leze na istom
pravcu.
Nulvector je po definiciji kolinearan sa svakim radijvektorom ~OA.
Definicija
Neka su ~OA i ~OB nekolinearni vektori razliciti od ~0. Ako se A i B nalaze na razlicitim
stranama od tocke O na pravcu OAB, onda kazemo da su ~OA i ~OB suprotno
orijentirani. U protivnom kazemo da ~OA i ~OB imaju istu orijentaciju.
Modul radijvektora ~OA je duljina duzine OA.
~0 je jedini radijvektor ciji modul iznosi 0.
Definicija
Neka je ~a 6= ~0. Suprotni radijvektor, u oznaci −~a, je radijvektor koji ima isti modul i
smjer kao ~a, a suprotnu orijentaciju u odnosu na ~a.
ZBRAJANJE RADIJVEKTORA
Nekolinearne vektore zbrajamo prema zakonu paralelograma.
Ako su vektori kolinearni, onda ih zbrajamo prema sljedecim pravilima.
Neka su ~a = ~OA i ~b = ~OB kolinearni vektor razliciti od ~0.
(1) ~a i ~b su jednako orijetirani.
~a + ~b = ~c, |~c| = |~a|+ |~b| (2)
~c je kolinearan s ~a i ~b i jednako orijentiran kao ~a i ~b.
(2) ~a i ~b imaju suprotnu orijentaciju i |~a| > |~b|.
~a + ~b = ~c, |~c| = |~a| − |~b| (3)
~c je kolinearan s ~a i ~b, a orijentiran jednako kao ~a.
(3) ~a i ~b imaju suprotnu orijentaciju i |~a| < |~b|.
~a + ~b = ~c, |~c| = |~b| − |~a| (4)
~c je kolinearan s ~a i ~b, a orijentiran jednako kao ~b.
Za nulvektor definiramo
~a +~0 = ~0 + ~a = ~a ∀~a ∈ V 2(O). (5)
Za suprotni vektor vrijedi
~a + (−~a) = −~a + ~a = ~0 ∀~a 6= ~0. (6)
Propozicija
Binarna operacija +: V 2(O)× V 2(O)→ V 2(O) ima sljedeca svojstva:
1 ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c za sve ~a, ~b, ~b ∈ V 2(O),
2 ~a +~0 = ~0 + ~a = ~a za svaki ~a ∈ V 2(O),
3 za svaki ~a 6= ~0 vrijedi ~a + (−~a) = −~a + ~a = ~0,
4 ~a + ~b = ~b + ~a za svaki ~a, ~b ∈ V 2(O).
Napomena: krace pisemo ~a + (−~b) = ~a− ~b.
(V 2(O),+) Abelova grupa (7)
MNOZENJE RADIJVEKTORA SKALARIMA
Radijvektor ~a mozemo mnoziti skalarom α ∈ R i dobiti novi radijvektor α~a.
Radijvektor α~a, ~a 6= ~0 ima sljedeca svojstva:
1 |α~a| = |α| |~a|,
2 α~a ima isti smjer kao ~a,
3 α~a ima istu orijentaciju kao ~a ako je α > 0,
4 α~a ima sprotnu orijentaciju obzirom na ~a ako je α < 0.
Za α = 0 vrijedi 0~a = ~0 za svaki ~a ∈ V 2(O).
Za nulvektor definiramo α~0 = ~0 za svaki α ∈ R.
Vanjsko ili hibridno mnozenje
· : R× V 2(O)→ V 2(O) (8)
Propozicija
Vanjsko mnozenje ima sljedeca svojstva:
1 (αβ)~a = α(β~a) ∀α, β ∈ R i ~a ∈ V 2(O),
2 (α+ β)~a = α~a + β~a ∀α, β ∈ R i ~a ∈ V 2(O),
3 α(~a + ~b) = α~a + α~b ∀α ∈ R i sve ~a, ~b ∈ V 2(O),
4 1~a = ~a ∀~a ∈ V 2(O).
