BAB 1

PENGENALAN

1.1 PENGENALAN

ILMEV adalah alat yang dibangun untuk membantu pelajar dalam pembelajaran bagaimana

untuk melaksana pengamiran terhadap domain bukan remeh dalam kalkulus vektor. Kalkulus

vektor dipilih kerana ia adalah genting bagi menyelesai masalah dalam bidang kejuruteraan dan

sains (banyak program pendidikan memerlukan kursus mengenai topik ini) dan matematik yang

terlibat adalah sukar, walaupun untuk pelajar yang berbakat dan terlatih. Banyak masalah dalam

kalkulus vektor tiga dimensi melibatkan pengiraan kamiran fungsi merangkumi medan vektor

pada lengkung, permukaan dan isipadu. Kamiran tersebut boleh disusut kepada kamiran fungsi

skalar terhadap selang, kawasan atau isipadu. Bagaimanapun, penyusutan ini memerlukan

manipulasi yang mendalam melibatkan kalkulus dan algebra. Masalah dua dimensi secara

asasnya lebih mudah untuk diselesai. Secara konsepnya tiga dimensi lebih sukar untuk

diselesaikan kerana kedua-dua kamiran lengkung dan kamiran permukaan dalam tiga dimensi

perlu disusut kepada kamiran lengkung dalam dua dimensi. Penyusutan beberapa jenis kamiran

dilaksana dalam ILMEV.

Apabila penyusutan kamiran skalar selesai, maka kamiran tersebut perlu dinilai semula.

Sistem algebra komputer mengandungi algoritma berkeupayaan tinggi untuk mengira kamiran

tentu satu dimensi secara analitik. Algoritma ini biasanya mengenakan pelbagai penyelesaian

kepada masalah bagi mendapatkan jawapan yang tepat dengan cepat. Jika gagal, maka algoritma

Risch akan digunakan (Geddes, Czapor & Labahn, 1992). Sekiranya algoritma Risch tidak boleh

1

mengira kamiran, maka kamiran yang tepat mungkin tidak wujud. Kamiran ini hanya boleh

dikira secara berangka. Dengan pelaksanaan algoritma secara berulang, algoritma kamiran

terlelar multidimensi boleh dinilai. Malangnya, kamiran multidimensi yang muncul dalam

kalkulus vektor biasanya tidak terlelar kecuali bagi masalah geometri yang sangat mudah.

Satu pemerhatian penting dalam tesis ini ialah dengan mengguna algoritma pengiraan

geometri algebra yang dipanggil Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) mampu

mengurangkan kamiran terhadap rantau dalam dua dan tiga dimensi kepada kamiran terlelar. Ini

membolehkan penyelesaian pelbagai masalah kamiran. Algoritma CAD kini diguna sebagai

sebahagian daripada algoritma untuk melaksana Quantifier Elimination (QE), satu ciri yang tidak

diperlukan dalam algoritma pengamiran. Pelaksanaan “black-box” adalah tidak konsisten dengan

keperluan pembelajaran, jadi dalam ILMEV algoritma ini disusun semula bagi rantau persamaan

kuadratik dan linear. Seterusnya, mampu membangunkan aplikasi-aplikasi yang penting dalam

QE (Weispfenning, 2001). Perluasan kepada rantau yang lebih kompleks dan masalah tiga

dimensi adalah suatu projek berterusan.

Salah satu ciri bagi kalkulus vektor adalah ia berupaya menukar kamiran terhadap isipadu

kepada kamiran terhadap permukaan sempadan bagi rantau dan sebaliknya dengan mengguna

teorem kecapahan. Ia juga berupaya menukar kamiran terhadap permukaan kepada kamiran

terhadap lengkung sempadan bagi permukaan dan sebaliknya dengan mengguna teorem Stokes.

Walaupun tidak termasuk dalam cirri kalkulus vektor, ia juga berupaya menyusut kamiran

lengkung bagi penilaian fungsi pada titik hujung keluk (atau dipanggil teorem kebarangkalian).

Pemerhatian ini adalah penting untuk memahami pelaksanaan kalkulus vektor dan penyediaan

penilaian mudah beberapa kamiran kompleks. Teorem-teorem ini semuanya meyusutkan teorem

asas kalkulus dalam satu dimensi. Untuk dua dimensi, teorem kecapahan dan teorem Stokes

2

disusut kepada teorem Green. Teorem Green akan dilaksanakan dalam ILMEV sebagai projek

yang berterusan.

Malangnya, hasil daripada kalkulus vektor tidak dibentang dalam bentuk yang sesuai

untuk pembangunan alat seperti ILMEV, maka usaha gigih dan pengulangan kajian diperlukan

untuk mencapai tujuan tersebut. Disebabkan kerumitan tersebut, pembangunan ILMEV juga

menuntut kepada pelaksanaan prinsip-prinsip pengajaran dan pembelajaran seperti (interaktiviti,

visualisasi, pengujikajian dan kepelbagaian perwakilan) serta antara muka mesra pengguna.

1.2 GAMBARAN KESELURUHAN SISTEM ALGEBRA KOMPUTER (SAK)

Salah satu perkembangan penting dalam teknik pengiraan untuk empat dekad yang lalu ialah

evolusi dalam sistem algebra komputer (SAK) atau program komputer simbolik matematik.

Sistem ini membenarkan manipulasi secara langsung bagi simbol matematik dan meningkatkan

kemungkinan penyelesaian tepat, bebas ralat dalam masalah yang panjang dan kompleks.

Kebanyakan sistem pada masa kini mempunyai ciri-ciri berangka dan grafik, beserta keupayaan

simbolik dan bahasa pengaturcaraan pengguna, menyediakan persekitaran pengiraan bersepadu

(Wester, t.t.).

