virginio gómez - Álgebra y trigonometría

8/3/2019 Virginio Gmez - lgebra y trigonometra

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LGEBRA Y TRIGONOMETRA

D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S


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Instituto Profesional Dr.Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

Indice

Contenido

Unidad N : Lgica y Cuantificadores"

Lgica &Tablas de Verdad 'Conectivos Lgicos u Operadores Lineales (

Negacin, Conjuncin 7Disyuncin, Condicional 8Bicondicional 9Ejercicios 9Tablas de Verdad para Proposiciones Compuestas 1"Ejercicios 3"Clasificacin de Proposiciones Compuestas 5"Leyes del Algebra Proposicional 16

Ejercicios 19Lgica Cuantificacional 19Ejercicios 21Valor de verdad funcion Proposicional 24Ejercicios 29

Negacin de Proposiciones 32Autoevaluacin

Unidad N 2: Conjuntos

Conjuntos 35Formas de escribir un conjunto 36Tipos de Conjuntos 37

Subconjuntos 40Propiedades de los Subconjuntos 41Ejercicios 42Operaciones con conjuntos 43Ejercicios 44Figuras achuradas 52Propiedades de los Conjuntos 53Problemas de aplicacin 55Autoevaluacin 61

Unidad N 3: Relaciones y Funciones

Propiedades del Producto Cartesiano 64Relacin 66Representacin Grfica 67Dominio y Recorrido 68Plano Cartesiano 70Grfico de algunas relaciones 71Ejercicios 72Funcin 83Ejercicios 84


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Tipos de funcion 88Funcin Inyectiva 91Funcin Sobreyectiva 91Funcin Biyectiva y Funcin Inversa 93Anlisis Completo 94Autoevaluacin 112

Unidad N 4: Funcin Exponencial y Logartmica

Funcin exponencial y logartmica 106Propiedades de la funcin Exponencial 108Aplicaciones de la Funcin Exponencial 109Funcin Logartmica 113Propiedades de la Funcin Logartmica 115Logaritmos Decimales o Comunes 117Logaritmos naturales 118Propiedades de los Logaritmo 121Ecuaciones exponenciales 124Ecuaciones Logartmicas 127

Sistemas de ecuaciones logartmicas y Exponenciales 129Autoevaluacin 131

Unidad N 5: Trigonometra

Trigonometra 133Sistemas de Medida 135Angulos Cotermiales 139Angulo en posicin estndar 142Velocidad angular 141Funciones trigonomtricas 142Signos de la funciones trigonomtricas 145Problemas aplicados 145Angulos de elevacin y depresin 153Grfico de las funciones trigonomtricas 156Grfico de la funcin seno 164Identidades 175Ley de los Senos 181Ley de los Cosenos 186Ecuaciones Trigonomtricas 192Funciones trigonomtricas inversas 194

Unidad N 6: Nmeros Complejos

Nmeros Complejos 198Representacin grfica de los nmeros Complejos 199Operaciones con complejos 202Forma polar de un nmero complejo 205Races de un nmero complejo 210

Unidad N 7: Polinomios

Polinomios 216Operaciones con Polinomios 216Teorema del cuociente y del resto 218Teorema fundamental del lgebra 220


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Unidad N 8: Induccin Matemtica

Induccin Matematica 225

Unidad N 9: Teorema del Binomio

Teorema del Binomio 230Frmula general del Binomio 230

Bibliografa 235


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CAPITULO I

LOGICA YCUANTIFICADORES


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LOGICA

La Lgica Matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento.

En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido unargumento dado.

El razonamiento lgico se emplea en matemtica para demostrar teoremas; en Ciencias de laComputacin para verificar si son o no correctos los Programas; en las Ciencias Fsicas y Naturales, parasacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la Vida Cotidiana, para resolver unamultitud de problemas.

Ciertamente usamos en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad.Toda estructura matemtica necesita tener un razonamiento vlido a travs de un lenguaje que sea de usouniversal.

: Es una expresin con sentido en algn lenguaje que afirma o niega algo y que nosProposicinproporciona informacin.

Las proposiciones se denotan con la letras .etc..: ; "' >La distancia en pies que un objeto recorre el vaco est dada por #

donde es tiempor en . Encuentre> = + =! , =" - =# . =$

$) La velocidad del sonido en el aire vara con la Temperatura segn el modelo:

@X $$ "%& X#($donde es la velocidad del sonido en centmetros por segundo y es la temperatura del aire en grados@ XKelvin . En qu da viaja ms rpidamente el sonido de fuegos artificiales detonadores: 18 de septiembre( ) o 1 de enero ( )?X $"! O X #(! O o o


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% GLa funcin que transforma la temperatura de grados Fahrenheit a grados Celsius est dada por J $# &

*

Determine cuantos grados Celsius son 80 grados Fahrenheit+Determine cuntos grados Faherenheit son 30 grados Celsius,

Respuesta

" #) $ aos# + ! , "' - '% . "%%$ 18 de septiembre% + #( G , )' J 9 9

TIPOS DE FUNCIONES

Funcin Par

0 0 B 0 B a B 0 es par Dom

Funcin Impar

0 0 B 0B a B 0 es impar Dom

Nota: Las funciones son . Las funcionespares simtricas respecto del eje yson .impares simtricas respecto del origen de coordenadas

Ejercicios

Dtermine si las siguientes funciones son oPar Impar

+ C l B l , C "

B

- 0 B B " . 1B B %# Respuesta

Son Par y+ - .Es Impar,

Funcin por tramos

Una regla que defina una funcin puede incluir ms de una frmula. Una funcin definida de estamanera se llama Funcin definida por Tramos.


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Ejemplo:

1B B B !B " B !

#

Esta funcin es pero se da en dos partes o tramos.una sola,

Si queremos determinar reemplazamos en el primer tramo, es decir, que1 # B #1 # # %#

Para determinar , consideramos el segundo tramo, es decir,1& 1& & " '

La grfica de la funcin es:1B

Funcin Constante

Si representa un elemento de cualquier conjunto, entonces la funcin definida por- 0 0 B - para todos los del dominio de se llama funcin constante.B 0

El grfico de una funcin constante es:

:Ejemplo

Sea la funcin constantedefinida por: 0 B &

Suponga que el dominio de es el conjunto de nmeros reales, entonces:0

0 $ & 0 # & 0 $ & etc. Grafquela Ud.!!


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Ejercicios

Determina el valor de la funcin para el punto sealado:

2) Sea 0 B #B B B "B & B "

% #

Hallar:+ 0 ! , 0 $ - 0&

3) Sea 0 B

B "

B "B "

B # B "B $ B "

%

#

Hallar:

a) 0 $ , 0 ' - 0 " . 0 " )

% El precio del metro cuadrado de un material plstico para suelos depende de la cantidad quecompremos, , es el precio en $ y viene dado por la funcion definidaB C 0 B

si

sisi

0B "! ! !& B ! B &!( & ! !# B &! &! B "!!' & ! !!# B "!! "!! B &!!

Cul ser el precio si compro ?$!!7#


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Respuesta

1)

# ! "&$ "!) a) b) c)

$ "! $( $ %) a) b) c) d)% ' "$

FUNCION INYECTIVAUna funcin es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde un slo elemento del

recorrido

En otras palabras,

Ejemplos

Los siguientes conjuntos son funciones que van de los conjuntos a con yQ R Q # $ % R "#$ % , pero slo algunos cumplen la condicin descrita anteriormente.

Determine cul (es) es (son ) (s):inyectiva

1) 2)E # " $ # % " F # " $ # % $

3) G ##$$

Respuesta

Son inyectivas y .F G


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FUNCION SOBREYECTIVA

Una funcin es sobreyectiva si .todas las imgenes tienen preimagen

Es decir, todos los elementos del conjunto de llegada estn relacionados con un elemento del

dominio, no sobra ningn elemento.

El conjunto de llegada se denomina tambin de la funcin.CODOMINIO

Luego, se puede escribir que una funcin es sobreyectiva si:0

Ejemplo

Determine cul(es) de la(s) siguiente(s) funciones son sobreyectiva(s):

Respuesta:

Slo el ejemplo 2) es una funcin sobreyectiva.

Ejercicios

I) Determine cules de las siguientes funciones son si:inyectivas y/o sobreyectivas

0 Q R

Q # $ % R " # $ %

E #"$#%#

F ##$$% %

G #"$"%"


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H #"$$%#

II) Determine en cul de los siguientes diagramas se presenta una funcin :sobreyectiva

Respuesta

I) Es inyectiva yF HII) Son sobreyectivas 1) 2) 3) y 5)

FUNCION BIYECTIVA

Una funcin es biyectiva si es .inyectiva y sobreyectiva a la vez

Por ejemplo, en el diagrama y en el sistema cartesiano se muestran funciones biyectivas:


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FUNCION INVERSA

Una funcin , s y slo si, es biyectiva.tiene inversa

Ejemplo :

Si una funcin es su inversa:0B

Para obtener la inversa de una funcin, primero se debe determinar si esta es biyectiva y luego la

forma de la inversa, para sto se despeja la variable ww wwB

:Ejemplo

Sea . Determinela0B B C C #B & Forma de la funcin Inversa

Respuesta

Como la ecuacin de esta funcin es una lnea recta, la funcin es . Su inversa se obtienebiyectivadespejando de la ecuacinB C #B &

C #B &

#B & C "

#B C &

Luego, se intercambian las variables por :C B

Por lo tanto: 0 B B C C B &

#"


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Ejercicios

Dadas las siguientes funciones, determine la forma que tiene su :slo funcin inversa

" J B C B # C "!

