végeselem módszerek és alkalmazásaik...köszönetnyilvánítás ezúton is szeretném...

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

Végeselem módszerek

és alkalmazásaik

Szakdolgozat

Írta: Orbán Barbara

Matematika BSc

Alkalmazott matematikus szakirány

Témavezető:

Horváth Tamás

Tudományos segédmunkatárs

Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar

Budapest, 2012

Köszönetnyilvánítás

Ezúton is szeretném megköszönni témavezetőmnek, Horváth Tamásnak, hogy

másodévben felkeltette az érdeklődésemet a differenciálegyenletek iránt, valamint ezen

szakdolgozat megírását is elősegítette a téma felvetésével, később pedig észrevételeivel,

tanácsaival. Külön köszönöm Neki az alkalmazásban felhasznált Matlab program

megírásában nyújtott segítségét.

2

Tartalomjegyzék

Bevezetés 3

1. Végeselemek egy dimenzióban 4

1.1 Alapismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2 Homogén Dirichlet-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 A diszkrét probléma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.4 A esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Megvalósítás elsőrendű végeselemmel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Inhomogén Dirichlet-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Inhomogén Neumann-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Homogén kevert peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.9 Megvalósítás magasabb rendű végeselemmel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2. Végeselemek magasabb dimenzióban 18

2.1 Alapismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Parciális differenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 A és terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Homogén Dirichlet-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Neumann-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Kevert peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

2.7 Megvalósítás kétdimenziós végeselemmel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3. Végeselem módszer a gyakorlatban 27

3.1 Tüzelőanyag-cellák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

3.2 Eredmények VEM segítségével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Irodalomjegyzék 34

3

Bevezetés

A körülöttük lévő világ fizikai történéseinek megfogalmazására a

természettudományok, a közgazdaságtan, és a mérnöki tudományok gyakran

alkalmazzák a differenciálegyenleteket. Ezen egyenleteknek ha a pontos megoldására

vagyunk kíváncsiak, akkor leginkább olyan módszerek állnak rendelkezésünkre,

amelyek bonyolultabb, életszerű alkalmazásokban nem használhatóak hatékonyan.

Azonban kereshetjük a megoldást numerikus alakban is, amely ugyan csak egy közelítő

eredményt ad, de előnye, hogy szinte minden esetben eredményre vezet.

Dolgozatomban az elliptikus parciális differenciálegyenletek numerikus

megoldására használt végeselem módszert szeretném bemutatni. Először matematikai

szempontból közelítem meg a módszert. Az első két fejezetben a teljesség igénye nélkül

ismertetem a legfontosabb funkcionálanalízisbeli tételeket és összefüggéseket, majd a

konstrukciót egy, illetve magasabb dimenziókban. A harmadik fejezetben bemutatom a

végeselem módszer egy gyakorlati alkalmazását, egy mérnöki megoldáson keresztül.

Ezt az alkalmazást az Egyetemünkön működő Fuelcell.hu kutatócsoport motiválta,

amely protoncsere-membrános tüzelőanyag-cellák matematikai és számítógépes

szimulációjával foglalkozik 2006 óta. Látni fogjuk, hogy ezeknek a celláknak a

matematikai leírása is parciális differenciálegyenlet-rendszereken és az ezekhez tartozó

numerikus modelleken alapul.

1. Végeselemek egy dimenzióban – 1.1 Alapismeretek

4

1. Fejezet

Végeselemek egy dimenzióban

Ebben a fejezetben másodrendű közönséges differenciálegyenletek

megoldhatóságáról lesz szó, ennek segítségével összefüggések hosszú során át eljutunk

az elsőrendű végeselem konstrukciójáig.

1.1 Alapismeretek

Először is szükségünk lesz néhány definícióra. Jelöljön I ⊂ ℝ egy

intervallumot.

1.1.1. Definíció. { ∫ | | -

}

esetén.

1.1.2. Definíció. { { | | -

} }

1.1.3. Definíció. { ℝ -

}

1.1.4. Definíció. { ℝ }

Az egyszerűség kedvéért jelöljük -vel a fenti -t.

Mostantól foglalkozzunk az alábbi típusú másodrendű differenciálegyenlettel:

ahol ℝ .

Ennek a megoldását különböző peremfeltételek egyértelműsítik, melyek közül 3 típust

mutatok be:

Dirichlet-peremfeltétel:

Neumann-peremfeltétel:

Kevert-peremfeltétel:

1.1 Alapismeretek

5

Mindhárom esetben a és b rögzített valós számok, amennyiben , akkor

homogén feladatról beszélünk, különben pedig inhomogénről.

1.1.6. Megjegyzés. Megkülönbözetünk még egy ún. harmadfajú peremfeltételt, amikor

is a vizsgált probléma:

ahol Dolgozatomban ennek az esetnek a tárgyalásától eltekintek.

1.1.7. Definíció. (Norma). Legyen vektortér felett, ahol ℝ vagy . Egy

‖ ‖ ℝ függvényt normának nevezünk, ha teljesíti az alábbi ún. normaaxiómákat:

esetén ‖ ‖ és ‖ ‖ ⇔ ;

és esetén ‖ ‖ | |‖ ‖;

esetén ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖, azaz teljesül a háromszög-

egyenlőtlenség.

1.1.8. Definíció. (Normált tér). Az ‖ ‖ párt, azaz az vektorteret a ‖ ‖ normával

ellátva normált térnek nevezzük.

