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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II

Notas de Aula

VIGAS DE EDIFÍCIOS

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP Abril/2006

APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

1309 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da

Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru/SP.

O texto apresenta algumas das prescrições contidas na nova NBR 6118/03 (“Projeto de

estruturas de concreto – Procedimento”) para o projeto de vigas de concreto armado. Para facilitar

o entendimento por parte do aluno está incluído um exemplo completo do cálculo,

dimensionamento e detalhamento de uma viga contínua, com dois tramos e três apoios.

A apostila é uma continuidade da apostila estudada anteriormente (“Ancoragem e Emenda

de Armaduras”), a qual deverá ser consultada para o acompanhamento do cálculo da viga.

Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser

melhorada.

Agradecimento especial ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção de vários

desenhos.

SUMÁRIO

Pág. 1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1 2. DEFINIÇÕES DE ESTADOS LIMITES ............................................................... 1 2.1 Estado Limite Último (ELU) ........................................................................... 1

2.2 Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F) ..................................... 1 2.3 Estado Limite de Abertura das Fissuras (ELS-W) .................................... 1 2.4 Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF) ........................... 1 2.5 Estado Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE) .................................. 1

3. ANÁLISE ESTRUTURAL .................................................................................... 2 3.1 Análise Linear ................................................................................................. 2

3.2 Análise Linear com Redistribuição ........................................................... 2 3.3 Análise Plástica ......................................................................................... 3 3.4 Análise Não-Linear ................................................................................... 3 3.5 Análise por Meio de Elementos Físicos .................................................... 3

4. DEFINIÇÃO DE VIGA .......................................................................................... 4 5. VÃO EFETIVO ...................................................................................................... 4 6. ALTURA E LARGURA DAS VIGAS .................................................................. 6 7. INSTABILIDADE LATERAL DE VIGAS ........................................................... 6 8. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS CONTÍNUAS DE ESTRUTURAS

USUAIS DE EDIFÍCIOS ....................................................................................... 6

9. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES ........ 10 10. LIMITES PARA REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS FLETORES E

CONDIÇÕES DE DUCTILIDADE .....................................................................

10 11. ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS .......................... 12

11.1 Armadura Mínima de Tração ..................................................................... 12 11.2 Armadura de Pele ....................................................................................... 12 11.3 Armadura Longitudinal Máxima ................................................................ 12 11.4 Armadura de Suspensão ............................................................................. 12

11.5 Armaduras de Ligação Mesa-Alma ............................................................ 15 12. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA .... 17

12.1 Vãos Efetivos ............................................................................................. 17 12.2 Estimativa da Altura da Viga ............................................................... 17 12.3 Instabilidade Lateral da Viga ............................................................... 19 12.4 Cargas na Laje e na Viga ..................................................................... 19 12.5 Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1 ................................. 19

12.6 Rigidez da Mola ........................................................................................... 20 12.7 Esforços Solicitantes .................................................................................... 21 12.8 Dimensionamento das Armaduras ............................................................... 23 12.8.1 Armadura Mínima ............................................................................. 23 12.8.2 Armadura de Pele .............................................................................. 24 12.8.3 Armadura Longitudinal de Flexão .................................................... 24 12.8.3.1 Momento Fletor Negativo ................................................... 24 12.8.3.2 Momento Fletor Positivo ..................................................... 25 12.8.4 Armadura Longitudinal Máxima ....................................................... 25

12.9 Armadura Transversal ao Esforço Cortante ................................................ 25 12.9.1 Pilar Interno P2 ................................................................................. 26 12.9.2 Pilares Extremos P1 e P3 .................................................................. 27 12.9.3 Detalhamento da Armadura Transversal ........................................... 27 12.10 Ancoragem das Armaduras Longitudinais ................................................ 28 12.10.1 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3 ........................... 28 12.10.2 Armadura Positiva no Pilar Interno P2 ........................................... 30 12.10.3 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3 ......................... 30 12.11 Detalhamento da Armadura Longitudinal ................................................. 31 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 34 ANEXO I ................................................................................................................... 35 ANEXO II .................................................................................................................. 36

UNESP - Bauru/SP – 1309 - Estruturas de Concreto II – Vigas de Edifícios

1

VIGAS DE EDIFÍCIOS 1. INTRODUÇÃO O texto seguinte apresenta vários itens da NBR 6118/03 relativos às vigas contínuas de edifícios. O tema faz parte do programa da disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. A norma NBR 6118, editada em março de 2003 pela ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT, sob o título: PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO – PROCEDIMENTO, tem 221 páginas. Esta norma substituiu as normas precedentes, NB 1/78 e NBR 6118/80.

A norma tem como objetivo fixar os requisitos básicos exigíveis para o projeto de estruturas de concreto simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve, pesado ou outros especiais. Aplica-se às estruturas de concretos normais, com massa específica seca maior que 2.000 kg/m3 e menor que 2.800 kg/m3, do grupo I da NBR 8953/92 de resistência para o concreto à compressão (C10 a C50). Excluem-se da norma os concretos massa e sem finos. 2. DEFINIÇÕES DE ESTADOS LIMITES Uma estrutura de concreto armado bem projetada deve apresentar uma conveniente margem de segurança contra a ruptura provocada pelas solicitações, deformações menores que as máximas permitidas e durabilidade (não apresentar corrosão, fissuração excessiva, etc.), durante toda sua vida útil. Em resumo, o bom projeto estrutural deve garantir a estabilidade, o conforto e a durabilidade da estrutura. Portanto, uma estrutura não preenche mais os requisitos de utilização quando atinge o chamado “estado limite”. A NBR 6118/80 definia os estados limites “último” e de “utilização”. A NBR 6118/03 redefiniu o estado de utilização como de serviço (ELS), classificando-o de acordo com o tipo de ocorrência na estrutura. Os estados limites de interesse às estruturas de Concreto Armado, conforme o item 3.2 da norma, são apresentados a seguir. 2.1 Estado Limite Último (ELU): Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. 2.2 Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F): Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual à resistência à tração na flexão, determinada de acordo com a NBR 12142/91 (fct,f). 2.3 Estado Limite de Abertura das Fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados no item 13.4.2. 2.4 Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF): Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal, dados no item 13.4.2. 2.5 Estado Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE): Estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção.


2

3. ANÁLISE ESTRUTURAL No item 14 a NBR 6118/03 apresenta uma série de informações relativas à Análise Estrutural, como princípios gerais, hipóteses, tipos, etc., de elementos lineares e de superfície, além de vigas-parede, pilares-parede e blocos. Segundo a norma “o objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura.” “A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar de maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da estrutura e que permita também representar a resposta não linear dos materiais. As condições de equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas. Análises locais complementares devem ser efetuadas nos casos em que a hipótese da seção plana não se aplica. As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas com base na geometria indeformada da estrutura (teoria de 1a ordem), exceto nos casos em que os deslocamentos alterem de maneira significativa os esforços internos (teoria de 2a ordem).”

Teoria ou Análise de Primeira Ordem: o equilíbrio da seção é estudado na configuração geométrica inicial (item 15.2).

Teoria ou Análise de Segunda Ordem: o equilíbrio da seção é estudado considerando a

configuração deformada (item 15.2).

