với - daythem.edu.vndaythem.edu.vn/down.php?url=ung-dung-nguyen-ham-tich-phan-nguyen-ham... ·...

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

A – NGUYÊN HÀM

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Định nghĩa:

VD 01: 2( ) ' 2x x 22xdx x C 1

(ln ) ' , 0x xx

1

ln | |dx x Cx

' 1x dx x C (sinx) ' cos x cos sinxdx x C

( ) ' .lnx xa a a lnx xa adx a C ( ) 'x xe e x xe dx e C

Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa…

Các tính chất của nguyên hàm:

Tính chất 1: ( ) ' ( )f x dx f x C

Tính chất 2: . ( ) ( ) , onsk f x dx k f x dx k c t

Tính chất 3: [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

VD 02:

a) xdx b) 5

dxx

c) xa dx

d) (cos sin )x x dx e) 1 xe dxx

f) 23x dx

2. Nguyên hàm một số hàm thƣờng gặp

Bảng 1:

kdx kx C 1

1 1

( 1)n ndx C

x n x

1

, 11

nn x

x dx C nn

Với 1 1

1: ln | |n x dx dx x Cx

ln

xx a

a dx Ca

Với :ln

xx xe

a e e dx C e Ce

VD 03:

a) 2x dx b) xdx c) 23x dx

d) 44x dx e) 3

1dx

x f)

1

3x dx

g) 2

2

xdx

x

h) 4( 1)( 3 )x x x dx i) 23

2

xx dx

j) 3(2 5 7)x x dx k) 2

2

1 1

3x dx

x

l) 3x dx

m) 210 x dx n) 3x x dx o) 2

x x xdx

x

( ) ( )f x dx F x C với '( ) ( )

ons

F x f x

C c t


2

p) ( 1)( 5)x x x dx q)

3

1x dx

x

r) 3 2(2 1)x dx

s) 3( 1)( 2)x x x dx t) 3( 1)xe dx u) 2x xe dx

Bảng 2:

1 1.ln | |dx ax b C

ax b a

11 ( )

( ) .1

nn ax b

ax b dx Ca n

1.

ln

ax bax b k

k dx Ca k

1.ax b ax be dx e C

a

VD 04:

a) 3

2 5dx

x b) 1

2 2dx

x c) 2

4 4

2 3

xdx

x x

d) 2

4

2 1

xdx

x x

e) 3

2 2 1

xdx

x x f) 3

4 1

xdx

x

g) 4(2 1)x dx h) 2 32 ( 1)x x dx i) 2 2 2x xe e dx

Bảng 3:

sin cosxdx x C cos sinxdx x C

2

2

1(1 cot ) cot

sindx x dx x C

x 2

2

1(1 tan ) tan

cosdx x dx x C

x

1sin( ) .cos( )ax b dx ax b C

a

1cos( ) .sin( )ax b dx ax b C

a

2

2

1[1 cot ( )]

sin ( )

1.cot( )

dx ax b dxax b

ax b Ca

2

2

1[1 tan ( )]

cos ( )

1.tan( )

dx ax b dxax b

ax b Ca

VD 05:

a) 2sin xdx b) 2cos xdx c) 2 24(cos sin )x x dx

d) 2tan xdx e) 2cot xdx f) 3sin xdx

g) 3cos xdx h) 2sin .cosx xdx i) cos(3 4)x dx

k) sin 2xdx l) cos2

xdx m) sin cosx xdx

n) 2

1

cos (3 2)dx

x o) 4sin xdx p) 4cos xdx

q) 2sin cosx xdx r) sin 3xdx s) 4cos sinx xdxII – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Một số kết quả thƣờng gặp khi tính nguyên hàm

( ) ( )f x dx f t dt 1

1 1 1

( ) ( 1)( )n ndx C

ax b a n ax b

'ln | |

udx u C

u

1

'.1

nn u

u u dx Cn


3

Nếu ( ) ( )f x dx F x C thì 1

( ) . ( )f ax b dx F ax b Ca

2. Các phƣơng pháp tính nguyên hàm

a) Phƣơng pháp đổi biến:

Bước 1: Đặt ( )t u x , ta được ( ) 'dt u x dx

Bước 2: Tính nguyên hàm theo biến t.

Bước 3: Thay ( )t u x để được kết quả theo biến x.