1.1.9. Definíció. (Banach-tér). Egy normált tér akkor Banach-tér, ha teljes, azaz ha

minden Cauchy-sorozata konvergens.

1.1.10. Definíció. (Skalárszorzat). Legyen egy feletti vektortér. Egy ⟨ ⟩

leképezést skalárszorzatnak hívunk, ha esetén:

az ⟨ ⟩ leképezés lineáris funkcionál

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ;

⟨ ⟩ és ⟨ ⟩ ⇔

A skalárszorzat jelölésére általában a ⟨ ⟩ és a jeleket használjuk.

1.1.11. Definíció (Hilbert-tér). Egy vektorteret Hilbert-térnek nevezünk, ha

értelmezett rajta egy skalárszorzat, valamint egy abból származtatott norma, mely

normával a tér teljes, azaz Banach-tér.

1.1.12. Definíció. { ℝ } és legyen az ezen értelmezett

skalárszorzat ⟨ ⟩

∫

-re. Ezzel a skalárszorzattal

a tér Hilbert-tér.

1.1.13. Állítás. A tér elemei folytonosak.

1.2 Homogén Dirichlet-peremfeltétel

6

1.1.14. Definíció. { [ ]}, ez a tér

teljes a ⟨ ⟩ skalárszorzattal.


Tekintsük az alábbi közönséges differenciálegyenletet:

,

ahol ℝ .

Ez a kezdeti (1.1.5) egyenletünk, homogén Dirichlet-peremfeltétellel ellátva. Ezen

feladat klasszikus megoldásán egy függvényt értünk. Ha választunk egy

tetszőleges függvényt, melyre teljesül a fenti peremfeltétel, akkor ezzel

beszorozva az egyenletet, majd 0-tól 1-ig integrálva azt, a következőt kapjuk:

∫ [ ] ⏟

∫

∫

∫

⏟

∫

⏟

[ ]

Itt azonban már elég, ha -t egy gyengébb térből, a -ből választjuk. Keressük

azt az -t a -ból, amelyre teljesül, és ekkor -t általánosított

vagy gyenge megoldásnak nevezzük. Az egyenlőséget variációs

feladatnak nevezzük.

1.2.1. Megjegyzés. A variációs feladat klasszikus megoldása egyben gyenge megoldás

is, illetve ha a gyenge megoldás [ ]-beli, akkor az klasszikus is.

1.2.2. Tétel. (Sztyeklov-egyenlőtlenség).

gy e e | |

∫ | |

∫ | |

‖ ‖

Itt | | ‖ ‖

∫

‖ ‖

‖ ‖ ∫

1.2.3. Tétel. (Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség).

Legyen H Hilbert-tér, ⟨ ⟩ pedig a rajta értelmezett skalárszorzat. Ekkor

⟨ ⟩ ‖ ‖‖ ‖ esetén.

1.2.3. Tétel. (Riesz-féle reprezentációs tétel).


7

Tetszőleges H Hilbert-téren értelmezett ℝ folytonos lineáris funkcionálhoz

egyértelműen létezik , melyre ⟨ ⟩ esetén. Ezt az -t Riesz-

féle reprezentáló vektornak nevezzük.

1.2.4. Definíció. (Folytonosság). | | ‖ ‖ ‖ ‖ , azaz

korlátos.

1.2.5. Definíció. (V-elliptikus vagy koercitív). | | ‖ ‖

valamilyen számokra.

Ekkor ⟨ ⟩ skalárszorzat, és az indukált norma: ‖ ‖ √⟨ ⟩ . Ez

ekvivalens az eredeti skaláris szorzatból származtatott normával. Továbbá legyen

ℝ adott lineáris funkcionál. A most következő tételben bebizonyítjuk, hogy az

egyenletnek mindig létezik egyértelmű gyenge megoldása.

1.2.6. Tétel.

Legyenek függvények, melyekre ℝ , hogy

Lebesgue majdnem minden esetén. Ekkor esetén

létezik egyértelmű gyenge megoldása a peremérték feladatnak.

Bizonyítás.

Tekintsük a teret az ∫

∫

skalárszorzattal. Vegyünk egy

ℝ funkcionált, melyre ∫

. Ez lineáris és korlátos, hiszen

| | |∫

|

⏟

∫ | |

∫ | |

{| | }⏟

∫ | |

∫ | | | |

‖ ‖

és ‖ ‖ ‖ ‖ , azaz folytonos

-ben. A Riesz-féle reprezentációs tétel

szerint ekkor

, azaz ∫

∫

1.2.7. Definíció. (Absztrakt variációs feladat) Keressük -t, amire teljesül,

hogy

1.3 A diszkrét probléma

8

1.2.8. Tétel. Minden ℝ folytonos lineáris funkcionál esetén létezik az absztrakt

variációs feladatnak egyértelmű megoldása, ha a fenti tulajdonságokkal

rendelkezik.

Bizonyítás.

folytonossága miatt a Riesz-reprezentációs tétel szerint melyre

⟨ ⟩ Az egyértelműség igazolásához tegyük fel, hogy és is

megoldások. Ekkor azaz is

fennáll. Ekkor a koercitivitás miatt ‖ ‖ , ami csak

akkor lehetséges, ha ‖ ‖ , azaz a két megoldás megegyezett.

Az alábbi állítást bizonyítás nélkül közlöm, az Olvasó azt megtalálhatja az [ ]

jegyzetben.

