visualización de polígonos - dccia. departamento de...

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5

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od

elo

s G

eo

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2

Indice

Definición

Clasificación de los modelos geométricos

Modelo alámbrico

Modelos superficiales

Modelos sólidos

Otros modelos

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3

Definiciones

Def 1: “Conjunto de métodos matemáticos que

utilizamos para describir la forma de un objeto y

para expresar algunas de sus propiedades

físicas.”

Def 2: “Representación de un objeto en forma de

descripción matemática y geométrica”

Def 3: “Conjunto de estructuras de datos,

algoritmos de manejo de esas estructuras y

operaciones disponibles entre las estructuras que

dan soporte a la información geométrica

correspondiente a un objeto”

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4

Características

Las características deseables para

todos modelo geométrico son:

• Preciso

• No ambiguo

• Compacto

• Rápido

• Util

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5

Clasificación

Modelo Alámbrico

Modelos Superficiales• Objetos poligonales

• Superficies Cuádricas y Supercuádricas

• Isosuperficies

• Superficies Libres o Paramétricas

Modelos Sólidos• Instanciación de Primitivas

• Objetos generados por barrido

• Enumeración espacial

• Geometría Sólida Constructiva (CSG)

Otros Modelos• Modelos de Geometría Fractal

• Modelos Gramaticales

• Sistemas de Partículas

• Modelos Basados en Características Físicas

• Modelos para Visualización Científica

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6

Modelo Alámbrico

Conceptos

Los objetos se representan describiendo vértices y aristas

Estructuras de almacenamiento

• Lista de aristas

• Lista de aristas y de vértices

V1

V2

V4

V3

A1

A2A3

A4

A6

A5

Arista Inicio Fin

A1 (x1, y1, z1) (x2, y2, z2)

A2 (x2, y2, z2) (x3, y3, z3)

A3 (x3, y3, z3) (x1, y1, z1)

A4 (x2, y2, z2) (x4, y4, z4)

A5 (x1, y1, z1) (x4, y4, z4)

A6 (x4, y4, z4) (x3, y3, z3)

Vértice Coordenadas

V1 (x1, y1, z1)

V2 (x2, y2, z2)

V3 (x3, y3, z3)

V4 (x4, y4, z4)

Arista Inicio Fin

A1 V1 V2

A2 V2 V3

A3 V3 V1

A4 V2 V4

A5 V1 V4

A6 V4 V3

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7

Modelo Alámbrico

Características

Ventajas

• Sencillo

• Visualización muy rápida

Inconvenientes

• Visualización ambigua

• No permite visualizar superficies ni visualización realista

• No guarda información sobre puntos interiores/exteriores

• No guarda información sobre superficies ni sólidos

• Es aproximado

• Pueden perderse líneas de silueta

Sólo se emplea para visualizaciones preliminares muy

rápidas

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8

Modelos Superficiales

Conceptos

También se llaman B-Rep (Boundary Representation)

Los objetos se representan con vértices, aristas y caras

Las caras pueden ser planas (modelo poligonal) o

curvas (modelo de superficies curvas)

Fórmula de Euler-Poincaré: relaciona número de

vértices, aristas, caras y agujeros. Asegura que el objeto

es un sólido topológicamente correcto

F + V – E – R = 2 (S – H)

R: nº anillos

S: nº objetos independientes

H: nº agujeros

F: nº caras

V: nº vértices

E: nº aristas

F: 15

V: 24

E: 36

R: 3

S: 1

H: 1

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9

Modelos Superficiales.


Dos tipos de almacenamiento

• Listas

• Aristas aladas

Almacenamientos en listas: se definen

dos tipos de listas:

• Listas de geometría almacenan datos

geométricos: vértices, aristas, caras, …

• Listas de atributos almacenan otros datos:

color, transparencia, material, …

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10

Vértice Coord Atributos

V1 (x1, y1, z1) AtrV1

V2 (x2, y2, z2) AtrV2

V3 (x3, y3, z3) AtrV3

V4 (x4, y4, z4) AtrV4

Modelos Superficiales


Listas de geometría• Sólo una lista de caras:

información redundante

• Lista de caras y vértices

• Lista de caras, aristas y

vértices

• Mínima redundancia

• Consistencia de los datos

• Atributos de caras, aristas y vértices

• Referencias cruzadas

Listas de atributos• Propiedades del material

• Ecuaciones de los planos

• Ecuaciones de las superf. curvas

V1 V2

V4

V3

A1

A2A3

A4

A6

A5

C1 C2

C3

C4

Arista Inicio Fin Atributos

A1 V1 V2 AtrA1

A2 V2 V3 AtrA2

A3 V3 V1 AtrA3

A4 V2 V4 AtrA4

A5 V1 V4 AtrA5

A6 V4 V3 AtrA6

Polígono Aristas Atributos

C1 A1,A2,A3 AtrC1

C2 A2,A4,A6 AtrC2

C3 A3,A6,A5 AtrC3

C4 A1,A5,A4 AtrC4

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11



Aristas aladas:

• Grafo no dirigido

• Los nodos representan vértices y aristas

• Las uniones entre nodos representan relaciones de

incidencia entre aristas y vértices.

