Univerzitet u Nisu

Prirodno - matematicki Fakultet

Departman za matematiku

Visestruko osiguranje

- Master rad -

Mentor:

dr Marija Milosevic

Student:

Ana JanjicNis, Mart 2013.

2

Sadrzaj

1 Uvod 5

2 Osnovni pojmovi 72.1 Motivacioni primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Pojam osiguranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Klasicno zivotno osiguranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Model visestrukog dekrementa 113.1 Osnovni koncept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Funkcije dozivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Opsta funkcija dozivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Gruba funkcija dozivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.3 Neto funkcija dozivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Neto premije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1 Jednokratna neto premija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Izracunavanje premije u slucaju kada se premijske

uplate vrse neprekidno ili periodicno . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Model osiguranja vise osoba 494.1 Status zajednickog dozivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.1 Jednokratna neto premija za statuszajednickog dozivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.2 Zakoni Gompertz-a i Makeham-a za statuszajednickog dozivljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Status poslednjeg prezivelog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1 Jednokratna neto premija za status

poslednjeg prezivelog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Osiguranje za koje je relevantan redosled nastupanja smrti osiguranika 654.4 Dozivotna renta prezivelog osiguranika . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5 Model uslovne nezavisnosti preostalih

zivotnih vekova osiguranika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5.1 Model zajednickog slucajnog soka . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Zakljucak 73

Literatura 73

3

4

6 Biografija 77

1

Uvod

Pojam osiguranja oznacava pruzanje sigurnosti, bezbednosti i zasite od rizika.Osiguranje predstavlja udruzivanje lica koja su potencijalno izlozena nezeljenimposledicama nekog rizicnog dogadjaja. Svrha tog udruzivanja je zajednicko podnose-nje ekonomskih posledica stete za koju se pretpostavlja da ce zadesiti bar jednogosiguranika.

Ugovorom o osiguranju, osiguravajuca kompanija se obavezuje da ce snositi rizikfinansijskog gubitka koji nastaje kao posledica osiguranog slucaja, dok se osiguranikobavezuje da ce placati unapred dogovorene premije osiguranja.

Tema ovog rada je visestruko osiguranje. Sam rad sastoji se iz tri tematskeceline.

Prva celina predstavlja uvodni deo posvecen osnovnim pojmovima iz oblastiklasicnog zivotnog osiguranja. Pojasnjen je osnovni koncept osiguranja, odnosnokako se udruzivanjem ulaganja moze upravljati rizikom. U okviru ove glave nave-deni su pojmovi koji su neophodni za dalji rad.

Model visestrukog dekrementa koristi se pri modeliranju ugovora o osiguranjukoji obuhvataju vise rizicnih dogadjaja. Pri tom, naknada na ime sume osiguranjazavisi od toga koji se od osiguranih dogadjaja realizovao. Opisani model proucavanje u okviru druge tematske celine. Dobijeni rezultati ilustrovani su adekvatnimprimerima.

U trecem delu razmatrane su polise osiguranja koje se istovremeno odnose navise osoba. U tom slucaju se koristi model osiguranja vise osoba. U okviru ovog delaanalizirane su i neke specificne vrste ugovora o osiguranju. Navedeni su adekvatniprimeri.

Posebno zahvaljujem mentoru, prof. dr Mariji Milosevic, na podrsci i saradnji.

5

6

2

Osnovni pojmovi

Ovaj odeljak posvecen je osnovnim pojmovima iz oblasti klasicnog zivotnog osi-guranja. Jednostavnim primerom ce biti pojasnjeno kako se udruzivanjem ulaganjamoze upravljati rizikom. Ukratko ce biti objasnjen koncept osiguranja. Bice nave-deni tipovi zivotnog osiguranja, kao i pojmovi koji su neophodni za dalji rad.

2.1 Motivacioni primer

Razmatranje ce biti zapoceto jednostavnim primerom koji ilustruje kako udruzi-vanje ulaganja umanjuje rizik pojedinca. Neka su X1 i X2 slucajne promenljivekoje predstavljaju buduce prihode dva investitora na ime odgovarajucih ulaganja.Navedene slucajne promenljive mogu uzimati i negativne vrednosti, pa ce u tomslucaju predstavljati negativan prihod. Pretpostavlja se da slucajne promenljive X1

i X2 imaju istu raspodelu, a radi jednostavnosti se pretpostavlja i da su stohastickinezavisne. Tada su ocekivana vrednost i disperzije prihoda

m = E[Xi] i σ2 = V ar[Xi], i = 1, 2.

Cilj svakog investitora je minimiziranje rizika kome su izlozena njegova ulaganja,tj minimiziranje disperzije kao mere rizika. U tom smislu se posmatrani investitoriudruzuju. Tada ce prihod svakog od njih biti izrazen kao

Y =1

2(X1 +X2).

Ocekivana vrednost prihoda pojedinca nakon udruzivanja je

E[Y ] =1

2

(E[X1] + E[X2]

)=

1

2(m+m) = m,

odnosno jednaka je ocekivanoj vrednosti prihoda pre udruzivanja. Medjutim, dis-perzija prihoda svakog investitora posle udruzivanja je

V ar[Y ] =1

4

(V ar[X1] + V ar[X2]

)=

1

4(σ2 + σ2) =

1

2σ2,

7

8

sto je dvostruko manje nego pre udruzivanja. Dakle, rizik ukupnih ulaganja jeostao isti, ali je udruzivanjem dvostruko smanjen rizik sa kojim su suoceni ulagacipojedinacno.

Posmatra se slucaj kada je udruzeno n investitora ciji su prihodi opisani slucajnimpomenljivim X1, X2, . . . , Xn. Kao i u prethodnom razmatranju pretpostavlja se danavedene slucajne promenljive imaju istu raspodelu i da su stohasticki nezavisne.Neka je pri tom

m = E[Xi], σ2 = V ar[Xi], i = 1, 2, . . . , n.

Udruzivanjem, prihod svakog od n investitora postaje

Yn =X1 +X2 + . . .+Xn

n.

U ovom slucaju je disperzija prihoda svakog od n investitora nakon udruzivanja

V ar[Yn] =1

n2(σ2 + · · ·+ σ2) =

nσ2

n2=σ2

n.

Sasvim je jasno da ce za veliki broj udruzenih investitora disperzija prihodasvakog od njih nakon udruzivanja biti blizu nule. Na osnovu zakona velikih brojeva,Yn → m s.i. n→∞. Dakle, za veliki broj udruzenih investitora rizik kojem je svakiod njih izlozen moze se smatrati zanemarljivo malim.

Postupak udruzivanja koji je ovde opisan se naziva preraspodela rizika i pred-stavlja osnov osiguranja. Moze se reci da osiguravajuce kompanije organizuju nave-denu preraspodelu rizika.

2.2 Pojam osiguranja

Osiguranje je multidisciplinarna oblast u kojoj se preplicu elementi ekonomskog,pravnog i aktuarskog aspekta, pri cemu svaka od ovih nauka definise osiguranje nasebi svojstven nacin. Iz ekonomskog ugla osiguranje se moze definisati kao finan-sijska transakcija koja se obavlja izmedju osiguravajuce kompanije i osiguranika uuslovima nastupanja osiguranog slucaja. Pravni vid osiguranja se bavi proucavanjemprava i obaveza ugovornih strana (osiguranika i osiguravaca). Sa aktuarskog aspektaosiguranje predstavlja proucavanje delovanja ekonomskih posledica ostvarenog rizikai nacin upravljanja rizikom kako bi se umanjile ili sprecile nezeljene posledice.

Sam pojam osiguranja oznacava pruzanje sigurnosti, bezbednosti i zasite odrizika. U osnovi osiguranja je rizicni dogadjaj, pa je shodno tome osnovna svrhaosiguranja pruzanje sigurnosti i ekonomske zastite osiguranicima (pravnim i fizickimlicima) ukoliko se rizik ostvari, odnosno ako nastupi osigurani slucaj. Osiguranjepredstavlja udruzivanje lica koja su potencijalno izlozena nezeljenim posledicamanekog rizicnog dogadjaja. Svrha tog udruzivanja je zajednicko podnosenje ekonom-skih posledica stete za koju se pretpostavlja da ce zadesiti bar jednog osiguranika.

Cinjenica je da postoje rizicni dogadjaji razlicite prirode od kojih se lica moguosigurati. Postoji vise podela osiguranja od kojih je najvaznija podela na zivotno

9

i nezivotno osiguranje. Nezivotno osiguranje je osiguranje imovine i osiguranje odgradjanske odgovornosti, dok zivotno osiguranje podrazumeva osiguranje zivota iposledica nesrecnog slucaja.

Kod ugovora o zivotnom osiguranju postoji neizvesnost samo u pogledu vremenarealizacije rizicnog dogadjaja, dok je iznos nakanade, odnosno suma osiguranja pre-cizirana ugovorom. Ugovorom o osiguranju prezicirana je i premija koju osiguranikplaca osiguravacu na ime preuzetog rizika. Ako je polisom osiguranja utvrdjenanakanada bT ukoliko osigurani dogadjaj nastupi u trenutku T , onda je ocekivanasadasnja vrednost te naknade E[bTϑ

T ], gde je ϑ faktor diskontovanja. Ova vred-nost predstavlja jednokratnu neto premiju. Koristi se termin neto premija jer neukljucuje nikakve troskove. Ukoliko bi bili ukljuceni svi troskovi koji prate ugovoro osigurnju, govorilo bi se o bruto premiji.

2.3 Klasicno zivotno osiguranje

Kako bi se shvatio pojam visestrukog zivotnog osiguranja, najpre treba navestiosnovne pojmove klasicnog zivotnog osiguranja.

Pod klasicnim zivotnim osiguranjem podrazumevamo sledece tipove osiguranja:1) dozivotno osiguranje koje podrazumeva isplatu sume osiguranja neposredno nakonsmrti osiguranika;2) zivotno osiguranje sa rokom od n godina koje podrazumeva isplatu sume osig-uranja ako smrt osiguranika nastupi u roku od n godina od trenutka zakljucenjaugovora o osiguranju;3) osiguranje dozivljenja narednih n godina kod koga se isplata sume osiguranja vrsina kraju n-te godine od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju, ali samo u slucajuda je osiguranik doziveo kraj n-te godine;4) mesovito osiguranje sa rokom od n godina kod koga se vrsi isplata sume osiguranjaako smrt osiguranika nastupi u prvih n godina, a inace se ispacuje suma osiguranjana kraju n-te godine od trenutka zakljucenja ugovora o osiguranju5) odlozeno dozivotno osiguranje sa rokom odlaganja od m godina koje podrazumevaisplatu sume osiguranja samo u slucaju da smrt osiguranika nastupi nakon navrsenihm godina od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju.

S obzirom da nije unapred poznato koliko ce neka osoba ziveti, sasvim je logicnoda se njena starost matematicki opisuje nenegativnom slucajnom promenljivomapsolutno-neprekidnog tipa X, koja je zadata funkcijom raspodele FX(x) = P [X ≤x], x ≥ 0.

Neka je definisana slucajna promenljiva T (x) koja predstavlja preostali zivotnivek osobe starosti x. Tada T (x) + x predstavlja duzinu zivota posmatrane osobe.Neka je slucajna promenljiva T (x) odredjena funkcijom raspodele Gx(t) = P [T (x) ≤t], t ≥ 0. Funkcija Gx(t) predstavlja verovatnocu da ce preostali zivotni vek osobestarosti x godina biti manji od t godina, za svako t ≥ 0. Pretpostavlja se da jefunkcija Gx(t) neprekidna i diferencijabilna po t, te da postoji g(t) = G‘

x(t), ∀t ≥ 0.

10

Tada je

P [t < T (x) ≤ t+ dt] = Gx(t+ dt)−Gx(t) =

∫ t+dt

t

g(s)ds ≈ g(t)dt.

Neka je Sx(t) = 1 − Gx(t) = P [T (x) > t] funkcija dozivljenja koja predstavljaverovatnocu da ce osoba starosti x doziveti starost x+t. Ustaljene aktuarske oznakeza funkciju raspodele preostalog zivotnog veka i funkciju dozivljenja su, redom

tqx = Gx(t), tpx = Sx(t), t ≥ 0. (2.1)

Definicija 1 Hazard stopa ili stopa neuspeha predstavlja verovatnocu da ce smrtnastupiti u buducem vrlo kratkom periodu i definise se kao

h(t)dt = P [t < T (x) ≤ t+ dt |T (x) > t] =g(t)dt

Sx(t)= −S

′x(t)dt

Sx(t). (2.2)

U aktuarstvu, sinonim za stopu neuspeha je intezitet smrtnosti i obelezava se saµ. Intenzitet smrtnosti za osobe starosti x godina je

µx(t) =S′x(t)

Sx(t)= − ∂

∂t[ln tpx], t ≥ 0. (2.3)

Integracijom poslednjeg izraza se dobija∫ t

0

µx(s)ds = − ln tpx + ln 0px = − ln tpx + ln (S(0)) = − ln tpx, (2.4)

odakle sledi da je

tpx = exp

{−∫ t

0

µx(s)ds

}. (2.5)

Postavlja se pitaje kako u praksi izracunati verovatnoce tpx i tqx koje su definisanesa (2.1).

Posmatra se grupa od l0 novorodjenih osoba, odnosno osoba starosti nula godinai pretpostavlja se da u toj grupi nema novih radjanja. Vremenom se grupa poste-peno smanjuje.Tablica mortaliteta je reprezentacija smrtnosi takve grupe, odnosnoto je model dozivljenja izrazen pomocu ocekivanog broja osoba koje ce dozivetiodredjenu starost u odnosu na pocetni broj l0. Tablice mortaliteta se izradjuju pri-menom statistickih metoda i sadrze podatke o tome kolika je verovatnoca dozivljenjaodredjene godine starosti za osobu u nekoj kategoriji. Kategorije se mogu formiratiprema razlicitim kriterijumima: pol, rasa, zanimanje... U svakoj tablici je x oz-naka za starost i obicno je x ∈ N . Velicina lx predstavlja broj osoba u odredjenojkategoriji koje ce doziveti najmanje x godina starosti. Vrednost lx se odredjuje naosnovu podataka iz prakse, a zatim se koristi za predvidjanje smanjenja populacijeza koju se pretpostavlja da je izlozena istim stopama smrtnosti kao ona cijim jeposmatranjem dobijeno lx. Tada je

tpx =lx+tlx, tqx = 1− lx+t

lx.

3

Model visestrukog dekrementa

Model visestrukog dekrementa koristi se za modeliranje ugovora o osiguranju kojiobuhvataju vise rizicnih dogadjaja. Pri tom suma osiguranja zavisi od toga koji seod osiguranih dogadjaja realizovao. Najpre ce biti uvedeni osnovni pojmovi koji cese koristiti u daljoj analizi. Zatim ce predmet razmatranja biti odredjivanje netopremija, koje ce biti ilustrovano adekvatnim primerima. Poslednji deo ove glave jeposvecen adaptaciji teoreme Hattendorff - a, iz teorije klasicnog zivotnog osiguranja,u skladu sa modelom visestrukog dekrementa.

3.1 Osnovni koncept

Pretpostavlja se da osiguranik zeli da zakljuci ugovor o osiguranju koji ce pokri-vati slucaj smrti, smrt usled nesrece, trajni invaliditet i oboljenje od neke teze bolesti,pri tom naknada koja se isplacuje zavisi od osnova po kome je steceno pravo nanaknadu. U navedenom slucaju rec je o visestrukom osiguranju, a model u okviru ko-jeg se razmatraju takvi slucajevi, naziva se model visestrukog dekrementa. U opstemslucaju, moguce je kreirati polisu po zelji potencijalnog osiguranika. Medjutim,nastaje problem odredjivanja premije, odnosno naknade koju osiguranik uplacujeosiguravacu za preuzeti rizik.

Neka se izradjuje polisa osiguranja za osobu starosti x godina koja pokriva mosiguranih slucajeva, pri tom suma osiguranja, koja ce biti isplacena osiguranikuukoliko neki od osiguranih slucajeva nastupi za vreme trajanja ugovora, zavisi up-ravo od toga koji je osigurani slucaj nastupio. Tada se moze reci da je osiguranikpripadnik m grupa, pri cemu j-tu grupu cine osobe koje imaju pravo na naknaduukoliko se realizuje j-ti osigurani slucaj, gde je j = 1, 2, . . . ,m. U trenutku kada nas-tupi j-ti osigurani slucaj, osiguranik napusta j-tu grupu, tj. j-ta grupa je izlozenanegativnom prirastaju - dekrementu. U tom smislu se kaze da je nastupio dekrementpo j-tom osnovu, za j = 1, 2, . . . ,m. Zbog toga se model koji se koristi u slucajupolisa koje pokrivaju vise osiguranih slucajeva naziva model visestrukog dekrementa.Treba istaknuti da navedeni model opisuje dinamiku svake od m grupa osiguranikaposebno i na taj nacin omogucava uvid u intenzitet dekrementa po svakom od mosnova. Bitno je naglasiti da dekrement ne oznacava nuzno smrt osiguranika, vecnastupanje nekog od osiguranih slucajeva nakon cega ugovor o osiguranju vise ne

11

12

vazi.U klasicnom zivotnom osiguranju, vrlo je bitan pojam preostalog zivotnog veka

osiguranika. U terminima modela visestrukog dekrementa, pojam preostalog zi-votnog veka je zamenjen pojmom preostalo vreme do dekrementa. U modelu vise-strukog dekrementa, tablice mortaliteta takodje predstavljaju osnovu za razna izra-cunavanja i prilagodjene su samom modelu.

3.2 Funkcije dozivljenja

Predmet razmatranja ce biti populacija koju cine osiguranici starosti x godina,cije polise osiguranja pokrivajum osiguranih slucajeva. Data populacija se sastoji odm grupa, pri cemu j-tu grupu cine ona lica koja su se osigurala od j-tog osiguranogslucaja, gde je j = 1, 2, . . . ,m.

Neka je Tj nenegativna slucajna promenljiva koja predstavlja preostalo vreme dodekrementa po j-tom osnovu, tj. preostalo vreme do napustanja j-te grupe. Kakopostoje faktori koji uticu istovremeno na realizaciju veceg broja osiguranih slucajeva,to je prirodno pretpostaviti da su slucajne promenljive Tj, za j = 1, 2, . . . ,m sto-hasticki zavisne.

U modelu visestrukog dekrementa, funkcija dozivljenja se definise kao

S(t1, . . . , tm) = P [T1 > t1, . . . , Tm > tm], tj ≥ 0, j = 1, 2, . . . ,m (3.1)

i predstavlja verovatnocu da ce dekrement po j-tom osnovu nastupiti posle isteka tjgodina od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju, za svako j = 1, 2, . . . ,m.

Pretpostavlja se da su slucajne promenljive Tj, za j = 1, 2, . . . ,m apsolutno- neprekidnog tipa sa zajednickom gustinom f(t1, t2, . . . , tm). Tada se funkcijadozivljenja moze predstaviti u obliku

S(t1, . . . , tm) =

∫ ∞t1

. . .

∫ ∞tm

f(s1, . . . , sm)dsm . . . ds1. (3.2)

Treba napomenuti da u nekim slucajevima ugovori o osiguranju mogu biti okon-cani tek na kraju kalendarske godine, pa pretpostavka o apsolutnoj neprekidnostionda nije validna, ali je dobra aproksimacija.

3.2.1 Opsta funkcija dozivljenja

Pojam opste funkcije dozivljenja je u neposrednoj vezi sa preostalim vremenomdo dekrementa po bilo kom osnovu. U tom smislu je od znacaja slucajna promenljivamin(T1, T2, . . . , Tm) koja predstavlja najkrace vreme do dekrementa bez obzira nato koji od m osiguranih slucajeva ga je prouzrokovao. Opsta funkcija dozivljenjadefinise se sa

S(τ)(t) = S(t, . . . , t) = P [min(T1, T2, . . . , Tm) > t], t ≥ 0. (3.3)

Kad god opsta funkcija dozivljenja postoji, mogu se definisati sledece funkcije:

l(τ)x = l(τ)a S(τ)(x− a), x ≥ a, (3.4)

13

pri cemu l(τ)x predstavlja broj osoba starosti x godina kod kojih nije nastupio dekre-

ment ni po kom osnovu (od m mogucih), gde je a minimalna starost osiguranikakoja je relevantna za odredjeni tip osiguranja;

td(τ)x = l(τ)x − l

(τ)x+t, (3.5)

gde je td(τ)x broj osoba starosti x kod kojih je do starosti od (x+ t) godina nastupio

dekrement po bilo kom osnovu (od m mogucih);

tq(τ)x =

td(τ)x

l(τ)x

, (3.6)

gde tq(τ)x predstavlja verovatnocu da ce kod osoba starosti x godina nastupiti dekre-

ment po bilo kom osnovu do starosti od (x+ t) godina;

tp(τ)x =

l(τ)x+t

l(τ)x

, (3.7)

pri cemu tp(τ)x predstavlja verovatnocu da kod osoba starosti x godina nece nastupiti

dekrement po bilo kom osnovu do starosti od (x+ t) godina;

µ(τ)x (t) = − ∂

∂tln(l

(τ)x+t), (3.8)

gde je µ(τ)x (t) intenzitet dekrementa osobe starosti x godina koji ukljucuje svih m

osnova za dekrement;

f (τ)x (t) = tp

(τ)x µ(τ)

x (t), (3.9)

pri cemu f(τ)x (t) predstavlja gustinu raspodele preostalog vremena do dekrementa

po bilo kom osnovu, sto ce u nastavku biti pokazano.Uocava se da na osnovu (3.4) - (3.6) sledi da je

tq(τ)x = P [min(T1, T2, . . . , Tm) ≤ t],

tj. da je tq(τ)x funkcija raspodele preostalog vremena do dekreminta po bilo kom

osnovu.S obzirom da je intenzitet dekrementa u ovom slucaju definisan relacijom (3.8),

namece se pitanje da li po analogiji sa osiguranjem koje pokriva jedan osiguranislucaj vazi relacija

tp(τ)x = exp

{−∫ t

0

µ(τ)x (s)ds

}. (3.10)

Iz definicija (3.7) i (3.8) direktno sledi

−µ(τ)x (t) =

∂∂tl(τ)x+t

l(τ)x+t

=l(τ)x

l(τ)x+t

∂

∂t

(l(τ)x+t

l(τ)x

)=

1

tp(τ)x

∂

∂ttp

(τ)x =

∂

∂tln tp

(τ)x .

