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Vermeidung von DivisionenVon Volker Strassen in Zürich

Summary

The extent to whieh the use of divisions may speed up the evaluation of polynomials is estimated fromabove. In particular it is shown that for multiplying general matrices the use of divisions does not decrease thenumber of (*,/)-operations. The computational complexity of the multiplication of matrices from a linear algebraicgroup G is estimated from below by a simple algebraic invariant of the Liering of G. In particular, the multipli-cation of orthogonal matrices is treated.

§ 1. Einleitung

Seien k ein unendlicher Körper und K ein endlich erzeugter Oberkörper von k. AusGründen der Einfachheit nehmen wir an, daß bei Berechnungen in K die Ä-linearenOperationen keine Zeit kosten, während die übrigen Multiplikationen und Divisionenjeweils eine Zeiteinheit beanspruchen.

Der Grundgedanke dieser Arbeit ist die Ersetzung von Berechnungen in K durchBerechnungen in formalen Potenzreihenringen k[[x^ . . . , #J], wobei n der Transzendenz-grad von K über k ist. In solchen Ringen kann man eine Division vermöge der Formel

(f eine Potenzreihe ohne konstanten Term) auf unendlich viele Multiplikationen undAdditionen zurückführen. Rechnet man statt mit Potenzreihen mit deren homogenenKomponenten bis zu einem genügend hohen Grade, so reduziert sich eine Division aufendlich viele Ringoperationen.

Auf die so angedeutete Weise zeigen wir in § 2, daß sich bei der Berechnung vonMengen von quadratischen Formen (z. B. für die Matrizenmultiplikation) die Verwendungvon Divisionen überhaupt nicht lohnt (nach einer Bemerkung bei Winograd [10] hat auchP. Ungar dies bewiesen, sein Beweis scheint allerdings nicht publiziert zu sein). DasHauptergebnis von § 2 besagt, daß man bei der Berechnung einer Menge von Polynomenvom Grade <£ d in einem Körper K = k(x^ . . . , xn) durch Verzicht auf Divisionen eineVerlangsamung von höchstens einem Faktor id lgzd in Kauf nimmt. (Nach Sieveking[12] kann man diesen Faktor sogar durch l a ersetzen.)

In § 3 vergleichen wir den optimalen Zeitaufwand m für die Multiplikation zweierallgemeiner m-reihiger Matrizen mit der entsprechenden Größe für die Inversion einerBrought to you by | University of Iowa Libraries

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Strassen, Vermeidung von Divisionen 185

Matrix und zeigenCM rg S,,.,

und

V^6SV1-<f2< + 2<>.

Ähnliche Abschätzungen findet man ohne Beweis bei Winograd [10]. Mit Hilfeeiner plausiblen Vermutung über die Berechnung von zwei Mengen von quadratischenFormen in disjunkten Unbestimmtenmengen zeigen wir, daß Cm und r\m die gleiche Größen-ordnung haben.

In § 4 führen wir den zur Berechnung einer Menge von quadratischen Formen be-nötigten Zeitaufwand im wesentlichen zurück auf den Rang eines Tensors € U ® V ® W(Uj V, W endlichdimensionale A-Vektorräume). Der Rang ist in Verallgemeinerung einerder möglichen Definitionen des Rangs von Matrizen durch

NRg = min {N: = uq ® vq ® wq mit geeigneten uq € i/, vq £ F, wq € W]

2=1

gegeben. Die Untersuchung des Rangs ersetzt das durch [7] motivierte Studium vonBerechnungen quadratischer Formen in nichtkommutierenden Unbestimmten, und zwarmit einem Gewinn an Bequemlichkeit und Durchsichtigkeit (siehe § 4, Anwendungen 12,(ii)). Eine ähnliche symmetrische Formulierung der Berechnungskomplexität stammtim Falle der Matrizenmultiplikation von Gastinel [16]. Wir formulieren ein nichtkommu-tatives Analogon zur oben erwähnten Vermutung und beweisen ein paar einfache Sätzeüber den Rang, indem wir eine genauere Diskussion auf eine folgende Arbeit verschieben.Als einfache Anwendung bestimmen wir die Berechnungslänge einer einzelnen quadrati-schen Form über einem beliebigen unendlichen Körper k mit Char k 2.

In § 5 verallgemeinern wir die Methode und einen Teil der Ergebnisse von § 2 aufBerechnungen im Funktionenkörper einer irreduziblen Varietät, indem wir die formalePotenzreihenentwicklung einer Funktion an einem einfachen Punkt heranziehen. Wirführen das allerdings nur für die Multiplikation von Matrizen einer irreduziblen linearenalgebraischen Gruppe durch (hier ergibt sich durch die Homogenität der Gruppen-varietät eine Vereinfachung; im allgemeinen Fall arbeitet man am besten generisch,indem man in Potenzreihen über K entwickelt). Als Ergebnis erhalten wir z. B., daß deroptimale Zeitaufwand zur Multiplikation zweier orthogonaler Matrizen (mit Division)nicht kleiner ist als der halbe Mindestaufwand zur Multiplikation schiefsymmetrischerMatrizen gleicher Größe (ohne Division). Allgemein gilt:

Der Mindestaufwand bei der Multiplikation zweier Matrizen einer irreduziblenl

linearen algebraischen Gruppe ist > -y- mal dem Rang im obigen Sinne des Strukturtensorsdes Lierings der Gruppe.

Wir benutzen die Bezeichnungen und Resultate von [8]. Besonders der Begriff derL-Schranke, der Transitivitätssatz und der Simulationssatz werden dauernd verwandt(wir zitieren den Simulationssatz auch, wenn wir eines seiner Korollare meinen). Fernersagen wir, wie in [8], k-Ring statt k-Algebra und A-Körper statt kommutative fc-Divisions-algebra. u bedeutet disjunkte Vereinigung, [o] bzw. \a\ die größte ganze Zahl <i a bzw.die kleinste ganze Zahl ^ .