# K B C C # B $

&

$ L B C $ B &C "

% M B C "! B #C

&

Respuesta

" J B C C #B "! "

# K B C C B

& $

# #

"

$ L B C C B & "

$ $

"

% M B C C #B &! "

Sea : A B una funcin, entonces:0

Resumiendo

") 0 se dir inyectiva si:

Es decir, a imgenes iguales, preimgenes iguales.


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# a C b B C 0 B) B , A0 se dir sobreyectiva o epiyectiva si: ,

En forma equivalente BV/- 0

333) 0 se dir biyectiva, s y slo si, es inyectiva y epiyectiva a la vez.

: Si : A B no es Inyectiva, ni Sobreyectiva se puede encontrar unaObservacin 0 restriccin sobre A y B de modo que : A' B' sea Inyectiva y Sobreyectiva, es decir, redefinir la0 funcin 0

Ahora, hagamos un anlisis algebracocompleto para un ejercicio en particular !!

Ejemplo :"

Determine si la funcin es ( de no serlo redefnala ):biyectiva

:0 ( )B 0 B B #

Respuesta

Dominio de la funcin: H97 0 Codominio de la funcin: G 9. 0 Recorrido de la funcin: V/- 0

!

G9. V/-0

Por lo tanto, .no es sobreyectiva0

Restriccin: Se cambia el codominio por el recorrido !

:0 !

+

Slo resta analizar su inyectividad: ( ) ( )0 B 0 B B B1 2 1 2

Sea ( ) ( )0 B 0 B1 2( ) ( )B B" ## #

B B1 #Luego: B B B B1 1# #

Por lo tanto, .0no es inyectiva

Restrinjamos el dominio de la funcin de a para hacerla inyectiva. !


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Ahora, es inyectiva y sobreyectiva:0

Redefinida , se tiene:

Por lo tanto, es biyectiva.0

Ejemplo :#

Sea : definida por: ( ) . Si lo es, determine0 0 B #B " Es una funcin biyectiva?0su inversa 0 1

Respuesta:

") Inyectividad:

( ) ( )0 B 0 B1 # #B " #B " "1 # # B # B #1 #

es inyectiva.B B 0 " #

#) Sobreyectividad:

Para determinar el recorrido de , despejamos en funcin de . Luego, analizamos las posibles0 B Crestricciones para la variable :C C #B " C " #B

No existen restricciones para .C "

# B C

Por lo tanto, y se tiene que es sobreyectiva.V/- 0 G9. 0 0


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Como es inyectiva y sobreyectiva, se tiene que es Biyectiva.0 0

Luego, existe la funcin inversa de y se define de la siguiente forma:0

El estudio de una funcin debe considerar los siguientes pasos:Observacin:

1) Para determinar el DOMINIO de una funcin se analizan las posiblesindeterminaciones que puede tener la frmula que define a dicha funcin:

2) Para determinar el RECORRIDO de una funcin, primero se debe despejar enBfuncin de en la frmula que define la funcin.

CLuego, se verifican para la expresin que resulta de lo anterior:

3) Graficar la funcin para verificar el Dominio y Recorrido encontrados.

4) Para verificar la inyectividad, adems, del mtodo analtico (visto anteriormente) est el mtodogrfico que consiste en trazar una recta paralela al eje .B

Si la recta corta a la grfica de la funcin en un solo punto a lo largo de toda sugrfica, entonces la funcin es inyectiva.


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Si la recta corta a la grfica de la funcin en dos o ms puntos entonces lafuncin no es inyectiva. Para redefinir la inyectividad se debe restringir eldominio de la funcin.

5) Para verificar la sobreyectividad basta comparar el Recorrido encontrado con el Codominio de lafuncin. Esto es:

Si entonces es sobreyectiva.G9. 0 V/- 0 0 Si entonces no es sobreyectiva.G9. 0 V/- 0 0 Si el codominio no est dado en forma explcita se supone que .G 9. 0 Para redefinir la sobreyectividad se cambia el codominio dado por el recorrido que se ha

determinado.

6) Para determinar la funcin inversa se debe cumplir la condicin de biyectividad de la funcindada.

Luego de esto, se define la funcin inversa 0 V/- 0 H97 0 "

B C 0 B"

La frmula de la inversa se obtiene despejando en funcin de , luego se cambia por e porB C B C CB en la expresin que resulta del despeje anterior.

Ejemplos a desarrollar en clases:

Realice un anlisis completo de la funcin definida por: 0 B B $

" # BEjercicios

M BIndique si los valores dados para : pertenecen al dominio de estas funciones: B ! # $ & # ! #&

MM Determine el Dominio de las siguientes funciones:

a) C %B &

b) ( )0 B B (B #$

c) ( )1 + + $

+ "

d) ( ): B ( B

B $#

e) ( )< > % # >f) ( )= > > %> $#

g) ( )1 2 &2 $


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h) ( ): , , $

, #

II) Determine el Recorrido de las siguientes funciones:

a) ( )0 B )B $

b) ( ); B #B %#

c) ( )< B $B "#B#

d) ( )= > > &

# > %

e) ( )= 2 2 $f) ( ): ; ; &g) ( )7 - & $ -#- "

III) Analice Inyectividad, Sobreyectividad y Biyectividad para las siguientes funciones y luegodetermine la funcin inversa ( restrinja si es necesario):

a) : ; ( )0 0 B % #B

b) : ; ( )1 1 B B * !

#

c) : [ , [ ; (: # _ : B &B "!!

d) : ; ( )= " $ = >

$ > #

> "

e) : [ , [ ; ( )7 % _ 7 > > % #

Respuesta

M

MM)

a) b) c) 1 d)

e) f) g) h) > # 2 , # , $$

&

II)


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a) b) c) d) C % C "# "

#

e) f) g) ! !

$

#

III)

a) : ; ( )0 0 B % B

# 1 1

b) , ; ( )1 * _ 1 B B *" !

1 c) : [ , [ ; ( ): # _ : B

B " !

&"

#

!

1

d) : ; ( )= $ " = > > #

> $" 1

e) : [ , [ ; ( )7 % _ < > > %" "!

Un poco de historia.....El trmino Funcin fue usado por primera vez en por el matemtico francs1637 Ren

Descartes para designar una potencia de la variable .B B8

En el matemtico alemn utiliz el trmino para referirse a1694 Gottfried Wilhelm Leibnizvarios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso ms generalizado ha sido eldefinido en por el matemtico alemn, - (1805-1859), quien escribi: "Una1829 J.P.G. Lejeune Dirichletvariable es un smbolo que representa un nmero dentro de un conjunto de ello. Dos variables e estnB Casociadas de tal forma que al asignar un valor a entonces, por alguna regla o correspondencia, se asignaBautomticamente un valor a , se dice que es una funcin (unvoca) de . La variable , a la que seC C B Basignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable , cuyos valoresCdependen de la , se llama variables dependientes. Los valores permitidos de constituyen el dominio deB B

definicin de la funcin y los valores que toma constituye su recorrido".C


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AUTOEVALUACION

" 0 B % B # B #B " # B %

Seasisi

#

determine +0 # , 0# -0 %

# Grafique la siguiente relacin, analizando concavidad, Eje de Simetra,Interseccin con ejes X e Y y vrtice

V B C B C %C #

$ 0 E Sea

B 0 B B #

$ B

Determine:Dominio de+ 0 B 0 0 &Recorrido de, 0 B 1 0 $

c) Inyectividad 2 0 $"

Sobreyectividad. 3 0 %"

Funcin Inversa (restrinja si es necesario/% XEn 1897 un profesor de Fsica propuso que la temperatura en grados

Fahrenheit, en un termmetro "criquet" est dada por

X B %!B

%

donde es el nmero de chillidos del grillo por minuto. Si el nmero de chillidosBse aumenta en 10, determine en cunto aument la temperatura


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Respuesta

" + 0 # ! , 0 # " 0 % no est definido en la funcin

# ConcavidadConcavidad hacia la izquierda+ " !

Eje de Simetra

C C #,

#+

Interseccin eje \

B & &!

