vibrations & ondes - vibrations des systèmes discrets

Pre

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Mo

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2014

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sep

t.1

41

/7

8

Preambule Equations du mouvement Mouvement libre Base modale Mouvement force Systemes dissipatifs

Schema global de resolution d’un probleme de vibrationsValable pour un systeme discret ou continu

Objectif : Connaitre le champ des deplacements dynamiques de lastructure.Probleme : Comment modeliser la deformation et les effortsdynamiques.Etape initiale : Description de la structure par des variables locales.

Figure: Modele discret d’un petrolier a 4ddl

Figure: Modele continu d’une voie de TGV

UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systemes discrets sept. 14 3 / 78


Schema global de resolution d’un probleme de vibrationsCas d’un systeme discret

Outil choisi : Equations de Lagrange ( = Equilibre dynamique)

1 systeme mecanique → N parametres generalises independants qi

Calcul de l’energie cinetique T (qi )

Calcul de l’energie potentielle elastique U(qi )

Lagrangien : L(qi , qi ) = T − U

PPV : Calcul des efforts generalises Qi

N equations de Lagrange :

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= Qi

Ce sont les equations du mouvement.



Equations du mouvement

Les equations du mouvement sont des equations differentielles.

Elles traduisent l’evolution de la deformation elastique du systeme

Elles portent sur des variables dites coordonnees generalisees

qi (t) : coordonnees generalisees

Variables independantes decrivant l’etat deforme du systemePetits mouvements autour d’un equilibre stable (qi )0.

‖qi‖ � ε

Cette hypothese permettra de negliger d’eventuels termes du 2nd ordre et

d’obtenir des equations lineaires.

Rappel : Equilibre stable ↔ Minimum d’energie potentielle :

(∂U

∂qi

)0

= 0, ∀i



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduUn fil rouge

Figure: Systeme reel

Figure: Modele parametre



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduParametres pour une etude dans le plan

Support moteur :

Raideur a la traction : k1 (N/m),Raideur a la torsion : K1 (Nm/rad)

Moteur :

masse M1 (kg)Deplacement longitudinal : x1 (m),Deplacement angulaire : θ1 (rad)

Palier-Arbre d’Helice :Raideur a la torsion : K2 (Nm/rad)

Helice :

Moment d’inertie I2 (kgm2)Deplacement angulaire : θ2 (rad)

Les centres de gravite a l’equilibre sont reperes par L1 et L2.



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduParametres pour une etude dans le plan

Support moteur :

Raideur a la traction : k1 (N/m),Raideur a la torsion : K1 (Nm/rad)

Moteur :

masse M1 (kg)Deplacement longitudinal : x1 (m),Deplacement angulaire : θ1 (rad)

Palier-Arbre d’Helice :Raideur a la torsion : K2 (Nm/rad)

Helice :

Moment d’inertie I2 (kgm2)Deplacement angulaire : θ2 (rad)

Les centres de gravite a l’equilibre sont reperes par L1 et L2.



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspendu

Le modele a 3 degres de liberte.

Son etat a chaque instant estcompletement decrit par 3coordonnees generalisees, fonctionsdu temps.On note le vecteur d’etat :

q(t) =

⎛⎝x1(t)θ1(t)θ2(t)

⎞⎠



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduCalcul des deplacements au 1er ordre

Translations

Moteur

�OG1 = (L1 + x1)(cos θ1�x + sin θ1�y)

(θ1 � 1) ≈ (L1 + x1)(�x + θ1�y)

(1erordre) ≈ (L1 + x1)�x + L1θ1�y

⇒ �V1 = x1�x + L1θ1�y

⇒ V 21 = x21 + L21θ

21

Helice V 22 = x21 + L22θ

21

Rotation

Helice dans le repere fixe : θ2



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduEnergie Cinetique

Translation

Tt =1

2M1V

21 +

1

2M2V

22

=1

2M1(x

21 + L21θ

21)

+1

2M2(x

21 + L22θ

21)

=1

2(M1 +M2)x

21

+1

2(M1L

21 +M2L

22)θ

21

Rotation : Tr =12 I2θ

22

Total : T = 12 (M1 +M2)x

21 + 1

2 (M1L21 +M2L

22)θ

21 +

12 I2θ

22



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduEnergie potentielle de deformation

Ressort de traction k1

U1t =1

2k1x

21

Ressort de torsion K1

U1r =1

2K1θ

21

Ressort de torsion K2

U2r =1

2K2(θ2 − θ1)

2

Total : U = 12k1x

21 + 1

2 (K1 + K2)θ21 +

12K2θ

22 − 1

22K2θ1θ2



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduEquations du mouvement

Les equations du mouvement sont synthetisees par le Lagrangien :

L(qi , qi ) = T − U

avec

T = 12 (M1 +M2)x

21 + 1

2 (M1L21 +M2L

22)θ

21 + 1

2 I2θ22

U = 12k1x

21 + 1

2 (K1 + K2)θ21 + 1

2K2θ22 − 1

22K2θ1θ2

Les equations de Lagrange donnent les equations du mouvement :

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0 avec qi = x1, θ1, θ2 ⇔

⎧⎨⎩

(M1 +M2) x1 + k1 x1 = 0

(M1L21 +M2L

22) θ1 + (K1 + K2) θ1 − K2 θ2 = 0

I2 θ2 + K2 θ2 − K2 θ1 = 0



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduIdentification de la matrice d’inertie ou matrice de masse

L’energie cinetique :