Eine erste Version der Resultate von § 2 und § 3 habe ich 1967/68 am StatisticsDepartment der University of California, Berkeley gefunden. Ich danke der NationalScience Foundation für ihre Unterstützung (NSF GP — 7454).

Journal für Mathematik. Band 264 24

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186 Strassen, Vermeidung von Divisionen

§ 2. Vermeidung von DivisionenIn dieser Arbeit ist k stets ein unendlicher Körper. Wir untersuchen Berechnungen

in kommutativen k-Ringen und in kommutativen A-Ringen mit Division durch Einheiten.Letzteres sind Palgebren A vom Typ ' = {0, l, +, —, ·#-, /} u k mit einstelligen € /c,deren induzierte -Algebren (mit = {0, l, +? —, #·} «-1 A) kommutative /c-Ringe sindund wo / Division durch Einheiten bedeutet (also Def (/) = A {Einheiten des k-Rings A}).A-Körper sind offenbar spezielle kommutative A-Ringe mit Division durch Einheiten.Wir wählen l^/j als Operationszeit für i2', und l^ als Operationszeit für . Arbeiten wirin einem k-Ring A (mit oder ohne Division durch Einheiten) über einer Teilmenge Evon A, d. h. in der kanonischen -Expansion von A, so wird stets z(e) = 0 für e . an-genommen. Statt i faß könnten wir auch irgendeine Operationszeit z' mit o < z' (-£) <^ z' (/)und z1( ) = o für $ {-fc, /} zugrundelegen. Alle Resultate würden mit leichten Modifika-tionen richtig bleiben.

Das folgende anschaulich evidente Lemma werden wir oft stillschweigend benutzen.Lemma 1. Seien A ein kommutativer k-Ring mit oder ohne Division durch Einheiten,

E, E', F, F' endlich < A. Ist F k-linear abhängig von F' und E' k-linear abhängig von E,so gilt

L(F mod E) ̂ L(F' mod E').Beweis (ausführlich). Nach dem Transitivitätssatz ist

L(F mod E)<*L(F mod F') + L(F' mod E') + L(E' mod E).

Es genügt also etwaL(FmodF') = 0

zu zeigen. Wiederum nach dem Transitivitätssatz können wir annehmen, F sei ein.punktig, etwa = {a}. Da unsere Operationszeit auf linearen Operationen verschwindet,ist {b € A: L(b mod Ff) = 0} ein A-Vektorraum, der F' umfaßt. Also L (a mod F') = 0-

Seien nun #1? . . . , xn Unbestimmte über k. Wir fassen k[x] = k[x^ ..., xn] alsA-Ring über (x^ . . . , #„}, k(x) als k-Körper über {x^ ..., xn} auf (dies gilt für die ganzeArbeit). Die Einbettung k[x]-*k(x) ist ein ^-Homomorphismus, wo die Einbettungvon u {#!, . . . , #J in ' u {x±, . . . , xn} ist. Nach dem Simulationssatz gilt also fürF c k[x}

L*(X)(F) ^ Lk[x](F).

Satz 2. Sei F eine endliche Menge von Polynomen € k[x] vom Grad ^ d. Dann ist

l) „*<*> ^ ''

Beweis. Sei /S eine ausführbare Berechnung von F in A(#) mit

Lm(F) = L0).

Da A unendlich ist, gibt es ein € A*1 so, daß alle von 0 verschiedenen Ergebnisse vonEinheiten im lokalen Ring des Punktes sind (dieser besteht aus allen rationalenFunktionen, deren gekürzter Nenner an der Stelle nicht verschwindet), ist also auchausführbar im kommutativen A-Ring über {%, . . . , xn} mit Division durch Einheitenund hat dort die gleiche Ergebnisfolge. Also

L(ß) £Brought to you by | University of Iowa LibrariesAuthenticated


Sirassen, Vermeidung von Divisionen 187

Sei k[[x — ë]] = k[[x1 — A1? . . . ,#n — AJ] der Ring der formalen Potenzreihen in denxt — ë{. Wir haben einen Homomorphismus von kommutativen /c- Ringen ber {#17 . . . , #w}mit Division durch Einheiten

0* ->*[[* — ë]],

der k[x] identisch abbildet (siehe [2], S. 59). Nach dem Simulationssatz ist also

Sei f = fd die vereinigungstreue Abbildung 2*[C*~A]1 -> 2*M, die jeder Potenzreihe dieMenge ihrer homogenen Teile vom Grade <Î d zuordnet. Wir schreiben f(a) f r f({a}) undf(a, b) f r f ({a, b}).

= 0, Lk[x](f(a ± b)mod f(a, 6)) = Lk[x] (f(oc a) mod f(a)) - 0,

und wenn a = Ó ar, b = Óýô mit ar, ftr homogen vom Grade r,rÔ rÔ

(1) Lk[x](f(ab)modf(a,b)·)

= L.J.J«^ (á, · äâ : 0 ̂ t ̂ d} mod áâ> . . . , bd) £ ^~1} ,

da a0, bQ 6 A. Falls ä Einheit, also bQ Ö 0, haben wir auch

(2) Lt[x}(f(alb) mod f(a, b)) ^ d(d~V

(dies sieht man leicht durch Induktion nach d unter Verwendung von

L^Malb) mod fâ/b), fd(a, b))

= LklMl((alb)d mod fâ/b), fd(a, b)~)

= Ltlx]((ad - Ó (alb)sbd_6)b l mod fd^(alb), fd(a, b))£d — l).<<—

Also nach dem Simulationssatz

Da d eine obere Schranke f r den Grad der Polynome F ist, haben wir

Fassen wir die erhaltenen Resultate zusammen, so folgt die Behauptung des Satzes.Der Beweis ist nat rlich ganz konstruktiv.Korollar 3. Ist F eine endliche Menge von quadratischen Formen, so ist die Ein-

bettung k[x]~>k(x) L-autark f r F.Bemerkung 4. Ist E eine weitere endliche Menge von quadratischen Formen, so

zeigt der Beweis des letzten Satzes, da die Einbettung k[x]-*k(x) auch L-autark f rF mod E ist.