SAK direka bentuk untuk menyelesai pelbagai masalah telah mendapat perhatian khusus,

diantaranya dikeluarkan oleh Derive, Maple, Mathematica dan Texas Instrument (TI) kalkulator

simbolik seperti T1-89, T1-92 dan Voyage 200. Terdapat juga beberapa pakej matematik,

statistik, pendidikan dan kejuruteraan yang memberi penekanan utama yang biasanya bukan

SAK, tetapi mengandungi enjin simbolik dalam pakej daripada Mathcad, MathView, Matlab,

Scientific Notebook/Workplace dan Symbolic SPICE. SAK dan perisian berkaitan boleh didapati

dalam pelbagai bentuk: komersial, sebagai program percuma untuk kegunaan akademik, sebagai

perkongsian perisian, GNU Copyleft dan sebagai perisian domain awam (Wester, t.t.).

3

Akritas (1989) mendefinisi SAK (atau pengiraan simbolik dan algebra) sebagai

keupayaan komputer untuk memanipulasi ungkapan simbolik matematik berbanding dengan

kaedah berangka, sama seperti melakukan algebra dengan pensil dan kertas. Apabila berurusan

dengan nombor tepat (integer ketepatan terhingga dan nombor nisbah) dan ungkapan simbolik

algebra, SAK mampu membebaskan penyelidik daripada kebimbangan kesilapan berangka

(pemendekkan dan pembundaran) dan sekaligus membantu penyelidik memahami dengan lebih

jelas pemasalahan kajian. Tujuan pengiraan ialah meningkatkan pemahaman. Pemahaman

kadang-kadang diperolehi dengan menilai ungkapan matematik, tetapi dalam kebanyakan kes

hubungan kuantiti dijelaskan melalui kaedah algebra (Akritas, 1989).

SAK telah diguna pakai dalam pelbagai bidang seperti kejuruteraan, perubatan,

bioteknologi, fizik, kimia, robotik dan pendidikan (http://math.unm.edu/~aca). Seperti mana-

mana cabang sains yang lain, sosiologi SAK dibentuk oleh persidangan-persidangan terdahulu,

jurnal-jurnal dan kumpulan penyelidik. Persidangan penyelidikan utama SAK ialah Annual

International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC) dan International

Conference on Applications of Computer Algebra (ACA). Jurnal yang terkenal adalah seperti

Journal of Symbolic Computation (JSC), SIGSAM bulletin (ACM) dan International Journal of

Computer Algebra in Mathematics Education. Terdapat beberapa jurnal dalam bidang yang

berbeza kadang-kadang mengandungi artikel SAK seperti Journal of Theoretical Computer

Science, Journal of Mathematics of Computation, Journal of Computer Physics Communications

dan banyak lagi (Joachim von zur Gathen & Gerhard, 1999).

SAK telah menjadi satu alat pengiraan yang penting pada dekad yang lepas. Walau

bagaimanapun, SAK mempunyai kekurangan dan kekangan. Dalam keadaan-keadaan tertentu,

SAK memberi jawapan yang tidak sesuai, jawapan tidak lengkap, jawapan yang mengelirukan

4

dan juga jawapan yang salah. Selalunya, SAK memberi jawapan tanpa sebarang penjelasan.

Penyelidik perlu menentukan sama ada jawapan betul atau sebaliknya dengan menggunakan

kaedah lain seperti mana dengan menyelesaikan masalah menggunakan pensil dan kertas. SAK

masih di bawah penambahbaikan yang berterusan, potensi berlakunya kesilapan sentiasa

dijangka (Aslaksen, 1999; Bernardin, 1999; Fateman, 2006a, 2006b; Gruntz, 1999; Stoudt, t.t.;

Wester, 1999; Yuzita, 2000b).

Dalam kajian ini, kami membangunkan pakej multimedia simbolik yang dinamakan

sebagai Interactive Learning – Mathematica Enhanced Vector calculus (ILMEV) dengan

bertujuan menambahbaik proses penyelesaian masalah dalam kalkulus dan pelbagai masalah

analisis. Pakej ini meluaskan keupayaan SAK (Mathematica) dalam geometri yang melibatkan

pengiraan analitik kamiran multidimensi dan juga membantu penyelidik dalam membina dan

memahami konsep dan kemahiran matematik, memahami proses penyelesaian masalah

matematik dan penaakulan matematik (Hamzah, Yuzita & Ahmad Faris, 2004).

1.3 LATAR BELAKANG KAJIAN

Latar belakang kajian ini berdasarkan penyelidikan yang dijalankan ke atas pakej analisis vektor

yang terkandung dalam enam SAK yang terkenal iaitu Derive 6, Maple 9, Mathcad 11,

Mathematica 5.2, MuPAD Pro 3.1.1 dan REDUCE 3.8, serta beberapa yang lain seperti Kalkulus

Vektor dan Mathematica (Davis, Porta & Uhl, 1999), General Vector Analysis (GVA) (Qin,

1999) dan vec_calc (Yasskin & Belmonte, 2003).

5

1.4 MULTIMEDIA INTERAKTIF DALAM PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN

MATEMATIK

Penggunaan komputer bagi meningkatkan proses pengajaran dan pembelajaran matematik bukan

lagi satu konsep yang baru. Sejak 1970, terdapat keinginan menjadikan komputer memainkan

peranan penting dalam pendidikan (Waddick, 1994). Contohnya, pembelajaran berbantu

komputer menunjukkan kesan yang ketara dan positif terhadap sikap pengguna dan kandungan

silibus (Roblyer, 1998). Penggunaan komputer berteknologi multimedia menyediakan

persekitaran pengajaran dan pembelajaran yang menarik dan menyeronokkan. Ia telah mengubah

persekitaran pembelajaran tradisional kepada persekitaran pembelajaran berteknologi.

Sebaliknya, pembelajaran interaktif juga bukan satu pendekatan pedagogi baru. Kira-kira 25

ratus tahun lalu, Socrates telah mengguna pendekatan ini ketika sesi soal jawab bagi

mengalakkan pemikiran yang kreatif di kalangan pelajarnya. Kini, multimedia interaktif

digunakan secara meluas melalui pendekatan Socrates (Murphy, 2002).

