viga de concreto1-d,2-d e 3-d biapoiada - portal saber livre · 2.2.5 – a equação da linha...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA
2º TRABALHO COMPUTACIONAL:
Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Biapoiada por
Lucas Máximo Alves
CURITIBA – PARANÁ
AGOSTO - 2007
ii
LUCAS MÁXIMO ALVES
2º TRABALHO COMPUTACIONAL:
Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Biapoiada
CURITIBA – PARANÁ
AGOSTO - 2007
iii
LUCAS MÁXIMO ALVES
2º TRABALHO COMPUTACIONAL:
Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Biapoiada
Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção de créditos das aulas da Disciplina de MODELAGEM COMPUTACIONAL EM CONCRETO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado
CURITIBA – PARANÁ
AGOSTO - 2007
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades
que a vida me trouxe. Quero também agradecer:
A minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.
Luiz Alkimin de Lacerda, ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. José Antonio Marques Carrer, a
Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, Maiko Buzzi,
Luiz Farani, Rodrigo Dias, e toda a galera do CESEC.
vi
EPÍGRAFE
“Há quem diga que no Principio era o caos..., mas eu percebo que no Principio era a Ordem Perfeita,.... e o Homem será reestabelecido para que retorne a ordem perfeita” (Lucas M. Alves)
vii
SUMÁRIO
Capítulo – I .................................................................................................................................1 INTRODUÇÃO..........................................................................................................................1 1. 1 – Apresentação do Trabalho................................................................................................1
1. 2 – Objetivos Gerais e Específicos do Trabalho ....................................................................1
Capítulo – II................................................................................................................................2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................................2 2. 1 – Introdução ..............................................................................................................2
2. 2 – Elementos da Teoria Elástica de uma Viga Unidimensional Bi-apoiada.........................3
2.2.1 – Cálculo da Tensões e Deformações no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................4 2.2.2 – Cálculo da Força e do Momento Fletor no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................6 2.2.3 – Cálculo das Deformações em uma Secção Transversal de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................9 2.2.4 – Cálculo das Reações dos Apoios de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ...............10 2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional .....................12 2.2.6 – Cálculo das Constantes C1, C2, C3, C4, C5 e C6 ............................................................16 2.2.7 – Cálculo do Momento, das Tensões e das Deformações ...............................................21 2.2.8 – Cálculo Deflexão Máxima no Centro da Viga .............................................................25 Capítulo – III ............................................................................................................................27 O CONCRETO REFORÇADO ...............................................................................................27 3. 1 – Introdução ............................................................................................................27
3. 2 –Concreto Reforçado.........................................................................................................28
3.2.1 - Reforço do Concreto Armado Simples .........................................................................28 3. 3 – Características Mecânica do Concreto Armado .............................................................30
3.3.1 - ESTADIO - I .................................................................................................................30 3.3.2 - ESTADIO - Ia ...............................................................................................................31 3.3.3 - ESTADIO - II................................................................................................................31 3.3.4 - ESTADIO – IIa ou ESTADIO - III...............................................................................32 3.3.5 - Tipos de ruptura de uma peça de concreto reforçado....................................................34 3.3.6 - Relações Constitutivas do Aço......................................................................................35 Capítulo – IV ............................................................................................................................37 MATERIAIS E MÉTODOS E TÉCNICAS EMPREGADAS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA ............................................................................................................................37 4. 1 – Introdução ............................................................................................................37
4. 2 – Metodologia de Plano de Trabalho e Técnicas Utilizadas .............................................38
4. 3 – Metodologia de Preparação dos Dados ..........................................................................38
4.3.1 - Geração do Arquivo de Entrada ....................................................................................39 4. 4 – Metodologia do Processamento de Dados e de Obtenção dos Resultados.....................40
4. 5 – Metodologia dos Exemplos a Serem Testados ...............................................................41
viii
4.5.2 –Condições de Contorno Impostas ..................................................................................42 4. 6 – Metodologia da Geração Sistemática dos Resultados ....................................................43
4. 7 – Metodologia de Análise e Comparação dos Resultados.................................................43
Capítulo – V .............................................................................................................................44 RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................................44 5. 1 – Introdução ............................................................................................................44
5.1.1 - Condições de contorno..................................................................................................44 5. 2 – Malha – 1-D ............................................................................................................45
5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 1D.49 5. 3 – Malha – 2-D ............................................................................................................50
5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 10.0 ............................................................................................................................60 5.3.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 20.0 ............................................................................................................................62 5.3.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 30 ...............................................................................................................................64 5.3.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 40.0 ............................................................................................................................66 5.3.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 50.0 ............................................................................................................................68 5.3.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 2D ...........................................................70 5. 4 – Malha – 3-D ............................................................................................................71
5.4.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 10.0 ............................................................................................................................83 5.4.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 20.0 ............................................................................................................................88 5.4.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 30 ...............................................................................................................................92 5.4.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 40.0 ............................................................................................................................96 5.4.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 50.0 ..........................................................................................................................100 5.4.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 3D .........................................................104 Capítulo – VI ..........................................................................................................................105 DISCUSSÃO ANÁLISE DOS RESULTADOS....................................................................105 6. 1 – Introdução ..........................................................................................................105
6. 2 – Análise dos Deslocamentos e das Tensões Principais..................................................106
6.2.1 - Comparação com o Resultado Analítico Unidimensional ..........................................106 6.2.2 - Análise do Erro em Relação ao Valor Analítico 1-D..................................................108 6.2.3 - Análise de Convergência das Malhas .........................................................................110 Capítulo – VII.........................................................................................................................115 CONCLUSÃO........................................................................................................................115 7. 1 - Considerações Finais.....................................................................................................115
Referências Bibliográficas......................................................................................................116 Apêndices ...............................................................................................................................117 A. 1 – Elementos da Teoria Elástica Linear ...........................................................................117
ix
2.2.2 – A Equação de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ................................................117 2.2.3 - Problema Variacional de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ...............................118 A. 2 – Arquivo de Entrada de Dados da Viga Bi-Apoiada 1D, 2-D e 3D..............................120
Malha – 1-D............................................................................................................................121 Malha – 2-D............................................................................................................................122 Malha – 3-D............................................................................................................................124 A. 3 – Arquivo de Saída da Viga Bi-Apoiada 1D, 2-D e 3D .................................................126
Malha – 1-D............................................................................................................................126 Malha – 2-D............................................................................................................................129 Malha – 3-D............................................................................................................................132
x
LISTA DE FIGURAS
Figura - 2. 1. Viga bi-apoiada sujeita a deformação produzida por dois carreagamentos localizados. .................................................................................................................................3 Figura - 2. 2. Viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso. ..............................4 Figura - 2. 3. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho 0 ax x< < . ..................................................................................................12 Figura - 2. 4. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < . .................................................................................................13 Figura - 2. 5. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < . .................................................................................................14 Figura - 2. 6. Deflexão da linha elastica de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso. .............................................................................................................................20 Figura - 2. 7. Momento Fletor de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso...........................................................................................................................................21 Figura - 2. 8. Força Cortante de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso...........................................................................................................................................24 Figura - 2. 9. Gráfico de w(x) versus (L/h) no centro da viga onde x = L/2. ...........................26 Figura - 3. 1. Carregamento simétrico em uma viga de concreto com reforço de aço na base...................................................................................................................................................28 Figura - 3. 2. .............................................................................................................................29 Figura - 3. 3. .............................................................................................................................29 Figura - 3. 4. .............................................................................................................................30 Figura - 3. 5. Análise na secção I-I no estádio I .......................................................................30 Figura - 3. 6. Análise na secção I-I no estádio Ia. ....................................................................31 Figura - 3. 7. Análise na secção I-I no estádio II......................................................................31 Figura - 3. 8. Análise na secção I-I no estádio III. ...................................................................32 Figura - 3. 9. .............................................................................................................................32 Figura - 3. 10. ...........................................................................................................................32 Figura - 3. 11. ...........................................................................................................................33 Figura - 3. 12. ...........................................................................................................................34 Figura - 3. 13. Estado de tensões em um elemento sólido infinitesimal .................................35 Figura - 3. 14. ...........................................................................................................................35 Figura - 3. 15. ...........................................................................................................................35 Figura - 3. 16. ...........................................................................................................................36 Figura - 4. 1. Exemplo de um arquivo de entrada de dados para o problema. .........................39 Figura - 4. 2. Fluxograma dos passos seguidos na preparação dos dados de entrada ..............40 Figura - 4. 3. Fluxograma do procedimento realizado na obtenção e análise dos dados de saída do código FEAP. ......................................................................................................................40 Figura - 4. 4. Malha 1 a ser gerada pelo FEAP ........................................................................41 Figura - 4. 5. . Malha 2 a ser gerada pelo FEAP. .....................................................................41 Figura - 4. 6. . Malha 3 a ser gerada pelo FEAP ......................................................................42 Figura - 4. 7. Fluxograma da Geração Sistemática dos Resultados .........................................43 Figura - 5. 1. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......45 Figura - 5. 2. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......45 Figura - 5. 3. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......46 Figura - 5. 4. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......46
xi
Figura - 5. 5. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................47 Figura - 5. 6. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual...................................................................................................................................................48 Figura - 5. 7. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......50 Figura - 5. 8. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......51 Figura - 5. 9. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......53 Figura - 5. 10. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .....55 Figura - 5. 11. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................57 Figura - 5. 12. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. .....................................................................................................................................59 Figura - 5. 13. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0. .....................................................................70 Figura - 5. 14. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.70 Figura - 5. 15. Malhas de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento pontual simétrico para as alturas de h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 e 50.0. .................................................................73 Figura - 5. 16. Carregemento pontual simétrico duplo em uma malha representando um viga biapoiada...................................................................................................................................74 Figura - 5. 17. Deslocamento na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ......................................................................................................................................76 Figura - 5. 18. Deslocamento na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ......................................................................................................................................78 Figura - 5. 19. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................80 Figura - 5. 20. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. .....................................................................................................................................82 Figura - 5. 21. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0. ...................................................................104 Figura - 5. 22. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.................................................................................................................................................104 Figura - 6. 1. Suavização da distribuição da carga concentrada e do ponto de aplicação dos apoios......................................................................................................................................110 Figura - 6. 2. Uso da simetria da malha..................................................................................111 Figura - 6. 3. Gráfico da Análise da Convergência das Malhas para os Deslocamentos no ponto Inferior e Superior na metade da Viga .........................................................................112
xii
LISTA DE TABELAS
Tabela - IV. 1. Dimensões Geométricas e Massa Específica da Viga 38 Tabela - IV. 2. Propriedades Mecânica do Concreto 38 Tabela - V. 1. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto na Metade da Viga 49 Tabela - V. 2. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central da Viga 49 Tabela - V. 3. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 60 Tabela - V. 4. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 60 Tabela - V. 5. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 60 Tabela - V. 6. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 60 Tabela - V. 7. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 61 Tabela - V. 8. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 61 Tabela - V. 9. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 62 Tabela - V. 10. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 62 Tabela - V. 11. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 62 Tabela - V. 12. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 62 Tabela - V. 13. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 63 Tabela - V. 14. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 63 Tabela - V. 15. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 64 Tabela - V. 16. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 64 Tabela - V. 17. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 64 Tabela - V. 18. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 64 Tabela - V. 19. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 65 Tabela - V. 20. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 65 Tabela - V. 21. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 66 Tabela - V. 22. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 66 Tabela - V. 23. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 66 Tabela - V. 24. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 66 Tabela - V. 25. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 67 Tabela - V. 26. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 67 Tabela - V. 27. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 68 Tabela - V. 28. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 68 Tabela - V. 29. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 68
xiii
Tabela - V. 30. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 68 Tabela - V. 31. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 69 Tabela - V. 32. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 69 Tabela - V. 33. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 83 Tabela - V. 34. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 83 Tabela - V. 35. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 84 Tabela - V. 36. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 84 Tabela - V. 37. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 84 Tabela - V. 38. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 85 Tabela - V. 39. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 88 Tabela - V. 40. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 88 Tabela - V. 41. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 89 Tabela - V. 42. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 89 Tabela - V. 43. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 89 Tabela - V. 44. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 90 Tabela - V. 45. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 92 Tabela - V. 46. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 92 Tabela - V. 47. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 93 Tabela - V. 48. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 93 Tabela - V. 49. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 93 Tabela - V. 50. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 94 Tabela - V. 51. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 96 Tabela - V. 52. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 96 Tabela - V. 53. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 97 Tabela - V. 54. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 97 Tabela - V. 55. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 97 Tabela - V. 56. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 98 Tabela - V. 57. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 100 Tabela - V. 58. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 100 Tabela - V. 59. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 101 Tabela - V. 60. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 101 Tabela - V. 61. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 101 Tabela - V. 62. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 102
xiv
Tabela - VI. 1. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Inferior na Metade da Viga para h = 10.0 106 Tabela - VI. 2. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Central na Metade da Viga para h = 10.0 106 Tabela - VI. 3. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Superior na Metade da Viga para h = 10.0 106 Tabela - VI. 4. Tensão nas Malhas nos Ponto Inferior e Superior na Metade da Viga 107 Tabela - VI. 5. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga 108 Tabela - VI. 6. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga 108 Tabela - VI. 7. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga 108 Tabela - VI. 8. Análise do Erro na Tensão no Ponto Inferior na Metade da Viga 109 Tabela - VI. 9. Análise do Erro na Tensão no Ponto Central na Metade da Viga 109 Tabela - VI. 10. Análise do Erro na Tensão no Ponto Superior na Metade da Viga 109 Tabela - VI. 11. Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga 111 Tabela - VI. 12. Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga 112 Tabela - VI. 13. Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga 112 Tabela - VI. 14. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Inferior na Metade da Viga 113 Tabela - VI. 15. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Central na Metade da Viga 113
1
Capítulo – I
INTRODUÇÃO
1. 1 – Apresentação do Trabalho
Apresenta-se neste volume um trabalho computacional de aplicação dos
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS. Requisito da avaliação parcial para obtenção de
créditos das aulas da Disciplina de Modelagem Computacional do Concreto ministradas pelo
prof. Dr. Eng. Roberto Dalledone Machado. Departamento de Engenharia Mecânica da
Universidade Federal do Paraná, do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em
Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de
Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná.
1. 2 – Objetivos Gerais e Específicos do Trabalho
O presente trabalho de simulação numérica computacional tem como objetivo
comparar os resultados obtidos por meio do cálculo numérico de uma viga bi-apoiada com
reforço em 1-D, 2-D, 3-D e comparar a relação entre a sua altura e comprimento para os
resultados obtidos por simulação numérica utilizando o Método dos Elementos Finitos pelo
código FEAP.
2
Capítulo – II
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
RESUMO
Neste capítulo será visto uma breve introdução teórica do problema da viga
elástica em questão. Será calculado o valor analítico da viga unidimensional para
posteriormente ser comparado com o resultado numérico obtido pelo Método dos Elementos
Finitos.
2. 1 – Introdução
O problema de vigas é muito comum em Engenharia e possui uma larga aplicação
na construção de estruturas metálicas e de concreto. Nesta parte consideraremos o problema
de uma viga elástica unidimensional de concreto com o intuito de apresentar as principais
equações diferenciais do problema e deduzir a equação de deformação da linha elástica
unidimensional com a finalidade de comparar com o problema bi-dimensional a ser relsolvido
numericamente pelo Método dos Elementos Finitos usando-se o código FEAP.
3
2. 2 – Elementos da Teoria Elástica de uma Viga Unidimensional Bi-apoiada
Considere uma viga apoiada e flexionada sob seu próprio peso conforme mostra a
Figura - 2. 1.
