BAB 2

ULASAN LITERASI

2.1 PENGENALAN

Matlamat kami adalah untuk membangunkan satu sistem bagi membantu pelajar mengira

kamiran yang dalam kalkulus vektor. Untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik dalam

kalkulus vektor, pelajar mesti belajar menggunakan formula yang bersesuaian dan mempunyai

pemahaman rantau geometri. Kami mulakan dengan kajian terhadap SAK yang terkenal: Derive,

Maple, Mathcad, Mathematica, MuPAD dan REDUCE membincangkan tentang keupayaan SAK

dalam menyelesaikan masalah kalkulus vektor. Kami juga memberi penerangan tentang tiga

pakej kalkulus vektor yang dibangunkan untuk membantu dalam memahami kalkulus vektor:

Vector Calculus & Mathematica (Davis, Porta & Uhl, 1999), General Vector Analysis (GVA)

(Qin, 1999) dan vec_calc (Yasskin & Belmonte, 2003). Selain itu, untuk membangunkan pakej

yang berkesan, ia mestilah berdasarkan teori pembelajaran computer seperti teori behaviorisme,

teori kognitif dan teori humanisme.

2.2 SISTEM ALGEBRA KOMPUTER (SAK)

SAK, perisian komputer yang dibangunkan dalam bidang algebra komputer (penghitungan

simbolik) merupakan enjin matematik bagi membantu mempercepatkan pengiraan asas bagi

algebra, trigonometri dan kalkulus: penilaian, pemfaktoran, pengabungan, pengembangan dan

permudah terma dan ungkapan yang mengandungi simbol, integer, pecahan dan nombor nyata

dan kompleks. SAK seperti Derive, Maple, Mathcad, Mathematica, MuPAD dan REDUCE dapat

melaksana pengamiran, pembezaan, operasi matrik dan vektor, sisihan piawai dan banyak lagi

24

pengiraan kompleks yang terlibat dalam kalkulus, algebra linear, persamaan pembezaan dan

statistik. Selain daripada itu, SAK tersebut juga membenarkan penciptaan plot 2D dan 3D bagi

polinomial, fungsi trigonometri, eksponen dan lain-lain

(http://www.mackichan.com/products/CAS.htm).

Penyampaian objek matematik dalam bentuk pengiraan simbolik berbanding bentuk

berangka telah wujud sejak awal zaman sains komputer. Malah banyak kaedah berangka adalah

berasaskan simbolik. Oleh itu, istilah “penghitungan simbolik” bukanlah baru bagi kaedah

berangka. Sepanjang tahun 1970-an dan 1980-an telah menyaksikan pembangunan persekitaran

yang meletakkan penekanan yang lebih kepada pengiraan objek matematik dalam bentuk tersirat

atau simbolik. Pengiraan simbolik berdasarkan objek yang ditakrif bukan sebagai kuantiti

berangka, tetapi sebagai entiti yang mempunyai ciri-ciri matematik tertentu (Fiume, 1995).

Sebagai contoh, antara sifat-sifat π adalah ia mempunyai penyampaian berangka tidak berhenti

dan tidak berulang. Seorang ahli matematik yang terkenal iaitu Abu Ja’far Muhammad bin Musa

al-Khwarizmi (c. 830), berkata tentang π:

Dan ini adalah anggaran sahaja dan bukan penentuan tepat [bagi π]. Tiada siapa yang

dapat menentukan nilai yang tepat bagiπ dan nilai tepat ukur lilit, kecuali Allah s.w.t.

Lengkung ini [bulatan] tidak lurus maka tidak dapat menentukan nilai tepat melainkan

secara anggaran. Inilah yang dipanggil anggaran sama seperti punca nombor adalah

anggaran sahaja dan bukan nilai sebenar; tiada siapa tahu melainkan Allah s.w.t (Joachim

von zur Gathen & Gerhard, 1999).

Walau bagaimanapun, terdapat beberapa asas hubungan matematik tidak berangka yang

mana π terlibat, contohnya:

25

sin xx

x

formula Leibnitz menyatakan:

dan formula Euler menyatakan ialah:

2

6

n1

1n2

Terdapat banyak lagi hubungan matematik tidak berangka yang wujud. Kesan algebra dalam

menggunakan fungsi tertentu pada juga diketahui umum seperti sin = 0 dan e iπ + 1 = 0

(Fiume, 1995).

Persekitaran yang menyokong pengiraan simbolik memudahkan manipulasi dan

gabungan hubungan-hubungan ini. Output kepada pengiraan simbolik biasanya melibatkan

kuantiti simbolik yang lain seperti kuantiti simbolik bersiri atau objek matematik lain yang

belum dinilai, dalam erti kata penyampaian berangka belum dikira dengan jelas. Keupayaan

untuk menangguhkan penilaian berangka dan menumpukan kepada manipulasi simbolik

membezakan persekitaran pengiraan ini daripada pendekatan berangka secara tradisional. Pada

satu tahap, ungkapan boleh dinilai dan menghasilkan kuantiti berangka, tetapi ini tidak sentiasa

diperlukan atau dikehendaki (Fiume, 1995).

