web viewjika u, v, dan w adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

Pertemuan Pertama

P e n u n j a n gA. DIFERENSI

1. Rumus-rumus diferensiasi dari fungsi aljabar

Jika u, v, dan w adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :a. d

dx (c) = 0, dimana c = konstanta

b. ddx (x) = 1

c. ddx (u + v + … ) = d

dx (u) + ddx (v) + …

d. ddx (c u) = c d

dx (u), dimana c = konstanta

e. ddx (u . v) = u d

dx (v) + v ddx (u)

f. ddx (u.v.w) = uv d

dx (w) + uw ddx (v) + vw ddx (u)

g. ddx ( cu ) = c. d

dx ( 1u ) = −c

u2 ddx (u), dimana u ≠ 0, c = konstanta

h. ddx ( uc ) = 1

cddx (u)

i. ddx

(xn ) = n xn-1

j. ddx

(un ) = n un-1 ddx

(u)

k. ddx ( uv ) = v

ddx

(u )– u ddx

(v )

v2

2. Atutan rantai

Jika y = f(u) adalah fungsi dari u yang dapat ddiferensialkan dan u = g(x) adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

dydx

=dydu

. dudx

3. Diferensiasi Implisit

Suatu persamaan f(x, y) = 0Untuk menentukan dydx digunakan proses diferensiasi implisit, adapun langkah-langkahnya :a. Pandang y sebagai fungsi dari xb. Diferensialkan persamaan yang diberikan terhadap x

Lenovo G450 | Persamaan Diferensial Biasa – “STKIP BIM” 1

c. Selesaikan hubungan hasilnya untuk dydxContohDiberikan : xy + x2 – 2 xy + y2 – 5 = 0Diferensialkan persamaan ini terhadap x, dengan memandang y sebagai fungsi dari x

Solusiddx (xy) + d

dx (x2) - ddx (2 yx) + d

dx (y2) - ddx (5) = d

dx (0)

xdydx + y + 2x – 2xdy

dx - 2y + 2ydydx - 0 = 0

(x – 2x + 2y)dydx = 2y – y – 2x

(2y – x)dydx = y – 2x

dydx= y−2x2 y−x

Apabila diperlukan derivative order yang lebih tinggi maka dydx = g

(x,y) didiferensialkan lagi terhadap x, dan selanjutnya gantilah dydx menurut hubungan yang baru diperoleh.

ContohDari contoh di atas : dydx= y−2x

2 y−xKemudian ddx ( dydx )=d2 y

dx2

= ddx [ y−2 x

2 y−x ] = (2 y−x )[ dydx−2]−( y−2 x )[2 dy

dx−1]

(2 y−x )2

= (2 y−x )[ y−2 x2 y−x

−2]− ( y−2x )[2 y−2x2 y−x

−1](2 y−x )2

= …

4. Diferensiasi dari fungsi Trigonometri

Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :a. d

dx (sin u) = cos u ddx (u)

b. ddx (cos u) = - sin u d

dx (u)

c. ddx (tan u) = sec2 u d

dx (u)


d. ddx (cot u) = - cosec2 u d

dx (u)

e. ddx (sec u) = sec u tan u d

dx (u)

f. ddx (cosec u) = – cosec u cot u d

dx (u)

5. Diferensiasi dari invers fungsi Trigonometri


dx (arc sin u) = 1√1−u2

ddx (u)

b. ddx (arc cos u) = - 1

√1−u2 ddx (u)

c. ddx (arc tan u) = 1

√1+u2 ddx (u)

d. ddx (arc cot u) = - 1

√1+u2 ddx (u)

e. ddx (arc sec u) = 1

u√u2−1 ddx (u)

f. ddx (arc cosec u) = – 1

u√u2−1 ddx (u)

6. Diferensiasi dari fungsi logaritma dan eksponensial


dx (alog u) = 1u alog e d

dx (u), (a > 0, a ≠ 1)

b. ddx (au) = au ln a d

dx (u), (a > 0)

c. ddx (eu) = eu d

dx (u)

d. ddx (ln u) = 1

u ddx (u)

7. Diferensiasi dari fungsi hiperbolik


dx (sinh u) = cosh u ddx (u)

b. ddx (cosh u) = - sinh u d

dx (u)

c. ddx (tanh u) = - sech2 u d

dx (u)

d. ddx (coth u) = - cosech2 u d

dx (u)

e. ddx (sech u) = - sech u tanh u d

dx (u)

f. ddx (cosech u) = -cosech u coth u d

dx (u)