Figura - 2. 1. Viga bi-apoiada sujeita a deformação produzida por dois carreagamentos localizados.
Onde q(x) é a força peso, distribuída por unidade de comprimento e w(x) é a componente
vertical (altura) da deflexão, da viga em função da posição horizontal, x.
4
2.2.1 – Cálculo da Tensões e Deformações no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional
Considere a viga deformada elasticamente conforme mostra a Figura - 2. 2.
Figura - 2. 2. Viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.
O angulo θ de deflexão de uma viga para um arco de comprimento L igual ao da
viga é dado pela relação geoméetrica:
L ρθ= (2. 1)
Para um arco 'L afastado de uma distância y da linha central da viga é dado por:
( )'L yρ θ= − (2. 2)
Como o comprimento original do arco antes da deformação, era L. Logo a
deformação LΔ é dada por:
'L L LΔ = − (2. 3)
Substituindo as equações (2. 1) e (2. 2) em (2. 3) temos:
( )L yL y
ρ θ ρθ
θ
Δ = − −
Δ = − (2. 4)
Considerando a deformação na direção x como sendo:
5
xL y
Lθερθ
Δ= = − (2. 5)
Logo
xyερ
= − (2. 6)
A deformação correspondente ao valor máximo de y tanto para valores positivos e
negativos é dada por:
maxm
y cερ ρ
= − = (2. 7)
Onde 2hc = é a metade da altura. Logo
x myc
ε ε= − (2. 8)
Pela Lei de Hooke temos:
x xEσ ε= (2. 9)
Então
x x myE Ec
σ ε ε= = − (2. 10)
e
x myc
σ σ= − (2. 11)
6
2.2.2 – Cálculo da Força e do Momento Fletor no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional
A partir do cláculo anterior vemos que a tensão normal varia linearmente com a
distância à superfície neutra. Logo, a força na direção x dada por:
x xF dAσ= ∫ (2. 12)
Deve ser nula quando se integra de um ponto inferior ate o ponto superior da barra.
0
x m
mx
yF dAc
F ydAc
σ
σ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − =
∫
∫ (2. 13)
Portanto,
0ydA =∫ (2. 14)
Por outro lado lembrando que o momento é dado por:
z xM y dAσ= −∫ (2. 15)
Logo substituindo (2. 11) em (2. 16) temos:
z myM y dAcσ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ (2. 16)
Então
2mzM y dA
cσ
= ∫ (2. 17)
Como a definição do Momento de Inércia para uma viga retangular é dad por:
2 2z zI r dm I y dA= → =∫ ∫ (2. 18)
temos:
mz zM I
cσ
= (2. 19)
Logo
7
zm
z
M cI
σ = (2. 20)
Proporcionalmente temos:
zx
z
M yI
σ = (2. 21)
Para o caso de uma viga retangular temos:
2
12zbhI = (2. 22)
Sabendo que a partir da equação (2. 7) temos:
1 mcε
ρ= (2. 23)
temos:
1
1 1
m
z
z
EcM c
Ec I
σρ
ρ
=
= (2. 24)
Portanto, o momento fletor sobre uma viga é dado genericamente por:
( )1 M xEIρ
= (2. 25)
Mas o raio de curvatura ρ é dado por:
( )
( )
2
23/ 22
1
1
d w x
dx
dw xdx
ρ=⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(2. 26)
Considerando que a declividade da linha elástica é muito pequena temos:
( )3/ 22
1 1dw x
dx
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ ≅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (2. 27)
8
Temos:
( ) ( )2
2d w x M x
EIdx= (2. 28)
Esta é equação que relaciona a deflexão da linha elástica com o momento fletor.
9
2.2.3 – Cálculo das Deformações em uma Secção Transversal de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional
Sabendo que da relação de Poisson as deformações nas direções perpendiculares
são:
;y x z xv vε ε ε ε= − = − (2. 29)
Podemos substituir (2. 6) em (2. 29) e obter:
;y zy yv vε ερ ρ
= = (2. 30)
logo
;y y z zy yE Ev E Evσ ε σ ερ ρ
= = = = (2. 31)
E substituindo ( ) em ( )
;z zy y z z
M y M yE v E vI I
σ ε σ ε= = = = (2. 32)
Ou
;z zy z
M y M yv vI I
σ σ= = (2. 33)
Observe que as tensões nas direções perpendiculares ao comprimento da viga são iguais.
10
2.2.4 – Cálculo das Reações dos Apoios de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional
Para se equacionar o problema da viga em equilíbrio considera-se a somatória das
forças e dos momentos nulos em toda a viga, da seguinte forma:
0i
F =∑ (2. 34)
Desta forma, tem-se:
a bA B F F+ = + (2. 35)
Por outro lado, tomando a somatório do momento em relação a origem a partir
de uma das extremidades da viga temos:
0i
M =∑ (2. 36)
Onde a somatório dos momentos é dada por:
0a a b bBL F x F x− − = (2. 37)
Logo,
( )a a b bF x F xB
L+
= (2. 38)
Retornando (2. 38) em (2. 35) temos:
( )a a b ba b
F x F xA F F
L+
+ = + (2. 39)
Portanto,
1 1a ba b
x xA F FL L
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2. 40)
Sendo a bF F F= = temos:
( )2 a bx x
A FL
⎛ ⎞+= −⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 41)
Como
a bx x L+ = (2. 42)
12
2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional
Para calcular a equação da linha elástica vamos tomar uma secção qualquer da
viga, conforme mostra a Figura - 2. 3.
Figura - 2. 3. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho 0 ax x< < .
A partir da a Figura - 2. 3 vemos que o momento sobre a viga
i) Para o trecho 0 ax x< < é dado por:
AM Ax= (2. 45)
Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) podemos escrever:
AM Fx= (2. 46)
A partir da equação (2. 28) temos:
( )2
2d w x
EI Fxdx
= (2. 47)
Integrando temos:
( )2
2d w x
EI dx F xdxdx
=∫ ∫ (2. 48)
Logo
( ) 212
dw x xEI F Cdx
= + (2. 49)
Integrando mais uma vez obtemos:
13
( ) 212
dw x xEI dx F dx C dxdx
= +∫ ∫ ∫ (2. 50)
temos:
( )3
1 26xEIw x F C x C= + + (2. 51)
Figura - 2. 4. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < .
ii) Para o trecho a bx x x< < é dado por:
( )A a aM Ax F x x= − − (2. 52)
Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) e aF F= , podemos escrever:
( )A aM Fx F x x= − − (2. 53)
Ou
A aM Fx= (2. 54)
A partir da equação (2. 28) temos:
( )2
2 ad w x
EI Fxdx
= (2. 55)
Integrando temos:
14
( )2
2 ad w x
EI dx Fx dxdx
=∫ ∫ (2. 56)
Logo
( )3a
dw xEI Fx x C
dx= + (2. 57)
Integrando mais uma vez obtemos:
( )3a
dw xEI dx Fx xdx C dx
dx= +∫ ∫ ∫ (2. 58)
Temos:
( )2
3 42axEIw x Fx C x C= + + (2. 59)
Figura - 2. 5. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < .
iii) Para o trecho bx x L< < é dado por:
( ) ( )A a a b bM Ax F x x F x x= − − − − (2. 60)
Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) e que a bF F= , podemos escrever:
( ) ( )A a bM Fx F x x F x x= − − − − (2. 61)
15
Ou
( )2A a bM Fx Fx F x x= − + + (2. 62)
como a bx x L+ = .
AM FL Fx= − (2. 63)
A partir da equação (2. 28) temos:
( )2
2d w x
EI FL Fxdx
= − (2. 64)
Integrando temos:
( )2
2d w x
EI dx FL dx F xdxdx
= −∫ ∫ ∫ (2. 65)
Logo
( ) 252
dw x xEI FLx F Cdx
= − + (2. 66)
Integrando mais uma vez obtemos:
( ) 252
dw x FEI dx FL xdx x dx C dxdx
= − +∫ ∫ ∫ ∫ (2. 67)
Temos:
( )2
35 62 6
x FEIw x FL x C x C= − + + (2. 68)
16
2.2.6 – Cálculo das Constantes C1, C2, C3, C4, C5 e C6
Aplicando as consições de contorno onde:
i) Condição de Contorno nula em uma das extremidades
( )0 0w x = = (2. 69)
Usando a relação (2. 51) temos:
( )3
1 200 0 06
EIw x F C C= = + + = (2. 70)
logo
2 0C = (2. 71)
ii) Condição de Continuidade funções nos pontos de aplicação das forças
( ) ( )0 a aa ax x x x L
w x x w x x< < < <
= = = (2. 72)
Então a partir das relações (2. 51) e (2. 59)
3 21 2 3 46 2
a aa a a
x xF C x C Fx C x C+ + = + + (2. 73)
Como 2 0C =
3 31 3 42 6
a aa a
x xC x F F C x C= − + + (2. 74)
Logo
31 3 4
1 12 6a a aC x Fx C x C⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 75)
E
31 3 43
aa a
xC x F C x C= + + (2. 76)
Ou
24
1 3 3a
a
x CC C Fx
− = + (2. 77)
17
iii) Condição de Contorno nula na outra extremidade
( ) 0w x L= = (2. 78)
Usando a relação (2. 68) temos:
( )2
35 6 0
2 6L FEIw x L FL L C L C= = − + + = (2. 79)
ou
( ) 35 6 0
3FEIw x L L C L C= = + + = (2. 80)
Logo
35 6 3
FC L C L+ = − (2. 81)
iv) Usando a condição de derivada nula para a deflexão máxima no centro da viga.
( ) ( )0 a a
a a
x x x x L
dw x x dw x xdx dx< < < <
= == (2. 82)
Então a partir das relações (2. 49) e (2. 57):
22
1 32a
axF C Fx C+ = + (2. 83)
Logo
22
1 3 2a
axC C Fx F− = − (2. 84)
2
1 3 2axC C F− = (2. 85)
Comparando (2. 85) com (2. 77) temos que:
2 24
3 2a a
a
x xCF Fx
+ = (2. 86)
então
18
2 24
2 3a a
a
x xC F Fx
= − (2. 87)
logo
34
16 aC Fx= (2. 88)
v)
( )/ 20
a bx x x
dw x Ldx < <
== (2. 89)
logo
( )3 0
2adw x LEI Fx C
dx= + = (2. 90)
Portanto,
3 2aFx LC = − (2. 91)
Substituindo (2. 91) em (2. 85) temos:
2
1 2 2a
ax LC F Fx= − (2. 92)
Logo
( )1 2a
axC F x L= − (2. 93)
vi)
( ) ( )
a b b
b b
x x x x x L
dw x x dw x xdx dx< < < <
= == (2. 94)
Então
2
3 52b
a b bxFx x C FLx F C+ = − + (2. 95)
Usando (2. 91) temos:
19
Resolvendo essas equações obtemos:
i) Para 0 ax x< <
Substituindo a expressão (2. 71) e (2. 93) em (2. 51):
( ) ( )3
26 2 a ax FEIw x F x x L x= + − (2. 96)
ou
( ) 2 23 36 a aFxw x x x LxEI
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ (2. 97)
ii) Para a bx x x< <
Substituindo a expressão (2. 88) e (2. 91) em (2. 59):
( )2
312 2 6a a ax LEIw x Fx Fx x Fx= − + (2. 98)
Ou
( )2
312 2 6a a a
F x Lw x x x x xEI
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 99)
então
( ) ( )2 23 36
aa
Fxw x x Lx xEI
= − + (2. 100)
ii) Para a deflexão máxima no centro da viga:
Substituindo 2Lx = na expressão (2. 59):
( )2 2
23 36 4 2
aa
Fx L Lw x xEI
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 101)
Logo
( )2
236 4
aa
Fx Lw x xEI
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 102)
Ou
20
( ) ( )2 23 424
aa
Fxw x L xEI
= − + (2. 103)
iii) Para bx x L< <
( )2
35 62 6
x FEIw x FL x C x C= − + + (2. 104)
Logo
( )2 2
3 2 2 222 6 2 6b bx F F LEIw x FL x L x x FL x
⎛ ⎞⎡ ⎤= − − − − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 105)
Portanto,
( ) ( )3 2 2
2 2 21 26 2 2 6b bx x LEIw x F L L x x L x
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − + − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(2. 106)
Ou
( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 23 3 2 66 b bFw x x Lx L x x L x LEI
⎡ ⎤= − + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2. 107)
Cujo gráfico da linha elastica em função do comprimento é mostrado na Figura -
2. 6
Figura - 2. 6. Deflexão da linha elastica de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.
21
2.2.7 – Cálculo do Momento, das Tensões e das Deformações
Sabendo as dimensões da viga, onde o comprimento 10l m= , a altura 2h m= e
espessura 1,0t m= temos que o volume é:
3
. .
20
V l h t
V m
=
= (2. 108)
como a massa especifica 32320 /Kg mρ = , podemos calcular a massa da viga
3 32320 / .2046400
m V
m Kg m mm Kg
ρ=
==
(2. 109)
Sendo a aceleraçào da gravidade 29,8 /g m s= , o peso da viga é
2
.
46400 .9,8 /454720N
P m g
P Kg m sP
=
==
(2. 110)
Figura - 2. 7. Momento Fletor de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.
O momento fletor é dado por:
max aM Fx= (2. 111)
Para um carregamento simétrico com 4aLx = temos:
max 4FLM = (2. 112)
Portanto,
22
max
max
max
454720N.10m4
4547200J4
1136800J
M
M
M
=
=
=
(2. 113)
O momento de inércia é dado por:
3
12zbhI = (2. 114)
Portanto,
3
4
1.2128 2
12 30,66667
z
z
z
I
I
I m
=
= =
=
(2. 115)
A tensão na direção x é:
zx
z
M yI
σ = (2. 116)
Onde y é a posição em relação a linha neutra. Portanto, considerando um ponto sobre a
superfície superior e inferior da viga temos:
4
3
3
1136800J.1m0,666671136800J
0,666671136800J
0,666671,705200MPa
x
x
x
x
m
m
m
σ
σ
σ
σ
=
=
=
=
(2. 117)
sendo
x xEσ ε= (2. 118)
Temos:
xx E
σε = (2. 119)
23
Logo substiutindo (2. 116) em (2. 119) temos:
zx
z
M yEI
ε = (2. 120)
A partir de (2. 111) temos:
ax
z
Fx yEI
ε = (2. 121)
Ou para o meio da viga temos:
4xPLy
EIε = (2. 122)
Sendo o medulo Elástico 27,5GPaE = , temos:
-5
1,705200MPa27,5GPa
6,201 10
x
x
ε
ε
=
= ×
(2. 123)
como
y-5(0.3).6,201 10
x
y
vε ε
ε
= −
= − × (2. 124)
E
z-5(0.3).6,201 10
x
z
vε ε
ε
= −
= − × (2. 125)
Temos que:
-5z 1.860 10yε ε= = × (2. 126)
A Relacão entre o Módulo Elástico Longitudinal e o Transversal ou de
Cisalhamento é dada por:
( )2 1EG
v=
+ (2. 127)
Logo o módulo elástico tranversal do concreto é:
24
10.58GPaG ≅ (2. 128)
A tensão de cisalhamento xyτ é dada por:
2
23 12
axy
F yA c
τ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
(2. 129)
O diagrama da força cortante é dado por:
Figura - 2. 8. Força Cortante de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.