“As estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais básicos, classificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutural. No item 14.5 a NBR 6118/03 apresenta cinco tipos de análise estrutural, os quais se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, observadas as limitações correspondentes. Todos os modelos admitem que os deslocamentos da estrutura são pequenos. 3.1 Análise Linear Admite-se comportamento elástico-linear (vale a lei de Hooke – existe proporcionalidade entre tensão e deformação e ausência de deformações residuais num ciclo carregamento-descarregamento) para os materiais. Na análise global (análise do conjunto da estrutura) as características geométricas podem ser determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos estruturais. Em análises locais (análise de um elemento estrutural isolado) para cálculo dos deslocamentos, na eventualidade da fissuração, esta deve ser considerada. O valor para o módulo de elasticidade deve, em princípio, ser considerado o secante (Ecs), definido no item 8.2.8 da NBR 6118/03. Os resultados de uma análise linear são usualmente empregados para a verificação de estados limites de serviço. É possível estender os resultados para verificações de estado limite último, mesmo com tensões elevadas, desde que se garanta a ductilidade dos elementos estruturais. 3.2 Análise Linear com Redistribuição Na análise linear com redistribuição, os efeitos das ações, determinados em uma análise linear, são redistribuídos na estrutura, para as combinações de carregamento do estado limite último (ELU). Nesse caso, as condições de equilíbrio e de ductilidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas. Todos os esforços internos devem ser recalculados de modo a garantir o equilíbrio de cada um dos elementos estruturais e da estrutura como um todo. Os efeitos de redistribuição devem


3

ser considerados em todos os aspectos do projeto estrutural, inclusive as condições de ancoragem e corte de armaduras e os esforços a ancorar. Cuidados especiais devem ser tomados com relação a carregamentos de grande variabilidade. As verificações de combinações de carregamento de estado limite de serviço (ELS) ou de fadiga podem ser baseadas na análise linear sem redistribuição. De uma maneira geral é desejável que não haja redistribuição de esforços em serviço. 3.3 Análise Plástica A análise estrutural é denominada plástica quando as não linearidades puderem ser consideradas, admitindo-se materiais de comportamento rígido-plástico perfeito (Figura 1) ou elasto-plástico perfeito (Figura 2).

yσ

ε

σ

yσy

σ

ε y ε

Figura 1 – Material rígido-plástico perfeito. Figura 2 – Material elasto-plástico perfeito. A análise plástica de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando: a) se consideram os efeitos de segunda ordem global; b) não houver suficiente ductilidade para que as configurações adotadas sejam atingidas. No caso de carregamento cíclico com possibilidade de fadiga deve-se evitar o cálculo plástico. 3.4 Análise Não-Linear Na análise não-linear considera-se o comportamento não-linear dos materiais. Toda a geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser conhecidas para que a análise não-linear possa ser efetuada, pois a resposta da estrutura depende de como ela foi armada. Condições de equilíbrio, de compatibilidade e de ductilidade devem ser necessariamente satisfeitas. Análises não-lineares podem ser adotadas tanto para verificações de estados limites últimos como para verificações de estados limites de serviço. 3.5 Análise por Meio de Elementos Físicos Na análise de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partir de ensaios realizados com modelos físicos de concreto, considerando os critérios de semelhança mecânica. A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter a correta interpretação dos resultados. Neste caso, a interpretação dos resultados deve ser justificada por modelo teórico do equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados. Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar as margens de segurança prescritas nesta Norma. Caso contrário, quando só for possível avaliar o valor


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médio dos resultados, deve ser ampliada a margem de segurança referida nesta Norma, cobrindo a favor da segurança nas variabilidades avaliadas por outros meios. Obrigatoriamente devem ser obtidos resultados para todos os estados limites últimos e de serviço a serem empregados na análise da estrutura. Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida da estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios. Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estão fora do escopo desta Norma. 4. DEFINIÇÃO DE VIGA

São elementos lineares em que a flexão é preponderante (item 14.4.1.1). Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também denominada barras. 5. VÃO EFETIVO O vão efetivo (item 14.6.2.4), o qual substitui o chamado vão teórico da norma anterior (NBR 6118/80), pode ser calculado pela expressão: efl = 0l + a1 + a2 (Eq. 1)

com: a1 ⎩⎨⎧

≤h3,02/t1 e a2

⎩⎨⎧

≤h3,02/t2

As dimensões 0l , t1, t2 e h estão indicadas na Figura 3.

h

l0

t t1 2

Figura 3 – Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo das vigas.


5

6. ALTURA E LARGURA DAS VIGAS De modo geral, a preferência dos engenheiros e arquitetos é de que as vigas fiquem embutidas nas paredes de vedação, de tal forma que não possam ser percebidas visualmente. Para que isso ocorra, a largura das vigas deve ser escolhida em função da espessura final da parede, a qual depende basicamente das dimensões e da posição de assentamento das unidades de alvenaria (tijolo maciço, bloco furado, etc.). Deve também ser considerada a espessura da argamassa de revestimento (reboco), nos dois lados da parede. O revestimento de argamassa no interior do Estado de São Paulo tem usualmente a espessura de 1,5 cm a 2,0 cm. Existe no comércio uma infinidade de unidades de alvenaria, com as dimensões as mais variadas, tanto para os blocos de seis como para os de oito furos, como também para os tijolos maciços. Antes de se definir a largura da viga é necessário, portanto, definir o tipo e as dimensões da unidade de alvenaria, levando-se em consideração a posição em que a unidade será assentada. No caso de construções de pequeno porte, como casas, sobrados, barracões, etc., onde é usual se construir primeiramente as paredes de alvenaria, para em seguida serem construídos os pilares, as vigas e as lajes, é interessante escolher a largura das vigas igual à largura da parede sem os revestimentos, ou seja, igual à dimensão da unidade que resulta na largura da parede. A altura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais importantes o vão, o carregamento e a resistência do concreto. A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência mecânica e baixa deformabilidade (flecha). Considerando por exemplo o esquema de uma viga como mostrado na Figura 4, para concretos do tipo C20 e C25, uma indicação prática para a estimativa da altura das vigas de concreto armado é dividir o vão efetivo por doze, isto é:

12h e

12h 2,ef

21,ef

1ll

== (Eq. 2)

Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistência superior devem ser

considerados valores maiores que doze na Eq. 2.

h 1 h 2

ef, 1 ef, 2l l

Figura 4 – Valores práticos para estimativa da altura das vigas. A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10 cm. A altura mínima indicada é de 25 cm. Vigas contínuas devem ter a altura dos vãos obedecendo uma certa padronização, a fim de evitar várias alturas diferentes. 7. INSTABILIDADE LATERAL DE VIGAS A segurança à instabilidade lateral de vigas (item 15.10) deve ser garantida por meio de procedimentos apropriados. Como procedimento aproximado pode-se adotar, para vigas de concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à flambagem lateral, as seguintes condições: b ≥ 0l /50 (Eq. 3)


6

b ≥ βfl h (Eq. 4) onde: b = largura da zona comprimida; h = altura total da viga;

0l = comprimento do flange comprimido, medido entre suportes que garantam o contraventamento lateral;

βfl = coeficiente que depende da forma da viga, conforme mostrado na Tabela 1.

Tabela 1 – Valores de βfl .

Tipologia da viga Valores de βfl b b b

0,40

b b

0,20

Onde o hachurado indica zona comprimida. 8. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS CONTÍNUAS DE ESTRUTURAS

USUAIS DE EDIFÍCIOS No item 14.6.7 a NBR 6118/03 apresenta três aproximações permitidas no cálculo de vigas contínuas. Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais. a) não devem ser considerados momentos fletores positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos (Figura 5);

MA 1,cM BM MC MDM M

VÃO EXTREMO

1,iM 3,iM

2,iM

AM

>

MB MC MD

M1,cM1,i{ >{

2,iM2,cM >{

3,iM3,cM

VÃO INTERNO

3,c2,c

Figura 5 – Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas.


7

b) quando a viga for solidária com o pilar interno e a largura do apoio, medida na direção do eixo da viga (bint), for maior que a quarta parte da altura do pilar (le), não pode ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio (Figura 6);

b

l

int

ef efl

eflefl

Figura 6 – Condições de vinculação nos apoios internos de vigas contínuas.

c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas Equações 5, 6 e 7. Neste caso, consideram-se inicialmente os pilares extremos como apoios simples. Os apoios internos seguem a regra do item b definido anteriormente, e assim define-se o esquema estático ao longo de toda a viga. Todos os momentos fletores são calculados para a viga assim esquematizada (Figura 7). O momento fletor de ligação entre a viga e os pilares extremos é calculado fazendo-se o equilíbrio do momento fletor de engastamento perfeito no nó extremo (Figura 7), o que pode ser feito rapidamente aplicando-se a Eq. 5. Os momentos fletores que atuam nos lances inferior e superior do pilar extremo (Figura 8), são obtidos pelas Eq. 6 e 7.

+

-

+

-Mlig ligM

- -

+engM Meng

-

Figura 7 – Momento de engastamento perfeito e momento de ligação da viga no pilar extremo.