VD 06:

a) 100( 1)x dx b) 21

xdx

x c)

2

2 1

1

xdx

x x

d) 2

4 4

2 3

xdx

x x

e) 3

2 118

xx dx

f) 4sin cosx xdx

g) sin cosxe xdx h) 21. xx e dx

i) 1

5 4dx

x

j) 2

3

9

1

xdx

x k) 24 1x x dx l)

2

1

(1 )dx

x x

m) 23 7 3x x dx n) 3sin cos2 2

x xdx o) 2cos( )x x dx

p) tan xdx q) cot xdx r) 2

3

xxe dx

b) Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần:

( ) ( )I f x g x dx

Đặt ( )

( )

u f x

dv g x dx

( ) '

( )

du f x dx

v g x

Khi đó: I uv vdu

VD 07:

a) cosx xdx b) ln xdx c) 2 xx e dx

d) 2ln xdx e) sin2

xx dx f) xxe dx

g) 2 cosx xdx h) 2 sinx xdx i) 2 cos 2x xdx

j) 3 ln(2 )x x dx l) 3 9xe dx

LUYỆN TẬP

Phƣơng Pháp: nguyên hàm hữu tỉ ( )

( )

P xdx

Q x

Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x)

Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x):

1

1 1 1 1

( ) ( 1) ( )n ndx C

ax b a n ax b

1 1 1

( )( )

dxdx

x a x b a b x a x b


4

2 2

1 1 1

2

dxdx

x a a x a x a

1) Tính các nguyên hàm sau:

a) 2

1

1dx

x b) 2

1

4

xdx

x

c) 2

1

3 2dx

x x

d) 2

2

1

3 2

x xdx

x x

e) 2

3

3 3 3

3 2

x xdx

x x

f) 2 6 9

dx

x x

g) 2 5 6

dx

x x h) 2 2

dx

x x i) 2

4 11

5 6

xdx

x x

j) 3

1

xdx

x k) 5

21

xdx

x l)

2 2 3

( 1)( 2)( 3)

x xdx

x x x

m) 1

( 1)dx

x x n)

2

1

4 4 1dx

x x o) 2

100(1 )

xdx

x

p) 3

1

1

xdx

x

q)

2

2

3

23x dx

x

r) ( 1)( 2)x x x dx

s) 2

3

xdx

x t) 2

21

xdx

x u)

2

2

3

1

xdx

x

2) Tính:

a) 2x xe dx b) 3.2 2.3

2

x x

xdx

c) 2(2 3 )x x dx

d) 1 12 6

10

x x

xdx

e)

1

x

x

edx

e f) 2(ln 1)x

dxx

g) x x

x x

e edx

e e

h) sin(ln )x

dxx i)

2 4 4

x

x x

edx

e e

j) 3ln | 1 |

1

xdx

x

k) 2

1x x

dxe e l)

x

x x

edx

e e


a) x x x dx b) 34

5 1dx

x x

c) ( 1)( 1)x x x dx

d) 3 41.x x xdx

x

e)

2 2

2

13 xx x x edx

x

f)

4 4 2x x dx

g) 2 5x xdx h) 2

2

xdx

x i)

32 21 (1 )

xdx

x x

j) 1x xdx k) 2

1 1

1

x xdx

x

l)

1

1dx

x x

m) 2

2

1

xdx

x x n)

4 4

xdx

x x o)

3

6

(1 2 ) 1

4 5

x xdt

x x x

4) Tính:

a) 2 2

4

sin cosdx

x x b) 2 2

os2

sin cos

c xdx

x x c) 24sin cos tan2 2 2

x x xdx

d) 3

2

sin 2

3sin

xdx

x

e) 2tan xdx f) 3tan xdx


- 5 -

g) 4tan xdx h) 5tan xdx i) 6tan xdx

j) 2cot xdx k) 3cot xdx l) tan ,n xdx n5) Tính các nguyên hàm sau:

a) 21 cos

1 cos 2

xdx

x

b) 1 sin 2xdx c) sin 2 cos8x xdx

d) 3cos sin8x xdx e) sin cos

sin cos

x xdx

x x

f) sin sin 2 sin 3x x xdx

g) cos cos 2 cos3

sin sin 2 sin 3

x x xdx

x x x

h) 3

2

sin cos

1 cos

x xdx

x i) 4sin cosx xdx

j) 5 3cos sin

dx

x x k) 2 2sin cosx xdx l) 7 3sin cosx xdx

m) 2 3cos sinx xdx n) 2

4

sin

cos

xdx

x o) 4sin

dx

x

p) 3sin cosx xdx q) 2sin cos 1

dx

x x r) 2 2

, cos 0cos sin

dxx

a x b x

s) sin

sin cos

xI dx

x x

và cos

sin cos

xJ dx

x x

. Tính I, J

6) Tính nguyên hàm các hàm số sau:

a)

2ln x

dxx

b)

2os

xdx

c x c) 2tanx xdx

d) cos ln(1 cos )x x dx e) 2

2

ln 1

1

x x xdx

x

f)

2 2 2 2

sin cos

sin cos

x xdx

a x b x

B – TÍCH PHÂN

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa và tính chất cơ bản

Mọi tính chất đã học của nguyên hàm ở trên đều sử dụng được cho tích phân. Ok!

