VIBRACIÓN DE ESTRUCTURAS 73.06

Apunte Teórico

alumno: Adán Javier Levy, 76345

1.- Oscilador simple

a) Ecuaciones del sistema oscilador simple

La proyección de las fuerzas en las direcciones “x” e “y” sobre el cuerpo libre del carro serán las siguientes:

y

Las fuerzas aplicadas en la dirección x son las del resorte y la perturbadora (Ft). Entonces Reemplazando en (1) obtenemos: , donde la fuerza del resorte es De (2) despejamos Ft, Queda entonces una ecuación diferencial, no homogénea de segundo orden a coeficientes constantes. Debemos entonces hallar la solución general que estará compuesta por la solución de la homogénea más la particular Pero en este caso solo resolveremos la ecuación homogénea (suponiendo que es un sistema oscilante en el que Ft=0), entonces la ecuación diferencial quedaría de la siguiente forma: b) Solución de la ecuación homogénea del sistema oscilador simple Se propone como solución a esta ecuación Entonces

x

∑Ft

=

=

)1(.

0..

xmFx

Fy

resorte .

∑

)2(...

∑ + == xmFtFFx resorte F −= xk

)3(.......

mFtx

mkxxmxkFt mpordividiendo =+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+=

HPG XXX +=

)4(0...

=+ xmkx

0. . ≠= CconeCx tr

0..0....

..

..

.

2...2)4(

.2..

..

.

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎯⎯ →⎯=+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

=

43421

ticacaracterísecuación

trcomúnfactor

trtrendoreemplazan

tr

tr

tr

mkreCeC

mkerC

erCx

erCx

eCx

1

Como

)5(00. 2. =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒≠

mkreC tr

( )444 3444 21

ticocaracteríspolinomiodelraíceslashallamos

nn

nnn

endoreemplazann

jr

jrr

mk

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−−=

=−+==+⎯⎯⎯⎯ →⎯=

ωω

ωωωω

22

2122

)5(

2 0Llamamos Una vez obtenidas las raíces del polinomio característico y siendo estas distintas, componemos la solución de la homogénea tjtjtrtr

HHHnn eCeCeCeCXXX .

2.

1.2

2.1

121 .... ωω −+=+=+=

αα

ααα

α

jsenejsene

j

j

−=

+=− cos

cos ( ) ( ) ( ) ( ) ).(..).cos(.).(.).cos(.).(.).cos(. 212121 tsenCCjtCCtsenjtCtsenjtCX nnnnnnH ωωωωωω −++=−++=

( )21

21

. CCjBCCA−=

+=Realizamos una transformación de las constantes para llevarlo a una forma más simple ⇒ ).(.).cos(. tsenBtAX nnH ωω += Nuevamente llevamos las constantes A y B a una forma más conveniente

A

B

φ R

)cos(.)(.

ϕϕ

RBsenRA

==

).(.).().cos(.).cos().(. ϕωωϕωϕ +=⎯⎯⎯⎯ →⎯+= tsenRXtsenRtsenRX nH

ricatrigonométidentidadaplicandonnH

Solución final de

la homogénea En el caso de que el sistema no tenga ninguna fuerza externa aplicada, la solución de la homogénea será la solución total. En ese caso solo restará calcular el valor de las constantes (R,φ) con las condiciones iniciales del sistema. A ωn lo denominaremos pulsación natural y depende exclusivamente del sistema (en este caso de la masa del carrito y de la constante de rigidez del resorte)

nn fmk ..2 πω ==

Frecuencia natural (ciclos por segundo)

Entonces podemos ya extraer algunas conclusiones: 1.- Sin perturbación (resolviendo únicamente el homogéneo) un sistema oscila a su frecuencia natural y ésta depende exclusivamente de características intrínsecas del sistema. 2.- Según los grados de libertad veremos que existirán igual cantidad de frecuencias naturales. (explicar esto) 3.- Las frecuencias más importantes son las de orden menor porque provocan las mayores amplitudes a igual nivel de energía. (explicar esto)

2

Oscilador con amortiguamiento a) Fuerza viscosa Veamos cuál es la fuerza de amortiguamiento que provoca un fluido sobre una pared en deslizamiento. La mayoría de los fluidos presentan una relación lineal entre el esfuerzo aplicado y la velocidad de deformación Donde µ es la constante de proporcionalidad que vincula la tensión de corte y la velocidad de deformación. De la geometría se observa que Por lo tanto, reemplazando (7) en (6) llegamos a En el caso de paredes infinitas deslizándose el perfil de velocidades es lineal ya que τ es constante Entonces La fuerza sobre toda la placa se obtiene multiplicando la tensión por el área (ya que esta es constante sobre la placa) Se puede asociar con el comportamiento amortiguador de un resorte, donde Extraeremos luego las siguientes conclusiones:

- En un movimiento oscilatorio amortiguado se reduce tanto la amplitud como la frecuencia de la onda. - La energía es función de la amplitud en forma directa y del cuadrado de la frecuencia (probar esto).

b) Análisis del sistema oscilatorio amortiguado excitado con Fuerza impulsora Ft

Elemento de fluído deformándose

Placa sólida deslizándose uU δ=

0=U

yδ

τ

δθ δθ

τ sobre placa producido por fluido

Placa fija

)6(.tt ∂

∂−=⇒

∂∂

∝θµτθτ

)7(.)( )(infvar

yu

tytutg tgesinitesimal

iacionespara

∂∂

=∂∂

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯= ∂≈ θδδδδθ θδθ

yu∂∂

−= .µτ u=U h

u=0

hU.µτ −=

..

