viii.- flujo viscoso incompresible

VIII.- FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLEpfernandezdiez.es

VIII.1.- FLUJO LAMINAR EN CONDUCTOS CIRCULARES

En un flujo laminar la corriente es relativamente lenta y no es perturbada por las posibles protube-

rancias del contorno, mientras que la viscosidad es relativamente grande, de forma que si por cualquier

circunstancia se inicia un fenómeno de turbulencia, la viscosidad lo destruye.

En consecuencia la formulación que se va a desarrollar sirve, tanto para tuberías lisas como para

tuberías rugosas, suponiendo que las partículas de fluido, en un flujo laminar a lo largo de un tubo, se

mueven en capas cilíndricas coaxiales; en el eje del tubo, el desplazamiento se realiza a mayor velocidad,

mientras que en las paredes permanece en reposo.

La distribución de velocidades en una sección transversal cualquiera del tubo obedece a las fuerzas

de rozamiento transmitidas de capa en capa. Si se considera un tubo por el que circula un fluido, Fig

VIII.1, de diámetro 2 R y coaxialmente se toma un ci-

lindro de fluido de diámetro 2 r y longitud Δl, que se pue-

de aislar imponién-dole unas condiciones de contorno,

aplicando en su base frontal una presión p y en la pos-

terior (p - Δp), así como el coeficiente τ de cortadura.

Sobre el cilindro actúa un empuje longitudinal de la for-ma:

Femp = π r 2Δp

La fuerza de rozamiento:

Froz = η S du

dr = S = 2 π r Δl = 2 π η r Δl du

dr

es igual a la de empuje, por lo que:

2 π η r Δl

du

dr= π r

2Δp ⇒ du

dr =

r Δp

2 η Δl ⇒ u =

Δp

2 η Δl r dr

r

R∫ =

Δp

4 η Δl (R

2- r

2)

que es una distribución del campo de velocidades de tipo paraboloide de revolución.

pfernandezdiez.es Flujo viscoso incompresible.VIII.-129

Fig VIII.1.- Tubo de fluido para la ecuación de Poiseuille

La expresión del caudal es:

Q =

0

R∫ u dΩ =

0

R∫ u 2 π r dr =

Δp

4 η Δl

0

R∫ (R

2- r

2) 2 π r dr =

π R4Δp

8 η Δl

que es directamente proporcional a la variación de presión entre las secciones A y B, a la cuarta poten-

cia del radio de la conducción, e inversamente proporcional al tramo de tubería considerada de longitud Δl

y a la viscosidad dinámica η.

El caudal es Q = Ω uF, siendo uF la velocidad media, que se puede poner en la forma:

uF =

Q

Ω =

π R4Δp

8 η L

π R2 =

R2

8 η Δp

L

y Δp la caída de presión en toda la tubería de longitud L.

Fig VIII.3.- Distribución del coeficiente de cortadura, y disipación de energía

La velocidad máxima se tiene para r = 0, de la forma:

umáx =

R2

4 η Δp

L

La relación entre la velocidad máxima y la velocidad media es:

umáx = 2 uF

Despejando de la expresión de la velocidad media el valor de Δp, se obtiene la ecuación de Poiseuille,

de la forma:

Δp =

8 η L uF

R2 =

32 η L uF

d 2

La pérdida de carga total Δp correspondiente a la longitud de tubería L se puede poner en función de

la pérdida de carga por unidad de longitud de tubería J, en la forma:

Δp = J L

expresión que se puede poner en función del número de Reynolds, y el coeficiente λ de rozamiento, en la

forma:

J =

Δp

L =

32 η uF

d 2 =

32 η uF

d 2 uF ρuF ρ

= Re = uF d

η/ρ =

32 uF2 ρ

d Re = ρ

λ uF2

2 d = γ

λ uF2

2 g d ⇒ λ = 64

Re

que es el valor del coeficiente λ de rozamiento para el flujo de un fluido por un conducto en régimen lami-

nar.

