vibracije centrifugalnih pumpi u sistemima za hlaĐenje automobilskih motora · 2016. 3. 11. ·...

UNIVERZITET U SARAJEVU MAŠINSKI FAKULTET U ZENICI

SAMIR LEMEŠ, dipl.inž.

VIBRACIJE CENTRIFUGALNIH PUMPI U SISTEMIMA ZA HLAĐENJE AUTOMOBILSKIH MOTORA

- magistarski rad -

Zenica, februara 2002.

UNIVERZITET U SARAJEVU MAŠINSKI FAKULTET U ZENICI

KLJUČNE DOKUMENTACIJSKE INFORMACIJE Vrsta rada: Magistarski rad Autor: Samir Lemeš, dipl.inž. Index br. 90/95 Mentor: V.prof.dr. Nermina Zaimović-Uzunović Naslov rada: "Vibracije centrifugalnih pumpi

u sistemima za hlađenje automobilskih motora" Jezik publikacije: bosanski Jezik rezimea: bosanski/engleski Zemlja publikovanja: Bosna i Hercegovina Bliže geografsko područje: Zeničko-dobojski kanton Godina izdanja: 2002. Izdavač: Mašinski fakultet u Zenici Univerzitet u Sarajevu Adresa: 72000 Zenica, Fakultetska br.1 E-mail: [email protected] Fizički opis rada: Broj poglavlja 12 Broj strana 110 Broj tabela 22 Broj slika 73 Broj priloga - Broj dijagrama - Naučna oblast: dinamika i teorija oscilacija, metod konačnih elemenata Ključne riječi: vibracije, hlađenje UDK: 534/621.6 Mjesto čuvanja rada: Biblioteka Mašinskog fakulteta u Zenici Vrijeme odbrane rada: 15.02.2002. Napomena: Ovaj rad i njegovi rezultati su isključivo vlasništvo Katedre za mehaniku Mašinskog fakulteta u Zenici i bez saglasnosti rukovodioca ove katedre ne mogu se koristiti izvan domena magistarskog rada. Identifikacioni broj: Tip dokumentacije:

I

Lemeš Samir, dipl.inž. VIBRACIJE CENTRIFUGALNIH PUMPI U SISTEMIMA ZA HLAĐENJE AUTOMOBILSKIH MOTORA

REZIME U ovom radu istraživanje je usmjereno na identifikaciju vibracionih karakteristika i mogućih uzroka pojave neželjenih vibracija u eksploataciji centrifugalne pumpe iz proizvodnog programa preduzeća "Pobjeda" Tešanj. Pumpa koja je predmet istraživanja se koristi u sistemima za hlađenje automobilskih motora. Prvi dio rada obuhvata pregled dosadašnjih istraživanja, te detaljnu klasifikaciju vibracija centrifugalnih pumpi. Na osnovu toga, istraživanje je usmjereno na vibracije usljed hidrauličkih uzroka. Metodom konačnih elemenata izvršena je analiza vibracija pokretnih dijelova reprezentativne pumpe, te je zaključeno da istraživanje treba ograničiti na radno kolo pumpe. U drugom dijelu rada je uspostavljena funkcionalna zavisnost između materijala od kojeg se izrađuje radno kolo i vlastitih frekvencija slobodnih vibracija pumpe. Variranjem konstruktivnih parametara radnog kola (broj i oblik lopatica, debljina radnog kola, debljina lopatica, zakrivljenost lopatica) metodom konačnih elemenata izvršen je proračun vlastitih frekvencija, te uspostavljena funkcionalna zavisnost između ovih veličina. Na osnovu frekventnog opsega u kojem se nalaze vlastite frekvencije radnog kola, zaključeno je da je osnovni uzrok vibracija u ovoj pumpi kavitacija. Dobijeni rezultati mogu poslužiti kao preporuke i smjernice za dizajn automobilskih vodenih pumpi sa najpovoljnijim vibracionim karakteristikama u eksploataciji. KLJUČNE RIJEČI: vibracije, hlađenje

Lemeš Samir, dipl.inž. VIBRATIONS OF CENTRIFUGAL PUMPS USED IN AUTOMOTIVE COOLING SYSTEMS

SUMMARY Research performed in this paper is focused on identification of vibration characteristics and possible causes of unwanted vibration in exploatation of centrifugal pump produced by company "Pobjeda" Tešanj. The pump being investigated is being used in cooling systems for automobile motors. The first part of this paper gives survey of researches performed recently, as well as in-depth classification of centrifugal pump vibration. According to these results, research is focused on vibration due to hydraulic causes. Vibration analysis of moving parts of the representative pump is performed by Finite Element Method. Results obtained have shown that further research should be focused on pump impeller. Functional dependency between the impeller material and its natural frequencies is established in the second part of this paper. Finite Element Method is used to calculate natural frequencies, by varying constructive parameters of the impeller (number and shape of vanes, impeller thickness, vane thickness, curvature of vanes), and functional dependence between these parameters is established. According to frequency range where all natural frequencies lie, conclusion was made that the main cause of vibration in this pump is cavitation. Results obtained can be used as recommendations and directives for design of automobile water pumps with the best vibration characteristics in exploatation. KEY WORDS: vibration, cooling

II

IZJAVA O SAMOSTALNOJ IZRADI RADA

Nastavno-naučno vijeće Mašinskog fakulteta u Zenici mi je odlukom broj 05-612-997/99 od 9.12.1999. godine odobrilo izradu magistarskog rada pod naslovom "Vibracije centrifugalnih pumpi u sistemima za hlađenje automobilskih motora" i za mentora je imenovana v.prof.dr. Nermina Zaimović-Uzunović.

Izjavljujem pod punom odgovornošću da sam ovaj magistarski rad uradio

samostalno. Numerički dio proračuna u magistarskom radu uradio sam pomoću software-a

"I-deas Master Series 8", koji je vlasništvo Mašinskog fakulteta u Zenici. Samir Lemeš, dipl.inž.

III

Vibracije centrifugalnih pumpi u sistemima za hlađenje automobilskih motora

SADRŽAJ Strana 1. UVOD .........................................................................................................1 1.1. Cilj rada........................................................................................................1 1.2. Struktura rada...............................................................................................1 1.3. Osnovna hipoteza.........................................................................................2 2. PREGLED DOSADAŠNJIH ISTRAŽIVANJA VIBRACIJA

PUMPI.........................................................................................................3 2.1. Uzroci vibracija pumpi.................................................................................3 2.1.1. Klasifikacija uzroka vibracija pumpi ...........................................................3 2.1.2. Hidraulički uzroci vibracija pumpi ..............................................................5 2.1.3. Kavitacija / recirkulacija ..............................................................................7 2.1.4. Mehanički uzroci vibracija pumpi ...............................................................9 2.1.5. Ostali uzroci vibracija pumpi .......................................................................9 2.1.6. Identifikacija uzroka problema vibracija pumpi ..........................................9 2.2. Posljedice vibracija pumpi .........................................................................11 2.2.1. Rezonanca ..................................................................................................12 2.3. Metode mjerenja vibracija .........................................................................12 2.3.1. Parametri vibracija .....................................................................................13 2.3.2. Vremenski i frekventni domen...................................................................14 2.3.3. Mjerni lanac za mjerenje vibracija.............................................................16 2.3.4. Osnovna oprema za mjerenje vibracija ......................................................16 2.3.5. Mjerna mjesta.............................................................................................17 2.3.6. Filtriranje....................................................................................................19 2.3.7. Prikaz rezultata mjerenja............................................................................20 2.4. Metode analize vibracija ............................................................................24 2.4.1. Rotordinamička analiza..............................................................................25 2.4.2. Metod konačnih elemenata ........................................................................28 2.4.3. Modalna analiza .........................................................................................30 2.4.4. Modalna analiza sa vremenskim prosjekom ..............................................33 2.5. Kriteriji za ocjenu problema ......................................................................35 2.5.1. Standardi i normativi za interpretaciju nivoa vibracija ..............................36 2.6. Rješavanje problema vibracija pumpi........................................................38 2.6.1. Modifikacije konstrukcije pumpe ..............................................................39 2.6.2. Preventivno održavanje..............................................................................41 2.6.3. Primjeri iz prakse .......................................................................................42 3. VIBRACIJE SKLOPA VRATILA I RADNOG KOLA PUMPE .......47 3.1. Opis centrifugalne pumpe koja je predmet istraživanja.............................47 3.2. Vibracije sklopa vratila i radnog kola pumpe ............................................49 3.2.1. Modeliranje pokretnih dijelova centrifugalne pumpe................................49 3.2.2. Proračun krutosti ležajeva..........................................................................49 3.2.3. Rezultati proračuna MKE ..........................................................................54 3.2.4. Zaključak....................................................................................................57 4. POPREČNE VIBRACIJE PLOČA........................................................58 4.1. Uvod...........................................................................................................58 4.2. Diferencijalna jednačina poprečnih vibracija ploča...................................58 4.3. Metode rješavanja diferencijalne jednačine poprečnih vibracija ploča .....61 4.3.1. Tačno rješenje ............................................................................................61

IV


4.3.2. Približne metode ........................................................................................64 4.4. Oblici oscilovanja okruglih ploča ..............................................................65 4.5. Uticaj centrifugalne sile .............................................................................67 5. PRIMJENA METODE KONAČNIH ELEMENATA ZA

ODREĐIVANJE VLASTITIH FREKVENCIJA SLOBODNIH NEPRIGUŠENIH VIBRACIJA..............................................................73

5.1. Lanczos metoda za određivanje vlastitih frekvencija i oblika oscilovanja .................................................................................................75

5.2. Konačni elementi za analizu vibracija .......................................................76 5.2.1. Prostorni linearni element oblika kvadra ...................................................77 5.2.2. Prostorni parabolični element oblika tetraedra ..........................................77 5.3. Izbor vrste i broja konačnih elemenata za diskretizaciju radnog kola

centrifugalne pumpe...................................................................................77 6. UTICAJ VRSTE MATERIJALA NA VIBRACIJE RADNOG

KOLA PUMPE.........................................................................................82 7. UTICAJ DEBLJINE DISKA NA VIBRACIJE RADNOG KOLA

PUMPE .....................................................................................................84 7.1. Vibracije okruglog diska konstantne debljine............................................84 7.2. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama............85 7.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim

lopaticama ..................................................................................................86 8. UTICAJ BROJA I OBLIKA LOPATICA NA VIBRACIJE

RADNOG KOLA PUMPE ......................................................................91 8.1. Vibracije pojednostavljenog okruglog diska sa ravnim lopaticama ..........91 8.2. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa različitim brojem

ravnih lopatica............................................................................................92 8.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa različitim brojem

zakrivljenih lopatica ...................................................................................94 8.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa lopaticama različitog

radijusa zakrivljenosti ................................................................................96 8.4. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama

nagnutih pod različitim uglom u odnosu na disk radnog kola ...................97 8.5. Vibracije pojednostavljenog modela diska sa zakrivljenim

lopaticama različite visine..........................................................................98 9. ZAKLJUČCI ..........................................................................................101 CONCLUSIONS ....................................................................................103 10. NEDOSTACI VLASTITIH ISTRAŽIVANJA....................................105 11. PRAVCI DALJIH ISTRAŽIVANJA ...................................................105 12. LITERATURA .......................................................................................106 12.1. Citirana literatura .....................................................................................106 12.2. Šira literatura............................................................................................109 SPISAK SLIKA......................................................................................111 SPISAK TABELA .................................................................................114 SPISAK KORIŠTENIH OZNAKA I SIMBOLA ...............................115

V


SPISAK SLIKA Slika 2.1. Recirkulacija u radnom kolu...............................................................8 Slika 2.2. Određivanje vlastitih frekvencija, približno, podizanjem

vibracija niskog nivoa na donjoj granici šuma iz ukupnog signala: (a) Linearni dijagram; (b) Logaritamski ili dB dijagram, koji pokazuje više detalja. ..................................................9

Slika 2.3. Utvrđivanje vlastite frekvencije udaranjem kućišta ležaja pumpe (a) Sila u odnosu na vrijeme za tipičan udarac (b) Spektar frekvencija višestrukih slučajnih udaraca (c) Efekat pravilno raspoređenih ili dvostrukih udaraca...................11

Slika 2.4. Načini mjerenja odziva (a) pomjeranje (b) brzina (c) ubrzanje........13 Slika 2.5. Relacija između vremenske i frekventne domene ............................15 Slika 2.6. Veza između amplitude, frekvencije i glavnih oblika

oscilovanja, prikazana na primjeru vibrirajuće grede.......................15 Slika 2.7. Koraci pri mjerenju vibracija............................................................16 Slika 2.8. Vibracije kućišta u odnosu na vratilo (zasnovano na podacima

u radnim uslovima sa 25 pumpi identične konstrukcije i primjene)...........................................................................................18

Slika 2.9. Format mjerenja odziva na vibracije: (a) originalni vremenski zapis, (b) nefiltrirani ili ukupni frekventni odziv, (c) filtrirani frekventni odziv. ...........................................................19

Slika 2.10. Mjerenje efektivnih i maksimalnih frekvencija................................20 Slika 2.11. Bodeov dijagram...............................................................................21 Slika 2.12. Nyquistov dijagram ..........................................................................21 Slika 2.13. Primjer vibracione karakteristike pumpe, sa rotorom koji struže

po naslagama na zaptivaču: (a) Orbita vratila, (b) Grafikon linearnih vibracija u odnosu na frekvenciju, (c) Vremenska funkcija, (d) Grafikon vibracija u odnosu na frekvenciju. ...............21

Slika 2.14. Brza Fourierova transformacija (FFT) .............................................22 Slika 2.15. "Kaskadni grafikon", koji pokazuje kritične brzine

kompresora. ......................................................................................22 Slika 2.16. Campbellov dijagram .......................................................................23 Slika 2.17. Pojednostavljeni rotordinamički model............................................25 Slika 2.18. Dejstvo poremećajne sile za modalnu analizu pomoću

(a) velikog broja individualnih vibratora sa različitim frekvencijama i (b) jednog udarca čekićem......................................30

Slika 2.19. Odziv na jedan udar, u (a) vremenskom i (b) frekventnom domenu .............................................................................................31

Slika 2.20. Princip rada modalne analize sa vremenskim prosjekom poremećaja (TAME).........................................................................33

Slika 2.21. Tok fluida sa radnog kola na volutu sa visokim, niskim i optimalnim protokom ......................................................................40

Slika 2.22. Skica za modifikaciju jezička volute ...............................................40 Slika 3.1. Vertikalni presjek centrifugalne pumpe za vodu..............................47 Slika 3.2. Prikaz sklopljene i rastavljene centrifugalne pumpe za vodu

(proizvođač "Pobjeda" Tešanj) .........................................................48 Slika 3.3. Radno kolo centrifugalne pumpe (postojeća konstrukcija) ..............48 Slika 3.4. Prostorni model pokretnih dijelova centrifugalne pumpe ................49

VI


Slika 3.5. Opterećenje jedne kuglice u kugličnom ležaju.................................50 Slika 3.6. Radijusi zakrivljenosti površina u kontaktu .....................................50 Slika 3.7. Sile koje djeluju na vratilo................................................................53 Slika 3.8. Oblici oscilovanja modela sa remenicom.........................................55 Slika 3.9. Oblici oscilovanja modela sa remenicom.........................................55 Slika 3.10. Oblici oscilovanja modela bez remenice, modelirani

elementima oblika kvadra.................................................................56 Slika 3.11. Oblici oscilovanja modela bez remenice, modelirani

elementima oblika tetraedra..............................................................56 Slika 4.1. Kinematika deformacije tanke ploče ................................................58 Slika 4.2. Oblici oscilovanja kružne ploče ukliještene po rubu........................64 Slika 4.3. Nodalne linije i nodalne kružnice .....................................................66 Slika 4.4. Chladnijeve figure – oblici oscilovanja okrugle ploče .....................66 Slika 4.5. Chladnijeva figura nastala vibracijom frekvencije vokala "A" ........67 Slika 4.6. Chladnijeve figure nastale vibracijom radnog kola

centrifugalne pumpe .........................................................................67 Slika 4.7. Naprezanja u rotirajućem disku ........................................................68 Slika 4.8. Raspodjela naprezanja u rotirajućem disku .....................................71 Slika 5.1. Prostorni linearni element oblika kvadra..........................................77 Slika 5.2. Prostorni parabolični element oblika tetraedra .................................77 Slika 5.3. Okrugla ploča – model za izbor potrebnog broja konačnih

elemenata ..........................................................................................78 Slika 5.4. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po četvrtini

obima diska.......................................................................................78 Slika 5.5. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po radijusu

diska..................................................................................................79 Slika 5.6. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po debljini

diska..................................................................................................79 Slika 5.7. Particioniranje diska radi generisanja mapirane mreže

konačnih elemenata ..........................................................................80 Slika 5.8. Mapirana (MAPPED) mreža konačnih elemenata ...........................81 Slika 5.9. Slobodna (FREE) mreža konačnih elemenata ..................................81 Slika 7.1. Model kružnog diska debljine "h" ....................................................84 Slika 7.2. Zavisnost vlastite frekvencije od debljine diska...............................85 Slika 7.3. Radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 ravnih lopatica .....................85 Slika 7.4. Zavisnost vlastitih frekvencija od debljine diska radnog kola sa

5 ravnih lopatica ...............................................................................86 Slika 7.5. Radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 zakrivljenih lopatica ............87 Slika 7.6. Zavisnost vlastitih frekvencija od debljine diska radnog kola sa

5 zakrivljenih lopatica ......................................................................87 Slika 7.7. Zavisnost vlastitih frekvencija od debljine diska radnog kola sa

11 zakrivljenih lopatica ....................................................................88 Slika 7.8. Oblik oscilovanja idealiziranog kružnog diska u poređenju sa

istim oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (1 nodalni prečnik, 0 nodalnih kružnica) ...........................................................89

Slika 7.9. Oblik oscilovanja idealiziranog kružnog diska u poređenju sa istim oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (2 nodalna prečnika, 0 nodalnih kružnica) .........................................................89

VII


Slika 7.10. Oblik oscilovanja idealiziranog kružnog diska u poređenju sa istim oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (3 nodalna prečnika, 0 nodalnih kružnica) .........................................................90

Slika 7.11. Oblik oscilovanja radnog kola centrifugalne pumpe kod torzionih vibracija.............................................................................90

Slika 8.1. Pojednostavljeni model okruglog diska sa ravnim lopaticama ........91 Slika 8.2. Zavisnost vlastitih frekvencija od broja lopatica za

pojednostavljeni disk ........................................................................92 Slika 8.3. Model radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama.......92 Slika 8.4. Zavisnost vlastitih frekvencija od broja lopatica

za radno kolo centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama ...............93 Slika 8.5. Model radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim

lopaticama.........................................................................................94 Slika 8.6. Zavisnost vlastitih frekvencija od broja lopatica

za radno kolo centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama ......95 Slika 8.7. Pojednostavljeni model diska

sa lopaticama različitog radijusa zakrivljenosti................................96 Slika 8.8. Zavisnost vlastitih frekvencija od radijusa zakrivljenosti

lopatica..............................................................................................97 Slika 8.9. Pojednostavljeni model diska

sa lopaticama različitog ugla nagiba u odnosu na radno kolo ..........97 Slika 8.10. Zavisnost vlastitih frekvencija od ugla nagiba lopatica....................98 Slika 8.11. Pojednostavljeni model diska sa lopaticama različite visine............99 Slika 8.12. Zavisnost vlastitih frekvencija od visine lopatica...........................100

VIII


SPISAK TABELA Tabela 2.1. Uzroci vibracija u zavisnosti od frekvencije .....................................3 Tabela 2.2. Problemi vibracija tipični za pumpe ..................................................4 Tabela 2.3. Ispitivanja vibracija s ciljem identifikacije specifičnih

problema. ..........................................................................................36 Tabela 2.4. Spisak standarda koji tretiraju vibracije pumpi: ...............................36 Tabela 2.5. Lista za identifikaciju uzroka problema rotirajućih mašina. ............45 Tabela 3.1. Proračun vlastite težine i sila u osloncima:.......................................53 Tabela 3.2. Statički proračun:..............................................................................54 Tabela 3.3. Podaci o ležajevima: .........................................................................54 Tabela 3.4. Vlastite frekvencije sklopa pokretnih dijelova pumpe .....................55 Tabela 5.1. Izbor vrste konačnih elemenata za diskretizaciju radnog kola

pumpe ...............................................................................................80 Tabela 6.1. Karakteristike tipičnih materijala za izradu radnog kola pumpe ......83 Tabela 6.2. Uticaj materijala na prve četiri vlastite frekvencije

radnog kola centrifugalne pumpe .....................................................83 Tabela 7.1. Vlastite frekvencije [Hz] za kružni disk debljine "h".......................84 Tabela 7.2. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe

sa 5 ravnih lopatica, debljine "h"......................................................86 Tabela 7.3. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe

sa 5 zakrivljenih lopatica, debljine "h" .............................................87 Tabela 7.4. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe

sa 11 zakrivljenih lopatica, debljine "h" ...........................................88 Tabela 8.1. Vlastite frekvencije [Hz] za pojednostavljeni kružni disk sa

lopaticama.........................................................................................91 Tabela 8.2. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe

sa ravnim lopaticama ........................................................................93 Tabela 8.3. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe

sa zakrivljenim lopaticama ...............................................................94 Tabela 8.4. Vlastite frekvencije [Hz] za pojednostavljeni model diska

sa zakrivljenim lopaticama za različite radijuse zakrivljenosti ........96 Tabela 8.5. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe

sa 5 ravnih lopatica različitih nagiba u odnosu na disk radnog kola ...................................................................................................98

Tabela 8.6. Vlastite frekvencije [Hz] za pojednostavljeni model diska sa 11 zakrivljenih lopatica u zavisnosti od visine lopatica ...............99

IX


SPISAK KORIŠTENIH OZNAKA I SIMBOLA a = trenutno ubrzanje amn = numerička konstanta apk = maksimalno ubrzanje A = integraciona konstanta B = integraciona konstanta c = konstanta c = matrica prigušenja Cω = konstanta promjene vlastite frekvencije zavisno od materijala Cf = sila inercije d = prečnik kuglice kugličnog ležaja D = savojna krutost E = Youngov modul elastičnosti Ek = kinetička energija Ep = potencijalna energija f = frekvencija fi = i-ta vlastita frekvencija F = sila F = vektor sila G = modul smicanja h = debljina ploče I = moment inercije k = krutost k = matrica krutosti L = diferencijalni operator L = dužina m = broj nodalnih prečnika m = matrica masa n = broj nodalnih kružnica R = rad spoljnih sila r = radijus r1 = unutrašnji prečnik kotrljajnog ležaja r2 = vanjski prečnik kotrljajnog ležaja Ri = rezidual t = vrijeme u = translacija u smjeru x-ose v = tangencijalna komponenta vektora pomjeranja v = translacija u smjeru y-ose v = trenutna brzina vpk = maksimalna brzina w = funkcija dinamički deformisane površine ploče w = radijalna komponenta vektora pomjeranja w = translacija u smjeru z-ose W = pretpostavljena funkcija dinamički deformisane površine ploče x = pomjeranje X = amplituda pomjeranja Xpp = maksimalno pomjeranje Ym = Besselova funkcija druge vrste z = broj kuglica u kugličnom ležaju

X


= vektor generalisanih pomjeranja q = vektor generalisanih brzina q& = vektor generalisanih ubrzanja q&& = Besselova funkcija prve vrste mℑ [ ] nnH ×)(λ = matrica dinamičke krutosti ε = deformacija γ = deformacija δ = deformacija kuglice kugličnog ležaja Ω = frekvencija poremećajne sile ∆ = Laplaceov operator π = Ludolfov broj σ = naprezanje σ = pomak vlastite vrijednosti ν = Poissonov koeficijent ρ = specifična masa ϕ = ugao α = ugao θ = ugao λ = vlastita vrijednost δ = vektor pomjeranja ω = vlastita frekvencija ωij = vlastita frekvencija sa i nodalnih prečnika i j nodalnih kružnica σr = radijalna komponenta naprezanja δst = statički ugib σt = tangencijalna komponenta naprezanja [C] = matrica prigušenja [K] = matrica krutosti [M] = matrica masa 2πf = kružna frekvencija

XI

1. Uvod

1. UVOD Proizvodni program preduzeća "Pobjeda" Tešanj obuhvata i centrifugalne pumpe koje se koriste u rashladnim sistemima automobila. U eksploataciji centrifugalnih pumpi javljaju se vibracije čiji su uzroci nedovoljno istraženi. Uzroci neželjenih vibracija su različitog porijekla, a najčešćei su debalans rotirajućih elemenata ili kavitacija. Razvoj savremenih CAD metoda i software-a za inženjersku analizu konstrukcija omogućava da se izvrši detaljna analiza dinamičkih karakteristika čak i najsloženijih mašinskih elemenata i sklopova, pa tako i centrifugalnih pumpi, koje su specifične zbog složene geometrije. Ovo istraživanje je usmjereno na identifikaciju vibracionih karakteristika i mogućih uzroka pojave neželjenih vibracija u eksploataciji centrifugalne pumpe koja se koristi u sistemima za hlađenje automobilskih motora. Tendencije u savremenoj automobilskoj industriji su povećanje čvrstoće, eksploatacionih karakteristika i trajnosti dijelova, uz istovremeno smanjenje mase i troškova izrade. S obzirom da se zbog toga uvode novi materijali, potrebno je ispitati ponašanje ugrađenih materijala ne samo statički nego i dinamički, odnosno sa stanovišta vibracija. Uzroci vibracija centrifugalnih pumpi se mogu podijeliti na mehaničke, hidrauličke i ostale. Mehanički uzroci su obično stohastičke prirode i javljaju se usljed grešaka pri proizvodnji, te nesavršenosti materijala i ugrađenih komponenti. Hidraulički uzroci su posebno interesantni i nedovoljno istraženi, te će se ovo istraživanje usmjeriti na detaljniju analizu vibracija pumpi usljed hidrauličkih uzroka.

1.1. Cilj rada Ciljevi ovog rada su sljedeći: • Rasvjetljavanje mogućih uzroka pojave vibracija u pumpi. • Ispitivanje uticaja vrste materijala radnog kola na dinamičke karakteristike. • Definisanje smjernica i preporuka za dizajn automobilskih vodenih pumpi sa

najpovoljnijim vibracionim karakteristikama u eksploataciji.

1.2. Struktura rada Ovaj rad se sastoji iz 12 poglavlja. Prvo poglavlje je uvod sa opisom ciljeva rada, strukturom rada i postavljene hipoteze. Drugo poglavlje daje pregled dosadašnjih istraživanja na polju vibracija centrifugalnih pumpi, te detaljnu klasifikaciju uzroka vibracija. U trećem poglavlju je opisana izabrana reprezentativna pumpa koja je predmet istraživanja, te su opisane vibracije pumpe kao sklopa. Obzirom da se pumpa sastoji od pokretnih i nepokretnih dijelova, u ovom poglavlju su izračunate vlastite frekvencije i oblici oscilovanja pokretnih dijelova pumpe. Dobijeni rezultati pokazali

1

1. Uvod

su da se te frekvencije ne poklapaju niti sa jednom od frekvencija poznatih poremećajnih sila, te je zaključeno da se dalje istraživanje fokusira na ponašanje samog radnog kola pumpe. Četvrto poglavlje opisuje teoretske postavke vibracija okruglih ploča, budući da se radno kolo ponaša u određenoj mjeri kao okrugla ploča. Dati su načini izvođenja diferencijalnih jednačina koje opisuju vibracije ploča i navedeni su načini rješavanja tih jednačina. Takođe je opisano i uzimanje u obzir dejstva centrifugalne sile jer se radi o rotacionoj strukturi. Detaljno su opisani oblici oscilovanja okruglih ploča, što predstavlja važan osnov za dalju analizu, jer se pokazalo da identifikacija oblika oscilovanja radnog kola centrifugalnih pumpi nije nimalo jednostavna, i neophodno je poznavanje oblika oscilovanja i pojmova nodalnih prečnika i nodalnih kružnica, koje su opisane u ovom poglavlju. Peto poglavlje opisuje primjenu metode konačnih elemenata u proračunu vibracija. U ovom poglavlju izvršen je i proračun da bi se izvršio pravilan izbor tipa i veličine konačnih elemenata za dalju analizu. U šestom poglavlju obrađen je uticaj materijala od kojeg se izrađuje radno kolo na vibracije. Zavisnost je izvedena i analitički i numerički, metodom konačnih elemenata. Rezultati su se poklopili sa odstupanjem od ± 1 %. U sedmom poglavlju je metodom konačnih elemenata izvršen proračun vlastitih frekvencija i oblika oscilovanja za okrugle diskove i za radno kolo centrifugalne pumpe za različite debljine diska. Vrijednosti dobijene proračunom su prikazane odgovarajućim dijagramima. U osmom poglavlju je metodom konačnih elemenata izvršen proračun vlastitih frekvencija i oblika oscilovanja za radno kolo centrifugalne pumpe sa različitim oblicima lopatica, te sa različitim brojem lopatica. Vrijednosti dobijene proračunom su prikazane odgovarajućim dijagramima. Deveto poglavlje sadrži zaključna razmatranja, deseto daje nedostatke provedenih istraživanja, a jedanaesto pravce mogućih daljih istraživanja.

1.3. Osnovna hipoteza Osnovna hipoteza ovog rada jeste da se modifikacijom geometrijskih karakteristika radnog kola centrifugalne pumpe mogu kompenzirati promjene vibracionih karakteristika usljed promjene materijala koji se koristi za izradu radnog kola.

2

2. Pregled dosadašnjih istraživanja vibracija pumpi

2. PREGLED DOSADAŠNJIH ISTRAŽIVANJA VIBRACIJA PUMPI

2.1. Uzroci vibracija pumpi

Jedan od najčešćih problema kod novih konstrukcija pumpi su vibracije [30]. Ti su problemi posebno izraženi ako je pumpa postavljena vertikalno, ako je brzina pumpe promjenljiva ili ako pumpa mora raditi ravnomjerno sa protokom ispod projektovanog. Problemi vibracija koji se u literaturi najčešće pominju su radijalne vibracije vratila, odnosno rotordinamičko kretanje okomito na osu pumpe. Međutim, problematične vibracije se mogu pojaviti i u stacionarnim dijelovima pumpe, posebno kod vertikalnih pumpi. Pored radijalnih, mogu se javiti i aksijalne i torzione vibracije. Criqui [17] tvrdi da je veliki broj problema vibracija kod rotirajućih mašina uzrokovan malim brojem uzroka, od kojih su najčešći debalans, nesaosnost i rezonanca. Međutim, praćenje rada rotacionih mašina često dovodi do zaključka da se radi o vibracijama, a u stvari se radi o nekim sasvim drugim vanjskim poremećajima. Treba uvijek imati na umu da vibracije same po sebi ne predstavljaju problem, nego su one "simptom", odnosno indikator da postoji neki problem, pa samim tim i rješenje. Mjeri se odziv mašine na dinamičku silu, a ne sama sila. Osim toga, treba voditi računa o tome da se vibracije gotovo uvijek mjere indirektno, tako da su rezultati mjerenja podložniji vanjskim uticajima i manje su precizni.