Perkembangan SAK berlaku dalam tiga peringkat. Perintis awal ialah Williams (1961)

ialah PMS yang boleh mengira titik perpuluhan polinomial Gcd. Generasi pertama SAK bermula

akhir 1960-an, terdiri daripada MACSYMA dari kumpulan MATHLAB Joel Moses di MIT,

SCRATCHPAD daripada Richard Jenks di IBM, REDUCE oleh Tony Hearn, dan SAC-I

(sekarang SACLIB) oleh George Collins. MuMATH daripada David Stoutemyer dijalankan

26

mengguna mikropemproses kecil diikuti penggantinya DERIVE boleh didapati pada “hand-held”

T1-92. Penyelidik dan kumpulan masing-masing membangunkan sistem dengan enjin algebra

yang mampu melakukan pengiraan tepat (formal atau simbolik): pembezaan, pengamiran,

pemfaktoran dan lain-lain (Joachim von zur Gathen & Gerhard, 1999).

Generasi kedua bermula dengan Maple oleh Keith Geddes dan Gaston Gonnet dari

Universiti Waterloo pada 1985 dan Mathematica oleh Stephen Wolfram. Mereka mula

menyediakan antara muka moden dengan keupayaan grafik. Gimik dan hebahan di sekitar

pelancaran Mathematica membantu menjadikan sistem ini dikenali ramai secara meluas.

Generasi ketiga: AXIOM, pengganti SCRATCHPAD oleh NAG, MAGMA oleh John Cannon di

Universiti Sydney, dan MuPAD oleh Benno Fuchssteiner di Universiti Paderborn, memasukkan

pendekatan berbeza dan fungsi pengiraan. MuPAD direka untuk mampu beropeasi dalam

persekitaran multipemproses (Joachim von zur Gathen & Gerhard, 1999).

Penyelidikan dan pembangunan SAK hari ini didorong oleh empat matlamat: fungsi

kepelbagaian (keupayaan menyelesaikan pelbagai jenis masalah yang berbeza), mesra pengguna

(antara muka pengguna, paparan grafik), kelajuan (berapa besar masalah boleh diselesaikan

dengan pengiraan rutin, katakan dalam masa satu hari), dan keberkesanan (jawapan yang betul

tanpa merosakkan aturcara). SAK juga mempunyai pelbagai aplikasi dalam bidang yang

memerlukan pengiraan yang membosankan, panjang dan sukar untuk diselesaikan dengan betul

apabila dilakukan secara manual. Sebagai contoh, SAK digunakan dalam fizik tenaga tinggi,

elektrodinamik kuantam, kromodinamik kuantam, orbit satelit dan pengiraan trajektor roket dan

mekanik cakerawala secara am (Joachim von zur Gathen & Gerhard, 1999). Selain itu,

keupayaan menvisualisasi dan menyelesaikan contoh bukan remeh menjadikan SAK lebih

menarik untuk digunakan dalam pendidikan. Banyak topik dalam matematik seperti kalkulus,

27

kalkulus vektor dan algebra linear boleh diilustrasi dengan menarik menggunakan teknologi ini

(Lambe, 1997).

SAK mempunyai idiosinkrasi tersendiri, bermula daripada sintak yang tidak konsisten

kepada kesilapan sebenar. Bagi menggunakan SAK, adalah sangat penting menyedari bukan

sahaja ciri-ciri positif, tetapi kekangan-kekangan sedia ada. Dalam kajian ini, kami merujuk

kepada enam SAK yang terkenal seperti berikut (Cohen, 2003):

2.2.1 Derive

Derive ialah program matematik berkomputer. Ia memproses pembolehubah algebra, ungkapan,

persamaan, fungsi, vektor, dan matrik seperti kalkulator saintifik memproses nombor

perpuluhan. Ia juga boleh melakukan pengiraan berangka dan simbolik, algebra, trigonometri,

kalkulus dan plot graf dua dan tiga dimensi (http://www.derive.com).

Kekuatan utama Derive ialah simbolik algebra dan grafik yang berkeupayaan tinggi. Ia

merupakan alat yang sangat sesuai untuk melakukan dan melaksanakan matematik dan

mendokumenkan kerja-kerja matematik. Derive merupakan alat yang sesuai dalam pengajaran

dan pembelajaran matematik. Ia mampu meningkatkan keupayaan pelajar dalam pemahaman

matematik dengan menyediakan pengamiran berangka, algebra dan grafik. Ia telah terbukti

menyokong pembangunan pemahaman konsep matematik tahap tinggi (Kutzler & Kokol-Voljc,

2003).

2.2.2 Maple

Maple ialah SAK yang mega, asalnya dibangunkan oleh Symbolic Computation Group di

Universiti Waterloo, Kanada dan kini diedarkan oleh Waterloo Maple Inc. Ia merupakan salah

satu daripada SAK yang hampir lengkap di pasaran pada masa kini. Pelaksaaan aplikasi yang

28

sesuai mampu menjimatkan pengiraan secara manual yang panjang, namun meningkatkan

kemungkinan kesilapan (http://www.maplesoft.com).

Maple juga satu bahasa pengaturcaraan (di optimumkan bagi pelaksanaan matematik) dan

alat grafik berkuasa tinggi yang mampu menggambarkan persamaan matematik yang kompleks.

Struktur Maple terdiri daripada tiga komponen: kernel, perpustakaan dan antara muka (Kofler,

1997; Corless, 1995; Schwartz, 1999; Heal, Hansen & Rickard, 1996).