.......

xBFvisAhxFvisA

hUA xU −=⇒−=⎯⎯→⎯−== = µµτFvis

xAFres .−=

3

y

x

Ft

Amortiguador

∑ =++=..

cos .xmFtFFFx avisresorteAnalicemos el caso de la figura:

)8(.....

mFtx

mkx

mBx =++

Buscaremos la solución de esta ecuación utilizando transformada de Laplace Reemplazo las constantes y obtengo

ξ

ω

=

=

mkB

nmk

..2mFtxnxnx =++ ....2 2

...ωωξ

Realizaré la transformación

)(.'.)(. 22

2

)0()0(2

2

2

sXsdt

xLxxssXsdt

xLnulasiniciales

scondicionett =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂⎯⎯⎯ →⎯−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂==

[ ] )()0()( ....2...2.....2...2 snn

nulasiniciales

scondicionetsnn XsdtxLxsXs

dtxL ωξωξωξωξ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

⎯⎯⎯ →⎯−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

=

( ) )(22 .. snn XxL ωω =

mF

mFtL s)(=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Veremos ahora cómo modelizar la fuerza Ft, de modo tal de obtener un IMPULSO excitativo corto y luego obtendremos la transformada de esta función F(s). Supongamos que tenemos una fuerza F(t) aplicada entre los instantes t0 y t1. Entonces podemos calcular el impulso integrando la fuerza por el tiempo

)0()1(

1

0

1

0....).( tt

t

t

t

tvmvmt

tvmttFJ −=∂∂∂

=∂= ∫∫ Si achicáramos el intervalo [t0,t1] y quisiéramos mantener el valor del impulso, deberíamos aumentar F(t). De este modo, cuando t1 t0, F(t) tiende a una función que se anula para t≠t0 pero que tiene un valor infinito para t=t0.

tiempo

Ft Área que representa

impulso

Se dice que la fuerza impulsora aplicada en un dt está normalizada si al integrarla en el tiempo el impulso da 1

4

1).( =∂= ∫

∞

∞−ttF

J n

Y en el caso que esta fuerza impulsora fuera aplicada en el tiempo t0=0, se la denomina función delta de Dirac (δ(t)).

1).( =∂= ∫∞

∞−tt

J δ

Esta función como podemos imaginarnos tiene valor infinito para t=0 y valor nulo para cualquier otro t.

0)(00)(

=∞=≠=

tparattparat δ

δ

De esto se desprende la siguiente propiedad

)10()0().().( ftttf =∂∫∞

∞−δ

La transformada de Laplace de la función Delta de Dirac es la siguiente Para a>0 ( ) saeat L .)( −=−δ

Se puede vincular a la función δ(t) con la función escalón de la siguiente manera: Si nuestra fuerza impulsora Ft = δ(t) tendríamos un impulso unitario ya que En cambio si nuestra fuerza impulsora fuera Ft = A.δ(t), el impulso sería En nuestra situación de análisis tomaremos de este modo a la fuerza impulsora: Ft = A.δ(t) Y la transformada de Laplace de Ft será entonces Finalmente entonces, la transformada de la ecuación (8) queda Ahora operamos algebraicamente para obtener la solución de la ecuación (9) Operamos sobre el primer miembro Finalmente antitransformamos este miembro y obtenemos la siguiente expresión

( )m

FXssxnxnxL s

snn)(

)(222

.......2....2 =++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ωωξωωξ

( ) ( )k

FX

ssFX

ssm

s

s

nn

nkporndomultiplica

s

s

nn )(

)(22

2

)(

)(22 ...2...2

/1=

++⎯⎯⎯⎯ →⎯=

++ ωωξω

ωωξ

( ) ( ) ( )( )

( ) [ ]222

2

2

1

1.

222

2

2222

2

1..

1..

11....2

2

ξωωξ

ξω

ξ

ωξωωξ

ωωωξωξ

ω ξ

ξ

−++

−

−⎯⎯ →⎯

−++=

+−+−

−

nn

nn

nn

n

nnn

n

sss

Donde X(s) es la transformada de x(t) y F(s) es la transformada de F(t). Recordar que a esta ecuación llegamos considerando que las condiciones iniciales x=x’=0

⎩⎨ >

=−=−at

aua(1

δ⎧ < at

∂∫ ∞−ttt

escalónfunción

t

10

)().4342 )(')( atuat −=−δ

∫ 1).( =∂∞

∞−ttδ

AttAJ =∂= ∫∞

∞−).(δ

( ) ∫∞

∞−

−− === AeAtAeFtL sts 0.. .)(.. δ

5

( ) )10(.1...1

2..