2.1.1. Klasifikacija uzroka vibracija pumpi Detaljnu klasifikaciju uzroka vibracija centrifugalnih pumpi dao je McNally [41]. On je sve uzroke svrstao u tri grupe: 1. Mehanički uzroci vibracija 2. Hidraulički uzroci vibracija 3. Ostali uzroci Japikse, Furst i Marcher [30] su dali nekoliko osnovnih uzroka vibracija centrifugalnih pumpi, bez stroge klasifikacije na mehaničke i hidrauličke uzroke. Data je podjela uzroka vibracija u zavisnosti od odnosa frekvencije poremećajne sile i ugaone brzine pumpe: Tabela 2.1. Uzroci vibracija u zavisnosti od frekvencije [30] Odnos frekvencije i ugaone brzine Uzrok 0.1 zaustavljanje toka u difuzoru 0.8 zaustavljanje toka u radnom kolu 1 debalans 1-2 nesaosnost broj lopatica zazor između lopatice i kućišta Na statičku strukturu centrifugalnih pumpi bitan uticaj ima rezonantno pojačanje normalnih poremećajnih sila [29]. Uobičajene poremećajne sile se sastoje od:

3


- zaostalog debalansa - zaostale nesaosnosti - broja lopatica - postrojenja u neposrednoj blizini - električnih i hidrauličkih uzroka. Pored uobičajenih problema koji se javljaju kod turbomašina, kao što su debalans ili nesaosnost, pumpe imaju sebi svojstven set problema [16]. Neki od tih problema se javljaju zbog prirode fluida koji se pumpa, kao što je kavitacija i hidraulička opterećenja. Drugi problemi, kao što su rezonanca ili kritične brzine mogu teoretski biti slične onima kod drugih vrsta turbomašina, iako se mogu manifestovati na neočekivane načine u pumpama. Debalans ili nesaosnost su jako dobro i detaljno obrađeni u literaturi, tako da o njima ovdje neće biti riječi. Naglasak će se staviti na probleme koji su jedinstveni za centrifugalne pumpe ili mogu predstavljati teškoće pri analizi. U tabeli 2.2. navedeni su ti problemi. Tabela 2.2. Problemi vibracija tipični za pumpe [16] 1. Frekvencija prolaza lopatica Hidrauličko opterećenje vezano za broj lopatica

radnog kola 2. Kavitacija Štetni fenomen izazvan niskim pritiskom

pumpanja 3. Recirkulacija Povratni tok unutar radnog kola pri niskom

protoku može dovesti do kavitacije i vibracija 4. Rezonanca Čest problem na vertikalnim pumpama ali rijedak

na horizontalnim pumpama 5. Subsinhrona nestabilnost Problem koji se javlja rijetko ali se teško rješava Bolleter [8] jasno razdavaja sinhrone, subsinhrone i nadsinhrone vibracije pumpi. Uzroci sinhronih vibracija (sa frekvencijom približno jednakom ugaonoj brzini pumpe) su: - Mehanički debalans, - Hidraulični debalans (odstupanje od rotacione simetrije toka fluida kroz radno

kolo), - Zakrivljenost vratila (izraženije kod jednostepenih nego kod višestepenih pumpi;

Kod višestepenih pumpi ima više oslonaca, a kod jednostepene pumpe je vratilo oslonjeno kao konzola),

- Odstupanja i nesavršenost oblika i dimenzija komponenti pumpe. Od nabrojanih uzroka, dominantan je hidraulički debalans, koji je prema provedenim istraživanjima [8] čak 3 do 5 puta veći od ostalih uzroka. Subsinhrone vibracije (frekvencija manja od ugaone brzine) se javljaju usljed: - Nestabilnosti rotora, - Hidrauličkih sila (isto je utvrdio i France [23]). Nadsinhrone vibracije (frekvencija veća od ugaone brzine pumpe) se javljaju usljed:

4


- Međusobnog trenja komponenti pumpe, - Nelinearnosti vratila, - Nesaosnosti vratila i pogonskog sklopa, - Uzajamnog dejstva lopatica pumpe. France [23] navodi sljedeće uzroke vibracija pumpi: - Pobuda vlastitih frekvencija rotora pumpe, - Trenje između fluida i površine lopatice pumpe, što izaziva vrtložno strujanje

(posljedica toga su subsinhrone vibracije), - Akustička rezonanca cjevovoda, - Nestabilnost ležajeva i zaptivki, - Hidrauličke poremećajne sile.

2.1.2. Hidraulički uzroci vibracija pumpi Hidraulički uzroci vibracija pumpi su [41]: - Rad pumpe brzinama različitim od BEP (Tačka najvećeg stepena iskorištenja) - Isparavanje fluida - Brzina rotacije radnog kola preblizu kritičnoj brzini - Unutrašnja recirkulacija - Ulazak zraka u sistem, naprimjer kroz vrtloge - Turbulencije u sistemu (nelaminarni tok fluida) - Vodeni udar Kako su pumpe hidrauličke mašine, njihovo rotordinamičko ponašanje se znatno razlikuje od ponašanja pneumatskih turbomašina, kao što su kompresori ili turbine [13]. Masa fluida koji se nalazi u hidrauličkim mašinama je značajna u poređenju sa masom rotora. Kritične brzine pumpe ispunjene fluidom se znatno razlikuju od kritičnih brzina "suhe" pumpe. Osnovni razlog za tu razliku su uski zazori ispunjeni fluidom, kod kojih se javljaju značajne sile interakcije između fluida i čvrstog tijela, kao što su dinamička krutost, prigušenje ili koeficijenti mase. Osim toga, fluid koji se nalazi u radnom kolu može proizvesti "hidraulički debalans" koji je često veći od mehaničkog debalansa. Rotori uronjeni u fluid su izloženi sprezanju fluida sa kućištem pumpe, što se zanemaruje prilikom klasičnih proračuna pumpi. Poremećajne sile u pumpi se mogu podijeliti na aksijalne i radijalne. Radijalne sile u konvencionalnim centrifugalnim pumpama se povećavaju ako protok znatno odstupa od tačke najvećeg stepena iskorištenja pumpe. Ta pojava je najizraženija kod pumpi sa jednostrukom spiralom [51]. Aksijalne sile najviše zavise od diferencijalnog pritiska pumpe. Nestabilnosti toka se mogu svrstati u dvije glavne kategorije: oni koji su vezani za nedovoljan usisni pritisak da bi se izbjegla kavitacija i oni koji se javljaju usljed neravnomjerne raspodjele pritiska pri nižim vrijednostima protoka. Kavitacija se javlja obično kada padne usisni pritisak, kada poraste temperatura fluida ili kad protok poraste iznad normalne vrijednosti.

5


Recirkulacija na ulazu i/ili izlazu pumpe se javlja kad protok padne ispod 80% od tačke najboljeg stepena iskorištenja, i tada dolazi do povećanog nivoa vibracija. R. V. Uy je detaljno obradio rotordinamičke sile koje nastaju u turbomašinama usljed toka fluida [55]. Po njemu su najvažnije sile koje se javljaju usljed isticanja fluida kroz procjep između radnog kola i izlaznog otvora. Što je taj zazor manji, destabilizirajuće sile su manje, ali se takođe smanjuju i dopuštene deformacije vratila. Veliki uticaj na dinamičku stabilnost turbomašine imaju ležajevi i zaptivači. Vrtlog koji se stvara u fluidu usljed savijenog vratila takođe izaziva destabilizirajuće radijalne sile. Chen [11] obrađuje vibracije lopatica turbine. Zaključak je da je potrebno povećati debljinu lopatica turbine, jer su iste izložene ciklički promjenljivom opterećenju, što je za nosače tipa konzole (kao što su lopatice turbine) jako nepovoljno. Inače, vibracije uzrokovane tokom fluida su detaljno obrađene od strane velikog broja autora, iako se najčešće ilustruju primjerima kao što je tok fluida oko cilindra ili mreže cilindričnih cijevi (kao kod ekranskih izmjenjivača topline u termoenergetskim postrojenjima). Tu temu su obradili Blevins [5], Pettigrew [45], Allison [1], Gossain [26], Gattulli i Ghanem [24]. Kako se radno kolo kreće unutar spirale kućišta pumpe, javljaju se reaktivne sile zbog nesimetrične statičke distribucije pritiska po periferiji radnog kola [30]. Te sile se obično predstavljaju linearnim koeficijentima, a mogu biti destabilizirajuće za rad pumpe. Osim tih reaktivnih sila, mogu se javiti i aktivne sile koje postoje nezavisno od kretanja radnog kola, tako da to kretanje ne utiče na njih. Te sile se javljaju usljed vrtložnih strujanja unutar radnog kola i usljed recirkulacije. Te sile obično imaju subsinhrone frekvencije, odnosno frekvencija im je manja od frekvencije prolaza lopatica (brzina vrtnje radnog kola puta broj lopatica). Ako pumpa ne radi dovoljno blizu tačke najvećeg stepena iskorištenja, ugao toka fluida se ne poklapa sa uglom lopatica, što dovodi do hidrauličkih udara na radno kolo. Geometrija volute i difuzora uzrokuje asimetriju toka fluida, što dovodi do pojave sila koje djeluju na radno kolo centrifugalne pumpe [33]. Za centrifugalne pumpe koje imaju manje specifične brzine karakteristično je područje u kojem se mogu javiti vibracije vratila usljed hidrodinamičkih sila ako je radna brzina dovoljno veća od prve kritične brzine [33]. Iako je u praksi često dolazilo do otkaza energetskih pumpi i pumpi visokog pritiska u hemijskoj industriji, relativno malo je istražen fenomen prepoznavanja i korekcije destruktivnih vibracija izazvanih hidrauličkim uzrocima [44]. Većina problema vibracija centrifugalnih pumpi se javlja usljed sinhronog fenomena kao što je frekvencija broja lopatica pomnoženog sa brzinom vrtnje, te frekvencija brzine vrtnje [52]. Asinhroni fenomeni, kao što su recirkulacija ili nestabilnost vratila, takođe mogu dovesti do neželjenih vibracija. Ti problemi se teže otkrivaju jer mehanizmi pobude vibracija u tim slučajevima nisu lako uočljivi.

6


Black je 1979. uporedio pumpu sa kliznim ležajem [3]. Fluid koji se pumpa ima relativno nizak viskozitet u poređenju sa uljem za podmazivanje, a zazori kod pumpi su znatno manji od onih kod kliznih ležajeva. Rejnoldsov broj toka fluida u zazorima pumpi je veoma visok, što dovodi do turbulencije fluida. To znatno povećava efektivnu viskoznost. U centrifugalnim pumpama unutrašnji zazori istovremeno i povećavaju i prigušuju kritične brzine i poboljšavaju margine stabilnosti. Samo u posebnim slučajevima ti zazori postaju destabilizirajući faktor. Pulsacije pritiska i vibracije pumpi sa frekvencijom jednakoj broju lopatica radnog kola pomnoženim brzinom vrtnje rotora predstavljaju jedan od najvažnijih problema u radu pumpe [47]. Do danas nisu poznate metode za pouzdano predviđanje amplituda pulsacije pritiska niti mehanizmi kojima se te pulsacije pretvaraju u vibracije pumpi. Ti problemi se zasada rješavaju isključivo eksperimentalnim putem. Za centrifugalne pumpe, međutim, nisu karakteristične velike pulsacije pritiska, kao što je to slučaj sa drugim vrstama pumpi – zupčaste, krilne, klipne, zavojne pumpe [56, 57]. Čak se i odgovarajućom konstrukcijom zupčaste pumpe može izbjeći ova pojava – ako poprečni presjek nije cilindričan nego zavojni, te pulsacije se mogu znatno smanjiti. Može se zaključiti da je konstrukcija centrifugalne pumpe takva da je protok prilično homogen i nema pulsacija koje bi dovele do vibracija pumpe. Inače, te pulsacije imaju bitan uticaj na vibracije cjevovoda kojim se fluid dovodi ili odvodi iz pumpe. Mnogo važniji problem kod centrifugalnih pumpi je kavitacija Vjerovatno najčešći uzrok vibracija u centrifugalnim pumpama dolazi od sila koje uzrokuje hidraulika fluida [16]. Tu je poznato kao "prolaz lopatica", jer frekvencija vibracija odgovara proizvodu brzine i broja lopatica radnog kola pumpe. Te vibracije generiše trenutno parcijalno blokiranje kanala u radnom kolu stacionarnim difuzorom ili volutom. To blokiranje usporava tok i proizvodi radijalnu silu na vratilu. Utvrđeno je da je uzrok tih vibracija jedan od dva faktora: rad sa protokom različitim od konstruktivnog ili nedovoljan zazor između radnog kola i volute. Prije nego što se pokuša utvrditi stvarni uzrok problema vibracija pumpe, treba prvo identificirati porijeklo frekvencija u spektru. I površan pregled spektra nekad može pokazati da se ekstremne vrijednosti na spektru javljaju na frekvenciji jednakoj proizvodu brzine vrtnje i broja lopatica radnog kola. Međutim, kod pumpi koje imaju lopatice i po difuzoru, određivanje frekvencije prolaza lopatica nije jednostavno i očigledno. Potrebno je koristiti grafički ili numerički metod određivanja frekvencije, koji se zasnivaju na poređenju uglova između lopatica.

2.1.3. Kavitacija / recirkulacija Kavitacija se javlja kada pritisak fluida koji se pumpa padne ispod tačke isparavanja fluida. Često se minimalni pritisak javlja neposredno iza ruba lopatice radnog kola gdje tok fluida ubrzava. Kad se to desi, u fluidu koji teče se javljaju mjehurići pare, koji sami po sebi ne predstavljaju problem. Štetno dejstvo tih mjehurića se očituje kada oni budu uvučeni u područje višeg pritiska u pumpi, obično oko sredine lopatice, gdje lokalni pritisak raste iznad tačke isparavanja fluida. Tada se dešava implozija tih mjehurića, pri čemu se javljaju ekstremno veliki pritisci u tačkama kolapsa mjehurića.

7


Analiza mehanike fluida pokazuje da je pritisak u mjehuriću obrnuto proporcionalna trećem stepenu radijusa mjehurića. Na taj način, kada radijus mjehurića padne na nulu, u okolnom fluidu se javlja udarni talas koji može dostići desetine MPa. Već i vizuelni pregled lopatica oštećenih kavitacijom pokazuje da je pritisak dovoljno visok da sa lakoćom skida čestice materijala i sa najtvrđih materijala.

Normalni protok Protok sarecirkulacijom

Slika 2.1. Recirkulacija u radnom kolu

Recirkulacija je distorzija toka fluida u pumpi koja se javlja kad dinamički pritisak koji proizvodi pumpa ne prelazi statički pritisak. Kao rezultat toga, tok fluida u kanalima lopatica mijenja smjer. Taj fenomen se može javiti pri niskim vrijednostima protoka i može izazvati kavitaciju čak i kad je pritisak koji proizvodi pumpa daleko ispod projektovanog pritiska pume. Slika 2.1. pokazuje normalan tok i tok fluida sa recirkulacijom u radnom kolu. Recirkulacijska polja se mogu javiti i u ulaznom i u izlaznom kanalu pumpe. Simptomi kavitacijom izazvanih vibracija pumpe se ogledaju frekvencijom prolaza lopatica sa svojim harmonicima, te vibracijama širokog spektra sa stohastičkom raspodjelom. Kad postoji frekvencija prolaza lopatica, viši harmonici (dvostruka, trostruka frekvencija) mogu biti prilično jaki, ili čak dominantni. Stohastičke frekvencije se mogu javiti u rasponu od 250 Hz do 1500 Hz. Kad se mjere na pumpi, te frekvencije nemaju velike amplitude, tako da se teško uočavaju na spektru, zato što vratilo pumpe ili kućište ležaja ne reaguju bitno na više frekvencije. Te stohastičke, visoke frekvencije se u spektru uočavaju kao vibracije širokog pojasa, sa malom amplitudom. Međutim, kad se mjerenje vibracija vrši na cjevovodu, visoke stohastičke frekvencije mogu dominirati spektrom. Razlog za to je geometrija cjevovoda, za koju su dominantni oblici oscilovanja oni sa višim frekvencijama. Wowk [58] navodi da se frekvencije vibracija izazvanih kavitacijom kreću od 3000 do 5000 Hz.

8


2.1.4. Mehanički uzroci vibracija pumpi Mehanički uzroci vibracija obuhvataju [41]: - Debalans rotirajućih komponenti (oštećeni radna kola, loše postavljeni ležajevi) - Savijeno ili uvrnuto vratilo (male deformacije) - Mimoilaženje osa pumpe i pogonskog člana - Deformacije cjevovoda (usljed konstrukcije ili temperature) - Nedovoljno velika masa postolja pumpe - Temperaturno širenje komponenti, posebno vratila - Trenje između dijelova - Istrošeni ili olabavljeni ležajevi (u eksploataciji) - Olabavljene navrtke za spoj pumpe i postolja - Olabavljeni dijelovi pumpe - Taloženje materijala iz fluida na rotirajuće komponente pumpe - Oštećeni dijelovi pumpe

2.1.5. Ostali uzroci vibracija pumpi Ostali uzroci, koji se ne mogu svrstati ni u hidrauličke ni u mehaničke, su: - Harmonijske vibracije susjednih komponenti pumpe - Rad pumpe kritičnom brzinom - Začepljenje maziva na zaptivki (posebno kod pumpanja gasa ili suhe tvari) - Propuštanje fluida kroz zaptivku.

2.1.6. Identifikacija uzroka vibracija pumpi

0

1

2

3

0 1x 2x 3x 4x 5x

mils(a)

0 1x 2x 3x 4x 5x

-50

-30

-10

10

dB(b)

Slika 2.2. Određivanje vlastitih frekvencija, približno, podizanjem vibracija

niskog nivoa na donjoj granici šuma iz ukupnog signala (a) Linearni dijagram

(b) Logaritamski ili dB dijagram, koji pokazuje više detalja. Ispitivanje vibracija pumpi bi uvijek trebalo početi sa mjerenjem slobodnih vibracija, barem na kućištima ležajeva, te na vratilu, ako je vratilo pristupačno. Kod identifikacije uzroka problema, treba obezbijediti i nefiltrirana i filtrirana očitanja, sa filtriranjem najmanje za frekvencije jednake jednostrukoj, dvostrukoj brzini vrtnje i

9


frekvenciji prolaza lopatica (brzina vrtnje puta broj lopatica). Poželjno je da se dobije cijeli spektar frekvencija u rasponu od 0 do 400 Hz za pumpe koje se okreću sa 3600 o/min ili manje, i od 0 do 800 Hz za pumpe većih brzina. U svakom slučaju, poželjno je prikazati vibracije logaritamski, tj. u dB, u rasponu od 0 do 60 ili od 0 do 80 dB. To omogućuje bolji uvid u "donju granicu šuma" u spektru, ekstremne vrijednosti funkcije, u kojima bi mogle postojati vlastite frekvencije. Bez obzira da li se na donjoj granici šuma mogu uočiti ekstremne vrijednosti, ako oprema za modalnu analizu (dvokanalni analizator spektra, davač vibracija i impulsni čekić sa davačem sile) nije na raspolaganju, moguće je pažljivo udariti na kućište ležaja pumpe drvenom ili bronzanom cjevčicom i posmatrati spektar za vrijeme udarca. Važno je da se ne održava konstantna kadenca (spuštanje tona), jer to može dati lažne ekstremne vrijednosti, kao na slici 2.3. Većina savremenih tehnika za ispitivanje vibracija se zasniva na nekoj vrsti "analize odziva", odnosno poređenje dijagrama vibracija u odnosu na frekvenciju dobijenih pod reprezentativnim radnim uslovima sa dijagramima dobijenim na tipičnoj ispravnoj mašini (ili možda na toj, problematičnoj mašini dok je bila ispravna). Da li je pumpa ispravna ili ima neki problem, to se određuje poređenjem stvarnih nivoa vibracija sa maksimalnim nivoima koji se mogu očekivati na ključnim frekvencijama na koje utiču određene sile unutar pumpe. U nekim slučajevima ekstremne vrijednosti će se javiti samo u slučaju problema sa komponentama, npr. pikovi na niskim frekvencijama usljed kavitacije. U drugim slučajevima, ekstremna vrijednost na datoj frekvenciji se uvijek očekuje, ali njen nivo pokazuje da li neka sila postaje prevelika. To je slučaj, naprimjer, sa ekstremnim vrijednostima koje se javljaju na frekvenciji jednakoj brzini vrtnje, usljed zaostalog debalansa, ili onim koje se javljaju pri frekvenciji prolaza lopatica koje se javljaju usljed varijacija izlaznog pritiska na jezičku volute. Ispitivanje mašina s ciljem poređenja nivoa vibracija sa utvrđenim kriterijima, a prema konzistentnom, repetitivnom vremenskom rasporedu, naziva se "praćenje stanja". Ovaj pristup analizi odziva vibracija se može formalizirati (ili čak kompjuterizirati) da bi se ekstrapoliralo trenutno ponašanje mašine i da bi se projektovalo kada će se pojedine komponente istrošiti ili će im trebati podešavanje. To omogućuje preventivno održavanje. Da bi preventivno održavanje bilo efikasno, ulazni podaci moraju obuhvatati ne samo podatke o vibracijama, nego i podatke o učinku mašine ili buci, a poželjno je obezbijediti i druge dijagnostičke informacije, kao što su temperature ležajeva ili analiza čestica koje nastaju habanjem i koje se odnose sredstvom za podmazivanje. Kod identifikacije uzroka vibracija, mogu se koristiti generalizirani grafikoni poznatih simptoma s ciljem rješavanja tipičnih ili jednostavnih problema. Ipak, ne treba se pretjerano oslanjati na te liste problema, posebno ako njihova primjena ne vodi direktno do rješenja problema. Perzistentni problemi vibracija pumpi se javljaju obično usljed neočekivane kombinacije faktora, od kojih su neki specifični za određeni pumpni sistem, kao što su mehaničke ili akustične rezonance cjevovoda, ili nesaosnost pumpe u pogonu usljed temperaturnih distorzija cjevovoda ili postolja.

10


t

F

5 ms

500#(a)

f

F10#

(b)

15000 o/min

f

F(c)

Slika 2.3. Utvrđivanje vlastite frekvencije udaranjem kućišta ležaja pumpe (a)

Sila u odnosu na vrijeme za tipičan udarac (b) Spektar frekvencija višestrukih slučajnih udaraca

(c) Efekat pravilno raspoređenih ili dvostrukih udaraca.

2.2. Posljedice vibracija pumpi Najmanje šest komponenti može biti ozbiljno ugroženo vibracijama [41]: - Vijek trajanja mehaničkog zaptivača je direktno vezan za kretanje vratila.

Vibracije mogu dovesti do intenzivnog habanja zaptivača, što kasnije samo povećava amplitudu vibracija.

- Zaptivke su osjetljive na radijalno kretanje vratila. To dovodi do isticanja fluida, ali i do habanja vratila ili ležaja. Pri tome se razvija toplota koja dovodi do drugih negativnih pojava.

- Ležajevi su konstruisani da podnose radijalno i aksijalno opterećenje, ali nisu konstruisani da podnose vibracije koje mogu dovesti do rupičenja staza ležajeva.

- Kritične dimenzije i tolerancije, ako što su zazor ležaja i radnog kola jako zavise od vibracija. Unutrašnji zazori ležajeva se mjere u mikrometrima [µm].

11


- Komponente pumpe se mogu oštetiti vibracijama; primjeri tih komponenti su klizni ležajevi, zaptivke i radna kola.

- Zaptivke na ležajevima su jako osjetljive na radijalno kretanje vratila. Kako imaju uske tolerancije, i vrlo mala oštećenja dovode do prijevremenog trošenja i otkazivanja.

- Navrtke kojima su pričvršćeni pumpa i motor se usljed vibracija mogu olabaviti.

2.2.1. Rezonanca Za razliku od turbina i kompresora, problemi rezonance kod horizontalnih pumpi su prilično rijetki. Pumpe rade manjim brzinama, a prigušenje i krutost su veći usljed prisustva fluida, koji prigušuje vibracije i pomjera rezonancu izvan radnog područja pumpe. Mnogi proizvođači pumpi tvrde da njihove pumpe nemaju kritičnu brzinu koja se može postići. Ipak, ima slučajeva kad se rezonanca može pojaviti i čak uzrokovati ozbiljne probleme. Problemi rezonance su više vezani za drugi, nego za prvi glavni oblik oscilovanja. Kod prvog glavnog oblika oscilovanja, kretanje vratila je najveće u centru vratila, gdje je i prigušenje najveće. Međutim, za drugi oblik oscilovanja je karakteristično da u centru nema kretanja (tačka pregiba), tako da eventualne poremećajne sile mogu izazvati rezonancu koju zaptivači ne prigušuju. Najčešća poremećajna sila kod turbomašina je mehanički debalans. Kako većina pumpi radi na manje od 3600 min-1, brzina vrtnje ne dostiže kritičnu brzinu, koja je opet povišena usljed krutosti ležajeva i zaptivača. Problemi se javljaju samo kod jako velikih pumpi koje rade na višim brzinama. Drugi važan izvor poremećajnih sila je frekvencija prolaza lopatica. Taj problem je čest i kod manjih pumpi i veoma se teško otkriva. Dok su problemi rezonance kod horizontalnih pumpi rijetki, isto se ne može reći i za vertikalne pumpe. Najčešći oblik oscilovanja pri kojem se javlja rezonanca je konzolna rezonanca. Problem strukturalnih vibracija pumpi se teško rješava, jer za razliku od lako rješivog problema rezonance vratila, rezonanca cijelog pumpnog sistema se teško prigušuje. Moguća rješenja su dodavanje mase na kućište pumpe, ili instalacija dinamičkog apsorbera. Dinamički apsorber mijenja dinamičku karakteristiku sistema, tako da sistem dobija još jedan stepen slobode kretanja. Za probleme čiji se uzroci teško identificiraju, jedino rješenje je precizno balansiranje sistema, odnosno eliminacija poremećajne sile.

2.3. Metode mjerenja vibracija Vibracije su normalna pojava kod mašina. Ako su vibracije unutar određenih granica, onda su one znak da mašina normalno funkcioniše. Da bi se ustanovilo da li su vibracije unutar dopuštenih granica, potrebno je dijagnostičko ispitivanje. Kad se u praksi pojave problemi sa vibracijama, vrši se ispitivanje vibracija poredeći amplitudu i frekvenciju dobijenu mjerenjem sa normiranim vrijednostima. Proizvođači pumpi su za svoje potrebe razvijali vlastite metode i tehnike ispitivanja.

12


2.3.1. Parametri vibracija Vibracije se mogu mjeriti preko raznih veličina: frekvencija, amplituda, brzina, ubrzanje, energija, emisija zvuka, ugib [41]. Najčešće se vibracije mjere preko ubrzanja. Problem kod takvog mjerenja je, ako se ne zna frekvencija, očitanja ubrzanja nisu od velike koristi. Zbog toga se obično mjeri prosječna vrijednost svih frekvencija, a pažnja se poklanja onima koje imaju vrijednost dvostruko veću od prosjeka. Ako se ispituju samo vibracije ležajeva, koriste se filteri kako bi se dobile samo interesantne frekvencije (naprimjer između 55 i 2500 Hz). Nažalost, vrlo je malo podataka o oblicima oscilovanja mehaničkih zaptivača (kao što su lavirintski zaptivači). Problem se dalje usložnjava zbog: - velikog broja različitih materijala koji se koriste za zaptivače - velikih razlika između mnogobrojnih tipova zaptivača različitih proizvođača - raspoloživosti prigušenja vibracija u tim konstrukcijama zaptivača - široke upotrebe kontrole zagađenja okoline - velikog broja različitih fluida koji okružuju zaptivač. Pojava vibracija obično znači da je pumpa počela da propada. Većina proizvođača pokušava prikupiti dovoljno podataka da bi se predvidio vijek trajanja pumpe. Logično rješenje koje se nameće je izbor adekvatnog načina održavanja kako bi se izbjegli uzroci vibracija. Mjerenje vibracija ima smisla tek ako je održavanje odgovarajuće.

Slika 2.4. Načini mjerenja odziva (a) pomjeranje (b) brzina (c) ubrzanje. Na slici 2.4. su prikazane tri osnovne forme u kojima se obično posmatraju vibracije. Važno je imati na umu da je, bez obzira na formu, brojčani rezultat mjerenja uvijek slika istog kretanja i frekvencije, odnosno istih vibracija. Pomjeranje (ukupni put koji tokom jednog ciklusa pređe komponenta koja vibrira), brzina (najveća brzina koju komponenta postigne prilikom kretanja) i ubrzanje (najveće vrijednosti ubrzanja koje

13


se očitaju na mjernom uređaju za vrijeme vibriranja komponente) su u stvari samo različiti načini gledanja na isti fenomen. Za vibracije prikazane na slici 2.4., koje predstavljaju sinusni talas konstantne frekvencije, pomjeranje x u bilo kojem trenutku je funkcija amplitude pomjeranja X i frekvencije f: x = X sin 2πft (2.1) Veličina koja se obično prati je maksimalno pomjeranje (od vrha do vrha funkcije) Xpp = 2X [mm]. Trenutna brzina je: v = dx/dt = 2πfX cos 2πft (2.2) iz čega slijedi da je maksimalna brzina [mm/s]: vpk = konstanta × ∆xpp × f (2.3) Konačno, trenutno ubrzanje je: a = dv/dt = d2x/dt2 = -(2πf)2X sin 2πft (2.4) Maksimalno ubrzanje [g] je: apk = konstanta × ∆Xpp × f 2 (2.5) Prikazane forme mjerenja daju različitu sliku kod visokofrekventnih i niskofrekventnih dijelova spektra vibracija. Za isto pomjeranje, kad se pomjeranje dešava brže (tj. sa višom frekvencijom), brzina je veća a ubrzanje je dosta veće. To se reflektuje preko kružne frekvencije 2πf u jednačini (2.2) i na kvadrat kružne frekvencije u jednačini (2.4).

2.3.2. Vremenski i frekventni domen Da bi se razumio pojam "spektra", potrebno je koristiti trodimenzionalni koordinatni sistem, čije ose prikazuju vrijeme, amplitudu i frekvenciju. Spektar je pogled (b) na koordinatni sistem i prikazuje zavisnost amplitude od frekvencije. Pogled (a) na koordinatni sistem daje krivulju zavisnosti pomjeranja (amplitude) od vremena. Za svaku frekvenciju, ta krivulja je različita. U svakom slučaju, radi se o istim podacima, kao što se vidi sa slike 2.5, samo što se podaci posmatraju sa različitih strana (u različitim domenima). Na slici 2.6 je na primjeru grede koja vibrira data ilustracija značenja frekventne funkcije. Pikovi (ekstremne vrijednosti) krivulje koja daje sliku vibracija u frekventnom domenu predstavljaju vlastite frekvencije, odnosno frekvencije pri kojima greda vibrira po jasno definisanim oblicima. Na slici su prikazana prva tri glavna oblika oscilovanja, odnosno fizički položaji koje zauzimaju tačke grede koja vibrira. Zavisno od toga u kojoj tački se vrši mjerenje, dobije se različita frekventna funkcija. Spajanjem pikova za više tačaka, dobiju se oblici oscilovanja grede. Za

14


složenije oblike, kao što je radno kolo pumpe, oblici oscilovanja nisu linije (kao na slici 2.6), nego trodimenzionalni oblici koje je teže ilustrovati na ovakav način.