Interseccin eje Y C %C & !#

Los puntos son:C " C & T ! " T ! &" # " #

Vrtice

Z B Z * #,

#+

Grfico

$ + 0 $Dom

Rec, 0 "

- 0B 0B " #

B # B #

$ B $ B

" #

" #

B #$ B B #$ B " # # " &B &B" # B B" #

Por lo tanto es Inyectiva0

Rec. G9. 0 0 "


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No es Sobreyectiva, luego restrinjimos0

0 "

B 0 B B #

$ B

funcin Inversa

0 " "

B 0 B $B #

B "

indeterminacin0 0 & $) 1 0 $

2 0 $ ""# 3 0 % #" "

% X ! X ! %! %!!

%si ,

,X "! X ! %! %! %# &

"!

%

. Por lo tanto aument F%# & %! # & # &


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CAPITULO IV

FUNCION EXPONENCIAL YLOGARITMICA


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FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Este tipo de funciones nos permiten representar situaciones de la vida real.

UN EJEMPLO REAL

Algunos tipos de bacterias se reproducen por , dividindose la clula en dos, en"mitosis"espacios de tiempo muy pequeo, en algunos casos cada 15 minutos. Cuntas bacterias se producen enestos casos, a partir de una clula, en un da?

tiempo (min) bacterias

15 2

30 4

45 8

60 16

738 B "738 B #738 B $738 B %

Es decir, las bacterias crecen a razn de # B

si son los intervalos de 15 minutos: en una hora hay 2 = bacterias , en dos horas 2 = esB "' #&'% )

decir, en un da , 2 = . bacterias!#% % *' #) # ( * " !

Esto nos da idea del llamado crecimiento exponencial!, expresin que se utiliza cuando algo crece muydeprisa

Una es una funcin definida por una ecuacin de la forma:funcin exponencial

, en la cual0 B , , ! C , "B

, Para que la funcin tenga sentido y se pueda dibujar la base debe ser por, !

qu?Por ejemplo si , cmo se definira ( ) ? Seguro que sabrs que es la, # #

"#

"#

raiz cuadrada de , la cul no existe. Lo mismo pasara con otros valores de , por # Blo que la funcin no tendra sentido.

, !Es claro que si , se trata de la funcin 0, sin inters.

, "Habrs observado tambin que la funcin cuando es muy distinta que cuando, y adems que cuando se trata de una , es decir, de la funcin y = 1,, " , " recta

que es una recta horizontal.


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Grfica de funciones exponenciales

Para graficar estas funciones se construye una tabla de valores conveniente para y se determinanBlos valores de al haber reemplazado en la ecuacinC B

La funcin es siempre creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de ), dependiendoB

de los valores de la base " ".,

Ejemplo Grafique C $B

Respuesta

Haga una tabla de valores de la funcin y a partir de ella, grafquelaC $ B

En este ejemplo , es decir, la funcin es, $ creciente.

Ejemplo

Grafique C $

& B

Respuesta

En este ejemplo por lo tanto la funcin es ., $& decreciente


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Si observa las grfica vistas en los ejemplos dados notar que se mantienen caractersticascomunes, de aqu obtenemos las propiedades siguientes:

Propiedades de la funcin Exponencial

* La funcin existe para cualquier valor de . El dominio de la funcin exponencial es elBconjunto de los nmeros reales.

* Los valores de son siempre positivos (prueba cuantos valores desees para ). PorC Btanto: LA FUNCIN SIEMPRE TOMA VALORES POSITIVOS para cualquier valorde . El recorrido de es el conjunto de los nmeros reales positivos.B 0

* En todos los casos la funcin pasa por un punto fijo, la grfica de la funcin intersecta al eje cuando]B ! ! ". Generalmente, el punto

* El eje es una asntota horizontal para la grfica de la funcin exponencial, es decir,\se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el casoen que y hacia la izquierda en caso de .! , " , "

* La funcin es inyectiva.0

Ejercicios

M Grafique las siguientes funciones, determine, adems cules son crecientes y cules decrecientes:

" 0 B # 0 B $"

# B B

$ 0 B % 0 B %"

%

B #B

MM Las amebas, son seres unicelulares que se reproducen partindose en dos (biparticin). Esto serealiza ms o menos rpidamente segn las condiciones del medio en que se encuentren (cultivo).Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamentecada hora y que, inicialmente, hay una ameba.


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a) Calcule el nmero aproximado de amebas que habr segn pasan las horas ycomplete la tabla .

b) Represente grficamente estos datosc) Cambie los ejes y represente la funcin cuyas variables sean, ahora:

: nmero de amebasB: tiempo (en horas)C

MMM Las sustancias radiactivas se desintegran transformndose en otras sustancias y lo hacen conmayor o menor rapidez, segn de cul se trate.Supongamos que tenemos 1 kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reducindose a la mitad cadaao. El resto de la masa no desaparece, sinoque se transforma en otro componente qumico distinto.

a) Complete la tabla siguiente (utilize la calculadora para obtener los valores con tres cifras decimales):

b) Represente grficamente los datosc) Cambie los ejes y represente la funcin cuyas variables son, ahora, : peso de la sustancia radiactiva (enBkg) : tiempo transcurrido (en aos) C

Respuesta

M


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MM +

MMM


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APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL

Muchos Modelos matemticos que se presentan en ciencias y matemtica se pueden representarpor funciones exponenciales.

Por ejemplo: La funcin exponencial se aplica a la qumica y fsica. En algunos elementosradioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la leyexponencial y se dice que el elemento decrece o decae.

El Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente deacuerdo a la funcin: , donde es la masa inicial del Polonio, es la masa al cabo de7 7 / 7 7! !!!!&>

un tiempo y es el tiempo en das.>

El crecimiento poblacional (Demografa) de una regin o poblacin en aos, parece estar sobre una curvade caracterstica exponencial que sugiere el modelo matemtico dado por: , donde es laR R / R ! !5 >

poblacin inicial, es el tiempo transcurrido en aos y es una constante. (En 1798, el economista ingls> 5Thomas Malthus observ que la relacin era vlida para determinar el crecimiento de laR R /! 5 >

poblacin mundial y estableci, adems, que como la cantidad de alimentos creca de manera lineal, el

mundo no poda resolver el problema del hambre. Esta lgubre prediccin ha tenido un impacto tanimportante en el pensamiento econmico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conocecon el nombre de modelo Malthusiano).

En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidadpresente sigue una ley exponencial de disminucin.

Observacin:

La funcin exponencial obedece a todas las leyes de los exponentes.

EL NUMERO e

Quizs ya conozcas un nmero muy especial llamado nmero " ". Si no lo conocas, se trata de un/nmero irracional, por tanto con infinitas cifras decimales y no peridico, cuyo valor es/ # (")#)") en sus seis primeras cifras decimales.

Evidentemente , luego la funcin ya es conocida, siempre creciente./ "


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Adems de escribirse como , tambin se escribe como por tratarse de la funcinC / C /B:B B

exponencial ms utilizada

Debido a su importancia muchas calculadoras con funciones cientficas tienen una tecla que nos/ B

permite calcular los valores de directamente./ B

La funcin exponencial que tiene por base el nmero tiene un especial inters que conocers mejor/cuando se estudien los lmites y los logaritmos Por ejemplo, en Clculo el nmero surge del estudio de /la funcin definida por:0

en donde es un entero positivo.0 8 " 8"

8 8

Puede probarse que los valores de la funcin se acercan al nmero a medida que0 8 / 8aumenta de valor, es decir:

cuando " / 8 _"8

8

Ejercicios

" Usando su calculadora (tres decimales aproximado) determine:

+ / , / $ &

- / . / / % # '

# La curva adoptada por un cable o una cuerda larga que cuelga sobre su propio peso entre dossoportes fijos se llama . Puede probarse que bajo ciertas condiciones un cable colgante asume lacatenariaforma de la grfica de la funcin:

0B -/ /

#

B- B-

Determine , si - # + 0 # , 0 & - 0 $tres decimales aproximado):

Respuesta

" + #! !)' , "%) %"$ - ! !") . %!$ &'%


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# + - # B #Para y se tiene:

0 # # $ !)'/ /

#

## ##

5, 0 & "# #' - 0 $ % (!&

Ejemplos de aplicacin

El estroncio se usa en reactores nucleares y se desintegra de acuerdo a la ecuacin*! E T /!!#%)> donde es la cantidad presente en y la cantidad que queda despus de aos. Si seT > ! E >colocan milgramos de estroncio en un reactor nuclear. Cunto quedar despus de aos?&!! *! "!(Exprese la solucin con dos decimales)

Respuesta:

El modelo es , se reemplazan los datos dados: yE T / T &!! > "!!!#%)>

Luego: E &!! / !!#%)"!

E $*!")

Despus de aos quedan aproximadamente miligramos de estroncio"! $*! ") *!