A1

A2A3 A4

A5

A6

V1 V2

V3 V4

V1 V2

V4

V3

A1

A2A3

A4

A6

A5

C1 C2

C3

C4

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12


Clasificación de los modelos B-Rep

Modelo Poligonal

Superficies Cuádricas y Supercuádricas

Isosuperficies

Superficies Libres

• Superficies interpoladas

• Superficies aproximadas

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13

Modelo Poligonal

Definición

Las caras son polígonos planos

Para almacenarlo: • Listas de geometría y atributos

• Aristas aladas

En las listas de atributos se suele almacenar:• Normal a cada polígono

• Ecuación del plano de cada polígono

Estos atributos facilitan• Prueba de interioridad/exterioridad

• Cálculo de intersecciones

• Sombreado y visualización realista

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14

Modelo Poligonal

Ecuación del Plano

A partir de 3 puntos del plano (por

ejemplo, los vértices del polígono)

V1, V2 y V3: vértices del polígono

A = y1(z2-z3)+y2(z3-z1)+y3(z1-z2)

B = z1(x2-x3)+z2(x3-x1)+z3(x1-x2)

C = x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)

D = -x1(y2z3-y3z2)-x2(y3z1-y1z3)-x3(y1z2-y2z1)

Ax + By + Cz + D = 0

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15

Modelo Poligonal

Normal al Plano

Se obtiene como el producto vectorial de dos

vectores situados sobre el plano

Las componentes de la normal son los coeficientes A, B y C de la ecuación del plano. D se calcula sustituyendo uno de los puntos

N = (v2 -v1) (v3 -v1)

v1

v3

v2

N

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16

Modelo Poligonal

Ecuaciones y Normal

La normal se calcula a partir de la ecuación y al revés

La normal se utiliza para calcular la iluminación de la

cara

Para que la normal apunte hacia el exterior, debemos

especificar los vértices en sentido antihorario

Prueba de interioridad/exterioridad: utilizando la

ecuación

si Ax+By+Cz+D = 0 (x,y,z) sobre el plano

si Ax+By+Cz+D < 0 (x,y,z) dentro del plano

si Ax+By+Cz+D > 0 (x,y,z) fuera del plano

Los puntos del polígono deben ser coplanares

Triangulación

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17

Modelo Poligonal

Características

Ventajas• Es muy sencillo

• Visualización rápida (dispositivos aceleradores)

• Representación exacta para poliedros

• Visualización no ambigua (utilizando sombreado)

• Prueba de interioridad/exterioridad sencilla

• Cálculo de intersecciones sencillo

• Muy útil como modelo secundario para visualización

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18

Modelo Poligonal

Características

Inconvenientes• Representación aproximada para objetos no

poliédricos

• Mejores aproximaciones implican un gran aumento del número de polígonos

• Para convertir otros modelos son necesarios métodos de poligonalización o mallado que pueden ser complejos

• Altos requerimientos de espacio

• Algunos cálculos complejos: volúmenes, mecanizado, ...

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19

Sup. Cuádricas y Supercuádricas

Definición

Objetos descritos mediante ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones en forma implícita o paramétrica

Superficies cuádricas: ecuaciones cuadráticas

• Esferas

• Elipsoides

• Toros

• Paraboloides

• Hiperboloides

Superficies supercuádricas: ecuaciones cuádraticas

generalizadas (con parámetros adicionales)

• Superelipsoides

• Superparaboloides, ...

