vi. da archimede agli enciclopedisti -...

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1 VI. Da Archimede agli enciclopedisti Archimede 287-212 a. C. nasce a Siracusa e studia ad Alessandria È il più grande matematico, ma anche il più grande ingegnere dell’antichità “Si narra che Archimede fu allora ucciso da un soldato che non lo conosceva, mentre, in mezzo all’immenso tumulto, …stava chino nello studio di alcune figure geometriche ch’egli aveva tracciate in terra. E si narra che molto si dispiacque di ciò Marcello, e che prese cura delle sue funebri esequie. [Tito Livio, Ab urbe condita, XXV]

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VI.Da Archimede

agli enciclopedisti

Archimede287-212 a. C.

nasce a Siracusa e studia ad AlessandriaÈ il più grande matematico, ma anche il più

grande ingegnere dell’antichità

“Si narra che Archimede fu allora ucciso da un soldato che non lo conosceva, mentre, in mezzo all’immensotumulto, …stava chinonello studio di alcunefigure geometrichech’egli aveva tracciate in terra. E si narra che molto si dispiacque di ciòMarcello, e che prese cura delle sue funebri esequie. [Tito Livio,Ab urbe condita, XXV]

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I suoi risultati teorici più rilevanti sono:- la determinazione di aree e di volumi mediante il metodo di esaustione,- il calcolo approssimato di π - la determinazione dei baricentri di molte figure piane e solide- i teoremi sulla leva.- studio dell’equilibrio dei corpi galleggianti nell’acqua- “metodo meccanico”.La matematica non è concepita solo come analisi dei problemi astratti, lontani dalle applicazioni, ma anche come studio di problemi concreti con riferimento alle altre scienze (fisica, astronomia, …)Seppe coniugare le esigenze intuitive dell’invenzione con quelle logiche della dimostrazione.

Le sue invenzioni colpirono la fantasia popolare a tal punto da dar vita a molti aneddoti.

- un planetario, fatto funzionare dall’energia idraulica, che simulava i moti del Sole, della Luna e dei pianeti. - una pompa (la vite di Archimede) per sollevare l’acqua da un fiume- leva, sistemi di carrucole- macchine militari, catapulte, specchi ustori per proteggere Siracusa durante l’assedio dei Romani.

Dipinto di Giulio Parigi (1599), Uffizi, Firenze

La vite di Archimedein un disegno diLeonardo da Vinci

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Archimede non lasciò alcun scritto sulle sue invenzioni forse perché

come scrive Plutarco li considerava “passatempi della geometria che

gioca”

Sulla sfera e il cilindroMisura del cerchio

Sui conoidi e sferoidiSulle spirali

Sull’equilibrio dei pianiArenario

Quadratura della parabola Sui galleggianti

StomachionMetodo sui teoremi meccanici

Libro dei lemmiIl problema dei buoi

HEIBERG

1910-1915

Misura del cerchioCalcolo approssimato del rapporto fra

circonferenza e diametroArchimede partì dalla constatazione che la circonferenza può essere approssimata con i perimetri di un poligono regolare inscritto e di uno circoscritto alla circonferenza stessa, dunque dividendoli per il diametro si ottiene un’approssimazione per difetto e una per eccesso del rapporto circonferenza-diametro, cioè di π

Parte dall’esagono e calcola i perimetri dei poligoni ottenuti raddoppiando via via i lati fino a 96 e ottiene l’approssimazione

1428,370103

711031408,3 ≈+<<+≈ π

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Quadratura della paraboladimostra con il metodo di

esaustione (nella Prop. 24) che l’area di un segmento

parabolico è uguale ai 4/3 dell’area di un triangolo avente la stessa base e la stessa altezza

Sulla sfera e il cilindro dimostra con il metodo di esaustione (nella Prop. 34 del Libro I) che qualsiasi sfera è 4 volte il cono che

ha base uguale al cerchio massimo della sfera e altezza uguale al raggio ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ = 3

34 rS π

Il Metodo fu ritrovato solo nel 1906 dal filologo danese J. L. Heiberg in un palinsesto a Costantinopoli. Dopo la I guerra mondiale si persero le tracce di questo palinsesto. Riapparve sul mercato antiquario solo nel 1998. Fu acquistato (per 2 milioni di dollari) da un miliardario americano che lo ha messo a disposizione di un’équipe di studiosi.

Qui Archimede illustra il metodo euristicocon cui trovava i risultati che poi dimostrava con il metodo di esaustione.Metodi analoghi saranno sviluppati nel ‘600 e da essinascerà l’analisi infinitesimale.