2tsene n

tnn ξωξ

ω ωξ −−

−

Veremos ahora qué pasa con el segundo miembro de la ecuación Transformada (9)

kAX

kFX s

s

s )(

)(

)( =Como ya habíamos visto F(s)=A=cte Si a este término lo antitransformamos obtendremos

)11()()(1

kAtx

kAX

L s =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− Entonces podremos igualas (10) y (11) para obtener la solución final de la ecuación (12) ( )tsene

k

Ax .1. 2ξω

ω ωξ=t ntnn ..

1.

.)( ..

2ξ−

−−

21. ξωω −= ndDefinimos como pulsación amortiguada a Entonces la ecuación (12), que es la solución del sistema oscilante amortiguado impulsado por Ft queda (13)

( )tsenek 1 2ξ

Atx d

tnn ....

.)( .. ω

ω ωξ−

−=

c) Decremento logarítmico

( )0..

20 ...1.

.)( 0 tsene

k

Atx d

tnn ωξ

ω ωξ−

−=En el instante t0 la función x(t) toma el siguiente valor:

( )DdTtnn

D Ttsenek

ATtx d +

−=+ +−

0).(.

20 .(..1.

.)( 0 ω

ξ

ω ωξ En el instante t0 + TD : Donde es el pseudo período (se lo denomina así porque en realidad la amplitud disminuye y por lo tanto no se repite un esquema) d

D ωπ.2T =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

5

5Posición vs tiempo

Tiempo

Posi

ción

Td

Ejemplo concreto con valores reales ξ = 0,2 k = 800N/m m=10kg A = 300N

ωn = 10(1/s) Tn=0.628s ωD = 9,8(1/s) TD=0.641s fD=1,56(1/s)

6

dd T180s

ciclosf 1106

== )/1(34906.2.180

106

ss

ciclosd == πω

)/1(34906 sn =ω

( ) ( ) {

arítmicodecremento

dnDaplicandoTnD qTtxTtxe

txTtx

d

log

00ln..

0

0 ..)(ln)(ln)(

)(=−=−+⎯⎯⎯ →⎯=

+ − ωξωξ

El decremento logarítmico da una idea de la capacidad de amortiguamiento por período. Ejemplo: Una barra de acero de sección rectangular b=0,05m y h=0,2m es excitada mediante un impulso produciendo una oscilación del tipo sinusoide amortiguada. Después de 106 ciclos (en 3 minutos) la amplitud habrá disminuido 100 veces. Hallar ξ, ωn y ωd.

mTtx

Tmtxe

txTmtx

dnDaplicandomTnD d ...

)().(

ln)(

).(

0

0ln...

0

0 ωξωξ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯⎯⎯ →⎯=

+ −Por otro lado

66

0

0 10.10180.....

1001ln

.100ln ndn mT

AA

ωξωξ −=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

( ) ( ) 180..100ln1ln nωξ−=−→ (a) ( )

nωξ .ln→

180100

= Recordemos que

nd

doreemplazan

ωξ

πω =−

⎯⎯⎯⎯ →2

6

1.2.

1801021. ξωω =d −n ⎯

Reemplazando en (a) obtenemos la siguiente ecuación

( )⎯⎯⎯⎯ →⎯

−=→ ξ

Y reemplazando nuevamente este valor en (a) obtenemos Se observa que es tan bajo el amortiguamiento que ωn = ωd. d) Análisis de los distintos casos de la ecuación solución del sistema amortiguado Para , es decir, SIN AMORTIGUAMIENTO 0 Vemos que la ecuación (12) se convierte en

=ξ

( )tsenk

Atx n

n ...

)( ωω

= Sistema vibrante simple

ξ

ξπ

despejando

2610.2100ln 710.33,7 −=ξ

1

7

Para , el amortiguamiento es CRÍTICO Pero no podremos usar la ecuación (12) porque para hallar esta ecuación supusimos que cuando dividimos y multiplicamos por en uno de los pasos anteriores.

1=ξ1≠ξ

21 ξ− Para , el sistema está SUBAMORTIGUADO Es decir, será oscilatorio pero disminuirá la amplitud con la tasa que marca el decremento logarítmico

1<ξ

Para , el sistema está SOBREAMORTIGUADO En este caso será no oscilatorio.

1>ξ

e) Análisis del sistema amortiguado homogéneo (para los casos: y )1=ξ 1<ξ Se analizarán el caso de amortiguación crítica ( ) y el sistema subamortiguado ( ) para la ecuación homogénea del sistema amortiguado (en este caso no supondremos condiciones iniciales nulas)

1=ξ 1<ξ

0....2 2

...=++ xnxnx ωωξ

Hallaremos las soluciones del polinomio característico Como , podemos reescribir las raíces en la forma polar de la siguiente manera

21.. ξω −nj

nωξ .

