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“Modelamientode Problemas”
Carlos ValleVidal
Introduccion
Proceso deModelamiento
Sistemasdinamicos
“Modelamiento de Problemas”
Carlos Valle [email protected]
Departamento de Informatica -Universidad Tecnica Federico Santa Marıa
Rancagua, Agosto 2009
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“Modelamientode Problemas”
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Introduccion
Proceso deModelamiento
Sistemasdinamicos
Temario
1 Introduccion
2 Proceso de Modelamiento
3 Sistemas dinamicos
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1 Introduccion
2 Proceso de Modelamiento
3 Sistemas dinamicos
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Proceso deModelamiento
Sistemasdinamicos
Introduccion
Se denomina modelamiento a la descripcion matematica deun sistema o fenomeno.El modelamiento tiene dos pasos relevantes:
Identificar las variables que originan cambios.Establecer hipotesis razonables.
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Sistemasdinamicos
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1 Introduccion
2 Proceso de Modelamiento
3 Sistemas dinamicos
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Proceso deModelamiento
Sistemasdinamicos
Proceso de Modelamiento
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Sistemasdinamicos
Crecimiento demografico
El economista ingles Thomas Maltus (1798) fue el primero enmodelar matematicamente el crecimiento demograficohumano.
Hipotesis: El crecimiento de la poblacion crece en formaproporcional a la poblacion total.
Sea P(t) la poblacion en un tiempo t.
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Crecimiento demografico (2)
Matematicamente:∂P∂t
= kP
Esta ecuacion predijo con mucha exactitud la poblacion deEEUU entre 1790 a 1860.
La ecuacion anterior es la misma que rige la desintegracionradioactiva, la tasa de capitalizacion de una inversionfinanciera, etc.
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Sistemasdinamicos
Ley de Newton
La Ley de Newton de enfriamiento se expresa como:
∂T∂t
= k(T−Tm)
Donde T(t) representa la temperatura del objeto en elinstante t y Tm es la temperatura del medio
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Vaciado en un estanque
∂h∂t
=−A0
At
√2gh
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Sistemasdinamicos
Caida Libre
∂2s∂t2 = −g
s(0) = s0
s′(0) = v0
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Sistemasdinamicos
Caida Libre con resistencia al aire
m∂2s∂t2 = mg− kv
s(0) = s0
s′(0) = v0
mg actua en la direccion positiva. K es una constante12 / 25
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Circuitos electricos
L∂i∂t
+Ri+1C
∫i∂t
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1 Introduccion
2 Proceso de Modelamiento
3 Sistemas dinamicos
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Sistemas dinamicos
Los ejemplos anteriores son muestras de los llamados“Sistemas dinamicos”, es decir, sistemas que cambian atraves del tiempo.
Un sistema dinamico consiste en un conjunto de variablesdependientes del tiempo llamadas variables de estado.
Los sistemas dinamicos se modelan por las llamadasecuaciones diferenciales.
Una ecuacion diferencial es una ecuacion que contiene lasderivadas de una o mas variables dependientes con respectoa una o mas variables independientes.
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Clasificacion de ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su:Tipo: ordinarias o derivadas parcialesOrdinarias: una variable independienteOrden: derivada de mayor orden.LinealidadLa siguiente ecuacion es ordinaria de grado dos y lineal.
∂2y∂t2 +3
∂y∂t
+2y = 4e−2t−5
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Resolucion de ecuaciones diferenciales
Veremos la forma de resolver ecuaciones diferenciales enMATLAB a traves de un ejemplo.
Solucionar la ecuacion:
∂2y∂t2 +3
∂y∂t
+2y = 4e−2t−5
Sujeta a las siguientes condiciones iniciales:y(0) = 2, ∂y
∂t =−1
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Primer Paso: Conversion a variables de estado
Esto se hace cambiando variables:
x1 = y
x2 =∂y∂t
Esto significa escribir la ecuacion diferencial original de ordenn como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primerordenLa ecuacion original queda:
∂x1
∂t= x2
∂x2
∂t= −3x2−2x1 +4e−2t−5
x1(0) = 2
x2(0) = −118 / 25
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Segundo paso: Creacion de un archivo M pararepresentar la funcion
function dx = ecuacion1(t,x)% x es el vector de estado%para minimizar parentesis usamos variables x1 y x2x1=x(1);x2=x(2);% ahora se escriben las ecuaciones de estadodx1 =x2dx2= -3*x2 - 2*x1 + 4*exp(-2*t) -5;% se agrupan las derivadas en un vector columnadx=[dx1; dx2];
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Tercer paso: Invocar un “ode solver”
Ode: Ordinary differential equation solvers
MATLAB posee varios “ode solvers” . Usaremos el ode45.
>> [t,x]=ode45(@ecuacion1, [0 10], [2; -1]);
Se usa el sımbolo @ seguido del nombre de la funcion.
[0 10] es el rango de valores.
[2 ; −1] son las condiciones iniciales
>> [t,x]=ode45(@ecuacion1, [0 10], [2; -1]);
[t,x] es la solucion. T almacena el tiempo y x es la soluciondonde x(1) es la columna 1 y x(2) la columna 2
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Cuarto paso: Graficar las soluciones
Para graficar la primera columna de x:
>> plot(t, x(:,1))
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Ejemplo: Demografıa
Resolver la ecuacion de Maltus
∂P∂t
= kP,k = 0.5,P(0) = 1000
Como es de orden 1, solo hay una ecuacion: x1 = P yx1(0) = 1000.
Se crea el archivo M:
function dx= maltus(t,x)x=x(1);dx=0.5*x;
Se invoca el “ode solver”
[t,x]=ode45(@maltus, [0 10], [1000])
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Sistemasdinamicos
Ejemplo: Demografıa (2)
Si queremos generalizar k como parametro
function dx= maltus(t,x,k)x=x(1);dx=k*x;
Se invoca el “ode solver”
>>k=0.5;>>[t,x]=ode45(@maltus, [0 10], [1000],[],k)
se agregan los parametros adicionales a la funcion, pero almomento se llamar a ode45 se agrega [ ] como cuartoparametro antes de ingresar los valores de los demasparametros.
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Ejemplo: Demografıa (3)
Se grafica el resultado
plot(t,x(:,1))
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Consultas y Comentarios
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