Metodo sui teoremi meccanicilettera ad Eratostene

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lettera ad Eratostene“ Vedendoti poi, come ho detto, diligente ed egregio maestro di filosofia, ... decisi di scriverti e di esporti nello stesso libro le caratteristiche di un certo metodo, mediante il quale ti sarà data la possibilità di considerare questioni matematiche per mezzo della meccanica. E sono persuaso che questo [metodo] sia non meno utile anche per la dimostrazione degli stessi teoremi. E infatti alcune delle [proprietà] che a me dapprima si sono presentate per via meccanica sono state più tardi [da me] dimostrate per via geometrica, poiché la ricerca [compiuta] per mezzo di questo metodo non è una [vera] dimostrazione: è poi piùfacile, avendo già ottenuto con [questo] metodo qualche conoscenza delle cose ricercate, compiere la dimostrazione, piuttosto che ricercare senza alcuna nozione preventiva ... ho voluto quindi, avendolo scritto, pubblicare quel metodo, sia perché ne avevo già prima parlato (sicché non sembri che abbia fatto un vuoto discorso) sia perché son convinto che porterà non piccola utilità nella matematica: confido infatti che alcuni dei matematici attuali o dei futuri, essendo stato loro mostrato questo metodo, ritroveranno anche altri teoremi da noi non ancora escogitati”.

♦Archimede considera le figure piane come costituite da tutti gli infiniti segmenti paralleli ad una direzione e i solidi come costituiti dalle loro sezioni piane parallele ad una giacitura (infinito attuale).♦ Trasforma il problema geometrico in un problema di statica. Considera i segmenti (sezioni piane) dotati di peso.♦ Usa una figura ausiliaria, di area nota,

tale che i segmenti componenti le due figurepossano essere confrontati a due a due e che messi agli estremi di una leva si facciano equilibrio.

“In questo scritto Archimede ci fa guardare dentro la sua officina matematica” [Zeuthen]

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♦ Immagina il segmento S e il triangolo AFC come formati dalla totalità dei segmenti paralleli al diametro DB della parabola(OP per la parabola e OM per il triangolo)

♦ Colloca in H un segmento uguale a OP: questo per la [1] fa equilibrio al segmento OM nella leva di fulcro K

Metodo, Prop. 1 area di un segmento di parabola S [p. 576]

ABCAFCS34

31

==

.).5, (Prop. ParQuadrxOMaOP ⋅=⋅

La figura ausiliaria è il triangolo AFC(FC è tangente alla parabola in C eAF parallelo al diametro DB)Per le proprietà delle tangenti allaparabola: BD = EB

MN = NOFK= KA

Prolunga CK di KH = CKAC = aAO = x

[1]

♦ Considerando ora la totalità delle coppie di segmenti OP e OM al variare di O e allora si avrà che il segmento di parabola collocato con il suo centro di gravità in H farà equilibrio al triangolo AFC il cui centro di gravità si trova su KC in W ad 1/3 di KC.

La dimostrazione rigorosa con il metodo di esaustione si trova nella Prop. 24 della Quadratura della parabola

S AFCa a

31

aAFCaS31

=⋅

xOMaOP ⋅=⋅A. interpreta questa eguaglianza come

l’espressione dell’equilibrio di una leva di fulcro K avente in un estremo

applicato OM con braccio xe nell’altro OP con braccio a

ABCAKCAFCS34

32

31

===

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Apollonio di Perga(circa 262-190 a. C.)

La sua vita trascorse fra Alessandria,dove ricevette la sua educazione scientifica, e Pergamo dove c’erano importanti centri di studi superiori e ricche biblioteche.Le sue doti di matematico erano così notevoli che era chiamato “il grande geometra”.La sua opera più importante sono le Coniche dove vi è una teoria completa delle sezioni coniche.

Diversamente da Menecmo che utilizzava tre diversi tipi di cono, Apollonio ottiene le coniche come sezione di un unico cono (considera le due falde) variando l’inclinazione del piano secante.

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Apollonio utilizza l’origine stereometrica delle coniche come sezioni del cono solo per ottenere la proprietà fondamentale (piana) di ogni curva ed è a partire da questa che ricava i successivi sviluppi della teoria.♦Uso delle coordinatePer dare la relazione fondamentale delle coniche A. stabilisce un legame fra ascisse e ordinate di un sistema di riferimento (asse x: diametro della conica e asse y: tangente alla conica in un estremo del diametro).

pxy =2

p

Parabola, Coniche I.11

Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·PL)Noi→

Ellisse, Coniche, I.13

22

2

xdppxy

xdppVR

VRxd

pd

VRxy

−=

−=−

=

⋅=

p

Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR)

Noi→

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Iperbole, Coniche, I.12

22

2

' '

'

xdppxy

xdppVQ

pd

VQxd

VQxy

+=

+==+

⋅=

Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VQ’)

Noi→

Eratostene di Cirene (284- 192 a. C.)direttore della biblioteca di Alessandria, matematico e geografo

Il calcolo della circonferenza della Terra.