1.2.9. Állítás. A variációs feladatnak mindig létezik egyértelmű megoldása.

1.3 A diszkrét probléma

Vegyünk egy véges dimenziós ⊂ teret, keressünk ezen egy megoldást

úgy, hogy teljesüljön esetén. Ezt nevezzük diszkrét

problémának, megoldásával az peremértékprobléma egy közelítő megoldását

kapjuk meg. Erre a diszkretizálásra azért van szükség, mert végtelen dimenziós, így

azt konkrét feladatmegoldások során nem tudjuk kezelni.

1.3.1. Tétel. A diszkrét problémának mindig létezik egyértelmű megoldása, mivel a

véges dimenziós téren értelmezett is rendelkezik az ehhez szükséges

tulajdonságokkal.

1.3.2. Állítás. merőleges a térre, az -skaláris szorzatra nézve, azaz:

1.4 A esete

9

1.3.3. Lemma. (Céa-lemma)

‖ ‖ ‖ ‖ teljesül, ahol

, azaz kvázioptimális -

beli közelítése -nak a -norma szerint is.

1.3.4. Következmény. az legjobb -beli vetülete az -norma szerint.

Az alábbiakban bizonyítással együtt bemutatok egy másik, de az előzővel lényegileg

azonos módszert a konvergencia meghatározására.

1.4 A esete

Keressünk egy olyan függvényt, melyre teljesül

esetén. Tekintsük a teret az elemenként legfeljebb -adfokú

polinomok terének. Teljesüljön -ra a következő három feltétel: legyen korlátos,

koercitív, illetve konzisztens (azaz ). Továbbá rendelkezzünk

egy közelítési tétellel:

‖ ‖ | |

Itt jelöli a felosztásban szereplő legnagyobb intervallum hosszát, pedig a közelítő

polinom foka. A szakasz címében szereplő „ ” a fenti három tulajdonságra, illetve a

közelítési tételre utal. A +1. -t pedig következményként kapjuk meg, ha az előbbiek

teljesülnek, ugyanis ekkor a konvergencia a polinomfokkal exponenciálisan változik:

‖ ‖ (

) | |

Bizonyítás.

Most ‖ ‖ jelölje a ‖ ‖ normát. A feltételekből adódik:

‖ ‖ | | | |

‖ ‖‖ ‖ | | ‖ ‖

azaz:

‖ ‖ | | .

1.5 Megvalósítás elsőrendű végeselemmel

10

Alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget:

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ (

) | |

1.4.1. Megjegyzés. -normában a következő teljesül: ‖ ‖ | | .

1.5 Megvalósítás elsőrendű végeselemmel

Mostanra már rendelkezünk a szükséges elméleti ismeretekkel, így azokat

felhasználva meg tudjuk konstruálni az egydimenziós, elsőrendű végeselemet. Célunk

egy olyan eljárást adni, amely számítógéppel jól programozható, így a mérnöki

alkalmazásokban valóban használható. Egy numerikus megoldást keresünk, amely

most egy szakaszonként elsőfokú folytonos függvény lesz. Ehhez azonban nem

mindegy, hogy a véges dimenziós teret hogyan választjuk meg.

Az [ ] intervallumnak vegyük az egyenletes felosztását:

Legyen Minden ponthoz rendeljünk

hozzá egy függvényt az alábbi módon:

{

[ ]

[ ]

-t az i-edik bázisfüggvények vagy kalapfüggvénynek nevezik. Ekkor ( ) ,

azaz éppen a Kronecker-delta.

Legyen a terünk az N-1 bázisfüggvény által generált tér, azaz

{ }. A közelítő megoldást ∑ alakban

keressük, feladatunk a együtthatók meghatározása. Ekkor ( ) ( )

(∑ ) ∑

és ezt minden -re felírva az

együtthatókra egy alakú lineáris egyenletrendszert kapunk, ahol

1.6 Inhomogén Dirichlet-peremfeltétel

11

( ) , és

.

Könnyű meggondolni, hogy ( ( )) | | esetén, így

tridiagonális mátrix, ezért az egyenletrendszer időben megoldható. Ahogy az 1.3

szakaszban kiderült, végtelen dimenziós esetben úgy oldhatjuk meg a problémát, hogy

veszünk egy véges dimenziós alteret, és az azon kapott megoldás a legjobb lesz abból az

altérből.

1.1. Ábra. Elsőfokú és kalapfüggvények

Megjegyezzük, hogy most csak az elsőfokú kalapfüggvényekkel foglalkoztunk,

magasabb rendű elemekkel jobb közelítést kaphatunk. Ezeket p-végeselemnek

nevezzük, ahol p a bázisfüggvény fokszámát jelöli. Az elsőfokú kalapfüggvények a

Schander-féle függvények általánosításai, melyek a Haar-függvények

integrálfüggvényei. Ezekről részletesen a [ ] könyvben olvashatunk.


A kiindulási (1.1.5.) egyenletet lássuk el inhomogén Dirichlet-peremfeltétellel,

azaz legyen és Legyen , ,

valamint , ahol (1.1.5.)-öt szorozzuk meg egy

-vel, majd integráljuk 0-tól 1-ig:


12

∫ ∫ ∫

∫

∫

Kihasználva, hogy , adódik, hogy:

∫

[ ] ⏟

∫

∫

Hasonlóan helyett -re is igaz az egyenlőség:

∫

[ ] ⏟

∫

Így a következőt kapjuk:

ezt átrendezve:

ahol ismert, így a megoldást kell megtalálnunk. továbbra

is folytonos lineáris funkcionál, ugyanis folytonos, lineáris és egy valós

skalárszorzat pedig szintén folytonos, és lineáris mindkét változójában, így az ezek

különbségeként kapott funkcionál is rendelkezik ezen két tulajdonsággal. Továbbá a

klasszikus megoldás egyben általánosított megoldás is, és ez visszafelé akkor igaz, ha

az általánosított megoldás elég sima.