Định nghĩa: ( ) ( ) | ( ) ( )

b

b

a

a

f x dx F x F b F a

VD 08:

a)

5

3

1dx

x b)

4

2

1x dx

x

c)

1

2010

0

(1 7 )x dx

Các tính chất của tích phân:

Tính chất 1 ( ) 0

a

a

f x dx

Tính chất 2 ( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

Tính chất 3 ( ) ( ) ( )

b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx

VD 09:

a)

1

3 2

0

( 3 2)x x dx b)

4

2

1

1 1t dt

tt

c)

1

4

1

(5 2)x dx


6

d) 2

0

(2cos sin 2 )x x dx

e)

1

2

0

(3 2 )y y dy f)

1

2 3 9

0

. . ...s s s s ds

g)

5

4 sin cos

1 sin 2

x xdx

x

h)

3

2

0

| 2 |x x dx i)

3 5

3 2 2

30

3 2

cos3 cos3 cos3xdx xdx xdx

II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phƣơng pháp đổi biến dạng 1

Bước 1: Đặt ( )t u x , ta được ( ) 'dt u x dx

Bước 2: Đổi cận 1 2

x a b

t t t

Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t.

Tính tích phân trên theo định nghĩa.

VD 10:

a)

3

1

2 3x dx b) 2

2

1

xxe dx c)

1

0

1x dx

d)

1

3 4

0

(1 )t t dt e) 4

2

0

tan

cos

xdx

x

f)

1

2 2

0

5

( 4)

xdx

x

g)

3

20

4

1

xdx

x h)

6

0

(1 cos3 )sin 3x xdx

i)

1

5 4

0

2 (2 5 )t t t dt

2. Phƣơng pháp đổi biến dạng 2

Bước 1: Đặt ( )x u t , ta được ( ) 'dx u t dt

Bước 2: Đổi cận 1 2

x a b

t t t

Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t.

Tính tích phân trên theo định nghĩa.

VD 11:

a)

1

2

0

1 x dx b)

1

2

20 1

dx

x c)

1

2

01

dx

x

d)

1 4

4

01

xdx

x e)

1

4

01

xdx

x f)

1

2 2

0

1x x dx

3. Phƣơng pháp tích phân từng phần

( ) ( )

b

a

I f x g x dx

Đặt ( )

( )

u f x

dv g x dx

( ) '

( )

du f x dx

v g x

Khi đó: | b

b

a

a

I uv vdu

VD 12:

a)

1

0

xxe dx b)

2

1

lnx xdx c) 2

0

sinx xdx


7

d) 2

0

cosx xdx

e) 2

5

1

lnx xdx f)

1

0

( 1) xx e dx

g) 2

0

sin cosx x xdx

h) 0

cosxe xdx

i)

3 3

20 1

x dx

x

LUYỆN TẬP

Phƣơng pháp: Tích phân hàm hữu tỉ ( )

( )

P xdx

Q x

Nếu P(x) có bậc lớn hơn Q(x): chia P(x) cho Q(x) ta được ( )

( )( )

R xA x dx

Q x

Nếu P(x) có bậc nhỏ hơn Q(x): tương tự với việc ta tính ( )

( )

R xdx

Q x

+ Xét 2( )Q x ax bx c (có bậc 2) thì ( )R x mx n

TH 1: 1 2( ) ( )( )Q x a x x x x (x1, x2 là hai nghiệm của Q(x) = 0)

1 2

( )

( )

R x A Bdx dx

Q x x x x x

với

1 1

( )( )

k kdx dx

x a x b a b x a x b

TH 2: 2( ) ( )oQ x a x x (xo là nghiệm kép của Q(x) = 0)

2

( )

( ) ( )o o

R x A Bdx dx

Q x x x x x

TH 3: Q(x) = 0 vô nghiệm, ta phân tích để ( ) . ( ) 'R x AQ x B và khi đó:

( ) . ( ) '

( ) ( ) ( )

R x AQ x Bdx dx

Q x Q x Q x

Trường hợp 3 này ta sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.