8. Diferensiasi dari invers fungsi hiperbolik


dx (sinh-1 u) = 1√1+u2

ddx (u)

b. ddx (cosh-1 u) = 1

√u2−1ddx (u), (u > 1)

c. ddx (tanh-1 u) = −1

1−u2ddx (u), (u2 < 1)

d. ddx (coth-1 u) = 1

1−u2ddx (u), (u2 > 1)

e. ddx (sech-1 u) = −1

u√1−u2

ddx (u), (0 < u < 1)

f. ddx (cosech-1 u) = −1

u√1+u2

ddx (u), (u ≠ 0)

B. INTEGRASI1. Rumus-rumus integrasi dasar

A ∫ ddx [ f (x) ]dx=f (x )+c O ∫ cosec2udu=−cot u+c

B ∫undu= 1n+1

un+1+c ,n≠−1 P ∫ sec u tan udu=sec u+c

C ∫ (u+v )dx=∫udx+∫ v dx Q ∫ cosecucot udu=−cosec u+c

D ∫ audx=a∫udx ,aadalahkonstanta R ∫ du√a2−u2

=arc sin ua+c

E ∫ 1udu=ln|u|+c S ∫ du

√a2−u2=arc sin u

a+c

F ∫ audu= au

ln a+c ,a>0 , a≠1 T ∫ du

u√u2−a2=1

aarc sec u

a+c

G ∫ eudu=eu+c U …H ∫sin udu=−cosu+c V …I ∫cos udu=sin u+c W …J ∫ tan udu=ln|sec u|+c X …K ∫cot udu= ln|sin u|+c Y …L ∫ sec udu=ln|sec u+ tanu|+c Z …

M ∫ cosecudu=ln|cosecu−cot u|+c Aa

…

N ∫ sec2udu=tanu+c Ab

…

Ada dua aturan untuk menghitung integral ∫udv=uv−∫v du, yaitu :a. Bagian yang dipilih sebagai dv harus siap dapat diintegralkanb. ∫ v du harus tidak lebih rumit daripada ∫udu


2. Integral Trigonometri

Untuk menemukan integral trigonometri digunakan aturan identitas fungsi trigonometri sebgai berikut :a. Sin2 x + cos2 x = 1b. 1 + tan2 x = sec2 xc. 1 + cot2 = cosec2 xd. Sin x cos y = ½ [sin (x – y) + sin (x + y)]e. Sin x sin y = ½ [cos (x – y) – cos (x + y)f. Cos x cos y = ½ [cos (x – y) + cos (x + y)]g. 1 ± sin x = cos (½π – x)h. Cos(-x) =cos xi. Sin(-x) = -sin xDengan menggunakan aturan identitas di atas dan rumus-rumus integral didepan, integral trigonometri dapat diselesaikan.

3. Integrasi fungsi pecahan rasional

Suatu fungsi F(x) = f (x )g (x), dimana f(x) dan g(x) merupakan polynomial, dinamakan suatu pecahan rasional.Jika derajat dari f(x) adalah lebih besar atau sama dengan derajat dari g(x), maka F(x) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari suatu polinomial dan suatu fungsi pecahan rasional dimana derajat pembilangnya adalah lebih kecil daripada derajat penyebutnya.Dari sini, ∫F(x) dx baru dapat dihitung dengan menggunakan rumus-rumus integrasi yang ada.Contoh x3

x2+1=x− x

x2+1

Maka : ∫ x3

x2+1dx=∫ x dx−∫ x

x2+1dx=¿ 1

2x2−1

2ln|x2+1|+c ¿

Jika derajat dari f(x) adalah lebih kecil dari pada derajat g(x), maka ditinjau tentang keadaan faktor-faktor dari g(x). Ada 4 kemungkinan keadaan faktor-faktor tersebut :a) Faktor-faktor linier berbeda

Jika ada n faktor linier dari g(x) yang berbeda, maka :f (x )g (x)

=A1

(a1 x+b1 )+

A2

(a2 x+b2)+…+

An

(an x+bn ) dimana A1, A2, …, An adalah

konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.

b) Jika ada n faktor linier dari g(x) yang sama, maka :f (x )g (x)

=A1

(ax+b )+

A2

(ax+b )2+…+

An

(ax+b )n dimana A1, A2, …, An adalah

konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.


c) Faktor kwadratik irreducible yang berbedaJika ada n faktor kwadratik irreducible dari g(x) yang berbeda, maka :f (x )g (x)

=A1 x+B1

a1 x2+b1 x+c1

+A2 x+B2

a2 x2+b2 x+c2

+…+An x+Bn

an x2+bnx+cn

dimana A1, A2, …, An,

B1, B2, …, Bn adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.

d) Jika ada n faktor kwadratik irreducible dari g(x) yang sama, maka :f (x )g (x)

=A1+B1

(ax2+bx+c )=

A2x+B2

(ax2+bx+c )2+…+

An x+Bn

(ax2+bx+c )ndimana A1, A2, …, An, B1,

B2, …, Bn adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.