T =1

2(M1 +M2)x

21 +

1

2(M1L

21 +M2L

22)θ

21 +

1

2I2θ

22

est de la forme quadratique generale :

T =1

2

∑i,j

mij qi qj

On peut l’ecrire sous forme matricielle :

T =1

2

(x1 θ1 θ2

)⎛⎝M1 +M2 0 00 M1L

21 +M2L

22 0

0 0 I2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠

Plus generalement, on peut ecrire :

T =1

2qtMq

M : matrice d’inertie (ou de masse), symetrique positive et inversibleUPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systemes discrets sept. 14 14 / 78


Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduIdentification de la matrice de raideur

L’energie potentielle :

U =1

2k1x

21 +

1

2(K1 + K2)θ

21 +

1

2K2θ

22 −

1

22K2θ1θ2

est de la forme quadratique generale :

U =1

2

∑i,j

kijqiqj

On peut l’ecrire sous forme matricielle :

U =1

2

(x1 θ1 θ2

)⎛⎝k1 0 00 K1 + K2 −K2

0 −K2 K2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠

Plus generalement, on peut ecrire :

U =1

2qtKq

K : matrice de raideur, symetrique et inversibleUPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systemes discrets sept. 14 15 / 78


Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduEquation matricielle du mouvement

Les equations du mouvement :

⎧⎨⎩

(M1 +M2) x1 + k1 x1 = 0

(M1L21 +M2L

22) θ1 + (K1 + K2) θ1 − K2 θ2 = 0

I2 θ2 + K2 θ2 − K2 θ1 = 0

peuvent s’ecrire sous forme matricielle :

⎛⎝M1 +M2 0 0

0 M1L21 +M2L

22 0

0 0 I2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠+

⎛⎝k1 0 0

0 K1 + K2 −K2

0 −K2 K2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠ =

⎛⎝000

⎞⎠

Plus generalement, en l’absence d’amortissement et de forces exterieuresappliquees, on peut ecrire les equations de Lagrange sous la forme :

Mq+Kq = 0



Generalisation aux systemes a N ddl

N variables en deplacement independantes (translations ourotations) :

qr (t), r = 1, ...,N

Vecteur des coordonnees generalisees → q(t)



Equations du mouvement libre - Cas GeneralProcedure d’ecriture

Identifier les parametres de :

Deplacement - Inertie - Raideur

Ecrire :L’Energie cinetique et identifier la matrice d’inertie :

T =1

2qtMq =

1

2

∑i,j

mij qi qj → M

L’Energie potentielle et identifier la matrice de raideur :

U =1

2qtKq =

1

2

∑i,j

kijqiqj → K

On arrive a l’equation matricielle du mouvement libre :

Mq+Kq = 0

q(t) est le vecteur des fonctions de deplacement libre a identifier.

Les qi (t) sont les mouvements vibratoires ”naturels” du systeme.UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systemes discrets sept. 14 18 / 78


Procedure d’identification des Modes propresSysteme libre → Modes de vibration naturels ou propres

Pour observer ces modes naturels ou modes propres, il faut :

Pas d’effort exterieur applique de facon durable

Conditions initiales en deplacement et/ou en vitesse �= 0

Pour obtenir leur expression analytique, il faut resoudre l’equationhomogene :

Mq+Kq = 0 (1)

On pose que les solutions sont de la forme :

qi (t) = Xiejωt → q = Xejωt (2)

Doncqi (t) = −ω2Xie

jωt → q = −ω2Xejωt = −ω2q

Les inconnues a identifier sont :

la pulsation naturelle ou pulsation propre ω

l’amplitude Xi de chaque coordonnee generalisee qi (t) i.e. X.



Procedure d’identification des Modes propresPulsations naturelles = Valeurs propres du systeme d’equations du mouvement

qi (t) = Xiejωt → Mq+Kq = 0

On injecte la forme de solution supposee dans l’eq. du mvt libre :

(2) → (1) ⇔ (−ω2M+K)X��ejωt = 0 ∀t (3)

CNS pour une solution non triviale a (3) ⇒ determinant nul :

∃ Solutions a (3) ⇒ det(−ω2M+K

)= 0 (4)

Si les N C.G. sont bien independantes, l’equation (4) est lepolynome caracteristique de degre N en ω2

∃ toujours pour (4) N racines ω2r distinctes et > 0 :

ω21 , ω

22 , ..., ω

2r , ..., ω

2N

Les N ωr sont les valeurs propres du systeme lineaire (3).UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systemes discrets sept. 14 20 / 78


Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduCalcul des pulsations propres

On a obtenu l’equation matricielle du mouvement :

⎛⎝M1 +M2 0 0

0 M1L21 +M2L

22 0

0 0 I2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠+

⎛⎝k1 0 0

0 K1 + K2 −K2

0 −K2 K2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠ =

⎛⎝000

⎞⎠




On avait l’equation matricielle du mouvement :