1rϕ

2r⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−=

−+−==++

22

2122

1...

1...0...2

ξωωξ

ξωωξωωξ

nn

nnnn

jr

jrrr

nrr ω== 21

( )( ))(.)cos(..

)(.)cos(..

2

1

ϕϕωω

ϕϕωωϕ

ϕ

senjer

senjer

nj

n

nj

n

−==

+==−

en el gráfico vemos que

( ) ( )ξ

ξωωξ

ωξϕ −=

−+−

−=

222 1..

.)cos(

nn

n

( ) ( ) ξξ

ξωωξ

ξωϕ

2

222

2 1

1..

1.)(

−=

−+−

−=

nn

nsen Para las raíces son reales e iguales, por lo tanto la solución propuesta es: Con las condiciones iniciales hallamos los coeficientes A y B. Finalmente la solución para un sistema con esas condiciones iniciales

1=ξ }ξω .21 nrr −==tntr

H etBAetBAx .. ).().( ω−+=+=

Ax ==)x t=0(

0)0(

... .0..)..(. xBBAxeBtBAex nnttntn

nH ωωω ωω =⇒=+−=⇒++−= =−−

0.

).1.(. .0 texx n

tH

n ωω += −

8

0 0.5 1

1

1

Posición vs tiempo

Tiempo

Posi

ción

Ejemplo concreto con valores reales ξ = 1 k = 800N/m m=10kg x0=1m x0’=0m/s

REHACER ESTA PARTE Para 1<ξ dn

daamortiguadpulsación

aremosdenolo

nn jjr − ωωξξωωξ ..1...min

21 +−=−+=

43421

ω )(

dnnn jjr ωωξξωωξ ..1... 22 −−=−−−=

48476

trtrH eCeCx .

2.

121 .. +=las raíces son complejas y conjugadas, por lo tanto la solución propuesta es:

Trabajando algebraicamente sobre la solución ]...[.. ..

2..

1.....

2...

1tjtjttjtj

Hddndndn eCeCeeCeCx ωωωξωωξωωξ −−−−+− +=+=

( ) ( )[ ]).().cos(.).().cos(.. 21

.. tjsentCtjsentCex ddddt

Hn ωωωωωξ −++= −

( ) ( )[ ] { [ ]).(.).cos(..).(..).cos(.. ..

).(

2121..

2121

tsenBtAetsenCCjtCCex ddt

BCCjACC

llamandodd

tH

nn ωωωω ωξωξ +=−++= −

=−=+

−

Transformando las constantes A y B a una forma más conveniente

A

B

φ R

)cos(.)(.

ϕϕ

RBsenRA

==

[ ]).().cos().cos().(.... tsentsenRex ddt

Hn ωϕωϕωξ += −

).(.... ϕωωξ += − tsenRex dt

Hn

Con las condiciones iniciales hallamos los coeficientes R yφ.

0)0(

.==txSi las condiciones iniciales fueran y 0)0( xx t ==

9

, entonces las constantes R yφ tomarían los siguientes valores:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

ξξ 21

arctgsen

xR O

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

ξξ

ϕ21

arctg Finalmente la solución para este sistema con las condiciones iniciales descriptas sería

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −= −

ξξ

ω

ξξ

ωξ2

2

.. 1..

1. arctgtsen

arctgsen

xex d

OtH

n f) Transferencia Sinusoidal

Si tenemos un sistema oscilador amortiguado que es excitado por una Entrada sinusoidal tendremos el siguiente esquema a analizar: sin Escribimos la ecuación diferencial q Reemplazando las constantes B y k Haciendo la transformada de esta e

(s La transformada de F(s) es Y la ecuación de Laplace resultante

F

Vemos que el término izquierdo es udenominador), entonces podremos del polinomio del denominador: ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=++

.

..2 2

ξ

ωξωωξ nn

..2

12

s

sss

Y por ende la antitransformada de e Pero como nos interesa el período einteresará analizar las raíces del res

F(t)

SISTEMA X(t)

usoidal sinusoidal

ue representa a nuestro sistema:

mtsenF

xmkx

mBx o ).(.

..... ω

=++

/m obtenemos la siguiente ecuación

mtsenF

xnxnx o ).(.....2 2

... ωωωξ =++

cuación llegamos a:

) )()(

22

2

....2 s

s

nn

n Xk

F

s=

++ ωωξω

queda 22)(

.ωω

+=

sFo

s

( ) )(22

)(

22

2 1..

....2 s

o

sG

nn

n Xks

Fss

=+++ ωω

ωωξω

444 3444 21

n cociente de polinomios (donde el grado del numerador es menor que el grado del descomponerlo en suma de fracciones simples. Para esto deberemos hallar las raíces

En caso de ser reales son <0 y en caso de ser complejos, la parte real es <0. Por lo tanto las fracciones simples tendrán la siguiente forma: −−

−+2

2

ξωω

ξωn

1.