1.6.1. Lemma. A megoldás független választásától.

Az előző szakaszban tárgyalt bázisfüggvények ebben az esetben is

használhatóak a gyakorlati megvalósításnál, annyi kiegészítéssel, hogy még definiáljuk

a 0 és az 1 ponthoz bázisokat:

{ [ ]

{

[ ]

Ekkor a belső függvények összege és , ezek alapján pedig

megkapjuk -t.

1.7 Inhomogén Neumann-peremfeltétel

13

1.7 Inhomogén Neumann-peremfeltétel

Az (1.1.5.) egyenletünket lássuk el a következő peremfeltétellel:

A peremfeltételbe azért vesszük most bele -t is, mert értelmes fizikai jelentése a -

nek lesz.

Tekintsük a következő teret:

{ }

Legyen ekkor:

∫

∫

∫

Most:

∫

[ ] ∫

∫

∫

∫

ahol a 0-hoz tartozó Dirac-delta. Így a variációs feladatra a következőt kapjuk:

∫

∫

⏟

∫

⏟

1.7.1. Megjegyzés. A fenti variációs feladatnak egyértelműen létezik megoldása, és

ennek belátásához folytonosságát és linearitását kell igazolni.

A konstrukció megvalósításához most is használhatóak a kalapfüggvények.

1.8 Homogén kevert peremfeltétel

14

1.8 Homogén kevert peremfeltétel

Most az (1.1.5.) egyenlethez csatoljuk az alábbi peremfeltételt:

Az előző szakaszban definiált téren dolgozzunk.

1.8.1. Lemma. -ben érvényes marad a Sztyeklov-egyenlőtlenség, azaz ‖ ‖ | |

Az egyenletünket szorozzuk egy tetszőleges -vel, majd integráljuk:

∫

∫

∫

Ez látszólag megegyezik a homogén Dirichlet-peremfeltételnél tárgyalt variációs

feladattal, de valójában különbözik, hiszen most másik téren dolgozunk. Felhasználva,

hogy:

∫

[ ]

⏟

∫

∫

(hiszen és

kapjuk, hogy:

∫

∫

⏟

∫

⏟

Ha ennek létezik klasszikus megoldása, akkor az általánosított megoldás is, illetve ez

visszafelé akkor igaz, ha az általánosított megoldás elég sima.

1.8.2. Megjegyzés. A kapott folytonos, koercitív, szimmetrikus és bilineáris,

pedig folytonos lineáris.

1.9 Megvalósítás magasabb rendű végeselemmel

15


Az egydimenziós végeselem előállítása nem csak kalapfüggvényekkel

lehetséges, hanem sokféle magasabb rendű elem közül választhatunk. Ennek a

gyakorlatban nagy jelentősége van, ugyanis ezekkel jobb közelítést kaphatunk a pontos

megoldásra. Ebben a szakaszban röviden bemutatom a legfontosabb magasabb rendű

végeselemeket. Ezek tanulmányozása előtt ajánlott megismerni a numerikus analízis

bizonyos fejezeteit, különös tekintettel az ortogonális polinomokra, a numerikus

integrálásra, illetve a Lagrange-interpolációra.

Célunk a diszkrét variációs egyenletet lineáris függvények helyett magasabb

fokú polinomokkal megoldani. Erre egy jó módszer, hogy a [ ] intervallumon

magasabb fokú bázisfüggvényeket választunk. Most már ne csak az intervallum két

végpontjához rendeljünk függvényeket, hanem közbeeső pontokhoz is, melyeket az

egyenletes felosztás ad. Így az alábbi másodfokú bázishoz jutunk:

(

)

(

)

Az első két függvény az intervallum végpontjában nemnulla, csúcsfüggvénynek (node

function) nevezzük őket, a harmadik pedig a peremen nulla értéket vesz fel, neve

buborékfüggvény (bubble function).

A harmadfokú bázis:

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

A magasabb fokú báziselemeket Lagrange-interpolációval készítjük el.


16

1.9.1. Tétel. (Lagrange-interpoláció). Legyen az [ ]

intervallum egy felosztása. Adottak még az párok, { }. Az a

legfeljebb -edfokú, [ ]-n értelmezett polinom, melyre minden esetén

teljesül , az alábbi alakban írható fel:

∑

∏

∏

Általánosan az m-edfokú bázis úgy készül, hogy minden [ ] intervallumot

felosztunk m részre, és a csúcsfüggvények az osztópontokban és a végpontokban 0-k

lesznek, [ ]-en kívül szintén, és -ben 1. A j-edik osztóponthoz tartozó

buborékfüggvény a j-edik osztópontban 1, a többi osztópontban és az [ ]

végpontjaiban, valamint az intervallumon kívül 0.