Se bint > le/4

Se bint ≤ le/4


8

12 M sup

M vigaM sup

12 Minf

M inf

TRAMO EXTREMO

PILAR DE EXTREMIDADE

NÍVEL i

NÍVEL (i + 1)

NÍVEL (i - 1)+ 12 Mi,inf(i -1),supM

+ 12 MM i,sup (i + 1),inf

(i + 1),supM + 12 Mi,inf

i,supM + 12 M(i + 1),inf

Figura 8 – Distribuição dos momentos fletores no pilar extremo.

Os momentos fletores são os seguintes:

- na viga: supinfvig

supinfenglig rrr

rrMM

++

+= (Eq. 5)

- no tramo superior do pilar: supinfvig

supengpsup, rrr

rMM

++= (Eq. 6)

- no tramo inferior do pilar: supinfvig

infengpinf, rrr

rMM++

= (Eq. 7)

com: rinf = rigidez do lance inferior do pilar; rsup = rigidez do lance superior do pilar; rvig = rigidez do vão extremo da viga;

Meng = momento de engastamento perfeito da viga no pilar extremo, considerando engastamento perfeito no pilar interno.

A rigidez é a relação entre o momento de inércia da seção transversal do elemento e o

comprimento do vão:

i

ii

Ir

l= (Eq. 8)

onde: ri = rigidez do elemento i no nó considerado.

A NBR 6118/03 (item 14.6.7.1) indica que para a distância li seja tomada a metade do comprimento de flambagem do lance do pilar, como indicado na Figura 9. A NB1/78 indicava o comprimento de flambagem total do lance do pilar.


9

supl_____

lvig

2

infl_____2

Figura 9 – Aproximação em apoios extremos.

O método de cálculo com aplicação das Equações 5, 6 e 7 é simples de ser executado e não requer computadores com programas. Segundo a NBR 6118/03, “Alternativamente, o modelo de viga contínua pode ser melhorado, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga, mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários.” No caso de se introduzir a rigidez à flexão dos pilares extremos, a viga fica vinculada ao apoio extremo por meio de um engastamento elástico (mola). Esta solução é mais consistente que a opção anterior, porém, o cálculo manual fica dificultado. A rigidez da mola é avaliada pela equação: Kmola = Kp,sup + Kp,inf (Eq. 9) onde: Kp,sup = rigidez do lance superior do pilar extremo;

Kp,inf = rigidez do lance inferior do pilar extremo; sendo:

sup,e

supsup,p

EI4K

l= e

inf,e

infinf,p

EI4Kl

= (Eq. 10)

com: E = módulo de elasticidade secante do concreto; I = momento de inércia do lance do pilar; le = comprimento de flambagem do lance inferior ou superior do pilar. O coeficiente quatro na Eq. 10 é para o caso de uma barra com vínculos de apoio simples e engaste perfeito nas extremidades. No caso de ambos os vínculos serem apoios simples, o coeficiente é três. Simplificadamente pode-se adotar apenas o coeficiente quatro, como adotado na Eq. 10 para cálculo da rigidez da mola relativa ao lance do pilar. Em pavimentos tipos de edifícios, devido à continuidade do pilar nos pavimentos tem-se: Kp,sup = Kp,inf

emola

EI8Kl

= (Eq. 11)


10

“A adequabilidade do modelo empregado deve ser verificada mediante análise cuidadosa dos resultados obtidos. Cuidados devem ser tomados para garantir o equilíbrio de momentos nos nós viga-pilar, especialmente nos modelos mais simples, como o de vigas contínuas.” 9. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES

“O diagrama de momentos fletores pode ser arredondado sobre os apoios e pontos de aplicação de forças consideradas como concentradas. Esse arredondamento pode ser feito de maneira aproximada”, conforme indicado na Figura 10.

∆M

∆M

∆M

1

1

∆M

∆M

2

2

l/2 l/2

R 1 R 2

= lR - R______2

4

∆M = l/41 R 1

= l/4∆M2 2R

∆M

∆M'

∆M'

l

R

= l/8R∆M'

1

Figura 10 - Arredondamento do diagrama de momentos fletores.

10. LIMITES PARA REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS FLETORES E

CONDIÇÕES DE DUCTILIDADE Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é importante garantir boas condições de ductilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão que garanta a posição adequada da linha neutra (x), respeitando-se os limites impostos pela NBR 6118/03. A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão. No item 14.6.4.3 a NBR 6118/03 define os limites para a redistribuição de momentos fletores e as condições de ductilidade de uma viga. Uma redistribuição comumente feita na prática é a diminuição dos momentos fletores negativos nos apoios intermediários das vigas contínuas. Isso possibilita uma aproximação nos valores desses momentos negativos com os momentos fletores positivos nos vãos, o que leva a seções transversais de menores dimensões e um projeto mais econômico.


11

A diminuição do momento fletor negativo altera a distribuição dos demais esforços solicitantes ao longo da viga, o que deve ser levado em consideração no dimensionamento da viga em toda a sua extensão. A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for a relação entre a posição da linha neutra e a altura útil da seção (x/d), tanto maior será essa capacidade. Para melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: a) x/d ≤ 0,50 para concreto com fck ≤ 35 MPa (C35); ou b) x/d ≤ 0,40 para concreto com fck > 35 MPa. (Eq. 12) Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões. Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de M para δM, em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição da linha neutra nessa seção x/d, para o momento reduzido δM, deve ser dada por: a) δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck ≤ 35 MPa (C35); ou b) δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa. (Eq. 13) O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: a) δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis; b) δ ≥ 0,75 em qualquer outro caso. (Eq. 14) Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos na NBR 6118/03, desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não-linear ou de análise plástica, com verificação explícita da capacidade de rotação de rótulas plásticas. A Figura 11 mostra a plastificação do momento fletor negativo da viga no apoio interno. A diminuição do momento fletor negativo no pilar interno é interessante, pois permite que se faça uma aproximação entre os momentos negativos e positivos. Na versão anterior da norma (NB1/78) era permitido plastificar, isto é, diminuir em até 15 % o momento fletor negativo nos apoios internos de vigas contínuas.

Plastificação do momento negativo

Acréscimo no momento positivoAcréscimo no momento positivo

Figura 11 – Plastificação do momento fletor negativo no apoio interno de vigas contínuas.


12

Quando o momento é de equilíbrio, como no caso de vigas em balanço por exemplo, a plastificação logicamente não é permitida. 11. ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS Nos itens 17.3.5 e 18 a NBR 6118/03 estabelece diversas prescrições relativas à armadura longitudinal mínima e máxima e armadura de pele. 11.1 Armadura Mínima de Tração

“A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 0,15 %.”

Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup (Eq. 15)

onde: W0 = módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais

tracionada; fctk,sup = resistência característica superior do concreto à tração:

fctk,sup = 1,3 fct,m com 3 2ckm,ct f3,0f = (MPa)

O dimensionamento para Md,mín deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas

mínimas de armadura da Tabela 2.

Tabela 2 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas.

Valores de ρmín (%) (As,mín/Ac) (1) Forma da seção fck

ωmín 20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 T

(mesa comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197

T (mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255

Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 (1) Os valores de ρmín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmín deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado. NOTA: Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

Em elementos estruturais superdimensionados pode ser utilizada armadura menor que a mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md. Neste caso, a determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e recalques de apoio. Deve-se ter ainda especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação de fissuração.


13

11.2 Armadura de Pele

“A mínima armadura lateral deve ser 0,10 % Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de alta aderência (η1 ≥ 2,25) com espaçamento não maior que 20 cm.

Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da armadura de pele.”

A armadura de pele, conforme mostrada na Figura 12, deve ser disposta de modo que o afastamento entre as barras não ultrapasse d/3 e 20 cm.

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

b

dh > 60 cm

w

Figura 12 – Disposição da armadura de pele. 11.3 Armadura Longitudinal Máxima

“A soma das armaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor maior que 4 % Ac , calculada na região fora da zona de emendas.” 11.4 Armadura de Suspensão A NBR 6118/03 prescreve que, “Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apóiem ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem nela penduradas, deve ser colocada armadura de suspensão.” Antes de se definir o que é armadura de suspensão é necessário definir o tipo de apoio, se direto ou indireto. No apoio direto, como mostrado na Figura 13, a carga da viga vai direto para o apoio, como no caso de um pilar, por exemplo. No apoio indireto, a carga vai da viga que é suportada para a parte inferior da viga que serve de suporte.