El valor de Δp para el agua, en función de γ es:

γ = 1 ; Δe en (m)

γ = 1000 (kg/m3 ) ; Δe en (kg/m 2 )⎧ ⎨ ⎩


La ecuación de Poiseuille indica que la pérdida de carga en régimen laminar, para tuberías lisas o ru-

gosas, es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad.

En la Fig VIII.2 se indican otras distribuciones correspondientes al coeficiente τ de cortadura, velo-

cidad u y disipación de energía por rozamiento.

VIII.2.- MOVIMIENTO TURBULENTO

Todos los estudios realizados para determinar las pérdidas de carga en el movimiento turbulento, se

pueden representar por la expresión:

J =

ρ λ u2

2 d =

16 ρ λ Q 2

2 π 2d5 = k Q 2

en la que: λ = f ( u, d, ρ, η,

εd

) = f ( Re, εd

), siendo ε la rugosidad absoluta.

Para tuberías lisas:

εd

= 0 ⇒ λ = f ( Re )

a) 2000 < Re < 105 , λ = 0 ,3164 Re - 0 ,25 (Blasius)

b) Re > 105 ; 1

λ = 2 lg10

Re λ2,51

(Primera ecuación de Kàrmàn-Prandtl)

Para tuberías rugosas se pueden dar tres casos según el valor del número de Reynolds.

- Si el nº de Re es elevado:

λ = f (εd

) ⇒

1

λ = 2 lg10

d2 ε

+ 1,74 (2ª ecuac. de Kàrmàn Prandtl)

1

λ = 2 lg10

dε

+ 1,14 (Nikuradse)

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

- Si el número de Reynolds tiene un valor intermedio:

1

λ = 2 lg10 (

εd

3,71 +

2,51

Re λ) , para: λ = f ( Re,

εd

) (Colebrook-White)

- Para números de Reynolds bajos: λ = f(Re)

70.000 < Re < 1.500.000 ; λ = 0 ,0054 + 0,369 Re -0 ,3 ( Herman)

Nikuradse experimentó con tuberías de rugosidad artificial, obtenida con granos de arena esféricos

de diámetro ε, con los que cubría el interior de las tuberías.

Como una protuberancia pequeña podía ser insignificante en una tubería de gran diámetro, la va-

riable representativa del fenómeno no era la rugosidad absoluta ε sino la relativa

εd

oscilando sus valo-

res, para tuberías comerciales, entre los límites: 0 ,033 <

εd

< 0,000985.

La rugosidad natural de las tuberías comerciales (hierro fundido, hormigón, etc), es irregular.

La rugosidad absoluta puede venir caracterizada por un valor de ε igual al diámetro de los granos de


Fig VIII.3.- Diagrama de Moody


arena de una tubería de rugosidad artificial que diera el mismo valor de λ para un número de Re lo sufi-

cientemente elevado que cumpliese la ecuación: λ = f (

εd

) .

La ecuación de Colebrook-White se utiliza para hallar la pérdida de carga en los conductos industria-

les encontrándose los problemas prácticos, más interesantes, dentro de su campo de aplicación.

Diagrama de Moody.- Las ecuaciones de Poiseuille, Blasius, Colebrook-White, Kàrmàn-Prandtl,

Nikuradse, etc, permiten determinar todos los valores de λ que se presentan en la práctica; la ecuación

de Colebrook-White, de cálculo muy laborioso, es la más universal y en la práctica se recurre a un ába-

co, conocido como diagrama de Moody, Fig VIII.3, que:

a) Está construido en papel doblemente logarítmico; las variables que utiliza son λ, Re, en un diagra-

ma, (lg λ, lg Re).

b) Es la representación gráfica de dos ecuaciones:

- La ecuación de Poiseuille, que en papel logarítmico es una recta. La prolongación dibujada a trazos

es la zona crítica, en la que la corriente puede seguir siendo laminar a pesar de ser Re > 2000. De no ser

así, λ podría caer en cualquier punto de la zona sombreada; la zona crítica es una zona de transición, en

la que el flujo puede ser laminar, aunque generalmente es turbulento.