⎛⎝M1 +M2 0 0

0 M1L21 +M2L

22 0

0 0 I2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠+

⎛⎝k1 0 0

0 K1 + K2 −K2

0 −K2 K2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠ =

⎛⎝000

⎞⎠

⇔⎛⎝−ω2

⎛⎝M1 +M2 0 0

0 M1L21 +M2L

22 0

0 0 I2

⎞⎠+

⎛⎝k1 0 0

0 K1 + K2 −K2

0 −K2 K2

⎞⎠⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠ =

⎛⎝000

⎞⎠

⇔⎛⎝k1 − (M1 +M2)ω

2 0 00 K1 + K2 − (M1L

21 +M2L

22)ω

2 −K2

0 −K2 K2 − I2ω2

⎞⎠

⎛⎝x1θ1θ2

⎞⎠ =

⎛⎝000

⎞⎠

Pour qu’une solution(x1 θ1 θ2

)t(non nulle) existe, il faut :

det

⎛⎝k1 − (M1 +M2)ω

2 0 00 K1 + K2 − (M1L

21 +M2L

22)ω

2 −K2

0 −K2 K2 − I2ω2

⎞⎠ = 0




det

⎛⎝k1 − (M1 +M2)ω

2 0 00 K1 + K2 − (M1L

21 +M2L

22)ω

2 −K2

0 −K2 K2 − I2ω2

⎞⎠ = 0

⇔ (k1−(M1+M2)ω2)[(

K1 + K2 − (M1L21 +M2L

22)ω

2)(K2 − I2ω

2)− K 22 )]= 0

Application numerique :(Caracteristiques approximatives)M1 = 5 kgk1 = 100 N/ 2 mm = 5.105 N/mK1 = 100 N × 0.5 m/ 0.2 rad = 250 Nm/radL1 = 0.5 mM2 = 3 kg

I2 ≈ M2 l2h

12= 5 kg . (1.5m)2/12 = 0.94 kg.m2

K2 = 25K1 = 6250 Nm/radL2 = 0.75 m




Polynome caracteristique de degre 3 en ω2 :

(k1 − (M1 +M2)ω2)[(

K1 + K2 − (M1L21 +M2L

22)ω

2)(K2 − I2ω

2)− K 22 )]= 0

Application numerique :(Caracteristiques approximatives)M1 = 5 kgk1 = 100 N/ 2 mm = 5.105 N/mK1 = 100 N × 0.5 m/ 0.2 rad = 250 Nm/radL1 = 0.5 mM2 = 3 kg

I2 ≈ M2 l2h

12= 5 kg . (1.5m)2/12 = 0.94 kg.m2

K2 = 25K1 = 6250 Nm/radL2 = 0.75 m

Resolution numerique → 3 racines ωr = 2πfr , (r = 1, 2, 3) :

r 1 2 3

ω2r 70 1325 6250

fr (Hz) 1.34 18.3 39.8



Procedure d’identification des Modes propres (suite)1 frequence propre donne 1 mode propre

Les ωr sont les N pulsations propres du systeme vibrant.

Les fr sont ses frequences propres.

Dans son mouvement libre (en l’absence de force exterieures), lesysteme ne peut vibrer qu’a ses frequences propres.

A chaque frequence propre, correspond une forme particuliere devibration : le mode propre ou mode naturel.

Modes naturels = Vecteurs propres de l’equation du mouvement

Chaque ωr substitue dans le systeme (3) :(K−Mω2

r

)Xr = 0

→ 1 vecteur colonne Xr d’amplitudes relatives des qi → Xir :

ωr → (3) ⇒ Xr =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

X1r

...Xir

...XNr

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(r = 1, . . . ,N)



Procedure d’identification des Modes propres (suite)Modes propres ou naturels = Vecteurs propres de l’equation du mouvement

Les vecteurs propres Xr sont donnes pour chaque pulsation propre ωr parle systeme a N lignes suivant :

(K−Mω2

r

)Xr = 0 ⇔

N∑j=1

(kij − ω2rmij)Xjr = 0 i = 1, ..,N (5)

Le systeme (5) est lineaire et homogene.

(N-1) equations independantes

⇒(N-1) solutions independantes.

Il reste une composante indeterminee.

Pour lever l’indetermination → Normalisation des modes propres



Normalisation des modes propres

On note Xir les composantes normalisees

Les conventions de normalisation sont arbitraires,mais les valeurs relatives des composantes sont independantes de laconvention choisie.

Conventions de normalisation usuelles

Normalisation t.q. l’une des composantes = 1

Poser Xir = 1 et en deduire les Xjr restant.

Normalisation a 1 t.q. ∑i

X 2ir = 1

Normalisation par rapport a la matrice d’inertie :

XtMX = Cte

Cette constante arbitraire peut, par ex., etre la masse totale



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduIdentification des modes propres

On rappelle les frequences propres obtenues :

ω21 = 70 ω2

2 = 1325 ω23 = 6250

(f1 = 1.34Hz f2 = 18.3Hz f3 = 39.8Hz)

On resout le systeme suivant pour r = 1,2 et 3

(K−Mω2

r

)Xr = 0

⇔⎛⎝k1 − (M1 +M2)ω

2r 0 0

0 K1 + K2 − (M1L21 +M2L

22)ω

2r −K2

0 −K2 K2 − I2ω2r

⎞⎠

⎛⎝X1r

X2r

X3r

⎞⎠ = 0

Apres resolution numerique et normalisation, on obtient les vecteurs propres :

X1 =

⎛⎝011

⎞⎠ X2 =

⎛⎝ 0

1−5.2

⎞⎠ X3 =

⎛⎝100

⎞⎠

f1 = 1.34Hz f2 = 18.3Hz f3 = 39.8Hz



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduRepresentation et interpretation des modes propres : Deformees modales

X1 =

⎛⎝011

⎞⎠ X2 =

⎛⎝ 0

1−5.2

⎞⎠ X3 =

⎛⎝100

⎞⎠

f1 = 1.34Hz f2 = 18.3Hz f3 = 39.8Hz

Les coordonnees sont les amplitudes relatives des deplacements x , θ1 et θ2



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduRepresentation et interpretation des modes propres : Deformees modales

X1 =

⎛⎝011

⎞⎠ X2 =

⎛⎝ 0

1−5.2

⎞⎠ X3 =

⎛⎝100

⎞⎠

f1 = 1.34Hz f2 = 18.3Hz f3 = 39.8Hz



Matrice modale

Pour la suite, on definit la matrice modale X

X =(X1 . . . Xr . . . XN

)=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

X11 . . . Xr1 . . . Xn1

.... . .