14

Intergacijom po t, dobija se

−∫ t

0

µ(τ)x (s)ds = ln tp

(τ)x − ln 0p

(τ)x = ln tp

(τ)x − lnS(τ)(0) = ln tp

(τ)x ,

odakle direktno sledi da vazi jednakost (3.10).Dokazimo da vazi sledeca jednakost

∂

∂ttq

(τ)x = f (τ)

x (t), (3.11)

tj. da je funkcija f(τ)x definisana sa (3.9), gustina raspodele preostalog vremena do

dekrementa po bilo kom osnovu. Na osnovu jednakosti (3.6) i (3.5) vazi

∂

∂ttq

(τ)x =

∂

∂t

(td

(τ)x

l(τ)x

)=∂

∂t

(l(τ)x −l(τ)x+t

l(τ)x

)=∂

∂t

(1−

l(τ)x+t

l(τ)x

)=− ∂

∂t

(l(τ)x+t

l(τ)x

)=− 1

l(τ)x

∂

∂tl(τ)x+t. (3.12)

Sa druge strane, na osnovu jednakosti (3.8), vazi da je

µ(τ)x (t) = − ∂

∂tln(l

(τ)x+t) = −

∂∂tl(τ)x+t

l(τ)x+t

,

odakle sledi da je

− ∂

∂tl(τ)x+t = l

(τ)x+t µ

(τ)x (t). (3.13)

Zamenom (3.13) u (3.12) i imajuci u vidu (3.7) i (3.9), dobija se

∂

∂ttq

(τ)x =

l(τ)x+t

l(τ)x

µ(τ)x (t) = tp

(τ)x µ(τ)

x (t) = f (τ)x (t),

cime je dokazano da vazi jednakost (3.11), odnosno f(τ)x (t) je zaista gustina raspodele

preostalog vremena do dekrementa po bilo kom osnovu.Na osnovu (3.11) i (3.9) vazi i sledeca jednakost:

tq(τ)x =

∫ t

0

f (τ)x (s)ds =

∫ t

0tp

(τ)x µ(τ)

x (s)ds.

3.2.2 Gruba funkcija dozivljenja

Gruba funkcija dozivljenja se definise kao

S(j)(t) = P [min(T1, T2, . . . , Tm) > t, J = j], t ≥ 0, (3.14)

gde je slucajna promenljiva J definisana sa

J =m∑j=1

jI[min(T1, T2, . . . , Tm) = Tj]. (3.15)

15

Slucajna promenljiva J uzima vrednost j kada je I[min(T1, T2, . . . , Tm) = Tj] = 1,odnosno kada je min(T1, T2, . . . , Tm) = Tj, sto znaci da je do dekrementa doslo poj-tom osnovu od m pretpostavljenih. Dakle, gruba funkcija dozivljenja predstavljaverovatnocu da ce do dekrementa doci po j-tom osnovu i to posle isteka t godinaod trenutka sklapanja ugovora o osiguranju. Kako bismo bili sigurni da diskretnaslucajna promenljiva J uzima vrednosti 1, . . . ,m uvodimo pretpostavku da je P [Ti =Tj] = 0, i 6= j.

Ako gruba funkcija dozivljenja postoji, mogu se definisati funkcije koje su ana-logne funkcijama (3.4) - (3.9) iz prethodnog odeljka. Medjutim, funkcije koje ce bitidefinisane razlikuju se od tih funkcija po tome sto se odnose samo na j-ti moguciosnov dekrementa, dok funkcije (3.4) - (3.9) obuhvataju svih m pretpostavljenihosnova za dekrement.

Tako, na primer,

l(j)x = l(τ)a S(j)(x− a), x ≥ a, (3.16)

predstavlja broj osiguranika starosti x godina koje nije zadesio j-ti osigurani slucaj.Analogno se interpretiraju sledece funkcije:

td(j)x = l(j)x − l

(j)x+t, (3.17)

tq(j)x =

td(j)x

l(τ)x

, (3.18)

tp(j)x =

l(j)x+t

l(τ)x

, (3.19)

µ(j)x (t) = −

∂∂tl(j)x+t

l(τ)x+t

, (3.20)

f (j)x (t) = tp

(τ)x µ(j)

x (t). (3.21)

Slicno kao u prethodnom poglavlju, koristeci upravo navedene definicije, mozese dokazati da vaze relacije

∂

∂ttq

(j)x = f (j)

x (t), (3.22)

tq(j)x =

∫ t

0sp

(τ)x µ(j)

x (s)ds. (3.23)

Da bi neka funkcija bila gustina raspodele odredjenog slucajnog vektora, po-trebno je da sve komponente tog vektora budu neprekidne slucajne promenljive.Medjutim, kod slucajnog vektora (T ∗(x), J), gde je sa T ∗(x) oznacena slucajnapromenljiva min(T1, T2, . . . , Tm), slucajna promenljiva J je disktretnog tipa. Fu-

nkcija f(j)x (t) se smatra gustinom slucajnog vektora (T ∗(x), J) za fiksirano J = j.

Za proizvoljan realni interval B je

P [T ∗(x) ∈ B, J = j] =

∫B

f (j)x (t)dt,

16

dok je za prozvoljan realni interval B i proizvoljan podskup K skupa celih brojeva

P [T ∗(x) ∈ B, J ∈ K] =∑j∈K

∫B

f (j)x (t)dt.

Uocava se da na osnovu (3.16) i (3.18) sledi da je

tq(j)x = P [T ∗(x) ≤ t, J = j].

Kako je tq(τ)x = P [T ∗(x) ≤ t] funkcija raspodele slucajne promenljive T ∗(x), to je

tq(τ)x =

∑mj=1 P [T ∗(x) ≤ t, J = j], odakle direktno sledi da je

tq(τ)x =

m∑j=1

tq(j)x . (3.24)

Diferenciranjem poslednje jednakosti po t i uzimajuci u obzir relacije (3.11) i (3.22)dobija se

f (τ)x (t) =

m∑j=1

f (j)x (t). (3.25)

Na osnovu relacije (3.9) je

µ(τ)x (t) =

f(τ)x (t)

tp(τ)x

,

dok je na osnovu jednakosti (3.21)

µ(j)x (t) =

f(j)x (t)

tp(τ)x

. (3.26)

Ranije je dokazano da vazi

tp(τ)x = exp

{−∫ t

0

µ(τ)x (s)ds

},

pa se na prirodan nacin namece pitanje da li vazi

tp(j)x = exp

{−∫ t

0

µ(j)x (s)ds

}. (3.27)

Prvo, ova jednakost ne mora biti validna jer imenilac u (3.26) predstavlja verovat-nocu da do dekrementa nece doci u narednih t godina ni po kom osnovu, a ne samopo j-tom.

Drugo, ako tp(τ)x → 0, kada t → ∞ onda i tp

(j)x → 0, kada t → ∞ i to za

svako j = 1, 2, . . . ,m. U tom slucaju integrali∫ t0µ(j)x (s)ds, divergiraju za svako

j = 1, 2, . . . ,m. Medjutim, da bi vazilo tp(τ)x → 0, kada t→∞ dovoljno je zahtevati

da∫ t0µ(j)x (s)ds divergira samo za neke j = 1, 2, . . . ,m. Ovaj zahtev ima vrlo logicno

17

objasnjenje. Naime, dekrement ce nastupiti i ako se bar jedan od ponudjenih mosnova dekrementa ispuni.

Uzevsi u obzir da vazi (3.25) direktno sledi da je

µ(τ)x (t) =

m∑j=1

µ(j)x (t). (3.28)

Dobijeni rezultati u (3.24), (3.25) i (3.28) se mogu prosiriti na vecu klasu funkcija.

U tom smislu, neka je sa g(∗) obelezena neka od funkcija S(∗)(t), l(∗)x , td

(∗)x , tq

(∗)x , tp

(∗)x ,

µ(∗)x (t), f

(∗)x (t). Lako se uocava da vazi aditivnost, odnosno da je

g(τ) = g(1) + · · ·+ g(m).

Navedeno svojstvo vazi bez obzira da li su pretpostavljeni moguci uzroci dekrementastohasticki nezavisni ili to nisu. Aditivnost vazi jer je

P

{ m⋂j=1

[J = j]

}= 0,

sto znaci da su moguci uzroci dekrementa skoro izvesno medjusobno iskljucivi.Na osnovu definicije uslovne verovatnoce, vazi

P [J = j |t < T ∗(x) ≤ t+ dt] =P [t < T ∗(x) ≤ t+ dt, J = j]

P [t < T ∗(x) ≤ t+ dt]

=

∫ t+dtt

f(j)x (s)ds∫ t+dt

tf(τ)x (s)ds

=f(j)x (t)

f(τ)x (t)

,

odakle se primenom jednakosti (3.21) dobija

P [J = j |t < T ∗(x) ≤ t+ dt] = µ(j)x (t)

tp(τ)x

f(τ)x (t)

. (3.29)

Kako je

m∑j=1

P [J = j |t < T ∗(x) ≤ t+ dt] = 1

kao suma svih mogucih slucajeva, to se na osnovu (3.29), koristeci (3.28), dobija

f(τ)x (t)

tp(τ)x

=m∑j=1

µ(j)x (t).

U krajnjem je

P [J = j |t < T ∗(x) ≤ t+ dt] =µ(j)x (t)∑m

j=1 µ(j)x (t)

=µ(j)x (t)

µ(τ)x (t)

. (3.30)

18

Uslovna raspodela slucajne promenljive T ∗(x) pod uslovom J = j je

P [T ∗(x) ≤ t|J = j] =P [T ∗(x) ≤ t, J = j]

P [J = j]=

tq(j)x

P [J = j]. (3.31)

Navedimo jos da se funkcija raspodele slucajne promenljive J moze dobiti kao

P [J = j] =

∫ ∞0

f (j)x (t)dt. (3.32)

U nastavku ce biti naveden primer koji ce ilustrovati prethodna izvodjenja.

Primer 1 Neka su poznata dva moguca uzroka dekrementa za osobe starosti x go-dina i neka vazi da je µ

(1)x (t) = 2t i µ

(2)x (t) = 3t2. Napomenimo da je izbor konsta-

nata povezan sa izborom vremenske jedinice, pa ce za odredjene vremenske jedinice,rezultati koji ce biti dobijeni biti realni, a za neke to nece biti slucaj.

Cilj ovog primera je da demonstrira kako se moze odrediti raspodela slucajnogvektora (T ∗(x), J), odgovarajuce marginalne i uslovne raspodele, kao i ocekivanopreostalo vreme do dekrementa E(T ∗(x)).

Na osnovu jednakosti (3.28), intenzitet dekrementa bez obzira na uzrok koji je do

njega doveo, bice µ(τ)x (t) = 2t + 3t2. Uocava se da izabrane funkcije µx(t), µ

(1)x (t) i

µ(2)x (t) ne zavise od x.

Imajuci u vidu (3.3) i (3.10), opsta funkcija dozivljenja je

S(τ)x (t)= tp

(τ)x =P [T ∗(x)>t]=exp

{−∫ t

0

µ(τ)x (s)ds

}=exp

{−∫ t

0

(2s+3s2)ds

}= exp(−t2 − t3), ∀t ≥ 0.

Na osnovu uvedene definicije (3.21) sledi da je

f (1)x (t) = 2t exp(−t2 − t3), f (2)

x (t) = 3t2 exp(−t2 − t3).

Imajuci u vidu jednakost (3.25), gustina raspodele preostalog vremena do dekre-menta, bez obzira na uzrok koji je do njega doveo, je

f (τ)x (t) = (2t+ 3t2) exp(−t2 − t3).

Marginalna raspodela slucajne promenljive J se dobija na osnovu (3.32). Tako je

P [J = 1] =

∫ ∞0

f (1)x (t)dt =

∫ ∞0

2t exp(−t2 − t3)dt.

Koriscenjem programa za izracunavanje vrednosti integrala dobija se da je P [J =1] ≈ 0.527, pa je P [J = 2] = 1− P [J = 1] ≈ 0.483.Na osnovu (3.30), uslovna raspodela slucajne promenljive J , pod uslovom T ∗(x) = tje

P [J = 1 |t < T ∗(x) ≤ t+ dt] =µ(1)x (t)

µ(τ)x (t)

=2t

2t+ 3t2,

P [J = 2 |t < T ∗(x) ≤ t+ dt] =µ(2)x (t)

µ(τ)x (t)

=3t2

2t+ 3t2.

19

Ocekivano preostalo vreme do dekrementa se dobija kao

E[T ∗(x)] =

∫ ∞0

tf (τ)x (t)dt =

∫ ∞0

t(2t+ 3t2) exp{−t2 − t3}dt ≈ 0.669.

Imajuci u vidu (3.31), uslovna gustina raspodele slucajne promenljive T ∗(x), poduslovom J = j, je

∂

∂tP [T ∗(x) < t|J = j] =

∂

∂t

P [T ∗(x) < t, J = j]

P [J = j]=

f(j)x (t)

P [J = j].

Dakle, ocekivano preostalo vreme do dekrementa izazvanog prvim uzrokom je

E[T ∗(x)|J=1]=

∫ ∞0

tf(1)x (t)

P [J=1]dt=

1

P [J=1]

∫ ∞0

2t2 exp(−t2−t3)dt≈ 0.315

0.527≈0.598,

dok se E[T ∗(x)|J = 2] moze naci analognim postupkom, ali je lakse iskoristiti sledecurelaciju:

E[T ∗(x)] = E[T ∗(x)|J = 1]P [J = 1] + E[T ∗(x)|J = 2]P [J = 2].

Kako je u poslednjoj jednakosti jedino nepoznato E[T ∗(x)|J = 2], jednostavnimizracunavanjem dobijamo da je E[T ∗(x)|J = 2] ≈ 0.733.

U slucaju kada je za vremensku jedinicu izabrana jedna godina dobijeni rezultatinisu realni. Medjutim, pod pretpostavkom da je odabrana vremenska jedinica periodod 100 godina i da je x = 10, rezultati E[T ∗(x)] = 66.9, E[T ∗(x)|J = 1] = 59.8 iE[T ∗(x)|J = 2] = 73.2 godina su prilicno realni. �

U nastavku ce biti navedena lema koja predstavlja vazan rezultat u teoriji vise-strukog dekrementa i odnosi se na reprezentaciju grube funkcije dozivljenja.

Lema 1 Ako je funkcija dozivljenja S(t1, . . . , tm), definisana sa (3.1), diferencija-bilna po tj > 0, za j = 1, . . . ,m, tada se gruba funkcija dozivljenja moze predstavitiu obliku

S(j)(t) = −∫ ∞t

Sj(r, . . . , r)dr, (3.33)

gde je

Sj(r, . . . , r) =∂

∂tjS(t1, . . . , tm)

∣∣∣tk=r,∀k. (3.34)

Dokaz. Na osnovu (3.34) sledi

Sj(r, . . . , r) =∂

∂tjS(t1, . . . , tm)

∣∣∣tk=r,∀k=

∂

∂tj

∫ ∞t1

. . .

∫ ∞tm

f(s1, . . . , sj−1, sj, sj+1, . . . , sm)ds1 . . . dsj−1dsjdsj+1 . . . dsm

∣∣∣tk=r,∀k=−∫ ∞t1

. . .

∫ ∞tj−1

∫ ∞tj+1

. . .

∫ ∞tm

f(s1, . . . , sj−1, tj, sj+1, . . . , sm)ds1. . . dsj−1dsj+1 . . . dsm

∣∣∣tk=r,∀k.

20

Na drugoj strani je

S(j)(t) = P [min(T1, T2, . . . , Tm) > t, J = j]

= P [T1 > t, T2 > t, . . . , Tm > t, Tj < Tk,∀k]

= P [(Tk > t, Tj < Tk)∀k]

= P [Tj > t, (Tk > Tj, ∀k 6= j)]

=

∫ ∞t

{∫ ∞tj

. . .

∫ ∞tj

f(t1, . . . , tm)dt1dt2 . . . dtj−1dtj+1 . . . dtm

}dtj

=

∫ ∞t

{− ∂

∂tjS(t1, . . . , tm)

∣∣∣tk=tj , ∀k}dtj,cime je tvrdjenje dokazano. ♦

Razmotra se slucaj kada je slucajna promenljiva J stohasticki nezavisna u odnosuna slucajnu promenljivu T ∗(x) = min(T1, T2, . . . , Tm). Tada je

S(j)(s) = P [T ∗(x) > s, J = j] = P [T ∗(x) > s] · P [J = j]. (3.35)

U prethodnoj jednakosti je verovatnoca preseka dogadjaja jednaka proizvodu verova-noca pojedinacnih dogadjaja upravo zbog pretpostavljenje stohasticke nezavisnosti.

Na osnovu jednakosti (3.18) i (3.17) sledi da je

∞q(j)a =

∞d(j)a

l(τ)a

=l(j)a − l(j)∞l(τ)a

.

Kako l(j)∞ predstavlja broj osoba beskonacne starosti kod kojih nije nastupio dekre-

ment po j-tom osnovu, jasno je da je taj broj nula. Uzevsi u obzir i definiciju (3.16),dobija se

∞q(j)a =

l(j)a

l(τ)a

=l(τ)a S(j)(0)

l(τ)a

= S(j)(0). (3.36)

Dalje, na osnovu definicije (3.14) grube funkcije dozivljenja u tacki nula, vazi

∞q(j)a = S(j)(0) = P [T ∗(x) > 0, J = j].

Zbog pretpostavljene stohasticke nezavisnosti slucajnih promenljivih T ∗(x) i J , vazida je

∞q(j)a = P [T ∗(x) > 0] · P [J = j].

Medjutim, S(τ)(0) = P [T ∗(x) > 0] = 1, jer su po pretpostavci slucajne promenljiveTi, i = 1, . . . ,m apsolutno-neprekidnog tipa i nenegativne, pa je njihov minimumpozitivan sa verovatnocom 1. Dakle, dobija se

∞q(j)a = P [J = j].

Kako je P [T ∗(x) > s] = S(τ)(s), to se na osnovu definicije opste funkcije dozivljenja(3.3), jednakost (3.35) evivalentno moze zapisati kao

S(j)(s) = S(τ)(s) · ∞q(j)a .

21

Slicnim postupkom se dobija

sq(j)a =

sd(j)a

l(τ)a

=l(j)a − l(j)a+sl(τ)a

=l(τ)a S(j)(0)− l(τ)a S(j)(s)

l(τ)a

= S(j)(0)− S(j)(s). (3.37)

Analogno, na osnovu relacija (3.18), (3.17) i (3.16), koje se odnose na opstu funkcijudozivljenja, bice

sq(τ)a =

sd(τ)a

l(τ)a

=l(τ)a − l(τ)a+s

l(τ)a

=l(τ)a S(τ)(0)− l(τ)a S(τ)(s)

l(τ)a

= S(τ)(0)− S(τ)(s) = 1− S(τ)(s). (3.38)

Na osnovu dobijenih rezultata u (3.36) i (3.38) je

sq(τ)a ∞q

(j)a = (1− S(τ)(s))S(j)(0) = S(j)(0)− S(τ)(s)S(j)(0) = S(j)(0)− S(τ)(s).

Vracajuce se na rezultat iz (3.37), uocava se da je, pod pretpostavkom o stohastickojnezavisnosti slucajnih promenljivih T ∗(x) i J ,

sq(j)a = sq

(τ)a ∞q

(j)a ,

sto je ekvivalentno sa (3.35). Diferenciranjem po s, leve i desne strane poslednjejednakosti, dobija se

∂

∂ssq

(j)a = ∞q

(j)a

∂

∂ssq

(τ)a .

S obzirom da vazi relacije (3.11) i (3.22), bice

f (j)a (s) = f (τ)

a (s)∞q(j)a .

Na osnovu relacija (3.9) i (3.21), prethodna jednakost vazi ako i samo ako vazi

sp(τ)a µ(j)

a (s) = sp(τ)a µ(τ)

a (s)∞q(j)a ,

odnosnoµ(j)a (s) = µ(τ)

a (s)∞q(j)a .

Prethodno razmatranje se moze, specijalno za s = x + t− a, formulisati u vidusledeceg tvrdjenja:

Lema 2 Slucajne promenljive J i T ∗(x) su stohasticki nezavisne ako i samo akovazi bilo koja od sledecih relacija:

S(j)(t) = S(τ)(t)∞q(j)x ,

tq(j)x = tq

(τ)x ∞q

(j)x ,

f (j)x (t) = f (τ)

x (t)∞q(j)x ,

µ(j)x (t) = µ(τ)

x (t)∞q(j)x ,

za svako x ≥ 0, t ≥ 0, j = 1, 2, . . . ,m.

22

3.2.3 Neto funkcija dozivljenja

Neto funkcija dozivljenja definise se kao

S′(j)(t) = P [Tj > t], t ≥ 0, j = 1, 2, . . . ,m, (3.39)

gde je Tj preostalo vreme do dekrementa po j-tom osnovu.Dakle, neto funkcija dozivljenja u tacki t predstavlja verovatnocu da do dekre-

menta nece doci po j-tom osnovu do trenutka t. Uporedivsi definicije (3.14) i (3.39),moze se uvideti da se izrazom (3.39) ne precizira da li se do trenutka t dogodiodekrement po osnovu i 6= j.

Ako neto funkcija dozivljenja postoji, po ugledu na prethodno izlaganje, moguse definisati sledece funkcije:

l′(j)x = l

′(j)a S

′(j)(x− a), x ≥ a, (3.40)

td′(j)x = l

′(j)x − l

′(j)x+t, (3.41)

tq′(j)x =

td′(j)x

l′(j)x

, (3.42)

tp′(j)x =

l′(j)x+t

l′(j)x

, (3.43)

µ′(j)x (t) = −

∂∂tl′(j)x+t

l′(j)x+t

, (3.44)

f′(j)x (t) = tp

′(j)x µ

′(j)x (t). (3.45)

Koristeci navedene definicije, po ugledu na prethodne odeljke, moze se pokazatida vaze sledeci identiteti:

∂

∂ttq′(j)x = f

′(j)x (t),

tq′(j)x =

∫ t

0sp′(j)x µ

′(j)x (s)ds.

Na dalje ce biti razmatran slucaj kada su slucajne promenljive T1, . . . , Tm neza-visne.