Der Faktor ~ in Satz 2 ist keineswegs optimal, besonders f r gro e d l t erÄ

sich wesentlich verbessern.24*



188 Sirassen, Vermeidung von Divisionen

Satz 6. Unter den Voraussetzungen von Satz 2 gilt

Lklx](F)îdlg,dLk(M)(F)

(Ig2 bezeichnet den Logarithmus zur Basis 2).Beweis. Wie der Beweis von Satz 2, indem man an Stelle von (1), (2) das folgende

Lemma benutzt.Lemma 6. Seien a = Óáô, b = J£6 r€ k[[x — ë]], d Î> 2. Dann ist

rÔ fÔ

£*w(/-(* ft) mod /-(«» *» ̂ 2d — 3und falls b0 Ö 0,

mod *» * ^d } d ·

Beweis. Seien w = J£ur , v = £vs£ k[[x — ë]], r*r, vs homogen vom Grade r bzw. s,r^r, s"£8,

+ SQ ̂ d. Seien Ax , . . . , Ë,2(<é_,â_ââ)+1 paarweise und von 0 verschiedene Elemente von k.

L(f(u - v) mod f(B, v)) = L ( f ( ( *Ó n\ - ( jT 0) mod\ \ \r-fe / \*=*e / /

^ L /( J? wri;s: rQ + sQ<*t <^2d — r0 — 501 mod f(u, v)\ J -â=*ß

(3) 1 1V ^

l27 27 fc A|: i = l, . . . , 2(d — r0 — s0) + 1 1 mod

lJ

(wegen Lemma l, weil Det(A?) Ö 0 nach Vandermonde)

^ L ({( ú\ë;)( !sêAj): i = l, . . . , 2(d-r0 — ^0) + l mod «v . . . , v^§r-ft

— r0 — *0 +

nach Lemma 1. Hieraus folgt die erste zu beweisende Ungleichung:

L(f(ab) mod f(a, b)) = L(f(a — a0) (i — 60)) mod f(a — áâ, ä — ft0)) ̂ 2(d — 2) + 1.

Zum Beweis der zweiten k nnen wir d > 4 annehmen (denn — ̂ -H — ̂ -^4dlg2£i f rÄ

2 ̂ d f£ 4), ferner 60 = 1. Wir setzen ä = l — b. Es ist

wobei c == aQb + a — a0 verschwindenden konstanten Koeffizienten hat. Nach Lemma 1?dem Transitivit tssatz und der schon bewiesenen Ungleichung ergibt sich

(4) L(f (a/b) mod f (a, b)) ̂ L (f(c J£ ft1) mod f (c, b)}\ \ <-o / /




Wir zeigen nun für 2P~"1 < d durch Induktion nach p

(5) L m ^S"1?*, 62P-ijmod jf(£)j < (4d — 2)(/? — 1) — 2P+1 + 4.

Dies ist klar für p = 1. Allgemein gilt

L \ f { 2~lbl, b*p}modf(b)\ ^ L [fl ^ ^ **, b*p}mod f\J£lb\ b*p}}\ \ *=o / / \ \ o / \ o //

+ L \f(^lb\ fe2p]mod f(J;lb\ & ~ }\ + L \f\^lb\ b*p~l}mod f(b)\ = : I + II + III.\ \ o / \ o // \ \ o / /

Wegen

b* =o \ o

ist

wegen (3)

und nach Induktionsvoraussetzung

III ^ (4d — 2)(p — 1) —

Damit ist (5) gezeigt. Nun sei 2P~1 < d < 2 . Dann folgt aus (4) und (5)

L(f(alb) mod f(a, 6)) ̂ 2d — 3 + (4d — 2)(/> — 1) — 2P+1 + 4

^ 4d (p — 1) — (2jp — 3) ̂ 4 (/ — 1) ̂ 4d Ig.d.

Ein zu Satz 5 ähnliches Resultat erhält man für eine überall positive beschränkte(etwa auf k konstante) Operationszeit z1 ', wenn k algebraisch abgeschlossen ist (oderwenigstens die nötigen Einheitswurzeln enthält):

Lk[x}(F) ^ const (d Ig dLk(x}(F) + (F)d(lg d)2).

Hier kann man sich nämlich auf Berechnungen von F in k(x) beschränken, in denenhöchstens ( ) Divisionen vorkommen, indem man ausgehend von einer optimalenBerechnung von F in k ( x ) mit (ungekürzten) Zählern und Nennern separat rechnet unddie Divisionen nur in den Endergebnissen ausführt. Die dadurch in Kauf genommeneVerlangsamung beträgt nur einen konstanten Faktor. Ferner zeigt man nach dem Musterdes Beweises von Lemma 6 leicht

Lk[3e](f(ab) mod f(a, i)) < const dlgdb mod > ^ const

indem man die schnelle Fouriertransformation verwendet. Speziell (und auf besonderseinfache Weise) erhält man, daß bei der Berechnung einer Menge von Linearformen derVerzicht auf die Division nur um einen kleinen Faktor verlangsamt (der von der Opera-tionszeit abhängt).

§ 3. Inversion von Matrizen

Ist C € Mm(k(x)}, d. h. ist C eine m-reihige quadratische Matrix mit Koeffizientencif € Ä(JC), so setzen wir




Analog ist L(C^ . . . , Cr mod D15 . . . , Ds) definiert. Ist C € Mm(k[x~\), so setzen wir

Seien A, B m-reihige Matrizen, deren Koeffizienten a^, brs paarweise verschiedeneUnbestimmte xp sind (das setzt nat rlich 2m2 <Î ç- voraus). Wir setzen

(mit Hilfe des Simulationssatzes sieht man leicht, da die rechten Seiten nicht von n ̂ 2/n2

und der Wahl von A, B abh ngen).Lemma 1. F r beliebiges C, D € Mm(k(x)") ist

L(CDmodC,D) ^ £m.