2.2.3 Mathcad

Mathcad dihasilkan oleh Mathsoft Engineering & Education, Inc. Ia ialah alat pengiraan teknikal

untuk profesional, pendidik dan pelajar kolej di seluruh dunia. Ia juga salah satu bahasa

pengaturcaraan serba boleh dan berkuasa tinggi (http://www.mathsoft.com).

Dalam Mathcad, persamaan matematik dilihat seperti mana persamaan tersebut tertera di

papan hitam dan buku rujukan. Sintak Mathcad tidak sukar untuk dipelajari: hanya tunjuk dan

klik dan persamaan akan muncul. Persamaan Mathcad dapat menyelesaikan pelbagai masalah

simbolik dan berangka. Pengguna boleh meletakkan teks di mana sahaja di sekeliling persamaan

untuk mendokumenkan kerja-kerja dan menvisualisasi persamaan dua dan tiga dimensi dengan

plot Mathcad (Mathcad 11 User’s Guide, 2002).

2.2.4 Mathematica

Mathematica merupakan SAK yang mega, dibangunkan oleh Wolfram Research Inc.

Dikeluarkan buat pertama kali pada tahun 1988, ia telah memberi kesan mendalam kepada cara

komputer digunakan dalam pelbagai bidang seperti sains fizik, sains biologi, sains sosial,

kejuruteraan, perdagangan dan sains komputer (http://www.wolfram.com). Pencipta

Mathematica, Wolfram (1999), berkata:

29

Sejak tahun 1960-an pakej tersendiri telah wujud bagi numerik, algebra, grafik dan tugas-

tugas lain. Tetapi konsep berwawasan Mathematica adalah untuk mewujudkan satu

sistem tunggal bagi mengendalikan pelbagai aspek pengiraan teknikal dalam cara yang

jelas dan berseragam. Kunci utama kepada kejayaan ini adalah penciptaan bahasa

pengaturcaraan simbolik yang baru yang mampu memanipulasi pelbagai persamaan yang

melibatkan pengiraan teknikal menggunakan hanya beberapa persamaan asas.

2.2.5 MuPAD

MuPAD dibangunkan kebanyakan di Universiti Paderborn, German, adalah moden, berciri

penuh SAK dalam persekitaran bersepadu dan terbuka bagi pengiraan simbolik dan berangka. Ia

mempunyai antara muka yang selesa termasuk alat grafik untuk visualisasi, debugger peringkat

sumber dan bantuan hiperteks. Ia diperkenalkan untuk ahli matematik, jurutera, ahli sains

komputer dan umumnya kepada mereka yang memerlukan pengiraan matematik untuk

pendidikan atau profesion (http://www.sciface.com).

Terdapat dua cara untuk menggunakan MuPAD. Pertama, pengguna boleh memanggil

fungsi sistem yang disediakan secara interaktif. Sebagai contoh, pengiraan kamiran simbolik

boleh dibuat dengan memanggil fungsi yang sesuai untuk melaksana tugas itu. Kedua, mereka

boleh menggunakan bahasa pengaturcaraan MuPAD bagi menambah fungsi kepada sistem

dengan melaksanakan algoritma mereka sendiri yang dijadikan sebagai prosedur MuPAD. Ini

berguna untuk aplikasi khas sekiranya tiada fungsi sedia ada yang sesuai (Gerhard, Oevel, Postel

& Wehmeier, 2000).

2.2.6 REDUCE

REDUCE adalah satu program interaktif yang direka untuk pengiraan am algebra terutamanya

kepada ahli matematik, saintis dan jurutera. Keupayaannya termasuk pengembangan dan susunan

30

polinomial dan fungsi rasional, penggantian dan padanan corak dalam pelbagai bentuk,

mengawal permudah ungkapan secara automatik atau pengguna, pengiraan matriks simbolik,

integer ketepatan rawak dan aritmetik nyata, kemudahan menambah fungsi-fungsi baru dan

mengembangkan sintaks, analisis pembezaan dan pengamiran, pemfaktoran polinomial dan

kemudahan penyelesaian pelbagai persamaan algebra (Neun, 2000).

Untuk maklumat lanjut mengenai SAK di atas, sila rujuk Lampiran A (Wester, 1999).

2.3 KEUPAYAAN SAK DALAM PENGAMIRAN MULTIDIMENSI DAN

KALKULUS VEKTOR

Dalam kajian ini, kami menyediakan jadual perbandingan (rujuk Jadual 2.1) yang terdiri

daripada SAK yang disebut di atas (Wester, 1999). Jadual ini bertujuan untuk menyediakan

penanda aras perbandingan keupayaan SAK dalam pengamiran multidimensi dan kalkulus

vektor. Daripada jadual tersebut, didapati semua enam SAK tidak mempunyai keupayaan untuk

menyelesaikan kamiran 2D umum sebagai jumlah kamiran lelaran. Sebagai contoh, tidak ada

daripada enam SAK tersebut berkeupayaan menyelesaikan keluasan persilangan ketaksamaan

berikut y ≤1+x , y≤ 1−x , y ≥−1+x , y≤ 0.5 , y≥−1−x dan y ≥−0.5 secara automatik.

