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VII Solides : équilibre etmouvement
VII Solides : équilibre et mouvement
i) énergie cinétique, potentielle et mécanique
ii) conservation de l’énergie mécanique
iii) généralisation à trois dimensions
iv) gradient, opérateur différentiel nabla
Plan de la première partie :
Contenu
VII Solides : équilibre et mouvement
Soit un système de particules donné. Pour déterminer lemouvement des particules nous avons à disposition leséquations suivantes :
i) conservation de la quantité de mouvement (3 équations)
ii) conservation du moment cinétique (3 équations)
iii) si les forces sont conservatives – conservation de l’énergie(1 équation)
⇒ tout au plus 7 équations, en générale 6.
Système donnée, no d’équations
VII Solides : équilibre et mouvement
D’un côté nous avons 6 où 7 équations indépendantes, maisd’autre côté un système à N corps a 3N degrés de liberté.
1 mol de gaz → 6,022·1023 atomes
Il est évidemment impossible de décrire le mouvement desparticules du gaz.
Problème
VII Solides : équilibre et mouvement
Un solide est un corps dans lequel les distances entre lesparticules sont constantes.
Pour la description du mouvement d’un solide 6 coordonnéssuffisent.
Solide
ExempleVII Solides : équilibre et mouvement
VII.1 Distributions continues demasses
VII.1 Distributions continues de masses
Exemple : densité d’un fémur
À l’aide de la fonction de densité locale, la masse d’un volumeV se trouve à l’aide de :
Exemple fonction de densité
VII.1 Distributions continues de masses
Définition du centre de gravité :
Définition de la quantité de mouvement :
Qt. mouvement et centre degravité
VII.2 Problèmes de statique
VII.2 Problèmes de statique
Pour qu’un corps reste au repos, les conditions suivantes doiventêtre satisfaites :
i) somme des forces exterieures nulle
ii) somme des moments exterieures nulle
Conditions d’équilibre
VII.2 Problèmes de statique
Exemple : solide qui n’est pas en equilibre (somme des moments non-nulle)
Exemple
VII.2 Problèmes de statique
Solide en équilibre
Les forces normales ne peuvent pascompenser le poids du corps (somme desforces non nulle).
Exemple
VII.3 Mouvement d’un solide
VII.3 Mouvement d’un solide
N’importe quel mouvement d’un solide est équivalent à lacombinaison d’une translation et d’une rotation.
Exemple :
Mouvement = translation +rotation
VII.3 Mouvement d’un solide
Analyse du mouvement d’unsolide
VII.3.1 Moment d’inertie
Un axe principal d’inertie d’une corps, est un axe tel que, si levecteur de rotation du solide est parallèle à cet axe, le momentcinétique du solide est parallèle au vecteur de rotation.
Axes principaux d’inertie
VII.3.1 Moment d’inertie
ωL
Rotation autour d’un axe qui n’est pas un axe principal d’inertie,L P ω. (Rem : dL/dt = 0, il faut )
Exemple
VII.3.1 Moment d’inertie
Rotation autour d’un axe principal d’inertie.
Exemple
Moment d’inertieVII.3.1 Moment d’inertie
où R est la distance de l’élément de volume à l’axe.
Ayant trouvé I, on peut calculer L avec :
VII.3.1 Moment d’inertie
Exemples de moments d’inertie
VII.3.2 Théorème de Huygens et Steiner
Théorème de Huygens et Steiner :
Théorème de Huygens et Steiner
VII.3.3 Dynamique de la rotation d’un solide
Dynamique de la rotation
VII.3.4 Gyroscopes et toupies
Gyroscope
VII.3.4 Gyroscopes et toupies
Gyroscopes
VII.4 Énergie mécanique d’unsolide
VII.4 Énergie mécanique d’un solide
Énergie de rotation
VII.4 Énergie mécanique d’un solide
Énergie cinétique totale
VII.4 Énergie mécanique d’un solide
Roulement sans ou avecglissment