[vietmaths.net] nguyen tien dung xstk-zt2015

7/21/2019 [Vietmaths.net] Nguyen Tien Dung Xstk-zt2015

http://slidepdf.com/reader/full/vietmathsnet-nguyen-tien-dung-xstk-zt2015 1/332

T SÁCH SPUTNIK Sách đin t SE001

GS. Nguyn Tin Dũng và GS. Đ Đc Thái

NHP MÔN HIN ĐIXÁC SUT & THNG KÊ



c Prof. Dr. Do Duc Thai & Prof. Dr. Nguyen Tien ZungcSputnik Education

Đây là phiên bn đin t min phí

dành cho các bn đc caSputnik Education

Phiên bn này: Ngày 3 tháng 5 năm 2015

2 Sputnik Education

http://www.vietmaths.net/



Mc lc

Li ta cho bn e-book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Li gii thiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 Xác sut là gì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 Xác sut là gì ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Xác sut ca mt s kin . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2 Ba tiên đ v s nht quán ca xác sut . . . . . . . . 17

1.1.3 Xác sut ph thuc vào nhng gì ? . . . . . . . . . . . 191.1.4 Tính xác sut bng thng kê . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Mô hình toán hc ca xác sut . . . . . . . . . . 24

1.2.1 Không gian xác sut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2 Phân b xác sut Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.3 Phân b xác sut đu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.4 Mô hình xác sut vi vô hn các s kin . . . . . . . . 33

1.2.5 Ánh x gia các không gian xác sut . . . . . . . . . . 34

1.2.6 Tích ca các không gian xác sut . . . . . . . . . . . . 36

1.2.7 Phân b nh thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.3 Xác sut có điu kin . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3



1.3.1 Đnh nghĩa xác sut có điu kin . . . . . . . . . . . . 42

1.3.2 S đc lp và ph thuc ca các s kin . . . . . . . . 45

1.3.3 Công thc xác sut toàn phn . . . . . . . . . . . . . . 48

1.3.4 Công thc Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.4 Mt s nghch lý trong xác sut . . . . . . . . . . 52

1.4.1 Nghch lý 1 (Nghch lý Simpson). Thuc nào tt hơn? . 52

1.4.2 Nghch lý 2. Hoàng t có ch em gái không? . . . . . . 53

1.4.3 Nghch lý 3. Văn Phm có phi là th phm? . . . . . . 54

1.4.4 Li gii cho các nghch lý . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.5 Lut s ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.6 Bài tp b sung cho Chương 1 . . . . . . . . . . . 61

2 Bin Ngu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.1 Bin ngu nhiên và phân b xác sut ca nó . . . 66

2.1.1 Bin ngu nhiên là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.1.2 Mô hình toán hc ca bin ngu nhiên . . . . . . . . . 682.1.3 Phân b xác sut ca bin ngu nhiên . . . . . . . . . 70

2.1.4 Các loi phân b xác sut trên R . . . . . . . . . . . . 74

2.2 Mt s phân b xác sut thưng gp . . . . . . . 78

2.2.1 Phân b hình hc và phân b nh thc âm . . . . . . . 78

2.2.2 Phân b Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.2.3 Phân b đu (trưng hp liên tc) . . . . . . . . . . . 83

2.2.4 Phân b normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.2.5 Phân b mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.2.6 Phân b Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.3 Kỳ vng ca bin ngu nhiên . . . . . . . . . . . 92

4 Sputnik Education




2.3.1 Trưng hp ri rc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.3.2 Trưng hp tng quát: tích phân trên không gian xácsut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.3.3 Kỳ vng ca phân b xác sut trên R . . . . . . . . . . 1002.3.4 Giá tr kỳ vng hình hc . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.4 Phương sai, đ lch chun, và các moment . . . . 107

2.4.1 Phương sai và đ lch chun . . . . . . . . . . . . . . 107

2.4.2 Các moment ca mt bin ngu nhiên . . . . . . . . . 110

2.4.3 Bt đng thc Chebyschev và bt đng thc Markov . 115

2.5 Hàm đc trưng, hàm sinh, và bin đi Laplace . . 118

2.5.1 Hàm đc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.5.2 Tìm li phân b xác sut t hàm đc trưng . . . . . . . 120

2.5.3 Hàm sinh xác sut và bin đi Laplace . . . . . . . . . 124

3 Vector ngu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.1 Vector ngu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.1.1 Phân b xác sut đng thi . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.1.2 Các phân b xác sut biên . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.1.3 Hàm mt đ đng thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.1.4 Hàm đc trưng ca vector ngu nhiên . . . . . . . . . 134

3.2 Các bin ngu nhiên đc lp . . . . . . . . . . . . 136

3.2.1 S đc lp ca mt b bin ngu nhiên . . . . . . . . 136

3.2.2 Mt ví d không hin nhiên v s đc lp . . . . . . . 139

3.2.3 Mt s h qu ca s đc lp . . . . . . . . . . . . . . 140

3.3 Lut s ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.3.1 Dng yu ca lut s ln cho phân b bt kỳ . . . . . . 143

Sputnik Education 5



3.3.2 Dng mnh ca lut s ln . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.3.3 Tích ca mt dãy vô hn các không gian xác sut . . . 146

3.3.4 Chng minh đnh lý 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.4 S tương quan gia các bin ngu nhiên . . . . . 1513.4.1 Hip phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.4.2 H s tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.4.3 Quan h tuyn tính vi sai s bình phương nh nht . 158

3.4.4 H s tương quan và quan h nhân qu . . . . . . . . 161

3.5 Phân b và kỳ vng có điu kin . . . . . . . . . 163

3.5.1 Trưng hp ri rc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.5.2 Trưng hp liên tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.6 Phân b normal nhiu chiu . . . . . . . . . . . . 169

3.6.1 Đnh nghĩa ca phân b normal nhiu chiu . . . . . . 169

3.6.2 Trưng hp hai chiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.6.3 Mt s tính cht ca phân b normal nhiu chiu . . . 1744 Các đnh lý gii hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.1 Đnh lý gii hn trung tâm . . . . . . . . . . . . . 177

4.1.1 Đnh lý de Moivre – Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.1.2 Đnh lý gii hn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.1.3 Gii hn ca dãy hàm đc trưng . . . . . . . . . . . . 186

4.2 Hi t yu và các kiu hi t khác . . . . . . . . 188

4.2.1 Hi t yu và hi t theo phân phi . . . . . . . . . . 188

4.2.2 Các metric trên không gian các phân b xác sut . . . 191

4.2.3 Đnh lý tin compact ca Prokhorov . . . . . . . . . . 196

4.2.4 Đnh lý liên tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6 Sputnik Education




4.2.5 Các kiu hi t khác ca dãy bin ngu nhiên . . . . . 202

4.3 Phân b χ2 và đnh lý Pearson . . . . . . . . . . . 203

5 Thng kê toán hc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.1 Các vn đ thng kê . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.2 Ưc lưng bng thng kê . . . . . . . . . . . . . 220

5.2.1 Mu thc nghim và phân b thc nghim . . . . . . . 220

5.2.2 Hàm ưc lưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

5.2.3 Ưc lưng không chch ca phương sai . . . . . . . . 226

5.2.4 Phương pháp hp lý cc đi . . . . . . . . . . . . . . . 2275.2.5 Phương pháp moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.3 Sai s và đ tin cy ca ưc lưng . . . . . . . . 233

5.3.1 Sai s ca ưc lưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.3.2 Khong tin cy và đ tin cy . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.3.3 Khong tin cy cho đ lch chun . . . . . . . . . . . . 239

5.3.4 Phân b Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

5.4 Kim đnh các gi thuyt . . . . . . . . . . . . . . 245

5.4.1 Mt s nguyên tc chung ca kim đnh bng thng kê 246

5.4.2 Kim đnh Z và kim đnh T cho kỳ vng . . . . . . . . 250

5.4.3 Kim đnh so sánh hai kỳ vng . . . . . . . . . . . . . 253

5.4.4 Kim đnh F so sánh hai đ lch chun . . . . . . . . . 2575.5 Kim đnh χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.5.1 Trưng hp mô hình xác sut c đnh . . . . . . . . . . 260

5.5.2 Trưng hp mô hình xác sut đưc ưc lưng theotham s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.5.3 Kim đnh χ2 cho s đc lp . . . . . . . . . . . . . . . 266

Sputnik Education 7



5.6 Phân tích hi qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

5.6.1 Hi qui tuyn tính đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

5.6.2 Hi qui tuyn tính bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

5.6.3 Hi qui phi tyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 A Li gii cho mt s bài tp . . . . . . . . . . . . . . 279

1.1 Li gii bài tp Chương 1 . . . . . . . . . . . . . 279




B Phn mm máy tính cho xác sut thng kê . . . . . 313

C Bng phân b Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

T Sách Sputnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8 Sputnik Education




Li ta cho bn e-book

Cun sách này đưc in ra ln đu vào năm 2010. Các tác gi đãb rt nhiu tâm trí và sc lc đ vit nó, nhm đt cht lưng ttnht có th. Mong mun ca các tác gi là làm sao cun sách đưcph bin tht rng rãi Vit Nam, đc bit là các trưng đi hc,đ giúp các bn sinh viên tip cn đưc vi xác sut thng kê mtcách d hiu hơn, đúng bn cht hơn, d ng dng hơn.

T lúc in ra năm 2010, cun sách đã nhn đưc rt nhiu phnhi tích cc t phía bn đc v mt ni dung. V mt cht lưng inn và phát hành thì không đưc tt bng, và rt tic nhng khâu đónm ngoài kh năng kim soát ca các tác gi. Hin ti bn in năm2010 không còn trên th trưng, và các tác gi nhn đưc thư cahàng trăm ngưi nói rng mun sách tái bn.

Đ có th phc v tt hơn các bn đc, đc bit là các bn sinh viên, các tác gi đã kt hp vi T Sách Sputnik công b min phí bn đin t ca cun sách này. Mt s li trong bn in năm 2010 đãđưc sa trong bn đin t này.

T Sách Sputnik ca Sputnik Education, mà các tác gi tham gia

9



làm cng tác viên, là mt d án nhm đem li các sn phm giáo dccó cht lưng cao nht cho hc sinh và sinh viên, góp phn ci thinnn giáo dc ca Vit Nam. Vào thi đim 05/2015, T Sách Sputnik

đã ra mt bn đc 5 cun sách cho hc sinh, và có k hoach ra mthàng chc cun sách khác trong năm tip theo.

Các tác gi tin rng T Sách Sputnik gm toàn nhng cun sáchrt hay, đưc chn lc và dch hoc vit rt cn thn. Trong đó cónhng cun sách như “Nhng cuc phiêu lưu ca ngưi thích đm”

ni ting toàn th gii, đã in ra hàng triu bn, ln đu xut hin

Vit Nam. Có nhng cun sách ni ting khác như “Ba ngày nưc Tí Hon” trưc đây đã tng đưc dch ra ting Vit, nhưng bn dch mica Sputnik chính xác hơn, tránh đưc nhiu li sai ca bn dch cũ.Bn đc s không phí tin khi mua chúng cho bn thân hay đ tngngưi thân.

Xin mi bn đc tìm hiu k hơn v T Sách Sputnik phía cui

cun sách này. Các tác gi mong rng bn đc s nhit tình hưn ngT Sách Sputnik, qua vic mua sách, qung bá cho T Sách Sputnik, v.v. ng h T Sách Sputnik là mt cách thit thc đ góp phn đemli các sn phm giáo dc có cht lưng tt hơn cho Vit Nam. Xinchân thành cm ơn bn đc!

Hanoi–Toulouse, 05/2015

10 Sputnik Education




Li gii thiu

Xác sut và thng kê đóng vai trò rt quan trng trong hu htmi lĩnh vc ca th gii hin đi, t khoa hc, công ngh, đn kinht, chính tr, đn sc khe, môi trưng, v.v. Ngày nay, máy tính giúpcho vic tính toán các vn đ xác sut thng kê ngày càng tr nênd dàng, mt khi đã có các s liu đúng đn và mô hình hp lý. Thnhưng, bn thân máy tính không bit mô hình nào là hp lý. Đy là

vn đ ca ngưi s dng: cn phi hiu đưc bn cht ca các kháinim và mô hình xác sut thng kê, thì mi có th dùng đưc chúng.

Mc đích ca quyn sách này chính là nhm giúp bn đc hiu

đúng bn cht ca nhng khái nim và phương pháp cơ bn nht caxác sut và thng kê, và qua đó có th áp dng đưc chúng, đi sâutìm hiu đưc phương pháp thích hp cho nhng tình hung c th.

Mt s đim mà các tác gi c gng đưa vào trong sách này là:- Gii thích bn cht các khái nim mt cách trc giác, d hiu

nht trong chng mc có th, đng thi đm bo đ cht ch nhtđnh v mt toán hc.

- Cho nhiu ví d và bài tp v nhng tình hung có tht, vi s

11



liu có tht, nhm giúp bn đc cm nhn đưc các ng dng thct ca xác sut và thng kê.

Quyn sách này có 5 chương cng thêm phn ph lc. Chương

1 gm mt s khái nim cơ s ca lý thuyt xác sut. Chương này không đòi hi kin thc đc bit gì v toán, và hc sinh ph thôngcũng có th đc và hiu đưc phn ln. Tuy nhiên, kin thc caChương 1 không hoàn toàn hin nhiên, k c đi vi nhng ngưi đãhc đi hc. Trong quá trình son tho, các tác gi có đem mt s bàitp hơi khó ca Chương 1 đ các hc sinh đi hc và cao hc ngành

toán, và phn ln h làm sai! Các bài tp đó không phi là khó vmt toán hc (đ gii chúng ch cn làm vài phép tính s hc đơngin), mà là khó vì chúng cha đng nhng s t nh v bn cht caxác sut. Hy vng rng, bn đc s thy đưc nhng s t nh đó, vàtránh đưc các sai lm mà nhiu ngưi khác hay mc phi.

T Chương 2 đn Chương 4 ca quyn sách là lý thuyt xác sut

ca các bin ngu nhiên. Chương 2 là v các bin ngu nhiên nhngiá tr thc. Chương 3 là v các b nhiu bin ngu nhiên, hay còn gilà các vector ngu nhiên. Chương 4 là v các đnh lý gii hn, trongđó có đnh lý gii hn trung tâm, đưc coi là đnh lý quan trngnht ca lý thuyt xác sut và là hòn đá tng ca thng kê toán hc.Chương 5 ca quyn sách là gii thiu v thng kê. Bn đc s tìmthy trong chương này nhng vn đ có th gii quyt bng thngkê như ưc lưng, kim đnh, d báo, nhng nguyên tc cơ bn nhtca thng kê, và mt s phương pháp thông kê nay đã tr thành kinhđin. Ph lc A cha li gii ca nhiu bài tp trong 4 chương đutiên ca quyn sách.





Đ hiu tt các vn đ đưc bàn ti trong Chương 2 và các chươngtip theo, bn đc cn có mt s kin thc chun b v gii tích toánhc, như phép tính vi tích phân và khai trin Taylor-Lagrange, cng

vi mt ít kin thc v đi s tuyn tính. Nu có thêm mt ít kinthc v tôpô và gii tích hàm thì càng tt. Trong sách có đưa ra đnhnghĩa và tính cht ca mt s khái nim toán hc cn dùng, ví dnhư tích phân Lebesgue trên không gian xác sut, bin đi Fourier,hi t yu, v.v.

Quyn sách này có th dùng làm sách giáo khoa hay sách tham

kho cho môn xác sut thng kê bc đi hc hoc cao hc nhiungành khác nhau. Sinh viên các ngành không phi toán có th b quacác phn chng minh các đnh lý tương đi phc tp trong sách, màch cn hiu đúng phát biu ca các đnh lý quan trng nht và cácháp dng chúng. Các sinh viên ngành toán thì nên tìm hiu c cáchchng minh các đnh lý.

Do khuôn kh ca quyn sách có hn, nên còn rt nhiu khái nimquan trng ca xác sut và thng kê không xut hin trong sách, ví d như quá trình ngu nhiên, phương pháp bootstrap, hi qui tuyntính suy rng, v.v.. Hy vng rng quyn sách này cung cp đưc tươngđi đy đ các kin thc cơ s, đ bn đc có th hiu đưc các tàiliu chuyên sâu hơn v xác sut và thng kê khi cn thit.

Đ biên son quyn sách này, các tác gi có tham kho nhiu sáchbáo liên quan đn xác sut thng kê, và có trích li nhiu bài tp và ví d t các tài liu đó. Nhng sách mà các các tác gi tham khonhiu đưc lit kê phn “Tài liu tham kho”. Trong đó có nhngsách “nng”, có nhiu chng minh cht ch và khá nng v toán,

Sputnik Education 13



ví d như quyn “Theory of probability and random processes” caKoralev và Sinai [5], và có nhng sách “nh”, d đc đ có th nmđưc nhng ý tưng chính, nhưng không có chng minh, tiêu biu

như quyn “The cartoon guide to statistics” ca Gonick và Smith [2].Các hình minh ha trong quyn sách này ch yu đưc ly t

internet. Chúng tôi tin rng các hình đó thuc phm vi “public” vàkhông b hn ch v mt bn quyn, nhưng nu do sơ sut mà chúngtôi s dng hình đưc bo v bi lut bn quyn mà chưa xin phép,thì chúng tôi xin thành tht xin li trưc.

Nhng bn tho đu tiên ca quyn sách này có đưc mt s đngnghip, bn bè và sinh viên đc và góp ý sa li và trình by li chott lên. Các tác gi xin chân thành cm ơn s quan tâm và giúp đca h. Tt nhiên, mi li còn li trong sách là thuc v trách nhimca các tác gi. Đc bit, chúng tôi mun cm ơn các bn Phan ThanhHng, Nguyn Tuyt Mai, Nguyn Thu Ngc, Trn Quc Tun và Lê

Văn Tun, là các thành viên ca Trung Tâm Toán Tài Chính và CôngNghip Hà Ni đã tích cc tham gia giúp chúng tôi son phn li giicho các bài tp.

Quyn sách này là mt sn phm ca Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghip Hà Ni do các tác gi thành lp vào đu năm 2009,đưc vit vi mc đích trưc ht là đ phc v cho nhu cu ca bnthân Trung Tâm. Các tác gi hy vng rng, quyn sách này s có ích,không ch cho Trung Tâm, mà còn cho mt lưng rt ln các đc gikhác đang hoc s quan tâm v xác sut và thng kê.

Hà Ni – Toulouse, 2010





Chương 1

Xác sut là gì

1.1 Xác sut là gì ?

Hu như mi ngưi đu bit đn khái nim xác sut. Tuy nhiênkhông phi ai cũng hiu rõ nhng tính cht cơ bn ca nó. Ví d như s ph thuc vào thông tin ca xác sut (mi khi có thêm thông tinmi thì xác sut thay đi) hay b b qua. Và có nhng bài toán tínhtoán xác sut tưng chng như rt đơn gin, nhưng có hơn mt nas ngưi đã tng hc xác sut làm sai khi đưc hi, k c các thc

sĩ ngành toán. Bi vy, trong chương này, chúng ta s nhn mnhnhng s t nh trong xác sut, đc bit là vi xác sut có điu kin,mà bn đc cn bit đn, đ tránh đưc nhng li cơ bn hay gpnht.

Trưc khi đi vào lý thuyt, có mt câu đ liên quan đn xác sutsau đây dành cho bn đc. Gi s có mt trò chơi trên TV như sau:

15



Chương 1. Xác sut là gìcó 3 cánh ca, đng sau 1 trong 3 cánh ca đó là 1 món quà ln, cònsau 2 ca còn li không có gì. Ngưi chơi đưc chn 1 trong 3 cánhca, nu chn đúng ca có quà thì đưc nhn quà. Sau khi ngưi

chơi đã chn 1 ca, ngưi hưng dn chương trình m mt trong haica còn li ra, nhưng s ch m ca không có quà. Sau đó ngưi chơiđưc quyn chn, hoc là gi cái ca mình chn ban đu, hoc là đily cái ca chưa đưc m còn li. Theo bn thì ngưi chơi nên chnphương án nào? Vì sao ? Hãy th nghĩ v nó mt chút trưc khi tiptc đc.

1.1.1 Xác sut ca mt s kin

Xác sut ca mt s kin (hay bin c, tình hung gi đnh) làkh năng xy ra s kin (hay bin c, tình hung gi đnh) đó, đưcđánh giá dưi dng mt s thc nm gia 0 và 1.

Khi mt s kin không th xy ra thì xác sut ca nó bng 0. Ví d như xác sut ca s kin “có ngưi sng trên sao Th” bng 0.

Khi mt s kin chc chn đã hoc s xy ra thì xác sut ca nóbng 1 (hay còn vit là 100%). Ví d như s kin “tôi đưc sinh ra t trong bng m” có xác sut bng 1.

Khi mt s kin có th xy ra và cũng có th không xy ra, vàchúng ta không bit nó có chn chn xy ra hay không, thì chúng tacó th coi xác sut ca nó ln hơn 0 và nh hơn 1. S kin nào đưccoi là càng d xy ra thì có xác sut càng ln (càng gn 1), và ngưcli nu càng khó xy ra thì xác sut càng nh (càng gn 0). Ví d tôimua mt vé x s. Tôi không bit nó s trúng gii hay không, có th





1.1. Xác sut là gì ?

có mà cũng có th không. Nu như c 100 vé x s ch có 1 vé trúnggii, thì tôi s coi xác sut trúng gii ca vé ca tôi là 1%. Con s 1%

đây chính là tn sut, hay t l trúng gii ca các vé x s: nó bngs các vé trúng gii chia cho tng s các vé.

Không nhng ch các s kin trong tương lai, mà c các s kintrong quá kh, mà chúng ta thiu thông tin đ có th bit chc làchúng đã thc s xy ra hay không, thì chúng ta vn có th gán chocác s kin đó mt xác sut nào đó, ng vi đ tin tưng ca chúng

ta v vic s kin đó đã thc s xy ra hay không. Ví d như, n hoàng Cleopatra ca Ai Cp có t t bng cách đ cho rn đc cnkhông ? Đy là mt gi thuyt, mà theo các nhà s hc thì có nhiukh năng xy ra, nhưng không chc chn.

1.1.2 Ba tiên đ v s nht quán ca xác sut

Tiên đ 1. Như đã vit phía trên, nu A là mt s kin (gi đnh) và ký hiu P (A) là xác sut ca A thì

0 ≤ P (A) ≤ 1 (1.1)

Tiên đ 2. Nu A là mt s kin, và ký hiu A là s kin ph đnh

ca A thìP (A) + P (A) = 1 (1.2)

Ý nghĩa trit hc ca tiên đ 2 tương đi hin nhiên: Trong hais kin “A” và “ph đnh ca A” có 1 và ch 1 s kin xy ra. Nu“A” càng có nhiu kh năng x ra thì “ph đnh ca A” càng có ít kh

năng xy ra, và ngưc li.




Chương 1. Xác sut là gì

Ví d 1.1. Mt hc sinh đi thi vào mt trưng đi hc. Nu xác sutthi đ là 80% thì xác sut thi trưt là 20% (= 100% - 80%), ch

không th là 30%, vì nu xác sut thi đ là 80% và xác sut thi trưtlà 30% thì không nht quán.

Ví d 1.2. Tôi tung mt đng tin, khi nó rơi xung thì có th hinmt sp hoc mt nga. Tng xác sut ca hai s kin “mt sp” và“mt nga” bng 1. Nu tôi không có lý do đc bit gì đ nghĩ rngmt nào d hin lên hơn mt nào, thì tôi coi rng hai mt có xác sut

hin lên bng nhau. Khi đó s kin “mt nga” có xác sut bng s kin “mt sp” và bng 1/2.

Tiên đ 3. Vi hai s kin A và B, ta s ký hiu s kin “c A vàB đu xy ra” bng A ∩ B và s kin “ít nht mt trong hai s kinA hoc B xy ra” bng A ∪ B. Khi đó nu hai s kin A và B khôngth cùng xy ra, thì xác sut ca s kin “xy ra A hoc B” bng tng

các xác sut ca A và ca B:

P (A ∩ B) = 0 ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (1.3)

Ví d 1.3. Mt hc sinh đưc cho đim mt bài kim tra. Có th đưc7 đim, có th đưc 8 đim, hoc có th đưc đim khác, nhưngkhông th va đưc 7 đim va đưc 8 đim. Bi vy P ((7d)

∪(8d)) =

P (7d) + P (8d)

Tiên đ 3 có th phát biu mt cách tng quát hơn như sau:

Tiên đ 3’. Nu X và Y là hai s kin bt kỳ thì

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). (1.4)

Bài tp 1.1. Chng minh rng tiên đ 3 tương đương vi tiên đ 3’.






1.1.3 Xác sut ph thuc vào nhng gì ?

Xác sut ca mt s kin không nht thit phi là mt hng s,mà nó có th thay đi, ph thuc vào nhiu yu t. (T s kin đây hiu theo nghĩa thông thưng, ch không phi theo nghĩa “mt tphp trong mt không gian xác sut vi 1 đ đo xác sut đã c đnh”trong mô hình toán hc)

Xác sut thay đi theo thi gian. Ví d, ông Obama đưc bu làmtng thng M vào tháng 11/2008. T trưc lúc bu c my tháng,có s cnh tranh ác lit gia ông ta và đi th chính ca ông ta làông McCain, và mt ngưi quan sát bên ngoài có th nhn đnh là haiông có kh năng đưc bu c ngang nhau (tc là xác sut đưc buca mi ông quãng 50%). Nhưng khi kt qu bu c đưc công btrn vn, thì xác sut đưc bu ca Obama chuyn thành 100% (tclà ông ta đã chc chn đưc bu). Trưc đó 1 năm, ông Obama làmt ngưi chưa đưc nhiu ngưi bit đn và còn phi tranh c vibà Clinton và các ng c viên khác trong Đng ca mình, và khi đó,đi vi quan sát viên bên ngoài, xác sut đưc bu làm tng thngca Obama không phi 100%, cũng không phi 50%, mà nh hơn

th nhiu. Xác sut ph thuc vào thông tin. Ly bài toán đ v trò chơi trênTV vit phía trên làm ví d. Gi tên ca mà ngưi chơi chn lúc đulà A, ca không có quà mà ngưi hưng dn chương trình m ra làB, và ca còn li là C . Vào thi đim ban đu, không có thông tin gì v ca nào phía sau có quà, thông tin duy nht là 1 trong 3 ca có

quà. Không có cơ s gì đ cho rng ca nào có nhiu kh năng có quà





hơn ca nào, bi vy vào thi đim ban đu ta coi P (A) = P (B) =

P (C ) = 1/3. Nhưng sau khi ca B đưc m ra, thì ta có thêm mt

thông tin mi, là ca B không có quà. Như vy thông tin mi này làm thay đi xác sut ca B: bây gi ta có P (B) = 0. Không ch xácsut ca B thay đi, mà tng xác sut ca A và C bây gi cũng thay đi: P (A) + P (C ) = 1 thay vì bng 2/3 như trưc. Như vy ít ra mttrong hai s P (A) hoc P (C ) thay đi, hoc là c hai. Xác sut P (A)

có thay đi vì thông tin mi này không ? Câu tr li là không (Gii

thích vì sao không ?). Ch có P (C ) là thay đi: sau khi ngưi hưngdn chương trình m ca B, thì ta có P (A) = 1/3 và P (C ) = 2/3.Như vy ngưi chơi nên đi ca A ly ca C thì d thng hơn. Đ thy rõ hơn vic cánh ca còn li có nhiu kh năng có quà hơn làcánh ca mà ngưi chơi chn ban đu, thay vì ch có 3 ca, ta hãy hình dung có 100 ca. Sau khi bn chn 1 ca, ngưi dn chương

trình m 98 ca không có quà trong s 99 ca còn li, ch đ li 1ca thôi. Khi đó, nu đưc đi, bn s gi nguyên ca ca mình, hay là đi ly cái ca còn li kia ?

Xác sut ph thuc vào điu kin. Chúng ta s bàn v xác sut cóđiu kin và công thc tính xác sut có điu kin mt phn sau.Điu đáng chú ý đây là, mi xác sut đu có th coi là xác sut có

điu kin, và đu ph thuc vào nhng điu kin nào đó, có th đưcnói ra hoc không nói ra (điu kin hiu ngm). Ví d, khi chúng tanói “khi tung cái xúc sc S, xác sut đ hin lên mt có 3 chm là1/6”, chúng ta hiu ngm S là mt cái xúc sc đu đn, các mt đucó kh năng xut hin như nhau. Nhưng nu S là mt cái xúc scméo mó, nh bên này nng bên n (điu kin khác đi), thì hoàn toàn






có th là xác sut đ khi tung hin lên mt có 3 chm s khác 1/6.Mt ví d khác là xác sut xy ra tai nn khi lái ô tô: khi ngưi lái

xe khoe mnh tnh táo, thì xác sut xy ra tai nn thp, còn khi vnngưi lái đó b say rưu hoc bun ng gt, thì xác sut xy ra tainn cao hơn, v.v. Khi chúng ta bit thêm mt điu kin mi, tc là cóthêm mt thông tin mi, bi vy s ph thuc vào điu kin ca xácsut cũng có th coi là s ph thuc vào thông tin.

Xác sut ph thuc vào ngưi quan sát, hay là tính ch quan ca

xác sut. Cùng là mt s kin, nhưng hai ngưi quan sát khác nhau cóth tính ra hai kt qu xác sut khác nhau, và c hai đu “có lý”, bi vì h da trên nhng thông tin và phân tích khác nhau. Ví d như,có chuyên gia tài chính đánh giá rng c phiu ca hãng Vinamilk có nhiu kh năng đi lên trong thi gian ti, trong khi li có chuyêngia tài chính khác đánh giá rng c phiu ca hãng đó có nhiu kh

năng đi xung ít kh năng đi lên trong thi gian ti. Quay li trò chơitruyn hình: vi ngưi chơi thì P (A) = 1/3, nhưng đi vi ngưi dnchương trình thì P (A) không phi là 1/3, mà là 0 hoc 1, vì ngưi đóbit đng sau ca A có quà hay không.

1.1.4 Tính xác sut bng thng kê

Đi vi nhng hin tưng xy ra nhiu ln, thì ngưi ta có th dùng thng kê đ tính xác sut ca s kin xy ra hin tưng đó.Công thc s là

P (A) =

N (A)

N (total) (1.5)





đây N (total) là tng s các trưng hp đưc kho sát, và N (A) làs các trưng hp đưc kho sát tha mãn điu kin xy ra A.

Cơ s toán hc cho vic dùng thng kê đ tính xác sut, là lut sln và các đnh lý gii hn, mà chúng ta s tìm hiu phía sau trongsách này.

Ví d 1.4. Có mt s s liu sau đây v tai tn ô tô và máy bay. Trongnhng năm 1989-1999, trên toàn th gii, trung bình mi năm cókhong 18 triu chuyn bay, 24 tai nn máy bay cht ngưi, và 750

ngưi cht trong tai nn máy bay. Cũng trong khong thi gian đó, nưc Pháp, trung bình mi năm có khong 8000 ngưi cht vì tainn ô tô, trên tng s 60 triu dân. T các s liu này, chúng ta cóth tính: Xác sut đ mt ngưi Pháp b cht vì tai nn ô tô trongmt năm là 8000/60000000 = 0,0133%. Xác sut đ đi mt chuynbay gp tai nn cht ngưi là 24/18000000 = 0,000133%, ch bng

1/100 xác sut b cht vì tai nn ô tô trong 1 năm. Nu mt ngưimt năm bay 20 chuyn, thì xác sut b cht vì tai nn máy bay trongnăm bng quãng 20 × 0, 000133% = 0, 00266%, tc là ch bng 1/5xác sut b cht vì tai nn ô tô trong năm.

Ví d 1.5. Ông Gregor Mendel (1822-1884) là mt tu sĩ ngưi Áo

(Austria) thích nghiên cu sinh vt. Ông ta trng nhiu ging đukhác nhau trong vưn ca tu vin, và ghi chép t mn v các tínhcht di truyn và lai ging ca chúng. Năm 1866 Mendel công bmt bài báo v các hin tưng mà ông ta qua sát đưc, và lý thuytca ông ta đ gii thích các hin tưng. Mt trong nhng quan sáttrong đó là v màu sc: Khi lai đu ht vàng vi đu ht xanh (th

h th nht) thì các cây lai (th h th hai) đu ra đu ht vàng,






nhưng tip tc lai các cây đu ht vàng th h th hai này vi nhau,thì đn th h th ba xác sut ra đu ht xanh là 1/4. Con s 1/4

Hình 1.1: Lý thuyt di truyn ca Mendel và xác sut trong lai gingđu

là do Mendel thng kê thy t l đu ht xanh th h th ba gn

bng 1/4. T đó Mendel xây dng lý thuyt di truyn đ gii thíchhin tưng này: màu ca đu đưc xác đnh bi 1 gen, và gen gmcó hai phn. Th h đu tiên, cây đu ht vàng có gen thun chng“YY” còn ht xanh có gen “yy” (tên gi “Y” và “y” đây là tùy tin).Khi lai nhau, thì mt na gen ca cây này ghép vi mt na gen cacây kia đ to thành gen ca cây con. Các cây th h th hai đu có

gen “Yy”, và màu ht ca gen “Yy” cũng là vàng. Đn th h th ba,





khi lai “Yy” vi “Yy” thì có 4 kh năng xy ra : “YY”, “Yy”, “yY” và“yy”. (“Yy” và “yY” là ging nhau v gen, nhưng vit như vy là đ

phân bit là phn “Y” đn t cây th nht hay cây th hai trong 2 cây lai vi nhau). V lý thuyt, có th coi 4 kh năng trên là có xác sutxy ra bng nhau. Bi vy xác sut đ cây th h th ba có gen “yy”(ht màu xanh) là 1/4. Trong rt nhiu năm sau khi công b, côngtrình ca Mendel không đưc các nhà khoa hc khác quan tâm đn,nhưng ngày nay Mendel đưc coi là cha t ca di truyn hc.

1.2 Mô hình toán hc ca xác sut

1.2.1 Không gian xác sut

Không gian xác sut là mt khái nim toán hc nhm tru tưng

hóa 3 tiên đ phía trên v s nht quán ca xác sut.Đnh nghĩa 1.1. Mt không gian xác sut là mt tp hp Ω , cùng

vi:

1) Mt h S các tp con ca Ω , tha mãn các tính cht sau: Ω ∈ S , và nu A, B ∈ S thì A ∪ B ∈ S , A ∩ B ∈ S và A := Ω \ A ∈ S . Mt h

như vy đưc gi là mt đi s các tp con ca Ω. Trong trưng hpΩ là mt tp có vô hn các phn t, thì chúng ta s đòi hi thêm điu

kin sau: Nu Ai, i = 1, 2, 3, . . . là mt dãy vô hn các phn t ca S ,thì hp

∞i=1 Ai cũng thuc h S . Vi thêm điu kin này, S đưc gi

là mt sigma-đi s. Các phn t ca S đưc gi là là tp hp con đođưc ca không gian xác sut.

2) Mt hàm s thc P : S → R trên S , đưc gi là phân b xác





1.2. Mô hình toán hc ca xác sut

sut hay đ đo xác sut trên Ω , tha mãn các tính cht sau:

i) Vi mi A ∈ S , ta có

0 ≤ P (A) ≤ 1. (1.6)ii)

P (∅) = 0, P (Ω) = 1. (1.7)

iii) Nu A ∩ B = ∅ thì

P (A

∪B) = P (A) + P (B). (1.8)

Tng quát hơn, nu Ai, i = 1, 2, 3, . . . là mt dãy các tp hp con đo

đưc không giao nhau thì

P (i

Ai) =i

P (Ai). (1.9)

Ghi chú 1.1. 1) Không gian xác sut Ω còn đưc gi là không gianmu (sample space), và nó là mô hình toán hc tru tưng cho vnđ tính toán xác sut đang đưc quan tâm. Mi phn t ca Ω có th đưc gi là mt s kin thành phn (elementary event). Nu A làmt phn t ca Ω thì ta cũng có th vit P (A) và hiu là P (A),trong đó A là tp con ca Ω cha duy nht mt phn t A. Mi s

kin là mt tp con ca Ω, và có th gm nhiu (thm chí vô hn) s kin thành phn. Không nht thit tp con nào ca Ω cũng đo đưc(tc là nm trong h S ), và chúng ta s ch quan tâm đn nhng tpcon đo đưc.2) Trong toán hc, mt đi s là mt tp hp vi các phép tính cng,tr, và phép nhân (không nht thit phi có phép chia). Các tính cht

ca h S trong đnh nghĩa không gian xác sut khin nó là mt đi





Hình 1.2: A. N. Kolmogorov

s theo nghĩa như vy: Phn t 0 trong S là tp rng, phn t đơn vtrong S là tp Ω, phép nhân trong S là phép giao: A×B := A ∩B, vàphép cng trong S là phép A+B := (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A).

Đi s này có s đc trưng bng 2, tc là 2A = A + A = 0 vi miA (và bi vy phép cng và phép tr chng qua là mt). Chúng tamun S là mt đi s chính là đ cho vic làm các phép tính s hc vi xác sut đưc thun tin.3) Đng thc (1.9) đưc gi là tính cht sigma ca xác sut. Trongtoán, ch cái hy lp sigma thưng dùng đ ký hiu tng, vi hu hn

hay vô hn các thành phn. Tính cht sigma là tính cht cng tính vô






hn: khi có mt dãy vô hn các tp con không giao nhau, xác sutca hp ca chúng cũng bng tng vô hn ca các xác sut ca các

tp con. Tính cht sigma chính là tính cht cho phép chúng ta ly giihn trong vic tính toán xác sut. Chng hn như, nu A1 ⊂ A2 ⊂ . . .

là mt dãy tăng các tp con ca Ω, và A = limn→∞ An = ∞

n=1 An,thì ta có th vit P (A) = limn→∞ P (An), bi vì

P (A) = P (A1 ∪∞

n=1

(An+1 \ An)) = P (A1) +∞

n=1

P (An+1 \ An)

= P (A1)+ limn→∞

nk=1

P (Ak+1\Ak) = P (A1)+ limn→∞(P (An+1)−P (A1))

(1.10)

Phép toán ly gii hn là phép toán cơ bn nht ca gii tích toánhc, và mi phép toán gii tích khác như đo hàm, tích phân, v.v.đu có th đưc đnh nghĩa qua phép ly gii hn. Bi vy, tính cht

sigma chính là tính cht cho phép chúng ta s dng gii tích toánhc trong vic nghiên cu xác sut. Các nhà toán hc c đin trongth k 18 và 19 đã dùng các phép tính vi tích phân trong xác sut,tc là đã dùng tính cht sigma. V mt trc giác, tính cht sigmalà m rng hin nhiên ca tính cht cng tính (1.8). Tuy nhiên, nóimt cách cht ch toán hc, đng thc (1.9) không suy ra đưc t đng thc (1.8), và phi đưc coi là mt tiên đ trong xác sut. Tiênđ này đưc đưa ra bi nhà toán hc ngưi Nga Andrei NikolaievitchKolmogorov (1903-1987), ngưi xây dng nn tng cho lý thuyt xácsut hin đi.

Bài tp 1.2. Chng minh rng, vi 3 tp con A, B, C (đo đưc) bt





kỳ trong mt không gian xác sut, ta có:

P (A∪

B ∪

C ) = P (A) + P (B) + P (C )−

P (A∩

B)

− P (B ∩ C ) − P (C ∩ A) + P (A ∩ B ∩ C ).

1.2.2 Phân b xác sut Bernoulli

Hình 1.3: Bia m ca “mathematicus incomparabilis” J. Bernoulli Basel

Không gian xác sut đơn gin nht mà không tm thưng là






không gian sinh bi đúng 1 s kin A và ph đnh A ca nó: Ω =

A, A. Phân b xác sut trên Ω trong trưng hp này đưc xác

đnh bi đúng mt s p = P (A). Phân b này đưc gi là phân bBernoulli, theo tên ca Jacob Bernoulli (1654-1705), mt nhà toánhc ngưi Thy Sĩ.

Ví d 1.6. Mt vn đng viên bn súng, nhm vào đích bn 1 phátsúng. Có hai s kin đi lp nhau có th xy ra là A = “bn trúng” và A = “bn trưt”. Gi s xác sut bn trúng là 95%. Khi đó ta

có không gian xác sut Ω = A, A vi phân b xác sut Bernoulli vi p = P (A) = 95%. Xác sut ca A (s kin “bn trưt”) bng1 − p = 1 − 95% = 5%.

Ví d 1.7. (Cái kim ca Buffon). Bá tưc George-Louis Leclerc deBuffon (1707-1788) là mt nhà khoa hc t nhiên ln, nghiên cu

v thc vt, đng vt, trái đt, lch s t nhiên, v.v. Thi tr, ông tađc bit thích toán hc, và vào năm 1733 có trình lên Vin Hàm lâmPháp mt công trình nhan đ “Sur le jeu du franc-carreau” (v tròchơi franc-carreau, là mt trò chơi cá cưc thnh hành thi đó: ngưita tung 1 đng tin vào 1 ô vuông và cá cưc nhau xem v trí nós nm ch nào). Trong công trình này, các phép toán vi tích phân

đưc Buffon đưa vào lý thuyt xác sut. Buffon còn là ngưi nghĩ raphương pháp sau đây đ tính s π: Ly 1 t giy to và 1 cái kim. Kcác đưng thng song song trên t giy, cách đu nhau mt khongcách đúng bng chiu dài ca cái kim. Tung cái kim mt cách ngunhiên lên trên t giy. Có hai kh năng xy ra: 1) kim nm đè lên 1đưng thng trong các đưng đưc k; 2) kim nm lt vào gia hai

đưng thng. Buffon tính ra rng, s kin “kim nm đè lên 1 đưng





thng” có xác sut bng 1/π. Như vy hai s kin “nm đè lên 1đưng thng” và “nm lt vào gia hai đưng thng” hp thành mt

không gian xác sut Bernoulli vi p = 1/π. Tung kim n ln, và gi sln kim nm đè lên 1 đưng thng trong s n ln tung là bn. Khi đó,theo lut s ln, bn/n tin ti p = 1/π khi n tin ti vô cùng. Bi vy đ xp x tính s π, có th làm như sau: tung kim tht nhiu ln, đms ln kim đè lên trên 1 đưng thng, ri ly s ln tung chia cho sđó. Phương pháp tung kim ca Buffon chính là tin thân ca phương

pháp Monte-Carlo trong toán hc.

1.2.3 Phân b xác sut đu

Đnh nghĩa 1.2. Phân b xác sut P trên không gian xác sut hu hn

vi N phn t Ω = A1, . . . , AN đưc gi là phân b xác sut đu

nu như P (A1) = . . . = P (AN ) = 1/N .Tt nhiên, mi không gian xác sut vi mt s hu hn các phn

t ch có duy nht mt phân b xác sut đu trên đó.

Ghi chú 1.2. Khái nim phân b đu không m rng đưc lên cáckhông gian xác sut có s phn t là vô hn và đm đưc, bi vì 1chia cho vô cùng bng 0, nhưng mà tng ca mt chui vô hn s 0

vn bng 0 ch không bng 1.

Các phân b xác sut đu là các phân b quan trng hay gp trongthc t. Lý do chính dn đn phân b xác sut đu là tính đi xng,cân bng, hay hoán v đưc ca các s kin thành phn.

Ví d 1.8. Ly mt b bài tú lơ khơ mi có 52 quân, đt nm sp. Khi

đó xác sut đ rút mt con bài trong đó ra mt cách tùy ý đưc con






Hình 1.4: Tưng ca Buffon Jardin des Plantes, Paris

“2 Cơ” (hay bt kỳ “s” nào khác) bng 1/52. Vì sao vy? Vì các conbài khi đt nm sp thì ging ht nhau, không th phân bit đưccon nào vi con nào, s nào cũng có th đưc vit dưi bt kỳ conbài nào, và nu chuyn ch 2 con bài trong b bài vi nhau thì trôngb bài vn ht như cũ (đy chính là tính “đi xng”, “hoán v đưc”).

Ngưi quan sát không có thông tin gì đ có th nhn bit đưc s





nào d nm phía dưi con bài nào hơn trong các con bài đăng nmsp, và khi đó thì phi coi rng xác sut ca các s là như nhau. Nu

như có nhng con bài “đưc đánh du” (chơi ăn gian), thì tt nhiênđi vi ngưi bit chuyn đánh du, không còn phân b xác sut đuna.

Công thc đ tính xác sut ca mt s kin trong mt phân bxác sut đu rt đơn gin: Nu như không gian xác sut Ω vi phânb xác sut đu có N phn t, và s kin đưc biu din bng mt

tp con A ca Ω vi k phn t, thì xác sut ca A bng k/N :P (A) =

#A

#Ω =

k

N (1.11)

Ví d 1.9. Gi s mt gia đình có 3 con. Khi đó xác sut đ gia đìnhđó có 2 con trai 1 con gái là bao nhiêu. Chúng ta có th lp mô hìnhxác sut vi 4 s kin thành phn: 3 trai, 2 trai 1 gái, 1 trai 2 gái, 3

gái. Th nhưng 4 s kin thành phn đó không “cân bng” vi nhau, và bi vy không kt lun đưc rng xác sut ca “2 trai 1 gái” là1/4. Đ có không gian xác sut vi phân b đu, ta có th lp môhình xác sut vi 8 s kin thành phn như sau:

Ω = TTT,TTG,TGT,TGG,GTT,GTG,GGT,GGG.

(Chng hn, GGT có nghĩa là con th nht là con gái, con th hai làcon gái, con th ba là con trai). S kin “2 trai mi gái” là hp ca3 s kin thành phn trong mô hình xác sut này: T TG, TGT, GTT .Như vy xác sut ca nó bng 3/8.

Bài tp 1.3. Có mt nhóm n bn, trong đó có hai bn Vôva và Lily. Xp các bn trong nhóm thành mt hàng dc mt cách ngu nhiên.

Hi xác sut đ Vôva v trí ngay sau Lily trong hàng là bao nhiêu?






Bài tp 1.4. Mt nhóm có 5 ngưi, vi 5 tên khác nhau. Mi ngưi vit tên ca mt ngưi khác trong nhóm mt cách ngu nhiên vào

giy. Tính xác sut đ có 2 ngưi trong nhóm vit tên ca nhau. Bài tp 1.5. Gi s trong mt gii bóng đá đu loi trc tip có 8 đi A, B, C, D, E, F, G, H tham gia: vòng 1 có 4 trn, vòng 2 có 2 trn, vòng 3 (vòng cui cùng) có 1 trn. Giá s xác sut đ mi đi thngmi trn đu là 1/2, và các đi bt thăm đ xem đi nào đu vi đinào vòng đu, các vòng sau thì đưc xp theo kt qu vòng trưc.

Tính xác sut đ đi A có đu vi đi B trong gii.

1.2.4 Mô hình xác sut vi vô hn các s kin

Mi vn đ xut phát t thc t đu ch có mt s hu hn cács kin thành phn. Nhưng khi mà s s kin thành phn đó ln, thì

ngưi ta có th dùng các mô hình toán hc vi vô hn phn t đ biu din, cho d hình dung và tin tính toán.

Ví d 1.10. Nu ta quan tâm đn lưng khách hàng trong mt ngày ca mt siêu th, thì có th dùng tp hp các s nguyên không âmZ+ làm không gian xác sut: mi s n ∈ Z+ ng vi mt s kin “s

khách trong ngày là n”. Vn đ tip theo là chn phân b xác sutnào trên Z+ cho hp lý (phn ánh khá chính xác thc t xy ra, đngthi li tin cho vic tính toán)? Ví d ngưi ta có th dùng phânb xác sut sau trên Z+, gi là phân b Poisson (đc là Poa-Sông):P (n) = e−λλn

n! vi mi n ∈ Z+. (Chú ý rng

n

P (n) =n

e−λλn

n! =

e−λn

λn

n!

= e−λeλ = 1, như vy các tiên đ v xác sut đưc tha





mãn). Phân b Poisson ng vi hai gi thuyt: lưng khách hàngtrung bình trong mt ngày là λ, và các khách hàng đi đn siêu th

mt cách ngu nhiên và đc lp vi nhau. Chúng ta s tìm hiu k hơn v phân b Poisson trong nhng phn sau.

Ví d 1.11. Ta bit rng có mt xe ô tô X đang đu trên mt khúcph Z , và ta quan tâm đn v trí ca X trên ph đó. Ta có th môhình X bng 1 đim, Z bng mt đon thng và ly đon thng đólàm không gian xác sut: Ω = [a, b], a, b ∈ R, a < b. (Mô hình xác sut

liên tc này có s phn t là continuum, không đm đưc). S kin“ô tô đ ch nào đó trên khúc ph” chuyn thành s kin “đim x

nm trong mt đon thng con nào đó trên đon thng Ω = [a, b]”.Ta có th chn phân b xác sut đu trên Ω = [a, b] theo nghĩa sau:xác sut ca mi đon thng con trên Ω t l thun vi đ dài cađon thng con đó, và bng chiu dài ca đon thng con đó chia

cho chiu dài ca Ω: P ([c, d]) = (d − c)/(b − a).

1.2.5 Ánh x gia các không gian xác sut

Cùng mt vn đ tính toán xác sut, ta có th lp nhiu mô hìnhkhông gian xác sut khác nhau. Ví d, mô hình xác sut đơn gin

nht cho s kin “b m” s là mô hình Bernoulli Ω1 = S, H vi2 s kin S = “b m” (sick) và H = “không b m” (healthy). Như ta cũng có th chia nh s kin b m ra thành rt nhiu s kincon, ví d như “m bnh A”, “m bnh B”, “m c bnh A ln bnhB”, v.v. và s kin “không b m” cũng có th chia thành nhiu s kin con, ví d như “rt khe”, “không m nhưng mà yu”, v.v. Khi

chia nh như vy, ta đưc mô hình xác sut vi mt không gian xác






sut Ω2 = S 1, S 2, . . . , H 1, H 2, . . . vi nhiu phn t hơn. Hai khônggian đó liên quan vi nhau bi mt ánh x φ : Ω2 → Ω1, φ(S i) =

S, φ(H i) = H . Tt nhiên, khi ta chia nh s kin S ra thành nhiu s kin (không giao nhau) S 1, S 2, . . ., thì không phi vì th mà xác sutca nó thay đi. Nói cách khác, ta phi có

P (S ) = P (φ−1(S )) = P (∪iS i) =i

P (S i) (1.12)

Tính cht trên là tính cht bo toàn xác sut ca ánh x φ. Nóimt cách tng quát, ta có đnh nghĩa sau:

Đnh nghĩa 1.3. Mt ánh x φ : (Ω1, P 1) → (Ω2, P 2) t mt không

gian xác sut (Ω1, P 1) vào mt không gian xác sut (Ω2, P 2) đưc gi

là mt ánh x bo toàn xác sut nu nó bo toàn đ đo xác sut, có

nghĩa là vi mi tp con B ⊂ Ω2 đo đưc, ta có

P 1(φ−1(B)) = P 2(B) (1.13)

Nu hơn na, φ là mt song ánh modulo nhng tp có xác sut bng

0, có nghĩa là tn ti các tp con A ∈ Ω1 , B ∈ Ω2 sao cho P 1(A) =

P 2(B) = 0 và φ : Ω1 \ A → Ω2 \ B là song ánh bo toàn xác sut), thì

φ đưc gi là mt đng cu xác sut , và ta nói rng (Ω1, P 1) đng

cu xác sut vi (Ω2, P 2).

Ví d 1.12. Đt 4 bn Al, Ben, Cam, Don ngi vào 4 gh A, B, C, Dmt cách hoàn toàn ngu nhiên. Tính xác sut đ Al đưc đt ngi vào gh A. Có 4 gh, và xác sut đ Al ngi vào mi ngh trong 4 ghđó coi là bng nhau (vì không có c gì đ coi là khác nhau), bi vy

xác sut đ Al ngi vào gh A là 1/4. Nhưng cũng có th lý lun t





mn hơn như sau: có tng cng 4! = 24 cách đt 4 bn ngi vào 4gh, trong đó có 3! = 6 cách có Al ngi vào gh A. Bi vy xác sut

đ Al ngi vào gh A là 6/24 = 4. Hai cách gii cho cùng mt đáps, nhưng s dng hai không gian xác sut khác nhau: không gianth nht có 4 phn t, còn không gian th hai có 24 phn t. Cómt phép chiu t nhiên bo toàn xác sut t không gian th hai lênkhông gian th nht.

Đnh lý 1.1. Nu (Ω1, P 1) là mt không gian xác sut, và φ : Ω1

→ Ω2

là mt ánh x tùy ý, thì tn ti mt đ đo xác sut P 2 trên Ω2 , sao choánh x φ : (Ω1, P 1) → (Ω2, P 2) là ánh x bo toàn xác sut.

Chng minh. Có th xây dng P 2 theo công thc sau: vi mi tpcon B ⊂ Ω2, nu tn ti P 1(φ−1(B)) thì ta đt

P 2(B) := P 1(φ−1(B)) (1.14)

Đ đo xác sut P 2 đnh nghĩa theo công thc trên đưc gi là push-forward ca P 1 qua ánh x φ, hay còn gi là phân b xác sut cmsinh t P 1 qua ánh x φ.

Bài tp 1.6. Chng minh rng quan h đng cu xác sut gia cáckhông gian xác sut là mt quan h tương đương.

1.2.6 Tích ca các không gian xác sut

Nu M và N là hai tp hp, thì tích ca chúng (hay còn gi làtích trc tip, hay tích Descartes), ký hiu là M × N , là tp hp cáccp phn t (x, y), x ∈ M, y ∈ N . Trong trưng hp M = (Ω1, P 1)

và N = (Ω2, P 2) là hai không gian xác sut, thì tích Ω1 × Ω2, cũng






có mt đ đo xác sut P , đưc xác đnh mt cách t nhiên bi P 1

và P 2 bng công thc sau: Nu A1 ⊂ Ω1 và A2 ⊂ Ω2 nm trong các

sigma-đi s tương ng ca P 1 và P 2 thì:P (A1 × A2) = P 1(A1) × P 2(A2). (1.15)

Sigma-đi s ca P chính là sigma đi s sinh bi các tp con caΩ1 × Ω2 có dng A1 × A2 như trên. Khi ta nói đn tích trc tip cahai không gian xác sut, ta s hiu là nó đi kèm đ đo xác sut đưc

xác đnh như trên.Tương t như vy, ta có th đnh nghĩa tích trc tip ca n không

gian xác sut, hay thm chí tích trc tip ca mt dãy vô hn cáckhông gian xác sut.

Đnh lý 1.2. Hai phép chiu t nhiên t tích (Ω1, P 1) × (Ω2, P 2) ca

hai không gian xác sut xung (Ω1, P 1) và (Ω2, P 2) là hai ánh x botoàn xác sut.

Ví d 1.13. Ly 1 đng xu tung 3 ln, mi ln hin lên S (sp) hocN (nga). Không gian xác sut các s kin đây là không gian cácdãy 3 ch cái mà mi ch cái là S hay N:

Ω = SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NSN,NNS,NNN .

Ký hiu (Ωk = S k, N k, P k) là không gian xác sut ca mt hin lêntrong ln tung th k. Ta gi s các kt qu ca các ln tung là đc lp vi nhau (tc là kt qu ln trưc không nh hưng đn kt qu cacác ln sau), khi đó Ω có th coi là tích trc tip ca các không gian

xác sut (Ωk = S k, N k, P k). Gi s đng xu là “cân bng”, hai mt





sp nga có xác sut hin lên ging nhau trong mi ln tung. Khi đócác không gian (Ωk = S k, N k, P k) là đng cu vi nhau và vi mt

không gian xác sut Bernoulli vi tham s p = 1/2. Ta có th vit:Ω = S, N 3

Ví d 1.14. Trong ví d trên, nu thay vì ch tung đng xúc sc có3 ln, ta hình dùng la ta tung vô hn ln (trong thc t không làmđưc như vy, nhưng c gi s ta có vô hn thi gian và làm đưcnhư vy). Khi đó mi s kin đưc có th đưc đánh du bng mt

dãy vô hn các ch cái mà mi ch là S hoc N, và không gian xácsut là

Ω = S, N N

Ta có th xây dng mt ánh x bo toàn xác sut sau t S, N N vàođon thng [0, 1] vi phân b xác sut đu trên đó:

φ((M i)i∈N) := ∞i=1

χ(M i)/2i

đây mi M i là S hoc N , và χ(N ) = 0, χ(S ) = 1. Ánh x

φ : S, N N → [0, 1]

xây dng như trên không phi là mt song ánh, nhưng nó là mt

đng cu xác sut!

Ví d 1.15. Bài toán Méré. Hip sĩ de Méré (tên khai sinh là AntoineGombaud (1607-1684), là nhà văn và nhà trit hc ngưi Pháp) làmt nhân vt lch s nghin đánh bc. Ông ta hay chơi xúc sc, vànhn thy rng trong hai s kin sau:

A = “Tung mt con xúc sc 4 ln, có ít nht 1 ln hin lên 6”, và






Hình 1.5: Blaise Pascal (1623-1662)

B = “Tung mt đôi xúc sc 24 ln, có ít nht 1 ln hin lên mt đôi6”,thì B ít xy ra hơn A. Tuy nhiên ông ta không gii thích đưc ti sao.

Theo ông ta thì đáng nh hai s kin đó phi có kh năng xy ra bngnhau, vì 24 = 6 × 4. Ông ta bèn hi bn mình là nhà toán hc và trithc Blaise Pascal (1623-1662), vào năm 1654. Pascal lúc đó đã “t b toán”, nhưng có nhn li suy nghĩ v câu hi ca de Méré. Sau đóPascal vit thư trao đi vi Pierre de Fermat (159?-1665), mt lut sư đng thi là nhà toán hc vùng Toulouse (Pháp). Hai ngưi cùng

nhau phát minh ra lý thuyt xác sut c đin, và gii đưc bài toán





ca de Méré. Kt qu là: P (A) = 1−P (A) = 1− (1−1/6)4 ≈ 0, 5177, và P (B) = 1 − P (B) = 1 − (1 − (1/6)2)24 ≈ 0, 4914.

Hình 1.6: Fermat và “nàng toán”. Tưng Toulouse.

Bài tp 1.7. Chng minh đnh lý 1.2.






1.2.7 Phân b nh thc

Phân b nh thc là mt trong nhng phân b hay gp nht, và

nó là mt ví d v s xut hin các phép toán t hp trong xác sutthng kê.

Đnh nghĩa 1.4. Phân b nh thc vi các tham s n, p ( n ∈ N, 0 ≤ p ≤ 1 ) là phân b xác sut

P (k) = C

k

n p

k

(1 − p)

n

−k

(1.16)trên tp hp Ω = 0, 1, 2, . . . , n.

đây, C kn = n!

k!(n − k)! là nh thc Newton. Ý nghĩa t hp ca

C kn là: nó là s các tp con có đúng k phn t trong mt tp hp có n

phn t, hay nói cách khác, nó là s cách chn ra mt nhóm con vik phn t, t mt nhóm có n phn t.

Nhc li rng ta có công thc đi s quen thuc sau:

(x + y)n =

nk=0

C knxkyn−k. (1.17)

Nu thay x bng p và y bng 1 − p trong công thc trên, thì ta cónk=0 C kn p

k(1 − p)n−k = 1, chng t đnh nghĩa phân b xác sut nhthc trên phù hp vi các tiên đ v xác sut.

Ý nghĩa ca phân b nh thc như sau: Khi ta làm n ln mt phépth nào đó, và mi ln thì xác sut xy ra kt qu A nào đó là p (ví d: mt ngưi bn súng n ln, xác sut trúng đích mi ln là p), và

gi s là kt qu ca các ln th khác nhau đc lp vi nhau (ln th





này không nh hưng đn ln th khác), thì tng s ln xy ra ktqu A trong s n ln đó là mt s nguyên nm gia 0 và n, và vi

mi k = 0, 1, 2, . . . , n, xác st ca s kin "s ln ra kt qu A là k"bng C kn pk(1 − p)n−k.

Tht vy, nu ta ly không gian xác sut cho mi phép th làkhông gian A, A, thì không gian xác sut các trưng hp ca n lnth là A, An (các phn t ca không gian này là các dãy n kt qu,mà mi kt qu là A hoc A. Có C kn phn t ca không gian A, An

có cha đúng k kt qu A và (n − k) kt qu A. Xác sut ca miphn t đó là pk(1 − p)k theo công thc tích ca xác sut. Bi vy xác sut ca s kin "kt qu A xy ra k ln" s phn t ca s kinnày (hiu như là mt tp con ca không gian xác sut) nhân vi xácsut ca mt phn t (vì các phn t này có cùng xác sut), và bngC kn p

k(1 − p)n−k.

Bài tp 1.8. Hai vn đng viên Nam và Tin chơi mt trn tennis. Ai thng đưc 3 set trưc thì thng c trn. Gi s xác sut đ Namthng mi set là 40% (đ Tin thng mi set là 60%, và kt qu caset này không nh hưng đn set khác). Hi xác sut đ Nam thngtrn tennis là bao nhiêu?

1.3 Xác sut có điu kin

1.3.1 Đnh nghĩa xác sut có điu kin

Như chúng ta đã bit, xác sut ca mt s kin có th ph thuc

vào nhiu yu t, điu kin khác nhau. Đ ch ra mt cách c th hơn





1.3. Xác sut có điu kin

v vic xác sut ca mt s kin A nào đó ph thuc vào mt điukin B nào đó ra sao, ngưi ta đưa ra khái nim xác sut có điu

kin. Điu kin B cũng có th hiu là mt s kin, tc là s kin “cóB”.

Đnh nghĩa 1.5. Gi s (trong mt không gian xác sut nào đó) điu

kin B có xác sut khác không, P (B) > 0 , thì xác sut ca s kin A

dưi điu kin B , ký hiu là P (A|B) , đưc đnh nghĩa như sau:

P (A|B) = P (A ∩ B)P (B) . (1.18)

Mt h qu trc tip ca đnh nghĩa xác sut có điu kin là côngthc tích sau đây:

P (A ∩ B) = P (A|B).P (B). (1.19)

Tt nhiên, ta cũng có th coi B là s kin, A là điu kin, và khi đóta có P (A ∩ B) = P (B|A).P (A)

Ví d 1.16. Mt lp hc có 30 bn, trong đó có 17 bn n và 13 bnnam. Có 3 bn tên là Thanh, trong đó có 1 bn n và 2 bn nam.Thy giáo gi ngu nhiên 1 bn lên bng. Xác sut đ bn đó có

tên là Thanh s là 1/10. Nhưng vi điu kin “đó là bn n” thì xácsut đ bn đó tên là Thanh là 1/17. S kin đây là A = “tên làThanh”, và điu kin là B = “n”. Không gian xác sut Ω có 30 phnt, vi phân b xác sut đu. A có 3 phn t, B có 17 phn t, vàA ∩ B có 1 phn t. Bi vy: P (A) = #A

#Ω = 3/30 = 1/10; P (A|B) =

P (A ∩ B)/P (B) = (1/30)/(17/30) = 1/17. Chú ý rng, trong ví d

này ta có P (A|B) = P (A). Vn ví d này, nu thy giáo gi 1 bn có





tên là Thanh lên bng, thì xác sut đ bn đó là bn n là bao nhiêu?Li gii: trong 3 bn Thanh có 1 bn là n, bi vy xác sut là 1/3.