Jadual 2.1

31

Jadual perbandingan keupayaan SAK pengamiran multidimensi dan kalkulus vektor

Operasi matematik De Mp Mc Mm Mu Re

1 Kamiran selang: f dx

A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1

2 Kamiran lengkung:C f ds

A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2

3 Kerja:C F dR

A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2

4 Kamiran kawasan: f dA

a Kamiran lelaran A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1

b Kamiran kawasan 2D umum sebagai jumlah kamiran lelaran

C3 C3 C3 C3 C3 C3

5 Kamiran permukaan:S f dS

A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2 A1, C2

6 Kamiran isipadu (kamiran lelaran):V f dV

A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1 A1, C1

Catatan:

(i) Ketepatan (A) penyelesaian:

A1 Penyelesaian yang betul

A2 Kejayaan separa, sebahagiannya tidak betul

(ii) Keupayaan (C) untuk melaksanakan tugas:

C1 Mudah (fungsi dalaman wujud)

C2 Tidak begitu mudah (perlu pengaturcaraan)

C3 Tidak mempunyai keupayaan

(iii) SAK:

32

De Derive 6

Mp Maple 9

Mc Mathcad 11

Mm Mathematica 5.2

Mu MuPAD Pro 3.0

Re REDUCE 3.8

2.4 PERISIAN/PAKEJ KALKULUS VEKTOR

Dalam bahagian ini, kami membincangkan secara ringkas tiga perisian atau pakej kalkulus

vektor yang sedia ada yang terkenal yang tidak terbenam dalam SAK:

2.4.1 Vector Calculus & Mathematica (VC & M)

Sepanjang pengajaran mereka dalam kursus matematik seperti kalkulus, kalkulus vektor dan

teori matriks, Profesor Bill Davis (Ohio State University, USA), Profesor Horacio Porta

(University of Illinois, USA) dan Profesor Jerry Uhl (University of Illinois, USA), telah melihat

pelajar dan dunia berubah, sementara matematik dan kaedah pengajaran masih tidak berubah.

Pelajar dan bekas pelajar mereka bersetuju bahawa matematik yang dipelajari tidak memenuhi

keperluan mereka, tidak cukup menarik dan menyeronokkan dan diikuti hanya untuk memenuhi

prasyarat. Oleh itu, ketiga-tiga professor tersebut mula menulis dan mengajar kursus matematik

berdasarkan pengajaran elektronik interaktif. Mereka mahu pelajar memahami dan menghargai

konsep asas matematik serta dapat menyelesaikan masalah matematik. Mereka mahu melibatkan

pelajar dalam keseronokan pembelajaran matematik dan merangsang mereka tentang

kepelbagaian kemungkinan tersebut, sementara menegaskan asas yang kukuh disamping

membenarkan gerak hati. Produk yang dihasilkan adalah perisian Vector Calculus &

Mathematica (Davis, Porta & Uhl, 1999).

33

Berdasarkan pengalaman mengajar mereka, professor-professor tersebut mendapati

bahawa bagi sesetengah pelajar, pembelajaran matematik mengguna cara tradisional adalah

sesuai, tetapi malangnya tidak kepada semua pelajar. Adakah pelajar yang tidak memahami

matematik kurang pandai? Mengapa mereka tidak berupaya melakukannya dengan baik?

Siapakah yang dapat melakukannya dengan baik? Jawapannya ialah kebanyakan pelajar

memproses maklumat (fizikal) berbeza berbanding pelajar yang dianggap sebagai bijak

matematik. Oleh itu, tujuan penciptaan VC&M merupakan satu usaha ke arah menjadikan idea-

idea matematik seperti kalkulus, kalkulus vektor dan teori matrik lebih jelas dengan gaya

pembelajaran yang berbeza. Kumpulan sasaran perisian ini secara amnya kepada "visual learner"

(Davis, Porta & Uhl, 1999).

Kandungan VC&M dibahagi kepada dua bahagian. Bahagian pertama terdiri daripada

topik kalkulus seperti pemplotan berparameter, kamiran 2D dan formula Gauss-Green. Bahagian

kedua terdiri daripada topik kalkulus vektor seperti vektor, sifat garis lurus, kecerunan, medan

vektor 2D dan trajektorinya, ukuran aliran oleh kamiran, sumber, mendapan, putaran dan

tunggal, mengubah kamiran 2D, mengubah 3D, koordinat sfera, pengukuran permukaan 3D dan

aliran 3D (Davis, Porta & Uhl, 1999).

VC&M terdiri daripada empat modul (Davis, Porta & Uhl, 1999):

i. Basics

Modul ini untuk idea baru asas kandungan Vector Calculus & Mathematica.

ii. Tutorials

Modul ini mengandungi sampel-sampel asas.

iii. Give It a Try

34

Modul ini menyediakan persamaan kepada pengguna untuk diselesaikan sama ada

mengguna komputer atau sebaliknya. Pengguna belajar perisian ini melalui

penyelesaian kepada persamaan dalam modul ini. Modul Give It a Try adalah nadi

kepada perisian ini.

iv. Literacy Sheet

Persamaan dalam modul ini menyediakan permasalahan untuk pengguna yang telah

Berjaya menyelesaikan persamaan dalam modul Give It a Try yang ditugaskan.

Penyelesaian ini boleh dilakukan oleh pengguna ketika waktu lapang.