- La ecuación de Colebrook-White es una familia de curvas, una para cada valor del parámetro

εd

que

para números de Reynolds bajos, coinciden con las de Blasius y con la primera ecuación de Kàrmàn-

Prandtl, es decir, son asintóticas a una u otra ecuación, y se van separando de ellas para valores crecientes

del número de Reynolds.

En algunos casos se puede hacer una primera aproximación tomando un valor de λ comprendido en-

tre los límites (0,02 < λ < 0,03). Algunos de los valores de ε que se necesitan para entrar en este diagra-

ma se pueden tomar de la Tabla VIII.1.

Tabla VIII.1.- Valores de la rugosidad de algunos materiales utilizados en la construcción de tuberías

Tipo de tubería

Vidrio, cobre o latón estirado 0,001 (ó lisas)

Latón industrial 0,025

Acero laminado nuevo 0,05

Acero laminado oxidado 0,15 a 0,25

Acero laminado con incrustaciones 1,5 a 3

Acero asfaltado 0,01

Acero soldado nuevo 0,03 a 0,1

Acero soldado oxidado 0,4

Hierro galvanizado 0,15 a 0,20

Fundición corriente nueva 0,25

Fundición corriente oxidada 1 a 1,5

Fundición asfaltada 0,1

Cemento alisado 0,3 a 0,8

Cemento bruto Hasta 3

Rugosidad ε (mm)

VIII.3.- CALCULO DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO MEDIANTE ALGUNAS FORMU-

LAS PRACTICAS

El valor de λ ha sido estudiado y determinado por muchos autores, pudiéndose considerar en algunos

casos constante, y en otros, función de alguna variable; así se presentan una serie de grupos de fórmu-

las, debidas a determinados autores:


Grupo 1: λ = Cte Dupuit, Chezy,... Grupo 2: λ = f ( d ) Darcy, Sonne, Levy, Bazin, Kutter, ...

Grupo 3: λ = f (u ) Weisbach, Saint−Venant, Prony, Zeuner, ... Grupo 4: λ = f ( d,u ) = f ( Re ) Flamant, ...

Grupo 5: λ = f ( Re, εd

) Lang, Mises, ...

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

2° Grupo.- Ecuación de Darcy.- En esta ecuación:

J =

8 λg π 2d 5

Q2 = k Q2

el valor de λ se puede poner en la forma λ = α +

βd

en la que los valores de α y β dependen de las carac-

terísticas de la tubería.

Para tuberías lisas y nuevas:

α = 0,01989

β = 0,0005078⎧ ⎨ ⎩

Para tuberías usadas, los valores son dobles, es decir:

α = 0,03978

β = 0,0010106⎧ ⎨ ⎩

Campo de validez:

0 ,004 < d < 0,5 metros

0,25 < u < 2,5 m/seg⎧ ⎨ ⎩

Para conducciones nuevas, los valores de k son los siguientes:

a) La mitad de lo que diga la Tabla VIII.2, si se trata de fundición

b) La tercera parte de lo que diga la Tabla VIII.2, si se trata de conducciones de chapa alquitranada.

Tabla VIII.2.- Valores de J/Q2 de la fórmula de Darcy, (tubería usada)

Diámetro (m) Diámetro (m) Diámetro (m) Diámetro (m)