Ennek a módszernek az az előnye, hogy a báziselemek 1-1 adott ponthoz

tartoznak. Hátránya, hogy magas polinomfok esetén az ún. Lebesque-konstansuk nagy,

például az alábbi ábrán is látszik, hogy a maximumuk nagyobb, mint 1. Ebből a

szempontból is egy jobb módszert kapunk, ha az alappontokat nem egyenletes elosztás

szerint választjuk. Számos jól használható eljárás létezik még, például ha a

báziselemeknek az Hermite-polinomokat választjuk. Ezekről bővebben a [ ] könyvben

olvashatunk.


17

1.2. Ábra. Lagrange-elemek egyenletes lépésközzel

balra: csúcsfüggvények, jobbra: buborékfüggvények.

2. Végeselemek magasabb dimenzióban – 2.1 Alapismeretek

18

2. Fejezet

Végeselemek magasabb dimenzióban

Ebben a fejezetben az előző részben tárgyalt VEM-t általánosítjuk a

többváltozós esetre. Részletesen a 2-dimenziós változatra térünk ki. Először azonban

szükségünk lesz néhány többváltozós analízisbeli eredményre.

2.1 Alapismeretek

Mostantól legyen ℝ ℝ ℝ ℝ és jelölje az i-edik változó

szerinti parciális deriváltat, pedig az -hoz tartozó kifelé mutató felületi normálist.

2.1.1. Definíció. (Gradiensvektor).

2.1.2. Definíció. (Divergencia). , ahol az

ℝ -beli skaláris szorzást jelöli.

2.1.3. Definíció. (Rotáció).

, ahol a vektoriális szorzást jelöli.

2.1.4. Definíció. (Laplace).

Könnyen meggondolható az alábbi három állítás:

2.1.5. Állítás.

2.1.6. Állítás.

2.1.7. Állítás.

2.1.8. Tétel. (Gauss-Osztogradszkij tétel). Legyen ⊂ ℝ korlátos tartomány,

melynek peremét jelölje 𝛤 és ez legyen szakaszonként folytonosan differenciálható,

ℝ folytonosan differenciálható. Ekkor:

∫

∫ ⟨ ⟩ℝ 𝛤

2.1.9. Tétel. (I. Green tétel). Legyen ⊂ ℝ és

Ekkor:

2.2 Parciális differenciálegyenletek

19

∫

∫ ⟨ ⟩ℝ

∫ 𝛤

2.1.10. Megjegyzés. A fenti két tétel a Poincaré-Stokes tétel speciális esetei, erről

részletesebben a [ ] könyvben olvashatunk.


Az m-edrendű lineáris parciális differenciálegyenlet általános alakja:

∑ | | ahol ℝ egész, | |

∑ és

Mostantól másodrendű lineáris parciális

differenciálegyenletekről lesz szó, tehát a következő alakú egyenletekről:

∑

∑

ahol olyan -t keresünk, ami kétszer folytonosan differenciálható és feltehető, hogy

. Tekintsük tetszőleges rögzített x esetén a főrész együtthatóiból álló

valós szimmetrikus mátrixot:

(

)

Ismeretes, hogy ennek a sajátértékei valósak. Jelölje és az mátrix

pozitív, negatív, illetve nulla sajátértékeinek számát, multiplicitással tekintve. Ekkor a

dimenzió megkapható ezek összegeként, azaz Ezek alapján három

nagy csoportját különböztetjük meg a parciális differenciálegyenleteknek:

2.2.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a fenti parciális differenciálegyenlet (pontosabban

az egyenlet bal oldalán álló differenciáloperátor) az pontban

elliptikus típusú, ha vagy ,

hiperbolikus típusú, ha és vagy és ,

parabolikus szigorú értelemben, ha és vagy ,

illetve tágabb értelemben, ha csak azt tesszük fel, hogy


20

A továbbiakban feltesszük, hogy a parciális differenciálegyenlet minden

pontjában azonos típusú, és csak az elliptikus típussal fogunk foglalkozni. Speciálisan,

ha állandó együtthatós az egyenlet, akkor az nyilván az egész -n ugyanolyan típusú.

Az állandó együtthatós elliptikus egyenletek kanonikus alakja:

∑

Ennél általánosabb, ha a következő feladatot vizsgáljuk: legyen

-n. (2.2.2.)

Ez valóban elliptikus -ra, ugyanis:

∑

∑

∑

ez alapján ahol I az n-dimenziós egységmátrix, így minden

sajátértéke negatív, tehát az egyenlet elliptikus.

Ugyanúgy, mint az egydimenziós problémánál, itt is egyértelmű megoldásra

törekedünk, így (2.2.2.)-hez 4 féle peremfeltételt társíthatunk:

Dirichlet-peremfeltétel: |

Neumann-peremfeltétel: |

Harmadfajú-peremfeltétel: | |

Kevert-peremfeltétel: | |

ahol 𝛤 𝛤 𝛤

adottak. A peremfeltételt homogénnak nevezzük, ha a jobb oldala azonosan 0.

2.2.3. Megjegyzés. A harmadfajú peremfeltétel esetére ezen dolgozat nem tér ki, azt

elolvashatjuk az [ ] jegyzetben.

2.3 A és terek – 2.4 Homogén Dirichlet-peremfeltétel

21

2.3 A és terek

Az egydimenziós esetnél már definiáltuk a teret, ezt most kiterjesztjük

több dimenzióra:

2.3.1. Definíció. { } ⊂ ℝ Ez

Hilbert-tér a rajta értelmezett skaláris szorzattal:

⟨ ⟩ ∫

⟨ ⟩ℝ .

