viana l. guadalupe suárez carmelo militello militello ... · obtención de la matriz de rigidez....

Formulación de viga en el plano

Modelización Mecánica de Elementos Estructurales

Viana L. Guadalupe Suárez Carmelo Militello Militello

Departamento de Ingeniería IndustrialÁrea de Mecánica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e IndustrialUniversidad de La Laguna

Tenerife, España

1. Conceptos vistos.2. Ejemplos de las estructuras de viga3. Características de la viga de Bernoulli.4. Formulación del elemento numérico de viga.5. Obtención de la matriz B.6. Obtención de la matriz de rigidez.7. Caso de las cargas distribuidas.8. Resumen.

Índice.


1. Conceptos vistos.

Proceso de Discretización: METODO DE ELEMENTOS FINITOS

Elementos 1D

Modelo discreto

Elementos 2D

Elementos 3D•Método de los elementos finitos.

Modelo continuo

V

TE

EdVBDBKK ]][[][

pp

p

ii

FF

FF

Ecuación de equilibrio: Principio de minimización de la energía

pp FFKuFFKu 1


1. Conceptos vistos.

- Campo de desplazamiento: U, V ,W

•Método de los elementos finitos.

BuBDD

uB]][[][

][

- Propiedades del material: ][D

,E

V

TE dVBDBK ]][[][


2. Ejemplos de las estructuras de viga

Puentes trabajando como estructuras de viga frente a una carga transversal


2. Ejemplos de las estructuras de viga


3. Características de la viga de Bernoulli.

• Hipótesis de Euler-Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la

viga después de la deformación. Las secciones perpendiculares sufren un giro (x) y un desplazamiento vertical v(x). Se consideran que son

muy pequeños. El desplazamiento vertical sólo depende de x: v(x) El desplazamiento longitudinal: u(x,y)=-(x)*y.

• Pequeñas deformaciones

•Las cargas son estáticas

•El material elástico lineal y homogéneo e isótropo.


2 grados de libertad por nodo4 grados de libertad por elemento

4. Formulación del elemento de numérico.• Tipo de Elemento.


4. Formulación del elemento de viga.

. Campo de desplazamiento.

32)( dxcxbxaxv

* Implicaciones:

dEIxxvEIQteCor

dxcEIxxvEIMMomento

6)(tan

)2()(

3

3

2

2

Varía linealmente.

Constante.


. Campo de desplazamiento.


4. Formulación del elemento de viga.

•Movimiento rígido.

•Desplazamiento rígido:

vvv 21

Elementos que se deforman.

Elementos que solamente giran como un sólido rígido sin deformarse.

Lvv 12**

21

•Giro rígido:

•Desplazamiento rígido:


4. Formulación del elemento numérico.

2

1

2

1

)()(

)0()0(

)()0(

LxxvLx

xxvx

vLxvvxv

• Condiciones de contorno:

2

1

2

1

2

32

100010

10001

vv

dcba

LL

LLL•Matricialmente:

32)( dxcxbxaxv


4. Formulación del elemento de numérico.

•Funciones de interpolación. Polinomios de Hermite.

31232

1221221211

32

)(2)(3)2(1)(

)(

xvvLL

xvvLL

xvxv

dxcxbxaxv

2

2

2

32

1

2

1

32

1231231)(

Lx

Lxv

Lx

Lx

Lxxv

Lx

Lxxv

Estos polinomios permiten interpolar el campo de desplazamiento de un elemento respecto de otro.


4. Formulación del elemento numérico.

1)(

23)(

1)(

231)(

2

2

32

2

2

1

32

1

Lx

LxxH

Lx

LxxN

LxxxH

Lx

LxxN

0)0(0)0(0)0(1)0(

2

2

1

1

xHxNxHxN

22221111 )()()()()( xHvxNxHvxNxv

1)0( vxv

2

2

1

1

2211 )()()()(

v

v

xHxNxHxNvRepresentación vectorial:


5. Obtención de la matriz B.

• Campo de deformaciones:

• Campo de tensiones:

vBx

xvyx

yxu

2

2 )(),(

2

2 )(.x

xvyED

)(")(")(")(")(")(")(")(" 2211

2

2

1

1

2211 xHxNxHxNyBv

v

xHxNxHxNy

EDv

v

xHxNxHxNyE

2

2

1

1

2211 )(")(")(")("


6. Matriz de rigidez

•Matriz de Rigidez [K].

dxxHxNxHxN

xHxNxHxN

EIK

dydzydxxHxNxHxN

xHxNxHxN

EdVBDBK

L

z

s

L

V

T

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

2"

2"

1"

1"

0

2"

2"

1"

1"

22

"2

"1

"1

"

0

2"

2"

1"

1"

Matriz D:

Matriz B: )(")(")(")(" 2211 xHxNxHxNyB

ED


6. Matriz de rigidez

44

3433

242322

14131211

''20

''2

''20

''2

''20

''2

''20

''1

''20

''1

''10

''1

''20

''1

''20

''1

''10

''1

''10

''1

kkksimkkkkkkk

EI

dxxHxHdxxHxNdxxNxNsimétricadxxHxHdxxNxHdxxHxHdxxHxNdxxNxNdxxHxNdxxNxN

EIK z

L

LL

LLL

LLLL

z

2

22

3

4612

264612612

LLsimétrica

LLLLL

LEIK z

•Matriz de Rigidez [K].


7. Caso de las cargas distribuidas.•Caso de las cargas distribuidas.

VIGA

Carga distribuída


•Caso de las cargas distribuidas: cargas aplicadas en los nodos:

•Trabajo de las Cargas distribuidas:

7. Caso de las cargas distribuidas.

V(x)

L

q dxxqvW0

)(


•Caso de las cargas distribuidas: cargas aplicadas en los nodos:

7. Caso de las cargas distribuidas.

2

2

2211

02

02

01

01

2211

12121

12121

)(

)(

)(

)(

L

L

L

L

qvv

dxxH

dxxN

dxxH

dxxN

qvvW

L

L

L

L

q

2

2

12121

12121

L

L

L

L

qFq


Proponer tipo de elemento.Definir grados de libertad

5. Resumen

Caracterizar esfuerzos que actúan sobre la estructura

Proponer un campo de desplazamiento

Energía de deformación interna

Obtener polinomios de interpolación

Aplicar condiciones de contorno para obtener los coeficientes

Definir matriz [B]Definir matriz constitutiva [D]

Definir matriz de rigidez [K]

2

1

2

1

)(

)0(

)()0(

Lxxv

xxv

vLxvvxv

32)( dxcxbxaxv

V

T dVE 21

V

T dVBDBK ][


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