Modul Basics dan Tutorials dipenuhi dengan kod-kod Mathematica di mana pengguna

boleh salin, tampal, edit dan disesuaikan untuk keadaan yang diingini. Menyalin, menampal dan

mengedit kod-kod Mathematica mengurangkan keperluan untuk mempelajari Mathematica dan

menjadikan VC&M mudah untuk diterokai. Pengguna tidak perlu menaip semula kod-kod

Mathematica.

Menyalin, menampal dan mengedit memainkan peranan penting dalam sistem VC&M.

Pengguna mesti tahu bila dan apa yang ingin disalin, apa yang perlu diedit dan memahami hasil

yang diperolehi. Aktiviti ini mengelakkan daripada pengaturcaraan Mathematica. Penggunaan

salin, tampal dan edit mengukuhkan pemahaman matematik. Pengguna perlu memahami kod-

kod yang disalin dan ditampal bagi memahami pengiraan yang dibuat. Apabila mereka menyalin,

menampal dan mengedit, mereka perlu membaca arahan kandungan matematik dan

mempersoalkan apa yang terlibat dalam pengiraan tersebut, bagaimana pengiraan tersebut

dilakukan, dan apa kaitannya dengan masalah yang di tangani.

Dalam menggunakan perisian ini, pengguna bebas untuk mengguna mana-mana kaedah

yang sesuai. Pengguna digalakkan untuk mencuba pendekatan yang berbeza sehingga mendapat

35

kaedah yang sesuai dan terbaik. Walau bagaimanapun, dua pendekatan yang digalakkan oleh

penulis (Davis, Porta & Uhl, 1999):

i. Pendekatan Rawak

Pengguna boleh melayari Give It a Try untuk mendapatkan permasalahan dan kemudian

meneroka Basics dan Tutorials bagi mencari idea-idea, teknik-teknik dan kod-kod

Mathematica yang akan membantu dalam menyelesaikan permasalahan. Hampir kesemua

permasalahan mempunyai penyelesaian dalam Basics dan Tutorials.

ii. Pendekatan Langkah demi Langkah

Pengguna memulakan dengan modul Basics dan Tutorials sebelum menyelesaikan

permasalahan dalam modul Give It a Try.

Terdapat beberapa teknik penyelesaian kepada permasalahan Give It a Try (Davis, Porta

& Uhl, 1999):

i. Pembelajaran melalui pengeditan dan pengujikajian kod sedia ada.

Ramai bakal pengguna SAK tertekan dengan sintak kod pengaturcaraan yang rumit.

Mereka merasakan ada keperluan mengambil kursus dalam bahasa pengaturcaraan untuk

menggunakan SAK. VC&M menyelesaikan masalah ini dengan menyediakan

kemudahan menyalin, menampal dan mengedit daripada modul Basics dan Tutorials.

Sebagai contoh, di bawah ialah kod Mathematica yang terdapat dalam modul Basics dan

modul Tutorials untuk plot f(x) = sin x for -2 x 2 :

Clearf, x;fx_ SinxPlotfx,x, 2 , 2 ,

PlotStyleThickness0.015, DarkGreen, AspectRatio 13;

Sin[x]

36

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

Kini, hasil kod yang diperolehi daripada menyalin dan menampal semula kod di atas dan

kemudian menyunting huruf merah, iaitu, mengubah Sin[x] kepada Cos[x], untuk

menyampaikan plot f(x) = cos x untuk -2 x 2.

Clearf, x;fx_ CosxPlotfx,x, 2 , 2 ,

PlotStyleThickness0.015, DarkGreen, AspectRatio 13;

Cos[x]

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

Pengguna boleh meneruskan pengujikajian dengan plot fungsi lain. Bagaimanakah saiz a

untuk a cos(x) di mana a R, mempengaruhi sifat plot yang terhasil? Bagaimanakah plot

yang terhasil daripada negatif a berbeza dengan sifat yang terhasil daripada positif a?

Pengguna memperolehi pemahaman tambahan apabila menyalin kod Mathematica yang

terdapat dalam modul Basics dan modul Tutorials dan mengujikaji secara berulang-ulang

dengan mengubah nilai-nilai yang sesuai.

ii. Visualisasi

Satu kelebihan pembelajaran menggunakan VC&M adalah pengguna berpeluang

mempelajari melalui grafik berinteraksi dengannya. Kelebihan pembelajaran melalui

visual ke atas teks ialah teks hanya mampu diterjemahkan kepada idea setelah idea asal

37

sudah terdapat dalam minda pengguna. Terdapat beberapa peringkat dalam proses

pembelajaran ini: Lazimnya, mereka akan mudah memahami konsep matematik apabila

permasalahan diterjemah dalam bentuk visual. Kemudian mereka menerangkan konsep

tersebut ke dalam bentuk teks. Akhirnya, untuk melakukan pengiraan, mereka mesti

mampu menterjemahkan gambar dan teks kepada persamaan matematik.

iii. Menggunakan bahan bercetak bagi menyokong pengajaran elektronik.

Bagi kebanyakan pelajar, ia bukan tindakan bijak untuk melahirkan idea-idea baru

dengan membaca bahan bercetak terlebih dahulu. Hanya segelintir pelajar sahaja yang

memahami matematik melalui bahan bercetak, melebihi apa yang dipelajari di dalam

kelas. Kemungkinan besar pelajar tidak dapat mempelajari hanya dengan membaca bahan

bercetak. Berinteraksi dengan modul Basics dan modul Tutorials mampu menghasilkan

idea-idea yang baru. Apa yang tertera di skrin member impak yang besar berbanding

bahan bercetak. Ini kerana mereka tidak boleh berinteraksi dengan bahan yang bercetak.