+ Xét 3 2( )Q x ax bx cx d ( có bậc 3) thì 2( )R x mx nx p

TH 1: 1 2 3( ) ( )( )( )Q x x x x x x x

1 2 3

( )

( )

R x A B Cdx dx

Q x x x x x x x

TH 2: 2

1 2( ) ( ) ( )Q x x x x x

2

1 1 2

( )

( ) ( )

R x A B Cdx dx

Q x x x x x x x

TH 3: 3( ) ( )oQ x x x

2 3

( )

( ) ( ) ( )o o o

R x A B Cdx dx

Q x x x x x x x

TH 4: 2( ) ( )( )oQ x x x ax bx c

2

( )

( ) o

R x A Bx Cdx dx

Q x x x ax bx c

+ Xét Q(x) là hàm có bậc lớn hơn 3 thì bài toán chỉ xét với dạng đơn giản.

1) Tính các tích phân sau

a)

1

5 3 6

0

(1 )x x dx b)

1

19

0

(1 )x x dx c)

1

2 3

0

(1 ) , 1,nx x dx n n


8

d)

1

4

2

1

2

1

( 1)dx

x x

e)

1 2

2

04

xdx

x f)

1

2

04

xdx

x

g)

3 4

3

2

2xdx

x x

h)

1

2

03 2

dx

x x i)

3 3

2

02 1

xdx

x x

j) 1 2

4

1

2

1

1

xdx

x

, đặt

1t

x k)

2

5

1

(1 )x x dx l) 2 2

4

1

1

1

xdx

x

m)

5

2

1

1

xdx

x

n)

4

2

33 2

dx

x x o)

1

2

03

dx

x

p)

2

2

1

(2 1)x dx q)

1

10

0

( 2)x dx r)

3 2

2

0

2 1

1

xdx

x

s)

4

2

04

xdx

x t) 1

2

22 2

xdx

x x

u)

2 3

2

02 1

x dx

x x

v)

4

7

1

(3 1)x dx w)

2

2

04

dx

x x)

2

2

04 5

dx

x x

y)

2

2

04 5

xdx

x x z) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)

xdx

x x x x x

Phƣơng pháp: Tích phân hàm lượng giác

Biến đổi về tích phân cơ bản (sử dụng các công thức lượng giác)

Đổi biến số

+ Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số)

+ Đổi biến số theo chu kì của hàm lượng giác. Quy tắc chung: Đặt ,2

t x t x

(Tích phân đặc biệt – các hằng đẳng thức tích phân)

+ Đổi biến qua tan2

xt . Khi đó:

2

2sin

1

tx

t

2

2

1cos

1

tx

t

2

2tan

1

tx

t

21cot

2

tx

t

Tích phân lượng giác tổng quát: sin cos

sin cos

a x b x cdx

d x e x f

, ta biến đổi

sin cos ( sin cos ) ' cos sin

sin cos sin cos sin cos

a x b x c d x e x f d x e xA B A B

d x e x f d x e x f d x e x f

Sử dụng công thức tích phân từng phần

Chú ý các công thức lƣợng giác:

2sin .sin cos( ) cos( )x y x y x y

2cos .cos cos( ) cos( )x y x y x y

2sin .cos sin( ) sin( )x y x y x y

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )4 4

a a a a

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )4 4

a a x x

sin sin 2sin . os2 2

x y x yx y c

sin sin 2sin . os

2 2

x y x yx y c

cos cos 2cos cos2 2

x y x yx y

cos cos 2sin sin

2 2

x y x yx y


9

2) Tính (biến đổi về tích phân cơ bản)

a) 4 4(cos sin )x x dx b) 2

4

0

cos xdx

c) 2

4 4

0

cos 2 (sin cos )x x x dx

d) 2

01 sin 2

dx

x

e)

24

0

sin xdx

f) 3 3(sin cos3 cos sin 3 )x x x x dx

g) 2

4 4

0

os2 (sin os )c x x c x dx

h) 2

2

cos5 cos3x xdx

i) 01 sin

dx

x

đổi sin ra cos

j) 2

0

sin 3

cos 1

xdx

x

k) 2

2 2

0

cos cos 2x xdx

và 2

2 2

0

sin cos 2x xdx

3) Tính (đổi biến hữu tỉ hóa tích phân lượng giác)

a) cos3

dx

x b) 2

sin( )

os

a xdx

c x

c)

sin 2 2sin

dx

x x

d)

0

2

4

sin 2

(2 sin )

xdx

x

e) 2

2

0

sin 2 (1 sin )x x dx

f) 2

2

0

sin cos (1 cos )x x x dx

g)

4

3

sin2

dx

x

h) 2

0

sin 3

1 cos

xdx

x

i)