Propozicija 1 Ako su slucajne promenljive T1, . . . , Tm stohasticki nezavisne tadaje

(i) µ(j)x (t) = µ

′(j)x (t), (3.46)

(ii) tp(τ)x =

m∏j=1

tp′(j)x . (3.47)

Dokaz. (i)Neka je s > 0 proizvoljna fiksirana vrednost. Koristeci jednakosti (3.22),(3.18), (3.17) i (3.16) koje su navedene u poglavlju o gruboj funkciji dozivljenja,

23

dobija se

f (j)a (s)=

∂

∂ssq

(j)a =

∂

∂ssd

(j)a

l(τ)a

=∂

∂s

(l(j)a − l(j)a+sl(τ)a

)= − ∂

∂s

(l(τ)a S(j)(0)− l(τ)a S(j)(s)

l(τ)a

)= − ∂

∂s

(S(j)(0)− S(j)(s)

)= − ∂

∂sS(j)(s).

Na osnovu Leme 1, vazi

∂

∂sS(j)(s) =

∂

∂tjS(t1, . . . , tm)

∣∣∣∣ti=s, ∀iDakle,

f (j)a (s) = − ∂

∂tjS(t1, . . . , tm)

∣∣∣∣ti=s, ∀i,gde je, zbog nezavisnosti slucajnih promenljivih T1, T2, . . . , Tm,

S(t1, t2, . . . , tm) = P [T1 > t1, T2 > t2, . . . , Tm > tm] = P [T1 > t1] · · ·P [Tm > tm]

=m∏i=1

S′(i)(ti) (3.48)

Tada je

f (j)a (s) = − ∂

∂tj

m∏i=1

S′(i)(ti)

∣∣∣∣ti=s, ∀i = −∏i6=j

S′(i)(s)

∂

∂sS′(j)(s). (3.49)

Koristeci definicije koje su uvedene u ovom poglavlju i identitete koji vaze, dobijase sledeci rezultat:

− ∂

∂sS′(j)(s) = − ∂

∂s

(1− sq

′(j)a

)=

∂

∂ssq′(j)a = f

′(j)a (s) = sp

′(j)a µ

′(j)x (s)

= (1− sq′(j)a )µ

′(j)x (s) = S

′(j)(s)µ′(j)x (s). (3.50)

Zamenom (3.50) u (3.49) se dobija

f (j)a (s) = µ

′(j)x (s)

m∏i=1

S′(i)(s).

Zbog pretpostavljene stohasticke nezavisnosti slucajnih promenljivih T1, T2, . . . , Tm,poslednja jednakost se na ekvivalentan nacin moze predstaviti kao

f (j)a (s) = µ

′(j)a (s)S(τ)(s).

Kako je S(τ)(s) = sp(τ)a i f

(j)a (s) = sp

(τ)a µ

(j)a (s), to je na osnovu poslednje jednakosti

µ(j)x (t) = µ

′(j)x (t), za svako t > 0.

24

(ii) Na osnovu ranije uvedenih definicija i relacije (3.48) sledi

tp(τ)x =

l(τ)x+t

l(τ)x

=l(τ)a S(τ)(x+ t− a)

l(τ)a S(τ)(x− a)

=m∏j=1

S′(j)(x+ t− a)

S ′(j)(x− a)

=m∏j=1

l′(j)a S

′(j)(x+ t− a)

l′(j)a S ′(j)(x− a)

=m∏j=1

l′(j)x+t

l′(j)x

=m∏j=1

tp′(j)x ,

sto je i trebalo pokazati. ♦

Na osnovu ranije pokazanih relacija da je (3.10) i (3.28), vazi

tp(τ)x = exp

{−∫ t

0

µ(τ)x (s)ds

}i µ(τ)

x (s) =m∑i=1

µ(j)x (s),

pa je na osnovu navedenog

tp(τ)x =exp

{−∫ t

0

m∑i=1

µ(j)x (s)ds

}=exp

{−

m∑i=1

∫ t

0

µ(j)x (s)ds

}=

m∏i=1

exp

{−∫ t

0

µ(j)x (s)ds

}.

Na osnovu (3.47) je

m∏j=1

tp′(j)x =

m∏i=1

exp

{−∫ t

0

µ(j)x (s)ds

},

odnosno

tp′(j)x = exp

{−∫ t

0

µ(j)x (s)ds

}. (3.51)

U ranijem izlaganju je navedeno da jednakost

tp(j)x = exp

{−∫ t

0

µ(j)x (s)ds

}ne vazi u opstem slucaju i data su potrebna objasnjenja na osnovu kojih je tajstav opravdan. Dalja analiza, uz pretpostavljenu stohasticku nezavisnost slucajnihpromenljivih T1, T2, . . . , Tm, a pomocu dokazane leme, dovela nas je do zakljucka(3.51).

Koristeci predjasnje rezultate moze se formulisati sledece tvrdjenje:

Posledica 1 Neka su slucajne promenljive T1, T2, . . . , Tm stohasticki nezavisne ineka slucajna promenljiva J ne zavisi od slucajne promenljive min(T1, T2, . . . , Tm).Tada vazi jednakost

tp′(j)x =

(tp

(τ)x

)∞q(j)x

25

Dokaz. Uz pretpostavku o nezavisnosti, na osnovu Leme 2 vazi

µ(j)x (t) = µ(τ)

x (t)∞q(j)x ,

odakle sledi da se (3.51) moze izraziti u obliku

tp′(j)x = exp

{−∫ t

0

µ(τ)x (s)∞q

(j)x ds

}= exp

{− ∞q(j)x

∫ t

0

µ(τ)x (s)ds

}=

(exp

{−∫ t

0

µ(τ)x (s)ds

})∞q(j)x.

Kako je

tp(τ)x = exp

{−∫ t

0

µ(τ)x (s)ds

},

direktno sledi da je

tp′(j)x =

(tp

(τ)x

)∞q(j)x,

sto je i trebalo dokazati. ♦

3.3 Neto premije

Premija osiguranja je novcani iznos koji osiguranik placa osiguravacu za preuzetirizik prilikom sklapanja ugovora o osiguranju. Neto premija sluzi za ispunjenjeobaveza koje su odredjene ugovorom o osiguranju, kao sto su podmirenje steta iisplata ugovorenih iznosa osiguranja, ali i troskova utvrdjivanja obaveza navedenihu ugovoru (procena stete, sudski troskovi, troskovi vestacenja i sl). Svakom polisomosiguranja odredjena je naknada, odnosno suma osiguranja koju osiguravac placaosiguraniku (u vidu jednokratne isplate ili kao niz isplata), ali i premija koju os-iguranik uplacuje osiguravacu. Uplacivanje premije je moguce vrsiti na jedan odsledecih nacina:(1) placanjem jednokratne premije,(2) placanjem periodicnih premija konstantnog iznosa,(3) placanjem periodicnih premija promenljivog iznosa.U slucaju da se premije uplacuju periodicno, ugovorom o osiguranju se mora jasnoprecizirati ucestalost i trajanje premijskih uplata. Najcesce se uplate premija vrsena pocetku godine ili nekog drugog perioda konverzije.

U odnosu na polisu osiguranja, definise se ukupni gubitak osiguravaca L kao raz-lika izmedju sadasnje vrednosti naknada koje placa i sadasnje vrednosti premijskihuplata. Prihvatljiv izbor premija, sa aspekta osiguravaca, je onaj za koji L uzimakako pozitivne, tako i negativne vrednosti, pri cemu je, u srednjem, na nuli. Premijase naziva neto premijom ako zadovoljava princip ekvivalentnosti, odnosno za kojuje E[L] = 0.

Kako nisu poznate kamatne stope koje ce se primenjivati u buducnosti, postavljase pitanje zasto ih ne modelirati pomocu slucajnih procesa.

26

(1) Za zivotno osiguranje potrebno je modelirati kamatne stope na duzi vremen-ski period, a ne postoji ni jedan opste prihvaceni stohasticki model koji se bavi takodugorocnim predvidjanjima.

(2) Sasvim je logicna pretpostavka o nezavisnosti slucajnih promenljivih kojeopisuju preostalo vreme do dekrementa. Uz pretpostavku o deterministickoj kamat-noj stopi gubici osiguravaca na ime razlicitih polisa osiguranja postaju takodje neza-visne slucajne promenljive. Na osnovu uvedenih pretpostavki, raspodela verovatnocaukupnog gubitka osiguravaca jednostavno se moze odrediti jer je rec o sumi nezavis-nih slucajnih promenljivih. Zatim, disperzija ukupnog gubitka osiguravaca jednakaje sumi disperzija gubitaka na ime pojedinacnih polisa. Medjutim, stohasticka neza-visnost gubitaka pojedinacnih polisa bi nestala ako bi adekvatne kamatne stope bilestohasticke. U tom slucaju bi svaka promena kamatne stope uticala na sve poliseistovremeno.

Shodno navedenom, u vecini modela pretpostavlja se da su kamatne stope de-terministicke.

3.3.1 Jednokratna neto premija

Potreba za primenom modela visestrukog dekrementa javlja se kada suma osigu-ranja zavisi od toga po kom je osnovu nastupio dekrement. U ovom poglavlju, cilj jeodredjivanje ocekivane sadasnje vrednosti buducih isplata na ime sume osiguranjau modelu visestrukog dekrementa, i to kada se isplata vrsi u trenutku nastupanjadekrementa ili na kraju godine u kojoj je nastupio dekrement po nekom osnovu.

Bez obzira kada se vrsi isplata sume osiguranja, pretpostavka je da se premijauplacuje jednokratno, u trenutku sklapanja ugovora. Takva premija se naziva jed-nokratna neto premija, i u skladu sa principom ekvivalentnosti, ona je jednakaocekivanoj sadasnoj vrednosti buducih isplata na ime sume osiguranja.

U slucaju isplate u trenutku nastupanja dekrementa, koristice se pristup prekozajednicke raspodele slucajnijh promenljivih T ∗(x) i J , gde slucajna promenljivaT ∗(x), kao i do sada, predstavlja preostalo vreme do nastupanja dekrementa osobestarosti x godina. Medjutim, ako je ugovorom o osiguranju predvidjena isplata sumeosiguranja na kraju godine, u kojoj je po nekom osnovu nastupio dekrement, pristupce biti drugaciji.

Za osobe starosti x godina, definise se diskretna slucajna promenljiva K∗(x),koja predstavlja broj preostalih celih godina do nastupanja dekrementa po nekomod ugovorom preciziranih, i to na sledeci nacin:

K∗(x) = bT ∗(x)c, (3.52)

gde je bac ceo deo broja a. U tom smislu je

P [K∗(x) = k] = P [bT ∗(x)c = k] = P [k ≤ T ∗(x) < k + 1]

= P [T ∗(x) < k + 1]− P [T ∗(x) < k] = k+1q(τ)x − kq

(τ)x . (3.53)

Pri tom, razlika izmedju preostalog vremena do dekrementa po bilo kom osnovui preostalog celobrojnog vremena do dekrementa po bilo kom osnovu, naziva sepreostali nepotpuni broj godina do dekrementa po bilo kom osnovu.

27

Na osnovu uvedene slucajne promenljive K∗(x), moguce je naci ocekivanu sadas-nju vrednost sume osiguranja koja se isplacuje na kraju godine kada je po nekom os-novu nastupio dekrement, i to koristeci zajednicku raspodelu slucajnih promenljivihJ i K∗(x).

Pretpostavka je da je referentna kamatna stopa deterministicka i da je kons-tantna sve vreme trajanja ugovora. U praksi je cest slucaj kamatne stope koja jepromenljiva. Medjutim, pretpostavka da je kamanta stopa konstantna ne umanju-je u znacajnoj meri opstost modela. Uz pretpostavku o deterministickoj prirodikamatne stope, koja je promenljiva tokom trajanja ugovora o osiguranju, sadasnjavrednost sume osiguranja jednostavno se izracunava, primenjujuci vazece kamatnestope u razlicitim vremenskim intervalima tokom trajanja ugovora o osiguranju.

U nastavku ce biti navedene ocekivane sadasnje vrednosti suma osiguranja zarazlicite tipove ugovora o osiguranju, u slucaju kada je ugovorom o osiguranju pre-cizirano da se osigurana suma isplacuje neposredno nakon nastupanja dekrementa.

1. Neka je ugovorom o dozivotnom osiguranju odredjeno m mogucih osnovadekrementa i neka suma osiguranja zavisi od osnova po kojem je nastupio dekrement.Dalje, neka je sa B

(j)x+t obelezena suma osiguranja osobe starosti x + t godina ako

je dekrement nastupio po j-tom osnovu. U slucaju kada je polisom osiguranjaprecizirano da se suma osiguranja isplacuje u momentu nastupanja dekrementa,ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja, u oznaci Ax, je data sa:

Ax = E[B(J)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)] = E[E(B(J)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)|J)],

gde je ϑ = 11+i

faktor diskontovanja koji odgovara godisnjoj efektivnoj kamatnojstopi i. Kako je

E[E(B(J)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)|J)] =m∑j=1

E[B(j)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)|J = j]P [J = j],

to je za odredjivanje Ax neophodno odrediti

E[B(j)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)|J = j], j = 1, 2, . . . ,m.

Imajuci u vidu (3.31), uslovna gustina raspodele slucajne promenljive T ∗(x), poduslovom J = j je

f (j)x (t|j) =

∂

∂t

(tq

(j)x

P [J = j]

)=

f(j)x (t)

P [J = j],

sto zajedno sa ranije dokazanom jednakoscu f(j)x (t) = tp

(τ)x µ

(j)x (t), implicira

f (j)x (t|j) =

tp(τ)x µ

(j)x (t)

P [J = j]. (3.54)

Na osnovu poslednjeg izraza sledi da je

E[B(j)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)|J = j]=

∫ ∞0

B(j)x+tϑ

tf (j)x (t|j)dt=

∫ ∞0

B(j)x+tϑ

t tp(τ)x µ

(j)x (t)

P [J = j]dt.

28

Tada je

Ax =m∑j=1

E[B(j)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)|J = j]P [J = j]. (3.55)

Suma u poslednjem izrazu sugerise da je jednokratna neto premija dozivotnog osi-guranja, u modelu visestrukog dekrementa, jednaka tezinskoj sumi jednokratnih netopremija dozivotnih osiguranja, od kojih se svako odnosi na jedan uzrok dekrementa.Pri tom, tezinski koeficijenti su verovatnoce realizacija dekrementa po konkretnomosnovu. Dalje je,

Ax =m∑j=1

∫ ∞0

B(j)x+tϑ

ttp

(τ)x µ(j)

x (t)dt. (3.56)

U opstem slucaju, nije lako izracunati dobijeni integral, ali se uz neke pret-postavke on moze pojednostaviti. Najcesce koriscena pretpostavka je pretpostavkao uniformnoj raspodeli preostalih nepotpunih godina do dekrementa.

Posmatra se populacija ciji se broj opisuje funkcijom l(τ)x , x ≥ 0. Pretpostavlja

se da za tu populaciju vazi da preostali nepotpuni broj godina do dekrementa pobilo kom osnovu U(x) ima uniformnu rapodelu na intervalu (0, 1) i da su U(x) iK∗(x) stohasticki nezavisne slucajne promenljive. Tada za s ∈ (0, 1) vazi

P [U(x) < s|K∗(x) = k] = s. (3.57)

Na drugoj strani, uzevsi u obzir definiciju broja potpunih godina do nastupanjadekrementa po bilo kom osnovu (3.52), kao i relaciju (3.53), bice

P [U(x)<s|K∗(x)=k]=P [U(x)<s,K∗(x)=k]

P [K∗(x)=k]

=P [U(x)+K∗(x)<k + s,K∗(x)=k]

P [K∗(x)=k]=P [T ∗(x)<k+s, k≤T ∗(x)<k + s]

P [k≤T ∗(x)<k + 1]

=P [k≤T ∗(x)<k + s]

P [k≤T ∗(x)<k + 1]=

k+sq(τ)x −kq

(τ)x

k+1q(τ)x −kq

(τ)x

=kp

(τ)x −k+sp

(τ)x

kp(τ)x −k+1p

(τ)x

. (3.58)

Na osnovu jednakosti (3.7), vazi

k+sp(τ)x

kp(τ)x

=

l(τ)x+k+s

l(τ)x

l(τ)x+k

l(τ)x

=l(τ)x+k+s

l(τ)x+k

= sp(τ)x+k,

odakle direktno sledi da je

k+sp(τ)x = kp

(τ)x sp

(τ)x+k. (3.59)

Primenom poslednje jednakosti u (3.58), dobija se

P [U(x) < s|K∗(x) = k] =kp

(τ)x − kp

(τ)x sp

(τ)x+k

kp(τ)x − kp

(τ)x p

(τ)x+k

=1− sp

(τ)x+k

1− p(τ)x+k

, (3.60)

29

gde je p(τ)x+k = 1p

(τ)x+k ustaljena aktuarska oznaka. Izjednacavanjem jednakosti (3.57)

i (3.60) se dobija

1− sp(τ)x+k

1− p(τ)x+k

= s.

Primenom relacije (3.7), poslednja jednakost ekvivalentna je sa

1− l(τ)x+k+s

l(τ)x+k

1− l(τ)x+k+1

l(τ)x+k

= s⇔ l(τ)x+k − l

(τ)x+k+s = s

(l(τ)x+k − l

(τ)x+k+1

)

⇔ l(τ)x+k+s = l

(τ)x+k + s

(l(τ)x+k+1 − l

(τ)x+k

). (3.61)

Dakle, pretpostavka da slucajna promenljiva U(x) ima U(0, 1) raspodelu i daje stohasticki nezavisna u odnosu na slucajnu promenljivu K∗(x) ekvivalentna jepretpostavci da se broj clanova posmatrane populacije u trenutku x + k + s, s ∈(0, 1) moze dobiti linearnom interpolacijom na osnovu broja clanova populacije u

celobrojnim trenucima, tj. na osnovu l(τ)x+k i l

(τ)x+k+1.

Sada se pretpostavlja da broj preostalih nepotpunih godina do dekrementa poj-tom osnovu, u populacijama ciji se broj clanova opisuje funkcijom l

(j)x , za svaku

starost x ≥ 0 i svaki osnov dekrementa j = 1, 2, . . . ,m, ima U(0, 1) raspodelu ida ne zavisi od celobrojnog preostalog vremena do dekrementa po j-tom osnovu.Analogno prethodnom nacinu zakljucivanja, dobija se

l(j)x+k+s = l

(j)x+k + s

(l(j)x+k+1 − l

(j)x+k

).

Tada za t = k + s, intenzitet dekrementa po j-tom osnovu, uzevsi u obzir definiciju(3.20) i poslednju jednakost, postaje

µ(j)x (t) = −

∂∂tl(j)x+t

l(τ)x+t

= −∂∂tl(j)x+k + (t− k)

(l(j)x+k+1 − l

(j)x+k

)l(τ)x+t

=l(j)x+k − l

(j)x+k+1

l(τ)x+k+s

.

Prema poslednjoj jedankosti i relacijama (3.7), (3.17) i (3.18), vazi

µ(j)x (t)sp

(τ)x+k = µ(j)

x (k + s)sp(τ)x+k =

l(j)x+k − l

(j)x+k+1

l(τ)x+k+s

l(τ)x+k+s

l(τ)x+k

=l(j)x+k − l

(j)x+k+1

l(τ)x+k

=d(j)x+k

l(τ)x+k

= q(j)x+k. (3.62)

Dakle, integral iz jednakosti (3.56), na osnovu relacija (3.59) i (3.62) postaje∫ ∞0

B(j)x+tϑ

ttp

(τ)x µ(j)

x (t)dt =∞∑k=0

∫ 1

0

B(j)x+k+sϑ

k+sk+sp

(τ)x µ(j)

x (k + s)ds

30

=∞∑k=0

∫ 1

0

B(j)x+k+sϑ

k+skp

(τ)x sp

(τ)x+kµ

(j)x (k+s)ds =

∞∑k=0

kp(τ)x

∫ 1

0

B(j)x+k+sϑ

k+sq(j)x+kds

=∞∑k=0

ϑk+1kp

(τ)x q

(j)x+k

∫ 1

0

B(j)x+k+s(1+i)1−sds ≈

∞∑k=0

ϑk+1/2kp

(τ)x q

(j)x+kB

(j)x+k+1/2,

gde je poslednji korak dobijen na osnovu teoreme o srednjoj vrednosti za integrale.

Aproksimativna ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja, u slucaju dozivot-nog osiguranja, je

Ax ≈m∑j=1

∞∑k=0

ϑk+1/2kp

(τ)x q

(j)x+kB

(j)x+k+1/2.

2. Predmet razmotranja je ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja uslucaju osiguranja sa rokom od n godina. Odredjenosti radi, posmatra se slucaj oso-be starosti x godina u trenutku zakljucenja ugovora o osiguranju. Tada je ocekivanasadasnja vrednost sume osiguranja, u oznaci Ax:n|, data sa

Ax:n| = E[B(J)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)I[T ∗(x)≤n]] =m∑j=1

∫ n

0

B(j)x+tϑ

ttp

(τ)x µ(j)

x (t)dt. (3.63)

Kao sto je vec pomenuto u kontekstu prethodnog tipa osiguranja, izraze ob-lika (3.63) nije lako izracunati u opstem slucaju. Medjutim, situacija se znacajnopojednostavljuje ako uz pretpostavku o uniformnoj raspodeli preostalih nepotpunihgodina do dekrementa po j-tom osnovu U(x) i nezavisnosti U(x) od celobrojnog pre-ostalog vremena do dekrementa po j-tom osnovu K∗(x), vazi da suma osiguranjane zavisi od vremena. Takva situacija je ilustrovana sledecim primerom.

Primer 2 Posmatra se ugovor o osiguranju koji obezbedjuje udvostrucenu sumuosiguranja ukoliko smrt osiguranika nastupi usled nesrecnog slucaja. Neka je J =1 u slucaju da smrt osiguranika nastupi na bilo koji nacin izuzev usled nesrece iJ = 2 u slucaju da smrt osiguranika nastupi usled nesrecnog slucaja, pri cemu suodgovarajuce osigurane sume B

(1)x+t = 1 i B

(2)x+t = 2, respektivno. Odrediti jednokratnu

neto premiju osiruranja sa rokom od n godina.