Sabendo que:
xyxy
yx G
τε Δ
= = (2. 130)
Logo, a correção de Timoshenko é dada por:
2
23 12
axy
Fy yx GA c
ε⎛ ⎞Δ
= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
(2. 131)
Ou seja:
2
23 12
aF x yyGA c
⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 132)
Para a posição / 2 e / 2x L y c h= = = temos:
32
aF LyGA
Δ = (2. 133)
25
2.2.8 – Cálculo Deflexão Máxima no Centro da Viga
E a partir da equação (2. 101) temos:
( ) ( )2 23 424
aa
Fxw x L xEI
= − + (2. 134)
Acrescentado a correção de Timoshenko 32
aF LyGA
Δ = , onde .A b h= para uma viga parede
temos:
( ) ( )2
2 2 33 424 2 12
a aa
Fx F Lhw x L xEI GI
= − + − (2. 135)
No centro da viga temos:
4aLx = (2. 136)
logo
( )2 2
2 33 496 16 2 12FL L FLhw x L
EI GI
⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 137)
Logo
( )2 244 3
96 16 2 12FL L FLhw x
EI GI
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 138)
Substituindo os valores em (2. 138) temos:
( )( )
( ) ( )( )
2 2
4 444 10 454720N.10m 2454720N.10m 3
16 296 27,5GPa 0,66667 12 10.6 0,66667
m mw x
m GPa m
⎛ ⎞⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
(2. 139)
Portanto,
( ) 0.7105105100 0.3217342404w x = − − (2. 140)
logo
( ) -1.032230688w x m= (2. 141)
26
Sendo 3
12zbhI = temos:
( )22
3 312 44 3
16 296aF LhFL Lw x
Ebh Gbh
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2. 142)
Logo
( )311 3
32 2F L F Lw xEb h Gb h
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2. 143)
Ou
( )311 3
32 2F L Lw xb E h G h
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(2. 144)
Cujo gráfico é mostrado na
Figura - 2. 9. Gráfico de w(x) versus (L/h) no centro da viga onde x = L/2.
27
Capítulo – III
O CONCRETO REFORÇADO
RESUMO
Neste capitulo será visto alguns dos principais conceitos matemáticos e físicos
relacionados ao estudo do concreto reforçado.
3. 1 – Introdução
28
3. 2 –Concreto Reforçado
Figura - 3. 1. Carregamento simétrico em uma viga de concreto com reforço de aço na base.
3.2.1 - Reforço do Concreto Armado Simples
O concreto possui boa resistência a compressão e baixa resistência a tração
Resistência do concreto simples é boa a compressão, porém muito baixa a tração.
110ct cf f= (3. 1)
O reforço do concreto é usualmente feito com barras ou fios de aço (CA – XX),
onde:
CA : Aço para concreto armado
XX: resistência nominal.
Exemplo:
CA – 25 → 250ykf MPa=
CA – 50 → 500ykf MPa=
CA – 60 → 600ykf MPa=
29
A dilatação térmica do aço é próxima a do concreto.
Outros tipos de reforço do concreto são:
- fios de nylon, bambu, fibras de carbono (longas ou curtas), chapas de aço.
Desvantagens
Nylon: baixa aderência ao concreto
Fios de carbono: baixa resistência ao fogo.
Figura - 3. 2.
Figura - 3. 3.
30
3. 3 – Características Mecânica do Concreto Armado
Considere uma viga reforçada como indicada no início da aula.
Fazendo : 0 rupF F→ a resposta F δ× pode ser representada por:
Figura - 3. 4.
Podemos observar 4 regiões distintas no diagrama F δ× .
3.3.1 - ESTADIO - I
Existe linearidade entre F δ× . A secção está integra, sem fissuras. As tensões de
tração são muito baixas e, teoricamente, poderiam ser absorvidas pelo concreto simples, sem
reforço, neste estádio o regime é elástico.
O diagrama de tensões e deformações na secção transversal da viga é mostrado na
Figura - 3. 5. Análise na secção I-I no estádio I
Nesse Estádio, a peça pode ser tratada como homogênea, substituindo-se para
efeito de cálculo, a área de aço por uma área equivalente de concreto.
31
3.3.2 - ESTADIO - Ia
Nesse momento ocorre a plastificação da secção na região de traçào. Entretanto, a
peça ainda está íntegra. No diagrama de tensões e deformações na secção transversal da viga
mostrado na ... observa-se:
Figura - 3. 6. Análise na secção I-I no estádio Ia.
No limite do Estadio Ia a região tracionada está totalmente plastificada.
3.3.3 - ESTADIO - II
Inicio da fissuração do concreto na região tracionada. Esgota-se a capacidade
resistente do concreto à tração.
Todos as tensões de tração são integralmente absorvidas pelo reforço. Na região
comprimida, ainda se tem o regime elástico. No diagrama de tensões e deformações na secção
transversal da viga mostrado na ... observa-se:
Figura - 3. 7. Análise na secção I-I no estádio II.
32
3.3.4 - ESTADIO – IIa ou ESTADIO - III
As tensões de compressão crescem e produzem plastificação na região
comprimida. O comportamento da peça é nào-linear. No limite, esgota-se a capacidade
resistente da peça. No diagrama de tensões e deformações na secção transversal da viga
mostrado na ... observa-se:
Figura - 3. 8. Análise na secção I-I no estádio III.
Relembrando a relação c cσ ε× temos:
Figura - 3. 9.
Simplificadamente podemos trabalhar com o diagrama parábola-retângulo.
Figura - 3. 10.
33
Considera-se que:
2,0% - deformação de ruptura do concreto à compressão simples e 3,5% - deformação de
ruptura do concreto à flexão simples.
Figura - 3. 11.
34
3.3.5 - Tipos de ruptura de uma peça de concreto reforçado
a) Na Flexão
a.1 – Esmagamento do concreto – comprimido: a ruptura é brusca e sem aviso prévio (ruptura
frágil)
a.2 – Alongamento excessivos do aço ⇒ aço dúctil.
Há muitos sinais de ruína, como por exemplo, o quadro de fissuração.
a.3 – Ruptura simult6anea por esmagamento do concreto e por alongamento do aço.
b) Por Cisalhamento
O cisalhamento produz tensões tangenciais, xyτ , juntamente com as tensões
normais, xxσ e yyσ , ou seja, um estado multiaxial de tensões.
Nas direções principais, ocorrerão tensões de tração e de compressão. Logo, a
ruína por cisalhamento poderá ser:
b.1 – Esmagamento do concreto na direção das tensões principais de compressão
b.2 – Alongamento das armaduras de cisalhamento encarregadas de absorver as tensões de
tração
c) Falha de Ancoragem e Aderência
d) Perdas das Características dos Materiais
Por exemplo,
d.1 - R. A. A. do concreto (Reação Alkali-Agregado)
d.2 – Corrosão na armadura
d.3 – etc.
Figura - 3. 12.
35
3.3.6 - Relações Constitutivas do Aço
Figura - 3. 13. Estado de tensões em um elemento sólido infinitesimal
A obtenção do diagrama tensão X deformação é usado para caracterizar a relação
constitutiva de um material. No caso do aço usado no concreto armado temos o
comportamento mostrado na Figura - 3. 14.
Figura - 3. 14.
Em termos práticos trabalhamos com diagramas equivalentes
Figura - 3. 15.
36
i) Para 0 S Yε ε≤ ≤
Regime elástico obedece a Lei de Hooke:
tan210
ss s s
s
EE
E GPaθ
σ ε= ⎫
=⎬= ⎭ (3. 2)
ii) Para 10%Y Sε ε< ≤
Regime Plástico:
s Yfσ = (3. 3)
e
o1 110% 1%
1000 100= = = (3. 4)
É considerado um valor limite para evitar fissuração excessiva no concreto. Onde Yf é a
resistência do aço ao escoamento.
Figura - 3. 16.
37
Capítulo – IV
MATERIAIS E MÉTODOS E TÉCNICAS EMPREGADAS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA
RESUMO
Apresentamos neste capítulo os materiais e os métodos empregados na solução do
problema da viga elástica em bi-apoiada em uma, duas e três dimensões (1-D, 2-D, 3-D). A
forma de preparação e coleta dos dados de simulação numérica, as malhas e as condições de
contorno utilizadas.
4. 1 – Introdução
Para a realização deste trabalho computacional tivemos que elaborar algumas
metodologias auxiliares para a utilização do código FEAP remotamente. O código FEAP
opera em ambiente LINUX e nós dispúnhamos de computadores em ambiente WINDOWS.
Desta forma, algumas metodologias de transferência e formatações de dados tiveram que ser
elaboradas e executadas com a finalidade de se apresentar os resultados obtidos na sua forma
final. Também se recorreu ao site da Universidade de Berkeley para obtenção de informações
adicionais sobre o FEAP. Neste site encontraram-se vários manuais de operação que muito
nos ajudaram a manusear a versão compilada do FEAP. Em algumas oportunidades também
se utilizou a versão for WINDOWS do FEAP denominada FEAP-pv, para nos auxiliar nas
horas difícil acesso ao FEAP for LINUX do Laboratório de Análise Térmica. Alguma
diferença fentre essas versões foram encontradas principalmente em alguns comandos
internos e na preparação dos arquivos de entrada. Comparativamente os resultados obtidos
pelos dois códigos foram muito semelhantes.
38
4. 2 – Metodologia de Plano de Trabalho e Técnicas Utilizadas
- Usaremos o Código FEAP para realização dos cálculos numéricos pelo Método de
Elementos Finitos.
4. 3 – Metodologia de Preparação dos Dados
Foram feitas cinco malhas, refinando cada uma delas a proporção de h/2 em ambas as
direções conforme os dados da Tabela - IV. 1.
Tabela - IV. 1. Dimensões Geométricas e Massa Específica da Viga
Material Comprimento - l
(m)
Altura - h
(m)
Espessura - t
(m)
Massa Específico
(Kg/m3)
Concreto 10,0 2,0 1,0 2320
Tabela - IV. 2. Propriedades Mecânica do Concreto
Módulo
Elástico
Longitudinal
(GPa)
Módulo
Elástico
Transversal
(GPa)
Módulo
de
Poisson
Tensão de
Escoamento
(MPa)
Tensão
de
Ruptura
a
Tração
(MPa)
Tensão de
Ruptura a
Compressão
(MPa)
Coeficiente
de Dilatação
27,5
10.58
0,3 10-5
39
4.3.1 - Geração do Arquivo de Entrada
O arquivo de entrada foi gerado de acordo com o exmplo mostrado na Figura - 4.
1.
Figura - 4. 1. Exemplo de um arquivo de entrada de dados para o problema.
40
Consequentemente, após executar o FEAP com o arquivo de entrada, o cálculo e a
geração dos dados de saída da viga foram obtidos.
Figura - 4. 2. Fluxograma dos passos seguidos na preparação dos dados de entrada
4. 4 – Metodologia do Processamento de Dados e de Obtenção dos Resultados
O processamento dos dados de entrada e saída foi realizada de acordo com a
metodologia exemplificada na Figura - 4. 3.
Figura - 4. 3. Fluxograma do procedimento realizado na obtenção e análise dos dados de saída do código FEAP.
41
Durante a execução do programa Feap foram geradas as malhas, contendo a
Deslocamento e os tensões nas direções principais (x,y). Os dados contidos no arquivo de
saída foram transferido para o ambiente Windows pelo SSH e renomeados para a extensão
*.doc a fim de serem utilizados no relatório final. Contudo, antes disso uma edição desse
arquivo de saída foi realizada utilizando-se o bloco de notas do Windows a fim de se extrair
apenas os dados necessários para a geração das tabelas e dos gráficos de análise no EXCEL.
4. 5 – Metodologia dos Exemplos a Serem Testados
As malhas da viga foram obtidas após a execução do programa FEAP conforme
mostra a Figura - 4. 4
4.5.1.1 – Malha – 1-D
Figura - 4. 4. Malha 1 a ser gerada pelo FEAP
Após a execução do programa FEAP com a malha 1 foi necessário fazer um
refinamento dessa malha inicial obtendo-se a malha 2, para fins de cálculo do erro relativo.
4.5.1.2 – Malha – 2-D
Figura - 4. 5. . Malha 2 a ser gerada pelo FEAP.
42
4.5.1.3 – Malha – 3-D
Figura - 4. 6. . Malha 3 a ser gerada pelo FEAP
4.5.2 –Condições de Contorno Impostas
As condições são dadas conforme o exemplo da equação
. ( 0,0) 0 ; ( , 0) 0
( / 4, ) ( 3 / 4, );x y
u x u x L ydu x L y h du x L y hP P
dn dn
= = = = == = = =
= − = − (3. 5)
43
4. 6 – Metodologia da Geração Sistemática dos Resultados
Os dados de entrada forma sistematizados por meio do refinamento das malhas
conservando as mesmas condições de contorno a serem executados no programa FEAP.
Figura - 4. 7. Fluxograma da Geração Sistemática dos Resultados
4. 7 – Metodologia de Análise e Comparação dos Resultados
Os resultados foram analisados e comparados diretamente utilizando-se tabelas,
gráficos e incluindo a analise de convergência e propagação de erros absolutos e relativos.
44
Capítulo – V
RESULTADOS E DISCUSSÃO
RESUMO
Apresentamos neste capítulo os resultados da simulação numérica do problema
simétrico da viga elástica bi-apoiada nas extremidades com um carregamento localizado no
centro. Os resultados das tensões e das deformações são obtidos, avaliados e discutidos para
diferentes refinamentos de malhas utilizadas.
5. 1 – Introdução
O problema formulado anteriormente foram simulados utilizando o Método dos
Elementos Finitos, com e refinamento das malhas e as mesmas condições de contorno,
conforme a metodologia e a sistemática proposta no Capitulo – III.
5.1.1 - Condições de contorno
As condições de contorno impostas para esse exemplo são dadas pela equação (5.
1)
. ( 0,0) 0 ; ( , 0) 0
( / 4, ) ( 3 / 4, );x y
u x u x L ydu x L y h du x L y hP P
dn dn
= = = = == = = =
= − = − (5. 1)
45
5. 2 – Malha – 1-D
A imposição das condições sobre a malha 2 está ilustrada conforme mostra a
Figura - 5. 1.
Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e /load)
Figura - 5. 1. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
Os deslocamentos nos pontos dos nós após a solicitação de carga é mostrada
conforme mostra a Figura - 5. 2
Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/disp)
Figura - 5. 2. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
A intensidade dos deslocamentos na direção 1 esta representada pela escala de
cores conforme mostra a Figura - 5. 3. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando
nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.
46
Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1)
Figura - 5. 3. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
A intensidade dos deslocamentos na direção 2 esta representada pela escala de
cores conforme mostra a Figura - 5. 4
Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,2)
Figura - 5. 4. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
47
Observe as linhas isodeformação definidas pelas cores desde o branco até o
vermelho. Observe a intensidade máxima de deformação no centro da viga.
Utilizando-se o comando stre,1 do FEAP obteve-se as tensões na direção x1, onde
as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme
mostra a Figura - 5. 5
Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1)
Figura - 5. 5. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
Observe a tensões de compressão na parte superior da viga e de tração na parte
inferior da viga. Novamente, utilizando-se agora o comando stre,2 do FEAP obteve-se a
tensão na direção x2, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até
o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 6. Observe o acúmulo de tensões na direção 2 na
parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga.
48
Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,2)
Figura - 5. 6. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual.
49
5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 1D
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 1. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto na Metade da Viga
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 50 4.9000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0 51 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0 52 5.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Tabela - V. 2.
Tabela - V. 2. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central da Viga
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
50 1 90.0 9.821E+06 9.821E+06 0.000E+00 0.000E+00 9.821E+06
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
24.750 0.000 0.000E+00 0.000E+00 -4.643E-04 0.000E+00 9.821E+06
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
51 1 90.0 9.821E+06 9.821E+06 0.000E+00 0.000E+00 9.821E+06
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
25.250 0.000 0.000E+00 0.000E+00 -4.643E-04 0.000E+00 9.821E+06
Observe da Tabela - V. 2 que no modelo de vida 1D (unidimensional) apesar de
existir uma força aplicada aos elementos centrais de número 50 e 51, não há valor de
deformação neste elementos. Isto se deve a uma limitação do FEAP-PV.