Dalam kajian ini, dua ciri utama interaktif yang dicadang oleh Center for Excellence in

Education (CEE) terbitan (1998) digabung dalam pelaksanaan ILMEV:

i. Kaedah dan hasil dipersembah dalam bentuk non-linear. Pengguna boleh mengawal

langkah atau kaedah tertentu yang dimasukkan dalam langkah berturut-turut dengan

mengklik butang tertentu seperti butang “compute”, untuk melaksanakan pengiraan.

Semua langkah-langkah tersebut telah diprogram lebih awal.

ii. Pengguna mempunyai kawalan dengan membuat pilihan yang sesuai seperti memilih

butang (contoh, butang ∬Ω

❑

dA) dalam menu utama yang terdiri daripada beberapa

butang lain (contoh, butang ∫C

❑

ds ,∫C

❑

F ∙t ds ,∫C

❑

F ∙ nds¿¿. Bagaimanapun, program

6

tersebut mempunyai perlindungan dan perlu mengekalkan kawalan apa yang boleh dan

tidak boleh di input oleh pengguna.

Laman web Learning Without Frontier (LWF) (2002) mentakrif interaktiviti sebagai

proses maklum balas bagi pertukaran maklumat antara dua pihak atau lebih (contoh, pengguna

dan ILMEV) dalam persekitaran komunikasi dan pembelajaran. Maras (t.t.) mentakrif

interaktiviti sebagai cara teknologi multimedia memaparkan maklumat dalam persekitaran yang

tertentu. Persekitaran ini adalah satu persekitaran “trial and error” yang mempunyai navigasi

mesra pengguna. Kami membangunkan persekitaran ILMEV dengan menerapkan konsep

tersebut.

Clark dan Graig (Murphy, 2002) mentakrif interaktiviti sebagai keupayaan untuk

memberi maklum balas tepat yang bermanfaat. Sistem mestilah direka bentuk mengikut

keperluan bagi membolehkan ia memberi reaksi kepada keperluan pengguna. Sistem juga mesti

mempunyai keupayaan untuk mengenal pasti tindakan pengguna dan mampu menterjemah dan

bertindak balas atau mengikut keperluan pengguna. Duchastel (Murphy, 2002) menambah

bahawa proses penterjemahan ini adalah sangat sukar kerana ia merupakan satu proses yang

kompleks. Dalam kes ini, ILMEV mengguna semua keupayaan penting yang wujud dalam SAK

(Mathematica) bagi menyediakan maklum balas yang sewajarnya (seperti formula pengamiran

vektor yang sesuai) dan beberapa penambahan untuk melaksana tugas pengiraan tertentu.

Interactive Learning System (ILS) merupakan istilah yang diguna pakai melitupi pelbagai

situasi pembelajaran di mana pertukaran pengetahuan atau maklumat berlaku di antara rakan

komunikasi. Sistem yang mengintegrasi penggunaan pelbagai teknologi pengajaran dirujuk

sebagai sistem pembelajaran multimedia. ILS terdiri daripada tiga komponen asas: populasi

pelajar, sistem penyampaian dan bahan pedagogi yang membentuk asas pembelajaran. Sistem

7

yang memudahkan pembelajaran interaktif mestilah boleh bertindak balas, mengikut keadaan

dan dinamik dengan merujuk kepada kedua-dua keperluan populasi pelajar dan mekanisme

pemindahan pengetahuan yang digunakan (Barker, 1990).

Multimedia ditakrif sebagai gabungan teks, grafik, suara, animasi, imej pegun dan video

yang dihantar oleh komputer atau peranti elektronik (cetakan CEE, 1998; Educational Resources

Multimedia ’94 Catalog, 1994). NCSU (1999) mentakrif multimedia sebagai interaksi komputer

dengan manusia melibatkan teks, grafik, suara dan video. Biasanya, konsep hiperteks juga turut

diterapkan. Oleh itu, kita boleh merujuk multimedia interaktif sebagai multimedia yang

membenarkan kawalan oleh pengguna. Dengan kata lain, multimedia interaktif mentakrif

kandungan dan konteks maklumat, pendidikan dan hiburan yang boleh dicapai, dimanipulasi dan

diterjemah oleh pengguna. Persekitaran multimedia interaktif merupakan persekitaran yang

dinamik. Persekitaran dan proses berubah mengikut situasi, kandungan pembelajaran dan

keperluan individu (Giardina, 1992). Wilson (1992) merujuk kepada multimedia interaktif

sebagai alat dan aktiviti yang membolehkan perbentangan maklumat diintegrasi secara elektronik

dan membenarkan pengguna mengawal pelbagai jenis maklumat mengguna dalam pelbagai

format tertentu seperti video, imej pegun, teks, grafik, animasi, suara, nombor dan data. Dalam

kajian ini, kami berharap pengalaman pengguna dalam mengguna multimedia interaktif dalam

ILMEV melalui pembelajaran kendiri menerusi aktiviti seperti penjelajahan, manipulasi dan

pengujikajian akan menghasilkan keputusan daripada pelbagai perspektif.