Na osnovu jednakosti (3.63), bice

Ax:n| =

∫ n

0

ϑttp(τ)x µ(1)

x (t)dt+ 2

∫ n

0

ϑttp(τ)x µ(2)

x (t)dt.

Ako se uvede pretpostavka o uniformnoj raspodeli preostalih nepotpunih godina dodekrementa po bilo kom osnovu, prvi integral u prethodnoj jednakosti se svodi na

∫ n

0

ϑttp(τ)x µ(1)

x (t)dt =n−1∑k=0

ϑkkp(τ)x

∫ 1

0

ϑssp(τ)x+kµ

(1)x (k + s)ds.

31

Postupkom, analognim onim koji je koriscen u slucaju dozivotnog osiguranja, dobijase ∫ n

0

ϑttp(τ)x µ(1)

x (t)dt =n−1∑k=0

ϑk+1kp

(τ)x q

(1)x+k

∫ 1

0

(1 + i)1−sds

=i

ln(1 + i)

n−1∑k=0

ϑk+1kp

(τ)x q

(1)x+k =

i

δ

n−1∑k=0

ϑk+1kp

(τ)x q

(1)x+k,

gde je δ intenzitet kamate ekvivalentan efektivnoj kamatnoj stopi u smislu da vazi1 + i = eδ.Slicnim postupkom se dobija i drugi integral, pa ocekivana sadasnja vrednost sumeosiguranja, na osnovu (3.24), iznosi

Ax:n| =i

δ

[ n−1∑k=0

ϑk+1kp

(τ)x

(q(1)x+k + 2q

(2)x+k

)]

=i

δ

n−1∑k=0

ϑk+1kp

(τ)x q

(2)x+k +

i

δ

n−1∑k=0

ϑk+1kp

(τ)x q

(τ)x+k = A

1(2)

x:n| + A1

x:n|,

gde je A1(2)

x:n| ocekivana sadasnja vrednost jedinicne sume osiguranja u slucaju da do

smrti osiguranika dodje usled nesrece, dok je A1

x:n| ocekivana sadasnja vrednost je-dinicne sume osiguranja u slucaju da smrt osiguranika nastupi po bilo kom osnovu.Jasno je da zadovoljen uslov dvostruke osigurane sume ako je smrt osiguranika nas-tupila usled nesrecnog slucaja.�

3. U slucaju osiguranja dozivljenja narednih n godina, suma osiguranja se is-placuje u trenutku n, ako je osiguranik doziveo starost od n godina. Analogno semoze kreirati polisa osiguranja u skladu sa kojom ce osiguraniku biti isplacena sumaB

(j)x+n u trenutku n, pod uslovom da se do tog trenutka n nije realizovao dekrement

po j-tom osnovu. Tada je ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja, za osobustarosti x godina u trenutku sklapanja ugovora, data sa

An

x = E[B(J)x+nϑ

nI[T ∗(x)>n]] =m∑j=1

B(j)x+nϑ

nP [T ∗(x) > n, J = j]

=m∑j=1

B(j)x+nϑ

n

∫ ∞n

tp(τ)x µ(j)

x (t)dt.

4. Ugovor o mesovitom osiguranju sa rokom od n godina podrazumeva isplatusume osiguranja ako smrt osiguranika nastupi u prvih n godina od sklapanja ugovora,a inace se suma osiguranja isplacuje na kraju n-te godine od trenutka sklapanjaugovora. Analogno se moze kreirati ugovor o osiguranju koji ce garantovati isplatuosigurane sume B

(j)x+T ∗(x), ukoliko dekrement po j-tom osnovu nastupi u toku prvih

n godina od zakljucenja ugovora, a inace podrazumeva isplatu sume B(j)x+n, na kraju

32

n-te godine od trenutka sklapanja ugovora. Ocekivana sadasnja vrednost sumeopisanog osiguranja, za osobu starosti x godina u trenutku sklapanja ugovora, je

nAx = Ax:n| + An

x = E[B(J)x+T ∗(x)ϑ

T ∗(x)I[T ∗(x)≤n]] + E[B(J)x+nϑ

nI[T ∗(x)>n]]

=m∑j=1

∫ n

0

B(j)x+tϑ

ttp

(τ)x µ(j)

x (t)dt+m∑j=1

B(j)x+nϑ

n

∫ ∞n

tp(τ)x µ(j)

x (t)dt.

Pokazano je kako je moguce naci ocekivanu sadasnju vrednost sume osiguranjau modelu visestrukog dekrementa kada se isplata vrsi u trenutku nastupanja dekre-menta. Postavlja se pitanje kako izracunati ocekivanu sadasnju vrednost sumeosiguranja u modelu visestrukog dekrementa u slucaju da je ugovorom odredjenoda se suma osiguranja isplacuje na kraju kalendarske godine u kojoj je nastupiodekrement. Kako suma osiguranja zavisi od osnova dekrementa, to ce se koristitizajednicka raspodela slucajnih promenljivih K∗(x) i J , odredjena izrazom

p(k, j) = P [K∗(x) = k, J = j], za k = 0, 1, . . . , j = 1, . . . ,m. (3.64)

1. U slucaju dozivotnog osiguranja osobe starosti x godina, ocekivana diskonto-vana vrednost sume osiguranja izrazena je sa

Ax = E[B(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1].

Slicnim postupkom, koji je koriscen za izracunavanje sadasnje vrednosti sume dozi-votnog osiguranja, kod koga se isplata vrsi neposredno nakon dekrementa, dobijase

E[B(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1] = E[E(B(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1|J)]

=m∑j=1

E[B(j)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1|J = j]P [J = j]

=m∑j=1

∞∑k=0

B(j)x+k+1ϑ

k+1P [K∗(x) = k|J = j]P [J = j]

=m∑j=1

∞∑k=0

B(j)x+k+1ϑ

k+1P [K∗(x) = k, J = j].

Uzevsi u obzir jednakost (3.64), vazi

Ax =m∑j=1

∞∑k=0

ϑk+1B(j)x+k+1p(k, j).

Analognim postupkom se izracunavaju sadasnje vrednosti suma osiguranja i zadruge tipove osiguranja, u slucaju da se isplata vrsi na kraju godine u kojoj jenastupio dekrement. Tako je:

33

2. u slucaju osiguranja sa rokom od n godina osobe starosti x godina u trenutkuzakljucenja ugovora o osiguranju, ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja

Ax:n| =m∑j=1

n−1∑k=0

ϑk+1B(j)x+k+1p(k, j);

3. u slucaju osiguranja dozivljenja narednih n godina osobe starosti x godina utrenutku zakljucenja ugovora o osiguranju

An

x =m∑j=1

ϑnB(j)x+n

∞∑k=n

p(k, j);

4. u slucaju mesovitog osiguranja sa rokom n godina osobe starosti x godina utrenutku zakljucenja ugovora o osiguranju

nAx = Ax:n| + An

x =m∑j=1

n−1∑k=0

ϑk+1B(j)x+k+1p(k, j) +

m∑j=1

ϑnB(j)x+n

∞∑k=n

p(k, j).

3.3.2 Izracunavanje premije u slucaju kada se premijskeuplate vrse neprekidno ili periodicno

U ovom poglavlju ce biti razmatran slucaj kada se premijske uplate vrse nepre-kidno ili periodicno u toku nekog perioda, pocev od trenutka sklapanja ugovorao osiguranju. Ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja u modelu visestrukogdekrementa, koja je razmatrana u prethodnom odeljku, je jedna od dve kompo-nente potrebne za izracunavanje premije. Druga komponenta koja je neophodna zaizracunavanje premije je ocekivana sadasnja vrednost premijskih uplata od straneosiguranika. Medjutim, kako premijske uplate ne zavise od toga po kom ce osnovunastupiti dekrement, to izracunavanje ocekivanih diskontovanih premijskih uplataostaje isto kao i u slucaju kada ugovor pokriva samo jedan osigurani slucaj.

Pretpostavka je da se premije uplacuju neprekidno sve do trenutka nastupanjadekrementa po bilo kom osnovu. Radi jednostavnosti, pretpostavlja se da je rec ojedinicnim uplatama. Tada je ocekivana sadasnja vrednost opisanih uplata data sa

ax =

∫ ∞0

ϑttp(τ)x dt. (3.65)

Treba napomenuti da je u slucaju kada su uplate konstantne i iznose P , ocekivanasadasnja vrednost premijskih uplata, pod uslovom da se uplacuju na prethodnoopisan nacin, jednaka P ax. Na dalje se pretpostavlja da su premijske uplate je-dinicne.

Ako se premije uplacuju neprekidno tokom n godina, ili do trenutka nastupanjadekrementa po bilo kom osnovu u toku n godina, ocekivana sadasnja vrednost takvihuplata se dobija kao

ax:n| =

∫ n

0

ϑttp(τ)x dt. (3.66)

34

Ako se premije uplacuju do trenutka nastupanja dekrementa po bilo kom osnovu,ali u diskretim vremenskim trenucima, ocekivana sadasnja vrednost takvih uplatabice

ax =∞∑k=0

ϑkkp(τ)x .

Ocekivana diskontovana vrednost premijskih uplata koje traju n godina, odnosnodo nastupanja dekrementa po ma kom osnovu od navedenih u ugovoru o osiguranju,a koje se uplacuju u diskretnim vremenskim trenucima je

ax:n| =n−1∑k=0

ϑkkp(τ)x .

Kako je iz ranijeg izlaganja poznato da se verovatnoca tp(τ)x moze odrediti na

osnovu tablica mortaliteta, to se mogu odrediti ocekivane sadasnje vrednosti premij-skih uplata kako u neprekidnom tako i u diskretnom slucaju. Pod pretpostavkomda su premijske uplate konstantne, premije se izracunavaju, na osnovu principaekvivalencije, na sledeci nacin:

Premija =Ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja

Ocekivana sadasnja vrednost jedinicnih premijskih uplata.

Primer 3 Neka je model visestrukog dekrementa, sa dva osnova dekrementa, zadatsa:

µ(1)x (t) = BCx+t, µ(2)

x (t) = A, t ≥ 0, A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ 1. (3.67)

Pri tom, neka vazi

A = 0.0008, B = 0.00011, C = 1.095, δ = 0.05,

gde je δ intenzitet kamate. Pretpostavka je da se suma osiguranja isplacuje nepo-sredno nakon nastupanja dekrementa; i to 1000 jedinica, ukoliko dekrement nastupina osnovu prvog uzroka i 2000 jedinica, ukoliko dekrement nastupi na osnovu drugoguzroka dekrementa.

(i) Naci sadasnju vrednost sume dozivotnog osiguranja za osobu 30, 40, 50 i 60 go-dina starosti u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju.

(ii) Izracunati iznos premije, koja ce biti uplacivana u obliku neprekidne, dozivotnerente za osobu 30, 40, 50 i 60 godina starosti prilikom sklapanja ugovora o dozi-votnom osiguranju. Rastaviti ukupnu premiju na deo koji odgovara prvom i deo kojiodgovovara drugom uzroku dekrementa.

(iii) Naci iznos premije, koja ce biti uplacivana u obliku n-to godisnje, neprekidnerente za dozivotno osiguranje osobe starosti 30 godina, gde je n = 1, 2, . . . , 10.

(iv) Izracunati iznos premije osiguranja sa rokom od n godina, koja ce biti uplacivanau vidu n-to godisnje, neprekidne rente, za osobu starosti 30 godina, gde je n =1, 2, . . . , 10. Rastaviti ukupnu premiju na deo koji odgovara prvom i deo koji odgov-ovara drugom uzroku dekrementa.

35

(i) Na osnovu jednakosti (3.28) je µ(τ)x (s) = BCx+s+A, dok na osnovu relacije (3.10)

sledi

tp(τ)x = exp

{−∫ t

0

(BCx+s + A)ds

}= exp

{− (At+mCx(Ct − 1))

}, (3.68)

gde je m = BlnC

. Sadasnja vrednost sume dozivotnog osiguranja osobe starostix godina, koja se isplacuje neposredno nakon nastupanja dekrementa, na osnovujednakosti (3.56), je

Ax =2∑j=1

∫ ∞0

B(j)x+tϑ

ttp

(τ)x µ(j)

x (t)dt,

gde je B(1)x+t = 1000 i B

(2)x+t = 2000, na osnovu uvedenih pretpostavki. Radi jednos-

tavnijeg zapisa bice uvedene oznake αx = mCx i δ1 = δ+A. Uzevsi u obzir jednakost(3.68), pretpostavljene vrednosti za µ

(1)x (t) i µ

(2)x (t), kao i cenjenicu da je ϑt = e−δt,

dobija se

Ax = 1000BCxeαx∫ ∞0

e−δt−At−αxCt

Ctdt+ 2000Aeαx∫ ∞0

e−δt−At−αxCt

dt

= 1000BCxeαx∫ ∞0

e−δ1t−αxCt

Ctdt+ 2000Aeαx∫ ∞0

e−δ1t−αxCt

dt. (3.69)

Prvi sabirak poslednje jednakost bice oznacen sa A1, a drugi sa A2, i neka je

I1 =A1

1000BCx= eαx

∫ ∞0

e−δ1t−αxCt

Ctdt, (3.70)

I2 =A2

2000A= eαx

∫ ∞0

e−δ1t−αxCt

dt. (3.71)

Prvo ce biti razmatran sabirak A1.Gustina koja odgovara Γ(λ1, αx) raspodeli je

g(x) =αλ1x

Γ(λ1)e−αxxxλ1−1, x ≥ 0.

Ako slucajna promenljiva W1 ima raspodelu Γ(λ1, αx), tada je

P [W1 ≥ 1] =

∫ ∞1

αλ1xΓ(λ1)

e−αxyyλ1−1dy,

pa je

I =

∫ ∞1

e−αxyyλ1−1dy = Γ(λ1)α−λ1x P [W1 ≥ 1]. (3.72)

Vratimo se sada na sabirak A1 i uvedimo smenu Ct = y, odakle se dobija da jeCtdt = dy

lnCi t = ln y

lnC. Nakon uvedene smene, izraz A1 postaje

A1 = 1000BCxeαx∫ ∞1

e−δ1ln ylnC e−αxy

dy

lnC

= 1000B

lnCCxeαx

∫ ∞1

eln y−δ1lnC e−αxydy

= 1000mCxeαx∫ ∞1

y−δ1lnC e−αxydy

36

Ako je λ1 = −δ1lnC

+ 1, tada je

A1 = 1000mCxeαx∫ ∞1

e−αxyyλ1−1dy

Uzevsi u obzir jednakost (3.72) i cinjenicu da je αx = mCx, dobija se

A1 = 1000αxeαxΓ(λ1)α

−λ1x P [W1 ≥ 1] = 1000eαxΓ(λ1)α

1−λ1x P [W1 ≥ 1]. (3.73)

Za izracunavanje izraza A2 bice koriscen drugaciji pristup. Na osnovu jednakosti(3.9), je

f (τ)x (t) = exp

{− (At+ αx(C

t − 1))}

(A+BCx+t), t ≥ 0.

Medjutim, kako je na osnovu (3.11), funkcija f(τ)x (t) gustina raspodele slucajne

promenljive min(T1, T2), to je

1 =

∫ ∞0

f (τ)x (t)dt =

∫ ∞0

exp{− (At+ αx(C

t − 1))}

(A+BCx+t)dt.

Na osnovu poslednje jednakosti je

I3 =Aeαx∫ ∞0

exp{− (At+αxC

t)}dt=1−BCxeαx

∫ ∞0

exp{− (At+αxC

t)}Ctdt.

Primenivsi smenu y = Ct , dobija se

I3 = 1− αxeαx∫ ∞1

y−AlnC e−αxydy.

Ako je λ = −AlnC

+ 1, poslednja jednakost postaje

I3 = 1− αxeαx∫ ∞1

yλ−1e−αxydy.

Neka slucajna promenljive W ima raspodelu Γ(λ, αx). Analognim postupkom kao ujednakosti (3.72) se dobija

I3 = 1− eαxΓ(λ)α1−λx P [W ≥ 1]. (3.74)

Kako je A2 = 2000Aex∫∞0e−δ1t−αxC

tdt, to je

A2

2000A= eαx

∫ ∞0

e−δ1t−αxCt

dt.

Ako se poslednji izraz pomnozi sa δ1, dobice se izraz koji je slican sa I3. Razlika cebiti samo u tome sto se na mestima gde u I3 figurise A, u poslednjem izrazu javljaδ1. Pri tom, treba imati u vidu ranije uvedenu slucajnu promenljivu W1, koja ima

37

Γ(λ1, αx) raspodelu, gde je λ1 = −δ1lnC

+ 1. Dakle, na osnovu jednakosti (3.74), dobijase

A2 = 2000A

δ1

(1− eαxΓ(λ1)α

1−λ1x P [W1 ≥ 1]

). (3.75)

Na osnovu jednakosti (3.73) i (3.75), bice

Ax = A1 + A2 =2000A+ 1000(δ − A)(eαxΓ(λ1)α

1−λ1x P [W1 ≥ 1])

A+ δ. (3.76)

(ii) Treba naci ocekivanu sadasnju vrednost premijske uplate, koje se vrse u viduneprekidne dozivotne rente. Neka je sa Pxax oznacena ocekivana sadasnja vrednostpremijskih uplata, gde je ax ocekivana sadasnja vrednost neprekidne dozivotne rentesa jedinicnom uplatom, koja je definisana sa (3.65). Na osnovu jednakosti (3.68) i(3.71) je

ax =

∫ ∞0

ϑttp(τ)x dt = eαx

∫ ∞0

e−δt−At−αxCt

dt

= eαx∫ ∞0

e−δ1t−αxCt

dt = I2 =A2

2000A,

dok je na osnovu relacije (3.75),

ax =1− eαxΓ(λ1)α

1−λ1x P [W1 ≥ 1]

δ1. (3.77)

Da bi vazio princip ekvivalentnosti, mora vaziti Px = Ax

ax, pa se Px dobija koriscenjem

rezultata iz (3.76) i (3.77). Neka je sa P(1)x oznacen deo premije koji odgovara prvom

osnovu dekremeta, a sa P(2)x deo premije koji odgovara drugom osnovu dekrementa.

Tada je

P (1)x =

A1

ax, P (2)

x =A2

ax. (3.78)

Uzevsi u obzir rezultate iz (3.73), (3.75) i (3.77), dobija se trazena dekompozicijapremije prema osnovama dekrementa.(iii) Posmatra se premija dozivotnog osiguranja osobe starosti x godina, koja seuplacuje u vidu n-to godisnje neprekidne rente, cija je sadasnja vrednost ax:n| pred-stavljena izrazom (3.66). Neka je sadasnja vrednost navedenih premijskih uplataoznacena sa Px,nax:n|. Cilj je naci Px,n, tako da vazi princip ekvivalentnosti.Uzevsi u obzir jednakost (3.68), kao i cinjenice da je ϑt = e−δt i δ1 = A + δ, dobijase

ax:n| = eαx∫ n

0

e−δt−At−αxCt

dt = eαx∫ n

0

e−δ1t−αxCt

dt. (3.79)

Na osnovu relacija (3.11), (3.5), (3.6) i (3.7) je∫ n

0

f (τ)x (t)dt =

∫ n

0

∂

∂ttq

(τ)x dt = nq

(τ)x = 1− tp

(τ)x .

38

Uzevsi u obzir rezultat iz (3.68), dobija se∫ n

0

f (τ)x (t)dt = 1− e−An−αxCn+αx . (3.80)

Sa druge strane, kako vazi jednakost (3.9), to je∫ n

0

f (τ)x (t)dt =

∫ n

0tp

(τ)x µ(τ)

x (t)dt.

Zamenom tp(τ)x i µ

(τ)x sa dobijenim vrednostima, dobija se∫ n

0

f (τ)x (t)dt = A3 + A4, (3.81)

gde je

A3 = Aeαx∫ n

0

e−At−αxCt

dt, (3.82)

A4 = BCxeαx∫ n

0

e−At−αxCt

Ctdt. (3.83)

Izraz (3.83) slican je prvom sabirku iz jednakosti (3.69), koji je tada oznacen sa A1.Medjutim, razlika je u gornjoj granici integrala, koja je sada n, i umesto δ1 u izrazu(3.83) figurise A. Neka slucajna promenljiva W2 ima Γ(λ2, αx) raspodelu, gde jeλ2 = −δ

lnC+ 1. Tada je

A4 = eαxΓ(λ2)α1−λ2x P [1 ≤ W2 ≤ Cn].

Zamenom poslednje jednakosti u (3.81), dobija se∫ n

0

f (τ)x (t)dt = A3 + eαxΓ(λ2)α

1−λ2x P [1 ≤ W2 ≤ Cn].

Na osnovu relacije (3.80) je

1− e−An−αxCn+αx = A3 + eαxΓ(λ2)α1−λ2x P [1 ≤ W2 ≤ Cn],

odakle direktno sledi da je

A3 = 1− e−An−αxCn+αx − eαxΓ(λ2)α1−λ2x P [1 ≤ W2 ≤ Cn]. (3.84)

Uocava se da mnozenjem ax.n| iz (3.79) sa δ1 dobija izraz slican sa A3 iz (3.82).Dakle, za λ1 = −δ1

lnC+ 1, bice

ax.n| =1− e−An−αxCn+αx − eαxΓ(λ1)α

1−λ1x P [1 ≤ W ≤ Cn]

δ1(3.85)

Na osnovu principa ekvivalencije, premija razmatranog osiguranja, za osobu starostix godina je

Px,n =Ax

ax.n|.

39

Trazeni iznos premije dobija se primenom jednakosti (3.76) i (3.79) u poslednjemizrazu.(iv) Treba najpre naci ocekivanu sadasnju vrednost sume zivotnog osiguranja sarokom od n godina. Na osnovu jednakosti (3.63) je

Ax:n| =2∑j=1

∫ n

0

B(j)x+tϑ

ttp

(τ)x µ(j)

x (t)dt.

Uzevsi u obzir pretpostavljene vrednosti za µ(1)x (t), µ

(2)x (t), B

(1)x+t i B

(1)x+t, jednakost

(3.68), kao i cinjenice da je ϑt = e−δt i δ1 = A+ δ, dobija se

Ax:n| = 1000BCxeαx∫ n

0

e−δ1t−αxCt

Ctdt+ 2000Aeαx∫ n

0

e−δ1t−αxCt

dt.