S dng công thc P (A ∩ B) = P (B|A).P (A) vi xác sut có điukin, ta cũng có P (B|A) = P (A ∩ B)/P (A) = (1/30)/(1/10) = 1/3.(Câu hi: Vì sao hai cách gii khác nhau li ra kt qu ging nhau?)

Ghi chú 1.3. Có th gii thích ý nghĩa trit lý và toán hc ca đnhnghĩa xác sut có điu kin như sau: S kin A cùng vi điu kinB chính là s kin A

∩B, tc là “c A và B cùng xy ra”. Ta có th

coi A và B là hai tp con ca mt không gian xác sut Ω ban đu.Các tp con ca B chính là các s kin vi điu kin B đưc thamãn. Khi chúng ta đt điu kin B, thì tc là chúng ta đã hn chkhông gian xác sut t Ω xung còn B, và hn ch các s kin A

xung còn A ∩ B. Xác sut ca A vi điu kin B chính là xác sutca A

∩B trong không gian xác sut mi B vi mt đ đo xác sut

P 1: P (A|B) = P 1(A ∩ B). Đ đo xác sut P 1 không tùy ý, mà nó đưcsinh ra bi đ đo xác sut P ban đu, theo nguyên tc “bình quân”:nu C và D là hai tp con ca B (tc là 2 s kin tha mãn điukin B) vi cùng xác sut, P (C ) = P (D), thì ta cũng phi coi rngchúng có cùng xác sut có điu kin: P 1(C ) = P 1(D). Mt cách tngquát hơn, ta có công thc t l thun: P (C )/P (D) = P 1(C )/P 1(D)

nu C và D là hai tp con ca B. T đó suy ra: P (A ∩ B)/P (B) =

P 1(A ∩ B)/P 1(B) = P 1(A ∩ B) = P (A|B) (bi vì P 1(B) = 1).

Ví d 1.17. Theo mt con s thng kê M năm 2007, có khong40% các v tai nn xe c gây cht ngưi là có ngưi lái say rưu.Giá s t l s ngưi say rưu khi lái xe là 4%. Hi vic xay rưu khi

lái xe làm tăng kh năng gây tai nn cht ngưi lên bao nhiêu ln?






Nói cách khác, chúng ta mun tính t l P (A|S )/P (A), đây A là s kin “lái xe xy ra tai nn cht ngưi”, S là điu kin “ngưi lái say

rưu”. T công thc P (A ∩ S ) = P (A|S ).P (S ) = P (S |A).P (A) ta cóP (A|S )/P (A) = P (S |A)/P (S ) = 40%/4% = 10, tc là vic say rưukhi lái xe có th làm tăng kh năng gây tai nn xe c cht ngưi lên10 ln.

Bài tp 1.9. Có hai s kin A và B vi xác sut ln hơn 0. Khi nào thìta có P (A

|B) = P (B

|A)?

Bài tp 1.10. Ta bit rng mt nhà n có 3 con mèo, trong đó có ítnht 1 con là mèo cái. Hi rng xác sut đ c 3 con mèo đu là mèocái là bao nhiêu?

1.3.2 S đc lp và ph thuc ca các s kin

Th nào là hai s kin đc lp vi nhau? V mt trit lý, hai s kin đc lp là hai s kin không liên quan gì đn nhau. Ví d, tôikhông liên quan gì đn đi bóng đá Barcelona. Đi đó đá thng hay thua tôi cũng không quan tâm, không nh hưng gì đn vic tôi có

phi đi ch hay không. Hai s kin “tôi đi ch” và “đi Barcelonathng” có th coi là đc lp vi nhau. Nu hai s kin A và B đc lp vi nhau, thì vic có xy ra hay không s kin B không nh hưng gìđn vic có xy ra hay không s kin A. Nói cách khác, xác sut caA vi điu kin B không khác gì xác sut ca A khi không tính đnđiu kin B. Đy chính là đnh nghĩa trong lý thuyt xác sut v s

đc lp ca hai s kin:





Đnh nghĩa 1.6. S kin A đưc gi là đc lp vi s kin B nu như

P (A) = P (A

|B) = P (A

∩B)/P (B), (1.20)

hay vit cách khác:

P (A ∩ B) = P (A).P (B) (1.21)

Ghi chú 1.4. Công thc P (A|B) = P (A) tương đương vi công thcP (A ∩ B) = P (A).P (B) và tương đương vi P (B|A) = P (B). Điu

đó có nghĩa là quan h đc lp là mt quan h đi xng: nu A đclp vi B thì B đc lp vi A, và chúng ta có th nói là A và B

đc lp vi nhau. Trong công thc P (A|B) = P (A) ta phi gi s làP (B) = 0. K c khi P (B) = 0 thì công thc P (A ∩ B) = P (A).P (B)

vn có th dùng làm đnh nghĩa đưc, và khi đó nó hin nhiên đúng:mt s kin có xác sut bng 0 thì đc lp vi mi s kin khác.

Tng quát hơn, gi s ta có mt h M (hu hn hoc vô hn) cács kin.

Đnh nghĩa 1.7. H M đưc gi là mt h các s kin đc lp , nu

như vi bt kỳ s t nhiên k nào và bt kỳ k s kin A1, . . . , Ak khác

nhau nào trong h M ta cũng có:

P

ki=1

Ai

=

ki=1

P (Ai). (1.22)

Nu như P (A ∩ B) = P (A).P (B) vi bt kỳ hai s kin khácnhau nào trong h M (tc là đng ta ch yêu cu đng thc trênđúng trong trưng hp k = 2, thì h M đưc gi là h các s kin

đc lp tng đôi mt.






Ghi chú 1.5. Tt nhiên nu ta có mt h các s kin đc lp, thì cács kin trong h đc lp tng đôi mt vi nhau. Nhưng điu ngưc

li không đúng: Có nhng h không đc lp, mà trong đó các s kinđc lp tng đôi mt vi nhau!

Ví d 1.18. Tung 1 xúc sc 2 ln, đưc 2 s ký hiu là a, b. Xét 3 s kin sau: X là s kin “a + b là s chn”, Y là s kin “a = 1” và Z làs kin “b = 4”. đây không gian xác sut là không gian có 62 = 36

phn t, mi phn t là mt cp s (a, b), mi s có th nhn 1 trong

6 giá tr 1,2,3,4,5,6. Ta có th gi s không gian xác sut này có phânb xác sut đu (2 ln tung đc lp vi nhau). Khi đó d dàng kimtra rng các s kin X, Y, Z đc lp tng đôi mt vi nhau, th nhưngh3skiên X , Y, Z khôngphilàmthđclp: P (X ∩Y ∩Z ) = 0

trong khi P (X ).P (Y ).P (Z ) = (1/2).(1/6).(1/6) = 0

Nu như hai s kin không đc lp vi nhau, thì ngưi ta nói

là chúng ph thuc vào nhau. Do tính cht đi xng, nu s kinA ph thuc vào s kin B thì B cũng ph thuc vào A. Nu như P (A|B) > P (B) thì ta có th nói là điu kin B thun li cho s kinA, và ngưc li nu P (A) < P (A|B) thì điu kin B không thun li

cho s kin A.

Công thc P (A|B)P (B) = P (B

|A)P (A) tương đương vi công

thcP (A|B)/P (A) = P (B|A)/P (B), (1.23)

cóthđưcsuydinnhưsau: B thun li cho A (tclà P (A|B)/P (B) >

1) thì A cũng thun li cho B và ngưc li.

Ví d 1.19. Gi s c 5 hc sinh thì có 1 hc sinh gii toán, c 3 hc

sinh thì có 1 hc sinh gii ngoi ng, và trong s các hc sinh gii





toán thì c 2 hc sinh có 1 hc sinh gii ngoi ng (ln hơn t ltrung bình). Khi đó trong s các hc sinh gii ngoi ng, t l hc

sinh gii toán là 30% (cũng ln hơn t l trung bình): (1/2)/(1/3) =30%/(1/5).

Bài tp 1.11. Chng minh rng nu mt s kin A đc lp vi s kinB, thì nó cũng đc lp vi s kin B.

Bài tp 1.12. Tìm mt ví d vi 3 s kin A, B,C sao cho A đc lp vi hai s kin B và C , nhưng không đc lp vi B ∩ C.

Bài tp 1.13. Ly mt b bài tú lơ khơ 52 quân, và rút ra t đó 2 lnmi ln 1 quân, đ đưc 2 quân. Gi A là s kin “quân rút ra đutiên là quân nhép” và B là s kin “quân rút ra th hai là quân cơ”.Hi hai s kin A và B có đc lp vi nhau không?

1.3.3 Công thc xác sut toàn phn

Đnh nghĩa 1.8. Mt h các tp con B1, . . . , Bn ca không gian xác

sut Ω là mt phân hoch (partition) ca Ω nu như các tp Bi đôi

mt không giao nhau, và hp ca chúng bng Ω:

Bi ∩ B j = ∅ ∀ i = j , ∪ni=1Bi = Ω. (1.24)

Nu như ta chưa bit xác sut P (A) ca mt s kin A nào đó,nhưng bit các xát sut P (Bi) ca mt phân hoch (B1, . . . , Bn) cakhông gian xác sut, và bit các xác sut có điu kin P (A|Bi), thìta có th dùng công thc sau, gi là công thc xác sut toàn phn(total probability formula), đ tính xác sut ca A:

P (A) =

n

i=1

P (A

∩Bi) =

n

i=1

P (A

|Bi).P (Bi). (1.25)






Trưng hp riêng ca công thc trên là khi ta có hai s kin A, B,có th s dng phân hoch (B, B = Ω \ B) hai thành phn ca Ω đ

tính xác sut ca A:P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B) = P (A|B).P (B) + P (A|B).P (B).

(1.26)

Bài tp 1.14. Theo mt s liu thng kê, năm 2004 Canada có65,0% đàn ông là tha cân(1), và 53,4% đàn bà tha cân. S đàn ông và đàn bà Canada coi như bng nhau. Hi rng, trong năm 2004,

xác sut đ mt ngưi Canada đưc chn ngu nhiên là ngưi thacân bng bao nhiêu?

1.3.4 Công thc Bayes

Công thc Bayes, mang tên ca linh mc và nhà toán hc ngưi

Anh Thomas Bayes (1702-1761), là công thc ngưc, cho phép tínhxác sut có điu kin P (B|A) khi bit xác sut có điu kin P (A|B)

và mt s thông tin khác. Dng đơn gin nht ca công thc này là:Nu A, B là hai s kin bt kỳ vi xác sut khác 0 thì ta có:

P (B|A) = P (A|B).P (B)

P (A) . (1.27)

Công thc trên là h qu trc tip ca công thc P (B|A).P (A) =

P (A|B).P (B) = P (A ∩ B) đã đưc bàn đn nhng phn trưc. Kt(1)Theo đnh nghĩa ca các t chc y t, nhng ngưi có ch s trng lưng cơ th

(body mass index) ≥ 25 đưc gi là tha cân (overweight or obese), trên 30 đưcgi là béo phì (obese), trên 40 là béo bnh hon (morbidly obese). Ch s trnglưng cơ th đưc tính ra t chiu cao và cân nng theo công thc: BMI = trng

lưng (tính theo kg) chia cho chiu cao (tính theo mét) bình phương





hp công thc trên vi công thc xác sut toàn phn cho P (A), tađưc:

Đnh lý 1.3. Gi s (B1, . . . , Bn) là mt phân hoch ca không gian xác sut. Khi đó ta có công thc Bayes sau:

P (Bk|A) = P (A|Bk).P (Bk)

P (A) =

P (A|Bk).P (Bk)ni=1 P (A|Bi).P (Bi)

. (1.28)

vi mi k = 1, 2, . . . , n .

Hình 1.7: Thomas Bayes (1702-1761)

Công thc Bayes rt đơn gin nhưng nó có ý nghĩa rt sâu xa. Mttrong nhng li mà rt nhiu ngưi mc phi, là ln ln gia P (A|B)

và P (B|A), coi hai con s đó như là bng nhau. Nhưng công thc






Bayes cho thy hai con s đó có th chênh lch nhau rt nhiu, nunhư P (A) và P (B) chênh lch nhau rt nhiu! Dưi đây là mt ví d

minh ha điu đó.Ví d 1.20. Đây là mt bài toán đưc 3 nhà toán hc Cassels, Shoen-berger và Grayboys đem đ 60 sinh viên và cán b y khoa ti HarvardMedical School năm 1978(2). Gi s có mt loi bnh mà t l ngưimc bnh là 1/1000. Gi s có mt loi xét nghim, mà ai mc bnhkhi xét cũng ra phn ng dương tính, nhưng t l phn ng dương

tính nhm (false positive) là 5% (tc là trong s nhng ngưi khôngb bnh có 5% s ngưi th ra phn ng dương tính). Hi khi mtngưi xét nghim b phn ng dương tính, thì kh năng mc bnhca ngưi đó là bao nhiêu? Theo bn là bao nhiêu? Hãy th t tìmcâu tr li trưc khi đc tip.

Nu bn tr li 95% (= 100% - 5%), thì câu tr li ca bn cũng

ging câu tr li ca phn ln nhng ngưi khác đưc hi. Ta hãy th phân tích k thêm v câu hi này. Nu ký hiu K là s kiên “khôngb bnh” và D là s kin phn ng dương tính, thì con s 5% làcon s P (D|K ) (xác sut có phn ng dương tính khi mà không bbnh) ch không phi P (K |D) (xác sut không b bnh khi mà cóphn ng dương tính). Đ tính P (K

|D), ta dùng công thc Bayes

P (K |D) = P (D|K ).P (K )P (D| K ).P ( K ) + P (D|K ).P (K )

. Ta có P (D|K ) = 5/100,

P (K ) = 1−1/1000 = 999/1000, và P (D| K ).P ( K )+P (D|K ).P (K ) =

(1).(1/1000) + (5/100).(999/1000) = 51/1000 (tính xp x), và bi vy: P (K |D) = (5/100).(999/1000)/(51/1000) ≈ 98%.Nhưvytrong

(2)Ngun: Cassels, Schoenberger and Grayboys, Interpretation by physicians of

clinical laboratory results. New England Journal of Medicine, 299 (1978), 999-1000.





s nhng ngưi xét nghim ra dương tính, có khong 98% s ngưilà không b bnh. Nói cách khác, khi xét nghim ra dương tính, xác

sut đ thc s mc bnh ch có 2%! Bài tp 1.15. Đưc bit có 5% đàn ông b mù màu, và 0,25% đàn bàb mù màu. Gi s s đàn ông bng s đàn bà. Chn 1 ngưi b mùmàu mt cách ngu nhiên. Hi rng xác sut đ ngưi đó là đàn ônglà bao nhiêu?

1.4 Mt s nghch lý trong xác sut

Tính toán xác sut là mt vn đ nhiu khi ht sc t nh. K ctrong nhng bài toán tưng chng như rt đơn gin, cũng có th tínhra kt qu sai mà khó phát hin sai đâu. Phn này s gm mt s"nghch lý" trong xác sut đ minh ha điu đó . Nhng nghch lý này cho thy chúng ta cn ht sc cn thn trong lúc lp mô hình tínhtoán xác sut, đc bit là xác sut có điu kin, kim tra li nhngđiu tưng chng như hin nhiên, đ tránh sai lm.

1.4.1 Nghch lý 1 (Nghch lý Simpson). Thuc nào tt hơn?

Mt ngưi nghiên cu mun xác đnh xem gia 2 loi thuc cùngđ cha 1 bnh, loi nào tt hơn. Kt qu thng kê v lưng ngưicha đưc khi bnh, phân bit theo gii tính, đưc vit dưi đây

Gii tính: N Thuc I Thuc IICha đưc 150 15

Không cha đưc 850 285





1.4. Mt s nghch lý trong xác sut

Gii tính: Nam Thuc I Thuc IICha đưc 190 720

Không cha đưc 10 180

Da vào bng thng kê trên, có 2 câu tr li trái ngưc nhau như sau cho câu hi thuc nào tt hơn:1) Thuc I đem cho 1200 ngưi dùng, ch đưc bnh cho 340 ngưi.Thuc II đem cho 1200 ngưi dùng, cha đưc 735 ngưi, như vy

thuôc II tt hơn.2) Đi vi n, t l cha đưc bnh ca Thuc I là 15%, ca ThucII là 5%. Đi vi nam, t l cha đưc bnh ca thuc I là 95%, cathuc II là 80%. Trong c hai trưng hp thì t l cha đưc bnhca thuc I cao hơn, vy nên thuc I tt hơn.

Trong hai câu tr li trên câu tr li nào đáng tin? Vì sao? Nghch

lý nm đâu?

1.4.2 Nghch lý 2. Hoàng t có ch em gái không?

Bit rng cha m ca hoàng t Romeo có 2 con (hoàng t Romeolà mt trong hai ngưi con đó). Hi xác sut đ hoàng t Romeo có

sister (ch gái hoc em gái) là bao nhiêu? Có 2 đáp án sau:1) Hoàng t có 1 ngưi anh ch em rut. Có hai kh năng: hoc ngưiđó là con trai, hoc là con gái. Như vy xác sut đ ngưi đó là congái (tc là hoàng t có sister) là 1/2.2) Có 4 kh năng cho 1 gia đình có 2 con: B,B, B,G, G,B, G,G.(B = boy = con trai, G = girl = con gái, xp theo th t con th nht

- con th hai). Vì ta bit hoàng t là con trai (đây là điu kin) nên




1.4. Mt s nghch lý trong xác sut

2) Ta coi C là điu kin, và mun tính xác sut có điu kinP (A|C ) (xác sut đ Văn Phm là th phm, khi bit rng th phm

là đàn ông). Theo công thc Bayes ta có

P (A|C ) = P (C |A).P (A)

P (C |A).P (A) + P (C |A).P (A).

trong công thc trên, P (A) là xác sut ca s kin "Văn Phm làth phm" nu như chưa có điu kin "th phm là đàn ông". Vì mt

trong hai ngưi Văn Phm và X là th phm, nên xác sut P (A)không có điu kin đây là P (A) = 1/2. Ta có P (C |A) = 1 vì ttnhiên nu Văn Phm là th phm thì th phm là đàn ông. Ngưcli, P (C |A) = 1/2 (nu X là th phm, thì th phm có th là đànông hoc đàn bà, khi mà chưa đt điu kin "th phm là đàn ông").Bi vy ta có:

P (A|C ) = 1.(1/2)

1.(1/2) + (1/2).(1/2) =

1/23/4

= 2/3,

tc là xác sut đ Văn Phm là th phm bng 2/3.

Hai cách gii trên cho 2 đáp s khác nhau, như vy (ít nht) mttrong hai cách gii trên là sai. Cách gii nào sai và sai ch nào?

1.4.4 Li gii cho các nghch lý

Nghch lý 1. Vn đ nm ch Thuc I đưc đem th cho quá itnam, quá nhiu n so vi thuc II, nên khi ly tng s các kt quca các phép th thì nó thiên v thuc II và không phn ánh đúng t

l cha đưc bnh. Kt lun 1) là sai và kt lun 2) đáng tin hơn.





Nghch lý 2. Nghch lý này có trong 1 quyn giáo trình ting Anh v xác sut. Điu đáng ngc nhiên là tác gi ca giáo trình đó nói

rng đáp án th hai đúng (tc là xác sut = 2/3) và đáp án th nhtsai. Đc k đáp án th 2, ta thy kh năng B,B thc ra không phi làmt kh năng đơn, mà là mt kh năng kép gm có 2 kh năng trongđó: hong t đưc nói đn hoc là ngưi con trai th nht, hoc làngưi con trai th hai. Như vy phi tính B,B là 2 kh năng B=H,B và B, B=H (H là hoàng t). Như th tng cng vn có 4 kh năng,

và xác sut vn là 2/4 = 1/2. Sai đây là sai trong cách đm s khnăng. (Có câu hi khác: ti sao 4 kh năng này li phi có xác sutbng nhau? Ti sao li phi có phân b xác sut đu? Câu tr li dànhcho bn đc). Nu ta đi bài toán đi mt chút thành: Mt gia đìnhcó 2 con, bit rng ít nht mt trong hai con là con trai, th hi xácsut đ có con gái là bao nhiêu? Trong bài toán này thì xác sut là

2/3 tht. Bn đc th nghĩ xem s khác nhau gia hai bài toán nm ch nào?

Nghch lý 3. Vn đ đây nm s ln ln gia các không gianxác sut trong lúc lp mô hình đ tính xác sut. Trong cách gii th nht, khi ta vit P (A) đ tính xác sut ca s kin "Văn Phm làth phm", không gian xác sut ca ta phi là không gian ΩC tt c

các kh năng (vi mt trong 2 ngưi Văn Phm và X là th phm)tha mãn điu kin "th phm là đàn ông", ch không phi là khônggian Ω ca tt c các kh năng có th xy ra (vi mt trong 2 ngưi Văn Phm và X là th phm), bt k th phm là đàn ông hay đànbà. Đ cho khi ln ln, thì trong cách gii th nht ta phi vitP C (A) = P C (A|B).P C (B) + P C (A|B).P C (B) Trong không gian Ω thì





1.5. Lut s ln

ta có P (B) = 1/2, tc là xác sut đ X là đàn ông là 1/2. Nhưngtrong không gian ΩC dùng trong cách gii th nht, thì ta phi dùng

xác sut P C ca không gian đó, và P C (B) không phi là 1/2, mà thcra là 2/3, và P C (B) = 1/3. Nói cách khác, khi bit rng mt tronghai ngưi X và Văn Phm là th phm, và bit rng th phm là đànông, thì xác sut đ X là đàn ông là 2/3 ch không còn là 1/2 na!(Vì sao vy?). Nu ta s dng các con s xác sut này trong côngthc tính xác sut toàn phn ca A trong không gian ΩC thì ta đưc:

pC (A) = (1/2).(2/3 ) + 1.(1/3) = 2/3 Tc là nu ta sa li v xác sutca B đi, thì cách gii th nht s cho cùng đáp s 2/3 như cách giith hai.

1.5 Lut s ln

Lut s ln là mt trong nhng đnh lut cơ bn nht ca lý thuyt xác sut và thng kê. dng đơn gin nht, nó có th đưcphát biu mt cách nôm na như sau: khi mt phép th đưc lpđi lp li rt nhiu ln, thì s ln cho ra mt kt qu nào đó trongtng s các ln th s phn ánh khá chính xác xác sut đ xy ra

kt qu đó trong 1 ln th. Ví d, gi s ta có mt đng tin vihai mt sp (S) và nga (N) vi xác sut hin lên bng nhau vàbng 1/2 khi tung đng tin. Gi s ta tung đi tung li đng tinnhiu ln, và đưc mt dãy các kt qu sp nga, ví d như: S NS S N S N S N N S S ... Ta gi S (n) là tn s xut hin lên mtsp sau khi tung đng tin n ln, tc là s ln hin lên mt sp

sau khi tung đng tin n ln chia cho n, ví d như theo dãy trên:





S (1) = 1, S (2) = 1/2, S (3) = 2/3, S (4) = 3/4, S (5) = 3/5, S (6) =

2/3, S ( 7 ) = 4/7, S ( 8 ) = 5/8, S ( 9 ) = 5/9, S (10) = 1/2, S (11) =

6/11, S (12) = 7/12, . . . . Các con s S (n) mà chúng ta thu đưc nóichung khác 1/2, nhưng lut s ln nói rng chúng ta có th yên tâmrng khi n tin ti vô cùng thì S (n) s tin ti 1/2: limn→∞ S (n) =

1/2.

Dưi đây chúng ta s phát biu lut s ln mt cách cht chthành đnh lý toán hc và chng minh nó, cho phân b Bernoulli.

Gi s có mt phép th nào đó có th thc hin đưc nhiu ln, và xác sut đ xy ra kt qu X trong mt ln th là mt hng s p,0 < p < 1. (Ví d: phép th là “tung xúc sc”, kt qu là “hin lên 1chm”, xác sut là p=1/6). Ta gi X k,n là s kin sau: khi thc hinn ln phép th thì X xut hin k ln trong s n ln th. Chúng ta bitrng xác sut ca X k,n tuân theo phân b nh thc:

P (X k,n) = C kn pk(1 − p)n−k. (1.29)

Ly mt s dương > 0 tùy ý sao cho 0 < p− < p + < 1. Gi X n làs kin sau: khi làm phép th n ln thì tn sut xut hin kt qu X

chênh lch so vi xác sut p không quá , tc là p − ≤ k/n ≤ p + ,trong đó k là s ln hin lên kt qu X . S kin X n là hp ca các s

kin X k,n tha mãn bt đng thc p − ≤ k/n ≤ p + , do vy:P (X n) =

n( p−)≤k≤n( p+)

C kn pk(1 − p)n−k. (1.30)

Đnh lý 1.4. Vi hai s dương p, bt kỳ tha mãn 0 < p− < p + <

1 , ta có

limn→∞

n( p−)≤k≤n( p+)C kn p

k(1

− p)n−k = 1. (1.31)





1.5. Lut s ln

Có nghĩa là, xác sut P (X n) ca s kin “sau n phép th thì tn sut

hin kt qu X sai lch so vi xác sut p ca X không quá ” tin ti 1

khi s phép th n tin ti vô cùng.Đnhlýtrêngilà dngyucalutsln cho phân b Bernoulli.

Dng mnh ca lut s ln, s đưc xét ti trong chương sau, phátbiu là tn sut k/n tin ti p khi n tin ti vô cùng hu như chc

chn (tc là vi xác sut bng 1: tp nhng dãy vô hn ln th màđiu đó sai có xác sut bng 0 trong không gian tt c các dãy vô hn

ln th).Chng minh. Chúng ta mun chng minh rng hiu

1 − P (X n) = U n + V n, (1.32)

trong đó

U n = 0≤k<n( p−)

C k

n

pk(1−

p)n−k và V n = n( p+)<k≤n

C k

n

pk(1−

p)n−k,

(1.33)tin ti 0 khi n tin ti vô cùng. Đ đánh giá V n, chúng ta có th dùngth thut sau đây: Gi λ là mt s dương bt kỳ, khi đó ta có

V n ≤

n( p+)<k≤neλ(k−n( p+))C kn p

k(1 − p)n−k

≤0≤k≤n eλ(k−n( p+))C kn pk(1 − p)n−k= e−λn

0≤k≤nC kn(eλ(1− p) p)k(e−λp(1 − p))n−k

= e−λn(eλ(1− p) p + e−λp(1 − p))n

= [e−λ(eλ(1− p) p + e−λp(1 − p))]n = f (λ)n,

(1.34)

vi f (λ) = e−λ(eλ(1− p) p + e−λp(1 − p)). Chú ý rng hàm s f (λ) có

f (0) = 1 và đo hàm f (0) = − < 0. Như vy nu ta chn λ > 0 đ





nh thì ta có 0 < f (λ) < 1, dn ti limn→∞ f (λ)n = 0. Vì V n ≤ f (λ)n

nên ta cũng có limn→∞ V n = 0. Mt cách hoàn toàn tương t, ta có

th chng minh limn→∞ U n = 0, suy ra limn→∞ U n + V n = 0. Phnchng minh này là bài tp dành cho bn đc.

Chúng ta có th m rng lut s ln cho phân b Bernoulli thànhlut s ln cho mt không gian xác sut bt kỳ vi hu hn các phnt như sau. Gi s có mt phép th, mà c mt ln th thì hin lênmt trong các kt qu A1, . . . , As, vi các xác sut P (Ai) = pi tương

ng. (

si=1 pi = 1, và Ω = A1, . . . , As lp thành mt không gianxác sut hu hn vi các xác sut P (Ai) = pi). Làm phép th đó n

ln (các ln th đc lp vi nhau), và gi ki là s ln hin lên kt quAi trong s n ln th đó. Gi B

n,i là s kin |kin − pi| < .

Đnh lý 1.5. Vi mi > 0 ta có

limn→∞ P (Bn,1 ∩ Bn,2 ∩ . . . ∩ Bn,s) = 1. (1.35)

Ghi chú 1.6. (Mt chút lch s (3)). Lut s ln đưc bit đn dngtrc giác, “càng thí nghim nhiu ln thì kt qu thng kê càng chínhxác”, t hàng nghìn năm trưc đây. Nhà toán hc và thiên văn hcngưi n Đ Brahmagupta (598-668), và sau đó nhà toán hc ngưi

Italia Gerolamo Cardano (1501-1576), có phát biu nó mà khôngchng minh. Ngưi đu tiên đưa ra chng minh toán hc cho lut sln có l là Jacob Bernoulli năm 1713, và lut s ln còn đưc gilà Đnh lý Bernoulli. Cái tên lut s ln (la loi des grands nombres)đưc Siméon Denis Poisson vit ra năm 1835, và ngày nay ngưi tahay gi theo tên đó.

(3)

Xem: http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers.





1.6. Bài tp b sung cho Chương 1

Bài tp 1.16. Suy ra đnh lý 1.5 t đnh lý 1.4.

1.6 Bài tp b sung cho Chương 1

Bài tp 1.17. Tung mt đng tin cân bng cho đn khi mt ngahin lên 3 ln. Gi A là s kin “cn tung 6 ln”. Hãy lp mt khônggian xác sut cho vn đ xác sut này, và tính xác sut ca s kin A.

Bài tp 1.18. (Bài tp ca ngành bo him). Mt công ty bo him ôtô có 20000 ngưi đăng ký bo him. Nhng ngưi đăng ký bo himđưc công ty phân loi theo 3 tiêu chun:i) Tr hay già,ii) Đàn ông hay đàn bà.iii) Có v/chng hay đc thân.Đưc bit, trong s nhng ngưi đăng ký bo him, có 6300 ngưitr, 9600 ngưi là đàn ông, 13800 ngưi có v/chng, 2700 đàn ôngtr, 6400 đàn ông có v, 2900 ngưi tr có v/chng, 1100 ngưi làđàn ông tr có v. Hi xác sut đ mt ngưi đăng ký bo him ô tôca hãng đưc chn mt cách ngu nhiên là mt ph n tr đc thânbng bao nhiêu?

Bài tp 1.19. Mt anh chàng có 2 cô bn gái A và B, và không bitlà thích cô nào hơn. Anh ta hay đi thăm các cô bn mt cách ngunhiên: ra bn xe buýt, nu gp xe buýt đi tuyn đưng đn nhà cô A trưc thì đi lên xe đó thăm cô A, còn nu gp xe đi tuyn đưng đnnhà cô B trưc thì đi thăm cô B. C hai tuyn đưng đu có xe đuđn 10 phút mt xe. Sau mt thi gian dài, anh ta nhn ra rng mình

đi thăm cô bn A nhiu gp 3 ln cô bn B. Có th gii thích bng





xác sut ti sao?

Bài tp 1.20. (S may ri). Gi s có mt loi x s ch có 100 s, t

00 đn 99, mi ln quay có 1 s trúng gii.i) Tính xác sut sao cho trong 100 ln quay, không có ln nào s 68trúng gii.ii) Tính xác sut đ sao cho trong 100 ln quay, s 99 trúng gii đúng2 ln.

Bài tp 1.21. Mt lp hc có 36 hc sinh. Hi rng xác sut đ có

hai hc sinh ca lp có cùng ngày sinh nht là bao nhiêu? (Vit côngthc đ tính s đó, và th ưc lưng xem s đó gn s nào hơn trong3 s này: 0, 50%, 1?)

Ví d 1.21. Có n ngưi chơi trò tung mũng trong mt d hi: mingưi cm 1 cái mũ ca mình, tung vào gia phòng. Sau đó mingưi nht ly mt cái mũ trong s các mũ đưc tung mt cách ngunhiên. Chng minh rng xác sut đ không có ngưi nào nht đưcđúng mũ ca chính mình là

1

2! − 1

3! +

1

4! − . . . +

(−1)n

n! .

Khi n tin ti vô cùng thì s này tin ti e−1.

Bài tp 1.22. (B đ Borel–Cantelli). Gi s (An)n∈N là mt dãy cáctp con đo đưc trong mt không gian xác sut (Ω, P ). Gi B∞ là tphp các phn t ca Ω mà nm trong mt s vô hn các tp con An

ca dãy. Chng minh rng:i) Nu

∞n=1 P (An) < ∞ thì P (B∞) = 0.

ii) Nu tn ti mt s và vô hn các tp con An ca dãy tha mãn

điu kin P (An) ≥ , thì P (B∞) ≥ .






(Gi ý: Đt Bk = tp các phn t ca Ω nm trong ít nht k tp conAn ca dãy. Khi đó P (B∞) = limk→∞ Bk. Trong trưng hp th nht,

chng minh rng k.Bk ≤ ∞n=1 P (An) vi mi k. Trong trưng hpth hai, chng minh rng P (Bk) ≥ vi mi k).

Bài tp 1.23. (T ca Bertrand). Có 3 ngăn kéo, 1 ngăn có 2 đngtin vàng, 1 ngăn có 2 đng tin bc, và 1 ngăn có 1 đng tin vàng và 1 đng tin bc. Rút ra mt ngăn kéo mt cách ngu nhiên, và lôira t ngăn kéo đó mt đng tin mt cách ngu nhiên. Gi s đưc

1 đng tin vàng. Hi xác sut đ ngăn kéo đưc rút ra là ngăn kéocha hai đng tin vàng bng bao nhiêu?

Bài tp 1.24. Có ba ngưi A, B, C b bt vào tù. Có lnh th hai trongs ba ngưi này ra. Cai tù nhn đưc lnh, nhưng đn hôm sau miđưc công b và thi hành lnh. Ngưi tù A bo cai tù: hãy nói chotôi bit tên 1 ngưi đưc th trong hai ngưi B và C đi. Cai ngc trli: anh đang có xác sut đưc th là 2/3. Nu tôi nói tên mt ngưiđưc th trong s hai ngưi B và C, thì gia anh và ngưi còn li chcòn mt ngưi đưc th na thôi, bi vy xác sut đ anh đưc ths gim xung còn 1/2. Tôi không mun xác sut đ anh đưc th bgim đi, bi vy tôi s không nói tên. Hi rng ngưi cai ngc lý lunnhư vy có đúng không?

Bài tp 1.25. Hai k trm đeo mt n, b cnh sát đui bt, bèn vtmt n đi và trà trn vào mt đám đông. Cnh sát bt gi toàn bđám đông, tng cng 60 ngưi, và dùng máy phát hin nói di (liedetector) đ điu tra xem ai trong đám đông là k trm. Bit rngđi vi k trm, xác sut b máy nghi là có ti là 85%, nhưng đi vi

ngưi vô ti, thì xác sut đ b máy nghi nhm thành có ti là 7%.





Gi s X là mt nhân vt trong đám đông b máy nghi là có ti. Tínhxác sut đ X là k trm.

Bài tp 1.26. (Bò điên). Năm 2001 Cng Đng Châu Âu có làm mtđt kim tra rt rng rãi các con bò đ phát hin nhng con b bnh

bò điên (bovine spongiform encephalopathy). Không có xét nghimnào cho kt qu chính xác 100%. Mt loi xét nghim, mà đây tagi là xét nghim A, cho kt qu như sau: khi con bò b bnh bò điên,thì xác sut đ ra phn ng dương tính trong xét nghim A là 70%,

còn khi con bò không b bnh, thì xác sut đ xy ra phn ng dươngtính trong xét nghim A là 10%. Bit rng t l bò b mc bnh bòđiên Hà Lan là 1,3 con trên 100000 con. Hi rng khi mt con bò Hà Lan phn ng dương tính vi xét nghim A, thì xác sut đ nób mc bnh bò điên là bao nhiêu?

Bài tp 1.27. (Giá du ha). Giá du ha có nhng lúc dao đng rt

mnh, có khi đi lên hơn 100% trong vòng 1 năm. Gi s rng, nutính giá theo USD ca năm 2009 (sau khi đã điu chnh theo t llm phát), thì giá du ha không bao gi xung dưi 10 USD mtthùng (dưi mc đó ngưi ta ngng sn xut du ha vì không cònlãi gì na) và không bao gi lên quá 300 USD mt thùng (trên mcđó ngưi ta dùng các loi năng lưng khác r hơn). Hi h các s

kin Gx sau đây (x=0,1,...9) có th là mt h đc lp các s kinđưc không : Gx = “năm 201x giá du ha tăng lên ít nht 50% tínht đu năm đn cui năm, tính theo USD ca năm 2009”. Gii thíchti sao?






Hình 1.8: Tranh vui v s tin hóa ca loài ngưi




Chương 2

Bin Ngu Nhiên

2.1 Bin ngu nhiên và phân b xác sut ca nó

2.1.1 Bin ngu nhiên là gì?“Bin” là cái có th thay đi. “Ngu nhiên” là khi ngưi ta chưa

xác đnh đưc cái gì đó, thì ngưi ta gi nó là ngu nhiên. Cái gì khiđã xác đnh đưc, thì thành “đnh tính”, ht ngu nhiên. Mt bin cóth là ngu nhiên vi ngưi này, nhưng không ngu nhiên vi ngưi

khác, tùy theo lưng thông tin nhn đưc. Ví d, s th ting ngoing mà ông A nói đưc là mt s xác đnh, không ngu nhiên đi viông A, nhưng nó là mt s không xác đnh, ngu nhiên vi mt ôngB nào đó.

Bin ngu nhiên có th nhn giá tr trong mi phm trù (hiu t phm trù đây theo nghĩa thông thưng ch không phi theo nghĩa

phm trù toán hc), ví d như màu sc, hình dng, phương hưng,

66




2.1. Bin ngu nhiên và phân b xác sut ca nó

v.v. Tuy nhiên, bng các ánh x (không ngu nhiên), chúng ta có th chuyn vic nghiên cu mi bin ngu nhiên v vic nghiên cu các

bin ngu nhiên nhn giá tr là các s. Bi vy đây, khi nói đn mtbin ngu nhiên mà không nói c th nó nhn giá tr đâu, chúng tas hiu là các giá tr ca nó là các con s.

Ví d 2.1. Ti thi đim đóng ca th trưng chng khoán M hôm04/09/2009, giá c phiu ca hãng phn mm máy tính Oracle (mãchng khoán: ORCL) là 21,97 USD. Nó đã đưc xác đnh và không

còn ngu nhiên. Th nhưng ti thi đim đó, thì giá c phiu caOracle cho lúc cui ngày 18/09/2009 chưa đưc bit, và nó là mtbit ngu nhiên đi vi th trưng chng khoán. Ngưi ta cho rnggiá ca nó vào ngày 18/09/2009 có th lên trên 23 USD, mà cũng cóth xung dưi 21 USD. Điu này th hin qua vic, ti thi đim cuingày 04/09/2009 , quyn mua ORCL trưc ngày 19/09/2009 vi giá

23 USD (September 2009 call option at strike price 23) có giá 0,25USD (nu như ai cũng bit chc rng giá ca ORCL vào thi đim18/09/2009 s không vưt quá 23 thì cái quyn mua đó s phi cógiá bng 0 vì không có giá tr gì), đng thi quyn bán (put option)ORCL vi giá 21 có giá là 0,30 USD. (Các thông tin v giá c c phiu và option có th xem trên rt nhiu các trang web v chng khoán).

Tương t như vi các s và các hàm s, ta có th làm nhiu phéptoán khác nhau vi các bin ngu nhiên: cng, tr, nhân, chia, ly gii hn, tích phân, hàm hp, v.v. Qua các phép toán như vy, chúngta có th sinh ra các bin ngu nhiên mi t các bin ngu nhiên chotrưc.

Ví d 2.2. Mt hc sinh thi vào đi hc phi thi 3 môn. Đim ca mi




Chương 2. Bin Ngu Nhiên

môn có th coi là 1 bin ngu nhiên. Tng s đim cũng là mt binngu nhiên, và nó là tng ca 3 bin ngu nhiên phía trưc.

Ví d 2.3. Tc đ V ca mt xe ô tô đang chy trên đưng có th coilà mt bin ngu nhiên. Nu xe đang chy mà phi phanh gp li vìphía trưc có nguy him, thì t thi đim ngưi lái xe bóp phanh chođn thi đim xe dng li, xe phi chy thêm mt mt quãng đưngcó đ dài D na. D cũng có th coi là mt bin ngu nhiên. Nó khôngphi là t l thun vi V , mà là t l thun vi bình phương ca V .

Tc là bin ngu nhiên D có th đưc sinh ra t bin ngu nhiên V theo công thc: D = k.V 2. H s k đây ph thuc vào điu kin cađưng và điu kin ca xe; nó có th coi là xác đnh nu ta bit cácđiu kin này, còn nu không thì có th coi là mt bin ngu nhiênkhác. Ví d, trong điu kin bình thưng, thì k = 0, 08m−1.s2: mtxe đang chy vi tc đ 36km/h = 10m/s thì t lúc bóp phanh đn

lúc dng li chy thêm mt 0, 08 × 102 = 8 mét, nhưng nu xe đangchy vi tc đ 108km/h = 3×36km/h, thì t lúc bóp phanh đn lúcdng li s chy thêm mt nhng 8 × 32 = 72 mét.

2.1.2 Mô hình toán hc ca bin ngu nhiên

Gi s có mt bin ngu nhiên X . Chúng ta gi s là có nhiutình hung khác nhau có th xy ra, và trong mi tình hung thì X

s nhn đưc mt giá tr nào đó. Như vy mt bin ngu nhiên có th đưc mô hình hóa bng mt hàm s X : Ω → R. đây Ω là khônggian đi din cho các tình hung có th xy ra. Các tình hung, hay các nhóm các tình hung (các tp hp con ca Ω) là các s kin, và

chúng ta có th gn cho mi s kin mt xác sut v kh năng xy






ra. Điu đó có nghĩa là Ω có th coi là mt không gian xác sut, ký hiu là (Ω, P ) vi mt đ đo xác sut P . Chúng ta luôn gi s rng,

vi mi cp s a, b ∈ R, a < b, tn ti xác sut P (a < X ≤ b) ca s kin (a < X ≤ b), hay nói cách khác, tp hp ω ∈ Ω|a < X (ω) ≤ blà tp đo đưc. Các hàm X : Ω → R tha mãn điu kin này đưc gilà hàm đo đưc trên (Ω, P ). T đó chúng ta có đnh nghĩa toán hcsau:

Đnh nghĩa 2.1. Mt bin ngu nhiên (random variable) vi giá tr

thc là mt hàm s đo đưc trên mt không gian xác sut:

X : (Ω, P ) → R. (2.1)

Đnh nghĩa 2.2. Nu ta có hai bin ngu nhiên X, Y (vi cùng mt

mô hình không gian xác sut), thì ta s nói rng X = Y theo nghĩa xác

sut, hay X = Y hu khp mi nơi , nu như s kin “ X = Y ” có xác sut bng 1 (tc là tp hp các trưng hp mà đó X = Y có xác

sut bng 0, có th b qua).

Ví d 2.4. Mt thí sinh đi kim tra trc nghim, đưc giao 5 câu himt cách ngu nhiên. Đưc bit 3 câu đu thuc loi va, và xác

sut đ thí sinh làm đúng cho mi câu là 80%, 2 câu sau thuc loikhó, và xác sut làm đúng mi câu là 50%. Mi câu làm đúng thìđưc tính 1 đim. Không gian Ω các tình hung đây gm 25 = 32

phn t, mi phn t có th đưc ký hiu bng 1 dãy 5 ch cái màmi ch cái là D (đúng) hoc S (sai). T thông tin phía trên có th suy ra xác sut ca mi phn t ca Ω, ví d như P (DDSSD) =

80%.80%.20%.50%.50% = 4/125 = 3, 2%. Bin ngu nhiên là tng s





đim, tc là hàm X : Ω → 0, 1, 2, 3, 4, 5, X ca mt dãy ch cáibng s ln ch cái D xut hin trong dãy.

Ví d 2.5. Nu A là mt s kin, thì ta có th đnh nghĩa hàm chbáo χ

A ca A như sau: χ

A = 1 khi A xy ra và χ

A = 0 khi A không

xy ra. Nu ta có mt s kin, thì hàm ch báo ca nó là mt binngu nhiên ch nhn hai giá tr 0 và 1, và ngưc li, nu ta có mtbin ngu nhiên F ch nhn 2 giá tr 0 và 1, thì nó là hàm ch báoca s kin F = 1. Nu ta biu din A như là mt tp con ca mt

không gian xác sut Ω, thì hàm ch báo ca A đưc biu din như làhàm ch báo ca tp A trong Ω:

χA

(ω) =

1 khi ω ∈ A

0 khi ω ∈ A = Ω \ A. (2.2)

2.1.3 Phân b xác sut ca bin ngu nhiênNhc li rng, nu ta có mt không gian xác sut (Ω, P ) và mt

ánh x X : (Ω, P ) → Λ t Ω lên mt không gian Λ nào đó, thì phéppush-forward theo X s bin Λ thành mt không gian xác sut, viđ đo xác sut cm sinh P X = X ∗P : theo đnh nghĩa, nu B là mttp con ca Λ sao cho tn ti P (X −1(B)) thì

P X (B) = P (X −1(B))

Trong trưng hp X : (Ω, P ) → R là mt bin ngu nhiên, tính chtđo đưc ca X (trong đnh nghĩa ca bin ngu nhiên) nói rng tnti P (X −1(]a, b])) = P (a < F ≤ b) vi mi đon thng na m ]a, b]

trên R. Sigma-đi s B sinh bi các đon thng na m trên R đưc






gi là signma-đi s Borel ca R. Khi nói đn mt phân b xác suttrên R, chúng ta s coi rng sigma-đi s tương ng chính là sigma-

đi s Borel, bi vì nói chung chúng ta s ch quan tâm đn xác sutca các đon thng, và các tp con ca R xây dng đưc t các đonthng bng các phép giao, hp, ly phn bù. Do đó ta có đnh nghĩasau:

Đnh nghĩa 2.3. Phân b xác sut (hay còn gi là phân phi xácsut ) ca mt bin ngu nhiên X (trên R ) là phân b xác sut P X trên

R , vi sigma-đi s là sigma-đi s Borel B ca R , cho bi công thc

sau:

P F (B) = P (X −1(B)) (2.3)

vi mi tp con B ca R nm trong sigma-đi s B .

Đnh lý sau cho phép hiu rõ hơn v sigma-đi s Borel:

Đnh lý 2.1. i) Mi đon thng m (b chn hay không b chn) đu

là phn t ca sigma-đi s Borel. Ngưc li, sigma-đi s sinh bi các

đon thng m cũng chính bng sigma-đi s Borel.

ii) Mi đon thng đóng đu là phn t ca sigma-đi s Borel. Ngưc

li, sigma-đi s sinh bi các đon thng đóng cũng chính bng sigma-

đi s Borel.

Chng minh. Gi s ]a, b[ là mt đon thng m b chn ca R, vi a < b. Khi đó tn ti mt dãy s đơn điu tăng a = b0 < b1 <

b2 < . . . vi limn→∞ bn = b, và ta có th vit ]a, b[= ∞n=1]bn−1, bn],

t đó suy ra ]a, b[∈ B , bi vì ]bn−1, bn] ∈ B vi mi n. Trong trưng





hp b = +∞ ta vn có th làm ht như trên đ chng minh rng]a, +∞[∈ B . Khi a = −∞, thì tn ti mt dãy s đơn điu gim

b = b0 > b1 > b2 > . . . vi limn→∞ bn = −∞, và ta có th vit] − ∞, b[=]b1, b0[∪∞n=1]bn+1, bn], t đó suy ra ] − ∞, b[∈ B . Đi vi

mt đon thng đóng [a, b], ta có ] −∞, a[∈ B , ]b, +∞[∈ B , và [a, b] =

R \ (] −∞, a[∪]b, +∞[), t đó suy ra [a, b] ∈ B . Các khng đnh ngưcli (các tp đóng sinh ra sigma-đi s B , và các tp m cũng sinh rasigma-đi s B ) nhưng cho bn đc làm bài tp.

Đnh nghĩa 2.4. Hàm phân phi xác sut ca phân b xác sut P X

trên R ca mt bin ngu nhiên X là hàm F X : R → [0, 1] cho bi công

thc

F X (x) := P (X ≤ x) = P X (] − ∞, x]). (2.4)

Tt nhiên, hàm phân phi đưc xác đnh duy nht bi phân b

xác sut. Điu ngưc li cũng đúng: Nu ta bit hàm phân phi F X ,thì ta có th tính đưc xác sut P X ca các đon thng đóng và nam ca R qua các công thc sau

P X (]a, b]) = F X (b) − F X (a), (2.5)

P X ([a, b]) = F X (b) − limx

→a

−

F X (x), (2.6)

và t đó tính đưc xác sut ca các tp con khác ca R.

Đnh lý 2.2. Hàm phân phi F X ca mt phân b xác sut tùy ý trên

R tha mãn 4 tính cht sau:

1) Đơn điu không gim: F X (x) ≥ F X (y) vi mi x ≥ y ,

2) Liên tc bên phi: lim→0+ F X (x + ) = F X (x) vi mi x ,

3) limx→−∞ F X (x) = 0 ,






4) limx→+∞ F X (y) = 1.

Ngưc li, mi hàm s thc trên R tha mãn 4 tính cht trên là hàm

phân phi ca mt phân b xác sut trên R

Chng minh. Tính cht th nht là hin nhiên: nu x < y thìF X (y) − F X (x) = P (x < X ≤ y) ≥ 0. Tính cht th hai có th phátbiu cách khác như sau: nu x1 > x2 > . . . là mt dãy s đơn điugim vi xn → x khi n tin ti vô cùng thì ta có limn→∞ F X (xn) =

F X (x).Đthyđiuđó,tacóthvit F X (xn)−F X (x) = P X (]x, xn]) =P X (

∞k=n]xk+1, xk]) =

∞k=n P X (]xk+1, xk]). Chui s dương

∞k=1

P X (]xk+1, xk])

là mt chui hi t, và bi vy phn đuôi∞k=n P X (]xk+1, xk]) ca nó

tin ti 0 khi n tin ti vô cùng. Tính cht th 3 và tính cht th 4 cóth chng minh mt cách hoàn toàn tương t. Khng đnh ngưc lilà bài tp dành cho bn đc.

Hình 2.1: Năng lưng ca các thiên thch đâm vào bu khí quyntrái đt





Bài tp 2.1. Đ th 2.1 là biu đ phân b xác sut (partial histogram,thiu phn “đuôi”) ca mc năng lưng ta ra, tính theo đơn v năng

lưng megaton, ca các thiên thch ln đâm vào bu khí quyn catrái đt(1). Hãy tính xác sut đ mt thiên thch ln đâm vào bukhí quyn ca trái đt có mc năng lưng ta ra không vưt quá 7megaton.

2.1.4 Các loi phân b xác sut trên R

Trong nhiu công vic tính toán vi bin ngu nhiên, ta có th quên đi không gian xác sut ban đu ca bin ngu nhiên đó, mà chcn bit đn phân b xác sut trên R ca nó. Các phân b xác suttrên R có th đưc chia làm 3 loi sau: ri rc, liên tc, và hn hp(na ri rc na liên tc).

Đnh nghĩa 2.5. Mt phân b xác sut P X trên R đưc gi là liên tcnu như hàm phân phi xác sut F X là hàm liên tc trên R. Nó đưc

gi là liên tc tuyt đi nu như như tn ti mt hàm s ρX : R → R+

kh tích và không âm, sao cho vi mi a ∈ R ta có

F X (a) = P X (] − ∞, a]) =

a−∞

ρX (x)dx

Hàm ρX : R → R+ tho mãn điu kin như trên gi là hàm mt đca P X .

Ghi chú 2.1. Hàm mt đ ca mt phân b xác sut liên tc tuytđi P X trên R là duy nht theo nghĩa xác sut: nu P X có hai hàm

(1)S liu ca NASA năm 1994. Mt thiên thch ln là mt thiên thch ta ra năng

lưng ít nht 1 megaton, bng 1 qu bom ht nhân nh.






mt đ ρ1 và ρ2, thì ρ1 = ρ2 hu khp mi nơi trên R, tc là tpx ∈ R, ρ1(x) = ρ2(x) có đ đo Lebesgue bng 0. Mt phân b xác

sut có th là liên tc mà không liên tc tuyt đi. (Bài tp: xây dng ví d). Tuy nhiên, trong thc t, khi ngưi ta nói đn mt phân bxác sut liên tc trên R, thưng đưc hiu là nó liên tc tuyt đi,tc là đưc cho bi mt hàm mt đ. Chú ý rng hàm mt đ chínhbng đo hàm ca hàm phân phi xác sut (hu khp mi nơi). Rtnhiu vn đ trong thc t có th đưc mô hình hóa bng các bin

ngu nhiên vi phân b xác sut liên tc, ví d như nhit đ ca nưcbin, giá du ha, sn lưng đin, trng lưng ca trng gà, v.v.

Đnh lý 2.3. Gi s X có phân b xác sut liên tc vi hàm mt đ

ρX , và f : R → R là mt đơn ánh kh vi liên tc trên R tr mt s hu

hn các đim. Khi đó Y = f (X ) cũng có phân b xác sut liên tc, vi

hàm mt đ cho bi công thc sau:

ρY (y) = ρX (x)

|f (x)| ti đim y = f (x) (2.7)

Công thc trên chng qua là công thc đi bin trong tích phân, và sinh ra t công thc df (x) = f (x)dx.

Mt đim x ∈ R đưc gi là mt đim ht ca mt phân b xác

sut P X nu như P X (x) > 0. B đ sau cho thy mt phân b xácsut là liên tc khi và ch khi nó không có đim ht:

Đnh lý 2.4. Gi s F X là hàm phân phi xác sut ca mt phân b

xác sut P X trên R.

i) Vi mi x ∈ R ta có

P X (x) = F X (x) − limy→x− F X (y). (2.8)





i) Hàm F X là hàm liên tc trên R khi và ch khi P X (x) = 0 vi mi

x ∈ R

Chng minh. i) Nu x0 < x1 < x2 < . . . là mt dãy s đơn điutăng có gii hn là x, thì ta có

limn→∞ F X (xn) = F X (x0) + limn→∞ P X (]x0, xn])

= F X (x0) + limn→∞n

k=1 P X (]xk−1, xk])

= F X (x0) +∞k=1 P X (]xk−1, xk]) = F X (x0) + P X (

∞k=1]xk−1, xk])

= F X (x0) + P X (]x0, x[) = P X (] − ∞, x[)= P X (] − ∞, x]) − P X (x) = F X (x) − P X (x),

t đó suy ra công thc trong b đ. Đ chng minh phn th hai cab đ trên, nhc li rng hàm phân phi xác sut luôn luôn liên tcbên phi. Bi vy nó liên tc khi và ch khi nó liên tc bên trái, tc làkhi và ch khi P X (x) =

F X (x)

−limy

→x− F

X (y) = 0 vi mi x ∈R.

Trong trưng hp phân b xác sut P X không liên tc, gi

K X = x ∈ R|P X (x) > 0 (2.9)

là tp hp các đim ht ca nó (tc là tp hp các đim gián đonca hàm phân phi xác sut). Khi đó K X là tp hu hn hoc cùng

lm là đm đưc, vì P X (A) =

x∈K X P X (x) ≤ 1.Đnh nghĩa 2.6. Mt phân b xác sut P X đưc gi là ri rc nu

như nó tp trung trên tp hp các đim ht ca nó: P X (AX ) = 1 ,

P X (R \ AX ) = 0.

Ví d 2.6. Phân b xác sut trên R ca bin ngu nhiên “đim kim

tra” trong ví d “bài kim tra trc nghim” mc trưc là mt phân






b ri rc tp trung 6 đim: 0,1,2,3,4,5. (Bài tp: tính các xác sutca 6 đim đó).

Gi s P X là mt phân b xác sut bt kỳ trên R, vi hàm phânphi F X . Khi đó ta có th vit:

F X (x) = DX (x) + CX (x) (2.10)

vi DX (x) = P X (] − ∞, x] ∩ K X ) gi là phn ri rc ca F X , vàCX (x) = F X (x) − DX (x) gi là phn liên tc ca F X . Phân b P X

đưc gi là hn hp nu như c hai phn ri rc và liên tc đukhác 0. Nu phn liên tc không phi là liên tc tuyt đi (không vit đưc dưi dng tích phân ca mt hàm không âm), thì ta có th tách nó tip thành tng ca phn liên tc tuyt đi và phn liên tc kỳ

d, nhưng chúng ta s không đi vào chi tit đây.

Ví d 2.7. Trong xe ô tô thưng có kim ch mc xăng, dao đng trong

khong t 0 (0%, tc là ht xăng) đn 1 (100%, bình xăng đy). Mcxăng đưc kim ch vào có th coi là mt bin ngu nhiên nhn giátr trong đon thng [0, 1] vi phân b xác sut liên tc. Tuy nhiên, mt s xe ô tô cũ, kim b hng, có lúc nó ch đúng mc xăng nhưngcó lúc nó b tc ch s 0 tuy rng xe còn xăng. Khi đó, phân b xácsut không còn là liên tc na mà là hn hp, vi "ht" ti đim 0.

Bài tp 2.2. Gi s bin ngu nhiên X có phân b xác sut liên tc vi hàm mt đ ρX sau : ρX (x) = 0 khi |x| > 1 và ρX (x) = 1 −|x| khi|x| ≤ 1. Tìm hàm mt đ ca phân b xác sut ca bin ngu nhiênY = arcsin(x).

Bài tp 2.3. Gi s bin ngu nhiên X có phân b xác sut liên tc và

đi xng, theo nghĩa X và −X có cùng phân b xác sut. Chng minh





rng hàm phân phi xác sut ca X tha mãn tính cht F X (−x) +

F X (x) = 1 vi mi x ∈ R. Điu này còn đúng không nu phân b xác

sut ca X không liên tc?

2.2 Mt s phân b xác sut thưng gp

Nhc li rng, phân b nh thc vi các tham s n, p là phân bxác sut P (k) = C kn p

k(1

− p)n. trên không gian Ω =

0, 1, . . . , n

. Nó

cũng có th đưc coi như mt phân b ri rc trên R tp trung ti cácđim 0, 1, . . . , n vi các xác sut như trên. Tương t như vy, phânb Bernoulli vi tham s p có th đưc coi như mt phân b xác suttrên R tp trung ti hai đim 0, 1 (hoc hai đim nào đó khác), vicác xác sut P (1) = p và P (0) = 1 − p. Phân b Bernoulli và phân bnh thc là nhng phân b rt hay gp trong thc t. đây, chúng ta

s tho lun thêm mt s phân b ri rc và liên tc ph bin kháctrên R.

2.2.1 Phân b hình hc và phân b nh thc âm

Đnh nghĩa 2.7. Phân b hình hc vi tham s p ( 0 ≤ p ≤ 1 ) là

phân b xác sut ri rc tp trung ti tp hp các s t nhiên, cho bicông thc sau:

P (k) = p(1 − p)k−1 ∀ k ∈ N. (2.11)

Ý nghĩa ca phân b hình hc là: nó là phân b xác sut ca “sln th cho đn khi thành công”, nu như xác sut thành công ca

mi ln th là p.





2.2. Mt s phân b xác sut thưng gp

Ví d 2.8. Mt ngưi chơi trò tung vòng vào c chai, tung đn baogi trúng thì thôi. Xác sut đ tung trúng mi ln là p. Gi T là s ln

phi tung cho đn khi tung trúng. Khi đó T là mt bin ngu nhiênnhn giá tr trong N. Xác sut đ sao cho tung k − 1 ln đu trưt,nhưng ln th k trúng, là (1 − p)k−1 p. Như vy phân b xác sut caT chính là phân b hình hc vi tham s p.

Nu thay vì tính s ln th cho đn khi có 1 ln thành công, tatính tng s ln th tht bi k cho đn khi có tng cng r ln thành

công (r ∈ N) thì ta có mt bin ngu nhiên mi, nhn giá tr trongZ+, vi phân b xác sut sau:

P (k) = C kk+r−1 pr(1 − p)k

Nh thc Newton C kk+r−1 trong công thc trên là s cách chn rar−

1 phn t t tp hp

1, 2, . . . , k + r−

1. (Mi cách chn như vy

ng vi mt tình hung, vi k ln tht bi và r − 1 ln thành côngtrong s k + r − 1 ln th đu tiên, và ln th th k + r thành công).Các nh thc Newton C kk+r−1 còn có th vit dưi dng C kk+r−1 =(k+r−1).....(r+1).r

k! = (−1)k (−r).(−r−1).....(−r−k+1)

k! = (−1)kC k−r,vàchúngxut hin trong khai trin Taylor sau:

(1 − q )−r = ∞k=0

(−1)kC k−rq k

Trong khai trin Taylor trên, nu đt q = 1 − p và nhân c hai v vi pr, thì ta đưc

1 =∞

k=0

(

−1)kC k

−r p

r(1

− p)k =

∞

k=0

P (k)





Chú ý rng khai trin Taylor trên có giá tr (và hi t khi |q | < 1) ckhi mà r > 0 không phi là s nguyên. Các công thc trên dn đn

đnh nghĩa sau:Đnh nghĩa 2.8. Gi s 0 < p < 1 và r > 0. Khi đó phân b xác sut

ri rc cho bi công thc

P (k) = C kk+r−1 pr(1 − p)k = (−1)kC k−r p

r(1 − p)k (2.12)

vi mi k ∈ Z+ đưc gi là phân b nh thc âm vi các tham s r và

p.

Tt nhiên, phân b hình hc có th coi là trưng hp đc bit caphân b nh thc âm, vi r = 1 (và trên N thay vì trên Z+, tc là cócng thêm 1 vào bin ngu nhiên).

Bài tp 2.4. Kim tra công thc sau: hàm phân phi xác sut ca

phân b hình hc vi tham s p cho bi công thc F (x) = 0 nux < 0 và F (x) = 1 − (1 − p)[x] nu x ≥ 0. đây [x] là phn nguyênca s x.

2.2.2 Phân b Poisson

Đnh nghĩa 2.9. Mt bin ngu nhiên X đưc gi là có phân b Pois-son (đc là Poa-Sông) vi tham s λ , nu như các giá tr ca nó là các

s nguyên không âm, và vi mi k ∈ Z+ ta có:

P (X = k) = λk

k!e−λ. (2.13)

Ghi chú 2.2. Phân b Poisson mang tên ca nhà toán hc và vt lý

ngưi Pháp Siméon Denis Poisson (1781–1840). Trong lý thuyt xác






sut, Poisson đưc bit đn nhiu nht bi phân b Poisson, và quá

trình Poisson (mt quá trình ngu nhiên ng vi phân b này). Tên

gi lut s ln (ca các lut s ln, mà chúng ta s tìm hiu trongChương 4) cũng là do Poisson đt ra.

Hình 2.2: Siméon Denis Poisson

Phân b Poisson là gii hn ca phân b nh thc vi các tham s





p = λ/n và n, khi n tin ti vô cùng. Tht vy, ta có

C k

n

(λ/n)k(1−

λ/n)n−k = n!

k!(n − k)!(λ/n)k(1

−λ/n)n−k

= λk

k!

n(n − 1) . . . (n − k + 1)

nk (1 − λ/n)−k(1 − λ/n)n.

Khi n tin ti vô cùng thì (n(n−1) . . . (n− k + 1)/nk)(1−λ/n)−k tinti 1 (k đây là c đnh) và (1 − λ/n)n tin ti e−λ, bi vy ta có

limn→∞ C

k

n.(λ/n)

k

(1 − λ/n)

n

−k

=

λk

k! e−λ

. (2.14) Xem đ th minh ha trên hình 2.3 cho trưng hp λ = 3, 5, n = 35, p = 0, 1.