32

2

0

sin

1 cos

xdx

x

j) 1

4

0

5(5 4cos ) sint tdt

k) 4

4

tan xdx

l) 2

0

cos

1 sin

xdx

x

m) 6

0

2 1 4sin 3 os3xc xdx

n) 0

sin 4

1 sin

xdx

x

o)

2

0

cos

2 cos 2

xdx

x

p)

2

0(2 cos )(3 cos )

dx

x x

q) 2

5

0

osc xdx

r) 3

0

sin xdx

s) 2

2

0

sin

cos 3

xdx

x

t) 2

1 1 1sin cos dx

x x x

4) Tính (đổi biến qua tan2

xt )

a) 2

0sin cos 2

dx

x x

b) 4

0

3sin 4cos

2sin cos

x xdx

x x

c) 2

0

sin 7cos 6

4sin 3cos 5

x xdx

x x

d) 3

0cos

dx

x

e) 2

0

sin

cos 2sin

xdx

x x

f) ox s inx

sin 2cos

cdx

x x

g) 2

0

4cos 3sin 1

4sin 3cos 5

x xdx

x x

5) Tính (sử dụng công thức tích phân từng phần)


10

a) 4

0

cos 2x xdx

b) 2

2

0

cosx xdx

c) 2

2

0

cos sinx x xdx

d) 2

2

0

(2 1)cosx xdx

e) 2

0

( sin )x x dx

f) 2

2

0

( 1)sinx xdx

g) 2

0

cos ln(1 cos )x x dx

h) 2

2sin 3

0

sin cosxe x xdx

i) 3

6

cosx xdx

j) 3

2

4

sin

xdx

x

k) 2

0

sinx xdx

l) 2

0

osxc xdx

m) 2

0

sinx xdx

n) 4

2

02cos

xdx

x

o)

Phƣơng pháp: Tích phân hàm vô tỉ (chứa căn thức)

Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ

Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1

2

1b

a

dxx a

Đặt 2t x x a , (phép thế Ơle)

Đưa tích phân vô tỉ về tích phân lượng giác (Phương pháp đổi biến dạng 2)

2 2

1b

a

dxa x Đặt tanx a t

2 2

1b

a

dxa x

Đặt sinx a t hoặc cosx a t

2 2

b

a

a x dx Đặt sinx a t hoặc cosx a t

Sử dụng tích phân từng phần

2

b

a

x adx Sử dụng tích phân từng phần

6) Tính các tích phân sau (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)

a)

7

3

3x dx b)

4

0 25 3

dx

x c)

3

2

0

1x x dx

d)

1

21

2 1

1

xdx

x x

e)

9

3

1

1x xdx f)

1

2 3

0

1x x dx

g)

1

2 8

0

1x xdx h)

7

3

30

1

3 1

xdx

x

i)

3 5 3

20

2

1

x xdx

x

j)

1

3 2

0

1x x dx k)

2

3 2

0

1x x dx l)

2

21 1

dx

x


11

m)

1

2

0

1x x dx n) 9

3

1

1x xdx o)

1

2

20 1

xdx

x

p)

1

20 1

dx

x x q)

5

2 1 2

dx

x x r)

2

21 1

xdx

x x

s)

2 3

25 4

dx

x x t)

4

27 9

dx

x x u)

2

0 2 2

xdx

x x

v)

1

3

0

1x xdx x)

1 2

20 2

x dx

x x

7) Tính (Lượng giác hóa tích phân vô tỉ)

a)

2

2 2

0

4x x dx b)

2

22

20 1

xdx

x c)

1

3

2 20 (2 1) 1

dx

x x , đặt tanx t

g) 2

1

ln 1dx

x x h)

1 2

6

01

x dx

x i) 2 9

dx

x

j) 29 4

dx

x k)

1 2

2

2

2

1 xdx

x

l)

1 2

20 4

x dx

x

m)

1

2

0

1 x dx n)

1

2 2

0

1x x dx o) 2

2 2

0

, 0

a

a x dx a

p) 2

2 20

, 0

a

dxa

a x

q)

1

2

21

4

dx

x x r)

2

22 1

dx

x x

s)

3

21

3

1

xdx

x t)

2

2

0

1

1

xdx

x

, đặt cosx t u)

1

2 3

0

(1 )x dx

8) Tính (sử dụng tích phân từng phần)

a)

1

2

0

1x dx b)

1

2

0

1x dx

Phƣơng pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)

Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ

Sử dụng tích phân từng phần

9) Tính (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ)

a) 3

2

2

1

xx e dx b)

3

2

1

1(ln )x dx

x c)

2

12

x

x

e dx

e

d)

2

ln

e

e

dx

x x e) 2

3

0

xxe dx

f)

1

0

ln(2 )