Iz definicije zbrajanje i mnozenja slijedi
(−1)~a = −~a, (α− β)~a = α~a− β~a, α(~a− ~b) = α~a− α~b. (9)
(V 2(O),+, ·) vektorski prostor nad poljem R (10)
Definicija [Abelova grupa]
Neprazni skup G s binarnom operacijom +: G × G → G nazivamo Abelova grupa ako
vrijedi
1 a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ G ,
2 postoji element 0 ∈ G t.d. a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ G ,
3 ∀a ∈ G postoji suprotni element −a ∈ G t.d. a + (−a) = −a + a = 0,
4 a + b = b + a ∀a, b ∈ G .
0 neutralni element,
−a suprotni element elementa a
Definicija [Polje]
Neprazan skup F s binarnim operacijama +: F × F → F i · : F × F → F nazivamo
polje ako vrijedi:
1 (F ,+) je Abelova grupa
2 (ab)c = a(bc) ∀a, b, c ∈ F ,
3 (a + b)c = ac + bc ∀a, b, c ∈ F ,
4 postoji element 1 ∈ F t.d. 1a = a1 = a ∀a ∈ F ,
5 ∀a 6= 0 postoji inverz a−1 ∈ F t.d. aa−1 = a−1a = 1,
6 ab = ba ∀a, b ∈ F .
1 ∈ F jedinica u prstenu F
a−1 multiplikativni inverz elementa a
Definicija [Vektorski prostor]
Neka je (V ,+) Abelova grupa i neka je F polje. Kazemo da je V vektorski prostor
nad F ako je definirano vanjsko mnozenje · : F × V → V koje ima sljedeca svojstva:
1 (αβ)v = α(βv) ∀α, β ∈ F i v ∈ V ,
2 1v = v ∀a ∈ V ,
3 (α+ β)v = αv + βv ∀α, βF i v ∈ V ,
4 α(u + v) = αu + αv ∀α ∈ F i u, v ∈ V .
F = R ⇒ V je realni vektorski prostor
F = C ⇒ V je kompleksni vektorski prostor
Oznaka za nulvektor 0 ∈ V .
Primijetimo 0 6= 0 ∈ F
(V ,F , ·) vektorski prostor nad F
Propozicija
Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Tada vrijedi:
1 0v = 0 ∀v ∈ V ,
2 α0 = 0 ∀α ∈ F ,
3 (−α)v = −(αv) ∀α ∈ F i v ∈ V .
Linearna zavisnost i nezavisnost
Definicija [Linearna kombinacija]
Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Linearna kombinacija vektora
v1, v2, . . . , vn ∈ V je vektor
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn (11)
za neke α1, α2, . . . , αn ∈ F .
Definicija [Linearna nezavisnost]
Kazemo da je skup vektora S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V linearno nezavisan ako
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0. (12)
U protivnom kazemo da je S linearno zavisan.
S je linearno nezavisan ⇒ 0 se moze napisati kao linearna kombinacija
vektora iz S samo na trivijalni nacin t.d. α1 = α2 = . . . αn = 0.
S je linearno zavisan ⇒ 0 se moze napisati na vise nacina kao linearna
kombinacija vektora iz S.
Primijetimo:
v 6= 0 ⇒ {v} je linearno nezavisan, (13)
v = 0 ⇒ {0} je linearno zavisan. (14)
Odavde slijedi da je svaki skup vektora {0, v1, v2, . . . , vn} je linearno zavisan.
Bitno svojstvo linnearne nezavisnosti skupa S = {v1, v2, . . . , vn}:nijedan vektor vk ∈ S se ne moze napisati kao linarna kombinacij prostalih vektora iz
S .
Propozicija
Skup vektora S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V , n ≥ 2, je linearno zavisan ako i samo ako se
barem jedan od vektora iz S moze napisati kao linearna kombinacija preostalih vektora.
BAZA I DIMENZIJA VEKTORSKOG PROSTORA
Definicija
Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Kazemo da je S ⊂ V skup izvodnica za V
ako za svaki v ∈ V postoje vektori v1, v2, . . . , vn ∈ V t.d.
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn (15)
za neke α1, α2, . . . , αn ∈ F .
S je skup generatora za prostor V .
S razapinje prostor V i pisemo [S] = V .
Definicija [Baza prostora]
Baza prostora V je niz vektora (v1, v2, . . . , vn) takav da
1 B razapinje prostor V ,
2 B je linearno nezavisan skup.
Baza prostora V = {0} je prazan skup.
Ako promjenimo redoslijed vektora u B, onda dobivamo drugu bazu.