Es gibt ein von 0 verschiedenes Polynom h €k[au , . . . , amm] so, da f r beliebiges C 6 Mm(k (ÁÃ))aus A(cu, . . . , cmm) Ö 0 /bfci

C hat eine Inverseund

L(C-lmodC) <,ççé.

Insbesondere gilt dies also, wenn die cti algebraisch unabh ngig ber k sind.

Beweis. Zum Beweis der ersten Ungleichung w hlen wir n = 2m2, so da die a^,b{j gerade die Unbestimmten xp durchlaufen, und wenden den Simulationssatz auf dendurch a^H->c^, byt-^dy bestimmten ö- Homomorphismus des von k[x] induzierten k-Rings in den von k(x) induzierten A- K rper an (ö ist die Einbettung von Ù in Ù').

Zum Beweis der zweiten Ungleichung w hlen wir n = m2 und eine optimale aus-f hrbare Berechnung â von A~*. Sei h(an, . . . , amm) = h(xl, . . . , xn) das Produkt derin den Ergebnissen von â auftretenden von 0 verschiedenen Z hler und Nenner. IstA(cn, . . . , cmm) ö 0, so sei Ö0 der lokale Ring aller g € k(x), f r die g(cn, . . . , cmm) de-finiert ist. Alle von 0 verschiedenen Ergebnisse von â sind Einheiten von 0C; â berechnetalso A~l auch im kommutativen Ring mit Division durch Einheiten <PC, d. h.

Lo^A*-1 mod A) ̂ ç^

Nun wende man den Simulationssatz auf den durch a^ H> c^ definierten Homomor-phismus @c->k(x) an.

Lemma 2. D£Mm(k(x)} habe paarweise verschiedene Unbestimmte xp als Koeffi-zienten. Dann sind die Koeffizienten von D (D + 1) algebraisch unabh ngig ber k.

Beweis. 0. B. d. A. sei k algebraisch abgeschlossen. Die Abbildung Ä Ç> Ä(Ä + 1)f r Ä € Mm(k) ist ein Endomorphismus ø der algebraischen Variet t Mm(k) « km\ Esgen gt offenbar zu zeigen, da ø dominant ist. Nach dem Satz ber die Dimension derFasern ([4], S. 92) gen gt es also z. B. nachzuweisen, da f r paarweise verschiedene0j, . . . , 6m € k die Gleichung

nur endlich viele L sungen A besitzt. Sei Ä eine L sung und seien f (x) = Ð(÷ — dt) dascharakteristische Polynom von zl, g(y) = H(y — è{) das charakteristische Polynom vonBrought to you by | University of Iowa Libraries


Strassen, Vermeidung von Divisionen

Ä(Ä + 1). Dann ist

g(x(x + 1))= Oei(x(x + 1) — Á(Ä + 1)) - Det ((x — A)(x +

= (— i)m Det (x — Ä) Det (— ÷ — l — Ä) = (— l

191

(— x — l)

also=ff (y

also o. B. d. A. èé = di(di + 1). Die di sind paarweise verschieden, weil die èß es sind.Also l t sich Ä auf Diagonalgestalt bringen: Sei Ë € Mm(k) regul r mit

Es ergibt sichA~1(dijei)A = Ë~1Ä(Ä + l) A = (dijdi(di + 1)) = (ä^è,).

Wegen der Verschiedenheit der 6i sind A und damit auch Ä diagonal. Nun folgt die Be-hauptung unmittelbar.

Lemma 3. f m Î> m2, r\m Î> m2.

Beweis. Es istA(F): = (Dimension des von F w {l, a?15 . . . , a;n} erzeugten A-Vektorraums) — (ôé + 1)

eine L-Schranke.Satz 4. æãç und r\m sind monoton. Ferner

Beweis. Monotonie von £ ·

nach Lemma 1.

i=0

0 ... 0

. A

0

0 . . .'

. B

0

m+l

Monotonie von ç^. Nach Lemma l gibt es «, Ã = l ' l und Ë = (A1? . . . , ëÌ) mit

Ë, y0 ë] € Á: und á Ö 0 so, da

Von der Identit t/ l OW« Ë\Éß—ËÉ«\É» Ï\—ri« il\r AI\Q i j ~ \ o ^ — é\ ' / \ / \ *

geht man zur Inversion ber. Dann erh lt man nach Lemma 2. l

//« Ë\-Ë //« 0 \-'\Brought to you by | University of Iowa Libraries



(letzteres nach dem Simulationssatz). Also

Erste Ungleichung: Sei D eine 2w-reihige Matrix mit paarweise verschiedenen Un-bestimmten als Koeffizienten. Wie man sofort nachrechnet, hat D (D + 1) die InverseD""1 — (D + l)"1. Da nach Lemma 2 die Koeffizientenmenge von D (D + 1) den Tran-szendenzgrad (2m)2 über k hat, gilt dies auch für ihre Inverse, also hat D"1 — (D + l)"1

über k algebraisch unabhängige Koeffizienten. Der Transitivitätssatz und Lemma lliefern nun

L(D(D + 1)) = L((D~l - (D + l)-1)-1)

(1) ^ L((D'1 — (D + l)-1)-1 mod ZT1 — (D + l)"1)

+ L(D~1) + L((D + l)-1) ̂Wir schreiben

mit m-reihigen D(f. Aus dem Simulationssatz folgtO

Zusammen mit (1) ergibt das die Behauptung.Zweite Ungleichung: Diese folgt durch Induktion aus der Ungleichung

^ ̂ 6CW + 2 ,welche sich aus [7], S. 356 oben, mit Hilfe von Lemma l ergibt (es ist klar, daß die beidenzu invertierenden Matrizen jeweils algebraisch unabhängige Koeffizienten haben).