Mô hình phân b Poisson là mô hình thưng đưc dùng cho cácbin ngu nhiên dng “s s kin xy ra trong mt khong thi giannào đó”.

Ví d 2.9. Bin ngu nhiên “s v tai nn giao thông xy ra trongmt ngày” mt vùng nào đó có th đưc mô hình hóa bng phânb Poisson. Ta s gi s các tai nn giao thông xy ra mt cách ngunhiên, đc lp vi nhau, và trung bình mi ngày có λ v tai nn. Tas chia 24 ting đng h trong ngày thành n khong thi gian (n là

mt s rt ln), đ sao cho có th coi rng trong mi khong thigian có nhiu nht 1 v giao thông xy ra, và kh năng xy ra tai nngiao thông trong mi khong thi gian bng λ/n. Khi đó tng s tainn xy ra trong ngày tuân theo phân b nh thc vi các tham sn, p = λ/n, và khi cho n tin ti vô cùng ta đưc phân b Poisson.Tt nhiên phân b Poisson không th là phân b xác sut chính xác

ca vn đ (vì s ngưi là hu hn, và s tai nn b chn trên bi






Hình 2.3: Các phân b Poisson(3.5) và Binomial(35,0.1)

s ngưi ch không ln tuỳ ý đưc), nhưng nó là phân b gn đúngthun tin cho vic tính toán.

2.2.3 Phân b đu (trưng hp liên tc)

Đnh nghĩa 2.10. Gi s a và b là hai s thc, vi b > a. Khi đó phân

b đu (uniform distribution) trên đon thng ]a, b[ là phân b xác





sut liên tc vi hàm mt đ ρ(x) sau:

ρ(x) = 1

b−a khi a ≤ x ≤ b0 khi x < a hoc x > b

. (2.15)

Phân b xác sut đu trên đon thng ]a, b[ hay đưc ký hiu làU (a, b).

Ghi chú 2.3. Trong đnh nghĩa trên, thay vì ly đon thng m ]a, b[,có th ly đon thng đóng [a, b] hoc đon thng na m ]a, b] hoc[a, b[ cũng đưc. V mt xác sut không có gì thay đi.

Ví d 2.10. V trí ca mt ngưi đi b trên mt đon đưng có th đưc mô hình hóa bng mt bin ngu nhiên vi phân b đu, nunhư ta không có thông tin gì ngoài thông tin ngưi đi b đang trên

đon đưng đó.

Khái nim phân b đu có th m rng lên trưng hp nhiuchiu: không gian xác sut là mt min trong Rn (n ≥ 2), và xác sutca mt min con t l thun vi th tích (n chiu) ca min con đó.

Bài tp 2.5. Gi s X có phân b đu U (0, 1), và Y là mt bin ngunhiên bt kỳ. Chng minh rng tn ti mt hàm s g sao cho g(X ) vàY có cùng phân b xác sut. (Bài tp này có ý nghĩa thc t trong viclàm gi lp (simulation) các bin ngu nhiên: dùng random numbergenerator (chương trình to s ngu nhiên) trên máy tính đ gi lpmt bin ngu nhiên vi phân b đu U (0, 1), ri qua đó gi lp đưc

mi phân b xác sut, qua các hàm s thích ng).






2.2.4 Phân b normal

Đnh nghĩa 2.11. Phân b xác sut normal (còn gi là phân b chun , hay phân b Gauss ) trên R vi trung đim µ và đ lch chun σ là

phân b liên tc vi hàm mt đ sau:

ρ(x) = 1

σ√

2πexp(−(x − µ)2

2σ2 ). (2.16)

Kýhiuthưngdùngđchphânphixácsutnormallà: N (µ, σ2).

Phân b normal N (0, 1) (vi µ = 0, σ2

= 1) đưc gi là phân b nor-mal chun tc .

Hình 2.4: Hàm mt đ ca phân b normal

Đ th ca hàm mt đ ca phân b normal có hình cái chuông, và bi vy phân b normal còn đưc gi mt cách nôm na là phânb hình cái chuông. Trung đim ca cái chuông này chính là đim

x = µ, và đ cao ca chuông chính bng 1

σ√ 2π. Nu

σ càng nh thì





chuông càng cao và càng “hp”, và ngưc li σ càng ln thì chuôngcàng thp và càng bè ra.

Hình v minh ha 2.4 cho thy hu ht xác sut ca mt phânb normal nm trong đon [µ − 3σ, µ + 3σ]. Ch có không đn 0,3%nm ngoài đon đó. Nói cách khác, nu X là mt bin ngu nhiên cóphân b xác sut normal vi các tham s µ, σ, thì vi xác sut 99,7%ta có th tin rng giá tr ca X nm trong đon [µ − 3σ, µ + 3σ]:P (µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 99, 7%.

Phân b normal là mt trong nhng phân b xác sut quan trngnht, vì nhiu phân b xác sut gp trong thc t có dáng điu kháging phân b normal, ví d như phân b ca chiu cao ca đàn ông,phân b ca ch s IQ (ch s trí tu), phân b ca giá chng khoántrong tương lai, v.v. Khi n tin ti vô cùng và p c đnh, thì dáng điuca phân b nh thc vi các tham s n, p cũng ngày càng gn ging

phân b normal. Ví d, ly p = 0, 9. Khi n nh thì phân b nh thc vi các tham s n và p = 0, 9 có dáng điu khác xa phân b normal,nhưng khi n = 100, thì dáng điu ca phân b nh thc trông đã rtgn ging phân b normal, như th hin trên Hình 2.5.

Các đnh lý gii hn trung tâm mà chúng ta s đ cp đn trongChương 4 s cho chúng ta cơ s lý thuyt đ hiu ti sao có nhiu

phân b xác xut trong thc t trông ging phân b normal.

Ví d 2.11. Hình 2.6 là biu đ tn s (histogram) ca huyt ápca ngưi, trong mt thí nghim đo huyt áp 1000 ngưi. Tn s(frequency) ca mt giá tr tc là s ln xut hin giá tr đó trongdãy s các kt qu. Nu chúng ta coi không gian xác sut đây là

có 1000 phn t, vi xác sut ca mt phn t là 1/1000, thì bng






Hình 2.5: Phân b nh thc vi n = 100, p = 0, 9

tn s trên cho ta bng phân b xác sut ri rc ca bin ngu nhiên"huyt áp" H : xác sut ca s kin H = x bng tn sut (relativefrequency (2)) ca x. Tn sut là tn s chia cho tng s (tc là chia

(2)

T frequency ting Anh va có nghĩa là tn sut va có nghĩa tn s. Đ phân





cho 1000 đây). Vì đ th có hình gn ging hình cái chuông, nên tathy phân b xác sut ca bin "huyt áp" trong thí nghim này có

th đưc xp x khá tt bng mt phân b normal.

Hình 2.6: Biu đ tn s huyt áp

Ghi chú 2.4. Đ có mt phân b xác sut gn ging phân b normal,cn phi có mt s “thun nht” nào đó trong bin ngu nhiên. Ví d, nu ta có 1 thùng táo chín cùng mt ging táo, thì khi xét binngu nhiên “đưng kính ca qu táo” trên thùng táo đó, ta có th đưc mt phân b gn ging phân b normal. Nhưng nu ta trn 2thùng táo thuc 2 ging táo khác nhau, mt ging táo to mt gingtáo nh, thì phân b xác sut ca bin “đưng kính” trong đng táo

bit, tn sut có khi đưc gi là relative frequency, hoc là frequency rate.






trn ln này không còn là normal đưc na, mà nó phi có 2 “đnh”,1 đnh ng vi đưng kính trung bình ca ging táo to và 1 đnh ng

vi đưng kính trung bình ca ging táo nh. Bài tp 2.6. Gi s X là mt bin ngu nhiên tuân theo lut phân bnormal N (µ, σ2). Chng minh rng bin ngu nhiên Z = (X − µ)/σ

tuân theo phân b normal chun tc N (0, 1).

2.2.5 Phân b mũ

Đnh nghĩa 2.12. Phân b mũ (exponential distribution) vi tham s

λ là phân b xác sut liên tc tuyt đi trên R cho bi hàm mt đ sau:

ρ(x) =

λe−λx khi x > 0

0 khi x ≤ 0. (2.17)

Hàm phân b xác sut F ca phân b này như sau: F (x) = 0 khix ≤ 0, và khi x > 0 thì

F (x) =

x0

λe−λtdt = 1 − e−λx. (2.18)

Phân b mũ có th đưc xem như là dng liên tc ca phân b

hình hc: phân b hình hc là ri rc còn phân b mũ là liên tc,nhưng hàm phân phi xác sut ca hai phân b này có dáng điutương t nhau.

Phân b mũ có th đưc dùng đ làm mô hình xác sut cho nhngbin ngu nhiên kiu “khong cách gia hai ln xut hin”, ví d như:khong cách thi gian gia hai cú đin thoi gi đn, khong cách

gia hai gen đt bin k tip trên mt di DNA, v.v.





Bài tp 2.7. Gi s bin ngu nhiên X có phân b mũ vi tham s λ, và c > 0. Chng minh rng cX cũng có phân b mũ vi tham s λ/c.

Bài tp 2.8. Gi s bin ngu nhiên X có phân b mũ vi tham s λ, và s và t là hai s dương. Chng minh rng

P (X > s + t|X > s) = P (X > t)

Gii thích ti sao đng thc này gi là tính cht không có trí nh (lack of memory property) ca phân b mũ.

Bài tp 2.9. Gi s X là mt bin ngu nhiên liên tc vi hàm phânphi xác sut liên tc f = F X . Chng minh rng:i) f (X ) có phân b xác sut đu trên đon thng [0, 1].ii) − ln f (X ) có phân b mũ.

2.2.6 Phân b Pareto

Vilfredo Pareto (1848–1923) là mt nhà kinh t ngưi Italia. Ôngta quan sát thy rng, phân b tài sn trên th gii rt không đu, và “80% tài sn là do 20% ngưi làm ch” (80% nhân dân còn lich làm ch 20% tài sn). Quan sát này mang tên nguyên tc Pareto

hay nguyên tc 80-20 (có khi nó còn tr thành nguyên tc 90-10).

Pareto đưa ra mô hình phân b xác sut liên tc hóa sau cho binngu nhiên “giá tr tài sn ca mt ngưi”:

Đnh nghĩa 2.13. Phân b Pareto vi tham s α > 0 là phân b liên

tc trên R vi hàm mt đ sau:

ρ(x) =

α

xα+1 khi x ≥ 1

0 khi x < 1. (2.19)






Hình 2.7: Vilfredo Pareto

Phân b Pareto còn đưc dùng làm mô hình phân b xác sut gnđúng cho rt nhiu bin ngu nhiên khác, v d như: kích thưc ca

các ht cát, các thiên thch, các khu dân cư, d tr du ha ca cácm du, mc đ thit hi ca các v tai nn, v.v.

Bài tp 2.10. Chng minh rng nu X có phân b Pareto vi tham sα, và Y = X s vi s > 0, thì Y cũng có phân b Pareto, và tìm thams ca phân b này.

Bài tp 2.11. Gi s X có phân b xác sut đu U (0, 1). Chng minh





rng Y = 1/(1 − X ) có phân b Pareto vi tham s α = 1.

2.3 Kỳ vng ca bin ngu nhiên

2.3.1 Trưng hp ri rc

Khi ta có mt bin ngu nhiên, ta có th nghiên cu các tính cht,đc trưng ca nó, đ rút ra các thông tin, kt lun nào đó. Mt trong

nhng đc trưng quan trng nht là giá tr kỳ vng.Đnh nghĩa 2.14. Giá tr kỳ vng ca mt bin ngu nhiên X , ký hiu

là E(X ) , chính là trung bình cng ca bin ngu nhiên đó trên không

gian xác sut các tình hung.

T đnh nghĩa có th suy ra đưc rng, hai bin ngu nhiên có

cùng phân b xác sut trên R thì có cùng kỳ vng. Bi vy, thay vì nói v kỳ vng ca mt bin ngu nhiên, ta cũng có th nói v kỳ vng

ca mt phân b xác sut trên R.

Trong trưng hp không gian xác sut các tình hung là mt tphp hu hn hoc đm đưc, Ω = ω1, ω2, . . . vi các xác sut P (ωi)

(i P (ωi) = 1), thì công thc tính giá tr kỳ vng (trung bình cng)

ca mt bin ngu nhiên X : Ω → R là

E(X ) =i

X (ωi)P (ωi). (2.20)

Ví d 2.12. Trò chơi đ (mt trò đánh bc): trong 100 s đ s ch có 1s thng, 99 s thua. Thng thì đưc 70 ln tin đt cc. Thua thì mt

tin đt cc. Nu đt cc T tin, thì kỳ vng s tin nhn li đưc là





2.3. Kỳ vng ca bin ngu nhiên

99%×0+1%×70.T = 0, 7.T . Kỳ vng lãi (l) là 0, 7.T −T = −0, 3.T .Tc là đt cc T tin chơi đ, thì kỳ vng là b thua 0, 3.T .

Ví d 2.13. Giá tr kỳ vng ca phân b Poisson P (X = k) = λk

k! e−λlà E(X ) = λ. Tht vy, E(X ) =

k kP (X = k) =

k ke−λ λk

k! =

e−λk≥1

λk

(k−1)! = e−λλ

k≥1λk−1

(k−1)! = e−λλeλ = λ.

Ví d 2.14. Giá tr kỳ vng ca phân b hình hc P (T = k) = p(1 − p)k−1 là

E(T ) =

∞k=1

k.p.(1 − p)k

−1

= 1/p.

Điu này phù hp vi suy lun trc giác rng, nu xác sut đ ném vòng mt ln trúng c chai là p, thì trung bình phi ném vòng 1/p

ln mi trúng c chai.

Ghi chú 2.5. Trong trưng hp không gian xác sut ri rc Ω =

ω1, ω2, . . . có vô hn các s kin, khi đnh nghĩa kỳ vng, chúngta đòi hi chui

∞i=1 X (ωi).P (ωi) phi là chui hi t tuyt đi,

có nghĩa là chui∞

i=1 |X (ωi)|.P (ωi) phi hi t. Trong trưng hpchui

∞i=1 X (ωi).P (ωi) không hi t tuyt đi, thì kỳ vng không

đưc xác đnh hoc là bng vô cùng. Lý do đ đòi hi điu kin hi ttuyt đi là, chúng ta mun tng ca chui ∞

i=1 X (ωi).P (ωi) phi

hu hn và không ph thuc vào th t ca các s trong tng, tc lànu có thay đi cách đánh s các s kin, thì vn phi ra cùng mttng. Các chui tha mãn điu kin này chính là các chui hi ttuyt đi.

Đnh lý 2.5. Mt s tính cht cơ bn ca giá tr kỳ vng:

i) Kỳ vng ca mt hnh s c (bin ngu nhiên ch nhn 1 giá tr) chính





là hng s đó:

E(c) = c. (2.21)

ii) Tuyn tính: Nu X, Y là hai bin ngu nhiên và a, b là hai hng sthì

E(aX + bY ) = aE(X ) + bE(Y ). (2.22)

iii) Đơn điu: Nu X ≥ 0 thì E(X ) ≥ 0. Tng quát hơn,

X ≥

Y ⇒

E(X ) ≥

E(Y ). (2.23)

Đnh lý trên đúng trong trưng hp tng quát, khi mà các giá trkỳ vng đưc xác đnh. Chng minh ca nó trong trưng hp ri rctương đi hin nhiên.

Khi chúng ta s dng hai mô hình không gian xác sut khác nhau

đ nghiên cu cùng mt bin ngu nhiên, thì không phi vì th màkỳ vng ca nó thay đi. Nói mt cách chính xác hơn, ta có:

Đnh lý 2.6. Gi s X : (Ω, P ) → R là mt bin ngu nhiên vi

không gian xác sut Ω , và φ : (Ω1, P 1) → (Ω, P ) là mt ánh x bo

toàn xác sut t mt không gian xác sut (Ω1, P 1) lên (Ω1, P 1). Đt

X 1 = X

φ : (Ω1, P 1)

→ R là bin ngu nhiên ging X nhưng vi

không gian xác sut (Ω1, P 1). Khi đó

E(X 1) = E(X ). (2.24)

Đnh lý trên cũng đúng trong trưng hp tng quát. Chng minhca nó tương đi hin nhiên trong trưng hp Ω và Ω1 là các không

gian xác sut ri rc, và là bài tp dành cho bn đc.






Bài tp 2.12. Mt doanh nghip đu tư phát trin mt sn phm mi,xác sut thành công là 30%. Chi phí đu tư b ra là 100 nghìn USD.

Nu không thành công thì mt chi phí đu tư mà không thu v đưcgì, nhưng nu thành công thì thu v đưc 1 triu (trưc khi tr đi chiphí đu tư). Tính kỳ vng li nhun t v đu tư này.

Bài tp 2.13. Xây dng mt ví d đơn gin vi hai bin ngu nhiênX, Y ri rc sao cho E(XY ) = E(X )E(Y ).

Bài tp 2.14. Trong mt r có 99 qu bóng đánh s t 1 đn 99. Lôi

ra t trong r 5 qu bóng mt cách ngu nhiên. Gi X là s nh nhthin lên trên 5 qu bóng đưc lôi ra, và Y là s ln nht hin lên.i) Tính phân b xác sut ca các bin ngu nhiên X và Y .ii) Chng minh rng, vi mi m, n ∈ N, m ≤ n, ta có

nk=m C mk =

C m+1n+1 .

iii) Dùng ii) đ tính E(X ).

Bài tp 2.15. Mt ngưi tp bóng r, đng t mt ch ném bóng vàor 6 ln. Xác sut ném trúng mi ln là 2/3. Gi X là s ln némtrúng, Y là s ln ném trưt, và Z = X − Y . Hãy tính kỳ vng E(Z )

ca Z bng hai cách khác nhau: mt cách thông qua phân b xácsut ca Z , và mt cách không dùng đn phân b xác sut ca Z .

Bài tp 2.16. (Entropy). Gi s có 1 trò chơi gia hai ngưi A và Bnhư sau: A chn 1 s t nhiên trong các s t 1 đn 2n (n là mt sc đnh nào đó), và B phi tìm xem là s nào. B có th hi A bt c câu hi nào v s mà A chn, mà có th phát biu li dưi dng “sđó có thuc mt tp con X nào đó ca tp các s t nhiên trên hay không, và A s tr li “có” hoc “không” cho các câu hi ca B. (Ví d

có th hi: s đó có ln hơn 5 hay không, là s chn hay không, v.v.)





i) Ch ra mt chin thut (m cách hi), đ sau khi hi đúng n ln, Btìm đưc s mà A chn. (S n đây đưc gi là entropy , hay là lưng

thông tin).ii) Chng minh rng, vi bt kỳ chin thut nào ca B, thì kỳ vng vs ln phi hi cho đn khi tìm đưc s mà A chn là mt s ln hơnhoc bng n.(Đu tiên hãy th làm cho các trưng hp n = 2, n = 3, ri làm chotrưng hp tng quát).

2.3.2 Trưng hp tng quát: tích phân trên không gianxác sut

Trong trưng hp tng quát, công thc tính giá tr kỳ vng đưc vit dưi dng tích phân Lebesgue ca X trên không gian xác sut

(Ω, P ):E(X ) =

Ω

XdP. (2.25)

Đnh nghĩa ca tích phân Lebesgue như sau. Gi s có mt hàms F : (Ω, P ) → R đo đưc trên mt không gian xác sut (Ω, P ) viđ đo xác sut P . Nhc li rng, tính cht đo đưc có nghĩa là tn tiP (F −1(]a, b])) vi mi a, b

∈R, a < b.

Trưc ht ta xét trưng hp F là mt hàm b chn: tn ti mt sdương M ∈ R+ sao cho |F (ω)| < M vi mi ω ∈ Ω.

Mt phân hoch (s chia nh) ca đon thng ] − M, M ] là mtdãy s a0 = −M < a1 < a2 < . . . < an = M hu hn đơn điu tăngnào đó, sao cho s đu bng −M và s cui bng M . Nói cách khác,

ta chia đon thng ] − M, M ] thành mt hp không giao nhau ca






các đon thng na m ]ai, ai+1]. Khi có mt phân hoch như vy, ký hiu là σ, ta có th lp hai s sau:

I σ(F ) =ni=0

ai.P (F −1(]ai, ai+1])), (2.26)

và

J σ(F ) =

ni=0

ai+1.P (F −1(]ai, ai+1])). (2.27)

Ký hiu Σ là tp hp tt c các phân hoch ca đon thng ] −M, M ]. D thy rng

I σ(g) ≤ J δ(F ) ∀ σ, δ ∈ Σ.

(Bài tp: Chng minh bt đng thc trên). Hơn na, nu phân hochσ tha mãn tính cht ai+1

−ai < vi mi i, thì ta cũng có J σ(g)

−I σ(g) < . T đó suy ra supσ∈Σ I σ(F ) = inf δ∈Σ J δ(F ). Theo đnhnghĩa, tích phân Lebesgue ca F trên (Ω, P ) chính là giá tr chungđó:

ΩF dP = sup

σ∈ΣI σ(F ) = inf

δ∈ΣJ δ(F ). (2.28)

Trong trưng hp F không b chn, thì đu tiên ta thay F bngcác hàm b chn

F M,N (ω) := min(max(−N, F (ω)), M ), (2.29)

(M, N > 0), ri đnh nghĩa

Ω F dP = limM,N →+∞ Ω F M,N dP (2.30)





nu như gii hn đó tn ti. Trong trưng hp gii hn đó tn ti và hu hn, thì ta nói F là hàm kh tích. Kh tích có nghĩa là đnh

nghĩa đưc tích phân, và các cách đnh nghĩa khác nhau (qua cáccách ly gii hn khác nhau) cho cùng mt kt qu hu hn. HàmF kh tích khi và ch khi giá tr tuyt đi ca nó có tích phân huhn:

Ω |F |dP < ∞. (Đây là mt đnh lý trong gii tích, chng minh

không khó).

Trong trưng hp Ω là mt min trong Rn vi th tích bng

1, phân b xác sut P là phân b đu trên đó (xác sut ca mtmin con ca Ω là th tích ca min con đó), và F là mt hàm liêntc b chn, thì tích phân Lebesgue trùng vi tích phân (Riemann)nhiu chiu thông thưng. Trong trưng hp tng quát, thì tích phânLebesgue là m rng ca khái nim tích phân Riemann.

Tt nhiên, trong trưng hp Ω =

ω1, ω2, . . .

là mt không gian

xác sut ri rc, ta có Ω

F dP =i

F (ωi).P (ωi), (2.31)

và (nu Ω có vô hn phn t) F kh tích khi và ch khi chui

iF (ωi).P (ωi)

hi t tuyt đi.

Tương t như tích phân Riemann thông thưng, tích phân Lebesguetrên không gian xác sut có tính cht đơn điu, tuyn tính, và giaohoán vi phép ly gii hn ca mt dãy hàm hi t đu:

Đnh lý 2.7. Gi s F, G và F n là các hàm đo đưc trên mt không

gian xác sut (Ω, P ).






i) Nu F ≥ 0 (hu khp mi nơi trên Ω ) thì

Ω F dP ≥ 0. Tng quát

hơn, nu F ≥ G thì

ΩF dP ≥

ΩGdP.

ii) Nu F n hi t đu đn F trên Ω , có nghĩa là limn→∞ supω∈Ω |F n(ω)−F (ω)| = 0, thì limn→∞ F ndP =

Ω FdP.

iii) Vi hai s thc a, b bt kỳ, ta có Ω

(aF + bG)dP = a

Ω

F dP + b

Ω

GdP. (2.32)

Hai khng đnh đu tiên ca đnh lý trên suy ra trc tip t đnh

nghĩa ca tích phân Lebesgue. Khng đnh th ba có th kim tra trctip d dàng trong trưng hp F và G ch nhn mt s hu hn cácgiá tr. Trong trưng hp tng quát, ta có th xp x F và G bng cáchàm ch nhn mt s hu hn các giá tr, sau đó ly gii hn.

Đnh lý sau, gi là đnh lý hi t b chn Lebesgue (Lebesgue dom-inated convergence theorem), là mt đnh lý hay đưc s dng trong vic nghiên cu các tích phân Lebesgue:

Đnh lý 2.8 (Lebesgue). Gi s F n : (Ω, P ) → R là mt dãy hàm đo

đưc trên không gian xác sut (Ω, P ) tha mãn hai điu kin sau:

i) |F n| ≤ G vi mi n , trong đó G là mt hàm kh tích trên Ω.

ii) F n hi t hu khp mi nơi đn mt hàm đo đưc F trên Ω , có

nghĩa là tp các đim ω ∈ Ω sao cho limn→∞ F n(ω) = F (ω) có đ đobng 1.

Khi đó ta có Ω

F dP = limn→∞

Ω

F ndP. (2.33)

Sơ lưc chng minh. Vì |F n| ≤ G nên ta cũng có |F | ≤ G hu

khp mi nơi. Ly mt s δ > 0 nh tùy ý. Đt An = ω ∈ Ω||F n(ω) −Sputnik Education 99




F (ω)| > δ . Ta có

| Ω F dP

− Ω F ndP

| ≤ Ω |F

−F n

|dP

≤ Ω\An

δdP +

An

2GdP ≤ δ + 2

An

GdP.

Đ chng minh | Ω F dP − Ω F ndP | tin ti 0 khi n tin ti vô cùng,ta ch cn chng minh

An

GdP tin ti 0 khi n tin ti vô cùng vimi δ . Vì F n hi t hu khp mi nơi đn F trên Ω, nên tp hp các

đim mà nm trong vô s các tp An có đ đo bng 0. Do đó P (An)tin ti 0 khi n tin ti vô cùng (xem khng đnh th hai ca Bài tp1.22), t đó suy ra

An

GdP tin ti 0 khi n tin ti vô cùng.

Đnh lý 2.6 v s bo toàn giá tr kỳ vng dưi ánh x bo toànxác sut có th đưc phát biu li dưi dng đnh lý v s bo toàntích phân Lebesgue dưi dánh x bo toàn xác sut:

Đnh lý 2.9. Gi s F : (Ω, P ) → R là mt hàm kh tích trên không

gian xác sut (Ω, P ) , và φ : (Ω1, P 1) → (Ω, P ) là mt ánh x bo toàn

xác sut. Khi đó F φ là hàm kh tích trên (Ω1, P 1) và Ω1

(F φ)dP 1 =

Ω

FdP. (2.34)

Chng minh ca đnh lý trên suy ra trc tip t đnh nghĩa tíchphân Lebesgue.

2.3.3 Kỳ vng ca phân b xác sut trên R

Đôi khi, ta s ký hiu tích phân Ω F dP thành ω∈Ω F (ω)dP , hoc

là Ω F (ω)dP (ω), đ ch rõ hơn v vic ly tích phân theo bin nào.






Theo đnh nghĩa, kỳ vng ca mt phân b xác sut P X trên Rlà x∈R

xdP X .

Đnh lý 2.10. i) Kỳ vng ca mt bin ngu nhiên X bng kỳ vng ca

phân b xác sut P X ca bin ngu nhiên đó:

E(X ) =

x∈R

xdP X . (2.35)

ii) Nu P X là mt phân b liên tc vi hàm mt đ ρX , thì ta có:

E(X ) = ∞

−∞xρX (x)dx. (2.36)

iii) Nu g là mt hàm s thc thì

E(g(X )) =

x∈R

g(x)dP X =

∞−∞

g(x)ρX (x)dx. (2.37)

Khng đnh đu tiên ca đnh lý trên chng qua là trưng hp

đc bit ca tính cht bo toàn kỳ vng qua ánh x bo toàn xácsut. Tht vy, ta có th vit X = Id X , trong đó Id là hàm đngnht trên R : I d(x) = x. Do đó kỳ vng ca X bng kỳ vng ca hàmId trên R vi phân b xác sut P X , và ta có công thc (2.35). Khngđnh th hai là h qu ca khng đnh th nht trong trưng hp liêntc tuyt đi. Khng đnh th ba cũng suy ra t tính cht bo toànkỳ vng qua ánh x bo toàn xác sut, tương t như khng đnh th nht.

Ví d 2.15. Giá tr kỳ vng ca phân b xác sut normal N (µ, σ2)

bng µ.

Ví d 2.16. Gi s giá 1kg vàng vào thi đim T là 35000 (USD).

Ti thi đim T , thì giá 1kg vàng cho thi đim T + 1 chưa đưc





bit, và có th coi là mt bin ngu nhiên X . Gi s rng X có phânb (gn như) normal vi kỳ vng 35000 và đ lch chun 400. Hi

rng, vào thi đim T , giá tr ca quyn mua 1kg vi giá 35000 tithi đim T + 1 là bao nhiêu? Quyn mua (call) vàng là mt chngkhoán phái sinh, cho phép ngưi s hu nó mua vàng vi giá c đnhtrưc, ti mt thi đim trong tương lai, nhưng không bt buc phimua. Gi giá tr ca quyn mua này ti thi đim T + 1 là Y . Khi đóY = max(0, X − 35000), tc là nu giá vàng lúc đó dưi 35000 thì

giá tr ca quyn mua bng 0, còn nu giá vàng trên 35000 thì giátr ca quyn mua bng s chênh lch gia giá vàng và giá ghi trongquyn mua. Giá tr ca quyn mua này ti thi đim T đưc coi bngkỳ vng ca Y . Như vy giá tr này bng

E(Y ) = 1

400√

2π ∞

35000(x − 35000). exp−(x − 35000)2

2.4002 dx

= 1

400√

2π

∞0

x exp

− x2

2.4002

dx =

400√ 2π

∞0

exp(−z)dz

= 400√

2π≈ 160.

Bài tp 2.17. Gi s Y là mt bin ngu nhiên liên tc vi hàm mtđ sau: ρY (x) = c sin x khi x

∈]0, π[, và ρY (x) = 0 ti các đim khác.

i) Hãy tính c.ii) Hãy tính E(Y )

iii) Th nghĩ mt vn đ có th xy ra trong thc t vi phân b xácsut này.

Bài tp 2.18. Tính kỳ vng ca phân b Pareto (2.19) vi tham s

α > 1. (Khi α ≤ 1 thì kỳ vng bng vô cùng).






2.3.4 Giá tr kỳ vng hình hc

Trong các tài liu v xác sut ít khi nhc ti kỳ vng hình hc.Nhưng khái nim này cũng rt quan trng, bi vy chúng ta s đcp nó đây. Giá tr kỳ vng ng vi trung bình cng, còn giá trì kỳ vng hình hc ng vi trung bình nhân. Mt ví d đơn gin sau đây cho thy s quan trng ca trung bình nhân trong thc t.

Ví d 2.17. Gi s giá nhà dao đng trong 4 năm như sau. Năm

đu tiên gim 15%, năm th hai tăng 35%, năm th ba gim 20%,năm th tư tăng 20%. Hi xem trong 4 năm đó giá nhà tăng lên(hay gim đi) trùng bình mi năm bao nhiêu %? Nu ta ly trungbình cng thì đưc (-15% + 35% - 20% + 20%)/ 4 = 5% mtnăm. Nhưng con s đó có phn ánh chính xác s đi lên ca giá nhàtrong 4 năm không? Nu gi giá lúc đu là X, thì sau năm đu giá là

(1-15%)X, sau năm th hai giá là (1+35%)(1-15%)X, sau năm th ba giá là (1-20%)(1+35%)(1-15%)X, sau 4 năm giá là (1+20%)(1-20%)(1+35%)(1-15%)X = 1,1016 X. Tc là sau 4 năm giá nhà chtăng lên có 10,16%, ch không phi 20% (= 4 ln 5%) như là ngưita tưng! Đ có cái nhìn chính xác v mc đ tăng trưng trung bìnhhàng năm trong giai đon 4 năm, cn phi ly trung bình nhân ca

các con s 1+20%, 1-20%, 1+35%, 1-15% ri tr đi 1. Kt qu là2,449% mt năm.

Như chúng ta bit, nu có mt dãy các s dương a1, . . . , an, ai > 0

vi mi i, thì ngoài giá tr trung bình cng (

ai)/n, chúng ta còncó th nói đn trung bình nhân: (i ai)

1/n. T ting Anh cho trung

bình nhân là geometric mean, nu dch tng ch ra ting Vit thì là





“trung bình hình hc”, còn trung bình cng là “trung bình s hc”.Trung bình nhân có th đưc đnh nghĩa qua trung bình cng và qua

hàm logarithm ln, và hàm ngưc ca hàm ln, tc là hàm exp:(i

ai)1/n = exp(

i

(ln ai)/n). (2.38)

Hàm ln là hàm lõm trên na đưng thng dương (đo hàm bc haica nó bng −1/x2 là mt hàm âm), bi vy ta có:

i ln ai

n ≤ lni ai

n

Ly exp ca hai v ca bt đng trên, ta đưc bt đng thc quenthuc sau: Trung bình nhân luôn luôn nh hơn hoc bng trung bìnhcng:

iai

1/n

≤

i ain

. (2.39)

Du bng xy ra khi và ch khi tt c các s ai bng nhau.Nu thay vì mt dãy các s dương, ta có mt bin ngu nhiên X

mà các giá tr đu dương, thì ta cũng có th làm tương t như trên, và kt qu gi là giá tr kỳ vng hình hc ca X :

Đnh nghĩa 2.15. Nu X là mt bit ngu nhiên ch nhn các giá tr

dương, thì giá tr kỳ vng hình hc ca X , ký hiu là G(X ) , đưc chob công thc sau:

G(X ) = exp(E(ln X )) = exp(

Ω

ln(X )dP ). (2.40)

Đnh lý 2.11. Giá tr kỳ vng hình hc luôn nh hơn hoc bng giá tr

kỳ vng:

G(X ) ≤ E(X ). (2.41)






Du bng xy ra khi và ch khi F là hng s hu khp mi nơi trên

không gian xác sut, tc là tn ti mt s thc dương c sao cho P (X =

c) = 1.

Đnh lý trên là trưng hp riêng ca bt đng thc Jensen phátbiu như sau:

Đnh lý 2.12 (Bt đng thc Jensen). Nu f là mt hàm li, và X

là mt bin ngu nhiên bt kỳ, thì

E(f (X )) ≥ f (E(X )). (2.42)

Ví d 2.18. Gi s có mt cơ hi đu tư như sau. Kh năng thng/thualà 50%/50%, sau 1 tháng bit kt qu. Nu thng thì lãi 100%, nuthua thì l 50% tin b ra. (Trên th trưng chng khoán có nhngtrưng hp tương t như vy, ví d như 1 hãng công ngh sinh hckhi đang đi kt qu thí nghim lâm sàng ca mt loi thuc chaung thư, nu thành công thì giá tr c phiu ca hãng có th tăng hơngp đôi, nu tht bi thì giá tr cũng có th mt trên 50%). Hi đi vi ngưi đu tư thì có nên đu tư vào nhng cơ hi như vy không, và nu nên thì nên đu tư vi nhiu nht nhiêu % vn đu tư (đ

đt kỳ vng li nhun cao nht, gi s là không có các cơ hi đu tư khác)?

Trưc ht, ta có th tính giá tr kỳ vng ca li nhun ca đu tư theo cơ hi trên, vi 1 đơn v vn b ra. Gi L là bin “li nhun”,ta có 2 kh năng: hoc L = 1 hoc L = −1/2, mi kh năng có xácsut 50%. Như vy kỳ vng li nhun trên 1 đơn v vn b ra là:

E(L) = 50%.1+50%.(−1/2) = 0, 25 Kỳ vng li nhn đây là dương





và khá ln (bng 25% vn b ra), nên đây là cơ hi nên đu tư, tr khi có nhng cơ hi khác tt hơn. (Lãi 25% trong mt tháng có th

gi là siêu li nhun).Câu hi th hai là nhà đu tư nên đu tư vào đó nhiu nht là

bao nhiêu phn trăm vn đu tư? Nu gi s đu tư toàn b 100% vn. Khi đó có 2 kh năng, hoc là tng s vn tăng lên gp đôi,hoc là gim đi còn 1 na, vi xác sut ca mi kh năng là 50%.Nhưng nu mt nhà đu tư mà làm như vy 2 ln liên tip, 1 ln

thng mt ln thua, thì sau hai ln s vn li v như cũ không tăngtrưng đưc gì c. Mun đm bo cho vn tăng trưng “v lâu vdài”, cái cn tính đn không phi là giá tr kỳ vng ca vn sau miln đu tư, mà là giá tr kỳ vng hình hc. Nu gi s ch có 1 cơhi đu tư duy nht như trên, thì giá tr kỳ vng hình hc ca vncó đưc sau khi đu tư Y tin vào đó trên tng s X tin s là:

(X − Y /2)(X + Y ) Đ ti ưu hóa giá tr kỳ vng hình hc tc làtìm Y sao cho

(X − Y /2)(X + Y ) đt cc đi, vi X cho trưc. Kt

qu là Y = X/2, và khi đó giá tr kỳ vng hình hc ca vn sau khiđu tư là

(X − X/4)(X + X/2) = 1, 061.X Như vy, kỳ vng li

nhun ca mt cơ hi đu tư như trên, tính trên toàn b vn ca nhàđu tư, ch có không quá 6,1% ch không phi 25%.

Đnh lý 2.13. Giá tr kỳ vng hình hc có nhng tính cht sau:

Tính đơn điu: nu F ≥ G thì G(F ) ≥ G(G)

Tính thun nht: Nu c là hng s thì G(cF ) = cG(F )

Tính lõm: (G(F ) +G(G))/2 ≤ G((F + G)/2). Du bng xy ra khi và

ch khi F và G t l thun vi nhau, tc là tn ti mt hng s dương

c sao cho G = cF hu khp mi nơi.





2.4. Phương sai, đ lch chun, và các moment

Ghi chú 2.6. Tính lõm ca giá tr kỳ vng hình hc chính là cơ s canguyên tc đa dng hóa tài sn (diversification) trong đu tư: Bng

cách đa dng hóa tài sn (đu tư mt phn vào F và mt phn vào G, thay vì ch đu tư vào F hay ch đu tư vào G) có th làm tăng giátr kỳ vng hình hc ca danh mc đu tư (ít ra là trong trưng hpF và G có cùng kỳ vng hình hc v tăng trưng).

Bài tp 2.19. Chng minh bt đng thc (G(F ) +G(G))/2 ≤ G((F +

G)/2), cho trưng hp không gian xác sut là mt không gian hu

hn phn t có phân b xác sut đu.

2.4 Phương sai, đ lch chun, và các moment

2.4.1 Phương sai và đ lch chun

Đnh nghĩa 2.16. Đ lch chun (standard deviation) ca mt binngu nhiên X là

σ(X ) = E((X −E(X ))2). (2.43)

Phương sai (variance) ca X , ký hiu là var(X ) , chính là bình phương

ca đ lch chun ca X , tc là bng E((X −

E(X ))2).

Sdngtínhtuyntínhcagiátrkỳvng,tacóthbinđicôngthc ca phương sai như sau: E((X −E(X ))2) = E(X 2 − 2E(X ).X +

E(X )2) = E(X 2)−2E(X ).E(X ) +E(X )2 = E(X 2)−E(X )2. Như vy,ta có công thc sau:

var(X ) = σ(X )2

= E(X 2

) − E(X )2

. (2.44)





Đ lch chun có tính thun nht bc mt: σ(cX ) = cσ(X ), cònphương sai thì thun nht bc hai: var(cX ) = σ(cX )2 = c2var(X ). Ý

nghĩa ca đ lch chun là: nó là thưc đo đ lch ca các giá tr caX so vi giá tr trung bình ca nó. Đnh nghĩa ca phương sai chothy nó luôn luôn ln hơn hoc bng 0, và bng 0 khi và ch khi X

là hng s hu khp mi nơi, tc là nó không b lch đi đâu c so vigiá tr trung bình ca nó.

Câu hi cho nhng ngưi tò mò: Ti sao ngưi ta li hay dùng

phương sai và đ lch chun làm thưc đo cho đ lch gia các giátr ca mt bin ngu nhiên X vi giá tr kỳ vng ca nó, ch khôngdùng mt đi lưng kiu như E(|X − E(X )|)?

Ví d 2.19. Nu F nhn hai giá tr a và −a (a > 0), mi giá tr vixác sut 50%, thì giá tr kỳ vng ca F là 0, phương sai ca F làa2.50% + (

−a)2.50% = a2, và đ lch chun chính là a.

Ví d 2.20. Nu F có phân b normal N (µ, σ2), thì giá tr kỳ vng caF chính là µ, còn đ lch chun ca F chính là σ. (Bài tp: chngminh điu đó bng các bin đi tích phân, xut phát t công thc ∞−∞

1√ 2π

exp(−x2

2 )dx = 1)

Ghi chú 2.7. Đi vi các bin ngu nhiên vi vô hn các giá tr, thì

các đi lưng đc trưng ca chúng như kỳ vng, phương sai, và cácđi lưng khác, không phi lúc nào cũng tn ti hay hu hn. Ví d, phân b xác sut ri rc P (k) = C/k2 vi mi k ∈ N, vi C =

1/(

1/n2) = 6/π2, không có kỳ vng và sai phương hu hn. Ta chs dng các đi lưng đc trưng khi chúng tn ti và hu hn.

Bài tp 2.20. Chng minh rng:

i) Đ lch chun ca phân b hình hc vi tham s p (P (k) =






p(1 − p)k−1 vi mi k ∈ N) là σ =

√ 1 − q

q .

ii)ĐlchchuncaphânbPoissonvithams λ (P (k) = e−λ.λk/k!

vi mi k ∈ Z+) là σ = √ λ. Bài tp 2.21. Gi s X là mt bin ngu nhiên vi E(X ) = 2/3, và có phân b xác sut liên tc vi hàm mt đ ρX có dng sau:ρX (x) = ax2 + b nu 0 < x < 1, và ρX (x) = 0 nhng đim còn li.Hãy tính a, b, và var(X ).

Bài tp 2.22. Mt phòng thí nghim phi kim tra mt lưng N rtln các mu máu ngưi (mi mu ca 1 ngưi) đ tìm ra các mu cócha mt loi kháng th X. Thay vì xét nghim tng mu mt, ngưita làm như sau: Chia các mu thành tng nhóm, mi nhóm có k mu.Trn các mu máu trong cùng mt nhóm vi nhau (ly mt ít máu t mi mu) đ đưc 1 mu hn hp, ri xét nghip mu hn hp đó.

Nu kt qu xét nghim là âm tính (mu hn hp không có khángth X) thì coi như c k mu trong nhóm đu không có kháng th X,còn nu mu hn hp có kháng th X , thì làm tip k xét nghim, mixét nghim cho tng mu ca nhóm. Gi s xác sut đ 1 mu máucó kháng th X là mt s p, và các mu máu đc lp vi nhau. Gi S

là tng s ln phi xét nghim.

i) Xác sut đ mt mu máu hn hp có cha kháng th X là baonhiêu?ii) Tính kỳ vng và phương sai ca S , khi tng s mu máu phi kimtra là N = km.iii) Vi nhng giá tr nào ca p thì tn ti mt s k thích hp nàođó sao cho phương pháp xét nghim trên tit kim đưc s ln xét

nghim (kỳ vng ca S nh hơn N )? Tìm giá tr ca k ti ưu, như là





hàm ca p.

2.4.2 Các moment ca mt bin ngu nhiên

Đnh nghĩa 2.17. Nu X là mt bin ngu nhiên, và k là mt s t

nhiên, thì đi lưng E(X k) đưc gi là moment (hay mô men ) bc k

ca X , và đi lưng E((X − E(X ))k) đưc gi là moment trung tâmbc k ca X .

Ghi chú 2.8. Có nhiu t thut ng gc nưc ngoài, mà trong ting Vit không có t “thun Vit” tương ng, ch dch phiên âm, ví dnhư mô men (moment), véc tơ (vector), mô đun (module), v.v. Trongnhng trưng hp như vy, đây chúng ta s đ nguyên t theo ting Anh, thay vì dùng phiên âm ting Vit.

Như phía trên chúng ta đã thy, moment bc 1 ca X chính là giátr kỳ vng ca nó, moment trung tâm bc 1 ca X thì luôn bng 0,moment trung tâm bc 2 ca X chính là phương sai ca nó, và nó cóth đưc biu din qua các moment ca X theo công thc:

E((X − E(X ))2) = E(X 2) − E(X )2 (2.45)

Tương t như vy, các moment trung tâm bc cao hơn ca X cũngcó th khai trin dưi dng đa thc ca các moment ca X .

Nu ký hiu P X là phân b xác sut trên R ca X , thì ta có th vit moment bc k ca X theo công thc sau:

E(X k) = x∈R

xkdP X

. (2.46)






Nu như phân b xác sut P X la mt phân b xác sut liên tc vi hàm mt đ ρX thì ta có th vit:

E(X k) = +∞

−∞xkρX (x)dx. (2.47)

Các moment ca mt bin ngu nhiên cho ta các thông tin vdáng điu ca phân b xác sut ca bin ngu nhiên đó. Ví d, numoment trung tâm bc 2 nh, thì có nghĩa là các giá tr ca X nóichung ít b sai lch so vi giá tr kỳ vng ca nó, hay nói cách khác

phn ln xác sut ca phân b xác sut ca X tp trung trong mtkhong nh xung quanh đim giá tr kỳ vng. Ngưc li, nu momenttrung tâm bc 2 ln, thì phân b xác sut ca X nói chung s “dàntri” hơn ra xa đim giá tr kỳ vng.

Moment trung tâm bc 3 ca X đưc gi là h s bt đi xng(skewness), hay còn có th gi là đ xiên ca phân b xác sut caX : Nu X có phân b xác sut đi xng quanh đim giá tr kỳ vng(có nghĩa là X và 2E(X ) − X có cùng phân b xác sut), thì momenttrung tâm bc 3 ca nó bng 0. Nu như moment trung tâm bc 3ln hơn 0 thì phân b xác sut ca X đưc gi là xiên v bên phi,còn nu moment trung tâm bc 3 nh hơn 0 thì phân b xác sut caX đưc gi là xiên v bên trái.

Ví d 2.21. Moment trung tâm bc 3 ca mt phân b normal bng0.

Ví d 2.22. Gi s có mt bin ngu nhiên X vi phân b xác sut rirc sau: P (X = −2) = 1/2, P (X = 1) = 1/4, P (X = 3) = 1/4. Khiđó giá tr kỳ vng ca X bng 0, moment trung tâm bc 3 ca X bng

moment bc 3 ca X và bng: (1/2).(−2)3 + (1/4).13 + (1/4).33 =





Hình 2.8: Phân b bt đi xng

3 > 0. Đ th phân b xác sut ca X (vi 3 đon thng nhô lên

3 đim -2,1,3 trên trc hoành) b “lch v bên phi” so nu ly đimgiá tr kỳ vng (= 0) làm trung đim.

Moment trung tâm bc 4 ca X liên quan đn cái gi là kurtosis(3)

ca X . Theo đnh nghĩa, kurtosis (hay còn gi là h s nhn) camt bin ngu nhiên là đi lưng

γ 2 = µ4

σ4 − 3, (2.48)

trong đó µ4 là moment trung tâm bc 4, còn σ là đ lch chun. T l µ4/σ4 đưc gi là moment chun hóa bc 4. Lý do ca vic chunhóa này là: các moment chun hóa ca các phân b normal đu làhng s và không ph thuc vào đ lch chun. Moment chun hóa

(3)

kurtosis là mt t gc ting Hy lp, ch đ nhn






Hình 2.9: Kurtosis

ca bc 4 ca mt phân b normal chính bng 3, bi vy kurtosis camt phân b normal bng 0. Khi mt phân b xác sut có kurtosisdương (phân b như vy gi là phân b leptokurtic hay nhn vưt

chun) thì có nghĩa là nó “nhn” hơn phân b normal có cùng đlch chun, còn khi kurtosis âm (phân b như vy gi là phân bplatykurtic) thì có nghĩa là nó “bt” hơn phân b normal có cùng đlch chun. Nu kurtosis bng 0 thì phân b đưc gi là mesokurtic.(Xem hình 2.9).

Ví d 2.23. Hình 2.10 là ví d minh ha v vic dch chuyn 4 đima,b,c,d ca mt phân b xác sut đu ri rc P (a) = P (b) = P (c) =

P (d) = 1/4, t v trí ban đu a = −3, b = −1, c = 1, d = 3, sao cholàm tăng 1 trong 4 moment bc 1, bc 2, bc 3, bc 4 trong khi gi nguyên 3 moment còn li.

Tt nhiên, nu hai bin ngu nhiên có cùng phân b xác sut

trên R, thì tt c các moment ca chúng đu bng nhau. Điu ngưc





Hình 2.10: Thay đi các moment bc 1 đn bc 4

có đúng không, hay nói cách khác, dãy các moment E(X k), k =

1, 2, 3, . . . ca mt bin ngu nhiên xác đnh hoàn toàn phân b xác

sut ca bin ngu nhiên đó không? Đây là mt câu hi toán hcthú v. Có nhng ví d v các phân b xác sut liên tc khác nhaunhưng có tt c các moment như nhau. Tuy nhiên, trong trưng hpcác không gian xác sut ch có hu hn phn t (mà thc ra tt ccác vn đ trong thc t đu ch có hu hn các kh năng xy ra, và các mô hình liên tc vi vô hn kh năng ch là các mô hình mô

phng gn đúng), thì ta có:Mnh đ 2.14. Nu X và Y là hai bin ngu nhiên ch nhn mt s

hu hn các giá tr, và có E(X k) = E(Y k) vi mi k ∈ N , thì phân b

xác sut ca chúng trên R bng nhau.

Bài tp 2.23. Chng minh mnh đ trên.

Bài tp 2.24. Tính kỳ vng và các moment ca phân b mũ vi tham






s λ.

2.4.3 Bt đng thc Chebyschev và bt đng thc Markov

Nhng bt đng thc tương đi đơn gin sau đây ca Chebyschev và Markov liên quan đn các moment s có ích trong vic đánh giáphân b xác sut ca các bin ngu nhiên.

Đnh lý 2.15. (Bt đng thc Chebyschev cho kỳ vng) Vi mi bin

ngu nhiên X ch nhn các giá tr không âm, và mi s dương a > 0

ta có

P (X ≥ a) ≤ E(X )

a . (2.49)

Chng minh. Gi X a là bin ngu nhiên sau: X a = a khi X ≥ a

và X a = 0 khi X < a. Khi đó X ≥ X a, và X a ch nhn hai giá tr 0 vàa. Bi vy

E(X ) ≥ E(X a) = 0.P (X a = 0) + a.P (X a = a) = a.P (X ≥ a),

t đó suy ra điu phi chng minh.

Đnh lý 2.16. (Bt đng thc Markov cho các moment tuyt đi) Vimi bin ngu nhiên X , s dương a > 0 , và s t nhiên k , ta có

P (|X | ≥ a) ≤ E(|X |k)

ak . (2.50)

Chng minh. Suy ra t bt đng thc Chebyschev cho bin ngu

nhiên |X |k và hng s ak.





Hình 2.11: Pafnouti Lvovitch Chebyschev (1821-1894)

Đnh lý 2.17. (Bt đng thc Chebyschev cho phương sai) Nu X là

mt bin ngu nhiên có phương sai var(X ) hu hn và a > 0 bt kỳ,

ta có

P (|X − E(X )| ≥ a) ≤ var(X )

a2 . (2.51)

Chng minh. Suy ra t bt đng thc Markov cho bin ngunhiên X − E(X ) và cho k = 2.

Ghi chú 2.9. Pafnouti Lvovitch Chebyschev (1821-1894) là mt nhà






Hình 2.12: Andrei Andreevitch Markov (1856-1922)

toán hc ngưi Nga. Ngoài lý thuyt xác sut, ông ta còn nghiêncu nhiu v s hc và đi s. Các đa thc U n bc n tha mãn

U n(cos(x)) = sin((n + 1)x)

sin x đưc gi là đa thc Chebyschev, và chúng

xut hin nhiu trong toán hc và ng dng. Andrei AndreevitchMarkov (1856-1922) cũng là mt nhà toán hc ngưi Nga, và là hc

trò ca Chebyschev. Các xích Markov (Markov chains) đc bit quan





trng trong lý thuyt xác sut v các quá trình ngu nhiên (stochasticprocesses). Các quá trình ngu nhiên nm ngoài khuôn kh ca cun

sách này, nhưng s đưc bàn đn trong mt cun sách tip theo.

2.5 Hàm đc trưng, hàm sinh, và bin đi Laplace

Thay vì xét các moment E(X k) ca mt bin ngu nhiên X , ta có

th xét các giá tr đc trưng dng E(exp(yX )) trong đó y là mt thams nào đó. Khi ta bin đi y trong mt min nào đó trên R hoc C, sta đưc mt hàm các giá tr đc trưng ca X . S liên quan gia hàmnày và các moment đưc th hin qua đng thc sau (xy ra nu như ta có các điu kin v hi t):

M X (y) = E(exp(yX )) = E(k

(yk

/k!).X k

) =kE(X

k

).(yk

/k!)

(2.52)

Hàm M X (y) = E(exp(yX )) đưc gi là hàm sinh moment caX .

2.5.1 Hàm đc trưng

Trong biu thc M X (y) = E(exp(yX )), nu ta ly y = is, ( đây i =

√ −1) ,vi s ∈ R, thì ta có exp(yX ) = exp(isX ) = cos(sX ) +

i sin(sX ) là mt bin ngu nhiên b chn (có giá tr tuyt đi bng1), và ta có th yên tâm v s tn ti ca E(exp(isX )). T đó có đnh

nghĩa sau:





2.5. Hàm đc trưng, hàm sinh, và bin đi Laplace

Đnh nghĩa 2.18. Hàm đc trưng ca mt bin ngu nhiên thc X

là hàm ΦX : R → C đưc cho bi công thc

ΦX (s) = E(exp(isX )) = x∈R

eisxdP X . (2.53)

Ví d 2.24. Hàm đc trưng ca mt s phân b xác sut quen thuc:i) Hàm đc trưng ca mt hng s c (tc là bin ngu nhiên ch nhnmi giá tr c) là Φc(s) = eics.

ii) Hàm đc trưng ca phân b nh thc vi các tham s n, p là hàm

(1 − p + peis)n.iii) Hàm đc trưng ca phân b xác sut đu trên mt đon thng

[a, b] là hàm eibs − e−ias

i(b − a)s .

iv) Hàm đc trưng ca phân b xác sut mũ vi tham s 1 (vi mtđ ρ(x) = e−x khi x > 0) là hàm

1

1 − is.

v) Hàm đc trưng ca phân b xác sut normal chun tc N

(0, 1) làhàm Φ(s) = exp(−s2/2).

(Bài tp: Hãy suy ra các công thc trên t đnh nghĩa ca hàm đctrưng và ca các phân b xác sut).

Đnh lý 2.18. Mt s tính cht ca hàm đc trưng:

i) ΦX (0) = 1

ii) |ΦX (s)| ≤ 1 vi mi s ∈ R

iii) Nu Y = aX + b vi a, b là các hng s, thì ΦY (s) = e√ −1bsΦX (as).

iv) ΦX liên tc đu trên R.

v) Nu E(|X |k) < ∞ vi mt s t nhiên k nào đó, thì hàm đc trưng

ΦX kh vi liên tc k ln trên R , và

E(X k) = 1

(√ −1)k.Φ

(k)

X (0), (2.54)





trong đó Φ(k)X là ký hiu đo hàm bc k ca ΦX .

Chng minh. Ba tính cht đu tiên tương đi hin nhiên, suy rangay t đnh nghĩa. Tính cht th tư là bài tp dành cho nhng bnđc quen vi khái nim liên tc đu. Đ chng minh tính cht cuicùng, chúng ta nh rng phép ly giá tr kỳ vng là mt phép ly giátr trung bình, có th hiu như là mt phép ly tng (ca mt chui), và do đó nó giao hoán vi phép ly đp hàm (khi mt s điu kinhi t nào đó đưc tha mãn). Áp dng nguyên tc giao hoán đó vàođnh nghĩa ca hàm đc trưng, ta có đo hàm bc k ca hàm đctrưng là:

Φ(k)X (s) =

dk

dskΦX (s) = E(

dk

dsk exp(isX ))

= E((iX )k exp(isX )) = ikE(X k exp(isX )). (2.55)

Đt s = 0, ta đưc Φ(k)X (0) = ikE(X k).

2.5.2 Tìm li phân b xác sut t hàm đc trưng

Chúng ta có công thc gii hn sau đây, cho phép tìm li đưcphân b xác sut t hàm đc trưng ca nó:

Đnh lý 2.19. Gi P X là phân b xác sut ca mt bin ngu nhiên X

tùy ý, và ΦX là hàm đc trưng ca nó. Khi đó vi mi a, b ∈ R , a < b ,

ta có:

limR→∞

1

2π

R−R

e−ias − e−ibs

is ΦX (s)ds = P X (]a, b[) +

P X (a) + P X (b)

2 .

(2.56)






Chúng ta s chp nhn đnh lý trên mà không chng minh. Nubn đc đã bit qua v gii tích Fourier thì có th t chng minh nó

không quá khó khăn (nó tương t như đnh lý Dirichlet cho chuiFourier). Nu không thì có th xem chng hn trong Chương 9 caquyn sách ca Koralov và Sinai [5].

Trong trưng hp X có phân b xác sut liên tc vi hàm mt đρX , thì ta có th vit

ΦX

(s) = +∞

−∞eisxρ

X (x)dx. (2.57)

Trong gii tích, phép tính trên gi là phép bin đi Fourier. Có nghĩalà, hàm đc trưng chính là bin đi Fourier ca hàm mt đ.

Chia c hai v ca công thc (2.56) cho b − a, và cho b tin ti a,ta đưc công thc sau, gi là phép bin đi ngưc Fourier, đ tínhhàm mt đ t hàm đc trưng:

ρF (x) = 1

2π

∞−∞

e−isxΦF (s)ds. (2.58)

Trong trưng hp X là bin ngu nhiên nguyên (ch nhn giá trtrong Z), thì hàm đc trưng ΦX ca X chính là chui Fourier vi cách s là các xác sut P X (k) = P (X = k), k ∈ Z:

ΦX (s) =k∈Z

P X (k)exp(iks), (2.59)

và ta có th tính ra P X (k) t ΦX theo công thc quen thuc đ tínhcác h s ca mt chui Fourier:

P X (k) = 1

2π π

−πe−iksΦX (s)ds (2.60)





Ghi chú 2.10. Joseph Fourier (1768–1830) là nhà toán hc và vt lý Pháp. Trong khong thi gian 1798–1801 Fourier đi theo Napoléon,

cùng vi 35000 lính Pháp và mt đoàn các nhà khoa hc, sang chinhchin Ai Cp (Egypt) và tìm hiu nn văn minh Ai Cp. Khi Ai Cp,Fourier tr thành ngưi điu hành Vin Hàn lâm Ai Cp do Napoléonlp ra, và sau đó điu hành luôn c các công vic hành chính và ngoigiao Ai Cp, gn như là quan toàn quyn. Fourier t ra rt có tài v chính tr và ngoi giao, có th đàm phán, hòa gii các bên đi lp.

Sau khi Pháp đu hàng Anh Ai Cp năm 1801 và Fourier tr vPháp, đưc c làm tnh trưng (préfet) vùng Isère. Trong thi gian Ai Cp, Fourier phát minh ra chui Fourier, khi nhìn thy các lpsóng cát (dunes) sa mc. Chui Fourier và bin đi Fourier là mtth công c vn năng, không ch quan trng trong xác sut, mà cònxut hin khp nơi trong toán hc và vt lý.

Trong trưng hp tng quát, mt phân b xác sut cũng đưc xácđnh mt cách duy nht bi hàm đc trưng ca nó:

Đnh lý 2.20. Hai bin ngu nhiên có cùng phân b xác sut khi và ch

khi chúng có cùng hàm đc trưng.

Chng minh. Gi s hai phân b xác sut P X và P Y có cùng hàmđc trưng Φ. Công thc (2.56) dn đn:

P X (]a, b[) + P X (a) + P X (b)

2 = P Y (]a, b[) +

P Y (a) + P Y (b)

2

vi mi a < b. Ta có th chn a và b là nhng đim liên tc ca F X và F Y , ri cho a tin ti −∞, ta đưc: F X (b) = F Y (b) ti mi đim b

mà là đim liên tc ca c F X và F Y . Gi s x ∈ R là mt đim tùy ý.






Hình 2.13: Joseph Fourier (1768–1830)

Nhc li rng s đim gián đon ca mt hàm phân phi xác sut trênR là không quá đm đưc. Vì th tn ti mt dãy các đim xn > x

sao cho xn tin ti x khi n tin ti vô cùng, và xn là đim liên tc caF X và F Y vi mi n. Nhc li rng, các hàm phân phi xác sut cótính cht liên tc bên phi. Do đó ta có: F X (x) = limn→∞ F X (xn) =

limn→∞ F Y (xn) = F Y (x). Như vy, hai hàm phân phi xác sut F X và F Y trùng nhau, do đó hai phân b xác sut P X và P Y cũng trùngnhau.

Bài tp 2.25. Ta s gi mt bin ngu nhiên X là đi xng nu như





X và −X có cùng phân b xác sut. Hãy xây dng nhng ví d binngu nhiên đi xng, và chng minh rng mt bin ngu nhiên là

đi xng khi và ch khi hàm đc trưng ΦX ca nó là mt hàm thc(tc là ΦX (s) ∈ R vi mi s ∈ R).

2.5.3 Hàm sinh xác sut và bin đi Laplace

Trong biu thc E(exp(yX )), nu đt y = ln z, thì ta đưc hàmsau, gi là hàm sinh xác sut:

GX (z) = E(zX ) (2.61)

Hàm sinh xác sut hay đưc dùng khi mà các giá tr ca bin ngunhiên đu là s nguyên không âm. Khi đó hàm sinh xác sut có dngđa thc hoc chui Taylor có bán kính hi t ln hơn hoc bng 1:

GX (z) =k

P X (k).zk, (2.62)

và ta có P (X = k) = 1

k!

dkGX (z)

dzk

z=0

vi mi k ∈ Z+.

T quan đim ca gii tích phc, hàm đc trưng ΦX (s) và hàmsinh GX (z) gn như là mt, có th chuyn t hàm này sang hàm kia

bng cách đi bin. Bi vy, tt nhiên các moment ca mt bin ngunhiên cũng có th suy ra đưc t hàm sinh xác sut ca bin ngunhiên đó. Ta có đnh lý sau:

Đnh lý 2.21. Gi s X là mt bin ngu nhiên vi hàm sinh xác sut

G . Khi đó:

1) E(X ) = G(1)






2) var(X ) = σ2(X ) = G(1) + G(1) − (G(1))2

3) E(X (X − 1) . . . (X − k + 1)) = G(k)(1) vi mi k ∈ N. đây G(k)

là đo hàm bc k ca G.

Ví d 2.25. Hàmsinhxácsutcamtbinngunhiên X vi phân bPoisson vi tham s λ là hàm GX (z) = exp((z − 1)λ) Tht vy, ta có:GX (z) = E(zX ) =

k zkP (X = k) =

k e−λλkzk/k! = e−λeλz =

eλ(z−1). T đó suy ra E(X ) = GX (1) = λ, G

X (1) = λ2 và var(X ) =

GX (1) + G

X (1)−

(GX (1))2 = λ2 + λ

−λ2 = λ.