50
5. 3 – Malha – 2-D
A imposição das condições sobre a malha 1 está ilustrada conforme mostra a
Figura - 5. 7
Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e /load)
Figura - 5. 7. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
51
Os deslocamentos nos pontos dos nós após a solicitação de carga é mostrada
conforme mostra a Figura - 5. 8
Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/disp)
Figura - 5. 8. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
A intensidade dos deslocamentos na direção 1 esta representada pela escala de
cores conforme é mostrado na Figura - 5. 9. Nesta figura observe os deslocamentos se
afastando nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.
53
Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1)
Figura - 5. 9. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
A intensidade dos deslocamentos na direção 2 esta representada pela escala de
cores conforme mostra a Figura - 5. 10
55
Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,2)
Figura - 5. 10. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
Observe as linhas isodeformação definidas pelas cores desde o branco até o
vermelho. Observe a intensidade máxima de deformação no centro da viga.
Utilizando-se o comando stre,1 do FEAP obteve-se as tensões na direção x1, onde
as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme
mostra a Figura - 5. 11.
57
Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1)
Figura - 5. 11. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
Observe a tensões de compressão na parte superior da viga e de tração na parte
inferior da viga. Novamente, utilizando-se agora o comando stre,2 do FEAP obteve-se a
tensão na direção x2, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até
o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 12. Observe o acúmulo de tensões na direção 2 na
parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga
59
Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,2)
Figura - 5. 12. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual.
60
5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 10.0
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 3. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 20 4.7500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 21 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 22 5.2500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.
Tabela - V. 4. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 0.150 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 0.150 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Tabela - V. 5. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 635 4.7500E+01 4.9000E+00 -4.2193E+05 -1.3620E+07 636 5.0000E+01 4.9000E+00 -4.2193E+05 -1.3695E+07 637 5.2500E+01 4.9000E+00 -4.2193E+05 -1.3770E+07
Tabela - V. 6. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
620 1 0.0 4.743E+04 1.933E+02 0.000E+00 3.448E+01 4.743E+04
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 5.013 1.723E-06 -5.104E-07 -5.195E-07 3.260E-09 1.933E+02
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
621 1 -0.2 4.766E+04 3.642E+02 0.000E+00 -1.478E+02 4.766E+04
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 5.013 1.729E-06 -5.066E-07 -5.239E-07 -1.397E-08 3.637E+02
61
Tabela - V. 7. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 2111 4.7500E+01 1.3000E+01 -1.7879E+05 -1.3620E+07 2112 5.0000E+01 1.3000E+01 -1.7879E+05 -1.3695E+07 2113 5.2500E+01 1.3000E+01 -1.7879E+05 -1.3770E+07
Tabela - V. 8. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2020 1 -89.7 -5.912E+04 8.971E+01 0.000E+00 -3.398E+02 9.166E+01
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 12.888 -2.151E-06 6.482E-07 6.440E-07 -3.213E-08 -5.912E+04
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2021 1 89.8 -5.976E+04 -3.074E+02 0.000E+00 2.364E+02 -3.065E+02
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 12.888 -2.170E-06 6.407E-07 6.553E-07 2.235E-08 -5.976E+04
Deflexão da Linha Elastica
-1,6E+11
-1,4E+11
-1,2E+11
-1E+11
-8E+10
-6E+10
-4E+10
-2E+10
00 10 20 30 40 50
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=10bh=10mh=10t
Figura - 5. 13. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.
62
5.3.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 20.0
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 9. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 20 4.7500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 21 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 22 5.2500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.
Tabela - V. 10. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 0.250 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 0.250 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Tabela - V. 11. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 758 4.7500E+01 1.0325E+01 -2.0331E+08 9.6280E+07 759 5.0000E+01 1.0325E+01 -2.0331E+08 9.2933E+07 760 5.2500E+01 1.0325E+01 -2.0331E+08 8.9586E+07
Tabela - V. 12. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
700 1 5.4 1.054E+04 2.342E+03 0.000E+00 7.880E+02 1.061E+04
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 10.088 3.576E-07 -2.980E-08 -1.405E-07 7.451E-08 2.267E+03
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
701 1 1.1 1.054E+04 2.342E+03 0.000E+00 1.576E+02 1.054E+04
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 10.088 3.576E-07 -2.980E-08 -1.405E-07 1.490E-08 2.339E+03
63
Tabela - V. 13. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 2111 4.7500E+01 2.6000E+01 -1.8232E+08 9.6280E+07 2112 5.0000E+01 2.6000E+01 -1.8232E+08 9.2933E+07 2113 5.2500E+01 2.6000E+01 -1.8232E+08 8.9586E+07
Tabela - V. 14. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2020 1 87.1 -1.459E+04 -3.557E+03 0.000E+00 5.516E+02 -3.530E+03
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 25.763 -4.917E-07 2.980E-08 1.980E-07 5.215E-08 -1.462E+04
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2021 1 79.8 -1.405E+04 -1.756E+03 0.000E+00 2.285E+03 -1.345E+03
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 25.763 -4.917E-07 8.941E-08 1.724E-07 2.161E-07 -1.446E+04
Deflexão da Linha Elastica
0
2E+11
4E+11
6E+11
8E+11
1E+12
1,2E+12
1,4E+12
1,6E+12
1,8E+12
0 10 20 30 40 50Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=10bh=10mh=10t
Figura - 5. 14. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 20.0.
64
5.3.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 30
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 15. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 20 4.7500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 21 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 22 5.2500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.
Tabela - V. 16. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 0.350 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 0.350 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Tabela - V. 17. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 758 4.7500E+01 1.4725E+01 -2.5323E+07 -6.3089E+07 759 5.0000E+01 1.4725E+01 -2.5323E+07 -6.1516E+07 760 5.2500E+01 1.4725E+01 -2.5323E+07 -5.9943E+07
Tabela - V. 18. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
740 1 -36.6 -3.152E+02 -7.092E+02 0.000E+00 -6.501E+02 1.671E+02
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 15.063 -3.725E-09 -2.235E-08 1.118E-08 -6.147E-08 -1.192E+03
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
741 1 -46.0 -8.443E+01 -2.533E+01 0.000E+00 -8.274E+02 7.731E+02
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 15.063 -2.794E-09 0.000E+00 1.197E-09 -7.823E-08 -8.829E+02
65
Tabela - V. 19. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 2111 4.7500E+01 3.7000E+01 -3.9335E+07 -6.3089E+07 2112 5.0000E+01 3.7000E+01 -3.9335E+07 -6.1516E+07 2113 5.2500E+01 3.7000E+01 -3.9335E+07 -5.9943E+07
Tabela - V. 20. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2020 1 20.7 1.993E+03 1.008E+03 0.000E+00 4.334E+02 2.156E+03
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 36.663 6.147E-08 1.490E-08 -3.273E-08 4.098E-08 8.440E+02
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2021 1 -4.9 1.385E+03 5.629E+00 0.000E+00 -1.182E+02 1.395E+03
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 36.663 5.029E-08 -1.490E-08 -1.517E-08 -1.118E-08 -4.430E+00
Deflexão da Linha Elastica
-1E+12
-9E+11
-8E+11
-7E+11
-6E+11
-5E+11
-4E+11
-3E+11
-2E+11
-1E+11
00 10 20 30 40 50
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=10bh=10mh=10t
Figura - 5. 15. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 30.0.
66
5.3.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 40.0
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 21. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 20 4.7500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 21 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 22 5.2500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.
Tabela - V. 22. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 0.450 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 0.450 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Tabela - V. 23. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 799 4.7500E+01 2.0200E+01 -5.0268E+07 -1.2605E+08 800 5.0000E+01 2.0200E+01 -5.0268E+07 -1.2208E+08 801 5.2500E+01 2.0200E+01 -5.0268E+07 -1.1811E+08
Tabela - V. 24. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
740 1 29.9 4.053E+02 -6.980E+02 0.000E+00 9.457E+02 9.484E+02
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 19.750 2.235E-08 -2.980E-08 3.193E-09 8.941E-08 -1.241E+03
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
741 1 -4.7 -7.880E+01 -2.482E+03 0.000E+00 -1.970E+02 -6.276E+01
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 19.750 2.421E-08 -8.941E-08 2.794E-08 -1.863E-08 -2.498E+03
67
Tabela - V. 25. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 2111 4.7500E+01 4.9000E+01 -9.5986E+07 -1.2605E+08 2112 5.0000E+01 4.9000E+01 -9.5986E+07 -1.2208E+08 2113 5.2500E+01 4.9000E+01 -9.5986E+07 -1.1811E+08
Tabela - V. 26. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2020 1 -52.0 -2.252E+02 -6.755E+01 0.000E+00 -3.152E+02 1.786E+02
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 48.550 -7.451E-09 0.000E+00 3.193E-09 -2.980E-08 -4.713E+02
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2021 1 -55.9 -4.503E+02 -1.351E+02 0.000E+00 -3.940E+02 1.317E+02
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 48.550 -1.490E-08 0.000E+00 6.386E-09 -3.725E-08 -7.171E+02
Deflexão da Linha Elastica
-2,5E+12
-2E+12
-1,5E+12
-1E+12
-5E+11
00 10 20 30 40 50
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=10bh=10mh=10t
Figura - 5. 16. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 40.0.
68
5.3.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 50.0
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 27. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 20 4.7500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 21 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 22 5.2500E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.
Tabela - V. 28. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
20 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 0.550 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
21 1 45.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 0.550 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Tabela - V. 29. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 799 4.7500E+01 2.5000E+01 2.5344E+08 -2.5096E+08 800 5.0000E+01 2.5000E+01 2.5344E+08 -2.3060E+08 801 5.2500E+01 2.5000E+01 2.5344E+08 -2.1024E+08
Tabela - V. 30. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
740 1 -67.5 -1.261E+03 1.261E+03 0.000E+00 -1.261E+03 1.783E+03
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 24.438 -5.960E-08 5.960E-08 -1.654E-24 -1.192E-07 -1.783E+03
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
741 1 -73.2 -1.711E+03 1.126E+03 0.000E+00 -9.457E+02 1.412E+03
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 24.438 -7.451E-08 5.960E-08 6.386E-09 -8.941E-08 -1.997E+03
69
Tabela - V. 31. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 2111 4.7500E+01 6.1000E+01 -7.9472E+07 -5.0192E+08 2112 5.0000E+01 6.1000E+01 -7.9472E+07 -4.6120E+08 2113 5.2500E+01 6.1000E+01 -7.9472E+07 -4.2048E+08
Tabela - V. 32. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2020 1 -14.4 4.571E+03 5.516E+02 0.000E+00 -1.103E+03 4.854E+03
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
48.750 60.438 1.602E-07 -2.980E-08 -5.588E-08 -1.043E-07 2.687E+02
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
2021 1 -1.3 3.107E+03 -3.985E+03 0.000E+00 -1.576E+02 3.111E+03
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
51.250 60.438 1.565E-07 -1.788E-07 9.579E-09 -1.490E-08 -3.989E+03
Deflexão da Linha Elastica
-1,4E+13
-1,2E+13
-1E+13
-8E+12
-6E+12
-4E+12
-2E+12
0
2E+12
4E+12
6E+12
0 10 20 30 40 50
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=10bh=10mh=10t
Figura - 5. 17. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 50.0.
70
5.3.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 2D
Observamos da análise gráfica da deflexão da linha elástica que esta é
inversamente proporcional a altura da viga, conforme mostra a Figura - 5. 18
Deslocamento da Linha Elástica no Eixo Central da Viga
-7.00E+00
-6.00E+00
-5.00E+00
-4.00E+00
-3.00E+00
-2.00E+00
-1.00E+00
0.00E+00
1.00E+00
0.00E+00 2.00E+05 4.00E+05 6.00E+05 8.00E+05 1.00E+06
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) (c
m)
h=10h=20h=30h=40h=50
Figura - 5. 18. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.
Deflexao máxima no centro da viga em termos do grau de esbeltez da viga
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
6.00E+00
7.00E+00
0 2 4 6 8 10 12alfa = l/h
w(x
) (cm
)
MEFTeórico
Figura - 5. 19. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.
71
5. 4 – Malha – 3-D
A imposição das condições sobre a malha 3 está ilustrada conforme mostra a
Figura - 5. 20
73
Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e load)
Figura - 5. 20. Malhas de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento pontual simétrico para as alturas de h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 e 50.0.
Os deslocamentos nos pontos dos nós após a solicitação de carga é mostrada
conforme mostra a Figura - 5. 21
74
Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/disp)
Figura - 5. 21. Carregemento pontual simétrico duplo em uma malha representando um viga biapoiada.
A intensidade dos deslocamentos na direção 1 esta representada pela escala de
cores conforme mostra a Figura - 5. 22. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando
nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.
76
Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1)
Figura - 5. 22. Deslocamento na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
A intensidade dos deslocamentos na direção 2 esta representada pela escala de
cores conforme mostra a Figura - 5. 23
78
Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,2)
Figura - 5. 23. Deslocamento na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
Observe as linhas isodeformação definidas pelas cores desde o branco até o
vermelho. Observe a intensidade máxima de deformação no centro da viga.
Utilizando-se o comando stre,1 do FEAP obteve-se as tensões na direção x1, onde
as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme
mostra a Figura - 5. 24
80
Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1)
Figura - 5. 24. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual
Observe a tensões de compressão na parte superior da viga e de tração na parte
inferior da viga. Novamente, utilizando-se agora o comando stre,2 do FEAP obteve-se a
tensão na direção x2, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até
o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 25. Observe o acúmulo de tensões na direção 2 na
parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga.
82
Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,2)
Figura - 5. 25. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual.
83
5.4.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 10.0
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 33. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 4.6667E+00 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 57 5.3333E+00 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 72 4.6667E+00 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 73 5.3333E+00 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.