Korollar 6. fm ^ 25^w

für alle m. Falls für ein a= 0(i»«),

so auch= 0(TO«).

Beweis. Nach [7], S. 354 f. ist(2) , ^ nm.

Also nach Satz 4

(3) C2i^7Ci^21i?2i.Auf elementare Weise zeigt man

^ ti, + (12?2 + 6? + 1),also für q S; 2

wegen Lemma 3 und (3), also

Für m ̂ 3 folgt fw ^ 25 ̂ m aus Lemma 3Brought to you by | University of Iowa LibrariesAuthenticated



Ist Cw = 0(ra"), so ist a Î> 2 nach Lemma 3. Sei 2p-~1 < m <Î 2*. Dann ist

>?m ̂ *?OD ̂ const ^12ñ-1+ß(á-1) - 0(2**) = 0(m").2 *=oAus dem Satz folgt auch ziemlich leicht, da f w und r\m auf einer unendlichen Teilmengevon N die gleiche Gr enordnung haben. Mit Hilfe einer einleuchtenden Vermutung kannman çÌ = 0(æÌ) allgemein zeigen.

Vermutung 6. Seien Xl, X2 disjunkte Teilmengen von {xl, ..., xn}, Fl<k(X1),F2<k(X2) Mengen von quadratischen Formen. Dann ist1)

Korollar 7. Ist Vermutung 6 richtig, so haben £w und çãç die gleiche Gr enordnung.Beweis. Seien

'£11 0 0 C14 \ /Dn 0 D13 0

^ , 0 C™ CK ° \ / ° à22 Ï D24

o c32 c33 o Ã ~l AU o D33 o,C41 0 0 C44 / \0 D42 0 D44

4w-reihige Matrizen, wobei die C^, Drs m-reihig sind. Die Koeffizienten aller Cti, DISseien paarweise verschiedene Unbestimmte. Aus Lemma l folgt

L (CD) ^ C4M

und durch Ausrechnen unter Verwendung von Vermutung 68Cm £Î L (CD),

alsoQ ß- <;--"* 5«

L ^̂ -̂ L ΛΛΛΛ ·^ IM ^̂ z ' 4?W

Aus dieser Ungleichung folgt durch Induktion nach q

t = 0Aus Satz 4 ergibt sich dann

und daraus die Behauptung mittels (2).

§ 4. Der Bang eines TensorsDefinition 1. Seien i/, F, W k-Vektorr ume, ô € E/ ® V ® W. Dann hei t

NRg(tr): = min {N: ô = 2uq®vq®wq mit geeigneten w^ € t/, ^ € F, ̂ € W

der Rang von ô.F r den Fall U = kn, V = km, W = ks ergibt sich mit (tijl) £kn ®km ®k8

N

Rg(T^) = min {N: rijl = Ó u\v\w\ mit geeigneten u\, vj, «^ € &}.

Man beweist leicht den folgenden2. (i) .Sei

x) Die Vermutung wird freilich durch das drastische Resultat von Moenck-Borodin [13] in Zweifel gezogen(siehe auch [12] und [14]).

Journal f r Mathematik. Band 264 25




der kanonische Isomorphismus, ô € U ® V È W. Dann ist

Rg^(r) = Rgr.

Entsprechend bei anderen Permutationen der R ume2).

(ii) Seien ö : U -> E/', ø : V -* V und # : PF -> PF' lineare Abbildungen, ô æ U ® F ® W.Dann ist

^ ® #)ô) <£ Rg T.

(iii) Rg(Aa + / i T ) ^ R g a + Rgr f r ë, ì æ k.

Von besonderem Interesse ist der folgende Spezialfall:Seien U = t/' è i/", F = F' È F", PF = W È W", ferner ó € t/' È F' <g> PF',

ô € t/" ® F" <g) W". Dann ist ó ö ô € t/ <g> F ® PF in nat rlicher Weise definiert undes gilt

e-r) ^ Rga+ Rgr.

(iv) Seien U = U' ® 17", F = F' ® F;', PF = TF' ® W", ferner ó æ U' ® F; ® PF',ô € i/" ® F" È PF". Dann is£ ó ® ô € ß7 ® F ® PF in nat rlicher Weise definiert undes gilt

R g ( a ( g ) T ) ^ RgaRgr .

Vermutung 3. Mit den Bezeichnungen des Satzes 2, (iii) gilt stets

Rg(aer ) = R g a + Rg r.

Da in Satz 2, (iv) nicht immer das Gleichheitszeichen steht, ist leicht zu sehen. Wirstellen nun eine Beziehung zwischen Rang und Berechnungsl nge her.

Satz 4. SeiF = { Ó ô^ÁÃ, *,:1 < l < s}ÌÝ^Ý* — —. y

eine Menge von quadratischen Formen aus k[x]. Dann ist

Lk<x}(F) = min {Rgir"1 + ^l) ̂ ^n : aijl = — *'" und otiil = 0 f r alle i,;, /},Ig/ig*

woiei (ôß?º + ^^ f) i^j^ntds Element von kn ® Aw ® As aufgefa t wird.i^'ii*

Beweis. Nach §2 k nnen wir Lk(x)(F) durch Æ/ëÌ(,Ñ) ersetzen.

bedeutet

mit geeigneten w^, vj, <i?J € k. Multiplikation mit x{x4 und Summation ber i, j liefert

f r alle Z. Daraus folgt_ LKx}(F) ^ N,

2) Dies ist nichts anderes als die inzwischen von Hopcroft-Musinski [15] eingef hrte Dualit t.Brought to you by | University of Iowa LibrariesAuthenticated



also <J in der Behauptung des Satzes. Zum Beweis von Î> sei Q(E) f r E<k[x] dieMenge der homogenen Teile vom Grade 2 aller á € E. Man sieht leicht, da

ë (E): = min {N: Q(E) in der linearen H lle von

{(2 n\x^(2 v{xfr. q= l, . . . , N} mit geeigneten wj, vj € }

eine L-Schranke ist. SeiJV:=L iM(F).