Trong trưng hp bin ngu nhiên X ch nhn các giá tr thckhông âm, ngưi ta hay dùng hàm Laplace LX (t) : R+ → R, nhnđưc t biu thc E(exp(yX )) bng cách đt t = −y:

LX (t) = E(exp(−tX )). (2.63)

đây ta coi bin t nm trong tp các s thc không âm. Vi gi s rng F ch nhn các giá tr không âm, ta luôn có 0 < (exp(−tF )) ≤ 1,t đó suy ra các giá tr ca LF (t) là s dương và b chn trên bi 1.

Trong trưng hp F có phân b xác sut liên tc vi hàm mt đρF tha mãn điu kin ρF (x) = 0 vi mi x < 0 (có nghĩa là F không

nhn các giá tr âm), thì ta có

LF (t) =

∞0

exp−tx ρF (x)dx, (2.64)

và hàm LF (t) đưc gi là bin đi Laplace ca hàm mt đ ρF (x).

Tương t như đi vi hàm sinh và hàm đc trưng, các đo hàm

ca hàm LF (t) ti đim t = 0 cũng cho ta các moment ca F.





Hình 2.14: Pierre-Simon Laplace (1949-1827)

Ghi chú 2.11. (4) Pierre-Simon Laplace (1749-1827) là nhà toán hc,thiên văn hc và vt lý ngưi Pháp, mt trong nhng nhà khoa hc có

th lc nht châu Âu thi đi ông ta. Ông ta nghiên cu rt nhiuth, t xác sut (đnh lý gii hn trung tâm, bin đi Laplace) đngii tích điu hòa, cơ hc, âm thanh, truyn nhit, các thiên th, v.v.Laplace chính là ngưi đt ra gi thuyt v l đen (black hole) và v s co li do trng lưng (gravitational collapse) trong vt lý thiên

(4)

Xem wikipedia: http://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace.






văn. Laplace còn có tham vng v chính tr, là thành viên ca thưngngh vin. Có lúc làm B trưng B ni v dưi thi Napoléon, nhưng

sau 6 tun thì b cách chc vì không đưc vic. Laplace b nhiu ngưicùng thi không ưa vì tính bc bo, ích k, có khi còn vơ c công trìnhca ngưi khác thành ca mình, và thay đi quan đim chính tr như chong chóng “theo chiu gió”. Nhưng v mt khoa hc, Laplace làmt con ngưi vĩ đi ca th k 18-19. Bin đi Laplace đưc ginhư vy là do Laplace đưa vào đ nghiên cu xác sut, cùng vi hàm

sinh xác sut. Bin đi Laplace còn xut hin nhiu nơi khác trong vt lý và toán hc. Leonhard Euler (1707–1783) có l là ngưi đutiên nghĩ ra bin đi này.

Bài tp 2.26. Chng minh rng hàm sinh xác sut ca mt bin ngunhiên vi phân b hình hc vi tham s p là hàm G(z) =

pz

1 − z + pz.

T đó suy ra kỳ vng và phương sai ca phân b hình hc.

Bài tp 2.27. Tính hàm sinh xác sut và hàm Laplace ca phân bnh thc vi các tham s n, p.

Bài tp 2.28. Chng minh đnh lý 2.21 cho trưng hp F nh nhnmt s hu hn các giá tr.




Chương 3

Vector ngu nhiên

3.1 Vector ngu nhiên

3.1.1 Phân b xác sut đng thiNu ta có hai bin ngu nhiên X, Y : (Ω, P ) → R, thì ta có th

xét chúng cùng mt lúc vi nhau như là mt bin ngu nhiên vi giátr trong R2:

X = (X, Y ) : (Ω, P ) → R2. (3.1)

Mt bin ngu nhiên X vi giá tr trong R2

còn đưc gi là mt vector ngu nhiên(1) 2 chiu. Tương t như vy, nu ta có n binngu nhiên vi giá tr thc, ta có th xét chúng cùng mt lúc vinhau như là mt bin ngu nhiên vi giá tr trong Rn, và gi nó làmt vector ngu nhiên n chiu.

(1)Ting Vit phiên âm ch vector thành véc tơ , nhưng đây chúng ta s đ nguyên

ch vector cho tin.

128




3.1. Vector ngu nhiên

Đnh nghĩa 3.1. Mt vector ngu nhiên n chiu X = (X 1, . . . , X n) :

(Ω, P ) → Rn xác đnh trên Rn mt phân b xác sut cm sinh qua

push-forward t phân b xác sut trên Ω. Phân b xác sut trên Rn

này đưc gi là phân b xác sut ca X , hay còn đưc gi là phânb xác sut đng thi ca các bin ngu nhiên X 1, . . . , X n. Hàm

F X : Rn → [0, 1] cho bi công thc

F X(x1, . . . , xn) := P (X 1 ≤ x1, . . . , X n ≤ xn) (3.2)

đưc gi là hàm phân phi xác sut ca vector ngu nhiên X , hay còn gi là hàm phân phi xác sut đng thi ca các bin ngu nhiên

X 1, . . . , X n.

Ghi chú 3.1. Nói mt cách cht ch toán hc, tương t như trongtrưng hp 1 chiu, trong đnh nghĩa vector ngu nhiên có điu kinđo đưc, tc là tn ti xác sut P (X

∈ U ) vi mi tp con m U

ca Rn. Khi nói đn mt phân b xác sut trên Rn ta s luôn coi rngsigma-đi s ca nó chính là sigma-đi s Borel sinh bi các tp conm ca Rn.

Ghi chú 3.2. Nu hai bin ngu nhiên X 1 : (Ω1, P 1) → R và X 1 :

(Ω2, P 1) → R có hai mô hình không gian xác sut khác nhau, thì

trưc khi có th xét cp (X 1, X R) như là mt vector ngu nhiên,ta phi thay đi mô hình không gian xác sut, đ bin X 1 và X 2

thành các bin ngu nhiên trên cùng mt không gian xác sut. Nóicách khác, ta phi xây dng đưc mt không gian xác sut (Ω, P ),

cùng vi các toàn ánh bo toàn xác sut φ1 : (Ω, P ) → (Ω1, P 1) vàφ2 : (Ω, P ) → (Ω2, P 2), sao cho thích hp vi vn đ đang đưc

nghiên cu. Sau đó, thay vì xét X 1 và X 2 riêng l, ta có th xét




Chương 3. Vector ngu nhiên

X 1 = X 1 φ1 và X 2 = X 2 φ2 cùng nhau trên Ω. Chú ý rng, v mtbn cht, X 1 và X 1 chng qua là mt (và tt nhiên có cùng phân b

xác sut trên R), nhưng đưc đt trên các mô hình không gian xácsut khác nhau.

Tương t như trong trưng hp 1 chiu, mt phân b xác sutnhiu chiu P X (ca mt vector ngu nhiên X = (X 1, . . . , X n)) đưcxác đnh duy nht bi hàm phân phi xác sut ca nó. Ví d, khi n =

2, ta có th tính xác sut ca mt hình ch nht na m ]a, b]

×]c, d]

trong R2 khi bit hàm phân phi xác sut F X qua công thc sau:

P X(]a, b]×]c, d]) = F X(b, d) − F X(b, c) + F X(a, c) − F X(a, d), (3.3)

còn xác sut ca các min hình ch nht đóng thì có th tính qua gii

hn

P X([a, b] × [c, d]) = lima→a−,c→c−

P X(]a, b]×]c, d]). (3.4)

Bài tp 3.1. Vit công thc tính xác sut P F(]a, b]×]c, d]×]e, f ]) camt hình khi ch nht na m thông qua hàm phân phi xác sut

F F ca mt vector ngu nhiên 3 chiu F = (F 1, F 2, F 3).

Bài tp 3.2. Hai ngưi hn gp nhau vào mt bui trưa ti mt đim X. Mi ngưi đi đn đim X trong khong thi gian t 12h đn 13hmt cách ngu nhiên vi phân b đu, và nu khi đn không thy ngưi kia đâu thì đi thêm 15 phút mà vn không thy thì b đi.

Tính xác sut đ hai ngưi gp đưc nhau đim X theo hn.






3.1.2 Các phân b xác sut biên

Khi ta có mt vector ngu nhiên X = (X 1, . . . , X n) vi phân hàm

phân phi xác sut đng thi F X, thì ta có th tìm li đưc các hàmphân phi ca các phân b xác sut F X i ca các bin X i qua côngthc gii hn sau:

F X i(x) = limxk→∞ ∀k=i

F X(x1, . . . , xi−1, x , xi+1, . . . , xn). (3.5)

Do đó, các hàm phân phi xác sutF X i còn đưc gi là các hàm phân

phi xác sut biên (hay còn gi là phân phi xác sut biên duyên)ca hàm phân phi xác sut đng thi F X, và các phân b xác sutP X i đưc gi là các phân b xác sut biên (marginal distributions)ca phân b xác sut đng thi P X.

Mnh đ 3.1. Các phép chiu t nhiên φi : (Rn, P X) → (R, P X i) ,

φi(x1, . . . , xn) = xi , là các ánh x bo toàn xác sut.

Chng minh ca mnh đ trên suy ra trc tip t các đnh nghĩa.

Ví d 3.1. Nu X là mt bin ngu nhiên ri rc vi các giá tr xi vàY là mt bin ngu nhiên ri rc vi các giá tr y j , thì vic phép chiuth nht bo toàn xác sut có nghĩa là

P (X = xi) = P (∪ j(X = xi, Y = y j)) = j

P (X = xi, Y = y j).

(3.6)

Chú ý rng các phân b xác sut biên đưc xác đnh duy nht biphân b xác sut đng thi, nhưng điu ngưc li nói chung khôngđúng: Nu ta bit phân b xác sut ca hai bin ngu nhiên X, Y thì

không có nghĩa là ta bit phân b xác sut đng thi ca chúng.





Ví d 3.2. Gi s ta bit rng P X là phân b Bernoulli vi P X (0) =

1 − p, P X (1) = p, và P Y cũng là phân b Bernoulli vi P Y (0) =

1−q, P Y (1) = q . Khi đó ta bit rng P X,Y là mt phân b xác sut trênR2 tp trung ti 4 đim A = (0, 0), B = (0, 1), C = (1, 0), D = (1, 1), và tho mãn các điu kin: P X,Y (C ) + P X,Y (D) = p, P X,Y (B) +

P X,Y (D) = q . Nhưng P X,Y (D) có th là mt s bt kỳ nm gia 0 vàmin( p, q ).

3.1.3 Hàm mt đ đng thiĐnh nghĩa 3.2. Mt phân b xác sut n chiu P X đưc gi là liên tctuyt đi nu nó đưc sinh bi mt hàm mt đ ρX : Rn → R+ kh

tích trên Rn. Điu đó có nghĩa là vi mi min U ⊂ Rn ta có:

P X(U ) = U

ρX(x1, . . . , xn)dx1 . . . d xn. (3.7)

Hàm ρX còn đưc gi là hàm mt đ đng thi ca các bin ngu

nhiên X 1, . . . , X n.

Tt nhiên, nu mt hàm ρ không âm là mt hàm mt đ đngthi trên Rn, thì nó phi có tính cht

∞−∞ . . .

∞−∞ ρ(x1, . . . , xn)dx1 . . . d xn = 1, (3.8)

bi vì xác sut ca toàn b không gian là bng 1. Ngưc li, mi hàmkhông âm có tính cht trên là hàm mt đ ca mt phân b xác sutnào đó trên Rn.

Nu như các phân b xác sut P X i (i = 1, . . . , n) và, P X (X =

(X 1, . . . , X n)) là các phân b xác sut liên tc vi các hàm mt đ






tương ng ρX i và ρX, thì ta có th vit

ρX 1(x) = ∞

−∞. . .

∞

−∞ρ(x, y2, . . . , yn)dy2 . . . d yn, (3.9)

và tương t như vy cho các hàm ρX 2(x), . . . , ρX n(x). Các hàm ρX i

đưc gi là các hàm mt đ biên (ca hàm mt đ ρX, hay là cacác bin X i).

Ví d 3.3. Gi s X = (X, Y ) có hàm mt đ đng thi ρX(x, y) =

1/x khi 0 < y ≤

x ≤

1 và ρX(x, y) = 0 ti các đim khác. Khi đó hàmmt đ biên ρX ca X là:

ρX (x) =

x0

ρX(x, y)dy =

x0

(1/x)dy = 1

khi 0 < x ≤ 1, và ρX (x) = 0 ti các đim khác. Điu đó có nghĩa làX có phân b xác sut đu trên đon ]0, 1]. Hàm mt đ biên ca Y

là:ρY (y) =

1y

ρX(x, y)dx =

1x

(1/x)dx = − ln y

khi 0 < y ≤ 1, và ρY (y) = 0 ti các đim khác.

Nu ta có hai bin ngu nhiên X, Y và F : R2 → R là mt hàms hai bin, thì phân b xác sut ca bin ngu nhiên F (X, Y ) có th

suy ra đưc t phân b xác sut đng thi ca X và Y theo côngthc:

F F (X,Y )(a) = P (F (X, Y ) ≤ a) = P X,Y ((x, y) ∈ R2|F (x, y) ≤ a).

(3.10)Trong trưng hp liên tc, ta cũng có th tính đưc hàm mt đ ca

F (X, Y ) t hàm mt đ đng thi ca X và Y . Ví d, trong trưng





hp F (X, Y ) = X + Y , ta có công thc sau:

ρX +Y (z) = ∞−∞ρX,Y (x, z

−x)dx. (3.11)

(Công thc tương t cho các bin ngu nhiên ri rc là: P X +Y (z) =x P X,Y (x, z − x), vi P X,Y (x, z − x) = P (X = x, Y = z − x)). Tt

nhiên, các khng đnh trên có th m rng lên trưng hp n chiu.

Bài tp 3.3. Gi s X là mt bin ngu nhiên bt kỳ. Chng minh

rng không tn ti hàm mt đ cho vector ngu nhiên (X, X 3).

3.1.4 Hàm đc trưng ca vector ngu nhiên

Tương t như trong trưng hp bin ngu nhiên 1 chiu, ta cóth đnh nghĩa các đi lưng đc trưng ca các vector ngu nhiên:

nu F : Rn → C là mt hàm n bin bt kỳ, và X = (X 1, . . . , X n) làmt vector ngu nhiên n, thì

x∈RnF (x)dP X (3.12)

là đi lưng đc trưng ca X đnh nghĩa bi hàm F . Nhc li rng,

trong trưng hp n = 1 và F (x) = xk

, thì công thc trên cho tamoment bc k. Trong trưng hp n tùy ý và F (x) = xk11 . . . xknn làmt đơn thc (x = (x1 . . . , xn)), thì ta đưc mt moment hn hpE(X k11 . . . X knn ) ca vector ngu nhiên n chiu. Nu F không ch phthuc vào x mà còn ph thuc vào các tham s s nào đó, thì côngthc trên cho ta mt hàm theo bin s, mà các giá tr ca nó là các giá

tr đc trưng ca X.






Đnh nghĩa 3.3. Hàm đc trưng ca vector ngu nhiên n chiu X =

(X 1, . . . , X n) là hàm n bin ΦX(s) , s = (s1, . . . , sn) , cho bi công thc

sau:ΦX(s1, . . . , sn) =

x∈Rn

exp(√ −1

ni=1

sixi)dP X. (3.13)

Tương t như trong trưng hp mt chiu, hàm đv trưng trongtrưng hp nhiu chiu có các tính cht sau:

Đnh lý 3.2. i) Gi s X là mt vector ngu nhiên n chiu bt kỳ.

Khi đó hàm đ trưng ΦX ca nó là mt hàm liên tc đu trên Rn ,

|ΦX(0)| = 1 , và |ΦX(s)| ≤ 1 vi mi s ∈ Rn.

ii) (Công thc nghch đo) Gi s X là mt vector ngu nhiên n chiu,

và a,b ∈ R , sao cho a < b và hình hp m n chiu Ba,b = x ∈Rn|a < x < b có xác sut ca biên theo phân b ca X bng 0:

P X

(∂Ba,b

) = 0. Khi đó:P (X ∈ Ba,b) =

= 1

(2π)n limT 1→∞

... limT n→∞

−T<s<T

nk=1

e√ −1skak − e

√ −1skbk√ −1sk

ΦX(s)ds

(3.14)

(trong đó ds = ds1 . . . d sn là ký hiu đ đo Lebesgue trên Rn ).iii) Nu hai vector ngu nhiên n chiu có cùng hàm đc trưng, thì chúng

cũng có cùng phân b xác sut trên Rn.

iv) Gi s m ∈ N và E(|X i|m) < ∞ vi mi i = 1, . . . , n . Khi đó hàm

đc trưng kh vi liên tc m ln, và

E(X k1

1

. . . X knn ) = 1

(√ −1)|k|

∂ |k|ΦX(0)

∂xk11 . . . ∂ xknn, (3.15)





vi mi k1, . . . , kn ∈ Z+ sao cho |k| = k1 + . . . + kn ≤ m.

v) (Bin đi Fourier ngưc). Trong trưng hp phân b xác sut ca X

là liên tc tuyt đi vi hàm mt đ ρX , thì ΦX là bin đi Fourier caρX , và ρX là bin đi Fourier ngưc ca ΦX:

ρX(x) = 1

(2π)n

Rn

exp(−√ −1k

skxk)ΦX(s)ds. (3.16)

Chng minh ca đnh lý trên tương t như trưng hp 1 chiu,

tuy có phc tp hơn.

3.2 Các bin ngu nhiên đc lp

3.2.1 S đc lp ca mt b bin ngu nhiên

Khái nim đc lp ca các bin ngu nhiên là m rng khái nimđc lp ca các s kin. V mt trit lý, khi mà hai bin ngu nhiênkhông liên quan đn nhau, thì chúng phi đc lp vi nhau. Ví d,“s gi dy hc trong tun ca giáo viên” và “chiu cao ca cây cau”có l không liên quan gì đn nhau, có th coi là đc lp. Nu gi s ta tung quân xúc sc 3 ln, thì ta có mt b 3 bin ngu nhiên, mi

bin là kt qu ca mt ln tung xúc sc. B 3 bin ngu nhiên đócũng có th coi là đc lp, khi không có gì chng t kt qu ca cácln tung có th nh hưng ti nhau.

Đnh nghĩa 3.4. Mt b n bin ngu nhiên X 1, . . . , X n đưc gi là

đc lp nu như không gian xác sut (Rn, P X) vi phân b xác sut

đng thi P X ca X 1, . . . , X n là tích trc tip ca các không gian





3.2. Các bin ngu nhiên đc lp

xác sut (R, P X 1), . . . , (R, P X n) , hay nói cách khác, vi mi tp con

A1, . . . , An ⊂ R (nm trong sigma-đi s Borel ca R ) ta có

P X(A1 × . . . × An) = P (X 1 ∈ A1, . . . , X n, ∈ An)

=ni=1

P (X i ∈ Ai) =ni=1

P X i(Ai). (3.17)

Trong trưng hp các bin ngu nhiên X 1, . . . , X n đu có phânb xác sut ri rc, điu kin đc lp có th đưc vit dưi dng sau:

P X(x) =

ni=1

P X i(xi) (3.18)

vi mi x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

Hàm phân phi xác sut ca tích trc tip (R, P X 1)×. . .×(R, P X n)

chính là hàmF

(x1, . . . xn) = ni=1 P (X i

≤ xi) = n

i=1

F X i(xi). Phân

b xác sut trên Rn đưc xác đnh duy nht bi hàm phân b xác sutca nó, bi vy ta có:

Đnh lý 3.3. Các khng đnh sau đây là tương đương:

i) B n bin ngu nhiên X 1, . . . , X n là đc lp.

ii) Hàm phân phi xác sut đng thi F X ca X 1, . . . , X n là tích ca

các hàm phân phi xác sut biên F X i:F X(x1 . . . , xn) =

ni=1

F X i(xi), (3.19)

hay nói cách khác,

P (F 1 ≤

x1 . . . , F n ≤

xn) =

n

i=1

P (F i ≤

xi), (3.20)





vi mi (x1, . . . , xn) ∈ Rn .

iii) Hàm đc trưng ΦX(s1, . . . , sn) ca X = (X 1, . . . , X n) là tích ca

các hàm đc trưng ΦX i(si):

ΦX(s1, . . . , sn) =ni=1

ΦX i(si). (3.21)

iv) (Trưng hp liên tc tuyt đi) Tích ca các hàm mt đ biên

ρX i(xi) ca các bin X i bng hàm mt đ đng thi:

ρX(x1, . . . , xn) =

ni=1

ρX i(xi). (3.22)

Ví d 3.4. Nu A và B là hai s kin, và ψA và ψB là các hàm ch báotương ng ca chúng (ψA = 1 nu A xy ra và ψA = 0 nu A khôngxy ra, và tương t như vy vi ψB), thì A và B là hai s kin đc lpkhi và ch khi ψA và ψB là hai bin ngu nhiên đc lp.

Ghi chú 3.3. Tương t như đi vi các s kin, có nhng b bin ngunhiên không đc lp, mà trong đó các bin ngu nhiên đc lp vinhau theo tng đôi mt. Đ ly ví d, ta ch cn ly mt b các s kin không đc lp nhưng đc lp tng đôi mt, ri ly các hàm chbáo ca chúng.

Bài tp 3.4. Xây dng mt ví d vi 3 bin ngu nhiên X, Y, Z saocho X đc lp vi Y và Z , nhưng không đc lp vi Y + Z .

Bài tp 3.5. Gi s X, Y, Z là ba bin ngu nhiên đc lp vi phân bđu trên đon thng ]0, 1[. Hãy tính xác sut đ có th lp đưc mthình tam giác vi ba cnh là X, Y, Z.

Bài tp 3.6. Phân b gamma vi các tham s α, λ > 0 là phân

b xác sut liên tc tuyt đi trên R vi hàm mt đ sau: ρ(x) =






λα

Γ(α)xα−1e−λx. đây Γ(α) =

∞0 xα−1e−xdx gi là hàm gamma. Bit

rng Γ(k) = (k

− 1)! vi mi k

∈ N. Chng minh (bng qui np)

rng, nu X 1, . . . , X k là k bin ngu nhiên đc lp vi phân b mũ vi tham s λ, thì tng ca chúng X 1 + . . . + X k có phân b gamma vi các tham s k, λ.

Bài tp 3.7. Gi s X và Y có phân b xác sut đng thi liên tc, vi hàm mt đ xác sut đng thi sau đây:

ρ(x, y) = xe

−x

−y khi x, y > 0

0 ti các đim khác .

Hi rng X và Y có đc lp vi nhau không?

3.2.2 Mt ví d không hin nhiên v s đc lp

Gi s ta tung quân xúc sc tng cng N ln, và mi ln tung thìxác sut đ hin lên mt 1 chm là p = 1/6. Gi X là s ln tung hinlên 1 chm, Y là s ln tung hin ra nhng mt khác. Khi đó X và Y

là hai bin ngu nhiên, vi X + Y = N . Nu s ln tung N là mt sc đnh, thì X và Y không đc lp vi nhau, vì P (X = a, Y = b) = 0

nu a + b = N .

Bây gi ta gi s rng bn thân tng s ln tung N là mt s ngunhiên tuân theo lut Poisson vi tham s λ:

P (N = n) = e−λλn

n!, n ∈ Z+

Khi đó P (X = a, Y = b) = 0 vi mi a, b ∈ Z+. Xác sut có điu kinP (X = x|N = n) tuân theo phân b nh phân:

P (X = x|N = n) = C xn p

x

(1 − p)n−x





T đó suy ra:

P (X = x, Y = y) = P (X = x

|N = x + y).P (N = x + y)

= C xx+y px(1 − p)y λx+y

(x + y)!e−λ = (λp)x

x!(λ(1 − p))y

y! e−λv,

P (X = x) =

y∈Z+ P (X = x, Y = y) = (λp)x

x! .C 1,

P (Y = y) =

x∈Z+ P (X = x, Y = y) = (λ(1− p))y

y! .C 2,

vi C 1 = e−λp, C 2 = e−λ(1− p), và P (X = x).P (y = y) = P (X =

x, Y = y). Điu đó có nghĩ là, trong trưng hp này (khi mà tngN = X + Y tuân theo phân b Poisson), hai bin X và Y đc lp vinhau!

3.2.3 Mt s h qu ca s đc lp

Đnh lý 3.4. Gi s X 1, . . . , X n là mt b n bin ngu nhiên đc

lp, và g1, . . . , gn là các hàm s thc. Khi đó các bin ngu nhiên

g1(X 1), . . . , gn(X n) cũng đc lp vi nhau.

Chng minh. Vi các tp con A1, . . . , An ⊂ R bt kỳ, ta có:P (g1(X ) ∈ A1, . . . , gn(X ) ∈ An) = P (X 1 ∈ g−1

1 (A1), . . . , X 1 ∈g−1n (An)) = i P (X i ∈ g−1

i (Ai)) = i P (g(X i) ∈ Ai), và do đó

các bin ngu nhiên g1(X 1), . . . , gn(X n) đc lp vi nhau.

Tương t như vy, ta có mnh đ sau (chng minh ca nó là bàitp dành cho bn đc):

Mnh đ 3.5. Nu X 1, X 2, X 3 là mt b 3 bin ngu nhiên đc lp, và

φ : R2 → R là mt hàm hai bin, thì các bin ngu nhiên φ(X 1, X 2) và

X 3 đc lp vi nhau.






Nhc li rng, nu X là mt bin ngu nhiên, thì hàm sinh xácsut ca nó là hàm GX (z) = E(zX ), và hàm đc trưng ca nó là hàm

ΦX (s) = E(exp(√ −1sX )).

Đnh lý 3.6. Nu X 1, . . . , X n là mt b n bin ngu nhiên đc lp, thì:

i)

E(i

X i) =i

E(X i), (3.23)

ii)

var(i

X i) =i

var(X i), (3.24)

iii)

Gi X i

(z) =i

GX i(z), (3.25)

iv)

Φi X i

(s) =i

ΦX i(s). (3.26)

Chng minh. i) và ii). Chúng ta s chng minh cho trưng hpn = 2, và hai bin ngu nhiên X 1, X 2 ch nhn mt s hu hn cácgiá tr a1, . . . , ak và b1, . . . , bm tương ng. Khi đó ta có:

i)E

(X 1X 2) =

ij aib jP (X 1 = ai, X 2 = b j)=

ij aib jP (X 1 = ai)P (X 2 = b j)

= (

i aiP (X 1 = ai))(

j b jP (X 2 = b j)) = E(X 1)E(X 2).

ii) var(X 1 + X 2) = E((X 1 + X 2)2) − E(X 1 + X 2)2 =

= E(X 21 ) + 2E(X 1X 2) + E(X 22 ) − (E(X 1) + E(X 2))2 =

= E(X 21 ) + 2E(X 1X 2) +E(X 22 ) −E(X 1)2−2E(X 1)E(X 2) −E(X 2)2 =

= E(X 21 ) − E(X 1)2 + E(X 22 ) − E(X 2)2 = var(X 1) + var(X 2).





Trưng hp các bin ngu nhiên nhn vô hn các giá tr có th suy ra t trưng hp vi hu hn các giá tr bng cách ly gii hn.

Trưng hp n tùy ý suy ra t trưng hp n = 2 bng qui np.iii) Ta có G

i X i(z) = E(z

X i) = E(

zX i) =

i E(zX i) =

i GX i(z), do các bin zX i đc lp vi nhau.

iv) Chng minh hoàn toàn tương t.

Ví d 3.5. Gi s X và Y là hai bin ngu nhiên đc lp có phân bPoisson vi các tham s là λ và γ tương ng. Khi đó X + Y cũng có

phân b Poisson vi tham s là λ + γ . Đ thy điu đó, ta có th tínhP (X + Y = k) qua công thc

P (X +Y = k) =h

P (X = h, Y = k−h) =h

P (X = h)P (Y = k−h),

hoc là ta có th lý lun như sau: Hàm sinh ca X là GX (z) =

exp(λ(z − 1)), ca Y là GY (z) = exp(γ (z − 1)). Vì X và Y đc lp vi nhau nên hàm sinh ca X + Y là GX +Y (z) = GX (z)GY (z) =

exp(λ(z − 1)) exp(γ (z − 1)) = exp((λ + γ )(z − 1)) là hàm sinh caphân b Poisson vi tham s λ + γ . Bi vy X + Y có phân b này.

Bài tp 3.8. Gi s X và Y là hai bin ngu nhiên đc lp tuân theocác phân b normal

N (µ1, σ2

1) và N

(µ2, σ22) tương ng. Hãy tính hàm

đc trưng ca X + Y , và t đó suy ra rng X + Y tuân theo phân bnormal N (µ1 + µ2, σ2

1 + σ22).

Bài tp 3.9. Tung mt quân xúc sc nhiu ln, cho đn khi tng catt các các s hin lên trong các ln tung đt ít nht 1000. Gi γ

là xác sut đ s ln phi tung ln hơn 350. Dùng bt đng thc

Chebyschev đ tìm mt đánh giá chn trên ca γ .





3.3. Lut s ln

Bài tp 3.10. Tung mt con xúc sc 5 ln. Dùng hàm sinh xác sut,hãy tính xác sut đ tng các s hin lên trong 5 ln tung là 15.

Bài tp 3.11. Gi s X 1, X 2, X 3, . . . là mt dãy các bin ngu nhiênđc lp có cùng mt phân b xác sut, vi kỳ vng µ < 0 và phươngsai σ2 < ∞. Gi S n = X 1 + . . . + X n là tng ca n bin ngu nhiênđu tiên. Dùng bt đng thc Chebyschev đ chng minh rng, vimi c ∈ R, ta có limn→∞ P (S n ≥ c) = 0.

3.3 Lut s ln

3.3.1 Dng yu ca lut s ln cho phân b bt kỳ

Gi s X 1, X 2, X 3, . . . là mt dãy vô hn các bin ngu nhiên đc

lp có cùng mt phân b xác sut vi kỳ vng µ và phương sai σ2 huhn. Đt S n = X 1 + . . . + X n. Ta có m rng sau đây ca đnh lý 1.4:

Đnh lý 3.7 (Lut s ln). Vi mi > 0 ta có

limn→∞ P

S nn

− µ

<

= 1. (3.27)

Đnh lý Bernoulli 1.4 là trưng hp riêng ca đnh lý trên, khi màX i ch nhn hai giá tr 0 và 1.

Chng minh. Do các bin ngu nhiên X i đc lp vi nhau nên

var(S n) = n

i=1 var(X i) = nσ2, và E(S n) = n

i=1 E(X i) = nµ. Áp





dng bt đng thc Chebyschev, ta có:

P S n

n −µ ≥ = P (

|S n−

E(S n

)| ≥

n) ≤

var(S n)

(n)2 =

σ2

n2

n→∞−→

0,

(3.28)t đó suy ra điu phi chng minh.

Ghi chú 3.4. Chng minh ca đnh lý 3.7 tt nhiên có th dùng đưccho đnh lý 1.4, và nó đơn gin hơn cách chng minh đnh lý 1.4 vitphía trên. Tuy nhiên, cách chng minh đnh lý 1.4 phía trên cho mt

đánh giá hi t tt hơn: dãy s dng an, vi 0 < a < 1, h t v 0nhanh hơn là dãy s 1/n.

Ghi chú 3.5. K c trong trưng hp vi kỳ vng µ hu hn nhưngphương sai vô hn, đnh lý 3.7 vn đúng, nhưng chng minh phctp hơn, và khi đó nó đưc gi là đnh lý Khinchin. (Có th xem,chng hn, [5] và [6]).

Bài tp 3.12. Mt sòng bc hp pháp đưc rao bán, và bn là nhàđu tư mun mua nó. Nhưng trưc khi mua nó bn mun bit linhun hàng năm ca nó bao nhiêu. Sòng bc này ch chuyên v tròquay vòng đ đen. Mi bàn quay có 37 ô: 18 ô đ, 18 ô đen, và 1 ônhà cái. Nu khi quay vòng kim ch vào ô cùng mu vi ô đt cc thì

ngưi chơi thng, đt 1 ăn 1, còn nu kim ch vào ô khác màu hoc vào ô nhà cái thì ngưi chơi mt tin đt cc. Nói cách khác, c miln đc cc, thì xác sut đ nhà cái thng s tin đt cc đó là 19/37, và đ nhà cái thua s tin đt cc đó là 18/37. Bit rng trong nămsòng bc m ca c 365 ngày, mi ngày trung bình các ngưi chơiđt cc tng cng 50 nghìn euro. Gii thích ti sao lut s ln li có

th dùng đ tính ưc lưng s tin thu v đưc trong 1 năm ca sòng





3.3. Lut s ln

bc t trò chơi quay vòng đ đen (trưc khi tr chi phí hot đng), và hãy tính con s này.

3.3.2 Dng mnh ca lut s ln

Đnh lý 3.8 (Lut s ln). Gi s X 1, X 2, X 3, . . . là mt dãy vô hn

các bin đc lp có cùng mt phân b xác sut vi kỳ vng bng µ và

E(X 4

1 ) hu hn. Khi đó ta có:

P

limn→∞

ni=1 X i

n = µ

= 1, (3.29)

hay nói cách khác, hu như chc chn rng,n

i=1 X in

tin ti µ khi n

tin ti vô cùng.

Ghi chú 3.6. Tt nhiên, dng mnh ca lut s ln mnh hơn dngyu, và bi vy cũng đòi hi điu kin mnh hơn: nu mt phân bxác sut nào đó tha mãn lut s ln mnh, thì nó cũng nghim nhiêntha mãn lut s ln yu, tuy điu ngưc li không đúng.

Trưc khi chng minh đnh lý 3.8, ta cn hiu chính xác ý nghĩatoán hc ca đnh lý trên, và cn có mô hình xác sut t nhiên cho

s kin limn→∞

ni=1 X i

n = µ, tc là mô t tp hp tt c các tình hung

xy ra s kin này như là mt tp con trong mt không gian xác sutnào đó. Không gian xác sut đây s tích trc tip ca mt dãy vô

hn các không gian xác sut.





3.3.3 Tích ca mt dãy vô hn các không gian xác sut

Gi s ta có mt dãy vô hn các không gian xác sut (Ωi, P i), i =

1, 2, 3, . . . . Khi đó tích trc tip ca chúng là không gian

Ω =∞i=1

Ωi = (x1, x2, x3, . . .)|xi ∈ Ωi ∀i ∈ N. (3.30)

Mi phn t ca Ω là mt dãy x = (xi)i∈N các phn t xi: xi ∈ Ωi

vi mi i ∈ N. Phân b xác sut tích trên Ω đưc cho bi công thcsau: nu Ai ⊂ Ωi sao cho tn ti P i(Ai) vi mi i ∈ N, thì theo đnhnghĩa,

P (∞i=1

Ai) :=∞i=1

P i(Ai) := limn→∞

ni=1

P i(Ai). (3.31)

đây ∞i=1 Ai =

(x1, x2, x3, . . .)

|xi

∈ Ai

∀i

∈N

là mt tp con ca

Ω có dng tích trc tip. Chú ý rng tích vô hn

∞i=1

P i(Ai) = limn→∞

ni=1

P i(Ai)

tn ti và không âm, bi vì dãy s (

ni=1 P i(Ai))n∈N là mt dãy đơn

điu không tăng không âm. Tích này có th bng 0 k c khi P i(Ai) >0 vi mi i. Th nhưng nu P i(Ai) > 0 vi mi i, và P i(Ai) = 1 vihu ht mi i tr mt s hu hn các giá tr ca i, thì tích này có th coi như là mt tích hu hn, vi giá tr dương.

Đi vi các tp con ca Ω không có dng tích trc tip, thì xácsut ca chúng có th tính đưc t xác sut ca các tp con có dng

tích trc tip, thông qua các tiên đ ca xác sut. Ví d, xác sut ca





3.3. Lut s ln

hp ca hai tp con có dng tích trc tip là:

P (i Ai ∪i Bi) = P (

i Ai) + P (

i Bi) − P ((

i Ai) ∩ (

i Bi))

= P (i

Ai) + P (i

Bi) − P (i

(Ai ∩ Bi))

=i

P i(Ai) +i

P i(Bi) −i

P i(Ai ∩ Bi).

Bng cách đó, ta có th đnh nghĩa xác sut ca mi tp con ca Ω

mà nm trong sigma-đi s sinh bi các tp con có dng tích trc tip(qua các phép: phn bù, giao, hp, và hp mt dãy vô hn). Đ đoxác sut P trên Ω đnh nghĩa như trên, cùng vi sigma-đi s này,đưc gi là tích trc tip ca các đ đo xác sut P i.

Nu ta có mt dãy vô hn các bin ngu nhiên đc lp X i,, thì tacó th coi nó như mt vector vô hn chiu (X i)i

∈N, và vector vô hn

chiu này sinh ra trên không gian vô hn chiu RN mt phân b xácsut P , chính là tích trc tip ca các phân b xác sut P i ca X i trênR:

(RN, P ) =∞i=1

(R, P i) (3.32)

Trong trưng hp các bin X i có cùng phân b xác sut, tc là P i =P 1 vi mi i ∈ N, ta có th vit

(RN, P ) = (R, P 1)N (3.33)

Tích vô hn (R, P i)N này có th dùng làm mô hình không gian xác

sut trong đnh lý 3.8. Khi đó s kin limn→∞

1

n

n

i=1

X i = µ ng vi tp





hp con (xi)i∈N ∈ RN| limn→∞ 1n

ni=1 X i = µ trong RN. Đnh lý

3.8 tương đương vi khng đnh

P (A) = 0, (3.34)

trong đó A = RN \ (xi)i∈N ∈ RN| limn→∞ 1n

ni=1 X i = µ.

Có mt chi tit k thut là: tp A trên không nht thit nmtrong sigma-đi s ca (R, P 1)N xây dng như trên. Khi đó ta phihiu P (A) = 0 như th nào? Vn đ này dn đn đnh nghĩa sau:

Đnh nghĩa 3.5. Gi s B là mt tp đo đưc ca mt không gian xác

sut (Ω, P ) , vi P (B) = 0 , và A là tp con ca B. Khi đó A s đưc gi

là tp con có th b qua , và ta cũng vit

P (A) = 0.

Nói cách khác, nu mt tp có xác sut bng 0, thì ta coi mi tpcon ca nó cũng có xác sut bng 0, k c khi các tp con đó khôngnm trong sigma-đi s ban đu. Ta có th m rng sigma-đi s đ cha tt c các tp con như vy.

3.3.4 Chng minh đnh lý 3.8Chúng ta s chia chng minh ca đnh lý 3.8 thành mt s bưc,

mi bưc chúng ta s vit dưi dng mt b đ.

B đ 3.9 (Tiêu chun xác sut bng 0). Nu tn ti mt dãy các tp

con A ⊂ An ⊂ (Ω, P ) sao cho An đo đưc và limn→∞ P (An) = 0 , thì

P (A) = 0.





3.3. Lut s ln

Chng minh ca b đ trên là bài tp dành cho bn đc.

Gi s X 1, X 2, X 3, . . . là mt dãy vô hn các bin đc lp có cùng

mt phân b xác sut vi kỳ vng bng µ và E(X 41 ) hu hn, như trong đnh lý 3.8. Đt Y i = X i − µ (đ chuyn đnh lý v trưng hp vi kỳ vng bng 0). D thy rng, điu kin E(X 41 ) hu hn tươngđương vi điu kin moment trung tâm bc 4 µ4 = E(Y 41 ) hu hn, và suy ra điu kin phương sai σ2 = E(Y 21 ) hu hn.

B đ 3.10. Vi mi n ∈N ta có

E((

ni=1

Y i)4) = nµ4 + 3n(n − 1)σ4 ≤ C n2, (3.35)

trong đó C = 3σ4 + µ4 là mt hng s (không ph thuc vào n ).

Chng minh. Ta có

(

ni=1

Y i)4 =

ni=1

Y 4i + 6i<j

Y 2i Y 2 j + 4i= j

Y 3i Y j

+ 6i= j=k

Y 2i Y jY k +

i= j=k=lY iY jY kY l.

Do các bin ngu nhiên Y 1, . . . , Y n đc lp vi nhau và có kỳ vngbng 0 nên E(Y 3i Y j) = E(Y 3i )E(Y j) = 0 vi mi i = j, và tương t như vy, E(Y 2i Y jY k) = E(Y iY jY kY l) = 0 vi mi i = j = k = l. Bi vy

E((n

i=1

Y i)4) =

n

i=1

E(Y 4i ) + 6i<j

E(Y 2i )E(Y 2 j ) = nµ4 + 3n(n − 1)σ4.





B đ 3.11. Vi mi k ∈ N tn ti mt hng s C k = k4C sao cho

P (|

1

n

n

i=1

Y i| ≥

1

k) <

C k

n2 (3.36)

vi mi n ∈ N.

B đ 3.11 suy ra trc tip t b đ 3.10 và bt đng thc Markov.

B đ 3.12. Vi mi k ∈ N tn ti mt s mk ∈ N sao cho, đt

Bk =

n≥mk

(| 1n

ni=1

Y i| ≥ 1k

), (3.37)

ta có

P (Bk) < 1

2k. (3.38)

B đ 3.12 suy ra trc tip t b đ 3.11 và s hi t ca chui

s∞n=1

1

n2.

Nhc li rng, A là s kin “ 1n

ni=1 Y i không tin ti 0 khi n tin

ti vô cùng”, và đnh lý 3.8 tương đương vi khng đnh P (A) = 0.

ĐtAk =

h>k

Bh. (3.39)

B đ 3.13. Ta có

A ⊂ Ak và P (Ak) < 1

2k (3.40)

vi mi k ∈ N.





3.4. S tương quan gia các bin ngu nhiên

Khng đnh A ⊂ Ak suy ra trc tip t đnh nghĩa v gii hn,còn bt đng thc P (Ak) < 1/2k là h qu trc tip ca b đ 3.12.

T b đ cui cùng ta suy ra P (A) = 0, là điu cn phi chng minh.

3.4 S tương quan gia các bin ngu nhiên

3.4.1 Hip phương sai

Đnh nghĩa 3.6. Nu X, Y là hai bin ngu nhiên, thì hip phươngsai (covariance) ca chúng là đi lưng

cov(X, Y ) = E((X − E(X ))(Y − E(Y ))). (3.41)

Trong trưng hp đc bit, khi X = Y , t đnh nghĩa trên ta có

khng đnh sau: hip phương sai ca mt bin ngu nhiên vi chínhnó chính là phương sai ca nó:

cov(X, X ) = E((X − E(X ))2) = var(X ) = σ(X )2. (3.42)

Ý nghĩa ca hip phương sai cov(X, Y ) như sau: nó đo đ dao

đng “cùng hưng” hay “ngưc hưng” ca X và Y . đây ta hìnhdung là X và Y dao đng quanh trung đim (giá tr kỳ vng) tươngng ca chúng. Nu như X và Y luôn dao đng cùng hưng, tc làX dao đng lên trên trung đim (X −E(X ) > 0) mi khi Y cũng daođng lên trên trung đim, và X dao đng xung dưi mi khi Y cũngdao đng xung dưi, thì (X − E(X ))(Y − E(Y )) luôn có có giá tr

ln hơn hoc bng 0, và cov(X, Y ) là s dương. Ngưc li, nu X và





Y dao đng ngưc hưng, thì cov(X, Y ) là s âm. Trong trưng hpchung, cov(X, Y ) là s âm hay s dương tùy thuc vào vic X và Y

dao đng ngưc hưng nhiu hơn hay là dao đng cùng hưng nhiuhơn.

Đnh lý 3.14. i) Mt công thc khác đ tính hip phương sai là:

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ). (3.43)

ii) Nu hai bin X và Y đc lp vi nhau, thì cov(X, Y ) = 0.

Chng minh. i) Ta có:

E((X −E(X ))(Y −E(Y ))) = E(XY −E(X )Y −X E(Y )+E(X )E(Y ))

= E(XY )−E(X )E(Y )−E(X )E(Y )+E(X )E(Y ) = E(XY )−E(X )E(Y ).

ii) Khi X và Y đc lp vi nhau thì E(XY ) = E(X )E(Y ), do đócov(X, Y ) = E(XY )

−E(X )E(Y ) = 0

Đnh lý 3.15. Hip phương sai có các tính cht sau:

i) Đi xng: cov(X, Y ) = cov(X, Y )

ii) Tuyn tính: cov(a1.X 1+a2.X 2, Y ) = a1.cov(X 1, X )+a2.cov(X 2, Y )

iii) Bt bin theo xê dch: cov(X + a, Y ) = cov(X, Y )

Các tính cht trên suy ra trc tip t đnh nghĩa. Tính cht tuyn

tính cũng đúng vi bin Y , nên ta nói rng cov(X, Y ) có tính chtsong tuyn tính.

3.4.2 H s tương quan

Do tính cht song tuyn tính ca hip phương sai cov(X, Y ), ta

có th chia cov(X, Y ) cho σ(X )σ(Y ) đ đưc mt đi lưng có bc






thun nht bng 0, tc là không thay đi khi ta nhân X, Y vi cáchng s. Đi lưng đó đưc gi là h s tương quan (correlation) ca

X và Y :Đnh nghĩa 3.7. Nu hai bin ngu nhiên X, Y có đ lch chun

σ(X ), σ(Y ) khác 0, thì h s tương quan ca chúng là đi lưng

sau:

r(F, G) = cov(F, G)

σ(F )σ(G). (3.44)

Đnh lý 3.16. Nu X, Y là hai bin ngu nhiên có đ lch chun khác0, thì ta luôn có

− 1 ≤ r(X, Y ) ≤ 1. (3.45)

Hơn na, r(X, Y ) = 1 khi và ch khi X, Y có quan h tuyn tính vi

nhau vi h s dương, có nghĩa là tn ti mt s thc dương a > 0

và mt s thc b sao cho X = aY + b hu khp mi nơi. Ngưc li,

r(X, Y ) = −1 khi và ch khi X, Y có quan h tuyn tính vi nhau vih s âm, có nghĩa là tn ti mt s thc dương a < 0 và mt s thc b

sao cho X = aY + b hu khp mi nơi.

Đnh lý trên là h qu trc tip ca bt đng thc Cauchy-Schwarzsau:

Đnh lý 3.17. (Bt đng thc Cauchy-Schwarz). Nu U, V là hai binngu nhiên thc bt kỳ thì ta luôn có

E(U V )2 ≤ E(U 2)E(V 2). (3.46)

Du bng xy ra khi và ch khi U và V t l thun vi nhau, tc là hoc

là V = 0 hu khp mi nơi hoc là ta có th vit U = cV hu khp

mi nơi, vi c là mt hng s.





Trưng hp mà không gian xác sut là hu hn vi phân b xácsut đu, bt đng thc Cauchy-Schwarz có dng c đin quen thuc

sau: Vi các s thc ai, bi, i = 1, . . . , n, bt kỳ, ta có:

(i

aibi)2 ≤ (

i

a2i ).(i

bi)2. (3.47)

Đ chng minh bt đng thc c đin trên, ch cn kim tra rng

(i

aibi)2

−( a2

i).(

i

bi)2 =

−i<j (aib j −

a j

bi)2

≤ 0. (3.48)

Du bng xy ra khi và ch khi aib j = a jbi vi mi i, j, có nghĩa là dãy s (ai) t l thun vi dãy s (bi). Trưng hp tng quát ca bt đngthc Cauchy-Schwarz trên không gian xác sut chng qua là gii hnca trưng hp c đin quen thuc trên.

Chng minh bt đng thc Cauchy-Schwarz trong trưng hptng quát: Ta có th vit U = U 1 + aV vi a = E(U V )/E(V 2). Khi đóta có E(U V )2 = a2E(V 2)2, E(U 1.V ) = 0, E(U 2) = E(U 21 + 2a.U 1.V +

a2.V 2) = E(U 21 ) + a2.E(V 2) ≥ a2.E(V 2), và bi vy E(U 2).E(V 2) ≥a2.E(V 2).E(V 2) = E(U V )2.

Trong bt đng thc Cauchy-Schwarz, nu ta đt U = F

−E(F ) và

V = G − E(G) thì ta đưc bt đng thc cov(F, G)2 ≤ σ(F )2.σ(G)2,t đó suy ra −1 ≤ r(F, G) ≤ 1.

Ghi chú 3.7. Đi lưng E(U V ) đưc gi là tích vô hưng ca U

và V . Vi tích vô hưng này, không gian các bin ngu nhiên (trênmt không gian xác sut c đnh nào đó) tr thành không gian tin

Hilbert (pre-Hilbert space).






Ví d 3.6. (Giá nhà và din tích nhà). Dãy s liu sau v giá rao báncác căn h Qun 13 thành ph Paris đưc ly t mt trang web bt

đng sn vào ngày 12/10/2009. Đ làm ví d đây, chúng ta s chly 40 qung cáo xut hin mi nht, trong s hàng nghìn qung cáo:

(102, 890), (45, 210), (40, 286), (53, 375), (69, 311), (64, 645),(84,498), (38, 262), (33, 210), (38, 223), (33, 242), (15, 129), (73,456), (31, 233), (16, 109), (40, 297), (85, 495), (84, 485), (100,780), (83, 490), (87, 460), (51, 275), (40, 297), (85, 495), (85,

505), (43, 215), (46, 265), (75, 477), (61, 293), (76, 399), (73,399), (73, 490), (85, 495), (37, 292), (34, 290), (30, 232), (20,150), (57, 383), (20, 132), (61, 290)

Trong dãy s liu trên, mi cp s gm 2 s: s th nht là dintích ca căn h, tính theo đơn v m2, s th hai là giá rao bán, tínhtheo đơn v nghìn euro. Ví d, (102, 890) có nghĩa là mt căn h

rng 102m2 đưc rao bán vi giá 890 nghìn Euro. Chúng ta s coikhông gian xác sut đây gm 40 phn t, vi phân b xác sut đu,mi phn t ng vi mt căn h đưc rao bán trong 40 qung cáophía trên. (Không gian xác sut này đưc gi là không gian xác sutthc nghim).

T s liu trên, ta có th tính ra h s tương quan gia bin X =

“din tích ca căn h Qun 13” và bin Y = “giá rao bán căn h Qun 13” (ti thi đim 12/10/2009) bng 0,888. Con s này cóth tính đưc bng tay, nhưng cũng có th dùng phn mm máy tínhđ tính, s nhanh hơn. Đc bit là khi bng s liu rt ln (khônggian xác sut có rt nhiu phn t), thì cách tính tt nht là nhp sliu vào máy ri tính bng máy. Đ tính h s tương quan trong ví d





Hình 3.1: Din tích căn h và giá rao bán ti Qun 13, Paris, tháng10/2009

này, các tác gi dùng phn mm gretl (vit tt ca: Gnu Regression,Econometrics and Time-series Library), là mt phn mm nh t do

mã m, có giao din trc giác d s dng.Hình 3.1, do chương trình gretl v ra, là đ th phân tán (scat-

terplot) ca hai bin “din tích căn h” và “giá căn h” trong ví dtrên.

Ví d 3.7. Trng lưng tr em lúc sinh ra, và ưc lưng bng soi siêu

âm. Mt nghiên cu thng kê trong y hc ca Schild, Fimmers và






Hansmann(2) trên 65 tr em cho thy phương pháp ưc lưng trnglưng tr em trưc lúc sinh ra bng soi siêu âm 3 chiu cho kt qu

rt tt: h s tương quan gia ưc lưng và trng lưng thc t lúcsinh ra là 0,976. Xem đ th phân tán trên hình 3.2.

Hình 3.2: Trng lưng ưc lưng bng soi siêu âm và trng lưngthc t

(2)R.L. Schild, R. Fimmers, L. Hansmann, Fetal weight estimation by three-dimensional ultrasound, Ultrasound in Obstetrics and Gynecology, 16 (2000), 445–

452.





Bài tp 3.13. Xây dng mt ví d vi hai bin ngu nhiên không đclp vi nhau, nhưng có hip phương sai bng 0.

Bài tp 3.14. (Giá xe ô tô và tui ca xe). Dãy s liu sau v tui caxe Mercedes C220 cũ (s năm mà xe đã chy) và giá rao bán xe (tínhtheo euro) đưc ly t trang web vivastreet (chuyên v qung cáobán đ cũ) ngày 25/10/2009: (13, 3000), (4, 17500), (7, 9900), (3,17800), (6,11500), (6, 14000), (4,18000), (6, 15000), (10, 5490),(8, 12000), (1, 32500), (10, 6500), (9, 5900), (3, 24200), (11, 6000),

(2, 21000), (9,10700), (0, 30000), (8, 9800), (13, 4200). Hãy tínhh s tương quan gia hai bin “tui ca xe” và “giá rao bán xe” chocác xe Mercedes C220 cũ, da theo dãy s liu trên.

Bài tp 3.15. Tìm trng lưng và chiu cao ca mt nhóm ngưi(ví d mt lp hc), ri tính h s tương quan gia hai bin “trnglưng” và “chiu cao” ca nhng ngưi trong nhóm đó.

3.4.3 Quan h tuyn tính vi sai s bình phương nh nht

Nhc li rng, nu h s tương quan r = r(X, Y ) gia hai binngu nhiên X và Y bng ±1, thì Y = aX + b vi a, b là các hng s.Trong trưng hp chung (đc bit là khi r2 gn bng 1), ta cũng có

th vit Y dưi dng mt đa thc bc 1 ca X cng vi mt sai s

nào đó:

Y = aX + b + . (3.49)

Ta mun chn các hng s a và b sao cho sai s là nh nht có th.Ta s dùng chun L2 đ đo đ to nh ca . Có nghĩa là, ta mun

chn các hng s a và b sao cho E(||2) nh nht.






Đnh lý 3.18. Gi s X và Y là hai bin ngu nhiên không phi hng

s. Đt = Y − aX − b trong đó a, b là hai hng s thc. Khi đó

E(||2

) đt giá tr nh nht (theo a, b ) khi mà a =

cov(X, Y )

var(X ) và b =E(Y ) − aE(X ).

Chng minh. E((Y − aX − b)2) là mt đa thc bc 2 theo a và b,tin ti +∞ khi |a| + |b| tin ti vô cùng. Bi vy nó đt giá tr nhnht ti mt đim mà đo hàm riêng theo c hai bin a và b bng 0.

T đó ta có h phương trình tuyn tính theo a và b: ∂ E((Y −aX −b)2)

∂a = 2aE(X 2) − 2bE(X ) − 2E(XY ) = 0∂ E((Y −aX −b)2)

∂b = 2b − 2aE(X ) − 2E(Y ) = 0. (3.50)

Nghimduynhtcahphươngtrìnhtuyntínhtrênlàa = cov(X, Y )

var(X )

và b = E(Y )

−aE(X ), bi vy đy là đim cc tiu ca E((Y

−aX

−b)2). Có th tính ra rng, giá tr cc tiu ca E((Y − aX − b)2) bngvar(Y ).(1 − r(X, Y )2).

Đưng thng y = ax + b vi các h s a = cov(X,Y )var(X ) và b = E(Y ) −

aE(X ) đưc gi là đưng hi qui tuyn tính (linear regression), hay đưng quan h tuyn tính khp nht (fittest) cho hai bin ngu nhiên

X và Y , vi sai s bình phương nh nht. Đưng này là mt trưnghp riêng (trưng hp tuyn tính đơn bin) ca phương pháp hi qui

(regression, mc đích là đ vit đưc mt bin ngu nhiên dưi dnghàm s ca các bin ngu nhiên khác, vi sai s chp nhn đưc),theo nguyên tc bình phương nh nht.

Trong thc t, ta không bit ht các giá tr ca (X, Y ) (tc là

không bit chính xác phân b đng thi ca (X, Y )), mà ch bit





mt s giá tr (X 1, Y 1), . . . , (X n, Y n) ca nó (gi là các giá tr thcnghim). Khi đó, thay vì không gian xác sut ban đu ca (X, Y ), ta

có th s dng mô hình không gian xác sut thc nghim gm nphn t, vi phân b xác sut đu, và mi phn t ng vi mt cpgiá tr (X i, Y i). Ta có th coi (X, Y ) như là vector ngu nhiên trênkhông gian xác sut thc nghim này. Khi đó phân b ca (X, Y )

trên R2 cm sinh bi không gian xác sut thc nghim này đưc gilà phân b đng thi thc nghim, và các phân b biên cm sinh

cũng đưc gi là các phân b thc nghim (vi c ca mu thcnghim bng n). Vic tính toán hi qui trong thc t là da trên cácphân b thc nghim.

Ví d 3.8. Tip tc ví d 3.6 v quan h gia din tích căn h vàgiá căn h. Có th tính đưc rng (chng hn có th dùng chươngtrình gretl đ tính), trong ví d này, đưng quan h tuyn tính khp

nht là đưng thng y = 6, 14x + 13, 7. Xem hình 3.1. Các đim (x, y)

trong đ th phát tán nm hai bên ca đưng thng, và nói chung gn đưng thng. Chú ý rng, nu phn ln các đim ca đ th pháttán nm càng gn đưng hi qui tuyn tính, thì sai s bình phươngE(||2) càng nh, và h s tương quan bình phương r2 càng gn 1.

Bài tp 3.16. (S v án mng, t sát, và t l dân có súng). Bng thngkê sau là v s v án mng và s v t sát tính trên 1 triu dân trong1 năm, và t l s gia đình có súng, mt s nưc trên th gii, trongcác năm 1983-1986, theo s liu ca WHO(3).

(3)Ngun: M. Killas, International correlation between gun ownership and rates of

homicide and suicide, Can. Med. Assoc. J. 1993, 148 (10), 1721–1725.






Nưc Án mng T sát % gia đình có súng Australia 19,5 115,8 19,6

Belgium 18,5 231,5 18,6Canada 26,0 139,4 29,1England & Wales 6,7 86,1 4,7Finland 29,6 253,5 23,2France 12,5 223, 0 22,6The Netherlands 11,8 117,2 1,9

Northern Ireland 46,6 82,7 8,4Norway 12,1 142,7 32,0Scotland 16,3 105,1 4,7Spain 13,7 64,5 13,1Switzerland 11,7 244,5 27,2United States 75,9 124,0 48,0

West Germany 12,1 203,7 8,9

Da vào bng trên, hãy tính các h s tương quan gia các cpbin trong 3 bin ngu nhiên: “t l gia đình có súng”, “s v ánmng” và “s v t sát”, và tính các đưng hi qui tuyn tính giaca các cp bin ngu nhiên, theo nguyên tc sai s bình phương nh

nht.

3.4.4 H s tương quan và quan h nhân qu

Các bin ngu nhiên mà có h s tương quan ln v giá tr tuytđi, thưng có quan h nhân qu (causation) vi nhau, liên h mt

thit vi nhau v logic. Ví d, hc nhiu thì trình đ cao, trình đ cao





thì d xin đưc vic đòi hi trình đ cao. Nhng vic đòi hi trình đcao, ít ngưi làm đưc, thì phi tr lương cao đ tuyn đưc ngưi.

T đó suy ra hc nhiu thì thu nhp d cao hơn là không có hc. Tclà có quan h nhân qu gia “s năm đi hc” và “mc thu nhp”.Hoc là ví d phía trên v din tích căn h và giá căn h: din tíchcàng rng thì càng sưng và giá thành cũng càng cao, bi vy giácũng càng cao, tuy rng tt nhiên có nhng ch din tích nh li đthơn ch khác din tích rng hơn, vì giá căn h còn ph thuc vào

nhng yu t khác ngoài din tích, như là đa đim, cht lưng nhà, v.v.

Tuy nhiên, không phi lúc nào quan h nhân qu cũng rõ ràng. Ví d, mt nghiên cu năm 2009 đi hc Mainz cho thy Đc,“béo phì” (obesity) và “mc n đm đìa”(over-indebtedness) có tươngquan mnh vi nhau(4), nhưng không rõ là cái nào dn đn cái nào

và như th nào: mc n đm đìa dn đn b béo phì (do nh hưngtâm lý), hay là b béo phì dn đn mc n (do d b mt vic hơnkhi béo phì), hay là có nhng lý do chính khác. Hơn na, có nhngbin ngu nhiên mà v mt logic có th coi là không liên quan tinhau, nhưng các giá tr ca chúng có h s tương quan ln, do tìnhc. Không gian xác sut càng nh (càng ít phn t) thì càng d xy

ra hin tưng có các s kin không liên quan gì đn nhau nhưng cóh s tương quan ln.

Ví d 3.9. (Ly t Wikipedia(5)). Hình 3.3 cho thy có h s tươngquan gn bng -1 gia s v t vong vì tai nn xe c M trong

(4) Xem: http://www.sciencedaily.com/releases/2009/08/090811080751.htm(5)

Xem trang web http://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_does_not_imply_causation





3.5. Phân b và kỳ vng có điu kin

Hình 3.3: Tai nn giao thông cht ngưi và chanh tươi nhp khu

nhng năm 1996-2000, và s qu chanh nhp khu sang M t Mex-ico. Tuy nhiên ngưi ta có th t hi: hai bin đó thì liên quan gì vinhau?!

3.5 Phân b và kỳ vng có điu kin phn này chúng ta s bàn v phân b xác sut và kỳ vng ca

mt bin ngu nhiên X dưi điu kin Y = y, trong đó y là mt s và Y là mt bin ngu nhiên khác. Trong trưng hp Y có phân bxác sut liên tc ti y, tc là P (Y = y) = 0, thì chúng ta không th

đnh nghĩa hàm phân phi xác sut có điu kin P (X ≤ x|Y = y)





theo công thc xác sut có điu kin thông thưng, P (X ≤ x|Y =

y) = P ((X ≤ x) ∩ (Y = y))/P (Y = y), mà chúng ta s phi dùng các

phương pháp gii hn gii tích đ đnh nghĩa và nghiên cu nó. Còntrong trưng hp bin ngu nhiên Y có P (Y = y) > 0, thì ta có th dùng công thc xác sut có điu kin thông thưng.

3.5.1 Trưng hp ri rc

Đnh nghĩa 3.8. Gi s X, Y là hai bin ngu nhiên, y ∈ R , và P (Y =

y) > 0. Khi đó phân b xác sut có điu kin ca X vi điu kin

Y = y là phân b xác sut trên R cho bi công thc sau:

P X |Y =y(A) = P X |Y (A|y) = P (X ∈ A|Y = y) = P (X ∈ A, Y = y)

P (Y = y)(3.51)

(vi mi tp hp A ⊂ R thuc sigma-đi s Borel). Hàm phân phixác sut có điu kin là hàm

F X |Y =y(x) = F X |Y (x|y) = P X |Y =y(] − ∞, x]) = P (X ≤ x, Y = y)

P (Y = y) .

(3.52)Kỳ vng có điu kin ca X vi điu kin Y = y là

E(X |Y = y) =

x∈R

xdP X |Y =y. (3.53)

Nói cách khác, kỳ vng có điu kin chính là kỳ vng ca phân bxác sut P X |Y =y trên R. Trong trưng hp phân b xác sut P X |Y =y

là ri rc và tp trung ti các đim x1, x2, . . ., thì kỳ vng có điu kin






có th đưc tính theo công thc

E(X

|Y = y) =

i

xi.P X |Y =y(xi) =

i

xi.P (X = xi|Y = y),

(3.54) vi P (X = xi|Y = y) =

P (X = xi, Y = y)

P (Y = y) =

P X,Y (xi, y)

P Y (y) .