Az ebből származtatott norma: ‖ ‖ ∫ | |

∫ | |

2.3.2. Állítás. A ‖ ‖ normával a tér teljes.

2.3.3. Állítás. A tér elemei nem feltétlenül folytonosak.

2.3.4. Definíció. { | }

2.3.5. Jelölések. ‖ ‖ ‖ ‖

∫

| | ‖ ‖

∫ | |

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖

| |

2.3.6. Tétel. (Magasabb dimenziós Sztyeklov-egyenlőtlenség). -ban is igaz

marad a Szteklov-egyenlőtlenség, azaz

‖ ‖ | |

2.3.7. Következmény. | | ‖ ‖ zárt altéren.


Tekintsük a egyenletünket a homogén Dirichlet-peremfeltétellel ellátva:

|

Ahogy az egydimenziós esetnél is láttuk, vegyünk egy elég sima

függvényt, ezzel szorozzuk meg az egyenletet, majd integráljunk -n:

∫

∫

2.5 Neumann-peremfeltétel

22

Alkalmazva az I. Green-tételt az alábbi alakot kapjuk:

∫

∫

⟨ ⟩ℝ ∫ 𝛤 ⏟

Így ∫

⟨ ⟩ℝ ⏟

∫ ⏟

Ez alapján ha az megoldás, akkor teljesül rá, és ekkor u-t a

homogén Dirichlet-feladat gyenge megoldásának nevezzük, -ra.

2.4.1. Megjegyzés. skalárszorzat -n.

2.4.2. Állítás. folytonos lineáris funkcionál.

Bizonyítás.

| | |∫

|

⏟

∫ | |

∫ | |

{| | }⏟

∫ | |

∫ ‖ ‖ℝ | |

‖ ‖

azaz a folytonosság teljesül.

Nézzük a linearitást: .

2.4.3. Következmény. A fenti homogén Dirichlet-feladatnak egyértelműen létezik

megoldása, mivel az előző eredményeket és a Riesz-reprezentációs tételt alkalmazva

-nek megoldása.

2.5. Neumann-peremfeltétel

Vegyük a Neumann-peremfeltételt -re. Ha az egyenletet megszorozzuk

egy tetszőleges függvénnyel, integráljuk -n, majd a homogén Dirichlet-

peremfeltételnél látottakhoz hasonló módon alkalmazzuk az I. Green-tételt, akkor a

következő alakot kapjuk:

2.6 Kevert peremfeltétel

23

∫

⟨ ⟩ℝ ⏟

∫ ∫ 𝛤 ⏟

Ebben az esetben ismét skalárszorzat lesz, pedig folytonos lineáris

funkcionál, így alkalmazva a Riesz-reprezentációs tételt, a feladatnak egyértelműen

létezik megoldása.

2.6 Kevert peremfeltétel

Legyen a feladatunk a következő:

|

|

ahol 𝛤 𝛤 𝛤

A feladat tárgyalásához vezessünk be egy új teret:

2.6.1. Definíció.

{ | } Ez zárt altere -nak.

2.6.2. Tétel. A

térben is igaz a Sztyeklov-egyenlőtlenség, továbbá | | ‖ ‖

a

zárt altéren.

Most is belátjuk a kevert peremfeladat megoldásának létezését és

egyértelműségét. Szorozzuk meg -t egy tetszőleges

függvénnyel,

majd integráljuk -n:

∫

∫

Felhasználjuk a következőket: ∫

∫

∫ 𝛤

| és ∫ 𝛤 ∫ 𝛤

Így azt kapjuk, amit vártunk:

∫

∫ ⏟

∫

∫ 𝛤 ⏟

2.7 Megvalósítás kétdimenziós végeselemmel

24


Mivel láttuk, hogy a különböző peremfeltételek mellett létezik egyértelmű

megoldás, így meg is kereshetjük azt. Ebben a szakaszban is érvényesek lesznek az

előző fejezet 1.3 pontjában, azaz a diszkrét probléma esetében leírtak, így tudjuk, hogy

a keresett megoldás legjobb közelítése -ban van. Hamarosan azt is látni fogjuk, hogy

most mi lesz ez a tér.

Az egydimenziós esetben az -en kerestük a megoldást,

bázisfüggvények segítségével. Most a kétdimenziós esetben a tartományunk legyen az

, azaz az egységnégyzet. Meg szeretnénk állapítani, hogy mi lesz a tér

és annak bázisa. Azt tudjuk, hogy a perempontokban a megoldás értéka nulla, így most

gúlákat próbálunk illeszteni a belső pontokra. Osszuk fel a tartományt diszjunkt

poligonokra, például az ábrán látható módon:

2.1. Ábra. Háromszögrács.

Ez egy reguláris háromszögrács, azaz nem tartalmaz olyan háromszöget, amelynek egy

csúcsa egy másik háromszög oldalának belső pontjára esik. Számozzuk meg ezeket a

háromszögeket, majd vegyünk egy pontot. Ehhez az i-hez keressük a hozzá


25

rendelt bázisfüggvényt. i-t háromszögek határolják, így ezekből a határoló síkból

fog állni, mégpedig úgy, hogy az i pontban 1, a többi pontban nulla értéket vesznek fel.

Tehát egy gúlát határoz meg.

2.2. Ábra. A bázisfüggvény.