(a)

(b)

Slika 2.5. Relacija između vremenske i frekventne domene

Slika 2.6. Veza između amplitude, frekvencije i glavnih oblika oscilovanja,

prikazana na primjeru vibrirajuće grede

15


2.3.3. Mjerni lanac za mjerenje vibracija Na slici 2.7. su prikazani koraci koje treba izvršiti prilikom mjerenja vibracija.

Koraci: Mjerni lanac:

Vibracije 1. Mjerni davač Parametri

2. Mjerni pretvarač Mjerena veličina

3. Pojačanje i obrada signala Rezultat mjerenja

4. Zapisivanje i analiza rezultata Ocjena rezultata

Slika 2.7. Koraci pri mjerenju vibracija

Kako se pomjeranje, brzina, ubrzanje ili sila ne mogu mjeriti direktno, prvi korak kod mjerenja je da mjerni davač registruje mehaničku veličinu. U drugom koraku vrši se pretvaranje registrovane mehaničke veličine u neki električni parametar (otpor, kapacitet, napon, struju ili induktivitet). Treći korak je potreban da bi se izvršilo pohranjivanje podataka u međumemoriju, filtriranje, pojačanje, demodulacija, integracija, dodavanje ili oduzimanje signala da bi se dobila izlazna veličina koja je direktno proporcionalna originalno mjerenoj veličini. Sljedeći korak je pohranjivanje podataka s ciljem dalje analize ili prikazivanja na odgovarajući način.

2.3.4. Osnovna oprema za mjerenje vibracija Savremena oprema za ispitivanje vibracija se prema sofisticiranosti može podijeliti na tri nivoa: 1. Ručni senzori / mjerni uređaji. Ti uređaji se sastoje od malog portabl uređaja koji

se napaja pomoću baterija, sa senzorom u obliku štapa. Senzor je obično davač brzine, koji radi tako što mjeri tok električne struje koji nastaje kretanjem između dva ugrađena elektromagneta, od kojih je jedan čvrsto a drugi fleksibilno vezan za kućište. Uređaj je obično mjerač koji se može podesiti tako da očitava samo filtrirane vibracije u određenom frekventnom opsegu (taj opseg se može proširiti tako da pokriva cijeli spektar), ili se radi o spektralnom analizatoru niske rezolucije koji može crtati približne nivoe vibracija u funkciji frekvencije. Prednost ovakvih uređaja je u tome što su prenosivi, lagani za korištenje i jeftini, a senzor je relativno lagan i robustan. Nedostaci su:

16


- Informacije o frekvencijama koje se dobiju na ovakvom uređaju nisu precizne i teško je razlučiti hidraulične sile i mehaničke rezonancije od harmonika poremećaja koji se javljaju kao multiplikatori brzine vrtnje usljed debalansa i nesaosnosti.

- Može se vršiti samo jedno po jedno mjerenje, tako da se modalna analiza ne može vršiti na osnovu tih podataka.

- Senzori brzine imaju veoma slabu preciznost izvan raspona od 600 do 10000 o/min. Zbog toga, ova vrsta opreme je korisna za utvrđivanje činjenice da li problem vibracija stvarno postoji ili ne, ali ne može dati dovoljno podataka o izvorima problema niti o načinima njihovog rješavanja.

2. Jednokanalni FFT (Fast Fourier Trasform) analizatori. Ovi uređaji pretvaraju

podatke vibracije-vrijeme u podatke vibracije-frekvencija, koji se lakše mogu interpretirati s ciljem otkrivanja potencijalnih problema. Ovakvi uređaji su kompaktni i prenosivi, iako su dosta komplikovani za podešavanje i korištenje. Mogu se koristiti sa senzorima brzine, ali se češće koriste akcelerometri, jer oni imaju pouzdan, linearni raspon (100 do milion min-1, ako su čvrsto pričvršćeni) koji je širi od onog kod senzora brzine, a savremeni akcelerometri su prilično robusni. Ako su temperature više od 70°C, ručna mjerenja pomoću akcelerometara imaju normalnu pouzdanost u rasponu od 300 do 60000 min-1. FFT može koristiti ulazni signal i sa induktivnih senzora za mjerenje pomjeranja rotirajućeg vratila relativno na neku stacionarnu tačku na kućištu pumpe. Prednost jednokanalnih FFT analizatora je u tome što se za umjerenu cijenu dobije pouzdana slika vibracija u odnosu na frekvenciju, što omogućuje da se razluče široki rasponi frekvencija hidrauličkih sila i rezonancije od relativno uskih frekvencijskih raspona mehaničkih poremećaja. Oni takođe obezbjeđuju dovoljnu rezoluciju frekvencija da bi se razlikovale male, ali važne razlike frekvencija rezonancija, mehaničkih i hidrauličkih sila. Važan nedostatak jednokanalnih FFT analizatora je u to što se ne može vršiti modalna analiza i snimanje položaja vratila u odnosu na vremenske cikluse. Takođe, ne može se dobiti vremenska zavisnost ili korelacija frekvencija između pulsacija pritiska ili vibracija u mogućim područjima izvora problema i područjima pojave simptoma. Te procedure obično igraju važnu ulogu u rješavanju problema.

3. Dvokanalni FFT analizatori. Ti uređaji dozvoljavaju da se provedu mjerenja na

dva simultana kanala, tako da se može provesti modalna analiza i korelacija. Kao i kod jednokanalnih analizatora, mogu se koristiti sve vrste senzora sa naponskim izlazom, uključujući i senzore brzine, ali se preferiraju pouzdaniji akcelerometri i neposredni davači pomjeranja.

2.3.5. Mjerna mjesta Pored pitanja o tome koja forma numerički iskazanih vibracija najbolje predstavlja unutrašnju mehaničku ispravnost mašine, takođe se postavljaju pitanja i o tome gdje i kako treba vršiti mjerenja. Ispravan izbor mjernog mjesta za postavljanje mjernih davača će se diskutovati u dvije grupe: privremeni davači koji se koriste kod identifikacije uzroka problema i permanentni davači koji se koriste za kontinuirano praćenje stanja i preventivno održavanje.

17


Kod identifikacije uzroka problema, tipična mjerna mjesta za mjerenje vibracija obuhvataju kućišta ležajeva u tri okomita pravca, obično vertikalno, horizontalno i aksijalno (tj. horizontalno u pravcu ose rotora); debele stjenke kućišta pumpe; kućišta ležajeva motora ili turbine; postolje u blizini vijaka kojima je pumpa pričvršćena na postolje; postolje pumpe; cjevovodi u blizini prirubnica pumpe i na nekoliko mjesta u cijevnim sklopovima; te bilo koji već mjereni ili izloženi dio vratila pumpe uključujući i spojku pogona. Obično su mjerenja koja nabolje reflektuju stanje pumpe ona na kućištima ležajeva i na vratilu pumpe. Ipak, najbolje bi bilo ne oslanjati se isključivo na ta očitanja. Ekonomičnost diktira da se broj permanentnih davača smanji na minimum, te iz praktičnih razloga, i oni moraju biti lako dostupni za održavanje, te ne smiju dovoditi u pitanje funkciju pumpe. Sile koje se javljaju usljed relativnih vibracija između stacionarnih i pokretnih dijelova pumpe su dominantne u blizini ležajeva. Istraživanja koja su proveli Childs [12] i Black [3] pokazuju da prstenasti zaptivači pumpi često podnose značajna opterećenja, što dovodi do zaključka da samo vibracije vratila i kućišta ležajeva nisu tako globalno reprezentativne za relativne vibracije rotora u odnosu na kućište kao što se to prije smatralo. Takođe, pouzdanost mjerenja ubrzanja ili pomjeranja vratila u odnosu na kućište ležaja dosta zavisi od konstrukcije pumpe. Ima slučajeva kada nijedno mjerenje ne daje sliku vibracija u centralnom dijelu mašine, kao što je to slučaj kod izrazito krutih uležištenja. Poređenje očitanja vibracija na kućištima i vratilu 25 identičnih aksijalnih pumpi je prikazano na slici 2.8., što pokazuje slabu korelaciju i visok stepen rasipanja.

Slika 2.8. Vibracije kućišta u odnosu na vratilo (zasnovano na podacima u radnim uslovima sa 25 pumpi identične konstrukcije i primjene)

Jednostavna analiza sa tri stepena slobode koja uzima u obzir vratilo, uljni film u ležaju i kućište ležaja kao nezavisne serijski vezane opruge, može se koristiti s ciljem kvalitativnog predstavljanja osjetljivosti vibracija ležaja i kućišta na krutost ležaja i kućišta. U takvom modelu, povećanjem krutosti kućišta ležaja tako da ona postane mnogo veća od krutosti vratila i ležaja, nivo vibracija kućišta se može spustiti do

18


nivoa vibracija postolja, bez obzira da li su vibracije rotora dovoljno velike da bi predstavljale problem. Ipak, prikazani model takođe pokazuje da ne treba zanemariti ni vibracije vratila relativno u odnosu na kućište, jer se u principu krutost ležaja može povećati i/ili krutost kućišta ležaja smanjiti da bi se smanjila očitanja sa davača pomjeranja na željeni nivo. Jedini relativno pouzdan metod izbora tipa i lokacije mjerenja koji će obezbijediti očitanja koja stvarno prikazuju vjerovatnoću oštećenja mašine, je rotordinamička analiza sa elastičnim osloncima na više nivoa da bi se nezavisno prikazale barem krutosti ležaja i kućišta ležaja. Takva analiza se, ako je potvrđena eksperimentom za sličnu klasu pumpi, može koristiti za predviđanje sila u ležajevima i iskorištenje kritičnih unutrašnjih zazora kao funkcije očitanja kućišta ležaja ili vratila/ležaja, i kao funkcija brzine i opterećenja pumpe.

2.3.6. Filtriranje Na slici 2.9 je prikazan važan aspekt o tome kako se predstavljaju i interpretiraju podaci o vibracijama. Može se uzeti u obzir cijeli frekventni spektar vibracija ili talas tokom cijelog vremenskog perioda, i to se naziva "nefiltrirane vibracije". To daje najveću moguću količinu informacija o tome koliko brzo se dio kreće, te koliko brzo se to dešava. Ako se to gleda na spektralnom analizatoru, to je najbolji mogući način očitavanja vibracija s ciljem identifikacije potencijalnih problema. Ipak, za to je potreban spektralni analizator, koji nije uvijek na raspolaganju, ili je potrebno posmatrati samo vibracije na jednoj frekvenciji, kao što je naprimjer frekvencija jednaka brzini vrtnje rotora. Signal vibracija se tada može filtrirati, tako da se uklone svi signali osim uskog pojasa u neposrednoj okolini frekvencije koja se traži. To su "filtrirane vibracije".

Slika 2.9. Format mjerenja odziva na vibracije

(a) originalni vremenski zapis (b) nefiltrirani ili ukupni frekventni odziv (c) filtrirani frekventni odziv.

19


Slika 2.10. Mjerenje efektivnih i maksimalnih frekvencija Još jedan faktor u prikazu očitanja vibracija i u pisanju specifikacija je u tome da li su podaci prikazani kao efektivne ili maksimalne veličine. Efektivna veličina je prosječna veličina vibracija tokom jednog ciklusa, zanemarujući to da li su vibracije negativne ili pozitivne u odnosu na polazno stanje (slika 2.10). Efektivna veličina je obično oko 2/3 (tačno 0,707 za sinusne vibracije jedne frekvencije) maksimalne veličine, koja može biti maksimalno pomjeranje, brzina ili ubrzanje. Definicija maksimalne vrijesnosti može biti malo nejasna, jer se može uzeti kao apsolutno najveća vrijednost vibracija u odnosu na vrijeme u periodu za koji se pumpa posmatra (što uključuje kratka "zastajkivanja" tipična za većinu pumpi i drugih mašina, a koja se obično javljaju u nepravilnim vremenskim razmacima), ili se može zasnivati na inverznom proračunu pomoću efektivne vrijednosti, tj. 1,41 x efektivna. Prvi način se naziva "stvarni maksimum" i često ga je teško definisati u praksi jer se on mijenja svaki put kad se uzimaju podaci, osim kod vrlo mirnih sistema. Drugi način se naziva "izvedeni maksimum", i dosta je konzistentniji, ali obično daje pogrešan dojam da su vrijednosti manje nego što jesu. Većina uređaja za mjerenje vibracija daje izvedeni maksimum, i većina specifikacija koristi upravo izvedeni maksimum.

2.3.7. Prikaz rezultata mjerenja Podaci dobijeni mjerenjem vibracija se mogu prikazati na različite načine: Bodeov dijagram, Nyquistov dijagram, vremenska funkcija, kaskadni dijagram, orbita, dijagram interferencije, Nicholsov dijagram, itd. Kartezijski grafikon amplitude vibracija u odnosu na frekvenciju (spektar) se ponekad može kombinovati sa grafikonom faznog pomaka (ugao zaostajanja odziva u odnosu na poremećajnu silu) u odnosu na frekvenciju, i to se onda naziva "Bodeov dijagram".

20


Slika 2.11. Bodeov dijagram

Polarni grafikon amplitude vibracija u odnosu na fazni ugao poremećaja / odziva za sve frekvencije koje se ispituju se naziva"Nyquistov dijagram".

Slika 2.12. Nyquistov dijagram

Slika 2.13. Primjer vibracione karakteristike pumpe,

sa rotorom koji struže po naslagama na zaptivaču. (a) Orbita vratila (b) Grafikon linearnih vibracija u odnosu na frekvenciju

(c) Vremenska funkcija (d) Grafikon vibracija u odnosu na frekvenciju.

21


Kartezijski grafikon amplitude vibracija u odnosu na vrijeme, slično tipičnoj slici sa osciloskopa se naziva "vremenska funkcija". Primjeri vremenskih funkcija su dati na slikama 2.13 i 2.14 Brzom Fourierovom transformacijom se vremenska funkcija pretvara u frekventni odziv.

. Slika 2.14. Brza Fourierova transformacija (FFT)

Nekad se koriste polarni grafikoni vibracija u odnosu na vrijeme u ravni okomitoj na osu vratila ("orbita").

Slika 2.15. "Kaskadni grafikon", koji pokazuje kritične brzine kompresora.

Skale frekvencija na grafikonima vibracija u odnosu na frekvenciju su najčešće linearne, imaju vrijednosti od nule do neke maksimalne vrijednosti i prikazane su na lijevoj strani slike vibracija na većini FFT analizatora. Skale amplituda mogu biti

22


linearne ili logaritamske sa bazom 10 (dB). Logaritamske skale se često koriste da bi se poboljšala rezolucija ekstremnih vrijednosti (pikova) vlastitih frekvencija. Skale amplituda obično predstavljaju stvarne vrijednosti veličine od nule do vrha krivulje. Brzine pri kojima su vibracije pumpi najveće, i koje su, na osnovu iskustva, dovoljno jake da dovedu u pitanje pouzdanost pumpe, nazivaju se "kritične brzine". Kritične brzine kod pumpi se obično određuju "kaskadnim grafikonom", koji se sastoji od spektra amplituda vibracija u odnosu na frekvencije za vrijeme ubrzanja ili usporenja između statičkog stanja i rada pri najvećoj brzini mašine, kao što je to pokazano na slici 2.15 za kompresor. Na takvim grafikonima, individualni spektri vibracija u odnosu na frekvencije pri progresivno većim brzinama se crtaju direktno jedan iza drugog, tako da 1 x brzina vrtnje, 2 x brzina vrtnje, itd. formiraju pravolinijske "nabore" na dijagramu, koji liče na vodopad ili kaskade. Kritične brzine su tada očite na tim "naborima" odnosno harmonicima brzina vrtnje, gdje spektar lokalno poprima ekstremne vrijednosti. Međutim, takav kaskadni grafikon može sadržati značajnu grešku, jer se vrijednosti krutosti k i prigušenja c ležajeva i zaptivača za vrijeme prelaznih perioda pokretanja i zaustavljanja pumpe mogu znatno razlikovati od vrijednosti pri stabilnom režimu rada pumpe. To se dešava uglavnom usljed Lomakinovog efekta.

Slika 2.16. Campbellov dijagram

Analitički ekvivalent kaskadnog grafikona je Campbellov dijagram, u kojem se crta frekvencija vibracija u odnosu na brzinu vrtnje. Budući da se najjače vibracije kod pumpi javljaju pri brzinama koje su cjelobrojni multiplikati brzine vrtnje, na dijagramu se crtaju linije koje predstavljaju te brzine vrtnje. Grafikon zavisnosti frekvencije i nodalnog prečnika, na kojem su nacrtane tačke koje predstavljaju sve poznate potencijalne poremećaje, naziva se dijagram interferencije. Tada kriterij postojanja značajne rezonance postaje: a) nodalni prečnik i nodalna kružnica mora biti manja od 30 (ako je veća od 30,

vjerovatno taj oblik oscilovanja ima kritično prigušenje), i

23


b) tačka poremećaja na datom nodalnom prečniku je bliža vlastitoj frekvenciji pri istom nodalnom prečniku nego pojas faktora sigurnosnosti (obično 10 % frekvencije poremećaja).

Ako su oba ova uslova zadovoljena, problem rezonancije se može javiti, osim ako je izvor poremećaja jako slab. Ako barem jedan od ova dva uslova nije ispunjen, teško da će doći do rezonancije, podrazumijevajući da su uzeti u obzir svi značajni izvori poremećaja.

2.4. Metode analize vibracija Analiza vibracija se često provodi da bi se odgovorilo na sljedeća pitanja: 1. Ima li vlastitih frekvencija u vratilu pumpe, kućištima ležajeva, kućištu,

cjevovodu ili nosaču pumpe koje su bliske frekvencijama pri kojima se javljaju povećane vibracije?

2. Ako postoje potencijalno problematične vlastite frekvencije, da li će one davati dodatnu pobudu pumpe, ili su bezopasne jer je prigušenje visoko ili zato što imaju nodalne tačke (tačke koje se malo ili nikako ne kreću) u blizini izvora poremećajnih sila?

3. Jesu li poremećajne sile iznad normale, bez obzira da li postoje ili ne postoje rezonantne vlastite frekvencije?

Kao dodatak eksperimentu, detaljna post-eksperimentalna numerička analiza može pomoći oko odgovora na pitanja 2 i 3, kombinujući podatke o fazi i amplitudi sa velikog broja mjernih mjesta (obično 20 do 50). Analizom pomoću MKE mogu se izbjeći nepotrebne višestruke modifikacije pumpe, tako što se modifikacije vrše na numeričkom modelu. Prednost modalne analize je u tome što se numerička analiza ne temelji na pretpostavkama nego na rezultatima mjerenja. Da bi se dobili pouzdani podaci za pomenutu analizu, potrebno je odrediti kolike vibracije se javljaju pod uticajem poznatog intenziteta vještački izazvane sile. Ako se koriste testovi koji daju odgovor samo na pitanje vibracija pumpe uzrokovanih unutrašnjim silama u pumpi, na kraju iz tih rezultata nije moguće razdvojiti vibracije koje se javljaju usljed rezonancije od vibracija koje uzrokuju poremećajne unutrašnje sile u pumpi, kao što je debalans. Metode koje se koriste za ispitivanje turbina i kompresora (nanošenjem poznatog debalansa) ne daju dobre rezultate kod pumpi, jer se vlastite frekvencije previše mijenjaju sa promjenom uslova rada pumpe. Oprema za ispitivanje pomenutom metodom se sastoji od troosnih akcelerometara postavljenih na raznim lokacijama pumpe, čekića sa dinamometrom za apliciranje udarne sile, FFT analizatora sa najmanje 2 kanala te od računara sa softverom za modalnu analizu. Važno je napomenuti da se testiranje vrši dok pumpa radi, jer zbog Lomakinovog efekta [36] krutost pumpe nije ista dok pumpa radi i dok miruje. To je posebno izraženo kod pumpi sa fleksibilnijim vratilom.

24


Krutost i prigušenje prstenastog zaptivača se obezbjeđuje djelimično preko uljnog filma i efekta hidrodinamičkog klina. Međutim, zbog visokog odnosa aksijalnog prema redijalnom protoku u prstenastim tečnim zaptivačima u odnosu na ležajeve, mogu se razviti velike sile u uljnom prstenu usljed radijalno promjenljivog pada Bernulijevog pritiska koji raste sa povećanjem ekscentriciteta rotora. Ta pojava je poznata kao Lomakinov efekat i predstavlja najveći izvor krutosti i prigušenja u prstenastim zaptivačima pumpe. Marscher [30] ilustruje Lomakinov efekat uporednim dijagramom na kojem su prikazane vibracije pumpe sa i bez vode. Pumpa ispunjena vodom ima drugu vlastitu frekvenciju skoro tri puta veću od prve, dok "suha" pumpa ima prvu vlastitu frekvenciju za 50% veću od druge. Lomakinov efekat je u principu pozitivan, jer smanjuje osjetljivost rotora na vibracije, ali može izazvati probleme tako što zazori oko rotora moraju biti širi. Taj problem se rješava konstruktivno, tako što se povećava prečnik vratila.

2.4.1. Rotordinamička analiza Rotordinamička analiza je jedan od aspekta dinamičke analize konstrukcija, koji se odnosi na rotore (vratila) i ležajeve. Osim rotora, dinamička analiza treba da obuhvati i vibracije kućišta i oslonca, kao i radnog kola, zupčanika i drugih dijelova pumpe.

F(t)

m

ck

Slika 2.17. Pojednostavljeni rotordinamički model Na slici 2.17 je prikazan pojednostavljeni model koji se obično koristi kod rotordinamičke analize. Rotor je predstavljen kao masa m i svaki ležaj ima krutost k i koeficijent prigušenja c. Polazi se od sljedećih pretpostavki: 1. Linearni koeficijenti ležajeva, koji ostaju konstantni sa ugibom rotora. To može

predstavljati znatnu grešku za velike orbite rotora. 2. Linearni, monolitni oslonci ležajeva. 3. Savršeno uklapanje radnog kola i rukavca, osim kad se uzima najgori slučaj

debalansa. 4. Ako se koristi elastično sprezanje, koeficijenti sprezanja vratila su zanemarljivi

kod glavnih oblika oscilovanja radijalnog ugiba i savijanja vratila, sa konačnom krutošću samo kod torzije.

5. Pretpostavlja se da nema povratnog dejstva između vibracija i rezultujućih reaktivnih sila, osim kod analize stabilnosti.

25


Strukturalna dinamika se nadovezuje na linearnu elastično-statičku analizu, i obično se izvodi pojednostavljenim formulama kao što su one koje je dao Blevins [6] ili koristeći MKE programe opšte namjene. Rotordinamička analiza zahtijeva nešto više specijaliziran kompjuterski program koji uzima u obzir efekte kao što su: 1. Trodimenzionalna krutost i prigušenje u ležajevima, radnim kolima i zaptivačima

kao funkcije brzine i opterećenja, 2. Sile djelovanja fluida na radno kolo i sile za poprečni balans, i 3. Žiroskopski efekat. Dokazano je da se takva specijalizirana analiza najefikasnije provodi metodom koja se bazira na transferu matrica, kao što su detaljno opisali Gunter i Li [27]. Metod transfera matrica se sastoji od modeliranja sistema rotora kao niza štapova i tačaka sa matematički ispravnom krutošću, prigušenjem i inercijom. Rješenje podrazumijeva numeričko rješavanje sistema diferencijalnih jednačina koje izražavaju odnos pojedinih ugiba i sila koje djeluju na model. U matričnom obliku, ta jednačina glasi:

δδδ kcmF ++= &&& (2.6) gdje su F – vektor sila, m – matrica masa, c – matrica prigušenja, k – matrica krutosti, δ - vektor pomjeranja. Postoji približna metoda za procjenu prve vlastite frekvencije za rotore i druge strukture (oblik oscilovanja je jednak statičkom ugibu strukture):

stnf δ

19461 = (2.7)

gdje je fn1 prva vlastita frekvencija u obrtajima u minuti, a δst statički ugib vratila usljed vlastite težine komponenti vratila, izražen u milimetrima. Istu formulu daje i McNally [41]. Često se za provjeravanje mogućnosti pojave rezonance koristi Campbellov dijagram, koji prikazuje vlastite frekvencije u funkciji brzine obrtanja. Linije poremećajnih sila su prave linije koje prolaze kroz koordinatni početak. Linija u kojoj je brzina vrtnje jednaka frekvenciji je pod uglom od 45°. Područja u kojima se linije poremećajnih sila sijeku sa linijama vlastitih frekvencija predstavljaju moguće rezonance, što sugeriše promjenu konstrukcije da bi se izbjegli problemi. Rotordinamička stabilnost je vjerovatno najvažniji aspekt u velikom broju konstrukcija visokobrzinskih pumpi [30, 55]. Odnosi se na fenomen gdje može doći do samopobude rotora i pripadajućeg sistema reaktivnih sila, što može dovesti do katastrofalnih vibracija sa velikim amplitudama, čak iako su aktivne poremećajne sile dosta niske.

26


Primjer takve samopobude je vrtlog koji uzrokuje statički pritisak fluida na lopatice radnog kola, odnosno fluid koji rotira oko radnog kola ili u zazorima ležajeva. Statički pritisak djeluje pod određenim uglom, što izaziva jake kombinovane komponente opterećenja (xy, yx). Drugi prilog je tzv. vitlanje vratila, koje se javlja usljed faznog pomaka između poremećajne sile i vlastite frekvencije, a to je samopojačavajući proces. Oba ova procesa se javljaju kod pumpi sa kliznim ležajevima, radi neravnomjerne raspodjele pritiska maziva po obimu ležaja. Ti procesi se mogu ublažiti povećanjem prigušenja sistema, koje umanjuje uticaj poremećajnih sila. Prigušenje se povećava adekvatnim izborom ležajeva. Proračun aksijalnih vlastitih frekvencija rotora je prilično jednostavan i lako se izvodi pomoću MKE. Treba paziti na harmonike frekvencije prolaza lopatica (brzina vrtnje x broj lopatica) koji pobuđuju aksijalne oblike oscilovanje višeg reda, koji često nisu odgovarajuće prigušeni, što može dovesti do brzog oštećenja vratila i radnog kola pri neočekivanim brzinama vrtnje. Torziona analiza se može uraditi pomoću MKE, ali se češće koriste specijalizirani programi zasnovani na metodi transfera matrica ili Holzerovoj metodi. Pri tome je važno posmatrati sistem u cjelini, kao sklop, jer analiza pojedinih elemenata nema smisla. Torzione vibracije nisu karakteristične za pumpe, ali se javljaju kod složenijih sistema sa više komponenti: motor, mjenjač, reduktori, prenosnici, pumpa. Za oslanjanje vratila pumpe koriste se razne vrste kliznih ležajeva ili kotrljajućih ležajeva. Kotrljajući ležajevi imaju veću krutost od kliznih ležajeva, iako razlika nije toliko velika kao što bi se to očekivalo. Od konstrukcije ležajeva zavisi i eventualna pojava žiroskopskog efekta. Ako je precesija istog smjera kao i rotacija, povećava se krutost sistema, a ako je suprotnog smjera, krustost se smanjuje. Ako se za spajanje pogonskog motora i pumpe koriste krute spojke, potrebno je u proračun uzeti u obzir cijeli sistem motor-spojka-pumpa. Ako se koriste elastične spojke, koje omogućuju fleksibilnost u pogledu nepodudaranja osa, onda je uticaj motora na vibracije pumpe zanemarljiv [30]. Približnu formulu za izračunavanje krutosti kućišta ležaja dali su Roark i Young [46]: k = 3EI / L3 (2.8) gdje je L dužina konzole ležaja od zida kućišta, I je moment inercije metalnog poprečnog presjeka. Krutost kućišta se mora serijski kombinovati sa krutošću ležaja: 1 / kukupno = 1 / kkućišta +1 / kležaja (2.9) Potrebno je izračunati prvih deset vlastitih frekvencija i glavnih oblika oscilovanja pomoću provjerenog MKE programa, metodom transfera matrica ili nekom drugom pouzdanom metodom. Takođe treba dobiti i amplitude najgoreg slučaja vibracija u zadatom radnom režimu pumpe.

27


1. Treba uzeti u obzir mase svih rotirajućih komponenti i efektivnu fleksibilnost cijelog sklopa rotora pumpe, spojke sa motorom i rotora pogonskog motora. Treba takođe uzeti u obzir i masu fluida unutar pumpe [38].

2. Treba uzeti u obzir krutost i prigušenje svih kućišta, vratila, motora, ležajeva i zaptivača (Lomakinov efekat). Inače nije moguće precizno odrediti ove vrijednosti, ali se mogu dati približne procjene. Treba provesti posebne proračune vlastitih frekvencija i amplituda vibracija za najmanje tri karakteristična slučaja: minimalnu, najvjerovatniju i maksimalnu krutost kod svih ležajeva i zaptivača.

3. Treba uzeti u obzir krutost oslonaca u odnosu na podnožje pumpe. 4. Treba provesti analizu sa prinudnim odzivom i analizu tranzijentne stabilnosti,

koristeći kao minimum ulaznih podataka izračunate glavne oblike oscilovanja i vlastite frekvencije za prvih deset oblika oscilovanja. Kod proračuna prinudnog odziva treba uzeti u obzir barem najgori slučaj debalansa radnog kola, najgori slučaj nesaosnosti i najgori slučaj rotirajućih hidrauličnih sila u radnom kolu.

5. U sve analize treba uključiti i torzione, aksijalne, poprečne i mješovite oblike oscilovanja.

2.4.2. Metod konačnih elemenata U suštini, analiza vibracija vertikalnih pumpi bi se trebala vršiti pomoću MKE, uzimajući u obzir stacionarne dijelove pumpe, vratila, te rotore pumpe i motora. Cilj takve analize je da se odrede glavni oblici oscilovanja i vlastite frekvencije prvih deset oblika oscilovanja koji podrazumijevaju značajanije kretanje bilo kojeg od elemenata pumpe: ne-rotirajućih dijelova, kućišta direktno spregnutog motora ili reduktora (ako postoji), postolja pumpe, itd. Komponente takvog modela pumpe bi se trebale matematički interpretirati sa dovoljno detalja, kako slijedi: a) Treba uzeti u obzir masu i krutost postolja unutar radijalnog odstojanja (mjereno

od centra rotacije pumpe) većeg ili jednakog visini vrha motora mjereno od postolja.

b) Treba uzeti u obzir detalje cjevovoda koji imaju uticaja na modalnu masu i krutost, kao što su oslonci, pregrade i prirubnice, te sve cijevi i fluid koji sadrže unutar zone oblika lopte, sa centrom u težištu sklopa pumpa-motor i sa radijusom jednakim dvostrukoj visini vrha motora mjereno od postolja.

c) Treba uzeti u obzir efektivnu krutost sklopa koji čine kućište pumpe i rezervoar, od jedne do druge prirubnice, masu i lokaciju težišta direktno spregnutog motora ili reduktora (ako postoji), te ispusne glave ili postolja motora.

d) Treba uzeti u obzir sve varijacije krutosti postolja, ispusnog dijela kućišta i motora, u smjerovima paralelnim i okomitim na cjevovode, posebno uzimajući u obzir uticaje sprezanja.

e) Treba uzeti u obzir masu svih radnih kola pumpe i pretpostaviti da se oni ponašaju kao da su kruto vezani za kućište pumpe u svom težištu.