Ví d 3.10. Gi s X và Y là hai bin ngu nhiên đc lp vi phânb Poisson vi các tham s λ và γ tương ng. Chúng ta s tính phânb xác sut có điu kin ca X vi điu kin X + Y cho trưc, tc là

tính P (X = k|X + Y = k + m). Tng X + Y cũng có phân b Poisson vi tham s λ + γ . Bi vy,

P (X = k|X + Y = k + m) = P (X = k, Y = m)

P (X + Y = k + m)

=λk

k! e−λ γ mm! e−γ

(λ+γ )k+m

(k+m)! e−(λ+γ )

= (k + m)!

k!m!

λkγ m

(λ + γ )k+m

= C kk+m( λ

λ + γ )k(1 − λ

λ + γ )m

Nói cách khác, đt r = k + m, ta có

P X |X +Y =r(k) = C kr ( λ

λ + γ )k(1 − λ

λ + γ )r−k,

có nghĩa là phân b xác sut P X |X +y=r là phân b nh thc vi các

tham s r và λλ+γ . T đó suy ra E(X |X + Y = r) =

rλ

λ + γ .

Kỳ vng có điu kin có th đưc dùng đ tính kỳ vng khôngđiu kin qua công thc sau:

Đnh lý 3.19. Gi s Y là mt bin ngu nhiên ri rc và X là mt





bin ngu nhiên. Khi đó

E(X ) = y

E(X

|Y = y)P (Y = y). (3.55)

Chng minh. Ta có th vit X =

y X y, vi X y = X khi mà Y =

y và X y = 0 khi mà Y = y. Khi đó E(X |Y = y) = E(X y)/P (Y = y), và

E(X ) = E(y

X y

) = y

E(X y

) = y

E(X |Y = y)P (Y = y).

Ví d 3.11. Gi s mt ca hàng bán mt loi đ chơi đc bit. Mikhách hàng trong ngày có xác sut mua đ chơi đc bit là p, và cácquyt đnh mua ca các khách hàng là đc lp vi nhau. S khách

hàng trong ngày là mt s ngu nhiên N tuân theo phân b Poisson vi tham s λ. Gi K là s khách hàng mua đ chơi đc bit trongngày. Chúng ta mun tính E(K |N = n) và E(K ). Các gi s phía trêncho bit P (N = n) = λne−λ/n! (phân b Poisson), và P K |N (k|n) =

C kn pk(1 − p)k (phân b nh thc). T đó suy ra E(K |N = n) = pn, và

E(K ) = n E(K |N = n)P (N = n) = pn nP (N = n) = pE(N ) =

pλ.

Bài tp 3.17. Chng minh rng, trong ví d 3.11, bin K tuân theophân b Poisson vi tham s pλ, và E(N |K = k) = k + λ(1 − p).

Bài tp 3.18. Gi s X có phân b mũ vi tham s λ > 0. Gi s Y làbin ngu nhiên sao cho khi X = x thì Y có phân b đu trên đon

thng [0, x]. Hãy tính E(Y ).






3.5.2 Trưng hp liên tc

Khi P (Y = y) = 0, ta không đnh nghĩa đưc P (X

≤ x

|Y = y)

mt cách trc tip như trong trưng hp P (Y = y) > 0, mà phidùng đn các phép toán gii tích có s dng gii hn. Mt trong cácđnh nghĩa có th dùng là:

F X |Y =y(x) := P (X ≤ x|Y = y) := lim→0+

P (X ≤ x|y ≤ Y ≤ y + ),

(3.56)

nu như gii hn trên tn ti. Trong trưng hp ri rc, có th chngminh rng gii hn trên luôn tn ti và cho kt qu trùng vi đnhnghĩa thông thưng. đây chúng ta s ch quan tâm đn nhngtrưng hp liên tc “đ tt” sao cho gii hn trên tn ti.

Gi s vector ngu nhiên (X, Y ) có hàm mt đ đng thi ρX,Y

và các hàm mt đ biên ρX , ρY . Khi đó ta có th vit:

P (X ≤ x|Y = y) = lim→0+

P (X ≤ x|y ≤ Y ≤ y + ) =

= lim→0+

P (X ≤ x, y ≤ Y ≤ y + )

P (≤ Y ≤ y + ) = lim

→0+

x−∞(

y+y ρX,Y (t, s)ds)dt x+x ρY (s)ds

=

= x−∞ lim→0+(

y+y ρX,Y (t, s)ds/)dt

lim→0+

( x+x

ρY

(s)ds/)=

x

−∞

ρX,Y (t, y)

ρY (y) dt,

và bi vy, ta có:

Mnh đ 3.20. Trong trưng hp liên tc tuyt đi, nu ρY (y) > 0 thì

hàm mt đ ca phân b xác sut có điu kin P X |Y =y chính là hàm

ρX |Y (x

|y) := ρX

|Y =y(x) =

ρX,Y (x, y)

ρY (y)

. (3.57)





Kỳ vng có điu kin trong trưng hp liên tc có th đưc vitdưi dng:

E(X |Y = y) = R

xdP X |Y =y = ∞

−∞xρX |Y (x|y)dx. (3.58)

Đnh lý 3.21. Ta có các công thc sau:

i)

F X (x) = P (X ≤ x) =

∞−∞

F X |Y =y(x)ρY (y)dy, (3.59)

ii)

E(X ) = ∞

−∞E(X |Y = y)ρY (y)dy. (3.60)

Chng minh. Kim tra công thc th hai:

E(X ) =

∞y=−∞

∞x=−∞

xρX,Y (x, y)dxdy

= ∞y=−∞

∞x=−∞ xρX |Y (x|y)ρY (y)dx

dy

=

∞−∞

E(X |Y = y)ρY (y)dy.

Chng minh ca công thc th nht hoàn toàn tương t, và nhưngcho bn đc làm bài tp. Công thc th nht cũng có th đưc suy t công thc th hai, bng cách thay bin ngu nhiên X bng bin ngunhiên X x đnh nghĩa bi: X x = 1 khi X ≤ x và X x = 0 khi X > x.(Khi đó E(X x) = F X (x)).

Ví d 3.12. Xét vector ngu nhiên liên tc (X, Y ) vi hàm mt đ:ρX,Y (x, y) = 1/x khi 0 < y ≤ x ≤ 1, và ρX,Y (x, y) = 0 ti các đimkhác. D thy rng, vi mi x c đnh, 0 < x ≤ 1, phân b xác sut có

điu kin P Y |X =x là phân b đu trên đon thng ]0, x], vi hàm mt





3.6. Phân b normal nhiu chiu

đ bng 1/x trên đon thng đó. Phân b xác sut biên P X là phân bđu trên đon ]0, 1]. T đó suy ra E(Y ) =

10 E(Y |X = x)ρX (x)dx =

10 E(Y |X = x)dx =

10 (x/2)dx = 1/4.

3.6 Phân b normal nhiu chiu

3.6.1 Đnh nghĩa ca phân b normal nhiu chiu

Phân b normal n chiu (n ≥ 2) là m rng ca khái nim phânb normal trên R lên trưng hp nhiu chiu, và đóng vai trò rtquan trng trong vic nghiên cu các quá trình ngu nhiên (mà trongkhuôn kh ca quyn sách này chúng ta không bàn ti). Ví d đơngin nht ca phân b normal nhiu chiu là, nu Z 1, . . . , Z n là mtb n bin ngu nhiên đc lp vi nhau và cùng tuân theo phân b

normal chun tc N (0, 1), thì phân b đng thi ca (Z 1, . . . , Z n), vi hàm mt đ đng thi

ρ(x1, . . . , xn) = 1

(√

2π)n exp

−

i x2i

2

, (3.61)

là mt phân b normal nhiu chiu, gi là phân b normal nhiuchiu chun tc. Tương t như trong trưng hp mt chiu, ta mun

rng mt bin đi tuyn tính (hay affine, tc là tuyn tính cng vimt phép tnh tin) ca mt phân b normal nhiu chiu cũng là mtphân b normal nhiu nhiu. Bi vy ta có đnh nghĩa sau:

Đnh nghĩa 3.9. Ta nói rng mt vector ngu nhiên X = (X 1, . . . , X n)

có phân b normal n chiu , nu như tn ti mt b m bin ngu

nhiên Z = (Z 1, . . . , Z m) đc lp ( m ∈ N ), vi các Z i cùng tuân theo





phân b normal chun tc N (0, 1) , mt ma trn A = (aij) j=1,...,mi=1,...,n và

mt vector µ = (µ1, . . . , µn) ( A và µ là hng s), sao cho:

Xt = A.Zt + µt. (3.62)

Ch t trong công thc trên là phép chuyn v ma trn, đ bincác vector hàng thành vector ct. Nói cách khác,

X i =

mk=1

aikZ k + µi ∀i = 1, . . . , n . (3.63)

Tương t như trong trưng hp 1 chiu, các phân b normalnhiu chiu có th dùng làm mô hình xác sut ca khá nhiu vnđ thc t. Ví d, b 3 bin (chiu cao ca mt ngưi đàn bà, cânnng ca ngưi đó, ch s trí tu ca ngưi đó) có th đưc coi là 1 vector ngu nhiên 3 chiu vi phân b normal 3 chiu. Cơ s toánhc đ gii thích điu này cũng là đnh lý gii hn trung tâm.

Vì tng ca các bin ngu nhiên đc lp vi phân b normal cũnglà bin ngu nhiên vi phân b normal, nên nu X = (X 1, . . . , X n) cóphân b normal n chiu, thì các thành phn X i ca nó đu có phânb normal, tuy điu ngưc li không đúng.

Ma trn đi xng Σ = A.At, trong đó A là ma trn trong đnh

nghĩa trên, đưc gi là ma trn hip phương sai ca phân b normalnhiu chiu trong đnh nghĩa. Lý do là vì phn t Σij ca ma trn Σ

chính là hip phương sai cov(X i, X j) ca X i và X j . Tht vy, theođnh nghĩa, ta có X i =

k aikZ k + µi, vi kỳ vng bng µi. T đó suy

ra cov(X i, X j) = E((

k aikZ k)(

k a jkZ k)) =

k aika jk = Σij .

Vector µ đưc gi là vector kỳ vng ca phân b normal nhiu

chiu trên. Mt phân b normal nhiu chiu đưc xác đnh duy nht






bi ma trn hip phương sai Σ và vector kỳ vng µ ca nó, và thưngđưc ký hiu là N (µ, Σ).

3.6.2 Trưng hp hai chiu

Đ hiu hơn v phân b normal nhiu chiu, trưc ht chúng tas xét k hơn trưng hp 2 chiu. Gi (X 1, X 2) là mt vector ngunhiên 2 chiu vi phân b normal. Theo đnh nghĩa, ta có:

X 1 =

mi=1

a1iZ i + µ1, X 2 =

mi=1

a2iZ i + µ1, (3.64)

trong đó Z 1, . . . , Z m là mt b m bin ngu nhiên đ lp có phân bnormal chun tc N (0, 1).

Ma trn hip phương sai Σ trong trưng hp này là ma trn 2 ×2, vi 4 phn t:

Σ11 =k

a21k, Σ12 = Σ21 =k

a1ka2k, Σ22 =k

a22k. (3.65)

B đ 3.22. Nu ma trn hip phương sai Σ là ma trn đưng chéo,

tc là Σ12 = Σ21 = cov(X 1, X 2) = 0 thì hai bin ngu nhiên X 1 và X 2

đc lp vi nhau.

Chng minh. Có th kim tra trc tip theo đnh nghĩa, hoc làdùnghàmđctrưng,kimtrarngΦ(X 1,X 2)(s1, s2) = ΦX 1(s1).ΦX 1(s2)

nu như cov(X 1, X 2) = 0. Chú ý rng, nu X 1, X 2 là hai bin ngunhiên tùy ý, thì t cov(X 1, X 2) = 0 không suy ra đưc rng X 1 đclp vi X 2. Nhưng đây X 1 và X 2 là hai thành phn ca mt vector

ngu nhiên vi phân b normal, nên điu đó đúng.





Nu Σ không có dng đưng chéo (Σ12 = 0), thì vì Σ đi xngnên ta có th đưng chéo hóa nó bng mt ma trn 2 × 2 vuông góc

(orthogonal) C (vuông góc có nghĩa là C −1

= C t

): Σ = C −1

ΣC =C tΣC là ma trn đưng chéo. Đt (Y 1, Y 2)t = C −1.((X 1, X 2)t−µt) =

(C −1A).Zt. Khi đó (Y 1, Y 2) có phân b normal, và có ma trn hipphương sai bng (C −1A)(C −1A)t = C −1ΣC = Σ, là mt mà trnđưng chéo, và bi vy Y 1 và Y 2 đc lp vi nhau. Ta có th vitY 1 = β 1Z 1, Y 2 = β 2Z 2, trong đó α1 và α2 là đ lch chun ca Y 1 và

Y 2, và Z 1 và Z 2 đc lp và có phân b normal chun tc N (0, 1). Vì(X 1, X 2)t = C.(Y 1, Y 2)t + µt) nên ta có th vit:

X 1 = a11.Z 1 + a

12.Z 2 + µ1

X 2 = a21.Z 1 + a

22.Z 2 + µ2

. (3.66)

Có nghĩa là, trong trưng hp vector 2 chiu, ta luôn có th gi s

m = 2: Đ sinh ra mt vector ngu nhiên 2 chiu vi phân b normaltùy ý, ch cn bin đi tuyn tính mt vector ngu nhiên 2 chiu viphân b normal chun tc.

Trưng hp detΣ = 0 gi là trưng hp suy bin. Khi đó (ítnht) mt trong hai giá tr riêng (eigenvalue) ca Σ bng 0, suy ramt trong hai bin ngu nhiên, Y 1 và Y 2 phía trên là hng s, và khi

đó thc ra ta ch cn mt bin ngu nhiên vi phân b normal chuntc N (0, 1) đ sinh ra vector (X 1, X 2). Nói cách khác, trong trưnghp suy bin, ta có th vit

X 1 = α1Z + µ1

X 2 = α2Z + µ2

(3.67)

vi α1, α2 là hng s, và Z là mt bin ngu nhiên có phân b normal






chun tc N (0, 1). Phân b đng thi ca (X 1, X 2) trong trưng hpsuy bin tp trung trên đưng thng α2(x1 − µ1) = α1(x2 − µ2) trong

R

2

, và bi vy nó không có hàm mt đ trên R

2

.Trưng hp det Σ = 0 gi là trưng hp không suy bin. Khi đó

phân b xác sut ca X = (X 1, X 2) có hàm mt đ sau:

ρX(x) = 1

2π√

detΣexp(−1

2(x− µ).Σ−1.(x− µ)t). (3.68)

Tht vy, nu thay vì xét h ta đ x = (x1, x2) trên R2, ta xét h ta

đ mi y = (y1, y2), qua phép bin đi affine yt = C −1.(xt − µt), thìta có

ρX(x) = ρY(y) (3.69)

(hàm mt đ không thay đi, vì phép đi bin bo toàn din tíchEuclid), và

ρY(y) = ρY 1(y1)ρY 2(y1) = 1

2πβ 1β 2 exp(−1

2 (y2

1β 21+

y2

2β 22))

= 1

2π√

detΣ exp(−1

2(y.(Σ)−1.yt)

= 1

2π√

detΣexp(−1

2(x− µ).Σ−1.(x− µ)t).

Các đưng mc ca hàm mt đ ρX(x) ca phân b normal hai

chiu trên R2 là các đưng ellipse, vi tâm đim ti x = m (khôngđim ca h ta đ (y1, y2)) và các trc là các trc ca h ta đ(y1, y2).

Ví d 3.13. Hàm

ρX,Y (x, y) = 1

2π√

1

−r2

exp

− 1

2(1

−r)2

(x2 − 2rxy + y2)

,

(3.70)





là hàm mt đ ca mt phân b normal hai chiu (bivariate normaldistribution) vi tham s r, −1 < r < 1. Tham s r đây chính là h

s tương quan gia hai thành phn X và Y . Các phân b biên P X vàP Y ca phân b normal hai chiu này là các phân b normal chuntc N (0, 1). Ma trn hip phương sai đây là mà trn

Σ =

1 r

r 1

. (3.71)

Hai thành phn X và Y đây đc lp vi nhau khi và ch khi r = 0.

3.6.3 Mt s tính cht ca phân b normal nhiu chiu

Đnh lý 3.23. i) Gi s mt vector ngu nhiên n chiu X có phân b

normal. Khi đó phân b ca nó đưc xác đnh duy nht bi ma trn

hip phương sai Σ và vector kỳ vng µ ca nó. Nói cách khác, hai phânb normal n chiu có cùng ma trn hip phương sai và vector kỳ vng

thì bng nhau.

ii) Nu hng ca ma trn hip phương sai Σ bng k ( k ≤ n) , thì X có

th đưc sinh bi mt h k bin ngu nhiên đc lp có phân b chun

N (0, 1) qua mt phép bin đi affine, và phân b ca X tp trung ti

mt không gian affine con có s chiu bng k trên Rn .iii) Nu ma trn hip phương sai Σ là không suy bin (tc là det Σ = 0 ,

hay nói cách khác, hng ca Σ bng n ), thì phân b normal N (µ, Σ)

có hàm mt đ ρX sau trên Rn ( đây ta s dng các ký hiu X =

(X 1, . . . , X n) x = (x1, . . . , xn) , và |Σ| = det Σ ) :

ρX(x) = 1

(2π)n/2|Σ|1/2 exp(

−1

2(x

−µ).Σ

−1.(x

−µ)t). (3.72)






Các mt mc ca hàm mt đ ρX là các hình ellipsoid đng dng có

tâm đim ti µ. Nu ma trn Σ suy bin thì phân b N (µ, Σ) không có

hàm mt đ.iv) Vi mi c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn , bin ngu nhiên X =

ni=1 ciX i

có phân b normal N (µ, σ2) , vi µ = E(X ) = n

i=1 ciµi, và σ2 =

var(n

i=1 ciX i) = c.Σ.ct. (Nu var(n

i=1 ciX i) = 0 thì X là hng s,

có nghĩa là phân b xác sut ca X tp trung ti mt đim).

v) Ngưc li, gi s rng (X 1, . . . , X n) là mt vector ngu nhiên vi

tính cht: phân b xác sut can

i=1 ciX i là phân b normal (hoc làtp trung ti mt đim) vi mi (c1, . . . , cn) ∈ Rn. Khi đó, phân b xác

sut đng thi ca (X 1, . . . , X n) là mt phân b normal n chiu.

Trong mc trưc, chúng ta đã chng minh v cơ bn đnh lý trêntrong trưng hp 2 chiu, tr khng đnh cui cùng. Trưng hp tngquát n chiu chng minh hoàn toàn tương t trưng hp 2 chiu.

Khng đnh cui cùng có th chng minh bng cách xét hàm đctrưng.

Bài tp 3.19. Chng minh rng phân b normal n chiu N (µ, Σ) cóhàm đc trưng sau:

Φ(s) = exp(√ −1µ.st − 1

2s.Σ.st). (3.73)

Bài tp 3.20. Gi s X và Y là hai bin ngu nhiên đc lp tuântheo phân b normal chun tc N (0, 1). Tính hàm mt đ ca Z =1

2(X 2 + Y 2).

Bài tp 3.21. Ta gi phân b Cauchy là phân b liên tc trên R vihàm mt đ sau:

ρ(x) =

1

π(1 + x2) . (3.74)





(Phân b này không có kỳ vng, và không có phương sai hu hn).Chng minh rng nu Z 1 và Z 2 là hai bin ngu nhiên đc lp tuân

theo phân b normal chun tc N (0, 1), thì Z 1/Z 2 có phân b Cauchy. Bài tp 3.22. Gi s vector (X, Y ) có phân b normal 2 chiu vihàm mt đ

ρX,Y (x, y) = 1

2π√

1 − r2 exp(− 1

2(1 − r)2(x2 − 2rxy + y2)).

i) Chng minh rng X và Z = (Y −

rX )/(1−

r2)1/2 là các bin ngunhiên đc lp có phân b normal chun tc N (0, 1).

ii) Suy ra t i) rng

P (X > 0, Y > 0) = 1

4 +

1

2π arcsin r.

iii) Chng minh rng vi mi y ∈ R, phân b xác sut có điu kin

P X |Y =y là mt phân b normal có phương sai không ph thuc vàođim y, và tính phương sai và kỳ vng ca phân b có điu kin đó.





Chương 4

Các đnh lý gii hn

4.1 Đnh lý gii hn trung tâm

Đnh lý gii hn trung tâm là đưc coi là đnh lý quan trng nhtca xác sut thng kê, hòn đá tng ca thng kê toán hc. Nó là mttrong nhng đnh lý đưc trích dn s dng nhiu nht ca toàn btoán hc hin đi nói chung.

4.1.1 Đnh lý de Moivre – Laplace

Tin thân ca đnh gii hn trung tâm tng quát là đnh lý sauđây ca de Moivre và Laplace v dáng điu tim cn ca phân b xácsut nh thc

P n(k) = n!

k!(n − k)! pk(1 − p)n−k (4.1)

vi tham s p c đnh, khi n tin ti vô cùng.

177



Chương 4. Các đnh lý gii hn

Hình 4.1: Abraham de Moivre (1667–1754)

Đnh lý 4.1 (de Moivre – Laplace). Đt

z = z(n, k) = (k − np)/

np(1 − p). (4.2)

Khi đó

P n(k) = 1√

2π

np(1 − p)exp(−1

2z2).(1 + δ n(k)), (4.3)

trong đó δ n(k) hi t đu đn 0 khi n tin ti ∞ , có nghĩa là

limn→∞

sup

k

δ n(k) = 0.





4.1. Đnh lý gii hn trung tâm

Đnh lý 4.1 liên quan cht ch đn công thc Sterling sau đây trong gii tích:

limn→+∞ n !√

2πnne

n = 1. (4.4)

S dng công thc Sterling, có th chng minh khá d dàng đnh lý de Moivre – Laplace 4.1, và ngưc li, công thc Sterling cũng có th suy đưc ra t đnh lý 4.1. đây chúng ta s tm thi chp nhnđnh lý 4.1 và công thc Sterling mà không chng minh(1).

Mt h qu trc tip và quan trng ca đnh lý 4.1 là đnh lý sau:

Đnh lý 4.2 (de Moivre – Laplace). Gi s X 1, X 2, . . . , X n, . . . là các

bin ngu nhiên đc lp có cùng phân b xác sut Bernoulli: P (X i =

1) = p , P (X i = 0) = 1 − p vi mi i. Đt S n = X 1 + . . . + X n. Khi đó

vi mi cp s thc a < b ta có:

limn→∞ P

a ≤ S n − pn

np(1 − p)≤ b

=

ba

1√ 2π

e−x2/2dx. (4.5)

Chng minh. Theo gi thuyt, S n có phân b nh thc P (S n =

k) = P n(k) = C kn pk(n − p)n−k. Đt z = z(n, k) =

k − pn np(1 − p)

. Áp

(1)Các chng minh c đin ca công thc Sterling khá dài. Nhưng có th xem mtchng minh ngn gn và đơn gin, da trên hàm gamma và đnh lý hi t b chnLebesgue (đnh lý 2.8) trong bài báo sau: J. M. Patin, A very short proof of Sterling’s

formula, The American Mathematical Monthly, Vol. 96 (1989), No. 1, pp 41–42.





dng đnh lý 4.1, ta có:

P

a ≤ S n

− pn

np(1 − p) ≤ b

=a≤z≤b P n(k)

=a≤z≤b

∆n1√ 2π

exp(−1

2z2).(1 + δ n(k)), (4.6)

trong đó ∆n = 1

np(1 − p)

bng bưc nhy ca z trong tng phía

trên. Bi vy, theo đnh nghĩa tích phân Riemann, ta có

limn→∞

a≤z≤b

∆n1√ 2π

exp(−1

2z2) =

ba

1√ 2π

e−x2/2dx, (4.7)


Đnh lý 4.2 chính là mt trưng hp riêng quan trng ca đnh lý

gii hn trung tâm bàn đn mc sau.Ví d 4.1. Tung mt đng tin 1000 ln, có 600 ln hin mt nga. Tacó th coi đng tin là cân bng (hai mt sp và nga đu có xác suthin lên là 1/2) đưc không? Đ tr li câu hi đó, ta gi s là đngtin cân bng. Khi đó ta có phân b nh thc vi n = 1000, p = 1/2,

pn = 500, np(1 − p) ≈ 15, 1811 Gi k là s ln hin lên mt nga

trong s n = 400 ln tung. Theo đnh lý de Moivre – Laplace, ta cóP (k ≤ 599) = P

k − np

np(1 − p)≤ 99

15, 1811

≈ 6,521

−∞1√ 2π

e−x2/2dx >

0, 9999999999. Điuđócónghĩalà,nuđngxucânbng,thìxácsutđ hin lên mt nga ít nht 600 ln khi tung đng xu 1000 ln nhhơn 1/1010. Kh năng xy ra điu đó là quá nh đ có th tin đưc là

đng xu cân bng.






Ghi chú 4.1. Abraham de Moivre (1667–1754) là mt nhà toán hcngưi gc Pháp, b bt đi tù năm 1688 vì lý do tôn giáo, sau đó di

tn sang London và đó cho đn khi cht. Đưc bu vào vin Hàmlâm Hoàng gia Anh (Royal Society) năm 1697. Cùng vi Newton vàLeibniz, de Moivre là mt trong nhng ngưi đu tiên nghiên cuphép tính vi phân (differential calculus), mà thi đó gi là method of

fluxions. Khi ngưi ta hi Newton v method of fluxions, Newton cókhng đnh là “nên gp de Moivre vì ông ta bit tt hơn tôi”. Đnh

lý de Moivre–Laplace v dáng điu tim cn ca phân b nh thcđu tiên là do de Moivre phát hin và chng minh cho trưng hp p = 1/2 t năm 1733, sau đó nó đưc Laplace m rng cho trưnghp p bt kỳ. Ngoài lý thuyt xác sut và phép tính vi phân, de Moivrecòn là mt trong nhng ngưi đu tiên nghiên cu lý thuyt tp hp và s phc. Công thc (cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx) cho

s phc mang tên công thc de Moivre. Bài tp 4.1. Tính xác sut ca s kin sau: tung mt con xúc sc(đu) 6000 ln, s ln xut hin mt 6 là mt s ≥ 850 và ≤ 1050.

4.1.2 Đnh lý gii hn trung tâm

Gi s X 1, X 2, . . . , X n, . . . là mt dãy các bin ngu nhiên đc lpcó cùng phân b xác sut, vi kỳ vng bng µ và đ lch chun bngσ hu hn . Đnh lý gii hn trung tâm s cho chúng ta bit v dángđiu tim cn ca phân b xác sut ca tng S n = X 1 + . . . + X n, khin tin ti vô cùng. Trưc khi xét dáng điu tim cn ca S n, chúng tas chun hóa nó. Bi vì nu đ nguyên, và gi s chng hn µ > 0,

thì theo lut s ln, phân b xác sut ca S n s b dn v phía vô





cùng khi n tin ti vô cùng, và như vy thì nó không th tin ti mtphân b cho trưc nào đó. Nhc h qu sau đây ca s đc lp ca

các bin X i:

E(S n) =

ni=1

E(X i) = nµ, var(S n) =

ni=1

var(X i) = nσ2 (4.8)

Đt Z n = S n − nµ

σ√

n , ta có

E(Z n) = 0, var(Z n) = 1. (4.9)

Điu đó có nghĩa là, qua phép bin đi tuyn tính Z n = S n − nµ

σ√

n ,

ta có th đưa bin ngu nhiên S n v mt bin ngu nhiên Z n có kỳ vng bng 0 và phương sai bng 1. Bin ngu nhiên Z n này đưc gilà chun hóa ca S n, hay còn gi là tng chun hóa ca X 1, . . . , X n.

Sau khi đã chun hóa như vy, ta có th so sánh dáng điu ca phânb ca Z n vi các phân b chun hóa khác (có cùng kỳ vng bng 0 và đ lch chun bng 1). Đnh lý gii hn trung tâm phát biu rng,bt k phân b ban đu (ca X 1) ra sao, khi n ln thì phân b catng chun hóa Z n có th đưc xp x rt tt bng phân b normal N (0, 1), và khi n tin ti vô cùng thì nó tin ti N (0, 1). Nói mt cách

chính xác hơn:

Đnh lý 4.3 (Đnh lý gii hn trung tâm). Gi s X 1, X 2, . . . , X n, . . .

là mt dãy các bin ngu nhiên đc lp có cùng phân b xác sut vi kỳ

vng bng µ và đ lch chun bng σ hu hn. Đt

Z n =

(ni=1 X i)

−nµ

σ√ n . (4.10)






Khi đó vi mi a, b ∈ R , a < b , ta có:

limn→∞

P (a ≤

Z n ≤

b) = ba

1

√ 2πe−x2/2dx. (4.11)

Mt cách phát biu tương đương là:


là mt dãy các bin ngu nhiên đc lp có cùng phân b xác sut vi kỳ

vng bng µ và đ lch chun bng σ hu hn. Đt Z n = (n

i=1 X i)−nµσ√ n

.

Khi đó vi mi tp con A ⊂ R thuc sigma-đi s Borel, ta có:

limn→∞ P Z n(A) = lim

n→∞ P (Z n ∈ A) =

A

1√ 2π

e−x2/2dx = P N (0,1)(A).

(4.12)

Ghi chú 4.2. Nhiu nhà toán hc đã đóng góp vào đnh lý gii hn

trung tâm: đu tiên là de Moivre trong th k 18, ri đn Laplace,Cauchy, Bessel, Poisson trong th k 19, ri đn các nhà toán hcChebyschev, Markov, Lyapunov cui 19 đu th k 20, ri đn cácnhà toán hc ca th k 20 như von Mises, Polya, Lindeberg, Cramérphát trin và m rng nó, v.v. Tên gi đnh lý gii hn trung tâm(ting Đc: zentraler Grenzwertsatz) là do George Polya đưa ra năm

1920 trong mt bài báo nhan đ như vy. Mt điu thú v là AlanTuring (mt trong nhng cha t ca tin hc hin đi) cũng vit lunán v đnh lý gii hn trung tâm vào năm 1934, trưc khi phát hinra rng kt qu ca mình đã đưc Lindeberg làm ra t năm 1922.Ngưi đu tiên phát biu và chng minh đnh lý gii hn trung tâmcho mt phân b tng quát có l là Alexandr Mikhailovich Lyapunov

(1857–1918), mt nhà toán hc ngưi Nga, hc trò ca Chebyschev,





Hình 4.2: Alexandr M. Lyapunov (1857–1918)

vào năm 1901. Ngoài công trình v xác sut, Lyapunov còn ni ting v các công trình trong phương trình vi phân và s n đnh ca cách đng lc (n đnh Lyapunov, các lũy tha Lyapunov, v.v.).

Bài tp 4.2. Mt nhà máy sn xut dây xích bng thép, mi dây gm

nhiu mt xích. Đ dài ca các mt xích đưc đnh nghĩa sao cho đ






dài ca dây xích bng tng đ dài các mt xích. Phòng nghiên cuca nhà máy đo thy đ dài các mt xích là mt bin ngu nhiên X

có kỳ vng là 5cm và đ lch chun là 0,1cm. Nhà máy bán loi dây xích dài 50m, và đ yên tâm v đ dài, xây xích đó đưc ni bng1002 mt xích. Nhà máy cam đoan rng không có dây xích nào loinày dài dưi 50m, và nu khách hàng nào mua phi dây dài dưi50m thì đưc đn tin và đưc tng mt dây khác min phí.i) Ưc lưng xác sut đ sao cho mt dây xích vi 1002 mt xích có

đ dài dưi 50m.ii) Sau mt thi gian, b phn bán hàng ca nhà máy thy có nhiudây xích dài dưi 50m b tr li, và hi phòng nghiên cu xem vnđ nm đâu. Sau khi điu tra, phòng nghiên cu phát hin là đokhông tht chính xác: kỳ vng ca chiu dài mt xích không phi là5cm mà là 4,993cm. Vi kỳ vng này, xác sut đ mt dây xích vi

1002 mt xích có đ dài dưi 50m là bao nhiêu? Bài tp 4.3. i) Chng minh rng tng ca n bin ngu nhiên đc lpcó phân b Poisson vi tham s 1 là mt bin ngu nhiên có phân bPoisson vi tham s n.ii) Dùng kt qu trên và đnh lý gii hn trung tâm đ chng minhkhng đnh sau:

limn→∞ P (X n ≤ n) = 1/2,

trong đó X n là bin ngu nhiên có phân b Poisson vi tham s n, vàt đó suy ra:

lim

n→∞e−n1 +

n

1!

+ n2

2!

. . . + nn

n! =

1

2

.





4.1.3 Gii hn ca dãy hàm đc trưng

Đ chng minh đnh lý gii hn trung tâm, chúng ta s xét các

hàm đc trưng ΦZ n ca các tng chun hóa Z n = (

ni=1 X i) − nµσ√

n ,

trong đó X 1, X 2, . . . , X n, . . . là mt dãy các bin ngu nhiên đc lpcó cùng phân b xác sut vi kỳ vng bng µ và đ lch chun bngσ hu hn.

Mnh đ 4.5. Vi mi s ∈ R ta có

limn→∞ ΦZ n(s) = exp(−s2/2). (4.13)

Chng minh. Theo công thc bin đi hàm đc trưng khi binđi bin ngu nhiên mt cách tuyn tính (xem khng đnh iii) cađnh lý 2.18), và công thc tính hàm đc trưng ca mt tng các binngu nhiên đc lp (xem khng đnh iv) ca đinh lý 3.6), ta có:

ΦZ n(s) = exp

−√ −1nµ

σ√

n s

Φn

i=1 X i

s

σ√

n

= exp

−√ −1nµ

σ√

n s

ni=1

ΦX i

s

σ√

n

= exp

−√ −1nµ

σ√

n s

ΦX 1

s

σ√

n

n,

do đó

ln(ΦZ n(s)) = −√ −1nµ

σ√

n s + n ln

ΦX 1

s

σ√

n

= −√ −1nµt + n ln(ΦX 1(t)), (4.14)

trong đó t = s

σ√

n. Khi n tin ti ∞ thì t tin ti 0. Hàm ΦX 1(t)

kh vi liên tc 2 ln và có ΦX 1(0) = 1, ΦX 1(0) = √ −1µ, ΦX 1(0) =






−E(X 21 ) = −(σ2 + µ2). (Xem đnh lý 2.18). Do đó hàm ln ΦX 1 cũngkhviliêntchailntronglâncnca0,và ln ΦX 1(0) = 0, (lnΦX 1)(0) =

√ −1µ, (lnΦX 1)(0) = −σ2

Theo công thc khai trin Taylor–Lagrange,ta có:ln(ΦX 1(t)) =

√ −1µt − 1

2σ2t2 + o(t2),

trong đó o(t2) là ký hiu Landau: o(t2)/t2 tin ti 0 khi t tin ti 0.Do đó

ln(ΦZ n(s)) = −√ −1nµt + n(√ −1µt − 1

2 σ2

t2

+ o(t2

))

= −1

2nσ2t2 + no(t2) = −1

2s2 + no(t2).

Khi n tin ti vô cùng thì no(t2) = s2

σ2 o(t2)/t2 tin ti 0, do đó

limn→∞ ΦZ n(s) = exp( lim

n→∞ ln(ΦZ n(s)))

= exp( limn→∞ −1

2s2 + no(t2)) = exp(−1

2s2),

là điu phi chng minh.

Nhc li rng hàm Φ(s) = exp(−s2/2) chính là hàm đc trưngca phân b normal chun tc N (0, 1). Đnh lý gii hn trung tâm4.3 suy ra trc tip t Mnh đ 4.5 và mnh đ sau:

Mnh đ 4.6. Gi s có mt dãy bin ngu nhiên Z n vi các hàm

đc trưng ΦZ n tương ng sao cho, vi mi s ∈ R , ΦZ n(s) hi t đn

Φ(s) = exp(−s2/2) khi n tin ti vô cùng. Khi đó vi mi a, b ∈ R ,

a < b , ta có

lim

n→∞P (a

≤ Z n

≤ b) =

b

a

1

√ 2π

e−x2/2dx. (4.15)





Mnh đ trên là mt trưng hp riêng ca đnh lý liên tc 4.11 vtiêu chun hi t yu ca các phân b xác sut, mà chúng ta s bàn

đn trong phn sau.

4.2 Hi t yu và các kiu hi t khác

4.2.1 Hi t yu và hi t theo phân phi

Đnh nghĩa 4.1. Mt dãy phân b xác sut P n (hay mt dãy hàm phân phi xác sut F n tương ng) đưc gi là hi t yu đn mt phân b

xác sut P ∞ (hay đn mt hàm phân phi xác sut F ∞ tương ng) nu

chúng tha mãn điu kin sau: Vi mi đim liên tc x ∈ R ca F ∞(tc là P ∞(x) = 0 ), ta có

limn→∞ F

n(x) =

F ∞(x). (4.16)

Chúng ta có th ký hiu s hi t yu như sau:

P nw−→ P ∞ , F n w−→ F ∞. (4.17)

Ch w phía trên có nghĩa là yu (weak ting Anh). Hi t yu làkiu hi t hay dùng nht cho các thông kê xác sut. Bi vy khi ta vit limn→∞ P n = P ∞ ta s hiu đó là gii hn yu, tc là P n hi tyu đn P ∞. Ví d sau cho thy vì sao, trong đnh nghĩa trên, ta chyêu cu limn→∞ F n(x) = F ∞(x) khi x là đim liên tc ca F ∞(x).

Ví d 4.2. Gi s (cn)n∈N là mt dãy s thc tin ti mt s thcc∞ khi n tin ti vô cùng. Gi s thêm rng cn > c vi mi n. Gi

P n (hay P ∞) là phân b xác sut ca hng s cn (hay c∞), tc là





4.2. Hi t yu và các kiu hi t khác

phân b xác sut ri rc tp trung ti đim cn (hay c∞): P n(cn) = 1

(hay P ∞(c∞) = 1). Khi đó ta mun nói mt cách t nhiên rng P n

hi t đn P ∞ khi n tin ti vô cùng. Tuy nhiên F n(c∞) = P n(] −∞, c∞]) = 0 vi mi n trong khi F ∞(c∞) = 1, và bi vy điu kinlimn→∞ F n(x) = F ∞(x) không tha mãn ti đim x = c∞ (là đimgián đon ca hàm phân phi xác sut F ∞). Ti các đim x = c∞ thìđiu kin này đưc tha mãn. Bi vy, trong ví d này, đ có đưcs hi t ca dãy phân b (P n)n∈N đn P ∞, ta phi dùng hi t yu,

như đưc đnh nghĩa trên.Các phân b xác sut ri rc có th hi t yu đn các phân b

xác sut liên tc, và ngưc li, các phân b xác sut liên tc cũng cóth hi t yu đn các phân b xác sut ri rc.

Ví d 4.3. i) Vi mi n ∈ N, gi P n là phân b xác sut đu trên đon

thng [0, 1/n] (vi hàm mt đ bng n trên đon thng đó). Khi ntin ti vô cùng, thì P n hi t yu đn phân b ri rc P ∞ tp trungti đim 0: P ∞(0) = 1.ii) Vi mi n ∈ N, gi P n là phân b xác sut ri rc tp trungti n đim 1/n, 2/ n , . . . , 1 vi các xác sut bng nhau và bng 1/n:P n(1/n) = P n(2/n) = . . . = P n(1) = 1/n. Khi n tin ti vô cùng, thì

P n hi t yu đn phân b đu trên đon thng [0, 1].

Đnh nghĩa 4.2. Mt dãy bin ngu nhiên Z n đưc gi là hi t theophân phi xác sut đn mt bin ngu nhiên Z (hay còn gi là hi t

theo phân phi đn phân b xác sut ca Z ), nu như dãy phân b xác

sut P Z n ca Z n hi t yu đn phân b xác sut P Z .





Chúng ta s ký hiu s hi t theo phân phi như sau:

Z nd

−→ Z, (4.18)

hoc làZ n

d−→ P Z . (4.19)

Ch d có nghĩa là distribution, tc là phân phi (hay phân b) xácsut.

Ví d 4.4. Gi s X n là bit ngu nhiên ri rc nhn hai giá tr 1/n

và 1 − 1/n vi các xác sut tương ng P (X n = 1/n) = (n + 1)/2n vàP (X n = 1 − 1/n) = (n − 1)/2n. Khi đó X n hi t theo phân phi đnbin ngu nhiên X vi phân b Bernoulli: P (X = 0) = P (X = 1) =

1/2.

Vì phân b normal chun tc N (0, 1) là mt phân phân b liêntc, nên

Z n

d

−→ N (0, 1) khi và ch khi

F Z n(b)

n→∞−→ b∞ exp(−x

2

/2)dx vi mi x ∈ R. Bi vy đnh lý gii hn trung tâm có th đưc phátbiu li như sau:


là mt dãy các bin ngu nhiên đc lp có cùng phân b xác sut

vi kỳ vng bng µ và đ lch chun bng σ hu hn. Gi Z n =

(n

i=1 X i) − nµσ√

n là tng chun hóa ca X 1, . . . , X n. Khi đó

Z nd−→ N (0, 1) (4.20)

khi n tin ti vô cùng.

Bài tp 4.4. Chng minh rng mt dãy phân b xác sut normal

N (µn, σ2n) hi t yu khi và ch khi hai dãy s (µn) và σn hi t.






Bài tp 4.5. Chng minh rng mt dãy phân b xác sut P n hi tyu đn mt phân b xác sut P ∞ khi và ch khi vi mi đon thng

m ]a, b[ ta có lim inf n→∞ P n(]a, b[) ≥ P ∞(]a, b[). Bài tp 4.6. Gi s rng X n có phân b hình hc vi tham s 1/n.Chng minh rng

X nn

d−→ Y

khi n tin ti vô cùng, trong đó Y có phân b mũ vi tham s 1.

Bài tp 4.7. Gi s X 1, X 2, . . . là mt dãy các bin ngu nhiên đclp có phân b đu U (0, 1). Đt

Y n = n(1 − max(X 1, X 2, . . . , X n)).

Chng minh rng Y n hi t theo phân phi xác sut đn X , trong đóX có phân b mũ vi tham s 1.

4.2.2 Các metric trên không gian các phân b xác sut

V mt trc giác, khi chúng ta nói rng phân b xác sut P 1 gnbng phân b xác sut P 2 có nghĩa là khong cách gia P 1 và P 2 nh.Nhưng đ phát biu điu đó mt cách chính xác, ta cn đnh nghĩakhong cách đây là gì. Có nhiu cách đnh nghĩa khác nhau, cho ra

các kt qu khác nhau, trên không gian các phân b xác sut. đây chúng ta s bàn đn 3 cách trong s các cách đnh nghĩa.

Đnh nghĩa 4.3. Gi s P X và P Y là hai phân b xác sut trên R , vi

các hàm phân phi xác sut tương ng F X và F Y .i) Khong cách L1 (vi hch nhân e−|x| ) gia P X và P Y là đi lưng

d1

(P X

, P Y

) = ∞−∞ |F X (x)

− F Y (x)

|e−|x|dx. (4.21)





ii) Khong cách Lévy–Prokhorov gia P X và P Y là đi lưng

dLP (P X , P Y ) = inf

ε > 0

| P X (A)

≤ P Y (Aε) + ε và

P Y (A) ≤ P X (Aε) + ε ∀ A ∈ B (R), (4.22)

trong đó B (R) là đi s Borel trên R , và

Aε = x ∈ R | ∃y ∈ A sao cho |x − y| < ε (4.23)

là ε−lân cn ca A trong R.

iii) Khong cách Kolmogorov–Smirnov gia P X và P Y là đi lưng

dKS (P X , P Y ) = supx∈R

|F X (x) − F Y (x)|. (4.24)

Nhc li rng, mt metric trên mt không gian V là mt ánh xd : V × V → R tha mãn các tính cht sau:i) Dương tính: d(u, v)

≥ 0 vi mi u, v

∈ V , và d(u, v) = 0 khi và ch

khi u = v.ii) Đi xng: d(u, v) = d(v, u) vi mi u, v ∈ V .iii) Bt đng thc tam giác: d(u, v) + d(v, w) ≥ d(u, w) vi miu,v,w ∈ V.

Mt không gian V vi mt metric d trên đó đưc gi là mt không

gian metric, và d(u, v) đưc gi là khong cách gia u và v (theometric d). Mt không gian vi mt metric d trên đó thì tr thành mtkhông gian tôpô, trong đó s hi t ca mt dãy đim (un)n∈N đnmt đim u∞ (theo metric d) có nghĩa là d(un, u∞) tin ti 0 khi n

tin ti vô cùng.

D dàng kim tra rng, c ba đnh nghĩa khong cách d1, dLP và

dKS phía trên đu tha mãn các tiên đ ca mt metric, do đó ta có






3 metric khác nhau trên không gian các phân b xác sut trên R, ng vi 3 đnh nghĩa khong cách này. Quan h gia 3 metric d1, dLP và

dKS như sau:Đnh lý 4.8. Hai metric d1 và dLP tương đương vi nhau v tôpô

(cho cùng mt tôpô trên không gian các phân b xác sut trên R ),

nghĩa là limn→∞ d1(P n, P ∞) = 0 khi và ch khi lim

n→∞ dLP (P n, P ∞) =

0. Metric mnh dKS mnh hơn hai metric d1 và dLP , nghĩa là nu

limn→∞

dKS (P n, P ∞

) = 0 thì limn→∞

d1(P n, P ∞

) = 0 và limn→∞

dLP (P n, P ∞

) =

0 , nhưng khng đnh ngưc li không đúng.

Khng đnh dKS mnh hơn d1 khá là hin nhiên: d dàng thy rng

d1(P 1, P 2) ≤ dKS (P 1, P 2). ∞

−∞

e−|x|dx = 2dKS (P 1, P 2)

vi hai phân b xác sut P 1, P 2 bt kỳ trên R. Dãy phân b xác suttrong ví d 4.2 cho thy dKS thc s mnh hơn d1, tc là có th cód1(P n, P ∞) tin ti 0 trong khi dKS (P n, P ∞) không tin ti 0 khi n

tin ti vô cùng. S tương đương tôpô ca d1 và dLP là mt bài tpgii tích thú v dành cho bn đc. Đnh nghĩa d1 đơn gin hơn đnh

nghĩa dLP . Nhưng li th ca dLP nm tính tng quát ca nó: nódùng đưc cho không gian các phân b xác sut trên mt không gianmetric bt kỳ. Chú ý thêm rng, hàm e−|x| trong đnh nghĩa metric d1

đưc chn mt cách khá tùy tin. Nu ta thay hàm đó bng mt hàmkhác, tho mãn các tính cht b chn liên tc dương có tích phân trênR hu hn, thì ta đưc mt đnh nghĩa metric khác, tương đương v

mt tô pô vi metric d1.





Đnh lý 4.9. Mt dãy các phân b xác sut P n hi t theo metric

d1 (hay là metric dLP ) đn mt phân b xác sut P ∞ (có nghĩa là

limn→∞ d1(P n, P ∞) = 0 ) khi và ch khi P n hi t yu P ∞ khi n tin ti vô cùng. Nói cách khác, s hi t yu trùng vi s hi t theo metric d1

và trùng vi s hi t theo metric Lévy-Prokhorov.

Chng minh.

i)Điu kin cn. Gi s có mt đim liên tc x0 ca F ∞ sao cho

F n(x0) không hi t đn

F ∞(x0). Khi đó tn ti mt hng s c > 0 và

mt dãy s t nhiên nk tin ti vô cùng sao cho |F nk(x0)−F ∞(x0)| >c vi mi k ∈ N. Ta s gi s F ∞(x0)−F nk(x0) > c vi mi k. (Trưnghp có th chn F nk(x0) − F ∞(x0) > c vi mi k hoàn toàn tươngt). Do tính liên tc ca F ∞ ti x0, tn ti δ > 0 đ nh sao choF ∞(x0) − F ∞(x) < c/2 vi mi x ∈ [x0 − δ, x0]. Do các hàm phân bxác sut là hàm tnh tin tăng, ta có

F nk(x)

≤ F nk(x

0) vi mi x

∈[x0−δ, x0], t đó suy ra F ∞(x)−F nk(x) > c/2 vi mi x ∈ [x0−δ, x0], và do đó tn ti mt hng s dương C =

x0x0−δ(c/2)e−|x|dx > 0, sao

cho d(P nk , P ∞) > C vi mi k. Điu đó có nghĩa là d(P n, P ∞) khôngtin ti 0 khi n tin ti vô cùng.

ii) Điu kin đ. Gi s F ∞(x) = limn→∞ F n(x) ti mi đim

liên tc ca F ∞. Gi s > 0 là mt s dương tùy ý. Nhc li rnghàm F ∞ là mt hàm đơn điu không gim b chn, và tp các đimkhông liên tc ca F ∞ là hu hn hoc đm đưc. Ta có th chnmt dãy hu hn x0 < x1 < . . . < xN các đim liên tc ca F ∞ saocho x0

−∞ e−|x|dx < , ∞xN

e−|x|dx < , và vi mi k = 0, 1, . . . , N −1 ta có hoc là 0 ≤ F ∞(xk+1) − F ∞(xk) < /(xN − x0) hoc là

0 < xk+1 − xk < /N . Gi I là tp các ch s k tha mãn 0 ≤194 Sputnik Education





4.2.3 Đnh lý tin compact ca Prokhorov

Đnh nghĩa 4.4. Mt dãy các phân b xác sut (P n)n∈N đưc gi là

cht (tight) nu như vi mi > 0 tn ti R ∈ R+ sao cho

P n([−R, R]) > 1 − ∀ n ∈ N. (4.25)

Nói mt cách nôm na, điu kin cht là điu kin “xác sut khôngb dàn tri v vô cùng” khi n tin ti vô cùng.

Đnh lý 4.10 (Prokhorov). Gi s (P n)n∈N là mt dãy phân b xác sut trên R tha mãn điu kin cht. Khi đó tn ti mt dãy con

(P kn)n∈N ( kn → ∞ khi n → ∞ ) hi t yu đn mt phân b xác

sut nào đó.

Tính cht “mi dãy đim (ca mt tp nào đó) đu có mt dãy con hi t” gi là tính cht tin compact (pre-compact). Bi vy đnhlý trên ca Prokhorov đưc gi là đnh lý tin compact.

Sơ lưc chng minh. Ly mt tp trù mt đm đưc trên R (ví d như tp hp Q các s hu t), và đánh s th t các s trong tpđó thành mt dãy s (am)m∈N. Có th xây dng bng qui np theo m

mt dãy con (P kn)n∈N ca dãy phân b xác sut (P n)n∈N tha mãn

tính cht sau: dãy s F kn(am) hi t vi mi m ∈ N, trong đó F kn làcác hàm phân phi xác sut tương ng. Xây dng hàm F ∞ như sau:Đt Q(am) = limn→∞ F kn(am), và F ∞(x) = inf Q(am)|am > x vimi x ∈ R. D thy hàm F ∞ tha mãn các tính cht đơn điu khônggim và liên tc bên phi. Tính cht cht ca dãy (P kn)n∈N đm borng F ∞(x) tin ti 0 khi x tin ti −∞ và tin ti 1 khi x tin ti

+∞. Bi vy nó là hàm phân phi ca mt phân b xác sut P ∞ nào






đó. Bưc cui cùng là kim tra rng P kn hi t yu ti P ∞. (Bài tp:Làm chi tit các bưc chng minh).

Ghi chú 4.3. Đnh lý Prokhorov và metric Lévy-Prokhorov là gi theotên ca Yuri Vasilevich Prokhorov (sinh năm 1929), mt nhà toán hcNga Xô Vit chuyên v xác sut, hc trò ca Kolmogorov, vin sĩ vinhàn lâm khoa hc Liên Xô t năm 1972 (nay là vin hàn lâm khoahc Nga).

4.2.4 Đnh lý liên tc

Đnh lý 4.11 (Đnh lý liên tc). Gi s có mt phân b xác sut P ∞ và mt dãy phân b xác sut P n trên R. Khi đó ba điu kin sau đây

tương đương vi nhau:

1) Dãy phân b xác sut P n hi t yu đn P ∞ khi n tin đn vô cùng.

2) Vi mi hàm liên tc và b chn F trên R ta cólimn→∞

R

F dP n =

R

F dP ∞. (4.26)

3) Gi Φn và Φ∞ là các hàm đc trưng tương ng ca P n và P ∞. Khi

đó vi mi s ∈ R ta có

lim

n→∞Φn(s) = Φ

∞(s). (4.27)

Chng minh. Điu kin 1) suy ra điu kin 2): Gi s điu kin1) đưc tha mãn, và gi s F là mt hàm liên tc b chn: tn timt s thc dương M sao cho |F (x)| ≤ M vi mi x ∈ R. Gi > 0

là mt s dương bt kỳ. Chúng ta s chng minh rng

R

F dP n − R F dP

∞ < (4.28)





vi mi n đ ln. Tn ti R ∈ R+ sao cho −R và R là hai đim liêntc ca F ∞, và

F ∞(−R) < /6M , F ∞(R) > 1 − /6M. (4.29)

Khi đó, vi mi n đ ln, ta cũng có F n(−R) < /6M và F n(R) >

1 − /6M. Vì giá tr tuyt đi ca F b chn bi M , nên t đó ta có

]−∞,−R]

F dP ∞

< /6 ,

]R,+∞[

F dP ∞ < /6, (4.30)

và

]−∞,−R] F dP n < /6 ,

]R,+∞[ F dP n < /6 (4.31)

vi mi n đ ln. Như vy, đ chng minh bt đng thc 4.28, ta chcn chng minh rng

]−R,R] F dP n − ]−R,R] F dP ∞

< /3 (4.32)

vi mi n đ ln. Vì hàm F liên tc, nên nó liên tc đu trên đonthng [−R, R]. Bi vy tn ti mt dãy s a0 = −R < a1 < . . . <

aN = R, sao cho các s ai đu là các đim liên tc ca F ∞, và trên

mi đon thng [ai−1, ai] đ dao đng ca F nh hơn /6 : |F (x) −198 Sputnik Education





F (ai)| < /9 vi mi x ∈ [ai−1, ai]. T đó suy ra

]−R,R] F dP n −

N

i=1 F (ai)(F n(ai) − F n(ai−1))

=

N i=1

]ai−1,ai]

(F − F (ai))dP n

≤

N i=1

]ai−1,ai]

|F − F (ai)|dP n <N i=1

]ai−1,ai]

(/9)dP n

= (/9) ]−R,R] 1dP n ≤ /9 (4.33)

vi mi n, và mt bt đng thc như vy cho P ∞. Chú ý rng cácđim ai là các đim liên tc ca F ∞, do đó F n(ai) tin ti F ∞(ai) khin tin ti vô cùng vi mi i = 1, . . . , N . Bi vy vi mi n đ ln tacó

N i=1

F (ai)(F n(ai) − F n(ai−1)) −N i=1

F (ai)(F ∞(ai) − F ∞(ai−1)) < /9.

(4.34)Kt hp các bt đng thc trên li vi nhau, ta đưc điu phi chngminh .

Điu kin 2) suy ra điu kin 3): Điu kin 3) chng qua là trưng

hp riêng ca điu kin 2) cho các hàm s F s(x) = exp(√ −1sx), bi vì, theo đnh nghĩa,

ΦX (s) = E(exp(√ −1sX )) =

R

exp(√ −1sx)dP X (4.35)

vi mi phân b xác sut P X (vi mt bin ngu nhiên X tương ng).

Điu kin 3) suy ra điu kin 1): (Sơ lưc chng minh). Gi s

limn→∞ Φn(s) = Φ∞(s) vi mi s ∈ R. Nhc li rng các hàm đc





trưng ca các phân b xác sut là b chn bi 1: |Φn(s)| ≤ 1 vi mis ∈ R. Bi vy, theo đnh lý hi t b chn Lebesgue, ta có

limn→∞

−Φn(s)ds =

−Φ∞(s)ds (4.36)

vi mi > 0. Mt khác, ta có bt đng thc sau:

B đ 4.12. Vi mi bin ngu nhiên X , và mi s > 0 ta có:

P X ([

−2

, 2

])

≥ 1

−ΦX (s)ds− 1. (4.37)

Chú ý rng v phi ca bt đng thc (4.37) tin ti 1 khi tinti 0. T bt đng thc này và công thc gii hn (4.36) d dàng suy ra rng dãy phân b xác sut (P n) tha mãn điu kin cht. Bi vy,theo đnh lý tin compact ca Prokhorov, tn ti mt dãy con P kn hit yu đn mt phân b xác sut P nào đó. Như đã chng minh trên, khi P kn hi t đn P , thì Φkn cũng hi t đn hàm đc trưngca P ti mi đim. Th nhưng Φn hi t đn Φ∞, bi vy hàm đttrưng ca P chính là Φ∞. Vì mi phân b xác sut đưc xác đnh duy nht bng hàm đc trưng ca nó, nên P chính là P ∞. Có nghĩa là cómt dãy con ca (P n) hi t yu đn P ∞. Nhưng khi đó, toàn b dãy (P

n) phi hi t yu đn P

∞, vì nu không, tương t như trên, s

dng đnh lý Prokhorov, ta s tìm đưc mt dãy con ca (P n) hi tyu đn mt phân b xác sut P khác P ∞, nhưng P li có hàm đctrưng trùng vi hàm đc trưng ca P ∞, là điu không th xy ra.

Ghi chú 4.4. Đnh lý phía trên đưc gi là đnh lý liên tc, vì nó khngđnh rng ánh x t các hàm đc trưng vào các phân b xác sut

tương ng là mt ánh x liên tc. Nó là mt phn ca đnh lý liên






tc ca Paul Pièrre Lévy (1886-1971), mt nhà toán hc ngưi Pháp.Lévy là ngưi đưa ra nhiu khái nim quan trng trong lý thuyt xác

sut, trong đó có khái nim martingale. Đnh lý liên tc ca Lévy phátbiu như sau:

Đnh lý 4.13 (Lévy). Gi s các hàm đc trưng ΦX n ca các bin ngu

nhiên X n ( n ∈ N) tin ti mt hàm Φ ti mi đim trên R (hi t theo

tng đim). Khi đó các khng đnh sau đây là tương đương:

i) X n hi t theo phân phi xác sut đn mt bin ngu nhiên X nàođó.

ii) Dãy các phân b xác sut (P X n)n∈N tha mãn điu kin cht.

iii) Φ là hàm đc trưng ca mt bin ngu nhiê X nào đó.

iv) Φ là mt hàm liên tc trên R.

v) Hàm Φ(s) liên tc ti đim s = 0.

Bài tp 4.9. (Chng minh b đ 4.12). Chng minh đng thc sau

1

2

−

ΦX (s)ds =

x∈R

sin(x)

x dP X

= |x|≤2/

sin(x)

x

dP X + |x|>2/

sin(x)

x

dP X (4.38)

vi mi bin ngu nhiên X . (Gi ý: dùng đnh nghĩa ca hàm đctrưng, và công thc thay đi th t tính tính phân Fubini). Sau đó ápdng các bt đng th | sin(t)/t| ≤ 1 vi mi t ∈ R và | sin(t)/t| ≤ 1/2

vi mi |t| ≥ 2, t ∈ R vào đng thc trên, đ suy ra bt đng thc

(4.37).





4.2.5 Các kiu hi t khác ca dãy bin ngu nhiên

Ngoài hi t theo phân phi (là kiu hi t trong đnh lý gii hntrung tâm), chúng ta đã gp nhng kiu hi t sau đây: hi t theoxác sut (là kiu hi t trong dng yu ca lut s ln), và hi t hunhư chc chn (là kiu hi t trong dng mnh ca lut s ln)

Đnh nghĩa 4.5. Mt dãy bin ngu nhiên X n đưc gi là hi t theoxác sut đn mt bin ngu nhiên X nu như vi mi > 0 ta có

limn→∞ P (|X n − X | > ) = 0. (4.39)

Đnh nghĩa 4.6. Mt dãy bin ngu nhiên X n đưc gi là hi t hunhư chc chn đn mt bin ngu nhiên X nu như

P (

ω

∈ Ω

| limn→∞

X n(ω) = X (ω)

) = 1, (4.40)

trong đó Ω ký hiu không gian xác sut chung ca các bin ngu nhiên

X n và X , và ω ký hiu các phn t ca Ω , tc là các s kin thành

phn.

S hi t hu như chc chn còn đưc gi là s hi t hu khp

mi nơi.Ngoài ra, có mt loi hi t khác hay đưc dùng đn, là hi t

theo chun Lk (k ≥ 1 không nht thit phi là s nguyên; trưng hphay dùng nht là k = 2):

Đnh nghĩa 4.7. Đi lưng (E(|X |k))1/k đưc gi là chun Lk ca

mt bin ngu nhiên X . Mt dãy bin ngu nhiên X n đưc gi là hi





4.3. Phân b χ2 và đnh lý Pearson

t theo chun Lk (hay còn gi là hi t theo trung bình cp k ) đn

mt bin ngu nhiên X nu như

limn→∞E(|X n − X |k) = 0. (4.41)

Đnh lý 4.14 (Quan h gia các kiu hi t). i) Nu k1 > k2 ≥ 1 , thì

s hi t theo chun Lk1 mnh hơn s hi t theo chun Lk2 . Có nghĩa

là, nu X n hi t theo chun Lk1 thì nó cũng hi t theo chun Lk2 .

(Điu ngưc li nói chung không đúng).

ii) Vi mi k ≥ 1 , s hi t theo chun Lk mn hơn s hi t theo xác sut.

iii) S hi t hu như chc chn mnh hơn s hi t theo xác sut.

iv) S hi t theo xác sut mnh hơn s hi t theo phân phi.

Ghi chú 4.5. S hi t theo chun Lk không suy ra s hi t hunhư chc chn, và ngưc li s hi t hu như chc chn cũng không

mnh hơn s hi t theo chun Lk.

4.3 Phân b χ2 và đnh lý Pearson

Phân b ki bình phương (χ2, chi-square) vi tham s r ∈ N là

phân b xác sut ca bin ngu nhiên χ2r đnh nghĩa như sau:

χ2r = Z 21 + . . . Z 2r , (4.42)

trong đó Z 1, . . . , Z r là mt b r bin ngu nhiên đc lp tuân theophân b normal chun tc N (0, 1). Tham s r đây đưc gi là sbc t do. Chng hn khi r = 3 thì ngưi ta nói là có 3 bc t do (3

degrees of freedom).





Phân b χ2 hay xut hin trong nhng bài toán thng kê, màchúng ta s xét đn chương sau. Nó liên quan đn vic ưc lưng

phương sai ca mt phân b xác sut normal. Đng thi, nó đóng vaitrò rt quan trng trong vic kim đnh các gi thuyt v dáng điucác phân b xác sut, qua cái gi là kim đnh χ2 (chi-square test).Cơ s ca kim đnh χ2 là đnh lý gii hn sau đây ca Karl Pearson:

Đnh lý 4.15 (Pearson). Gi s X là mt bin ngu nhiên nhn hu

hn các giá tr x1, . . . , xs vi các xác sut P X (xi) = pi > 0 tương ng

(

si=1 pi = 1 ). Gi s X 1, X 2, . . . , X n, . . . là mt dãy các bin ngunhiên đc lp và có cùng phân phi xác sut vi X . Vi mi n , gi

ν i = ν i,n là bin ngu nhiên sau: ν i là s ln xut hin giá tr xi trong

dãy X 1, . . . , X n. ( s

i=1 ν i = n ). Khi đó

k

i=1

(ν i − npi)2

npi

d−→ χ2s−1, (4.43)

tc là bin ngu nhiênsi=1

(ν i − npi)2

npihi t theo phân phi đn χ2

s−1 ,

khi n tin ti vô cùng.