14

Figura 13 – Apoios diretos e indiretos (FUSCO, 2000).

Segundo FUSCO (2000), “nos apoios indiretos, o equilíbrio de esforços internos da viga suporte exige que no cruzamento das duas vigas haja uma armadura de suspensão, funcionando como um tirante interno, que levanta a força aplicada pela viga suportada ao banzo inferior da viga suporte, até o seu banzo superior.” A força F no tirante interno está indicada na Figura 14. A armadura de suspensão deverá ser dimensionada de modo a transmitir ao banzo superior a totalidade da reação de apoio da viga que é suportada.

Figura 14 – Esquema de treliça em apoios indiretos (FUSCO, 2000).

A Figura 15 mostra diversos esquemas possíveis de apoio de uma viga sobre outra viga. As trajetórias das fissuras verificadas nesses casos indicam a melhor disposição ou direção a ser dada à armadura.


15

Figura 15 – Trajetórias das fissuras em vários casos de apoios indiretos (FUSCO, 2000). Na Figura 16 estão mostrados os detalhes da armadura de suspensão para os apoios indiretos. A armadura deve ser posicionada na seção de cruzamento das duas vigas. Como isso normalmente é difícil de se executar na prática, uma parte da armadura pode ser colocada na região vizinha ao cruzamento, tão próxima quanto possível. Quando as duas vigas tiverem a face superior no mesmo nível, a armadura de suspensão pode ser dimensionada para a força Rtt , de valor:

2

1apoiott h

hRR = (Eq. 16)

com h1 ≤ h2 onde: h1 = altura da viga que apóia;

h2 = altura da viga suporte. 11.5 Armaduras de Ligação Mesa-Alma

“Os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e almas de vigas devem ser verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras necessárias para absorver as trações decorrentes desses efeitos.

As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro.” A Figura 17 mostra o posicionamento da armadura transversal.


16

Figura 16 – Detalhes da armadura de suspensão (FUSCO, 2000).

fb

≥ 1,5 cm /m2

Figura 17 – Armadura transversal à alma em seções transversais com mesa.


17

12. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA As Figuras 18 e 19 mostram a planta de fôrma e o corte esquemático da estrutura de concreto de uma construção com dois pavimentos. Pede-se projetar e detalhar as armaduras da viga VS1. São conhecidos: concreto C20, aço CA-50, γc = γf = 1,4, γs = 1,15, cnom = 2,0 cm, γrev = 19 kN/m3, γcontr = 21 kN/m3, γconc = 25 kN/m3. OBSERVAÇÕES:

a) há uma parede de vedação sobre a viga em toda a sua extensão, constituída por blocos cerâmicos de oito furos (com dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 23 cm e altura de 2,40 m;

b) a laje é do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m2;

c) ação variável (q) nas lajes de 2,0 kN/m2; d) piso cerâmico sobre a laje, com γpiso = 0,15 kN/m2.

RESOLUÇÃO A viga VS1 será calculada como uma viga contínua e como um elemento isolado da estrutura, apenas vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos. Como visto nos itens anteriores a NBR 6118/03 permite que a viga seja analisada e dimensionada desse modo.

Uma outra forma de análise poderia ser feita considerando-se a viga VS1 como sendo parte de um pórtico plano, como aquele mostrado na Figura 19. Neste caso, haveria uma completa interação com as demais vigas (VB1 e VC1) e com os pilares de apoio. Uma outra forma possível de cálculo seria considerar toda a estrutura como um pórtico tridimensional ou espacial, como pode ser feito por alguns programas comerciais de cálculo de estrutura. 12.1 Estimativa da Altura da Viga

Para a determinação dos vãos efetivos da viga é necessário conhecer a sua altura.

Considerando os vãos como aproximadamente 719 cm, a altura da viga para concreto C20 pode ser adotada pela Eq. 2 como:

9,5912719

12h ef ===

l cm ∴ h = 60 cm

A largura da viga foi adotada igual à dimensão do bloco assentado na posição deitada, ou seja, na dimensão de 19 cm. Portanto, a viga será calculada inicialmente com seção transversal de 19 x 60 cm. 12.2 Vãos Efetivos a) Laje

O vão efetivo da laje é de centro a centro dos apoios, portanto, igual a 523 cm. b) Viga

O vão efetivo nos tramos 1 e 2 da viga são iguais. De acordo com a Eq. 1 valem:

a1 ⎩⎨⎧

====

≤cm 186030h30

cm 592192t1

.,,,//

∴ a1 = 9,5 cm

a2 ⎩⎨⎧

====

≤cm 186030h30

cm 592192t 2

.,,,//

∴ a2 = 9,5 cm

lef = l0 + a1 + a2 = 700 + 9,5 + 9,5 = 719 cm


18

Quando as dimensões dos pilares na direção do eixo longitudinal da viga são pequenas, geralmente o vão efetivo é igual à distância entre os centros dos apoios, como ocorreu neste caso.

VS1 (19 x 60)

VS2 (19 x 70)

19/19P1

VS3 (19 x 60)

VS4

(19

x 4

5)

VS5

(19

x 4

5)

VS6

(19

x 4

5)

19/30P4

19/19P7

19/30P2 P3 19/19

P5 19/30

19/30P8

P6 19/30

P9 19/19719 719

523

523

Planta de Fôrma do Pavimento SuperiorEsc. 1:50

45

16

Figura 18 – Planta de fôrma do pavimento superior com a viga VS1.

300 255

VB1 (19 x 30)30

70019

300

tramo 2

60

VS1 (19 x 60)

tramo 1

19/19P1

240

60

19

19/30P2

VC1 (19 x 60)

19/19P3

700 19

Figura 19 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1.


19

12.3 Instabilidade Lateral da Viga Como a viga tem uma laje apoiada em toda a sua extensão, a estabilidade lateral está garantida. Somente a título de exemplo, caso não houvesse o travamento proporcionado pela laje, de acordo com as Eq. 3 e 4 os limites para a largura da viga seriam: b ≥ 0l /50 = 700/50 = 14 cm ⇒ para b = 19 cm a equação estaria satisfeita. b ≥ βfl h = 0,40 . 60 = 24 cm ⇒ para b = 19 cm a equação não estaria satisfeita. 12.4 Cargas na Laje e na Viga Como se pode observar na Figura 18, sobre a viga VS1 há a atuação da carga de uma laje pré-fabricada, com vão efetivo de 523 cm. Para a laje de piso do pavimento superior considerou-se a laje do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm, e peso próprio de 2,33 kN/m2. A carga total por m2 de área da laje é:

- peso próprio: gpp = 2,33 kN/m2 - revestimento inferior: grev = 19 . 0,015 = 0,29 kN/m2 - contrapiso: gcontr = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2 - piso: gpiso = 0,15 kN/m2 - ação variável: q = 2,00 kN/m2 CARGA TOTAL: p = 5,40 kN/m2

Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kN/m3, com espessura final de 23 cm e altura de 2,40 m), de uma laje pré-fabricada com carga total de 5,40 kN/m2 com vão efetivo de 5,23 m, e o peso próprio da viga (com seção transversal de 19 x 60 cm), o carregamento total atuante na VS1 é:

- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m - parede: gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m - laje: glaje = 5,40 . (5,23/2) = 14,12 kN/m CARGA TOTAL: p = 24,15 kN/m

12.5 Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1 O apoio interno da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, pois de acordo com o esquema mostrado na Figura 6, o pilar deve ser assim classificado, como demonstrado a seguir.