0,005 --- 0,15 50,639 0,31 1,24120 0,47 0,15099

0,01 116.790.000 0,16 36,301 0,32 1,05710 0,48 0,13565

0,02 2.338.500 0,17 26,626 0,33 0,90700 0,49 0,12236

0,027 445.600 0,18 19,836 0,34 0,77783 0,50 0,11039

0,03 250.310 0,19 15,059 0,35 0,67042 0,55 0,06828

0,04 52.561 0,20 11,571 0,36 0,58126 0,60 0,044031

0,05 15.874 0,21 9,0185 0,37 0,50591 0,65 0,029397

0,06 6020,9 0,22 7,1092 0,38 0,44275 0,70 0,020256

0,07 2666,1 0,23 5,6722 0,39 0,38811 0,75 0,014319

0,08 1321,9 0,24 4,5610 0,40 0,34134 0,80 0,010350

0,09 713,81 0,25 3,7052 0,41 0,30112 0,85 0,007620

0,10 412,42 0,26 3,0345 0,42 0,26640 0,90 0,005720

0,11 251,25 0,27 2,5036 0,43 0,23687 0,95 0,003460

0,12 160,01 0,28 2,0836 0,44 0,21076 1,00 0,003360

0,13 105,84 0,29 1,7420 0,45 0,18801 1,10 0,002090

0,14 72,222 0,30 1,4677 0,46 0,16844 1,20 0,001350

J/Q2 J/Q2

J/Q2 J/Q2

2° Grupo.- Fórmula de Levy

Para tuberías usadas:

λ = k

1 + 3 r , con:

r , el radio de la tubería

k = 0,09301⎧ ⎨ ⎩

Para tuberías nuevas:

λ =

0 ,02952

1 + r


Estas fórmulas dan buenos resultados para: d > 1 m, y velocidades medias de hasta 2,5 m/seg.

2° Grupo.- Fórmula de Kutter.- Es de aplicación al cálculo de sifones; el valor de λ con el que funcio-

na es:

λ = 8 g

50 d

m + 0,5 d

, en la que

0,25 para tuberí as con incrustaciones ordinarias 0,30 para tuberías con incrustaciones medias

0,35 para tuberías con incrustaciones importantes 0,40 para tuberías con incrustaciones formadas rápidamente

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

4° Grupo.- Fórmula de Flamant.- En este grupo:

λ = a

Re4

Para el caso particular del agua, considerando ν = Cte, se tiene:

λ = a*

u d4

El valor de k de la expresión J = k Q2, toma la forma:

k = α 16

π 2d5 1

u d4

en la que los valores de α dependen de la rugosidad.

Campo de aplicación:

1 < d < 3

2000 < Re < 105⎧ ⎨ ⎩

Según sea el material de la tubería:

Fundición nueva: α = 0 ,00092 Fundición usada: α = 0 ,00074

Chapa: α = 0 ,00062 Plomo: α = 0 ,00052

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

Tabla VIII.3.- Tabla de valores de λ de la fórmula de Flamant

Diámetro (m) λ Diámetro (m) λ Diámetro (m) λ

0,01 4427000 0,22 1,86 0,45 0,062

0,015 645000 0,23 1,51 0,46 0,056

0,02 164500 0,24 1,23 0,47 0,051

0,025 57000 0,25 1,01 0,48 0,046

0,03 24000 0,26 0,84 0,49 0,041

0,04 6100 0,27 0,70 0,50 0,0377

0,05 2100 0,28 0,55 0,52 0,0313

0,06 890 0,29 0,50 0,55 0,0240

0,07 430 0,30 0,43 0,60 0,0158

0,08 227 0,31 0,36 0,65 0,0108

0,09 130 0,32 0,314 0,70 0,0076

0,10 79 0,33 0,271 0,75 0,0055

0,11 50 0,34 0,235 0,80 0,0040

0,12 33 0,35 0,205 0,85 0,0030

0,13 22,6 0,36 0,179 0,90 0,0023

0,14 15,6 0,37 0,157 0,95 0,0018

0,15 11,5 0,38 0,139 1,00 0,0014

0,16 8,4 0,39 0,123 1,05 0,0011

0,17 6,3 0,40 0,107 1,1 0,00089

0,18 4,8 0,41 0,097 1,2 0,00059

0,19 3,8 0,42 0,087 1,3 0,00040

0,20 2,3 0,43 0,077 1,4 0,00028

0,21 2,2 0,44 0,066


5° Grupo.- Formula de Mises.- El valor de λ es:

λ = 0 ,0096 + 5,7 k

d +

1,7

Re

en la que el valor de k depende del estado y clase de las superficies de contacto de las tuberías, y del líqui-

do que por ellas circula; sus valores se exponen en la Tabla VIII.4.