Ghi chú 4.6. Trong trưng hp s = 2, và đ cho tin gi s x1 = 1,x2 = 0 (các giá tr ca xi không quan trng, ch có xác sut ca

chúng là quan trng trong đnh lý Pearson), ta có: X tuân theo phânb Bernoulli vi tham s p = p1 = E(X ), 1 − p = p2, ν 1 =n

i=1 X i,ν 2 = n − ν 1, và

(ν 1 − np1)2

np1+

(ν 2 − np2)2

np2=

(ν 1 − np)2

pn +

(ν 1 − np)2

(1 − p)n

= (ν 1 − np)2

p(1 − p)n

= ni=1 X i − nE(X )

√ nσ(X )2

.






Theo đnh lý gii hn trung tâm thìn

i=1 X i − nE(X )√ nσ(X )

d−→ Z 1 (trong

đó Z 1 có phân b normal chun tc N

(0, 1)), và do đón

i=1 X i − nE(X )√ nσ(X )

2d−→ χ2

1.

Nói cách khác, đnh lý Pearson trong trưng hp k = 2 là h qu trctip ca đnh lý gii hn trung tâm. Trong trưng hp k > 2, đnh lý Pearson có th coi như mt m rng ca đnh lý gii hn trung tâm.

Sơ lưc chng minh đnh lý Pearson. Đt F i = (ν i − npi) pi(1 − pi)n

.

Ta cn tìm gii hn theo phân phi xác sut ca s

i=1(1 − pi)F 2i ,khi n tin ti vô cùng. Theo đnh lý gii hn trung tâm, ta có F i

d−→ N (0, 1) vi mi i = 1, . . . , s khi n tin ti vô cùng. Tuy nhiên, các binF 1, . . . , F s có ph thuc vào nhau:

si=1

pi(1 − pi)F i = 0. Bng

cách tính trc tip, ta có: cov(F i, F j) = − pi p j(1 − pi)(1 − p j) vi mi

i = j.

Mt đim đáng chú ý là, cũng theo đnh lý gii hn trung tâm, vi mi c1, . . . , cs ∈ R,

si=1 ciF i cũng hi t theo phân phi đn

mt phân b normal. T đó suy ra vector ngu nhiên (F 1, . . . , F s) hit theo phân phi đn mt vector ngu nhiên (G1, . . . , Gs) vi phân

b normal nhiu chiu N (0, Σ), trong đó ma trn hip phương sai Σ

đưc xác đnh như sau:

Σii = var(Gi) = 1 và Σij = cov(Gi, G j) = −

pi p j/((1 − pi)(1 − p j)).

(4.44) vi mi i, j. Điu còn li cn phi chng minh là

si=1(1 − pi)G2

i có

cùng phân b xác sut vi χ2s−1.





Ma trn hip phương sai Σ suy bin (bi vìs

i=1

pi(1 − pi)Gi =

0), có hng (rank) bng s − 1, do đó (v mt phân phi xác sut) ta

có th nhn đưc vector ngu nhiên (G1, . . . , Gs) t mt vector ngunhiên (Z 1, . . . , Z s−1) có phân b normal chun tc (s − 1) chiu, quamt phép bin đi tuyn tính:

(G1, . . . , Gs)t = (aij) j=1,...,s−1i=1,...,s .(Z 1, . . . , Z s−1)t. (4.45)

Theo đnh lý 3.23, ta cn chn ma trn A sao cho A.At = Σ. Ma trnA = (aij) j=1,...,s−1

i=1,...,s có th đưc chn như sau. Gi O = (oij) j=1,...,si=1,...,s là

mt ma trn vuông góc (orthogonal, có nghĩa là O.Ot = Is) bt kỳ tha mãn điu kin: osi =

√ pi vi mi i = 1, . . . , s, tc là ct cui

cùng ca O đưc cho bi các s √ pi. Ma trn vuông góc O như vy

tn ti bi vì

si=1(√ pi)2 = 1. Đt

aij = oij√

1 − pi vi mi i = 1, . . . , s, j = 1, . . . , s − 1. (4.46)

D dàng kim tra rng ma trn A đnh nghĩa như trên tha mãnđiu kin A.At = Σ, và như vy ta có th coi rng (G1, . . . , Gs)t =

(aij) j=1,...,s−1i=1,...,s .(Z 1, . . . , Z s−1)t. Nói cách khác, ta có

Gi =

s−1

j=1

oij

√ 1 − pi

Z j vi mi i = 1, . . . , s , (4.47)






t đó suy ra:

si=1

(1 − pi)G2i =

si=1

(1 − pi)s−1 j=1

oij√ 1 − piZ j

2

=

si=1

s−1 j=1

o2ijZ 2 j + j=k

oijoikZ jZ k

=s−1

j=1

(s

i=1

o2ij)Z 2 j + j=k

(s

i=1

oik)Z jZ k =s−1

j=1

Z 2 j (4.48)

và ta đưc điu phi chng minh.

Do tm qua trng ca phân b χ2 trong thng kê, nên nó đưcnghiên cu rt k, và có th tính hàm phân phi ca nó bng máy tính hoc tra bng. Hàm mt đ ca phân b χ2 là hàm sau:

Đnh lý 4.16. Phân b χ2

vi r bc t do (r > 0) có hàm mt đ là:

ρ(x) =

1

2r/2Γ(r/2)xr2−1e

−x2 khi x > 0

0 khi x ≤ 0, (4.49)

trong đó Γ là hàm gamma: Γ(a) = ∞0 xa−1e−xdx.

Ghi chú 4.7. Karl Pearson (1857–1936), ngưi Anh, đưc coi là mttrong nhng cha t ca ngành thng kê toán hc. Năm 33 tui, saukhi đc sách Natural Inheritance ca Francis Galton, Pearson bt đuquan tâm đn các phương pháp thng kê, đ áp dng chúng vào vickim nghim hc thuyt sàng lc t nhiên ca Darwin, trong khuônkh ca hc thuyt eugenics (ưu sinh hc) đang thnh hành thi đó,

mà Pearson là mt trong nhng ngưi đi theo. Pearson là ngưi lp





Hình 4.3: Hàm mt đ ca χ2k, vi k = 1, 2, 3, 4, 5

ra khoa thng kê đu tiên, năm 1911, ti University College London.Nhiu khái nim cơ bn trong xác sut thng kê là da trên nhngcông trình ca Pearson, trong đó có: h s tương quan, hi qui tuyn

tính, phân loi các phân b xác sut, kim đnh ki bình phương.

Bài tp 4.10. Làm chi tit các bưc trong chng minh ca đnh lý Pearson 4.15.






Hình 4.4: Karl Pearson




Chương 5

Thng kê toán hc

5.1 Các vn đ thng kê

Thng k toán hc có th coi là tng th các phương pháp toánhc, da trên lý thuyt xác sut và các công c khác, nhm đưa rađưc nhng thông tin mi, kt lun mi, có giá tr, t nhng bng sliu thô ban đu, và nhm gii quyt nhng vn đ nào đó ny sinht thc t. Có th k tên mt s mc đích chính ca thng kê như

sau:- M t s liu.- Ưc lưng và d đoán các đi lưng.- Tìm ra các mi quan h gia các đi lưng .- Kim đnh các gi thuyt.

Thng kê hc là mt ngành ln, vi nhiu phương pháp khác

nhau đ dùng cho các tình hung khác nhau (có ngưi ví các phương

210




5.1. Các vn đ thng kê

pháp thông kê như là các cách nu ăn, rt đa dng phong phú), vàcó nhiu đim cn chú ý đ khi dn đn các kt lun thng kê sai

lch (hoc là b mc la bi nhng ngưi c tình làm thng kê theocác phương pháp sai lch). Trong chương này chúng ta s ch bàn timt s vn đ và phương pháp thng kê toán hc cơ bn nht. Trưckhi đi vào lý thuyt, phn này chúng ta s đim qua các mc đíchchính trên ca thng kê, qua mt s ví d.

Hình 5.1: T l thi gian dùng internet Vit Nam năm 2009

Ví d 5.1. ( Biu đ thng kê). Trong thng kê mô t, ngoài các bngs liu (cùng vi mt s đi lưng đc trưng tiêu biu nht như trung

v, kỳ vng, phương sai), các biu đ cũng hay đưc dùng, đ giúp




Chương 5. Thng kê toán hc

ngưi đc nm bt thông tin v s liu mt cách nhanh chóng. Mt sloi biu đ hay gp là: biu đ tn s, đ th phát tán, biu đ hình

qut (pie chart), v.v. Hình 5.1, là mt ví d v biu đ hình qut,phn nh t l thi gian dùng internet Vit Nam vào năm 2009(theo báo Lao Đng). So vi các bng s liu, các biu đ có th cónhưc đim là cho thông tin không đưc chính xác bng (đ sai scao hơn), nhưng có ưu đim là cho đưc cùng mt lúc nhiu thôngtin trên mt hình nh, d tip thu đi vi não ngưi hơn là mt bng

các con s.

Hình 5.2: S ch trong h vào tháng 5 và tháng 9

Tt nhiên, có nhng biu đ có th phn ánh rt sai lch v cácđi lưng. Hình 5.2 là mt ví d đơn gin v đ tài nói di bng thng

kê. Đ th đó xut phát t s liu thng kê s ch trong 1 cái h: hơn10 con vào tháng 5, và nhiu gp 3 ln như vy vào tháng 9. Nhưng

nhìn vào đ th ngưi ta s có cm giác là s ch vào tháng 9 gp






3 × 3 = 9 ln tháng 5.

Ví d 5.2. ( Phát xít Đc sn xut bao nhiêu máy bay và xe cơ gii?).

Trong chin tranh, vic ưc lưng đưc đúng sc mnh ca quân đchlà mt vic nhiu khi có tính cht sng còn. Trong chin tranh th giiln th II, các cơ quan tình báo quân đng minh Anh-M đã cung cpnhiu thông tin rt sai lch v lc lưng quân Đc. Th nhưng, bngphương pháp thng kê (thu nht các mã s trên các xác máy bay, lpxe, v.v. ca quân Đc b bn cháy, b rơi, ri t đó gii mã và dùng

các hàm ưc lưng đ ưc lưng), nhà thng kê hc Richard Rugglescùng vi các cng s ca mình, lúc đó làm ti Cc tình báo kinh tca Anh, đã ưc lưng đưc rt chính xác s máy bay và xe cơ giimà Đc sn xut đưc hàng tháng.(1)

Công sut hàng tháng ca Phát xít Đc Máy bay Xe cơ gii

Ưc lưng ca Ruggles 28500 147000S liu thc theo tài liu ca Đc 26400 159000

Trong khi đó, ưc lưng ca các tình báo viên Anh-M là côngsut ca Đc khong 1 triu xe cơ gii mt tháng!

Ví d 5.3. (Thn dưc chng béo phì?). T l s ngưi b béo phì

(obesity) tăng rt nhanh trên th gii (k c Vit Nam, châu Âu, và M) trong nhng thp k cui th k 20 - đu th k 21, và trthành mt vn đ xã hi ln, vì béo phì hay dn đn nhiu căn bnh

(1)Theo sách [1], da trên: Ruggles, R. and H. Brodie, “An Empirical Approachto Economic Intelligence in World War II”, Journal of the American Statistical As-sociation, 42, March 1947; và theo: James Tobin, “In memoriam: Richard Ruggles

(1916–2001)” Review of Income and Wealth Series 47, Number 3, September 2001





khác (tim mch, tiu đưng, đt qu, vô sinh, v.v.), và có th làm gimđáng k tui th ca ngưi. Chng béo phì là mt vn đ nóng hi,

nhưng cho đn năm 2009 chưa có thuc nào tht hiu qu đưc bántrên th trưng. Điu này có th thay đi trong nhng năm sau đó, vì trong năm 2009 có 3 hãng dưc phm công b các kt qu th nghim lâm sàng giai đon III (phase III clinical trial) cho các loithuc chng béo phì mi có nhiu trin vng. Trong đó đáng chú ý nht có l là thuc Qnexa ca hãng Vivus. Công b kt qu v Qnexa

ca Vivus vào ngày 09/09/2009(2)

có mt bng thng kê sau (trongs nhiu bng thng kê):

ITT-LOCF Completers

---------------------------- ----------------------------

Qnexa Qnexa Qnexa Qnexa

EQUIP (OB-302) Placebo Low Dose Full Dose Placebo Low Dose Full Dose

56 Weeks (n=498) (n=234) (n=498) (n=241) (n=138) (n=301)

-------------- ------- -------- --------- ------- -------- ---------Mean Weight

Loss (%) 1.6% 5.1%* 11.0%* 2.5% 7.0%* 14.7%*

Greater than

or equal to

5% weight

loss rate 17% 45%* 67%* 26% 59%* 84%*

ITT-LOCF: Intent-to-treat with last observation carried forward

*p<0.0001 vs. placebo

Theo bng trên, tng s ngưi tham gia th nghim lâm sàng (trongth nghim đó) là 498+234+498 = 1300 ngưi. Đt th nghim kéodài 56 tun, nhưng có nhng ngưi b d gia chng: trong s 498ngưi đưc nhn placebo (trông ging như viên thuc tht, nhưng

(2)

Ngun: http://ir.vivus.com/releasedetail.cfm?ReleaseID=407933






không có thuc trong đó) thì ch có 241 ngưi theo đn cùng cucth nghim, còn trong s 498 ngưi đưc nhn liu đy đ ca thuc,

có 301 ngưi (61%) theo đn cùng. Trong s nhng ngưi đưc nhnđ liu và theo đn cùng, thì có 84% s ngưi gim đưc ít nht 5%trng lưng, và trung bình mi ngưi gim đưc 14,7% trng lưng.

Trong bng trên có vit p < 0, 0001 vs. placebo. Điu đó có nghĩalà, vi đ tin cy bng 1 − p > 99, 99% (hay nói cách khác, vi khnăng kt lun sai lm nh hơn 0, 01%), các con s thng kê cho thy

kt qu đt đưc ( đây là gim cân) tt hơn khi có thuc so vi khikhông có thuc. Thông thưng, khi p < 0, 01 thì ngưi ta chp nhngi thuyt là thuc có hiu ng thc s, còn nu p ≥ 0, 05 thì hiung đó không rõ ràng, có th là do ngu nhiên.

Các hãng dưc phm trên th gii, trưc khi đưc quyn bán mtloi thuc mi nào đó, thông thưng đu phi qua th nghim lâm

sàng din rng (trên ít nht my trăm bnh nhân), và các kt quthng kê phi chng t rõ ràng công dng và s an toàn ca thuc,tc là phi qua đưc kim đnh thng kê cho gi thuyt “thuc cócông dng và an toàn”, vi đ tin cy cao.

Ví d 5.4. ( London nguy him hay an toàn?(3)). Ngày 10/07/2008, có4 v git ngưi bng dao 4 nơi khác nhau London. S kin này làm náo lon dư lun đn mc th tưng Anh là Gordon Brown phituyên b ha s tìm cách làm gim các v đâm dao. London có trnên nguy him cho tính mng hơn nhng năm trưc không? Đ trli câu hi đó, chúng ta có th da trên mt s s liu thng kê sau:

- Trong 5 năm trưc đó, mi năm London có khong 170 ngưi b(3)

Da theo tp chí Significance ca Royal Statistical Society, s tháng 3/2009





git, và con s này khá n đnh hàng năm.- Khong 41% các v git ngưi là dùng dao, 17% là dùng súng, 9%

là đánh đp (không vũ khí), 5% là đánh bng vt không phi dao,3% là bóp c, 3% là dùng thuc đc, v.v., và 17% là không xác đnhđưc phương pháp.- Trong thi gian 3 năm 04/2004 – 03/2007, có 713 ngày không có v án mng nào, 299 ngày có 1 v, 66 ngày có 2 v, 16 ngày có 3 v,1 ngày có 4 v, và không có ngày nào có t 5 v tr lên.

T các s liu thng kê, ngưi ta tính đưc mt s ưc lưng sau v s v án mng London:

- S v án mng xy ra trong ngày tuân theo phân b Poisson vi kỳ vng là 0,44 (tc là trung bình mi ngày có 0,44 v) .- Kỳ vng là mi năm có khong 3-4 ngày vi 3 v án mng, c khong gn 3 năm thì có 1 ngày vi 4 v án mng, và khong 30

năm thì mi có mt ngày vi 5 v án mng. Vic xy ra 1 ngày vào năm 2008 vi 4 v án mng không nm

ngoài các con s ưc lưng trên. Đâm bng dao là phương pháp gây án mng ph bin nht (41% tng s các v). Khi có 4 v án mng,thì xác sut đ c 4 v đu do đâm dao là (0, 41)4 = 2, 8%, mt cons khá nh, nhưng cũng không nh đn mc “không th xy ra”. Khi

có 4 v án mng xy ra cùng ngày, thì có rt nhiu t hp các khnăng xy ra v phương pháp gây án mng trong 4 v đó (ví d 2 vdùng dao, 1 v dùng súng, 1 v tht c), và tt c các t hp đó đucó xác sut nh, t hp vi xác sut ln nht cũng không vưt quá6%. T đó, có th kt lun là, vic hôm 10/07/2008 xy ra 4 án mng London, và c 4 đu bng đâm dao, hoàn toàn nm trong các ưc






lưng v án mng xy ra London, và không h chng t xu th gìmi. Tng kt năm 2008, London có 152 án mng xy ra năm đó.

Phương tin truyn thông đưc dp vui mng vì “đã lâu ri chưa nămnào London đưc an toàn như vy”. Nhưng con s đó có chng t xuth gì không, hay chng qua cũng ch là mt s ngu nhiên khôngnm ngoài qui lut chung?

Hình 5.3: Các đưng vân trong màng mt

Ví d 5.5. (Con mt tr thành chìa khóa). Đu th k 21, đã có nhng

khách sn mà khách không cn chìa khóa phòng, ch cn nhìn vàocamera ca phòng, là phòng t đng m ca. S tin li này datrên công ngh nhn bit danh tính ca ngưi qua màng mt (iris).Mt điu thú v là, k c khi hai ngưi sinh đôi và trông ging htnhau, thì các đưng nét trong màng mt ca h vn rt khác nhau,do quá trình phát trin các đưng nét trong màng mt thai nhi ph

thuc vào nhiu yu t ngu nhiên (không do di truyn). T nhng





năm 1930, các bác sĩ mt đã nói rng có th dùng màng mt đ nhnbit danh tính ngưi. John Daugman là mt trong nhng ngưi làm

ra công ngh nhn bit danh tính bng màng mt, t cui th k 20. Thut toán ca ông ta tách ra đưc t nh màng mt 1 mã vi266 đơn v thông tin có th coi là ngu nhiên và đc lp vi nhau(mi đơn đơn v đây là mt bin ngu nhiên nhn 2 giá tr 0 và 1, vi xác sut 50% − 50%, và các bin này gn như đc lp vi nhau).Đ tìm ra 266 đơn v thông tin đc lp đó (xut phát t 2048 đơn

v thông tin không đc lp vi nhau) và kim đnh s đc lp cachúng, Daugman đã làm thng kê so sánh hơn 222 nghìn ln cpnh màng mt khác ch (2 mt trong 1 cp là ca hai ngưi khácnhau), và hơn 500 cp nh màng mt cùng ch(4). Mt trong các ktqu là, t l đơn v thông tin chch nhau gia mã ca 2 mt khác chtuân theo phân b normal vi kỳ vng là 45.6% (tc là trung bình

hai mt khác ch thì có 45.6% đơn v thông tin chch nhau) vi đlch chun là 0.18%, và không có cp mt khác ch nào (trong cácth nghim) có dưi 37% đơn v thông tin lch nhau. Mt khác, hainh màng mt khác nhau ca cùng mt ch thì trung bình ch có 9%các đơn v thông tin b lch nhau trong s 266 đơn v, và không cócp nh mt cùng ch nào b lch nhau quá 31% đơn v thông tin. T

đó dn đn thut toán phân bit: coi rng nu hai mã b lch nhaukhông quá 34% s đơn v thông tin, thì vn là ca cùng mt ngưi,còn nu trên 34% thì coi là ca hai ngưi khác nhau.

(4)J. Daugman, Wavelet demodulation codes, statistical independence, and patternrecognition, in: Proceedings IMA-IP: Mathematical Methods, Algorithms, and Appli-

cations, (Blackledge and Turner eds.), Horwood, London, 2000, pages 244–260.






Mt điu cn chú ý là, thng kê hay b các t chc hay cá nhânlm dng đ bóp méo s tht theo hưng có li cho mình, hoc có

khi t di mình, nu như làm không đúng cách. Có rt nhiu cáchnói di khác nhau bng thng kê, chng hn như: ba đt các cons không có tht, la chn các con s có li, giu đi các con s btli, thiên lch (bias) trong vic chn mu thí nghim, v.v. Ví d vnói gii trng trn: B quc phòng M có tuyên b rng, trong cucchin vi Irak năm 1991, các tên la Patriot ca M đã bn rng 41

tên la Scud ca Irak, nhưng khi Quc hi M điu tra li thy ch có4 tên la Scud b bn rng. Ví d v bias làm hng kt qu thng kê:Báo Literacy Digest thăm dò ý kin c tri v bu c tng thng M năm 1936, qua đin thoi và qua các đc gi đt báo. Kt qu thămdò trên phm vi rt rng cho d đoán là Landon s đưc 370 phiu(đi c tri) còn Roosevelt s ch đưc 161 phiu. Th nhưng lúc bu

tht thì Roosevelt thng. Hoá ra, đi tưng mà Literacy Digest thămdò năm đó, nhng ngưi có tin đt đin thoi hay đt báo, là nhngngưi thuc tng lp khá gi, có bias theo phía Landon (Đng Cnghòa), không đc trưng cho toàn dân chúng M.

Nói chung, đ thng kê toán hc cho ra đưc các kt qu đángtin cy, ngoài các công thc toán hc đúng đn, còn cn đm bo s

trung thc ca các s liu, có mu thc nghim (lưng s liu) đln, và loi đi đưc nh hưng ca các bias đ đm bo tính ngunhiên ca s liu. Nhiu khi vic loi đi các kt qu có bias cao t mu thc nghim là công vic hiu qu, cho ra kt lun thng kêchính xác và đ tn kém hơn là tăng c ca mu thc nghim lênthêm nhiu. chương này, chúng ta s ch bàn đn mt s phương





pháp thng kê cơ bn, da trên gi s là s liu mà chúng ta nhnđưc là đúng thc và không b bias.

5.2 Ưc lưng bng thng kê

5.2.1 Mu thc nghim và phân b thc nghim

Chúng ta th hình dung mt tình hung sau: Mt nhà sn xut

dưa chut mui đóng hp mun bit phân b chiu dài các qu dưachut (chiu dài trung bình, đ lch chun, ...), đ làm v hp vikích thưc thích hp. Nhà sn xut này s không đi đo ht chiu dàica hàng triu qu dưa chut s đưc đóng hp. H s ch đo chiudài ca mt s n qu dưa chut đưc chn mt cách ngu nhiên, rit đó ưc lưng ra phân b chiu dài. S n đây có th là mt cons khá ln, ví d 100 qu hay 1000 qu, nhưng nó là mt phn rtnh ca tng s các qu dưa chut.

Đ mô hình hóa bài toán ưc lưng trên, ta s gi X là bin ngunhiên “chiu dài ca qu dưa chut”. Chúng ta mun ưc lưng phânb xác sut P X ca X , hoc là ưc lưng nhng đi lưng đc trưng

ca P X , ví d như kỳ vng và phương sai. Đ ưc lưng, chúng tas ly ra n giá tr ca X mt cách ngu nhiên (chn ra n qu dưachut mt cách ngu nhiên ri đo chiu dài ca chúng). Gi các giátr đưc ly ra là x1, . . . , xn. B n giá tr (x1, . . . , xn) đưc gi là mtmu thc nghim c n ca bin ngu nhiên X

Nói mt cách tng quát, mt mu thc nghim (empirical sam-

ple) c n ca mt bin ngu nhiên X là mt giá tr x = (x1, . . . , xn)





5.2. Ưc lưng bng thng kê

ca vector ngu nhiên X = (X 1, . . . , X n), trong đó các bin ngunhiên X 1, . . . , X n đc lp và có cùng phân b xác sut vi X . (Trong

ví d, X i là bin ngu nhiên “chiu dài ca qu dưa chut th i đưcchn”, còn xi là giá tr nhn đưc ca X i). Các s xi đưc gi là cácgiá tr thc nghim ca X (hay ca X i).

Ghi chú 5.1. Trong thc t, có nhng tình hung mà các bin ngunhiên X 1, . . . , X n không th đc lp vi nhau. Ví d, nu gi X i làmã s ca cái xác máy bay th i ca phát xít Đc mà quân đng minh

nht đưc, thì X i không th bng X j khi i = j và do đó X i không đclp vi X j . Trong nhng trưng hp như vy, hoc là s ph thuctuy có nhưng nh, có th b qua, hoc là ta phi điu chnh lý thuytsau cho thích hp. đây, đ đơn gin, ta s luôn gi s rng các binX i đc lp vi nhau.

Mu thc nghim (x1, . . . , xn) cho ta mt phân b xác sut P n

trên R, gi là phân b xác sut thc nghim, như sau: nó là phânb xác sut ri rc tp trung ti các đim x1, . . . , xn, sao cho miđim xi có t trng xác sut là 1/n. Nói cách khác, nu xi khác ttc các s còn li thì P n(xi) = 1/n. Nhưng nu có k s bng nhau,xi1 = xi2 = . . . = xik và khác các s còn li, thì P n(xi1) = k/n. Mt

cách đnh nghĩa khác ca phân b P n này là qua hàm phân phithc nghim F n ca nó: vi mi x ∈ R, F n(x) bng 1/n nhân vi slưng các s xi nh hơn hoc bng x. Khng đnh sau là h qu trctip ca lut s ln:

Đnh lý 5.1. Hu như chc chn rng P n hi t yu đn P X khi n tin

ti vô cùng.





gi là phương sai thc nghim (hay phương sai mu), là mt ưclưng ca phương sai ca X.

Ví d 5.7. Trung v (median) ca mt bin ngu nhiên X là đim msao cho F X (m) = P (X ≤ m) = 1/2. Nu như nh ngưc F −1

X (1/2)

không phi là mt đim mà là mt đon thng, thì trung v đưc đnhnghĩa là trung đim ca đon thng đó. Trung v ca X có th đưcưc lưng bng trung v thc nghim, tc là ca phân b xác sutthc nghim.

Bài tp 5.1. Suy ra đnh lý 5.1 t đnh lý 3.8.

5.2.2 Hàm ưc lưng

Gi s X là mt bin ngu nhiên có phân b Poisson vi tham sλ. Khi đó ta bit rng λ va là kỳ vng, va là phương sai ca X , và

như vy có ít nht 2 cách khác nhau đ ưc lưng λ: thông qua kỳ vng hoc phương sai ca các phân b thc nghim.

Nói mt cách tng quát, gi s ta mun ưc lưng mt đi lưngθ nào đó. Có th có nhiu cách khác nhau đ ưc lưng θ, mi cáchcho bi mt hàm ưc lưng. Theo đnh nghĩa, mt hàm ưc lưng(estimator) ca θ chng qua là mt hàm s n bin Θ nào đó, nhn

đu vào là các mu thc nghim (x1, . . . , xn) ca X , và đu ra là cácgiá tr ưc lưng (estimate) ca θ:

θ = Θ(x1, . . . , xn). (5.4)

Điu chúng ta mun có là sai s θ − θ gia ưc lưng θ và giá tr thtca θ càng nh càng tt. Hay nói cách khác, ưc lưng càng chính

xác càng tt.





Nu g là mt hàm s n bin bt kỳ, và x1, . . . , xn là mt mu thcnghim c n ca mt bin ngu nhiên X , thì g(X 1, . . . , X n) đưc gi

là mt hàm thng kê ca bin ngu nhiên X , và giá tr g(x1, . . . , xn)đưc gi là mt thng kê (statistic). Như vy, ta có th nói rng, hàmưc lưng (estimator) là mt hàm thng kê dùng đ ưc lưng mtđi lưng nào đó, và đi lưng đó đưc ưc lưng bng thng kê.

Khi c ca mu thc nghim có th thay đi, thì ta cn khôngphi là mt, mà là mt dãy hàm ưc lưng: mi hàm cho mt c mu

n. Ta s ký hiu chung mt dãy hàm ưc lưng như vy (đ cùngưc lưng mt đi lưng θ) bng mt ch cái (ví d Θ) và gi chungchúng là mt hàm. Ta mun rng, khi n càng ln thì nói chung sai sθ − θ gia ưc lưng θ và giá tr tht ca θ phi càng nh. Tính chtnày có th phát biu chính xác mt cách toán hc như sau, và gi làtính nht quán(5) (consistency), ca hàm ưc lưng:

Đnh nghĩa 5.1. Hàm ưc lưng Θ ca đi lưng θ đưc gi là nhtquán (consistent), nu như vi mi > 0 ta có

limn→∞ P (|Θ(X 1, . . . , X n) − θ| < ) = 1. (5.5)

Tính nht quán là tính cht quan trng nht ca hàm ưc lưng.Ngoài ra, tùy tng trưng hp, ta có th đòi hi mt s tính cht

(5)Có tài liu gi tính cht này là tính vng, nhưng đây chúng ta s dùng t nht

quán, vì t vng ting Vit còn đưc dùng đ ch mt tính cht khác ca ưc lưng,mà ting Anh gi là robust. Các hàm ưc lưng vng (robust) là ci tin ca các hàmưc lưng “c đin” thưng dùng, và cho ưc lưng tt k c khi mu thc nghimchng may có nhng giá tr quá đc bit (quá ln hay quá nh so vi thông thưng,

quá him xy ra).






khác, ví d như tính không chch, hoc dng yu hơn ca nó, là tínhkhông chch tim cn:

Đnh nghĩa 5.2. Hàm ưc lưng Θ đưc gi là không chch (unbi-ased) nu như kỳ vng ca Θ(X 1, . . . , X n) bng θ:

θ = E(Θ(X 1, . . . , X n)). (5.6)

Hàm ưc lưng Θ đưc gi là không chch tim cn (asymptotically

unbiased) nu như

θ = limn→∞E(Θ(X 1, . . . , X n)). (5.7)

Ví d 5.8. Như ta đã thy trong mc trưc, hàm kỳ vng thc nghim

X = 1

n

ni=1

X i (5.8)

là mt hàm ưc lưng ca kỳ vng ca X . D thy rng đây là mthàm ưc lưng không chch, và dng yu ca lut s ln nói rnghàm ưc lưng này nht quán. Moment bc k ca phân b thc

nghim cho hàm ưc lưng 1

n

ni=1

X ki ca moment bc k ca X . Hàm

ưc lưng này nói chung không tha mãn tính cht không chch khi

k ≥ 2, nhưng tha mãn tính cht không chch tim cn.

Đnh lý 5.2. Gi s Θ là mt hàm ưc lưng không chch tim cn

tha mãn điu kin phương sai tin đn 0 khi n tin đn vô cùng:

limn→∞ var(Θ(X 1, . . . , X n)) = 0. (5.9)

Khi đó Θ là mt hàm ưc lưng nht quán.





Chng minh. Tương t như chng minh ca dng yu ca luts ln, suy ra t bt đng thc Chebyschev.

Ghi chú 5.2. Trong ting Vit, nhiu khi thay vì nói “hàm ưc lưng”ngưi ta nói đơn gin hóa là “ưc lưng” nhưng hiu là hàm ưclưng. Trong ting Anh thì hai t này không ln vi nhau: hàm ưclưng gi là estimator, còn ưc lưng gi là estimate.

Bài tp 5.2. Gi s X có phân b đu trên đon thng ]0, θ[. Chngminh rng

Θ = n + 1

n max(X 1, X 2, . . . , X n) (5.10)là mt hàm ưc lưng nht quán không chch ca θ.

Bài tp 5.3. Chng minh rng trung v thc nghim là ưc lưng nhtquán không chch tim cn ca trung v. Xây dng ví d cho thy trung v thc nghim nói chung không tha mãn tính cht khôngchch.

5.2.3 Ưc lưng không chch ca phương sai

Hàm phương sai mu Σ2 = 1

n

ni=1

X i −

ni=1 X i

n

2

là mt ưc

lưng nht quán, nhưng có chch, có nghĩa là kỳ vng ca

1n

ni=1

X i −

ni=1 X i

n

2

không bng phương sai σ2 ca X . Tht vy, khi n = 2, ta có

E(Σ2) = E

X 21 + X 22

2 − (X 1 + X 2)2

4

=

1

4E(X 21 + X 22 − 2X 1X 2)

= 1

4(E(X 21 )+E(X 22 )

−2E(X 1)E(X 2)) =

1

4(2E(X 2)

−2E(X )2) =

1

2

σ2






ch không bng σ2. Tương t như vy, khi n tùy ý, có th kim trarng E(Σ2) =

n − 1

n σ2. Bi vy ta có đnh nghĩa và đnh lý sau:

Đnh nghĩa 5.3. Hàm

S 2 = 1

n − 1

ni=1

X i −

ni=1 X i

n

2

. (5.11)

gi là hàm phương sai mu hiu chnh. Nu x1, . . . , xn là mt mu

thc nghim ca X , thì giá tr ca S 2 ti b đim (x1, . . . , xn) , s2 =

1n−1

ni=1

xi −

ni=1 xin

2 , gi là phương sai mu hiu chnh (ca

mu x1, . . . , xn ) ca X .

Đnh lý 5.3. Hàm phương sai mu hiu chnh là ưc lưng không

chch ca phương sai σ2 ca bin ngu nhiên X .

Đnh lý trên gii thích vì sao ngưi ta hay dùng công thc phương

sai mu hiu chnh s2 = 1

n − 1

ni=1

xi −

ni=1 xin

2

, thay vì công

thc 1

n

ni=1

xi −

ni=1 xin

2

, khi nói v phương sai ca mt b n s

(x1, . . . , xn). T l gia phương sai mu hiu chnh và phương saimu là

n

n

−1

, tin ti 1 khi n tin ti vô cùng.

5.2.4 Phương pháp hp lý cc đi

Phân b thc nghim là mt ưc lưng ca phân b ca X . Nhưngphân b thc nghim luôn luôn là phân b ri rc, và có th khôngtha mãn mt s tính cht mà X phi tha mãn, tc là không nm

trong h các phân b mà X rơi vào, ví d như h các phân b normal,





h các phân b hình hc, v.v. Mt trong nhng phương pháp ph binnht đ ưc lưng phân b xác sut ca X bng mt phân b xác

sut trong mt h nào đó là phương pháp hp lý cc đi (maximallikelyhood - d xy ra nht).Ý tưng ca phương pháp này là: nhnggì mà thy đưc trong thc nghim, thì phi d xy ra hơn là nhnggì không thy. Ví d như, khi mt giáo viên hi mt hc sinh 4 câuhi ngu nhiên v mt môn hc nào đó mà hc sinh đu tr li đưc,thì giáo viên s “ưc lưng” rng đy là hc sinh gii, vì khi gii thì

mi nhiu kh năng tr li đưc c 4 câu hi, còn nu không giis có nhiu kh năng không tr li đưc ít nht 1 trong 4 câu hơn làkh năng “ăn may” tr li đưc c 4 câu. Chúng ta s tìm phân b xácsut ca bin ngu nhiên X sao cho mu thc nghim (x1, . . . , xn)

có nhiu kh năng xy ra nht.

Ta s gi s X có phân b xác sut P θ ph thuc vào mt s tham

s θ = (θ1, . . . , θk) nào đó. Trong trưng hp P θ là phân b ri rc,ta đt

L(θ) = Lθ(x1, . . . , xn) = P θ(x1) . . . P θ(xn), (5.12)

còn trong trưng hp P θ là phân b liên tc vi hàm mt đ ρθ, thìta đt

L(θ) = Lθ(x1, . . . , xn) = ρθ(x1) . . . ρθ(xn). (5.13)

L(θ) đưc gi là hàm đ hp lý (likelyhood function) ca θ (khi màmu x1, . . . , xn đã bit). Bài toán mà chúng ta cn gii, là tìm θ cóđ hp lý cao nht, tc là tìm θ sao cho

L(θ) = sup

θ L(θ). (5.14)






Vi nguyên tc “đo hàm bng 0 ti đim cc tr”, vn đ tìm đimcc đi ca L(θ) nhiu khi đưc đưa v vn đ gii phương trình:

d

dθL(θ) = 0. (5.15)

Không phi lúc nào phương pháp hp lý cc đi cũng cho kt qu,bi vì chng hn nu hàm L(θ) có nhiu đim cc đi, thì không bitnên chn đim nào. Tuy nhiên, trong nhiu bài toán, phương pháp

này cho kt qu duy nht và khá “hp lý” v trc giác.

Hình 5.4: Ronald Fisher





Ghi chú 5.3. Ngưi khi xưng phương pháp hp lý cc đi là RonaldFisher (1890-1962), mt nhà di truyn hc và thng kê hc ngưi

Anh, vào đu th k 20. Fisher cùng vi Pearson đưc coi là nhngcha t ca thng kê toán hc. Khi Fisher đưa ra phương pháp hp lý cc đi thì Pearson không ng h nó, dn đn quan h căng thnggia hai ngưi.

Ví d 5.9. Gi s ta bit rng X phi có phân b xác sut đu trênmt đon thng [a, b], nhưng ta không bit a và b. Vn đ đt ra là

ưc lưng a và b, da trên mt mu thc nghim x1, . . . , xn. Ta có

L(a, b) = ρa,b(x1) . . . ρa,b(xn) = 1

(b − a)n, (5.16)

và ta cn tìm a,b sao cho 1/(b − a)n đt cc đi. Ta bit rng cácđim x1, . . . , xn phi nm trong đon thng [a, b], như vy ta phi có

b ≥ max xi, a ≤ min xi, và 1/(b − a)n

đt cc đi khi mà b = max xi,a = min xi. Bi vy các ưc lưng ca a và b là:

a = min xi, b = max xi. (5.17)

Ví d 5.10. Gi s ta mun tìm xác sut ca mt s kin A nào đó(ví d như s kin: say rưu khi lái xe). Gi X là hàm ch báo ca A:

X = 0 nu A không xy ra, và X = 1 nu A xy ra. Khi đó X có phânb Bernoulli vi tham s p = P (A). Đ ưc lưng p, ta làm n phépth ngu nhiên đc lp, và đưc mt mu x1, . . . , xn ca X . Các sx1, . . . , xn ch nhn hai giá tr 0 và 1. Gi k là s s 1 trong dãy sx1, . . . , xn, và n − k là s s 0. Khi đó hàm đ hp lý là:

L( p) = pk

(1 − p)n−k

. (5.18)






Đo hàm ca L( p) là L( p) = n(k/n − p) pk−1(1 − p)n−k−1, t đósuy rng hàm L( p) đt cc đi trên đon [0, 1] ti đim p = k/n =

n

i=1 xi/n. Như vy, theo phương pháp hp lý cc đi, ta có ưclưng sau đây ca xác sut p = p(A):

ˆ p =ni=1

xi/n. (5.19)

Ví d 5.11. Tr li bài toán ưc lưng phân b ca chiu dài dưachut. Ta gi s X đây có phân b normal N (µ, σ2), và ta mun

ưc lưng kỳ vng µ và phương sai σ2 ca X . Theo phương pháp hplý cc đi, ta xác đnh hàm đ hp lý, khi có mt mu x1, . . . , xn caX , là:

L(µ, σ) =

ni=1

1√ 2πσ

exp

−(xi − µ)2

2σ2

= 1

√ 2πσn

exp−

ni=1

(xi −

µ)2

2σ2

. (5.20)

Đ tìm đim có đ hp lý cc đi, ta gii h phương trìnhd

dµL(µ, σ) = 0 và

d

dσL(µ, σ) = 0.

Phương trình th nht tương đương vi d

dµ

n

i=1

(xi − µ)2 = 0, và

cho nghim là µ =

ni=1 xin

. Phương trình th hai tương đương vi,−n

σ +

2

i(xi − µ)2

2σ3 = 0, và cho nghim là σ2 =

i(xi − µ)2

n . Như

vy, phương pháp hp lý cc đi cho ta các ưc lưng sau đây ca kỳ vng µ và phương sai σ2:

µ =n

i=1 xi

n , (5.21)





σ2 = 1

n

ni=1

(xi − µ)2 = 1

n

ni=1

xi −

ni=1 xin

2

. (5.22)

Mt điu thú v là đi vi phân b normal, phương pháp hp lý ccđi cho ta ưc lưng ca phương sai bng phương sai mu, ch khôngbng phương sai mu hiu chnh. (Nhc li rng t l gia hai đilưng này là n/(n − 1)).

Bài tp 5.4. Chng minh rng các ưc lưng trong ví d 5.9 thamãn tính cht nht quán.

Bài tp 5.5. Tìm hàm ưc lưng hp lý cc đi cho tham s λ caphân b mũ.

Bài tp 5.6. Tìm hàm ưc lưng hp lý cc đi cho tham s λ caphân b Poisson. (Chú ý: ưc lưng này không tn ti nu như tt ccác giá tr trong mu thc nghim đu bng 0).

5.2.5 Phương pháp moment

Mt trong nhng phương pháp khác hay đưc dùng đ ưc lưngphân b ca X bng mt phân b P θ nào đó, là gii h phương trìnhsau đ tìm ưc lưng ca các tham s θ = (θ1, . . . , θk):

R

xsdP θ = 1

n

ni=1

xsi (5.23)

vi mi s = 1, . . . , k, trong đó (x1, . . . , xn) là mt mu thc nghimca X . V bên trái ca phương trình trên là moment bc s ca phân

b P θ, còn v bên phi là moment bc s thc nghim.





5.3. Sai s và đ tin cy ca ưc lưng

Bài tp 5.7. Gi s X là mt bin ngu nhiên vi phân b liên tccho bi hàm mt đ ρ sau:

ρ(x; λ) =

λxλ−1 nu 0 < x < 1

0 ti các đim còn li , (5.24)

trong đó λ là mt tham s. a) Tìm hàm ưc lưng hp lý cc đi caλ.b) Tìm hàm ưc lưng ca λ theo phương pháp moment.

5.3 Sai s và đ tin cy ca ưc lưng

5.3.1 Sai s ca ưc lưng

V nguyên tc, nói chung mi ưc lưng đu có sai s, bi vì giátr ca ưc lưng ph thuc vào hàm hưc lưng và giá tr ca muthc nghim, mà các mu thc nghim khác nhau ca cùng mt binngu nhiên có các giá tr khác nhau, dn đn các giá tr ưc lưngkhác nhau, không th tt c đu chính xác đưc.

Gi s Θ(X 1, . . . , X n) là mt hàm ưc lưng ca mt đi lưng

θ nào đó. Trong trưng hp Θ là ưc lưng không chch, tc là kỳ vng ca Θ(X 1, . . . , X n) chính bng θ, thì ta có th ly đ lch chunca Θ(X 1, . . . , X n) làm thưc đo đánh giá mc đ sai s trung bìnhca mt ưc lưng ca θ dùng hàm ưc lưng Θ. Trong trưng hpchung, đi lưng

MSE (Θ) = E(|Θ(X 1, . . . , X n) − θ|2

) (5.25)





đưc gi là sai s trung bình bình phương (mean squared error) cahàm ưc lưng Θ (cho đi lưng đc trưng θ ca bin ngu nhiên X ).

Bt đng thc Cramér–Rao dưi đây cho ta chn dưi ca sai strung bình bình phương ca các hàm ưc lưng. Nó cho thy, v mtlý thuyt, khi c ca mu thc nghim là c đnh, không th có cáchưc lưng vi đ chính xác tùy ý, mà cách ưc lưng (không chch)nào cũng có sai s trung bình bình phương ln hơn mt hng s nàođó.

Hàm ưc lưng có sai s trung bình bình phương càng nh thìđưc coi là càng hiu qu (càng chính xác). Hàm ưc lưng có sai strung bình bình phương nh nht (trong các hàm ưc lưng n binca θ) đưc gi là hàm ưc ưng hiu qu.

Đnh nghĩa 5.4. Gi s phân b xác sut P X = P θ nm trong mt h

các phân b xác sut P θ ph thuc vào tham s θ. Khi đó đi lưng

I (θ) = E

∂ ln L(X, θ)

∂θ

2=

R

∂ ln L(x, θ)

∂θ

2dP θ, (5.26)

trong đó L(x, θ) = P θ(x) trong trưng hp P θ là phân b xác xut ri

rc và L(x, θ) = ρθ(x) trong trưng hp P θ là phân b liên tc vi hàm

mt đ ρθ , đưc gi là lưng thông tin Fisher ng vi θ.

Đnh lý 5.4 (Bt đng thc Cramér–Rao). Vi mi hàm ưc lưng

không chch Θ ca θ ta có

E(|Θ(X 1, . . . , X n) − θ|2) ≥ 1

nI (θ). (5.27)

Nu như Θ là ưc lưng có chch, vi đ chch là

b(θ) = E(Θ(X 1, . . . , X n)) − θ, (5.28)






và ký hiu b(θ) là đo hàm ca b(θ) theo θ, thì

E(

|Θ(X 1, . . . , X n)

−θ

|2)

≥ (1 + b(θ))2

nI (θ)

. (5.29)

Ghi chú 5.4. Trong phát biu chính xác hơn ca đnh lý trên, cnphi gi s rng phân b xác sut ca X tha mãn mt s điu kin“regularity” (không kỳ d) (xem chng minh phía dưi, s xut hinc th điu kin). Trong các bài toán thc t, nói chung các điu kinregularity này luôn đưc tha mãn.

Chng minh. Ta s chng minh cho trưng hp n = 1, ưc lưnglà không chch, và phân b xác sut là liên tc tuyt đi vi hàm mtđ ρθ(x) = ρ(θ, x). Trưng hp tng quát phc tp hơn, nhưng cácchng minh hoàn toàn tương t.

Xut phát t đng thc ∞−∞ Θ(X )ρ(θ, x)dx = θ (ưc lưng không

chch), ly đo hàm theo θ, ta có ∞−∞

Θ(X )∂ρ(θ, x)

∂θ dx = 1.

Chúng ta cn điu kin không kỳ d sau: ∞

−∞∂ρ(x, θ)

∂θ dx = 0 (ngoài

vic tích phân giao hoán vi đo hàm theo θ phía trên). Vi điu kin

này, ta có ∞

−∞(Θ(X ) − θ) ∂ρ(θ, x)∂θ dx = 1, hay còn có th vit ∞−∞

(Θ(X ) − θ)

ρ(θ, x)∂ ln ρ(θ, x)

∂θ

ρ(θ, x)dx = 1.

Đng thc trên, cùng vi bt đng thc Cauchy-Schwartz

( ∞−∞fgdx)2

≤ ( ∞−∞

f 2dx)( ∞−∞g2dx),





suy ra

1 ≤ (

∞

−∞

(Θ(X ) − θ)

ρ(θ, x))2dx)(

∞

−∞

(∂ ln ρ(θ, x)

∂θ ρ(θ, x))2dx) =

E(|Θ(X ) − θ|2).I (θ), và ta đưc điu phi chng minh.

Ghi chú 5.5. Harald Cramér (1893–1985) là nhà toán hc và thng kêhc Thy Đin, hc trò ca nhà toán hc Marcel Riesz. CalyampudiRadhakrishna Rao (sinh năm 1920) là nhà thng kê hc ngưi gc n Đ, làm vic ti M cho đn khi v hưu, hc trò ca Ronald Fisher.Bt đng thc Kramér–Rao đưc hai ông làm ra vào quãng năm 1945.

Bài tp 5.8. Th t chng minh đnh lý trên khi n là s tuỳ ý (và X

có phân b liên tc tuyt đi).

5.3.2 Khong tin cy và đ tin cy

Vì nói chung mi ưc lưng đu có sai s, nên sau khi tìm đưcmt giá tr ưc lưng θ = Θ(x1, . . . , xn) ca θ, ta phi “cho phép”nó có th có mt sai s đn nào đó, và coi rng giá tr tht ca θ

nm trong đon [θ − , θ + ]. Đon đó gi là khong tin cy. Nhưngđiu đó không có nghĩa là ta tin tưng 100% rng θ nm trong đon[θ − , θ + ], mà ch có nghĩa là ta tin rng, vi đ tin cy cao, θ nmtrong khong tin cy [θ

−, θ + ]. Nói cách khác, ta có

P (θ ∈ [θ − , θ + ]) = 1 − p, (5.30)

trong đó 1 − p là đ tin cy (confidence), và [θ − , θ + ] là khongtin cy (confidence interval). Tt nhiên, khi khong tin cy càng hp( càng nh), thì đ tin cy càng thp Mun có đ tin cy cao (tc là

p nh), thì cn phi đ khong tin cy đ rng ( đ ln). Vi gi s






ưc lưng nht quán, khi sai s c đnh thì đ tin cy 1 − p tin ti1 khi c thc nghim n tin ti vô cùng, và ngưc li khi p c dnh

thì sai s tin ti 0 khi n tin ti vô cùng. Ngưi ta thưng hay cđnh p (chng hn p = 5% hay p = 1%), ri tìm khong tin cy tươngng cho đ tin cy đã c đnh đó.

Ví d 5.12. Gi s khi đo chiu dài ca 100 qu dưa chut đưcchn mt cách ngu nhiên t mt qun th (population) các qudưa chut s đưc đóng hp, ta đưc các con s sau: X (hàm kỳ

vng thc nghim) có giá tr bng 9.3cm (đây là ging dưa chutnh), và σ (đ lch chun thc nghim) là 0.5cm. Ta có th coi là

Z = (X − µ)

σ/√

100=

(X − µ)

0.05 có phân b normal chun tc, trong đó µ là

kỳ vng đ dài ca các qu dưa chut tính theo cm. Đt p = 1%, tađưc |Z | ≤ 2.57, có nghĩa là P (|Z | ≤ 2.57) ≈ 99% = 1−1%. Bt đng

thc |

(9.3 − µ)

0.05 | ≤ 2.57 tương đương vi µ

∈ [9.3

−2.57

×0.05, 9.3 +

2.57 × 0.05] ≈ [9.17, 9.43]. Như vy, [9.17, 9.43] là khong tin cy caµ vi đ tin cy 99%.

Ghi chú 5.6. Có mt vn đ t nh trong lý lun trong ví d trên,liên quan đn xác sut có điu kin. Sai s mà chúng ta tính đưc là2.57 × 0.05 ≈ 0.13 vi đ tin cy 99%, có nghĩa là

P (|X − µ| < 0.13 | µ c đnh) ≈ 99%,

nhưng sau đó ta li mun hiu điu này thành: X = 9.3 là cái bitđưc sau thc nghim, µ là cái chưa bit, có th coi như mt binngu nhiên, và

P (|X − µ| < 0.13 | X = 9.3) ≈ 99%.





Vì sao ta có th coi P (|X − µ| < 0.13 | µ c đnh) = P (|X − µ| <

0.13 | X c đnh)? Trit lý đây là, ta coi rng phân b ca sai s

X − µ không ph thuc vào bn thân giá tr ca µ, mà ch ph thuc vào hiu X −µ (trong lp nhng vn đ đang đưc xét). Kiu như khibn cung tên vào đích: đt đích đâu không quan trng, vn s cócùng 1 phân b v đ lch ca mũi tên đưc bn so vi tâm đim (µ)ca đích. Tt nhiên điu này không hoàn toàn đúng, nhưng đ gnđúng đ ta s dng nó. Tương t như vy, ta cũng coi rng phân b

ca X − µ không ph thuc vào bn thân giá tr ca X , mà ch phthuc vào hiu X − µ. Khi đó (trong mt không gian xác sut thíchng cho vn đ đang đưc xét) ta có P (|X − µ| < 0.13 | µ c đnh) =

P (|X − µ| < 0.13) = P (|X − µ| < 0.13 | X c đnh).

Mt cách tng quát hơn, ta có th thay Θ(X)− và Θ(X) + bnghai thng kê A = g1(X) và B = g2(X) bt kỳ (X = (X 1, . . . , X n) là

hàm mu thc nghim ca X , và phân b ca X ph thuc tham sθ), vi A < B. Khi đó ta có đnh nghĩa sau:

Đnh nghĩa 5.5. Gi s A = g1(X) và B = g2(X) là hai hàm thng

kê, vi A < B. Gi s P (A < θ < B) = 1 − p. Khi đó, vi mi giá tr

thc nghim a ca A và b ca B (ca cùng mt mu thc nghim), ta

nói rng đon ]a, b[ là khong tin cy ca θ vi đ tin cy 1 − p, hay còn gi là khong tin cy 100(1 − p)% ca θ.

Trong nhiu vn đ, thay vì ưc lưng θ, ngưi ta ch mun đánhgiá θ mt phía (xem nó ln hơn, hay nh hơn, cái gì đó). Khi đó ngưita dùng các khong tin cy mt phía ] − ∞, b[ hay ]a, ∞[.

Ví d 5.13. ( Bu c ). Gi s mt cuc thăm dò ý kin cho thy 52% s






ngưi đưc hi, trong s 400 ngưi đưc chn mt cách ngu nhiêntrong dân chúng, s bu cho ng c viên tng thng A trong s 2 ng

c viên chính. Hi có th nói rng A s thng c vi đ tin cy bngbao nhiêu? Gi p là t l tng s ngưi s bu cho A. Khi đó p cũnglà là xác sut đ 1 ng c viên ngu nhiên bu cho A. Khong tin cy đây là mt chiu: p > 50% thì A đưc bu. Đi lưng thc nghimlà ˆ p = 52% = 0.52, và c thc nghim là n = 400. Phân b xác sut đây là phân b Bernoulli, vi đ lch chun là σ2 =

p(1 − p). Theo

đnh lý gii hn trung tâm, ta có

P (X − p

σ/√

n < c) ≈ F N (0,1)(c) = P N (0,1)(] − ∞, c[).

vi mi c.Tasthay σ bng đ lch chun thc nghim σ =

p(1 − ˆ p), và X bng giá tr ˆ p = 0.52 ca nó, trong công thc trên. Như vy,

F N (0,1)(c) là đ tin cy cho khong tin cy mt phía

]ˆ p − c

p(1 − ˆ p)/n, ∞[ = ]0.52 − 0.02498c, ∞[

ca p. Đ xét kh năng thng c, cn xét khong tin cy ]0.5, ∞[, tclà đt 0.52 − 0.02498c = 0.5. Gii phương trình đó, ta đưc c = 0.80, và đ tin cy là F N (0,1)(0.80) ≈ 0.788. Có nghĩa là, ta có th d đoán

ng c viên A s thng c, vi đ tin tưng là 78.8%.

5.3.3 Khong tin cy cho đ lch chun

Trong các ví d mc trên, chúng ta đã dùng đ lch chun thcnghim thay th cho đ lch chun, khi tính khong tin cy và đ

tin cy cho kỳ vng. Câu hi đt ra là: vic dùng đ lch chun thc





nghim thay th cho đ lch chun có làm gim s chính xác cacác tính toán nhiu không? Bn thân vic dùng đ lch chun thc

nghim làm ưc lưng cho đ lch chuni có đ tin cy và khongtin cy ra sao? Đ tr li câu hi đó, ta có th dùng đnh lý sau, trongtrưng hp phân b là normal:


lp có cùng phân b normal N (µ, σ2) , và X = (n

i=1 X i)/n , Σ2 =1n

ni=1(X i − X )2. Khi đó nΣ2/σ2 có phân b χ2 vi n − 1 bc t do.

Chng minh ca đnh lý trên có th suy ra đưc d dàng t cáctínhchtcacácphânbnormalnhiuchiu(cavector (X 1, . . . , X n)), và mt phép bin đi tuyn tính vuông góc, tương t như trong chngminh đnh lý Pearson. Cũng có th chng minh bng cách tính hàmđc trưng hay hàm sinh moment.

Ví d 5.14. Gi s ta bt đưc 20 con rng. Trung bình mi con dài10 mét, và đ lch chun thc nghim ca mu 20 con đó là 1 mét.Tính khong tin cy 90% ca đ lch chun ca chiu dài ca rng?Ta coi chiu dài ca rng có phân b normal vi đ lch chun σ, vàgi hàm đ lch chun thc nghim ca mt mu 20 con rng là Σ.Theo đnh lý trên, 20Σ2/σ2 có phân b χ2

19 vi 19 bc t do. Đ tìm

mt khong tin cy cho σ vi đ tin cy 90%, ta có th tìm hai sχ20.05 và χ2

0.95 sao cho

P (χ219 ≤ χ2

0.05) = 5% và P (χ219 ≥ χ2

0.95) = 5% (5.31)

Dùng máy tính hoc tra bng, ta tìm đưc χ20.05 ≈ 10.12 và χ2

0.95 ≈30.14, bi vy

P (10.12 <

20Σ2

σ2 < 30.14) ≈ 1 − 5% − 5% = 90%. (5.32)






Vi giá tr thc nghim Σ = 1, ta đưc bt đng thc

10.12 < 20

σ2 < 30.14, (5.33)

tương đương vi0.81 < σ < 1.41. (5.34)

Như vy, khong tin cy 90% cho σ là ]0.81, 1.41[. Có th thy đây làmt khong khá rng (chênh lch gn 2 ln gia s đu và s cui).Lý do là vì n = 20 tương đi nh, nên đ chính xác ca ưc lưng đlch chun không cao.

5.3.4 Phân b Student

Trong các ví d mc trên, ta dùng đnh lý gii hn trung tâm,ri thay đ lch chun bng đ lch chun thc nghim σ, đ ktlun rng phân b xác sut ca X − p

σ/√ n

(hay ca X − pˆΣ/√ n

, trong đó Σ2

là hàm phương sai thc nghim, còn σ2 là mt giá tr thc nghimca nó), có th xp x bng phân b normal chun tc N (0, 1). Điunày ch đúng đn khi mà n đ ln. Khi n nh thì xp x này khôngcòn tt na, và khi đó thì thay vì phân b normal chun tc ta phidùng các mô hình phân b khác. Bi vy ta có đnh nghĩa sau:

Đnh nghĩa 5.6. Nu X 1, . . . , X n là mt b n bin ngu nhiên đc lpcó cùng phân b normal N (µ, σ2) , và

T = X − µ

S/√

n, (5.35)

trong đó X = (n

i=1 X i)/n và S =

1n−1

ni=1(X i − X )2, thì phân b

xác sut ca T đưc gi là phân b Student , hay phân b T (Student

T-distribution), vi n − 1 bc t do.





Ghi chú 5.7. D thy rng, trong đnh nghĩa trên, phân b ca T

không ph thuc vào µ và σ. Phân b T đưc nhà thng kê hc ngưi

Anh, ông William Sealy Gosset (1876–1937), đưa ra vào năm 1908,khi đang làm vic cho hãng bia Guinness Dublin (thng kê đ chnbia ngon). Do nguyên tc gi bí mt ca hãng bia, Gosset không đưcphép ký tên các bài báo ca mình vi tên tht, nên ly bút danh làStudent. Khái nim bc t do ca phân b T là do Ronald Fisher đưara, vì nó phù hp vi các công trình khác ca Fisher liên quan đn

bc t do.

Hình 5.5: Hàm mt đ ca các phân b T vi 1, 3 và 30 bc t do






Phân b Student rt quan trng trong vic xác đnh các khongtin cy và đ tin cy trong trưng hp mu thc nghim có c nh.

Bi vy nó đưc nghiên cu khá k lưng. Công thc đ tính hàmmt đ ca phân b Student là:

Đnh lý 5.6. Phân b Student T vi ν ≥ 1 bc t do có hàm mt đ

sau:

ρν (x) = Γ(ν +1

2 )

Γ(ν 2 )√

πν

1

(1 + x2

ν )ν+12

. (5.36)

Công thc trên có th suy ra đưc t công thc tính hàm mt đca phân b χ2 và t đnh lý sau.


lp có cùng phân b normal N (µ, σ2) , và X = (n

i=1 X i)/n , S =

1n−1

ni=1(X i − X )2. Khi đó:

i) X đc lp vi các bin ngu nhiên X i − X và vi S .ii) (n − 1)S 2/σ2 có phân b χ2 vi n − 1 bc t do.

iii) Nu Z có phân b N (0, 1) và U có phân b χ2 vi m bc t do, thì

Z √

m/√

U có phân b Student T vi m bc t do.

Chng minh ca đnh lý trên có th suy ra đưc d dàng t các

tính cht ca các phân b normal nhiu chiu.Theo đnh lý gii hn trung tâm, thì phân b Student vi n bc t do hi t đn phân b normal chun tc khi n tin ti vô cùng. Tuy nhiên, khi n nh, thì đ chênh lch gia phân b Student và phânb normal chun tc khá cao. Hình 5.5 là đ th hàm mt đ ca cácphân b t vi 1, 3 và 30 bc t do. Khi s bc t do là 30 tr lên thì

phân b t gn bng phân b normal chun tc, nhưng vi s bc t





do nh nh, thì nó “dàn tri” hơn nhiu so vi phân b normal chuntc. Có th tính toán các giá tr ca hàm phân phi xác sut ca phân

b Student T bng cách tra bng hoc dùng chương trình máy tính.Ví d 5.15. Tip t ví d trong mc trưc v rng. Vì vic xp x đlch chun bng đ lch chun thc nghim có đ chính xác kém khin = 20, nên ta phi dùng phân b T thay cho phân b normal chuntc khi tính khong tin cy ca kỳ vng. Đt T = (X − µ)

√ n − 1/Σ,

trong đó n = 20 là s con rng bt đưc (c ca mu), µ là kỳ vng

chiu dài ca rng, X là hàm kỳ vng thc nghim, và Σ là hàm đlch chun thc nghim. Khi đó T tuân theo phân b Student T vi19 bc t do. Gi s ta mun tìm khong tin cy 90% cho µ. Ta cntìm s c sao cho

P (|T | < c) = 90%. (5.37)

Tra theo phân b Student T vi 19 bc t do, ta có c

≈ 1.729. Bi vy

ta cn gii bt phương trình

|(X − µ)√

20 − 1/Σ| < 1.729, (5.38)

trong đó X = 10 và Σ = 1 (là các đi lưng thc nghim). Kt qu là

9.603 < µ < 10.397 (5.39)

vi đ tin cy 90%.

Bài tp 5.9. Gi s có mt loi xe ô tô mi, cho 5 ngưi chy th 5 xekhác nhau trên đưng cao tc, vi kt qu chy 100km ht ln lưtlà 4.53, 3.82, 4.37, 3.91, 4.16 lít xăng. Tìm khong tin cy cho s lítxăng tiêu tn trung bình ca loi xe này cho 100km đưng cao tc,

vi đ tin cy 90%.





5.4. Kim đnh các gi thuyt

5.4 Kim đnh các gi thuyt

Trong phn này, và phn sau, chúng ta s bàn đn nhng phươngpháp thng kê dùng đ tra li nhng câu hi dng “có hay khôngmt hin tưng hay hiu ng nào đó”. Ví d: loi thuc cha bnhcm này có hiu nghim không?, có kỳ th gii tính trong vic tuynngưi không?, cht thi ca nhà máy này có làm hi sc khe canhân dân xung quanh không?, s thích âm nhc có thay đi theo đtui không?, đc quyn có nh hưng xu đn kinh t không?, v.v.Mi tình hung “có hay không” như vy có th vit dưi hng mt githuyt, thưng ký hiu là H 0, gi là không thuyt (null hypothesis), và mt gi thuyt đi ngưc li nó, thưng ký hiu là H 1 hoc H alt,gi là đi thuyt (alternative hypothesis).