1.

nn

n

21 ssB

ssA

++

+

tsts eBeA .. 21 .. −− +stas dos fracciones será la siguiente:

stacionario (t ∞), estos dos términos se anularán de la solución, entonces solo nos to del denominador

10

⎩⎨⎧

−=+=

+ωω

ω..

4

322

jssjss

s de este modo, la descomposición en fracciones simples que sobrevivirá en el período estacionario será: (14)

ksF

GGX ... 22)))( Yjs

ajs

a ossss

1... ()((

21

ωω

ωω +−+==+=

Entonces, (15) )..() ωω jajaG ++−= ..(

.. 21)(

ωss

kFo

s Despejaremos ahora , para esto valoraremos la función (15) en (j.w) y (-j.w) 21 aya Si Pero como kj

FGa oj

..2.).(

2ω=js = ω.

Si Entonces Reemplazando estos 2 valores en la ecuación 14: Desarrollando esto queda: Antitransformándolo obtenemos:

EntradaSalida

tiempo

ω.js −=kjFG

a oj

..2.).(

1 −= ω

→=G)(

)()(

s

ss Q

P G ϕωω

jjj eG .).().( =

ϕωω

jjj eGG −

− = .).().(

kj

FeGa o

jj

..2

..).(2

ϕω

=

kj

FeG .. ϕ

a oj

j

..2).(

1 −=

−ω

)..(..2

..

)..(..2

.. ).().()( ωω

ϕω

ϕω

jskj

FeG

jskj

FeGX o

jjo

jj

s +−+

−=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

=−

).().(..2

.).()( ωω

ϕϕω

jse

jse

kj

FGX

jjoj

s

( ) ).(...2

.. ).(

).().(

).()( ϕωω

ϕωϕω

ω +=−

=+−+

tsenkF

Gjee

kF

Gx oj

tjtjo

jt)arg( ).( ωϕ jG=

oF ).(. ωjo G

kF

11

El coeficiente de amplificación y el retardo de fase de la respuesta a tiempo infinito de un proceso corresponden al módulo y argumento de su función de transferencia evaluada en s=jω. C ).(.. ωjGA =

)arg( ).( ωϕ jG= De este modo, como regla práctica, para conocer la salida deberíamos encontrar la ecuación de transferencia que gobierna el proceso y la deberíamos evaluar en s=jω. Así obtendríamos tanto la relación de amplitudes como el desfasaje de la salida. g) Coeficiente de amplificación (µ)

Supongamos que tenemos un sistema oscilatorio amortiguado que está excitado por una fuerza sinusoidal

{ ).(.)( tsenFtF

entradadeamplitud

o ω= Sabemos entonces que la salida tendrá la siguiente forma:

).(..)( ).( ϕωω += tsenkF

Gtx

salidadeamplitud

oj

43421

kF

Gx oj .).(max ω=Entonces

Donde es la deformación estática (la que tendría el sistema en caso de ser F una fuerza estática). Entonces volviendo a la ecuación diferencial del sistema amortiguado Evaluaremos Multiplicando y dividiendo por el conjugado Hallamos el módulo ahora

kF

xG

oj

max.( =ω )

kFo

{iónamplificacde

ecoeficientestj x

xG µω == max

).(

( ) kFX

ss s

s

sG

nn

n ....2 )(

)(

)(

22

2

=++444 3444 21ωωξ

ω

).( ωjG

( ) ( )ωωξωωω

ωωωξωω

ω ...2.....2. 22

2

222

2

).(nn

n

nn

nj jjj

G++−

=++

=

( )( )

( ) 222222

222

22

22

22

2

).(...4

...2.....2....2.

....2. ωωξωω

ωωξωωωωωξωωωωξωω

ωωξωωω

ω

nn

nnn

nn

nn

nn

nj

jjj

jG

+−

−−=

−−

−−

+−=

12

( )( ) ( ) 222222

2

2

222222

222222

).(

...4...4

...4

ωωξωω

ω

ωωωξωω

ωωξωωω

nn

n

n

nn

nnjG

+−=

+−

+−=

22

22

max).(

..41

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==

nn

estj x

xG

ωωξ

ωω

ω

0 0.5 1 1.5 2 2

0.5

1

1.5

relación de frecuencias (w/wn)

Fact

or d

e am

plifi

caci

ón

ξ=0,3

ξ=0

ξ=0,5

22

=ξ

21

Observaciones sobre la función Factor de amplificación:

- A medida que el factor de amortiguamiento aumenta,frecuencias) y disminuye.

- Cuando la frecuencia tiende a 0 el sistema es estátic- A medida que la frecuencia tiende a infinito el factor d

amortiguamiento) tienden a 0 por los efectos de la in - Cuando el factor de amortiguamiento es o

22

=ξ

g) Coeficiente de transmisibilidad (Tr)

Queremos calcular la fuerza transmitida a la base. Supongamos qu

{ ).(.)( tsenFtF

entradadeamplitud

o ω= Analicemos las ecuaciones que gobiernan

Factor de amplificación

.5 3

el máximo se va acercando al cero (de la relación de

o, de modo que la amplitud máxima es la estática. e amplificación (para todos los grados de

ercia del sistema.

mayor, no aumenta la amplitud máxima sobre la estática.

e el movimiento de la masa será oscilatorio.