Tabla VIII.4.- Valores de k en función del material de la tubería en la fórmula de Mises

Material

Vidrio 0,064 a 0,256

Latón, cobre, plomo 0,064 a 0,320

Cemento pulido 2,40 a 4,80

Cemento tosco, sin pulir 6,40 a 16,00

Chapa con asfalto 9,60 a 19,20

Fundición lisa 32 a 64

Fundición oxidada 80 a 160

Chapa remachada 64 a 160

Fundición en servicio, con unión de brida sin resalto 80

Fundición en servicio, con unión de enchufe y cordón 100

Fundición en servicio, para agua sucia con incrustaciones 160

106k (en metros)

Fig VIII.4.a.- Pérdida de carga en mm, por metro lineal de tubo (o de chapa), con corriente paralela a las generatrices


Fig VIII.4.b.- Pérdida de carga en mm, por fila de tubos en quincunce, con humos perpendicular a los tubos.

Los resultados obtenidos de la gráfica se tienen que corregir multiplicándolos por d/0,04, siendo d el diámetro de los tubos en m

Fig VIII.4.c.- Pérdida de carga en mm, por fila de tubos en línea, con humos perpendicular a los tubos.

Los resultados obtenidos de la gráfica se tienen que corregir multiplicándolos por d/0,04, siendo d el diámetro de los tubos en m


VIII.4.- CALCULO GRÁFICO DEL VALOR DE J EN BATERIAS DE TUBOS

En las Fig VIII.4.a.b.c, se indica un método gráfico que permite determinar el coeficiente J en los si-

guientes casos de disposición de tubos y chapas:

a) Corriente de humos paralela a los tubos o a las placas, de forma que la distancia entre chapas sea

igual a la mitad del diámetro de los tubos.

b) Corriente de humos perpendicular a los tubos en quincunce

c) Corriente de humos perpendicular a los tubos en línea (disposición regular)

Para grandes velocidades, el valor de J se calcula para u = 10 m/seg, se halla el factor de corrección

para la velocidad deseada y se multiplica el valor de J a 10 m/seg por el factor de corrección, obtenién-

dose el valor de J a la velocidad en cuestión.

VIII.5.- FLUJO EN CONDUCTOS NO CIRCULARES

Flujo laminar, incompresible y permanente, entre dos placas paralelas.- En primer lugar se

puede suponer que las placas están inclinadas formando un ángulo θ respecto a la horizontal, teniendo la

placa superior una velocidad constante u0; el flujo entre las dos placas fijas es un caso particular, al ha-

cer la velocidad de la placa móvil u0 = 0.

Fig VIII.5.- Flujo laminar entre placas paralelas

La placa superior se mueve paralelamente en la dirección del flujo, existiendo a lo largo del mismo,

en la dirección x, una variación de presión. Si se toma un elemento de fluido en forma de lámina, Fig

VIII.5, de dimensiones (dx,dy) y anchura unidad, para un flujo permanente, la lámina se moverá con ve-

locidad constante u , siendo la ecuación del movimiento:

p dy - ( p +

∂p

∂x dx ) dy - τ dx + ( τ +

∂τ∂y

dy ) dx + γ dx dy sen θ = 0

que simplificada se reduce a:

- ∂p

∂x +

∂τ∂y

+ γ sen θ = 0 ; - ∂p

∂x +

∂τ∂y

- γ ∂h∂x

= 0 ; ∂τ∂y

= ∂∂x

( p + γ h )

en las que se ha tenido en cuenta que: sen θ = -

∂h∂x


viii.- flujo viscoso incompresible

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