Definicija
Prostor V je konacnodimenzionalan ako ima bazu s konacno mnogo vektora. U
protivnom kazemo da je V beskonacnodimenzionalan.
Teorem (bez dokaza)
Ako je V konacnodimenzionalni prostor, onda svaka baza od V ima jednaki broj
vektora.
Definicija [Dimenzija prostora]
Dimenzija konacnodimenzionalnog prostora V , dimF (V ), je broj elemenata u bilo
kojoj bazi od V . Dimenzija prostora {0} je nula.
Teorem
Neka je V k.d.v.p. Niz B = (v1, v2, . . . , vn) ⊂ V je baza od V ako i samo ako se svaki
vektor v ∈ V moze napisati kao jedinstvena linearna kombinacija vektora iz B.
Definicija
Reprezentacija vektora v ∈ V obzirom na bazu B = (v1, v2, . . . , vn) je uredena n–torka
[v ]B = (α1, α2, . . . , αn) gdje je v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn. (16)
PRISJETIMO SE
Baza prostora V je linearno nezavisni niz vektora koji razapinje V .
Svaki v ∈ V se moze na jedinstven nacin napisati kao linearna kombinacija
vektora iz baze.
Svaka baza prostora V ima jednaki broj elemenata.
Dimenzija prostora V je broj elemenata bilo koje baze od V .
Potprostori
Definicija [Potprostor]
Podskup U ⊂ V prostora V je potporostor ako je U vektorski prostor obzirom na iste
operacije zbrajanje i mnozenja definirane na V .
Propozicija
Neprazan podskup S ⊂ V je potprostor od V ako i samo ako vrijedi
1 a, b ∈ S ⇒ a + b ∈ S ,
2 λ ∈ F ⇒ λa ∈ S .
Teorem (bez dokaza)
Neka je V k.d.v.p nad poljem F i neka je U ⊂ V potprostor od V . Tada je
dimF (U) ≤ dimF (V ). (17)
PRESJEK I SUMA POTPROSTORA
Neka su L i M potprostori prostora V . Kako od L i M mozemo konstruirati nove
potprostore od V ?
Osnovne operacije sa skupovima: L ∩M i L ∪M.
Propozicija
Neka su L i M potprostori od V . Tada je L ∩M potprostor od V .
Definicija [Suma potprostora]
Neka su M1,M2, . . . ,Mn potprostori prostora V . Suma potprostora je skup
M + 1 + M2 + · · ·+ Mn ={v1 + v2 + · · ·+ vn | vi ∈ Mi
}. (18)
Propozicija
Suma potprostora M1 + M2 + · · ·+ Mn je potprostor od V.
Definicija [Direktna suma]
Neka je V vektorski prostor. Kazemo da je V direktna suma potprostora L,M ⊂ V
ako je
V = L + M i L ∩M = {0}. (19)
Pisemo V = L⊕M.
L, M direktni sumandi prostora V
M direktni komplement prostora L
Propozicija
Neka su L i M potprostori prostora V . Onda je V = L⊕M ako i samo ako se svaki
v ∈ V moze na jedinstveni nacin napisati kao
v = a + b, a ∈ L, b ∈ M. (20)
Propozicija
Ako je V = L⊕M direktna suma, onda je
dimV = dimL + dimM. (21)
Generalizacija na slucaj V = L + M gdje je L ∩M 6= {0}:
dimV = dimL + dimM − dim(L ∩M). (22)
Definicija
Prostor V je direktna suma potprostora W1,W2, . . . ,Wn ako je
1 V = W1 + W2 + · · ·+ Wn,
2
(W1 + · · ·+ Wi−1 + Wi+1 + · · ·+ Wn) ∩Wi = {0} ∀i = 1, 2, . . . , n. (23)
Primjedbe:
Uvjet (W1 + · · ·+ Wi−1 + Wi+1 + · · ·+ Wn) ∩Wi = {0} znaci da se vektori iz
Wi ne mogu napisati kao linearne kombinacije vektora iz preostalih potprostora.
Uvjet W1 ∩W2 ∩ . . . ∩Wn = {0} nije dovoljan za direktnu sumu.
Propozicija (bez dokaza)
Ako je V = W1 + W2 + · · ·+ Wn direktna suma potprostora, onda je
dimV = dimW1 + dimW2 + · · ·+ dimWn. (24)