Neka je prvi sabirak poslednje jednakosti oznacen sa A5, a drugi sa A6. Uocava se daje A5 analogan je sa A4 iz (3.83), ali umesto A figurise δ1. Za slucajnu promenljivuW1, koja ima Γ(λ1, αx) raspodelu, gde je λ1 = −δ1

lnC+ 1, bice

A5 = 1000eαxΓ(λ1)α1−λ1x P [1 ≤ W1 ≤ Cn]. (3.86)

Sabirak A6 je slican sa ax.n| iz (3.79), pa je

A6 = 2000Aax.n|

= 2000A1− e−An−αxCn+αx − eαxΓ(λ1)α

1−λ1x P [1 ≤ W ≤ Cn]

δ1. (3.87)

Na osnovu rezultata (3.86) i (3.87), vazi

Ax:n| = 1000eαxΓ(λ1)α1−λ1x P [1 ≤ W1 ≤ Cn] + 2000Aax.n|. (3.88)

Prema principu ekvivalencije, premija zivotnog osiguranja sa rokom od n godinaosobe starosti x godina, koja se uplacuje u vidu n-to godisnje neprekidne rente je

Px:n| =Ax:n|

ax:n|.

Primenom rezultata iz (3.88) i (3.79) dobija se iznos trazene premije.Analognim postupkom dolazi se do premije koja odgovara prvom osnovu dekrementaP

(1)x:n|, odnosno drugom osnovu dekrementa P

(2)x:n|, tj.

P(1)x:n| =

A5

ax:n|, P

(2)x:n| =

A6

ax:n|. �

Posmatra se polisa osiguranja sa m osnova dekrementa, koja obezbedjuje isplatusume osiguranja na kraju godine u kojoj je nastupio dekrement. Neka je B

(j)x+k+1

suma osiguranja koja se isplacuje osiguraniku, ako je dekrement nastupio po j-tomosnovu i to nakon k celih godina od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju. Pri

40

tom, x oznacava starost osiguranika prilikom zakljucenja ugovora o osiguranju. Zapreuzeti rizik osiguranik uplacuje osiguravacu premije β0, β1, β2, . . . na pocetku svakekalendarske godine, zakljucno sa godinom u kojoj je nastupiio dekrement. Na osnovurelacija (3.52), (3.14), (3.16), (3.17), (3.18) i (3.7), vazi

P [K∗(x)=k, J=j]=P [bT ∗(x)c=k, J=j]=P [k≤T ∗(x)<k + 1, J=j]

=P [T ∗(x)<k + 1, J=j]−P [T ∗(x)<k, J=j]

=1−P [T ∗(x) > k + 1, J=j]−(1− P [T ∗(x) > k, J=j])

=1−S(j)x (k + 1)−(1−S(j)

x (k)) =S(j)x (k)−S(j)

x (k + 1)=l(τ)x S

(j)x (k)− l(τ)x S

(j)x (k + 1)

l(τ)x

=l(j)x+k − l

(j)x+k+1

l(τ)x

=1d

(j)x+k

l(τ)x

=1d

(j)x+k

l(τ)x+k

l(τ)x+k

l(τ)x

= 1q(j)x+k kp

(τ)x . (3.89)

Pri tom, q(j)x+k = 1q

(j)x+k je uobicajena aktuarska oznaka i bice koriscena nadalje. Neka

je 0 < ϑ < 1 konstantan godisni faktor diskontovanja. Sadasnja vrednost ukupnoggubitka osiguravaca za razmatranu polisu je

L = B(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1 −K∗(x)∑k=0

βkϑk. (3.90)

Na osnovu jednakosti (3.7) je

n+kp(τ)x

np(τ)x

=

l(τ)x+n+k

l(τ)x

l(τ)x+n

l(τ)x

=l(τ)x+n+k

l(τ)x+n

= kp(τ)x+n. (3.91)

Uzevsi u obzir jednakosti (3.52), (3.3), (3.4) i (3.7), dobija se

P [K∗(x) ≥ k] = P [bT ∗(x)c ≥ k] = P [T ∗(x) ≥ k]

= S(τ)(k) =l(τ)x S(τ)(k)

l(τ)x

=l(τ)x+k

l(τ)x

= kp(τ)x . (3.92)

Ocekivana sadasnja vrednost ukupnog gubitka osiguravaca je

EL =∑m

j=1

∑∞k=0B

(j)x+k+1ϑ

k+1P [K∗(x) = k, J = j]−∑∞

k=0 βkϑkP [K∗(x) ≥ k],

a na osnovu rezultata iz (3.89) i (3.92) je

EL =m∑j=1

∞∑k=0

B(j)x+k+1ϑ

k+1q(j)x+kkp

(τ)x −

∞∑k=0

βkϑkkp

(τ)x .

Uz pretpostavku da vazi princip ekvivanencije, odnosno da je EL = 0, vazi

m∑j=1

∞∑k=0

B(j)x+k+1ϑ

k+1q(j)x+kkp

(τ)x =

∞∑k=0

βkϑkkp

(τ)x .

41

Medjutim, u toku trajanja ugovora o osiguranju, princip ekvivalentnosti se mozenarusiti. U tom smislu, za osiguravaca je od znacaja vrednost ukupnog gubitkau trenutku n, kada je starost osiguranika x + n, a preostalo vreme do dekrementaK∗(x)−n, i to pod uslvom da do trenutka n nije doslo do dekrementa. Pod ukupnimgubitkom osiguravaca u trenutku n se podrazumeva razlika diskontovane vrednostisume osiguranja u trenutku n i diskontovane ukupne vrednosti buducih premijskihuplata.

Analogno relaciji (3.90), vrednost ukupnog gubitka osiguravaca u trenutku n,bice

Ln = B(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1−n −K∗(x)∑k=n

βkϑk−n, K∗(x) ≥ n. (3.93)

Ocekivana sadasnja vrednost ukupnog gubitka osiguravaca u trenutku n, poduslovom da je K∗(x) ≥ n, je

Mn = E[Ln|K∗(x) ≥ n] =E[LnI{K∗(x)≥n}]

P [K∗(x) ≥ n]

=

∑mj=1

∑∞k=nB

(j)x+k+1ϑ

k+1−nP [K∗(x) = k, J = j]−∑∞

k=n βkϑk−nP [K∗(x) ≥ k]

P [K∗(x) ≥ n].

Uzevsi u obzir rezultate iz (3.89) i (3.92), dobija se

Mn =

∑mj=1

∑∞k=nB

(j)x+k+1ϑ

k+1−nq(j)x+kkp

(τ)x −

∑∞k=n βkϑ

k−nkp

(τ)x

np(τ)x

,

a ako suma po k ide od nule do beskonacnosti, bice

Mn =

∑mj=1

∑∞k=0B

(j)x+n+k+1ϑ

k+1q(j)x+n+kn+kp

(τ)x −

∑∞k=0 βn+kϑ

kn+kp

(τ)x

np(τ)x

.

Na osnovu relacije (3.91) sledi

Mn =m∑j=1

∞∑k=0

B(j)x+n+k+1ϑ

k+1q(j)x+n+kkp

(τ)x+n −

∞∑k=0

βn+kϑkkp

(τ)x+n. (3.94)

Kako je prema relaciji (3.7) 0p(τ)x+n =

l(τ)x+n

l(τ)x+n

= 1, to je

Mn=m∑j=1

B(j)x+n+1ϑq

(j)x+n+

m∑j=1

∞∑k=1

B(j)x+n+k+1ϑ

k+1q(j)x+n+kkp

(τ)x+n−βn−

∞∑k=1

βn+kϑkkp

(τ)x+n.

Sada je,

Mn + βn =m∑j=1

B(j)x+n+1ϑq

(j)x+n +

m∑j=1

∞∑k=0

B(j)x+(n+1)+k+1ϑ

k+2q(j)x+(n+1)+kk+1p

(τ)x+n

−∞∑k=0

β(n+1)+kϑk+1

k+1p(τ)x+n.

42

Na osnovu relacije (3.7)

k+1p(τ)x+n =

l(τ)x+n+k+1

l(τ)x+n

=l(τ)x+n+k+1

l(τ)x+n+1

l(τ)x+n+1

l(τ)x+n

= kp(τ)x+n+1 p

(τ)x+n, (3.95)

gde je p(τ)x+n = 1p

(τ)x+n, pa je

Mn + βn

=m∑j=1

B(j)x+n+1ϑq

(j)x+n + ϑp

(τ)x+n

m∑j=1

∞∑k=0

B(j)x+(n+1)+k+1ϑ

k+1q(j)x+(n+1)+kkp

(τ)x+(n+1)

−ϑp(τ)x+n

∞∑k=0

β(n+1)+kϑkkp

(τ)x+n+1

=m∑j=1

B(j)x+n+1ϑq

(j)x+n

+ϑp(τ)x+n

{ m∑j=1

∞∑k=0

B(j)x+(n+1)+k+1ϑ

k+1q(j)x+(n+1)+kkp

(τ)x+(n+1) −

∞∑k=0

β(n+1)+kϑkkp

(τ)x+n+1

}.

Uzevsi u obzir jednakost (3.94), dobija se

Mn + βn = ϑp(τ)x+nMn+1 +

m∑j=1

B(j)x+n+1ϑq

(j)x+n. (3.96)

Poslednja jednakost predstavlja rekurentnu formulu koja je korisna za izracunavanjeneto premijske rezerve Mn. Kako je, na osnovu jednakosti (3.24)

p(τ)x+n = 1− q(τ)x+n = 1−

m∑j=1

q(j)x+n,

to je na osnovu (3.96), moguce rastaviti premiju βn na sledeci nacin:

βn = Mn+1ϑ−Mn +m∑j=1

(B(j)x+n+1 −Mn+1)ϑq

(j)x+n = βsn + βrn, (3.97)

gde je

βsn = Mn+1ϑ−Mn, (3.98)

βrn =m∑j=1

(B(j)x+n+1 −Mn+1)ϑq

(j)x+n. (3.99)

Pri tom se vrednost βsn naziva premija stednje, dok se vrednost βrn naziva rizikopremija.

Na osnovu prethodnog razmatranja, moze se izvrsiti dekompozicija sadasnjevrednosti ukupnog gubitka osiguravaca u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju,o cemu govori sledeca lema.

43

Lema 3 Neka je sadasnja vrednost ukupnog gubitka osiguravaca odredjena relacijom(3.90), i neka vazi princip ekvivalencije, odnosno EL = 0. Tada je

L =∞∑k=0

Ykϑk, (3.100)

gde je

Yk =

0, K∗(x) ≤ k − 1

−βrk + (B(J)x+k+1 −Mk+1)ϑ, K∗(x) = k

−βrk, K∗(x) ≥ k + 1,

(3.101)

pri cemu je βrn odredjeno relacijom (3.99).

Dokaz. Na osnovu relacije (3.90), dekompozicije βn iz (3.97) i jednakosti (3.99),bice

L=B(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1−K∗(x)∑k=0

βkϑk=B

(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1−K∗(x)∑k=0

((Mk+1ϑ−Mk)+βrk)ϑk

= B(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1 −K∗(x)∑k=0

(Mk+1ϑk+1 −Mkϑ

k)−K∗(x)∑k=0

βrkϑk

= B(J)x+K∗(x)+1ϑ

K∗(x)+1 +M0 −MK∗(x)+1ϑK∗(x)+1 −

K∗(x)∑k=0

βrkϑk.

Medjutim, kako je pretpostavljeno da je EL = M0 = 0, to je

L = ϑK∗(x)+1(B

(J)x+K∗(x)+1 −MK∗(x)+1)−

K∗(x)∑k=0

βrkϑk,

odakle direktno sledi (3.100). ♦

Slucajna promenljiva Yk iz (3.100) se moze interpretirati kao gubitak osiguravaca,koji je nastao u toku (k + 1)-ve godine. U nastavku ce biti razmatrana koreliranostgubitaka Yk, k ≥ 0. U tom smislu je neophodno dokazati sledecu lemu.

Lema 4 Neka su gubici osiguravaca po godinama definisani pomocu (3.101). Akovazi princip ekvivalencije, odnosno ako je EL = 0, tada je

E[Yn+1] = 0, n = 0, 1...

Dokaz. Na osnovu osobina uslovnog matematickog ocekivanja, vazi

E[Yn+1] = E[Yn+1|K∗(x) ≥ n+ 1]P [K∗(x) ≥ n+ 1]

+E[Yn+1|K∗(x) ≤ n]P [K∗(x) ≤ n].

44

Na osnovu Leme 3 je Yn+1 = 0, K∗(x) ≤ n, pa sledi da je

E[Yn+1] = E[Yn+1|K∗(x) ≥ n+ 1]P [K∗(x) ≥ n+ 1]. (3.102)

Dalje je

E[Yn+1|K∗(x) ≥ n+ 1] =E[Yn+1I{K∗(x)≥n+1}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]

=E[Yn+1(I{K∗(x)=n+1} + I{K∗(x)≥n+2})]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]

=E[Yn+1I{K∗(x)=n+1}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]+E[Yn+1I{K∗(x)≥n+2}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]. (3.103)

Posmatraju se dva dogadjaja, A i B, i neka je pri tom A ⊂ B. Tada je I{A} =I{A}I{B}, odakle sledi da je prvi sabirak na desnoj strani poslednje jednakosti,

E[Yn+1I{K∗(x)=n+1}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]=E[Yn+1I{K∗(x)=n+1}I{K∗(x)≥n+1}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]

= E[Yn+1I{K∗(x)=n+1}|K∗(x) ≥ n+ 1],

pa na osnovu Leme 3, vazi

E[Yn+1I{K∗(x)=n+1}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]= −βrn+1P [K∗(x) = n+ 1|K∗(x) ≥ n+ 1] + Zn+1, (3.104)

gde je Zn+1 = E[(B(J)x+n+2 −Mn+2)ϑI{K∗(x)=n+1}|K∗(x) ≥ n+ 1].

Analognim postupkom se dobija

E[Yn+1I{K∗(x)≥n+2}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]=E[Yn+1I{K∗(x)≥n+2}I{K∗(x)≥n+1}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]

= E[Yn+1I{K∗(x)≥n+2}|K∗(x) ≥ n+ 1].

Na osnovu Leme 3, bice

E[Yn+1I{K∗(x)≥n+2}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]= −βrn+1P [K∗(x) ≥ n+ 2|K∗(x) ≥ n+ 1]. (3.105)

Zamenom rezultata iz (3.104) i (3.105) u (3.103), dobija se

E[Yn+1|K∗(x) ≥ n+ 1] = −βrn+1P [K∗(x) = n+ 1|K∗(x) ≥ n+ 1] + Zn+1

−βrn+1P [K∗(x) ≥ n+ 2|K∗(x) ≥ n+ 1]

=−βrn+1

(P [K∗(x)=n+1|K∗(x) ≥ n+1]+P [K∗(x) ≥ n+2|K∗(x) ≥ n+1]

)+Zn+1

=−βrn+1P [K∗(x) ≥ n+1|K∗(x) ≥ n+1] + Zn+1 = −βrn+1 + Zn+1. (3.106)

45

Na osnovu (3.89), (3.92) i (3.99), bice

Zn+1 =E[(B

(J)x+n+2 −Mn+2)ϑI{K∗(x)=n+1}]

P [K∗(x) ≥ n+ 1]

=1

P [K∗(x) ≥ n+ 1]

m∑j=1

(B(j)x+n+2 −Mn+2)ϑP [K∗(x) = n+ 1, J = j]

=1

n+1p(τ)x

m∑j=1

(B(j)x+n+2 −Mn+2)ϑn+1p

(τ)x q

(j)x+n+1

=m∑j=1

(B(j)x+n+2 −Mn+2)ϑq

(j)x+n+1 = βrn+1. (3.107)

Zamenom poslednje jednakosti u (3.106), dobija se

E[Yn+1|K∗(x) ≥ n+ 1] = 0.

Na osnovu relacije (3.102) je E[Yn+1] = 0, sto je i trebalo dokazati. ♦

U nastavku ce biti navedena teorema koja se odnosi na koreliranost gubitkaosiguravaca po godinama trajanja polise osiguranja.

Teorema 1 (Hattendorff) Neka je EL = 0. Tada za proizvoljne k, n ∈ {0, 1, . . .},vazi

Cov(Yk, Yn) =

kp(τ)x

[∑mj=1

[(B

(j)x+k+1 −Mk+1

)ϑ]2q(j)x+k − (βrk)

2

], n = k,

0, n 6= k

i

V arL =∞∑k=0

ϑ2kV arYk. (3.108)

Dokaz. Po definiciji kovarijanse i na osnovu Leme 4, vazi

Cov(Yk, Yn) = E[YkYn]− E[Yk]E[Yn] = E[YkYn].

(i) Ako je k = n, tada je

E[YkYn] = E[Y 2k ]

= E[Y 2k |K∗(x)<k]P [K∗(x)<k]+E[Y 2

k |K∗(x)≥k]P [K∗(x)≥k]. (3.109)

Po definiciji uslovnog ocekivanja i na osnovu Leme 3, vazi

E[Y 2k |K∗(x) < k] =

E[Y 2k I{K∗(x)<k}]

P [K∗(x) < k]= 0. (3.110)

46

Analogno relaciji (3.103), bice

E[Y 2k |K∗(x) ≥ k] =

E[Y 2k I{K∗(x)≥k}]

P [K∗(x) ≥ k]=E[Y 2

k (I{K∗(x)=k} + I{K∗(x)≥k+1})]

P [K∗(x) ≥ k]

=E[Y 2

k I{K∗(x)=k}]

P [K∗(x) ≥ k]+E[Y 2

k I{K∗(x)≥k+1}]

P [K∗(x) ≥ k]. (3.111)

Na osnovu Leme 3, postupkom analognom onom kojim je izvedena relacija (3.104),dobija se

E[Y 2k I{K∗(x)=k}]

P [K∗(x) ≥ k]= E

[[− βrk +

(B

(J)x+k+1 −Mk+1

)ϑ]2I{K∗(x)=k}|K∗(x) ≥ k

]= (βrk)

2P [K∗(x) = k|K∗(x) ≥ k]

+E

[[(B

(J)x+k+1 −Mk+1

)ϑ]2I{K∗(x)=k}|K∗(x) ≥ k

]−2βrkE

[(B

(J)x+k+1 −Mk+1

)ϑI{K∗(x)=k}|K∗(x) ≥ k

]. (3.112)

Primenom istih argumenata kao u postupku izvodjenja izraza (3.107), dobija se

E

[[(B

(J)x+k+1−Mk+1

)ϑ]2I{K∗(x)=k}|K∗(x) ≥ k

]=

m∑j=1

[(B

(j)x+k+1 −Mk+1

)ϑ]2q(j)x+k. (3.113)

Dalje je, na osnovu relacija (3.89), (3.92) i (3.99),

βrkE[(B

(J)x+k+1−Mk+1

)ϑI{K∗(x)=k}|K∗(x) ≥ k

]=

1

P [K∗(x) ≥ k]

m∑j=1

βrk

(B

(j)x+k+1 −Mk+1

)ϑP [K∗(x) = k, J = j],

= βrk

m∑j=1

(B

(j)x+k+1 −Mk+1

)ϑq

(j)x+k = (βrk)

2. (3.114)

Zamenom (3.113) i (3.114) u (3.112) se dobija

E[Y 2k I{K∗(x)=k}]

P [K∗(x) ≥ k]

= (βrk)2P [K∗(x) = k|K∗(x) ≥ k] +

m∑j=1

[(B

(j)x+k+1−Mk+1

)ϑ]2q(j)x+k − 2(βrk)

2. (3.115)

Na osnovu Leme 3, za drugi sabirak na desnoj strani jednakosti (3.111), vazi

E[Y 2k I{K∗(x)≥k+1}]

P [K∗(x) ≥ k]= (βrk)

2P [K∗(x) ≥ k + 1|K∗(x) ≥ k]. (3.116)

47

Zamenom (3.115) i (3.116) u (3.111) se dobija

E[Y 2k |K∗(x) ≥ k] = (βrk)

2P [K∗(x) ≥ k|K∗(x) ≥ k]

+m∑j=1

[(B

(j)x+k+1 −Mk+1

)ϑ]2q(j)x+k − 2(βrk)

2

=m∑j=1

[(B

(j)x+k+1 −Mk+1

)ϑ]2q(j)x+k − (βrk)

2. (3.117)

Zamenom (3.110), (3.92) i (3.117) u (3.109), dobija se

Cov(Yk, Yk) = E[Y 2k ] = kp

(τ)x

[ m∑j=1

[(B

(j)x+k+1 −Mk+1

)ϑ]2q(j)x+k − (βrk)

2

].

(ii) Neka je k 6= n. Bez gubljenja opstosti, moze se pretpostaviti da je n > k, odakledirektno sledi da je n− 1 ≥ k. Sada je,

Cov(Yk, Yn)=E[YkYn] = E[YkYn|K∗(x) ≥ n]P [K∗(x) ≥ n]

+E[YkYn|K∗(x) ≤ n− 1]P [K∗(x) ≤ n− 1].

Na osnovu (3.101) sledi da se poslednji izraz moze predstaviti kao

Cov(Yk, Yn) = E[YkYn|K∗(x) ≥ n]P [K∗(x) ≥ n]. (3.118)

Prema relaciji (3.101) i definiciji (3.99) se dobija

E[YkYn|K∗(x) ≥ n]

= E[YkYnI{K∗(x)=n}|K∗(x) ≥ n] + E[YkYnI{K∗(x)≥n+1}|K∗(x) ≥ n]

= E

[− βrk

[− βrn +

(B

(J)x+n+1 −Mn+1

)ϑ]I{K∗(x)=n}

∣∣∣K∗(x) ≥ n

]+E[βrkβ

rnI{K∗(x)≥n+1}|K∗(x) ≥ n]

= βrkβrnP [K∗(x) = n|K∗(x) ≥ n]−

E[βrk

(B

(J)x+n+1 −Mn+1

)ϑI{K∗(x)=n}

]P [K∗(x) ≥ n]

+βrkβrnP [K∗(x) ≥ n+ 1|K∗(x) ≥ n]

= βrkβrnP [K∗(x) ≥ n|K∗(x) ≥ n]

− βrk

np(τ)x

m∑j=1

(B

(j)x+n+1−Mn+1

)ϑP [K∗(x) = n, J = j]

= βrkβrn −

βrk

np(τ)x

m∑j=1

(B

(j)x+n+1−Mn+1

)ϑnp

(τ)x q

(j)x+n

= 0.