8

1.5 PERMASALAHAN KAJIAN

Dalam kajian ini, kami menumpukan perhatian pada kedua-dua bidang yang berikut:

1.5.1 Geometri dua dimensi (2D): Pengiraan Analitik Kamiran Multidimensi

Terdapat beberapa pengiraan penting dan visualisasi daripada analisis yang sukar dilaksana

dalam semua SAK seperti pengiraan kamiran terhadap lengkung, permukaan dan isipadu dan

menggunakan kamiran multidimensi hasil teorem kebarangkalian, teorem Green, teorem Stokes

dan teorem kecapahan. Kesukaran utama dalam mencari panjang, kawasan dan isipadu beserta

dengan kuantiti fizik seperti kerja, jisim, fluk dan pusat jisim ialah geometri. Penerangan dan

pemahaman tentang geometri adalah penghalang utama, namun terdapat masalah algebra yang

sukar, walaupun geometri tersebut telah difahami. SAK harus mampu dilaksana dengan kawasan

geometri dalam dua atau tiga dimensi dalam bentuk ketaksamaan. Sebagai contoh, jadikan Fi (x,

y, z), 1 < i < k sebagai fungsi licin, di mana k ialah integer positif dan kemudian tentukan set

Si = {(x, y, z) Fi (x, y, z) 0 }

Set Si adalah tertutup bukan terbuka kerana mengguna berbanding >. Bagaimanapun, set

terbuka dan set tertutup mesti difahami oleh SAK.

Persilangan dan kesatuan dua set diterangkan seperti berikut:

Si Sj = {(x, y, z) Fi (x, y, z) 0 Fj (x, y, z) 0 } ,

Si Sj = {(x, y, z) Fi (x, y, z) > 0 Fj (x, y, z) 0 } ,

yang mana bermaksud “and” dan bermaksud “or” (Steinberg, 1999). SAK mesti berupaya

untuk mengendali persilangan rawak dan kesatuan set. Dalam kajian ini, kami hanya akan

melihat persilangan tertutup set n, di mana n ialah integer positif.

Apabila fungsi Fi adalah polinomial, maka set yang dinyatakan di atas dipanggil semi

algebra. Set tersebut telah dikaji dengan meluas, secara teori dan pengiraan. Hoon Hong, Richard

9

Liska dan Stanly Steinberg telah menulis kajian (Hong, Liska & Steinberg, 1997a) dan artikel

teknikal (Hong, Liska & Steinberg, 1997b) menerangkan aplikasi teori kestabilan melibatkan set

tersebut. Aplikasi ini menggunakan algoritma yang dipanggil Quantifier Elimination Partial

Cylindrical Algebraic Decomposition (QEPCAD) (Collins & Hong, 1991) yang mengambil

pernyataan yang dibuat daripada kesamaan dan ketaksamaan polinomial, hubungan logik, dan

pengkuantiti, dan menghasilkan formula logik setara bebas pengkuantiti dan pembolehubah

kuantiti. Satu kesimpulan daripada kajian tersebut ialah Cylindrical Decomposition memainkan

peranan penting dalam masalah geometri dan algoritma bagi melakukan Cylindrical

Decomposition adalah diperlukan sekurang-kurangnya untuk kelas set yang diterang oleh fungsi

asas transcendental (Steinberg, 1999). Dalam kajian ini, kami tidak berminat dalam QE secara

langsung, tetapi menumpukan pada Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) yang

merupakan sebahagian daripada algoritma QEPCAD.

Bagi menyelesaikan masalah ini, kami memerlukan program pemodelan geometri yang

terbaik. Terdapat beberapa SAK komersial seperti Mathematica, T1-92 dan Voyage 2000, yang

mampu menjalankan beberapa permodelan geometri tetapi hanya memadai untuk contoh yang

mudah. SAK ini memahami persilangan dan kesatuan set yang ditakrif oleh ketaksamaan

polinomial dalam bentuk P(x, y) > 0 dan P(x, y) 0. Bagaimanapun, tidak terdapat SAK

komersial yang mengandungi algoritma untuk melakukan Cylindrical Decomposition selain

daripada QEPCAD (Hong, Liska & Steinberg, 1997a; Steinberg, 1999) dan REDLOG

(Dolzmann, 1997). Sesetengah SAK mengandungi beberapa alat asas yang diperlukan bagi

menyelesaikan masalah tersebut dengan campur tangan pengguna. ILMEV mampu

melaksanakan pengiraan dan visualisasi pelbagai masalah pengamiran geometri mudah secara

automatik dan dengan itu, meminimumkan campur tangan pengguna. ILMEV juga membantu

10

pengguna dalam memahami masalah dengan memaparkan penerangan dan langkah-langkah

yang diambil bagi mendapatkan penyelesaian. Seperti yang dinyatakan sebelum ini, rantau

ditakrif oleh persamaan polinomial dipanggil semi algebra dalam geometri algebra. Tahap rantau

itu ialah tahap tertinggi persamaan polinomial yang mentakrif rantau tersebut. Kebanyakan

rantau yang diguna dalam kejuruteraan dan sains adalah rantau tahap 1 atau 2. Dalam kajian ini,

kami akan menumpukan pada penyelesaian rantau tahap 1 atau 2.

1.5.2 Teknik Penyelesai Masalah Matematik

Dalam kajian ini, kami turut memberi perhatian kepada teknik-teknik penyelesaian masalah

matematik bagi membantu dalam bidang-bidang berikut (Khairina Atika, 2004; Noor Aini, 2004;

Yuzita 2000a; Yuzita et al., 2002 & Zawiyah, 2006):

1.5.2.1 Kemahiran dan Konsep Matematik

Kursus matematik tradisional menekankan pembelajaran matematik melalui latih tubi, hafalan

dan penguasaan kaedah secara manual bagi menyelesaikan masalah. Walaupun keadaan ini boleh

membangunkan insane bijak matematik tetapi tidak membantu bagi pemahaman mendalam dan

subtansif bagi membina kemahiran dan konsep matematik (Kimmins & Bouldin, 1996). Kita

sering berjumpa pelajar yang menghafal formula-formula, teorem-teorem dan hokum-hukum

dalam matematik tanpa memahami konsep sebenar di sebalik formula-formula, teorem-teorem

dan hokum-hukum tersebut. Pelajar tersebut mampu menghafal dan menyelesaikan masalah

matematik tetapi tidak memahami konsep matematik tersebut. Pelajar ini kemudiannya akan

menghadapi kesukaran dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan harian dan kursus lain

yang melibatkan matematik (Tengku Zawawi, 2002).