Apabila faktor-faktor dari g(x) merupakan perpaduan diantara keempat kemungkinan di atas, maka cara yang dipakai untuk menguraikan f (x )g (x) kedalam jumlahan seperti di atas adalah juga sama tergantung keadaan faktor-faktornya.

4. Integrasi fungsi irrasional

Untuk mengintegralkan fungsi irrasional dapat melalui dua cara yaitu : Dibawa ke bentuk rumus-rumus integrasi yang ada Menggunakan substitusi sedemikian sehingga merubah bentuk

irrasional menjadi bentuk rasionala. Substitusi Trigonometri

Jika integran (fungsi yang akan dicari integralnya) Berbentuk : √a2−b2 x2 , a dan b adalah konstanta

Substitusi : x=ab

sin z

Didapatkan : a√1−sin 2 z = a cos z, atauSubstitusi : x=a

bcos z

Didapatkan : a√1−cos2 z = a sin z Berbentuk : √a2+b2 x2

Substitusi : x=ab

tan z

Didapatkan : a√1+tan 2 z = a sec z

Berbentuk : √b2 x2−a2

Substitusi : x= absec z

Didapatkan : a√sec 2 z−1 = a tan z

b. Substitusi AlajabarJika integran

Berbentuk : n√ax+b


Substitusi : ax + b = zn

Berbentuk :√c+bx+x2

Substitusi :c + bx + x2 = (z – x)2

Berbentuk : √c+bx−x2=√ (α+ x )( β−x)Substitusi : c + bx – x2 = (α+x )2z2 atau

c + bx – x2 = (β+x )2z2

5. Integrasi fungsi sin x dan cos x

Dengan substitusi x = 2 arc tan z, didapatkan bahwa : sin x = 2 z1+ z2 , cos

x = 1−z2

1+z2 dan dx = 2dz1+ z2 , hubungan itu dapat digambarkan :

Setelah proses integrasi selesai, gunakan z = tan x2 , untuk

mengembalikan ke variabel semula.

6. Integrasi dari fungsi hiperbolik

∫sinh udu=cosh u+c …∫cos udu=coshu+c=sinh u+c …∫ tanghu du=lncosh u+c …∫coth udu=ln ¿ sinh hu∨+c …∫ sech2udu=tanh u+c …∫ cosec2udu=−coth u+c …


1 + z2

1 - z2

2z

x

Pertemuan Kedua

Persamaan Diferensial Biasa

A. ORDE (TINGKAT) DAN DEGREE (DERAJAT)Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan

berbentuk : F(x, y, y’, y”, …, y(n)) = 0 yang menyatakan hubungan antara perubah bebas x, perubah tak bebas y(x) dan turunannya yaitu y’, y”, …, y(n).Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke-n.Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajat) k jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajat KContoh.1. xdy

dx + 5y = 6; orde satu, derajat Satu

2. d3 ydx3 +4 ( d2 y

dx2 )2

+ dydx

=sin x; orde 3, derajat Satu

3. ( d3 ydx3 )

2

−( d2 ydx2 )

3

+2xy=6 ; orde tiga, derajat dua

B. MENCARI PERSAMAAN DIFERENSIAL


Langkah-langkah mencari persamaan diferensial :1. Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada didalam

persamaan garis lengkung (kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya

2. Hilangkan semua konstanta sembarang itu dengan cara mengeliminasi semua konstanta sembarang ituJika banyaknya konstanta sembarang ada n maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang yang ada dibutuhkan n + 1 persamaan. Untuk mendapatkan n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva) semula dideferensialkan.

3. Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dalam persamaan diferensial yang dicari

C. CONTOHCarilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung :1. Y = C e-4x, C adalah konstanta sembarang2. Y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B adalah konstanta sembarang3. Y = x3 + A x2 + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarangSolusi1. Karena hanya ada satu konstanta sembarang C, maka dibutuhkan 2

persamaan untuk mengeliminasi C tersebut dan order tertinggi dari turunannya adalah satuPersamaan 1 : y = C e-4x, turunkan terhadap x, diperoleh Persamaan 2 : y = dydx=−4 Ce−4 x

Dari persamaan 1, C = y e4x. Maka persamaan 2 menjadi :dydx

=−4 y e4 x e−4x sehingga dydx=−4 y

Jadi persamaan diferensial yang dicari adalah :dydx

+4 y=0

2. Karena ada 2 konstanta sembarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta order tertinggi dari turunannya adalah dua.Persamaan 1 : y = A sin 3x + B cos 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :Persamaan 2 : dydx = 3A cos 3x – 3B sin 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :Persamaan 3 : d

2 ydx2 = -9A sin 3x – 9B cos 3x

Dari persamaan 1 dan 3 didapatkan bahwa d2 y

dx2 + 9y = 0

3. Karena ada 3 konstanta sembarang (A, B, dan C)


Maka dibutuhkan empat persamaan untuk mengeliminasi A, B dan C serta order tertinggi dari turunannya adalah tigaPersamaan 1 : y = x3 + Ax2 + Bx + C, turunkan terhadap x, diperoleh :Persamaan 2 : dydx = 3x2 + 2Ax + B, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 : d2 y

dx2 = 6x + 2A, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 4 : d3 y

dx3 = 6

Jadilah persamaan diferensial yang dicari adalah d3 y

dx3 = 6

D. TUGAS MANDIRI1. Carilah persamaan diferensial dari r = a(1 – cosφ), jika a adalah

konstanta sembarang2. Carilah persamaan diferensial dari :

a. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r tetap yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x – c)2 + y2 = r2 )

b. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r berubah (variable) yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x – c)2 + y2 = r2 )

c. Semua lingkaran di bidang (Misal gunakan x2 + y2 – 2Ax – 2By + c = 0)

3. Dapatkan persamaan diferensial yang berhubungan dengan fungsi primitive yang diberikan, dimana A dan B adalah konstanta sembarang :a. Y = A ex + Bb. x = A sin (y + B)

Pertemuan Ketiga, Keempat, dan Kelima

P. D. BiasaOrde Pertama Derajat Pertama

E. PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL-VARIABEL TERPISAHBentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0Penyelesaian Umum PD adalah :∫f(x) dx + ∫g(y) dy = c, c adalah konstanta sembarang


Contoh.Selesaikan PD berikut : x5 dx + (y + 2)2 dy = 0SolusiKarena variabel-variabelnya telah terpisah maka langsung diintegrasikan bagian demi bagian :∫x5 dx + ∫(y + 2)2 dy = 016x6 + 1

3(y + 2)3 = kx6 + 2(y + 2)3 = 6k atau x6 + 2(y + 2)3 = c, dimana c = 6k∴ Penyelesaian umum PD itu adalah x6 + 2(y + 2)3 = c

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : 9ydydx + 4x = 0

F. REDUKSI KE VARIABEL-VARIABEL TERPISAH

Bentuk PD : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0

Direduksi dengan faktor integral 1g1 ( y ) f 2(x ), menjadi : f 1(x )

f 2(x ) dx + g2 ( y )

g1( y)

dy = 0Karena telah berubah menjadi PD variabel-variabel terpisah maka penyelesaian umum PD adalah :

∫ f 1( x)f 2(x)

dx+∫ g2( y)g1( y)

dy=c, c adalah konstanta sembarang

Contoh.Selesaikan PD berikut : (1 + 2y) dx + (x – 4) dy = 0Solusi

Faktor integrasi = 1(1+2 y )(x−4) sehingga PD tersebut tereduksi

menjadi :1

(1+2 y )(x−4)[ (1+2 y )dx+ (x−4 )dy ]=0

⇔ dxx−4 + dy

1+2 y=0

⇔ dxx−4 + dy

1+2 y=k (gunakan rumus integrasi B.E)⇔ ln |x – 4| + ½ ln |1 + 2y| = k⇔ 2 ln |x – 4| + ln |1 + 2y| = 2k⇔ ln (x – 4)2 + ln (1 + 2y) = ln, dimana c = e2k⇔ (x – 4)2 (1 + 2y) = c

∴ Penyelesaian umum PD adalah (x – 4)2 (1 + 2y) = c

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :a. xy dx + (1 + x2) dy = 0b. (xy + x) dx + (xy – y) dy = 0c. dy

dx= 4 y

xy−3 x


G. PERSAMAAN HOMOGENSuatu fungsi f(x, y) dikatakan homogen berderajat n jika f(λx, λy) = λn f(x, y)

Pandang bentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0Syarat PD di atas dikatakan homogen jika M(x, y) dan N(x, y) adalah homogen dan berderajat sama.Langkah-langkah menentukan penyelesaian umum PD :1. Gunakan transformasi : y = ux, dy = x du + u dx atau x = uy, dx =

y du + u dy2. PD homogen tereduksi ke PD variabel-variabel terpisah3. Gunakan aturan dalam PD variabel-variabel terpisah untuk

mendapatkan solusi umum PD4. Gantilah u = yx , jika menggunakan transformasi y = ux dan u = xv ,

jika menggunakan transformasi x = uy untuk mendapatkan kembali variabel semula.