Da bi se imalo dovoljno informacija za takvu analizu sa adekvatnom preciznošću, potrebne su informacije koje daje proizvođač pumpe, a koje bi najmanje morale da obuhvataju masu i položaj težišta motora, prenosnog sklopa tijela pumpe ili rezervoara, te (za vertikalne turbopumpe) cjevovoda i vrijednosti savojne krutosti komponenti koje se koriste za povezivanje tih masa međusobno i sa postoljem.

28


Vibracione karakteristike radnog kola centrifugalne pumpe su slične karakteristikama kružne ploče [35]. Kao takav, disk radnog kola ima beskonačan broj vlastitih frekvencija, svaka sa vlastitim jedinstvenim oblikom oscilovanja. Ako se disk posmatra u aksijalnom pravcu, ti glavni oblici oscilovanja formiraju mrežu linija. Susjedne površine se kreću u suprotnim smjerovima u aksijalnom smislu. Linije koje dijele te površine su takozvane nodalne linije, koje obuhvataju tačke na disku koje se ne kreću. Radijalne nodalne linije se nazivaju "nodalni prečnici", a kružne nodalne linije se nazivaju "nodalne kružnice". Svaka moguća kombinacija nodalnih prečnika i nodalnih kružnica čini jedinstveni oblik oscilovanja sa jednom i samo jednom vlastitom frekvencijom. Uopšte, kako se disk više savija sa povećanjem broja nodalnih kružnica i/ili prečnika, vlastite frekvencije koje su u relaciji sa tim kombinacijama kružnica/prečnik postaju više. Izuzetak predstavlja nekoliko najnižih vlastitih frekvencija. Kako su naprezanja po obimu kružnice veća nego naprezanja na savijanje kod malog broja nodalnih prečnika, drugi glavni oblik oscilovanja jednog nodalnog prečnika i treći glavni oblik oscilovanja dva nodalna prečnika obično imaju niže vlastite frekvencije nego prvi glavni oblik oscilovanja nultog nodalnog prečnika. Oblici oscilovanja kružnih ploča detaljnije će biti opisani u poglavlju 4.3. Aksisimetrična analiza i trodimenzionalna analiza po segmentima se koriste za proračun oblika oscilovanja tipa "kišobran". Zbog ograničenja simetrije po obimu, nijedan od ovih modela ne bi dozvolio da se proračunaju nodalni prečnici osim nultog. Takvih ograničenja nema na nodalnim kružnicama, pa se ti modeli mogu koristiti za proračun vlastite frekvencije za svaku nodalnu kružnicu, ali samo u kombinaciji sa nultim nodalnim prečnicima. Ipak, nema fizičkog razloga da kombinacije sa prečnicima različitim od nultog takođe ne budu razlog za pojavu problema rezonancije. Ustvari, slučajevi sa dva ili četiri nodalna prečnika su češći problem od nultih nodalnih prečnika, kao što je diskutovao Bolleter [7] i što je Jay [31] predstavio kao praktični problem. Dakle, aksisimetrični i čak relativno sofisticirani 3D segmentni modeli nisu prikladni za predviđanje potencijalnih problema vibracija kod konstrukcije radnog kola. Iz tog razloga, potrebno je izgraditi puni model radnog kola, sa svim lopaticama i fleksibilnim dijelom glavčine, sa dovoljno detalja da bi se moglo sa dovoljnom preciznošću izračunati prvih deset vlastitih frekvencija nodalnih prečnika za bilo koji dati broj nodalnih kružnica. To je u principu dovoljno da se uspostavi mreža koja se može ekstrapolirati u vlastite frekvencije iznad raspona značajnih frekvencija poremećajnih opterećenja. Ogroman uticaj krutosti ležajeva na vlastite frekvencije i glavne oblike oscilovanja vratila ilustrovan je rezultatima proračuna po MKE [30]. Ako se ležajevi ponašaju konzistentno i linearno, MKE se može koristiti da pouzdano predvidi glavne oblike oscilovanja vratila. Međutim, ležajevi koji su nedovoljno opterećeni, izazivaju brzi, nelinearni porast krutosti ležajeva, tim više što se vratilo približava zidu ležaja. Ako je data elastičnost vratila i slab oslonac koji obezbjeđuje kućište pumpe, te ako su date relativno velike složene tolerancije uležištenja ovih mašina, uticaj svakog pojedinog ležaja na ukupnu rotordinamičku krutost je skoro slučajnog karaktera , kao što je detaljno objasnio Marscher [40]. Praktični rezultat je u tome da ne postoji jedinstvena vrijednost za svaku od teoretski izračunatih vrijednosti vlastitih frekvencija, nego se vlastite frekvencije vratila moraju posmatrati na bazi vremenskih prosjeka ili položajnih prosjeka, konstantno varirajući između dva granična stanja.

29


2.4.3. Modalna analiza Eksperimentalna modalna analiza (EMA) je metod za ispitivanje vibracija po kojem se poznatom silom (konstantnom za sve frekvencije unutar raspona frekvencija koji se ispituje) djeluje na pumpu, a zatim se posmatra i analizira vibracijski odziv pumpe na tu silu. EMA se može koristiti da bi se odredile vibracione karakteristike pumpe, bilo na ispitnom stolu ili na mjestu ugradnje. Mogu se dobiti stvarne vlastite frekvencije cijelog sklopa, uključujući kućište, cjevovode i postolje pumpe, a ako se koriste posebne metode prikupljanja podataka, EMA takođe može odrediti vlastite frekvencije rotora pri radnim uslovima rada pumpe. Neovisno od toga, frekvencije jakih poremećajnih sila unutar pumpe se mogu odrediti poređenjem spektra vibracija pumpe u odnosu na frekvenciju kao odziv na silu kojom se djelovalo na pumpu za potrebe EMA, sa spektrom frekventne analize odziva pumpe na sile koje se javljaju spontano unutar pumpe (slobodne vibracije), iz sistema koji je vezan za pumpu, te iz okruženja. Osnovni alat za provođenje EMA je dvokanalni FFT analizator frekvencija, računar sa posebnim softverom, set davača za mjerenje vibracija (npr. akcelerometri ili davači pomjeranja), te čekić za aplikaciju udarne sile. Čekić za aplikaciju udarne sile je konstruisan tako da se efekat njegovog dejstva prostire kroz frekventni opseg koji se ispituje, tako da se dobije isti efekat kao da se koristi kombinacija velikog broja vibratora sa različitim konstantnim frekvencijama.

Slika 2.18. Dejstvo poremećajne sile za modalnu analizu pomoću

(a) velikog broja individualnih vibratora sa različitim frekvencijama i (b) jednog udarca čekićem

Odziv na jedan udarac je prikazan na slici 2.19. kao funkcija vremena i frekvencije. U vremenu, odziv je vrlo kratak, što za posljedicu ima široko polje frekvencija čija širina zavisi obrnuto proporcionalno trajanju udara (to je posljedica transformacije vrijeme-frekvencija u Fourierovoj analizi). Impulsni čekić ima na sebi akcelerometar koji je kalibrisan tako da mjeri silu udara. Tokom EMA ispitivanja, signal sa akcelerometra se šalje na jedan kanal analizatora spektra, a signal sa akcelerometra koji mjeri vibracije odziva se šalje na drugi kanal. Dijeljenje drugog sa prvim kanalom, za svaku frekvenciju posebno, daje "funkciju

30


frekventnog odziva (FRF, Frequency Response Function) pumpe i sistema koji je za nju vezan. Pikovi - ekstremne vrijednosti FRF funkcije su nekritično prigušene vlastite frekvencije, a širina i visina pikova daju prigušenje svake vlastite frekvencije i osjetljivost vibracija na datoj lokaciji na sile koje se javljaju u okolini mjesta udara čekićem na frekvencijama bliskim datoj vlastitoj frekvenciji.

Slika 2.19. Odziv na jedan udar, u (a) vremenskom i (b) frekventnom domenu

Modalna analiza pokušava odrediti fundamentalni izvor i opštu prirodu vibracija unutar sistema pumpe, te predvidjeti efekat modifikacija sistema. Veliki broj praktičnih problema ograničava upotrebu modalne analize kod pumpi. Pumpe u radu imaju visok nivo šuma, odnosno vibracije koje se jave kao posljedica udara čekićem su znatno manje nego vibracije koje već postoje u pumpi. Alternativno rješenje – EMA provedena na zaustavljenoj pumpi ne daje pravu sliku stanja, jer su nepoznate krutosti ležajeva, postoji mogućnost kontakta nosivog prstena u radu i nema Lomakinove krutosti kad pumpa ne radi. Osim toga, nema dovoljno energije za odziv pri niskim frekvencijama, pa ispitivanja mogu trajati dugo i biti komplikovana. Nekoliko je prednosti korištenja metoda modalne analize u odnosu na starije metode pobuđivanja vibratorom za svaku frekvenciju posebno. Tipično EMA ispitivanje s ciljem utvrđivanja položaja vlastitih frekvencija u zahtijevanom rasponu frekvencija traje od 2 do 5 minuta, dok isto ispitivanje sa pobuđivanjem vibratorom traje preko dva sata. Potrebno je 100 ili više testova da bi se riješio veliki broj različitih tipova problema vibracija u stvarnim uslovima. Druge važne prednosti su: 1. EMA je pouzdanija 2. Nema nagađanja o tome koji pikovi su vlastite frekvencije a koji su poremećajne

sile. 3. EMA može dati animirane sekvence vibracione slike. 4. EMA može pouzdano predvidjeti mjesto i veličinu ukrućivača i masa koje treba

dodati da bi se riješili složeni problemi vibracija. Ako se provede u potpunosti, EMA može sortirati podatke iz komplikovanog skupa podataka o FRF dijagramima vibracija odziva na različitim lokacijama. Lokacije se biraju na osnovu procjene mogućih problematičnih tačaka gdje bi se mogle pojaviti veće sile odziva. Rezultat tog sortiranja je precizno predviđanje frekvencije i prigušenja svake vlastite frekvencije unutar raspona frekvencija koji se ispituje, te animirane sekvence glavnog oblika oscilovanja. U nekim računarskim programima za

31


EMA, te informacije se mogu koristiti za automatsko predviđanje najboljih lokacija za dodavanje masa, prigušivača ili ukrućenja s ciljem rješavanja problema vibracija vezanih za dati oblik oscilovanja. Da bi se provelo detaljno istraživanje vibracija na licu mjesta, treba provesti još dva tipa ispitivanja koji u sebi uključuju izazivanje poremećaja vlastitim frekvencijama u kombinaciji sa ovom procedurom vještački izazvanih vibracija: 1. Analiza odziva vibracija pri normalnom radu pumpe. Ta ispitivanja se vrše

sakupljanjem podataka sa parova mjernih davača na važnim lokacijama pri normalnom radu pumpe, s ciljem utvrđivanja spektra amplitude vibracija u odnosu na frekvenciju i orbita komponenti (pozicije u vremenu u ravni okomitoj na osu vratila) izazvanih silama koje se javljaju pri normalnom radu pumpnog sistema.

2. Slike prelaznih perioda (pokretanje i zaustavljanje). Pumpa se pokreće i zaustavlja što je moguće sporije, i pri tome se snimaju promjene u spektru frekvencija usljed poremećaja i nestabilnosti koje se javljaju u pumpnom sistemu kroz oba prelazna perioda. To je slično kaskadnom dijagramu, ali se provodi pomoću jednog kumulativnog spektra, tehnikom koja postoji na većini analizatora, a koja se naziva "utvrđivanje prosjeka ekstremnih vrijednosti" (peak averaging). "Utvrđivanje prosjeka ekstremnih vrijednosti" pamti najveću vrijednost amplitude vibracija postignutu pri svakoj frekvenciji tokom perioda za koji se računa prosjek.

Može se desiti da se, uprkos kompetentnoj analizi vibracija izvedenoj prije instalacije, ipak jave složeni problemi vibracija u konačnoj instalaciji, usljed, naprimjer specifičnog ponašanja materijala postolja ili ponašanja vijčanih spojeva, nedovoljnih informacija o motoru ili pogonu, ili slučajnih defekata u materijalu ili izradi. Ako standardne procedure ispitivanja na mjestu ugradnje koje propisuje proizvođač pumpe ne daju efekte unutar razumnog perioda vremena, treba koristiti modalnu analizu da bi se ti problemi otkrili i eliminisali brzo i permanentno uz razumne troškove. Osim toga, treba koristiti neku formu modalne analize, kao što je ona pomoću kalibrisanog impulsnog čekića, nakon što se pumpa postavi i spoji sa instalacijama, s ciljem provjere da li frekvencija i prigušenje prvih pet glavnih strukturalnih oblika oscilovanja zadovoljavaju vrijednosti propisane standardom. Ako problemi postoje, treba koristiti mogućnosti većine softverskih paketa za modalnu analizu da prošire eksperimentalni model sa predloženim modifikacijama (modifikacije strukturalne dinamike) da bi se brzo došlo do praktičnih rješenja. Ispitivanje modalnom analizom bi trebalo obuhvatiti oko 50 kombinovanih lokacija i smjerova ispitnih proba, uključujući uglove podnožja i postolja, ključne segmente prirubnica, vrh i dno motora, instalacije i cjevovode koji su spojeni na pumpu, te druge važne strukturalne detalje u krugu radijusa jednakog dvostrukoj razdaljini između postolja i vrha motora. Ispitivanje bi trebalo obuhvatiti sredstva za razlučivanje prividnog modalnog odziva uzrokovanog nedokumentiranim radnim silama koje djeluju na pumpu i vibracijama okruženja pumpe, od stvarnog modalnog odziva usljed dokumentiranih vještački izazvanih sila modalnog ispitivanja.

32


U 14. izdanju standarda "Hydraulic Institute" (1983.) stoji da je "rezonancija instalirane jedinice u odgovornosti konstruktora sistema", ali da je "neophodna koordinacija između proizvođača pumpe i konstruktora sistema da bi se izbjegao rad pumpe blizu kritične frekvencije". Proizvođač pumpe može zadovoljiti zahtjeve koordinacije HI standarda tako što će na zahtjev pružiti informacije o masi i elastičnosti pumpe, pogona i motora, i tako što će dati komentare analize vibracija i rezultata ispitivanja sistema.

2.4.4. Modalna analiza sa vremenskim prosjekom Američka firma Mechanical Solutions Inc. je razvila novi postupak ispitivanja, koji predstavlja modifikovanu eksperimentalnu modalnu analizu. Metoda je pogodna jer se može koristiti i bez demontaže pumpe, a razvijena je da bi se ti problemi prevazišli unutar vremenskih i operacionih granica stvarnih ispitivanja na licu mjesta. Ta tehnika je poznata kao "Modalna analiza sa vremenskim prosjekom poremećaja" (TAME – Time averaged modal excitation) [40]. TAME metod se zasniva na seriji udara izvedenih čekićem u istu tačku, ali po nepravilnim vremenskim intervalima. Računa se vremenski prosjek odziva sistema na sve te udare, što statistički smanjuje količinu signala odziva sistema na nepoznati zaostali debalans, nesaosnost i hidrauličke sile, relativno u odnosu na odziv na sile udara čekićem.

Slika 2.20. Princip rada modalne analize sa vremenskim prosjekom poremećaja (TAME)

Na slici 2.20 se vidi da je odziv na velike unutrašnje sile pojednostavljeno prikazan kao velika sinusoida. Na sinusoidi su po nepravilnim vremenskim intervalima

33


raspoređeni odzivi na udar čekićem, nezavisni od frekvencije velike sinusoide. Računanjem vremenskog prosjeka velikog broja takvih udara, uticaj mašine se smanjuje, ostavljajući samo odziv na udar. Na taj način, podaci dobijeni modalnom analizom se obrađuju tako da se mogu pouzdano odrediti strukturalne vlastite frekvencije i glavni oblici oscilovanja, lokacije i frekvencije rezonantnih sila, kao i kritične brzine rotora, sve to dok se pumpa nalazi u realnim radnim uslovima. TAME zatim koristi klasične tehnike za obradu rezultata modalne analize kako bi se dobio animirani model vibracione slike za svaku vlastitu frekvenciju, te da bi se predvidjeli efekti predviđenih promjena u konstrukciji pumpe, kao što su ležajevi veće krutosti, novi oslonci za cjevovode ili postolje veće debljine. Većina problema sa vibracijama pumpi se javlja usljed debalansa rotora ili nepodudaranja osa pumpe i pogonskog motora [39]. Najčešće se problemi javljaju usljed rezonancije, koja nastaje kad se neka od rotirajućih karakteristika pumpe, kao što je mehanički debalans "1x" ili hidraulički "broj lopatica" poklope sa nekom od vlastitih frekvencija pumpe. U rasponu frekvencija u kojima se pumpa vrti postoji mnogo vlastitih frekvencija, od kojih su neke koncentrisane u vratilu, a neke u kućištu ili ležajevima. Često se dešava da metodama preventivnog održavanja nije moguće odrediti koja od ovih frekvencija je uzrok problema, nego se ispitivanje vrši višestrukim isprobavanjem. Rezultat takve prakse često ne rješava problem, nego čak može izazvati i veće probleme jer se može desiti da neke druge frekvencije postanu rezonantne. Opisana TAME procedura se može koristiti za utvrđivanje kritičnih brzina rotora pumpe kad je pumpa u pogonu pod željenim uslovima rada. Često se kritične brzine određuju na osnovu pikova sa kaskadnih dijagrama spektra dobijenih za vrijeme pokretanja ili zaustavljanja pumpe. Ta metoda je u širokoj upotrebi, a TAME predstavlja alternativu toj metodi. Kaskadni dijagrami prilično slabo predstavljaju rotordinamičke karakteristike stabilnog rada pumpe, zato što je krutost i prigušenje prstenastih zaptivača jako osjetljivo na promjenu uslova rada pumpe. Primarni uzrok toga je takozvani Lomakinov efekat [38], koji može znatno promijeniti krutost i prigušenje oslonaca, zavisno od brzine i opterećenja pumpe. Veliki procenat krutosti oslonaca rotora jako zavisi od brzine, a to dovodi do razlika između frekvencija pikova na tranzijentnom kaskadnom dijagramu i stvarnih vlastitih frekvencija pri stabilnom radu pumpe. Ta razlika je mnogo veća kod pumpi nego kod kompresora i gasnih turbina, gdje varijacije statičkog pritiska po obimu zaptivača nisu tako velike, pa se kaskadni dijagrami mogu uspješno koristiti. Prednosti korištenja TAME u odnosu na druge metode ispitivanja vibracija, kao što je standardna modalna analiza na stacionarnoj pumpi ili kaskadni dijagram su: - Modalna analiza se može provesti pomoću vremenskog prosjeka višestrukih

udarnih opterećenja. - Modalna analiza sa vremenskim prosjekom poremećaja može:

- Utvrditi vrijednosti vlastitih frekvencija rotora i ležajeva, - Utvrditi koje dijelove pumpe treba modificirati i na koji način, - Utvrditi da li debalans, nesaosnost ili hidrauličke sile prelaze dozvoljene

vrijednosti. - Ova metoda se može koristiti dok je pumpa u pogonu, pri bilo kojem opterećenju:

34


- Ležajevi i zaptivke kod kojih se javlja "Lomakinov efekat" imaju stvarnu vrijednost koeficijenata krutosti i prigušenja,

- Kritične brzine "pokretne mete" ne predstavljaju problem kao kod kaskadnih testova ili ispitivanja prelaznih režima,

- Ispitivanje vibracija ne ometa normalno funkcionisanje pumpe. Ekstremne vrijednosti TAME FRF (funkcije frekventnog odziva) uzete sa vratila odgovaraju vlastitim frekvencijama sklopa vratila ili strukture oslonaca. Kritične brzine se mogu identificirati kao one radne brzine pri kojima se javljaju značajna odstupanja frekvencije na FRF dijagramu u blizini posmatranih ili očekivanih poremećajnih frekvencija, kao što su frekvencija sile debalansa jednaka brzini vrtnje vratila.

2.5. Kriteriji za ocjenu problema Iznad najniže vlastite frekvencije (obično dva nodalna prečnika, nula nodalnih krugova), problematična je upotreba Campbellovog dijagrama frekvencija – brzina za procjenu potencijalne rezonance. Kako su vlastite frekvencije dosta blizu krivulje u obliku udice, a svaka krivulja nastavlja da raste u beskonačnost od svog minimuma, sigurno se javlja podudaranje ispod ± 10% na Campbellovom dijagramu za svaku poremećajnu silu, pogotovo za harmonike brzine kao što je broj lopatica. Ipak, praksa je pokazala da ovi oblici oscilovanja obično nisu dovodili do rezonancije. Razlog za to je u tome što presjek na Campbellovom dijagramu predstavlja potreban ali ne i dovoljan uslov za pojavu značajne rezonancije. Drugim riječima, da bi se javio problem rezonancije, nije dovoljno da se poklope vlastita frekvencija i frekvencija poremećajne sile. Dodatni uslov je da prigušenje mora biti dovoljno nisko da bi se desilo značajno pojačanje naprezanja prije nego što energija prigušenja po obrtaju dostigne ravnotežu sa ulaznom energijom po obrtaju. Ipak, proračun prigušenja pomoću energetskih jednačina i podataka o apsorpciji energije koji je dao Blevins [6], pokazuje da savijajući oblici oscilovanja postaju kritično prigušeni tek sa nodalnim prečnicima reda većeg od 30. Konačni uslov za pojavu značajne rezonancije je taj da se oblik oscilovanja u prostoru raspodjele poremećajnih sila mora dovoljno poklopiti sa oblikom prinudnih oscilacija. Taj uslov se može procijeniti istovremeno sa Campbellovim presjekom na jednom grafikonu koji se naziva dijagram interferencije. Taj dijagram je jednostavno grafikon vlastite frekvencije u funkciji karakterističnih linija nodalnih prečnika, sa tačkama koje obilježavaju bilo koju poremećajnu frekvenciju (y-koordinata tačke) i broj nodalnih prelomnih tačaka (koje su jednake broju nodalnih prečnika i koje predstavljaju x-koordinatu tačke) u relaciji sa distribucijom izvora poremećaja po obimu. Naprimjer, poremećaj lopatice difuzora bi se nacrtao kao tačka sa frekvencijom jednakom proizvodu broja lopatica difuzora i brzine vrtnje, a sa brojem nodalnih prečnika jednakim broju lopatica, jer postoji jedna "vršna tačka" statičkog pritiska u polju pritiska oko difuzora u blizini vrha svake lopatice difuzora. Jedan od najmanje očekivanih, ali snažnih poremećajnih oblika oscilovanja je takozvani diferencijalni oblik oscilovanja, kao što je to obradio Jay [31], uključujući i praktični problem za jedan aksijalni disk. Taj poremećaj se javlja zbog amplitudne modulacije koja se javlja usljed značajnog procenta sile interakcije lopatice/krilca uzrokovane množenjem polja pritiska n lopatica, proporcionalnog sa sin(nθ), sa poljem pritiska m

35


krilaca, proporcionalnim sa sin(mθ). Rezultat toga su jake komponente prostorne raspodjele pritiska od sin((n-m)θ) i sin((n+m)θ), koje su u stanju pobuditi oblike oscilovanja od (n-m) i (n+m) nodalnih prečnika. Frekvencija kojom se ova polja kreću relativno u odnosu na koordinatni sistem koji rotira zajedno sa radnim kolom, još uvijek je frekvencija broja lopatica. Zbog toga se ti poremećaji crtaju kao tačke sa n-tostrukom brzinom vrtnje i (n-m) i (n+m) nodalnim prečnicima. Frekvencija zbira (n+m) se obično javlja na krajnoj desnoj strani dijagrama, daleko od svih vlastitih frekvencija. Zbog toga, to nema praktični značaj [7]. Tabela 2.3. Ispitivanja vibracija s ciljem identifikacije specifičnih problema. Problemi Dijagnostika Slobodne vibracije pumpe - Šta vibrira i kako to nije u skladu sa

specifikacijama? - Šta bi moglo izazvati vibracije na

posmatranim frekvencijama?

- Ukupni nivoi vibracija. - Vibracije u odnosu na vrijeme. - Vibracije u odnosu na frekvenciju. - Izlazak iz dozvoljenih granica. - Oblik orbite ose vratila. - Radne vibracije u odnosu na spektar

frekvencija. - Kaskadni ili dijagrami tipa

"vodopada" Vještački izazvana modalna pobuda - Koje su vrijednosti vlastitih

frekvencija? - Čime bi se mogle pomjeriti

posmatrane kritične brzine (relativno u odnosu na prethodna iskustva ili rezultate modela)?

- Vibracije u odnosu na frekvenciju. - Faza u odnosu na frekvenciju. - Vibrator u odnosu na impulsni čekić. - Spektar frekvencija u odnosu na

vrijeme sa prosječnim odzivom.

2.5.1. Standardi i normativi za interpretaciju nivoa vibracija Standardi i normativi na osnovu kojih se mjere i interpretiraju podaci o mjerenju vibracija pumpi se razlikuju kod različitih autora i u različitim izdanjima standarda. Tabela 2.4. Spisak standarda koji tretiraju vibracije pumpi: ISO 2372:1974 Mechanical vibration of machines with operating speeds from 10 to 200 rev/s -- Basis for specifying evaluation standards (povučen 1995) ISO 10816-1:1995 Mechanical vibration -- Evaluation of machine vibration by measurements on non-rotating parts -- Part 1: General guidelines (Ed. 1, 19 p, K) Centrifugal Pumps (ANSI/HI 1.1-1.5-1994) Centrifugal Pump Tests (ANSI/HI 1.6 - 1994) Centrifugal/Vertical Pumps - Allowable Operating Region (ANSI/HI 9.6.3 -1997) HI 9.6.4 Allowable Vibration Limits API-610 Centrifugal Pumps ASME-B73.1 Centrifugal (Chemical) AWWA-E101 Water Pumps ASHRAE-HVAC Pump

36


Rotordinamička analiza indicira da je nivo vibracija prihvatljiv ako je nefiltrirano pomjeranje izmjereno u blizini ležajeva ispod određenog nivoa, ako je frekvencija vibracija dovoljno ispod prve kritične brzine savijanja. Za frekvencije vibracija iznad te brzine, kriterij postaje kompleksniji, ali ako poremećaji nisu blizu rezonance, kriterij zasnovan na pomjeranju vratila u blizini ležaja najbolje opisuje sile u ležajevima i iskorištenje zazora u kritičnim zaptivkama [40]. Saglasno predviđanjima rotordinamičke analize, u inicijalnim američkim specifikacijama vibracija centrifugalnih pumpi (API-610, 1975.) pretpostavljalo se da će do oštećenja usljed vibracija doći kad amplituda vibracija pređe nivo koji je relativno neosjetljiv na brzinu pumpe ili na frekvenciju poremećaja. U novijim američkim specifikacijama (API-610, 1981., HI Standards 1983. i MIL-STD-167-1, 1974.) brzina vibracija u odnosu na frekvenciju više nije kriterij za ocjenu početnog oštećenja pumpe usljed dejstva vibracija. Upotreba brzine vibracija kao kriterija za dopuštene vibracije mašine postavlja nerazumne uslove za vibracije pumpi koje se javljaju pri višestrukim vrijednostima brzine vrtnje. Naprimjer, radno kolo sa 6 lopatica koji se vrti sa 3600 min-1 će imati frekvenciju prolaza lopatica 21600 ciklusa u minuti. Neke važne specifikacije dozvoljavaju samo 5 mm/s za nivo vibracija filtriran na ovoj frekvenciji, što je ekvivalentno maksimalnom pomjeranju od samo 0,005 mm. Sve dok se mjerenje ne vrši u blizini nodalne tačke vibracija, takve amplitude nemaju uticaj na vijek trajanja zazora, rotirajućih ili stacionarnih komponenti. S izuzetkom nekih podataka koje su dali Blake [4] i Hancock [28], ranija istraživanja su davala preporuke u obliku dijagrama zasnovanih isključivo na subjektivnoj percepciji stepena ozbiljnosti vibracija, a ne na stvarnom trošenju ili otkazivanju mašine. Hancock je dao preporuke zasnovane na maksimalnoj brzini iznad koje se znatno povećavala vjerovatnoća pojave triboloških problema. Doduše, većina tih podataka se odnosila na procesne pumpe, koje su sve radile istom brzinom. Ti podaci nisu dokazivali da je upotreba brzine kao kriterija opravdana. Postoje teoretski argumenti da ozbiljnost vibracija zavisi od pomjeranja (amplituda) na nižim frekvencijama, a od ubrzanja na višim frekvencijama. Koeficijenti u diferencijalnoj jednačini koja opisuje kretanje su veći ispred pomjeranja nego ispred brzine i ubrzanja pri niskim frekvencijama. Fizički, to se dešava jer je relativna frekvencija dovoljno niska da situacija ima statički karakter, a masa se nikad ne ubrza dovoljno da bi proizvela inercijalnu silu kompatibilnu poremećajnoj sili. Slično tome, postoji dobar razlog da se tvrdi da nivo štetnih vibracija zavisi od brzine vrtnje. Ako se mašine brže vrte, takođe moraju biti i manjih dimenzija, ili će ih u suprotnom naprezanja u rotoru ili kavitacija učiniti nepouzdanim. Sa smanjenjem dimenzija mašine, moraju se smanjiti i zazori, da ne bi došlo do opadanja efikasnosti. Sa smanjenjem zazora, nivo vibracija pri kojem se javlja štetno djelovanje opada, jer se struganje javlja pri manjim amplitudama vibracija. Postoji raspon frekvencija pri kojem brzina (odnosno prigušenje) dominira, što je analitički dokazano. Taj raspon je na ±15% od prve kritične brzine. U tom rasponu, vektori sile ubrzanja i pomjeranja su približno istog intenziteta, ali suprotnog smjera, sa tendencijom međusobnog poništavanja. Jedina važna sila koja je u stanju oduprijeti se poremećajnim silama je prigušenje pomnoženo brzinom vibracija. Ali rad pumpe

37


na ovim frekvencijama dovodi do rezonance, tako da ovaj jedini raspon u kojem brzina dominira ne ulazi u dozvoljeno područje rada pumpe.

2.6. Rješavanje problema vibracija pumpi Vjerovatno se 90% svih problema sa vibracijama pumpi može riješiti pažljivim balansiranjem sklopa rotora, dovođenjem u osu spojeva kad se sistem nalazi u radnim uslovima, posebno ako je postignuta radna temperatura, te ako se pumpa pogoni u granicama zadate krivulje pritisak/kapacitet. Preostali problemi vibracija se javljaju uglavnom usljed rezonance vlastite frekvencije sistema sa nekom od poremećajnih sila koja je zajednička za sve pumpe, kao što je zaostali debalans. Često je potrebno ispitivanje da bi se ovo riješilo, jer uzrok problema može biti u pogrešnim pretpostavkama prilikom analize, a što se može potvrditi isključivo eksperimentalnim ispitivanjem. Za vrijeme rezonance, vibracije rotora mogu prerasti veličinu unutrašnjih zazora ili se mogu javiti prekomjerna opterećenja ležajeva, čak i ako su debalans, nesaosnost i hidraulička opterećenja unutar dozvoljenih granica. U tom slučaju, jednostavna metoda probanja na mjestu ugradnje, kao što je dodavanje mase ili ukrućenja dijelova strukture, može riješiti nastale probleme. Ipak, ako ta rješenja samo pomjeraju problem na neku drugu blisku frekvenciju, a ne mogu biti dovoljno trajna (reda veličine sati umjesto sedmica), treba odustati od te metode a zatim odgovoriti na sljedeća pitanja: 1. Jesu li poremećajne sile unutar dopuštenih granica? 2. Koje su vlastite frekvencije rotirajućih i stacionarnih dijelova pumpe i pripadajuće

opreme kad su oni sklopljeni u sistem? 3. Koje su frekvencije poremećajnih sila u stvarnoj instalaciji i da li se poklapaju sa

bilo kojom od vlastitih frekvencija pumpnog sistema? 4. Ako postoji problem vibracija usljed jake poremećajne sile ili rezonance, kako se

najlakše pumpa ili pripadajući pristroj mogu modifikovati da bi se najlakše riješio problem?