Dann ist ./V j> ë (ß1), also gibt es »^, vj, wlq € /e mit

»»7f r alle Z, d. h.

2 (r*»M

f r alle L Setzen wir also

dann ist <%ijl schiefsymmetrisch in i,j und es gilt

f + a"1) - Rg( JwXX, ^ ËÔ.

Korollar 5. Seiz? / y ~Wl~ v · \ <T 7 <! c\JL· = ·< ^ T X^Xj. l _ :̂ t- _ :̂ OJ

eme Menge von quadratischen Formen. Dann ist

i Rg (r«1 + ô'«1) =g LW(F) ̂ Rg (r«).

Speziell, falls Char k ^2 und ri}l = ôÇÉ,

yRgiT^^L^^^RgiT«').

Beweis. Sei (áéì) schiefsymmetrisch in i,y. Dann ist nach Satz 2

Rg (ô<ß( + T i<() ̂ Rg (ôßß( + ««') + Rg (ôßß1 + áß<() = 2Rg (ôß11

Also nach Satz 4-

Der Rest ist klar.F r Char k = 2 ist die zweite Aussage des Korollars falsch:

Sp ter brauchen wir noch das folgendeLemma 6. Seien x^ . . . ,«„ , ^i, · - - ,yq Unbestimmte ber k,

F = ß Σ ô

25*Brought to you by | University of Iowa Libraries



Dann isty Rg ( «1) ̂ L^^Fmod ft[*] w A[j,]) ^ L^tf·) ^ Rg (T«').

Beweis. Ist l? = {a(1), . . . , a(r)} <c /C[AT, jj], so schreiben wir

wo 6(/) keine Monome der Gestalt ax^j enthält, und setzen

Mittels Satz 2 sieht man leicht, daß wohldefiniert und eine L-Schranke mod k[x] w k[y]ist.

Anwendung 7. Sei Char A 2, Q € /C(AT) eine beliebige quadratische Form. Es ist

(J ~ X^2 - [ - · · · + #2ro-1^2» V V^2w+l5 · · · i ^p)

mit definitem Q. Wir behaupten£*(*)(<?) =P — m·

Zunächst folgt aus dem Simulationssatz, daß L konstant ist auf Äquivalenzklassen qua-~dratischer Formen. Wegen Q(x2m+i, . . . , x J ~ J£, A^? ist also

i=2m-f l

Andererseits können wir o. B. d. A. p — n annehmen (nach Korollar 2. 3 und weilk[Xu . . . , xp] autark ist in k[x]). Dann ist Q nichtausgeartet und m ist die Dimensionder maximalen Nullräume von Q. Wir nehmen an, L(Q) sei < n — m. Ist ( *7) die Matrixvon Q und ist (aij) schief symmetrisch mit

Rg (rij + aij) = L(Q) <n — m,so gibt es m + l Vektoren, die von der Matrix (tij + aij) annulliert werden (dennRg ( ** + ocij) ist nichts anderes als der gewöhnliche Rang der Matrix ( ? + **)). Diesebilden einen Nullraum von Q, also m + l ^ m, Widerspruch.

Zum Beispiel ist L^O&f + ---- \- x%) = n f ür Ä: = E und = l für k = C. Dasobige Resultat kann auch mit der Pan'schen Methode bewiesen werden.

Für den Rest dieses Abschnittes wollen wir unter einem A- Ring immer einen endlich-dimensionalen nicht-assoziativen -Ring verstehen (das ist ein endlichdimensionaler A>Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Multiplikation, also eine Algebra vom Typ& u {0, +, — , ·*} mit einstelligen A € A), vor allem um auch Lieringe miteinzubeziehen.Ist V ein endlichdimensionaler A- Vektorraum, so läßt sich eine bilineare Multiplikationin V durch einen Tensor er € F* F* (g) F beschreiben ([i], III. 66). Die Beschreibungist bijektiv und folgendermaßen definiert: Für , € F, w € F* fasse man u ® v ® w alsElement von (F* ® F* ® F)* auf. Dann ist

(1) w(u · v) = (u ® v ® w)a.

Definition 8. Sei F ein Ä-Ring, € F* ® F* ® F der die Multiplikation in F defi-nierende Tensor. Dann setzen wir

RgF: = Rgcr.Brought to you by | University of Iowa LibrariesAuthenticated



Seien el, . . . , en eine Basis von V (als k- Vektorraum) und ef , . . . , e* die duale Basisvon V*. Sind aijl die Koordinaten von ó bez glich dieser Basen (aus technischen Gr ndenschreiben wir auch i,j als obere Indizes), d. h. gilt

a = JLV^ef ®ef ® e„so wird (1) zu

Kennt man also die Koordinaten n* und v* zweier Vektoren u, v € F, so berechnen sichdie Koordinaten des Produkts u · v wie folgt

(2) (B - v ) ' = 2? ó"1» V.*,;

Seien #1? . . . , #n, yi, . . . , yn Unbestimmte ber A. Dann ist

,: l ^ Z =g »}) = L^Ccr« 1^, : l ^ ß £ n)

der k rzeste Zeitaufwand (bzgl. der durch die Operationszeit 1{J|S /} gegebenen Z hlung)zur Berechnung des Produkts zweier Vektoren von V (vgl. auch [9], § 8).

Der folgende Satz ergibt sich aus Lemma 6.

Satz 9.l Rg F ̂ Lk(x) ({£ ó<" w l ̂ Z ̂ n}) ̂ Rg F.

Satz 10. Seien V, W k- Ringe, (i) Ist f : F-»TF ein injektiver Homomorphismus,so gilt

Rg V ̂ Rg W.(ii) Ist f : V -> W ein surjektiver Homomorphismus, so gilt

Rg W ̂ Rg F.

(iii) Rg (F è W) < Rg F + Rg PF

(iv) Rg (F ® W) <; Rg F · Rg PF.