Pembelajaran berkomputer memberi kebebasan mengunakan idea-idea untuk

bereksperimen, bermain, dan membuat kesilapan.

iv. Hafalan prosedur pengiraan.

Pembelajaran tidak pernah berlaku melalui hafalan. Sebaliknya, hafalan yang didahului

pemahaman kekal ke dalam ingatan jangka panjang. Dengan menggunakan perisian ini,

pengguna belajar melalui percubaan dan penemuan. Mereka berpeluang meluahkan idea-

idea matematik. Semua ini melahirkan pengetahuan jangka panjang, bukan sekadar

menghafal prosedur pengiraan yang sangat mudah dilupakan.

v. Menggunakan pemproses perkataan dalam Mathematica

38

Apabila pengguna menyelesaikan permasalahan dalam modul Give It a Try, mereka

digalakkan mengguna pemproses perkataan dalam Mathematica untuk menulis nota

terhadap tugasan tersebut. Kelebihan mencatat nota yang jelas memudahkan pengguna

kembali untuk memahami apa yang telah mereka lakukan untuk menyelesaikan masalah

tersebut.

vi. Menggunakan Literacy Sheets

Pengguna boleh menggunakan Literacy Sheets selepas mereka menyelesaikan

permasalahan dalam modul Give It A Try. Disarankan pengguna mencari jawapan kepada

permasalahan di dalam Literacy Sheets melalui sistem atau buku teks, tanpa

pengantungan sepenuhnya kepada sistem. Setelah mereka selesai dengan pembelajaran,

perlu menjawab permasalahan dalam Literacy Sheets secara lisan atau menggunakan

pensil dan kertas. Ini adalah cara terbaik untuk "menggilap" pengetahuan mereka. Ia juga

merupakan cara yang terbaik untuk meningkatkan kemahiran menyelesaikan masalah

secara bertulis. Selain itu, pengguna boleh berkumpul dengan pengguna modul Literacy

Sheets yang lain membincangkan pembelajaran matematik.

Ramai yang mempunyai tanggapan bahawa mereka mampu meyelesaikan permasalahan

matematik secara manual sebelum mereka layak melakukannya dengan komputer. Tanggapan ini

adalah tidak benar sama sekali. VC&M memudahkan pengguna belajar secara visual melalui

grafik dan pengiraan automatik yang sukar dilakukan secara manual. Dalam erti kata lain,

pengguna tidak boleh belajar secara visual dengan menggunakan pensil dan kertas. Sebaik sahaja

mereka bebas daripada pengiraan manual, mereka bebas untuk memahami asas matematik dan

kebaikan matematik. Pengiraan manual, seperti yang dijelaskan dalam modul Literacy Sheets,

39

diguna pakai setelah pembelajaran menggunakan mesin. Pengiraan manual tanpa pemahaman

adalah sia-sia (Davis, Porta & Uhl, 1999).

Walau bagaimanapun, dengan tahap pembangunan manusia masa ini dan kemajuan

teknologi yang digunakan dalam pembelajaran dan pengiraan, komputer merupakan alat baru

yang canggih. Tetapi itu tidak bermakna alat-alat seperti pensil dan kertas dilupakan. Ia

bermakna pengguna melakukan kerja-kerja yang lebih mencabar menggunakan komputer dan

melakukan pengiraan mudah dan penerangan konsep di atas kertas. Satu kajian yang dilakukan

oleh Kolej Pendidikan di Universiti Illinois, mendapati adalah mustahil untuk membezakan

pelajar VC&M daripada pelajar tradisional berdasarkan keupayaan mereka dalam pengiraan

manual (Davis, Porta & Uhl, 1999).

2.4.2 GENERAL VECTOR ANALYIS (GVA)

Banyak masalah dalam fizik plasma melibatkan sejumlah besar pengiraan vektor analitik.

Kerumitan tersebut biasanya berasal daripada operasi vektor itu sendiri dan sistem asas koordinat

yang diguna pakai. Satu pakej SAK dikenali General Vector Analysis (GVA) (Qin, Tang &

Rewoldt, 1999), dibangunkan di Makmal Fizik Plasma Princeton, Universiti Princeton, Amerika

Syarikat, digunakan untuk melaksanakan pengiraan automatik simbolik analisis vektor 3D dalam

sistem koordinat umum. Sistem koordiant umum adalah sistem koordinat yang ditakrif dan

mempunyai Jacobian adalah tidak pupus. Ini termasuk sistem koordinat ortogon seperti koordinat

Cartesan, koordinat silinder, dan koordinat sfera, dan juga lain-lain sistem koordinat bukan

ortogon seperti koordinat fluks yang digunakan secara meluas dalam peranti gabungan haba.

Hasil kalkulus vektor 3D digunakan untuk memudahkan dan menyatukan algoritma.