2

xdx

x

g)

ln3

0

1xe dx h) 2x xe e dx i) 3

1 ln 2

edx

x x


12

j)

1

01x

dx

e k)

1

05x

dx

e l) 1

ln 24x x

dx

e e

m)

1 2

2

0

(1 )

1

x

x

e dx

e

n)

1 2

01

x

x

edx

e

o)

1

ln( )

3 ln

eex

dxx x

p) 1

ln

1 ln

exdx

x x q)

1

2

1( 1)( 1)x

dx

e x

, đặt t=-x rồi sử dụng phép truy hồi

r) 1

(1 ln )

edx

x x s) 4

1

xedx

x t)

2

2

0

x

e dx

u)

1

0

2x xe dx v) 3

20

tan

1 ln | cos |

xdx

x

w)

14

2

1 cos (ln 1)

e

e

dx

x x

x) 2

1 1 ln

edx

x x y)

2

2

1

os (ln )

e

c x dx

z)

ln3

30 ( 1)

x

x

e dx

e

10) Tính (sử dụng tích phân từng phần)

a) 2

1

ln

e

x xdx b)

ln 2

2

0

xxe dx

c)

1

0

ln(2 1)x dx

d) 1

1 lne

x xdx

x

e)

1

2

0(1 )

xxedx

x f)

2 1

1

11

xxx e dx

x

g)

3

2

[ ln( 1) ln( 1)]x x dx h)

1

1

( 3) xx e dx

i)

2

1

(2 1) lnx xdx

j) 1

ln

e

x xdx k) 2

4

cos ln(sin )x x dx

l)

1

2 2

0

(1 ) xx e dx

m) 2

2

0

sin 3xe xdx

n) 2 2

1

ln

e

x xdx o) 3

1

ln

e

x xdx

p)

1

2

0

ln(1 )x x dx q) 4

0

sin 2xe xdx

r) 2

0

sin 2xe xdx

s) 2

0

cosxe xdx

t)

1

2

0

ln( 1)x x dx u)

1

2 3

0

[ln( 1)]x x dx

v)

0

2 3

1

( 1)xx e x dx

w) 2

2

0

sin 3xe xdx

x)

1

2

0

( ) xx x e dx

y) 2

1

ln

e

x xdx z)

2

1

ln( 1)x dx

Phƣơng pháp: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối

Được ứng dụng nhiều trong các bài toán tính diện tích hình

phẳng và thể tích vật thể

Bước 1: xét dấu biểu thức chứa trị tuyệt đối trên các đoạn


- 13 -

Bước 2: Chia đoạn [ ; ]a b , [ ; ]b c , [ ; ]c d ,…

Bước 3: Tính ( ) ( ) ( ) ...

b c d

a b c

f x dx f x dx f x dx

11) Tính

a)

2

2

0

| 1|x dx b)

1 2

5

1 2

1

x xdx

x

c) 2

2

2

| 1|x dx

d)

3

3

| 2 |x dx

e)

2

0

| cos |x dx

f) 0

| cos | sinx xdx

g)

2

2 2

0

2x x dx h) 2x xe e dx i)

3

2

0

2 2cos 2xdx

j)

4

2

0

6 9x x dx

Phƣơng pháp: Tích phân đặc biệt – Các hằng đẳng thức tích phân

( )f x liên tục trên [ ; ]a a , khi đó 0

2 ( ) à àm n( )

0 à àm

a

a

a

f x dx f l h chaf x dx

f l h le

( )f x liên tục, chẵn trên [ ; ]a a , khi đó 0

( )( )

1

a a

x

a

f xdx f x dx

b

, đặt t x

( )f x liên tục trên [ ; ]a a , khi đó

1 1

1 0

( ) [ ( ) ( )]f x dx f x f x dx

( )f x liên tục trên [-1;1] , khi đó:

2 2

0 0

(sin ) (cos )f x dx f x dx

, đặt 2

t x

2

0 0 0

(sin ) (sin ) (sin )2

xf x dx f x dx f x dx

, đặt t x

Chú ý: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f a b x dx đặt t a b x

0

sin sinm n

mx nxdxm n

, m, n là các số nguyên dương

1 1

0 0

( ) (1 )f x dx f x dx , ( )f x liên tục

2 2

0 0

sin cosn nxdx xdx

với n

12) Tính

a) 2

2

2

ln 1x x dx

b) 2

2

2

cos ln 1x x x dx

c) 2 3

2

2

ln 1x x dx


14

13) Tính

a) 1 4

11 2x

xdx

b)