13

Vemos entonces que la Fuerza del resorte y la del amortiguador estarán desfasadas en 90º La fuerza máxima transmitida será el módulo de la resultante de la suma de ambas fuerzas Se define entonces: Reemplazando µ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

2

Relación de frecuencias (w/wn)

Coe

ficie

nte

de T

rans

mis

ibili

dad

).(.0)( ϕω += Xx tsent ).(... 0 ϕω +−=−== tsenXkxkFresorte

).cos(..)( 0

.ϕωω += tXtx ).cos(.... 0

.ϕωω +−=−= tXBxBFamort

).(..)( 20

..ϕωω +−= tsenXtx

B.Xo.ω

k.Xo2222222222

max ..... kBXXkXBFFF oooresortamortT +=+=+= ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎯⎯ →⎯+=⎯⎯ →⎯+==

==1.....

... 2

222222222max

kBk

kTrkB

FX

TrkBFX

FF

Tr XestF

k

o

estXestX

o

o

o

Too ωµω

µω

µ

1..4.1.

....4.1..

22

24

2222/..2

/

2

22 2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=⎯⎯⎯⎯ →⎯+= =

=

nn

nmBnnmk

mm

Trk

BTrωωξµ

ωωξω

µωµ ωξω

22

22

22

..41

1..4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

nn

nTr

ωωξ

ωω

ωωξ

ξ=0,3

ξ=0

ξ=0,5 22

=ξ∞→ξ

2ξ>

14

De este gráfico también podemos destacar lo siguiente

- El máximo también se va moviendo hacia el cero de la relación de frecuencias a medida que aumentamos el amortiguamiento.

- Para cualquier amortiguamiento, siempre que la fuerza transmitida será mayor que la fuerza máxima de excitación (Fo)

nωω .2<

- Para cualquier amortiguamiento, siempre que la fuerza transmitida será menor que la fuerza máxima de excitación (Fo)

nωω .2>

- Para , a medida que aumento el amortiguamiento, transmito más fuerza a la base. - Para un sistema con un amortiguamiento muy grande la transmisibilidad tiende a 1 para cualquier frecuencia.

nω2ω .>

Generador de perturbaciones

Ejemplo: Sabiendo que la fuerza producida por el generador de perturbaciones es , a 1500 ciclos por minuto, ; que la masa del perturbador es de 50kg y que la viga es de acero (E=21.1010Pa) Hallar Tr, µ, Xmáx, Xest. Hallamos inicialmente la constante de rigidez en la zona de excitación k =F/flecha (el problema se reduce a hallar la flecha en el medio de la viga biempotrada a la que se le aplica una fuerza F). Teniendo la sección de la viga podemos hallar el momento de inercia. Supondremos que la fuerza oscilante está aplicada en forma concentrada en el medio de la viga. Una vez que tenemos k podremos hallar ωn (la frecuencia natural de oscilación en el primer modo) Teniendo ω, ωn y ξ podremos hallar el coeficiente de amplificación como el coeficiente de transmisibilidad. µ = 0.035 Tr = 0.035 Vemos que como la frecuencia supera a y el factor de amortiguamiento es muy pequeño ambos coeficientes (transmisibilidad y amplificación) son bastante bajos.

Viga biempotrada Sección de la viga

5mm

50mm 100mm

1000mm

).(.500)( tsenNF ω0=

t =ξ 005,

srad

mk

n 98,28==ω

sradn /15760.2. ==πω

mXX

mmN

NkF

X

est

oest

4max

2

10.16.4.

10.19,1/42000

500

−

−

==

===

µ

493

10.04,112. mhbI −== m

NL

IEk 42000..1923 ==

41,5=nωω

NFTrF o 14.max ==

nωω .2=

15

Sistema de dos grados de libertad y no se mueve

xz no se mueve φ no se mueve F(t)

y Ecuaciones de Newton: El movimiento podrá ser de la siguiente manera Reemplazando esto en las ecuaciones de Newton: Haremos la Transformada de Laplace de estas ecuaciones considerando condiciones iniciales nulas. Reordenando llegamos a:

k2

ak1

L L

Gresrest XmFFF..

21 .=++..

.21

θGFFF JMMMresrest

=++

F )..(11 θLXk Gres +−=θ θ.L≈

GX

)..(22 θLXkF Gres −−=

LLXkM GFres )...(11 θ+−=

LLXkM GFres )...(22 θ−−=

GGGt XmLkXkLkXkF..

2211 ....... =+−−− θθ..