.... . .

...X1r . . . Xrr . . . XNr

.... . .

.... . .

...X1N . . . XrN . . . XNN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

les colonnes sont les vecteurs propres du systeme

les colonnes peuvent etre normalisees

la matrice modale est un operateur de changement de base ...

elle permet de simplifier l’ecriture des resultats a suivre.



Expression des deplacements libresForme generale

Finalement pour l’equation (1) du mouvement en mode libre :

Mq+Kq = 0

N solutions possibles (ωr ,Xr) (et aussi −ωr !)

(1) est lineaire⇒ toute C.L. des (ωr ,Xr) est solution.

La solution generale s’ecrit donc avec la matrice modale X :

q(t) = X

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

A+1 e

jω1t + A−1 e

−jω1t

...A+

r ejωr t + A−

r e−jωr t

...A+

NejωNt + A−

N e−jωNt

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= X

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

A1 cos(ω1t + φ1)...

Ar cos(ωr t + φr )...

AN cos(ωNt + φN)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(6)

⇔ qi (t) =∑r

Xir (A+r e

jωr t + A−r e

−jωr t) =∑r

XirAr cos(ωr t + φr )

(Ar , φr ) ou (A+r ,A

−r ) : 2N coefficients de la C.L. a determiner



Expression des deplacements libresForme matricielle

En utilisant une notation matricielle, on peut simplifier les expressions.

On definit les vecteurs suivants tous de dimension N :

le vecteur des pulsations propres ω,les vecteurs des amplitudes A±,A,le vecteur des phases φ.

La solution generale en vibrations libres peut finalement s’ecrire :

q(t) = X(A+ejωt + A−e−jωt

)= XA cos(ωt + φ)

Les paires de vecteurs (A,φ) ou (A+,A−) sont constituees de 2Ncoefficients qui restent a determiner



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduExpression des deplacements libres

On a les modes propres et les frequences propres associees :

X1 =

⎛⎝011

⎞⎠ X2 =

⎛⎝ 0

1−5.2

⎞⎠ X3 =

⎛⎝100

⎞⎠

f1 = 1.34Hz f2 = 18.3Hz f3 = 39.8Hz

Les deplacement libres s’ecrivent rapidement grace a la matrice modale :

q(t) =

⎛⎝x1(t)θ1(t)θ2(t)

⎞⎠ =

⎛⎝0 0 11 1 01 −5.2 0

⎞⎠

⎛⎝A1 cos(ω1t + φ1)A2 cos(ω2t + φ2)A3 cos(ω3t + φ3)

⎞⎠ ⇔

Soit en developpant pour etre plus explicite :⎧⎨⎩

x1(t) = 0.A1 cos(ω1t + φ1) + 0.A2 cos(ω2t + φ2) + 1.A3 cos(ω3t + φ3)θ1(t) = 1.A1 cos(ω1t + φ1) + 1.A2 cos(ω2t + φ2) + 0.A3 cos(ω3t + φ3)θ2(t) = 1.A1 cos(ω1t + φ1) − 5.2.A2 cos(ω2t + φ2) + 0.A3 cos(ω3t + φ3)

⇔⎧⎨⎩

x1(t) = A3 cos(ω3t + φ3)θ1(t) = A1 cos(ω1t + φ1) + A2 cos(ω2t + φ2)θ2(t) = A1 cos(ω1t + φ1) − 5.2A2 cos(ω2t + φ2)



Contributions des modes au mouvement libre

Pour que le mouvement libre soit totalement determine, il reste aidentifier les paires de vecteurs a N dimension (A,φ) ou (A+,A−)Il suffit de connaitre les 2N positions et vitesses du systeme a uninstant donne.

On prend par exemple les conditions initiales (a t = 0) :

(q(0), q(0)) → 2N equations scalaires :

{q(0) = (A+ + A−)X = AX cosφq(0) = jω(A+ − A−)X = −ωAX sinφ

⇔⎧⎨⎩

qi (0) =∑

r (A+r + A−

r )Xir =∑

r ArXir cosφr

qi (0) =∑

r jωr (A+r − A−

r )Xir =∑

r −ωrArXir sinφr

→ N couples (A+r ,A

−r ) ou (Ar , φr )



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduExpression des deplacements libres - Contribution des modes en amplitude et phase

X1 =

⎛⎝011

⎞⎠ X2 =

⎛⎝ 0

1−5.2

⎞⎠ X3 =

⎛⎝100

⎞⎠

f1 = 1.34Hz f2 = 18.3Hz f3 = 39.8Hz

Si les CI x01 , θ01, θ

02, x

01 , θ

01, θ

02 sont connues, on a 6 eqs pour 6 inconnues :

q0 =

⎛⎝x01θ01θ02

⎞⎠ =

⎛⎝0 0 11 1 01 −5.2 0

⎞⎠

⎛⎝A1 cosφ1

A2 cosφ2

A3 cosφ3

⎞⎠

q0 =

⎛⎝x01θ01θ02

⎞⎠ = −

⎛⎝0 0 11 1 01 −5.2 0

⎞⎠

⎛⎝ω1

ω2

ω3

⎞⎠

⎛⎝A1 sinφ1

A2 sinφ2

A3 sinφ3

⎞⎠

Dont on deduit : (A1, φ1), (A2, φ2), (A3, φ3)



Expression des deplacements libres en notation complexe

La solution generale en mode libre peut s’ecrire :

q(t) = XA cos(ωt + φ)

les vecteurs d’amplitude A et de phase φ des modes sont determinespar l’etat du systeme en position et en vitesse a un instant donne.