O comprimento de flambagem do lance inferior do pilar é: le = 255 + 60/2 + 30/2 = 300 cm A largura do pilar na direção do eixo longitudinal da viga (bint) é 19 cm, menor que um

quarto do comprimento de flambagem do pilar (le/4 = 300/4 = 75 cm), isto é, bint = 19 cm < 75 cm. Portanto, deve-se considerar o pilar interno P2 como apoio simples. A viga deveria ser considerada engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que le/4. De acordo com a norma, isso ocorreria se a dimensão do pilar na direção da viga (bint) fosse grande o suficiente para que a sua rigidez pudesse impedir a rotação da viga nas suas proximidades, ou seja, a viga seria considerada engastada no pilar P2. A norma considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os pilares extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, a viga será considerada vinculada aos


20

pilares extremos P1 e P3 por meio de molas, ou seja, considerando os pilares como engastes elásticos.

Os carregamentos totais calculados para os tramos 1 e 2 da viga são iguais (24,15 kN/m), e uniformemente distribuídos em toda a sua extensão (Figura 20).

p = 24,15 kN/m

719 cm 719

Figura 20 - Esquema estático e carregamento na viga.

12.6 Rigidez da Mola A rigidez da mola nos engastes elásticos é avaliada pela Eq. 9: Kmola = Kp,sup + Kp,inf Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais. Para a rigidez da mola foi adotado o comprimento de flambagem total do pilar, e não a metade como recomendado pela NBR 6118/03. Assim foi feito para diminuir o valor do momento fletor de ligação entre a viga e o pilar extremo, e consequentemente o valor do momento fletor no pilar. A rigidez K do pilar superior e inferior é:

Kp,sup = Kp,inf = e

EI4l

A rigidez da mola vale portanto: e

molaEI8K

l=

O módulo de elasticidade do concreto (módulo de deformação longitudinal) tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/03, item 8.2.8): ckci f600.5E = = 20600.5 = 25.044 MPa = 2504,4 kN/cm2 Supondo que a viga vai estar já microfissurada trabalhando em serviço, o módulo de elasticidade que deve ser considerado é o secante (Ecs), avaliado por: Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2504,4 = 2128,7 kN/cm2 O momento de inércia dos lances inferior e superior do pilar são iguais e valem:

Ip,sup = Ip,inf = 860.101219.19

12hb 33

== cm4

onde Ip é o momento de inércia em relação aos eixos baricêntricos de uma seção retangular cuja dimensão h é aquela que corresponde na seção ao lado perpendicular ao eixo de flexão do pilar. Ou, em outras palavras, o momento de inércia que interessa neste caso é aquele onde a dimensão elevada ao cubo é aquela coincidente ou na direção do eixo longitudinal da viga. Rigidez da mola:

e

molaEI8K

l= = 476.616

30010860.7,2128.8

= kN.cm


21

12.7 Esforços Solicitantes

Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado PPLAN4 (CORRÊA, 1992), que resolve pórticos planos e vigas, fornecendo os esforços solicitantes e os deslocamentos no nós. A Figura 21 mostra o esquema de numeração dos nós e barras para a viga em análise.

y24,15 kN/m

1 2 3 4 51 2 3 4 x359,5 359,5

719 cm 719

359,5 359,5

Figura 21 – Numeração dos nós e barras da viga.

O arquivo de dados de entrada tem o aspecto: OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II VIGA EXEMPLO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,5,1,0,0,1438,0, RES 1,1,1,2,0,0,616476, 5,1,1,2,0,0,616476, 3,1,1, BARG 1,4,1,1,1,2,1,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60, MATL 1,2128, FIMG CARR1 CBRG 1,4,1,1,-0.2415,1, FIMC FIME A Figura 22 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores característicos máximos) obtidos no programa PPLAN4. A listagem dos resultados calculados pelo programa encontra-se no Anexo II.

A flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,43 cm) é próxima à flecha máxima no vão e serve como indicativo da deslocabilidade vertical da viga. Um valor mais próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado na Figura 21.

Na Tabela 13.2 da NBR 6118/03 verifica-se que a flecha limite para “Aceitabilidade sensorial – visual”, como deslocamentos visíveis, é l/250, isto é, 719/250 = 2,9 cm. Num outro quesito preconizado pela norma, “Efeitos em elementos não estruturais”, compostos por paredes de


22

alvenaria, caixilhos e revestimentos por exemplo, a flecha limite é l/500 (719/500 = 1,4 cm) ou 10 mm.

Como a viga possui parede apoiada em toda a sua extensão convém considerar a flecha limite como 10 mm, o que é importante para evitar o surgimento de fissuras na parede por deformação excessiva da viga de apoio. A flecha aproximada de 0,43 cm é menor no caso que o valor limite de 10 mm. Quando o limite não é superior à flecha medida a solução mais comum é aumentar a altura da viga.

1375

68,0

180+

8189 8189

14918

- -

288105,7

105,7

(kN.cm)kM

1375

68,0

V (kN)k

~

288

30~

Figura 22 – Diagramas de esforços solicitantes característicos.

A plastificação ou diminuição dos momentos fletores negativos no apoio interno da viga, permitida pela NBR 6118/03, como mostrado no item 10 (Eq. 13 e 14) não será feita porque a diminuição possível seria muito pequena, em torno de 4 % apenas. Assim, será considerado o momento fletor negativo não plastificado, de 14.918 kN.cm determinado para a viga (Figura 22). No caso dos momentos fletores máximos positivos deve-se comparar o valor mostrado na Figura 22 com o máximo momento fletor positivo obtido considerando-se o vão engastado no apoio interno (pilar P2 - Figura 23).

719 cm

p = 24,15 kN/m

P1 P2

Figura 23 – Esquema estático para obtenção do momento positivo

considerando engate no apoio interno. O arquivo de dados de entrada tem o aspecto:


23

OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,3,1,0,0,719,0, RES 1,1,1,2,0,0,616476, 3,1,1,1, BARG 1,2,1,1,1,2,1,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60, MATL 1,2128, FIMG CARR1 CBRG 1,2,1,1,-0.2415,1, FIMC FIME

O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 23, conforme o arquivo de dados acima, resulta 8.189 kN.cm, igual ao momento máximo positivo obtido para a viga contínua mostrada na Figura 21. A listagem dos resultados obtidos pelo programa PPLAN4 encontra-se no Anexo II no final da apostila. 12.8 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal. Para a armadura longitudinal serão adotados diferentes valores para a altura útil d, em função do valor do momento fletor. 12.8.1 Armadura Mínima de Flexão A armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com a Eq. 15:

Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup

87,2203,0.3,1f3,0.3,1f3,1f 3 23 2ckm,ctsup,ctk ==== MPa

34200012

60.1912hbI

33=== cm3

1140030

342000yI W0 === cm3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)

Md,mín = 0,8 . 11400 . 0,287 = 2617 kN.cm Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo:

d

2w

c MdbK = = 0,22

261755.19 2

= ⇒ da Tabela de Kc e Ks no Anexo I tem-se Ks = 0,023.

dMKA d

ss = = 09,155

2617023,0 = cm2

Conforme a Tabela 2, para seção retangular e concreto C20, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto:


24

As,mín = 0,0015 . 19 . 60 = 1,71 cm2 > 1,09 cm2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm2) 12.8.2 Armadura de Pele

A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com alturas superiores a 50 cm, será colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % Ac (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga:

As,pele = 0,0005 . 19 . 60 = 0,57 cm2 4 φ 4,2 mm = 0,68 cm2 em cada face, distribuídos ao longo da altura (ver Figura 29).

12.8.3 Armadura Longitudinal de Flexão Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores máximos, positivos e negativos. 12.8.3.1 Momento Fletor Negativo a) Apoio interno (P2)

Mk = - 14.918 kN.cm Md = γf . Mk = 1,4 . (-14.918) = - 20.885 kN.cm

Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 55 cm:

d

2w

c MdbK = = 8,2

2088555.19 2

=

Da Tabela A1de Kc e Ks no Anexo I tem-se: βx = x/d = 0,44, Ks = 0,028 e domínio 3. Conforme descrito no item 10 (Eq. 12), deve-se ter

βx = x/d ≤ 0,50. Neste caso, com βx = x/d = 0,44, o limite está satisfeito, o que deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção.

8φ12,51φ10

eh

d

MKA dss = = 63,10

5520885028,0 = cm2

5 φ 16 mm + 1 φ 10 mm = 10,80 cm2 8 φ 12,5 mm + 1 φ 10 mm = 10,80 cm2 (escolha indicada para construções de pequeno porte).