A bázisfüggvények konstrukciójához szükségünk lesz a gúla oldalait tartalmazó síkok

egyenletére. Az egydimenziós esethez hasonlóan most is van egy referenciaelem, amit

most referenciaháromszögnek nevezünk, jelölje ezt . Ennek minden pontjához

rendeljünk egy függvényt, úgy, hogy az az adott pontban 1, a másik két pontban pedig

nulla értéket vegyen fel. Ezután lineáris transzformációk alkalmazásával

transzformáljuk -t az adott háromszögre, és így az i-vel megegyező csúcsához rendelt

függvény lesz a keresett bázisfüggvény egyenlete, pedig az ezek által generált

véges dimenziós altér.

A numerikus megoldást az alábbi alakban keressük:

∑

ahol n a rácspontok számát jelöli. Célunk a együtthatók meghatározása. Ezekre ismét

egy alakú lineáris egyenletrendszer adódik, mivel:

( ) ( ) (∑ ) ∑

ahol


26

Most ( ) és .

A kétdimenziós végeselemek közül most csak a háromszögráccsal

ismerekedtünk meg, mivel a következő fejezetben ezt fogjuk alkalmazni. Azonban

számos már alternatíva is létezik magasabb dimenziós végeselem konstruálására,

melyekről bővebben a [ ] könyvben olvashatunk.

3. Végeselem módszer a gyakorlatban – 3.1 Tüzelőanyag-cellák

27

3. Fejezet

Végeselem módszer a gyakorlatban

Az előző két fejezetben a VEM matematikai alapjairól és a konstrukcióról volt

szó, most pedig megnézzük a módszer egy olyan alkalmazását, amit a XXI. század

egyik legnagyobb környezeti problémájának megoldására használnak fel.

Mint tudjuk, napjainkban a globalizáció egyik kedvezőtlen hatása a rohamosan

fogyó energiaforrás-készlet. Ezt a problémát mesterséges villamos energia előállításával

próbálják kiküszöbölni, és ennek a technikai fejlesztéseknek köszönhetően egyre

hatékonyabb a termelése. Azonban felmerül az a kérdés, hogy az erőművekből hogyan

lehet eljuttatni a megtermelt villamos energiát a felhasználás helyére, illetve hogyan

lehetséges azt tárolni. Erre az egyik megoldást a tüzelőanyag-cellák jelentik.

Segítségükkel a bennük tárolt vegyületekben lévő energiát a kellő időpontban és helyen

elektrokémiailag „elégetve” környezetbarát módon nyerhetünk elektromosságot. A

korábbi, hasonló elképzeléseken alapuló technológiákkal szemben a módszer előnye,

hogy ezek a cellák újrahasználhatóak, azaz új üzemanyaggal lehet utántölteni őket a

használatuk után, így sokáig lehet velük elektromos energiát előállítani.

3.1 Tüzelőanyag-cellák

Most röviden ismertetjük a tüzelőanyag-cellák felépítését és működését. A

cellák két elektródából - az anódból, illetve a katódból- és a köztük lévő elektrolitból

állnak. Katalizátorként általában platina van beépítve. A cella működtetése során a

katalizátor segítségével a rendszerbe juttatott hidrogén molekulák kettébomlanak

protonokra és elektronokra. A protonok az elektroliton haladnak keresztül, az

elektronokból pedig elektromos áram keletkezik, melyet a fogyasztó hasznosítani fog.

Ezután a maradék elektronok továbbhaladnak a katódra, ahol egyesülnek a protonokkal

és a bejuttatott oxigénnel, és így víz keletkezik. A működés egy fázisa látható a 3.1.

ábrán:

3.2 Eredmények VEM segítségével

28

3.1. Ábra. Tüzelőanyag-cella működése

A protoncsere membrános cellák - amelyekkel a bevezetőben említett

Fuelcell.hu kutatócsoport is foglalkozik - nevüket a bennük elektrolitként alkalmazott

protonáteresztő membránról kapták. Ennek a cella típusnak a hatásfoka kb. 50-70%,

ami nagyon jónak mondható másfajta cellákhoz képest (pl. direkt metanol membrános

vagy olvadt karbonátos tüzelőanyag-cella).


A továbbiakban a rendszer anód részét fogjuk megvizsgálni, tanulmányozva a

rajta történő részecskeáramlást. Témavezetőmmel Matlabban megírt VEM segítségével

modelleztük az anódon lévő porózus közegbeli áramlást, melyet a Darcy-törvény ír le.

A Matlab program rendelkezik parciális differenciálegyenletekhez szükséges

eszköztárral, ezt a háromszögrács előállításához használtuk. Ebben az esetben kevert

peremfeltételt kellett alkalmazni, azaz ahol a részecskék be- és kilépése történik az

anódon, ott Dirichlet-peremfeltétel áll fenn (ezek a Ábrán a pirossal jelölt

peremek), a többi peremen pedig Neumann-peremfeltétel.


29

3.2. Ábra. Az anód modellje, az általunk alkalmazott méretezéssel.

A szükséges input a rácsot alkotó háromszögek csúcsainak száma és ezek koordinátái.

Tekintsük az alábbi, a szakaszban tárgyalt alakú parciális differenciálegyenletet,

amely a részecskék mozgását írja le az anódon:

(

)

|

|

Itt a nyomást jelöli, a

együtthatót pedig diffúziós együtthatónak nevezzük, és a

rendszer elektromos folyadék-áteresztő képességét jellemzi. Az értéke a pontos

modellben:

. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a diffúziós együttható különböző

megválasztásai, illetve a Dirichlet-perem nagysága hogyan befolyásolja a (3.2.1.)

parciális differenciálegyenlet VEM által közelített megoldásának hibáját a pontos

megoldáshoz képest. Ehhez a hibák - és -normáit fogjuk összehasonlítani.