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20


Esfera

Ecuación implícita

Ecuación paramétrica

x2 + y2 + z2 = r2

x = r cos cos

y = r cos sen

z = r sen

-/2 /2

-

r

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21


Elipsoides



(x/rx)2 + (y/ry)

2 + (z/rz)2 = 1

x = rx cos cos

y = ry cos sen

z = rz sen

-/2 /2

-

rx

ry

rz

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22


Toro



[r - (x/rx)2 + (y/ry)

2 ]2 + (z/rz)2 = 1

x = rx(r-cos )cos

y = ry(r+cos )sen

z = rz sen

-

-

rx = ryrz

rz

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23


Superelipsoide



[(x/rx)2/S2 + (y/ry)

2/S2 ]S2/S1 + (z/rz)2/S1 = 1

x = rx cosS1 cosS2

y = ry cosS1 senS2

z = rz senS1

-/2 /2

-

S1

S20 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

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24

Isosuperficies

Definición

Se definen a partir de un conjunto de

primitivas en el espacio que definen un

campo de fuerza

Isosuperficie: superficie exterior que define

el campo de fuerza cuando vale 0

Viene dada por una función de densidad

PrimitivasCampo de fuerza = 0

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25

Isosuperficies

Tipos

Blobs

Metaballs

Soft Objects

k

zyxfa

kTebzyxf kk 0),,(

),,(

dr

drd

d

rb

dr

d

rb

rf

si ,0

3 si ,1

2

3

30 si ),31(

)(

2

2

2

dr

drd

r

d

r

d

rrf

0

09

4

9

17

9

221

)( 6

6

4

4

2

2

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26

Isosuperficies

Características

Ventajas

• Muy adecuadas para modelar objetos

orgánicos

• Muy compacto

Inconvenientes

• Difícil modelar objetos con aristas

• Poligonalización muy compleja

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27

Isosuperficies

Ejemplos

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28

Superficies Libres

Son una extensión de las curvas libres

Se trazan a partir de una nube de puntos, por interpolación o aproximación

La nube de puntos, ordenada, se denomina poliedro de control

Las superficies se definen mediante ecuaciones paramétricas con 2 parámetros (u, v)

Es deseable que cumplan algunas propiedades:

• Continuidad

• Recubrimiento convexo

• Invarianza afín

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29

Superficies Libres

De interpolación

• Hermite

• Splines

De aproximación

• Bézier

• BSplines

• NURBS

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30

Superficies Libres

Superficies por tramos o patches Deseable continuidad

Continuidad Paramétrica (C) Deseable

• C0: Los tramos se tocan

• C1: 1ª derivada coincide

• C2: 1ª y 2ª derivada coinciden

• Cn: 1ª, 2ª … n-ésima derivada coinciden

Continuidad Geométrica (G) Más fácil de conseguir

• G0: Los tramos se tocan

• G1: 1ª derivada proporcional

• G2: 1ª y 2ª derivada proporcionales

• Gn: 1ª, 2ª … n-ésima derivada proporcionales

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31

Superficies Libres

Propiedad del Recubrimiento Convexo

Es deseable que la superficie se encuentre dentro

del recubrimiento convexo formado por el poliedro

de control

Se cumple cuando la suma de las funciones base

es 1 Se cumple para superficies de

aproximación

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32

Superficies Libres

Propiedad de Invarianza Afín

Es deseable que las superficies sean invariantes a transformaciones afines

Una superficie es invariante a transformaciones afines si:• Calcular los puntos de la superficie y aplicar la

transformación a esos puntos

ES EQUIVALENTE A• Aplicar la transformación a los puntos de control y luego

calcular los puntos de la superficie

Todas las superficies que veremos son invariantes a transformaciones afines

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33

Superficies Libres

Formulaciones

Condiciones Frontera

• Condiciones de continuidad

de la superficie en su

frontera

Matriz Característica

• Matriz característica de

coeficientes

Funciones Base

• Ecuación basada en

funciones base (blending

functions)

• Puntos extremos:

S(0,0) = P0, S(0,1)=P2…

• Derivadas primeras

S’(0,0) = D0, S’(0,1)=D2…

• Derivadas segundas

S’’(0,0) = E0, S’’(0,1)=D2…

T

geomcaractVMMUvuS ···),(

)()(),(,,

0 0,

uBvBpvuSnkmj

m

j

n

kkj

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34

Superficies Libres

Grado y Orden de la Superficie

Grado = Grado del polinomio que la define

Orden = nº de puntos necesarios para cada

tramo = Grado + 1

Grado 3 el más habitual Superficies Bicúbicas

Hermite

Spline

Bézier

Nº de puntos condiciona el grado

Para evitarlo Definición por tramos

BSpline

NURBSGrado independiente de nº de puntos

Superficies completas, no por tramos

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Superficies Libres

Superficies Bicúbicas de Hermite

Se trata de una extensión de las curvas de

Hermite

Interpolan una nube de puntos

Cada curva sobre la superficie es de

Hermite

Para definir un tramo bicúbico, necesitamos

4 puntos para las esquinas

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36

Superficies Libres


Condiciones de frontera• Tramos bicúbicos polinomio con 16 coeficientes

• Condiciones de frontera en los 4 puntos de esquina:

• Posición de los 4 puntos 4 ecuaciones

• Derivada con respecto a u (tangente en u) 4 ecuaciones

• Derivada con respecto a v (tangente en v) 4 ecuaciones

• Derivada con respecto a u y v (vector torsión) 4 ecuaciones

;10;10;),(3

0

3

0

vuvuavuS ji

i jij

S/u

S/v

2S/uvP0,0 P1,0

P0,1

P1,1

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37

Superficies Libres



• Resolviendo el sistema de 16 ecuaciones

• En forma matricial:

S(0,0) = P00

S(0,1) = P01

S(1,0) = P10

S(1,1) = P11

S(0,0)/u = Du00

S(0,1)/u = Du01

S(1,0)/u = Du10

S(1,1)/u = Du11

S(0,0)/v = Dv00

S(0,1)/v = Dv01

S(1,0)/v = Dv10

S(1,1)/v = Dv11

S2(0,0)/uv = Duv00

S2(0,1)/uv = Duv01

S2(1,0)/uv = Duv10

S2(1,1)/uv = Duv11

TT

HermGeomHermVMMMUvuS ····),(

uvuvuu

uvuvuu

vv

vv

geomHerm

T

DDDD

DDDD

DDPP

DDPP

MMv

v

v

VuuuU

11101110

01000100

11101110

01000100

2

3

23 ;

0001

0100

1233

1122

;

1

;1

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38

Superficies Libres


Funciones base

• A partir de la forma matricial:

• bij = Mgeomij

• Fi, Fj se obtienen a partir de la forma matricial

)()(),(3

0

3

0

vFuFbvuSji

i jij

u/v

F0

0 1

1

u/v

F1

0 1

1

u/v

F2

0 1

1

u/v

F3

0 1

1

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39

Superficies Libres


Ventajas

• Formulación sencilla

Inconvenientes

• Necesario especificar tangentes y torsiones

• Para tramos consecutivos, debe asegurarse la

continuidad C1

• No se asegura la continuidad C2

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40

Superficies Libres

Superficies Bicúbicas de Bézier

Se trata de una extensión de las curvas Bézier

Aproximan una nube de puntos

Cada curva sobre la superficie es una Bézier

Para definir un tramo bicúbico, necesitamos 4 x 4 = 16

puntos, cuyas esquinas se interpolan:

• 4 puntos interiores

• 4 puntos en las esquinas

• 8 puntos de frontera

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41

Superficies Libres

Superficies bicúbicas de Bézier

Condiciones de frontera

• Parten del mismo planteamiento que Hermite

• Las derivadas vienen dadas por los puntos interiores y

frontera del poliedro de control

;10;10;),(3

0

3

0

vuvuavuS ji

i jij

S/u

S/v

2S/uv

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42

Superficies Libres


Matriz característica

• Con un planteamiento similar a Hermite, obtenemos

• Equivalencia entre Hermite y Bézier

TT

BézierBézierVMPMUvuS ····),(

33323130

23222120

13121110

03020100

2

3

23 ;

0001

0033

0363

1331

;

1

;1

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

PMv

v

v

VuuuUBézier

T

11

11

····

····

T

Bézier

T

HermGeomHermBézier

T

Herm

T

BézierBézierHermGeom

MMMMMP

MMPMMM

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43

Superficies Libres


Funciones base

• A partir de la forma matricial:

)()(),(3,3,

3

0

3

0

vBuBpvuSji

i jij

u/v

B0,3

0 1

1

u/v

B2,3

0 1

1

B3,3

u/v

B1,3

0 1

1

u/v0 1

1

pij = Puntos de control

Bi,3, Nj,3: Func. base de grado 3

ini

niuu

i

nuB

)1()(

,

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44

Superficies Libres


Ventajas

• No es necesario especificar tangentes y torsiones

• Continuidad G1 entre tramos: Puntos frontera y adyacentes coplanares

Inconvenientes

• El grado varía según el número de puntos

• Para mantener el grado, debe especificarse por tramos

• Difícil conseguir continuidad C1, G2 y C2

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45

Superficies Libres

Superficies Bicúbicas B-Spline

Se trata de una extensión de las curvas BSpline

Aproximan una nube de puntos

Cada curva sobre la superficie es una BSpline

El grado es independiente del número de puntos

Para definir una superficie bicúbica, necesitamos al menos 4 x

4 = 16 puntos, aunque pueden ser más (no hay tramos)