Na ova pitanja se može odgovoriti kombinovanjem ispitivanja vlastitih frekvencija (utvrđujući kako pumpa slobodno vibrira) sa ispitivanjem vještački izazvanom pobudom (kao modalna ispitivanja, da bi se vidjelo kako će pumpa vibrirati u odzivu na poznatu silu kojom se na nju djeluje). S ciljem rješavanja problema rezonance, može se koristiti jedna od sljedeće četiri tehnike: 1. Promjena krutosti rezonantne komponente i/ili načina njenog vezivanja za

postolje. U slučaju povećanja krutosti, to će podići vlastitu frekvenciju, i može se uspješno koristiti kod izbjegavanja rezonance.

2. Dodavanje mase na mjestima gdje se javlja izražajnije kretanje u glavnom obliku oscilovanja vlastite frekvencije. To će težiti da spusti vlastitu frekvenciju, moguće i izvan radnog područja.

38


3. Obezbijediti izolator vibracija između izvora vibracija i mjesta koje vibrira. To se postiže obezbjeđenjem elastične veze između pojedinih komponenti sistema. Ovo se često ne može primijeniti u praksi.

4. U slučaju problema vibracija koje nemaju veze ni sa debalansom, ni sa neasaosnošću, ni sa rezonancom, vjerovatno su tada uzrok vibracija jake hidrauličke sile. Ako se te sile javljaju usljed kavitacije zbog nedovoljnog pritiska u pumpi, treba podići pritisak pumpe do vrijednosti koje preporučuje proizvođač. Ako je uzrok vibracija interakcija prolaza lopatica, tada je moguće da je zazor između radnog kola i volute premalen, odnosno da se dijametralni zazor treba povećati na oko 10% prečnika radnog kola. Ako centrifugalna pumpa radi sa relativno niskim protokom, moguće je da je uzrok vibracija recirkulacija na ulazu ili izlazu iz pumpe. U tom slučaju, ako se protok ne može povećavati, može se postaviti bajpas linija između izlaza i ulaza u pumpu, i to dužine najmanje 5 puta veće od prečnika ulaznog otvora. Alernativa za to je instalacija novog radnog kola koji je manje osjetljiv na nizak nivo protoka.

2.6.1. Modifikacije konstrukcije pumpe Najbolje bi bilo ako bi se mogući problemi vibracija mogli predvidjeti u ranim fazama konstruisanja, prije izrade. Savremene numeričke metode, kao što su MKE ili transfer matrica, mogu provesti takvu analizu pouzdano, uz pretpostavku da se obezbijede pouzdane informacije o graničnim uslovima. Za specifične instalacije, gdje se desi da granični uslovi odstupaju od onih koji su uzeti u obzir prilikom proračuna, frekventnom analizom sistema mogu se kvantificirati svi problemi vibracija koji se mogu pojaviti. Frekventnom analizom se mogu odrediti frekvencije koje imaju najjaču amplitudu, ukazujući tako na moguće uzroke vibracija. Preduslov za to je dobro poznavanje vibracionih karakteristika unutrašnjih komponenti pumpe i sistema na koje je pumpa spojena. Frekventna analiza se pokazala kao uspješna metoda u kombinaciji sa eksperimentalnom modalnom analizom za brzo rješavanje problema vibracija, tako što se odvojeno određuju poremećajne sile i vlastite frekvencije komponenti sistema pumpe. Najčešći uzrok pojave vibracija sa frekvencijom prolaza lopatica na pumpama je rad sa protokom različitim od protoka za koji je pumpa konstruisana [16]. Nekoliko elemenata doprinosi tom problemu. Za razliku od kompresora, koji moraju imati bajpas kanal za obezbjeđenje minimalnog protoka, pumpe ga najčešće nemaju. Proizvođači često koriste prevenciju pregrijavanja fluida pri niskom protoku kao konstruktivni kriterij za utvrđivanje minimalnog protoka. Dinamički efekti ili uticaj vibracija se ne koriste. Ako se prilikom konstruisanja pumpe i instalacaija uzimaju kao kriteriji najgori mogući slučajevi, pumpni sistem će biti predimenzionisan. To dovodi do rada pumpe koji je daleko ispod tačke maksimalnog iskorištenja i efikasnosti pumpe, a što za posljedicu ima visok nivo vibracija pri frekvenciji prolaza lopatica. Pumpe se konstruišu tako da postoji samo jedan nivo protoka pri kojem će pumpa raditi najbolje. To se dešava na tački maksimalnog stepena iskorištenja pumpe, odnosno kada fluid napušta lopaticu radnog kola pod istim uglom pod kojim ulazi na

39


lopaticu difuzora. Ako se ti uglovi razlikuju (slika 2.21), generišu se hidrauličke sile koje izazivaju vibracije frekvencijom prolaza lopatica.

Slika 2.21. Tok fluida sa radnog kola na volutu sa visokim, niskim i optimalnim

protokom [16] Još jedan čest uzrok problematičnih vibracija pumpe je nedovoljan zazor između izlaznog kanala radnog kola i lopatica difuzora ili jezička volute. To je konstruktivni problem koji se javlja kada konstruktor upotrijebi radno kolo koji zadovoljava zahtjeve performansi pumpe, ali koji je prevelikih dimenzija za dato kućište. Kad rotirajuće lopatice prolaze preblizu stacionarnim lopaticama, mogu se javiti jake hidrauličke sile koje djeluju na vratilo i kućište, što za posljedicu ima neprihvatljivo visok nivo vibracija. Stepanoff [53] i Corley [16] preporučuju da zazor između jezička volute i lopatica radnog kola kod pumpi sa volutom treba biti u funkciji specifične brzine pumpe. Veća specifična brzina zahtijeva veći zazor. Za većinu konstrukcija pumpi, može se uzeti kao pravilo da zazor od najmanje 10% od prečnika radnog kola daje zadovoljavajuće rezultate. Za pumpe sa difuzorom, zazor može biti manji, ali najmanje 5% od prečnika radnog kola.

Slika 2.22. Skica za modifikaciju jezička volute [16]

40


Interesantno rješenje za pumpe koje nemaju dovoljno velik zazor, a rade sa većim brzinama, je zasijecanje jezička volute u obliku slova "V" (slika 2.22). Taj zahvat povećava efektivni zazor, ali i distribuira opterećenje na veću površinu, što smanjuje udarna opterećenja koja izazivaju problem vibracija. Kod pumpi sa malim uglom nagiba volute ovaj zahvat ne daje zadovoljavajuće rezultate.

2.6.2. Preventivno održavanje Praćenje stanja je ispitivanje mašine da bi se uporedili nivoi vibracija sa utvrđenim kriterijima prema konzistentnom, repetitivnom vremenskom rasporedu. Ispitivanje ispravne mašine s ciljem predviđanja kada će biti potrebna popravka se naziva preventivno održavanje. Ako su se međutim, problemi na pumpi već pojavili, pa se vrši mjerenje vibracija s ciljem utvrđivanja uzroka, to se naziva identifikacija uzroka vibracija. Predlažu se sljedeća mjerenja kao minimum za praćenje stanja, preventivno održavanje ili identifikaciju uzroka vibracija za bilo koju vrstu pumpe: 1. Nivo vibracija na oba kućišta ležajeva pumpe, te na kućištu ležaja pogonskog

sistema na strani na kojoj se nalazi pumpa, u vertikalnom, horizontalnom i aksijalnom pravcu.

2. Kakav je odnos hidrauličkih performansi pumpe prema konstrukciji? Drugim riječima, za datu brzinu i kapacitet (odnosno protok), koliko su blizu temperaturno kompenzirani pritisak pumpe i krivulja koju daje proizvođač, posebno u blizini BEP (tačke najvećeg stepena iskorištenja)? Da li su pritisak i kapacitet stabilni kad se pumpa pokušava pogoniti konstantnom brzinom? Da li bi pogonski motor ili turbina morali obezbijediti veću snagu nego što se to očekuje?

3. Temperatura maziva u ležaju, barem približno. 4. Da li je usisni pritisak stabilan na datoj radnoj tački, i da li je dovoljan? 5. Da li se javlja neuobičajena buka pod određenim radnim uslovima, i ako se javlja,

koje su joj glavne frekvencije? Za pumpe koje se okreću brzinama ispod 3600 min-1, za velike pumpe sa izlaznim prečnikom većim od 300 mm, te za bilo koju vrstu pumpe na kritičnim mjestima ugradnje, preporučuju se i sljedeća mjerenja: 1. Vibracije vratila u odnosu na kućište u blizini svakog ležaja, pomoću davača

pomjeranja permanentno instaliranih na svako kućište ležaja, postavljenih tako da mjere vertikalno, horizontalno i aksijalno pomjeranje.

2. Stabilna aksijalna pozicija vratila u odnosu na kućište u blizini aksiradijalnog ležaja (za ovo se može koristiti davač aksijalnih pomjeranja).

3. Da li se javlja isticanje fluida koji se pumpa ili maziva u ležaju, u kojem obimu i na kojoj temperaturi?

4. Da li su vidljive ikakve čestice koje nastaju habanjem u uzorku maziva koji se redovno uzima?

5. Koje su vlastite frekvencije vratila i kućišta pumpe, te kakav je odziv vibracija na jedinično opterećenje u blizini ležajeva na tim frekvencijama, kao što je određeno eksperimentalnom modalnom analizom, ako je to moguće?

41


Kod očitavanja listi za identifikaciju problema vibracija, često se koristi pojam "bacanje", koji predstavlja lažne vibracije koje registruje davač pomjeranja, a koje u stvari reflektuju ogrebotine na vratilu, žlijebove, valovitost, itd.; statička savijanja ili nesaosnost vratila ("mehaničko bacanje"); varijacije osjetljivosti usljed vrtložnih struja duž površine vratila; ili šum instrumenata ("električko bacanje"). Veoma često su problemi sa cjevovodom uzroci problematičnog rada pumpi: 1. Stacionarna opterećenja na mlaznicama

- Nedovoljno pričvršćena ekspanzivna spojka (sila = pritisak x površina) - Ispravljanje "Bourdonove cijevi" - Termalna ekspanzija / odstupanje

2. Pulsirajuća opterećenja - Nedovoljno pričvršćene veze - Bourdon - Reakcija lakata - Akustika - Strukturalne vlastite frekvencije

Najbolji pristup za minimiziranje problema kod primjene preventivnog održavanja je da se slijede dva jednostavna pravila: 1. Pojednostaviti održavanje. Treba preventivno djelovati samo na one otkaze koji su

relevantni na osnovu prethodnog iskustva (npr. ako se nikad nije javila pukotina u kućištu, ne treba uključiti ispitivanje na puktine kućišta).

2. Uklopiti održavanje u rutinski posao. Odluke o održavanju treba držati konzistentnim i, koliko god je moguće, automatskim.

Važna pitanja na koja treba odgovoriti prilikom usvajanja pravila za donošenje odluka za održavanje su: 1. Koje vrste otkaza su se najčešće javljale ili su bile najskuplje? 2. Koji su kriteriji najpouzdaniji kod dijagnosticiranja tih otkaza? Upravo ti kriteriji

trebaju obuhvatiti mjerenja vrijednosti vibracija kućišta ležajeva u vertikalnom, horizontalnom i aksijalnom pravcu. Za visoku pouzdanost mehaničke ispravnosti pumpe, treba ipak vršiti i druga mjerenja, kao što su performanse pumpe, temperature ležajeva i nivoi vibracija vratila u odnosu na kućište.

3. Kolike su granice prihvatljivosti kriterija? Hidrauličke performanse, buka, temperatura ležajeva, itd. rasponi prihvatljivosti i interpretacija tendencija su specifični za datu mašinu i njih treba da definiše proizvođač.

2.6.3. Primjeri iz prakse Da bi se izbjegla ili umanjila pojava vibracija usljed mehaničkih uzroka, potrebno je [41]: - Balansirati sve rotirajuće komponente. To je posebno izraženo kod pumpi koje

transportuju i čvrste čestice u fluidu, te kod visokobrzinskih pumpi.

42


- Savijena vratila predstavljaju poseban problem. Najčešće se savijeno vratilo ne može ispraviti, nego ga je porebno zamijeniti novim.

- Potrebno je dovesti pumpu i motor u osu. Ako je to neizvodljivo, onda treba koristiti takvu spojku koja će absorbirati temperaturne varijacije.

- Cjevovod se uvijek vodi od pumpe do rezervoara, a ne obratno. - Dužina cijevi od izlaza iz pumpe do prvog koljena na cjevovodu treba biti barem

deset puta veća od prečnika cijevi. - Oslonci cjevovoda bi trebali biti raspoređeni na nejednakim rastojanjima. - Treba koristiti dosta oslonaca za cjevovod. - Ako je radno kolo od ugljeničnog čelika, imaće 30% manja temperaturna širenja

nego ako je od nerđajućeg čelika. - Kod montaže ležajeva, treba koristiti indukciono zagrijavanje, kako bi se izbjeglo

unošenje nečistoća u ležaj prilikom montaže. Da bi se izbjegla ili umanjila pojava vibracija usljed hidrauličkih uzroka, potrebno je [41]: - Povećati ili smanjiti prečnik radnog kola da bi se što više približilo tački najvećeg

stepena korisnosti pumpe. Ako to nije moguće, treba koristiti puno vratilo ili povećati prečnik vratila sa pogonske strane. U nekim slučajevima može se postaviti dodatni ležaj na dnu zaptivke, i postaviti mehaničku zaptivku bliže ležajevima. Dvodijelne zaptivke su idealne za ovu konverziju.

- Treba provjeriti da li je energija pumpe dovoljna za traženu aplikaciju, tj. hoće li se javiti kavitacija.

- Zazor između radnog kola i kućišta treba biti 4% prečnika (za manje radna kola – do 355 mm) odnosno 6% prečnika (za veće radna kola).

- Unutrašnja recirkulacija se može riješiti korištenjem zatvorenog tipa radnog kola. - Da bi se izbjeglo ulaženje zraka i stvaranje vrtloga u pumpi i cjevovodu, treba

koristiti O- prstenove za zaptivanje. - Treba paziti da ne dođe do hidrauličkog udara. - Dobro je koristiti usisni cjevovod koji je za jedan broj veći, a spojiti ga sa

pumpom preko reduktora. Za redukciju prečnika treba koristiti ekscentrične umjesto koncentričnih reduktora poprečnog presjeka.

Florjancic, Clother i Chavez [21] su pokazali da se izmjenom konstrukcije pumpe može riješiti problem vibracija pumpi. Upotrebom zakrivljenih lopatica radnog kola značajno je smanjen nivo vibracija, a poboljšana je i kavitaciona karakteristika pumpe. Isti autor tvrdi da kad mehaničko opterećenje postane znatno manje od hidrauličkog, sužavanje tolerancija u proizvodnji pumpi više nema uticaja na ukupne vibracione karakteristike pumpe. Smith, Prize i Kunz [52] su ponudili modifikaciju konstrukcije radnog kola postavljanjem lopatica i sa zadnje strane diska radnog kola, kako bi se riješio problem vibracija i nestabilnosti vratila. Corley [14] je riješio problem vibracija velike centrifugalne pumpe uzrokovanih pulsacijama pritiska fluida tako što je promijenio oblik promjene presjeka cjevovoda na ulazu i na izlazu iz pumpe. Da bi se izbjegla ili umanjila pojava vibracija usljed ostalih uzroka, potrebno je [41]:

43


- Ako susjedna oprema prenosi vibracije na pumpu, treba koristiti prigušivače odnosno elastične spojeve.

- Kritična brzina ne predstavlja problem ako pumpa radi sa konstantnim brojem obrtaja. Međutim, ako se broj obrtaja često mijenja u radu pumpe, treba ili promijeniti brzinu pumpe ili mijenjati prečnik radnog kola.

- Zaptivači oblika O-prstena su idealni prigušivači vibracija. Metalni zaptivači zahtijevaju dodatne prigušivače, obično u formi metalnih komponenti koje vibriraju i kližu duž vratila.

- Promjena materijala vratila neće mnogo uticati na vibracije pumpi, jer module elastičnosti materijala koji se obično koriste za vratila ne varira mnogo (0,196 do 0,210 x 106 N/mm2.

Kod problema sa rezonancom, pojačanje poremećajne sile u centrifugalnim pumpama se može zanemariti ako se prva kritična brzina izbjegne za 25%. Izbjegavanje n-te kritične brzine za 25% nije ni potrebno a ni moguće. Dovoljno je koristiti n-ti korijen od 1.25 za n-tu kritičnu brzinu. Hawkins [29] predlaže 5 mogućih intervencija da bi se riješio problem vibracija: 1. Povećanje krutosti. Dodavanjem rebara povećava se krutost sistema, osim ako

rebra nisu postavljena u "nodalnim čvorovima", tj. tačkama koje ne osciluju. 2. Smanjenje krutosti. Tanka podloška ispod navrtke koja služi za pričvršćenje

motora za podlogu se ponaša kao opruga kod visokih opterećenja. Mogu se koristiti čak i prave opruge, kao i kontrategovi.

3. Dinamički apsorber. To je jeftini uređaj montiran u seriji sa rezonatorom i podešen tako da daje najjači efekat. Rezonator i absorber moraju biti u fazi. Kad rezonator dostigne drugu kritičnu brzinu, faza se mijenja, tako da je potreban poseban absorber za drugu kritičnu brzinu, odnosno više absorbera za poremećajne sile u različitim ravnima.

4. Promjena frekvencije poremećajne sile. Kad je uzrok poremećaja zaostali debalans, može se mijenjati prečnik radnog kola ili broj obrtaja. Ako je uzrok poremećaja broj lopatica, treba zamijeniti radno kolo sa nekim koji ima različit broj lopatica.

5. Izbjegavanje rezonantne frekvencije. Najraširenija vrsta vertikalnih pumpi su vertikalne turbopumpe (VTP) i pumpe za vodu koje se koriste u sistemima za prečišćavanje otpadnih voda. VTP se dosta razlikuje od ostalih vrsta pumpi jer ne mora biti strogo izbalansirana, vratilo ne mora biti suviše ravno, tolerancije spoja vratila sa motorom mogu biti šire, jer ta pumpa ima dugačko, fleksibilno kućište koje je elastično oslonjeno na podlogu. Ipak, kao i kod drugih vrsta pumpi, problemi se najčešće javljaju kod opterećenja na ležajevima i oko zazora ležajeva i zaptivača. Problemi vibracija VTP se obično rješavaju pomoću standardnih test tehnika i standardnim inženjerskim metodama [37, 15, 42]. Korištenje tradicionalnog pristupa može biti dugotrajno i skupo, ako sistem rotora ili cjevovodi značajnije učestvuju u problemu [10, 50], a rješenja se obično svode na višestruke uzastopne probe [43].

44


Tabela 2.5. Lista za identifikaciju uzroka problema rotirajućih mašina. Frekvencija vibracija (faktor množenja brzine)

Drugi simptomi Mogući uzrok

0,05 – 0,4 x Vibracije su nestabilne i pokrivaju široki spektar frekvencija

Zastoji u difuzoru

Tačno 1/2 x, 1/3 x itd.

Moguće dramatično povećanje vibracija Struganje rotora

0,42 – 0,48 x Orbita pulsira: vibracije naglo rastu kod brzina približno dvostruko većih od vlastite frekvencije, a rast se zaustavlja na vlastitoj frekvenciji uprkos daljem povećanju brzine.

Rotordinamička nestabilnost usljed vrtloženja fluida u uskom zazoru ("bacanje ulja")

0,6 – 0,93 x Manje ekstremne vrijednosti na (1-f)x i na ±(1-f) od prvih nekoliko harmonika brzine vrtnje; moguća pojava buke; dešava se kod djelimično opterećnog protoka; ne zavisi od brzine i protoka.

Zastoji rotacije usljed nepoklapanja ugla toka i lopatice; u pumpama može obuhvatati recirkulaciju toka.

Manje od 1 x Povećani nivo vibracija i buke širokog spektra ispod brzine vrtnje kod opadanja pritiska, posebno pri visokim protocima; često, povećana buka > 20 kHz.

Kavitacija

1 x 1. Jače na vratilu nego na kućištu; performanse i uslovi na ulazu normalni; aksijalne vibracije unutar normalnih granica, vibracije se povećavaju približno sa kvadratom brzine. a. Vibracije najveće na kućištu ležaja sa

pogonske strane pumpe b. Vibracije najveće na kućištu ležaja

pogonskog motora c. Vibracije najveće na kućištu ležaja pumpe, a

male na ležaju pogona d. Vlastita frekvencija blizu 1 x

2. Aksijalne vibracije su preko 1/2 H ili V vibracija, i povećavaju se dosta sporije od kvadrata brzine; visoka temperatura ulja u ležaju.

3. Pulsacije pritiska na izlazu su jake na 1x ali ne i na frekvenciji prolaza lopatica

4. Isto kao (3), ali sa jakim vibracijama na frekvenciji prolaza lopatica, posebno pri protoku dosta različitom od konstruktivnog

Debalans sklopa rotora. Debalans sprezanja Debalans rotora pogonskog motora Debalans rotora pumpe Rezonanca Nesaosnost sprezanja pogona Zapriječeni ili oštećeni kanali radnog kola Jezičak volute konstruisan preblizu radnom kolu ili ekscentricitet radnog kola

2 x 1. Aksijalne vibracije male. a. Vibracije i vratila i kućišta jake, pulsacije

izlaznog pritiska jake, ali male vibracije radnog kola pri frekvenciji prolaza lopatica

b. Isto kao (a) ali sa jakim pulsacijama izlaznog pritiska i vibracijama radnog kola pri frekvenciji prolaza lopatica

c. Vibracije na vratilu dosta jače nego na kućištu; opadanje prve vlastite frekvencije vratila

d. Vibracije jednog kućišta ležaja jake, a vratilo relativno mirno.

e. Vibracije vratila jače od vibracija kućišta i torzionog pulsiranja pogona

2. Aksijalne vibracije su preko 1/2 H ili V; 1x

vibracije takođe velike i visoka temperatura ulja iz ležaja

Zapriječeni ili oštećeni kanali radnog kola Jezičak volute konstruisan preblizu radnom kolu ili ekscentricitet radnog kola Olabavljen ležaj ili pukotina u vratilu Olabavljeno ili napuknuto kućište ležaja Torziono opterećenje, asimetrija radijalne krutosti rotora Nesaosnost pumpe i pogona

45


Frekvencija vibracija (faktor množenja brzine)

Drugi simptomi Mogući uzrok

Broj lopatica radnog kola

1. Pulsacije izlaznog pritiska niske, ali jake vibracije i vratila i kućišta.

2. Isto kao (1), ali sa dosta jačim vibracijama

kućišta nego vratila. 3. Pulsacije izlaznog pritiska velike na frekvenciji

prolaza lopatica, ali male pulsacije ulaznog pritiska.

4. Visoke pulsacije pritiska na ulazu. 5. Vlastita frekvencija rotora ili kućišta blizu

frekvenciji prolaza lopatica.

Zazor između radnog kola i volute premalen ili veliki ekscentricitet Rezonanca cjevovoda ili kućišta ležaja Akustička rezonanca u izlaznom cjevovodu Akustička rezonanca u ulaznom cjevovodu Rezonanca

Višestruka brzina vrtnje: 1 x, 2 x, 3 x, ...

1. Orbita pokazuje oštre uglove ili pokazuje tragove "zvonjenja"; promjene u brzini i pojava buke.

2. Orbita je raspršena ali ne pulsira niti "zvoni"; tok

rashladnog sredstva zaptivača je neočekivano visok ili nizak i ima visoku temperaturu

3. Orbita pulsira, obično u jednom smjeru više nego u drugom, a vratilo vibrira više od površine kućišta.

4. Orbita vratila uglavnom stabilna, i kućište vibrira više od vratila; često u kombinaciji sa odzivom preko širokog spektra frekvencija ispod brzine vrtnje; jake vibracije sredine kućišta, slično kućištu ležaja.

Unutrašnje struganje, nesaosnost ležajeva, olabavljenost ili slabo podmazivanje spojke Zaptivka struže ili zapinje. Olabavljeni nosači ležajeva ili rezonanca vratila. Olabavljenost kućišta ili postolja mašine, olabavljenost ili rezonanca kućišta ležaja

> 1 x, ali bez relacije sa brzinom vrtnje

1. Vibracije jače na problematičnoj frekvenciji na određenim tačkama cjevovoda ili na postolju nego na pumpi.

2. Vibracije jake u cjevovodu, ali ne na postolju; dominantne pulsacije ulaznog i izlaznog pritiska

3. Male vibracije u cjevovodu i na postolju, i jednake vlastitoj frekvenciji mašine.

4. Vibracije jake u aksijalnom pravcu, a aksijalni položaj vratila se naglo mijenja. a. Relativno stabilan preliv balansirajućeg

bubnja b. Nestabilan preliv balansirajućeg bubnja

Strukturalna rezonanca sistema Akustika cjevovoda Rezonanca pumpe usljed turbulencije Rezonanca pumpe usljed turbulencije Problem sa zazorom rotor/stator Blokiranje u dotoku balansirajućeg preliva

46

3. Vibracije sklopa vratila i radnog kola pumpe

3. VIBRACIJE SKLOPA VRATILA I RADNOG KOLA PUMPE

3.1. Opis centrifugalne pumpe koja je predmet istraživanja Pumpa koja je predmet ovog rada je centrifugalna pumpa za vodu, tip "100 58 100 1", proizvođač Fabrika pumpi i prečistača "Pobjeda" Tešanj. Pumpa se ugrađuje u sistem za hlađenje automobilskog motora teretnih vozila "Mercedes". Radne karakteristike pumpe su: - Brzina vrtnje: 3000 min-1 - Protok: 238 l/min - Napor pumpe: 0,6 bara

Slika 3.1. Vertikalni presjek centrifugalne pumpe za vodu

Na slici 3.1. prikazan je presjek pumpe, na kojem se vidi oblik vratila i način oslanjanja vratila (preko dva kuglična ležaja). Na slici 3.2. prikazana je pumpa sa sastavnim dijelovima. Sa desne strane je prikazan radno kolo pumpe sa 11 zakrivljenih lopatica. U sredini sklopnog crteža se vidi vratilo pumpe izrađeno u stepenastoj izvedbi, kuglični ležajevi i zaptivke. Na lijevom kraju vratila pričvršćena je prirubnica na koju se montira remenica za pogon pumpe sa ventilatorom.

47


Slika 3.2. Prikaz sklopljene i rastavljene centrifugalne pumpe za vodu

(proizvođač "Pobjeda" Tešanj) Slika 3.3. prikazuje detaljnije oblik i dimenzije radnog kola pumpe. Geometrija radnog kola je veoma složena, a materijal od kojeg je napravljena postojeća konstrukcija pumpe je čelični liv oznake DIN 1691-GG25.

Slika 3.3. Radno kolo centrifugalne pumpe (postojeća konstrukcija)

48


3.2. Vibracije sklopa vratila i radnog kola pumpe

3.2.1. Modeliranje pokretnih dijelova centrifugalne pumpe Da bi se ispitale vibracije centrifugalne pumpe, pomoću softvera I-DEAS Master Series izrađen je prostorni model svih pokretnih dijelova pumpe: prirubnice, vratila i radnog kola. Ležajevi preko kojih je vratilo oslonjeno na kućište pumpe simulirano je oprugama ekvivalentne krutosti.

Slika 3.4. Prostorni model pokretnih dijelova centrifugalne pumpe

3.2.2. Proračun krutosti ležajeva Da bi se što tačnije dobio model vratila sa radnim kolom za dinamičku analizu, potrebno je odrediti krutost oslonaca. Centrifugalna pumpa koja je predmet ovog istraživanja je oslonjena na kućište preko dva kotrljajna ležaja, čiju krutost je potrebno odrediti da bi se oslonci zamijenili oprugama ekvivalentne krutosti. Krutost kugličnog ležaja se računa na osnovu odnosa između napadne sile i deformacije ležaja. Deformacija kuglice u ležaju: Da bi se odredio odnos između sile i deformacije kugličnog ležaja [34], potrebno je prvo izračunati deformaciju jedne kuglice iz ležaja pod djelovanjem radijalne sile F (slika 3.5).

49


F

Slika 3.5. Opterećenje jedne kuglice u kugličnom ležaju Uz pretpostavke da je materijal kuglice linearno elastičan, da je tangencijalni napon na kontaktnoj površini zanemarljivo mali te da je deformacija mala u odnosu na dimenzije kuglice, može se koristiti Hertzova formula:

( )3 22

22125,2 FREνδ −

= [mm] ........................................................................... (3.1)

gdje su: E – Modul elastičnosti materijala kuglice ν - Poissonov koeficijent

12

21

rrrrR−

=........................................................................................................ (3.2)

r1 r2

Slika 3.6. Radijusi zakrivljenosti površina u kontaktu Navedena formula važi za prosti slučaj kontakta kuglice sa konkavnom površinom. Ako se svi parametri osim sile F skupe u funkciju CK, može se pisati:

( ) 3/221,,, FrrECK νδ = [mm] ........................................................................... (3.3)

Za radijalni kuglični ležaj kontaktne površine su nešto složenije. Kontakti se ostvaruju između površine kuglice i površina staza unutrašnjeg i vanjskog prstena ležaja. Kontaktne površine imaju različitu zakrivljenost. Na osnovu radijusa prstenova ležaja, te za E = 20,6 ⋅ 104 N/mm2 i ν = 0,3 za standardne kuglične ležajeve dobije se formula:

50


[ ]mmdF

3/1

3/241037,4 −⋅=δ

.............................................................................. (3.4) gdje je d prečnik kuglice [mm]. Sila F se unosi u [N]. Krutost kugličnih ležajeva: Na osnovu poznavanja odnosa između sile i deformacije za jednu kuglicu, ista relacija se može izračunati i za cijeli ležaj sa z kuglica. Kontaktna sila Fi za jednu kuglicu koja ima deformaciju δi iznosi:

2/3

3/141037,4

⋅

= −− dF ii

δ

[N] ........................................................................... (3.5) Ugao između dvije nesusjedne kuglice je ϕi = i⋅ϕ1. Ugao između susjednih kuglica je ϕ1 = 2π/z. Komponente sile Fi u pravcima koordinatnih osa x i y (sila F djeluje u pravcu ose x) su: Fxi = Fi cos ϕi Fyi = Fi sin ϕi Ako se pretpostavi da su pomjeranja x > 0 i y = 0, komponente sile u pravcu ose y se međusobno poništavaju zbog suprotnih predznaka, a suma komponenti u pravcu ose x daje silu:

[ ]∑∑ +−− +

⋅

== 11

2/3

3/14 cos211037,4

nxi d

xFF ϕ [N].................................... (3.6)

Upotrebom konkretnih vrijednosti za standardne ležajeve dobije se da je izraz u zagradi proporcionalan broju kuglica u ležaju z:

zSn ⋅=+ ∑ +11cos21 ϕ ...................................................................................... (3.7)

Iz toga slijedi da je sila koja djeluje na ležaj:

2/3

3/141037,4

⋅

⋅= −− dxzSF

[N]..................................................................... (3.8) a pomjeranje (deformacija) ležaja:

51


3/23/141037,4

⋅⋅= −−

zSFdx

[mm] .................................................................. (3.9) Krutost se odredi diferenciranjem izraza za silu u odnosu na pomjeranje x:

( )12/3

2/33/141037,42/3 −

−−⋅⋅

⋅== xzS

ddxdFk

[N/µm] ............................................ (3.10) Krutost dakle zavisi od opterećenja ležaja i jednaka je nuli kad je ležaj neopterećen. Konstanta S za kuglične ležajeve iznosi 0,23, pa je deformacija ležaja:

[ ]mzFdx µ

3/23/12,1

⋅= −

.............................................................................. (3.11) Krutost kugličnog ležaja je:

[ mNFdzk µ/3,1 3/13/13/2 ⋅⋅⋅= ]..................................................................... (3.12) Proračun vlastite težine i sila u osloncima: Budući da krutost kugličnih ležajeva preko kojih je vratilo pumpe oslonjeno na kućište zavisi od sila koje djeluju na ležajeve, potrebno je odrediti vrijednost sila za oba ležaja. Polazi se od pretpostavke da na ležajeve djeluju samo sile od vlastite težine pokretnih dijelova pumpe (vratilo, radno kolo i pogonska remenica). Vrijednosti masa pojedinih dijelova su izračunate pomoću softvera I-DEAS, na osnovu izračunatog volumena i specifične mase ρ = 7.82⋅10-6 kg/mm3.