222

211 .......... θθθ GGGt JLkLXkLkLXkaF =+−−−

)(2

)(2)(2)(1)(1)( ........ sGssGssGs XsmLkXkLkXkF =+−−− θθ

)(2

)(2

2)(2)(2

1)(1)( ........... sGssGssGs sJLkLXkLkLXkaF θθθ =+−−−

( ) ( ) )(

12

21)(

11

221)( .... s

a

sG

a

s LkkXsmkkF θ4342144 344 21

−+++=

( ) ( ) )(

22

2221)(

21

21)()( ..... s

a

GsG

a

ss LsJkkXLkkMaF θ444 3444 2143421

+−++==

16

F )(12)(11)( .. ssGs aXa θ+=

θ+=

M )(22)(21)( .. ssGs aXa Queda un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas que lo resolvemos por regla de Cramer:

2221

1211

22)(

12)(

)(

aaaaaMaF

2221

1211

)(21

)(11

)(

aaaa

MaFa

s

s

s =θ

s

s

sG = X

Simplificaremos el problema asumiendo que k1=k2. De este modo

GJsLka

Lkaa

smka

...2

..20

..2

2222

21

12

211

+=

==

+= Para hallar las frecuencias naturales de vibración debemos hacer que el denominador (es decir, lo que multiplica a X(s)) se cancele. 0)...2).(..2(.. 222

21122211 =++=−=∆ GJsLksmkaaaa Desarrollando, llegamos a la ecuación característica (Bi-cuadrada)

( ) 0...2..2.....4 22422 =+++=∆ mLkJksmJsLk GG Si s2=v

( ) 0...2..2.....4 2222 =+++=∆ mLkJkvmJvLk GG Sacamos las raíces de esta ecuación y simplificamos la expresión 21,vv

( ) ( )

mkv

JLkv

mJmLJkmLJk

v G

G

GG

2.

.2.

..2...4...2

2

2

12222

2,1 −=

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+−±+−

=

Y de este modo obtenemos las raíces de la bi-cuadrada

24

32

12

11

.

.

ω

ω

jss

v

jss ⎫

2

1

2

.2.

..2.

ω

v

±⎭⎬⎫

=

±⎭⎬= ωj±=

jmk

JL

G

±=−

k−

17

Entonces tenemos 2 frecuencias naturales de vibración para el sistema de 2 grados de libertad Ejemplo: Hallar las frecuencias naturales del sistema descrito.

kka

LL

F(t)

y

x

mNk

mbhml

mkg

8

3

10

01,05,0

7850

=

===

=ρ

25.0

5.0

305

05

22 .5,63

........ mkgyhbdyhbydmyJM

G ===≅−

−∫∫ ρρ

srad

mk

srad

JLk

G

15962.

2773.2.

2

2

1

==

==

ω

ω

18

Teorema de Rayleigh En un sistema que evoluciona bajo la acción de Fuerzas conservativas sabemos que la energía total del sistema se mantiene constante

cteEE meccin =+ Analicemos el sistema masa resorte haciendo consideraciones energéticas: Elongaciones

Caso de resorte lineal c = define un punto cualquiera del resorte si c = 0, la elongación es 0 si c = L, la elongación es X en el caso del resorte ideal las elongaciones siguen una ley lineal La función elongación es: Analizaremos en primer lugar considerando parámetros concentrados (es decir que la masa está concentrada en la punta del resorte y que la masa del resorte no influye) Energía cinética: (15) Como la única porción del sistema que tiene masa es el cuerpo colgado del resorte entonces será la única porción que tendrá energía cinética, por ende la función oscilación nos interesará únicamente en el extremo: (16) Hallando la derivada Introduciendo esta función en la ecuación (15) Ahora calcularemos la energía potencial elástica: Pero como bien sabemos:

c X(c) L

X(L)=X

).(.)(),( tsenXx ctc ω=

Amplitud

2.2 ..

2.

2E ==

1.1 xmvmcin

).(,( tsentsenLLt ).(..)() XXx ωω ==

).cos(..).cos(..)(),(

.tXtXx LLt ωωωω ==

).(cos....21 222 tXmEcin ωω=

).(..2

.... 222

00tsenXkxkxxkxFE

xx

xelas ω==∂−−=∂−= ∫∫2

).(cos....21).(.. 22222 tXmtsenXkEEcteE elascinmec ωωω +=+==

19

Cuando la energía cinética es máxima, la energía potencial es nula. Y viceversa cuando la energía potencial es máxima, la energía cinética es nula. Entonces,

22)(

2)( ...

21. ωXmEXkE MAXelasMAXcin ==

Y como la Energía mecánica es cte. (17)

222)() .

2ωkEE =⇒=( ..1. XmXMAXelasMAXcin

Despejando ω de la ecuación (17) llegamos a la expresión de la frecuencia natural de oscilación del sistema considerando parámetros concentrados

mk

=ω Entonces vemos que el método de la energía nos permite calcular la frecuencia natural del sistema En un segundo caso dejaremos de considerar las masas concentradas y consideraremos la masa del resorte. La Energía potencial del resorte sigue valiendo lo mismo ya que en ningún momento consideramos la masa del mismo para su cálculo

).(..2

.... 222

00tsenXkxkxxkxFE

xx

xelas ω==∂−−=∂−= ∫∫ La energía cinética del conjunto la tendremos que calcular nuevamente

)

(

)

()(

RESORTEENADISTRIBUID

MASAcin

EXTREMOENACONCENTRAD

MASAcinTOTcin EEE +=

).(cos....21 222 tXm ωω c

dc L 2

),(

.