Contoh Selesaikan PD berikut : 2x dy – 2y dx = √ x2+4 y2dxSolusi2x dy – 2y dx = √ x2+4 y2dx(2y + √ x2+4 y2) dx – 2x dy = 0Periksalah apakah homogen ?M(x, y) = (2y + √ x2+4 y2)M(λx,λy) = 2λy + √ λ2 x2+4 λ2 y2

= λ (2y + √ x2+4 y2 ) = λ. M(x, y)N(x, y) = -2xN(λx, λy) = -2 λx = λ (-2x) = λN(x, y)Jadi PD di atas adalah PD homogen berderajat 1

Transformasi : y = ux, dy = u dx + x duBentuk PD berubah menjadi :(2ux+√x2+4 u2 x2 )dx−2 x (udx+xdu )=0⇔ √ x2+4u2 x2 dx -2x2 du = 0⇔ x √1+4u2 dx -2x2 du = 0

Dengan faktor integrasi : 1x2 √1+4u2 PD tereduksi menjadi

⇔ 1x2 √1+4u2

( x√1+4u2dx−2x2du)=0

⇔ 1xdx− 2

√1+4u2du=0

Dengan mengintegralkan, diperoleh solusi umum PD variabel-variabel terpisah


⇔ ∫ 1xdx−∫ 2

√1+ (2u )2du=k

(Gunakan rumus integrasi B.W)⇔ ln |x| - ln (2u + √1+4u2) = k⇔ ln (2u + √1+4u2) = ln c + ln |x|, dimana c = ek⇔ 2u + √1+4u2 = cx⇔ √1+4u2 = cx – 2u⇔ 1 + 4u2 = (cx -2u)2⇔ 1 + 4u2 = c2x2 – 4cxu + 4u2⇔ 1 + 4cxu – c2x2 = 0Untuk mendapatkan solusi umum PD homogen, gantilah u dengan yx ⇔ 1 + 4cy – c2x2 = 0

∴ Penyelesaian umum PD homogen adalah : 1 + 4cy – c2x2 = 0

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :a. (x + 2y) dx + (2x + 3y) dy = 0b. (y2 – x2) dx + xy dy = 0c. (x3 + y3) dx + 3xy2 dy = 0d. (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y (1 - xy )dy = 0

H. PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN M(x,y) DAN N(x,y) ADALAH LINIER TETAPI TIDAK HOMOGENBentuk PD : (ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0

Ada tiga kemungkinan yaitu :1. a

p=b

q= c

r= λ

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PDa. Karena ap=b

q= c

r= λ, maka gunakan transformasi px + qy + r = u,

yang berarti bahwa ax + by + c = λub. Bentuk PD menjadi : λu dx + u dy = 0

λ dx + dy = 0c. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisahd. Penyelesaian PD : λ∫ dx + ∫ dy = c

λx + y = c, dimana c adalah konstanta sembarang

2. ap=b

q≠ cr

Langkah-langkah mendapatkan PD :a. Gunakan transformasi : px + qy = u, dy = du−pdx

q atau dx = du−qdy

p

b. Misalnya ap=bq=μ, maka ax + by = µu


c. Bentuk PD menjadi (µu + c) dx + (u + r)( du−p dxq ) = 0, atau

(µu + c)( du−p dyq ) +(u + r) dy = 0

d. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisahe. Gantilah u = px + qy untuk mendapatkan kembali variabel

semula dalam penyelesaian umum PD.

3. ap≠ bq

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD :a. Gunakan transformasi :

ax + by + c = u → a dx + b dy = dupx + qy + r = v → p dx + q dy = dvdiperoleh :

dx=|du bdv q||a bp q|

=qdu−bdvaq−bp

dy=|a dup dv||a bp q|

=adv−p duaq−bp

b. Bentuk PD menjadi :u( q du−b dv

aq−bp )+v ( adv−p duaq−bp )=0

Karena aq – bp ≠ 0, maka : (qu – pv) du + (av – bu) dv = 0Merupakan PD homogen

c. Selesaikan PD homogen tersebut dengan langkah-langkah yang tertera dalam C

d. Gantilah u dan v dengan transformasi semula untuk mendapatkan kembali variabel semula

Contoh Selesaikan PD berikut : (2x – 5y + 2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0SolusiDari bentuk PD diperoleh bahwa : a = 2, b = -5, c = 2, p = -4, q = 10, r = -2, sehingga : ap=b

q= c

r=−1

2

Transformasi : 10y – 4x – 4 = u, maka 2x – 5y + 2 = −12 u.