Salah satu sebab kenapa ini berlaku kerana pelajar tidak didedahkan kepada konsep

pembelajaran matematik yang lain seperti interativiti, visualisasi, pengujikajian dan kepelbagaian

11

perwakilan yang melibatkan penggunaan elemen multimedia seperti simbol, berangka, grafik,

teks dan suara. Konsep yang disebut di atas adalah penting untuk meningkatkan minat pelajar

dalam pembelajaran matematik dan juga membantu mereka dalam memahami konsep matematik

dan membina kemahiran (Khairina Atika, 2004; Noor Aini, 2004). Sebagai contoh, imej

mengaktifkan proses minda seperti pandangan hubungan spatial, kefahaman intuitif proses

kompleks atau pemerhatian corak, dan apabila membayangkan imej, ia dapat membantu pelajar

dalam proses pemahaman. Dalam kata lain, pelajar boleh mengguna imej sebagai perantara

untuk berfikir dengan melihat gambaran tersebut

(http://www.gwdg.de/~cals/CAR/CAR26/node13.html).

Pembelajaran boleh dicapai melalui proses penterjemahan konsep atau idea pelbagai

peringkat. Visualisasi pula menyediakan penterjemahan hasil pengujikajian pelbagai nilai input,

untuk membantu pelajar dalam proses kognitif. Walau bagaimanapun, pendekatan ini membawa

kepada beberapa kesukaran kepada pelajar kerana mereka perlu memperolehi dua kemahiran:

pemahaman konsep matematik dan sintaks dan arahan SAK (Schwardmann, 2004; Tintarev,

1999). Dalam kajian ini, kami membangunkan ILMEV bagi membantu pelajar memahami

konsep matematik dan membina kemahiran tanpa pelajar perlu memberi perhatian kepada

sintaks dan arahan SAK.

Kepelbagaian penyampaian digunakan bagi melihat objek daripada pelbagai perspektif.

Contohnya, pengguna boleh meneroka kepelbagaian perwakilan dalam bentuk simbolik,

berangka, teks, grafik, suara, animasi dan imej pegun mewakili fungsi tanpa menumpukan pada

aspek pengiraan sahaja. Mendedahkan pengguna pada kepelbagaian penyampaian adalah penting

kerana kelebihan pedagogi melihat topik daripada pelbagai perspektif dan model fungsi yang

wujud daripada situasi lain sering timbul dalam bentuk grafik dan berangka berbanding dalam

12

bentuk simbolik (National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1989). Hakikat SAK

mampu menyediakan persekitaran yang sesuai bagi membangunkan kepelbagaian penyampaian

adalah aset yang penting buat ILMEV (Goldenberg & Paul, 1995).

1.5.2.2 Proses Penyelesaian Masalah Matematik

Belajar menyelesaikan masalah ialah elemen utama dalam pembelajaran matematik. Kebanyakan

pelajar lebih menumpukan perhatian pada aspek pengiraan bagi masalah berkaitan tanpa

memahami proses atau kaedah penyelesaian masalah (New Zealand Math, 2003). Kajian yang

dijalankan oleh Third International Mathematical and Science Study (TIMSS) menunjukkan

kebanyakan pengajar matematik di Amerika Syarikat memberi lebih perhatian pada aspek

pengiraan berbanding membangunkan pemahaman pada perkara yang diajar (National Center for

Educational Statistics (NCES), 1996). Kebanyakan pengajar lebih bersedia memberi masalah

yang mudah untuk diselesaikan yang melibatkan nombor yang mudah dikira berbanding masalah

“realistik” atau “kehidupan sebenar” yang lebih sukar untuk diselesai kerana melibatkan nombor

kompleks dan sukar untuk ditangani (Kimmins & Bouldin, 1996).

Dengan mengguna SAK, penumpuan tidak lagi perlu kepada kesukaran dalam melakukan

pengiraan matematik. Masalah yang tidak dapat diselesaikan sebelum ini kerana kerumitan

pengiraan, sekarang dapat diselesaikan dengan mengguna SAK. Permasalahan akan lebih mudah

difahami dan ditangani apabila dilihat daripada pelbagai perspektif berbanding penumpuan

kepada aspek pengiraan sahaja. Sudah menjadi kebiasaan kita menerima hasil pengiraan dan

hujah sebagai sesuatu yang benar. Hanya segelintir daripada kita sanggup mengesahkan

kebenaran jawapan tersebut melalui kaedah pengiraan yang lebih panjang (Khairina Atika, 2004;

Noor Aini, 2004).

13

SAK membebaskan kita daripada kerja manual dan berulang-ulang supaya penumpuan

lebih kepada membina pemahaman dan penyelesaian melalui pengiraan alternatif. Kini lebih

mudah menunjukkan kesangsian dan mempersoal kesahihan pengiraan (Khairina Atika, 2004;

Noor Aini, 2004). Di alaf baru ini, proses pembelajaran dalam matematik dan sains perlu

bergerak daripada proses pembelajaran berasaskan hafalan ke proses pembelajaran berasaskan

pemahaman. Dalam kajian ini, kami ingin membangun ILMEV bagi membantu penyelesaian

masalah matematik dengan memberi tumpuan kepada pelbagai masalah yang mudah kepada

masalah yang realistik.