La formulation complexe simplifie les ecritures :

q(t) = XAejωt = XAejφejωt

Soit en forme developpee :

qj(t) =∑r

Xjr Arejωr t =

∑r

XjrArejφr ejωr t

Pour avoir l’expression vraie des deplacements, on prend finalementla partie reelle du resultat final



Quelques remarques sur les modes propres

Lorsque le systeme vibre selon un mode propre, toutes lescordonnees generalisees evoluent en phase ou en opposition dephase.

Pour se trouver dans une telle situation, placer le systeme suivant unvecteur propre.

Un etat initial qcq engendre un mouvement libre combinaisonlineaire de tous les modes propres.



Base modale - Base des modes propres

A partir de la formulation complexe du deplacement libre :

qj(t) =∑r

Xjr Arejωr t =

∑r

XjrArejφr ejωr t

On peut simplifier la resolution des equations du mouvement eneffectuant un changement de baseOn pose :

pr (t) = Arejωr t

On a alors :qj(t) =

∑r

Xjrpr (t)

Soit :q(t) = Xp(t)

p est le vecteur des coordonnees modales.

Les coord. modales sont des C.L. des coord. generalisees.

p(t) �= deplacements reels → difficiles a interpreter physiquement.



Base modaleOrthogonalite des modes propres - Demonstration

Base des modes propres = base complete et orthogonale ?

Un mode propre est caracterise par

une pulsation propre

un vecteur propre a N composantes (N DDL)

Le Mode r → (ωr ,Xr) verifie la relation (5) :

(K−Mω2

r

)Xr = 0 ⇔

∑j

(kij − ω2rmij)Xjr = 0 ⇔

∑j

kijXjr = ω2r

∑j

mijXjr

On multiplie par Xis et on somme sur i :

∑i,j

kijXjrXis = ω2r

∑i,j

mijXjrXis (7)



Base modaleOrthogonalite des modes propres - Demonstration

Mode s idem : ∑i,j

kijXisXjr = ω2s

∑i,j

mijXisXjr (8)

On a donc :

(8)− (7) ⇔ (ω2s − ω2

r )∑i,j

mijXisXjr = 0

Par consequent :

si r �= s alors ∑i,j

mijXisXjr = 0

Les modes propres sont orthogonaux .

si r = s alors ∑i,j

mijXirXjr = cte = mr

mr = Masses modales



Base modaleRelation d’orthogonalite des modes

En notation matricielle, on a :

XtsMXr = δrsmr

Les modes propres sont M-orthogonaux .

les mr sont les masses modales.

mr est la masse apparente (masse dynamique) du systeme dans lemode r.

On definit la Matrice modale d’inertie

XtMX =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

m1 . . . 0 . . . 0...

. . ....

...0 . . . mr . . . 0...

.... . .

...0 . . . 0 . . . mN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= Mp



Base modaleRelation d’orthogonalite des modes

On montre de la meme maniere :

XtsKXr = δrskr

Les modes propres sont K-orthogonaux .

Les kr sont les raideurs modales.

kr est la raideur apparente (raideur dynamique) du systeme dans lemode r.

On definit la Matrice modale de raideur

XtKX =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

k1 . . . 0 . . . 0...

. . ....

...0 . . . kr . . . 0...

.... . .

...0 . . . 0 . . . kN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= Kp



Base modaleMatrice diagonale des pulsations propres

A partir des matrices modales d’inertie et de raideur, on obtient lamatrice des pulsations propres

Δ = M−1p Kp =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

k1m1

. . . 0 . . . 0...

. . ....

...0 . . . kr

mr. . . 0

......

. . ....

0 . . . 0 . . . kNmN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⇔ Δ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

ω21 . . . 0 . . . 0...

. . ....

...0 . . . ω2

r . . . 0...

.... . .

...0 . . . 0 . . . ω2

N

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠



Base modaleExpression de T et U en coordonnees modales

Les vecteurs des coordonnees et des vitesses generalisees s’ecrivent :

q = Xp et q = Xp

L’energie cinetique est donnee par

T =1

2qtMq =

1

2(Xp)tMXp ⇔ T =

1

2ptXtMXp

De la meme maniere pour l’energie potentielle

U =1

2qtKq =

1

2(Xp)tKXp ⇔ U =

1

2ptXtKXp

Finalement :

T =1

2ptMpp et U =

1

2ptKpp

Les matrices modales etant diagonales les expressions developpeessont tres simples, et ne contiennent aucun terme croise.

Il n’y a pas de couplage apparent dans la base modale.



Base modaleEquations du mouvement libre dans la base modale

Dans la base physique des coordonnees generalisees, l’equation dumouvement s’ecrit :

Mq + Kq = 0

Changement de base : q = Xp

⇔ MXp + KXp = 0(Xt×) ⇔ XtMXp + XtKXp = 0

⇔ Mpp + Kpp = 0

(Mp−1×) ⇔ M−1

p Mpp + M−1p Kpp = 0

⇔ p + Δp = 0

L’equation du mouvement en base modale ne fait plus intervenir que desmatrices diagonales : Il n’y a plus de termes de couplage.