Imajuci u vidu relaciju (3.118), sledi da je Cov(Yk, Yn) = 0, za n 6= k.

(iii) Na osnovu nekoreliranosti slucajnih promenljivih Yk i Yn kada je n 6= k i k, n ∈{0, 1, . . .} i jednakosti (3.100), sledi (3.108). ♦

48

Navedena teorema pokazuje kako se dobija disperzija ukupnog gubitka osigu-ravaca L. Pored toga, pokazano je da su godisnji gubici osiguravaca Y0, Y1, . . . neko-relirani, ali u opstem slucaju nisu nezavisni.

4

Model osiguranja vise osoba

U ovoj glavi bice razmatrane polise osiguranja koje se odnose na vise osoba.Model koji se koristi za kreiranje polisa osiguranja ovog tipa, naziva se model osi-guranja vise osoba. Pretpostavka je da se po zelji potencijalnih korisnika osiguranjaizradjuje polisa koja se odnosi na grupu od m osoba, koje se zele osigurati od slucajasmrti. Tada se pomenuta grupa od m osoba posmatra kao jedan klijent osiguranjai naziva se status.

U nastavku ce biti razmatrana dva tipa najzastupljenijih statusa u praksi, a tosu:

• status zajednickog dozivljenja,

• status poslednjeg prezivelog.

U tom smislu je od znacaja pojam okoncanja statusa. Status zajednickog dozivljenjase okoncava onog trenutka kada nastupi prva smrt unutar grupe koja ga cini, dokse status poslednjeg prezivelog okoncava onda kada nastupi smrt svih osoba kojega cine. Pod uslovom da je poznata raspodela verovatnoca preostalog vremena dookoncanja statusa, moze se govoriti o funkciji dozivljenja statusa, sto je slican pristuponom koji je koriscen u prethodnom poglavlju. Logicno je da preostalo vreme dookoncanja statusa zavisi od samog tipa statusa i od osoba koje ulaze u njegov sastav.Dakle, preostalo vreme do okoncanja statusa bice funkcija preostalih zivotnih vekovaosoba koje cine taj status.

Pored osiguranja navedenih statusa, u ovoj glavi ce biti predstavljeni jos nekitipovi osiguranja koji se odnose na dve osobe i to: osiguranje za koje je relevantanredosled nastupanja smrti osiguranika i ono kod kog se suma osiguranja isplacujeprezivelom osiguraniku u vidu rente, pocev od smrti drugog osiguranika. Na krajuglave ce biti razmatran model zajednickog slucajnog soka u okviru modela uslovnenezavisnosti preostalih zivotnih vekova osiguranika.

Neka je sa xi oznacena pristupna starost i-tog clana statusa i neka je slucajnompromenljivom Txi opisan njegov preostali zivotni vek, kada je i = 1, 2, . . . ,m. Uopstem slucaju, slucajne promenljive Tx1 , Tx2 , . . . , Txm su stohasticki zavisne.

49

50

4.1 Status zajednickog dozivljenja

Status zajednickog dozivljenja opstaje do nastupanja prve smrti unutar grupe oso-ba koja ga cini. Nakon nastupanja prve smrti unutar te grupe, status se okoncava.Dakle, preostalo vreme do okoncanja statusa zajednickog dozivljenja se modeliraslucajnom promenljivom min(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm), a tradicionalna aktuarska oznakaje Tx1x2···xm , odnosno

Tx1x2···xm = min(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm). (4.1)

Funkcija raspodele preostalog vremena do okoncanja razmatranog statusa u tre-nutku t, definise se kao

FTx1x2···xm (t) = tqx1x2···xm = P [min(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm) ≤ t], (4.2)

i predstavlja verovatnocu da ce do okoncanja statusa zajednickog dozivljenja doci utoku prvih t godina, od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju.

Slicno, funkcija dozivljenja statusa zajednickog dozivljenja u trenutku t se defi-nise kao

STx1x2···xm (t) = tpx1x2···xm = P [min(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm) > t]

= P [Tx1 > t, Tx2 > t, . . . , Txm > t] = STx1Tx2 ...Txm (t, t . . . , t), (4.3)

i predstavlja verovatnocu da do smrti unutar statusa nece doci u toku prvih t godina,od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju.Zamenom (4.3) u (4.2), dobija se

tqx1x2···xm = P [min(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm) ≤ t]

= 1− P [min(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm) > t] = 1− tpx1x2···xm . (4.4)

Zbog jednostavnosti, u nastavku ce biti razmatran status zajednickog dozivljenjakoji cine dve osobe cija je starost x, odnosno y godina, u trenutku sklapanja ugovorao osiguranju.

Tada je, na osnovu (4.2), funkcija raspodele preostalog vremena do okoncanjastatusa zajednickog dozivljenja

FTxy(t) = P [min(Tx, Ty) ≤ t] = 1− P [Tx > t, Ty > t]

= P [Tx ≤ t] + P [Ty ≤ t]− P [Tx ≤ t, Ty ≤ t]

= FTx(t) + FTy(t)− FTxTy(t, t), (4.5)

gde je FTxTy funkcija raspodele slucajnog vekotora (Tx, Ty). Diferenciranjem posled-nje jednakosti dobija se gustina raspodele preostalog vremena do okoncanja statusazajednickog dozivljenja u trenutku t, odnosno

fTxy(t) =∂

∂tFTxy(t) =

∂

∂tFTx(t) +

∂

∂tFTy(t)−

∂

∂tFTxTy(t, t)

= fTx(t) + fTy(t)−∂

∂tFTxTy(t, t), (4.6)

51

gde su fTx i fTy gustine raspodela preostalih zivotnih vekova osoba koje cine status.Za diferenciranje poslednjeg clana sa desne strane navedene jednakosti neophodnoje primeniti Lajbnicovu formulu za diferenciranje, tj.

∂

∂t

∫ b(t)

a(t)

f(x, t)dx =

∫ b(t)

a(t)

∂f(x, t)

∂tdx+ f(b(t), t)

∂(b(t))

∂t− f(a(t), t)

∂(a(t))

∂t.

Neka je sa fTxTy oznacena gustina raspodele slucajnog vektora (Tx, Ty). Tada premanavedenoj formuli za diferenciranje, vazi

∂

∂tFTxTy(t, t) =

∂

∂t

∫ t

0

∫ t

0

fTxTy(u, v)dudv

=

∫ t

0

∂

∂t

∫ t

0

fTxTy(u, v)dudv +

∫ t

0

fTxTy(u, t)du

=

∫ t

0

fTxTy(t, v)dv +

∫ t

0

fTxTy(u, t)du.

Zamenom poslednje jednakosti u (4.6), dobija se

fTxy(t) = fTx(t) + fTy(t)−∫ t

0

fTxTy(t, v)dv −∫ t

0

fTxTy(u, t)du.

Intenzitet okoncanja statusa zajednickog dozivljenja definise se analogno intenzitetusmrtnosti iz Definicije 1, odnosno

µxy(t) =fTxy(t)

1− FTxy(t)=fTxy(t)

STxy(t)=fTxy(t)

tpxy, (4.7)

i predstavlja verovatnocu da ce do okoncanja statusa zajednickog dozivljenja doci ubuducem vrlo kratkom vremenskom periodu.

Pretpostavka je da su preostali zivotni vekovi Tx i Ty, osoba koje cine statuszajednickog dozivljenja, stohasticki nezavisne slucajne promenljive.

Tada je na osnovu (4.4), funkcija raspodele preostalog vremena do okoncanjastatusa zajednickog dozivljenja,

tqxy = 1− P [Tx > t, Ty > t] = 1− P [Tx > t]P [Ty > t] = 1− tpx tpy. (4.8)

Na osnovu poslednje jednakosti i jednakosti (4.4), sledi

tpxy = tpx tpy. (4.9)

Logicno se namece pitanje, da li iz pretpostavljene stohasticke nezavisnosti sledi daje tqxy = tqx tqy. Na osnovu (4.5), sledi

FTxy(t) = FTx(t) + FTy(t)− FTx(t)FTy(t), (4.10)

odnosno tqxy = tqx + tqy − tqx tqy 6= tqx tqy.

52

Gustina raspodele preostalog vremena do okoncanja statusa zajednickog dozivlje-nja u trenutku t, dobija se diferenciranjem jednakosti (4.10), odnosno

fTxy(t) = fTx(t) + fTy(t)− fTx(t)FTy(t)− FTx(t)fTy(t). (4.11)

Predmet daljeg razmatranja je intenzitet okoncanja statusa zajednickog dozivlje-nja, u slucaju kada su slucajne promenljive Tx i Ty stohasticki nezavisne. Kako zabilo koji trenutak t ≥ 0 i bilo koju pristupnu starost osiguranika x > 0, u klasicnomzivotnom osiguranju, vazi da je

fTx(t) = µx(t)tpx i FTx(t) = tqx = 1− tpx,

to jednakost (4.11) postaje

fTxy(t) = µx(t)tpx + µy(t)tpy − µx(t)tpx(1− tpy)− (1− tpx)µy(t)tpy

= tpx tpy(µx(t) + µy(t)). (4.12)

Zamenom (4.12) i (4.9) u (4.7), dobija se

µxy(t) =tpx tpy(µx(t) + µy(t))

tpx tpy= µx(t) + µy(t). (4.13)

Dakle, intenzitet okoncanja statusa zajednickog dozivljenja, u slucaju kada su pre-ostali zivotni vekovi osiguranika koji ulaze u sastav statusa stohasticki nezavisni,predstavlja zbir intenziteta smrtnosti svih clanova statusa.

Analogno celobrojnom preostalom zivotnom veku u klasicnom zivotnom osi-guranju, moze se definisati celobrojno preostalo vreme do okoncanja statusa za-jednickog dozivljenja, i to na sledeci nacin:

Kxy = bTxyc,

gde je bac ceo deo broja a. Slucajna promenljiva Kxy je diskretnog tipa i na osnovujednakosti (4.2) i (4.8), njena raspodela je

P [Kxy = k] = P [bTxyc = k] = P [k ≤ Txy < k + 1] = P [Txy < k + 1]− P [Txy < k]

= k+1qxy − kqxy = kpxy − k+1pxy. (4.14)

Neka je lxy broj opstalih statusa od po dve osobe starosti x, odnosno y godina. Kako

k+1pxy predstavlja verovatnocu da ce osobe starosti x, odnosno y ziveti bar jos k+ 1godina, to je

k+1pxy =l(x+k+1)(y+k+1)

lxy=l(x+k+1)(y+k+1)

l(x+k)(y+k)

l(x+k)(y+k)lxy

= kpxy p(x+k)(y+k).

Tada, jednakost (4.14) postaje

P [Kxy = k] = kpxy(1− p(x+k)(y+k)) = kpxy q(x+k)(y+k) = k|qxy, (4.15)

53

gde k|qxy predstavlja verovatnocu da ce osobe starosti x, odnosno y godina dozivetistarost od (x+ k), odnosno (y + k) godina, ali ne i starost od (x+ k + 1), odnosno(y + k + 1) godina.

Uzevsi u obzir (4.14), funkcija raspodele celobrojnog preostalog vremena dookoncanja statusa zajednickog dozivljenja, bice

FKxy(k) = P [Kxy ≤ k] =k∑j=0

(jpxy − j+1pxy

)= 0pxy − k+1pxy = 1− k+1pxy = k+1qxy.

4.1.1 Jednokratna neto premija za statuszajednickog dozivljenja

U ovom poglavlju ce biti predstavljen postupak odredjivanja jednokratne netopremije kada se suma osiguranja statusa zajednickog dozivljenja isplacuje:

• jednokratno

• u vidu rente.

U oba slucaja, jednokratna neto premija zavisi od preostalog vremena do okoncanjastatusa.

Jednokratna neto premija u slucaju jednokratne isplate sume osiguranja

Razmatra se slucaj osiguranja statusa zajednickog dozivljenja kada se suma osi-guranja isplacuje jednokratno, u skladu sa uslovima preciziranim ugovorom o osi-guranju. U ovom slucaju, isplatu sume osiguranja je moguce vrsiti na dva nacina, ito:

• neposredno nakon okoncanja statusa,

• na kraju kalendarske godine u kojoj je doslo do okoncanja statusa.

U nastavku ce biti odredjene jednokratne neto premije, odnosno ocekivane sa-dasnje vrednosti jedinicne sume osiguranja, koja se isplacuje u skladu sa najzas-tupljnijim ugovorima o osiguranju statusa zajednickog dozivljenja. U tom smislu,neka slucajna promenljiva Z predstavlja sadasnju vrednost sume osiguranja, i nekaje 0 < ϑ < 1 konstantni faktor diskontovanja. Takodje, u skladu sa ranije navedenimoznakama, neka je Txy preostalo vreme do okoncanja statusa zajednickog dozivljenja,koji cine osobe starosti x, odnosno y godina i Kxy celobrojno preostalo vreme dookoncanja statusa.1. Analogno ugovoru o dozivotnom osiguranju u klasicnom zivotnom osiguranju,moguce je kreirati ugovor o dozivotnom osiguranju statusa zajednickog dozivljenja.Takav ugovor podrazumeva isplatu sume osiguranja nakon nastupanja prve smrtiunutar grupe osoba koje cine status.

Ako je ugovorom o osiguranju precizirano da se suma osiguranja isplacuje nepo-sredno nakon okoncanja statusa zajednickog dozivljenja, tada je Z = ϑTxy . Dakle, na

54

osnovu rezultata iz (4.7), ocekivana sadasnja vrednost sume dozivotnog osiguranjastatusa zajednickog dozivljenja je

Axy = EZ =

∫ ∞0

ϑtfTxy(t)dt =

∫ ∞0

ϑttpxyµxy(t)dt.

U slucaju kada se suma osiguranja isplacuje na kraju kalendarske godine u kojojje doslo do okoncanja statusa, sadasnja vrednost sume osiguranja je Z = ϑKxy+1.Na osnovu (4.15), ocekivana sadasnja vrednost sume dozivotnog osiguranja statusazajednickog dozivljenja, bice

Axy = EZ =∞∑k=0

ϑk+1P [Kxy = k] =∞∑k=0

ϑk+1k|qxy. (4.16)

2. Moguce je kreirati ugovor o osiguranju koji podrazumeva isplatu sume osiguranja,ukoliko do okoncanja statusa zajednickog dozivljenja dodje u toku prvih n godina odtrenutka sklapanja ugovora. Ovakav ugovor analogan je ugovoru zivotnog osiguranjasa rokom od n godina, u terminima klasicnog zivotnog osiguranja.

Ako se suma osiguranja isplacuje neposredno nakon okoncanja statusa, tada jesadasnja vrednost sume opisanog osiguranja, data sa

Z =

{ϑTxy , Txy < n0, Txy ≥ n.

Prema rezultatu iz (4.7), ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja statusa za-jednickog dozivljenja sa rokom od n godina, je

Axy:n| = EZ =

∫ n

0

ϑtfTxy(t)dt =

∫ n

0

ϑttpxyµxy(t)dt. (4.17)

Ako je ugovorom o osiguranju odredjeno da se suma osiguranja isplacuje na krajukalendarske godine u kojoj je doslo do okoncanja statusa, tada je

Z =

{ϑKxy+1, Kxy < n0, Kxy ≥ n,

pa je na osnovu (4.15), ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja

Axy:n| = EZ =n−1∑k=0

ϑk+1P [Kxy = k] =n−1∑k=0

ϑk+1k|qxy. (4.18)

3. U klasicnom zivotnom osiguranju, jedna od najzastupljnijih vrsta ugovora je osi-guranje dozivljenja narednih n godina od trenutka sklapanja ugovora. Shodno tome,moze se zakljuciti ugovor o osiguranju koji podrazumeva isplatu sume osiguranja,ukoliko status opstane narednih n godina, od trenutka skapanja ugovora. Kakoje rec o statusu zajednickog dozivljenja, suma osiguranja ce biti isplacena ako unarednih n godina od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju ne dodje do smrti

55

unutar grupe osoba koja ga cini. Moze se uociti da se kod opisanih ugovora o osi-guranju, suma osiguranja uvek isplacuje na kraju n-te godine, od trenutka sklapanjaugovora. Sadasnja vrednost sume osiguranja je

Z =

{0, Txy < nϑn, Txy ≥ n,

odakle sledi da je ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja dozivljenja narednihn godina statusa zajednickog dozivljenja, jednaka

Anxy = EZ = ϑnP [Txy ≥ n] = ϑnnpxy. (4.19)

4. Kombinacijom prethodna dva opisana tipa ugovora o osiguranju, dobija se ugovorkoji je slican ugovoru o mesovitom osiguranju sa rokom od n godina, u terminimaklasicnog zivotnog osiguranja. Dakle, takav ugovor o osiguranju podrazumeva is-platu sume osiguranja, ukoliko status opstane prvih n godina od trenutka sklapanjaugovora o osiguranju ili ako dodje do okoncanja statusa u toku prvih n godinaod trenutka sklapanja ugovora. U slucaju opstanka statusa zajednickog dozivljenjaprvih n godina od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju, suma osiguranja se uvekisplacuje na kraju n-te godine. Medjutim, ako dodje do okoncanja statusa u prvihn godina, sumu osiguranja je moguce isplatiti na kraju kalendarske godine u kojojje doslo do okoncanja ili neposredno nakon okoncanja.

Ako je ugovorom o osiguranju precizirano da se suma osiguranja, u slucajuokoncanja statusa, isplacuje neposredno nakon okoncanja, sadasnja vrednost sumemesovitog osiguranja statusa zajednickog dozivljenja, je

Z =

{ϑTxy , Txy < nϑn, Txy ≥ n,

odakle, na osnovu (4.17) i (4.19), sledi da je ocekivana sadasnja vrednost sumeosiguranja

nAxy = Axy:n| + Anxy =

∫ n

0

ϑttpxyµxy(t)dt+ ϑnnpxy. (4.20)

Neka se suma osiguranja u slucaju okoncanja statusa isplacuje na kraju kalendarskegodine u kojoj je nastupilo okoncanje. Tada je sadasnja vrednost sume mesovitogosiguranja statusa zajednickog dozivljenja data sa

Z =

{ϑKxy+1, Kxy < nϑn, Kxy ≥ n,

pa je, na osnovu (4.18) i (4.19), ocekivana sadasnja vrednost sume opisanog osigu-ranja

nAxy = Axy:n| + Anxy =n−1∑k=0

ϑk+1k|qxy + ϑnnpxy. (4.21)

56

Jednokratna neto premija u slucaju isplate sume osiguranja u vidu rente

Razmatra se slucaj kada se clanovima statusa zajednickog dozivljenja isplacujesuma osiguranja u vidu rente cije trajanje zavisi od preostalog vremena do okoncanjapomenutog statusa. U tom smislu ce u nastavku biti predstavljene najpoznatije vrstetakvih ugovora o osiguranju.• Neka je ugovorom o osiguranju odredjeno da se suma osiguranja isplacuje clano-vima statusa zajednickog dozivljenja u vidu jedinicne neprekidne dozivotne rente.U tom slucaju, isplate na ime sume osiguranja se vrse sve do okoncanja statusa.Opisana renta se moze predstaviti kao jedinicna neprekidna renta trajanja Txy god-ina. Njena sadasnja vrednost je

Y = aTxy | =

∫ Txy

0

ϑtdt.

Prema tome, ocekivana sadasnja vrednost razmatrane rente, na osnovu jednakosti(4.7), je

axy = E[Y ] =

∫ ∞0

at| fTxy(t)dt =

∫ ∞0

at| µxy(t) tpxydt,

odnosno

axy = E[Y ] =

∫ ∞0

ϑtP [Txy ≥ t]dt =

∫ ∞0

ϑttpxydt. (4.22)

• Ako se jedinicne isplate na ime sume osiguranja vrse na pocetku svake godine dookoncanja statusa zajednickog dozivljenja, tada je sadasnja vrednost takvih isplata

Y = aKxy+1| =∞∑k=0

ϑkI{Kxy≥k}.

Na osnovu jednakosti (4.15), ocekivana sadasnja vrednost svih isplata na ime sumeosiguranja je

axy = E[Y ] =∞∑k=0

ak+1|P [Kxy = k] =∞∑k=0

ak+1| k|qxy,

odnosno

axy = E[Y ] =∞∑k=0

ϑkP [Kxy ≥ k] =∞∑k=0

ϑkP [Txy ≥ k] =∞∑k=0

ϑkkpxy. (4.23)

U nastavku se razmatra slucaj kada se suma osiguranja isplacuje u vidu rente dookoncanja statusa zajednickog dozivljenja, ali ne duze od n godina.• Ako se opisana renta isplacuje neprekidno, uz jedinicnu stopu isplate, njenasadasnja vrednost je

Y =

{aTxy |, Txy < nan|, Txy ≥ n,

57

pa je njena ocekivana sadasnja vrednost

axy:n| = E[Y ] = E[aTxy ||Txy < n]P [Txy < n] + an|P [Txy ≥ n]

=

∫ n

0

at|fTxy(t)dt+ an| npxy =

∫ n

0

at| tpxy µxy(t)dt+ an| npxy.

• Sadasnja vrednost jedinicne diskretne n-to godisnje rente, kada se isplate vrseu trenucima 0, 1, . . . , Kxy, je data sa

Y =

{aKxy+1|, Kxy < nan|, Kxy ≥ n.

Na osnovu principa ekvivalencije, jednokratna neto premija u tom slucaju je jednaka

axy:n| = E[Y ] = E[aKxy+1||Kxy < n]P [Kxy < n] + an|P [Kxy ≥ n]

=n−1∑k=0

ak+1|P [Kxy = k] + an|P [Txy ≥ n] =n−1∑k=0

ak+1| k|qxy + an| npxy.

4.1.2 Zakoni Gompertz-a i Makeham-a za statuszajednickog dozivljenja

U klasicnom zivotnom osiguranju, funkcija raspodele preostalog zivotnog vekapredstavlja osnov za dalja izracunavanja. U proslosti je bilo vise pokusaja da seizvede univerzalno vazeca funkcija raspodele preostalog zivotnog veka, odakle suproistekli razni modeli.

Jedan od najpoznatijih modela je De Moivre-ov (1724), koji pretpostavlja posto-janje maksimalne starosti ω. Prema zakonu De Moivre-a, preostali zivotni vek osobestarosti x godina ima uniformnu raspodelu na (0, ω−x), odnosno Tx:U(0, ω−x). Pret-postavka o uniformnoj raspodeli cini ovaj model jednostavnim, ali neadekvatnim zaprimenu, u opstem slucaju. Pored toga, njegovu primenu otezava i pretpostavka opostojanju maksimalne starosti koju bi trebalo odrediti.