1.5.2.3 Penaakulan Matematik

Penaakulan matematik diguna oleh pelajar bagi menganalisis situasi matematik dengan

membentuk andaian, mendapatkan pembuktian, membangunkan hujah dan akhirnya,

menghasilkan keputusan atau penyelesaian. Dalam usaha mencari penyelesaian, pelajar membuat

andaian dan keputusan berdasarkan nilai input yang diterima. Keputusan yang dibuat adalah

hasil daripada proses penaakulan (Ministry of Education, Malaysia 1998, 2002). Terdapat dua

jenis penaakulan: penaakulan induktif dan penaakulan deduktif. Dalam penaakulan induktif,

keputusan dibuat berdasarkan contoh yang tepat. Keputusan ini dipanggil andaian atau tekaan

yang tepat. Andaian ini boleh menjadi benar atau sebaliknya. Dalam penaakulan deduktif,

keputusan dibuat berdasarkan fakta yang terbukti dan peraturan logik. Dengan mengguna fakta

yang terbukti bagi contoh yang tepat, pelajar boleh menghasilkan keputusan dan penyelesaian

yang betul (Ministry of Education, Malaysia 1998).

Penaakulan dan pembuktian matematik merupakan aspek yang penting dalam matematik.

Dalam menyelesaian masalah matematik, adalah sangat penting untuk mempunyai sikap ingin

tahu dengan bertanya soalan seperti “Adakah jawapan munasabah?”, “Adakah ia betul?”,

14

“Adakah ia unik”, “Kenapa saya fikir saya mendapat penyelesaian yang betul?”, “Adakah

terdapat penyangkal?”. Soalan seperti ini dapat membantu kita untuk berfikir secara logik dan

kritis dalam proses penaakulan sama ada untuk menerima penyelesaian atau sebaliknya

(Khairina Atika, 2004; Noor Aini, 2004). Bagaimanapun, kebanyakan SAK pada masa kini

hanya mampu memberi penyelesaian tanpa penjelasan bagaimana penyelesaian tersebut

diperolehi. Pengguna perlu menentukan sama ada jawapan tersebut betul atau sebaliknya dengan

mengguna cara lain seperti menyelesaikan mengikut langkah-langkah masalah menggunakan

pensil dan kertas. Dalam kajian ini, kami ingin membangunkan ILMEV yang boleh memaparkan

langkah-langkah dalam mendapatkan penyelesaian bagi membantu dalam proses penaakulan.

1.5.2.4 SAK dan Teknologi Multimedia

Teknologi multimedia menyediakan persekitaran yang merangsangkan dalam pengajaran dan

pembelajaran matematik. Teknologi ini mengalakkan penerokaan, ekspresi kendiri dan perasaan

memiliki dengan membenar pengguna memanipulasi komponen tersebut. Persekitaran

pembelajaran multimedia yang aktif memupuk komunikasi, kerjasama dan usaha sama antara

pengajar dan pelajar. Hasilnya, multimedia menjadikan pembelajaran itu merangsangkan,

menarik dan menyeronokkan (Khairina Atika, 2004; Lamb, 1992; Noor Aini, 2004).

Satu kajian telah dijalankan di Taiwan (Ma, 1994) bagi membandingkan pengajaran

multimedia yang diubah suai dengan pengajaran tradisional terhadap pencapaian dan

kepercayaan penyelesaian masalah matematik. Semasa kajian dijalankan, pelajar dalam

persekitaran multimedia memberi lebih perhatian kepada bahan pengajaran daripada pelajar

dalam kelas tradisional, tanpa mengira jantina. Ini mencerminkan atau membuktikan bahawa

kepekaan dan penambahbaikan persekitaran pembelajaran meningkatkan sifat ingin tahu dan

minat untuk menyelesaikan masalah. Oleh itu, penyampaian multimedia disarankan sebagai alat

15

bantuan kepada pembelajaran matematik tradisional. Salah satu matlamat dalam kajian ini adalah

untuk mengintegrasi teknologi multimedia dalam pembangunan ILMEV bagi meningkatkan

minat pengguna kepada matematik.

1.6 OBJEKTIF KAJIAN

Objektif kajian ini adalah berdasarkan masalah kajian yang telah dinyatakan dalam bahagian 1.5:

1.6.1 Geometri 2D: Pengiraan Analitik Kamiran Multidimensi

Salah satu daripada banyak pengiraan asas dan visualisasi daripada analisis yang sukar dilakukan

dalam semua SAK ialah untuk mengira kamiran terhadap lengkung, permukaan dan isipadu dan

untuk mengunakan kamiran multidimensi hasil teorem kebarangkalian, teorem Green, teorem

Stokes dan teorem kecapahan. Dalam kajian ini, kami akan mengilustrasi kedua-dua program

pemodelan geometrik dan algoritma Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) bagi set

algebra tahap terendah yang diperlukan bagi menjadikan SAK lebih berguna kalkulus, dan

seterusnya untuk menyelesaikan pelbagai masalah analisis.

1.6.2 Teknik Penyelesaian Masalah Matematik

Mengajar matematik adalah tugas yang sukar. Setiap pelajar mempunyai satu set pengalaman

dan kebolehan yang tersendiri untuk menyelesaikan tugas tertentu (Souviner, 1989). Dalam

kajian ini, kami memperkenalkan beberapa kaedah pengajaran bagi membantu pengguna dalam:

i. memahami konsep matematik dan membina kemahiran, ii. proses penyelesaian masalah dan iii.

membina penaakulan matematik. Bagaimanakah alat pembelajaran seperti ILMEV dapat

membantu? Apakah konsep yang perlu digunakan dalam gaya pengajaran?. Ini adalah antara isu-

isu yang menarik perhatian kami. Kami memutuskan untuk menggunakan konsep pedagogi

berikut dalam pembangunan ILMEV bagi mencapai objektif ini:

16

i. Interaktiviti, visualisasi dan pengujikajian.

SAK sangat dinamik dengan membenarkan pembentukan penyampaian interaktif dan

pegujikajian pelbagai nilai input dengan berkesan. Visualisasi seperti bentuk grafik,

animasi dan imej pegun, digabungkan dengan kesan bunyi dan pertuturan dalam ILMEV

menjadikan topik lebih mudah difahami. Pengguna juga digalakkan untuk meneroka

kemudahan dalam ILMEV seperti mengklik butang-butang yang bersesuaian.

ii. Kepelbagaian penyampaian

Kepelbagaian penyampaian dalam bentuk elemen multimedia seperti simbolik, berangka,

teks, grafik, bunyi, animasi dan imej pegun diguna dalam mengambarkan persembahan

daripada pelbagai perspektif. Sebagai contoh, pengguna digalakkan untuk meneroka

kepelbagaian penyampaian fungsi tanpa menumpukan pada aspek angka sahaja.