Koordinat umum ditakrifkan oleh matriks Reimann metrik yang dinyatakan dalam koordinat itu

sendiri. Medan vektor adalah isotop kepada satu format (komponen kovarian) di bawah 3D dan

40

imej pula di bawah bintang pengendali “Hodger star operator” (komponen kontravarian). Semua

operator kalkulus vektor boleh diungkapkan ke dalam persamaan pembezaan mudah dan

bersepadu. Untuk mendaftarkan koordinat baru, pengguna hanya perlu mentakrif matriks

Reimann metrik untuk koordinat tersebut.

Pengguna pakej ini tidak perlu memahami teori matematik ini, melainkan mereka mahu

membangunkan sistem koordinat baru. Pengguna harus sedar hakikat bahawa di dalam pakej ini

vektor adalah senarai 2x3, bahagian pertama yang merupakan komponen kovarian dan bahagian

kedua adalah komponen kontravarian.

Beberapa fungsi asas dalam pakej ini:

i. Analisis vektor dalam koordinat umum

ii. Tentukan koordinat

iii. Perturbative Analisis vektor untuk parameter kecil, contohnya, aspek nisbah

songsang dalam tokamak.

iv. Analisis vektor dalam koordinat Shafranov, koordinat fluks, koordinat tokamak

lurus, koordinat tokamak membulat dan lain-lain.

2.4.3 vec_calc

Pakej Maple ini ditulis oleh Philip Yasskin dan Arthur Belmonte (2003) daripada exas A & M

University, Texas, Amerika Syarikat. Ia menyediakan prosedur untuk pengiraan kalkulus vektor

seperti operasi pembezaan vektor, kamiran lengkung, kamiran garis dan permukaan dan

penukaran sistem koordinat. Pakej ini telah ditulis mengiringi buku: Multivariable CalcLabs with

Maple for Stewart’s Multivariable Calculus, edisi kelima (Yasskin & Belmonte, 2003).

2.5 KEUPAYAAN PAKEJ/ PERISIAN KALKULUS VEKTOR

41

Dalam usaha untuk mengenal pasti keupayaan pakej/ perisian kalkulus vektor sedia ada seperti

yang disebut di atas dan bagi menyediakan penanda aras pembangunan masa hadapan ILMEV,

satu jadual kajian telah disediakan (rujuk Jadual 2.2). Kami berharap untuk terus membangunkan

ILMEV berdasarkan jadual tersebut (rujuk kepada lajur untuk ILMEV).

Jadual 2.2

Jadual kajian keupayaan pakej/ perisian kalkulus vektor sedia ada dan ILMEV

VC&M GVA vec- calc ILMEV

1. Memplot fungsi.Untuk mendaftar fungsi, perlu diketahu kod-kod yang sesuai:

i. mentakrif fungsiii. mentakrif domain sesuaiiii. mentakrif ci-ciri lain seperti label x dan paksi f(x) dan ketebalan dan warna garis

YaYaYa

YaYaYa

YaYaYa

TidakTidakTidak

2. Keterangan dan langkah-langkah mendapatkan penyelesaian secara automatik

Tidak Tidak Tidak Ya

3. Pengiraan pelbagai masalah pengamiran geometri secara automatik

Tidak - Tidak Ya

4.Penerangan pengiraan analitik kamiran multidimensi Tidak - Tidak Ya

5. Penerangan output keseluruhan proses penyelesaian masalah secara automatik

Tidak Tidak Tidak Ya

6. Mempelajari konsep matematik da membina kemahiran tanpa pemahaman SAK di sebaliknya

Tidak Tidak Tidak Ya

7. Pengintegrasian elemen multimedia untuk membantu dalam proses penyelesaian masalah:

i. Teksii. Grafikiii. Bunyiiv. Animasi

YaYa

Tidak Tidak

YaYa

TidakTidak

YaYa

TidakTidak

YaYaYaYa

8. Menyalin, menampal dan mengedit kod-kod Ya Ya Ya Ya

9. Pembelajaran melalui pengujikajian dengan nilai input yang berbeza

Ya Ya Ya Ya

10. Melakukan tugas tertentu dengan mengklik butang Tidak Ya Tidak Ya

11. Pendekatan rawak dalam pengajaran dan pembelajaran

Ya Ya Ya Ya

42

2.6 TEORI PEMBELAJARAN BERDASARKAN KOMPUTER

Teori asas pembelajaran yang melibatkan penggunaan teknologi komputer seperti teori

behaviorisme, teori kognitif dan teori humanisme, adalah penting untuk memastikan

keberkesanan proses pembelajaran. Oleh itu, dalam kajian ini kami mengabungkan teori

pembelajaran berasaskan komputer dalam pembangunan ILMEV untuk mencapai objektif

penyelidikan kami seperti yang dinyatakan sebelum ini.

2.6.1 Teori Behaviorisme

Teori Behaviorisme telah diperkenalkan oleh John B. Watson. Teori ini menerangkan

pembelajaran sebagai perubahan tingkah laku yang boleh dilihat dan diukur. Selain itu, tingkah

laku juga boleh dikawal dengan mengenakan peraturan, atau digalakkan melalui pengukuhan.

Skinner, ahli teori behaviorisme, menambah bahawa apabila reaksi dihasilkan tanpa sebarang

rangsangan awal dan kemudian, dan pengukuhan positif dikenakan seperti ucapan pujian atau

motivasi, kebarangkalian tindak balas akan berulang adalah tinggi. Sebaliknya, jika tindak balas

diikuti dengan hukuman atau celaan, kebarangkalian tindak balas akan berulang adalah rendah.