A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25 mm, a fim de permitir a passagem da agulha de um vibrador com diâmetro de 25 mm. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5 mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta:

( )[ ] 033

25145002219eh ,,.,,=

++−= cm

distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador.


25

b) Apoios extremos (P1 e P3)

Mk = - 1.375 kN.cm Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.375) = - 1925 kN.cm

d

2w

c MdbK = = 1,32

192557.19 2

=

Da Tabela A1 de Kc e Ks no Anexo I tem-se: βx = x/d = 0,04, Ks = 0,023 e domínio 2.

d

MKA dss = = 78,0

571925023,0 = cm2 < As,mín

(As,mín = 1,60 cm2 → 2 φ 10 mm)

2φ10

12.8.3.2 Momento Fletor Positivo Mk = 8.189 kN.cm Md = γf . Mk = 1,4 . 8.189 = 11.465 kN.cm Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de espessura 4,0 cm, normalmente não se considera a contribuição da capa para formar a mesa da seção T, de modo que a viga é então calculada como seção retangular.

d

2w

c MdbK = = 4,5

1146557.19 2

=

Da Tabela A1 de Kc e Ks no Anexo I tem-se: βx = x/d = 0,21 < 0,50, Ks = 0,025 e domínio 2.

d

MKA dss = = 03,5

5711465025,0 = cm2

2 φ 16 + 2 φ 8 mm = 5,00 cm2 4 φ 12,5 = 5,00 cm2 (escolha indicada para construções de pequeno porte).

4φ12,5

12.8.4 Armadura Longitudinal Máxima

A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que 4 % Ac, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, a maior taxa de armadura longitudinal ocorre na região próxima ao pilar interno: As = 10,80 cm2 para o momento negativo e As = 5,00 cm2 para o momento positivo, com armadura total de 15,80 cm2. A armadura máxima permitida é:

As,máx = 0,04 . 19 . 60 = 45,60 cm2, que é, portanto, muito superior à área total de 15,80 cm2.

12.9 Armadura Transversal ao Esforço Cortante

A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas desenvolvidas e apresentadas na apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 2006). Por se tratar de seção retangular, será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38°. A redução da força cortante nos apoios, possível de ser feita como indicada na NBR 6118/03, não será adotada para maior simplicidade nos cálculos de dimensionamento.


26

12.9.1 Pilar Interno P2 Vk = 105,7 kN.cm VSd = γf . Vk = 1,4 . 105,7 = 148,0 kN a) Verificação das Diagonais de Compressão

Da Tabela 3 da apostila de Cortante em Viga (BASTOS, 2006), para o concreto C20, determina-se a força cortante última ou máxima:

VRd2 = θθ cos.sen.d.b71,0 w = 0,71 . 19 . 55 . sen 38 . cos 38 = 360,0 kN

→=<= kN0,360V0,148V 2RdSd não ocorrerá o esmagamento das diagonais de concreto.

b) Cálculo da Armadura Transversal

Da Tabela 3 da apostila de Cortante em Viga, para o concreto C20, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é:

VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.035,0 +θ

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

=

Com Vc0 :

3,6955.194,1.10

203,07,06,0dbf6,0V3 2

wctd0c =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== KN

5,503,690,3600,1480,3603,69V 1c =

−−

= kN

VSd,mín = 3,975,5038gcot55.19.035,0 =+ kN

→=>= kN3,97V0,148V mín,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd

Da equação para Asw na Tabela 3 da apostila de Cortante em Vigas (concreto C20):

Asw = ( )d

VVtg55,2 1cSd −θ = ( ) 53,3

555,500,14838tg55,2 =

− cm2/m

A armadura mínima é calculada pela equação:

wywk

ctmmín,sw b

ff20A = (cm2/m), com 21,2203,0f3,0f 3 23 2

ckctm === MPa

68,119.50

221,0.20A mín,sw == cm2/m

Como Asw = 3,53 cm2/m > Asw,mín = 1,68 cm2/m, ∴ deve-se dispor a armadura calculada.


27

12.9.2 Pilares Extremos P1 e P3 Vk = 68,0 kN.cm VSd = γf . Vk = 1,4 . 68,0 = 95,2 kN A favor da segurança, será mantido o mesmo valor para d (55 cm) do pilar interno. Portanto, tem-se os valores de VRd2 = 360,0 kN e Vc0 = 69,3 kN do item anterior. a) Verificação das Diagonais de Compressão

→=<= kN0,360V2,95V 2RdSd não ocorrerá o esmagamento das diagonais de concreto.

b) Cálculo da Armadura Transversal Da Tabela 3 (BASTOS, 2006), para o concreto C20, a equação para determinar a força

cortante correspondente à armadura mínima é: VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.035,0 +θ

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

= 1,633,690,3602,950,3603,69 =

−−

= kN

VSd,mín = =+ 1,6338gcot.55.19.035,0 109,9 kN

kN9,109V2,95V mín,SdSd =<= ⇒ portanto, deve-se dispor a armadura mínima (Asw,mín = 1,68 cm2/m).

12.9.3 Detalhamento da Armadura Transversal a) Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 190/10 ≤ 19 mm b) Espaçamento máximo:

0,67 VRd2 = 0,67 . 360,0 = 241,2 kN VSd,P2 = 148,0 < 241,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm VSd,P1,P3 = 95,2 < 241,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm ⇒ Portanto, s ≤ 30 cm

c) Espaçamento transversal entre os ramos do estribo: 0,20 VRd2 = 0,20 . 360,0 = 72,0 kN VSd,P2 = 148,0 > 72,0 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm VSd,P1,P3 = 95,2 > 72,0 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm 0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm ⇒ Portanto, s ≤ 33 cm

d) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos d1) Pilar P2 (Asw = 3,53 cm2) Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm = 0,20 cm2), tem-se:

0353,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0353,0s40,0

= ⇒ s = 11,3 cm ≤ 30 cm


28

d2) Pilares P1 e P3 (Asw = Asw,mín = 1,68 cm2) Para a armadura mínima de 1,68 cm2/m, considerando o mesmo estribo, tem-se:

0168,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0168,0s40,0

= ⇒ s = 23,8 cm ≤ 30 cm

A Figura 23 mostra a disposição dos estribos ao longo da viga.

N1 - 76 φ 5 mm C=152

56

15

154 154

148,0

431

Sd,mínV = 97,3

148 x = 283

N1-14 c/11 N1-14 c/11

N1-24 c/23 N1-24 c/23

SdV

Figura 23 – Detalhamento dos estribos verticais no comprimento total da viga.

12.10 ANCORAGEM DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 12.10.1 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3 A viga VS1 tem simetria de carregamento e geometria, de modo que a ancoragem nos pilares extremos P1 e P3 são exatamente iguais. Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o Modelo de Cálculo II: )gcotg(cotd5,0a α−θ=l = 0,5 . 57 (cotg 38 – cotg 90)

al = 36,5 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 57 = 28,5 cm

Conforme a Eq. 19 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2006), a armadura a ancorar no apoio é:

yd

Sdanc,s f

VdaA l= = ( ) 40,1

15,150

0,68.4,157

5,36= cm2

A armadura calculada para o apoio deve atender à armadura mínima, dada pela Eq. 20 da apostila de Ancoragem e Emendas:


29

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=

≤=≥

2MM e negativo M se A

41

2MM e negativoou 0M se A

31

Avão

apoioapoiovão,s

vãoapoioapoiovão,s

anc,s

Md,apoio = - 1.925 kN.cm < Md,vão/2 = 11.465/2 = 5.732,3 kN.cm Portanto, As,anc ≥ 1/3 As,vão = 5,03/3 = 1,68 cm2

As,anc = 1,40 cm2 < 1/3 As,vão = 1,68 cm2

Portanto, deve-se ancorar no mínimo 1/3 As,vão , fazendo As,anc = 1,68 cm2.

Para a ancoragem da armadura positiva nos apoios extremos P1 e P3 da viga é necessário ancorar no mínimo a armadura As,anc mínima, no comprimento de ancoragem básico (Figura 24).

s,ancA

b

bl

c lb,ef

Figura 24 – Ancoragem da armadura positiva nos apoios extremos da viga.