Pengguna membina pemahaman tentang kemahiran dan konsep matematik melalui proses

menghubungkan maklumat baru dengan yang lama atau sedia ada. Pengguna dapat melihat

hubung kait antara penyampaian sekiranya mereka dapat melihat kaedah maklumat dibentuk

dalam penyampaian tersebut dan kemudiannya, mampu menghasilkan penyampaian yang lain

dan sebagainya (Santos & Manuel, 2000). Penyelidikan ke atas sekumpulan pelajar yang

melakukan tatacara berangka, grafik dan simbolik dalam persekitaran berbeza mendapati bahawa

kebanyakan pelajar mampu menghubungkan antara penyampaian (Kimmins & Bouldin, 1996).

Memahami proses penyelesaian masalah dianggap sebagai komponen penting dalam

pendidikan matematik (National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1980, 1989).

Tetapi hakikatnya, mengajar dan melatih pelajar aspek pengiraan dan menghafal penyelesaian

masalah bagi tujuan peperiksaan telah menjadi tumpuan dan fokus dalam pengajaran dan

17

pembelajaran (Tengku Zawawi, 2002). Dengan itu, salah satu matlamat ILMEV ialah membantu

pengguna dalam aspek penyelesaian masalah matematik dengan menumpukan kepada:

i. memahami proses penyelesaian masalah berbanding aspek pengiraan dan hafalan

kaedah penyelesaian masalah sahaja,

ii. menyelesaikan masalah “realistik” berbanding terhad kepada “penyelesaian

terbaik” (Kimmins, 1995).

Masalah “realistik” melibatkan pelbagai nilai input (nombor kecil atau besar) yang boleh

ditangani oleh SAK secara berkesan dengan ketepatan yang tinggi.

Beberapa masalah berkaitan matematik sama ada rujukan dalam buku teks atau

kehidupan sebenar menunjukkan penaakulan matematik adalah penting dalam memahami aspek

matematik. Mereka yang terlibat dalam bidang yang berkaitan dengan matematik secara tidak

langsung terlibat dalam penaakulan matematik. Bagaimanakah penaakulan matematik digunakan

dalam ILMEV? Adakah pelajar bersedia untuk mempelajari penaakulan matematik? Adakah

pengajar bersedia untuk mengajar? ILMEV diharap dapat membantu pengajar dalam

memperkenalkan penaakulan matematik dalam kelas dan memotivasi pelajar untuk

bereksperimen dengan pelbagai nilai input supaya mereka dapat membentuk andaian dan

mengguna penaakulan induktif. Mereka juga digalakkan berfikir secara logik dan kritis apabila

menyelesaikan masalah dengan memvisualisasi, menguji dengan pelbagai nilai dan memerhati

langkah dalam mendapatkan penyelesaian.

Kaedah pengajaran mengguna teknologi multimedia seperti teks (perkataan dan nombor),

audio (kesan bunyi, muzik dan pertuturan) dan visual (imej pegun dan animasi) memberi kesan

positif terhadap proses pengajaran berbanding kaedah tradisional menggunakan pensil dan

kertas. Kini, multimedia interaktif digunakan dalam pembangunan perisian pendidikan kerana

18

terbukti ianya lebih dinamik, menyeronokkan, berkesan dan mampu menarik perhatian pengguna

(Herrington & Oliver, 2001). Matlamat projek ini adalah untuk mengintegrasi teknologi

multimedia ke dalam pembangunan ILMEV bagi mengalakkan kepelbagaian penyampaian

dalam pengajaran dan pembelajaran dan seterusnya meningkatkan minat pengguna dalam

matematik.

1.7 PERSOALAN KAJIAN

Berdasarkan objektif yang dinyatakan di atas, persoalan berbangkit yang perlu dijawab dalam

kajian ini ialah (Yaacob, Steinberg & Wester, 2005a, 2005b):

i. Apakah jenis algoritma yang diperlukan untuk mengira kamiran umum dua

dimensi secara berkesan dan bolehkah program tersebut menerangkan langkah-

langkah untuk melakukannya?

ii. Bagaimanakah membantu pengguna menggunakan SAK (Mathematica) dalam

ILMEV tanpa mempelajari sintak-sintaks yang berkaitan?

iii. Bagaimanakah ILMEV perlu berinteraksi dengan pengguna (interaktiviti,

letakkan syarat atau sekatan jika ada dan apabila perlu, mesej ralat mesej

cadangan)?

iv. Bagaimanakah konsep pedagogi digunakan, iaitu, interaktiviti, visualisasi dan

pengujikajian, bagi membantu pengguna dalam menyelesaikan masalah

matematik?

v. Bagaimanakah mengintegrasi elemen multimedia seperti teks, matematik, grafik

(plot mudah dan animasi) dan bunyi bagi mendidik dan merangsang pengguna?