Beweis. Seien ó, ô die die Multiplikationen in F, PF beschreibenden Tensoren. Eine/c-lineare Abbildung f: F-^TF ist genau dann ein Homomorphismus, wenn gilt

(id <g> id ® f)a = (f* È f* ® id)r.

(i) Es gibt eine lineare Abbildung g : W-> V mit g o f = idF, also

(f* ® f* (g) ^)r = (id ® id ® g) o (f * ® f * ® id)r = (id ® id ® g) o (id ® id 0 f)a = a.

Die Behauptung folgt nun aus Satz 2.(ii) Es gibt eine lineare Abbildung g: PF-> F mit f o g = idw, also g* of* = id^*,

also(g* ® g* ® /> = fe* È ^* ® id) o (id ® id ® f)a = (g* ® ̂ * ® id) o (f* ® f* ® id)r = r.

Die Behauptung folgt wieder aus Satz 2.(iii) und (iv) folgen direkt aus Satz 2, da ó È ô und a ® ô die die Multiplikation

in F ö W und F ® W definierenden Tensoren sind.Brought to you by | University of Iowa LibrariesAuthenticated



Satz 11. Sei V ein k-Ring mit Eins der Dimension n. Es gilt(i) R g ( F ) ^ n(ii) Rg(F) = n** V xkx ··· ÷ kBeweis. 0. B. d. A. sei V — kn als Vektorraum. Sei (ô*") der V zugrundeliegende

Tensor und

mit 7V = Rg (V). Sei (ea, . . . , en) = l € F. Dann ist

(3) dml = Óô^»Ìß = Óô**\ = ÓÓ*\íW * » ß g=l

mit Ë0 = Óç\âé· Daraus folgt schon N S> n. Ist Ë7" = ra, so folgt aus (3), da (wlq) eine

regul re Matrix ist. Durch Basiswechsel k nnen wir

K) = (««,)erreichen, also

r«1 = u}v>,.Aus (3) wird dann

4.1 = ë,»Ã,also ë, 4= 0 und

«T = f «„i·Ëß

Aus Symmetriegr nden »"-i- -also

ô ß ß 1 = <falls é = j = l

0 sonst.

Also ist V « ÷ · · · X A. Die Umkehrung ist trivial.Anwendungen 12. (i) Ist G eine abelsche Gruppe der Ordnung n, Char (k) \ n,

so ist Rg k[G] = n. Ist K ein separabler A0-K rper, [#: kQ] = n, k algebraischer Ab-schlu von A0 und V der -Ring K 0^ A, so ist Rg F = n.

(ii) Ist Vermutung 3 richtig, steht also insbesondere in Satz 10, (iii) das Gleichheits-zeichen, und ist k etwa algebraisch abgeschlossen, so kann man nach dem Satz vonWedderburn den Rang halbeinfacher (assoziativer) A-Ringe auf den Rang von vollenMatrizenringen Mm = Mm(k) zur ckf hren. Rg Mm ist bis auf einen Faktor <Î 2 derminimale zur Multiplikation zweier allgemeiner m-reihiger Matrizen ben tigte Zeit-aufwand (bzgl. der perationszeit l{4tf/}). In [7] wird

Rg Mz £ 7

gezeigt. Wegen M# » M2 ® · · * È Ì2 folgt nach Satz 10

Rg^2PiS7*,und daraus leicht

Rg M„ g 3m1**7,Brought to you by | University of Iowa LibrariesAuthenticated



Tats chlich erh lt man in analoger Weise eine gr enordnungsgleiche obere Absch tzungauch f r die zur Multiplikation zweier Matrizen ben tigte Gesamtanzahl von Operationen([7], siehe auch [10], Corollary 7). Untere Schranken f r Rg Mm sind nicht bekannt,abgesehen von der trivialen

Rg Mm ^ m2

(die z. B. aus Satz 11 folgt), und vonRg M2 ̂ 7

(Hopcroft-Kerr [3], Winograd [11]).

§ 5. Multiplikation spezieller Matrizen

Sei k algebraisch abgeschlossen, G c: Gln(k) < kn* eine irreduzible, lineare algebra-ische Gruppe (siehe z. B. [6], Ghapter III, § 3), t^ die von den Koordinatenprojektionenin kn* induzierten Elemente des Koordinatenringes von G. Seien ð À 7 ð 2 die Projektionenvon G ÷ G, áß?· = ti} ïð1? b^ = t^ ïð2. Bekanntlich ist G ÷ G eine irreduzible Varie-t t. Sei K der Funktionenk rper von G X G, aufgefa t als k- K rper. Wir interessierenuns f r

LK(\ Ó^á^Ç: i,l<, rclmodan, . . . , bn

Nach [9], §8 ist dies der minimale Zeitaufwand (bzgl. der Operationszeit !{*,/})? den einProgramm zur Multiplikation von Matrizen € G f r fast alle Inputmatrizenpaare bean-sprucht. Sei È c kn* der Tangentialraum an G im Punkte l € G. Da G nichtsingul r ist,ist dim È = dim G = : m. Seien å(1), . . . , å("° 6 kn* eine Basis von 0, å(ñ) = (e^f ). Seienferner #1? . . . , xm, yl^ . . . , ym Unbestimmte ber k. Wir fassen k[x, y} auf als A- Ring

ber {#!, ...,2/j.Satz 1.

LK\\ £á^Ç: i, l <i njmod au, . . . , bnnj

^ V,,i (! Ó ( Ó åö xp] ( Ó ef y,) ; M ̂ "} mod\ l;=i \P=i / \g=i /

Beweis. Sei â eine optimale ausf hrbare Berechnung von

[Ó á^ç :i,l<^n} mod an, . . . , 6WW in ËÃ.