Osservò che a mezzogiorno nel solstizio d’estate (23 giugno) il Sole mandava i suoi raggi a picco in un pozzo molto profondo a Syene(S). Osservò anche che nello stesso momento ad Alessandria (A), che si trova sullo stesso meridiano di Syene, ma più a nord, l’angolo fra la direzione perpendicolare OB a quella località e la direzione dei raggi solari AD era pari a 1/50 di 360°.

Il Sole è così lontano dalla Terra che SE e AD possono essere considerati paralleli e quindi SÔA è 1/50 di 360°, il che significa che l’arco SA è 1/50 della circonferenza della Terra.

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Eratostene stimò la distanza fra Alessandria e Syene

usando il fatto che le carovane di cammelli, che di solito percorrevano 100 stadi

al giorno, impiegavano 50 giorni per raggiungere

Syene. La distanza fra le due città doveva perciò essere 5000

stadi e dunque la circonferenza della Terra

250 000 stadi, cioè 39 250 chilometri,

misurazione di gran lunga più accurata delle precedenti.

Eratostene compilò anche una carta del mondo.

Il lento declino della matematica grecaDopo l’occupazione dell’Egitto da parte di Roma nel 30 a. C. ha inizio un periodo meno creativo per la matematica greca. L’interesse si rivolge maggiormente all’astronomia, alla trigonometria e alle applicazioni e prevalgono opere a carattere enciclopedico, le rielaborazioni e i commenti. Non mancano però figure di rilievo.

Tolomeo (II sec.) autore della Sintassi matematica chiamata dagli arabi Almagesto (il più grande), in 13 libri, fonda l’astronomia sulla matematica, in particolare sulla trigonometria.La trigonometria era stata creata per essere applicata all’astronomia (Ipparco, II-I sec. a. C. e Menelao, I sec. ) e raggiunge con Tolomeo un notevole livello.

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Diofanto (III sec.) è l’ultimo matematico greco creativo, la cui opera, l’Aritmetica, si discosta nei metodi dalla matematica greca classica e recupera la tradizione calcolatoria di origine babilonese

Pappo (III-IV sec.) è autore di un’opera enciclopedica, la Collezione, una sorta di manuale per lo studio della matematica greca classica, ricco di annotazioni storiche e commenti.

Proclo (V sec.) studiò ad Alessandria e poi si trasferì ad Atene dove divenne direttore dell’Accademia platonica. È autore di un Commento al I libro degli Elementi di Euclide che contiene importanti notizie sulla storia della matematica greca.

Diofanto di Alessandria (III sec.)recupera della tradizione logistica e l’eredità babilonese

“La sua giovinezza durò 1/6 della sua vita; poi la sua barba crebbe per 1/12; si sposò dopo 1/7 e gli nacque un figlio dopo 5anni. Il figlio visse la metà degli anni del padre e il padre morì 4 anni dopo il figlio”

Le Aritmetiche 13 libri, 150 problemi algebrici e di teoria dei numeriLa formulazione del problema è astratta, solo in un secondo tempo vengono forniti i dati numerici e la risoluzione è puramente numerica e indipendente dall’interpretazione geometrica (sintomatico è l’uso di potenze superiori al cubo)

84 42

571

121

61

==+++++ xxxxxx

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introduce delle abbreviazioni (algebra sincopata)l’incognita x del problema → árithmos = numero ς

x2 → ∆y dove ∆ è l’iniziale di dúnamis = potenzax3 → Ky (kúbos) x4 → ∆y ∆x6 → Ky K

→ unità (monás) e indica che ciò che segue è un numero puro/|\ → segno di sottrazione

x6 - 5x4 + x2 - 3x - 2 Ky K α ∆y α /|\ ∆y ∆ ε ς γ β

(15x2-36)/(x4+36-12x2)

- l’insieme numerico è limitato ai razionali positivi- soluzione di equazioni determinate e indeterminate-grande padronanza delle proprietà dei numeri,

abilità nell’escogitare artifici

influenza sulla moderna teoria dei numeri

o

M

o

M

ιβλςαµοριωενλςιε yyy ∆∆∆∆ /|\ /|\o

Mo

M

Il sistema di numerazione greco era decimale additivo e utilizzava le lettere dell’alfabeto

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Sul Codice di Madrid che ci ha tramandato il testo c’è l’annotazione:

“Che la tua anima, o Diofanto, sia con Satana per la difficoltà dei tuoi altri teoremi e soprattutto per questo”