Có mt điu mà bn đc cn ht sc chú ý. Đó là, mi phươngpháp kim đnh bng thng kê ch thích hp trong nhng tình hung

nht đnh, khi các gi s nht đnh đưc tho mãn. Khi có mt vnđ kim đnh thng kê trong thc t cn thc hin, thì phi chn laphương pháp đúng đn, và rt có th là phương pháp mà bn đc cnđn không nm trong quyn sách này (vì s phương pháp thì nhiu,mà quyn sách ch gii thiu mt s phương pháp cơ s), và bn đcs phi tìm hiu sâu thêm v thng kê đ chn la đưc phương pháp

thích hp cho vn đ ca mình.





5.4.1 Mt s nguyên tc chung ca kim đnh bng thngkê

Tương t như ưc lưng, vic kim đnh gi thuyt bng thngkê không cho kt qu “chính xác 100%”, mà ch cho kt qu vi mtđ tin cy nht đnh nào đó, và có th xy ra sai lm. Các sai lm cóth phân làm hai loi:- Sai lm loi 1: ph nhn gi thuyt H 0, chp nhn đi thuyt H 1,trong khi H 0 đúng- Sai lm loi 2: gi gi thuyt H 0, không chp nhn đi thuyt H 1,trong khi H 1 đúng.

C hai loi sai lm đu có th gây ra nhng hu qu không tt.Tùy tng trưng hp mà đánh giá xem sai lm loi nào dn đn hu

qu nghiêm trng hơn, và cn tránh hơn. Ví d, trong trưng hpcht thi có th gây ung thư: nu theo thng kê, H 0 xy ra vi đtin tưng 80% (tc là vi đ tin tưng 80%, cht thi không gây ungthư) và ch có 20% là H 1 (cht thi gây ung thư) xy ra, thì như thcũng đ quá nguy him vi tính mng con ngưi, và trong trưnghp này không chp nhn đưc H 0 (tc là không th đ cho nhà máy

thi cht thi như vy). Nhưng ngưc li, nu đi vi mt loi thucmi, kim đnh thng kê cho thy H 0 (gi thuyt thuc không có tácdng) có trên 5% kh năng xy ra, thì nói chung thuc chưa đưcB Y T ca các nưc chp nhn, và phi nghiên cu và thí nghimthêm cho đn khi chng t đưc là H 1 (gi thuyt thuc có tác dng)là đúng đn vi đ tin tưng rt cao (ít ra trên 95%) thì thuc mi

đưc chp nhn.






Khi kim đnh bng thng kê, các gi thuyt và đi thuyt thưngcó th phát biu li dưi dng: mt đi lưng nào đó (mà ta không

bit, mun ưc lưng) nm trong mt đon thng nào đó, vi đ tincy nào đó. Bi vy, các bài toán kim đnh có th coi như là nhng

trưng hp đc bit ca các bài toán ưc lưng. Ví d, nu H 0 là, “khibu vào quc hi, đàn bà cũng có xác sut đưc bu nhiu như đànông”, thì H 0 có th b loi b và H 1 đưc chp nhn nu như ưclưng cho thy “xác sut đ ngưi đưc bu vào quc hi là đàn ông”

nm trong đon ]1/2, ∞[, vi đ tin cy trên 99%.Nhc li rng, trong vn đ ưc lưng, đ tin cy đưc coi bngxác sut đ mt kt qu thng kê thc nghim nm trong mt minnào đó, khi mà đi lưng mà ta mun ưc lưng nm trong mtkhong nào đó (khong tin cy). Ta đt đ tin cy đó, khi mà kt quthng kê thc nghim ca ta nm trong min cn thit. Trong ví dbu c quc hi, thì đi lưng mà ta mun ưc lưng là xác sut đ

mt ngưi đưc bu c là đàn bà. Có hai cách phát biu điu kin:hoc là “xác sut đ ngưi đưc bu là đàn bà không nh hơn 50%”hoc là “xác sut đ ngưi đưc bu là đàn bà bng 50%”. Gi s ktqu thng kê đây là s ngưi đưc bu vào quc hi là đàn ông làmt s N. Khi đó xác sut (đ tin cy) đây có th vit là

P 1 = P (x.s. đ ng. đưc bu là n ≥

50%

| s ng. đưc bu là nam = N ),

hoc là

P = P (s ng. đưc bu là nam ≥ N | x.s. đ ng. đưc bu là n = 50%),

Đi lưng P cui cùng là cái mà ta có th tính đưc trc tip bngcác công thc xác sut, còn P 1 là đ tin cy, ta không tính trc tip,

mà lý lun rng nó có th coi là (gn) bng P . Chú ý rng ta không





vit

P (x.s. đ ng. đưc bu là n = 50% | s ng. đưc bu là nam = N ),

hoc là

P (s ng. đưc bu là nam = N | x.s. đ ng. đưc bu là n = 50%),

vì nu dùng đng thc c s kin và điu kin, thì xác sut nóichung s rt nh, dù thc t xy ra th nào, và bi vy không dùngnó đ kim đnh đưc.

Giá tr P = (xác sut đ s ngưi đưc bu là đàn ông ≥ N dưiđiu kin: xác sut đ ngưi đưc bu là đàn bà = 50%) đưc gi làgiá tr P cho gi thuyt H 0 (xác sut đ ngưi đưc bu là đàn bà =50%). Nó là xác sut sao cho giá tr ca thng kê ( đây là s đànông đưc bu) bng hoc thái quá hơn là giá tr thc nghim nhnđưc ( đây là s N ). Trong trưng hp chung, ta có đnh nghĩa sau:

Đnh nghĩa 5.7. Giá tr P (P-value) là xác sut đ giá tr ca mt

thng kê nào đó rơi vào mt min nào đó, khi mà gi thuyt H 0 đúng:

P = P (G ∈ A | H 0), (5.40)

trong đó G là mt thng kê và A là min gm nhng giá tr bng hoc

thái quá hơn so vi giá tr thc nghim ca G.

Nguyên tc kim đnh như sau: C đnh mt s α nào đó (ví d

α = 1% hoc α = 5% ). Nu giá tr P nh hơn α thì chp nhn đi

thuyt H 1 , còn nu P ≥ α thì gi gi thuyt H 0.

Ví d 5.16. Tung mt đng tin 20 ln, ra 2 ln mt sp và 18 ln

mt nga. Có th coi đng tin là cân bng (hai mt sp và nga






đu có xác sut 50%) không? Gi thuyt H 0 là “đng tin cân bng”.Gi X là bin ngu nhiên “s ln hin mt sp trong 20 ln tung”.

Giá tr P đây là: P = P (X ≤ 2 | xác sut hin mt sp = 50%) =(C 020 + C 120 + C 220)/220 ≈ 0.02%. Giá tr này quá nh đ có th chpnhn gi thuyt H 0.

Giá tr P phía trên có th coi là xác sut đ xy ra sai lm loi 1.Nó thích hp cho nhng trưng hp mà sai lm loi 1 là cái cn chúý đn (hơn so vi sai lm loi 2). Nu cn chú ý đn sai lm loi 2,

thì phi tính xác sut đ xy ra sai lm loi 2, thay vì xác sut đ xy ra sai lm loi 1. (Phương pháp làm hoàn toàn tương t).

Bài tp 5.10. (Tui ly chng Roma thi c đi). Có mt lý thuytca các nhà kho c hc cho rng, tui ly chng ln đu trung bình Roma thi c đi là khong 19 tui, vì các m ph n mà có văn

bia (epitaph) là do ngưi cha vit thì tui trung bình dưi 19, con dochng vit thì tui trung bình trên 19. (Ngưi ta gi thuyt rng phn đã có chng khi cht thì văn bia do chng vit, còn chưa có chngthì do cha vit). Th nhưng, theo mt ghi chép lch s, tui ly chngln đu ca 26 ph n Roma c đi đưc ghi là: 11, 12, 12, 12, 12,13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16,

16, 17, 17(6)

. Gi H 0 là gi thuyt “tui ly chng trung bình Romac đi là 19”, và gi s rng tui ly chng có phân b normal, viđ lch chun coi bng đ lch chun mu ca mu thc nghim vi26 giá tr trên, tc là bng 1.57. Chng minh rng giá tr P nh hơn1% (Gi ý: có th dùng bt đng thc Chebyschev).

(6)Theo: A. Lelis, W. Percy, B. Verstraete, The age of first mariage in ancient Rome,

Edwil Mellen Press, 2003; trích li t [7].





5.4.2 Kim đnh Z và kim đnh T cho kỳ vng

Bi vì bài toán kim đnh có th coi là trưng hp đc bit ca bài

toán ưc lưng, nên các phân b hay đưc dùng đ tính khong tincy trong ưc lưng cũng xut hin trong kim đnh. Hai loi phân bhay gp nht là: phân b normal chun tc (dùng trong trưng hpmu thc nghim ln), và phân b T (cho mu thc nghim nh, vigi s là phân b xác sut ban đu là normal hc gn ging normal).Các kim đnh dùng phân b normal chun tc đưc gi là kim đnhZ, còn các kim đnh dùng phân b Student T đưc gi là kim đnhT. Chng hn, ta có đnh nghĩa sau:

Đnh nghĩa 5.8. Kim đnh Z cho giá tr kỳ vng là kim đnh gi

thuyt dùng thng kê

Z = X − µ0

σ/√ n hoc là Z =

X − µ0

σ/√ n , (5.41)

trong đó:

i) X là giá tr trung bình ca mt mu thc nghim c n ca mt bin

ngu nhiên X

ii) Gi thuyt đây là v kỳ vng µ = E(X ) ca X . Gi thuyt H 0 là

µ = µ0 , và đi thuyt là µ

= µ0 (hoc là H 0 : µ

≤ µ0, H 1 : µ > µ0 ;

hoc là H 0 : µ ≥ µ0, H 1 : µ < µ0 ).iii) Hoc là X đưc gi s là có phân b normal vi đ lch chun σ

bit trưc, hoc là n đ ln sao cho có th coi là Z có phân b normal

chun tc, và thay vì dùng σ ta dùng σ , trong đó σ2 là phương sai thc

nghim (cho bi công thc ( 5.3 )).

Tương t như vy, có th đnh nghĩa kim đnh T cho giá tr kỳ






vng, tc là kim đnh dùng thng kê T = X − µ0

Σ/√

n, và coi rng T có

phân b Student T vi n

−1 bc t do.

Ví d 5.17. (Thuc cm). Gi s mt hãng dưc phm mun kimđnh s hiu nghim ca mt loi thuc cm mi. Thuc đưc đưacho 100 ngưi bnh ngu nhiên s dng khi bt đu có triu chngcm. Gi s mt ngưi b cm mà không cha bng thuc, thì quátrình b cm kéo dài trung bình 7 ngày. Gi X là Gi s đ dài trung

bình ca đt b cm ca nhng ngưi đưc th cho dùng thuc milà X = 5.3, vi đ lch chun thc nghim là 1.5 ngày. Hi thông tinnày có đ đ chng t thuc có hiu nghim không?

Vì X = 5.3 < 7 nên chúng ta mun chp nhn đi thuyt H 1

(thuc hiu nghim). Nhưng trưc khi chp nhn nó, chúng ta cnphi khng đnh đưc rng giá tr P đây,

P = P (X ≤ 5.3|H 0),

rt nh. Gi thuyt H 0 đây có th hiu là s kin “E(X ) = 7”, tc lànu đem thuc mi dùng đi trà, thì kỳ vng đ kéo dài ca đt cmkhông khác gì so vi nu không dùng thuc). Thay vì tính P (X ≤5.3|E(X ) = 7), ta có th ch cn kim tra xem P (X ≤ 5.3|E(X ) =

7) < α hay không, trong đó α là mt s rt nh nào đó, ví d α = 1%.Đ làm điu đó, ta cn gii phương trình

P (X ≤ c|E(X ) = 7) = α, (5.42)

ri kim tra xem điu kin 5.3 < c có đưc tha mãn không.

Mu thc nghim đây là đ ln (n = 100) đ áp dng đnh lý

gii hn trung tâm và dùng kim đnh Z . Nói cách khác, ta có th coi





Z =

√ 100(X −E(X ))

σ(X ) =

10(X − E(X ))

σ(X ) là mt bin ngu nhiên vi

phân b normal chun tc N

(0, 1). Khi đó X

≤ c tương đương vi

Z ≤ 10(c−E(X ))σ(X ) . Ta s coi σ(X ) bng đ lch chun thc nghim, tc

là σ(X ) = 1.5, và E(X ) = 7. Như vy

α ≈ P (Z ≤ 10(c − 7)

1.5 ) (5.43)

là giá tr ca hàm phân phi xác sut ca phân b normal chun

tc ti đim 10(c−7)1.5 . Đt α = 1%, ta đưc 10(c−7)1.5 ≈ −2.33, tc làc ≈ (7 − 2.33) × 1.5/10 ≈ 6.65. Vì 5.3 < 6.65, nên P < α = 1%, và tacó th chp nhn đi thuyt H 1, tc là thuc có hiu nghim.

Bài tp 5.11. Trong mt trang tri nuôi bò ln, trng lưng trungbình ca bò là 520kg. Mt loi thc đơn mi nhm tăng trng lưngcho bò đưc đem th trên 50 con bò chn ngu nhiên. Các con bò

đưc th đt trng lưng trung bình là 528kg vi đ lch chun 25kg.Hi thc đơn mi có hiu nghim không? (Dùng kim đnh Z).

Bài tp 5.12. Mt hãng xe ô tô tuyên b là mt loi xe mi do hãngsn xut ch tiêu tn trung bình 3.0 lít xăng cho 100km trên đưngcao tc. Mt t chc đc lp kim tra khng đnh này, bng cách cho

5 ngưi chy th 5 xe khác nhau ca loi xe mi đó, và kt qu là:2.90, 2.95, 3.10, 3.35, 3.45 (lít/100km). Da theo s liu này, hãy xác đnh xem tuyên b ca hãng xe ô tô có chp nhn đưc không?Gi s cho 5 ngưi khác chy th thêm 5 xe, và đưc thêm 5 kt qulà 2.95, 3.00, 3.15, 3.30, 3.40. Kim đnh li xem tuyên b ca hãngxe ô tô có chp nhn đưc không, da trên tng cng 10 kt qu.

(Dùng kim đnh T).






Bài tp 5.13. Các trm cung cp nưc cho thành ph phi kim tracht lưng nưc hàng gi, trong đó có kim tra đ pH. Mc tiêu là

gi đ pH ca nưc quãng 8.5 (hơi có tính kim: trên 7 là kim,dưi 7 là axít). Mt ln kim tra 15 mu nưc mt trm, thy rngđ pH trung bình ca các mu bng 8.28 và đ lch chun là 0.14.Hi rng có đ cơ s đ kt lun rng đ pH trung bình ca nưc đó vào thi đim đó khác 8.5? (Dùng kim đnh T).

5.4.3 Kim đnh so sánh hai kỳ vng

Gi s ta mun so sánh kỳ vng ca hai bin ngu nhiên X và Y

vi nhau, da trên mt mu thc nghim c nX ca X và mt muthc nghim c nY ca Y . Gi thuyt H 0 là E(X ) = E(Y ) + ∆ (hocE(X ) ≤ E(Y ) + ∆) và đi thuyt H 1 là E(X ) = E(Y ) + ∆ (hocE(X ) > E(Y ) + ∆). đây ∆ là đ chênh lch gia hai kỳ vng theogi thuyt.

Khi n và m ln, thì da theo đnh lý gii hn trung tâm và ưc

lưng ca đ lch chun, ta có th coi rng X − E(X )ΣX /

√ nX

và Y − E(Y )ΣY /

√ nY

là hai bin ngu nhiên đc lp có phân b normal chun tc, trong đóX là hàm kỳ vng thc nghim ca X (vi c thc nghim nX ), ΣX

là hàm đ lch chun thc nghim ca X , và tương t như vy cho

Y . T đó suy ra ta cũng có th coi rng (X − E(X )) − (Y − E(Y ))

Σ2X

nX +

Σ2Y

nY

có





phân b normal chun tc. Bi vy ta có th đt

Z = X − Y − ∆

Σ2X

nX+

Σ2Y

nY

. (5.44)

Nu gi thuyt H 0 là đúng, tc là E(X ) = E(Y ) + ∆ thì Z có phân bnormal chun tc. Kim đnh da trên giá tr thc nghim ca thngkê Z này đưc gi là kim đnh Z hai mu (two sample Z test) đ sosánh hai kỳ vng.

Ví d 5.18. ( Aspirin chng đau tim). Trong mt đt th nghim ln,22071 bác sĩ tham gia th nghim lâm sàng v tác dng ca Aspirinchng đau tim. Các bác sĩ đưc chia mt cách ngu nhiên thành hainhóm: nhóm 1 gm 11037 ngưi, đưc cho dùng Aspirin, còn nhómhai gm 11034 ngưi đưc cho dùng placebo (không có thuc).Không ai đưc bit mình thuc nhóm đưc cho thuc hai là nhómplacebo. Kt qu th nghim cho thy: 104 ngưi thuc nhóm dùngaspirin b lên cơn đau tim (heart attack), và nhóm placebo có 189ngưi b lên cơn đau tim, nhng ngưi còn li không b. Hi thuc cóhiu nghim đ chng đau tim không?

Trong bài toán này, có th đt X là bin Bernoulli, bng 1 nu b

đau tim, bng 0 nu không b đau tim, trên qun th nhng ngưikhông dùng aspirin. Kỳ vng ca X là xác sut đ b đau tim vi điukin là không dùng aspirin. Bin Y tương t, nhưng cho nhng ngưicó dùng aspirin. Thuc hiu nghim nu kim đnh cho thy kỳ vngca Y phi nh hơn kỳ vng ca X . Có th coi H 0 là gi thuyt kỳ vng ca Y bng kỳ vng ca X . Ta có mt mu thc nghim ca

X vi c 11034, kỳ vnng thc nghim là 189/11034, và phương sai






mu là (1 - 189/11034).189/11034. Tương t như vy cho Y . Giá trca thng kê Z bng:

18911034 − 10411037 (1−189/11034).189/11034

11034 + (1−104/11037).104/11037

11037

≈ 5.

Vì P = P N (0,1)([5, +∞[) < 1/106 là con s quá nh, nên ta có th ddàng loi b H 0 và chp nhn đi thuyt H 1, tc là aspirin có hiunghim chng lên cơn đau tim.

Trong trưng hp mà mu thc nghim ca X và Y có c nh(cács nX và nY nh), kim đnh Z không còn chính xác. Có th thay thnó bng kim đnh T hai mu (two sample T test), nu như X và Y

có phân b (gn ging) phân b normal, và đưc coi là có phương sai

bng nhau. Thng kê T đây là

T = X − Y − ∆ Σ2X

nY +

Σ2Y

nX.

nX+nY nX+nY −2

. (5.45)

Vi gi s rng H 0 là đúng (E(X ) − E(Y ) = ∆), thì T có phân bStudent T vi nX + nY − 2 bc t do(7).

Ví d 5.19. Gi s mt ngưi nghiên cu xã hi mun điu tra xem

nhng ngưi tr đ tui 20-30 và nhng ngưi già đ tui trên 70,có hài lòng v cuc sng hin ti như nhau không. Ngưi này phng vn ngu nhiên 10 ngưi già và 12 ngưi tr, và đánh giá đ hài lòngtheo thang đim t 0 đn 100 (100 là hoàn toàn hài lòng). Gi s các

(7)Nu X và Y có phương sai khác nhau, thì có mt kim đnh T tương t, gi làWelch’s T test, cũng dùng phân b T, nhưng vi s bc t do đưc tính mt cách phc

tp hơn.





kt qu nhn đưc là:Ngưi tr: 77, 68, 82, 55, 91, 63, 78, 56, 47, 80, 78, 60;

Ngưi già: 76, 35, 66, 53, 85, 38, 47, 66, 72, 61.Gi thuyt H 0 là ngưi tr và ngưi già có đ hài lòng v cuc sngnhư nhau. Mu thc nghim đây tương đi nh, không thích hpcho kim đnh Z, nhưng ta có th dùng kim đnh T. Gi X là bin“đ hài lòng ca mt ngưi tr”, Y là bin “đ hài lòng ca mt ngưigià”. Theo hai mu thc nghim trên, ta có:

nX = 12, X = 69.58, ΣX = 13.36, nY = 10, Y = 59.90, ΣY = 16.41.

Cóthtínhrathngkê T đây có giá tr bng (69.58−59.90)/6.3415 ≈1.526, và s bc t do là 10 +12 - 2 = 20. Ta có giá tr P bngP = P (|T 20| ≥ 1.526) ≈ 14.3%, trong đó T 20 là ký hiu bin ngunhiên có phân b Student T vi 20 bc t do. Tuy rng X = 69.58

chênh lch vi Y = 59.90 khá nhiu, nhưng mà giá tr P đây bng14.3% là mt con s không đ nh đ có th loi b gi thuyt H 0.Ngưi nghiên cu này phi điu tra thêm trưc khi có th kt lun làđ hài lòng v cuc sng ca ngưi tr cao hơn ngưi già.

Bài tp 5.14. Gi s khi kho sát 30 hc sinh nam và 30 hc sinhn mt trưng hc ln, thy đim toán trung bình ca 30 hc sinhnam là 7.0 vi đ lch chun 1.4, còn ca 30 hc sinh n là 7.4 viđ lch chun 1.5. Có th kt lun đưc rng hc sinh n gii toánhơn hc sinh nam trưng này đưc không? (Dùng kim đnh Z).

Bài tp 5.15. Ngưi ta mun kim tra hiu qu ca mt chương trìnhxã hi chăm sóc ph n nhà nghèo đang có thai. Kho sát trên 50

đa tr sinh ra t các ph n tham gia chương trình này cho thy các






đa tr này lúc sinh ra nng trung bình 3000 gam, vi đ lch chun410 gam. Đ so sánh, ngưi ta kho sát 50 đa tr sinh ra t các ph

n nhà nghèo không tham gia chương trình, và thy rng nhng đatr này lúc sinh ra có cân nng trung bình là 2650 gam vi đ lchchun 425 gam. Kim đnh xem chương trình này có giúp làm tr emnhà nghèo đt cân nng cao lên khi sinh ra không?

Bài tp 5.16. Mt vin dưng lão làm thí nghim sau: chn 30 ngưigià ngu nhiên trong vin, chia làm 2 nhóm mi nhóm 15 ngưi.

Cho mi ngưi mt cái cây cnh. Yêu cu nhng ngưi nhóm đutiên hàng ngày chăm sóc cây, còn không yêu cu nhng ngưi trongnhóm th hai chăm sóc cây. Ghi li s ln than phin v sc khe canhng ngưi trong hai nhóm trong vòng 1 tun sau khi cho cây. Ktqu là:Nhóm 1 (đưc yêu cu chăm sóc cây): 23, 12, 6, 15, 18, 5, 21, 18,

34, 10, 23, 14, 19, 23, 8.Nhóm 2 (không yêu cu chăm sóc cây): 35, 21, 24, 26, 17, 23, 37,22, 16, 38, 23, 41, 27, 24, 32. Hãy xem vic chăm sóc cây có nhhưng đn s ln than phin v sc khe không. (Dùng kim đnhT).

5.4.4 Kim đnh F so sánh hai đ lch chun

Nhc li rng, nu bin ngu nhiên X có phân b normal N (µ, σ2), và Σ2 là hàm phương sai mu ca X vi c thc nghim n, thì nΣ2/σ2

có phân b χ2 vi n − 1 bc t do. Do đó, có th dùng các phân bχ2 trong vic ưc lưng và kim đnh v phương sai và đ lch chun

ca X (vi gi s phân b ca X là normal).





Tương t như vy, trong trưng hp X và Y là hai bin ngunhiên vi phân b normal, thì đ kim đnh so sánh đ lch chun

ca X vi đ lch chun ca Y , ta có th dùng các phân b sau:

Đnh nghĩa 5.9. Gi s χ2m và χ2

n là hai bin ngu nhiên đc lp có

phân b χ2 vi m và n bc t do tương ng. Khi đó phân b xác sut

ca bin ngu nhiên

F m,n =

χ2m/m

χ2n/n =

nχ2m

mχ2n (5.46)

đưc gi là phân b F vi m và n bc t do.

Kim đnh dùng phân b F đ so sánh đ lch chun gi là kimđnh F. Ta gi s rng X và Y có phân b normal vi đ lch chun

σ1 và σ2 tương ng. Gi thuyt H 0 là σ1 = σ2 Gi S 21 và S 22 là cáchàm phương sai mu hiu chnh ca X và Y vi c thc nghim n1

và n2 tương ng. Nu σ1 = σ2 thì S 21/S 22 có phân b F vi n1 − 1 vàn2 − 1 bc t do.

Ghi chú 5.8. Phân b F đưc gi như vy là theo ch cái đu ca tênca Ronald Fisher. Kim đnh F ch thích hp khi các phân b ca X

và Y là normal hoc rt gn ging normal (nó không đưc “robust”lm, khi phân b chch đi khi normal).

Ví d 5.20. (Cách đo lưng nào chính xác hơn). Gi s có hai cáchđo hàm lưng cht arsenic trong đt. Mi cách đưc th 10 ln (chocùng mt ch đt), vi các kt qu như sau (ppm có nghĩa là parts-

per-million, t l tính theo phn triu):





5.5. Kim đnh χ2

Cách Trung bình (ppm) Đ lch chun mu hiu chnh (ppm)I 7.7 0.8

II 7.9 1.2

Phương pháp nào có đ lch chun thp hơn thì đưc coi là phươngpháp đo có đ chính xác cao hơn. Ta mun kim đnh xem có đchng c đ coi rng phương pháp I chính xác hơn phương phápII không. Giá tr ca thng kê F đây là (0.8)2/(1.2)2 = 0.4444.

Các s bc t do là 10 −

1 = 9 và 10 −

1 = 9. Tra máy tính, ta cóP (F 9,9 ≤ 0.4444) ≈ 12%, là mt con s nh, nhưng chưa đ nhđ loi b gi thuyt H 0 (là hai phương pháp có đ chính xác như nhau), cn thí nghim thêm.

Công thc đ tính hàm mt đ ca các phân b F như sau. Nó cóth đưc suy ra t công thc hàm mt đ cho các phân b χ2.

Đnh lý 5.8. Phân b F vi m và n bc t do có hàm mt đ sau:

f m,n(x) =

0 nu x ≤ 0

c x(m/2)−1

(mx + n)(m+n)/2 nu x > 0,

(5.47)

trong đó

c = Γ((m + n)/2)mm/2nn/2Γ(m/2)Γ(n/2)

. (5.48)

5.5 Kim đnh χ2

Kim đnh ki bình phương (χ2 test) là kim đnh thưng đưc

dùng đ kim tra mt gi thuyt v tính đúng đn (goodness-of-fit)





mt mô hình xác sut vi hu hn các s kin thành phn Ω =

A1, A2, . . . , As. (Khi không gian xác sut là vô hn, thì ngưi ta

chia nó ra theo mt phân hoch hu hn đ dùng kim đnh này).Gi thuyt H 0 đây có th hiu là các xác sut P (Ai), i = 1, . . . , s,phi bng các s pi nào đó (hoc tha mãn các điu kin gì đó) chobi mô hình. Thay vì kim đnh tng gi thuyt P (Ai) = pi cho tngs kin thành phn (tc là phi làm s kim đnh), ta s làm mt kimđnh chung cho toàn b mô hình xác sut.

Mu thc nghim đây là mt dãy n kt qu, mi kt qu códng “xy ra s kin Ai”. Ta gi ni là s ln xy ra Ai trong mu.(s

i=1 ni = n). S ni có th hiu là mt giá tr thc nghim ca binngu nhiên N i = “s ln xy ra Ai trong n ln th nghim”. Đ chod hiu, ta s phân bit hai trưng hp: 1) Các xác sut pi là c đnh và đưc cho trưc trong mô hình; 2) Mô hình xác sut ph thuc k

tham s nào đó (ví d như mô hình phân b Poisson ph thuc thams λ), các tham s đó đưc ưc lưng t mu thc nghim , và cácxác sut pi đưc xác đnh t các tham s đó.

5.5.1 Trưng hp mô hình xác sut c đnh

Theo đnh lý Pearson 4.15, khi n đ ln , phân phi xác sut cabin ngu nhiên

i=1

(N i − P (Ai)n)2

P (Ai)n (5.49)

có th xp x bng phân phi χ2 vi s − 1 bc t do, vi sai s đnh có th b qua. (Nhc li rng, phân phi χ2 vi s − 1 bc t do

là phân phi xác sut ca bin ngu nhiên χ2s−1 = Z 21 + . . . + Z 2s−1,





5.5. Kim đnh χ2

tng bình phương ca s − 1 bin ngu nhiên Z i đc lp có cùng phânb normal chun tc N (0, 1)). Giá tr thc nghim

χ2 =si=1

(ν i − pin)2

pin (5.50)

(khi gi s rng P (Ai) = pi là các s cho trưc trong mô hình) cóth coi là mt giá tr thc nghim ca χ2

s−1. Mt cách d nh đ vitcông thc ca thng kê χ2 là:

χ2 =i

(observedi − expectedi)2expectedi, (5.51)

trong đó observed có nghĩa là các giá tr thc nghim, còn expected làcác giá tr kỳ vng tương ng (ca s ln xy ra các s kin).

Vì thng kê χ2 là s không âm, và đo đ sai s gia mô hình phânb xác sut và phân b thc nghim, nên χ2 càng nh thì chng t môhình càng khp vi thc nghim. Nh đây là nh so vi phân phica χ2

s−1. Bi vy, nu P (χ2s−1 ≥ χ2) càng cao thì đ tin tưng ca ta

vào mô hình (gi thuyt H 0) càng cao. Nu P (χ2s−1 ≥ χ2) > α, vi α

là mt s cho trưc theo qui ưc (thông thưng ngưi ta ly α = 5%,nhưng cũng có khi ly α = 10% hay 1%) thì gi thuyt H 0 đưc chp

nhn, còn nu P (χ

2

s−1 ≥ χ

2

) < α thì ngưi ta chp nhn đi thuytH 1, tc là coi rng mô hình b sai.

Trong thc t, đ tránh sai s quá cao khi áp dng đnh lý Pearson,ngưi ta thưng đòi hi c n ca mu phi đ ln sao cho pin ≥ 10

vi mi i = 1, . . . , s (hoc ít ra là vi hu ht các ch s i). Nhngs kin Ai vi pin < 10 là nhng s kin “quá him” đ có th kim

đnh xác sut ca chúng bng kim đnh χ2.





Ví d 5.21. Mt ngưi chơi tung xúc sc. Tung mt con xúc sc 120ln, trong đó có 35 ln hin lên s 6. Hi có s “thiên v s 6” (chng

hn có s gian ln, hay quân xúc sc không cân bng) đây không,hay là s 6 hin lên nhiu là hoàn toàn do ngu nhiên?

Mô hình xác sut đây gm hai s kin: A = hin lên s 6, vixác sut (nu gi s không có thiên v) là 1/6, và A = hin lên skhác 6, vi xác sut 5/6. S ln thc nghim hin lên 6 là 35 so vikỳ vng là 120/6 = 20, còn s ln hin lên khác 6 là 120 − 35 = 85 so

vi kỳ vng là 100. Thng kê χ2 đây là:

χ2 = (35 − 20)2

20 +

(85 − 100)2

100 = 13, 5.

Ta có P (χ21 ≥ 13, 5) < 1%. Như vy gi thuyt H 0 b loi b, và đi

thuyt “s 6 đưc thiên v” đưc chp thun.

Tt nhiên, ví d trên rt đơn gin, vi s bc t do là 1, và thay vìlàm kim đnh ki bình phương, ta có th làm kim đnh Z cho xác sutca s kin hin lên s 6, cũng s ra kt qu tương đương. Nhưng nuthay vì ch kim đnh xem s 6 có đưc thiên v không, ta mun kimđnh cùng mt lúc tt c các s ca xúc sc xem có s nào đưc thiên v không, thì nói chung s phi dùng đn ki bình phương.

Ví d 5.22. Mt ngưi tung xúc sc 120 ln, có 28 ln hin s 1, 14ln hin s 2, 26 ln hin s 3, 18 ln hin s 4, 15 ln hin s 5, 19ln hin s 6. Hi rng xúc sc có “cân bng” không? Gi thuyt “cânbng” H 0 đây là xác sut hin lên mi s trong mi ln tung đulà 1/6. Kỳ vng s ln hin ra mi s trong 120 ln tung đu là 20.

Thng kê χ2

đây là: χ2

=

(28

−20)2

20 +

(14

−20)2

20 +

(26

−20)2

20 +





5.5. Kim đnh χ2

(18 − 20)2

20 +

(15 − 20)2

20 +

(19 − 20)2

20 = 8, 3.

Tra bng phân phi xác sut ca χ25, ta có P (χ2

5

≥ 8, 3)

≈ 14%.

Con s 14% đ ln đ chp nhn gi thuyt H 0.

5.5.2 Trưng hp mô hình xác sut đưc ưc lưng theotham s

Nhc li rng, khi các xác sut pi = P (Ai), i = 1, . . . , s là đưc

cho trưc trong mô hình và ta cn kim đnh chúng, thì s bc t doca phân b χ2 tương ng là s − 1. Lý do là vì ta có mt ràng buctuyn tính gia s bin ngu nhiên

N i − pin pi(1 − pi)n

, c th là:

si=1

pi(1 − pi)

N i − pin

pi(1 − pi)n=i

N i − pin√ n

= 0. (5.52)

Gii hn ca phân b xác sut đng thi ca b s bin ngu nhiênnày là mt phân b normal s chiu nhưng có rank bng s−1 vì có mtràng buc tuyn tính, nên nó có th nhn đưc t phân b normalchun tc s − 1 chiu qua mt phép bin đi tuyn tính, và bi vy tach có s − 1 bc t do.

Khi các xác sut pi = P (Ai), i = 1, . . . , s không đưc cho trưctrong mô hình, mà ph thuc vào k tham s θ1, . . . , θk nào đó camô hình phân b xác sut, và k tham s này đưc ưc lưng t muthc nghim, thì thay vì 1 ràng buc tuyn tính, ta có k + 1 ràng buctuyn tính gia các bin ngu nhiên

N i − pin pi(1 − pi)n

. Bi vy, trong

trưng hp này, phân phi xác sut ca i=1

(N i − pin)2

pin

(vi k + 1





điu kin ràng buc đó) không tin ti phân phi xác sut ca χ2s−1

(vi s − 1 bc t do) na, mà tin ti phân phi xác sut ca χ2s−k−1

(vi s − k − 1 bc t do). Khng đnh này có th đưc chng minhtương t như đnh lý Pearson 4.15. Bi vy, trưng hp khi mà môhình xác sut có k tham s đưc ưc lưng, đưc kim đnh hoàntoàn tương t như trưng hp không có tham s, nhưng bưc cuicùng phi dùng phân phi xác sut χ2 vi s − k − 1 bc t do thay vì s − 1 bc t do: Nu P (χ2

s−k−1 ≥ χ2) > α thì gi thuyt H 0 đưc

chp nhn, còn nu P (χ2s−k−1 ≥ χ

2

) < α thì chp nhn đi thuytH 1.

Ví d 5.23. Chúng ta s kim đnh gi thuyt “s v án mng xy ra London hàng ngày tuân theo phân b Poisson”, da theo s liuthng kê trong ví d 5.4. Ta có bng thng kê sau:

i 0 1 2 3 4ni 713 299 66 16 1

trong đó ni là s ngày xy ra i án mng trong vòng 3 năm, t 04/2004đn 03/2007. Tng s ngày đây là 713 + 299 + 66 + 16 + 1 = 1095

ngày.

Trưc ht ta ưc lưng tham s λ ca phân b Poisson trong gi

thuyt. Nu X là bin ngu nhiên tuân theo phân phi Poisson vitham s λ, thì λ = E(X ). Bi vy ta ưc lưng λ bng kỳ vng camu thc nghim:

λ =

4i=0 ini

ii=0 ni

= 1

1095(0×713+1×299+2×66+3×16+4×1) ≈ 0, 4411.

Gi p0i là xác sut ca s kin “trong ngày có i v git ngưi” theo






có s bc t do bng 4 − 1 − 1 = 2. Ta có

P (χ22

≥ χ2)

≈ P (χ2

2

≥ 3, 54)

≈ 17%,

là con s khá ln (ln hơn 10%). Bi vy gi thuyt H 0 (rng s ván mng hàng ngày tuân theo phân b Poisson) đưc chp nhn.

5.5.3 Kim đnh χ2 cho s đc lp

Khi ta mun kim tra xem hai s kin hay hai bin ngu nhiênnào đó có đc lp vi nhau không, ta cũng có th dùng χ2. Chnghn, gi s ta có bin ngu nhiên X nhn m giá tr x1, . . . , xm, vàbin ngu nhiên Y nhn n giá tr y1, . . . , yn. Gi thuyt H 0: X đclp vi Y có nghĩa là P (i, j) := P (X = xi, Y = y j) = P (X =

xi)P (Y = y j) vi mi i, j. Mô hình gian xác sut đây có mn phnt (X = xi, Y = y j). Mô hình xác sut đây có m + n − 2 thams, có nghĩa là nu ta ưc lưng đưc m + n − 2 giá tr P (X =

x1), . . . , P (X = xm−1), P (Y = y1), . . . , P (Y = yn−1), thì ta bit đưctoàn b phân b xác sut ca không gian xác sut (nu chp nhngi thuyt P (X = xi, Y = y j) = P (X = xi)P (Y = y j) vi mi i, j).Bi vy, s bc t do ca phân b χ2 cn dùng trong kim đnh githuyt H 0 đây là: mn − (m + n − 2) − 1 = (m − 1)(n − 1).

Ví d 5.24. Ngưi ta mun kim đnh xem đ tui ca ngưi có nhhưng đn khuynh hưng chính tr không. Đ đơn gin, trong ví dnày ta chia các khuynh hưng chính tr ra làm 3 khuynh hưng: pháit, phái hu, và trung lp. Và ta cũng chia các đ tui ra làm 3: dưi

30 tui, t 30 đn 50, và trên 50 tui. Bng sau là mt bng thng





5.5. Kim đnh χ2

kê thăm dò khuynh hưng ca 500 ngưi đưc chn mt cách ngunhiên:

Tui Khuynh hưng Phái t Phái hu Trung lp TngDưi 30 45 35 38 118

30 đn 50 62 60 95 217Trên 50 48 49 68 165

Tng 155 144 201 500

Gi s đ tui và khuynh hưng chính tr đc lp vi nhau. Khi đó,da vào các s tng trong bng trên, ưc lưng kỳ vng ca s ngưidưi 30 tui theo phái t trong s 500 ngưi s là 155 × 118/500 =

36, 58, và tương t như vy cho các ô khác. Thng kê χ2 đây là:

χ2

= (45

−36, 58)2

36, 58 + (62

−67, 27)2

67, 27 + (48

−51, 15)2

51, 15

+ (35 − 33, 984)2

33, 984 +

(60 − 62, 496)2

62, 496 +

(49 − 47, 52)2

47, 52

+ (38 − 47, 436)2

47, 436 +

(95 − 87, 23)2

87, 23 +

(68 − 66, 33)2

66, 33 ≈ 5, 329.

S bc t do đây là (m

− 1)(n

− 1) = (3

− 1)(3

− 1) = 4. Ta có

P (χ24 ≥ 5, 329) > 25%. Như vy ta chp nhn gi thit H 0: đ tui

không nh hưng (đáng k) ti khuynh hưng chính tr.

Bài tp 5.17. (Sinh viên n có b kỳ th?). Mt điu tra năm 1975 mt trưng đi hc hàng đu trên th gii v s sinh viên nam và n xin hc và đưc nhn vào hc các chương trình sau đi hc 3 khoa

ln nht trưng cho kt qu thng kê sau:





Đưc nhn B t chiNam 526 550

N 313 698

Hãy kim đnh xem có đ cơ s thng kê đ nói rng sinh viên n khó đưc nhn vào hc sau đi hc hơn so vi sinh viên nam không?

5.6 Phân tích hi qui

Hi qui (regression) là phương pháp thng kê toán hc đ ưclưng và kim đnh các quan h gia các bin ngu nhiên, và có th t đó đưa ra các d báo. Các quan h đây đưc vit dưi dng cáchàm s hay phương trình.

Ý tưng chung như sau: gi s ta có mt bin ngu nhiên Y , mà ta

mun ưc lưng xp x dưi dng mt hàm s F (X 1, . . . , X s) ca cácbin ngu nhiên X 1, . . . , X s khác (gi là các bin điu khin (control variables), hay còn gi là bin t do (ting Anh gi là independent variables, nhưng không có nghĩa đây là mt b bin ngu nhiên đclp), trong khi Y đưc gi là bin ph thuc (dependent variable)),tc là khi ta có các giá tr ca X 1, . . . , X s, thì ta mun t đó ưc lưngđưc giá tr ca Y . Hàm s F này có th ph thuc vào mt s thams θ = (θ1, . . . , θk) nào đó. Ta có th vit Y như sau:

Y = F θ(X 1, . . . , X s) + , (5.53)

trong đó là phn sai s (cũng là mt bin ngu nhiên). Ta mun

chn hàm F mt cách thích hp nht có th (ph thuc vào tng lp





5.6. Phân tích hi qui

bài toán c th), và các tham s θ, sao cho sai s là nh nht cóth. Thông thưng, ngưi ta đo đ to nh ca sai s bng chun L2

(sai s trung bình bình phương). Có nghĩa là, ta mun chn θ saocho E(||2) là nh nht có th. Đi lưng E(||2) (5.54)

đưc gi là sai s chun (standard error) ca mô hình hi qui. Môhình nào mà có sai s chun càng thp thì đưc coi là càng chính xác.

Mô hình đơn gin nht là mô hình tuyn tính vi mt bin điukhin: F (X ) = aX + b, vi a và b là hng s. Vic tìm a, b ri ưclưng Y bi hàm tuyn tính aX + b đưc gi là hi qui tuyn tínhđơn, mà ta đã gp trong Chương 3, Mc 3.4.3. Hi qui tuyn tínhthích hp trong mt s trưng hp, khi các bin ngu nhiên phi cóquan h tuyn tính nào đó vi nhau v mt lý thuyt. Chng hn, s ph thuc ca giá nhà vào din tích nhà (không k đn các yu tkhác) có th coi là tuyn tính, vì ta có th hình dung là 1 cái nhà to cóth chia làm hai cái nhà nh bng mt na. Th nhưng trng lưngca qu táo không ph thuc tuyn tính vào đưng kính ca nó, màph thuc tuyn tính vào lp phương ca đưng kính ca nó thì hplý hơn. Hay dân s ca Vit Nam thay đi hàng năm cũng không theo

kiu tuyn tính. Bi vy, vic chn la hàm F sao cho thích hp (datrên các lý thuyt nào đó) là quan trng khi áp dng phương pháphi qui. Mt khi đã c đnh mt lp hàm F θ hp lý, giá tr ca θ hplý nht s là giá tr sao cho E((Y − F θ(X 1, . . . , X s))2) là nh nht.Như vy, trong nhiu trưng hp, bài toán hi qui đưc đưa v vnđ tìm cc tr: tìm θ sao cho E((Y − F θ(X 1, . . . , X s))2) nh nht.

Nhc li rng, trong thc t, vì ta không bit chính xác phân b





xác sut đng thi ca các bin X i và Y , mà ch bit mt phân bthc nghim nào đó thông qua mt s s liu kt qu thc nghim,

nên ta s thay (ưc lưng) các không gian xác sut bi các khônggian xác sut thc nghim.

5.6.1 Hi qui tuyn tính đơn

Hi qui tuyn tính đơn đã đưc nhc ti trong Mc 3.4.3. Gis hai bin ngu nhiên X, Y hp thành vector ngu nhiên 2 chiu(X, Y ), vi các giá tr thc nghim (x1, y1), . . . , (xn, yn). Ta mun vitY dưi dng hàm tuyn tính ca X ,

Y = aX + b + (5.55)

vi sai s bình phương E(||2) nh nht (a, b là hng s còn sai s

là bin ngu nhiên). Ta s tìm a, b sao cho sai s thc nghim bìng

phương (sai s trung bình bình phương) n

i=1 |i|2/n là nh nht,trong đó i = yi − axi − b là các sai s thc nghim. Gi vector viphân b thc nghim cho bi các cp s (x1, y1), . . . , (xn, yn) này là( X, Y ). Khi đó công thc s là (xem Mc 3.4.3):

a = cov( X, Y )

var( X )=

i(xi − x)(yi − y)

(xi −

x)2 (5.56)

vàb = y − ax = E(Y ) − aE( X ), (5.57)

trong đó x = (

xi)/n và y = (

yi)/n là các giá tr kỳ vng thcnghim. Bình phương ca h s tương quan thc nghim,

R2 = cov( X, Y )2

var( X )var(Y )(5.58)






là s đo đ chính xác ca hi qui tuyn tính trên mu thc nghim:nu R2 = 1 thì

ni=1 |i|2 = 0, tc là không có sai s. Trong trưng

hp tng quát, ta có

R2 = var(a X + b)

var(Y )=

var(Y ) − (1/n)

i 2ivar(Y )

, (5.59)

và tc là R2 càng gn 1, thì tng sai s bình phương

i 2i càng nh. Ví d, khi R2 = 0.9, thì đ sai s chun (căn bc hai ca sai s trung

bình bình phương) bng √ 1 − R2

≈ 0.32 ln đ lch chun (thcnghim) ca Y . Nu gi s đ lch chun ca Y bng 1/4 giá trtrung bình ca Y , thì tc là hi qui tuyn tính trong trưng hp này s có sai s vào quãng 32%/4 = 8% giá tr ca Y .

Khi đã có phương trình hi qui tuyn tính đơn Y = aX + b + ,thì vi mi giá tr ca X ta có mt ưc lưng Y cho giá tr tương

ng ca Y theo công thc Y = aX + b. Ging như các bài toán ưclưng đưc bàn phía trưc, có th tính khong tin cy và đ tincy ca ưc lưng này. Khi R2 gn 1, và X nm trong đon thng[min xi, max xi] thì ưc lưng này có đ chính xác cao (khong tincy hp) còn ngưc li thì đ chính xác thp. Chúng ta s không đi vào chi tit đây.

5.6.2 Hi qui tuyn tính bi

Trong hi qui tuyn tính bi,tamuntìmthams θ = (θ0, . . . , θi),sao cho khi đt

Y = θ0 +

s

i=1

θiX i + , (5.60)





trong đó X i và Y là các bin ngu nhiên cho trưc, thì sai s trungbình bình phương E(||2) là nh nht.

Đ cho tin, ta s đt X 0 = 1 và coi đó như là mt bin ngunhiên (có giá tr luôn bng 1), và vit

Y =

si=0

θiX i + . (5.61)

Ta s gi s rng các bin ngu nhiên X i, i = 0, . . . , s là đc lp tuyntính vi nhau (không có bin nào có th vit đưc dưi dng mtt hp tuyn tính ca các bin khác), vì nu chúng ph thuc tuyntính, thì ta có th loi bt mt s bin đi.

Không gian các bin ngu nhiên (trên cùng mt không gian xácsut ban đu) vi tích vô hưng X, Y := E(XY ) là mt không gian(tin) Hilbert. Bi vy bin ngu nhiên Y =

si=0 θiX i nm trên

không gian con s + 1 chiu V = RX 0, . . . , X s sinh bi X 0, . . . X s,sao cho chun bình phương Y −Y 2 := E(|Y −Y |2) nh nht, chínhlà nh ca phép chiu vuông góc t Y lên trên không gian con V này.Nói cách khác, các tham s θi cn tha mãn h phương trình tuyntính sau:

Y −s

i=0

θiX i, X j = 0 ∀ j = 0, 1, . . . , s , (5.62)

hay có th vit làsi=0

θiX i, X j = Y, X j ∀ j = 0, 1, . . . , s . (5.63)

Nghim duy nht ca h phương trình này là:

(θi)i=0,...,s = (X i, X j

) j=0,...,s

i=0,...,s−1

.(Y, X j

) j=0,...,s. (5.64)






5.6.3 Hi qui phi tuyn

Hi qui phi tuyn là khi hàm hi qui F không phi là hàm tuyn

tính ca các bin X i. Tuy nhiên, trong nhiu trưng hp, bng cáchđi bin, ta có th đưa bài toán hi qui phi tuyn v bài toán hi quituyn tính bi. Ví d, gi s hàm F là hàm đa thc bc 3 mt bin:F (X ) = aX 3+bX 2+cX +d. Khi đó, đt X 1 = X, X 2 = X 2, X 3 = X 3,ta đưa bài toán này v trưng hp hi qui tuyn tính vi ba bin điukhin X 1, X 2, X 3. Các bin điu khin này tt nhiên là ph thuc vàonhau, nhưng chúng đc lp tuyn tính vi nhau, bi vy có th dùngnguyên tc gii bài toán hi qui tuyn tính bi như trong mc phíatrên. Trong trưng hp chung, khi mà không đưa đưc v mô hìnhtuyn tính, vic tính toán có th phc tp hơn, nhưng các chươngtrình máy tính s giúp chúng ta tìm đưc các tham s tt nht, vàkim tra mc đ sai s ca mô hình.

Ví d 5.25. Chúng ta s th áp dng mt s mô hình hi qui vào viclưc lưng giá ca các xe ô tô BMW 320 cũ bán Pháp vào 11/2009.Gía ca xe ph thuc vào nhiu yu t: tui ca xe, s km đã chy,kiu dáng xe, tin nghi trong xe, s bo hành, các ph tùng đã thay th, v.v. đây, đ đơn gin, ta s ch ưc lưng giá xe theo hai bin:

tui ca xe và s km đã chy. Tt nhiên ưc lưng như vy s có sais cao, và mun ưc lưng chính xác hơn phi thêm các bin khác.Bng sau đây là giá bán (tính theo nghìn euro) ca 60 chic BMW cũti thi đim 08/11/2009, cùng vi tui ca xe (tính theo s năm) và quãng đưng đã chy (tính theo nghìn km):

Obs price age distance





1 31.0 1 24

2 12.5 5 115

3 15.5 6 804 6.7 9 195

5 30.0 2 53

6 21.0 3 52

7 18.5 3 75

8 8.6 10 126

9 9.0 7 138

10 18.0 5 70

11 11.0 5 150

12 13.0 5 156

13 11.0 8 124

14 9.0 7 180

15 8.0 8 143

16 12.0 8 97

17 17.5 4 100

18 7.0 8 200

19 20.0 4 80

20 6.0 8 23021 15.3 5 109

22 23.0 3 37

23 4.5 13 130

24 7.0 8 180

25 24.5 2 25

26 12.5 5 142

27 15.0 5 70

28 7.0 7 166

29 24.0 2 45

30 11.5 6 146

31 23.5 3 55

32 7.2 8 245

33 29.0 1 13

34 9.9 8 188

35 33.0 0 10

36 14.3 5 90

37 17.5 3 101






38 12.0 6 116

39 6.5 8 182

40 5.6 7 223

41 11.0 5 12442 17.5 3 101

43 13.5 5 73

44 19.2 4 61

45 6.9 7 216

46 1.5 16 246

47 13.0 7 135

48 11.0 10 105

49 9.3 9 145

50 3.8 15 78

51 13.0 5 119

52 14.0 8 86

53 15.5 4 73

54 10.5 7 130

55 8.5 9 161

56 3.5 14 175

57 3.0 16 165

58 7.9 9 12659 5.5 8 258

60 5.3 11 273

Mô hình th nht là mô hình hi qui tuyn tính đơn, ca giá theotui: price = a + b.age. Máy tính cho kt qu sau:

estimated_price ≈ 24.69 − 1.78 × age, (5.65)

vi sai s chun bng 3.78 (so vi giá trung bình ca xe là 13.03). Sais chun như vy là rt cao so vi giá trung bình (3.78/13.03 ≈ 29%).Rõ ràng mô hình này không đưc tt, vì chng hn nó cho ưc lưnggiá âm cho nhng xe trên 14 tui, trong khi nhng xe đó vn có giá

dương my nghìn euro.





Hình 5.6: Mô hình hi qui tuyn tính đơn và phi tuyn đơn cho giáxe BMW

Mô hình th hai là mô hình phi tuyn đơn: price = a. exp(b.age).

Theo mô hình này, giá ca xe gim theo tui, không theo cp s cng

mà theo cp s nhân. Máy tính cho kt qu sau:

estimated_price ≈ 34.72 × exp(−0.175 × age), (5.66)

vi sai s chun là 2.36. Sai s chun này đã gim đáng k so vi môhình tuyn tính (t 3.78 xung còn 2.36), và hơn na mô hình này

hp lý hơn v mt logic, vì giá ca xe đưc đem bán luôn là s dương






(xe nào ht giá tr, thì ngưi ta vt vào bãi thi xe, không còn đembán na).

Mô hình th ba là tuyn tính đơn theo quãng đưng đã chy:price = a + b.distance. Máy tính cho kt qu:

estimated_price ≈ 25.05 − 0.096 × distance, (5.67)

vi sai s chun là 4.08. Mô hình này còn ti hơn là mô hình hi quituyn tính đơn theo bin tui ca xe.

Mô hình th tư là tuyn tính bi, theo tui ca xe và quãng đưngđã chay. Máy tính cho kt qu:

estimated_price ≈ 27.50 − 0.0557 × distance − 1.146 × age, (5.68)

vi sai s chun là 2.60. Mô hình này tt nhiên tt hơn c hai môhình hi qui tuyn tính đơn phía trên, nhưng sai s ca nó vn caohơn là mô hình phi tuyn đơn. Lý do khá hin nhiên: s ph thucca giá xe vào tui là phi tuyn.

Mô hình th năm là kt hp ca mô hình th hai và th ba: phituyn theo tui cng thêm mt phn tuyn tính theo quãng đưngđã chy. Máy tính cho kt qu sau:

estimated_price ≈ 31.58 × exp(−0.1075 × age) − 0.0297 × distance,

(5.69) vi sai s chun là 2.07. Mô hình này chính xác hơn c 4 mô hìnhphía trưc.

Mô hình th sáu là điu chnh ca mô hình th năm. Ta s thay

bin quãng đưng đã chy bng mt bin mi, gi là attrition (hao





mòn):attrition =

distance(age + 0.5)

− 10. (5.70)

Ý tưng là, các xe nói chung chy ít ra 10 nghìn km mt năm. Mc10 nghìn km mt nãm đưc coi là mc vi đ hao mòn thp, và viđ hao mòn đó thì giá xe gim theo cp s nhân. Nu chy trên 10nghìn km mt năm, thì đ hao mòn cao hơn mc thp, và giá ca xegim thêm đi. Máy tính cho kt qu:

estimated_price ≈ 35.83 × exp(−0.1468 × age) − 0.2815 × attrition,(5.71)

vi sai s chun là 1.70, tt hơn nhiu so vi các mô hình trưc. Cóth xây dng thêm nhng mô hình khác hp lý và chính xác hơn na,nhưng chúng ta s tm dng đây.

Bài tp 5.18. Hãy ly nhng bng s liu thng kê có thc bt kỳ nào

đó (chng hn như nhng bng s liu thng kê đi kèm theo chươngtrình gretl, hoc là nhng bng s liu thng kê t rt nhiu ngunkhác nhau trên internet), ri th làm phân tích hi quy tuyn tínhđơn, tuyn tính bi, và phi tuyn vi chúng.





Ph lc A

Li gii cho mt s bài tp

1.1 Li gii bài tp Chương 1

Bài tp 1.1. 3 ⇒ 3: Hin nhiên.

3 ⇒ 3: Đt B = (A∪B)\A. Khi đó A∩B = ∅ và A∪B = A∪B.Suy ra P (A ∪ B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Kt hp vi P (B) =

P (B) + P (A ∩ B) ta đưc P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

Bài tp 1.2. Áp dng tiên đ 3’ ta có P (A ∪ B ∪ C ) = P (A ∪ B) +P (C ) − P ((A ∪ B) ∩ C )

= P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C ) − P ((A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ))

= P (A) + P (B) + P (C ) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C ) − P (C ∩ A) + P ((A ∩C ) ∩ (B ∩ C ))

= P (A)+P (B)+P (C )−P (A∩B)−P (B∩C )−P (C ∩A)+P (A∩B∩C ).

Bng quy np ta có th chng minh đưc rng

279



Ph lc A. Li gii cho mt s bài tp

P (

ni=1

Ai) =

ni=1

P (Ai) −i= j

P (Ai ∩ A j) +i= j=k

P (Ai ∩ A j ∩ Ak) −

. . . + (−1)n−1P (

ni=1

Ai).

Bài tp 1.3. Có n! cách xp n bn thành mt hàng dc, trong đó có(n − 1)! cách xp đ Vôva ngay sau Lily. Như vy xác sut đ Vôva

ngay sau Lily trong hàng là (n − 1)!

n! =

1

n.

Có th gii cách khác như sau. Xác sut đ Vôva không đng đu

hàng là (n − 1)/n. Khi Vôva đng đu hàng thì không th đng sangLily, còn khi Vôva không đng đu hàng, thì xác sut đ Lily đngngay trưc Vôva là 1/(n − 1) (vì trong n − 1 v trí còn li thì có 1 vtrí là ngay trưc Vôva). Bi vy xác sut đ Vôva đng ngay sau Lily là: (n − 1)/n × 1/(n − 1) = 1/n.

Bài tp 1.4. Gi Ω là không gian mu, A là bin c có hai ngưi

trong nhóm vit tên ca nhau. Ta có |Ω| = 45 = 1024, |A| = C 25 .43 −C 45 .C 24 .4 = 520 . (Đu tiên chn ra hai ngưi trong nhóm vit tên canhau, 3 ngưi còn li vit tên mt ngưi bt kỳ trong nhóm, như vy nhng cách vit tên mà có hai cp trong nhóm vit tên ca nhau đãđưc tính hai ln). Xác sut đ có hai ngưi trong nhóm vit tên ca

nhau là P (A) = |A||Ω|

= 65

128.

Bài tp 1.5. Gi Ω là không gian mu, M là bin c đi A gp điB trong gii, M 1, M 2, M 3 ln lưt là các bin c đi A gp đi B vòng 1, vòng 2, vòng 3. Ta có P (M ) = P (M 1) + P (M 2) + P (M 3), viP (M 1) =

1

7. |Ω| = C 28 .6! = 28.6!. (Có C 28 cách chn hai đi vòng

chung kt, 6.5 cách chn hai đi b thua vòng 2 và 4.3.2.1 cách





1.1. Li gii bài tp Chương 1

chn 4 đi b thua vòng 1). |M 3| = 6! (Có 6.5 cách chn hai đi bthua A và B vòng 2 và 4.3.2.1 cách chn 4 đi b thua vòng 1).

|M 2| = 2.6! (Có 2 cách chn đi thng trong trn A − B, 6 cách chnđi gp A hoc B trong trn chung kt, 5 cách chn đi th hai bthua vòng 2 và 4.3.2.1 cách chn 4 đi b thua vòng 1). Như vy

P (M 2) = |M 2|

|Ω| = 1

14, P (M 3) =

|M 3||Ω| =

1

28, P (M ) =

1

7 +

1

14 +

1

28 =

1

4.

Có th gii cách khác như sau. Tng cng có C 28

= 28 cp đi, vàcó 7 trn đu. Vì các cp là “bình đng”, nên trung bình mi cp có7/28 = 1/4 trn đu (gia hai đi ca cp đó). Có nghĩa là cp điA − B cũng có trung bình là 1/4 trn đu, hay nói cách khác, xácsut đ xy ra trn đu gia A và B là 1/4.

Bài tp 1.6. Tính phn x và tính đi xng là hin nhiên. Ta chng

minh tính cht bc cu. Gi s φ : (Ω1, P 1) −→ (Ω2, P 2) và ψ :(Ω2, P 2) −→ (Ω3, P 3) là các đng cu xác sut vi φ : Ω1\A1 −→Ω2\A2 và ψ : Ω2\B2 −→ Ω3\B3 là các song ánh bo toàn xác sut,P 1(A1) = P 2(A2) = P 2(B2) = P 3(B3) = 0. Đt A3 = ψ(A2), B1 =

φ−1(B2). Khi đó P 1(B1) = P 3(A3) = 0. Ánh x ψ φ : Ω1\(A1 ∪B1) −→ Ω3\(A3 ∪ B3) là mt song ánh bo toàn xác sut vi P (A1 ∪

B1) = P (A3 ∪ B3) = 0. Vy (Ω1, P 1) và (Ω3, P 3) đng cu xác sut.Bài tp 1.7. Xét ánh x chiu φ1 : (Ω1, P 1) × (Ω2, P 2) −→ (Ω1, P 1) vàA là mt tp P 1 - đo đưc. Khi đó φ−1

1 (A) = A × Ω2 là P - đo đưc và P (φ−1

1 (A)) = P (A × Ω2) = P 1(A).P 2(Ω2) = P 1(A).

Bài tp 1.8. Đ kt thúc trn đu, Nam và Tin phi chơi ít nht là3 sét và nhiu nht là 5 sét. Đ Nam là ngưi thng trn thì Nam





phi là ngưi thng set cui cùng. Xác sut đ Nam thng trn làC 22 .(

2

5)3 + C 23 .(

2

5)3.

3

5 + C 24 .(

2

5)3.(

3

5)2 = 0.31744.

Bàitp1.9. P (A|B) = P (B|A) ⇔ P (A ∩ B)P (B)

= P (A ∩ B)P (A)

⇔ P (A) =

P (B).

Bài tp 1.10. Gi A là bin c trong 3 con mèo có ít nht mt conlà mèo cái, B là bin c c 3 con mèo đu là mèo cái. Ta cn tính

P (B|A) = P (A ∩ B)

P (A) =

P (B)

P (A) =

(1/2)3

1 − (1/2)3 =

1

7.

Bài tp 1.11. A, B đc lp nên P (A∩B) = P (A).P (B). Ta có P (A) =P ((A∩ B)∪(A∩B)) = P (A∩ B)+P (A∩B) = P (A∩ B)+P (A).P (B).Suy ra P (A ∩ B) = P (A).(1 − P (B)) = P (A).P ( B). Vy A và B đclp.

Bài tp 1.12. Ta ly 3 s kin A, B,C trùng vi 3 s kin X, Y, Z như trongvíd1.18.Tacó P (X ) = 1/2, P (Y ) = P (Z ) = 1/6, P (X

∩Y ) =

1/12 = P (X ).P (Y ), P (X ∩ Z ) = 1/12 = P (X ).P (Z ), P (Y ∩ Z ) =

1/36 = P (Y ).P (Z ), P (X ∩ Y ∩ Z ) = 0 = P (X ).P (Y ∩ Z ). Như vy X đc lp vi Y và Z nhưng không đc lp vi Y ∩ Z .