Logicna je pretpostavka da se sa povecanjem starosti, povecava i intenzitet smrt-nosti. Prema zakonu Gompertz-a (1824), intenzitet smrtnosti raste eksponencijalno,tj.

µx(t) = BCx+t, t > 0. (4.24)

Navedeni model bolje opisuje proces starenja i ne zahteva poznavanje maksimalnestarosti ω.

Zakon Makeham-a (1860) predstavlja svojevrsno uopstenje prethodnog modela,u smislu da je intenzitet smrtnosti oblika

µx(t) = A+BCx+t, t > 0. (4.25)

Dakle, uvedena je konstanta A > 0, koja ne zavisi od starosti.Analogno klasicnom zivotnom osiguranju, osnov modela osiguranja statusa za-

jednickog dozivljenja predstavlja preostalo vreme do okoncanja statusa. Kako su

58

prethodno navedeni modeli napravili izuzetan pomak u razvoju modela za klasicnozivotno osiguranje, to se moze pretpostaviti da ce uticati i na razvoj modela zaosiguranje vise osoba.

Na osnovu jednakosti (4.13), vazi

µxy(t) = µx(t) + µy(t), (4.26)

pod uslovom da su slucajne promenljive koje opisuju preostale zivotne vekove osobestarosti x, odnosno y godina, stohasticki nezavisne. Zakoni Gompertz-a i Makeham-a su lako primenljivi u slucaju statusa zajednickog dozivljenja, kada su slucajnepromenljive Tx i Ty, koje opisuju preostale zivotne vekove osiguranika stohastickinezavisne.

Pretpostavlja se da se smrtnost osiguranika moze modelirati u skladu sa zakonomGompertz-a, odnosno da jednakost (4.24) vazi za osobe koje cine status zajednickogdozivljenja. Kako vazi relacija (4.26), to je

µxy(t) = BCx+t +BCy+t = BCt(Cx + Cy).

Za neku starost w, za koju vazi da je Cw = Cx + Cy, bice

µxy(t) = BCw+t = µw(t).

Dakle, primenom zakona Gompertz-a, status zajednickog dozivljenja (xy) svodi se

na model klasicnog osiguranja osobe starosti w godina, gde je w = ln(Cx+Cy)lnC

. Ovimje primena navedenog zakona na status zajednickog dozivljenja potpuno opravdana.

Pretpostavka je da se smrtnost osiguranika moze modelirati u skladu sa zakonomMakeham-a. U ovom slucaju se, na osnovu (4.25) i (4.26), dobija

µxy(t) = A+BCx+t + A+BCy+t = 2A+BCt(Cx + Cy).

Za starost w, za koju vazi da je Cw = 12(Cx + Cy), bice

µxy(t) = 2(A+BCw+t) = 2µw(t) = µww(t).

Primenom zakona Makeham-a, status zajednickog dozivljenja (xy) svodi se na sta-

tus zajednickog dozivljenja (ww), gde je w =ln 1

2(Cx+Cy)

lnC. Drugim recima, primena

navedenog zakona omogucava da se sa statusa zajednickog dozivljenja sa razlicitimpristupnim starostima osiguranika predje na status sa istim pristupnim starostimaosiguranika.

Postavlja se pitanje da li je moguce status zajednickog dozivljenja svesti na slucajklasicnog zivotnog osiguranja, pod pretpostavkom da vazi zakon Makeham-a. Neka,kao i kod primene zakona Gompertz-a, vazi da je w = ln(Cx+Cy)

lnC. U tom slucaju, je

µxy(t) = A+BCx+t + A+BCy+t = 2A+BCt(Cx + Cy) = A+ µw(t).

Na osnovu izvedenog, sledi

tpxy = e−∫ t0 A+µw(s)ds = e−Attpw. (4.27)

Iz dobijene jednakosti zakljucuje se da je, primenom zakona Makeham-a, mogucesvesti status zajednickog dozivljenja na model klasicnog zivotnog osiguranja. U tomsmislu ce biti naveden sledeci primer.

59

Primer 4 Primenom zakona Makeham-a, svesti ocekivanu sadasnju vrednost sumeosiguranja, koja se isplacuje u vidu neprekidne dozivotne rente, za status zaje-dnickog dozivljenja (xy), na ocekivanu sadasnju vrednost sume osiguranja istog tipa,

u slucaju jednog osiguranika pristupne starosti w godina, gde je w = ln(Cx+Cy)lnC

.

Na osnovu jednakosti (4.22) i (4.27), vazi

axy =

∫ ∞0

ϑttpxydt =

∫ ∞0

ϑte−Attpwdt =

∫ ∞0

ϑ∗ttpwdt = a∗Tw ,

gde je ϑ∗ = ϑe−A. Dakle, sada je

1

1 + i∗= ϑe−A =

1

1 + ie−A,

odakle je i∗ = eA(1 + i)− 1. �Dakle, primenom zakona Makeham-a je moguce sa statusa zajednickog dozi-

vljenja preci na model klasicnog zivotnog osiguranja, ali kamatna stopa ne osta-je ista. Iz tog razloga je efikasnije koristiti zakon Gompertz-a za svodjenje namodel klasicnog zivotnog osiguranja, ali treba imati na umu da je zakon Makeham-auopstenje zakona Gompertz-a, te da bolje opisuje proces starenja.

4.2 Status poslednjeg prezivelog

Status poslednjeg prezivelog opstaje sve dok je bar jedan od clanova grupe osobakoja ga cini ziv. Nakon smrti poslednjeg osiguranika iz pomenute grupe, statusse okoncava. Dakle, preostalo vreme do okoncanja statusa poslednjeg prezivelog jemax(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm), a tradicionalna akturska oznaka je T x1x2···xm , odnosno

T x1x2···xm = max(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm). (4.28)

Funkcija raspodele preostalog vremena do okoncanja razmatranog statusa, utrenutku t, je

FT x1x2···xm(t) = tq x1x2···xm = P [max(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm) ≤ t]

= P [Tx1 ≤ t, Tx2 ≤ t, . . . , Txm ≤ t] = FTx1Tx2 ...Txm (t, t, . . . , t). (4.29)

Ona predstavlja verovatnocu da ce nastupiti smrt svih osiguranika koji cine sta-tus poslednjeg prezivelog, u toku prvih t godina, od trenutka sklapanja ugovora oosiguranju.

Funkcija dozivljenja statusa poslednjeg prezivelog u trenutku t, definise se kao

ST x1x2···xm(t) = tp x1x2···xm = P [max(Tx1 , Tx2 , . . . , Txm) > t], (4.30)

i predstavlja verovatnocu da ce bar jedna osoba iz grupe koja cini status prezivetiprvih t godina, od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju.

Kako bi se olaksala dalja razmatranja, u nastavku se posmatra status koji cinedve osobe, cije su pristupne starosti x, odnosno y godina.

60

Razmatra se u kakvoj su vezi preostalo vreme do okoncanja statusa zajednickogdozivljenja Txy i preostalo vreme do okoncanja statusa poslednjeg prezivelog Txy.Na osnovu (4.1) i (4.28), direktno sledi da je

Txy + Txy = Tx + Ty,

TxyTxy = TxTy,

aTxyaTxy = aTxaTy , ∀a > 0. (4.31)

Treba uspostaviti i vezu izmedju funkcije raspodele preostalog vremena do okon-canja statusa poslednjeg prezivelog i funkcije raspodele preostalog vremena do okon-canja statusa zajednickog dozivljenja. Na osnovu rezultata iz (4.29), vazi da jeFTxy(t) = FTxTy(t, t), pa je prema (4.5),

FTxy(t) = FTx(t) + FTy(t)− FTxTy(t, t) = FTx(t) + FTy(t)− FTxy(t). (4.32)

Poslednji izraz se ekvivalentno moze predstaviti u obliku

tqxy + tqxy = tqx + tqy. (4.33)

odakle direktno sledi

tpxy + tpxy = tpx + tpy,

Diferenciranjem jednakosti (4.32), dobija se

fTxy(t) + fTxy(t) = fTx(t) + fTy(t). (4.34)

Intenzitet okoncanja statusa poslednjeg prezivelog se definise analogno intenzitetuokoncanja statusa zajednickog dozivljenja, odnosno

µxy(t) =fTxy(t)

1− FTxy(t)=fTxy(t)

STxy(t)=fTxy(t)

tpxy. (4.35)

On predstavlja verovatnocu da ce doci do okoncanja statusa poslednjeg prezivelog,odnosno da ce nastupiti smrt svih osoba koje cine status, u buducem vrlo kratkomvremenskom periodu.

Neka su slucajne promenljive Tx i Ty stohasticki nezavisne. Na osnovu jednakosti(4.29) sledi da je

FTxy(t) = tqxy = P [Tx ≤ t]P [Ty ≤ t] = tqx tqy. (4.36)

Shodno poslednjoj jednakosti, postavlja se pitanje da li je tpxy = tpx tpy. Naosnovu (4.30) se dobija

tpxy = P [max(Tx, Ty) > t] = P [Tx > t] + P [Ty > t]− P [Tx > t, Ty > t]

= P [Tx > t] + P [Ty > t]− P [Tx > t]P [Ty > t]

= STx(t) + STy(t)− STx(t)STy(t) = tpx + tpy − tpxtpy,

odakle sledi da je tpxy 6= tpx tpy.

61

Prema definiciji intenziteta smrtnosti u slucaju klasicnog osiguranja i definicijiintenziteta okoncanja statusa zajednickog dozivljenja vazi

fTx(t) = µx(t)tpx, fTxy(t) = µxy(t)tpxy. (4.37)

Na osnovu (4.34), (4.37) i cinjenice da je tpxy + tqxy = 1, jednakost (4.35) postaje

µxy(t) =µx(t)tpx + µy(t)tpy − µxy(t)tpxy

1− tqxy.

Prema (4.13), (4.9) i (4.36), vazi

µxy(t) =µx(t)tpx + µy(t)tpy − (µx(t) + µy(t))tpxtpy

1− tqxtqy

=µx(t)tpx(1− tpy) + µy(t)tpy(1− tpx)

1− tqxtqy=µx(t)tpxtqy + µy(t)tpytqx

1− tqxtqy.

Analogno kao u slucaju statusa zajednickog dozivljenja, moze se definisati celobrojnopreostalo vreme do okoncanja statusa poslednjeg prezivelog, i to na sledeci nacin:

Kxy = bTxyc.

Posmatraju se dogadjaji A = {Kx ≤ k} i B = {Ky ≤ k}. Tada je

A ∪B = {Kxy ≤ k}, A ∩B = {Kxy ≤ k}.

Analogno osobinama (4.31) preostalog vremena do okoncanja statusa poslednjegprezivelog, za celobrojno preostalo vreme do okoncanja navedenog statusa, vazi

Kxy +Kxy = Kx +Ky,

KxyKxy = KxKy,

aKxyaKxy = aKxaKy , ∀a > 0.

Kako je iz teorije verovatnoce poznato da je P [A ∪ B] + P [A ∩ B] = P [A] + P [B],to je

FKxy(k) + FKxy(k) = FKx(k) + FKy(k).

Na osnovu prethodne relacije, jednakosti (4.15) i cinjenice da analogna jednakostvazi za preostali celobrojni zivotni vek u klasicnom zivotnom osiguranju, dobija se

k|qxy = P [Kxy=k] = FKxy(k)−FKxy(k − 1)

=FKx(k)+FKy(k)−FKxy(k)−FKx(k − 1)−FKy(k − 1)+FKxy(k − 1)

= P [Kx = k] + P [Ky = k]− P [Kxy = k]

= kpx qx+k+kpy qy+k−kpxy q(x+k)(y+k) = k|qx + k|qy − k|qxy. (4.38)

62

4.2.1 Jednokratna neto premija za statusposlednjeg prezivelog

Ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja statusa poslednjeg prezivelog do-bija se analognim postupkom kao u slucaju statusa zajednickog dozivljenja. Kaou Poglavlju (4.1.1), i u ovom ce biti odredjene jednokratne neto premije kada sesuma osiguranja isplacuje jednokratno, kao i kada se isplacuje u vidu rente. U obaslucaja, jednokratna neto premija, odnosno ocekivana sadasnja vrednost isplata naime sume osiguranja, zavisi od preostalog vremena do okoncanja statusa poslednjegprezivelog.

Jednokratna neto premija u slucaju jednokratne isplate sume osiguranja

Razmatra se osiguranje statusa poslednjeg prezivelog u slucaju kada se suma osi-guranja isplacuje jednokratno. U tom kontekstu je od znacaja odredjivanje jedno-kratne neto premije. U nastavku ce biti odredjene jednokratne neto premije, uskladu sa najzastupljenijim oblicima osiguranja statusa poslednjeg prezivelog. Pret-postavlja se da su sume osiguranja jedinicne.1. Ugovor o dozivotnom osiguranju, u terminima statusa poslednjeg prezivelog, po-drazumeva isplatu sume osiguranja nakon nastupanja smrti poslednjeg pripadnikastatusa.

Ukoliko se suma dozivotnog osiguranja statusa poslednjeg prezivelog isplacujeneposredno nakon nastupanja smrti poslednjeg prezivelog, sadasnja vrednost sumetakvog osiguranje je Z = ϑTxy . Ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja uopisanom slucaju je

Axy = EZ =

∫ ∞0

ϑtfTxy(t)dt =

∫ ∞0

ϑttpxyµxy(t)dt.

U slucaju kada se suma osiguranja isplacuje na kraju kalendarske godine u kojoj jedoslo do okoncanja statusa poslednjeg prezivelog, sadasnja vrednost sume osiguranjaje Z = ϑKxy+1. Na osnovu (4.38), ocekivana sadasnja vrednost sume dozivotnogosiguranja statusa poslednjeg prezivelog je

Axy = EZ =∞∑k=0

ϑk+1k|qxy.

2. Ugovor o osiguranju statusa poslednjeg prezivelog sa rokom od n godina garantujeisplatu sume osiguranja, ukoliko do smrti poslednjeg prezivelog unutar statusa dodjeu toku prvih n godina od trenutka sklapanja ugovora.

U slucaju kada je ugovorom o osiguranju precizirano da se isplata sume osigu-ranja vrsi neposredno nakon okoncanja statusa, ocekivana sadasnja vrednost sumeosiguranja, je

Axy:n| =

∫ n

0

ϑttpxyµxy(t)dt.

Neka je ugovorom o osiguranju odredjeno da se suma osiguranja isplacuje na krajukalendarske godine u kojoj je doslo do okoncanja statusa. Tada je ocekivana sadasnja

63

vrednost sume osiguranja sa rokom od n godina, statusa poslednjeg prezivelog, datasa

Axy:n| =n−1∑k=0

ϑk+1k|qxy.

3. Ugovor o osiguranju dozivljenja narednih n godina statusa poslednjeg prezivelog,podrazumeva isplatu sume osiguranja na kraju n-te godine, od trenutka sklapanjaugovora, ukoliko je bar jedan pripadnik statusa preziveo. Sadasnja vrednost opi-sanog osiguranja je

Anxy = ϑnnpxy.

4. Mesovito osiguranje statusa poslednjeg prezivelog sa rokom od n godina, po-drazumeva isplatu sume osiguranja ukoliko do okoncanja statusa dodje u toku prvihn godina od trenutka zakljucenja ugovora ili isplatu na kraju n-te godine, ukolikostatus opstane do tada.

U slucaju ugovora o osiguranju kojim se odredjuje isplata sume osiguranja neposrednonakon okoncanja statusa, odnosno na kraju n-te godine ukoliko status opstane,ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja je

nAxy = Axy:n| + Anxy =

∫ n

0

ϑttpxyµxy(t)dt+ ϑnnpxy.

Kada se isplata sume osiguranja vrsi na kraju kalendarske godine u kojoj je doslodo okoncanja statusa, odnosno na kraju n-te godine ukoliko status opstane do tada,ocekivana sadasnja vrednost sume osiguranja je

nAxy = Axy:n| + Anxy =n−1∑k=0

ϑk+1k|qxy + ϑnnpxy.

Jednokratna neto premija u slucaju isplate sume osiguranja u vidu rente

U poglavlju 4.1.1 odredjene su jednokratne neto premije kod najzastupljenijihoblika osiguranja statusa zajednickog dozivljenja, u slucaju kada se suma osiguranjaisplacuje u vidu rente. Analognim postupkom, moguce je odrediti jednokratne netopremije kod odgovarajucih oblika osiguranja statusa poslednjeg prezivelog, u slucajuisplate sume osiguranja u vidu rente.• Neka se clanovima statusa poslednjeg prezivelog isplacuje suma osiguranja uvidu jedinicne neprekidne rente, sve do okoncanja statusa. Sadasnja vrednost takverente opisuje se slucajnom promenljivom

Y = aTxy |.

Na osnovu principa ekvivalencije, jednokratna neto premija u razmatranom slucaju,prema jednakosti (4.35), je

axy = E[Y ] =

∫ ∞0

at|fTxydt =

∫ ∞o

at|µxy(t)tpxydt,

64

odnosno

axy = E[Y ] =

∫ ∞0

ϑtP [Txy ≥ t]dt =

∫ ∞0

ϑttpxydt.

• Neka se suma osiguranja isplacuje clanovima statusa poslednjeg prezivelog uvidu diskretne dozivotne rente, cije se jedinicne isplate vrse na pocetku svake godinedo okoncanja statusa. Sadasnja vrednost takvih isplata je

Y = aKxy+1| =∞∑k=0

ϑkI{Kxy≥k}.

Na osnovu jednakosti (4.38), ocekivana sadasnja vrednost opisanih isplata je

axy = E[Y ] =∞∑k=0

ak+1|P [Kxy = k] =∞∑k=0

ak+1| k|qxy,

odnosno

axy = E[Y ] =∞∑k=0

ϑkP [Kxy ≥ k] =∞∑k=0

ϑkP [Txy ≥ k] =∞∑k=0

ϑkkpxy.

U nastavku ce biti razmatran slucaj kada se suma osiguranja isplacuje clanovimastatusa poslednjeg prezivelog u vidu n-to godisnje rente. U tom smislu, isplate trajudo okoncanja statusa, ali ne duze od n godina.• Sadasnja vrednost sume osiguranja u slucaju kada se ona isplacuje u viduneprekidne jedinicne n-to godisnje rente, data je slucajnom promenljivom

Y =

{aTxy |, Txy < nan|, Txy ≥ n.

Tada je jednokratna neto premija, na osnovu principa ekvivalencije, jednaka

axy:n| = E[Y ] = E[aTxy ||Txy < n]P [Txy < n] + an|P [Txy ≥ n]

=

∫ n

0

at|fTxy(t)dt+ an| npxy =

∫ n

0

at| tpxyµxy(t)dt+ an| npxy.

• Neka se suma osiguranja isplacuje u vidu diskretne rente cije se jedinicne isplatevrse na pocetku svake godine. Sadasnja vrednost takvih isplata data je sledecomslucajnom promenljivom

Y =

{aKxy+1|, Kxy < nan|, Kxy ≥ n.

Na osnovu principa ekvivalencije jednokratna neto premija u tom slucaju jednakaje

axy:n| = E[Y ] = E[aKxy+1||Kxy < n]P [Kxy < n] + an|P [Kxy ≥ n]

=n−1∑k=0

ak+1|P [Kxy = k] + an|P [Txy ≥ n] =n−1∑k=0

ak+1| k|qxy + an| npxy.

65

4.3 Osiguranje za koje je relevantan redosled nas-

tupanja smrti osiguranika

U praksi se cesto kreiraju polise osiguranja u skladu sa zeljama i potrebamapotencijalnih korisnika osiguranja. Medjutim, takvi ugovori, u opstem slucaju, nisupogodni za modeliranje. Shodno tome, aktuari nastoje da razviju sto je mogucevise modela i time obezbede tehnicku podrsku za zakljucenje razlicitih vrsta ugo-vora o osiguranju. U ovom poglavlju ce biti razmatrani neki tipovi osiguranja kodkojih jednokratne neto premije zavise od redosleda nastupanja smrti osiguranika.Precizinije, jednokratna neto premija zavisi od verovatnoce nastupanja smrti jednogosiguranika pre smrti drugog. Zbog toga ce najpre biti odredjene verovatnoce koje suneophodne za odredjivanje jednokratne neto premije za pomenute tipove osiguranja.

Pretpostavka je da se prema zelji osiguranika starosti x, odnosno y godina, izra-djuje polisa koja obezbedjuje isplatu sume osiguranja, pod uslovom da smrt osi-guranika starosti x godina nastupi pre smrti osiguranika starosti y godina. Najpretreba odrediti verovatnocu dogadjaja da smrt osiguranika starosti x godina nastupipre smrti osiguranika starosti y godina. Ustaljena aktuarska oznaka za verovatnocurealizacije prethodno opisanog dogadjaja je ∞qx1y. U tom smislu je,

∞qx1y = P [Tx < Ty] =

∫ ∞0

∫ ∞s

fTxTy(s, t)dtds,

gde je fTxTy zajednicka gustina raspodele slucajnih promenljivih Tx i Ty. Uz pret-postavku o stohastickoj nezavisnosti slucajnih promenljivih Tx i Ty, prethodnajednakost postaje

∞qx1y =

∫ ∞0

fTx(s)

∫ ∞s

fTy(t)dtds =

∫ ∞0

fTx(s)STy(s)ds,

gde je STy(s) = spy i predstavlja verovatnocu da osoba starosti y godina dozivistarost od y+s godina. Kako je, na osnovu definicije intenziteta smrtnosti, fTx(s) =

spxµx(s), to je

∞qx1y =

∫ ∞0

spxµx(s)spyds. (4.39)

Na osnovu stohasticke nezavisnosti slucajnih promenljivih Tx i Ty, i jednakosti (4.9),sledi da je

∞qx1y =

∫ ∞0

spxyµx(s)ds.

Neka je sa ∞qxy2 oznacena verovatnoca da ce smrt osobe starosti y godina na-stupiti nakon smrti osobe starosti x godina. Jasno je da je ∞qx1y = ∞qxy2 , jerpredstavljaju verovatnoce realizacija istih dogadjaja.