Tabela - V. 34. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
84
Tabela - V. 35. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 4.6667E+00 4.2857E+01 1.0750E+01 -5.5020E+06 -6.5992E+06 -2.6744E+06 569 5.3333E+00 4.2857E+01 1.0750E+01 -5.5020E+06 -6.5856E+06 -3.1301E+06 584 4.6667E+00 5.7143E+01 1.0750E+01 -5.7932E+06 -6.5992E+06 -1.7936E+07 585 5.3333E+00 5.7143E+01 1.0750E+01 -5.7932E+06 -6.5856E+06 -1.8391E+07
Tabela - V. 36. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 -2.658E+02 -3.276E+03 0.000E+00 3.989E+02 -2.986E+02 -1.379E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 2.608E-08 -1.162E-07 3.864E-08 3.772E-08 -2.823E-08 -1.304E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 -2.427E+02 -3.306E+03 0.000E+00 4.213E+02 -2.685E+02 -1.478E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 2.724E-08 -1.176E-07 3.872E-08 3.983E-08 -2.539E-08 -1.397E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 5.941E+01 -3.217E+03 0.000E+00 8.096E+01 -5.205E+02 -3.940E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.725E-08 -1.176E-07 3.444E-08 7.654E-09 -4.921E-08 -3.725E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 1.001E+02 -3.167E+03 0.000E+00 9.851E+01 -5.504E+02 -1.970E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.818E-08 -1.162E-07 3.345E-08 9.313E-09 -5.204E-08 -1.863E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 -2.029E+02 -3.040E+03 0.000E+00 6.658E+02 1.362E+03 9.604E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 2.579E-08 -1.083E-07 3.538E-08 6.295E-08 1.288E-07 9.080E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 -2.185E+02 -3.087E+03 0.000E+00 6.735E+02 1.375E+03 1.059E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 2.573E-08 -1.099E-07 3.606E-08 6.368E-08 1.300E-07 1.001E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 1.296E+02 -2.983E+03 0.000E+00 3.681E+02 1.133E+03 -3.940E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.725E-08 -1.099E-07 3.113E-08 3.480E-08 1.071E-07 -3.725E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 1.501E+02 -2.936E+03 0.000E+00 3.668E+02 1.117E+03 -2.955E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.749E-08 -1.084E-07 3.039E-08 3.468E-08 1.056E-07 -2.794E-09
Tabela - V. 37. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 4.6667E+00 4.2857E+01 2.5000E+01 4.2375E+06 8.6239E+06 -3.3506E+08 953 5.3333E+00 4.2857E+01 2.5000E+01 4.2375E+06 8.6375E+06 -3.3552E+08 968 4.6667E+00 5.7143E+01 2.5000E+01 3.9463E+06 8.6239E+06 -3.5033E+08 969 5.3333E+00 5.7143E+01 2.5000E+01 3.9463E+06 8.6375E+06 -3.5078E+08
85
Tabela - V. 38. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 3.373E+03 2.584E+04 0.000E+00 3.891E+02 -7.052E+03 3.152E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -1.593E-07 9.029E-07 -3.187E-07 3.679E-08 -6.667E-07 2.980E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 3.369E+03 2.581E+04 0.000E+00 3.437E+02 -7.051E+03 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -1.590E-07 9.017E-07 -3.183E-07 3.249E-08 -6.666E-07 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 -1.573E+02 2.475E+04 0.000E+00 3.863E+01 1.959E+04 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -2.757E-07 9.015E-07 -2.682E-07 3.653E-09 1.852E-06 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 -1.168E+02 2.480E+04 0.000E+00 9.851E+01 1.979E+04 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -2.747E-07 9.029E-07 -2.692E-07 9.313E-09 1.871E-06 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 -2.048E+02 1.665E+03 0.000E+00 5.602E+01 -1.024E+04 -4.728E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -2.561E-08 6.278E-08 -1.593E-08 5.297E-09 -9.685E-07 -4.470E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 -2.064E+02 1.649E+03 0.000E+00 2.309E+01 -1.020E+04 -8.668E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -2.549E-08 6.222E-08 -1.574E-08 2.183E-09 -9.646E-07 -8.196E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 -1.111E+03 1.376E+03 0.000E+00 -1.295E+02 1.649E+04 3.152E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -5.541E-08 6.217E-08 -2.897E-09 -1.225E-08 1.559E-06 2.980E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 -1.105E+03 1.395E+03 0.000E+00 -1.090E+02 1.648E+04 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -5.541E-08 6.278E-08 -3.156E-09 -1.030E-08 1.558E-06 5.960E-08
86
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m
h=10b+h=10b-
Figura - 5. 26. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=10b+h=10b-
Figura - 5. 27. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.
87
Deflexão da Linha Elastica
-6,00E+11
-5,00E+11
-4,00E+11
-3,00E+11
-2,00E+11
-1,00E+11
0,00E+00
1,00E+11
0 5 10 15 20
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m
h=10m+h=10m-h=10t+h=10t-
Figura - 5. 28. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.
88
5.4.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 20.0
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 39. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 9.3333E+00 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 57 1.0667E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 72 9.3333E+00 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 73 1.0667E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Erro! Fonte de referência não encontrada., Erro! Fonte de
referência não encontrada. e Erro! Fonte de referência não encontrada..
Tabela - V. 40. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 9.615 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 10.385 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 10.385 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 9.615 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 9.615 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 10.385 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 10.385 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 9.615 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
89
Tabela - V. 41. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 9.3333E+00 4.2857E+01 1.0750E+01 6.8809E+06 8.7690E+06 -1.6110E+07 569 1.0667E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 6.8809E+06 8.7518E+06 -1.4429E+07 584 9.3333E+00 5.7143E+01 1.0750E+01 7.0649E+06 8.7690E+06 9.0029E+06 585 1.0667E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 7.0649E+06 8.7518E+06 1.0683E+07
Tabela - V. 42. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 -7.898E+01 -6.688E+02 0.000E+00 5.289E+02 2.284E+02 1.305E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 4.424E-09 -2.346E-08 8.157E-09 5.000E-08 2.160E-08 1.234E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 -5.924E+01 -6.456E+02 0.000E+00 5.455E+02 2.367E+02 1.551E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 4.889E-09 -2.283E-08 7.690E-09 5.157E-08 2.238E-08 1.467E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 8.852E+01 -6.013E+02 0.000E+00 5.952E+02 -1.336E+02 1.478E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 9.779E-09 -2.283E-08 5.594E-09 5.627E-08 -1.263E-08 1.397E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 6.878E+01 -6.245E+02 0.000E+00 5.855E+02 -1.305E+02 1.478E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 9.313E-09 -2.346E-08 6.062E-09 5.536E-08 -1.234E-08 1.397E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 -7.951E+01 -3.504E+02 0.000E+00 4.348E+02 5.147E+02 1.416E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 9.313E-10 -1.187E-08 4.690E-09 4.111E-08 4.866E-08 1.339E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 -6.275E+01 -3.266E+02 0.000E+00 4.476E+02 5.247E+02 2.216E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 1.281E-09 -1.119E-08 4.247E-09 4.232E-08 4.961E-08 2.095E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 2.526E+01 -3.000E+02 0.000E+00 5.105E+02 1.564E+02 7.388E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 4.191E-09 -1.118E-08 2.997E-09 4.827E-08 1.478E-08 6.985E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 1.091E+01 -3.265E+02 0.000E+00 5.028E+02 1.527E+02 5.664E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.958E-09 -1.199E-08 3.443E-09 4.754E-08 1.444E-08 5.355E-09
Tabela - V. 43. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 9.3333E+00 4.2857E+01 2.5000E+01 -1.1079E+07 -1.6281E+07 8.4149E+08 953 1.0667E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 -1.1079E+07 -1.6298E+07 8.4317E+08 968 9.3333E+00 5.7143E+01 2.5000E+01 -1.0895E+07 -1.6281E+07 8.6661E+08 969 1.0667E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 -1.0895E+07 -1.6298E+07 8.6829E+08
90
Tabela - V. 44. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 6.952E+02 1.062E+04 0.000E+00 - 1.917E+03 -6.840E+03 4.098E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -9.057E-08 3.786E-07 -1.234E-07 -1.813E-07 -6.467E-07 3.874E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 7.058E+02 1.074E+04 0.000E+00 -1.936E+03 -6.998E+03 3.940E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -9.150E-08 3.829E-07 -1.249E-07 -1.830E-07 -6.616E-07 3.725E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 2.068E+02 1.059E+04 0.000E+00 -1.454E+03 5.407E+03 2.522E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -1.080E-07 3.829E-07 -1.178E-07 -1.374E-07 5.112E-07 2.384E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 1.112E+02 1.044E+04 0.000E+00 -1.439E+03 5.255E+03 3.783E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -1.099E-07 3.786E-07 -1.152E-07 -1.361E-07 4.969E-07 3.576E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 8.267E+01 -1.833E+02 0.000E+00 -6.712E+02 -2.328E+03 -1.970E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 5.006E-09 -7.567E-09 1.098E-09 -6.346E-08 -2.201E-07 -1.863E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 9.991E+01 -1.685E+02 0.000E+00 -6.928E+02 -2.393E+03 -2.246E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 5.472E-09 -7.218E-09 7.484E-10 -6.550E-08 -2.263E-07 -2.123E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 -4.458E+02 -3.334E+02 0.000E+00 -6.541E+02 1.003E+04 -2.522E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -1.257E-08 -7.261E-09 8.500E-09 -6.185E-08 9.482E-07 -2.384E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 -4.486E+02 -3.427E+02 0.000E+00 -6.337E+02 9.974E+03 -2.049E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -1.257E-08 -7.567E-09 8.631E-09 -5.991E-08 9.430E-07 -1.937E-07
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m
h=20b+h=20b-
Figura - 5. 29. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 20.0.
91
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=20b+h=20b-
Figura - 5. 30. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 20.0.
Deflexão da Linha Elastica
-1,00E+120,00E+001,00E+122,00E+123,00E+124,00E+125,00E+126,00E+127,00E+128,00E+129,00E+121,00E+13
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m
h=20m+h=20m-h=20t+h=20t-
Figura - 5. 31. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 20.0.
92
5.4.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 30
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 45. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 1.4000E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 57 1.6000E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 72 1.4000E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 73 1.6000E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Erro! Fonte de referência não encontrada., Erro! Fonte de
referência não encontrada. e Erro! Fonte de referência não encontrada..
Tabela - V. 46. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 14.423 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 15.577 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 15.577 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 14.423 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 14.423 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 15.577 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 15.577 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 14.423 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
93
Tabela - V. 47. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 1.4000E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 -3.0530E+07 -6.6353E+07 1.9275E+09 569 1.6000E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 -3.0530E+07 -6.1677E+07 1.9200E+09 584 1.4000E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 -6.3932E+07 -6.6353E+07 2.0509E+09 585 1.6000E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 -6.3932E+07 -6.1677E+07 2.0435E+09
Tabela - V. 48. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 9.991E+01 -8.443E+00 0.000E+00 -4.531E+02 4.251E+03 1.891E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 3.725E-09 -1.397E-09 -9.978E-10 -4.284E-08 4.019E-07 1.788E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 1.270E+02 -3.518E+00 0.000E+00 -3.805E+02 4.722E+03 1.891E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 4.657E-09 -1.513E-09 -1.347E-09 -3.597E-08 4.465E-07 1.788E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 1.113E+03 2.955E+02 0.000E+00 -4.137E+02 1.665E+03 5.043E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.725E-08 -1.397E-09 -1.537E-08 -3.912E-08 1.574E-07 4.768E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 1.109E+03 2.814E+02 0.000E+00 -4.285E+02 1.084E+03 6.304E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.725E-08 -1.863E-09 -1.517E-08 -4.051E-08 1.024E-07 5.960E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 1.540E+03 3.106E+03 0.000E+00 -6.969E+02 8.668E+02 -9.457E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 2.212E-08 9.616E-08 -5.069E-08 -6.589E-08 8.196E-08 -8.941E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 1.508E+03 3.022E+03 0.000E+00 -7.837E+02 9.801E+02 -9.457E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 2.189E-08 9.342E-08 -4.942E-08 -7.410E-08 9.267E-08 -8.941E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 -2.788E+02 2.485E+03 0.000E+00 -1.002E+03 -2.123E+03 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -3.725E-08 9.342E-08 -2.407E-08 -9.470E-08 -2.007E-07 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 -1.404E+02 2.605E+03 0.000E+00 -9.223E+02 -2.167E+03 -1.576E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -3.353E-08 9.628E-08 -2.689E-08 -8.720E-08 -2.049E-07 -1.490E-07
Tabela - V. 49. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 1.4000E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 2.2712E+07 -1.8950E+08 2.0976E+09 953 1.6000E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 2.2712E+07 -1.8482E+08 2.0902E+09 968 1.4000E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 -1.0691E+07 -1.8950E+08 2.2211E+09 969 1.6000E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 -1.0691E+07 -1.8482E+08 2.2136E+09
94
Tabela - V. 50. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 3.751E+03 1.503E+04 0.000E+00 -1.348E+02 -1.246E+04 1.576E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -2.759E-08 5.057E-07 -2.049E-07 -1.275E-08 -1.178E-06 1.490E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 3.705E+03 1.489E+04 0.000E+00 -2.272E+02 -1.215E+04 2.837E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -2.771E-08 5.011E-07 -2.029E-07 -2.148E-08 -1.149E-06 2.682E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 4.087E+03 1.503E+04 0.000E+00 -4.641E+02 3.783E+03 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -1.537E-08 5.020E-07 -2.085E-07 -4.387E-08 3.576E-07 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 4.103E+03 1.509E+04 0.000E+00 -5.307E+02 3.783E+03 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -1.537E-08 5.038E-07 -2.093E-07 -5.018E-08 3.576E-07 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 -1.852E+02 -2.092E+02 0.000E+00 1.815E+02 -1.103E+03 -4.728E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -4.453E-09 -5.588E-09 4.303E-09 1.716E-08 -1.043E-07 -4.470E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 -1.886E+02 -1.590E+02 0.000E+00 1.398E+02 -1.076E+03 -3.940E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -5.122E-09 -3.725E-09 3.792E-09 1.322E-08 -1.017E-07 -3.725E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 -7.363E+02 -3.201E+02 0.000E+00 3.074E+02 1.493E+04 -3.152E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -2.328E-08 -3.609E-09 1.153E-08 2.906E-08 1.412E-06 -2.980E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 -7.585E+02 -3.940E+02 0.000E+00 1.864E+02 1.509E+04 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -2.328E-08 -6.054E-09 1.257E-08 1.762E-08 1.427E-06 -5.960E-08
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m
h=30b+h=30b-
Figura - 5. 32. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 30.0.
95
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=30b+h=30b-
Figura - 5. 33. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 30.0.
Deflexão da Linha Elastica
-1,00E+13
-5,00E+12
0,00E+00
5,00E+12
1,00E+13
1,50E+13
2,00E+13
2,50E+13
0 5 10 15 20
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m h=30m+h=30m-h=30t+h=30t-
Figura - 5. 34. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 30.0.
96
5.4.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 40.0
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 51. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 1.8667E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 57 2.1333E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 72 1.8667E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 73 2.1333E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Erro! Fonte de referência não encontrada., Tabela - V. 23 e
Erro! Fonte de referência não encontrada..