(dos decimales aproximado)Ejercicios:

" Para el mismo ejercicio dado anteriormente, considerea) y , determineT "&!! > ) E

b) meses, determineE "& !!! > ") T

2) Si el monto generado por un capital colocado a una tasa de inters compuesto al cabo deG 3 8

perodos de capitalizacin es:

Q G " 3 8

a) Determine el Monto que se obtendr al cabo de aos al depositarse $ a una tasa de& "&!!!inters de % anual.&

b) Si el Monto obtenido es de $ , la tasa de inters de % anual y el tiempo transcurrido#!!!!! $ "&aos. Cul fue el capital?$ T "*(% $ *La poblacin mundial en era aproximadamente de miles de millones y la tasa decrecimiento anual del %. Si se supone un crecimiento continuo entonces , donde es el# T $ * / >!!#>

tiempo en aos despus de ."*(%Suponga que no ocurren cambios en la tasa de crecimiento.

Calcule la poblacinpara .+ #!!$b) Encunto tiempo la poblacin aumenta al doble

4) En condiciones ideales el nmero de bacterias presentes en un cultivo en horas est dada por el>modelo , es la tasa de crecimiento y es el nmero de bacterias en el tiempoR > "!!! / 5 "!!!5 >

> !

a) Cuntas bacterias habr a las horas si ?$ 5 ! !!"


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b) Cuntas bacterias habr a las horas si ?$ 5 ! !#

& C "!!! *% CSe sabe que la concentracin de un frmaco en sangre viene dado por en>

miligramos, en horas).>

a) Cul es la dosis inicial?

b) Qu cantidad de ese frmaco tiene el paciente al cabo de hora? Y de tres horas?"c) Represente la funcin.

Respuesta

1) + " #$! , " &&' ) &

2) $+ "*"%%$, "#)$(#

$+ '*( miles de millones, $% '' aos

% + "!!$, *%" ('

& > C "!! 71a) = 0 b) y = 94 mg en 1 hora> "

> $ y = 83 mg en 3 horas


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Otra funcin muy importante que tienerelacin con la funcin exponencial esla funcin logartmica, la cual vamos aestudiar a continuacin

FUNCION LOGARITMICA

Ya que la funcin exponencial definida por es biyectiva, tiene en0 C , B

consecuencia una funcin inversa. Para encontrarla, haremos lo siguiente: Intercambiamos las variables Be para obtener Esta frmula define a como una funcin de :C B , B CC

es el exponente al que se eleva la base para obtenerC , B

Reemplazando la palabra exponente por la palabra logaritmo podemos reformular la definicinas:

y abreviarlautilizando la frmula:" es el logaritmo en la base de "C , B

Esto nos relaciona la funcin logartmica con la exponencial.

Por lo tanto, la funcin logartmica con base se escribe:,

Es la funcin inversa de la funcin exponencial con base .,


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GRAFICO DE LA FUNCION LOGARITMO

La grfica de esta funcin es simtrica a la grfica de la funcin exponencial.Para graficar le asignamos valores a y al remplazarlas en la funcin obtenemos valoresC B ,C

de .B

Si la base es mayor que 1, la grfica de la funcin es siempre creciente, (se puede observar comocrece "ms deprisa", cuanto ms pequea es la base del logartmo).

Ejemplo:

Graficar: 0 B 691 B # B# C

Ahora grafique usted las siguientes funciones logartmicas:

Ejercicios

+ 0 B 691 B , 0 B 691 B$ "#

- 0 B 691 B " . 0 B 691 " B# &

Qu puede observar que tienen en comn estas grficas?


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Algunas aplicaciones de la funcin logartmica

Los astrnomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos clculos decarcter logartmico. La ecuacin logartmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.

En la fsica la funcin logartmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el clculodel volumen "L" en decibeles de un slido, para el cual se emplea la siguiente ecuacin = 10 ( /P 691 M M M M! !) , donde es la intensidad del sonido (la energa cayendo en una unidad de rea por segundo), es laintensidad de sonido ms baja que el odo humano puede or (llamado umbral auditivo). Una conversacinen voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.La geologa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logartmicas para el clculo de laintensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud de un terremoto est definidaVcomo en la escala de Richter, donde es la intensidad y es una constante. ( es laV 691 E E E E E! !amplitud de un sismgrafo estndar, que est a kilmetros del epicentro del terremoto)."!!

De la funcin logartmica se puede decir que:

El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos.El recorrido es el conjunto de todos los nmeros reales.La grfica pasa por el punto " !Si , la funcin es creciente. , "Si , la funcin es decreciente. ! , "

, s y solo si, 691 B 691 A B A, ,* El eje Y es una Asntota vertical , ya que se acerca al eje Y tanto como se desee,

sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que y hacia arriba en caso, "de ("SIEMPRE POR LA DERECHA"), "

En la expresin: se tiene queC 691 B,


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La siguiente tabla muestra el paralelismo entre la forma logartmica y la forma exponencial:

Ejemplo:

Calcule los logaritmos siguientes:

a) ? , la solucin es , porque691 "' % # "'# %

b) ? , la solucin es , porque691 ) $ # )# $

Ejercicios

Encuentre los siguientes logaritmos:

) log ) log+ "#& , "

%*& (

) log ) log- & . "

)"

#& "'

) log ) log/ " 0 $ ' $

log log1 '#& 2 ( "& %*

Respuesta

+ $ , # - "# . $%

/ ! 0 " 1 % 2 "#

Consecuencias de la definicin

NOTA: Lo siguiente es vlido para cualquier base , 1, ! ,

" El logaritmo de en cualquier base es "cero""

691 " !,


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# Si la base y el argumento son iguales, el logaritmo es "

1691 , ,

$ El logaritmo de cero no est definidoww ww

no est definido691 !,

% El logaritmo de un nmero negativo no est definido

& El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base dellogaritmo es el exponente de la potencia

691 , -,-

Ejercicios

Encuentre los siguientes logaritmos:

+ 691 # , 691 #( # $

- 691 " . 691 + % + 7"

/ 691 ! 0 691 "! $ &

Respuesta

No est definido No est definido+ " , $ - ! . 7 " / 0

LOGARITMOS DECIMALES O COMUNES

La base de una funcin logartmica puede ser cualquier nmero real positivo diferente de . En la" prctica, sin embargo dos son las bases ms importantecuando y (, "! , / # (")

Cuando la base es se escribe y se subentiende que la base es ."! 691 "!

Ejemplo

se escribe691 "!! 691 "!!"!


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Ejercicios

" #Encuentre Ud. el valor de los siguientes logaritmos (use su calculadora, decimales):

a) b)691 ! !" 691 "!!!!

c) d)691 ! !!!!" 691 & 691 $

e) f)# 6 9 1 % ' 6 9 1 (' 6 9 1 % $ 6 9 1 *

691$

2) Se sabe que la concentracin de un frmaco en la sangre viene dado por enC "!!!*% C>

miligramos, en horas).>Si queremos que la concentracin no baje de 60 mg, al cabo de cunto tiempo tendremos que

inyectarle de nuevo?

$ C " # C BUn cultivo de bacterias crece segn la funcin ( : miles de bacterias, : horas).B"!

Calcule cunto tiempo tardarn en duplicarse.

Respuesta

" + # % &b) c)

d) e) f)! ## ' #( " &(

2 "!! ! *% '! > ) 2 "& 738>

Al cabo de aproximadamente )2"&738

$ " # % B "& ) 2 "' 2B"! "!691$691#

LOGARITMOS NATURALES

Si la base de una funcin logartmica es ..., entonces, / # (")#)")

se escribe y se subentiende que la base es el nmero " "691 B/ 68 B /

Ejemplo

se escribe691 "!! 68 "!!/


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Ejercicios

Determine usando su calculadora los siguientes logaritmos use tres decimales :

a) 68#

b) 68 #$%

c) 68&

d) # 68 $ 68 %

e) $ 68 # & 68 $ 68 "

f) 68 ' % 68 # #

g) 68 / "#

Respuesta

a) !'*$b) & %&&c) "'!*d) ! )""e) (&($f) !*'#g) "# ! &

Muchas veces conviene cambiar la base del logaritmo original a una base conocida. Para estonecesitamos la siguiente definicin:

FORMULA DE CAMBIO DE BASE

Si " " y " " son nmeros positivos diferentes de , entonces para cualquier nmero positivo+ , " Rse cumple que:

691 R ,691 R691 ,

+

+

Ejemplo

Usando la forma anterior, encuentre el valor de , usando su calculadora691 ")'

Respuesta

En este ejercicio podemos ver que y, ' R ")Como en la calculadora es posible encontrar los logaritmos decimales, cambiaremos a base ,"!

entonces + "!