22

2

| sin |

1 2x

x xdx

c) 2

2

sin sin 2 cos5

1x

x x xdx

e

14) Tính

a) 1 4

2

1

sin

1

x xdx

x

b) 1

2

1( 1)( 1)x

dx

e x

c)

2 2

4

1

1 xdx

x

, đặt

1t

x

15) Tính

a) 2

0

sin

1 cos

x xdx

x

b) 2

0

sin cosx x xdx

c) 2

0

sin

cos sin

xdx

x x

d) 2

0

sin

cos sin

xdx

x x

e)

2

0

sin

cos sin

n

n n

xdx

x x

f) 2

0

1 sinln

1 cos

xdx

x

C - ỨNG DỤNG

LUYỆN TẬP

D – ÔN TẬP


a) 3 2( 2 4)x x dx b) 2 3( )ax b dx c)

3

1x dx

x

d)

4

2 1x dx

x

e)

232x x dx f) 3( 1)xa dx

g) 2( )x xa b dx h) 2x xa a dx i) 2x xa a dx

j) tan xdx k) 2cos

3 2sin

xdx

x l) 4

sin

cos

xdx

x

m) 3

3 1

( 1)

xdx

x

n) 4( 9)x dx o) 2

1

(2 )dx

x

p) 21

xdx

x q)

1

2 1dx

x r)

2

1 cos 2

cos

xdx

x

s) 3( 1)

xdx

x t) 5 4 23 2 1x x x

dxx

u)

2 2

dx

x x

v) 2(2 )x x dx w) 1 x

dx

e x) 2(2 1)( 3)x x x dx


- 15 -

y) 21

xdx

x z)

2 2sin cos

dx

x x

2) Tính các nguyên hàm sau bằng phƣơng pháp đổi biến số:

a) 2 3 31x x dx b) 2xxe dx

c) 2 2(1 )

xdx

x

d) 1

(1 )dx

x x e)

2(ln )xdx

x f) 5sin cosx xdx

g) cos sin

sin cos

x xdx

x x

h)

2 2(1 )

xdx

x i) 2

1 1.sin .dx

x x

j) 3 2

sin

cos

xdx

x k) cos xdx l)

3

4

sin

cos

xdx

x

m) 1

x xdx

e e n) 3

4 4

xdx

x o) 2 3 1x x dx

p) sin cosxe xdx q) 5ln x

dxx r)

2

2 1

x

x

edx

e

s) 2

4

1

1

xdx

x

t) 2

4 2

1

6 1

xdx

x x

3) Áp dụng phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) (1 2 ) xx e dx b) xxe dx

c) ln(1 )x x dx

d) 2sinx xdx e) 2ln 1x x dx f) 1

ln1

xx dx

x

g) 2

ln(sin )

cos

xdx

x h) 2

ln(sin )

cos

xdx

x i) 5(3 )x x dx

j) 2(2 3 )x x dx k) 2 5x xdx l) 1

( 2)( 3)

xdx

x x

m) 2sin

xdx

x n) 1

1dx

x o)

3

2

sin

cos

xdx

x

p) sin 3 cos 2x xdx q) 2 2 2 2

sin cos

sin cos

x xdx

a x b x r) 2lnx xdx

s) 2 sinx xdx t) 2 ln( 1)x x dx u) cos ln(1 cos )x x dx

v) cosxe xdx w) xxe dx x) 2 xx e dx

4) Bằng cách biến đổi các hàm số lƣợng giác hãy tính:

a) 4sin xdx b) 3

1

sindx

x c) 3 4sin cosx xdx

d) 4 4sin cosx xdx e) 2

1

cos sindx

x x f) 1 sin

1 cos

xdx

x

g) sin 4 sin 6x xdx h) sin 3 cos7x xdx i) sin 3 cos 2x xdx

5) Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau:

a) 2 4

xdx

x b) 2

1

2 1dx

x x c) 2

2 1

2 2

xdx

x x

d) 1

( 3)( 4)dx

x x e) 2

( 1)( 3)

xdx

x x f) 3

2 4

xdx

x

g) 3

2 4

xdx

x h) 2

2

2 1

xdx

x x

i) 3

1

1dx

x


16

j) 2

2 2 1

xdx

x x k) 2

3 1

xdx

x l) 2

2( 1)( 1)

xdx

x x

m) 4 4

xdx

x n) 1x xdx o) 1x xdx

p) 21x x dx q) 21x x dx r) 3( 1)xdx

x

s) 2

4 4

xdx

x t) 3 2

2

3 1

1

x x xdx

x

u) 2

2 1

3

xdx

x x

v) 2

1

(2 3)dx

x w) 22 1x x dx x) 3

4 1

( 2)

xdx

x

y) 2

3

4dx

x z) 2

2 2

cos 2sin

cos sin 2

x xdx

x x

6) Tính các tích phân hữu tỉ

a)