Las esquinas pueden o no interpolarse

Para 4 x 4 puntos, interpolando las esquinas, BSpline = Bézier

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46

Superficies Libres


Funciones base

)()(),(,,

0 0

vNuNpvuSLjKi

m

i

n

jij

u/v

N0,3

0 1

1

u/v

N2,3

0 1

1

u/v

N1,3

0 1

1

N3,3

u/v0 1

1


K, L = Grado en sentido u y v (es 3)

Ni,K, Nj,L: Func. base de grado K y L

1

1,1

1

1,

,

1

1,

)()()()()(

0

1)(

iki

kiki

iki

kii

ki

ii

itt

uNut

tt

uNtuuN

casootroen

tutsiuN

ti = nodos, con i = 0, …, n+K

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47

Superficies Libres



• Planteamiento similar a Bézier

• Las superficies BSpline pueden escribirse en forma de

un conjunto de tramos de superficie Bézier

TT

BSplineBSplineVMPMUvuS ····),(

33323130

23222120

13121110

03020100

2

3

23 ;

0141

0303

0363

1331

6

1;

1

;1

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

PMv

v

v

VuuuUBSpline

T

Te

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5

: M

od

elo

s G

eo

mé

tric

os

48

Superficies Libres


Ventajas

• La ecuación especifica una superficie completa

• No se especifican tramos, ni tangentes, ni torsiones. Sólo

se especifican puntos de control

• Continuidad intrínseca C2 para superficies BSpline,

independientemente del número de puntos de control

• Modificación local: la modificación de un punto de control

afecta a una porción pequeña de superficie

Inconvenientes

• Formulación más compleja que en casos anteriores

• No se pueden especificar superficies cónicas

Te

ma

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: M

od

elo

s G

eo

mé

tric

os

49

Superficies Libres

Superficies Bicúbicas NURBS

NURBS = Non Uniform Rational BSpline

Se trata de una extensión de las curvas NURBS, y por tanto son

un caso general de las superficies BSpline

Como las BSpline, aproximan una nube de puntos

Cada curva sobre la superficie es una NURBS

El grado es independiente del número de puntos

Se incorpora un conjunto de pesos que controlan cómo la

superficie se aproxima a los puntos de control

Si los pesos son 1, NURBS = BSpline

Te

ma

5

: M

od

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s G

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tric

os

50

Superficies Libres


Funciones base

)()(

)()(

),(

,,

0 0

,,

0 0

vNuNh

vNuNph

vuS

LjKi

m

i

n

j

ij

LjKi

m

i

n

j

ijij

u/v

N0,3

0 1

1

u/v

N2,3

0 1

1

u/v

N1,3

0 1

1

N3,3

u/v0 1

1


K, L = Grado en sentido u y v (es 3)

Ni,K, Nj,L: Func. base de grado K y L

hij = Peso asociado al punto pij

Las funciones base son las mismas que para las superficies BSpline

Te

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51

Superficies Libres


Ventajas

• Las mismas ventajas que las BSpline

• Además, son las únicas superficies paramétricas que

pueden especificar superficies cónicas de manera

exacta

Inconvenientes

• La formulación es la más compleja

• El usuario debe manejar un parámetro adicional: los

pesos asociados a los puntos

Te

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52

Superficies Libres

Características

Ventajas• Representación exacta para objetos curvos

• Modelo compacto

Inconvenientes• Formulación compleja

• Visualización directa muy lenta

• Modelo secundario visualización rápida

• Cálculo de modelo secundario complicado

• Prueba de interioridad/exterioridad complicada

• Cálculo de intersecciones complicado

Te

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53

Superficies Libres

Ejemplos

Objeto modelado con 180.000 parches B-Spline

Te

ma

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tric

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54

Modelos Sólidos

Conceptos

Representan, además de la superficie, el interior del objeto

Esto permite:• Representar objetos no homogéneos

• Representar propiedades internas

• Representar el comportamiento del interior

Cada modelo representa los objetos de una manera

Algunos modelos (como el CSG) permiten construir objetos complejos combinando otros más sencillos

Te

ma

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od

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s G

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tric

os

55

Modelos Sólidos

Clasificación

Sólidos generados por Instanciación de Primitivas

Sólidos generados por Barrido

Sólidos generados por Enumeración Espacial

Geometría Sólida Constructiva

Te

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56

Instanciación de Primitivas

Definición

Se parte de un conjunto finito de formas

primitivas

En cada primitiva se parametrizan

determinadas dimensiones

Se establecen restricciones entre los

parámetros de las primitivas

Se instancian las primitivas dando valores a

los parámetros respetando las restricciones

Internamente, las primitivas pueden

almacenarse utilizando cualquier modelo

Te

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57


Ejemplo

r1

r2

a

b

c

d

f

InstanciasPrimitiva Restricciones• a, b, c, d, e, f > 0

• r1 < r2

• r2 > d

• c > 2·d

• a, b > d

Te

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58


Características

Ventajas

• Modelado muy sencillo

• Modelo compacto

Inconvenientes

• Objetos “limitados” por las primitivas

disponibles

• Las características de los objetos dependen del

modelo concreto utilizado para las primitivas

Te

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59

Sólidos por Barrido

Definición

También se denomina Modelo Sweep

Los sólidos se obtienen a partir de:

• Una forma bidimensional: sección o generador

• Una forma tridimensional: trayectoria o director

La sección se desplaza sobre la trayectoria

formando el objeto por barrido

Tipos de objetos generados por barrido:

• Extrusión

• Rotación

• Barrido Generalizado

Te

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s G

eo

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60


Extrusión

La sección es un forma bidimensional

que permanece constante

La trayectoria es una recta normal a la

sección

Sección

Trayectoria

Te

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61


Rotación

La sección es un forma bidimensional

que permanece constante

La trayectoria es un eje de rotación

Sección

Eje de rotación

Te

ma

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s G

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62


Generalización

La sección puede cambiar de tamaño,

orientación o forma

La trayectoria es cualquier forma

Te

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63


Generalización

Orientación de la sección:

• Sección normal a la trayectoria

• Sección con cualquier orientación

Una orientación inadecuada puede dar

lugar a inconsistencias

N

Te

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64


Características

Ventajas

• Modelado muy sencillo de entender y realizar

• Posibilidad de obtener objetos complejos a partir de

componentes muy sencillas

• Modelo matemáticamente conciso

• Sirve de base a otros modelos (objetos paramétricos,

CSG, …)

Inconvenientes

• Posibilidad de crear objetos inconsistentes

• Necesidad de obtener un modelo secundario para

visualización

Te

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65

Enumeración Espacial

Definición

Enumeración de la ocupación espacial

El espacio se divide en regiones (cubos,

vóxels …) etiquetadas como

interiores/exteriores

Posibles representaciones:

• Rejilla de vóxels

• Arboles octales (octrees)

• Arboles de partición binaria del espacio (BSP)

Te

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66


Rejilla de Voxels

El objeto se representa en un espacio

dividido en pequeños cubos (vóxels):

• Los vóxels interiores al objeto se etiquetan con 1

• Los vóxels exteriores al objeto se etiquetan con 0

Tiene grandes requerimientos de espacio

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Te

ma

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67


Árboles Octales (Octrees)

Se utiliza una estructura jerárquica en forma de árbol

Algoritmo:

• Definir un cubo inicial que engloba a todo el objeto

• Si cubo completamente exterior al objeto, etiqueta = 0

• Si cubo completamente interior al objeto, etiqueta = 1

• En otro caso, dividir cubo en 8 y repetir para cada cubo

• Terminar cuando se alcanza una resolución adecuada

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 00

0

Te

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68


Árboles BSP

También se trata de una estructura en forma de árbol

Algoritmo:

• Dividir el espacio en dos subespacios mediante un plano

• Si un subespacio es exterior al objeto, su etiqueta = 0

• Si un subespacio es interior al objeto, su etiqueta = 1

• En otro caso, dividir en dos subespacios y repetir para cada uno

• Terminar cuando se alcanza una resolución adecuada

subespacio1 subespacio2

0

1

subespacio1 subespacio2

0

0

Te

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69


Características

Los árboles octales y BSP rebajan la necesidad de

espacio

Ventajas

• Prueba de interioridad/exterioridad muy sencilla, recorriendo el

árbol

• Representación homogénea

Inconvenientes

• Se pierden las relaciones entre las diferentes partes del objeto

• Sigue habiendo grandes requerimientos de espacio para

almacenar el modelo

• Modelo aproximado

Te

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70


Definición

No es propiamente un modelo, sino una

forma de combinar objetos sencillos para

obtener otros más complejos

Consta de:

• Un conjunto de primitivas descritas mediante cualquier

modelo

• Un conjunto de operadores booleanos: unión,

intersección y diferencia

Los objetos se representan mediante árboles

binarios que especifican las operaciones

entre primitivas

Te

ma

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71


Árboles Binarios

En un árbol CSG:

• Las hojas son las

primitivas

• Los nodos

interiores son las

operaciones

• La raíz es el objeto

final

U

P1 P2

P3

Te

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72

Las operaciones booleanas pueden dar lugar a objetos

incosistentes Operaciones regularizadas


Operaciones Booleanas

A

B

A B

A

B

A B A B A - B

A

B

A B

Te

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73


Intersección Regularizada *

Dividimos los objetos en interior (iA e iB) y frontera

(fA y fB) A = iA fA; B = iB fB

A * B = (iAiB) (iAfB) (fAiB) (fAfB)*Int

(iA iB) (iA fB) (fA iB)

A

B

no

sí

A * BA B

(fA fB)*Int

Te

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s G

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74


Unión Regularizada *

A*B = (iAiB) (fAfB) -[(iAfB) (fAiB) (fAfB)*Un]

(iA iB) (fA fB) (iA fB) (fA iB)

A

B

sí

no

A * B

(fA fB)*Un

Te

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75


Diferencia Regularizada -*

A-*B = (fA-fB-iB) (iAfB) (fAfB)*Dif (iA-fB-iB)

(fA-fB-iB) (iA fB) iA-fB-iB

A

B

sí

no

A -* B

(fA fB)*Dif

Te

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76


Características

Los objetos resultantes de las operaciones

regularizadas, son válidos si lo son las primitivas

Posibles primitivas:

• Instanciación de primitivas básicas

• Objetos simples generados por barrido

Se utilizan dos representaciones

• Modelo procedural (primario): árbol binario

• Modelo superficial (secundario): b-rep

Evaluador Superficial: Conjunto de algoritmos para

generar el modelo secundario:

• Crea y borra vértices, aristas y caras

• Reorganiza los elementos asegurando la consistencia

Te

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Características

Ventajas

• Prueba de interioridad/exterioridad muy sencilla,

recorriendo el árbol

• Modelo exacto

Inconvenientes

• Difícil implementación de las operaciones booleanas

• Visualización complicada:

• Métodos directos

• Modelo secundario superficial

• Limitación impuesta por las primitivas utilizadas

Te

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78

Otros Modelos

Clasificación

Veremos un conjunto de modelos no

emparentados entre sí:

• Geometría fractal

• Modelos gramaticales

• Sistemas de partículas

• Modelos basados en características físicas

• Modelos para visualización científica

Te

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79

Geometría Fractal

Definición

Modo alternativo de representar objetos

• Geometría Euclídea: objetos representados por ecuaciones

• Geometría Fractal: objetos representados por

procedimientos

Los objetos se generan mediante una operación

sobre una primitiva repetida infinitamente

Características de los objetos fractales

• Infinito detalle

• Autosimilitud entre las partes y el todo

Te

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80

Geometría Fractal

Usos

Gráficos: generación de objetos naturales

• Rocas

• Montañas

• Plantas

• Nubes

• Agua

• Plumas

• Piel

Otros campos

• Modelado de fenómenos físicos

• Distribuciones de astros

• Modelado de variaciones en bolsa

• Música fractal

Te

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Geometría Fractal

Dimensión Fractal

Dimensión de los objetos

• En Geometría Euclídea, la dimensión es entera

• Puntos: dimensión 0

• Rectas: dimensión 1

• Planos: dimensión 2

• Volúmenes: dimensión 3

• En Geometría Fractal, la dimensión puede ser

fraccionaria (de ahí el nombre Fractal). La dimensión

fractal indica la “rugosidad” del objeto

• Recta: dimensión 1

• Curva rugosa: dimensión entre 1 y 2

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Geometría Fractal

Cálculo de la Dimensión Fractal

Figura OriginalDuplicando sus

DimensionesDimensiónNúmero de

Copias

1

2

2 = 21

3

4 = 22

8 = 23

d = log n/log 2n = 2d

Recta

Cuadrado

Cubo

En general

Triángulo de

Sierpinski

d = log 3/log 2

= 1,58496 3 = 2d

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83

Geometría Fractal

Generación de Objetos Fractales

Para definir un objeto fractal necesitamos:

• Un primitiva geométrica P0: punto, recta, curva, área de color,

superficie, sólido, …

• Una función de transformación F que puede ser afín

(traslaciones, rotaciones, escalados), no lineal, aleatoria, con

parámetros de decisión, …

La transformación se aplica infinitamente a la primitiva:

P1 = F(P0) P2 = F(P1) P3 = F(P2) …

En la práctica, la aplicación de la transformación es

finita se detiene cuando el detalle tiene menor

tamaño que un pixel

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Geometría Fractal

Ejemplo: Curva de Von Koch

Primitiva P0: un triángulo

Función de transformación F

P0 P1 P2 P

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Geometría Fractal

Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot

Primitiva P0: Número real 0

Función de transformación F: Pi=Pi-12+c, con c todos los

reales y complejos tal que |c| 2

Pertenecen al conjunto, aquellos valores de c que hacen que

la serie Pi=Pi-12+c no tienda a infinito

Los valores para los que la serie necesita muchas

iteraciones para tender a infinito, se encuentran en la

frontera

Parte real

Pa

rte

co

mp

leja

Te

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Geometría Fractal

Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot

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Geometría Fractal

Ejemplos

Te

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Modelos Gramaticales

Definición

Se parte de una gramática con reglas

de producción

Un objeto válido, es cualquier palabra

que sea reconocida por la gramática

Las reglas de producción permiten:

• Aplicar transformaciones alterar la

geometría

• Añadir detalle

Te

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Modelos Gramaticales

Ejemplo

Gramática

árbol tronco {rama}

rama {rama} | rama {hoja} | hoja

…

Objeto

tronco (rama (rama hoja rama) rama hoja)

Te

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Sistemas de Partículas

Definición

Adecuado para definir objetos variables tipo

“fluido”:

• Nubes

• Humo y fuego

• Pelo y plumas

• Líquidos

• Campos de hierba

• Explosiones

Los objetos están formados por partículas

que cambian de posición o atributos con el

tiempo

Te

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: M

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91


Ejemplo

Fuegos Artificiales

• Cada partícula modela un punto

de luz

• Se generan partículas

aleatoriamente en un volumen

esférico

• La partícula se mueve

radialmente, con dirección inicial

aleatoria

• Se tiene en cuenta la gravedad

• La partícula cambia de color

conforme avanza

• Se destruye la partícula en algún

momento de forma aleatoria

Te

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: M

od

elo

s G

eo

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92


Ejemplos

Te

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: M

od

elo

s G

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tric

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93


Ejemplos

Te

ma

5

: M

od

elo

s G

eo

mé

tric

os

94

Características Físicas

Definición

Modelos basados en características físicas

de los materiales

El objeto se describe en términos de la

interacción de las fuerzas internas/externas

Muy adecuado para modelar objetos no

rígidos:

• Tejidos

• Objetos de goma

• Muelles

Te

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: M

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95


Modelado mediante resortes

Un caso particular muy útil

Los objetos se modelan como una red de nodos unidos

mediante conexiones flexibles (resortes)

Cada resorte lleva asociado una constante k

Se plantea una ecuación para cada resorte (ley de Hooke) y

se resuelve el sistema para todas las ecuaciones

Los objetos pueden ser 2D (tejidos…) o 3D (bloques de

goma…)k1 k2

k3 k4

k5 k6 k7

Si k1 = k2 = … = kn objeto homogéneo

Te

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: M

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96


Ejemplos

Te

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: M

od

elo

s G

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97

Visualización Científica

Definición

Visualización científica: visualización de

datos para el análisis científico

• Representacionse gráficas de datos no gráficos

• Conjunto de datos demasiado grandes, para descubrir

tendencias, ciclos, …

Se pueden representar

• Escalares

• Vectores

• Tensores

• Datos con variables múltiples

Te

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98


Representación de Escalares

Cantidades con un solo valor, en función del tiempo, la

posición u otros parámetros

Son escalares:

Técnicas para representar escalares:

• Diagramas de barras

• Gráficos de pseudocolor

• Trazos de contorno (isolíneas)

• Presentación de volumen

• Presión

• Carga

• Resistencia

• Frecuencia

• Energía

• Densidad

• Masa

• Temperatura

Te

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99


Ejemplos de Rep. de Escalares

Te

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od

elo

s G

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100


Representación de Vectores

Un vector n-dimensional puede representarse

• Como un punto en un espacio n-dimensional

• Como magnitud y dirección, en un espacio 3D

Son vectores:

• Velocidad

• Aceleración

• Fuerza

• Campos (eléctricos, magnéticos, gravitatorios)

• Corriente eléctrica

Técnicas para representar vectores

• Flechas

• Líneas de campo

• Flujo de partículas

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101


Ejemplos de Rep. de Vectores

Te

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: M

od

elo

s G

eo

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102


Representación de Tensores

En un espacio 3D, un tensor tiene 9 componentes (una

matriz 3x3), generalmente 3 simétricos (en total 6

diferentes)

Son tensores

• Tensiones de un material

• Conductividad

• Resistividad

Técnicas para representar tensores

• Formas con 6 parámetros: Flechas (3 términos dan la

dirección y magnitud y los otros 3 el color y forma)

• Reducción a vectores o escalares

Te

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103


Ejemplos de Rep. de Tensores

visualización de polígonos - dccia. departamento de...

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