Es gibt (J1, zl) æ G X G so, da alle von 0 verschiedenen Ergebnisse ai von â im Punkte(Ã, Ä) definiert und Ö 0 sind, da also á( Einheiten im lokalen Ring Ö(ÃßÄ} = @0÷èËÃ)Á)sind. Wir fassen die lokalen Ringe von Punkten von G ÷ G als kommutative k- Ringemit Division durch Einheiten auf. Dann erhalten wir also

LK ({Óá^ç: ij<*n} mod an, . . . , bnn) = L( )

L a b : i l

Nun sei h : <P(U) -> (P J der durch

h(u)(M, N) : = éé(Ã~éÌ, ÍÄ"1)Brought to you by | University of Iowa LibrariesAuthenticated



f r M , N € G definierte Isomorphismus. Wir haben

*(««) = 2tlr(r-*)arj, h(bjt) = 2bistsl(A~l).r=l s = l

Nach dem Simulationssatz gilt

L0<r„4) ((f á«äß« : *> l = n} mod a"' ' ' ' > 6«0

= L,(1§1) ({^^(Ã-1) (-Sa,,^)^-1) : i, i ̂ n}

mod {^(Ã-'×,: i, j ^ Ë} w {^^^(Zl-1) : j, ß ̂ Ë})

b :r>s^n mod a i » ' · ' ' ä^«

nach Lemma 2. 1. Zusammen ergibt sich

(1) L ({Óá^ç : i, Ú ̂ ^} mod au, . . . , aww)

= - á 6 « : £' * = n mod

â × È <. kn* X A%1 ist der Tangentialraum von G ÷ G an der Stelle (l, 1), alsobilden (å(1), 0), . . . , (e(m\ 0), (Ï, å(1)), . . . , (0, (w)) eine Basis dieses Tangentialraums.Seien ^1? . . . , um lokale Parameter von G an der Stelle l, und zwar so, da dlu1^ . . . , dlumdie zu e(1), . . . , e(m) duale Basis ist. Dann sind U1on1^ . . . , um ï ð1? ul ï ð2, . . . , umon2lokale Parameter von G X G an der Stelle (1,1) und d(lfl) »÷ ïð15 . . . , rf(1)1) umon2bilden die zu (å(1), 0), . . . , (0, e(m)) duale Basis. Es gibt einen Monomorphismus

Ø : 0(À,À)-* *[[a?i , · . . . ,«„, y1? . . . , yj]

von A- Ringen (mit Division durch Einheiten) so, da

und so, da &[[#!, . . . , ym]] verm ge ö die Vervollst ndigung von 0(1>1) nach seinemmaximalen Ideal ist (f r die Konstruktion siehe [6], Chapter II, §2).

Um die linearen Komponenten von ö(á^) und q>(b}l) zu bestimmen, bemerken wir

wie man leicht durch Auswerten an den Basisvektoren ( (1), 0) bis (0, e(wl)) von È ÷ Ènachpr ft. Daraus folgt (nach Konstruktion von ö)

wobei ö(á^) bzw. ö(^) Potenzreihen in den xp bzw. yq allein sind. Daher hat der qua-dratische Bestandteil von ö(Ó a^b^ die Gestaltj

Ó (Ó efxp) (Ó^7 P 9




Wie im Beweis von Satz 2. 2 ergibt sich nun

^ mod

Hieraus und aus (1) folgt der Satz.

Korollar 2.LK£ a b : ij^n mod au,

Beweis. Dies folgt aus Satz l nach zweimaliger Anwendung von Lemma 4. 6.

Beispiel 3. Ist G die spezielle orthogonale Gruppe, so besteht ihr Tangentialrauman l aus den schiefsymmetrischen Matrizen. Korollar 2 besagt dann, daß der Mindest-zeitaufwand von allgemeinen Verfahren (mit Division) zur Multiplikation w-reihigerorthogonaler Matrizen der Determinante l nicht kleiner ist als der halbe Mindestzeit-aufwand allgemeiner Verfahren (ohne Division) zur Multiplikation w-reihiger schiefsym-metrischer Matrizen. Dieser läßt sich elementar sofort durch Crm,abschätzen.

UJKorollar 4. Sei & der Liering von G. Dann gilt

LK({faubn: ijl^*} mod «11» · · · · bnn) ̂ -g- Rg ®-

Beweis. Man verwende Lemma 4. 6 und die Tatsache, daß & von zusammen mitder Klammermultiplikation realisiert wird (siehe [5], LA 1. 3).

Dieses Korollar ist weniger genau als Korollar 2. Dafür eröffnet es die Möglichkeit,die Strukturtheorie der Lieringe auszunutzen (vgl. § 4, besonders Vermutung 4. 3).

Literatur

[1] N. Bourlaki, Eloments de mathomatique, Algebre I, Chapitres l ä 3, Paris 1970.

[2] N. Bourlaki, Elements de mathe'matique, Livre II, Algebre, Chap. 4, Polynomes et fractions rationnelles,Paris 1959.

[3] J. E. Hopcroft and L. R. Kerr, On minimizing the number of multiplications necessary for matrix multi-plication, TR 69—44, Dept. of Computer Science, Cornell University, Ithaca, N. Y. 1969.

[4] D. Mumford, Introduction to algebraic geometry, Harvard Lecture Notes.

[5] J.-P. Serre, Lie algebras and Lie groups, 1964 Lectures given at Harvard University, New York 1965.

[6] /. R. Shafarevich, Foundations of algebraic geometry, Russian Math. Surveys 24 (1969), 1—178.

[7] V. Strassen, Gaussian elimination is not optimal, Numerische Mathematik 13 (1969), 354—356.

[8] V. Strassen, Berechnung und Programm. I, Acta Informatica l (1972), 320—335.

[9] V. Strossen, Berechnung und Programm. II, Acta Informatica 2 (1973), 64—79.

[10] S. Winograd, On the algebraic complexity of functions, Actes Congres Intern. Math. 8 (1970), 283—288.

[11] S. Winograd, On the multipHcation of 2 by 2 matrices, IBM Research Report RC 2767, January 1970.

Journal für Mathematik. Band 264 26



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