Tabela - V. 52. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 19.230 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 20.770 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 20.770 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 19.230 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 19.230 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 20.770 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 20.770 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 19.230 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
97
Tabela - V. 53. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 1.8667E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 -3.1608E+07 -1.1697E+08 -3.8592E+08 569 2.1333E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 -3.1608E+07 -1.1696E+08 -3.9352E+08 584 1.8667E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 -3.1712E+07 -1.1697E+08 -7.4305E+08 585 2.1333E+01 5.7143E+01 1.0750E+01 -3.1712E+07 -1.1696E+08 -7.5064E+08
Tabela - V. 54. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 2.266E+02 -4.186E+02 0.000E+00 -4.753E+02 -2.315E+02 1.576E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.281E-08 -1.770E-08 2.095E-09 -4.494E-08 -2.189E-08 1.490E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 2.181E+02 -4.468E+02 0.000E+00 -4.051E+02 -6.280E+02 3.152E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 1.281E-08 -1.863E-08 2.495E-09 -3.830E-08 -5.937E-08 2.980E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 7.880E+02 -2.758E+02 0.000E+00 -4.174E+02 1.625E+02 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.166E-08 -1.863E-08 -5.588E-09 -3.946E-08 1.537E-08 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 7.965E+02 -2.477E+02 0.000E+00 -3.866E+02 3.940E+01 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 3.166E-08 -1.770E-08 -5.987E-09 -3.655E-08 3.725E-09 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 1.703E+02 -5.636E+02 0.000E+00 8.989E+01 -5.910E+01 -3.349E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 1.234E-08 -2.235E-08 4.291E-09 8.498E-09 -5.588E-09 -3.166E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 3.588E+01 -9.369E+02 0.000E+00 8.619E+01 -2.093E+02 -3.743E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 1.153E-08 -3.446E-08 9.829E-09 8.149E-09 -1.979E-08 -3.539E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 4.345E+02 -8.141E+02 0.000E+00 -2.121E+02 2.807E+02 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 2.468E-08 -3.434E-08 4.141E-09 -2.005E-08 2.654E-08 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 5.073E+02 -5.713E+02 0.000E+00 -2.690E+02 7.880E+01 -2.364E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 2.468E-08 -2.631E-08 6.985E-10 -2.544E-08 7.451E-09 -2.235E-08
Tabela - V. 55. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 1.8667E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 8.9884E+06 2.3926E+08 -3.9618E+09 953 2.1333E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 8.9884E+06 2.3928E+08 -3.9694E+09 968 1.8667E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 8.8837E+06 2.3926E+08 -4.3189E+09 969 2.1333E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 8.8837E+06 2.3928E+08 -4.3265E+09
98
Tabela - V. 56. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 3.646E+03 5.858E+03 0.000E+00 1.960E+03 -4.452E+03 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 6.869E-08 1.732E-07 -1.037E-07 1.853E-07 -4.210E-07 -5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 3.729E+03 6.113E+03 0.000E+00 1.835E+03 -4.014E+03 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 6.892E-08 1.816E-07 -1.074E-07 1.735E-07 -3.795E-07 -5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 1.948E+03 5.553E+03 0.000E+00 2.269E+03 1.596E+03 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 1.024E-08 1.807E-07 -8.182E-08 2.145E-07 1.509E-07 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 1.880E+03 5.328E+03 0.000E+00 2.354E+03 1.024E+03 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 1.024E-08 1.732E-07 -7.863E-08 2.225E-07 9.686E-08 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 -1.223E+02 -1.007E+02 0.000E+00 4.174E+02 4.334E+02 -7.880E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -3.347E-09 -2.328E-09 2.432E-09 3.946E-08 4.098E-08 -7.451E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 -1.240E+02 -8.522E+01 0.000E+00 3.373E+02 7.585E+02 -4.728E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -3.580E-09 -1.746E-09 2.283E-09 3.189E-08 7.171E-08 -4.470E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 -8.306E+02 -3.036E+02 0.000E+00 3.423E+02 6.324E+03 1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -2.689E-08 -1.979E-09 1.237E-08 3.236E-08 5.979E-07 1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 -8.338E+02 -3.142E+02 0.000E+00 3.386E+02 6.068E+03 1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -2.689E-08 -2.328E-09 1.252E-08 3.201E-08 5.737E-07 1.192E-07
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m
h=40b+h=40b-
Figura - 5. 35. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 40.0.
99
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=40b+h=40b-
Figura - 5. 36. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 40.0.
Deflexão da Linha Elastica
-5,00E+13
-4,50E+13
-4,00E+13
-3,50E+13
-3,00E+13
-2,50E+13
-2,00E+13
-1,50E+13
-1,00E+13
-5,00E+12
0,00E+000 5 10 15 20
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m h=40m+h=40m-h=40t+h=40t-
Figura - 5. 37. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 40.0.
100
5.4.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 50.0
Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas
elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das
deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.
Tabela - V. 57. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 2.3333E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 57 2.6667E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 72 2.3333E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 73 2.6667E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e
superiores estão mostrados nas Erro! Fonte de referência não encontrada., Erro! Fonte de
referência não encontrada. e Erro! Fonte de referência não encontrada..
Tabela - V. 58. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 24.038 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 25.962 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 25.962 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 24.038 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 24.038 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 25.962 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 25.962 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 24.038 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
101
Tabela - V. 59. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 2.3333E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 8.9927E+06 1.4048E+07 -1.0312E+07 569 2.6667E+01 4.2857E+01 1.0750E+01 8.9927E+06 1.4883E+07 -1.3082E+07 684 3.6667E+01 2.8571E+01 1.5500E+01 1.6516E+07 7.4074E+06 -5.3995E+07 685 4.0000E+01 2.8571E+01 1.5500E+01 1.6516E+07 8.2419E+06 -5.6765E+07
Tabela - V. 60. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 -1.003E+02 -2.702E+02 0.000E+00 2.124E+01 1.816E+02 8.619E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -6.985E-10 -8.731E-09 4.041E-09 2.008E-09 1.717E-08 8.149E-10 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 25.962 -1.170E+02 -2.832E+02 0.000E+00 2.424E+01 1.850E+02 -2.216E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -1.164E-09 -9.022E-09 4.366E-09 2.292E-09 1.749E-08 -2.095E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 25.962 -5.391E+01 -2.651E+02 0.000E+00 2.340E+01 1.496E+02 -1.970E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 9.313E-10 -9.051E-09 3.480E-09 2.212E-09 1.414E-08 -1.863E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 -5.207E+01 -2.589E+02 0.000E+00 2.401E+01 1.453E+02 4.925E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 9.313E-10 -8.848E-09 3.393E-09 2.270E-09 1.374E-08 4.657E-10 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 4.283E+01 -1.880E+02 0.000E+00 1.770E+00 -3.509E+01 2.340E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 3.609E-09 -7.305E-09 1.584E-09 1.673E-10 -3.318E-09 2.212E-09 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 25.962 3.980E+01 -1.982E+02 0.000E+00 3.617E+00 -4.248E+01 -5.541E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 3.609E-09 -7.640E-09 1.728E-09 3.420E-10 -4.016E-09 -5.239E-10 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 25.962 7.687E+01 -1.866E+02 0.000E+00 3.694E+00 -8.311E+01 9.851E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 4.831E-09 -7.625E-09 1.197E-09 3.492E-10 -7.858E-09 9.313E-10 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 7.977E+01 -1.770E+02 0.000E+00 -6.234E+00 -7.142E+01 3.694E+01 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 4.831E-09 -7.305E-09 1.060E-09 -5.894E-10 -6.752E-09 3.492E-09
Tabela - V. 61. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0
Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 2.3333E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 2.0833E+07 -1.5889E+07 9.2865E+08 953 2.6667E+01 4.2857E+01 2.5000E+01 2.0833E+07 -1.5054E+07 9.2588E+08 968 2.3333E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 1.7257E+07 -1.5889E+07 9.5866E+08 969 2.6667E+01 5.7143E+01 2.5000E+01 1.7257E+07 -1.5054E+07 9.5589E+08
102
Tabela - V. 62. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0
Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 1.530E+03 4.301E+03 0.000E+00 -5.787E+01 -9.752E+02 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 8.731E-09 1.397E-07 -6.361E-08 -5.472E-09 -9.220E-08 5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 1.505E+03 4.258E+03 0.000E+00 -5.664E+01 -1.111E+03 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 8.265E-09 1.384E-07 -6.286E-08 -5.355E-09 -1.051E-07 5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 1.522E+03 4.263E+03 0.000E+00 -1.170E+02 3.395E+03 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 8.848E-09 1.384E-07 -6.311E-08 -1.106E-08 3.210E-07 5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 1.535E+03 4.305E+03 0.000E+00 -1.170E+02 3.475E+03 6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 8.848E-09 1.398E-07 -6.371E-08 -1.106E-08 3.285E-07 5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 -2.399E+02 -1.088E+02 0.000E+00 5.141E+01 -1.645E+03 -2.364E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -7.538E-09 -1.339E-09 3.804E-09 4.860E-09 -1.555E-07 -2.235E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 -2.430E+02 -1.297E+02 0.000E+00 5.287E+01 -1.702E+03 -1.379E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 45.876 -7.421E-09 -2.066E-09 4.066E-09 4.999E-09 -1.609E-07 -1.304E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 -2.298E+02 -1.258E+02 0.000E+00 1.901E+01 2.770E+03 -4.728E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -6.985E-09 -2.066E-09 3.879E-09 1.797E-09 2.619E-07 -4.470E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 -2.197E+02 -1.027E+02 0.000E+00 1.539E+01 2.879E+03 -5.516E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain
1 54.124 -6.869E-09 -1.339E-09 3.517E-09 1.455E-09 2.722E-07 -5.215E-08
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m
h=50b+h=50b-
Figura - 5. 38. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 50.0.
103
Deflexão da Linha Elastica
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 5 10 15 20Coordenada x (cm)
Def
lexã
o y(
x) c
m
h=50b+h=50b-
Figura - 5. 39. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 50.0.
Deflexão da Linha Elastica
-2,00E+12
0,00E+00
2,00E+12
4,00E+12
6,00E+12
8,00E+12
1,00E+13
1,20E+13
0 5 10 15 20
Coordenada x (cm)
Def
lexã
o z(
x) c
m
h=50m+h=50m-h=50t+50t-
Figura - 5. 40. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 50.0.
104
5.4.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 3D
Observamos da análise gráfica da deflexão da linha elástica que esta é
inversamente proporcional a altura da viga, conforme mostra a Figura - 5. 18
Deslocamento da Linha Elástica na Base da Viga
-3,00E+01
-2,50E+01
-2,00E+01
-1,50E+01
-1,00E+01
-5,00E+00
0,00E+00
5,00E+00
0,00E+00
2,00E+05
4,00E+05
6,00E+05
8,00E+05
1,00E+06
1,20E+06
Coordenada y (cm)
Def
lexã
o z(
y)
h=10h=20h=30h=40h=50
Figura - 5. 41. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.
Deflexao máxima no centro da viga em termos do grau de esbeltez da viga
-3,00E+01
-2,50E+01
-2,00E+01
-1,50E+01
-1,00E+01
-5,00E+00
0,00E+00
5,00E+00
0 2 4 6 8 10 12
alfa = l/h
w(x
) (cm
)
MEF1TeóricoMEF2
Figura - 5. 42. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.
105
Capítulo – VI
DISCUSSÃO ANÁLISE DOS RESULTADOS
RESUMO
Neste capítulo será feita uma discussão do problema da viga de concreto com
reforço. Será comparado o valor analítico da viga unidimensional com o resultado numérico
obtido pelo Método dos Elementos Finitos de vigas elásticas, bi-apoiada, com carregamento
duplo localizado simetricamente em relação ao meio ao seu centro para os casos 1-D, 2-D, 3-
D. Será feito uma análise da convergência e do erro relativo.
6. 1 – Introdução
Dependendo das condições de contorno temos diferentes problemas de viga em
engenharia. No problema que foi resolvido neste trabalho adotou-se uma viga bi-apoiada com
um carregamento localizado na parte superior na metade da viga. Esse problema possui
solução unidimensional que aparece nos livros textos de graduação em Engenharia. Contudo,
quando se resolve o problema da viga em duas e três dimensões (2-D e 3D) surgem efeitos
dimensionais nas demais direções. Isto porque o módulo de Poisson é a grandeza responsável
por transmitir as tensões e os deslocamentos que afetam as outras direções, que no caso
unidimensional (1-D) anteriormente não havia. Desta forma, os resultados dos cálculos
obtidos não são sempre os mesmos que no caso unidimensional. (1-D). Portanto, os resultados
da viga 1-D só encontraram-se melhor aproximação para os pontos contidos sobre a linha
neutra da viga 2-D.
106
6. 2 – Análise dos Deslocamentos e das Tensões Principais
6.2.1 - Comparação com o Resultado Analítico Unidimensional
Os resultados dos deslocamentos obtidos nas Malhas estão apresentados de forma
comparativa na Tabela - VI. 1 e Tabela - VI. 3 para um ponto na metade do comprimento na
parte inferior e superior da viga e a Tabela - VI. 2 para um ponto na metade do comprimento
na parte central da viga.
Tabela - VI. 1. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Inferior na Metade da Viga para h = 10.0
Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 50 4.9000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0
51 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0
1D
52 5.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0
50 4.9000E+01 0.0000E+00 -1.9377E-06 -6.0759E-04
51 5.0000E+01 0.0000E+00 1.4299E-19 -6.0787E-04
2D
52 5.1000E+01 0.0000E+00 1.9377E-06 -6.0759E-04
5.0000E+00 0.0000E+00
5.0000E+00 0.0000E+00
3D
5.0000E+00 0.0000E+00
Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00
Tabela - VI. 2. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Central na Metade da Viga para h = 10.0
Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 5.0000E+00 0.0000E+00
5.0000E+00 0.0000E+00
1D
5.0000E+00 0.0000E+00
1060 4.9000E+01 1.0000E+01 8.7628E-07 -6.0839E-04
1061 5.0000E+01 1.0000E+01 7.6602E-20 -6.0867E-04
2D
1062 5.1000E+01 1.0000E+01 -8.7628E-07 -6.0839E-04
5.0000E+00 0.0000E+00
5.0000E+00 0.0000E+00
3D
5.0000E+00 0.0000E+00
Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00
Tabela - VI. 3. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Superior na Metade da Viga para h = 10.0
107
Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 5.0000E+00 0.0000E+00
5.0000E+00 0.0000E+00
1D
5.0000E+00 0.0000E+00
2070 4.9000E+01 1.0000E+01 3.6904E-06 -6.0496E-04
2071 5.0000E+01 1.0000E+01 -2.0157E-20 -6.0525E-04
2D
2072 5.1000E+01 1.0000E+01 -3.6904E-06 -6.0496E-04
5.0000E+00 0.0000E+00
5.0000E+00 0.0000E+00
3D
5.0000E+00 0.0000E+00
Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00
Os resultados das tensões obtidas nas Malhas estão apresentados de forma
comparativa na Tabela - VI. 4 para um ponto na metade do comprimento na parte inferior da
viga e a Tabela - VI. 11 para um ponto na metade do comprimento na parte superior da viga.
Tabela - VI. 4. Tensão nas Malhas nos Ponto Inferior e Superior na Metade da Viga
No
Malha
Nó
Equivalente
Na Parte
Inferior
Tensão de
Tração
(Pa)
Nó
Equivalente
Na Parte
Central
Tensão
(Pa)
Nó
Equivalente
Na Parte
Superior
Tensão de
Compressão
(Pa)
Malha 1 6 1.257E+06 61 -1.143E+05 116 -1.322E+06
Malha 2 11 1.388E+06 116 -1.107E+05 221 -1.537E+06
Malha 3 21 1.438E+06 226 -9.759E+04 431 -1.728E+06
Malha 4 41 1.544E+06 851 -1.882E+04 1661 -2.232E+06
Maha 5 81 1.523E+06 1691 -1.558E+04 3301 -2.343E+06
Teórico - 1.7052E+06
- - - -1.7052E+06
108
6.2.2 - Análise do Erro em Relação ao Valor Analítico 1-D
Os cálculos do erro relativo cometido na análise das deformações estão mostrados
na Tabela - VI. 5 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a
Tabela - VI. 6 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga.