691 ") " '"$"691")

691''


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Ejercicios

I) Cambie los siguientes logaritmos a la base que se pide Deje expresado:

a) a base691 # $&

b) a base691 $ #%

c) a base691 * $&

II) Encuentre el valor de los siguientes logaritmos usando cambio de base (3 decimalesaproximados):

a) 691 #" (

b) 691 #"% &

c) 691 ") %

d) #691 "' $691 "& & %

e)&691 (

691 )

#

$


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Respuesta

I) a) b) c)691 # 691 $ 691 *

691 & 691 % 691 &$ # $

$ # $

II)

a) "&'&b) $ $$%c) #!)&d) #%"&e) (%"'

Para poder resolver ejercicios con logaritmos es necesario que conozcamos algunas de sus leyes.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Sean e nmeros reales positivos , y " " es cualquier nmero real.B C , ! , " 8Entonces:

1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los factores del logaritmo

2) El logaritmo de un cuociente es igual a la diferencia de los factores del logaritmo

3) El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por ellogaritmo de la base de la potencia


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Ahora usaremos estas propiedades para resolver los siguientes ejercicios:

Ejemplo

Escriba como suma y diferencia de logaritmos691 B C ,

# $

Respuesta 691 B C 691 B 691 C, , ,# $ # $

# 691 B $ 691 C, ,

Ejercicios

Escriba los siguientes ejercicios como suma y diferencia de logaritmos. Desarrolle al mximo:

) )+ 691 B C , 691B C D

,,"#

, $ $ $

'

$

) )- 691 . 691B C B B C & B C, # # #

$

) )/ 691 0 691- -

-

B % # B (

B $ B ( - ,

$

& # #

g) )691 2 691 B & ( B *

B B " &

"#& &$ # % $ & (%

)3 691B D

C "C

(

%

Respuesta

+ 691 B 691 C$ $

# #, ,

, $ 691 B *691 C $691 D "), ,,

- 691 B 691 C 691 &, , ,

. 691 B 691 B C 691 C"## # #

#

/"%

"&

0 691 B % 691 # B ( 691 B 691 $ B ( " " "

# # #, , , ,

1 % 691 B & $ 691 ( B * 691 B 691 B "$ $ $ $#


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2*

#

3 691 B ( 6 91 D % 6 91 C "C C C

Veamos los casos al revs, es decir, de unasuma o resta de logaritmos, escribir comoun solo logaritmo

Ejemplo

Escriba como un solo logaritmo la siguiente expresin:

# 6 91 B $ 691 C 691 7 691 C 691B

C 7

, , , , ,$

#

'

ObservacinUna forma fcil de resolver estos ejercicios es : Todos aquellos factores a losagrupar por signos

cuales precede un signo positivo quedan en el numerador de la fraccin , y los que tienen signo negativo quedan en la fraccin del denominador.

Ejercicios

Escriba como un solo logaritmo:

M $ 691 B 691 C"

&

a) , ,

b)%

&691B $ 6917 & 6918 691 ,

c) 691 $ 691 % % 691 7 691 B 691 A, , , , ,

d) 691 B C 691 B C

e) 691 7 691 8 691 + & 6 91 , 691 2" "

$ %

f) 691 7 691 : 691 +81 % $ %

& & $) ! ! !

-9=/- =/- -9>+81 & & $

% $ %! ! !

, =/8 -9= >+81 $$ "

# #) ! ! !

-9=/- =/- # -9>+81

# "

$ $! ! !

M Z + % "$$$ , !!(($&

Como consecuencia inmediata de estas definiciones, se obtienen las relaciones llamadas tambinrecprocas.

=/8 -9=-9=/- =/-

= =1 1

! !

! !

= =1 1

>+1 -9=/--9>1 =/8! !! !

= =1 1

=/- -9>1-9= >+1

! !! !

Supongamos que necesitamos determinar un ngulo conociendo slo el valor de l a travs de unafuncin trigonomtrica. Por ejemplo , usted sabe que

=/8 ! )%))


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Para determinarlo usted debe hacer uso de su calculadora cientfica y usar la funcin INV de ella.

Pero OJO, fjese si esta est en modo radianes ) o (grados sexagesimalesrad deg

Ejemplo

INV=/8 ! )%) )

en deg : ) &(** 9

en rad: = 1, 012) +81 # (%( ( =/- $ "') )

$ -9=/- " "&&)

% =/8 ! **')

& - 9=/- " " #)

Respuesta

" '! $ '!1) )9 9

) ) # (*


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( (" &) 9

) "#&

Problemas con enunciado usando como referencia un Tringulo RectnguloPara encontrar un lado de un tringulo rectngulo cuando se conocen un ngulo y un lado, pueden

utilizarse las funciones trigonomtricas: una funcin y su recproco . Al utilizar la calculadora se eligen lasfunciones seno, coseno y tangente, ya que estas funciones estn representadas en las teclas de ella.

Ejemplo:

Sabiendo que >+1'! 2

$%!!

>+1 '! $%! 2!

2 &)) * -7

Ejemplo

Un cable de sujecin, se amarra a 12 m de la base de un mstil, y el cable forma un ngulo de 15 o

con el sueloCunto mide dicho cable?

Determinamos el valor de a travs de sen 15 = DespejamosB Bo "#B

y obtenemos B %'$'%%


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ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESION

Un es aquel que se forma desde la lnea de vista horizontal del observador,ngulo de depresinhasta un objeto abajo de sta.

es aquel que se forma sobre la horizontal y el objeto que se observa.Un ngulo de elevacin

Ejercicios

") Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ngulo de 20 30' sobre el

horizonte, calcular la altura del edificio.# Un rbol de 100 pies de altura proyecta una sombra de 120 pies de longitud. Encuentre el ngulo deelevacin del sol

$) Una escalera est apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una distancia de 12pies del edificio. A qu altura est el extremo superior de la escalera y cul es la longitud si el ngulo queforma con el suelo es de 70 ?o

%) De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ngulo de depresin de un bote es de 15 .o

A qu distancia est el bote del faro?

&) Encuentre la altura de un rbol, si el ngulo de elevacin de su parte superior cambia de 20 a 400 o

cuando el observador avanza 75 m hacia la base de este.') Un hombre maneja 500 m a lo largo de un camino inclinado 20 con respecto a la horizontal. A quo

altura se encuentra con respecto al punto de partida?

() Un rbol quebrado por el viento forma un tringulo rectngulo con el suelo. Si la parte quebradahace un ngulo de 50 con el suelo y si la copa del rbol esta ahora a 6 metros de su base. Qu altura tenael rbol?.


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)) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del ms bajo de 12 metros de alto, elngulo de elevacin del borde del techo del ms alto es de 40. Cul es la altura del edificio masalto.?

* Dos caminos rectos se cortan bajo un ngulo de 75 . Hallar la mnima distancia de uno de ellos auna estacin de gasolina que est sobre el otro camino a 300 metros de la encrucijada.

"! Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros roabajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ngulo de30 con nuestra orilla. calcular la anchura del ro (ver figura)

"") Desde un punto se observa un edificio cuya parte ms alta forma con el suelo un ngulo de 30, siavanzamos 30 metros, el ngulo pasa a ser de 45. Calcular la altura del edificio.

"# Un aeroplano parte de un aerdramo elevndose , formando un ngulo de8 40 con la horizontal a cuntos metros pasar de la cumbre de un cerro de 110 m situado a 1000 m delo

,

aerdramo?

"$ Sobre un peasco situado en la ribera de un ro se encuentra una torre de 125 pies

de altura. Desde lo alto de la torre, el ngulo de depresin de un punto situado enla orilla opuesta es y desde la base de la torre el ngulo de depresin del#) %!9

mismo punto es Calcule cunto mide el ancho del ro y la altura del") #! 9

peasco.

14) Un piloto mide los angulos de depresin de dos barcos los cuales son y%! 9

Si el piloto est volando a una altura de pies. Encuentre la distancia entre$& !!!los dos barcos.

Respuesta


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"

&'!)7

# $* )!

$ $$ :3/=altura del edificiolongitud de la escalera $& "# :3/=

% 2 %%( ) 57)

& 2 %) # 7' 2 "(" 7( ' %La altura del rbol es de 1 , 8 metros.) La altura del edificio mas alto es 27 metros.* La mnima distancia es 291 metros."!

"" %"7

"# $! &

"$ &)! : "*# : el ro, el peasco


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14) 1003 p

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA

Las razones trigonomtricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver tringulos, as

como para resolver diferentes situaciones problemticas en otras ciencias.En Topografa se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ngulo. Por ejemplo, latorre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello sta se apartaba cadavez ms de su vertical. Originalmente tena una altura de m, aproximadamente. En un&% ' "**!observador situado a m del centro de la%'

base de la torre, determin un ngulo de elevacin de a la punta de la torre, el observador para&%determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeo, comparado con la altura de latorre) aplic la ley del seno para determinar el ngulo de inclinacin y la ley del coseno para determinar eldesplazamiento de la torre.

En ptica, la trigonometra se aplica en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una

placa de cierto material.En la Aviacin, si dos aviones parten de una base area a la misma velocidad formando un ngulo ysiguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.

El capitn de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en lnea recta, ordenandomodificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

Volvamos ahora a la circunferencia. En la figura que se muestra a continuacin, el crculo tieneun radio de 1unidad .

Usando semejanza de tringulo se puede observar que los tringulos A BC y ABC sonsemejantes,por lo tanto no existe diferencia en cuanto al lugar del lado terminal del ngulo en que se alejaP . Usando este concepto definimos las funciones trigonomtricas seno y coseno de la siguiente forma:

Como entonces< "

sen = y x! !C -9=

De aqu podemos ver que el sen y son iguales a las coordenadas x e y del punto en! !-9=

el crculo unitario.