52


Desni dio vratila Sredina vratila Pogonska remenica Lopatice

Lijevi dio vratila Kolo x Sila u lijevom ležaju Sila u desnom ležaju

Slika 3.7. Sile koje djeluju na vratilo Tabela 3.1. Proračun vlastite težine i sila u osloncima: Naziv x [mm] m [kg] V [mm3] F=9,81⋅m [N] Prirubnica 17,5576 0,222228 28417,9 2,180057 Lijevi dio vratila 19,3291 0,18555 23727,6 1,820246 Srednji dio vratila 54,9874 0,179871 23001,4 1,764535 Desni dio vratila 104,467 0,0783327 10017 0,768444 Lopatice 118,004 0,19698 25189,2 1,932374 Kolo 125,394 0,47488 60726,3 4,658573

53


Tabela 3.2. Statički proračun: Naziv Sila [N] Rastojanje od lijevog

oslonca [mm] Rastojanje od desnog oslonca [mm]

P 2,180057 37-17,5576=19,4424 80-17,5576=62,4424 LDV 1,820246 37-19,3291=17,6709 80-19,3291=60,6709 SDV 1,764535 54,9874-37=17,9874 80-54,9874=25,0126 DDV 0,768444 104,467-37=67,467 104,467-80=24,467 K 4,658573 125,394-37=88,394 125,394-80=45,394 L 1,932374 118,004-37=81,004 118,004-80=38,004 suma 13,12423 ΣML = 0 FD⋅43 + FP⋅19,44 + FLDV⋅17,67 – FSDV⋅17,99 – FDDV⋅67,48 – FK⋅88,39 – FL⋅81 = 0 FD = 577,3531/43 = 13,42682 [N] ΣMD = 0 FL⋅43 – FP⋅62,44 - FLDV⋅60,67 – FSDV⋅25,01 + FDDV⋅24,48 + FK⋅45,39 + FL⋅38 = 0 FL = -13,0109 / 43 = -0,30258 [N] Tabela 3.3. Podaci o ležajevima: Lijevi ležaj Desni ležaj Oznaka ležaja: DIN 6206 DIN 6203 Prečnik kuglice: d = 9,525 [mm] d = 6,75 [mm] Broj kuglica: z = 9 z = 8 Sila koja djeluje na ležaj: F = 0,303 [N] F = 13,427 [N]

Krutost ležaja: [ ][ ]mmmNkmNk

kFdzk

/310.008.8/01,8

303,0525,993,13,1

3/13/13/2

3/13/13/2

==

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

µ [ ][ ]mmmNkmNk

kFdzk

/746.357.23/35,23

427,1375,683,13,1

3/13/13/2

3/13/13/2

==

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

µ

Podaci za krutost ležajeva su izraženi u jedinici [mN/mm] jer se u toj jedinici unose kao ulazni podatak za softver I-DEAS.

3.2.3. Rezultati proračuna MKE Urađena su dva različita pojednostavljena modela pokretnih dijelova pumpe, jedan prema poznatim podacima o dimenzijama dijelova pumpe, a drugi sa cilindrom na lijevom kraju vratila, koji simulira prisustvo remenice i ventilatora. Oba modela su simulirana pomoću dvije vrste konačnih elemenata, prostorni parabolični elementi oblika tetraedra i prostorni linearni elementi oblika kvadra. U tabeli 3.4. su prikazani najzanimljiviji rezultati proračuna. Oblici oscilovanja su prikazani na slikama 3.8 do 3.10.

54


Tabela 3.4. Vlastite frekvencije sklopa pokretnih dijelova pumpe R.br.

Model Oblik konačnih elemenata

Frekvencija [Hz]

Oblik oscilovanja

1 sa remenicom tetraedar 737 torzija (slika 3.8) 2 sa remenicom tetraedar 973 savijanje vratila (slika 3.9) 3 bez remenice kvadar 752 savijanje vratila (slika 3.10) 4 bez remenice kvadar 999 savijanje vratila (slika 3.10) 5 bez remenice kvadar 4434 savijanje radnog kola (slika 3.10) 6 bez remenice tetraedar 1339 savijanje vratila (slika 3.11) 7 bez remenice tetraedar 10180 savijanje radnog kola (slika 3.11) 8 bez remenice tetraedar 5334 2. savijanje vratila (slika 3.11)

Slika 3.8. Oblici oscilovanja modela sa remenicom

Slika 3.9. Oblici oscilovanja modela sa remenicom

55


Slika 3.10. Oblici oscilovanja modela bez remenice, modelirani elementima oblika kvadra

Slika 3.11. Oblici oscilovanja modela bez remenice, modelirani elementima oblika tetraedra

56


3.2.4. Zaključak Osnovni nedostatak provedene analize sklopa vratilo/radno kolo je u tome što proizvođaču pumpe nisu dostupni ostali mašinski elementi i sklopovi koji su kruto vezani na vratilo na stvarnom mjestu ugradnje. Obzirom da se radi o pogonskoj remenici i ventilatoru relativno velikih dimenzija, koji znatno utiču na vlastite frekvencije i oblike oscilovanja vratila, bilo bi poželjno ispitati ponašanje pumpe na stvarnom mjestu ugradnje. Rezultati provedenog proračuna pokazuju da sklop vratilo/radno kolo ima vlastite frekvencije koje ne mogu doći u rezonanciju sa poznatim poremećajnim silama (frekvencija debalansa f1 = Ω = 3000 [min-1] = 50 [Hz], frekvencija prolaza lopatica f2 = 11 x f1 = 11 x 50 = 550 [Hz]). To znači da je potrebno detaljnije ispitati ponašanje samog radnog kola.

57

4. Poprečne vibracije ploča

4. POPREČNE VIBRACIJE PLOČA

4.1. Uvod Radno kolo centrifugalne pumpe se ponaša u određenoj mjeri kao okrugla ploča [35], tako da se može pretpostaviti da se vlastite frekvencije radnog kola mogu izvesti sličnim postupkom koji se koristi za vibracije ploča. Diferencijalne jednačine koje opisuju kretanje okrugle ploče su veoma složene za rješavanje, tako da su u ovom poglavlju samo navedeni principi na kojima se te jednačine zasnivaju (dati su izrazi za kinetičku i potencijalnu energiju), te primjeri rješenja slučajeva kod kojih se javlja singularitet, pa su rješenja jednostavnija. Tačno rješenje se u principu i ne izvodi, jer nema praktični značaj – disk je samo aproksimacija radnog kola, tako da je daleko povoljnije koristiti približne metode, kao što je metoda konačnih elemenata.

4.2. Diferencijalna jednačina poprečnih vibracija ploča Posmatra se ploča koja leži u ravni Oxy, sa malom debljinom u smjeru z-ose i sa srednjom površinom na z = 0. Slobodne neprigušene vibracije takve ploče se analiziraju uz Kirchoffove pretpostavke [25].

xwzu

∂∂

−=

xw

∂∂

−

x,u h

z,w

Slika 4.1. Kinematika deformacije tanke ploče Kinematske pretpostavke od kojih se polazi mogu se generalisati na dvodimenzionalni problem savijanja konzolne grede sa zanemarljivim tangencijalnim deformacijama. Te pretpostavke glase: 1. Ploča je tanka sa debljinom "h" i ima srednju površinu na polovini debljine.

Koordinatni sistem je Oxyz, sa centrom u sredini ploče. 2. Posmatra se samo translacija "w" u smjeru z-ose. 3. Naprezanje σz u transverzalnom pravcu je jednako nuli. Kako to naprezanje

stvarno iščezava na vanjskim slojevima ploče, a ploča je male debljine, može se smatrati da ono iščezava po cijeloj debljini ploče.

4. Poprečni presjeci koji su normalni na glavnu ravan, ostaju ravni i ortogonalni na glavnu ravan, što znači da se transverzalno smičuće naprezanje zanemaruje.

5. Polje pomjeranja usljed rotacije poprečnog presjeka se može izraziti preko:

58


),( yxwwywzv

xwzu

=∂∂

−=

∂∂

−=

...................................................................................................... (4.1)

Pod uslovom da se srednja površina ne deformiše, deformacije u ploči su [19]:

yxwz

ywz

xwz

xy

y

x

∂∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

2

2

2

2

2

2γ

ε

ε

................................................................................................ (4.2)

Naprezanja u linearnom i izotropnom materijalu se računaju prema Hooke-ovom zakonu:

( )

( )

yxwEzG

xw

ywEzE

yw

xwEzE

xyxy

xyy

yxx

∂∂∂

+−==

∂∂

+∂∂

−−=+

−=

∂∂

+∂∂

−−=+

−=

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

)1(

)1()1(

)1()1(

νγτ

νν

νεεν

σ

νν

νεεν

σ

......................................... (4.3)

gdje je: E - modul elastičnosti ν - Poissonov koeficijent

)1(2 ν+=

EG - modul smicanja

Potencijalna energija elastične deformacije elementa dxdydz iznosi:

dxdydzdE xyxyyxp

++=

222τγεε

................................................................... (4.4)

Integriranjem (4.4) po zapremini V ili po površini S ploče i uvrštavanjem (4.3) dobije se potencijalna energija elastične deformacije cijele ploče:

∫∫

∫∫∫

∂∂

∂−

∂∂

∂∂

−−

∂∂

+

∂∂

=

=

Sp

Vp

dxdyyxw

yw

xw

yw

xwDE

dVE

22

2

2

2

22

2

2

2

2

)1(22

ν........ (4.5)

59


gdje je

)1(12 2

3

ν−=

EhD - savojna krutost ploče debljine h.

Kinetička energija je:

∫=Sk dxdywhE 2

2&

ρ ........................................................................................... (4.6)

Za slučaj okrugle ploče, pogodnija je upotreba polarno-cilindričnog koordinatnog sistema.

θθ

sincosryrx

==

........................................................................................................ (4.7)

Za transformaciju derivacija iz pravougaonog u polarno-cilindrični koordinatni sistem koriste se izrazi:

θθθ

θθθ

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

=∂∂

cos1sin

sin1cos

rry

rrx ............................................................................... (4.8)

Jednačine za potencijalnu (4.5) i kinetičku energiju (4.6) u polarno-cilindričnim koordinatama glase:

θθθ

ν

θ

rdrdwrr

wrr

wrr

w

wrr

wrr

wDESp

∂∂

∂∂

−

∂∂

+∂∂

∂∂

−−

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ∫∫2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

111)1(2

112

................ (4.9)

∫=Sk rdrdwhE θρ 2

2& ......................................................................................... (4.10)

Diferencijalna jednačina poprečnih vibracija ploče izvodi se pomoću Hamiltonovog principa za male vibracije elastičnog tijela, koji glasi: "Integral Lagrangeove funkcije (razlika potencijalne i kinetičke energije) po vremenu t1 do t2 kod stvarnog kretanja je minimalan":

∫∫ =−1

0

1

0

)(t

t

t

tpk RdtdtEE δδ .................................................................................. (4.11)

gdje je: Ep – deformacioni rad (potencijalna energija deformacije) Ek – kinetička energija

60


δR – varijacija rada spoljnih sila

∫=S

wdSzrqR δθδ ),,( ...................................................................................... (4.12)

U slučaju slobodnih harmonijskih vibracija ploča na koje ne djeluju spoljne sile, Hamiltonov princip glasi:

0)(1

0

=−∫t

tpk dtEEδ .......................................................................................... (4.13)

Uvrštavanjem izraza za kinetičku (4.10) i potencijalnu energiju (4.9) u (4.13), te određenih transformacija, dobije se diferencijalna jednačina slobodnih vibracija okrugle ploče u cilindričnim koordinatama:

0=−∆∆ whwD &&ρ ............................................................................................. (4.14) Gdje je ∆ Laplace-ov operator:

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=∆ 2

2

22

2

2

2

2

2 11θrrrryx

.................................................... (4.15)

Granični uslovi za kruto ukliještenu konturu ploče glase:

0

0

=∂∂

=

rww

............................................................................................................. (4.16)

Granični uslovi za slobodnu konturu ploče glase:

00=∆

=ww

............................................................................................................. (4.17)

4.3. Metode rješavanja diferencijalne jednačine poprečnih vibracija ploča Tanka ploča je dvodimenzionalna analogija Euler-Beronullijeve grede (kada su zanemarena tangencijalna naprezanja). Dvodimenzionalna analogija Timoshenkove grede (kada se uzimaju u obzir tangencijalna naprezanja i inercione sile usljed rotacije) je poznata u literaturi kao Mindlin-Timoshenkova teorija. Za rješavanje ovih problema postoje tačne i približne metode, od kojih će neke biti prikazane u ovom radu.

4.3.1. Tačno rješenje Potrebno je odrediti uslove pod kojima će sve tačke ploče izvoditi harmonijske vibracije istom frekvencijom i istom fazom. Pretpostavi se oblik funkcije w:

61


tietrWtrw νϕϕ ),,(),,( = ................................................................................... (4.18) Ako se uvede konstanta c:

hDcρ

=2 ........................................................................................................... (4.19)

Jednačina (4.14) se može napisati u obliku:

02 =−∆∆ wwc && ................................................................................................. (4.20) Uvrštavanjem (4.18) u (4.19) dobije se:

0),(),( 22 =−∆∆ ϕωϕ rWrWc ......................................................................... (4.21) ili

0))(( 224 =+∆−∆=−∆∆ WWW λλλ ............................................................ (4.22) gdje je:

cωλ =2 ............................................................................................................. (4.23)

Rješenje jednačine je: 02 =−∆ λ

[ )()()(sincos

),( rBYrAmrW mm λλϕϕ +ℑ= ]

]

........................................................ (4.24)

Rješenje jednačine je: 02 =+∆ λ

[ )()()(sincos

),( riDYriCmrW mm λλϕϕ +ℑ= ..................................................... (4.25)

Opšte rješenje jednačine (4.21) glasi:

[ ])()()()()(sincos

),( riDYriCrBYrAmrW mmmm λλλλϕϕ +ℑ++ℑ= ................. (4.26)

gdje su )( rm λℑ i )( rim λℑ Besselove funkcije prve vrste, a Y )( rm λ i Y )( rim λ Besselove funkcije druge vrste. Kako se radi o punoj ploči, može se staviti da je B = D = 0, jer funkcije Y )( rm λ i

)( riYm λ imaju u centru ploče singularitete. Argument funkcije )( rim λℑ je imaginaran broj. Uvodi se oznaka

62


)()( izizI mm

m ℑ= − gdje funkcija ima sljedeće osobine: )(zIm

[ ]

)()(

)()(

)()(21)(

)(2)()(

01

10

11

11

zIdzzI

zzIdzzI

zIzIzIdzd

zIzmzIzI

mmm

mmm

=

=

+=

=−

∫∫

+−

+−

....................................................................... (4.27)

Prema (4.27), za punu kružnu ploču dopuštena su sljedeća rješenja:

[ )()()(sincos

),( 11 rIBrAmrW mm λλϕϕ +ℑ= ] ...................................................... (4.28)

Za slobodno oslonjenu ploču (vanjski poluprečnik r = R) važe granični uslovi:

011;0),(

0),(

2

2

22

2

=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∆

=

=Rr

Wrr

Wrr

WRW

RW

ϕνϕ

ϕ

................................... (4.29)

Uvrštavanjem (4.28) u (4.29), dobiju se dvije homogene jednačine čijim se rješavanjem dolazi do frekventne jednačine. Za ukliještenu ploču navedenim postupkom se dobiju sljedeće vrijednosti za prve tri vlastite kružne frekvencije:

hD

R

hD

R

hD

R

ρπω

ρπω

ρπω

2

02

2

11

2

10

007,2

468,1

015,1

=

=

=

.................................................................................... (4.30)

Indeksi uz ω predstavljaju nodalni prečnik, odnosno nodalnu kružnicu, respektivno. (ω10 predstavlja vlastitu frekvenciju sa 0 nodalnih prečnika i 1 nodalnom kružnicom). Formula za izračunavanje vlastite frekvencije kružne ploče ima opšti oblik [18]:

4hrDamnmn ρ

ω = [Hz].................................................................................... (4.31)

63


gdje su:

)1(12 2

3

ν−=

EhD - savojna krutost ploče debljine h.

ρ - specifična masa r - poluprečnik ploče m - broj nodalnih prečnika n - broj nodalnih kružnica amn - numerička konstanta koja zavisi od oblika oscilovanja, te od oblika oslanjanja ploče (graničnih uslova):

• Za slobodno oslonjene rubove a20 = 5,25 • Za slobodno oslonjene rubove a01 = 9,07 • Za ukliještene rubove a01 = 10,21 • Za slobodno oslonjene rubove, ukliješteno u središtu: a01 = 3,75

Slika 4.2. Oblici oscilovanja kružne ploče ukliještene po rubu

4.3.2. Približne metode Tačna rješenja problema dinamike konstrukcija, konkretno vibracija ploča, vezano je sa značajnim teškoćama. To se odnosi na rješavanje diferencijalnih jednačina u polarnim ili pravouglim koordinatama u slučajevima promjenljivog poprečnog presjeka, analizi u neelastičnoj oblasti, kod visokoelastičnim materijala, složenih spoljnih opterećenja, itd. Iz tih razloga uvode se razne približne metode. Za specijalne slučajeve vibracija ploča može se koristiti Ritz-Galerkinova metoda da bi se izračunale kinetička i potencijalna energija. Kako dinamički deformisana površina ploče nije unaprijed poznata (funkcija w(x,y), odnosno w(r,θ)), potrebno je pretpostaviti oblik te funkcije tako da zadovoljava postavljene granične uslove. Funkcije se biraju u formi:

64


∑=

=n

iii yxwcyxw

1),(),( ..................................................................................... (4.32)

gdje su: ci – konstante wi(x,y) – diferencijabilne funkcije koje zadovoljavaju samo geometrijske granične uslove (pomjeranja i ugibi), a ne i dinamičke granične uslove (sile i momenti). Ritz-Galerkinova metoda se razlikuje od Rayleigh-Ritzove metode po tome što se najbolja aproksimacija postiže minimiziranjem greške tako što se zadovolji diferencijalna jednačina preko cijelog raspona funkcija. Rayleigh-Ritzova metoda služi za određivanje konstanti ci tako što se traži prva vlastita frekvencija, odnosno traži se minimum Rayleighovog količnika ω2. Polazi se od principa o konzervaciji energije, po kojem je zbir potencijalne i kinetičke energije konstantan. Iz toga se može izvesti jednakost maksimuma potencijalne i kinetičke energije, a na osnovu te jednakosti dobije se izraz za Rayleighov količnik ω2. Kod Ritz-Galerkinove metode polazi se od diferencijalne jednačine

0)( =wL .......................................................................................................... (4.33) gdje je "L" diferencijalni operator, a funkcija w(x,y) predstavlja rješenje diferencijalne jednačine (4.33). Primjer operatora "L" je:

[ ]DhDL ρωλλ

244 =−∆∆=

Uvrštavanje (4.32) u (4.33) dovodi do toga da lijeva strana diferencijalne jednačine (4.33) ne bude jednaka nuli, nego je potrebno izračunati njeno odstupanje (rezidual):

∫=S ii dxdywLwR )( .......................................................................................... (4.34)

za svaku od pretpostavljenih funkcija wi. Izjednačavanjem reziduala za svaku funkciju wi sa nulom daće sistem od n linearnih jednačina iz kojih se izračunaju vrijednosti konstanti ci.

4.4. Oblici oscilovanja okruglih ploča Oblici oscilovanja (modovi, tonovi) okruglih ploča se mogu prikazati pomoću nodalnih linija. To su geometrijska mjesta tačaka koje se ne pomjeraju za određeni oblik oscilovanja. Njemački fizičar Ernst Chladni je 1787. godine odredio oblike tih linija eksperimentalno, sipanjem pijeska na vibrirajuće ploče (za pobudu vibracija koristio je violinsko gudalo). Pijesak se zadržavao samo na mjestima na kojima je amplituda vibracija bila najmanja, odnosno na nodalnim linijama. Švicarski fizičar Walter Ritz je 1904. razvio analitički metod da bi reprodukovao Chladnijeve eksperimente.

65


Slika 4.3. Nodalne linije i nodalne kružnice

Slika 4.4. Chladnijeve figure – oblici oscilovanja okrugle ploče

Isti eksperiment je 1967. ponovio švicarski naučnik Hans Jenny, ali je ovaj put za pobudu vibracija koristio uređaj vlastite izrade pod nazivom "tonoskop" [32]. To je bio kristalni oscilator pomoću kojeg su se frekvencija i amplituda vibracija dale preciznije kontrolisati. Potvrdio je rezultate koje je dobio Chladni, i proširio ih je na ploče sa pijeskom, željeznim prahom, srebrom, polenom, gasovima, vodom, plastičnim supstancama i viskoznim tečnostima. Došao je do zaključka da fluid (voda) prianja na bijele površine Chladnijevih figura, a da se na crnim površinama (nodalne linije) fluid odvaja od površine ploče. Takođe je zaključio da samo frekvencija utiče na oblik figura (broj nodalnih linija), a da amplituda utiče samo na intenzitet turbulencija i brzinu kojom se materijal kreće po ploči. Takođe je utvrdio da vibracije mogu izazvati antigravitacijski efekat, tj. ako se vibrirajuća ploča na kojoj se nalazi fluid izvede iz horizontalnog položaja, oblik Chladnijevih figura, tj. oblik oscilovanja se uopšte ne mijenja.

66


Slika 4.5. Chladnijeva figura nastala vibracijom frekvencije vokala "A" [32]

Slika 4.6. Chladnijeve figure nastale vibracijom radnog kola centrifugalne

pumpe

4.5. Uticaj centrifugalne sile Ako se kružna ploča kao simplificirani oblik radnog kola pumpe obrće oko ose okomite na ravan ploče, koja prolazi kroz centar ploče, na ploču djeluje još i centrifugalna sila usljed rotacije. Potencijalna energija deformacije se u tom slučaju sastoji iz dva dijela, jedan od savijanja, a drugi od centrifugalnog efekta. Da bi se skratio postupak računanja vlastite frekvencije, koristi se sljedeća teorema: Southwellova teorema: Ako se u nekom elastičnom sistemu restitucione sile mogu podijeliti u dva dijela, tako da je ukupna potencijalna energija jednaka zbiru parcijalnih potencijalnih energija, tada se vlastita frekvencija ovakvog sistema može približno odrediti prema obrascu [18]:

22

21

2 ωωω += .................................................................................................. (4.35)

67


gdje je: ω1 – vlastita frekvencija ploče u stanju mirovanja ω2 – vlastita frekvencija ploče usljed dejstva centrifugalne sile Važi opšta jednačina:

221

2 Ω+= aωω ................................................................................................ (4.36) gdje je: Ω - brzina obrtanja (rotacije) a – numerička konstanta koja zavisi od oblika oscilovanja Da bi se tačno odredile deformacije usljed centrifugalnog efekta, posmatra se beskonačno mali element između dvije ravnine koje zatvaraju ugao dα i dvije koncentrične cilindrične površine radijusa "r" i "r + dr" [2], prema slici 4.7.

Slika 4.7. Naprezanja u rotirajućem disku [2]

Pretpostavi se da je debljina elementa jednaka jedinici. Pri rotaciji diska na element djeluju radijalne i tangencijalne komponente naprezanja σr i σt, koje su funkcije radijusa r. Aksijalno naprezanje σz = 0. Pri konstantnoj ugaonoj brzini rotacije Ω na element djeluje još i elementarna sila inercije

22 )1( Ω⋅⋅=Ω= rdrrddmdC f αρρ .................................................................. (4.37) Budući da sve sile djeluju u istoj ravni, radi se o dvoosnom napregnutom stanju. Uslov dinamičke ravnoteže elementa glasi:

012

sin1211))(( 2 =Ω⋅⋅+⋅⋅−⋅−⋅++ rdrrdddrrdddrrd trrr αρασασασσ .. (4.38)

68


Kako je 22

sin αα dd≅ i ako se zanemare male veličine drugog reda, dobije se

jednačina ravnoteže u obliku:

022 =Ω+−++ drrdrdrddrrd trrr ρσσσσ .................................................. (4.39) odnosno

22Ω−=+− rdrd r

tr ρσ

ρσσ ............................................................................. (4.40)

Uslov identičnosti deformacija glasi:

rdrd

drd rt 2)1( Ω+−−= ρνσσ ............................................................................. (4.41)

Deriviranje jednačine (4.40) po r i koristeći (4.41) dobije se:

ρνσσ 22

2

)3(3Ω+−=+

drdrdr

d rr .......................................................................... (4.42)

Opšti integral te jednačine

222 8

3 rrBAr ρνσ Ω

+−+= ................................................................................ (4.43)

Iz jednačine (4.40)

22Ω++= rdrd r

rt ρσ

ρσσ ............................................................................... (4.44)

Deriviranjem (4.43) po r dobije se:

223 8

312 rrB

drd r ρνσ

Ω+

−−= ............................................................................ (4.45)

Kada se uvrsti (4.45) u (4.44), dobije se nakon potrebnih transformacija

222 8

31 rrBAt ρνσ Ω

+−−= ............................................................................. (4.46)

Integracione konstante A i B se određuju iz graničnih uslova. Za šuplji disk unutrašnjeg radijusa r1 i vanjskog r2, granični uslovi glase: za r = r1:

69


08

3 21

22

1

=Ω+

−−= rrBAt ρνσ ....................................................................... (4.47)

za r = r2:

08

3 22

22

2

=Ω+

−−= rrBAt ρνσ ....................................................................... (4.48)

Iz jednačina (4.47) i (4.48) dobije se:

22

21

2

22

21

2

83

)(8

3

rrB

rrA

Ω+

−=

+Ω+

=

ρν

ρν

................................................................................... (4.49)

Prema tome, jednačine (4.43) i (4.46) dobivaju oblik:

+−

+++

Ω=

−−+Ω

+=

22

22

122

21

2

22

2122

22

12

)31()3(8

83

rrrrrr

rrrrrr

t

r

ννρσ

ρνσ

............................................ (4.50)

Za sve vrijednosti r naprezanja σr i σt su pozitivna. Deriviranjem jednačina (4.50) po r može se odrediti položaj elemenata diska na koje djeluju maksimalne komponente i tangencijalna naprezanja. Najveća vrijednost naprezanja σr dobiva se za 21rrr = .

( )2

2

122

2max 1

83

−Ω

+=

rrrr ρνσ ...................................................................... (4.51)

Najveća vrijednost naprezanja σt dobiva se za 1rr = .

( )

++

−+Ω+

= 22

212

22

max 33112

83

rr

rt ννρνσ .................................................... (4.52)

Na slici 4.8. prikazana je raspodjela radijalnih i tangencijalnih naprezanja prema jednačinama (4.50) u zavisnosti od radijusa r. Slučaj (a) predstavlja disk sa otvorom radijusa r1, slučaj (b) puni disk i slučaj (c) disk sa relativno malim otvorom.

70


Slika 4.8. Raspodjela naprezanja u rotirajućem disku [2]

Potencijalna energija elastične deformacije (izračunata ranije prema (4.5) i (4.9)), ovaj puta uzimajući u obzir dejstva centrifugalne sile, iznosi:

( ) (( )dV

EE

zrzr

V rrzzzzrrzzrrp

222

222

211

)1(2

θθ

θθθθθθ

εεε

εεεεεεεεεν

νν

+++ +++−++

−−

+= ∫ )

.............. (4.53)

gdje su εij (i = r, θ, z; j = r, θ, z) komponente Greenovog tenzora naprezanja. Za ravno stanje naprezanja komponente tenzora naprezanja su:

( )θθ

θ

θθ

θθ

εεν

νε

θθθε

θθθε

ε

εεεε

+−

=

+

∂∂

∂∂

+

−

∂∂

∂∂

+

−

∂∂

+∂∂

=

+

∂∂

+

−

∂∂

+

∂∂

+=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

===

rrzz

r

zr

zzrzrz

wvrvvw

rwvw

rrv

wvvwr

vwr

rv

rw

rw

1

1

211

21

22

2

2

2

2

................................... (4.54)

Uvrštavanjem (4.54) u (4.53), dobije se potencijalna energija:

71


θθθθ

ν

θθθ

νθθ

θνπ

rdrdwvrvvw

rwvw

rrv

wvvwr

vw

rv

rw

rwwvvw

r

vwrr

vrw

rwEhE

r

rp

+

∂∂

∂∂

+

−

∂∂

∂∂

+

−

∂∂

+∂∂−

+

+

+

∂∂

+

−

∂∂

+∂∂

+⋅

⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

+

∂∂

+

−

∂∂

+

+

∂∂

++

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= ∫ ∫

2

22

2

2

2

2

2222

2

22

0 2

2

2

2

2

12

1

21

212

21

121

)1(22

1

...... (4.55)

gdje su: w – radijalna komponenta vektora pomjeranja, v – tangencijalna komponenta vektora pomjeranja.