Tabela - VI. 5. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga
Parâmetro
Da Malha
2-Deslocamento (u)
Exato (m)
2-Deslocamento (u)
Calculada pelo FEAP (m)
Erro Relativo
0.10000 -5.1673E-04
-5.2847E-04
0.022719795638
0.05000 -5.1673E-04
-5.7265E-04
0.108218992511
0.02500 -5.1673E-04
-5.9391E-04
0.149362336230
0.01250 -5.1673E-04
-6.0976E-04
0.180035995588
0.00625 -5.1673E-04
-5.7071E-04
0.104464614015
Tabela - VI. 6. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga
Parâmetro
Da Malha
2-Deslocamento (u)
Exato (m)
2-Deslocamento (u)
Calculada pelo FEAP (m)
Erro Relativo
0.10000 -8.3916E-4 -7.8942E-04 0.059273559274
0.05000 -8.3916E-4 -8.3372E-04 0.006482673149
0.02500 -8.3916E-4 -8.5524E-04 0.019162019162
0.01250 -8.3916E-4 -8.7121E-04 0.038192954860
0.00625 -8.3916E-4 -8.3204E-04 0.008484675151
Tabela - VI. 7. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga
Parâmetro
da Malha
2-Deslocamento (u)
Exato (m)
2-Deslocamento (u)
Calculada pelo FEAP (m)
Erro Relativo
0.10000 -1.0334E-03
-1.0481E-03
0.014224888717
0.05000 -1.0334E-03
-1.0936E-03
0.058254306174
0.02500 -1.0334E-03
-1.1193E-03
0.083123669441
0.01250 -1.0334E-03
-1.1385E-03
0.101703115928
0.00625 -1.0334E-03
-1.0990E-03
0.063479775498
109
Os cálculos do erro relativo cometido na análise das tensões estão mostrados na
Tabela - VI. 8 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a Tabela -
VI. 10 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga.
Tabela - VI. 8. Análise do Erro na Tensão no Ponto Inferior na Metade da Viga
Parâmetro
da Malha
Tensão Exata
(Pa)
Tensão Calculada
pelo FEAP (Pa)
Erro Relativo
0.10000 1.7052E+06
1.257E+06
0.262843068262
0.05000 1.7052E+06
1.388E+06
0.186019235280
0.02500 1.7052E+06
1.438E+06
0.156697161623
0.01250 1.7052E+06
1.544E+06
0.094534365470
0.00625 1.7052E+06
1.523E+06
0.106849636406
Tabela - VI. 9. Análise do Erro na Tensão no Ponto Central na Metade da Viga
Parâmetro
da Malha
Tensão Exata
(Pa)
Tensão Calculada
pelo FEAP (Pa)
Erro Relativo
0.10000 - -1.143E+05 -
0.05000 - -1.107E+05 -
0.02500 - -9.759E+04 -
0.01250 - -1.882E+04 -
0.00625 - -1.558E+04 -
Tabela - VI. 10. Análise do Erro na Tensão no Ponto Superior na Metade da Viga
Parâmetro
da Malha
Tensão Exata
(Pa)
Tensão Calculada
pelo FEAP (Pa)
Erro Relativo
0.10000 -1.7052E+06
-1.322E+06
1.775275627492
0.05000 -1.7052E+06
-1.537E+06
1.901360544218
0.02500 -1.7052E+06
-1.728E+06
2.013370865588
0.01250 -1.7052E+06
-2.232E+06
2.308937368051
0.00625 -1.7052E+06
-2.343E+06
2.374032371569
110
A partir das tabelas (Tabela - VI. 5 e Tabela - VI. 6) mostradas anteriormente,
observa-se uma ligeira diferença nos deslocamentos quando se compara os resultados obtidos
em 2-D com o modelo teórico 1-D. Já nas tabelas (Tabela - VI. 8 e Tabela - VI. 10) o efeito
dimensional na tensão se agrava ainda mais porque, além dos efeitos dimensionais, a carga
concentrada em um nó e a reação dos apoios se acentua com o refinamento da malha.
Outro efeito da nova dimensão em problemas de elementos finitos em relação a
previsão teórica unidimensional (1-D) é que a linha neutra da viga não esta localizada no meio
da barra, encontrando-se diferentes valores de tensão e deslocamento para os pontos
simétricos em relação ao centro da viga. Isto por causa da posição super-localizada dos
apoios.
6.2.3 - Análise de Convergência das Malhas
O trabalho proposto foi inicialmente feito com o carregamento super-localizado
em todas as malhas. Contudo, essa superlocalização do carregamento estava impedindo a
converg6encia dos resultados das malhas. Para se resolver o problema de convergência da
malha 2-D para que esta se iguale ao resultado 1D foi necessário tomar a seguinte
providência:
1) Fazer uma suavização da distribuição da carga concentrada e dos pontos de aplicação
dos apoios para uma região vizinha do nó em questão conforme mostra a Figura - 6. 1.
Figura - 6. 1. Suavização da distribuição da carga concentrada e do ponto de aplicação dos apoios.
Uma outra providência poderia ser tomada caso a última malha não convergisse e
precisasse de mais um reinamento.
2) Produzir uma malha equivalente usando-se a propriedade de simetria do carragamento
conforme mostra a Figura - 6. 2.
111
Figura - 6. 2. Uso da simetria da malha.
Contudo, esta última providência não foi necessária.
A análise de convergência dos resultados foi feita pelo erro relativo cometido
entre as malhas segundo a equação (6. 1).
. 0,05malha malhaanterior posterior
malhaanterior
u u
Erro
u
−
= ≤ (6. 1)
A partir desta equação construiu-se a Tabela - VI. 11 para um ponto na metade do
comprmento na parte inferior da viga e a Tabela - VI. 13 para um ponto na metade do
comprmento na parte superior da viga
Tabela - VI. 11. Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga
Malha Parâmetro
da Malha
Nó
Equivalente
2-Deslocamento (u)
Calculada pelo FEAP (m)
Erro de
Convergência1
0.10000 6 -5.2847E-04 0.083599825913
2 0.05000 11 -5.7265E-04
0.037125643936 3
0.02500 21 -5.9391E-04 0.026687545251
4 0.01250 41 -6.0976E-04
0.064041590134 5
0.00625 81 -5.7071E-04 0.094583939304
∞
0.10000 - -5.1673E-04
0
112
Tabela - VI. 12. Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga
Malha Parâmetro
da Malha
Nó
Equivalente
2-Deslocamento (u)
Calculada pelo FEAP (m)
Erro de
Convergência1 0.10000 61 -7.8942E-04
0.056117149299 2 0.05000 116 -8.3372E-04
0.025812023221 3 0.02500 226 -8.5524E-04
0.018673120995 4 0.01250 851 -8.7121E-04
0.044960457295 5 0.00625 1691 -8.3204E-04
0.008557280900 ∞ 0.10000 - -8.3916E-4
0
Tabela - VI. 13. Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga
Malha Parâmetro
da Malha
Nó
Equivalente
2-Deslocamento (u)
Calculada pelo FEAP (m)
Erro de
Convergência1 0.10000 116 -1.0481E-03
0.043411888179 2 0.05000 221 -1.0936E-03
0.023500365764 3 0.02500 431 -1.1193E-03
0.017153578129 4 0.01250 1661 -1.1385E-03
0.034694773825 5 0.00625 3301 -1.0990E-03
0.059690627843 ∞
0.10000 - -1.0334E-03
0
A partir do dados das Tabela - VI. 11 e Tabela - VI. 13 construi-se o gráfico da
Figura - 6. 3.
Análise da Convergência das Malhas
0.0000000.0100000.0200000.0300000.0400000.0500000.0600000.0700000.0800000.0900000.100000
0.00000000E+0
0
2.00000000E-02
4.00000000E-02
6.00000000E-02
8.00000000E-02
1.00000000E-01
1.20000000E-01
Parametro da Malha
Con
verg
enci
a
Ponto InferiorPonto SuperiorPonto Central
Figura - 6. 3. Gráfico da Análise da Convergência das Malhas para os Deslocamentos no ponto Inferior e Superior na metade da Viga
113
Esta figura representa a ordem p de convergência das malhas que no caso para o
ponto inferior na metade da viga é dado por:
log log
log log
malha malhaanterior posterior
malha malhaanterior posterior
P P
p
erro erro
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(6. 2)
onde P é o parâmetro da malha. Logo, substiutindo os valores encontrados, temos as ordens
de convergência médias, p, das malhas para os três pontos da viga estudados:
i) Para o Ponto Inferior na Metade da Viga:
Tabela - VI. 14. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Inferior na Metade da Viga
log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p 0.301029995664 0.352531377937 0.853909792160 0.301029995664 0.143365366380 2.099740008797 0.301029995664 -0.380153478033 -0.791864373362 0.301029995664 -0.169355291097 -1.777505702444
ii) Para o Ponto Central na Metade da Viga:
Tabela - VI. 15. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Central na Metade da Viga
log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p 0.301029995664 0.337273554010 0.892539578288 0.301029995664 0.140605135845 2.140960170871 0.301029995664 -0.381613808520 -0.788834127442 0.301029995664 0.720494931508 0.417810011562
iii) Para o Ponto Superior na Metade da Viga:
Tabela - VI. 16. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Superior na Metade da Viga log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p
0.301029995664 0.266534053902 1.129424143959 0.301029995664 0.136719896828 2.201800927642 0.301029995664 -0.305909335732 -0.984049718337 0.301029995664 -0.235642086277 -1.277488246774
114
Observe que a ordem de convergência, p, das malhas está condicionada ao ponto
de estudo, e a certo grau de refinamento. Pois a partir de certo limite de refinemento os
valores começam a divergir do valor calculado analiticamente pelo modelo 1-D, conforme
mostra a Figura - 6. 3.
115
Capítulo – VII
CONCLUSÃO
7. 1 - Considerações Finais
O problema elástico de vigas é muito importante na engenharia. A sua solução
numérica demanda algum custo computacional em elementos finitos, quando se quer
empregar um grau de realismo maior do que aquele do modelo analítico 1-D. Pois
dependendo das condições de contorno, tais como: apoios, engastamentos, pontos de
aplicação das forças, etc. Estas condições influenciam grandemente na resposta final do
campo de tensões no problema. Observou-se que mesmo que o problema aparentemente seja
muito parecido o resultado final do campo de tensão depende muito da fixação dos apoios,
por exemplo. O modelo analítico 1-D que se encontra no livro texto difere muito do problema
2-D e 3-D, principalmente quando se tem uma viga parede, por exemplo. Embora exista a
correção de Timoshenko para este caso os efeitos das demais dimensões determina uma outra
situação no campo de tensão/deformação do corpo submetido a um carregamento. A única
forma de se comparar os resultados analíticos 1-D com os resultado numéricos 2-D e 3-D é
comparando-se com os resultados analíticos 1-D com aqueles fornecidos pelos modelos 2-D e
3-D, apenas na linha neutra e na superfície neutra respectivamente.
O Método dos Elementos Finitos 2-D e 3-D oferece uma simulação muito mais
realista do problema da viga do que aquele encontrado nos livros textos para 1-D.
Empregamos o código FEAP para resolver o problema da viga bi-apoioada em 2-D com
carregamento central e conclui-se que este código apresenta resultados muito próximos do
real.
116
Referências Bibliográficas 1 – Hughes, T. J. R., The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element
Analysis, Prentice-Hall, 1987.
2 – Cook, R. D., Malkus D. S. and Plesha M. E., Conceptions and Applications of Finite
Element Analysis, 3rd edition, Wiley, 1989.
3 –Bathe, K. J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, 1982.
4 – Johnson, C., Numerical Solutions of Partial Differential Equations by the Finite Element
Method, Cambridge University Press (texto muito matemático), 1987.
5 – Strang, G. and Fix, G. J., An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall (muito
matemático, uma referência extraordinária para a época), 1973.
6 – Zienkiewicz, O. C., and Taylor, R. L. The Finite Elements Method, 4th.Edition, vol.1 e
vol. 2, McGraw-Hill, 1989-91.
7 – Reddy, J. N. and Gartiling, D. K., The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid
Dynamics, CRC Press, 1994.
Endereços da Internet para consultas sobre o código FEAP
8 – http://euler.berkeley.edu/decf/help/feap/report.txt Version 2.33
9 – http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/readme.txt
10 – ncftp://ce.berkeley.edu/pub/pcfeap
11 – http://www.kagaku.co.jp/pcfeap.htm
117
Apêndices A. 1 – Elementos da Teoria Elástica Linear
2.2.2 – A Equação de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional
A equação do Momento Cortante, Q, que atua sobre a viga para a condição de
equilíbrio, é dado por:
( ) ( ) 0dQ x
q xdx
+ = (2. 145)
A relação entre o Momento Cortante, Q, e o Momento Fletor, M é dada por:
( ) ( )dM xQ x
dx= (2. 146)
A equação do Momento Fletor que atua sobre a viga é dado por:
( ) ( )2
2 0d M x
q xdx
+ = (2. 147)
Como o Momento Fletor é dado por ( )2
2d w x
M EIdx
= − . Logo,
( ) ( )4
4 0d w x q x
EIdx− = (2. 148)
118
2.2.3 - Problema Variacional de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional
Esta equação também pode ser obtida do calculo variacional da equação da
energia potencial total do sistema, dada por:
( ) ( ) ( )22
20
2
l
pd w xEII q x w x dx
dx
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ . (2. 149)
onde ( )22
22d w xEI
dx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
: é a Energia Potencial de Deformação; q(x)w(x): é a Energia Potencial da
carga Atuante; quando aplicada sobre o funcional (2. 149) a equação de Euler Lagrange, da
seguinte forma:
Seja F dado por:
( ) ( ) ( )22
2( , , '')2
d w xEIF F x w w q x w xdx
⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
(2. 150)
Pelo Principio da Energia Potencial mínima, a configuração de equilíbrio
corresponde à extremização do funcional.
Da equação de Euler-Lagrange:
0'''''' 2
2
3
3
=∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
wF
wF
dxd
wF
dxd
wF
dxd (2. 151)
como
0'
0'''3
3
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
wF
dxde
wF
dxd (2. 152)
Temos:
0''2
2
=∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
wF
wF
dxd (2. 153)
Logo
( ) '';'''' 2
2
2
2
EIwwF
dxEIwd
wF
dxd
=∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ (2. 154)
e
119
qwFe
dxwdEI
wF
dxd
−=∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
4
4
2
2
'' (2. 155)
Então substituindo em (2. 153) temos:
( ) ( )4
4d w x q x
EIdx= (2. 156)
A equação diferencial da linha elástica.