1

2

04 3

dx

x x b)

1

3

0( 1)

xdx

x c)

1

2003

0

( 1)x x dx

d)

1 4 3

2

0

3 1

1

x x xdx

x

e)

2

2

04 4

dx

x x f)

2

2

04 4

xdx

x x

g) 6

2

45 6

dx

x x h) 6

2

45 6

xdx

x x i)

1

2 2

0( 1)

xdx

x

j)

1

2 2

0( 1)

dx

x k)

1 3

8

01

x dx

x l) 2 2

0

, 0

adx

ax a

m)

1

2

0

6 2

1

xdx

x x

n)

1

2

0

4 1

1

xdx

x x

o)

1

2

01

dx

x x

p)

1

2

02 2

dx

x x q)

3 7

8 4

22 1

x dx

x x r)

2

2

06 9

dx

x x

s)

1

2

05 6

dx

x x t)

1

2

02

dx

x x u)

1

2

03

dx

x

v)

1

2

0

4 11

5 6

xdx

x x

w)

1 3

01

x dx

x

7) Tính các tích phân hàm vô tỉ

a)

1

0 2 1

xdx

x b)

4

27 9

dx

x x c)

1

2 2

0

1x x dx

8) Tính các tích phân hàm vô tỉ và trị tuyệt đối

a)

2

0

| 1|x x dx b)

2

2

0| 1|

dx

x x c)

3 2

2

0

| 1|

| 2 |

x xdx

x x

9) Tính các tích phân hàm lượng giác

a) 1 cos

dx

x b)

sin

dx

x c) sin sin 2 sin 3x x xdx

d) 4 3sin cosx xdx e) 4cos

dx

x f) 32

0

4sin

1 cos

x

x


17

g) 2

01 sin cos

dx

x x

h) 3

3

4

tan xdx

i)

62

6 6

0

sin

sin cos

x

x x

j) 2

4

0

sin 2

1 sin

xdx

x

k)

2

0

sin xdx

l) 1

2

0

( 1)sinx xdx

m) 0

cosxe xdx

n) 2

1

( ln )

e

x x dx o) 4

2

0

tanx xdx

p) 2

2

0

cosx x dx

q) 4

2

0

tan

cos

xdx

x

r) 2 2cot cos2

xx dx

s) sin

1 4cos

xdx

x t)

34

3

2

cos

sin

xdx

x

u) 2

3

0

cos cosx xdx

v) 3

cos

sin

xdx

x w) 6

0

(2 )sin 3x xdx

x) 2

2

0

sinx xdx

y) 2 2

2 2

cos sin 1 cos

cos sin 2

x x xdx

x x

10) Tính các tích phân hàm siêu việt

a) 3

1

2 3

0

xx e dx b) 2

1

( log )

e

xxe x dx c) 3 2

1

ln 2 lne

x xdx

x

d)

ln 2 2

2

0

3

3 2

x x

x x

e edx

e e

e) 3

3

sin ln(cos )x x dx

f) 2

3

cos ln(1 cos )x x dx

g) 2

0

cosxe xdx

h)

2

ln

e

e

dx

x x i)

2

2

1 1

ln ln

e

e

dxx x

j) 2

1

ln

( 1)

e

e

xdx

x k)

1

3

0

xxe dx l)

1

0

ln( 1)

1

xdx

x

m)

5

2

2 ln( 1)x x dx n) 4

3

0

sin 4xe xdx

o)

1

2

0

sin ( )xe x dx

p)

1 2

2

0( 2)

xx e dx

x q) 3

4

sin ln(tan )x x dx

r)

2

2

1

cos (ln )

e

x dx

s) ln

1

e

x xe dx

t)

3

2 2

1

ln

( 1)

x xdx

x u)

1 2

0 1 1

x

x x

e dx

e e

11) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 2 và các tích phân đăc biệt

12) Ứng dụng của tích phân

Tính diện tích các phẳng giới hạn bởi


18

Tính thể tích các khối giới hạn bởi

13) Tính (đề thi TN, THCN) bao gồm cả các bài ứng dụng

14) Tính (đề thi ĐH CĐ 2000 – 2004) bao gồm cả các bài ứng dụng

15) Tính (đề thi ĐH CĐ 2004 – 2010) bao gồm cả các bài ứng dụng

với - daythem.edu.vndaythem.edu.vn/down.php?url=ung-dung-nguyen-ham-tich-phan-nguyen-ham... ·...

Documents