VINCENZO FANO E GINO TAROZZIGiornate urbinati della ricerca

23 novembre 2010

ARISTOTELE (384-322) PITAGORA (570-495)

Nella proposizione 117 del libro X degli Elementi di Euclide viene riportata una dimostrazione dell’incommensurabilità del lato con la diagonale del quadrato.

Si tratta con ogni probabilità di un’aggiunta posteriore.

Aristotele cita negli Analitici una dimostrazione molto simile.

Nel Menone platonico, Socrate insegna a uno schiavo che il quadrato che ha

aria doppia di un quadrato dato non ha il lato doppio.

Il quadrato costruito sulla diagonale ha l’aria doppia.

Propongo una versione modificata di quella che è forse stata la prima

dimostrazione dell’incommensurabilità.

1. Ipotizziamo per assurdo che il lato azzurro del quadrato rosso sia lungo m punti e che la sua diagonale verde sia

lunga n punti.

PRIMO PASSO

Dunque n è più grande di m. Riduciamo la frazione n/m ai minimi termini, in modo che n non sia divisibile per m.

2. I punti dell’area del quadrato in azzurro sono il doppio di quelli dell’area del quadrato in rosso e il quadruplo di quelli

del quadrato piccolo.

SECONDO PASSO

Perciò l’area del quadrato azzurro è divisibile per 4 e quella del quadrato rosso per 2.

3. Quindi il lato del quadrato rosso ha un numero pari di punti e lo stesso vale per il lato del quadrato

azzurro.

TERZO PASSO

4. Ma il lato azzurro è uguale a quello verde. E quello verde è la diagonale del quadrato

rosso. Dunque n e m sono entrambi pari, contro l’ipotesi che avevamo ridotto n/m ai

minimi termini.

QUARTO PASSO

Perciò è impossibile che il lato e la diagonale di un quadrato siano

costituite da un numero finito di punti indivisibili.

CONCLUSIONE

In un certo senso solo con l’opera di Cantor, nel 1880 il problema

dell’incommensurabilità verrà risolto, con la sua teoria dei numeri transfiniti.

Se i punti di un segmento sono infiniti, C, si può costruire una corrispondenza

biunivoca fra due segmenti di lunghezza diversa.

IL SEGMENTO VERDE E QUELLO ROSSO SONO EQUINUMEROSI