19

1.8 KEPENTINGAN KAJIAN

Hopper (1988) menulis bahawa penggunaan komputer yang berjaya bermakna terdapat manfaat

sebenar dalam mengguna komputer berbanding kaedah lain. Thornborough (1990) menyatakan

selari dengan falsafah asal komputer menyediakan peningkatan dalam pembelajaran dan perlu

ada manfaat yang ketara dalam penggunaanya. Penyelidikan yang dilakukan oleh Abd. Razak,

Abd. Rashid, Abdullah & Puteh (1996) menunjukkan minat pelajar kepada matematik di

Malaysia berkait rapat dengan gaya persembahan pengajar. Walau bagaimanapun, perubahan

dalam pengajaran dan pembelajaran matematik berdasarkan teknologi multimedia terkini akan

menjadi sia-sia melainkan pengajar dan pelajar bersedia untuknya (Cheney, 1997). Diharapkan

pelajar, pengajar, penyelidik dan individu lain memperolehi manfaat daripada ILMEV seperti

yang dinyatakan di bawah:

i. Diharap ILMEV dapat memperkaya pemahaman pelajar dalam asas matematik

dan kaedah-kaedah yang diguna dalam penyelesaian masalah matematik melalui

paparan langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan grafik yang meluas.

ii. ILMEV membenarkan pelajar bereksperimen dengan pelbagai nilai input bagi

meluaskan pemahaman mengenai proses penyelesaian masalah.

iii. Rasa ingin tahu dan minat pelajar dalam menyelesaikan masalah matematik boleh

ditingkatkan melalui kemudahan yang disedia oleh ILMEV.

iv. Pelajar boleh bekerja mengikut kehendak sendiri dan mereka akan menerima

maklum balas berterusan daripada ILMEV.

v. Pelajar menimba pengalaman praktikal apabila menggunakan kaedah yang

dikemukakan bagi menyelesaikan permasalahan dalam kalkulus vektor.

20

vi. Dalam kelas, ILMEV mengalakkan pelajar berinteraksi, bekerjasama dan saling

membantu dalam menyelesaikan masalah dan pelajar yang ketinggalan masih

boleh terus melakukan tugas selepas kelas. Ini akan mewujudkan suasana kelas

yang lebih santai dan membantu dalam mengurangkan masalah ketinggalan

apabila pelajar tidak hadir ke kelas kerana masalah kecemasan seperti sakit.

1.9 SKOP KAJIAN

Skop kajian dinyatakan dalam bab 3. Pengamiran multidimensi dan kalkulus vektor melibatkan

kamiran skalar satu, dua dan tiga dimensi, sifat kamiran pasti, kamiran fungsi skalar pada

lengkung, kamiran fungsi skalar terhadap lengkung, medan vektor, kamiran permukaan dalam

dua dan tiga dimensi dan kamiran isipadu. Kami menyusun atur pelbagai jenis teorem kamiran

dan teorem penyusutan supaya memudahkan diterjemah kepada algoritma komputer.

1.10 METODOLOGI KAJIAN

Metodologi kajian dinyatakan seperti dalam Rajah 1.1. Fasa kajian awal, fasa definisi dan fasa

implementasi dibincang secara terperinci dalam bab 6: Metodologi kajian. Garisan putus-putus

dalam Rajah 1.1 menunjukkan proses ulangan dalam mencari penyelesaian yang optimum.

Fasa Kajian Awal

Fasa Definisi

Fasa Implementasi

Prototaip ILMEV (Versi 1.0)

Rajah 1.1

Struktur pembangunan ILMEV

21

1.11 ORGANISASI KAJIAN

Tesis ini terdiri daripada tujuh bahagian utama. Bab satu menyediakan pengenalan yang mudah

dan ringkas bagi topik penting yang akan dibincang secara terperinci dalam bab berikutnya. Ia

membincangkan latar belakang kajian, multimedia interaktif dalam pengajaran dan pembelajaran

matematik, permasalahan kajian, objektif kajian, persoalan kajian, kepentingan kajian, skop

kajian dan metodologi kajian.

Bab dua ialah ulasan literasi mengenai kajian ini. Latar belakang mengenai pakej atau

perisian kalkulus vektor sedia ada seperti General Vector Analysis (GVA), Vector Calculus &

Mathematica dan vec_calc dibincang. Teori pembelajaran berdasarkan komputer seperti teori

behaviorisme, teori kognitif dan teori humanisme diterangkan. Latar belakang SAK termasuk

definisi, sejarah dan penggunaan dalam pelbagai bidang turut dibincangkan.

Bab tiga membincangkan secara terperinci mengenai skop kajian, seperti pengamiran

multidimensi dan kalkulus vektor yang melibatkan kamiran skalar dalam satu, dua dan tiga

dimensi, sifat kamiran pasti, kamiran fungsi skalar pada lengkung, kamiran fungsi skalar

terhadap lengkung, medan vektor, kamiran permukaan dua dan tiga dimensi dan kamiran

isipadu.

Fokus bab empat pula kepada penyelesaian masalah pengamiran geometri mudah dan

penjelasan mengenai langkah-langkah penyelesaian yang diperolehi secara automatik. Algoritma

bagi melaksanakan tugas ini ialah CAD dan program pemodelan geometri. Kami turut

membincangkan tentang fungsi lain bagi sistem seperti dialog interaktif dan pemplotan.

Bab lima membincangkan stuktur model fungsian sistem ILMEV. Konsep model ILMEV

seperti interaktiviti, visualisasi dan pengujikajian juga dibincangkan dalam bab ini.

22

Bab enam menjelaskan metodologi kajian yang diguna dalam pembangunan ILMEV

yang terdiri daripada tiga fasa. Ia menerangkan secara terperinci fasa kajian awal, fasa definisi

dan fasa implementasi.

Bab terakhir terdiri daripada cadangan dan kesimpulan kajian ini yang merangkumi

kekuatan ILMEV, cadangan penambahbaikan, implikasi kajian dan cadangan kajian pada masa

hadapan.

1.12 KESIMPULAN

ILMEV dibangunkan bagi membantu pengguna dalam pembelajaran matematik seperti

pengiraan umum kamiran dua dimensi secara automatik, mengintegrasi elemen multimedia ke

dalam gaya pengajaran dan pembelajaran, meningkatkan pemahaman terhadap konsep

matematik dan seterusnya, membangunkan kemahiran matematik. Proses penyelesaian masalah

matematik menjadi lebih menarik dan mudah dengan menggunakan konsep pedagogi seperti

interaktiviti, visualisasi dan pengujikajian.

23