Es decir, T BC T-9= =/8 ! !Angulos Cuadrantales


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Un ngulo cuadrantal es aquel en el cual el lado terminal del ngulo coincide con un eje delsistema cartesiano. Estos ngulos son 0 , , , y *! ")! #(! $'!en grados sexagesimales o bien entre 0 , , , y en radianes.32 2

1 1 1 1#

Coordenadas de puntos en un crculo unitario

Sea una circunferencia de ecuacin + = 1, de centro el origen y radio unaB C2 2

unidad , entonces podemos asignar un punto P ( ) en la circunferencia.B C

Los ngulos cuadrantales los hacemos coincidir con lo ejes:

La tabla que resulta con los datos dados es:

ngulo ngulo rad sen cos tang cosec sec cotang0 =360 0 0 1 0 indeterm. 1 indeterm.90 1 0 indeterm. 1 indeterm. 0180 0

! ! ! ! ! ! ! !

1

0

21

" "

" ! "

0 indeterm. indeterm.270 indeterm. indeterm. 032 1

Angulos especiales : , y $! %& '!Existen algunos ngulos especiales que mediante nociones geomtricas simple permiten encontrar

los valores exactos de las funciones trigonomtricas.Estos ngulos son , y correspondientes a los nmeros$! %& '!1 1 1

6 4 3, , respectivamente.

En la siguiente figura se muestra un ngulo de 30 en posicin estndarPor conveniencia, el punto sobre el lado final del ngulo se tom a una distancia de 2 unidadesT

del origen. Como el sector es parte de un cuarto de circunferencia se ve claramente que el radio de esta es2.


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El tringulo que as se forma es rectngulo y por Teorema de Pitgoras podemos

determinar todos los lados de l.

B C


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B C


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, # $ =/8 % =/8 # =/8 $#

$ ' $ 1 1 1

Pero podemos usar esta informacin para determinar otros ngulos ?

S, pero para sto es necesario conocer otro concepto, que es el de y elngulo de referenciacual definiremos a continuacin.

Angulos de referencia

Para encontrar las funciones trigonomtricas para un ngulo cualquiera, se usa un ngulo dereferencia del primer cuadrante, agudo y positivo, el cul considera el lado inicialcon el semieje positivo de las X y el lado terminal queda en el primer cuadranre.

Este ngulo se asocia a un tringulo de referencia que es rectngulo.

Este ngulo es de referencia para los siguientes ngulos:

Ejemplo 1

Use un ngulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonomtricaspara ."$&

Respuesta

El ngulo de 135 es un ngulo del segundo cuadrante, por lo tanto el ngulo de referencia autilizar es el de 45 , ya que

180 - 135 45


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Por lo tanto determinaremos las seis funciones trigonomtricas para el ngulo de 45 , perorecuerde , el ngulo 135 est en el segundo cuadrante, y sto incide en el signo de la funcin.

45 ==/8 =/8 "$&" "9 2 245 =-9= -9= "$& " "9 2 245 = 1 135 = 1>+1 >+1 o o

135 = 1-9>1 %& " -9>+1 9 o

cosec 45 = 2 cosec 135 = 2o o 45 = 2 135 = 2=/- =/- o o

Ejemplo 2

Use un ngulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonomtricas para 930

:Respuesta

Se observa que el ngulo de 930 es mayor que 360 , luego se le debe restar a ste cualquierentero mltiplo de 360 , sin alterar el valor de las funciones trigonometricas.

930 2 . 360 210

El ngulo de 210 se encuentra en el III cuadrante

El ngulo de referencia es el de 30 ya que 210 180 $!luego las seis funciones trigonomtricas son para este ngulo son

=/8 $! -9= $! >+81 $! ! ! !"# # $$ $

-9=/- $! # =/- $! -9>+1 $! $! ! !# $$


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166

Pero como el cuadrante en el cual trabajamos es el tercero entonces elcambiamos los signos Cngulo original

=/8 #"! -9= #"! >+81 #"! ! ! !"# # $$ $

-9=/- #"! # =/- #"! -9>+1 #"! $! ! !# $$

Ejercicios

" En los siguientes ejercicios, encuentre el ngulo de referencia y determine las seis funciones!trigonomtricas .

=+ $!!=, $"& o

=-#%! 9

==."#! 9

=/ $!! 9

=0$"& 9

# Hallar el valor exacto de estas expresioes, usando ngulos de referencia

+ =/8 -9= =/8& $ (

% % %

1 1 1

, -9= >+1 >+1&1$ $ '% (1 1

- $ -9= =/8 # -9= # $ =/8' ' % $

1 1 1 1

Respuesta

Angulo de referencia :+ '!9

=/8 $!! -9= $!! >+81 $!! $! ! !$# #"

-9=/- $!! =/- $!! # -9>+1 $!! ! ! !# "$ $

Angulo de referencia, %&9

=/8 %& -9= %& >+81 %& "! ! !# ## #

-9=/- %& =/- %& -9>+1 %& "! ! !# ## #

# + , - ## $ % $

# '


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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTASFUNCION SENO

FUNCION COSENO

FUNCION TANGENTE


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Recuerde que para hacer la grfica de una funcin cualquiera, se construye primero una tabla devalores de los pares ordenados asociados ( ), despus se marcan los puntos correspondientes y porB Cltimo se unen los puntos con una curva suave.

Qu pasa con las funciones trigonomtricas?

y ser necesario graficar toda la curva

para as determinar su forma?

No, ya que estas curvas son continuas uniforme , es decir, peridicas y cada periodo recibe elnombre de un y basta con saber las caracteristicas de este ciclo.ciclo

FUNCION SENO

Cul es un ciclo de la funcin seno ? Si usted mira cuidadosamente, puede observar que un ciclo corresponde a un tramo entre los

puntos ( y ( y el punto medio de l es el punto! ! # ! ! 1 1

Ahora, resumiremos las propiedades de la funcin seno a travs de un ciclo de la funcin.

1) La funcin seno es peridica, con periodo #12) Para cualquier valor dado a x, la solucin se encuentra entre [ " " $ ! 9 El seno de x es igual a cero cuando x x 1% El seno es una funcin impar, por lo tanto, su grfica es simtrica con

respecto al origen.sen ( x ) = sen x

& la funcin seno decrece entre y12 23 1

6) La funcin crece entre 0 y 21 12 2C$ 1

Toda funcin real de la forma


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con a , b , c y d0 B + =/8 ,B - .

se llama funcin SINUSOIDAL O SINUSOIDE

Cambia el grfico segn sea el valor de "a", "b", "c" o "d" ?Si, y veremos cada uno de los casos

1 CASO

Si , entonces , la funcin toma la forma- . ! 0 B + =/8 , B

Como y = sen x es peridica, de periodo 2 y su grfico tiene la mayor ordenada que es 1,1cuando

, entonces, la funcin , suponiendo que a y bB # 5 0 B + =/8 ,B ! !1# 1

es tambin peridica repitindose cada vez que bvara en una longitud 2 , es decir, cuando x vara,B 1en una longitud . Su perido es entonces2 2b b

1 1

ww w w+ es la mayor ordenada o mximo de la funcin y se llama amplitud de la funcinSi , el ciclo comienza sobre el eje+ ! \ Si el ciclo comienza abajo del eje+ ! \

Ejemplo 1

Sea la funcin . GraficarC $ =/8 B1#

Respuesta

Amplitud : + $ + !Periodo : , en este ejercicio luego el periodo es 42

b

1 1, #

Conviene graficar en el eje positivo de las x ! ! % !Los extremos son ( y ( de un perido # !El punto medio es ( de un perido

! # ! " ! El valor mximo lo toma en el punto medio entre ( 0 y ( es decir

" $ La grfica pasa por le punto (

OJO !!

Como la funcin seno es impar , se tiene que:

, entonces el grfico deC + =/8 , B + =/8 ,B

es el simtrico del deC $ =/8 B $ =/8 B 1 1# #


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Observe los grficos siguientes

Qu puede decir de ellos?. En qu se diferencian y ?0B 1B

2 CASO

Si , entonces , la funcin toma la forma. ! 0 B + =/8 , B -

El grfico de esta funcin es similar al de 0B + =/8 ,B

0B ! cuandodespejamos x,B - !

B -,

Este valor recibe el nombre de FASE y representa el nmero de unidades que se debe trasladar el

grfico de ( + c ) a lo largo del eje x, para obtener el grfico de l a funcin. EstaC + =/8 , Btraslacin tambin se llama desplazamiento horizontal.

Si , la traslacin es hacia la izquierda-, !

si , la traslacin es hacia la derecha-, !

Ejemplo 2

Graficar C # =/8 # B 1

Respuesta

Amplitud + #Periodo : , en este ejercicio 2 luego el periodo es2b

1 , 1

Fase: #B !1 #B 1

como este valor es positivo, la traslacin es hacia la derechaB 1#


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En el grfico , la lnea continua muestra el perido que se repite a lo largo de todo el eje.