Bài tp 1.13. Gi C là s kin “quân rút ra đu tiên là quân cơ”. Tacó P (B) = P (B|C ).P (C ) + P (B|C ).P ( C ) =

12

51.13

52 +

13

51

39

52 =

1

4 <

13

51 = P (B|A). Vy hai s kin A và B không đc lp.Bài tp 1.14. Gi A là bin c ngưi đưc chn là đàn ông ( A là binc ngưi đưc chn là đàn bà), B là bin c ngưi đưc chn là thacân. Theo công thc xác sut toàn phn P (B) = P (B|A).P (A) +

P (B|A).P ( A) = 0.65 × 0.5 + 0.534 × 0.5 = 0.592.

Bài tp 1.15. Gi A là bin c ngưi đưc chn là đàn ông, B là bin






c ngưi đưc chn b mù màu. Ta có P (B|A) = 0.05, P (B|A) =

0.0025. Xác sut đ mt ngưi mù màu đưc chn là đàn ông là

P (A|B) =

P (B

|A).P (A)

P (B|A).P (A) + P (B|A).P ( A) = 0.9524.Bài tp 1.16. Theo đnh lý 1.4, P (B

n,k) → 1 khi n → ∞ (k =

1, 2,...,s). Do đó P ( ¯Bn,k) → 0 khi n → ∞ (k = 1, 2,...,s). Suy

ra P (Ω\(Bn,1 ∩ B

n,2 ∩ ... ∩ Bn,s)) = P ( ¯B

n,1 ∪ ¯Bn,2 ∪ ... ∪ ¯B

n,k) ≤P ( ¯B

n,1) + P ( ¯Bn,2) + ... + P ( ¯B

n,k) → 0 khi n → ∞. Vy P (Bn,1 ∩

Bn,2 ∩ ... ∩ B

n,s) → 1 khi n → ∞.

Bài tp 1.17. Không gian mu Ω gm mt dãy kt qu nhng lntung, trong đó ln tung cui cùng thu đưc mt nga, trong nhngln tung trưc, có hai ln mt nga xut hin.

Ω = NNN,SNNN,NSNN,NNSN,SSNNN,....

Đ tung sáu ln thì trong năm ln đu tiên có hai ln mt nga xuthin, ln cui cùng thu đưc mt nga. Vy

P (A) = C 25 .

1

2

2

.

1

2

3

.1

2 = 0.15625.

Bài tp 1.18. Gi Ω là tp hp nhng ngưi mua bo him trong

đó, A là tp hp nhng ngưi tr, B là tp hp đàn ông, C là tphp nhng ngưi đã có v hoc chng. Ta có |Ω| = 20000, |A| =

6300, |B| = 9600, |C | = 13800, |A ∩ B| = 2700, |B ∩ C | = 6400, |A ∩C | = 2900, |A ∩ B ∩ C | = 1100. Xác sut đ mt ngưi mua bohim ca hãng là ph n tr đc thân là P (A ∩ B ∩ C ) = P (A\((A ∩B) ∪ (A ∩ C ))) = P (A) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C ) + P (A ∩ B ∩ C ) =6300

−2700

−2900 + 1100

20000 = 0.09.





như bài toán chơi m ca có quà đu Chương 1. Trong hai ngưi B và C luôn có ít nht 1 ngưi đưc th, và nu nói tên 1 ngưi đưc

th trong hai ngưi B và C ra, thì xác sut đưc th ca ngưi cònli trong hai ngưi đó gim xung thành 1/3 trong khi xác sut đ A đưc th vn gi nguyên là 2/3.

Bài tp 1.25. Gi A là bin c mt ngưi trong đám đông là k trm,B là bin c mt ngưi trong đám đông b máy nghi là có ti. Tacó P (A) =

2

60 =

1

30, P (B|A) = 0.85, P (B|A) = 0.07. Ta cn tính

P (A|B). Theo công thc Bayes, ta có

P (A|B) = P (B|A).P (A)

P (B|A).P (A) + P (B|A).P ( A)

= 0.85 × 1/30

0.85 × 1/30 + 0.07 × 29/30 ≈ 0.295.

Bài tp 1.26. Gi X là bin c mt con bò b mc bnh bò điên, Y

là bin c mt con bò phn ng dương tính vi xét nghim A. Tacó P (Y |X ) = 0.7, P (Y | X ) = 0.1, P (X ) = 1.3 × 10−5. Ta cn tính

P (X |Y ) = P (Y |X ).P (X )

P (Y |X ).P (X ) + P (Y | X ).P ( X ). Kt qu là:

P (X |Y ) = 0.7 × 1.3 × 10−5

0.7

×1.3

×10−5 + 0.1

×(1

−1.3.

×10−5)

≈ 0.000091.

Bài tp 1.27. Gi s Gx,x = 0, 1, 2, ..., 9 là mt h các s kin đclp. Vì giá du không th tăng ít nht 50% mi năm trong 10 nămliên tip (như th giá du s vưt quá 10 × (1.5)10 > 300 USD mtthùng) nên P (G0 ∩ G1 ∩ ... ∩ G9) = P (G0).P (G1) . . . P (G9) = 0.Suy ra tn ti x ∈ 0, 1, 2, . . . , 9 đ P (Gx) = 0. Như vy nu coi giá

du bin đng mt cách ngu nhiên và vic giá du tăng ít nht 50%





trong mt năm là hoàn toàn có th xy ra (xác sut ln hơn 0) thì hcác s kin trên là không đc lp.


Bài tp 2.2. Hàm mt đ ca X :

ρX (x) = 0 nu |x| > 1

1 − |x| nu |x| ≤ 1

Hàm phân phi xác sut ca X :

P (X ≤ x) =

0 nu x < −1

(1 + x)2/2 nu − 1 ≤ x ≤ 0

1

−(1

−x)2/2 nu 0 < x < 1

1 nu x ≥ 1

Bin ngu nhiên Y = arcsin X có hàm phân phi:

P (Y ≤ x) = P (X ≤ sin x)

0 nu x < −π/2

(1 + sin x)2/2 nu − π/2 ≤ x ≤ 0

1 − (1 − sin x)

2

/2 nu 0 < x < π/21 nu x ≥ π/2

Hàm mt đ ca Y là:

ρY (x) =

sin x cos x + cos x nu x ∈ [−π2 , 0]

− sin x cos x + cos x nu x ∈ [0, π2 ]

0 nu |x| > π/2






Bài tp 2.3. Nu phân b xác sut ca bin ngu nhiên X là đi xng và liên tc thì ta có

P (X ≤ x) = P (X < x) = P (−X < x) = P (X > −x) = 1−P (X ≤ −x),

do đó F X (x) + F X (−x) = 1.

Nu F không liên tc, khi đó kt lun trên không còn đúng. Phn ví d: X có phân b xác sut tp trung ti x = 0, tc P (X = 0) = 1,khi đó: F (x) + F (−x) = 2 vi x = 0.

Bài tp 2.5. Vi mi y ∈ [0, 1], đt g(y) = supx : F Y (x) < y. Tachng minh: g(y) ≤ z ⇔ F Y (z) ≥ y. Tht vy :

• Gi s F Y (z) < y. Do F liên tc phi nên ∃z > z sao choF Y (z) < F Y (z) < y

⇒ z < z ≤ supx : F Y (x) < y = g(y).

• Gi s F Y (z) ≥ y. Khi đó z > x vi mi x tha mãn F Y (x) < y

⇒ z ≥ supx : F Y (x) < y = g(y).

Ta có F g(X )(z) = P (g(X ) ≤ z) = P (F Y (z) ≥ X ) = P (X ≤ F Y (z)) =

F Y (z)

(Vì X có phân phi đu U (0, 1), F (x) = x vi mi x ∈ [0, 1].) Hàm g

đnh nghĩa như trên chính là hàm cn tìm.Bài tp 2.6. X ∼ N (µ, σ2) ⇒ hàm mt đ ca X :

ρX (x) = 1

2πσe− 1

2( x−µ

σ )2

Xét y = f (x) = x − µ

σ ⇒ f (x) =

1

σ. Ta có: ρY (y) =

ρX (x)

|f (x)| =

1

2πσ e−1

2

(x−µ

σ

)2

σ = 1

2πe−1

2

y2

. Vy Y có phân phi chun N (0, 1).





Bài tp 2.7. X ∼ E (λ) ⇒ hàm mt đ:

ρX (x) = λe−λx nu x > 0

0 nu x ≤ 0

Y = cX, c > 0. Xét y = f (x) = cx.

ρY (y) =

λe−λx

c nu x > 0

0 nu x ≤ 0

=

λ

ce−λ

c·y nu y > 0

0 nu y ≤ 0

Vy Y ∼ E (λc ).

Bài tp 2.8. Ta có:

P (X > s + t

|X > s) =

P (X > s + t, X > s)

P (X > s)

= e−λ(s+t)

e−λs = e−λt = P (X > t)

Bài tp 2.9. i) Tương t như bài tp 2.5.

ii) Nu X ∼ U (0, 1), tc là có hàm mt đ ρX (x) = 1 trên đonthng [0, 1], và Y = − ln X ∼ E (1) thì hàm mt đ ca Y là:

ρY (y) = ρX (x)

|d lnxdx |=

1

1/x = x nu x ∈ [0, 1]

0 nu x /∈ [0, 1]

=

e−y ∀y > 0

0 ∀y ≤ 0

Điu đó có nghĩa là Y có phân b xác sut mũ E (1).






Bài tp 2.10. X có phân phi Pareto vi tham s α và hàm mt đ là

ρX (x) =

α

xα+1

nu x

≥ 1

0 nu x < 1

Y = X s, s > 0. Xét y = f (x) = xs, ta có:

ρY (y) = ρX (x)

|f (x)| =

αxα+1

s · xs−1 =

α

s · 1

xα+s nu x ≥ 1

0 nu x < 1

=

αs · 1

yαs +1 nu y ≥ 1

0 nu y < 1

(Do x = y1s > 1 ⇔ y > 1). Vy Y có phân phi Pareto vi tham s

α

s.

Bài tp 2.11. X ∼ U

(0, 1), Y = 1

1 − X . Xét y = f (x) =

1

1 − x ⇒f (x) =

1

(1 − x)2

Ta có

ρY (y) = ρX (x)

|f (x)| =

(1 − x)2 = 1

y2 nu y ≥ 1

0 nu y < 1

⇒ Y có phân phi Pareto vi tham s α = 1.

Bài tp 2.12. Kì vng li nhun:

E = 0.7 × (0 − 100000) + 0.3 × (1000000 − 100000) = 200000.

Bài tp 2.13. Đim cn chú ý khi ly ví d là, cn cho phân b xác

sut chung ca X và Y ch không cho phân b xác sut ca riêng X





và riêng Y ri coi hai bin đó đc lp vi nhau. (Nu chúng đc lpthì E(X )E(Y ) = E(XY )). Chng hn có th chn X và Y là nhng

bin ngu nhiên nhn hai giá tr 0 và 1, vi phân b xác sut chungnhư sau: P (X = 0, Y = 0) = 0.2, P (X = 0, Y = 1) = 0.4, P (X =

1, Y = 0) = 0.3, P (X = 1, Y = 1) = 0.1 Khi đó E(X ) = 0.4,E(Y ) =

0.5,E(XY ) = 0.1 = E(X )E(Y ) = 0.2.

Bài tp 2.14. Có 99 qu đưc đánh s t 1 đn 99, ly ngu nhiên 5qu, ta có lc lưng ca không gian mu là |Ω| = C 599. Gi hai bin

ngu nhiên: X là “s nh nht trên 5 qu bc đưc”, Y là “s lnnht trên 5 qu bc đưc”.

i) Phân b xác sut ca X và Y :

X 1 2 · · · 95

p C 498

C 599

C 497

C 599 · · ·

C 44

C 599

Y 5 6 · · · 99

p C 44

C 599

C 45

C 599 · · ·

C 498

C 599

Ví d, nu X = 2 thì có nghĩa là có 1 qu trong 5 qu bóng bc ralà s 2, còn 4 qu còn li nm trong các s t 3 đn 99. Có C 497 cáchchn 4 s khác nhau trong 97 s t 3 đn 99, có nghĩa là tp hp cáckh năng vi X = 2 có C 497 phn t trong không gian xác sut có C 597

phn t vi phân b xác sut đu, do đó ta có P (X = 2) = C 497/C 599.

ii) Công thc n

k=m C mk = C m+1n+1 sinh ra t công thc C m+1

k+1 =

C m+1k + C mk .






iii) S dng công thc trên, ta có:

E(X ) = C 498 + 2C 497 + · · · + 95C 44

C 599

=

98k=4

C 4k +97k=4

C 4k + · · · C 44

C 599

= C 599 + C 598 + · · · + C 55

C 599

=

C 6100C 599 =

100!

6! · 94! · 94!

·5!

99! =

100

6 .

Bài tp 2.15. Phân b xác sut ca X :

P (X = k) = C k6 (2

3)k(

1

3)6−k,

(k = 0, 1, 2, . . . , 6). Vì Z = X − Y và X + Y = 6 nên Z = 2X − 6, và

ta có th vit phân b xác sut ca Z :

P (Z = 2k − 6) = C k6 (2

3)k(

1

3)6−k, k = 0, . . . , 6

T đó tính đưc ra kỳ vng ca Z :

E(Z ) =

6

k=0

C k6 (2

3

)k(1

3

)6−k(2k

−6) = 2.

Mt cách tính đơn gin hơn là: kỳ vng đ bóng vào r mi lnném là 2/3. Bi vy nu ném 6 ln, thì kỳ vng s ln bóng vào r là6×2/3 = 4, tc là ta có E(X ) = 4, t đó suy ra E(Z ) = 2E(X )−4 = 2.

Bài tp 2.16. i) Chin thut:

Ln th nht: B hi: “s đó có ln hơn 2n−1 không?”





• Nu câu tr li là “có”: s đó s nm trong đon

2n−1 + 1; 2n

• Nu câu tr li là “không”: s đó s nm trong đon 1; 2n−1

Ln th i: Ta s xác đnh đưc s đó nm trong đon có đ dài 2n−i. Vy, sau n ln, ta s xác đnh đưc s A đã chn.

ii) Ta s chng minh mt khng đnh tng quát hơn: gi s X làmt tp hu hn có m phn t, A chn mt phn t ca X , và B hicác câu hi kiu “phn t đó có nm trong tp con Y ca X không”,

và A s tr li là có hoc không. Khi đó mi chin thut hi ca B scn trung bình ít nht là log2 m câu hi đ xác đnh phn t mà A

chn. (Trưng hp bài toán nêu ra là trưng hp m = 2n).

Ta có th chng minh khng đnh này bng cách qui np theo m. Vi các s m nh (ví d m = 2 hay m = 3), d dàng kim tra trctip khng đnh), và vi m = 1 thì khng đnh là hin nhiên. Gi s ta đã chng minh đưc khng đnh cho các tp có không quá m − 1

phn t (m ≥ 2), ta s chng minh rng khng đnh đúng cho tp X

vi m phn t.

Dù là chin thut nào, thì câu đu tiên ca B cũng phi có dng“phn t đó có nm trong Y không”, trong đó Y là mt tp con ca

X mà B chn ra. Nu câu tr li là có, thì trong các bưc tip theoB phi chn các tp con ca Y , và như vy, theo qui np, s cnthêm trung bình ít nht là log2 |Y | ln hi. đây ta có th coi rng1 ≤ |Y | = k < |X | = m. Nu câu tr li là không, thì có nghĩa làphn t A chn nm trong X \ Y, và s cn thêm trung bình ít nhtlog2 |X \ Y | = log2(m−k) ln hi. Xác sut đ phn t mà A chn rơi

vào Y , tc là đ A tr li Yes cho câu hi đu tiên là |Y |/|X | = k/m,






và xác sut đ A tr li No cho câu hi đu tiên là (m − k)/m. Như vy, nu trong chin thut hi dùng tp con Y cho câu hi đu tiên,

thì s cn trung bình ít nht là1 +

k

m log2 k +

m − k

m log2(m − k)

câu hi đ xác đnh đưc phn t A chn. Chú ý rng hàm x log2 x làhàm li, do đó khi m c đnh và 0 < k < m thì giá tr ca k

m log2 k +m−km log2(m − k) đt cc tiu khi mà k = m − k = m/2, bi vy ta có

1 + km

log2 k + m − km

log2(m − k) ≥ 1 + 2.(1/2). log2(m/2) = log2 m,


Bài tp 2.17.

ρY (x) =

c sin x nu x ∈ (0, π)

0 nu x /

∈ (0, π)

i) Ta có:

1 =

∞ −∞

ρY (x)dx =

π 0

c sin xdx = −c cos xπ0

= 2c,

do đó c = 1/2.

ii) E(Y ) = π0

1

2 x sin xdx = π

2 . Mt các gii thích khác là, hàmmt đ ρY (x) đi xng quanh đim x = π/2, và do đó giá tr kỳ vngca Y bng π/2.

Bài tp 2.18. X có phân phi Pareto vi tham s α > 1, hàm mt đ:

ρX (x) = α

xα+1 nu x ≥ 1

0 nu x < 1





Kỳ vng ca X là:

E (X ) = ∞

1

x α

xα+1dx =

α

−α + 1

x−α+1

∞1

= α

α−

1.

Bài tp 2.19. Gi (ai, bi), i = 1, . . . , n, là các cp giá tr ca (F, G),ai, bi > 0. T gi thit ta có P (F = ai, Gi = bi) =

1

n, và

G(F ) = n

ni=1

ai,G(G) = n

ni=1

bi,G((F + G)/2) = n

ni=1

ai + bi2

.

Áp dng bt đng thc Cauchy (trung bình nhân nh hơn trung bìnhcng), ta có

G(F ) + G(G)

2G((F + G)/2) = n

ni=1

aiai + bi

+ n

ni=1

biai + bi

≤ 1

n n

i=1

aiai + bi+

1

n n

i=1

biai + bi = 1.

Bài tp 2.20. i) X có phân phi hình hc P (k) = p(1 − p)(k−1).

E(X ) =k≥1

k · p(1 − p)k−1 = pk≥1

k · (1 − p)k−1

= p 1

(1 − (1 − p))2 =

1

p,

E(X 2

) =k≥1

k2

· p(1 − p)k−1

= p(1 − p)k≥2

k(k − 1) · (1 − p)k−2 + pk≥1

k · p(1 − p)k−1

= p(1 − p) 2

(1 − (1 − p))3 +

1

p =

2 − p

p2 ,

var(X ) = E(X 2)

−(E(X ))2 =

1 − p

p2

.






Do đó, đ lch chun σ =

var(X ) =

√ 1 − p

p .

ii) X có phân phi Poisson P (k) = e−λλk

k! .

E(X ) = e−λk≥1

k · λk

k! = λe−λ

k≥1

λk−1

(k − 1)!

= λe−λeλ = λ,

E(X 2) = e−λk≥1

k2

· λk

k!

= λe−λk≥1

k

· λk−1

(k − 1)!

= λe−λk≥1

(k − 1) · λk−1

(k − 1)! +k≥1

λk−1

(k − 1)!

= λe−λ(λeλ + eλ) = λ2 + λ

⇒ σ = E(X 2) − (E(X ))2 = λ2 + λ − λ2 =

√ λ.

Bài tp 2.21. E(X ) = 2/3 , ρX (x) =

ax2 + b nu 0 < x < 1

0 nu khôngTa có

2/3 = E(X ) =

1

0

x(ax

2

+ b)dx =

a

4 +

b

2

và

1 =

∞ −∞

ρX (x)dx =

1 0

(ax2 + b)dx = a

3 + b.

Gii h phương trình tuyn tính trên theo a và b, ta đưc a = 2, b =





1/3, t đó suy ra

E(X 2) =

1 0

x2(2x2 + 1/3)dx = 2/5 + 1/9 = 23/45

và var(X ) = E(X 2) − E(X )2 = 23/45 − 4/9 = 1/15.

Bài tp 2.22. i) Xét mt mu máu hn hp gm k mu máu. Ta gicác bin c: A = “mu máu hn hp cha kháng th X”; Ai = “mumáu i cha X”. Khi đó

P ( A) =

ki=1

P ( Ai) = (1 − p)k.

Đ cho gn, đt (1 − p)k = q, ta có P (A) = 1 − (1 − p)k = 1 − q.

ii) Gi S là bin ngu nhiên tng s ln phi xét nghim. Ta cóphân phi ca S:

S m m + k · · · m + mk

p q m

C 1mq

m−1

(1 − q ) · · · (1 − q )m






⇒E

(S ) =

m

i=0 C

i

mq

m

−i

(1 − q )

i

(m + ik)

= mmi=0

C imq m−i(1 − q ) + kmi=0

iC imq m−i(1 − q )i

= m + k(1 − q )mmi=1

C i−1m−1q m−i(1 − q )i−1

= m + mk(1−

q ),

E(S 2) =

mi=0

C imq m−i(1 − q )i(m + ik)2

= m2 + 2mkmi=0

iC imq m−i(1 − q )i + k2mi=0

i2C imq m−i(1 − q )i

= m2 + 2mk · m(1 − q ) + k2

m(1 − m)(1 − q )2 + m(1 − q )= m2 + 2m2k(1 − q ) + mk2(1 − q ) [(m − 1)(q − 1) + 1]

⇒ var(S ) = E(S 2) − E(S )2 = mk2(1 − q )q.

iii)Tacó E(S ) < N ⇔ m+mk(1−q ) < mk ⇔ kq > 1 ⇔ k(1− p)k > 1.

Bài tp 2.23. Không mt tính tng quát, ta coi X, Y nhn hu hncác giá tr a1, a2, . . . , an, (ai

= a j

∀ i

= j), vi các xác sut p(X =

ai) = pi ≥ 0 và p(Y = ai) = q i ≥ 0. đó ni=1

pi =ni=1

q i = 1. Theo gi

thuyt, ta có E (X k) =

i aki pi = E (Y k) =

i aki q i, hay có nghĩa làni=1 aki xi = 0 vi xi = pi − q i và vi mi s t nhiên k. Cho k chy

t 1 đn n, ta đưc mt h phương trình tuyn tính vi n n xi và n

phương trình.

Nu ai = 0 vi mi i, thì đnh thc ca h phương trình này là





đnh thc ca ma trn

a1 a2

· · · an

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

(gi là đnh thc Vandermonde) có giá tr khác 0 vì các s ai khácnhau, và do đó h phương trình ch có mt nghim duy nht là

nghim tm thưng xi = 0 vi mi i, có nghĩa là ta có pi = q i vi mii, hay nói cách khác, X và Y có cùng phân b xác sut.

Nu gi s chng hn a1 = 0, thì ta ch xét n − 1 phương trìnhđu tiên, vi n − 1 n s x2, . . . , xn. Tương t như trưng hp phíatrên, ta phi có pi = q i vi mi i ≥ 2, t đó suy ra p1 = 1 −i≥2 pi =

1 −i≥2 q i = q 1, và X và Y cũng có cùng phân b xác sut.

Bài tp 2.24. Gi s X có phân b mũ vi tham s λ > 0, hàm mtđ ca X là

ρX (x) =

λe−λx nu x > 0

0 nu x ≤ 0

Khi đó E(X ) = 1/λ, và moment bc n ca X bng E(X ) = λnn! vimi n

∈N.

Bài tp 2.25. Hàmđctrưngca X là φX (s) = E(cos sX )+iE(sin sX ),

(s ∈ R), và ca −X là φ−X (s) = E(cos s(−X )) + iE(sin s(−X )) =

φX (s). X đi xng khi và ch khi X và −X có cùng phân b xác sut,tc là khi và ch khi X và −X có cùng hàm đc trưng, có nghĩa làφX = φX , hay nói cách khác φX là hàm thc.

Bài tp 2.26. X có phân phi hình hc P (X = k) = p(1− p)k−1 ∀ k ≥298 Sputnik Education





1. Hàm sinh xác sut ca X :

G(z) =∞

k=1

P (k)zk =∞

k=1

p( p−

1)k−1zk = pz∞

k=0

(z−

pz)k = pz

1 − z + pz.

T đó ta có:

G(z) = p

(1 − z + pz)2, G”(z) =

2 p(1 − p)

(1 − z + pz)3,

và phương sai ca X là:

var(X ) = G”(1) + G(1) − (G(1))2 = 2(1 − p)

p2 +

1

p − 1

p2 =

1 − p

p2 .

Bài tp 2.27. X có phân phi nh thc tham s n, p. P (k) = C kn pk(1−

p)k. Hàm sinh xác sut ca X :

G(z) =

nk=0

zk

P (k) =

nk=0

zk

C kn p

k

(1 − p)k

= ( pz + 1 − p)n

.

Hàm Laplace:

L(t) = E (e−tX ) =

nk=0

e−tkC kn pk(1 − p)k = (e−t p + 1 − p)n.



P F (]a, b]×]c, d]×]e, f ]) =

= P F

(]− ∞

, b]×

]c, d]×

]e, f ])−

P F

(]− ∞

, a]×

]c, d]×

]e, f ])





S hng th nht:

P F (]

− ∞, b]

×]c, d]

×]e, f ])

= P F (] − ∞, b]×] − ∞, d]×]e, f ]) − P F (] − ∞, b]×] − ∞, c]×]e, f ])

= P F (]−∞, b]×]−∞, d]×]−∞, f ])−P F (]−∞, b]×]−∞, d]×]−∞, e])

+ P F (]−∞, b]×]−∞, c]×]−∞, e])−P F (]−∞, b]×]−∞, c]×]−∞, f ]

= F F (b,d,f ) − F F (b,d,e) + F F (b,c,e) − F F (b,c,f )

S hng th hai:

P F (] − ∞, a]×]c, d]×]e, f ])

= F F (a,d,f ) − F F (a,d,e) + F F (a,c,e) − F F (a,c,f )

Vy:

P F (]a, b]×]c, d]×]e, f ])

= F F (b,d,f ) − F F (b,d,e) + F F (b,c,e) − F F (b,c,f )

− F F (a,d,f ) + F F (a,d,e) − F F (a,c,e) + F F (a,c,f )

Bài tp 3.2. Gi s hai ngưi hn gp nhau ti A. X là thi đim ngưi 1 đn A (

∈ [0, 1])

Y là thi đim ngưi 2 đn A (∈ [0, 1])

12h 13h0 1

ρX (x) =

1, x ∈ [0, 1]

0, x ∈ [0, 1]

, ρY (y) =

1, y ∈ [0, 1]

0, y ∈ [0, 1]






Ta có:

P (−

1

4 ≤ X

−Y ≤

1

4) = P X,Y (

−1

4 ≤ x

−y ≤

1

4)

=

− 1

4≤x−y≤ 1

4

ρX,Y (x, y)dxdy =

− 14≤x−y≤

14

0≤x≤1, 0≤y≤1

dxdy = 7

16

Vy xác sut đ hai ngưi gp nhau theo hn là 7

16.

Bài tp 3.3. Gi s tn ti hàm mt đ ca (X, X 3) là ρX,Y (x, y) viX 3 = Y . Xét hàm s f : R2 −→ R2, (x, y) −→ (x3 − y, x + y) là songánh kh vi liên tc, có Jacobian

J =

3x2 −1

1 1

= 3x2 + 1 = 0

suy ra véc tơ ngu nhiên (U = X 3

−Y, V = X + Y ) có hàm mt đ

ρU,V (u, v) = ρX,Y (f −1(u, v)).|J (f −1(u, v))|−1

Vy tn ti hàm mt đ biên ca U là ρU (u) = +∞−∞ ρU,V (u, v)dv.

Nhưng U = 0 nên là bin ngu nhiên ri rc có đim ht là 0 mâuthun. Vy không tn ti hàm mt đ đng thi ca X và X 3.

* Thay X

3

bi φ(X ) vi φ đơn điu cũng đưc kt qu tương t.Bài tp 3.4. Tung mt xúc sc 2 ln, đưc hai s ký hiu là a, b. Xétba s kin: A là “a + b là s chn”, B là “a = 1”, C là “b=4”.D kim tra đưc A, B,C đc lp tng đôi, A và B ∪ C không đclp. Xét X = ΨA, Y = ΨB, X = ΨC , khi đó Z + Y = ΨB∪C .

Ta có: X đc lp vi Y và Z nhưng không đc lp vi Y + Z .





Bài tp 3.5. Phân b xác sut đng thi ca 3 bin X, Y, Z đc lp vi phân b xác sut đu trên đon [0, 1] :

ρ(x,y,z) =

1, (x,y,x) ∈ [0, 1]3

0, (x,y,z) ∈ [0, 1]3.

D thy xác sut cn tìm bng P = 1 − P (X + Y ≤ Z ) − P (X + Z ≤Y ) − P (Y + Z ≤ X ) = 1 − 3P (X + Y ≤ Z ), mt khác P (X + Y ≤ Z )

bng th tích ca hình t din cho bi các mt x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥x+y, 1 ≥ z trong không gian Euclide R3 vi h ta đ chun (x,y,z),

và nó bng 1/6. T đó suy ra P = 1/2.

Bài tp 3.6. Có th chng minh bng qui np theo k.


ρX (x) =

+∞

−∞

ρ(x, y)dy = x.e−x vi x > 0

0 vi x ≤ 0,

ρY (y) =

+∞ −∞

ρ(x, y)dx =

e−y vi y > 0

0 vi y ≤ 0.

Suy ra ρX (x).ρY (y) = ρ(x, y) nên X, Y là hai bin ngu nhiên đclp.

Có th chng minh ngn gn hơn như sau: hàm mt đ đngthi ρ(x, y) có th vit dưi dng tích ca hai hàm, mt hàm ch phthuc vào x và mt hàm ch ph thuc vào y, do đó X và Y đc lp vi nhau.

Bài tp 3.8. Gi s X 1 ∼ N (µ1, σ21) ⇒ X 1 = σ1X + µ1 vi X ∼

N (0, 1).






Suy ra

ΦX 1(s) = E(exp(isX 1)) = E(exp(isσ1X +isµ1)) = exp(isµ1).φX (σ1s)

Vy ΦX 1(s) = exp(isµ1 − σ21s2

2 ), tương t ΦX 2(s) = exp(isµ2 − σ22s2

2 )

Vì X 1, X 2 đc lp nên ΦX 1+X 2(s) = ΦX 1(s).ΦX 2(s) = exp(is(µ1 +

µ2) − (σ21+σ21)s

2

2 ) hay X 1 + X 2 ∼ N (µ1 + µ2, σ21+σ

21

2 ).

Bài tp 3.9. Xác sut cn ưc lưng là xác sut đ tng ca các s

hin lên trong 350 ln tùng đu nh hơn 1000.Bài tp 3.10. Gi X 1,...,X 5 là các bnn ch s chm xut hin trong5 ln tung. Khi đó X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ch tng s chmxut hin trong 5 ln tung.Ta có:

GX i(z) = E(zX 1) = 1

6

6

k=1

zk

Suy ra:

GX (z) =

5i=1

GX i(z) = 1

65(

6k=1

zk)5

Vy xác sut cn tính là h s ca z15 trong khai trin ca GX (z).

Bài tp 3.11. Đt Y i = X i − µ thì E(Y i) = 0, V (Y ) = σ2. Chn n

đ ln đ c − nµ > 0. Ta có P (S n ≥ c) = P (S n − nµ ≥ c − nµ) ≤P (|S n − nµ| ≥ c − nµ) = P (|n

1 Y i| ≥ c − nµ) ≤ E(|n1 Y i|)2

(c − nµ)2 . Mà

E(|n1 Y i|)2 = nσ2, vy P (S n ≥ c) ≤ nσ2

(c − nµ)2 → 0 khi n → +∞

Bài tp 3.12. Gi X i là bnn ch s tin thu đưc ngày th i ca

năm.





Ta có:µ = E(X i) =

19

37.50 − 18

37.50 =

50

37

σ2 = var(X i) = E(X 2i ) − E(X i)2 < ∞Theo lut s ln, vi n = 365:

S nn

≈ µ ⇒ S n ≈ 18250

37 ≈ 493

là ưc lưng s tin thu v đưc trong 1 năm (theo đơn v nghìn

euro).Bài tp 3.13. Ví d: Xét bin ngu nhiên X có phân phi như sau

X -1 0 1p 1/4 1/2 1/4

khi đó phân phi ca X 2 là

X 0 1

p 1/2 1/2Ta có cov(X, X 2) = E (X 3) − E (X )E (X 2) = 0 nhưng X, X 2 khôngđc lp (vì P (X = −1, X 2 = 1) = P (X = −1) = 1/4 = P (X =

−1)P (X 2 = 1)).

Bài tp 3.14. r(X, Y ) ≈ −0.9427.


P (K = k) =n≥k

P (K = k | N = n).P (N = n)

=n≥k

C kn pk(1 − p)n−k.

e−λλn

n!

= pke−λλk

k!

.n≥k

(qλ)n−k

(n − k)!

= pke−λλk

k!

.eqk = ( pλ)ke− pλ

k!

.






Vy K có phân phi Poisson vi tham s pλ.


E(Y ) = R E(Y | X = x)ρX (x)dx =

R+ x2 .λe−λxdx = 12λ .

Bài tp 3.19. Gi s X ∼ N (µ, Σ), Z = (Z 1, Z 2,...,Z n) vi Z i ∼ N (0, 1) là các bnn đc lp.Khi đó X có dng X t = A.Z t + µt vi A.At = Σ. Suy ra

ΦX (s) = E(eisX t

) = E(ei(sAZ t+sµt)) = E(eisAZ

t

)eiµst

Ta có sAzt =

j(

k skakj)Z j suy ra

E(eisAZ t

) = j

Eei(

k skakj)Z j = j

e− 12(

k skakj)2

= j

e− 12(

k,l skakjslalj) = e− 12

k

k sksl(

j akjalj)

= e−12sΣs

t

Vy ΦX (s) = eiµst− 1

2sΣst .

Bài tp 3.20. Xét phân phi ca X 22

P (X 2

2

< t) = P (

−

√ 2t < X <

√ 2t) =

2

√ 2π

√ 2π

0

e−x2

2

Đo hàm theo t

F

X2

2

(t) = e−t√

πt⇒ ρ X2

2

(t) = e−t√

πt1(0,+∞)(t)

Ta cũng có

ρY 2

2 (z) =

e−z

√ πz 1(0,+∞)(z)





Đt X = X 2

2 , Y = Y 2

2 suy ra X , Y là các bnn đc lp.Ta có

ρX ,Y (t, z) =

e−t−z

π√ tz 1(t>0,z>0)

Suy ra

ρX +Y (u) =

R

ρX (u − z)ρY (z)dz = e−u

π

u0

dz z(u − z)

= e−u

khi u ≥

0. (ρX +Y (u) = 0 khi u < 0)

Bài tp 3.21. Đt Z = (Z 1, Z 2) ⇒ ρZ (z1, z2) = 12πe− z21

2 − z22

2 .

Xét f (Z ) = (Z 1Z 2 , Z 2), ta có ρf (Z )(z1, z2) = |z2|2π e− z21

2 − z22

2 .

Vi a = z1z2

, b = z2 ⇒ z1 = ab. Suy ra ρf (Z )(a, b) = |b|2πe−(a2+1) b

2

2 .Ta có:

ρZ 1Z 2 (a) = R ρf (Z )(a, b)db =

1

2π +∞

−∞ |b|e−(a2+1) b

2

2

= 1

π(a2 + 1)

Bài tp 3.22. i) Đt U = X, V = Z suy ra X = U, Y = V √

1 − r2 +

rU .Ta có:

ρU,V (u, v) = ρX,Y (x, y)

1 − r2 = ρX,Y (u, v

1 − r2 + ru) 1√ 1 − r2

= 1

2πe−u2+v2

2

Suy ra ρU (u) = R ρU,V dv = 12πe−u2

2 và ta cũng có ρV (v) = 12πe− v2

2 ,

ρU .ρV = ρU,V Vy X, Z là các bnn đc lp và có phân b N (0, 1).






ii) S dng phép đt câu trên. Ta có

P (X > 0, Y > 0) =

+∞

0

+∞

0

ρX,Y (x, y)dxdy

=

u>0

v> −ru√

1−r2

ρU,V (u, v)dudv

=

u>0

v>0

ρU,V dudv +

u>0

0>v> −ru

√ 1−r2

ρU,V dudv = 1

4 + I (r)

Áp dng công thc đo hàm ca tích phân ta có

I (r) =

u>0

(

0>v> −ru√

1−r2

ρU,V dv)rdu

= 1

2π

+∞ 0

(e− u2

2(1−r2)1√

1 − r2)du =

1

2π√

1 − r2

Suy ra I = 12πarcsin(r) ⇒ P (X > 0, Y > 0) = 1

4 + 12πarcsin(r).

iii) S dng phép đt câu i). Ta có Y =√

1 − r2Z + rX . Vì Z, X là các bnn đc lp có phân phi chun tc nên d thy Y

cũng là phân phi chun tc.Ta có:

ρX |Y (x | y) = ρX,Y (x, y)

ρY (y) =

1 2π(1 − r2)

exp(−(x − ry)2

2(1 − r2))

Suy ra P X |Y =y là phân b chun có kỳ vng là ry và phương sai là1 − r2 (không ph thuc vào y).






Bài tp 4.1. Kí hiu X n là bin nh phân đưc xác đnh như sau:

X n =

1 nu ln tung th n xut hin mt 6,

0 trong trưng hp ngưc li.

Khi đó có th xem X nn≥0 là dãy phép th Bernoulli vi

p = P (X n = 1) = 1

6 .

Kí hiu

Z n =

nk=1 X k − pn

np( p − 1).

Vi n = 6000 là mt s nguyên dương đ ln, theo đnh lý Moivre-Laplace ta có:

P (850 ≤ S 6000 ≤ 1050) =

= P

850 − 6000 · 1

6 6000 · 1

6 · 5

6

≤ Z 6000 ≤1050 − 6000 · 1

6 6000 · 1

6 · 5

6

≈ φ(√ 3) − φ(−3√ 3),

trong đó φ là ký hiu làm phân phi xác sut ca phân b normalchun tc N (0, 1). (Bn đc t tính toán tip!)

Bài tp 4.2. Gii tương t như bài tp 4.1.

Bài tp 4.3. a) Ta bit rng phân b Poisson vi tham s λ (kí hiu

là P (λ))có hàm đc trưng là:






φλ(t) = eλ(eit−1).

Vy nu S n =

nk=1 X k là tng các bin ngu nhiên đc lp có cùngphân b P (1) thì hàm đc trưng ca S n là:

φS n(t) = [φX 1(t)]n = en(eit−1).

Điu này chng t S n có phân b Poisson vi tham s λ = n.

b) Bi câu a, ta có th xem X n =n

k=1

ξ k vi

ξ k

k≥1 là dãy bin

ngu nhiên đc lp vi cùng phân b P (1). Áp dng đnh lý gii hntrung tâm ta có:

P (X n ≤ n) = P

nk=1 ξ k − n√

n ≤ 0

n→∞−−−→

0−∞

e−

x2

2√ 2π

= 1

2.

Tuy nhiên ta cũng có th vit li P (X n ≤ n) theo mt cách khác:P (X n ≤ n) =

nk=0

P (X n = k) =n

k=0

e−nnk

k! .

So sánh hai h thc trên ta có điu cn chng minh.

Bài tp 4.4. Theo đnh lý v tính liên tc ta có: Dãy bin ngu nhiên

X n vi phân b N (µn, σ

2

n) hi t yu đn bnn X

⇔ φX n −→ φX

⇔ exp(iµnt − σ2nt2

2 ) −→ φX

⇔ iµnt − σ2nt2

2 −→ ln φX

⇔ (µ

n, σ

n) −→

(µ, σ).





vi µ, σ ≥ 0 nào đó. Ta có điu cn chng minh.

Bài tp 4.6. Trưc ht chú ý rng phân b hình hc vi tham s p có

hàm đc trưng đưc tính như sau:

φ p(t) =k≥1

eitk pk =k≥1

eitk p(1 − p)k−1

= p

1−

p k≥1

[(1

− p)eit]k =

peik

(1−

eik) + peik

Vy

φXn

n

(t) = φX n( t

n

) = it.e− itn

· 1 − e

itn

itn

+ 1−1

.

Chuyn qua gii hn ta đưc:

limn→∞φXnn (t) =

1

1 − it .

V phi chính là hàm đc trưng ca bnn có phân b mũ vi tham sλ = 1. Do đó

X nn

w−→ P (1). Do tính liên tc ca phân b mũ ta có

điu phi chng minh.

Bài tp 4.7. Bng cách tính toán trc tip ta s ch ra phân b ca






Y n hi t đn phân b mũ vi tham s λ = 1. Tht vy:

F Y n(x) = P (Y n ≤

x) = P ( max1≤i≤n

X i ≥

1−

x

n)

= 1 − P ( max1≤i≤n

X i ≤ 1 − x

n)

= 1 −ni=1

P (X i ≤ 1 − x

n)

= 1 − (1 − x

n)n nu x ≥ 0, n >> 1,

0 nu x < 0.

n→∞−−−→1 − e−x nu x ≥ 0,

0 nu x < 0.

Vy Y nd−→ P.

Bài tp 4.9. Theo đnh lý Fubini ta có:

| 1

2ε

ε−ε

φX (s)ds| = | 1

2ε

ε−ε

(

R

eisxdP X )ds|

= | 1

2ε

R

( 1

ixeisx|ε−ε)dP X |

= | Rsin εx

εx dP X |

≤

|x|≤ ε2

|sin εxεx

|dP X +

|x|> ε

2

|sin εxεx

|dP X

≤

|x|≤ ε2

dP X + 1

2 ·

|x|> ε2

dP X

= 1

2(1 + P [

−2

ε ,

2

ε])





T đó ta cóP [

−2

ε ,

2

ε] ≥ |1

ε

ε−ε

φX (s)ds| − 1.





Ph lc B

Phn mm máy tính cho xácsut thng kê

Có hàng trăm phn mm máy tính cho tính toán xác sut thngkê. Có th chia chúng theo các tính cht sau:

- Phn mm cho toán nói chung, vi các chc năng tính toán xácsut thng kê (ví d như MAPLE, MATLAB), hay là phn mm chuyên v xác sut thng kê (ví d như MINITAB, S-PLUS, SAS, SPSS), hay là chuyên dng hơn na (đ dùng trong mt lĩnh vc hp có cn đn

thng kê).- Phn mm phi tr tin (ví d như các phn mm va k trên),

hay là min phí (ví d như R).

- Đ mnh, đ đy đ ca các chc năng, và đ d s dng, v.v.

Mi chương trình có nhng đim mnh và đim yu, thích hp vi nhng đi tưng khác nhau. Ví d:

313



Ph lc B. Phn mm máy tính cho xác sut thng kê

- MATLAB thích hp cho nhng ngưi cn tính toán hình thc nóichung và có th dùng đn thng kê. Gn đây MATLAB cũng đưc gii

tài chính chuyên nghip dùng nhiu trong các công vic tính toán,làm mô hình, simulation, v.v.

- Đi vi nhng ngưi dùng nhiu đn hi qui và “data mining”(đào s liu đ tìm thông tin), thì nhng chương trình như SPSS cóth thích hp hơn.

- Chương trình R là mt chương trình thng kê min phí, mã m,

và rt mnh, đưc nhiu ngưi dùng, đc bit trong gii hàn lâm. R trưc kia có đim d là khó s dng, nhưng ngày nay, cùng vi s phát trin ca giao din trc giác, đã tr nên d s dng hơn nhiu.

Các chương trình v cơ bn có nhiu nguyên tc chung gingnhau, nên nu đã s dng thành tho mt chương trình thì s khôngquá khó khăn chuyn sang dùng chương trình khác.

Đ tính toán nhng ví d thng kê trong quyn sách này, cáctác gi dùng mt chương trình tương đi gn nh (bù li ch có ítchc năng) có tên là gretl (vit tt t: Gnu Regression, Econometricsand Time-series Library), mt phn mm thng kê mã m do AllinContrell (GS kinh t Đi hc Wake Forest) khi xưng và nhiu ngưing h xây dng. Chương trình này đưc nhiu ngưi khen là rtthích hp cho ging dy đi hc. Mt s ưu đim ca gretl là:- Min phí, mã m,- Có giao din trc giác, rt d s dng,- Chy trên nhiu h điu hành khác nhau,- Thích hp v dng s liu vi các chương trình thông dng khác,

- Có cng đng ngưi s dng và ngưi lp trình phát trin nhanh,





- Có th np các s liu thng kê t ngun bên ngoài v qua internet,- Có các chc năng tính toán thng kê đ mnh, đ dùng cho các

sinh viên hc v kinh t lưng, cũng như cho môn xác sut thng kê bc đi hc.

Có th tìm hiu v gretl trên trang web: http://gretl.sourceforge.net/.




Ph lc C

Bng phân b ZPhân b normal chun tc N (0, 1) còn đưc gi là phân b Z.Bng phía trưc cho xác sut P N (0,1)(] − ∞, Z [).Bng phía sau cho xác sut đuôi

P N (0,1)(]Z, ∞[)

Z | 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

----+----------------------------------------------------------------------

0.0 | 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 | 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 | 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 | 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 | 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 | 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 | 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 | 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 | 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 | 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 | 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 | 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 | 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 | 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

316




1.4 | 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 | 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 | 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 | 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 | 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 | 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 | 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 | 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 | 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 | 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 | 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 | 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 | 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 | 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 | 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 | 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 | 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

Z PZ to oo | Z PZ to oo | Z PZ to oo | Z PZ to oo

----------------+-----------------+------------------+------------------

2.0 0.02275 | 3.0 0.001350 | 4.0 0.00003167 | 5.0 2.867 E-72.1 0.01786 | 3.1 0.0009676 | 4.1 0.00002066 | 5.5 1.899 E-8

2.2 0.01390 | 3.2 0.0006871 | 4.2 0.00001335 | 6.0 9.866 E-10

2.3 0.01072 | 3.3 0.0004834 | 4.3 0.00000854 | 6.5 4.016 E-11

2.4 0.00820 | 3.4 0.0003369 | 4.4 0.000005413 | 7.0 1.280 E-12

2.5 0.00621 | 3.5 0.0002326 | 4.5 0.000003398 | 7.5 3.191 E-14

2.6 0.004661 | 3.6 0.0001591 | 4.6 0.000002112 | 8.0 6.221 E-16

2.7 0.003467 | 3.7 0.0001078 | 4.7 0.000001300 | 8.5 9.480 E-18

2.8 0.002555 | 3.8 0.00007235 | 4.8 7.933 E-7 | 9.0 1.129 E-19

2.9 0.001866 | 3.9 0.00004810 | 4.9 4.792 E-7 | 9.5 1.049 E-21




Tài liu tham kho

[1] F. M. Dekking, C. Kraaikamp, H. P. Lopuhaa, L. E. Meester, A modernintroduction to probability and statistics – Understanding why andhow, Springer, 2005.

[2] L. Gonick, W. Smith, The cartoon guide to statistics, HarperCollinsPublishers, 1993.

[3] Ch. M.Grinstead, J. L. Snell, Introduction to probability, AMS, 1997.[4] Darrel Huff, How to lie with statistics, 1954.

[5] L. B. Koralov, Ya. G. Sinai, Theory of probability and random pro-cesses, Universitext, 2nd edition, 2007.

[6] R. Meester, A natural introduction to probability theory, 2008.

[7] G. Shay, Introduction to probability with statistical applications,Birkhauser, 2007.

[8] A. N. Shiryaev, Probability (Graduate texts in mathematics, Vol. 95),Springer, 1995.

[9] Trn Mnh Tun, Xác sut và thng kê – Lý thuyt và thc hành tínhtoán, NXB ĐHQGHN, 2004.

318




Gii thiu T Sách Sputnik

Các sách đã xut bn

S001. Malba Tahan, Nhng cuc phiêu lưu ca Ngưi ThíchĐm

Lê Hi Yn, Phm Vit Hùng vàNguyn Tin Dũng dch, 236 trang,02/2015.

Đây là cun sách vit v toánhc thưng thc đưc ưa chungnht trên th gii trong vòng mt

th k qua. Nó đã đưc in ra hàngtriu bn, đưc dch ra hu ht cácth ting ph bin trên th gii như ting Anh, ting Pháp, ting Tây Ban Nha, ting Đc, ting Rp vàđưc tái bn liên tc hàng năm. . .

S hp dn đc bit ca cun sách này nm ch nó va là mt

319



quyn sách gii thiu rt nhiu điu thú v v toán hc, đng thi vacó giá tr rt cao v văn hc và cha nhiu đin tích lch s thú v.

Cuc phiêu lưu ca nhân vt chính trong cun sách ly kỳ không kém“Nghìn l mt đêm”.

Hp vi mi la tui.

S002. Vladimir Levshin, Ba ngày nưc Tí Hon

Nguyn Tin Dũng dch, 190trang, 02/2015

Đây là mt quyn sách kỳ diu,mt “truyn thn thoi tuy khôngphi thn thoi” nhưng có phépmàu làm cho c hc sinh và ngưiln tr nên yêu toán hc. Nó đưcnhà toán hc Vladimir Levshin sángtác Nga vào năm 1962 và t đóđn nay đưc tái bn rt nhiu ln,tng cng hàng nghìn bn dch,

dch sang các th ting khác nhau, và tr thành sách gi đu giưng ca bit bao th h hc sinh. Bangày nưc tí hon đ li n tưng sâu sc trong hàng triu bn tr, và nhiu ngưi trong s đó v sau s tr thành nhà khoa hc, k sư,bác sĩ, thương gia, v.v.

Bn dch ca GS. Nguyn Tin Dũng do Sputnik xut bn là bn

dch mi, chính xác hơn bn dch cũ đã tng đưc in Vit Nam





trưc đây.

Sách hp vi mi la tui.

S003. Nguyn Tin Dũng, Các bài ging v toán cho Mirella,quyn I

127 trang, 02/2015, kèm ligii thiu ca GS. Hà Huy Khoái.

Cun sách gm 12 chương, datrên các bài ging và các bui nóichuyn mà tác gi dành cho cô congái ca mình.

Trích t mt gii thiu trongsách: Đưc vit bi mt nhà toánhc hàng đu là GS. TS NguynTin Dũng , cun sách là mt tàiliu quý và khác bit gi m nhng

vn đ lý thú ca toán hc sơ cp và hin đi. Bn thân tôi rt n tưng vi các bài ging đưc dndt bng ngôn ng gn gũi, hóm hnh nhưng rt logic và cha đngnhng ý tưng sâu sc ca tác gi. Đây chc hn là cun sách mà btkỳ hc sinh yêu toán nào cũng có th tìm thy nhng kin thc bích v toán hc và vic hc toán.

Sách dành cho các hc PTCS và PTTH.




S004. Trn Nam Dũng, 169 bài toán hay cho tr em vàngưi ln

142 trang, 03/2015

Đây là cun sách b ích chonhng bn hc sinh và nhng ngưiyêu thích toán hc. Vi nhng bàitoán đưc phát biu rt vui, rt gn

gũi trong cuc sng, cun sách này s đem li cho các bn nhng phútthư giãn cn thit.

Sách hp cho c tr em và ngưiln.

S005. N. Ia. Vilenkin, Qui np và t hp

Hà Huy Khoái dch, 03/2015, 87trang.

Đây là mt trong nhng cunsách vit hay và d hiu nht vphương pháp qui np và các vn đtính toán t hp. Tác gi là nhà toánhc Nga ni ting N. Ia. Vilenkin.Sách hp vi trình đ ph thông cơ

s và ph thông trung hc.





“Không ch quan trng đi vi nhng kỳ thi hc sinh gii mà Thp và quy np là mt phn không th thiu cho nhng ai mun tip

tc hc tp, nghiên cu và làm vic có hiu qu trong nhng ngànhtoán hc, tin hc, k thut hay đơn gin ch là đ trau di tư duy logic, điu mà ai cũng cn đn trong cuc sng.”

Mt s sách sp xut bn

Dưi đây là mt s sách trong T Sách Sputnik đã hoàn thàn hochn như hoàn thành vào thi đim 05/2015. Ngoài ra các cng tác viên ca T Sách Sputnk đang vit và dch nhiu quyn sách khác.

Lê Bích Phưng và Nguyn Tin Dũng, Romeo đi tìm công

chúa, 100 câu đ vui hóc búa.Quãng 140 trang, hoàn thành bn tho 04/2015.

Sách này là mt tuyn tp đúng 100 câu đ vui toán hc, t dđn khó, phù hp vi mi la tui, chia thành các đ tài: s hc, hìnhhc, qui lut, thut toán, và logic. Đc bit, có mt chương v Romeođi tìm công chúa, và đ tìm đưc s phi tri qua nhiu th tháchgian nan.

Ví d mt câu đ t quyn sách:

Romeo cùng vi hai hip sĩ đi đưc đúng đưng ti Đng Tiên màkhông b sa vào by. Bà tiên đã bit trưc v s xut hin ca ba vkhách này, nên đã chun b sn 5 cái mũ, trong đó có hai cái màu

xanh và ba cái màu đ. Bà tiên bo ba chàng trai xp thành 1 hàng




dc, không đưc trao đi vi nhau, ri đi lên đu mi ngưi mtchic mũ t năm chic đó. Romeo đng đu hàng, không nhìn thy

đưc bà tiên đi mũ màu gì lên đu ai. Toto đng gia, nhìn thy mũtrên đu Romeo nhưng không nhìn thy mũ trên đu Dario và đumình. Dario đng sau cùng nhìn thy hai mũ trên đu ca Romeo và Toto nhưng không nhìn thy mũ trên đu mình. Bà tiên nói rng“nu ai suy lun đưc ra mũ mà mình đi màu nào mt cách chcchn, thì s đưc bà cho cái mũ đó”. C Dario và Toto đu rt thông

minh, nhưng đu ln lưt đành nói rng h không suy lun đưc mũh đi trên đu màu gì. Đn lưt Romeo, thì Romeo li suy lun đưcra là đang đi mũ màu gì, và đưc bà tiên tng cho cái mũ đó. Bncó bit Romeo đi mũ màu gì không?

Nguyn Tin Dũng, Các bài ging v toán cho Mirella, Quyn2.

Quãng 170 trang, hoàn thành bn tho 04/2015.

Có kèm li gii thiu ca GS. Nguyn Văn Mu.

Tương t như quyn “Mirella 1”, mi chương sách ca quyn này

xut phát t mt cuc nói chuyn hay mt bài ging cho Mirella (congái ca tác gi) v toán hc. Nhng vn đ đ cp ti trong sáchbao gm: các đi lưng vô cùng nh và vô cùng ln, s hc trên mtphng, các hình đa din li và các tính cht ca chúng, đo hàm vàbin phân và ng dng ca nó (ví d như đnh lut Snell trong quanghc), các vn đ v thut toán và tin hc, đc bit là khái nim “lưng

thông in”, và các bài toán liên quan, ví d như bài sau:





Có 12 đng tin vàng trông ging ht nhau, trong đó có 11 đngtin tht, và mt đng tin gi. Các đng tin tht nng bng nhau,

còn đng tin gi có khi lưng khác đng tin tht, nhưng khôngbit là nng hơn hay nh hơn. Dùng mt cái cân c đin. Làm sao đ vi ch 3 ln cân mà chc chn xác đnh đưc rng đâu là dng tingi, và nó nh hơn hay nng hơn so vi các đng tin tht.

Sách hp vi cui cp PTCS tr lên.

Lichtman, Bí mt, di trá, và đi s.

Nguyn Tin Dũng dch t ting Anh, quãng 160 trang, hoànthành bn tho 03/2015.

Cun truyn cho thiên niên này đc bit ch nó có ct truynhn hoi, v cuc sng và tình bn ca nhng hc sinh lp 8 mt

trưng hc M, đng thi mi chương đu gii thiu các ý tưng vàkhái nim toán hc mt cách rt t nhiên và gn gũi cuc sng. Cunsách nãy xut bn bên M năm 2006, và đã đot nhiu gii thưng v sách cho thin niên.

Kiselev, Hình hc phng.Nguyn Vân Hng dch t ting Anh, quãng 360 trang, hoàn thành

bn tho 03/2015.

Đây là quyn sách kinh đin v hình hc cho hc sinh ph thông,đưc dùng làm sách hc chính thc Nga trong nhiu thp k, và gn

đây đưc dch sang ting Anh. Nó trình bày mt cách h thng và lô-




gích các khái nim hình hc phng (cho hc sinh PTCS và PTTH), vàkèm theo rt nhiu bài tp đ qua đó hc sinh có th nm chc các

kin thc cơ bn.

Aleksandrova & Levshin, Ngưi măt n đen t nươc Al-Jabr.

Nguyn Tin Dũng dch t ting Nga, quãng 240 trang, hoànthành bn tho 04/2015

Cun sách này cùng vi hai cun sách khác là “Ba ngày nưcTí Hon” và “Thuyn trưng Đơn V” (hay còn gi là “Thy th SKhông”) to thành mt b ba tp sách ni ting do Levshin và Alek-sandrova vit vào thp k 1960. T đó đn nay, b sách này đã đưctái bn liên tc hàng năm, in ra nhiu nưc trên th gii, tr thành“sách gi đu giưng” ca hàng trăm nghìn bn tr, nhng ngưi mà

v sau s tr thành các nhà khoa hc, bác sĩ, k sư, thương gia, nhàqun lý, v.v.

Bn dch mi này do Sputnik xut bn tránh đưc nhiu li saica mt bn dch cũ đang đưc lưu hành ti Vit Nam.

Sách hp vi mi la tui.

Đ Đc Thái, Các bài tp s hc và đi s cho hc sinhPTCS.

Vào năm 1993, GS. Đ Đc Thái (lúc đó là mt tin sĩ tr) có vithai cun sách bài tp cho hc sinh PTCS có năng khiu v toán, mt

cun v s hc và đi s, mt cun v hình hc. Hai cun sách đã đã





Saigon (và khu vc min Nam)

- Nhà sách Cá Chép, 211-213 Võ Văn Tn, TP HCM, 08 6290 6951

- Ms. Vũ Th Bích Phương, Titan Education, 94 Mc Đĩnh Chi,Mobile: 0909058520 Email: [email protected]

- Titan Education (đa đim khác), 175 Phm Hùng, P. 4, Q. 8, TPHCM, Mobile: 0909058520 Email: [email protected]

- Mr. Sơn, s đin thoi 0947558338 . Có trang FB Sách cho tr

Sachchotre. Có th giao sách tn nơi.

Đà Nng (và khu vc min Trung)

- 111/18 Thanh Thy, Đà Nng. S đin thoi: 0906016943 hoc01667286280. (Có th gi đin, giao sách tn nhà nu cn)

Hanoi và các nơi khác (có th gi đin hn ly hoc muasách qua bưu đin)

- Booksquare (Qung trưng Sách), 12 Hòa Mã, Qun HBT, HN,Ms. Thy, 04 3821 3888

- Trung tâm dy toán Pomath, Ngõ 158 Nguyn Khánh Toàn, CuGiy, HN Ms. Hiên 091 513 7066

- Trung tâm CSVC và thit b, đ chơi tr em – Vin KHGD VN 62Phan Đình Giót, qun Thanh Xuân, HN Mrs. Cao Chi (84.4) 38642687

- Nhà sách Sư phm, 12H1 Khu tp th Đi hc Sư phm, Hà ni.

Đt: 0437548642.





- Ms. Nguyn Th Thu – 241 ph Trn Đăng Ninh, Cu Giy Mo-bile: 0982932219 Email: [email protected] (nhn gi sách qua bưu

đin)- Ms. Quỳnh Anh, Ngõ 291 Lc Long Quân, Nghĩa Đô, HN 093

518 5555 (nhn gi sách qua bưu đin)

- Mrs Phưng, ngõ 43, đưng C Nhu, 090 206 1246 (nhn gisách qua bưu đin)

- Mrs. Hà 090 200 8386 (nhn gi sách qua bưu đin)

- Mrs. Thanh 091 323 9846 (liên h v phân phi sách, mua slưng ln)

Online

- Tiki.vn




Ch mc

χ2, 203ánh x bo toàn xác sut, 35

đi thuyt H 1, 245đ th phân tán, 156đ lch chun, 107đ tin cy, 236đc lp, 136đnh lý Pearson, 204đnh lý Prokhorov, 196đnh lý de Moivre – Laplace,

178đnh lý gii hn trung tâm, 182đnhlýhitbchnLebesgue,

99đnh lý liên tc, 197đnh lý liên tc Lévy, 201đng cu xác sut, 35đa dng hóa tài sn, 107đim ht, 75

đo đưc, 24

ưc lưng, 223ưc lưng hiu qu, 234

ưc lưng không chch, 225ưc lưng không chch tim cn,

225ưc lưng nht quán, 224

bt đng thc Chebyschev, 115,116

bt đng thc Cramér–Rao, 234bt đng thc Jensen, 105bt đng thc Markov, 115bin đi Fourier, 121

bin đi Laplace, 125bin đi ngưc Fourier, 121bin điu khin, 268bin ngu nhiên, 69bin ph thuc, 268bin t do, 268

biu đ tn s, 86

330




công thc Bayes, 50công thc Sterling, 179

công thc xác sut toàn phn,48c ca mu, 220cht, 196chun Lk, 202chui Fourier, 121

giá tr P, 248giá tr thc nghim, 221gi thuyt H 0, 245gretl, 156

hu khp mi nơi, 69

hi qui, 268hi qui phi tuyn, 273hi qui tuyn tính, 159hi qui tuyn tính đơn, 269hi qui tuyn tính bi, 271hàm đc trưng, 119, 135

hàm đ hp lý, 228hàm đo đưc, 69hàm ưc lưng, 223hàm ch báo, 70hàm mt đ, 74, 132hàm mt đ đng thi, 132

hàm mt đ biên, 133

hàm phân phi, 72hàm phân phi thc nghim,

221hàm phân phi xác sut đngthi, 129

hàm phân phi xác sut biên,131

hàmphânphixácsutcóđiu

kin, 164hàm sinh moment, 118hàm sinh xác sut, 124hàm thng kê, 224h s bt đi xng, 111h s tương quan, 153

hi t hu khp mi nơi, 202hi t hu như chc chn, 202hi t theo phân phi xác sut,

189hi t theo xác sut, 202hi t yu, 188

hip phương sai, 151

kỳ vng, 92kỳ vng có điu kin, 164kỳ vng hình hc, 104kỳ vng mu, 222

kỳ vng thc nghim, 222




không gian mu, 25không gian metric, 192

không gian xác sut, 24không gian xác sut thc nghim,155, 160

kh tích, 98khong cách, 192khong tin cy, 236

khong tin cy mt phía, 238ki bình phương, 203kim đnh χ2, 204, 259kim đnh F, 258kim đnh T, 250kim đnh T hai mu, 255

kim đnh Z, 250kim đnh Z hai mu, 254kurtosis, 112

lưng thông tin Fisher, 234liên tc, 74liên tc tuyt đi, 74

lut s ln, 57, 143

mu thc nghim, 220ma trn hip phương sai, 170metric, 192metric L1, 191

metric Kolmogorov–Smirnov, 192

metric Lévy-Prokhorov, 192moment, 110

moment chun hoá, 112moment hn hp, 134moment thc nghim, 222moment trung tâm, 110

phân b đu, 83phân b đng thi thc nghim,

160phân b Bernoulli, 29phân b Cauchy, 175phân b chun, 85phân b F, 258

phân b gamma, 138phân b hình hc, 78phân b hn hp, 77phân b lu tha, 89phân b nh thc, 41phân b nh thc âm, 80

phân b normal, 85phân b normal chun tc, 85phân b normal nhiu chiu,

169phân b normal nhiu chiu chun

tc, 169

phân b Pareto, 90



[vietmaths.net] nguyen tien dung xstk-zt2015

Documents