Base modaleEquations du mouvement libre dans la base modale

Dans la base des coordonnees modales i.e. des modes propres, lesequations du mouvement vibratoire libre s’ecrivent donc :

p+Δp = 0 ⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

p1 + ω21p1 = 0

...pr + ω2

r pr = 0...pN + ω2

NpN = 0

Conclusions sur la base modale

L’equation du mouvement se reduit a N equations decouplees

1 systeme a N ddl → N systemes a 1 ddl independants

Resolution simple des variables modales pi (t)

Interpretation physique des pi (t) difficile.

Retour aux deplacements physiques : q = Xp

La base modale sera particulierement utile pour determiner les reponsesaux excitations exterieures



Seance 3



Reponse a une excitation exterieureVue generale

Des efforts exterieurs sont appliques au systeme

On identifie un vecteur des efforts generalises Q

l’equation du mouvement sous forme matricielle devient :

Mq+Kq = Q

La solution de l’equation, reponse forcee du systeme, se decompose :

En termes mathematiques :

Solution complete = Solution generale + Solution particuliere

En termes physiques :

Mouvement global = Reponse libre + Reponse forcee



Reponse a une excitation exterieureIdentification des efforts generalises

Soient les forces �Fk et moments �Γk appliques au systeme

Ces efforts sont appliques aux points Mk

La vitesse virtuelle au point Mk est notee �V ∗k

La vitesse de rotation virtuelle au point Mk est notee �Ω∗k

La puissance virtuelle des efforts exterieurs est :

P∗ =∑k

�Fk .�V∗k + �Γk .�Ω

∗k

Reecrire P∗ en fonction des vitesses generalisees q :

P∗ =∑i

Qi (t)q∗i = Qtq∗

L’equation du mouvement s’ecrit finalement

Mq+Kq = Q (9)



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduIdentification des efforts exterieurs

�F : Force horizontale appliquee en M. Force equivalente obtenue par

integration d’une force repartie (turbulences, ...)

Deplacement virtuel du point M (1er ordre, petits mvts) ?



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduDeplacement et vitesse virtuels des points d’application des efforts exterieurs

�OM = �OA+ �AM = (L2 + x1 − lh2θ2)�x + (L2θ1 +

lh2)�y

⇔ �V ∗M = (x∗1 − lh

2θ∗2)�x + θ∗1�y



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduPuissance virtuelle des efforts exterieurs

�V ∗M = (x∗1 − lh

2θ∗2)�x + θ∗1�y

La puissance virtuelle s’ecrit :

P∗ = �F .�V ∗M =

(−F0

)(x∗1 − lh

2 θ∗2

θ∗1

)= −F x∗1 + F

lh2θ∗2



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduIdentification de efforts generalises

d’ou le vecteur des efforts generalises :

P∗ = −F x∗1 + Flh2θ∗2 ⇔ Q(t) =

⎛⎝−F (t)

0lh2 F (t)

⎞⎠



Reponse a une excitation exterieureRecherche directe

Quelle solution particuliere a l’equation (9) :

Mq+Kq = Q → q(t)?

Q : Vecteur des efforts generalises donne par le PPV :

P∗ = Qtq∗

Chaque composante de Q constitue une excitation.

On resout le systeme d’equations pour chaque excitation.

La solution globale est donnee par superposition des reponsesobtenues.

La methode de resolution depend de la nature de l’excitation



Reponse a une excitation exterieureUtilisation de la base modale - resolution numerique

Quelle solution particuliere a l’equation (9) :

Mq+Kq = Q → q(t)?

Q : Vecteur des efforts generalises donne par le PPV :

P∗ = Qtq∗

Changement de base (q = Xp) dans (9) :

Mq + Kq = Q(t)⇔ XtMXp + XtKXp = XtQ(t)

On note Qp(t) = XtQ(t) le vecteur des efforts modaux

⇔ Mpp + Kpp = Qp(t)⇔ p + Δp = M−1

p Qp(t)



Reponse a une excitation exterieureUtilisation de la base modale - resolution numerique

l’equation du mouvement force dans la base modale s’ecrit donc :

p+Δp = M−1p Qp(t) ⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

p1 + ω21p1 =

1m1

Qp1(t)...pr + ω2

r pr =1mrQpr (t)

...pN + ω2

npN = 1mN

QpN (t)

Ces equations sont decouplees → resolution simple

On calcule les coordonnees modales i.e. le vecteur p(t)

Pour connaitre l’expression des vrais deplacements, on revient a labase physique des coordonnees generalisees :

q(t) = Xp(t)



Reponse a une excitation harmonique de pulsation ΩL’excitation et la reponse ont la meme frequence

Equation du mouvement force :

Mq+Kq = Q(t) ⇔ p+Δp = M−1p Qp(t)

Effort generalise harmonique de pulsation Ω :

Q(t) = E cos(Ωt) ⇔ Qi (t) = Ei cos(Ωt)

Reponse de la structure = mvt harmonique de meme pulsation.