72

5. Primjena metode konačnih elemenata za određivanje vlastitih frekvencija slobodnih neprigušenih vibracija

5. Primjena metode konačnih elemenata za određivanje vlastitih frekvencija slobodnih neprigušenih vibracija Metoda konačnih elemenata (MKE) je tehnika za približno rješavanje fizičkih ili matematičkih problema koja se zasniva na diskretizaciji kontinuuma (podjelom domena na poddomene konačnih dimenzija – konačne elemente), tako da se umjesto diferencijalnih jednačina rješavaju sistemi algebarskih jednačina. Diskretizacija realne strukture svodi sistem sa beskonačno mnogo stepeni slobode kretanja na sistem sa konačnim brojem stepeni slobode. Analiza, odnosno rješenje stanja konačnog elementa se izvodi matematičkim putem, na osnovu neke poznate funkcionalne zavisnosti između veličina koje postoje u problemu. Rješenje cjelokupnog sistema se dobije kombinacijom rješenja pojedinih elemenata, uz upotrebu matričnog računa. U inženjerskoj praksi, MKE se koristi za određivanje napona i deformacija u statički i dinamički napregnutim konstrukcijama, za proračun raspodjele i toka toplote u termički opterećenim konstrukcijama, za modalnu analizu, analizu vibracija, optimizaciju konstrukcija, itd. Proračun metodom konačnih elemenata podrazumijeva rješavanje matričnih jednačina, a svodi se na rješavanje sistema jednačina sa velikim brojem nepoznatih veličina. Klasičnim putem se mogu riješiti krajnje jednostavni problemi (od nekoliko konačnih elemenata), dok se za iole složeniji problem moraju koristiti računari. Razvoj računarske opreme u posljednjih nekoliko godina izmijenio je koncept rješavanja problema metodom konačnih elemenata. Naime, veliki broj operacija koje su zahtijevale dosta vremena (diskretizacija modela, definisanje graničnih uslova) su danas automatizirane i te operacije su implementirane u software za grafički prikaz modela. Takođe, proces rješavanja modela je znatno brži, jer su danas na raspolaganju veoma brzi računari (umjesto da traje nekoliko sati, sada proces rješavanja složenih modela traje samo nekoliko minuta). Na tržištu postoji veliki broj komercijalnih softverskih paketa opšte namjene koji se zasnivaju na MKE, od kojih su najpoznatiji ALGOR, ANSYS, I-DEAS, NASTRAN, itd. MKE se može koristiti za veliki broj fizičkih fenomena, ali će se ovdje posmatrati samo primjena MKE na problem vibracija struktura. Za određivanje vlastitih frekvencija i oblika oscilovanja za slučaj slobodnih vibracija pomoću MKE polazi se od matrične jednačine kretanja diskretizirane strukture sa n stepeni slobode kretanja: [ ] [ ] [ ] 0=++ qKqCqM &&& .............................................................................. (5.1) gdje su: [M] – matrica masa [C] – matrica prigušenja [K] – matrica krutosti qqq ,, &&& - vektori generalisanih ubrzanja, brzina i pomjeranja

73


Rješenja jednačine (5.1) se pretpostave u obliku: teuq λ= ....................................................................................................... (5.2) tako da se problem (5.1) svodi na problem vlastitih vrijednosti:

[ ] [ ] [ ]( ) 02 =++ uKCM λλ ........................................................................... (5.3) odnosno [ ] [ ] TT

nn

Hv

uH

0)(

0)(

=

=×

λ

λ............................................................................................ (5.4)

Rješavanjem (5.4) dobivaju se vlastite vrijednosti λi i vlastiti vektori , za i=1,2,...,2n. To znači da za matricu dinamičke krutosti

ii vu ,[ ] nnH ×)(λ postoji 2n vlastitih

rješenja. Problemi (5.4) su problemi drugog reda po λ. Za slučaj neprigušenih slobodnih vibracija pretpostavlja se rješenje u obliku: tieutq ω=)( .................................................................................................. (5.5) pa se dobija: [ ] [ ][ ] 02 =− tieuMK ωω ................................................................................ (5.6)

odnosno: [ ] [ ][ ] 02 =− uMK ω ...................................................................................... (5.7)

Da rješenje ne bi bilo trivijalno, mora biti determinanta matrice:

[ ] [ ][ ] 0det 2 =− MK ω ........................................................................................ (5.8) Iz ove algebarske jednačine dobija se niz od n pozitivnih realnih vrijednosti ω2 koje predstavljaju vlastite vrijednosti datog problema. Vrijednosti ωi, i=1,2,...,n predstavljaju neprigušene vlastite frekvencije sistema. Kada se te vrijednosti uvrste u (5.7), dobije se n vektorskih rješenja koja predstavljaju oblike oscilovanja sistema (modove). Rezultati koji se dobiju MKE su dati u čvorovima konačnog elementa. Vrijednosti traženih veličina u ostalim tačkama se dobiju preko određenih interpolacionih funkcija. Rješenja dobivena metodom konačnih elemenata su u opštem slučaju

74


približna, te se postavlja pitanje tačnosti, stabilnosti i konvergencije rješenja. Tačnost rješenja po MKE je bliskost približnog rješenja tačnom. Konvergencija je stabilnost u numeričkom (proračunskom) procesu kod određivanja rješenja. Konvergencija rješenja analogna je konvergenciji rješenja kod iterativnih postupaka, gdje se rezultati iz prethodnog rješenja koriste kao osnova za dobijanje sljedećeg rješenja. Ako se razlika između uzastopnih rješenja sukcesivno smanjuje, postupak je konvergentan. O konvergenciji MKE se zaključuje na osnovu analize rezultata u zavisnosti od promjene određenih parametara: veličina i broj konačnih elemenata, broj čvorova, izbor interpolacijskih funkcija. I-DEAS Master Series softver koji je korišten pri izradi ovog rada je složeni softverski paket koji se sastoji iz više aplikacija. Jedna od njih je "Normal Mode Dynamics Analysis", koja služi za određivanje neprigušenih oblika oscilovanja i vlastitih frekvencija struktura. Softver pruža mogućnost izbora tri metode za rješenje problema neprigušenih oblika oscilovanja i vlastitih frekvencija struktura: Simultana iteracija vektora (SVI), Lanczos, i Guyan redukciju. Za problem ovog rada najpogodnija je Lanczos metoda rješavanja.

5.1. Lanczos metoda za određivanje vlastitih frekvencija i oblika oscilovanja Lanczos metoda izračunava relativno malo parova vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora za model definisan sa velikim brojem stepeni slobode kretanja. Izolovane vlastite vrijednosti se aproksimiraju pouzdano nakon relativno malog broja koraka u proračunu. Obično se traže najmanje vlastite vrijednosti. Lanczos algoritam brzo konvergira. Generalisani problem vlastitih vrijednosti je prikazan matričnom jednačinom:

MxKx λ= ........................................................................................................ (5.9) gdje su: K – matrica krutosti M – matrica masa λ - vlastita vrijednost Lanczos algoritam koristi sljedeću jednačinu:

MxxK ν= ......................................................................................................... (5.10) gdje je: σ - pomak vlastite vrijednosti

MKK σ−= .................................................................................................... (5.11) Spektar generalisanog problema (5.9) je vezan za spektar sa pomaknutom vrijednosti (5.10) sljedećom relacijom:

75


σνλ

−=

1 ........................................................................................................ (5.12)

Lanczos metoda konstruiše set ortogonalnih vektora (Lanczos vektora) za Rayleigh-Ritzovu proceduru. Algoritam je u uskoj vezi sa metodama inverzne iteracije za izračunavanje jednog para vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora. Za dati par matrica MKK σ−= i M, te za početni vektor r, ove metode generišu sekvencu vektora:

( ) ( ) jrMKrMKMrKr 111 ,...,2,, −−− ................................................................ (5.13) tokom j iteracija. Ti se vektori nazivaju sekvenca Krylova, koja, kad j teži beskonačnosti, konvergira vlastitom vektoru koji odgovara vlastitoj vrijednosti λ, koja je najbliža pomaku σ. Lanczos metod formira set M-ortonormalnih vektora (Lanczos vektori) koji se koriste u Rayleigh-Ritzovoj proceduri da bi se smanjile dimenzije problema vlastitih vrijednosti. To vodi do standardnog problema vlastitih vrijednosti sa tri-dijagonalnom matricom.

5.2. Konačni elementi za analizu vibracija I-DEAS ima automatski generator mreže, za koji treba samo definisati prosječnu veličinu konačnog elementa, te tip elementa, a sve ostalo se vrši automatski. Ako je potrebno da na pojedinim dijelovima modela mreža konačnih elemenata bude gušća, kako bi se dobili precizniji rezultati (naprimjer na mjestima nagle promjene geometrije, tj. gdje je moguća koncentracija naprezanja), može se definisati tačan broj elemenata na određenom rubu ili površini. Generator mreže se tako podvrgava zadatim ograničenjima za generisanje mreže. Mreža konačnih elemenata može biti generisana kao mapirana (MAPPED - sa pravilnom simetričnom distribucijom), slobodna (FREE - sa nepravilnim, slobodnim rasporedom čvorova i elemenata) ili kombinacija ove dvije vrste. Diskretiziranje radnog kola pumpe ili rotirajućeg diska može se obaviti različitim vrstama konačnih elemenata. I-DEAS Master Series raspolaže sa velikim brojem različitih konačnih elemenata, štapnih, površinskih, prostornih, specijalnih, itd. Za analizu vibracija radnog kola pumpe korištene su dvije vrste konačnih elemenata, i to prostorni linearni elementi oblika kvadra i prostorni parabolični elementi oblika tetraedra. Pojam linearni i parabolični odnosi se na red jednačina koje se koriste za interpolaciju stanja naprezanja ili pomjeranja između čvorova. Materijal modela je generički izotropni materijal sa osobinama čelika.

76


5.2.1. Prostorni linearni element oblika kvadra

Slika 5.1. Prostorni linearni element oblika kvadra Prostorni linearni element oblika kvadra (Brick) ima 6 strana i 8 čvorova. Svaki čvor ima po tri translacijska, 1 temperaturni i 3 rotacijska stepena slobode kretanja.

5.2.2. Prostorni parabolični element oblika tetraedra

Slika 5.2. Prostorni parabolični element oblika tetraedra Prostorni linearni element oblika kvadra (Brick) ima 4 strane i 10 čvorova. Svaki čvor ima po tri translacijska, 1 temperaturni i 3 rotacijska stepena slobode kretanja.

5.3. Izbor vrste i broja konačnih elemenata za diskretizaciju radnog kola centrifugalne pumpe Proračunu vlastitih frekvencija radnog kola pumpe prethodi izrada prostornog modela, te njegova diskretizacija (podjela na konačne elemente). Izbor broja konačnih elemenata (gustoće mreže) zavisi od željene preciznosti rezultata. Ako se žele rezultati koji bolje aproksimiraju stvarno ponašanje modela, mreža mora biti gušća, tj. elemenata mora biti više. Međutim, povećanje broja elemenata direktno utiče na broj stepeni slobode modela, odnosno broj algebarskih jednačina koje se moraju riješiti, što nepotrebno pove'ava vrijeme proračuna. Takođe, prevelik broj elemenata povećava zahtjeve softvera za radnom memorijom računara (za model sa 10000 konačnih elemenata potrebno je više od 1 GB RAM memorije).

77


101

50

Slika 5.3. Okrugla ploča – model za izbor potrebnog broja konačnih elemenata Za proračun vlastitih frekvencija okrugle ploče dimenzija sličnih dimenzijama radnog kola centrifugalne pumpe, diskretizacija je vršena za različit broj konačnih elemenata. Na slikama 5.4. do 5.6. prikazani su rezultati proračuna za različit broj konačnih elemenata. Iz dijagrama na slikama 5.4 do 5.6 može se zaključiti da je za proračun modela sa slike 5.3 dovoljna mreža od 240 konačnih elemenata oblika kvadra (1 po debljini, 6 po radijusu i 4 x 10 po obimu diska).

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

6 8 10 12 14 16 18

Broj elemenata po četvrtini obima diska

Vlas

tite

frek

venc

ije

Slika 5.4. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata

po četvrtini obima diska

78


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4 5 6 7 8 9

Broj elemenata po radijusu diska

Vlas

tite

frek

venc

ije

10

Slika 5.5. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po radijusu diska

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 1 2 3

Broj elemenata po debljini diska

Vlas

tite

frek

venc

ije

4

Slika 5.6. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po debljini diska

Na izbor vrste konačnih elemenata utiče i način generisanja mreže, tj. diskretizacije modela. Model u obliku pravilnog diska se lako diskretizira mapiranim konačnim elementima, samo što je prethodno potrebno izvršiti particioniranje (Partitioning) podjelom diska na četiri identična dijela pomoću dva okomita prečnika (slika 5.7).

79


Slika 5.7. Particioniranje diska radi generisanja mapirane mreže konačnih elemenata

Mapiranom mrežom se dobiju isključivo linearni ili parabolični elementi oblika kvadra, koji daju zadovoljavajuće rezultate prilikom proračuna vlastitih frekvencija. Za diskretizaciju radnog kola s lopaticama se takođe može koristiti mapirana mreža, ali tako formirani elementi imaju dosta veliku distorziju, tako da rezultati nisu pouzdani. Da bi se mogla formirati mapirana mreža, mora se kreirati takav model radnog kola koji će biti pogodan za formiranje mapirane mreže. Radno kolo se podijeli na onoliko segmenata koliko ima lopatica, a zatim se generiše mreža za jedan segment. I generisanje mreže za taj segment obavezno podrazumijeva particioniranje po površinama dodira lopatica i diska radnog kola. Nakon toga se segment rotacijom oko ose imepelera iskopira onoliko puta koliko ima lopatica. Taj postupak je dosta složen i zahtijeva dosta vremena, tako da je uzet u obzir slobodni način generisanja mreže. Slobodna mreža se može generisati sa više tipova elemenata, te je potrebno izvršiti provjeru koji od njih daje najbolje rezultate. Pokazalo se da su parabolični tetraedri najpovoljniji, jer se sa relativno malo konačnih elemenata (elementi većih dimenzija) dobije zadovoljavajući rezultat. To smanjuje i vrijeme potrebno za diskretizaciju (diskretizacija je automatska i bez particioniranja) i vrijeme proračuna, jer elemenata ima manje, te je i broj algebarskih jednačina koje treba riješiti manji. Tabela 5.1. Izbor vrste konačnih elemenata za diskretizaciju radnog kola pumpe Način diskreti-zacije

Veličina elementa [mm]

Oblik elementa Broj čvorova

Prva vlastita frekvencija [Hz]

Odstupanje rezultata [Hz]

mapirani 1,0 linearni kvadar 8 3686 0 mapirani 1,0 parabolični kvadar 20 3671 -15 mapirani 2,0 linearni kvadar 8 3672 -14 mapirani 2,0 parabolični kvadar 20 3648 -38 slobodni 2,0 parabolični tetraedar 8 3691 +5 slobodni 4,2 parabolični tetraedar 8 3716 +30 mapirani 4,2 linearni kvadar 8 2903 -783 mapirani 4,2 parabolični kvadar 20 3171 -515

80


Slika 5.8. Mapirana (MAPPED) mreža konačnih elemenata

Slika 5.9. Slobodna (FREE) mreža konačnih elemenata

81

6. Uticaj vrste materijala na vibracije radnog kola pumpe

6. Uticaj vrste materijala na vibracije radnog kola pumpe Radno kolo centrifugalne pumpe se ponaša slično okrugloj ploči [35], tako da se može pretpostaviti da se vlastite frekvencije radnog kola mogu izvesti sličnim postupkom koji se koristi za vibracije ploča. Formula za izračunavanje vlastite frekvencije kružne ploče ima opšti oblik [18]:

4hrDamnmn ρ

ω = ............................................................................................ (6.1)

gdje su:

)1(12 2

3

ν−=

EhD - krutost savijanja ploče debljine h.

ρ - specifična masa r - poluprečnik ploče m - broj nodalnih prečnika n - broj nodalnih kružnica amn - numerička konstanta koja zavisi od oblika oscilovanja, te od oblika oslanjanja ploče (graničnih uslova) Numerička konstanta amn, poluprečnik (r) i visina ploče (h) ne zavise od materijala, tako da se može uvesti konstanta C:

4

2

12rhaC mn= ................................................................................................ (6.2)

Vlastita frekvencija okrugle ploče iznosi:

ρνρνω

)1()1(12 242

2

−=

−=

ECr

Ehamnmn ..................................................... (6.3)

Ako su date dvije ploče, istog oblika i dimenzija, napravljene od različitih materijala, te ako se izračunaju vlastite frekvencije jedne ploče, koristeći samo vrijednosti modula elastičnosti, specifične mase i Poissonovog koeficijenta, mogu se izračunati odgovarajuće vlastite frekvencije druge ploče. Ako se sa ω1 označi vlastita frekvencija jednog oblika oscilovanja diska od jednog materijala (naprimjer od čelika), a sa sa ω2 vlastita frekvencija istog oblika oscilovanja diska istih dimenzija i graničnih uslova, ali od drugog materijala, njihov odnos je, prema (6.3):

1212

2221

21

)1()1(ρνρν

ωω

ω

ω

−−

=

⋅=

EEC

C

....................................................................................... (6.4)

82

6. Uticaj vrste materijala na vibracije radnog kola pumpe

U jednačini (6.4) indeks "1" se odnosi na čelik, a "2" na alternativni materijal. Cω zavisi samo od vrste materijala i predstavlja faktor promjene vlastite frekvencije u odnosu na vlastitu frekvenciju istog geometrijskog oblika od čelika. U tabeli 6.1. date su vrijednosti konstante Cω za materijale od kojih se izrađuju radna kola centrifugalnih pumpi. Konstanta Cω za druge materijale može se izračunati prema (6.4). Tabela 6.1. Karakteristike tipičnih materijala za izradu radnog kola pumpe Materijal Čelik Aluminij Plastična masa

(Vynil ester) Modul elastičnosti E [N/m2] 2,068 x 1011 7,86 x 1010 7,58 x 109 Poissonov koeficijent ν 0,29 0,33 0,32 Specifična masa ρ [kg/m3] 7820 2685 1328 Konstanta Cω 1 0,938 2,131 Obrazac (6.4) se može primijeniti i na radna kola centrifugalnih pumpi, što se može provjeriti modeliranjem radnog kola od različitih materijala. Rezultati proračuna metodom konačnih elemenata navedeni u tabeli 6.2. pokazuju da vrijednosti konstante Cω odstupaju za manje od 2% od vrijednosti dobijene obrascem (6.4). Tabela 6.2. Uticaj materijala na prve četiri vlastite frekvencije radnog kola centrifugalne pumpe Vlastita frekvencija [Hz]

Čelik Aluminij Cω (Č/Al) Plastična masa

Cω (Č/P)

ω1 4525,3 4774,3 0,948 2104,5 2,150 ω2 4577,7 4825,4 0,949 2127,6 2,152 ω3 5127,7 5418,4 0,946 2387,5 2,148 ω4 8738,5 9189,4 0,951 4054,6 2,155

83

7. Uticaj debljine diska na vibracije radnog kola pumpe


7.1. Vibracije okruglog diska konstantne debljine Da bi se ispitao uticaj debljine diska, formiran je model okruglog diska konstantne debljine prema slici 7.1, a zatim je izveden proračun za različite debljine diska.

10h

50

Debljina "h" [mm] Vlastite frekvencije [Hz] 1 2 3 4

f00 6060,16 6060,16 6060,16 6060,16 f01 513,78 1021,58 1525,18 2021,70 f10 474,64 941,42 1399,83 1845,74 f20 636,41 1254,17 1860,49 2449,44 f30 1259,63 2469,84 3661,69 4819,98 f40 2198,16 4274,25 6302,72 8245,72

Slika 7.1. Model kružnog diska debljine "h"

Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 7.1. i na slici 7.2. Bitno je napomenuti da poseban problem predstavlja identifikacija oblika oscilovanja, jer MKE daje vlastite frekvencije složene samo po veličini, te ih naknadno treba razvrstati po nodalnim prečnicima i nodalnim krugovima. Frekvencije su označene sa "fmn", gdje prvi indeks (m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa "f00" su označene torzione vibracije. Tabela 7.1. Vlastite frekvencije [Hz] za kružni disk debljine "h"

Dobijeni rezultati pokazuju da debljina diska nema uticaja na torzione vibracije, a da poprečne vibracije linearno rastu sa povećanjem debljine, bez obzira na oblik oscilovanja.

84


0100020003000400050006000700080009000

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Debljina diska h [mm]

Vlas

tita

frek

venc

ija [H

z]f00f01f10f20f30f40

Slika 7.2. Zavisnost vlastite frekvencije od debljine diska

7.2. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama Modeliran je radno kolo sa 5 ravnih lopatica, a zatim je izvršen proračun vlastitih frekvencija za različite debljine diska h, od 5 do 9 mm. Na slici 7.3. prikazani su modeli sa debljinama h = 5 mm i h = 9 mm.

a) Debljina h = 5 mm b) Debljina h = 9 mm

Slika 7.3. Radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 ravnih lopatica Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 7.2. i na slici 7.4. Iz prikazanih rezultata se vidi da sa povećanjem debljine diska radnog kola, vlastite frekvencije torzionih vibracija (f00) blago opadaju, a da vlastite frekvencije poprečnih vibracija rastu.

85


Tabela 7.2. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 ravnih lopatica, debljine "h" Debljina "h" [mm] Vlastite frekvencije [Hz] 5 6 7 9

f00 5773 5499 5402 5134 f01 4852 5175 5519 6076 f10 4135 4312 4661 5061 f20 4058 4588 5138 5927 f30 6053 6654 7397 8876 f40 7685 8861 9965 11101

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

5 6 7 8 9


Vlas

tita

frek

venc

ija [H

z]

f00f01f10f20f30f40

Slika 7.4. Zavisnost vlastitih frekvencija od debljine diska radnog kola sa 5 ravnih lopatica

7.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama Modeliran je radno kolo sa 5 zakrivljenih lopatica, a zatim je izvršen proračun vlastitih frekvencija za različite debljine diska h, od 5 do 9 mm. Na slici 7.5. prikazani su modeli sa debljinama h = 5 mm i h = 9 mm. Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 7.3. i na slici 7.6. Iz prikazanih rezultata se vidi da sa povećanjem debljine diska radnog kola, vlastite frekvencije torzionih vibracija (f00) blago opadaju, a da vlastite frekvencije poprečnih vibracija rastu. U odnosu na isti radno kolo sa ravnim lopaticama, promjena frekvencija ima nešto blaži karakter, što znači da je radno kolo sa ravnim lopaticama osjetljiviji na promjenu debljine u odnosu na radno kolo sa zakrivljenim lopaticama.

86


a) Debljina h = 5 mm b) Debljina h = 9 mm

Slika 7.5. Radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 zakrivljenih lopatica Tabela 7.3. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 zakrivljenih lopatica, debljine "h" Debljina "h" [mm] Vlastite frekvencije [Hz] 5 6 7 9

f00 5174 5070 4974 4797 f01 3912 4364 4764 5490 f10 3429 3762 4053 4555 f20 3687 4143 4566 5356 f30 5555 6252 6927 8174 f40 7705 8496 9037 9493

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

5 6 7 8 9


Vlas

tita

frek

venc

ija [H

z]

f00f01f10f20f30f40

Slika 7.6. Zavisnost vlastitih frekvencija od debljine diska radnog kola sa 5 zakrivljenih lopatica

87


Da bi se ispitao i uticaj broja lopatica, modeliran je i radno kolo sa 11 zakrivljenih lopatica, a zatim je izvršen proračun vlastitih frekvencija za različite debljine diska h, od 5 do 9 mm. Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 7.4. i na slici 7.7. Rezultati se veoma malo razlikuju od rezultata dobijenih za radno kolo sa 5 lopatica. To znači da debljina diska ima veći uticaj nego broj lopatica. Tabela 7.4. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe sa 11 zakrivljenih lopatica, debljine "h" Debljina "h" [mm] Vlastite frekvencije [Hz] 5 6 7 9

f00 4870 4488 4106 4301 f01 4052 4279 4636 5270 f10 3422 3619 3793 4249 f20 3806 4021 4372 5051 f30 5652 6086 6642 7742 f40 7792 8324 8856 9461

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

5 6 7 8 9


Vlas

tita

frek

venc

ija [H

z]

f00f01f10f20f30f40

Slika 7.7. Zavisnost vlastitih frekvencija od debljine diska radnog kola

sa 11 zakrivljenih lopatica

88


Slika 7.8. Oblik oscilovanja idealiziranog kružnog diska u poređenju sa istim

oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (1 nodalni prečnik, 0 nodalnih kružnica)


oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (2 nodalna prečnika, 0 nodalnih kružnica)

89



oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (3 nodalna prečnika, 0 nodalnih kružnica)

Slika 7.11. Oblik oscilovanja radnog kola centrifugalne pumpe

kod torzionih vibracija

90

8. Uticaj broja i oblika lopatica na vibracije radnog kola pumpe


8.1. Vibracije pojednostavljenog okruglog diska sa ravnim lopaticama Da bi se ispitao uticaj broja lopatica na vlastite frekvencije, formiran je pojednostavljeni model okruglog diska konstantne debljine prema slici 8.1, a zatim je izveden proračun za različit broj lopatica. Na slici 8.1. prikazani su modeli sa 7 i sa 11 lopatica, a izrađeni su modeli sa 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i 12 lopatica.

a) Disk sa 7 lopatica b) Disk sa 11 lopatica

Slika 8.1. Pojednostavljeni model okruglog diska sa ravnim lopaticama Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 8.1. i na slici 8.2. Vlastite frekvencije su označene sa "fmn", gdje prvi indeks (m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa "f00" su označene torzione vibracije. Tabela 8.1. Vlastite frekvencije za pojednostavljeni kružni disk sa lopaticama

Broj lopatica fmn [Hz] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f00 4629 4568 4536 4504 4475 4449 4421 4399 4377 4356f01 2363 3366 4100 4618 4989 5270 5484 5665 5815 5942f10 1695 2752 3702 4290 4652 4899 5075 5218 5333 5427

2096 4062 4674 5037 5273 5451 5589 5700f20 4061

5077 3078

3788 3932 4924 5568 5923 6153 6315 6437f30 5905

5376 5974 6696

6343 6048f40 6762

7691 6928 7328 7828

86136817 7201 7407 7532

Treba napomenuti da su se neki oblici oscilovanja javljali sa po dvije različite vlastite frekvencije, i to samo u slučajevima kad se broj lopatica poklapa sa brojem nodalnih prečnika ili predstavlja njegov cjelobrojni proizvod.

91


Torzione vibracije se i u ovom slučaju ponašaju različito od poprečnih, tako da sa povećanjem broja lopatica, vlastite frekvencije torzionih vibracija blago opadaju. Vlastite frekvencije svih ostalih oblika oscilovanja, pogotovo niže frekvencije, rastu sa povećanjem broja lopatica.

100020003000400050006000700080009000

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Broj lopatica

Vlas

tite

frek

venc

ije [H

z]

f00f01f10f20f30f40

Slika 8.2. Zavisnost vlastitih frekvencija od broja lopatica

za pojednostavljeni disk

8.2. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa različitim brojem ravnih lopatica Nakon pojednostavljenog modela, formiran je model radnog kola centrifugalne pumpe s ravnim lopaticama, a zatim je izveden proračun za različit broj lopatica. Na slici 8.3. prikazani su modeli sa 7 i sa 12 lopatica, a izrađeni su modeli sa 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i 12 lopatica.


Slika 8.3. Model radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama

92


Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 8.2. i na slici 8.4. Vlastite frekvencije su označene sa "fmn", gdje prvi indeks (m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa "f00" su označene torzione vibracije. Tabela 8.2. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama


4786 4114 4588 4950 5104 5197 5241 5282 5296 5302f20 5197 6083 6472 6654 6008 6696 6941 7078 7143 7190 7220f30 7409 8975 8839 8861 8991 9263 8382 8891 9017 9061 9073f40 9441 10067

Kao i kod pojednostavljenog diska, neki oblici oscilovanja su se javljali sa po dvije različite vlastite frekvencije, u slučajevima kad se broj lopatica poklapa sa brojem nodalnih prečnika ili predstavlja njegov cjelobrojni proizvod.

3000400050006000700080009000

1000011000

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Broj lopatica

Vlas

tite

frek

venc

ije [H

z]

f00f01f10f20f30f40

Slika 8.4. Zavisnost vlastitih frekvencija od broja lopatica za radno kolo centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama

Sa povećanjem broja lopatica, vlastite frekvencije torzionih vibracija blago opadaju, kao i kod pojednostavljenog modela. Vlastite frekvencije poprečnih vibracija rastu sa povećanjem broja lopatica, ali u manjem obimu nego kod pojednostavljenog modela (diska konstantne debljine).

93


Treba obratiti pažnju na to da se vlastite frekvencije oblika oscilovanja sa jednim nodalnim prečnikom sve nalaze u području od 3000 do 5000 Hz koje je kritično u slučaju pojave kavitacije. Bez obzira na povećanje broja lopatica, ovo područje se ne može izbjeći, tako da treba pristupiti nekim drugim modifikacijama konstrukcije.

8.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa različitim brojem zakrivljenih lopatica Sljedeći model koji je formiran je model radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama, a zatim je izveden proračun za različit broj lopatica. Na slici 8.5. prikazani su modeli sa 6 i sa 11 lopatica, a izrađeni su modeli sa 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i 12 lopatica.


Slika 8.5. Model radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 8.3. i na slici 8.6. Vlastite frekvencije su označene sa "fmn", gdje prvi indeks (m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa "f00" su označene torzione vibracije. Tabela 8.3. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama


4233 3933 4143 4153 4147 4110 4081 4053 4021 3990f20 4416 6236 6252 6252 5984 6202 6171 6144 6119 6086 6050f30 6480 8761 8513 8496 8597 8582 8211 8376 8354 8324 8284f40 9198 8903

94


I u ovom slučaju su se neki oblici oscilovanja javljali sa po dvije različite vlastite frekvencije, u slučajevima kad se broj lopatica poklapa sa brojem nodalnih prečnika ili predstavlja njegov cjelobrojni proizvod.

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Broj lopatica

Vlas

tite

frek

venc

ije [H

z]

f00f01f10f20f30f40

Slika 8.6. Zavisnost vlastitih frekvencija od broja lopatica za radno kolo centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama

Iz dobijenih rezultata se vidi da zakrivljenost lopatica snižava vlastite frekvencije, tako da sada više oblika oscilovanja ulazi u kritično područje između 3000 i 5000 Hz. Za razliku od ravnih, s povećanjem broja lopatica se vlastite frekvencije radnog kola sa zakrivljenim lopaticama čak smanjuju, iako u manjoj mjeri. Broj lopatica ima veoma mali uticaj na promjenu vlastitih frekvencija, što pokazuje da je pretpostavka o ponašanju radnog kola slično okrugloj ploči nije bez osnova. Jedino torzione vibracije pokazuju nešto veću osjetljivost na broj lopatica, iako se karakter zavisnosti (obrnuta proporcionalnost) ne razlikuje od modela radnog kola sa ravnim lopatica i pojednostavljenog modela, tj. vlastite frekvencije torzionih vibracija opadaju sa povećanjem broja lopatica. Rezultati proračuna pokazuju da je uzrok vibracija radnog kola u centrifugalnoj pumpi najvjerovatnije kavitacija, a ne fenomen "prolaza lopatica". Kavitacija se javlja kada pritisak tečnosti opadne ispod pritiska zasićenja vodene pare pri datoj temperaturi [88], što dovodi do pojave mjehurića ispunjenih vodenom parom u struji tečnosti. Ti kavitacioni mjehurići dolaze u područje višeg pritiska, gdje se narušava ravnotežno stanje, te se mjehurići rasprskavaju, što dovodi do vibracija širokog spektra frekvencija 3000 do 5000 Hz [58]. Kavitacija u tom slučaju stvara prinudne vibracije sa oblicima oscilovanja i vlastitim frekvencijama istim kao kod slobodnih vibracija, za koje je proračun vršen u ovom istraživanju. Na mjestima nodalnih prečnika i nodalnih kružnica fluid se odvaja od površine radnog kola [32], što pogoduje stvaranju uslova za dalje povećanje kavitacije, tako da osim abrazivnog dejstva koje je smatrano za najvažniju posljedicu kavitacije, kavitacija dovodi do još jedne neželjene pojave – vibracija radnog kola pumpe.