O comprimento de ancoragem básico pode ser determinado pela Eq. 3 ou pela Tabela A-1 da apostila de Ancoragem. Na coluna sem gancho, considerando concreto C20, aço CA-50, diâmetro da barra de 12,5 mm e região de boa ancoragem, encontra-se o comprimento de ancoragem básico (lb) de 55 cm.

Como as armaduras positivas dos vãos adjacentes aos pilares P1 e P3 são compostas por 4 φ 12,5 mm, e as duas barras (φ de 12,5 mm) posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidas até os apoios, a armadura efetiva (As,ef) a ancorar no apoio será composta por 2 φ 12,5 mm (2,50 cm2), que atende com folga à área de 1,68 cm2 para a armadura calculada a ancorar (As,anc).

Como a área de armadura escolhida para a ancoragem no apoio (As,ef) não é exatamente igual à área da armadura a ancorar (As,anc), o comprimento de ancoragem básico deve ser corrigido para lb,corr, como (Figura 25):

0,3750,268,155

AA

ef,s

anc,sbcorr,b === ll cm

O comprimento de ancoragem corrigido deve atender ao comprimento de ancoragem mínimo (lb,mín), dado pela Eq. 22 da apostila de Ancoragem:


30

⎩⎨⎧ φ 5,5 +

≥cm 6

rmín,bl

r = D/2 = 5φ/2 = 5 . 1,25/2 = 3,1 cm (com D determinado na Tabela 1 da apostila de Ancoragem)

r + 5,5 φ = 3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm , maior que 6 cm. ∴ lb,mín = 10,0 cm Portanto, tem-se lb,corr > lb,mín , o que está correto.

b

As,ef

lc b,ef

lb,corr

Figura 25 – Ancoragem da armadura efetiva no comprimento de ancoragem corrigido.

O comprimento de ancoragem efetivo, que corresponde ao máximo comprimento possível para ancorar no apoio, conforme a Figura 25 é:

lb,ef = b – c = 19 – 2 = 17 cm

Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho) é superior ao comprimento de ancoragem efetivo do apoio (lb,corr = 37,0 cm > lb,ef = 17 cm). Isto significa que não é possível fazer a ancoragem sem gancho, pois a barra ficaria com trecho fora da seção do pilar.

O passo seguinte para resolver o problema é fazer o gancho nas extremidades das barras, o que permite diminuir o comprimento reto em 30 %. O comprimento de ancoragem com gancho é (Eq. 23 da apostila de Ancoragem):

0,260,37.7,0gancho,b ==l cm Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o comprimento de ancoragem com gancho resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo do apoio:

lb,gancho = 26,0 cm > lb,ef = 17 cm.

A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para As,corr, como definido pela Eq. 25 (apostila de Ancoragem):

anc,sef,b

bcorr,s A7,0A

l

l= = 80,368,1

17557,0

=⋅ cm2


31

Uma alternativa é estender três barras da armadura positiva do vão, isto é, 3 φ 12,5 mm = 3,75 cm2, que atende à armadura corrigida. Uma segunda alternativa é manter as duas barras φ 12,5 mm e acrescentar grampos, com área de: As,gr = As,corr – As,ef = 3,80 – 2,50 = 1,30 cm2 A armadura a ancorar pode ser: 2 φ 12,5 + 4 φ 6,3 mm (2 grampos) = 3,74 cm2, que atende à armadura corrigida. O detalhe da ancoragem está mostrado na Figura 26.

100 φ = 63 cm

16,419

10

2,0

2 grampos

2 cm

gr2 φ 12,5

φ 6,3 mm

As,ef

Figura 26 – Detalhe da ancoragem com grampo nos pilares extremos P1 e P3.

12.10.2 Armadura Positiva no Pilar Interno P2 Estendendo 2 φ 12,5 (dos vértices dos estribos) da armadura longitudinal positiva até o pilar interno (As,anc = As,ef = 2,50 cm2), esta armadura deve ser superior à mínima, dada pela Eq. 20: Md,apoio = - 20.885 kN.cm > Md,vão/2 = 11.465/2 = 5.732,3 kN.cm Portanto, As, anc ≥ 1/4 As,vão = 5,03/4 = 1,26 cm2 As,ef = 2,50 cm2 > 1/4 As,vão = 1,26 cm2 As duas barras de 12,5 mm devem se estender 10φ além da face do apoio, como mostrado na Figura 36 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2005). 12.10.3 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser de 5φ, como indicado na Figura 27.


32

35 φ

5 φ

35 c

m

2 φ 10

Figura 27 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos.

12.11 Detalhamento da Armadura Longitudinal Teoricamente, os deslocamentos (al) do diagrama de momentos fletores são diferentes, em

função das alturas úteis d serem diferentes. Simplificadamente, será adotada a altura útil d de 57 cm para toda a extensão da viga, o que resulta no deslocamento al de 36 cm, como calculado no início do item 12.10.1.

Os comprimentos de ancoragem básicos (lb) para barras φ 12,5 mm (CA-50), concreto C20, em situações de má aderência e de boa aderência, conforme a Tabela A-1 da apostila de Ancoragem e Emendas, são respectivamente 78 cm e 55 cm. A Figura 28 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores, feito para conhecimento da extensão e comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa. O cobrimento do diagrama pode ser feito sobre o diagrama de momentos fletores de cálculo, deslocado no valor de al . Por simplicidade, a armadura negativa no apoio interno foi agrupada, sendo 4 φ 12,5 na primeira camada com o mesmo comprimento, e 4 φ 12,5 mais 1 φ 10 nas segunda e terceira camadas, tendo as cinco barras o mesmo comprimento. Outros diferentes arranjos ou agrupamentos poderiam ser feitos, resultando barras com comprimentos diferentes. A armadura positiva foi separada em dois grupos, cada um com 2 φ 12,5. Duas barras foram estendidas até os apoios, e as outras duas foram cortadas antes dos apoios, conforme o cobrimento do diagrama de momentos fletores. Embora a norma não obrigue, foi colocada uma armadura de pele nas duas faces verticais da viga, conforme cálculo mostrado no item 12.8.2. A Figura 29 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito normalmente nas escalas de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada. Num detalhe à parte podem ser colocados outros desenhos mostrando como devem ser executados os ganchos, com os pinos de dobramento, etc.


33

b

225

132

B

10φ 10φ

20358

10φ

10φ

b

A

B

A

4φ12,5 + 1φ10

4φ12,5

al

centro do pilar

l = 78

l = 78

2φ12,5

2φ12,5

B

face externa do pilar

Figura 28 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.

N9 - 2 φ 6,3 C = 140

14

63 63

14

N9 - 2 φ 6,3 C = 140

N4 - 4φ12,5 C = 270 (2° cam)

N5 - 1φ10 C = 270 (3° cam)

N3 - 4φ12,5 C = 450

N1-14c/11

135

135N2 - 2φ10 C = 576

N1-24c/23

3510

P1

N8 - 2φ12,5 C = 742

N7 - 2φ12,5 C = 468

N6 - 2 x 4φ4,2 CORR

203

135

135

N1-14c/11154

22540

P2

N2 - 2φ10 C = 576

N1-24c/23

N8 - 2φ12,5 C = 742

N7 - 2φ12,5 C = 468203

A

40

A

225

154

35

N1 - 76 φ 5 mm C=152

10

56

4 N3

1 N5

2 x 4 N6

P3

15

2 N7

2 N8

4 N4

VS1 = VS3 (19 x 60)

Figura 29 – Detalhamento final das armaduras da viga. O esquema de indicação ou posicionamento das armaduras como mostrado na Figura 29 é o mais comum na prática. No entanto, outros posicionamentos diferentes para as armaduras longitudinais e para os estribos podem ser adotados. Por exemplo, a armadura longitudinal negativa pode ser mostrada acima do desenho da viga, a linha de cotas dos estribos pode ser indicada na parte inferior da viga, e a armadura positiva como mostrada na Figura 27. Esta forma de indicar as armaduras, embora não seja a mais comum na prática, tem a vantagem de distanciar as armaduras negativa e positiva, impedindo possíveis confusões.