Ejemplo

Grafique =/8 B 1

Respuesta

Amplitud : + "Periodo : , en este ejercicio luego el periodo es2b

1 , " #1

Fase B !1 B 1

Grfico

3 CASO

Si la funcin toma la forma con a , b , c y d0 B + =/8 ,B - .

El valor de "d" traslada el grfico en forma vertical

Si , el grfico se desplaza hacia arriba d unidades. !Si el grfico se desplaza hacia abajo d unidades. !


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Ejemplo

Graficar C # =/8 # B $1

Respuesta

Amplitud : + #Periodo : , en este ejercicio luego el periodo es2b

1 , # 1

Como , el grfico igual al anterior , pero es simtrico a l.+ !

Ejemplo

Grafique C " =/8B

Respuesta

Amplitud : + "Periodo : , en este ejercicio luego el periodo es2b

1 , " #1

Esta funcin es similar a la de , pero se traslada 1 unidad hacia arribaC =/8B


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Ejercicios

Grafique las siguientes funciones

a) C # = / 8 $ B

, C $=/8 #B #

1

- C $ =/8 # B

. C B2 sen "#

/ En la figura se muestra el encefalograma de un cerebro humano durante un sueo profundo. Las ondas[ [ + =/8 ,B -que se registran corresponde a la funcinCul es el valor de ,

Respuesta


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e) , #1

Otras formas de ecuaciones son...

Funcin sinusoidal de la forma 0B +=/8B ,-9=B

Para resolver las grficas es conveniente estudiar el siguiente teorema

:Teorema

Para valores cualquiera de a , b y c existen nmeros A y tales que!

7 =/8 - B 8 - 9= - B E =/8 - B !

en donde de aqu podemos resolver an ms la expresin , como sigueE 7 8 # #


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/E + , E # # # " + ,E E

# #

# #

por lo tanto el punto de coordenadas P , pertenece a la"

+ , + ,E E E E

##

circunferencia unitaria , luego:

=/8 -9= ! !, +E E

La grfica entonces corresponde a la funcin C E =/8 - B !

Ejemplo

Graficar 0 B # = /8 B & - 9= B

Respuesta

+ #, &- "

luego E # & #* & &* # #=/8 ')! !&

#*

en radianes los 68 se tranforman a ""*

La fase es ""*Periodo #1

La grfica es:

Ejemplo aplicacin./

Dos generadores de corriente alterna producen corrientes que vienen dadas, en funcin del tiempopor las ecuaciones

3 $ =/8 "#! B" 1 3 -9= "#! B# 1


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Si la corriente del segundo se aade a la del primero, determine las corrientes mximas, cundoocurre y la fase producida.

Respuesta

El total de corriente est dado por la ecuacin

3 3 3 $ =/8 "#! B -9= "#! B" # 1 1 + $ , " - "#! 1

E $ " % # # #El punto P tiene coordenadas P , As 32 "#

=/8 C -9= ! !"# 32

por cualquiera de las dos formas trigonomtricas es posible determinar el valor del ngulo. Como est!en el IV cuadrante ! 1'

Por lo tanto el total de corriente puede representarse por la ecuacin.

A =/8 - B ! # =/8 "#! B 1 1'

Se deduce que la corriente mxima es 2 y que la fase es:

"#! B !11

'

"#! B 1 1'

B 11" # ! '

B "(#!

unidades de tiempo."(#!

El valor mximo de i ocurre cuando x = + ,1 k180 360 5

Grfico:


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Ej rcicios/

Construya la grfica de:

" C =/8 B # -9= B

# C =/8 B -9= B

3 C =/8 B # -9= B

Respuesta

"

+ ", #- "

E & # #$=/8 '$!

, #E &

luego la funcin queda E =/8 -B ! )& =/8 B '$

Amplitud &Fase : B '$ !

B '$

Desplazamiento a la izquierda


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$

RELACIONES BASICAS E IDENTIDADES

Anteriormente habamos visto algunas relaciones llamadas Recprocas, ahora vamos a ver otras ms y quenos servirn para el posterior desarrollo del curso.

Relaciones Recprocas


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179

Relaciones de cuocientes

Relaciones Pitagricas

sen2x + cos

2 x = 1

1 + tag2 x = sec

2x

1 +cotag2 x = cosec

2x

Ejercicios

Determine el valor de la siguiente expresin usando relaciones pitagricas

" B -9= E =/8 E #& B CC

&Si y , determine el valor numrico de # #

# =/8 "# =/8 $(Si = 0,2 y = 0,6, hallar (usando las frmulas anteriores y sin usar calculadora)cos 12 tg 12 cos 37 tg 37.+ , - -

Respuesta

" #&

Con frecuencia es conveniente transformar o reducir una expresin dada que utilice funcionestrigonomtricas en otra funcin ms sencilla.

Se llaman a igualdades en las que aparecen expresionesIDENTIDADES TRIGONOMETRICAStrigonomtricas y para las que ocurre que sea cual sea el valor de los ngulos siempre se verifican.


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Una identidad trigonomtrica se verifica transformando alguno de los lados de la igualdad, usandoalgunas de las identidades vistas anteriormente.

Si la igualdad se verifica , entonces decimos que la expresin es una identidad, lo cual la cual sesimboliza por " "

Ejemplo

Verifique la identidad

>+81 B -9=B =/8 B

Desarrollaremos el lado izquierdo para llegar al derecho

=>+81 B -9= B -9= B =/8 B=/8 B-9=B

Por lo tanto >+81 B -9= B =/8B

Ejercicios

Demuestre que las siguientes igualdades son identidades

" =/8 B # =/- B =/8 B " -9= B

-9>+81 B >+81 B " -9= B =/8 B

$ -9= C =/8 C # -9= C " % " =/8 B -9= B

-9= B " =/8 B# # #

& =/- -9=/- =/- -9=/- # # # #! ! ! !

' -9=/- E -9= E " -9= E -9>1 E# # # #

( # =/- F" "

" =/8 F " =/8 F#

) >+8 B =/8 B =/- B

=/8 B " -9= B$

* " =/8 E -9= E-9=E-9>1E =/8E>+8E

-9=/- E =/- E


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"! =/8 B -9= B " =/8 B "

=/8 B -9= B " -9= B

"" =/8 B =/- B >+81 B

"# " - 9= B " =/- B - 9>+81 B =/8 B

"$ "=/8 > -9= >

-9=/- > =/- >

"% >+81 B - 9=/- B -9= B "# # #

"& >+1 >" =/- >

" -9=/ - >

#

#%

"' >+1 E - 9>1 E =/- E - 9=/- E# # #

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE DOS ANGULOS

1) FORMULAS PARA LA SUMA

=/8 =/8 -9= -9= =/8! " ! " ! "

-9= -9= -9= =/8 =/8! " ! " ! "

>+81 >+81 >+81

" >+81 >+81! "

! "

! "

2) FORMULAS PARA LA DIFERENCIA

=/8 =/8 -9= -9= =/8! " ! " ! "

-9= -9= -9= =/8 =/8! " ! " ! "

>+81 >+81 >+81

" >+81 >+81! "

! "

! "

$ FORMULAS PARA EL DOBLE DE UN ANGULO

=/8 # =/8 =/8 -9= -9= =/8 # =/8 -9=! ! ! ! ! ! ! ! !

-9= # -9= -9= =/8 =/8 -9= =/8! ! ! ! ! ! !# #

>+81 >+81 >+81 # >+81

" >+81 >+81 " >+81! !

! ! !

! ! !#

4) FORMULAS PARA EL ANGULO MEDIO

=/8 " -9=

#"# !

! -9=

" -9=

#"# !

!


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>+81 "" -9= =/8 " -9=

" -9= " -9= =/8#!

! ! !

! ! !

Ejemplo

Compruebe que , utilice la informacin dada=/8 %& =/8 %& # =/89 9! ! !

Respuesta

=/8 %& =/8 %& 9 9! !

=/8 %& -9= =/8 -9= %& =/8 %& -9= =/8 -9= %& 9 9 9 9 ! ! ! !

-9= =/8 -9= =/8# # # #

# # # #

! ! ! !

# =/8#

#

!

Ejercicios

1) Si sen 12 = 0,2 y sen 37 = 0,6, hallaCalcule, a partir de ellas,

25 25+ =/8 %* , =/8 - -9= %* . -9=

utilizando las frmulas dadas anetriormente# Compruebe que

+ >+81 =/8 # # =/8! ! !#

, -9>+81 =/8 # " -9= #! ! !

- -9>+81" -9=#

=/8#

!

!!