)( ..21

tcRESORTEcin xmE ∂=∂ Definimos la densidad de masa de resorte por unidad de longitud como

cmresorte

∂∂

=λ Reemplazando en (17) (18)

2)) 2

x=∂ λ ,(

.

( ...1tcRESORTEcin cE ∂

X(c)

Amplitud de oscilación del punto c

Consideraremos el caso en que el resorte es lineal

c=L/3 X/3 c=L X Distribución lineal de amplitudes

20

Podríamos escribir la función desplazamiento en cada punto como función del desplazamiento del extremo del resorte. En este caso consideraremos la linealidad del resorte. De la ecuación (16) teníamos la oscilación del punto extremo, donde X representaba la amplitud de la masa concentrada y x representa la función oscilación del extremo del resorte y es función del tiempo.

cx

Lx tctL ),(),( =

Entonces, (19) ox

Lxx χ) == tLtLtc

c .. ),(),(,(

Donde (la función que multiplica al desplazamiento en el extremo para desprender los desplazamientos en cualquier punto c) se denomina forma de modo (en el caso en que se denomina Fracción modal)

oχ

Lc

o =χ Nótese que es una función de c. Hallamos la derivada de (19) respecto al tiempo oχ (20) oxxx χ.. ))) == tLtLtc

Lc

,(

..

,(,(

.

Reemplazando (20) en (18)

cLcxE tLRESORTEcin ∂=∂ ....

21

2

22

),(

.

)( λ Integrando

LxccL

xcLcxEE tL

LtLLtL

L

RESORTEcinRESORTEcin ...61....

21....

21 2

),(

.

0

22

2),(

.

0 2

22

),(

.

0 )()( λλλ =∂=∂=∂= ∫∫∫

2

),(

.

)( .3..

21

tLRESORTEcin xLE λ=

Lmresorte=λSi la densidad es uniforme, entonces

2

),(

.

)( .3

.21

tLresorte

RESORTEcin xm

E = Con este valor podremos hallar la Energía cinética total del sistema:

eequivalenttL

m

resortetLtL

resortetLcinTOTAL mxm

mxx

mxmE

eequivalent

..21

3..

21.

3.

21..

21 2

),(

.2

),(

.2

),(

.2

),(

.=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

4434421

Cuando la energía cinética es máxima, la energía potencial es nula. Y viceversa cuando la energía potencial es máxima, la energía cinética es nula. Entonces,

2)(

22)( .

21

3..

21 XKEm

mXE MAXelas

resorteMAXcinTOTAL ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ω

21

De aquí podremos hallar la frecuencia natural de oscilación del sistema considerando la masa distribuida del resorte.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

mm

KKmm

resorte

resorte

33

. 22 ωω Conclusiones:

- La constante que afecta a la masa distribuida (en este caso 1/3) depende de la forma de modo. - Vemos que la frecuencia natural de oscilación considerando a la masa del resorte es sensiblemente menor que

si no lo consideramos. Ejercicio:

P

JElPFlecha..3

. 3

= (hallado en Resistencia de

materiales) Dada la elástica considerar la masa de la viga y hallar la frecuencia natural de oscilación Dato: Forma de modo: Desarrollo:

( )323 ..3.

.21 ccLLo −=χ

Considerando densidad lineal uniforme de la viga Entonces igualamos la energía cinética máxima de la viga a la energía elástica máxima Finalmente despejamos La frecuencia de esta Ecuación

otLtc xx χ=.

.),(),( = otLtc xx χ.),(

.

),(22

),(

.2

),(

.. otLtc xx χ=

( ) ( )56426

2),(

.232

322

) .1.xx = ),(

.

,(

...6..9.

.41...3

.2cLccL

LxccL

LtLtLtc −+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

( ) ccLccLL

xE tLMASADISTcin ∂−+= ...6..9..41...

21 5642

62

),(

.

)( λ∂

( )∫∫ ∂−+=∂=L

tLL

MASADISTcinMASADISTcin ccLccLL

xEE0

56426

2),(

.

0 )()( ...6..9..41...

21 λ

Lmviga=λ

14033..

21 2

),(

.

)( vigatLMASADISTcin mxE =

2)(

22)( .

21

14033..

21 XKEmmXE MAXelasvigaMAXcinTOTAL ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ω

( )mm

KKmmviga

viga

+=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

14033140

33. 22 ωω

22

La constante K la podemos despejar teniendo la flecha de la viga y la fuerza aplicada

JELP

PP = K . δ K

..3. 3=

23

24

25

26

27