34

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento - NBR 6118, Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 221p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Concreto para fins estruturais – Classificação por grupos de resistência, NBR 8953. Rio de Janeiro, ABNT, 1992, 2p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Concreto - Determinação da resistência à tração na flexão em corpos-de-prova prismáticos, NBR 12142. Rio de Janeiro, ABNT, 1991. BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista - UNESP, mar/2006, 55p. (wwwp.feb.unesp.br/pbastos). BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista - UNESP, abril/2006, 36p. (wwwp.feb.unesp.br/pbastos). BASTOS, P.S.S. Flexão normal simples - Vigas. Disciplina 1288 – Estruturas de Concreto I. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista - UNESP, out/2005, 93p. (wwwp.feb.unesp.br/pbastos). CORRÊA, M.R.S. ; RAMALHO, M.A. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLAN4/GPLAN4 – Manual de utilização. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1992, 80p. FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p.


35

ANEXO I

Tabela A1 – Valores de Kc e Ks para o aço CA-50.

FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN)

dx

x =β C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50

Dom.

0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,023 0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,023 0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,023 0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,023 0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,023 0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,024 0,07 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,024 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,024 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,024 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,024 0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,024 0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,024 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,024 20,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,024 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,024 0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,025 0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,025 0,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,025 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,025 0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,025 0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,025 0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,025 0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,025 0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,025 0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,026 0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026 0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,026 0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,026 0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,026 0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,026 0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,026 0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,026 0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,026 0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,027 0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,027 0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,027 0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,027 0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,027 0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,027 30,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,028 0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028 0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,028 0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,029 0,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,030 0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,030 0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,031


36

ANEXO II

LISTAGEM DE RESULTADOS - PROGRAMA PPLAN4

a) Esforços Solicitantes na Viga Contínua ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: VIGA EXEMPLO --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE COORDENADAS NODAIS NO COORD X COORD Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 .000 .000 NOGL 2 359.500 .000 NOGL 3 719.000 .000 NOGL 4 1078.500 .000 NOGL 5 1438.000 .000 NOGL --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE RESTRICOES NODAIS NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 RES 5 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 RES 3 1 1 0 RES --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS NO NO COSSENO OPCAO BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG 2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG 3 3 4 1 359.500 1.0000 1 BARG 4 4 5 1 359.500 1.0000 1 BARG --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP


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--------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL --------------------------------------------------------------------------- PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60) --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS.......................................................... 5 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 3 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 6 NUMERO DE BARRAS....................................................... 4 NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0 NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1 NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 9 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 54 --------------------------------------------- I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I I I --------------------------------------------- ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: VIGA EXEMPLO ============================ PORTICO: VS1 (19 X 60) ============================ =========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R =========================================================================== 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 2 359.500 .000 0 0 0 3 719.000 .000 1 1 0 4 1078.500 .000 0 0 0 5 1438.000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06


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=========================================================================== CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 3 3 0 4 0 1 359.500 1.0000 4 4 0 5 0 1 359.500 1.0000 =========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP =========================================================================== 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 =========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) ) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 -.2415 1.000 .000 CBRG 2 1 -.2415 1.000 .000 CBRG 3 1 -.2415 1.000 .000 CBRG 4 1 -.2415 1.000 .000 CBRG --------------------------------------------------------------------------- ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 5 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 4 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -347.277 ------------------------------------------------ I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I ------------------------------------------------


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=========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) ) =========================================================================== =========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO =========================================================================== 1 .0000000 .0000000 .0022300 2 .0000000 -.4313680 -.0005575 3 .0000000 .0000000 .0000000 4 .0000000 -.4313680 .0005575 5 .0000000 .0000000 -.0022300 =========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 1 .000 67.983 -1374.769 2 .000 -18.837 7459.188 2 2 .000 -18.837 7459.188 3 .000 -105.656 -14918.380 3 3 .000 105.656 -14918.380 4 .000 18.837 7459.187 4 4 .000 18.837 7459.188 5 .000 -67.983 -1374.771 =========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO =========================================================================== 1 .000 67.983 -1374.769 2 .000 .000 .000 3 .000 211.312 .000 4 .000 .000 .000 5 .000 67.983 1374.771 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 347.277 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -347.277 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000088 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 0/10 .000 67.983 -1374.769 1 1/10 .000 59.301 913.145 1 2/10 .000 50.619 2888.944 1 3/10 .000 41.937 4552.628 1 4/10 .000 33.255 5904.196 1 5/10 .000 24.573 6943.649 1 6/10 .000 15.891 7670.988 1 7/10 .000 7.209 8086.211 1 8/10 .000 -1.473 8189.318 1 9/10 .000 -10.155 7980.312 1 10/10 .000 -18.837 7459.188


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2 0/10 .000 -18.837 7459.188 2 1/10 .000 -27.519 6625.951 2 2/10 .000 -36.201 5480.597 2 3/10 .000 -44.882 4023.129 2 4/10 .000 -53.564 2253.545 2 5/10 .000 -62.246 171.847 2 6/10 .000 -70.928 -2221.968 2 7/10 .000 -79.610 -4927.897 2 8/10 .000 -88.292 -7945.942 2 9/10 .000 -96.974 -11276.100 2 10/10 .000 -105.656 -14918.380 3 0/10 .000 105.656 -14918.380 3 1/10 .000 96.974 -11276.100 3 2/10 .000 88.292 -7945.941 3 3/10 .000 79.610 -4927.896 3 4/10 .000 70.928 -2221.968 3 5/10 .000 62.246 171.846 3 6/10 .000 53.564 2253.545 3 7/10 .000 44.882 4023.129 3 8/10 .000 36.201 5480.598 3 9/10 .000 27.519 6625.952 3 10/10 .000 18.837 7459.189 4 0/10 .000 18.837 7459.188 4 1/10 .000 10.155 7980.310 4 2/10 .000 1.473 8189.317 4 3/10 .000 -7.209 8086.209 4 4/10 .000 -15.891 7670.986 4 5/10 .000 -24.573 6943.648 4 6/10 .000 -33.255 5904.194 4 7/10 .000 -41.937 4552.625 4 8/10 .000 -50.619 2888.941 4 9/10 .000 -59.301 913.143 4 10/10 .000 -67.983 -1374.772

b) Esforços Solicitantes no Vão Extremo da Viga Isolada ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: VIGA EXEMPLO - Confer. Momento positivo ============================ PORTICO: VS1 (19 X 60) ============================ =========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R =========================================================================== 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 2 359.500 .000 0 0 0 3 719.000 .000 1 1 1 ===========================================================================


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CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 =========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP =========================================================================== 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 =========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 --------------------------------------------------------------------------- =========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) ) =========================================================================== =========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO =========================================================================== 1 .0000000 .0000000 .0022300 2 .0000000 -.4313680 -.0005575 3 .0000000 .0000000 .0000000 =========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 1 .000 67.983 -1374.769 2 .000 -18.837 7459.188 2 2 .000 -18.837 7459.188 3 .000 -105.656 -14918.380 =========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO =========================================================================== 1 .000 67.983 -1374.769 2 .000 .000 .000 3 .000 105.656 14918.380 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 173.638


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SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -173.639 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000088 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 0/10 .000 67.983 -1374.769 1 1/10 .000 59.301 913.145 1 2/10 .000 50.619 2888.944 1 3/10 .000 41.937 4552.628 1 4/10 .000 33.255 5904.196 1 5/10 .000 24.573 6943.649 1 6/10 .000 15.891 7670.988 1 7/10 .000 7.209 8086.211 1 8/10 .000 -1.473 8189.318 1 9/10 .000 -10.155 7980.312 1 10/10 .000 -18.837 7459.188 2 0/10 .000 -18.837 7459.188 2 1/10 .000 -27.519 6625.950 2 2/10 .000 -36.201 5480.597 2 3/10 .000 -44.882 4023.129 2 4/10 .000 -53.564 2253.545 2 5/10 .000 -62.246 171.846 2 6/10 .000 -70.928 -2221.968 2 7/10 .000 -79.610 -4927.898 2 8/10 .000 -88.292 -7945.943 2 9/10 .000 -96.974 -11276.100 2 10/10 .000 -105.656 -14918.380 - Analise completa - fim do processamento -

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