95


8.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa lopaticama različitog radijusa zakrivljenosti Sljedeći model koji je formiran je pojednsotavljeni model diska sa zakrivljenim lopaticama, a zatim je izveden proračun za različit radijus zakrivljenja lopatica. Na slici 8.7. prikazani su modeli sa radijusom od 30 i 50 mm, a izvršen je proračun za modele sa radijusom 30, 35, 40, 50 i 80 mm.

a) Disk sa radijusom zakrivljenosti lopatica R = 30 mm

b) Disk sa radijusom zakrivljenosti lopatica R = 50 mm

Slika 8.7. Pojednostavljeni model diska

sa lopaticama različitog radijusa zakrivljenosti Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 8.4. i na slici 8.8. Vlastite frekvencije su označene sa "fmn", gdje prvi indeks (m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa "f00" su označene torzione vibracije. Tabela 8.4. Vlastite frekvencije [Hz] za pojednostavljeni model diska sa zakrivljenim lopaticama za različite radijuse zakrivljenosti

Radijus zakrivljenosti [mm] fmn [Hz] 30 35 40 50 80

f00 3734 3953 4080 4215 4340f01 4784 4962 5084 5254 5486f10 4080 4361 4544 4769 5034f20 4263 4543 4731 4967 5252f30 5098 5304 5466 5685 5962f40 6650 6712 6802 6942 7114

Sa povećanjem radijusa zakrivljenosti lopatice, vlastite frekvencije rastu, ali se kod relativno malog radijusa (50 mm) taj rast ublažava. Najveći uticaj imaju relativno mali radijusi (oko 30 mm). Granični slučaj predstavljaju ravne lopatice, kod kojih je radijus zakrivljenja praktično beskonačan.

96


3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Radijus zakrivljenja lopatice [mm]

Vlas

tite

frek

venc

ije [H

z]f00f01f10f20f30f40

Slika 8.8. Zavisnost vlastitih frekvencija od radijusa zakrivljenosti lopatica

8.4. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama nagnutih pod različitim uglom u odnosu na disk radnog kola Da bi se izbjegao efekat "prolaza lopatica", nekad se lopatice izrađuju tako da nisu okomite na disk radnog kola, nego su nagnute pod određenim uglom. Ovo predstavlja problem kod izrade, jer je onda livenje radnog kola složenije. Ispitan je uticaj ugla zakrivljenosti lopatica u odnosu na disk radnog kola. Na slici 8.9. prikazani su modeli sa nagibom u odnosima 2:1 i 4:1.

a) Disk sa nagibom lopatica 2:1 (63,4°) b) Disk sa nagibom lopatica 4:1 (76°)

Slika 8.9. Pojednostavljeni model diska sa lopaticama različitog ugla nagiba u odnosu na radno kolo

97


Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 8.5. i na slici 8.10. Vlastite frekvencije su označene sa "fmn", gdje prvi indeks (m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa "f00" su označene torzione vibracije. Tabela 8.4. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 ravnih lopatica različitih nagiba u odnosu na disk radnog kola

Ugao nagiba fmn [Hz] 90° 76° (4:1) 63,4° (2:1)

f00 5499 5576 5583f01 5175 5178 5106f10 4312 4405 4375f20 4588 4638 4596f30 6654 6670 6637f40 8861 8786 8362

Sa smanjenjem ugla nagiba lopatice, samo vlastite frekvencije viših oblika oscilovanja (4 nodalna prečnika) rastu, dok kod ostalih oblika skoro da i nema uticaja. Obzirom da u kritičnom području (3000 do 5000 Hz) nema uticaja, ova modifikacija se ne može koristiti za otklanjanje problema vibracija radnog kola centrifugalne pumpe.

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

60 65 70 75 80 85 90 95

Ugao nagiba lopatice

Vlas

tite

frek

venc

ije [H

z]

f00f01f10f20f30f40

Slika 8.10. Zavisnost vlastitih frekvencija od ugla nagiba lopatica

8.5. Vibracije pojednostavljenog modela diska sa zakrivljenim lopaticama različite visine Radno kolo centrifugalne pumpe, posebno ako ima zakrivljene lopatice, ponaša se slično ravnoj okrugloj ploči bez lopatica. Naredni modeli služe za ispitivanje uticaja visine lopatice na vlastite frekvencije pojednostavljenog modela diska sa zakrivljenim

98


lopaticama visine 8, 12, 16 i 24 mm. Na slici 8.11. prikazani su modeli sa lopaticama visine 16 i 24 mm.

a) Disk sa lopaticama visine 16 mm b) Disk sa lopaticama visine 24 mm

Slika 8.11. Pojednostavljeni model diska sa lopaticama različite visine Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 8.5. i na slici 8.12. Vlastite frekvencije su označene sa "fmn", gdje prvi indeks (m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa "f00" su označene torzione vibracije. Tabela 8.5. Vlastite frekvencije [Hz] za pojednostavljeni model diska sa 11 zakrivljenih lopatica u zavisnosti od visine lopatica

Visina lopatica [mm] fmn [Hz] 8 12 16 24

f00 3702 3734 3751 3489 f01 4708 4784 4872 4797 f10 3348 4080 4497 4628 f20 3608 4263 4587 4483 f30 4810 5098 5117 4528 f40 6982 6650 6108 4737

Sa povećanjem visine lopatice do određene visine (16 mm), vlastite frekvencije rastu, osim vlastitih frekvencija viših oblika oscilovanja (4 nodalna prečnika) koje opadaju. Nakon te visine, sve vlastite frekvencije blago opadaju, ali se zatim javljaju novi oblici oscilovanja – vibracije lopatica, koje mijenjaju ponašanje modela.

99


3000350040004500500055006000650070007500

8 10 12 14 16 18 20 22 24

Visina lopatica [mm]

Vlas

tite

frek

venc

ije [H

z]f00f01f10f20f30f40

Slika 8.12. Zavisnost vlastitih frekvencija od visine lopatica

100


9. ZAKLJUČCI Istraživanja provedena u ovom radu nisu u potpunosti rasvijetlila problem vibracija centrifugalnih pumpi koje se koriste u sistemima za hlađenje automobilskih motora, ali su ipak dala odgovore na neka važna pitanja vezana za ovaj konkretan problem. Uvidom u dosadašnja istraživanja, koja su najvećim dijelom vršena nad centrifugalnim pumpama većih gabarita nego što su to automobilske pumpe za vodu, izvršena je klasifikacija uzroka vibracija centrifugalnih pumpi, prema više kriterija. Prema fizikalnom karakteru, uzroci vibracija se mogu podijeliti na hidrauličke, mehaničke i ostale. Prema odnosu frekvencija vibracija i broja okretaja rotora pumpe, vibracije se mogu podijeliti na subsihrone, sinhrone i nadsinhrone vibracije. Od nadsinhronih vibracija usljed hidrauličkih uzroka u praksi se najčešće javljaju vibracije "prolaza lopatica". To su vibracije čija je frekvencija jednaka proizvodu broja lopatica i broja okretaja rotora pumpe U istu grupu ubrajaju se i vibracije usljed kavitacije, koje su istovremeno i najmanje istražene. Frekvencije tih vibracija su dosta visoke i kreću se od 3000 do 5000 Hz. Ispitivanjem vibracija sklopa pokretnih dijelova reprezentativne pumpe došlo se do zaključka da vlastite frekvencije tog sklopa, za izabranu pumpu, daleko odstupaju od pomenuta dva uzroka vibracija. Stoga je zaključeno da se dalje istraživanje usmjeri na ispitivanje ponašanja radnog kola pumpe. Ovo istraživanje je pokazalo da se vibracione karakteristike radnog kola centrifugalne pumpe uz određene pretpoostavke mogu aproksimirati modeliranjem jednostavnijeg geometrijskog oblika, okrugle ploče (diska). Do određene visine lopatica, oblici oscilovanja radnog kola se poklapaju sa oblicima oscilovanja diska, kao da na radnom kolu i nema lopatica. Diferencijalne jednačine koje opisuju kretanje okrugle ploče su veoma složene za rješavanje, tako da su u radu samo navedeni principi na kojima se te jednačine zasnivaju (dati su izrazi za kinetičku i potencijalnu energiju), te primjeri rješenja slučajeva kod kojih se javlja singularitet, pa su rješenja jednostavnija. Tačno rješenje se u principu i ne izvodi, jer nema praktični značaj – disk je samo aproksimacija radnog kola, tako da je daleko povoljnije koristiti približne metode, kao što je metoda konačnih elemenata. Za proračun vlastitih frekvencija konstrukcija složene geometrije, kao što je radno kolo centrifugalne pumpe, najpogodniji tip konačnih elemenata su prostorni parabolični elementi oblika tetraedra. Kako su oni pogodni i za automatsko generisanje mreže, ostvaruje se velika ušteda u vremenu diskretizacije i proračuna. Potrebno je samo voditi računa da elementi budu dovoljno malih dimenzija. Materijal od kojeg se izrađuje radno kolo pumpe linearno utiče na vlastite frekvencije, i u radu je naveden obrazac za izračunavanje promjene frekvencija u zavisnosti od promjene materijala. U obrascu figurišu modul elastičnosti, specifična masa i Poissonov koeficijent. Zbog toga, nije potrebno modelirati i proračunavati radna kola od različitih materijala, nego je dovoljno modelirati radno kolo od jednog materijala, a zatim na osnovu karakteristika materijala izračunati frekvencije za bilo koji drugi

101


materijal. Drugim riječima, zakonima mehanike sličnosti može se razviti familija radnih kola. Na osnovu proračuna metodom konačnih elemenata izvedeni su sljedeći zaključci: - U velikom broju slučajeva vlastite frekvencije postojeće konstrukcije radnog kola

ulaze u područje u kojem se javljaju vibracije usljed kavitacije, tako da je potrebno ili izmijeniti geometriju radnog kola, ili promijeniti parametre koji dovode do pojave kavitacije (režim pritiska fluida u cijelom sistemu za hlađenje motora).

- Debljina diska linearno povećava vlastite frekvencije poprečnih vibracija, dok na

torzione vibracije ima mali uticaj. - Broj lopatica ima mali uticaj na vlastite frekvencije, pogotovu kod nižih oblika

oscilovanja, tako da se promjena broja lopatica ne može koristiti za izmjenu vibracionih karakteristika radnog kola.

- S povećanjem radijusa zakrivljenosti lopatica, povećavaju se vlastite frekvencije,

tako da radna kola sa ravnim lopaticama imaju više vlastite frekvencije nego radna kola sa zakrivljenim lopaticama.

- Ugao nagiba lopatica u odnosu na disk radnog kola ima mali uticaj na dinamičke

karakteristike, a znatno poskupljuje izradu radnog kola. - Visina lopatica znatno utiče na vlastite frekvencije, ali dovodi i do novih oblika

oscilovanja (vibracije samih lopatica), tako da je to parametar koji najviše utiče na frekvencije vibracija radnog kola centrifugalne pumpe.

Osnovna hipoteza ovog rada je potvrđena, što znači da se modifikacijom geometrijskih karakteristika radnog kola centrifugalne pumpe mogu kompenzirati promjene vibracionih karakteristika usljed promjene materijala koji se koristi za izradu radnog kola.

102


CONCLUSIONS Researches performed in this paper did not uncovered completely the problem of centrifugal pump vibrations in automobile cooling systems, but they did answered some important questions related to this particular problem. Having in mind recent researches, mostly performed with larger pumps, causes of centrifugal pump vibrations are classified according to several criteria. According to physical character, causes of vibrations can be divided to hydraulic, mechanical and other. According to ratio between vibration frequency and the pump rotary speed, vibrations can be divided to subsynchronous, synchronous and supersynchronous vibrations. The most common supersynchronous hydraulic vibrations are those with "vane pass" frequency. These are vibrations whose frequency equals product of vane number and number of revolutions of the pump rotor. The least explored vibrations of the same type are those caused by cavitation. Their frequencies are rather high, between 3000 and 5000 Hz. By analyzing vibrations of moving parts of representative pump, it was concluded that natural frequencies of that assembly, for the chosen pump, are far from above mentioned two causes of vibration. Therefore it was concluded that research should be focused to pump impeller. This research showed that vibration characteristics of centrifugal pump impeller could be approximated with some assumptions by modeling more simple geometric shape, circular plate (disc). Up to certain height of the vanes, vibration mode shapes of impeller are very similar to those of disc, just like there are no vanes on the impeller. Solution of differential equations which describe movement of circular plate is very complex, therefore this paper gives only principles upon which these equations are based (there are formulas for kinetic and potential energy), along with examples of solution for cases where singularities make solution less complex. The exact solution should not be derived, because it has no practical use – the disc is only an approximation of impeller, therefore it is far more convenient to use approximate methods, such as finite element method. To calculate natural frequencies of constructions with complex geometry, such as centrifugal pump impeller, the most convenient finite element type is solid parabolic tetrahedron. As these are also convenient for automatic meshing, it saves a lot of time for discretization and calculation. It is only important to have elements that are small enough. The material of centrifugal pump impeller linearly influences natural frequencies, and there is a formula in this paper to calculate change in the frequency when material changes. This formula includes modulus of elasticity, specific mass and Poison's coefficient. Therefore, it is not necessary to model and calculate impellers made of various materials; it is enough to model impeller made of one material, and then calculate frequencies for any other material according to material characteristics. In other words, laws of mechanical similarity can be used to develop the family of impellers.

103


Finite element method calculation lead to following conclusions: - In most cases natural frequencies of current construction of impeller are in the

area of vibrations caused by cavitation, therefore it is necessary to either change the impeller geometry or to change parameters which influence process of cavitation (regime of fluid pressure within the complete automobile cooling system).

- Disc thickness linearly increases natural frequencies of lateral vibrations, while it

has minor influence on torsional vibrations. - The number of vanes has minor influence on natural frequencies, especially at

lower mode shapes. Therefore, variation in number of vanes can not be used to change vibration characteristics of the impeller.

- Increase in curvature radius of vanes, causes increase in natural frequencies,

therefore impellers with straight vanes have higher natural frequencies then impellers with curvilinear vanes.

- The angle between vanes and impeller disc has minor influence on dynamic

characteristics, and it makes impeller production much more expensive. - The vane height strongly influences natural frequencies, but also causes new mode

shapes (vane vibrations). Therefore, this is the parameter with major influence on natural frequencies of centrifugal pump impeller.

The main hypothesis of this paper is confirmed, which means that modification of geometric characteristics of centrifugal pump impeller can compensate change in vibration characteristics because of change in material used for impeller production.

104


10. NEDOSTACI VLASTITIH ISTRAŽIVANJA Krutost kotrljajnih ležajeva je nelinearna, jer zavisi od radijalne sile koja djeluje na ležaj. U ovom istraživanju je ta krutost smatrana linearnom, što je dovelo do odstupanja rezultata od stvarnog stanja. Međutim, obzirom da su dobijeni rezultati pokazali veliko odstupanje od kritičnih frekvencija, linearizacija krutosti ležajeva ne dovodi u sumnju izvedene zaključke. Kod analize naponsko-deformacionog stanja korišten je pojednostavljeni model centrifugalne pumpe u vidu ravne okrugle ploče, koji ne može dati pouzdane odgovore na postavljene zahtjeve pri dimenzionisanju radnog kola u stvarnim uslovima eksploatacije. Dinamičke karakteristike sklopa pokretnih dijelova pumpe nisu iste kada se pumpa ispituje na kraju procesa proizvodnje, i na mjestu stvarne ugradnje, jer se na rotor pumpe direktno vežu elementi koji drastično mijenjaju dinamičko ponašanje (remenica i ventilator). Kako pumpa na stvarnom mjestu ugradnje nije bila dostupna u ovom istraživanju, taj aspekt vibracija pumpe je ostao neistražen. Osim elemenata direktno vezanih za rotor pumpe, treba uzeti u obzir i ostale elemente sistema za hlađenje automobilskog motora (kao što su cjevovodi za dovođenje vode u pumpu, jer i oni imaju veliki uticaj na vibracije, a njihove vlastite frekvencije su relativno niske). U radu su posmatrane neprigušene slobodne vibracije. Vlastite frekvencije prinudnih vibracija se ne razlikuju od slobodnih, ali zato prigušenje smanjuje vlastite frekvencije. Kako je pumpa ispunjena vodom, to prigušenje je znatno. Obzirom da korišteni software ne može uzeti u obzir prigušenje, a i kvantifikacija tog prigušenja je nepoznata, bilo bi potrebno izvršiti eksperimentalna mjerenja i na osnovu toga izračunati prigušenje.

11. PRAVCI DALJIH ISTRAŽIVANJA Dalja istraživanja vibracija centrifugalnih pumpi treba usmjeriti na: - Analizu prigušenih vibracija radnog kola centrifugalne pumpe. - Ispitivanje vibracije kompletnog sistema za hlađenje automobilskog motora. - Ispitivanje uzroka pojave kavitacije, te definisanje metoda za eliminisanje te

štetne pojave. - Ispitivanje uticaja temperature fluida na vibracije centrifugalne pumpe, i

posmatranje kavitacije kao posljedice složenog termodinamičkog procesa. - Izvršiti optimiziranje geometrijskih karakteristika centrifugalne pumpe sa aspekta

mehaničke izdržljivosti materijala.

105


12. LITERATURA

12.1. Citirana literatura 1. Allison A.M.E.: "Analytical Investigation of a Semi-Empirical Flow-Induced

Vibration Model (Bifurcation)", Dissertation, The University of Western Ontario (Canada), 1998.

2. Bazjanac D.: "Nauka o čvrstoći", Tehnička knjiga Zagreb, 1973. 3. Black H.: "Effects of Fluid-Filled Clearance Spaces On Centrifugal Pump and

Submerged Motor Vibrations", 8th International Turbomachinery Symposium, TAMU, Texas, 1979.

4. Blake M.: "New vibration standards for maintenance", Hydrocarbon processing and petroleum refining, 1964.

5. Blevins R.D.: "Flow Induced Vibration", Van Nostrand Reinhold, NY 1990. 6. Blevins R.D.: "Formulas for natural frequency and mode shape, Robert Krieger

Publishing Co., Malabar, FL., 1984. 7. Bolleter U.: "Blade passage tones of centrifugal pumps", Vibrations 4(3), 1988. 8. Bolleter U., Frei A.: "Causes and control of synchronous vibrations of multi-stage

pumps", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 1990. 9. Brčić V.: Dinamika konstrukcija, Građevinska knjiga Beograd, 1978. 10. Chang C.M. et al.: "Vibration of a vertical multi-stage cryogenic pump", Proc.

ASME WAM Symposium on Troubleshooting Methods and Technology, Anaheim, Cal., 1986.

11. Chen J.J.: "Prediction of Periodic Forced Response of Frictionally Constrained Turbine Blades (Turbine Vibration)", Dissertation, The Ohio State University (USA), 1999.

12. Childs D.W.: "Finite length solutions for rotordynamic coefficients of turbulent annular seals", ASME 82-LUB-42, 1982.

13. Corbo M.A., Malanoski S.B.: "Pump Rotordynamic Made Simple", 15th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1998.

14. Corley J.E.: "Subsynchronous Vibration in a Large Water Flood Pump", 7th International Turbomachinery Symposium, TAMU, Texas, 1978.

15. Corley J.E.: "Vibrational problems of large vertical pumps and motors", Proc. 9th turbomachinery Symposium, Texas, 1980.

16. Corley J.E.: "The Vibration Analysis of Pumps - a Tutorial", TAMU, Texas, 1990. 17. Criqui A.F.: "False and Misleading Sources of Vibration", 23rd International

Turbomachinery Symposium, TAMU, Texas, 1994. 18. Den Hartog J.P.: "Vibracije u mašinstvu", prevod, Građevinska knjiga Beograd,

1972. 19. Dimargonas A.: "Vibration for Engineers", Prentice-Hall, 1996. 20. Downham E.: "Theory of shaft whirling No. 5 – The influence of plain bearings

on shaft whirling", The Engineer, 1957.

106


21. Florjancic S., Clother A.D., Chavez F.J.L., "A Case Histry – Improved Hydraulic Design Lowers Cavitation Erosion and Vibrations of a Water Transport Pump", 10th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1993.

22. Florjancic S., Frei A., "Dynamic Loading on Pumps – Causes for Vibrations", 10th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1993.

23. France D., Taylor P.W.: "Near running speed subsynchronous vibration in centrifugal pumps", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 1990.

24. Gattulli V., Ghanem R.: "Adaptive control of flow-induced oscillations including vortex effects", International Journal of Non-linear Mechanics 34 (1999) 853-868

25. Geradin M, Rixen D.: "Mechanical Vibrations; Theory and application to structural dynamics", John Wiley & Sons, 1997.

26. Gossain S.R.: "Analysis of flow-induced vibrations using the finite elements method", Imperial College London, 1988.

27. Gunter E.J., Li D.F.: "Unbalance response analysis of dual rotor systems", Univ. of Virginia report No. UVA/643092/MAE8i138, Charlottesville, 1972.

28. Hancock W.P.: "How to control pump vibration", Hydrocarbon processing, 1974. 29. Hawkins K.: "Analysing Resonance in Centrifugal Pumps", Pumps & Systems

Magazine, 1998. 30. Japikse D., Furst R., Marscher W.D.: "Centrifugal Pump Design and

Performance", Wilder, 1997. 31. Jay R.L., MacBain J.C., Burns D.W.: "Structural response due to blade vane

interaction", ASME paper No. 83-GT-133, 1983. 32. Jenny H.: "Kymatik: Wellen und Schwingungen mit ihrer Struktur und Dynamik",

Basilius Press, 1967. 33. Jery B., Brennen C.E., Caughey T.K., Acosta A.: "Forces on Centrifugal Pump

Impellers", 2nd International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1985. 34. Kramer E.: "Dynamics of Rotors and Foundations", Springer-Werlag Berlin,

1993. 35. Kushner F.: "Disc vibration-rotating blade and stationary vane interaction",

ASME paper No. 79-DET-83, 1979. 36. Lomakin A.A., Bedger F.S.: "Determination of critical speeds of a pump rotor

with reference to forces arising in the seal gaps", Steam and gas turbine Eng. 5: 1-4, 1957.

37. Marenco G. et al.: "Elastic solution for vibration trouble on vertical pumps", Energ. Ellettr., Italy 59., 1982.

38. Marscher W.D.: "Analysis and test of multistage pump wet critical speeds", STLE/ASME Joint Tribology Conf., Ft. Lauderdale, 1989.

39. Marscher W.D.: "How to use impact testing to solve pump vibration problems", EPRI Power Pump Symposium, Tampa, 1995

40. Marscher W.D.: "The effect of fluid forces at various operation conditions on the vibrations of vertical turbine pumps", Proc. I Mech. E. Radial Loads and Axial Thrusts on Centrifugal Pumps, 1986.

41. McNally B.: "Centrifugal Pump & Mechanical Seal Reference Manual", McNally Institute, 1998.

107


42. Meyer R.J.: "Solve vertical pump vibration problems", Hydrocarbon Processing, 56., 1977.

43. Mondy R.E. et al.: "Pump modifications solve complex vibration problems", Power, 1985.

44. Nelson W.E., Dufour J.W., "Pump Vibrations", 9th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1992.

45. Pettigrew M.J. et al.: "Flow-induced vibration: recent findings and open questions", Nuclear Engineering and Design 185 (1998) 249-276.

46. Roark R.J., Young W.C.: "Formulas for stress and strain", McGraw Hill, 1975. 47. Robinett F.L., Gülich J.F., Kaiser T.: "Vane Pass Vibration – Source, Assessment

and Correction – A Practical Guide for Centrifugal Pumps", 16th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1999.

48. Schiffer D., Singh M.: "Vibrational characteristics of a packeted bladed disc", ASME Paper No. 82-DET-1137, 1982.

49. Schmalzriedt D.: "Verification of vibrational behaviour of high energy pumps by measurements in the test bed and site", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 1990.

50. Sherman I. et al.: "Balancing a simulated vertical pump rotor", University of Virginia Report UVA/643092/mae83/205, 1983.

51. Shiels S.: "How centrifugal pump hydraulics affect rolling element bearing life", World pumps, (32-35) December 1998.

52. Smith D., Price S.M., Kunz F.K., "Centrifugal Pump Vibration Caused By Supersynchronous Shaft Instabuility, Use of Pumpout Vanes To Increase Pump Stability", 13th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1996.

53. Stepanoff A.J.: "Centrifugal and Axial Flow Pumps", John Villey and Sons, NY , 1992.

54. Thomson W.T.: "Theory of vibration with applications", Prentice-Hall, 1981. 55. Uy R.V.: "Studies of Rotordynamic Forces Generated by Annular Flows

(Vorticity, Inlet Swirl), Dissertation, California Institute of Technology (USA), 1998.

56. Vetter G., Kozmiensky R.: "Pulsation and NPSHA in rotary positive displacement pumps", World pumps (37-42), February 1999.

57. Vogelsang H. et al.: "Pulsation problems in rotary lobe pumps", World pumps (45-52) February 1999.

58. Wowk V.: "Machinery vibration: Measurement and analysis", McGraw Hill, 1991.

59. Yamamoto T.: "On the critical speeds of a shaft. Memoirs of the Faculty of Engineering", Nagoya Univ., Japan, 1954.

108


12.2. Šira literatura 60. Addlesee A.J., Altiparmak D.: "Factors influencing whirl at entry to balance drum

seals in pumps", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 1990.

61. Bermudez A., Duran R., Muschietti M.A., Rodriguez R., Solomin J.: "Finite Element Vibration Analysis of Fluid-Solid Systems without Spurious Modes", SIAM Journal on Numerical Analysis. 32(4):1280-1295, 1995

62. Brown R.D., Ismail M., Abdulrazzak M.: "Fluid forces in the annular seals of high performance centrifugal pumps", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 1990.

63. Corbo M.A., Malanoski S.B.: "Practical Design Against Torsional Vibration", 25th International Turbomachinery Symposium, TAMU, Texas, 1996.

64. Cornman R.E., "Analytical and Experimental Techniques for Solving Pump Structural Resonance Problem", 3rd International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1986.

65. Doolin J.H.: "Hi Standards Rising to New Level of Understanding", World Pumps, jan. 1999.

66. Drača K., Salai I., Cigić A.: "Oscilacije", Mašinski fakultet Mostar, 1991. 67. Ellison L.F., Partridge J.M.: "Vane Vibration in Radial Flow Turbochargers",

Mechanical Engineering Publications Ltd., 1976. 68. Ewins D.J.: "Modal analysis for rotating machinery", IFToMM 5th International

Conference on Rotor Dynamics, Darmstadt, 1998. 69. Ewins D.J.: "Modal testing: Theory and practice", Research Studies Press Viley

NY, 1984. 70. Granger S., Paidoussis M.P.: "An Improvement to the Quasi-Steady Model with

Application to Cross-Flow-Induced Vibration of Tube Arrays", Journal of Fluid Mechanics. 320:163-184, 1996.

71. Grinsted B.: "Nodal pattern analysis", Proc Mech E 166 series A: 309-326, 1952. 72. Hover F.S., Techet A.H., Triantafyllou M.S.: "Forces on Oscillating Uniform and

Tapered Cylinders in Crossflow", Journal of Fluid Mechanics. 363:97-114, 1998. 73. Irwine T.: "Structural dynamics testing using an impulse force", Sound and

Vibration, 1999 74. Ječmenica M.: "Analiza uticaja prisutnih poremećaja i konstruktivnih parametara

na poprečno oscilatorno kretanje rotirajućih sistema", disertacija, Mašinski fakultet u Zenici, 1990.

75. Jungbauer D.E., Eckhardt L.L.: "Flow-Induced Turbocompressor and Piping Noise and Vibration Problems – Identification, Diagnosis and Solution", 26th International Turbomachinery Symposium, TAMU, Texas, 1997.

76. Khitrik V.L.: "On the Propagation of Sound in the Rotating Duct of a Turbine Pump", Acoustical Physics. 43(1):96-100, 1997.

77. Kovats A.: "Vibration of vertical pumps", Trans. ASME Journal Engineering for Power" 84., 1962.

78. Krivchenko G.I.: "Hydraulic Machines – Turbines and Pumps", Mir Publishers Moscow, 1986.

109


79. Lawry M.H.: "SDRC I-DEAS Master Series Student Guide", Structural Dynamics Research Corporation, 1997.

80. Leissa A.: "Vibration of plates", NTIS No70-18461, 1969. 81. Li Z.Y., Chen X.Z.: "A Study of the Complete Dynamic Balance of the Rotor

Inertial Forces in the Rotary Piston Vacuum Pump", Vacuum. 51(3):427-431, 1998.

82. Marscher W.D., Campbell J.S., "Methods of Investigation and Solution of Stress, Vibration and Noise Problems in Pumps", 15th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1998.

83. Marscher W.D.: "Vibration test and analysis of a barrel boiler feed pump exhibiting nonsynchronous vibration", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 1990.

84. Migulin V.: "Basic Theory of Oscillations", Mir Publishers Moscow, 1983. 85. Pohlenz W.: "Pumpen für Flüssigkeiten", Veb Verlag Technik Berlin, 1970. 86. Richardson M.H.: "Is It a Mode Shape or an Operating Deflection Shape?", Sound

and Vibration, jan. 1997. 87. Richardson M.H.: "Measurement and Analysis of the Dynamics of Mechanical

Structures", Hewlet Packard Conference for Automotive and Related Industries, Detroit, Mi., 1978.

88. Ristić B.: "Pumpe i pumpne stanice", Naučna knjiga Beograd, 1991. 89. Ristić B.: "Pumpe i ventilatori", Naučna knjiga Beograd, 1987. 90. Sanchezjacome JR., Chicharro R., Peraltafabi R.: "Fountain Effect in a

Centrifugal Pump", Revista Mexicana de Fisica. 42(5):900-908, 1996. 91. Smith J.D.: "Vibration Measurement & Analysis", Butterworths 1989. 92. Steyer G., Lim T.C.: "System simulation methods for solving noise and vibration

problems", SDRC 1995. 93. Volkering O.F., Schewe L.G.: "A Dynamical System Approach to Flutter

Instabilities", Helvetica Physica Acta. 68(2):215-216, 1995. 94. Vukojević D.: "Teorija oscilacija", Mašinski fakultet u Zenici, 1997. 95. Wang Q., Bartos J.C., Houston R.A.: "Methodology of Open Bladed Impeller

Resonance Identification", 28th International Turbomachinery Symposium, TAMU, Texas, 1999.

96. White F.M.: "Fluid Mechanics", McGraw Hill, 1979.

110

vibracije centrifugalnih pumpi u sistemima za hlaĐenje automobilskih motora · 2016. 3. 11. ·...

Documents