121
Malha – 1-D
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- 1D 202 200 1 2 2 2 param lx=100.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h1=1.0 t=1.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*h*t !Volume total da Viga (cm^3) m1=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto m2=2 !Material 2 - Aço d1=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) d2=7860 Y1=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) Y2=210.e9 !Módulo Elástico Material 2 (Pa) p1=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 p2=0.3 !Módulo de Poisson do Material 2 m=d1*lx*h*t + d2*lx*h*t !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g qd=0 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático no=(nx+1)*(I+1) !Numero total de Nós el= nx*I !Numero total de elementos nx=100 I1=2 no=(nx+1)*(I1+1) !Numero total de Nós el= nx*I1 !Numero total de elementos n1=1 e1=1 F=100.e3 f1=2*nx-nx/4+1 !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 no-3*nx/4 f2=2*nx-nx*3/4+1 ! Localizaçao da Força F2 no-nx/4 bloc cart, nx I1 n1 e1 m1 qd 1 0.0 0.0 2 lx 0.0 3 lx h1 4 0.0 h1 boun 1 0 1 1 nx+1 0 1 1 forc f1 0 0.0 -F f2 0 0.0 -F mate solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end
122
Malha – 2-D
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa 2132 2040 1 2 2 4 param lx=100.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h1=5 !Altura do Bloco 1 (cm) h2=1 !Altura do Bloco 2 (cm) h3=19.0 !Altura do Bloco 3 (cm) t=1.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*(h1+h3+h2)*t !Volume total da Viga (cm^3) m1=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto m2=2 !Material 2 - Aço d1=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) d2=7860 !Massa Especifica Material 2 (Kg/m^3) Y1=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) Y2=210.e9 !Módulo Elástico Material 2 (Pa) p1=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 p2=0.3 !Módulo de Poisson do Material 2 m=d1*lx*(h1+h3)*t + d2*lx*h2*t !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=0 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=40 !Numero de Elementos na Direção x ny=20 I1=10 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 1 I2=1 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 2 I3=40 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 3 no=(nx+1)*(I1+I2+I3+1) !Numero total de Nós el= nx*(I1+I2+I3) !Numero total de elementos n1=1 n2=(nx+1)*I1+1 !Primeiro Nó do Bloco 2 e1=1 e2=(nx*I1)+1 !Primeiro Elemento do Bloco 2 n3=n2+(nx+1)*I2 !Primeiro Nó do Bloco 3 e3=e2+(nx*I2) !Primeiro Elemento do Bloco 3 F=100.e3 f1=no-3*nx/4 !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 f2=no-nx/4 ! Localizaçao da Força F2 bloc1 cart nx I1 1 1 m1 qd 1 0. 0. 2 lx 0. 3 lx h1 4 0. h1 bloc2 cart nx I2 n2 e2 m2 qd 1 0. h1 2 lx h1 3 lx h1+h2 4 0. h1+h2 bloc3 cart nx I3 n3 e3 m1 qd 1 0. h1+h2 2 lx h1+h2 3 lx h1+h2+h3 4 0. h1+h2+h3 boun 1 0 1 1 nx+1 0 1 1 forc f1 0 0. -F f2 0 0. -F
123
mate 1 solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 mate 2 solid plane stress elastic isotropic Y2 p2 density data d2 mate 3 solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end
124
Malha – 3-D
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- 3D 1024 735 1 3 3 8 param lx=20.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) ly=100.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) h1=2 !Altura do Bloco 1 (cm) h2=1 !Altura do Bloco 2 (cm) h3=5.0 !Altura do Bloco 3 (cm) V=lx*(h1+h3+h2)*ly !Volume total da Viga (cm^3) m1=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto m2=2 !Material 2 - Aço d1=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) d2=7860 !Massa Especifica Material 2 (Kg/m^3) Y1=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) Y2=210.e9 !Módulo Elástico Material 2 (Pa) p1=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 p2=0.3 !Módulo de Poisson do Material 2 m=d1*lx*(h1+h3)*ly + d2*lx*h2*ly !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=10 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=15 !Numero de Elementos na Direção x ny=7 I1=2 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 1 I2=1 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 2 I3=4 !Numero de Elementos na Direção y para o Bloco 3 nz=7 no=(nx+1)*(ny+1)*(I1+I2+I3+1) !Numero total de Nós ns=(nx+1)*(ny+1)*(I1+I2+I3)+1 np=ns+1*(nx+1)*(ny+1)/4 nu=no-1*(nx+1)*(ny+1)/4+1 !nu=ns+3*(nx+1)*(ny+1)/4-nx el= nx*ny*(I1+I2+I3) !Numero total de elementos n1=1 n2=(nx+1)*(ny+1)*I1+1 !Primeiro Nó do Bloco 2 e1=1 e2=(nx*ny*I1)+1 !Primeiro Elemento do Bloco 2 n3= n2+(nx+1)*(ny+1)*I2 !Primeiro Nó do Bloco 3 e3= e2+(nx*ny*I2) !Primeiro Elemento do Bloco 3 F=100.e3 f1=np+nx !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 f2=nu+nx ! Localizaçao da Força F2 bloc1 cart,nx ny I1 n1 e1 m1 qd 1 0.0 0.0 0.0 2 lx 0.0 0.0 3 lx ly 0.0 4 0.0 ly 0.0 5 0.0 0.0 h1 6 lx 0.0 h1 7 lx ly h1 8 0.0 ly h1 bloc2 cart,nx ny I2 n2 e2 m2 qd 1 0.0 0.0 h1 2 lx 0.0 h1 3 lx ly h1 4 0.0 ly h1 5 0.0 0.0 h1+h2 6 lx 0.0 h1+h2 7 lx ly h1+h2 8 0.0 ly h1+h2 bloc3 cart,nx ny I3 n3 e3 m1 qd 1 0.0 0.0 h1+h2
125
2 lx 0.0 h1+h2 3 lx ly h1+h2 4 0.0 ly h1+h2 5 0.0 0.0 h1+h2+h3 6 lx 0.0 h1+h2+h3 7 lx ly h1+h2+h3 8 0.0 ly h1+h2+h3 boun 1 1 -1 -1 -1 nx+1 0 -1 -1 -1 (nx+1)*ny+1 1 -1 -1 -1 (nx+1)*(ny+1) 0 -1 -1 -1 forc np 1 0.0 0.0 -F f1 0 0.0 0.0 -F nu 1 0.0 0.0 -F f2 0 0.0 0.0 -F mate 1 solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 mate 2 solid plane stress elastic isotropic Y2 p2 density data d2 mate 3 solid plane stress elastic isotropic Y1 p1 density data d1 end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end
126
A. 3 – Arquivo de Saída da Viga Bi-Apoiada 1D, 2-D e 3D
Malha – 1-D
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa
Solution date: Thu Nov 1 14:19:38 2007
2.0 Revision a
07 April 2005
Input Data Filename: Ivigabi2db1
Number of Nodal Points - - - - - - : 121
Number of Elements - - - - - - - - : 100
Spatial Dimension of Mesh - - - - - : 2
Degrees-of-Freedom/Node (Maximum) - : 2
Number Element Nodes (Maximum) - : 4
Number of Material Sets - - - - - - : 1
Number Parameters/Set (Program) - : 200
Number Parameters/Set (Users ) - : 50
Material Set 1 for Element Type: solid
T w o D i m e n s i o n a l S o l i d E l e m e n t
M e c h a n i c a l P r o p e r t i e s
Plane Stress Analysis
Modulus E 2.75000E+10
Poisson ratio 0.30000
Thickness 1.00000E+00
Quadrature: Arrays 2
Quadrature: Output 1
T h e r m a l E x p a n s i o n s
Th. Alpha-1 1.00000E-05
Th. Alpha-2 1.00000E-05
Th. Alpha-3 1.00000E-05
127
T_0 2.50000E+01
Th. D.O.F. 0
Thickness 1.00000E+00
Density 2.32000E+03
1-Gravity Load 0.00000E+00
2-Gravity Load 0.00000E+00
3-Gravity Load 0.00000E+00
Formulation : Small deformation.
Element type: Displacement.
Mass type : Lumped.
*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00
t= 5.23 0.00
Residual norm = 4.3186086E+07 1.0000000E+00 t= 5.23 0.00
Condition check: D-max 0.1125E+12; D-min 0.2607E+10; Ratio 0.4314E+02
Maximum no. diagonal digits lost: 1
End Triangular Decomposition t= 5.25 0.00
Number of operations = 141258 plus 0 Mega-ops
Time: CPU = 5.25 , System = 0.00
--> SOLVE AT 7.06 Mflops. Time= 0.02
Energy convergence test
Maximum = 9.291625468449449E+04 Current = 9.291625468449449E+04
Relative = 1.000000000000000E+00 Tolerance = 1.000000000000000E-16
*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00
t= 8.90 0.00
Residual norm = 1.0546801E-06 2.4421757E-14 t= 8.90 0.00
Condition check: D-max 0.1125E+12; D-min 0.2607E+10; Ratio 0.4314E+02
Maximum no. diagonal digits lost: 1
End Triangular Decomposition t= 8.90 0.00
Energy convergence test
Maximum = 9.291625468449449E+04 Current = 5.055370297614026E-21
Relative = 5.440781394794690E-26 Tolerance = 1.000000000000000E-16
*Macro 1 * disp 116 v: 116. 0.00 0.00
t= 21.01 0.00
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa
N o d a l D i s p l a c e m e n t s Time 0.00000E+00
Prop. Ld. 1.00000E+00
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ
116 5.0000E+00 2.0000E+00 -2.9350E-19 -2.8562E-03
*Macro 1 * stre 1 v: 95.0 96.0 0.00
t= 34.75 0.00
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa
128
Element Stresses
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
95 1 -87.0 -3.312E+06 -2.857E+05 0.000E+00 -1.602E+05 -2.773E+05
4.500 1.900 -3.673E-04 -2.243E-04 -2.108E-04 -1.515E-05 -3.320E+06
96 1 87.0 -3.312E+06 -2.857E+05 0.000E+00 1.602E+05 -2.773E+05
5.500 1.900 -3.673E-04 -2.243E-04 -2.108E-04 1.515E-05 -3.320E+06
*Macro 1 * stre 2 v: 95.0 96.0 0.00
t= 48.67 0.00
*End of Macro Execution* t= 62.89 0.00
R e s t a r t O u t p u t D a t a
Time step number = 0
Time for restart = 0.00000E+00
Time increment = 0.00000E+00
Displacements output
Proportional load = 1.00000E+00
Arc-length load = 1.00000E+00
Force vector output
History data output
Saved Restart File: Rvigabi2db1
129
Malha – 2-D
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 1
Solution date: Thu Nov 1 15:03:43 2007
2.0 Revision a
07 April 2005
Input Data Filename: Ivigabi2db2
Number of Nodal Points - - - - - - : 231
Number of Elements - - - - - - - - : 200
Spatial Dimension of Mesh - - - - - : 2
Degrees-of-Freedom/Node (Maximum) - : 2
Number Element Nodes (Maximum) - : 4
Number of Material Sets - - - - - - : 1
Number Parameters/Set (Program) - : 200
Number Parameters/Set (Users ) - : 50
Material Set 1 for Element Type: solid
T w o D i m e n s i o n a l S o l i d E l e m e n t
M e c h a n i c a l P r o p e r t i e s
Plane Stress Analysis
Modulus E 2.75000E+10
Poisson ratio 0.30000
Thickness 1.00000E+00
Quadrature: Arrays 2
Quadrature: Output 1
T h e r m a l E x p a n s i o n s
Th. Alpha-1 1.00000E-05
Th. Alpha-2 1.00000E-05
Th. Alpha-3 1.00000E-05
T_0 2.50000E+01
Th. D.O.F. 0
130
Thickness 1.00000E+00
Density 2.32000E+03
1-Gravity Load 0.00000E+00
2-Gravity Load 0.00000E+00
3-Gravity Load 0.00000E+00
Formulation : Small deformation.
Element type: Displacement.
Mass type : Lumped.
*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00
t= 3.56 0.00
Residual norm = 3.1693618E+07 1.0000000E+00 t= 3.57 0.00
Condition check: D-max 0.6766E+11; D-min 0.2259E+10; Ratio 0.2995E+02
Maximum no. diagonal digits lost: 1
End Triangular Decomposition t= 3.57 0.00
Energy convergence test
Maximum = 9.381681875005360E+04 Current = 9.381681875005360E+04
Relative = 1.000000000000000E+00 Tolerance = 1.000000000000000E-16
*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00
t= 6.09 0.00
Residual norm = 9.3307374E-07 2.9440430E-14 t= 6.09 0.00
Condition check: D-max 0.6766E+11; D-min 0.2259E+10; Ratio 0.2995E+02
Maximum no. diagonal digits lost: 1
End Triangular Decomposition t= 6.10 0.00
Number of operations = 855258 plus 0 Mega-ops
Time: CPU = 6.10 , System = 0.00
--> SOLVE AT 85.53 Mflops. Time= 0.01
Energy convergence test
Maximum = 9.381681875005360E+04 Current = 4.831718873488268E-22
Relative = 5.150162772371247E-27 Tolerance = 1.000000000000000E-16
*Macro 1 * disp 221 v: 221. 0.00 0.00
t= 39.79 0.00
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 1
N o d a l D i s p l a c e m e n t s Time 0.00000E+00
Prop. Ld. 1.00000E+00
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ
221 5.0000E+00 2.0000E+00 5.6336E-19 -2.8312E-03
*Macro 1 * stre 1 v: 190. 191. 0.00
t= 70.71 0.00
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 1
Element Stresses
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
131
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
190 1 -84.5 -3.517E+06 -5.360E+05 0.000E+00 -2.883E+05 -5.084E+05
4.750 1.900 -3.720E-04 -2.311E-04 -2.058E-04 -2.726E-05 -3.545E+06
191 1 84.5 -3.517E+06 -5.360E+05 0.000E+00 2.883E+05 -5.084E+05
5.250 1.900 -3.720E-04 -2.311E-04 -2.058E-04 2.726E-05 -3.545E+06
*End of Macro Execution* t= 84.10 0.00
R e s t a r t O u t p u t D a t a
Time step number = 0
Time for restart = 0.00000E+00
Time increment = 0.00000E+00
Displacements output
Proportional load = 1.00000E+00
Arc-length load = 1.00000E+00
Force vector output
History data output
Saved Restart File: Rvigabi2db2
132
Malha – 3-D
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 2
Solution date: Thu Nov 1 15:48:14 2007
2.0 Revision a
07 April 2005
Input Data Filename: Ivigabi2db3
Number of Nodal Points - - - - - - : 451
Number of Elements - - - - - - - - : 400
Spatial Dimension of Mesh - - - - - : 2
Degrees-of-Freedom/Node (Maximum) - : 2
Number Element Nodes (Maximum) - : 4
Number of Material Sets - - - - - - : 1
Number Parameters/Set (Program) - : 200
Number Parameters/Set (Users ) - : 50
Material Set 1 for Element Type: solid
T w o D i m e n s i o n a l S o l i d E l e m e n t
M e c h a n i c a l P r o p e r t i e s
Plane Stress Analysis
Modulus E 2.75000E+10
Poisson ratio 0.30000
Thickness 1.00000E+00
Quadrature: Arrays 2
Quadrature: Output 1
T h e r m a l E x p a n s i o n s
Th. Alpha-1 1.00000E-05
Th. Alpha-2 1.00000E-05
Th. Alpha-3 1.00000E-05
T_0 2.50000E+01
Th. D.O.F. 0
133
Thickness 1.00000E+00
Density 2.32000E+03
1-Gravity Load 0.00000E+00
2-Gravity Load 0.00000E+00
3-Gravity Load 0.00000E+00
Formulation : Small deformation.
Element type: Displacement.
Mass type : Lumped.
*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00
t= 3.28 0.00
Residual norm = 2.3389734E+07 1.0000000E+00 t= 3.33 0.00
Condition check: D-max 0.4699E+11; D-min 0.2082E+10; Ratio 0.2258E+02
Maximum no. diagonal digits lost: 1
End Triangular Decomposition t= 3.33 0.00
Energy convergence test
Maximum = 9.426428245626685E+04 Current = 9.426428245626685E+04
Relative = 1.000000000000000E+00 Tolerance = 1.000000000000000E-16
*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00
t= 5.87 0.00
Residual norm = 9.6798774E-07 4.1385155E-14 t= 5.89 0.00
Condition check: D-max 0.4699E+11; D-min 0.2082E+10; Ratio 0.2258E+02
Maximum no. diagonal digits lost: 1
End Triangular Decomposition t= 5.89 0.00
Energy convergence test
Maximum = 9.426428245626685E+04 Current = 4.113106922632864E-23
Relative = 4.363377957649130E-28 Tolerance = 1.000000000000000E-16
*Macro 1 * disp 431 v: 431. 0.00 0.00
t= 28.17 0.00
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 2
N o d a l D i s p l a c e m e n t s Time 0.00000E+00
Prop. Ld. 1.00000E+00
Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ
431 5.0000E+00 2.0000E+00 1.1566E-18 -2.8000E-03
*Macro 1 * plot v: 0.00 0.00 0.00
t= 33.92 0.00
*Macro 1 * stre 1 v: 380. 381. 0.00
t= 137.50 0.00
feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 2
Element Stresses
Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress
1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress
134
380 1 -79.6 -3.628E+06 -9.549E+05 0.000E+00 -5.077E+05 -8.618E+05
4.875 1.900 -3.715E-04 -2.451E-04 -2.000E-04 -4.800E-05 -3.721E+06
381 1 79.6 -3.628E+06 -9.549E+05 0.000E+00 5.077E+05 -8.618E+05
5.125 1.900 -3.715E-04 -2.451E-04 -2.000E-04 4.800E-05 -3.721E+06
*End of Macro Execution* t= 147.37 0.00
R e s t a r t O u t p u t D a t a
Time step number = 0
Time for restart = 0.00000E+00
Time increment = 0.00000E+00
Displacements output
Proportional load = 1.00000E+00
Arc-length load = 1.00000E+00
Force vector output
History data output
Saved Restart File: Rvigabi2db3