Pour l’ensemble des coordonnees modales, on a :

p(t) = P cos(Ωt) p(t) = −Ω2P cos(Ωt)

Les amplitudes P sont a determiner



Reponse a une excitation harmonique de pulsation ΩReponse en frequence des coordonnees modales - Systeme a 1DDL

L’equation du mouvement force en base modale devient :

p+Δp = M−1p XtQ(t) ⇔ (Δ− Ω2I)P = M−1

p XtE

On obtient facilement le vecteur des amplitudes des coordonneesmodales :

P(Ω) = (Δ− Ω2I)−1M−1p XtE

Et la reponse en coordonnees modales s’ecrit simplement :

p(t) = P(Ω) cos(Ωt)

Sous forme developpee :

pr (t) =∑i

XirEi

mr (ω2r − Ω2)

cos(Ωt)

1 coordonnee modale resonne a sa frequence propre, (= systeme a1DDL).



Reponse a une excitation harmonique de pulsation ΩReponse en frequence des coordonnees generalisees

Reponses permanentes des coordonnees modales :

pr (t) =∑i

XirEi

mr (ω2r − Ω2)

cos(Ωt)

Mouvement reel = Reponses des coordonnees generalisees :

q(t) = Xp(t)

Pour chaque point j de la structure :

qj(t) =∑r

Xjrpr (t) =∑r ,i

XjrXirEi

mr (ω2r − Ω2)

cos(Ωt)

Le vecteur des coordonnees generalisees s’ecrit :

q(t) = X(Δ− Ω2I)−1M−1p XtE cosΩt

Pour chaque CG → resonance a chaque frequence propre.



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduReponse en frequence (avec amortissement) - (cf code Matlab)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−150

−100

−50

0

Frequence [Hz]

Mag

[dB

]Fonctions de transfert − Amortissement de Rayleigh ou proportionnel

x

1/F

θ1/F

θ2/F

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−200

−100

0

100

200

Frequence [Hz]

Pha

se [°

]



Exemple : Modelisation d’un moteur a helice suspenduReponse en frequence (avec amortissement) - (cf code Matlab)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−150

−100

−50

0

Frequence [Hz]

Mag

[dB

]

Fonctions de transfert − Amortissement de Rayleigh ou proportionnel

x

1/F

θ1/F

θ2/F

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−200

−100

0

100

200

Frequence [Hz]

Pha

se [°

]

un DDL decouple : x1

Chaque resonance induit un saut de phase de ±π

Les pics sont de hauteur finie parce qu’on a introduit del’amortissement. (voir + loin)



Reponse a une excitation quelconqueResolution par transformee de Laplace

Dans l’espace symbolique de Laplace decrit par la variable s

t −→ s

f (t) −→ f (s)

f (t) −→ sf (s)− f (0)

f (t) −→ s2 f (s)− sf (0)− f (0)

L’equation du mouvement (9) se simplifie :

Mq+Kq = Q(t) −→ (s2M+K)q(s) = Q(s) +M (sq(0) + q(0))︸︷︷︸I(s)

matrice d’impedance : Z = s2M+K

matrice de transfert : H = Z−1



Reponse a une excitation quelconqueResolution par transformee de Laplace

Reponse dans le domaine symbolique de Laplace :

q(s) = H(s)(Q(s) + I(s))

Reponse dans l’espace temporel → Tr. de Laplace inverse. (cf.tables) :

q(t) ←− q(s)

La partie de la reponse engendree par I(s) depend uniquement desconditions initiales. Elle est en fait identique a la reponse libre(Solution generale de l’equation homogene du mouvement)

L’operation peut se mener aussi dans la base modale.



Systemes dissipatifs a N DDLEquation du mouvement avec amortissement

Dissipation = frottement externe ou structurel.

Modele de Rayleigh = amortissement visqueux= forces resistives proportionnelles a la vitesse :

�Fv = −a�v

Fonction de dissipation = fonction de Rayleigh :

D =1

2

∑i,j

cij qi qj =1

2qtCq

(Ses derivees par rapport aux VGs donnent les forces dissipatives)

C est la matrice de dissipation symetrique.



Systemes dissipatifs a N DDLEquation du mouvement avec amortissement

Efforts generalises dus aux frottements visqueux :

Fi =∂D∂qi

Equations de Lagrange du systeme dissipatif :

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi+

∂D∂qi

= Qi ⇔ Mq+ Cq+Kq = Q

la i-eme ligne est la i-eme equation du mouvement :

n∑j=1

mij qj + cij qj + kijqj = Qi

Probleme : M,C,K ne sont pas diagonalisables simultanement

⇒ Impossible de decoupler les equations dans la base modale



Systemes dissipatifs a N DDLReponse du systeme libre - Forme generale

On cherche la solution generale de l’equation du mouvement :

Mq+ Cq+Kq = 0 (1)

Solutions de la forme :q = Xeλr t

Inconnues : λr ,X

On a aussi : q = λrXeλr t et q = λ2rXe

λr t

On substitue ces solutions dans (1) :

(λ2rM+ λrC+K)X = 0 (2)

Solutions non triviales (X �= 0) ⇔ determinant nul.



Systemes dissipatifs a N DDLReponse du systeme libre - Equation caracteristique

λ2rM+ λrC+K = 0 (3)

Les N racines λr (r = 1, ..., n) peuvent prendre plusieurs forme :

Reelles positives : deplacements aperiodiques decroissants, lesysteme n’est pas vibratoire.

Complexes conjuguees , partie reelle < 0 :

λr = − αr︸︷︷︸>0

±iωr = (λr+ , λr−)

Cas le plus frequemment etudieModes complexes conjuguesLeur combinaison donne des oscillations amorties.

Imaginaires pures conjuguees , cas exceptionnel du a des forcesd’amortissement particulieres.