Odredimo verovatnocu realizacije dogadjaja da smrt osobe starosti y godina nas-tupi pre smrti osobe starosti x godina. Aktuarska oznaka za verovatnocu realizacije

66

opsanog dogadjaja je ∞qxy1 , pri cemu vazi

∞qxy1 = P [Ty < Tx] =

∫ ∞0

spyµy(s)spxds =

∫ ∞0

spxµy(s)spyds = ∞qx2y,

gde je ∞qx2y verovatnoca da ce smrt osobe starosti x godina nastupiti nakon smrtiosobe starosti y godina.

Potrebno je odrediti verovatnocu realizacije dogadjaja da smrt osiguranika sta-rosti x godina nastupi pre smrti osiguranika starosti y godina, u toku prvih n godinaod trenutka zakljucenja ugovora o osiguranju. Aktuarska oznaka za verovatnocurealizacije opisanog dogadjaja je nqx1y. Slicno prethodnim izvodjenjima, bice

nqx1y =

∫ n

0spxµx(s)spyds =

∫ n

0spxyµx(s)ds.

U ovom slucaju se ne se precizira da li ce smrt osiguranika starosti y godina nastupitiu toku tih n godina ili ne. Sa druge strane, nqxy2 predstavlja verovatnocu da smrtosiguranika starosti y godina nastupi nakon smrti osiguranika starosti x godina, ito u narednih n godina. U tom slucaju ce u narednih n godina nastupiti smrt obaosiguranika. Zakljucuje se da je nqx1y 6= nqxy2 . Shodno navedenom je

nqxy2 =

∫ n

0spyµy(s)sqxds=

∫ n

0spyµy(s)(1−spx)ds

=

∫ n

0spyµy(s)ds−

∫ n

0spyµy(s)spxds

=

∫ n

0

fTy(s)ds−∫ n

0spxyµy(s)ds=nqy−nqxy1 .

Dakle, nqy = nqxy1 + nqxy2 . U slucaju kada n → ∞, vazi ∞qy = ∞qxy1 + ∞qxy2 .Medjutim, kako ∞qy predstavlja verovatnocu da osoba starosti y godina ne dozivibeskonacnu starost, to je ∞qy = 1. Na osnovu navedenog, sledi da je

∞qxy1 = 1− ∞qxy2 = 1− ∞qx1y = ∞qx2y.

Neka je ugovorom o osiguranju precizirano da se jedinicna suma osiguranja is-placuje neposredno nakon nastupanja smrti osiguranika starosti x godina, i to akonjegova smrt nastupi pre smrti osiguranika starosti od y godina. Tada je ocekivanasadasnja vrednost sume opisanog osiguranja, na osnovu jednakosti (4.39),

Ax1y = E[ϑTxI{Tx<Ty}] =

∫ ∞0

ϑtfTx(t)

∫ ∞t

fTy(s)dsdt

=

∫ ∞0

ϑtfTx(t)STy(t)dt =

∫ ∞0

ϑttpxµx(t)tpydt. (4.40)

Slicno, ocekivana sadasnja vrednost jedinicne sume osiguranja koja se isplacujeneposredno nakon nastupanja smrti osiguranika starosti x godina, i to ako njegova

67

smrt nastupi nakon smrti osiguranika starosti od y godina, je

Ax2y = E[ϑTxI{Tx>Ty}] =

∫ ∞0

ϑtfTx(t)

∫ t

0

fTy(s)dsdt

=

∫ ∞0

ϑtfTx(t)(1− STy(t))dt =

∫ ∞0

ϑttpxµx(t)tqydt. (4.41)

Sabiranjem (4.40) i (4.41), dobija se

Ax1y + Ax2y =

∫ ∞0

ϑttpxµx(t)dt =

∫ ∞0

ϑtfTx(t)dt = Ax, (4.42)

gde Ax predstavlja ocekivanu sadasnju vrednost jedinicne sume dozivotnog osigu-ranja osobe starosti x godina, koja se isplacuje neposredno nakon nastupanja smrtite osobe.

Primetimo da je Ax1y 6= Axy2 iako je ∞qxy1 = ∞qxy2 , jer se razlikuju trenuci isplatasuma osiguranja. U prvom slucaju, isplata se vrsi neposredno nakon nastupanjasmrti osiguranika starosti x godina, dok se u drugom slucaju isplata vrsi neposrednonakon natupanja smrti osiguranika starosti y godina.

Slicnim nacinom zakljucivanja, mogu se odrediti ocekivane sadasnje vrednostisuma preostalih tipova osiguranja.

4.4 Dozivotna renta prezivelog osiguranika

Neka su osobe starosti x, odnosno y godina, zakljucile ugovor o osiguranju kojigarantuje isplatu sume osiguranja u obliku dozivotne rente, za osobu starosti xgodina, cija isplata pocinje neposredno nakon smrti osobe starosti y godina. Opisaninacin isplate sume osiguranja u aktuarstvu se naziva renta prezivelog osiguranika.

Neka je ugovorom o osiguranju odredjeno da se, neposredno nakon smrti osi-guranika starosti y godina, isplacuje suma osiguranja osobi starosti x godina, i to uvidu neprekidne jedinicne dozivotne rente. Ako slucajna promenljiva Z predstavljasadasnju vrednost opisane rente, tada je

Z =

{aTx| − aTy |, Ty ≤ Tx0, Ty > Tx.

Pretpostavlja se da su slucajne promenljive Tx i Ty stohasticki nezavisne. Kako segustina raspodele preostalog zivotnog veka moze predstaviti kao proizvod funkcijedozivljenja i intenziteta smrtnosti, odgovarajuca jednokratna neto premija je

ay|x = E[Z] =

∫ ∫u>v

(au| − av|)upxµx(u)vpyµy(v)dudv

=

∫ ∞0

vpyµy(v)

∫ ∞v

(au| − av|)upxµx(u)dudv.

Uocimo da vazi

Z + amin(Tx,Ty)| =

{(aTx| − aTy |) + aTy |, Ty ≤ TxaTx|, Ty > Tx,

68

gde je amin(Tx,Ty) sadasnja vrednost jedinicne neprekidne rente trajanja min(Tx, Ty)godina. Tada je

Z + amin(Tx,Ty)| = aTx|.

Takodje vazi da je amin(Tx,Ty)| = aTxy |, jer se u slucaju statusa zajednickog dozivljenjasuma osiguranja isplacuje nakon prve smrti unutar razmatranog statusa, odnosnoTxy = min(Tx, Ty). Dakle,

ay|x = E[Z] = E[aTx|]− E[aTxy |] = ax − axy. (4.43)

Na osnovu (4.22), prethodna jednakost postaje

ay|x =

∫ ∞0

ϑttpxdt−∫ ∞0

ϑttpxydt =

∫ ∞0

ϑttpx(1− tpy)dt =

∫ ∞0

ϑttpx tqydt. (4.44)

U daljem razmatranju, jednokratna neto premija ay|x ce biti predstavljena u funkcijiocekivane sadasnje vrednosti neprekidne jedinicne dozivotne rente u slucaju jednogosiguranika.

Kako tqy predstavlja verovatnocu da osoba starosti y godina ne dozivi starost ody + t godina, to je

tqy =

∫ t

0

fTy(t)dt =

∫ t

0tpyµy(t)dt,

odakle sledi da je

∂

∂ttqy = tpyµy(t). (4.45)

Za predstojece razmatranje od znacaja je jedinicna neprekidna dozivotna rentakoja se isplacuje osobi starosti x godina. Pri tom, isplata pocinje nakon t godina,od trenutka zakljucenja ugovora o osiguranju. Tada je ocekivana sadasnja vrednosttakve odlozene rente data sa

t|ax =

∫ ∞t

ϑuupxdu, (4.46)

pa je

∂

∂t(−t|ax) = ϑttpx. (4.47)

Na osnovu (4.47), jednakost (4.44) postaje

ay|x =

∫ ∞0

∂

∂t(−t|ax)tqydt.

Primenom parcijalne integracije na prethodni integral, na osnovu (4.45), poslednjajednakost postaje

ay|x = [(−t|axtqy]|∞0 +

∫ ∞0

t|ax∂

∂ttqydt =

∫ ∞0

t|ax tpy µy(t)dt. (4.48)

69

Predstavimo odlozenu jedinicnu dozivotnu rentu u funkciji jedinicne dozivotne rente.Nakon uvodjenja smene v = u− t jednakost (4.46) postaje

t|ax =

∫ ∞0

ϑv+tv+tpxdv.

Na osnovu ranije dokazane jednakosti (3.59), vazi

t|ax = ϑttpx

∫ ∞0

ϑvvpx+tdv = ϑttpxax+t,

gde je ax+t ocekivana sadasnja vrednost neprekidne jedinicne dozivotne rente osobestarosti x+ t godina. Zamenom poslednje jednakosti u (4.48) i uzevsi u obzir da zastatus zajednickog dozivljenja vazi da je tpxy = tpx tpy, jer su slucajne promenljiveTx i Ty stohasticki nezavisne, dobija se

ay|x =

∫ ∞0

ϑttpxy µy(t)ax+tdt.

Razmotrimo sada slucaj diskretne rente prezivelog osiguranika, pod istim pretpo-stavkama kao u neprekidnom slucaju. Analogno jednakosti (4.43), ocekivana sada-snja vrednost rente prezivelog osiguranika koja obezbedjuje jedinicne isplate na krajusvake godine je

ay|x = ax − axy.

Na osnovu ranije dokazane jednakosti (4.23), vazi

ay|x =∞∑k=1

ϑkkpx −∞∑k=1

ϑkkpxy =∞∑k=1

ϑkkpx(1− kpy) =∞∑k=1

ϑkkpx kqy.

Sumiranje se, u ovom slucaju, vrsi pocev od jedinice jer je u pitanju postnumeratorenta.

4.5 Model uslovne nezavisnosti preostalih

zivotnih vekova osiguranika

U prethodnim poglavljima razmatrani su modeli osiguranja vise osoba, uz pretpo-stavku da su preostali zivotni vekovi tih osoba stohasticki nezavisne slucajne pro-menljive. U opstem slucaju, pomenute slucajne promenljive su stohasticki zavisne.

Radi jednostavnosti, bice razmatrane polise osiguranja koje se odnose na dveosobe. Pretpostavimo da na preostale zivotne vekove tih osoba uticu isti slucajnifaktori. Na primer, za bracni par bi to bili isti uslovi zivota. Tada su slucajnepromenljive koje opisuju preostale zivotne vekove osiguranika stohasticki zavisne.Pod pretpostavkom da je moguce detektovati sve slucajne faktore koji istovremenouticu na preostale zivotne vekove osiguranika, slucajne promenljive koje opisuju

70

preostale zivotne vekove osiguranika se smatraju uslovno stohasticki nezavisnim. Upomenutom primeru, trebalo bi odrediti sve uslove zajednickog zivota bracnog para.

Neka su Tx i Ty slucajne promenljive koje opisuju preostale zivotne vekove osobastarosti x, odnosno y godina, i neka slucajni vekor ε predstavlja slucajne faktore podcijim su uticajima Tx i Ty stohasticki zavisne slucajne promenljive. Pretpostavljase da su slucajne promenljive Tx i Ty stohasticki nezavisne, pod uslovom ε. Tada zabilo koje B1, B2 ⊂ R, vazi

P [Tx ∈ B1, Ty ∈ B2|ε] = P [Tx ∈ B1|ε]P [Ty ∈ B2|ε].

Slucajne promenljive za koje vazi poslednja jednakost, nazivaju se uslovno nezavisneslucajne promenljive. Na osnovu osobina matematickog ocekivanja, vazi

E[P [Tx ∈ B1, Ty ∈ B2|ε]] = E[E[I{Tx∈B1,Ty∈B2}|ε]] = E[I{Tx∈B1,Ty∈B2}]

= P [Tx ∈ B1, Ty ∈ B2].

Na osnovu prethodnih jednakosti, zajednicka raspodela slucajnih promenljivih Tx iTy je

P [Tx ∈ B1, Ty ∈ B2] = E[P [Tx ∈ B1|ε]P [Ty ∈ B2|ε]

].

4.5.1 Model zajednickog slucajnog soka

Osnovna pretpostavka modela zajednickog slucajnog soka je da su preostali zi-votni vekovi osoba starosti x, odnosno y godina, stohasticki nezavisni ukoliko poduticajem nekog slucajnog soka ne dodje do smrti oba osiguranika istovremeno. Naprimer, slucajni sok moze biti saobracajna nesreca sa smrtim ishodom u kojojucestvuju oba osiguranika.

Neka slucajna promenljiva D oznacava trenutak zajednickog slucajnog soka, dokslucajne promenljive T ∗x i T ∗y predstavljaju preostale zivotne vekove osiguranika uodsustvu slucajnog soka. Pretpostavka modela je da su slucajne promenljive D, T ∗xi T ∗y uzajamno stohasticki nezavisne. Na osnovu navedenog, sledi da se preostalizivotni vekovi osoba starosti x, odnosno y godina, opisuju slucajnim promenljivimTx = min(T ∗x , D), odnosno Ty = min(T ∗y , D). Zajednicka funkcija dozivljenja za dveosobe moze se predstaviti u obliku

STxTy(u,v)=P [Tx>u, Ty>v] = P [min(T ∗x , D)>u,min(T ∗y , D)>v]

=P [T ∗x >u,D>u, T∗y >v,D>v] = P [T ∗x >u, T

∗y >v,D>max(u, v)]

=P [T ∗x >u]P [T ∗y >v]P [D>max(u,v)]

= ST ∗x (u)ST ∗y (v)SD(max(u,v)). (4.49)

Funkcija dozivljenja za osobu starosti x godina se dobija kao marginalna funkcijadozivljenja na osnovu zajednicke funkcije dozivljenja. U tom smislu je

STx(t) = STxTy(t, 0) = ST ∗x (t)ST ∗y (0)SD(max(t, 0)) = ST ∗x (t)SD(t). (4.50)

71

Analogno se dobija funkcija dozivljenja za osobu starosti y godina, tj.

STy(t) = ST ∗y (t)SD(t). (4.51)

Intenzitet smrtnosti osobe pristupne starosti x godina, na osnovu jednakosti (4.50),je

µx(t)=− ∂

∂tln(STx(t))=− ∂

∂tln(ST ∗x (t)SD(t))=− ∂

∂tln(ST ∗x (t))− ∂

∂tln(SD(t))

=µ∗x(t)+µD(t), (4.52)

gde µ∗x(t) predstavlja intenzitet smrtnosti osobe starosti x godina u odsustvu za-jednickog slucajnog soka, dok µD(t) predstavlja intenzitet smrtnosti pod uticajemzajednickog slucajnog soka. Analogno, na osnovu jednakosti (4.51), vazi

µy(t) = µ∗y(t)+µD(t),

gde je µ∗y(t) intenzitet smrtnosti osobe starosti y godina u odsustvu zajednickogslucajnog soka.

Funkcije raspodela slucajnih promenljivih T ∗x i T ∗y se mogu odrediti na osnovujednakosti (4.50) i (4.51), koristeci funkcije raspodela slucajnih promenljivih Tx, Tyi D. U tom smislu, neka slucajna promenljiva D ima eksponencijalnu raspodelu saparametrom λ. Cesto se model slucajnog soka povezuje sa ovom pretpostavkom. Naosnovu jednakosti (4.50) i uvedene pretpostavke vazi da je tpx = STx(t) = ST ∗x (t)e−λt,odakle direktno sledi da je

ST ∗x (t) = eλtSTx(t). (4.53)

Slicno, na osnovu jednakosti (4.51), vazi

ST ∗y (t) = eλtSTy(t).

Model zajednickog slucajnog soka se pojednostavljuje ukoliko se pretpostavi dapreostali zivotni vekovi osiguranika, u odsustvu zajednickog slucajnog soka, imajueksponencijalnu raspodelu. Takva situacija je ilustrovana sledecim primerom.

Primer 5 Neka su T ∗x , T ∗y i D stohasticki nezavisne slucajne promenljive sa ekspo-nencijalnom raspodelom, sa parametrima λ∗x λ

∗y i λ, respektivno.

i) Odrediti intenzitet smrtnosti osiguranika starosti x, odnosno y godina i raspodeleverovatnoca slucajnih promenljivih T ∗x i T ∗y , koje predstavljaju preostale zivotne ve-kove osiguranika.

ii) Odrediti funkciju opstanka statusa zajednickog dozivljenja koji cine dve osobestarosti x, odnosno y godina.

iii) Odrediti intenzitet okoncanja statusa zajednickog dozivljenja koji cine dve osobestarosti x, odnosno y godina.

72

i) Kako je T ∗x : E(λ∗x), intenzitet smrtnosti osobe starosti x godina u odsustvuzajednickog slucajnog soka je

µ∗x(t) =λ∗xe

−λ∗xt

e−λ∗xt= λ∗x, t ≥ 0.

Takodje vazi da je µD(t) = λ, t ≥ 0, odakle, na osnovu (4.52), sledi da je intenzitetsmrtnosti osobe starosti x godina

µx(t) = λ∗x + λ, t ≥ 0.

Dakle, Tx : E(λ∗x + λ).Analogno se dobija da je µ∗y(t) = λ∗y, t ≥ 0 i µy(t) = λ∗y + λ, t ≥ 0, tj.

Ty : E(λ∗y + λ).

ii) Preostalo vreme do okoncanja statusa zajednickog dozivljenja je Txy=min(Tx, Ty),pa je, na osnovu (4.49), funkcija dozivljenja tog statusa

tpxy = STxy(t) = P [min(Tx, Ty) > t] = P [Tx > t, Ty > t] = ST ∗x (t)ST ∗y (t)SD(t).

Imajuci u vidu relacije (4.50) i (4.51), poslednja jednakost postaje

tpxy = STxy(t) =STx(t)STy(t)

SD(t).

Na osnovu rezultata dobijenog u prvom delu primera, sledi da je

tpxy = e−(λ∗x+λ

∗y+λ)t, t ≥ 0.

Dakle, preostalo vreme do okoncanja statusa zajednickog dozivljenja ima takodjeeksponencijalnu raspodelu, sa parametrom λ∗x + λ∗y + λ.

iii) Postupkom, analognim onom koji je koriscen za dobijanje jednakosti (4.52), naosnovu prethodne jednakosti, sledi da je intenzitet okoncanja statusa zajednickogdozivljenja

µxy(t) = µ∗x(t) + µ∗y(t) + µD(t) = λ∗x + λ∗y + λ. �

5

Zakljucak

Polise osiguranja izradjuju se u skladu sa zeljama i potrebama potencijalnih osi-guranika. Aktuari nastoje da razviju sto je moguce vise modela, kako bi obezbedilitehnicku podrsku za kreiranje najrazlicitijih vrsta ugovora o osiguranju. U okviruovog rada obradjena su dva modela koja se cesto koriste u praksi: model visestrukogdekrementa i model osiguranja vise osoba.

Kao sto je vec naglaseno, model visestrukog dekrementa pretpostavlja da suuzroci dekrementa skoro izvesno medjusobno iskljucivi. Shodno tome, nakon nastu-panja dekrementa po bilo kom osnovu ugovor o osiguranju vise nije validan. Uokviru trece glave dokazana je adekvatna adaptacija teoreme Hattendorff-a, u skladusa modelom visestrukog dekrementa. Time je pokazano da su gubici osiguravaca pogodinama trajanja polise nekorelirane slucajne promenljive, ali u opstem slucajunisu nezavisne.

Uopstenje modela visestrukog dekrementa predstavlja model vise stanja. Po-lazna pretpostavka modela vise stanja je da je ugovor o osiguranju i dalje validan,nakon dekrementa po nekom od osnova preciziranih ugovorom, ali pod nekim drugimuslovima. Ovaj model se zasniva na primeni lanaca Markova.

U okviru cetvrte glave detaljno je obradjen model osiguraja vise osoba. Tokomanalize ovog modela, cesto je koriscena olaksavajuca pretpostavka da su slucajnepromenljive koje opisuju preosale zivotne vekove osoba koje su se osigurale razma-tranom polisom stohasticki nezavisne. Razmatran je i model zajednickog slucajnogsoka, koji se cesto koristi u praksi. Navedeni model pretpostavlja stohasticku neza-visnost slucajnih promenljivih koje opisuju preostale zivotne vekove osoba koje su seosigurale razmatranom polisom, u odsustvu slucajnog soka. Slucajnim sokom sma-tra se istovremena smrt svih osiguranika. Medjutim, u opstem slucaju, pomenuteslucajne promenljive su stohasticki zavisne. Uopstenje modela osiguranja vise osobabilo bi ukidanje pretpostavke o stohastickoj nezavisnosti preostalih zivotnih vekovatih osoba.

73

74

Literatura

[1] V.I. Rotar, ACTUARIAL MODELS The Mathematics of Insurance, Taylor &

Francis Group, LLC, 2007.

[2] T. Rolski, V. Schmidt, H. Schmidli, J. Teugels, Stochastic Processes for Insur-ance & Finance, John Wiley & Sons, 2009.

[3] S. Deshmukh, Multiple Decrement Models in Insurance, An Introduction UsingR, Springer, 2012.

[4] J.F. Carriere, Dependent Decrement Theory, TRANSACTIONS OF SOCIETYOF ACTUARIES 46 (1994) 45–74.

[5] D. Dickson, M. Hardy, H. Waters, Actuarial Mathematics for Life ContingentRisks, Cambridge University Press, 2009.

[6] S. Jankovic, Stohasticki procesi, autorizovana predavanja, Prirodno-matematicki fakultet, Univerzitet u Nisu, Nis.

[7] H.U. Gerber, Life Insurence Mathematics, (3th edn), Springer Verlag, 1997.

75

76

6

Biografija

Ana Janjic rodjena je 11-tog maja 1988-me godine u Nisu, Republika Srbija.Osnovnu skolu ”Dusko Radovic” u Nisu zavrsila je kao nosilac Vukove diplome.Gimnaziju ”Svetozar Markovic” u Nisu, prirodno - matematicki smer, zavrsila jetakodje kao nosilac Vukove diplome.

Skolske 2007/2008-me godine upisala je osnovne akademske studije matematikena Prirodno - matematickom fakultetu u Nisu i zavrsila ih u septembru 2010-te go-dine i dobila zvanje Matematicar. Iste godine upisuje diplomske akademske studije,smer Primenjena matematika u finansijama. Prosecna ocena na diplomskim aka-demskim studijima je 9,13.

77