Először állítsuk be mindkét Dirichlet-perem nagyságát m méretűre, a

diffúziós együtthatónak pedig válasszunk különféle értékeket, és nézzük meg, hogy a

VEM mit ad a hibák normáira. Három különböző tesztfüggvénnyel leírt áramlás esetén

vizsgálódunk, ezek a következőek:

(

)

(

) (

)


30

Megnézzük azt is, hogy az eredmények hogyan változnak, ha a háromszögrácsot

finomítjuk úgy, hogy végeselem módszerrel „megfelezzük” a háromszögeket. A három

tesztfüggvényre kapott hibák megfelelő normáit a táblázatok tartalmazzák.

Diffúziós

együttható: 10 1 0.1

Eredeti

rácsozás

‖ ‖

‖ ‖

Felezett

rácsozás

‖ ‖

‖ ‖

3.2. Táblázat. tesztfüggvényre Matlabbal kapott hibanormák.

A következő két ábrán láthatjuk a pontos és az általunk számolt megoldást x-y-

tengelyre vetítve, a fenti paraméterek esetén. A színezésnek megfelelően a harmadik

koordinátákat leolvashatjuk a színskáláról.

3.3. Ábra. Az eredeti rácsozás.


31

3.4. Ábra. A finomított rácsozás.

Diffúziós


Eredeti

rácsozás

‖ ‖

‖ ‖

Felezett

rácsozás

‖ ‖

‖ ‖


Diffúziós


Eredeti

rácsozás

‖ ‖

‖ ‖

Felezett

rácsozás

‖ ‖

‖ ‖



32

Mindhárom táblázatból látszik, hogy külön-külön a rácsozásoknak megfelelően a hibák

normái megegyeznek négy tizedesjegyre kerekítve, bárhogy is válasszuk meg a

diffúziós együtthatót. A számításainkból kiderült, hogy az első eltérések a nyolcadik

tizedesjegy körül lépnek fel, de ez már nem számottevő. Ez azt jelenti, hogy

nem

befolyásolja az eredményt, ezzel választ kaptunk az egyik kérdésünkre. Az is látszik,

hogy a felezett rácsozásnál kapott eredmények -norma esetében az eredeti

rácsozásnál kapottak fele, -normánal pedig a negyede. Ennek oka a következő két

egyenlőtlenség teljesülése:

‖ ‖ | | , illetve ‖ ‖ | | .

Most megnézzük, hogy a Dirichlet-peremfeltétellel ellátott peremek

nagyságának változtatása milyen hatással van a hibák normáira. A tesztfüggvényünk

legyen a (3.2.2.) egyenletű , a választott méreteket pedig a táblázatok első sora

tartalmazza. Az eredeti és a felezett rács esetén is vizsgáljuk meg az eredményeket.

Perem mérete

(m):

‖ ‖

‖ ‖

3.7. Táblázat. Hibák normái különböző peremnagyságokra, eredeti rácsozás esetén.

Perem mérete

(m):

‖ ‖

‖ ‖

3.8. Táblázat. Hibák normái különböző peremnagyságokra, finomított rácsozás

esetén.


33

A fenti két táblázat adatait összevetve a második fontos kérdésünkre is megkapjuk a

választ: a pontos és a számolt eredmény különbségére vett normák nem függenek a

Dirichlet-peremfeltétellel ellátott perem nagyságától, a minimális eltérés, amit

tapasztaltunk, nem számottevő. A hibák egyes normái nagyságrendileg megegyeznek,

így azokat nagyjából egyenlőknek mondhatjuk. Látszik, hogy minél jobban finomítjuk a

háromszögrács szerkezetét, a hibák normái az egyes méretezésekre annál nagyobb

eltérést mutatnak. A -normák feleződése és az -normák negyedelődése a

rácsszerkezet felezése után itt is megfigyelhető. Tehát azt kaptuk, hogy a részecskék

áramlása az anódon nem függ annak a két peremnek a nagyságától, amelyen keresztül

be- illetve kilépnek az elektródából.

Következtetésként tehát elmondható, hogy a végeselem módszer valóban jól

használható nem csak tisztán matematikai, hanem a valós életben előforduló, mérnöki

problémák megoldásában is. A fenti alkalmazás egy példa arra, hogy még a manapság

nagyon népszerű környezetbarát technológiák kialakításában is alkalmaznak végeselem

módszert.

34

Irodalomjegyzék

[ ] Gergó Lajos: Numerikus módszerek, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (2000)

[ ] Horváth Tamás: Végeselem módszerek alapjai, elektronikus jegyzet, Budapest

(2011)

[ ] Karátson János: Numerikus funkcionálanalízis, elektronikus jegyzet, Budapest

(2010)

[ ] Pavel Solin: Partial Differential Equations and the Finite Element Method,

Wiley-Interscience, New Jersey (2006)

[ ] Simon László, E. A. Baderko: Másodrendű lineáris parciális

differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest (1983)

[ ] Simon Péter: Analízis V., ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (1996)

[ ] Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó,

Budapest (1977)

[ ] http://fuelcell.hu

végeselem módszerek és alkalmazásaik...köszönetnyilvánítás ezúton is szeretném...

Documents