Bentuk PD berubah menjadi :−12 u dx + u dy = 0

⇔ −12 dx + dy = 0

⇔ −12 ∫dx + ∫dy = k

⇔ −12 x + y = k⇔ x - 2y = c, dimana (c = -2k)

∴ Penyelesaian umum PD adalah : x – 2y = c


Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :a. (3x + 2y + 1) dx - (3x + 2y - 1) dy = 0b. dy

dx=1−2 y−4 x

1+ y+2 xc. (2x – 5y + 3) dx – (2x + 4y – 6) dy = 0d. (3y – 7x + 7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0

I. BENTUK PD : y.f(xy) dx + x.g(xy) dy = 0Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD :1. Gunakan transformasi : xy = z, y = zx , dy = xdz−z dx

x2

2. Bentuk PD itu tereduksi ke bentuk PD variabel-variabel terpisah3. Selesaikan PD baru ini dan gantilah z = xy untuk mendapatkan

kembali variabel semula

ContohSelesaikan PD berikut : (xy2 + y) dx + (x2y – x) dy = a SolusiBentuk PD di atas dapat ditulis dalam bentuk PD y(xy + 1) dx + x(xy – 1) dy = 0Transformasi z = xyy = zx , dy = xdz−z dx

x2 Bentuk PD tereduksi menjadi :⇔ zx (z + 1) dx + x (z – 1) ( xdz−zdx

x2 ) = 0⇔ (z2 + z – z2 + z) dx + x(z – 1) dz = 0⇔ 2z dx + x(z – 1) dz = 0Dengan faktor integrasi 1

xz , PD tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah :⇔ 2

x dx + z−1z dz = 0

⇔ 2x dx + (1−1

z ) dz = 0Dengan mengintegralkan bagian demi bagian akan diperoleh solusi umum PD variabel-variabel terpisah ⇔ 2∫ 1

x dx + ∫dz - ∫ 1z dz = k⇔ 2 ln |x| + z – ln |z| = k⇔ ln x

2

z = ln c1 e-z

⇔ x2 = z c1 e-z

Gantilah z dengan yx untuk mendapatkan solusi umum PD semula⇔ x2 = yxc1 e-xy

⇔ y = cx exy, dimana c = 1c1

∴ Penyelesaian umum PD adalah y = cx exy

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :a. Y(1 + 2xy) dx + x(1 – xy) dy = 0b. (xy2 + y) dx + (x + x2y + x3y2) dy = 0


J. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAKBentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dikatakan PD eksak jika ∂M∂ y

=∂ N∂ x mempunyai penyelesaian umum f(x, y) = c.

Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f(x, y)1. Perhatikan bahwa : ∂ f

∂x = M(x, y) dan ∂ f∂ y = N(x, y)2. Integrasikan M(x, y) terhadap x dengan y tetap.

∂ f∂ x

dx=M ( x , y )dx

F(x, y) =∫M(x, y) dx + ∅yDimana ∅y adalah fungsi sembarang dari y saja

3. Fungsi f(x, y) dalam langkah ke 2, didiferensialkan parsial terhadap y diperoleh ;∂ f∂ y

= ∂∂ y [ ∫ M ( x , y )dx ]+ d∅

dy

4. Karena ∂ f∂ y = N(x, y) maka : d∅dy =N ( x , y )− ∂∂ y [ ∫ M ( x , y )dx ] dari sini ∅(y)

dapat diperoleh5. ∅(y) yang baru saja diperoleh disubstitusikan ke f(x, y) dalam

langkah ke 2. Dengan deminkian f(x, y) = c diperoleh

Catatan Dari langkah ke 2 dapat diintegrasikan N(x, y) terhadap y dengan x tetap. Langkah selanjutnya adalah sama, hanya peranan x diganti y (atau sebaliknya)

ContohSelesaikan PD berikut : (x2 – y) dx – x dy = 0SolusiM = (x2 – y), ∂M∂ y

=−1

N = -x, ∂N∂ x=−1

Karena ∂M∂ y=−1=∂N

∂x maka PD eksakF(x, y) = cKarena ∂ f

∂ x = M maka f(x, y) = ∫x (x2 – y) dx = 13x3 - yx + ∅(y)