Aritmetica, Prop. II.8

Dividere un quadrato dato in due quadrati Proponiamo di dividere 16 in due quadrati. Poniamo che il primo numero sia 1 quadrato di arithmos. Allora l’altro numero sarà 16 unità meno 1 quadrato di arithmos. Occorre dunque che 16 unità meno 1 quadrato di arithmos siano uguali a un quadrato. Formiamo il quadrato di una quantità qualunque di arithmos diminuita di tante unità quante ne possiede la radice di 16 unità. Sia il quadrato di 2 arithmos meno 4 unità. Questo quadrato sarà dunque 4 quadrati di arithmos più16 unità meno 16 arithmos. Eguagliamolo a 16 unità meno 1 quadrato di arithmos; aggiungiamo da una parte e dall’altra i termini negativi e semplifichiamo. Segue che 5 quadrati di arithmos sono uguali a 16 arithmos e l’arithmos Diventa 16/5. Allora uno dei numeri sarà 256/25 e l’altro sarà 144/25, cioè 16 unità e ciascuno di essi è un quadrato.

X2+Y2=16 Poniamo X2 = x2 da cui Y2= 16-x2 che deve essere un quadrato. Sia (mx - 16 )2

dove si assuma m = 2, dunque (2x – 4)2 = 16 – x2

4x2 + 16 – 16 x = 16 – x2 o 5x2 = 16x da cui x = 16/5 Per cui X2 = (16/5)2 = 256/25 Y2= 16-x2 = 144/25 256/25 + 144/25 = 400/25 = 16

“Al contrario è impossibile dividere un cubo in due cubi, un biquadrato in due biquadrati, sia in generale una potenza qualunque superiore al quadrato in due potenze dello stesso grado: io ne ho scoperto una dimostrazione meravigliosa, ma il margine è troppo stretto per contenerla”

Il “teorema di Fermat” sarà dimostrato da Andrew Wilessolo nel 1994-95

P. de Fermat (1601-1665)

xn + yn = zn

non ammette soluzioni intere positive diverse da 0 per n ≥ 3

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- 390 il vescovo Teofilo fece incendiare gran parte della biblioteca di Alessandria

- 392 l’imperatore Teodosio bandì le religioni pagane e ordinò la distruzione dei templi greci. Fu distrutto il tempio di Serapide che custodiva circa 300.000 manoscritti

- 415 i cristiani fanatici trucidarono ad Alessandria Ipazia, figlia di Teone di Alessandria e autrice di commenti a Tolomeo, Apollonio e Diofanto

- 529 l’imperatore Giustiniano, temendo che le scuole filosofiche costituissero una minaccia per il cristianesimo chiuse l’Accademia neoplatonica di Atene e le altre scuole filosofiche greche

- 641 i maomettani misero a ferro e fuoco Alessandria incendiando ciò che rimaneva della biblioteca: “O i libri contengono ciò che è nel Corano e allora non è necessario leggerli, oppure contengono l’opposto di ciò che è nel Corano e allora non si devono leggere”.

BibliografiaIV Matematica greca da Talete a Euclide - V Euclide VI Da Archimede agli Enciclopedisti

Boyer C., 1980, Storia della matematica, Mondadori, Milano, Cap. 4-11.Conti A., Problemi di 3° grado: Duplicazione del cubo – Trisezione

dell’angolo, in F. Enriques (a cura di) Questioni riguardanti le matematiche elementari, Rist. Bologna, Zanichelli, 1983, II, pp. 325-416.

Napolitani P. D. , Archimede. Alle radici della scienza moderna, Le Scienze, 2001

Giacardi L., Roero S., La matematica delle civiltà arcaiche (Egitto, Mesopotamia, Grecia), Stampatori, Torino, 1979, Cap. 4

Giusti E., Teoria della proporzioni e numeri reali, in Giusti E., Bellone E., Argomenti di storia della scienza: Matematica e Fisica, Corso di formazione per insegnanti, Università di Pavia, 1986, pp. 3-31.

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Le opereArchimede, Opere, Classici della scienza, Utet, Torino, 1974Diophantus, Les Arithmétiques, a cura di R. Rashed, Paris, 1984Euclide, Gli Elementi, Classici della scienza, Utet, Torino, 1988Heath T., Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, Cambridge

University Press, 1896.Heiberg J.L, Euclidis Elementa, Leipzig, Teubner, 1883-1888.Heiberg J.L, Archimedis opera omnia, Leipzig, Teubner, 1880-1881, II ed.

1910,1913,1915.Ver Eecke P., Les Coniques d’Apollonius de Perge, De Brouwer, Bruges,

1923Ver Eecke P., Pappus d’Alexandrie. La Collection mathématique, De

Brouwer, Bruges 1933Altro

Giusti E., Pitagora e il suo teorema, Il Giardino di Archimede, Firenze 2001Russo L., La rivoluzione dimenticata, Feltrinelli, Milano, 2003, Cap. 2-4Bartolini Bussi M., Maschietto M., Macchine matematiche. Dalla storia alla

scuola, Springer 2006.