Systemes dissipatifs a N DDLCas particuliers d’amortissement : Relation de Caughey

Si M, K et C non diagonalisables simultanement⇒ pas base de vecteurs propres orthonormee

On n’etudiera pas ce cas

Mais ∃ des cas ou les 3 matrices sont simultanement diagonalisablesRelation de Caughey : Condition suffisante sur C :

CM−1K = KM−1C

→ Alors le decouplage est possible.

Cas particulier souvent suppose dans les modeles :l’amortissement proportionnel

C = aM+ bK

a et b sont quelconques.



Systemes dissipatifs a N DDLCas particulier de l’amortissement proportionnel

Amortissement proportionnel :

C = aM+ bK

La matrice d’amortissement C se diagonalise dans la meme basepropre que M et K

Cp = XtCX =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

c1 . . . 0 . . . 0...

. . ....

...0 . . . cr . . . 0...

.... . .

...0 . . . 0 . . . cN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Les cr sont les coefficients d’amortissement modaux.

Le modes propres sont a nouveau reels et orthogonaux

Ce sont les modes propres du systeme conservatif.

Il sont reunis dans la matrice modale XUPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systemes discrets sept. 14 70 / 78


Systemes dissipatifs a N DDLReponse libre avec amortissement proportionnel

On introduit la matrice modale dans l’equation du mouvement.

Mq +Cq +Kq = 0⇔ XtMXp +XtCXp +XtKXp = 0⇔ Mpp +Cpp +Kpp = 0

Matrices diagonales → systeme de N equations decouplees

mr pr + cr p + krpr = 0 (r = 1, ..., n)

Ce sont les equations d’oscillateurs dissipatifs elementaires

Elles s’expriment sur les coordonnees modales.



Systemes dissipatifs a N DDLReponse libre avec amortissement proportionnel - Formulation matricielle

L’equation du mouvement avec amortissement proportionnel s’ecrit :

Mpp+ Cpp+Kpp = 0

⇔ p+M−1p Cpp+M−1

p Kpp = 0

On obtient les equations decouplees en coordonnees modales :

pr +crmr

pr +krmr

pr = 0 (r = 1, ..., n)

On definit :

ω2r =

krmr

2λr =crmr

Et les matrices diagonales associees :

Δ = M−1p Kp = (XtMX)−1(XtKX) = X−1M−1KX

2Λ = M−1p Cp = (XtMX)−1(XtCX) = X−1M−1CX



Systemes dissipatifs a N DDLReponse libre avec amortissement proportionnel - Formulation matricielle

L’equation matricielle s’ecrit alors :

p+M−1p Cpp+M−1

p Kpp = 0

⇔ p+ 2Λp+Δp = 0

N equations decouplees nouvelles :

pr + 2λr pr + ω2r pr = 0 (r = 1, ...,N)

λr : coefficients d’amortissement modaux.

On reprend l’ecriture habituelle :

pr + 2ξrωr pr + ω2r pr = 0 (r = 1, ...,N)

ξr =λr

ωr: facteurs d’amortissements modaux, ou amortissements

relatifs modaux.UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systemes discrets sept. 14 73 / 78


Systemes dissipatifs a N DDLReponse forcee - Amortissement proportionnel - Cas d’une force harmonique

La resolution est identique au cas sans amortissement.

Soit un effort generalise harmonique de pulsation Ω :

Q(t) = E cos(Ωt) ⇔ Qi (t) = Ei cos(Ωt)

Notation complexe pour simplifier :Q(t) = EejΩt

Reponse harmonique de meme pulsation :

p(t) = PejΩt

p(t) = jΩPejΩt

p(t) = −Ω2PejΩt

P : vecteur des amplitudes complexes des coordonnees modalesL’equation du mouvement force en base modale devient :

p+ 2Λp+Δp = M−1p XtQ(t)

⇔ (Δ− Ω2I+ 2iΩΛ)P = M−1p XtE



Systemes dissipatifs a N DDLReponse en frequence - Amortissement proportionnel

L’equation du mouvement se simplifie :

(Δ− Ω2I+ 2iΩΛ)P = M−1p XtE

Le Vecteur des amplitudes complexes des coordonnees modales est :

P(Ω) = (Δ− Ω2I+ 2iΩΛ)−1M−1p XtE

Finalement l’amplitude de chaque coordonnee modale pr (Ω) s’ecrit :

Pr (Ω) =∑i

1

mr

XirEi

ω2r − Ω2 + 2jΩλr

=∑i

1

mr

XirEi

ω2r − Ω2 + 2jξrΩωr

On revient aux coordonnees generalisees (mouvement reel) par :

q(t) = Xp(t)



Systemes dissipatifs a N DDLReponse forcee harmonique - Amortissement proportionnel

Pour chaque point j de la structure :

qj(t) =∑r

Xjrpr (t) =∑r ,i

1

mr

XjrXirEi

ω2r − Ω2 + 2jξrΩωr

e iΩt

En considerant l’amplitude et la phase du mode r :

Pr (Ω) =1

mr

√(ω2

r − Ω2)2 + 4ξ2r ω2rΩ

2et φr = arctan

( −2ξrωr

ω2r − Ω2

)

On a l’expression reelle du mouvement harmonique force des C.G.

qj(t) =∑r ,i

XjrXirEi

mr

√(ω2

r − Ω2)2 + 4ξ2r ω2rΩ

2cos(Ωt + φr )


vibrations & ondes - vibrations des systèmes discrets

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