Dimana ∅(y) adalah fungsi sembarang dari y saja.[∫x berarti integral terhadap x dengan y tetap]Langkah selanjutnya, mencari ∅(y), dengan cara mendeferensialkan parsial terhadap y dan diperoleh : ∂ f

∂ x - x + ∂∂ y ∅(y)

Karena ∂ f∂ x = N, maka –x + ∂

∂ y ∅(y) = -x

⇔ ∂∂ y ∅(y) = 0⇔ ∅(y) = k (konstanta)

Sehingga f(x, y) = 13x3 - yx + k

= c


∴ Penyelesaian umum PD eksak ini adalah 13x3 - yx = c

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :a. (x2 + y2) dx + 2 xy dy = 0b. (2x + ey) dx + x ey dy = 0c. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0d. (x + y + 1) dx – (y – x + 3) dy = 0e. (2x + 3y + 4) dx + (3x + 4y + 5) dy = 0

K. REDUKSI KE PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAKJika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah persamaan tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi µ(x, y) sedemikian sehingga PD : µ(x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0 merupakan PD eksak maka fungsi µ(x, y) dinamakan faktor integrasi dari PD di atas.

Ada beberapa jenis factor integrasi antara lain :

1. Jika ∂M∂ y

−∂N∂ x

N = f(x) suatu fungsi dari x saja, maka e∫f(x) dx adalah

suatu faktor integrasi PD itu.

2. Jika ∂M∂ y

− ∂N∂ x

M = - g(y) suatu fungsi dari g saja, maka e∫g(y) dy

adalah suatu factor integrasi dari PD itu.3. Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 merupakan PD homogen dan xM +

yN ≠ 0, maka 1xM+ yN adalah suatu faktor integrasi PD tersebut.

4. Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dapat ditulis didalam bentuk y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0 dimana f(xy) ≠ g(xy), maka 1

xM− yN adalah suatu faktor integrasi PD itu.

5. Persamaan xp yq (my dx + nx dy) + xr ys (uy dx + vxd y) = 0 dimana p, q, r, s, m, n, u, v, adalah konstanta dan mv – nu ≠ 0 mempunyai faktor integrasi berbentuk xα y β.

6. Faktor integrasi yang lain biasanya ditentukan dengan cara mencoba-coba sedemikian sehingga pada kelompok bagian tertentu dapat menjadi diferensial eksak.Misalnya

Kelompok bagian

Factor integrasi Diferensial eksak

(x dy – y dx) 1x2

xdy− ydxx2 =d( yx )

(x dy – y dx) 1y2

− y dx−xdyy2 =d (− y

x )Dan seterusnya

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD1. Periksa dahulu apakah PD nya merupakan PD eksak. Kalau

merupakan PD eksak pakailah langkah J.Kalau bukan merupakan PD eksak, carilah faktor integrasi yang cocok agar PD semula dapat tereduksi ke PD eksak


2. Apabila faktor integrasi yang cocok tersebut adalah salah satu dari jenis 1 – jenis 4, maka pakailah langkah J untuk menentukan penyelesaian umum PD

3. Apabila menggunakan faktor integrasi jenis 5, maka ada prosedur tersendiri yaitu mencari diferensial eksak dari kelompok bagian pertama dan kedua untuk mendapatkan harga α dan βFaktor integrasi yang diperoleh yaitu setelah α dan β disubstitusikan pada xα y β akan mereduksi PD semula (tidak eksak) menjadi PD eksak. Gunakan langkah J

4. Apabila menggunakan faktor integrasi coba-coba, maka tidak ada prosedur tertentu hanya pada dasarnya PD semula menjadi lebih sederhana dan mudah diselesaikan.

ContohSelesaikan PD berikut : (2y – x3) dx + x dy = 0SolusiM = 2y – x3 , ∂M∂ y

=2

N = x, ∂N∂ x=1

Karena ∂M∂ y≠ ∂ N

∂ x maka merupakan PD tidak eksakSelanjutnya mencari faktor integrasi yang dapat meredaksi PD tidak eksak menjadi PD eksak∂M∂ y

−∂N∂ x

N = 2−1

x=1

x = f(x) maka factor integrasinya adalah e∫1x dx = eln|

x| = x

Selanjutnya PD semula tereduksi menjadi x[(2y – x3) dx + x dy] = 0⇔ (2xy – x4) dx + x2 dy = 0Dari persamaan ini, berarti bahwa :M = 2xy – x4, ∂M∂ y