. -9= =/8 $! -9= '! ! ! !9 9

$ Verifique que

+ -9= # B -9= B =/8 B% %


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, " =/8 # B =/8 B -9= B

=/8B -9=B"#

$ $

- >+1 B >+1 #B =/-+ # B1 +

. >+1 E >+1 F=/8E F-9=E-9=F

/ -9= + , - 9= + , "

=/8+ , =/8 + , >+1 +

0 #=/8 + =/8 # + " -9=+

#=/8 + =/8 # + " - 9= +

1 >+1#=/8 + =/8 #+ +

#=/8 + =/8 #+ ##

FORMULA PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE ANGULOS

" PRODUCTO DE SENO Y COSENO

=/8 -9= =/8 =/8 ! " ! " ! " "#

-9= =/8 =/8 =/8 ! " ! " ! " "#

-9= -9= -9= -9= ! " ! " ! " "#

=/8 =/8 -9= -9= ! " ! " ! " "#

# SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS

=/8E =/8F #=/8 E F-9= E F" "# #

=/8E =/8F #-9= E F=/8 E F" "# #

-9=E -9=F #-9= E F-9= E F" "# #

-9=E -9=F #=/8 E F=/8 E F" "# #

Apliquemos estas igualdades en los siguientes ejercicios


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Ejemplo "

Exprese 40 30 como suma o diferencia de ngulos=/8 -9=o o

Solucin

40 s 30=/8 -9= =/8 %! $! =/8 %! $! o o "

#

9 9 9 9

=/8 (! =/8 "! "

#9 9

Ejemplo 2

Exprese 50 + 40 como producto=/8 =/8o o

Solucin

50 + 40 ==/8 =/8 # =/8 &! %! -9= &! %! # =/8 %& -9= &o o " "# #9 9 9 9 9 9

Ejemplo $

Si el seno de cierto ngulo vale y se sabe que el ngulo pertenece al cuadrante, calcular &( $las razones trigonomtricas del ngulo doble (para el y del ngulo mitad de este=/8# -9=# >+1 #! ! !ngulo.

Solucin

Para aplicar las frmulas del ngulo doble y del ngulo mitad necesitamos conocer el coseno y latangente del ngulo.

-9= " =/8! ! #

(En esta frmula consideramos el signo negativo de la raz puesto que los ngulos del tercer cuadrantetienen coseno negativo)

Tenemos as que el coseno vale y-9= >+1 #% & #%

( #%! !

Aplicando las frmulas dadas por la teora:

=/8 # # =/8 -9= # #% "! #%

( %*! ! ! &(

-9= # -9= =/8 #% #& "

%* %* %*! ! !# #

>+1 # "! #%#>+1

" >+1

#& #%

#%

" !

!

!# & #%#%

#

para el ngulo mitad tomamos en las frmulas los signos convenientes (pertenecer al segundocuadrante)


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=/8 # # "%

" ( #% ! #%(

-9= # # "%

" ( #%

! #%(

>+1 "

"

( #%

( #%

!#

#%(

#%(

Ejercicios

Exprese como suma o diferencia de ngulos"

a) -9=""! =/8 &&9 9

b) -9= &! -9= $&9 9

- =/8 && =/8 %!9 9

Exprese como producto#

+ =/8 (! =/8 #!9 9

, -9= && -9= #&9 9

- -9= $& -9= (&9 9

Si el seno de cierto ngulo vale y se sabe que el ngulo pertenece al cuadrante,$ #"! #calcular las razones trigonomtricas del ngulo doble (para el y del ngulo mitad=/8# -9=# >+1 #! ! !de este ngulo.

Demuestre que%

(ref: use la frmula de suma de senos)=/8 $B =/8 B #

=/8 $B =/8 B " >+1 B

#

Respuesta

") )+ =/8 "'& =/8 && , -9= )& -9= "& " "# #

9 9 9 9

- -9= *& -9= "& "#9 9

#

+ # -9= %& =/8 #& , # -9= %! -9= "&9 9 9 9


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- #=/8&& =/8 #! 9 9

TRIANGULOS NO RECTANGULOSUn tringulo no rectngulo o tringulo oblicuo, es aquel que no contiene un ngulo recto. En

este tipo de tringulos, los tres ngulos son agudos, o bien dos de sus ngulos son agudos y uno obtuso.

Se ha convenido en llamar A, B y C a los ngulos y y a los lados del tringulo.+ , -

Anteriormente vimos como se resuelven problemas usando como referencia tringulosrectngulos, ahora resolveremos problemas usando cualquier tipo de tringulo.

Resolver un tringulo, consiste en calcular todos sus elementos: sus tres lados y sus tres ngulos,para sto es necesario conocer al menos tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente es un lado.

LEY DE LOS SENOS

En cualquier tringulo ABC, la relacin entre un lado y el seno del ngulo opuesto es constante;

esto es:

Este teorema se aplica cuando en un tringulo dado se conocen:


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Veamos una aplicacin de este teorema en cada uno de los casos dados

Ejemplo Caso I

En el tringulo ABC, a = 62.5, A= 112 20 y C = 42 10 . Determineo o, ,

B y los lados b y c

Respuesta

Para encontrar , se determina a travs de la relacin : la suma de los tres ngulosBinteriores de un tringulo es 180 .o

B = 180 ( C + A ) = 180o o o "&% $! #& $!, 9

Para determinar los lados y lo hacemos a travs del Teorema del Seno, -

Para determinar,

= reemplazando se tieneA+ ,=/8 =/8 F

=62.5 62.5112 20 112 20=/8 =/8 #& $! =/8

, =/8 #& $!, #*"

o o,,9

9


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Para determinar-

=62.5112 20=/8 =/8 %# "!

-o , 9

62.5

112 20- %&%=/8%# "!

=/8

9

o ,

Por lo tanto B = 25 30 , = 29.1 , = 45.4o,

, -

Ejemplo Caso II

Dado el tringulo ABC, = , A= y = . Determine- #& $& F ')o o

y los lados yG + ,

n G ")! E F ((9 9

Para + =- =/8 E #& =/8 $&

=/8 G =/8 (( "&

9

9

Para , =- =/8 F #& =/8 ')

=/8 G =/8 (( #%

9

9

Ejemplo caso III

Dado en el tringulo ABC, = 628.5, =480 , C= 55 10 . Determine- , o,

A y B y el lado +


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Respuesta

tOrientacin

En navegacin, la direccin marca el ngulo agudo que forma una recta con la recta norte- sur.

En la figura se ilustra una orientacin W%! S9

Una orientacin R '& I o

En la figura se muestran las coordenadas de :U R #& I U R (! S " #9 9

U W%! S U W&& I $ %9 9y


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Ejercicios

Represente en la figura

+ W#! I , R "& S9 9

Respuesta

B: sen B = = = 38 50, G-sen 480 sen 55 10

62800

,

A = 180 ( + ) = 86o o F G

Para a =

, =/8 E %)! =/8 )'

=/8 F =/8 $) &! ('%

9

9

Ejercicios

Resuelva el tringulo ABC dado que" + $"& , &") C

A Determine y $$ %! - F G 9


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# + & - %#" C "$! %!Resuelva el tringulo ABC dado que A 9

Determine : y, F G

$ Sean A y B dos puntos localizados en las mrgenes opuestas de un ro. DesdeA se traza una lnea AC = y se miden los ngulos CAB =#(& 7 "#& %! 9

ACB Encuentre la longitud AB. %) &! 9

% Un edificio est situado arriba de una colina con una pendiente de 15 deo

inclinacin. El Sol est sobre el edificio con unngulo de elevacin de 42 .o

Encuentre la altura del edificio si ste proyecta una sombra de 36 pies de largo

& Una torre forma un ngulo de 113 12 con el plano inclinado sobre el cul esto,

y desde una distancia de 89 m de su base medida hacia abajo del plano se ve latorre bajo un ngulo de 23 27 . Clacular la altura de la torreo

,

' Dos boyas estn apartada por una distancia de 64,2 m y un bote est a 74,1 m dela ms cercana. El ngulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de27 18 Qu distancia hay del bote a la boya ms alejada?

o ,

( Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientacin. Despus de que el barco navega , la luz se encuentra aR '# I #&! 7>9

Si el curso se mantiene igual Cul ser la menor distancia entre elR%) I9

barco y la luz?

) Un satlite que orbita alrededor de la tierra pasa sobre dos estaciones deobservacin, Phoenix y Los Angeles que estan a millas una de otra. En$%!cierto instante los ngulos de elevacin son y respectivamente. A qu'! (&9 9

distancia se encuentra el satlite de la estacin de Los Angeles?

* Un barco B pide socorro y se reciben sus seales en dos estaciones de radio,A y C, que distan entre s 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ngulos: BAC = y%'9

BCA . A qu distancia de cada estacin se encuentra el barco? &$9

10) Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. Cunto distael globo del punto A? Cunto del punto B? A qu altura est el globo?


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"" Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre s 10 km, orientansus antenas hacia el punto donde est la emisora. Estas direcciones forman con AB ngulos de y .%! '&9 !

A qu distancia de A y B se encuentra la emisora?

Respuesta

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% La figura pedida es


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virginio gómez - Álgebra y trigonometría

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