Pengajar juga dinasihatkan untuk menyerahkan bahan pengajaran secara berperingkat-peringkat

dan memberi tindak balas segera kepada setiap perlakuan yang ditunjukkan oleh pelajar (Amir,

1986; Ee, 1994; Rothstein, 1990; Slavin, 1997).

Dalam kajian ini, ILMEV telah dibangunkan untuk membantu pengguna dengan

menggunakan beberapa konsep dalam teori behaviorisme seperti rangsangan positif (pujian dan

kata-kata motivasi), memperkenalkan proses matematik secara berperingkat-peringkat, memberi

maklum balas yang berterusan dan segera.

2.6.2 Teori Kognitif

43

Teori pembelajaran penemuan adalah teori kognitif yang diperkenalkan oleh Bruner. Teori ini

menekankan kepada proses memperkasakan kefahaman untuk memastikan keberkesanan

pembelajaran. Telah diketahui umum bahawa struktur asas atau gaya pembelajaran subjek dibina

di atas konsep pengajaran subjek tersebut. Oleh itu, pengajar disarankan menjalankan aktiviti-

aktiviti yang menarik ketika pengajaran dan pembelajaran berlangsung agar konsep subjek

tersebut mudah difahami. Ini akan meningkatkan pemahaman konsep matematik dan seterusnya,

mengukuhkan keupayaan pelajar untuk menghafal dan menikmati proses pembelajaran (Amir,

1986; Ee, 1994; Rothstein, 1990; Slavin, 1997).

Dalam ILMEV, kami memperkenalkan aktiviti-aktiviti menarik seperti visualisasi graf,

bermain (bereksperimen) bersama fungsi dengan membenarkan kemasukan pelbagai nilai input

dan memperolehi langkah-langkah mendapatkan penyelesaian. Aktiviti-aktiviti ini

menggalakkan "penemuan" konsep tertentu matematik semasa proses pembelajaran.

2.6.3 Teori Humanisme

Teori pembelajaran humanisme tertumpu kepada minda dan emosi pelajar, dan pemerhatian dan

tafsiran pelajar bagi keadaan atau peristiwa tertentu. Teori ini menekankan bahawa setiap

individu bertanggungjawab kepada tindakan sendiri. Dalam pembelajaran berasaskan komputer,

teori humanisme juga menekankan kepentingan peranan tenaga pengajar untuk membantu

pengguna menggunakan bahan berbantukan komputer bagi meningkatkan kefahaman mereka

dan mengurangkan tekanan. Penggunaan komputer membolehkan pengguna meningkatkan

ekspresi dan kebebasan diri, membantu mereka bertanggungjawab dalam menentukan apa yang

perlu dipelajari, meningkatkan kreativiti dan mengembangkan minat dan rasa ingin tahu mereka.

Pengguna boleh belajar apa yang diingini tanpa rasa takut atau malu. Penting bagi pengguna

untuk memahami kaedah pembelajaran dan melaksanakan penilaian diri dalam usaha untuk

44

menjadikan pembelajaran lebih bermakna (Amir, 1986; Ee, 1994; Rothstein, 1990; Slavin,

1997).

Dalam kajian ini, ILMEV mengabungkan beberapa konsep yang disebut dalam teori

pembelajaran ini: meningkatkan ekspresi dan bebas mempelajari, bertanggungjawab dalam

menentukan apa yang ingin diingini, meningkatkan kreativiti dalam menyelesaikan masalah

matematik dan meningkatkan minat dan rasa ingin tahu dalam pembelajaran. Sebagai contoh, di

dalam kelas, ILMEV dapat menggalakkan pelajar untuk berinteraksi, bekerjasama dan

membantu satu sama lain untuk menyelesaikan masalah. Pelajar yang ketinggalan dalam

pembelajaran, masih boleh meneruskan pembelajaran mereka selepas kelas. Ini akan

mewujudkan suasana kelas yang lebih santai dan juga membantu dalam mengurangkan masalah

"ketinggalan" untuk pelajar yang tidak dapat menghadiri kelas kerana kecemasan seperti sakit.

2.7 KESIMPULAN

Dalam kajian ini, kami telah memilih untuk mewujudkan sistem ILMEV bagi membantu pelajar

mempelajari pengamiran multidimensi. Ramai pelajar yang berlatar belakang matematik yang

kukuh dan minat yang mendalam dalam bidang sains fizikal mendapati pembelajaran ini adalah

sukar. Kesukaran utama ialah bagi memahami rantau geometri dua dan tiga dimensi yang mana

bantuan visualisasi berkomputer amatlah diperlukan. Kajian literasi menunjukkan semua SAK

mempunyai alat bantuan dan pakej bagi membantu dalam pengiraan kamiran multidimensi,

tetapi biasanya sukar untuk digunakan. Selain itu, semua SAK tersebut tidak mampu

menyelesaikan permasalahan kamiran dalam buku teks melainkan dengan campur tangan

daripada pengguna. Penyelesaian kepada masalah ini memerlukan pembangunan satu algoritma

bagi pengiraan kamiran penting dan pembinaan antara muka berdasarkan teori pembelajaran

yang kukuh bagi membantu pelajar dalam pengiraan yang kompleks ini.

45

46