=2 x

N = x2, ∂N∂ x=2x

Karena ∂M∂ y = ∂N∂ x , maka PD yang telah tereduksi ini merupakan PD eksak.Untuk mendapatkan solusi umum PD ini dapat digunakan langkah JF(x, y) = cKarena ∂ f

∂ x = M maka f(x, y) = ∫x (2xy – x4) dx

= x2y - 15x5 + ∅(y)

Fungsi ∅(y) dicari dengan mendeferensialkan parsil fungsi f(x, y) ini terhadap y ∂ f∂ y

=x2+ ∂∂ y

∅ ( y)

Karena ∂ f∂ y=N maka x2 + ∂

∂ y∅ ( y) = x2

⇔ ∂∂ y

∅ ( y) = 0⇔ ∅ ( y ) = k (konstanta)Sehingga f(x, y) = x2y - 1

5x5 + k


⇔ cSolusi umum PD eksak ini adalah merupakan solusi umum PD semula yang direduksi ke PD eksak

∴ Penyelesaian umum PD semula adalah x2y - 15x5 = c

L. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMABentuk PD : dydx + y P(x) = Q(x)Persamaan ini mempunyai factor integrasi e∫p(x) dx

Penyelesaian umum PD ini adalah : y e∫ p(x) dx = ∫Q(x) e∫p(x) dx dx + c

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD :1. Tentukan factor integrasi2. Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada

ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum PD di atas.

Contoh Selesaikan PD berikut : dydx + y = 2 + 2xSolusiDari sini : P(x) = 1, Q(x) = 2 + 2xFactor integrasi e∫p(x) dx = e∫dx = ex

Solusi umum PD linier orde satu ini adalah :Y . ex = ∫(2 + 2x) ex dx

= 2∫ex dx + 2∫ xex dx (gunakan rumus integrasi)= 2 ex + 2[xex - ∫ex dx]= 2 ex + 2 xex – 2ex + c= 2x ex + c

y = (2x ex + c) e-x ∴ Penyelesaian umum PD adalah : y = 2x + c e-x

M.PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLIN. TRAYEKTORIO. TUGAS MANDIRI

Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung :4. Y = C e-4x, C adalah konstanta sembarang5. Y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B adalah konstanta sembarang6. Y = x3 + A x2 + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarangSolusi4. Karena hanya ada satu konstanta sembarang C, maka dibutuhkan 2

persamaan untuk mengeliminasi C tersebut dan order tertinggi dari turunannya adalah satuPersamaan 1 : y = C e-4x, turunkan terhadap x, diperoleh Persamaan 2 : y = dydx=−4 Ce−4 x Dari persamaan 1, C = y e4x. Maka persamaan 2 menjadi :dydx

=−4 y e4 x e−4x sehingga dydx=−4 y

Jadi persamaan diferensial yang dicari adalah :dydx

+4 y=0

5. Karena ada 2 konstanta sembarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta order tertinggi dari turunannya adalah dua.


Persamaan 1 : y = A sin 3x + B cos 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :Persamaan 2 : dydx = 3A cos 3x – 3B sin 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :Persamaan 3 : d

2 ydx2 = -9A sin 3x – 9B cos 3x

Dari persamaan 1 dan 3 didapatkan bahwa d2 y

dx2 + 9y = 06. Karena ada 3 konstanta sembarang (A, B, dan C)

Maka dibutuhkan empat persamaan untuk mengeliminasi A, B dan C serta order tertinggi dari turunannya adalah tigaPersamaan 1 : y = x3 + Ax2 + Bx + C, turunkan terhadap x, diperoleh :Persamaan 2 : dydx = 3x2 + 2Ax + B, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 : d2 ydx2 = 6x + 2A, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 4 : d3 ydx3 = 6

Jadilah persamaan diferensial yang dicari adalah d3 y

dx3 = 6

P. TUGAS MANDIRI4. Carilah persamaan diferensial dari r = a(1 – cosφ), jika a adalah konstanta

sembarang5. Carilah persamaan diferensial dari :

d. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r tetap yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x – c)2 + y2 = r2 )

e. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r berubah (variable) yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x – c)2 + y2 = r2 )

f. Semua lingkaran di bidang (Misal gunakan x2 + y2 – 2Ax – 2By + c = 0)

6. Dapatkan persamaan diferensial yang berhubungan dengan fungsi primitive yang diberikan, dimana A dan B adalah konstanta sembarang :c. Y = A ex + Bd. X = A sin (y + B)


web viewjika u, v, dan w adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

Documents